Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
$ u(\cdot) $ が $ c_{t} $ の2次関数

$$ u(c_{t})=c_{t}\Biggl(a-\frac{bc_{t}}{2}\Biggr) $$

で与えられ,資産の収益率 r は時間を通じて常に一定値 $ r = 1/\delta - 1 $ をとると仮定される.この場合, $ (9') $ 式より

$$ E_{t}[c_{t+1}]=c_{t} $$

が成り立つ．この(9'')式および恒常所得の定義式(6')，非人的資産 $ w_{t} $ の遷移式(5)を予算制約式(3)に代入すると，以下の2式

$$ \begin{aligned}&c_{t}=y_{pt},\\&c_{t+1}-c_{t}=y_{pt+1}-y_{pt}=\xi_{t+1}\\ \end{aligned} $$

が得られる．ただし $ \xi_{t+1} $ は恒常所得の変化のうち，労働所得の期待割引和で表される人的資産価値に関する予測の修正で生じた部分を表し，

$$ \xi_{t+1}\equiv r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})x_{t+s} $$

と定義される .上の(10'')式は ,消費の時系列が係数 1 の AR(1)過程に従うこと ,すなわちランダム・ウォークすることを示している .

以上の結果，特に(9′′)および(11)式は労働所得 $ x_{t} $ に不確実性が存在しない場合にも成立する．つまり，瞬時効用関数 $ u(\cdot) $ が消費の2次関数の場合には，個人の消費は恒常所得の大きさのみに依存し，不確実性の程度には全く影響されない．すなわち，このモデルに従う個人は，恒常所得が同じ限り，将来所得が確実だろうが不確実だろうが，現在の消費は全く同じ大きさとなる．不確実性下の行動が確実な場合と全く同じになることから，このモデルは確実性等価モデルと呼ばれる．

(10'')式の検定にはいくつかの方法が考えられる．Hall(1978)では，合理的期待による誤差$\xi_{t+1}$ は，$t$ 期までのすべての変数と相関を持たないことから，$z_{it}$ を $t$ 期までの任意の変数として，以下のモデル

$$ c_{t+1}-c_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}z_{1t}+\beta_{2}z_{2t}+\cdots+\beta_{k}z_{kt}+\xi_{t+1} $$

を最小二乗法によって推定し, $ \beta_{0}=\beta_{1}=\beta_{2}=\ldots=\beta_{k}=0 $ が成立するか否かを検定
する方法が用いられた。

### 4.3 絶対的危険回避度一定(CARA)型効用関数の場合

Hayashi (1985)や Caballero (1990)で示されたように，瞬時効用関数 $ u(\cdot) $ が $ c_{t} $ の指数関数として与えられる場合にも，消費 $ c_{t} $ および恒常所得 $ y_{pt} $ はランダム・ウォークすることになる．このモデルの詳細は7節で議論する．

### 4.4 消費成長率の予測不可能性

現実の集計された消費や所得の時系列は，時間に関して純粋な線形ではなく，むしろ対数線形に近いように思われる．つまり，消費変化の絶対幅が一定の確率過程にしたがうのではなく，消費の変化率が一定の確率過程にしたがっていると考えられる．そのため，恒常所得仮説は増加幅の予測不可能性ではなく，増加率の予測不可能性として示されることとなる．以下では，Hansen and Singleton (1983)に基づいて，このことを示す．

彼らの議論は，相対的危険回避度一定(CRRA)型の瞬時効用関数

$$ \begin{aligned}u(c_{t})=&\left\{\begin{aligned}&\frac{1}{1-\alpha}c_{t}^{1-\alpha}\quad&where\quad\alpha\geq0,\quad\alpha\neq1\\&&\\&\ln c_{t}\quad&\alpha=1\end{aligned}\right.\end{aligned} $$

を仮定した上で，所得の確率過程を定義して期待効用最大化問題を実際に解くのではなく，最大化問題が解かれ，将来にわたる最適な消費計画 $ \{c_{t}\}_{t=0}^{\infty} $ が求められたことを前提に進められる．ここで，t時点における将来消費 $ c_{t+1} $ の対数値 $ C_{t+1}\equiv\ln c_{t+1} $ および貯蓄の粗収益率 $ 1+r_{t+1} $ の対数値 $ R_{t+1}\equiv\ln(1+r_{t+1}) $ が同時正規分布に従うと仮定すると，オイラー方程式(9)は

$$ \begin{aligned}&c_{t}^{-\alpha}=\delta E_{t}\Big[(1+r_{t+1})c_{t+1}^{-\alpha}\Big]=\delta E_{t}[\exp(R_{t+1}-\alpha C_{t+1})]\\&\quad=\delta\exp\Biggl[-\alpha E_{t}C_{t+1}+E_{t}R_{t+1}+\frac{\alpha^{2}\mathrm{Var}(C_{t+1})+\mathrm{Var}(R_{t+1})+\alpha\mathrm{Cov}(C_{t+1},R_{t+1})}{2}\Biggr]\\ \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}\Rightarrow\quad&E_{t}C_{t+1}=C_{t}+\frac{1}{\alpha}\Biggl[E_{t}R_{t+1}-\ln\delta\quad+\frac{\alpha^{2}\mathrm{Var}(C_{t+1})+\mathrm{Var}(R_{t+1})+\alpha\mathrm{Cov}(C_{t+1},R_{t+1})}{2}\Biggr]\end{aligned} $$

と書き換えられる（ただし $ C_{t} \equiv \ln c_{t} $ とする）。 $ C_{t+1} $ および $ R_{t+1} $ の誤差項が定常分布に従うとすれば，(14)式より消費の対数値の確率過程が， $ \zeta_{t+1} $ をホワイトノイズとして

$$ \Longrightarrow\qquad C_{t+1}=\mathrm{i n t e r c e p t}+C_{t}+\frac{1}{\alpha}R_{t+1}+\zeta_{t+1} $$

となる．(14')式より，t期から $ t+1 $ 期にかけての消費対数値の増分（済費の成長率）は，貯蓄の収益率を除いて，t期以前のいかなる情報とも無相関となり，予測不可能となる．

この定式化は，貯蓄手段が複数存在し，それぞれの収益率に異なる不確実性がある場合にも成り立つことから，資産市場分析の基本的なツールとなっているほか，消費に関する分析においてもしばしば用いられている．しかし，この定式化は， $ C_{t+1} $ と $ R_{t+1} $ が同時正規分布に従うとの仮定に依存しているが，家計の選択する消費計画が実際にこの仮定を満たすかどうかは，所得の確率過程を明示した上で最大化問題を解いてみなければわからない．ところが，離散時間の仮定の下では，初等解析の範囲で解を得られるケースが極めて限られる．CRRA型効用関数の下で解が求められる数少ない例としては，例えば対数効用関数 $ (\alpha=1) $ でかつ労働所得がなくすべての所得が保有する資産から得られる場合がある．このとき，t期初の（財産所得を含む）総資産額を $ w_{t} $ とおけば，t期の消費額 $ c_{t} $ は

$$ c_{t}=(1-\delta)w_{t}=\frac{(1-\delta)y_{pt}}{1-\exp[-\mu+\sigma^{2}/2]} $$

となることから（ただし $ \mu \equiv E_{t}R_{t+1}, \sigma^{2} \equiv \operatorname{Var}(R_{t+1}) $ とする），元々の意味での恒常所得仮説が成り立っていることがわかる。

### 5. 確実性等価モデルに対する実証上の問題点

Hall (1978)の提示した確実性等価モデルは，当の論文においても厳密には統計
的に棄却された．その後もさまざまな観点から統計的な検定が行われた結果，確実性等価モデルには「過剰感応」と「過剰平滑」という２つの問題が存在することが明らかとなった．

### 5.1 過剩感応(excess sensitivity)

確実性等価モデルに対して，Flavin (1981)では，集計データを用いて以下の構造型に基づいた検定が行われた $ ^{16} $ . まず，労働（可処分）所得 $ x_{t} $ が $ \mathrm{AR}(p) $ モデルに従うと考え， $ (10^{\prime\prime\prime}) $ 式と合わせて，労働所得と消費の構造型が

$$ \begin{aligned}x_{t+1}&=\boldsymbol{\mu}_{1}+\boldsymbol{\rho}_{1}x_{t}+\boldsymbol{\rho}_{2}x_{t-1}+\cdots+\boldsymbol{\rho}_{p}x_{t-p+1}+\boldsymbol{\varepsilon}_{1t+1}\\c_{t+1}-c_{t}&=\boldsymbol{\mu}_{2}+r\boldsymbol{\Theta}(x_{t+1}-\boldsymbol{\mu}_{1}-\boldsymbol{\rho}_{1}x_{t}-\boldsymbol{\rho}_{2}x_{t-1}-\cdots-\boldsymbol{\rho}_{p}x_{t-p+1})\\&\quad+\boldsymbol{\beta}_{0}\Delta x_{t}+\boldsymbol{\beta}_{1}\Delta x_{t-1}+\boldsymbol{\beta}_{2}\Delta x_{t-2}+\cdots+\boldsymbol{\beta}_{\mathrm{p}-1}\Delta x_{t-p+1}+\boldsymbol{\varepsilon}_{2t+1}\end{aligned} $$

で与えられるとする．このとき，(16)式の右辺第2項の括弧内は，(15)式の攪乱項$\varepsilon_{1t+1}$と等しい．確実性等価モデル$\left(\left(10^{\prime\prime}\right)\right.$式）が正しければ，$\beta_{0}=\beta_{1}=\beta_{2}=\ldots=\beta_{p-1}=0$が成立し，所得の予期された変動は消費の変化に何の影響もおよばさないはずである．そうでない$\left(\beta_{k}\neq0\right)$場合$\beta_{k}$は所得の予期せざる変動の影響$r\Theta\varepsilon_{1t+1}$を除いた所得の予期された変動$E_{t}[\Delta x_{t}](\equiv E_{t}[x_{t+1}-x_{t}])$が消費の変動$\Delta c_{t}(\equiv c_{t+1}-c_{t})$におよぼす影響を表す．$\beta_{k}>0$の場合，所得の予期された増加によって将来の消費増加が生じることになるが，この場合，所得に対する消費の「過剰感応」が存在するという．Flavin(1981)の実証研究では，$\beta_{k}$の推定値は$\beta_{0}=\beta_{1}=\beta_{2}=\ldots=\beta_{p-1}=0$の仮説が棄却できるほど有意に正であり，所得に対する消費の過剰感応の存在が示された．

後の理論モデルとの関係を明らかにするために，問題を消費の変化と所得のイノヴェーションとの関係として再定式化すると，以下のように，「過剰感応」を説明できる消費の変動と過去の所得のイノヴェーションとの関係が，労働所得の時系列の性質に応じて異なることがわかる．

まず労働所得 $ \left\{x_{t+s}\right\}_{s=0}^{\infty} $ がARMA過程

$$ x_{t+1}=\mathsf{\rho}_{1}x_{t}+\mathsf{\rho}_{2}x_{t-1}+\ldots+\mathsf{\rho}_{p}x_{t-p+1}+\mathsf{\varepsilon}_{t+1}+\mathsf{\phi}_{1}\mathsf{\varepsilon}_{t}+\mathsf{\phi}_{2}\mathsf{\varepsilon}_{t-1}+\ldots+\mathsf{\phi}_{q}\mathsf{\varepsilon}_{t-q+1} $$
に従う場合を考えよう。このとき，確実性等価モデルにおける恒常所得および消費のイノヴェーションξ_{t+1}は，t+1期に起こった労働所得 $ x_{t+1} $ のイノヴェーションε_{t+1}の定数倍

$$ \xi_{t+1}=r\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\boldsymbol{\psi}_{s}\boldsymbol{\varepsilon}_{t+1}=r\boldsymbol{\Phi}\boldsymbol{\varepsilon}_{t+1} $$

になる $ ^{17} $ ．ただしΦは，(17)式で表されるARMA過程をMA(∞)過程

$$ x_{t+1}=\pmb{\varepsilon}_{t+1}+\pmb{\psi}_{1}\pmb{\varepsilon}_{t}+\pmb{\psi}_{2}\pmb{\varepsilon}_{t-1}+\pmb{\psi}_{3}\pmb{\varepsilon}_{t-2}+\ldots. $$

で表現したときの係数$\psi_{s}\equiv\phi_{s}+\sum_{j=1}^{s}\rho_{j}\psi_{s-j}$ の割引和

$$ \Phi=\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\Psi_{s} $$

である。

t 期および t-1 期に関する(16')式，および t 期以前のすべての期に関する(18)式を用いると，労働所得の変化 $ \Delta x_{t} $ は，恒常所得の過去のイノヴェーション $ \xi_{t-s} $ を用いて

$$ \begin{aligned}\Delta x_{t}&=\varepsilon_{t+1}+(\psi_{1}-1)\varepsilon_{t}+(\psi_{2}-\psi_{1})\varepsilon_{t-1}+(\psi_{3}-\psi_{2})\varepsilon_{t-2}+(\psi_{4}-\psi_{3})\varepsilon_{t-3}+\text{．}\\\ &=\frac{\xi_{t+1}}{r\Phi}+\tau_{1}\xi_{t}+\tau_{2}\xi_{t-1}+\tau_{3}\xi_{t-2}+\tau_{4}\xi_{t-3}+\text{．}\\\ &\text{．}(19)\end{aligned} $$

とあらわすことができる．ただし $ \tau_{i}\ (i=0,1,2,\ldots) $ は，

$$ \tau_{i}=\frac{\Psi_{i+1}-\Psi_{i}}{r\Phi}\qquad(\Psi_{0}=1) $$

と定義されるパラメータである.労働所得 $ x_{t} $ が定常な 1 階の自己回帰 (AR(1)) 過程

$$ x_{t}=\upmu+\lambda x_{t-1}+\upvarepsilon_{t}\qquad(|\lambda|<1) $$

に従う場合には,その MA 表現の攪乱項の係数 $ \psi_{i} $ が $ \psi_{i} = \lambda^{i} $ となることから, $ \lambda > 0 $ ならば

$$ \tau_{i}=\frac{\lambda^{i-1}(\lambda-1)}{r\Phi}=\frac{\lambda^{i-1}(\lambda-1)(1+r-\lambda)}{r}<0 $$

となる．この場合，労働所得の予期された変化 $ E_{t}\Delta x_{t} $ は，恒常所得の過去のイノヴェーション $ \xi_{t-s} $ と負の相関を持つこととなる（共分散は $ \tau_{s}\mathrm{Var}(\xi_{t-s}) $ となる）．直
感的には，所得が定常な確率過程に従う場合，現在の所得に比べて将来の所得水準はより長期的な平均値に近づくと予想されるため，過去に所得が増加した場合には所得は減少する（=平均値へ回帰する）傾向を持つということができる。

これに対して，労働所得 $ x_{t} $ が単位根を持つような場合，例えば労働所得の階差 $ \Delta x_{t} $ が 1 階の自己回帰（AR(1)）過程

$$ \Delta x_{t}=\lambda\Delta x_{t-1}+\varepsilon_{t}\qquad(|\lambda|<1) $$

に従う場合には，所得 $ x_{t} $ 自体の MA 表現において，攪乱項の係数 $ \psi_{i} $ が

$$ \Psi_{i}=\frac{1-\lambda^{i+1}}{1-\lambda} $$

となる．そのためλ＞0ならば

$$ \tau_{i}=\frac{\lambda^{i}}{r\Phi}=\frac{\lambda^{i}\left(1+r-\lambda\right)}{1+r}>0 $$

となり，労働所得の予期された変化 $ E_{t}\Delta x_{t} $ は，恒常所得の過去のイノヴェーション $ \xi_{t-s} $ と正の相関を持つこととなる（共分散は $ \tau_{s}\mathrm{Var}(\xi_{t-s}) $ となる）。直感的には，所得が(21)式のような確率過程に従う場合，過去の所得増加はより大きな所得水準への長期的な移行を意味するため，過去の所得増加が所得の将来にわたる増加傾向をもたらすということができる。

消費の過剰感応が発生する典型的な例は，(16)式における$\beta_{0}$が厳密に正，すなわち今期から来期にかけての消費の変動$\Delta c_{t}$が，同じく今期から来期にかけての所得の予期された変動の増加関数となる場合である．このとき，(19)式の関係を用いると，過剰感応とは，

$$ \begin{align*}\Delta c_{t}&=r\Phi\boldsymbol{\varepsilon}_{t+1}+\boldsymbol{\beta}_{0}\Delta x_{t}\\&=\left(1+\frac{\beta_{0}}{r\Phi}\right)\boldsymbol{\xi}_{t+1}+\beta_{0}\mathfrak{r}_{1}\boldsymbol{\xi}_{t}+\beta_{0}\mathfrak{r}_{2}\boldsymbol{\xi}_{t-1}+\beta_{0}\mathfrak{r}_{3}\boldsymbol{\xi}_{t-2}+\beta_{0}\mathfrak{r}_{4}\boldsymbol{\xi}_{t-3}+\cdots.\end{align*} $$

すなわち今期の消費と恒常所得（すなわち労働所得）の過去のイノヴェーションとの間に，労働所得が定常な過程に従う場合には負の相関が，労働所得に単位根が存在する場合には正の相関が存在することを意味する．

集計データにおける消費の所得に対する過剰感応の問題は，消費の対数値に
ついても Campbell and Mankiw (1989) や Attanasio and Weber (1993) において次の推計式

$$ \Delta l n c_{t}=i n t e r c e p t+\lambda\Delta l n x_{t}+\frac{1}{\alpha}\mathrm{l n}(1+r_{t+1})+\varepsilon_{t+1} $$

の$\Delta\ln x_{t}$ の係数λが有意に正であるとの結果によって確かめられている．(22)式の$\beta_{0}$ と(23)式のλとの関係は必ずしも定かではないが，(23)式におけるλ＞0をもって「消費の過剰感応」とする議論も広く行われているため，注意が必要である．

### 5.2 過剩平滑(excess smoothness)

確実性等価モデルの下では，(10'')式より，消費の変化 $ \Delta c_{t} $ は恒常所得 $ y_{pt} $ の（予期されない）変化 $ \xi_{t+1} $ に等しくなることから，分散で測った両者の変動の大きさも

$$ \mathrm{Var}(\Delta c_{t})=\mathrm{Var}(\xi_{t+1}) $$

と等しくなる.労働所得 $ x_{t} $ が(20)式で与えられる定常的な1階の自己回帰(AR(1))

過程に従う場合，(18)式の右辺の係数 $ r\Phi $ は $ r\Phi = r/(1 + r - \lambda) < 1 $ となるため，

$$ \mathrm{Var}(\Delta c_{t})=\mathrm{Var}(\xi_{t+1})<\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1}) $$

すなわち消費の分散 $ \mathrm{Var}(\Delta c_{t}) $ は労働所得のイノヴェーションの分散 $ \mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1}) $ よりも小さくなる．消費の変動が所得の変動よりも小さいことは，昔からよく知られた事実であり，消費の変動が小さいことは恒常所得仮説が成り立っている証拠だとされてきた．

ところが，労働所得が単位根を持つ場合，例えば労働所得の階差$\Delta x_{t}$が(21)式で与えられる1階の自己回帰（$\mathrm{AR}(1)$）過程に従う場合には，$r\Phi=(1+r)/(1+r-\lambda)>1$となって恒常所得のイノヴェーションの分散$\mathrm{Var}(\xi_{t+1})$は労働所得のイノヴェーションの分散$\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1})$よりも大きくなる．そのため，消費が確実性等価モデルに従うなら，$\mathrm{Var}(\Delta c_{t})>\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1})$，すなわち消費の分散は労働所得のイノヴェーションの分散よりも大きくなる．つまり，所得変動が永続的な効果を持つ場合には，確実性等価モデルの下で，消費の変動は所得の変動よりも大きくならなければならないのである．

ところが Deaton (1987)の推計では,労働所得$\left\{x_{t+s}\right\}_{s=0}^{\infty}$が単位根を持つにもかか
数が２次関数である，４）労働所得に対する不確実性のみが考慮されているなど，非常に限定的な仮定に依存したものであった．そのような確実性等価モデルに対して，実証研究より過剰感応と過剰平滑という２つの問題が指摘されたこともあり，より一般的な仮定の下で，モデルがどのように変化するのか，様々な拡張が試みられてきた．本節では，そのような試みのうち，瞬時効用関数が２次関数である（その結果，個別主体レベルでは資産に関する限界消費性向が人的資産と非人的資産とで同一となる）ことと，すべての財についてその自己利子率が時間選好率と常に一致することの２つの仮定を維持した上で $ ^{20} $ ，

(1) 効用関数の時間に関する非加法性

(2) 観測されない変動要因

(3) 集計(aggregation)

の３点についてモデルの拡張を試みる．具体的には

6.1 持続的な消費（耐久財消費：効用関数の非加法性1）

6.2 消費の習慣性（効用関数の非加法性2）

6.3 選好ショックが存在する場合（新たな不確実性の導入1）

6.4 労働所得における複数の異なる変動要因（新たな不確実性の導入2）

6.5 流動性制約下にある家計の存在（家計に関する集計の問題1）

6.6 世代重複モデル（家計に関する集計の問題2）

の６つを取り上げる。

先に全体の結論を述べると，以上の6つの拡張は，消費の時系列の性質に，無視できない変化をもたらし，過剰感応や過剰平滑を説明する可能性がある。ただし，労働所得が定常な確率過程の場合には，両者を同時に説明することはできない。というのも，過剰平滑が生じるのは恒常所得（のイノヴェーション）に対する限界消費性向が確実性等価モデルよりも小さい場合であるが，このとき，今期の正のイノヴェーションの一部が貯蓄に回ることによって来期の恒常所得水準が増加し，消費の予期された変化は労働所得の過去のイノヴェーション
ンと正の相関を持つことから，労働所得が定常な確率過程に従う場合，消費と労働の予期された変化は負の相関を持つのである．

労働所得が(21)式のような階差定常な確率過程に従う場合（ただしλ > 0），労働所得の予期された変化 $ E_{t}\Delta x_{t} $ は恒常所得の過去のイノヴェーション $ \xi_{t-s} $ と正の相関を持つため，恒常所得に対する限界消費性向が確実性等価モデルよりも小さいと，過剰感応と過剰平滑が同時に説明できる．とはいえ，この場合に実際に生じているのは「（確実性等価モデルに比べて）所得の変化に対する反応が小さい」ことであり，所得変化により大きく反応するようなイメージを与える「過剰感応」という用語は不適当である．

### 6.1 持続的な消費（耐久財消費）

自動車や家電製品などの耐久財は，購入した時点だけでなく，将来の一定期間にわたって所有者に便益を与えて続ける．この場合，今期の消費支出は今期の消費だけでなく，将来の消費にも影響をおよばす，すなわち持続性を持つことになる．このような消費の持続性が存在する場合，恒常所得の過去のイノヴェーションが今期の消費支出水準と相関を持つことになる．本節では，Mankiw (1982)およびHayashi(1985)に従って，この消費の持続性の問題を分析する．

今期の消費 $ c_{t} $ と今期および過去の支出 $ c_{t-k} $ との関係が

$$ \boldsymbol{c}_{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\boldsymbol{\uprho}^{k}c_{t-k}=\boldsymbol{\uprho}(L)c_{t} $$

と表され，消費に関する瞬時効用関数 $ u(c_{t}) $ は，確実性等価モデルと同じ2次関数であるとする．このとき，支出 $ c_{t} $ および恒常所得 $ y_{pt} $ の時系列はそれぞれ

$$ y_{p t+1}-y_{p t}=\xi_{t+1}-\frac{\uprho r}{1+r-\uprho}\xi_{t} $$

$$ \begin{aligned}c_{t+1}-c_{t}&=\frac{1+r}{1+r-\rho}\xi_{t+1}-\frac{\rho(1+r)}{1+r-\rho}\xi_{t}\\&=\sum_{k=1}^{\infty}(-\rho)^{k}(c_{t-k+1}-c_{t-k})+\frac{1+r}{1+r-\rho}\xi_{t+1}\end{aligned} $$

となる $ ^{21} $ .(26)(27)式より，恒常所得と消費の階差 $ \Delta y_{pt} $ ， $ \Delta c_{t} $ は共に自己相関を持
つことがわかる $ ^{22} $ . また, (27)式の右辺には1期前の恒常所得のイノヴェーションξ_{t}が含まれ, ρが正, すなわちその財が耐久財である場合にはその係数が負となる. 前節での議論より, 労働所得が定常な確率過程に従う場合には, 労働所得の予期された変化 $ E_{t}\Delta x_{t} $ は恒常所得の過去のイノヴェーションξ_{t-s}と負の相関を持ち, 労働所得が単位根を持つ場合には正の相関を持つ. よってρが正の場合, 自己相関の存在を考慮せずに推計すると, 消費の増分 $ \Delta c_{t} $ と労働所得の予期された変化 $ E_{t}\Delta x_{t} $ との間には, 正の相関（労働所得が定常過程の場合）または負の相関（労働所得が単位根を持つ場合）が観察されることになる $ ^{23} $ .

消費のイノヴェーションζ_{t+1}は,消費の変動に対する過去の恒常所得のイノヴェーションξ_{t}の影響を「予測可能な変動」として除去した場合

$$ \zeta_{t+1}=\frac{1+r}{1+r-\mathsf{\rho}}\xi_{t+1} $$

となる．(28)式の右辺の係数$\frac{1+r}{1+r-\rho}$は，$\rho$が正の場合1より大きくなるため，

$$ \mathrm{Var}(\zeta_{t+1})=\frac{1+r}{1+r-\uprho}\mathrm{Var}(\xi_{t+1})>\mathrm{Var}(\xi_{t+1}) $$

となって，消費の変動は恒常所得の変動よりも大きくなる $ ^{24} $ .

以上より，消費の持続性は，労働所得の時系列が定常的である限り，$\Delta c_{t}$ の自己相関を考慮しない誤った推計の下で，過剰感応をもたらす可能性があるが，所得変動が永続的な効果を持つ場合には，過剰感応を説明できない．他方，過剰平滑については，消費の持続性はむしろ消費の変動を大きくする方向に働くため，所得に関してどのような確率過程を考えても説明できない．

### 6.2 消費の習慣性（Habit formation）

消費に持続性がある場合と同様に，過去の消費水準が今期の消費から得られ
る効用に影響を及ぼす場合にも，恒常所得の過去のイノヴェーションが今期の消費に影響を及ぼすことになる．過去の消費水準が，今期の消費からの効用に影響を及ぼすことは，一般に「消費の習慣性」と呼ばれている．習慣性のある消費財の最も典型的なものは，たばこや麻薬などの依存性のある嗜好品・薬物である．たとえばたばこの場合，今までたばこを１本も吸ったことのない人物が，新たにたばこを１本吸うことから得られる限界効用はきわめて小さく，咳込んだり気分が悪くなるなどして，不効用をもたらすことすらある．ところが，１日に２箱以上も吸うようなヘビースモーカーにとって，その日最初の１本から得られる限界効用はきわめて大きいため，禁煙のメリットがどれほど大きいとしても，吸わずにいることはきわめて難しい．つまり，たばこ１本の限界効用は，過去の喫煙量に応じて変化するのである．このような依存性のある薬物に限らず，携帯電話や電子メールなど，使わずにいる間はそれほど必要とも思えないのに，一度使い始めると二度と手放せなくなる財・サービスは数多い．また，全般的な生活水準についても，「一度贅沢をすると，貧乏に耐えられない」といったことがいわれている．消費の習慣性を取り上げた代表的な研究に，エクイティ・プレミアム・パズルの問題を取り扱ったConstantinides (1990)が挙げられるが，そのモデルは連続時間であり，CRRA型の瞬時効用関数が仮定されているため，本節の目的にはそぐわない．そこで以下では，消費の習慣形成の部分だけはConstantinides (1990)と類似の定式化を行い，その他の部分は標準的な確実性等価モデルと同じモデルを考える．

瞬時効用関数 $ u(c_{t}; \bar{c}_{t}) $ が

$$ u(c_{t};\ \bar{c}_{t})=(c_{t}-\ \bar{c}_{t})\Bigg\{a-\ \frac{b(c_{t}-\ \bar{c}_{t})}{2}\Bigg\} $$

で与えられるとする．ただし$\bar{c}_{t}$ は過去の消費習慣を表す状態変数であり，

$$ \bar{c}_{t}=\sum_{s=1}^{\infty}\upmu^{s}c_{t-s},\quad0<\upmu<1 $$

で与えられる．この定式化より消費の限界効用 $ u'(c_{t}; \bar{c}_{t}) $ は

$$ u^{^{\prime}}(c_{t};\ \bar{c}_{t})=a-b(c_{t}-\ \bar{c}_{t}) $$
となり，過去の消費量 $ c_{t-s} $ が増加すると， $ \bar{c}_{t} $ の増加を通じて今期の消費の限界効用が増加する．このとき，消費 $ c_{t} $ および恒常所得 $ y_{pt} $ の時系列は

$$ y_{p t+1}-y_{p t}=\xi_{t+1}+\frac{\mu r}{1+r+\mu}\xi_{t} $$

$$ \begin{aligned}c_{t+1}-c_{t}&=\frac{1+r}{1+r+\mu}\xi_{t+1}+\frac{\mu(1+r)}{1+r+\mu}\xi_{t}\\&=\sum_{k=1}^{\infty}\mu^{k}(c_{t-k+1}-c_{t-k})+\frac{1+r}{1+r+\mu}\xi_{t+1}\end{aligned} $$

となり，その1階の階差 $ \Delta c_{t}, \Delta y_{pt} $ は共に正の自己相関を持つことになる $ ^{25} $ .また，(30)式の右辺には過去の（t期における）恒常所得のイノヴェーション $ \xi_{t} $ が含まれ，その係数は正となることから，自己相関の存在を考慮せずに推計をおこなった場合，消費の変化 $ \Delta c_{t} $ と労働所得の予期された変化 $ E_{t}[\Delta x_{t}] $ との間には，労働所得が定常なら負の相関が，単位根を持てば正の相関が観察されると考えられる．

消費のイノヴェーションζ_{t+1}は,消費の変動に対する過去の恒常所得のイノヴェーションξ_{t}の影響を「予測可能な変動」として除去した場合

$$ \zeta_{t+1}=\frac{1+r}{1+r+\upmu}\xi_{t+1} $$

となる．(29)式の右辺の係数 $ \frac{1+r}{1+r+\mu} $ は， $ \mu>0 $ より明らかに1より小さくなる．よって，恒常所得のイノヴェーションξ $ _{t+1} $ が消費の変化Δc $ _{t} $ に与える影響の大きさは，確実性等価モデルの場合よりも小さくなり，(24)式の意味での「過剰平滑」が観察される．

以上より，消費の習慣性は，労働所得が単位根を持つような，所得変動が永続的な効果を持つ場合に，過剰感応と過剰平滑とを同時に説明できる可能性がある．ただし，労働所得の階差が(21)式で与えられる確率過程に従う場合，恒常所得のイノヴェーションの絶対値は，労働所得のイノヴェーションの絶対値の $ \frac{1+r}{1+r-\lambda} $ 倍となることから，消費のイノヴェーションの分散が労働所得のそれよりも小さくなる，すなわち(25)式が成り立つためには，消費の持続性μが
$$ (1+r+\upmu)(1+r-\lambda)>(1+r)^{2}\quad\Leftrightarrow\quad\upmu>\frac{\lambda(1+r)}{1+r-\lambda} $$

を満たすほど十分大きくなければならない。

### 6.3 選好ショックが存在する場合

確実性等価モデルでは，労働所得に対するショックだけが消費の変動を引き起こす原因であった．そこで，Hayashi（1985）に従って，労働所得へのショックとは独立の選好ショックを確実性等価モデルに導入する．瞬時効用関数 $ u(c_{t}) $ を

$$ u(c_{t})=a(c_{t}-\boldsymbol{\eta}_{t})-\frac{b(c_{t}-\boldsymbol{\eta}_{t})^{2}}{2} $$

とし，$\eta_{t}$ を家計の選好に対する（平均ゼロの）確率的ショックとする．このとき，消費の限界効用$u^{\prime}(c_{t})$が

$$ u^{\prime}(c_{t})=a-b c_{t}+b\boldsymbol{\upeta}_{t} $$

となることから，$\eta_{t}$ は消費の限界効用に対する正のショックを意味することがわかる。

このとき，消費に関するオイラー方程式

$$ E_{t}[a-b c_{t+1}+b\boldsymbol{\eta}_{t+1}]=a-b c_{t}+b\boldsymbol{\eta}_{t} $$

より，来期（ $ t+1 $ 期）の消費の期待値 $ E_{t}[c_{t+1}] $ は

$$ E_{t}[c_{t+1}]=c_{t}-\boldsymbol{\eta}_{t} $$

となる．この(9'')式および恒常所得の定義式(6')，非人的資産 $ w_{t} $ の遷移式(5)を予算制約式(3)に代入すると，

$$ c_{t}=y_{p t}+\frac{1}{1+r}\eta_{t} $$

となることから，恒常所得 $ y_{t}^{p} $ および消費 $ c_{t} $ の時系列は，

$$ y_{p t+1}-y_{p t}=\xi_{t+1}-\frac{r}{1+r}\eta_{t} $$

$$ c_{t+1}-c_{t}=\xi_{t+1}+\frac{1}{1+r}\eta_{t+1}-\eta_{t} $$

となる．(33)および(34)式の右辺には過去の選好ショック $ \eta_{t} $ が含まれ，誤差項が系列相関を持つことから，恒常所得 $ y_{pt} $ と消費 $ c_{t} $ はともに純粋なランダム・ウォークには従わない．
選好ショック $ \eta_{t} $ が，労働所得の現在および過去のすべてのイノヴェーション $ \varepsilon_{t-s} $ （ $ s=0,1,2,\ldots $ ）と無相関であれば， $ \eta_{t} $ および $ \eta_{t+1} $ は労働所得の予期された変化 $ E_{t}\Delta x_{t} $ と無相関となるため，消費の階差 $ \Delta c_{t} $ も $ E_{t}\Delta x_{t} $ と無相関になる．よって，選好ショックが存在する場合でも，過剰感応は生じない．また，消費のイノヴェーション $ \zeta_{t+1} $ は，他の変数より過去の選好ショック $ \eta_{t} $ が推定できる場合には

$$ \zeta_{t+1}=\xi_{t+1}+\frac{1}{1+r}\eta_{t+1} $$

となり，

$$ \mathrm{Var}(\zeta_{t+1})=\mathrm{Var}(\xi_{t+1})+\frac{1}{1+r}\mathrm{Var}(\eta_{t+1})>\mathrm{Var}(\xi_{t+1}) $$

となることから，消費の変動は恒常所得の変動よりも大きくなる $ ^{26} $ ．以上より，単純な選好ショックの導入では，過剰感応や過剰平滑を説明できないことが明らかとなった．

(32)式の定式化における確率的ショックηは，家計の選好ショックだけでなく，消費に関する観測誤差と解釈することもできる．この解釈によれば，観察されたデータに観測誤差が含まれていると，元の消費や所得に関しては確実性等価モデルが成り立っているにもかかわらず，観察されたデータ上では，誤差項の系列相関のためにモデルが棄却されてしまう可能性のあることが指摘できる．

### 6.4 労働所得における複数の異なる変動要因

一般に，家計は自らの将来所得に関係する非常に多くの情報を持っているのに対して，計量経済学者は，所得の実現値以外はほとんど何の情報も持たずに将来所得を予測している．このように家計と計量経済学者との間に情報の格差が存在する場合，計量経済学者による恒常所得のボラティリティーの推計値が過大になる可能性がある．このことを分析するため，労働所得の変動が，恒久

$$ \begin{aligned}\mathrm{Var}(\Delta c_{t})&=\mathrm{Var}(\xi_{t+1})+\frac{\mathrm{Var}(\eta_{t+1})}{1+r}+\mathrm{Var}(\eta_{t})\\&>\mathrm{Var}(\xi_{t+1})+\frac{r\mathrm{Var}(\eta_{t})}{1+r}=\mathrm{Var}(\Delta y_{pt})\end{aligned} $$
的な部分と一時的な部分の２つから構成されており，家計は両者の違いを区別できるが，計量経済学者はできない状況を考える．

簡単化のために労働所得 $ x_{t} $ が二つの時系列 $ x_{Pt} $ および $ x_{T_{t}} $ の和であり, それぞれが

$$ \begin{aligned}&x_{Pt+1}=x_{Pt}+\pmb{\varepsilon}_{Pt+1}\\ &\\&x_{Tt+1}=\pmb{\varepsilon}_{Tt+1}\\ \end{aligned} $$

に従うとする．ここで，$\varepsilon_{Pt+1}$ および$\varepsilon_{Tt+1}$ は分散が1のi.i.dに従うホワイトノイズとする．また家計は，$\varepsilon_{Pt+1}$ と$\varepsilon_{Tt+1}$ を区別しながら，確実性等価モデルにしたがって行動するものとする．このとき恒常所得$y_{pt+1}$ のイノヴェーション$\xi_{t+1}$ は

$$ \begin{aligned}\xi_{t+1}&\equiv r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})x_{t+s}\\&=r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})\{ax_{Pt+s}+(1-a)x_{Tt+s}\}\\&=ar\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})x_{Pt+s}+(1-a)r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})x_{Tt+s}\\&=a\varepsilon_{Pt+1}+(1-a)r\varepsilon_{Tt+1}\end{aligned} $$

となることから，観察される消費の分散 $ \operatorname{Var}(\Delta c_{t}) $ は，確実性等価モデルの下で

$$ \mathrm{Var}(\Delta c_{t})=\mathrm{Var}(\xi_{t+1})=a^{2}\mathrm{Var}(\varepsilon_{Pt+1})+(1-a)^{2}r^{2}\mathrm{Var}(\varepsilon_{Tt+1})=a^{2}+(1-a)^{2}r^{2} $$

となる。

計量経済学者は，以上の，労働所得の誤差項が，2つの独立した攪乱項の和で構成されているという構造を観察できないため，労働所得を単一の攪乱項から生成される階差定常な確率過程として定式化してしまう可能性がある．例えば，労働所得が以下の階差定常な1階の自己回帰（AR(1)）過程

$$ x_{t+1}=x_{t}+e_{t+1} $$

に従うと「誤って」定式化した場合，「観察された」労働所得の「イノヴェーション」 $ e_{t+1} $ が実際には

$$ e_{t+1}=\pmb{\varepsilon}_{P t+1}+\pmb{\varepsilon}_{T t+1}-\pmb{\varepsilon}_{T t} $$

となることから，その分散 $ \operatorname{Var}(e_{t+1}) $ は

$$ \begin{aligned}\mathrm{Var}(e_{t+1})&=a^{2}\mathrm{Var}(\boldsymbol{\varepsilon}_{Pt+1})+(1-a)^{2}\{\mathrm{Var}(\boldsymbol{\varepsilon}_{Tt+1})+\mathrm{Var}(\boldsymbol{\varepsilon}_{Tt})\}\\&=a^{2}+2(1-a)^{2}>\mathrm{Var}(\Delta c_{t})\end{aligned} $$
となって，消費の分散 var( $ \Delta c_{t} $ ) を上回ることになる．このため，データ上は過剰平滑が生じているような結果が得られることとなる．

以上の定式化では，「観察された」攪乱項 $ e_{t+1} $ が

$$ e_{t+1}=a\boldsymbol{\varepsilon}_{P t+1}+(1-a)(\boldsymbol{\varepsilon}_{T t+1}-\boldsymbol{\varepsilon}_{T t}) $$

と1次の系列相関\rho_{1}=-(1-a)^{2}/\{a^{2}+2(1-a)^{2}\}を持つことから，以上の定式化に問題があることは攪乱項の時系列を調べることですぐにわかる．しかしながら，労働所得に加わる2つの変動要素が共に一般的なARMA過程にしたがっているような場合には，2つの変動要素を単一の時系列の観察によって分離することは非常に困難であると考えられる $ ^{27} $ ．

### 6.5 流動性制約下にある家計の存在

確実性等価モデルでは，資金の貸借市場が完全であり，家計は，長期的な予算制約を守る限り，同じ安全利子率でいくらでも自由に貸し出し，借り入れができると仮定されている．現実には，将来の労働所得を返済原資とする借り入れは，貸し倒れのリスクを調整したあとでも，銀行預金などの貸出よりも高い利子率を要求されるのが普通であり，また一定の借り入れ限度が存在する場合がほとんどである．このような「流動性制約」の存在は，明らかに家計の消費＝貯蓄行動に影響をおよぼすはずである．

しかし，「借り入れと預け入れの金利が，家計の資産ポジションによって変化する」というもっとも自然な流動性制約は，分析するのが非常に困難である。よって Hayashi (1985)や Campbell and Mankiw (1989)などいくつかの分析では，流動性制約下にある家計の消費 $ c_{lt} $ は同じ期の労働（可処分）所得 $ x_{t} $ と常に等しい $ (c_{lt}=x_{t}) $ という，「大雑把」(rule of thumb)な行動を仮定している $ ^{28} $ 。流動性制約下になく，消費が恒常所得に等しい家計の消費を $ c_{pt} $ とし，その全人口に占める割合を $ \lambda\in(0,1) $ とすると，経済全体の消費 $ C_{t}=\lambda c_{pt}+(1-\lambda)c_{lt} $ について
$$ C_{t+1}-C_{t}=\lambda(y_{pt+1}-y_{pt})+(1-\lambda)(x_{t+1}-x_{t}) $$

がなりたつことになる。

確実性等価行動をとる家計の恒常所得 $ y_{pt} $ のイノヴェーション $ \xi_{t+1} $ と労働所得 $ x_{t} $ のイノヴェーション $ \varepsilon_{t+1} $ との間には(18)式の関係が成り立つことから，(36)式は

$$ \Delta C_{t}=(1-\lambda)E_{t}\Delta x_{t}+\{1+\lambda(r\Phi-1)\}\boldsymbol{\varepsilon}_{t+1} $$

と变形できる．よって，流動性制約下にある家計が存在するとき，過剰感応が成立するのは明らかである．消費の変動については，消費のイノヴェーションζ_{t+1}が

$$ \begin{aligned}Var(\zeta_{t+1})=\{1+\lambda(r\Phi-1)\}^{2}Var(\varepsilon_{t+1})\\1\end{aligned} $$

となるため，過剰平滑については，例えば労働所得が単位根を持つ階差定常な過程である場合など，所得変化の持続性が大きい場合にのみ成立する。ただし， $ r\Phi > 1 $ の場合には，消費のイノヴェーションの分散 $ \operatorname{Var}(\zeta_{t+1}) $ は労働所得のイノヴェーションの分散 $ \operatorname{Var}(\varepsilon_{t+1}) $ よりも大きくなるため，Deaton (1987) の指摘した「ディートンの逆説」は説明できない。

### 6.6 世代重複モデル

確実性等価モデルでは，計画期間が無限である代表的家計を想定して，その消費の時系列を考察した．しかし，現実には無限に生きる人間は存在せず，死んで経済から退出する主体がいる一方で，常に新たな主体が参入する．Attanasio and Weber (1993)では，消費の成長率に関して，集計データでは過去の所得成長率に対する「過剰感応」が観察されるのに対して，個票データから特定のコーホートだけを取り出し，さらに家計の属性に関する，家族構成，教育水準および就業状態を表す説明変数を追加すると，「過剰感応」が見られなくなるとの結果を得ている．このように，有限の寿命を持つ異なる世代の家計が同時に存在することは，集計データに関して大きな影響をおよばすと考えられるが，筆者の知る限りにおいて，「過剰感応」および「過剰平滑」に対する複数世代の集計の問題を理論的に考察した研究は存在しない．
各時点において有限の寿命を持つ複数世代が同時に存在する状況を描写する代表的なモデルに，Samuelson (1958)によって定式化された世代重複モデルがある．典型的な世代重複モデルでは，有限の寿命を持つ同質の主体が毎期参入と退出を繰り返し，各時点で参入時期と余命の異なる複数の世代が同時に存在する．本節では， $ N+1 $ 期間の寿命を持つ新たな世代が毎期誕生し， $ N+1 $ 世代が同時に存在するモデルを考察する．簡単化のために，各主体や世代に固有の不確実性は考慮せず，任意のt期においてすべての世代のすべての主体が同一の労働所得 $ x_{t} $ を受け取るとする．また，すべての主体が確実性等価モデルに従って行動し，常に自分自身の恒常所得に等しい額の消費を行うものとする $ ^{29} $ ．

$t-n$ 期に誕生した，$t$ 期に $n$ 歳となる世代の代表的主体の恒常所得を $y_{p(t-n)t}$ とすると，

$$ y_{p(t-n)t}=\frac{r\left[w_{(t-n)t}+E_{t}\sum_{s=0}^{N-n}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}x_{t+s}\right]}{1-\left(\frac{1}{1+r}\right)^{N-n+1}} $$

となる。ただし $ w_{(t-n)t} $ は t-n 期に誕生した世代の代表的主体が t 期初に保有する非人的資産額であり，任意の t について $ w_{(t)t}=0 $ ，すなわち，各世代は誕生時には非人的資産を全く保有していないことを仮定する。すべての主体のすべての代表的主体が恒常所得に等しい額の消費を行うことから，(37)式の恒常所得の定義より t-n 期に誕生した主体の恒常所得の $ t+1 $ 期のイノヴェーション $ \xi_{(t-n)t+1}(\equiv y_{p(t-n)t+1}-y_{p(t-n)t}) $ は

$$ \xi_{(t-n)t+1}=\frac{r(E_{t+1}-E_{t})\sum_{s=0}^{N-n-1}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}x_{t+s+1}}{1-\left(\frac{1}{1+r}\right)^{N-n}} $$

となる。

労働所得 $ x_{t} $ が定常な AR(1)過程

$$ x_{t}=\lambda x_{t-1}+\varepsilon_{t}\qquad(0<\lambda<1) $$

に従う場合には，$\xi_{(t-n)t+1}$ が
$$ \xi_{(t-n+1)t+1}=\phi_{n}\varepsilon_{t+1} $$

となることから, $ t+1 $ 期に誕生した主体の $ t+1 $ 期における恒常所得 $ y_{p(t+1)t+1} $ は,

$$ y_{p(t+1)t+1}=\lambda^{N+1}y_{p(t-N)t-N}-\sum_{s=0}^{N-1}\Psi_{s}\pmb{\varepsilon}_{t-s}+\sum_{s=0}^{N-1}\xi_{(t-N)t-s}+\xi_{(t+1)t+1} $$

となる．ただし$\phi_{n}$，$\psi_{s}$はそれぞれ

$$ \begin{aligned}&\phi_{n}\equiv\frac{r\{(1+r)^{N-n+1}-\lambda^{N-n+1}\}}{(1+r-\lambda)\{(1+r)^{N-n+1}-1\}}\\ &\quad>\cdots>\phi_{1}>\phi_{0}>\frac{r}{1+r-\lambda}\quad\text{if}\quad0<\lambda<1\\ &\psi_{s}\equiv\phi_{N-s}-\lambda^{s+1}\phi_{0}>0\quad\text{if}\quad0<\lambda<1\\ \end{aligned} $$

で与えられるパラメーターである $ ^{30} $ .

各世代の人口が常に1であるとすると，すべての主体のすべての代表的主体が恒常所得に等しい額の消費を行うことから，(37)～(39)式より，すべての世代のすべての主体について集計された労働所得 $ X_{t}\equiv(N+1)x_{t} $ および消費 $ C_{t}\equiv\sum_{s=0}^{N}y_{p(t-s)t} $ について，

$$ \begin{aligned}X_{t+1}&=\lambda X_{t}+(N+1)\mathfrak{e}_{t+1}\\C_{t+1}-C_{t}&=\sum_{s=1}^{N}(y_{p(t-s+1)t+1}-y_{p(t-s+1)t})+y_{p(t+1)t+1}-y_{p(t-N)t}\\&=(\lambda^{N+1}-1)y_{p(t-N)t-N}-\sum_{s=0}^{N-1}(\Psi_{s}+\phi_{N-s})\mathfrak{e}_{t-s}+\sum_{s=0}^{N}\xi_{(t-s+1)t+1}\end{aligned} $$

が成り立つ．$\psi_{s}>0$ より，(42)式の右辺は集計された労働所得の過去のイノヴェーションと負の相関を持つことから，5.1節の議論より，集計された労働所得と消費との間には「過剰感応」が観察されることになる．これは，t期を最終期とする主体にとって，労働所得に生じたt期のイノヴェーションがその主体の恒常所得を同じ額だけ増加させるのに対して，$t+1$ 期に生まれた主体の恒常所得は，労働所得のt期のイノヴェーションによってそれよりも少ない額しか増加しないことによって生じる．

ここで，集計された消費 $ C_{t} $ の $ t + 1 $ 期におけるイノヴェーション $ \zeta_{t+1} $ を考えると，