ここで $ 1-(2+i_{t}^{*}+\frac{b}{a_{1}})\frac{1}{\lambda}=-(1+i_{t}^{*})\frac{1}{\lambda^{2}} $ を用いれば上式は,

$$ \begin{aligned}\left\langle\chi^{n-1}(1+i_{t}^{*})-\lambda^{n}(1+\frac{b}{a_{1}})\right\rangle f_{t}\\-\lambda^{n}(1+i_{t}^{*})_{\left[t-1\right.}f_{t}-f_{t-1\left.\right]}\\+\lambda_{t}^{1}f_{t+n}-(1+i_{t}^{*})_{t}f_{t+n-1}\\=\lambda^{n}u_{t}\quad\cdots\cdots\cdots(A)\end{aligned} $$

となる。(A) は $ \lambda_{1}, \lambda_{2} (\lambda_{1} < \lambda_{2}) $ について成り立つから (A) に $ \lambda_{1} $ を代入したものから (A) に $ \lambda_{2} $ を代入したものを差し引いて整理すると,

$$ \begin{aligned}\left[(1+i_{t}^{*})-\frac{\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}{\lambda_{1}^{n-1}-\lambda_{2}^{n-2}}(1+\frac{b}{a_{1}})\right]f_{t}\\-\frac{\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}{\lambda_{1}^{n-1}-\lambda_{2}^{n-1}}(1+i_{t}^{*})^{\left[_{t-1}f_{t}\right.}\\-f_{_{t-1}]}+\frac{\lambda_{1}-\lambda_{2}}{\lambda_{1}^{n-1}-\lambda_{2}^{n-1},_{t}}f_{_{t+n}}\\=\frac{\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}{\lambda_{1}^{n-1}-\lambda_{2}^{n-1}}u_{t}\quad\cdots\cdots\cdots(B)\end{aligned} $$

さて,ここまでの議論は, $\lambda_{1},\lambda_{2}$ の大小関係とは無関係に成立する。たとえ $\lambda_{1},\lambda_{2}$ が実根でなくてさえ,(B)式は形式的に成立するはずである。$\lambda_{1},\lambda_{2}$ が虚根のケースは後で扱うとして,まず $\lambda_{1},\lambda_{2}$ が実根のケースを考えよう。本文で述べたように,この場合には(より小さい根を $\lambda_{1}$ とすると), $0<\lambda_{1}<1<\lambda_{2}$ であるか $1<\lambda_{1}<\lambda_{2}$ だから,いずれにせよ $0<\lambda_{1}<\lambda_{2}$ となり,したがって

$ \lambda_{1}/\lambda_{2}<1 $ となる。

ここで，（B）式にあらわれる $ \frac{\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}{\lambda_{1}^{n-1}+\lambda_{2}^{n-1}} $ および， $ \frac{\lambda_{1}-\lambda_{2}}{\lambda_{1}^{n-1}-\lambda_{2}^{n-1}} $ について $ n\to\infty $ のときの極限を考えよう。仮定により $ \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}<1 $ だから

$ \lim_{n\to\infty}\frac{\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}{\lambda_{1}^{n-1}-\lambda_{2}^{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\lambda_{1}\left(\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}\right)^{n-1}-\lambda_{2}}{\left(\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}\right)^{n-1}-1}=\lambda_{2} $

となる。また（B）の左辺第3項の係数を

$ J(n)>0 $ とおけば,

$ \lim_{n\to\infty}\frac{J(n+1)}{J(n)}=\lim_{n\to\infty}\frac{\lambda_{1}^{n-1}-\lambda_{2}^{n-1}}{\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}=\frac{1}{\lambda_{2}} $

したがって $ n \rightarrow \infty $ おいては $ J(n+1) = \frac{1}{\lambda_{2}} J(n) $

であるから, $ J(n) $ は $ \frac{1}{\lambda_{2}} $ の速さでゼロに収束する。

したがって,もしこの定差方程式の解として,より小なる固有根 $ \lambda_{1} $ のみを用いた解（つまり $ t f_{t+n}=h\lambda_{1}^{n} $ の形のもの）を考えるならば,(B)式の左辺第3項の極限については,

\lim_{n\to\infty}J(n)\cdot t_{f_{t+n}}=0

と考えることができる。この場合， $ _{t}f_{t+n} $ は発散しているが,その発散速度は $ \lambda_{1} $ であるのに対し， $ J(n) $ は $ \frac{1}{\lambda_{2}} $ の速さで収束しているのだから，その積は $ \lambda_{1}/\lambda_{2} $ の速さで変化する。しかるに仮定により $ \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}<1 $ であるからこの積は結局収束するのである。

このことから（B）は結局

$$ \begin{array}{l}{\left[(1+i_{t}^{*})-\lambda_{2}(1+\frac{b}{a_{1}})\right]f_{t}}\\ {\quad-\lambda_{2}(1+i_{t}^{*})\left[_{t-1}f_{t}-f_{t-1}\right]=\lambda_{2}u_{t}}\end{array} $$

となる。これが本文の(8)式である。これを(1)に代入して $ t f_{t+1} $ を求めれば,

$$ {}_{t}f_{t+1}=\frac{1}{\lambda_{2}}(1+{i_{t}}^{*})f_{t}=\lambda_{1}f_{t} $$

となり, 本文の(9)式を得る。以上の計算では固有根 $ \lambda_{1}, \lambda_{2} $ は実数であり $ 0 < \lambda_{1} < \lambda_{2} $ なることしか用いなかった。したがって $ 0 < \lambda_{1} < 1 < \lambda_{2} $ でも以上の結果は同じである。

## (b) 固有根が虚根のケース

$\lambda_{1}$ と $\lambda_{2}$ とが共役な複素根である場合も,以上の計算は(B)式の段階までは同様である。しかし,(B)式の右辺にあらわれる $\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}$

$$ \frac{\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}{\lambda_{1}^{n-1}-\lambda_{2}^{n-1}} $$

はこの場合には極限をもたない。実際,

$$ \begin{aligned}&\lambda_{1}=\gamma(\cos\theta+i\sin\theta),\lambda_{2}=\gamma(\cos\theta-i\sin\theta)\\ &\lambda_{1}\lambda_{2}=\gamma^{2}=1+i_{t}^{*}\quad とすると ,\\ &\frac{\lambda_{1}^{n}-\lambda_{2}^{n}}{\lambda_{1}^{n-1}-\lambda_{2}^{n-1}}=\gamma\cdot\frac{\sin\quad n\theta}{\sin(n-1)\theta}\\ \end{aligned} $$

である。この場合,(B)式において$n\to\infty$としても,経済学的に意味づけることはできない。それどころか$n$の与え方しだいで(B)式の右辺はいかなる値でも取りうることになる。すなわち,合理的期待を形成する際に,考慮すべき均衡条件の数（これが$n$の意味である）に依存して解