同様に、銀行の購入した資産が、期末に状態iが実現したときには $ x_{i} $ の成果をもたらすとすれば、その購入価格は $ \Sigma p_{i}x_{i} $ となる。したがって、銀行のバランスシートは、

$$ \Sigma\mathrm{\boldmath~\mathfrak{p}_{i}x_{i}+(a+\beta~)\mathrm{D}=D+K} $$

となる。ただし、α = 単位経費率、β = 準備率とし、DとKは、それぞれ預金額と自己資本額を表わすものとする(α、βは定数と仮定する)。また、約定した預金利子率をrとすると、状態iが実現したときの銀行株主の受取額は、

$$ \max\left(\mathbf{x}_{\mathrm{i}}+\left(\beta-1-\mathbf{r}\right)\mathrm{D},0\right) $$

となる。すなわち、株主は、負債の支払いを終えた後の残差（residual）に対する請求権の持ち主であるが、有限責任制（limited liability）が適用されるために、その受取額は非負の範囲に制限される。

逆に、状態 i における預金者の実際の受取額（預金 1 単位あたり）を $ d_{i} $ とすると、

$$ \begin{aligned}\mathrm{d}_{\mathrm{i}}\quad\left\{\begin{array}{l}=1+\mathbf{r}\left(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}+\beta\mathrm{D}\geq(1+\mathbf{r})\mathrm{D} 的場合 \right)\\=\mathrm{x}_{\mathrm{i}}/\mathrm{D}+\beta-\theta/\mathrm{D}( それ以外の場合 )\end{array}\right.\end{aligned} $$

となる。ここで、債務の不履行（破産）が起きたときには、それを処理するために、θ > 0 の破産コストが厚生損として発生することを仮定している。 $ ^{7} $

したがって、預金 1 単位の請求権としての現在価値は、

$$ \delta_{\mathrm{~\boldmath~}}=\Sigma_{\mathrm{~\boldmath~}}\mathrm{\boldmath~p}_{\mathrm{i}}\mathrm{\boldmath~d}_{\mathrm{i}} $$

$$ \mathrm{~}\mathrm{~} 二 \mathrm{~}\delta\mathrm{~}\mathrm{~} ∅ $$

$$ \delta=\delta(D),\delta^{\prime}>0 で $$

以上のことから、銀行利潤（株主の受取額の現在価値と資本額の差）Ⅱは、

$$ \begin{aligned}\Pi=&\Sigma_{1}\mathbf{p}_{i}(\mathbf{x}_{i}+(\boldsymbol{\beta}_{-1}-\mathbf{r})\mathbf{D})-\mathbf{K}\\=&\Sigma_{\mathbf{p}_{i}\mathbf{x}_{i}+\Sigma_{\mathbf{p}_{i}}\boldsymbol{\beta}_{\mathbf{D}}-\boldsymbol{\delta}_{\mathbf{D}}}\\&\Sigma_{2}\mathbf{p}_{i}\boldsymbol{\theta}_{\mathbf{-K}}\end{aligned} $$

となることが分かる。⁸)ここで、Σ¹(Σ₂)は、債務不履行の起きない状態（債務不履行の起きる状態）のみに関する合計を意味している。さらに、バランス・シートを考慮すると、ヒは、

$$ \begin{aligned}\Pi=&(1-\mathfrak{a}\_{(1-\Sigma\mathfrak{p}_{\mathrm{i}})}\beta\_{-\delta\mathrm{~(D))}}\\&\times\mathrm{D}-\Sigma\mathrm{_{2}p}_{\mathrm{i}}\theta\end{aligned} $$

と書き換えられる。銀行は、この利潤関数Ⅱを最大化するように資産選択を行なうことになる。

この利潤関数の形状から直ちに知られる、最も重要な結論は、Σ₂pᵢθを最小化するように資産選択を行なうことが、銀行にとって利潤最大化の必要条件になるということである。そして、このことは、θ>0である限り、債務不履行の起きる状態を空とすることが利潤最大化の必要条件になることを意味している。すなわち、債務不履行（破産）の生じる可能性のない資産選択を行なうことが、銀行自身にとって最適となるのである。

## 2 - 2 預金保険の誘因効果

これに対して政府が、セーフティ・ネットの提供を行い、（利払いを含めて）預金の払い戻しを保証している場合を考えよう。この場合、預金者にとっては常に$\mathrm{d}_{\mathrm{i}}=1+\mathrm{r}$であるが、そのために$\mathrm{x}_{\mathrm{i}}+\beta\mathrm{D}<(1+\mathrm{r})\mathrm{D}$となった状況では、政府が債務履行のための不足額と破産費用を肩代りしなければならない。こうした政府の負担額を$\mathrm{g}_{\mathrm{i}}$とすると、

$$ \begin{aligned}g_{i}\quad&\left\{\begin{aligned}&=0\left(\mathrm{x}_{i}+\beta\mathrm{D}\geq(1+\mathbf{r})\mathrm{D} の場合 \right)\\ &=\left(1+\mathbf{r}\right)\mathrm{D}-\mathrm{x}_{i}-\beta\mathrm{D}+\theta\\ &\left( それ以外の場合 \right)\end{aligned}\right.\end{aligned} $$

7）経済的に債務不履行の状態にあることと、法律的に破産状態にあることは、同一ではない。しかしここでは、簡単化のために、経済的に債務不履行の状態に至ったときには、直ちに法律的にも破産が宣言されるものと仮定する。

8）式の導出過程は、次の通りである。

$$ \begin{aligned}\Pi=&\Sigma_{1}\mathrm{p}_{\mathrm{i}}(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}+(\beta-1-\mathbf{r})\mathrm{D})-\mathrm{K}\\=&\Sigma_{1}\mathrm{p}_{\mathrm{i}}(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}+\beta\mathrm{~D})-\Sigma_{1}\mathrm{p}_{\mathrm{i}}(1+\mathbf{r})\\&\mathrm{D}-\mathrm{K}\\=&\Sigma\mathrm{~p}_{\mathrm{i}}(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}+\beta\mathrm{~D})-\{\Sigma_{1}\mathrm{p}_{\mathrm{i}}(1+\mathbf{r})\\&\mathrm{D}-\Sigma_{2}\mathrm{p}_{\mathrm{i}}(\mathrm{x}_{\mathrm{i}}+\beta\mathrm{~D})+\Sigma_{2}\mathrm{p}_{\mathrm{i}}\theta\}\\&\Sigma_{2}\mathrm{p}_{\mathrm{i}}\theta-\mathrm{K}\\=&\Sigma\mathrm{~p}_{\mathrm{i}}\mathrm{x}_{\mathrm{i}}+\Sigma\mathrm{~p}_{\mathrm{i}}\beta\mathrm{~D}-\delta\mathrm{~D}-\Sigma_{2}\mathrm{p}_{\mathrm{i}}\theta\\&-\mathrm{K}\end{aligned} $$