Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
$$ \zeta_{t+1}=\sum_{s=0}^{N}\xi_{(t-s+1)t+1}=\sum_{s=0}^{N}\phi_{s}\pmb{\varepsilon}_{t+1} $$

となることから，(40)式より

$$ \to\qquad\operatorname{Var}(\zeta_{t+1})>\left(\frac{(N+1)r}{1+r-\lambda}\right)^{2}\operatorname{Var}(\mathfrak{E}_{t+1}) $$

の成り立つことがわかる。他方，世代の重複構造を無視し，無限期間生きる「代表的主体」を想定し，そのt時点での非人的資産額を $ W_{t} $ とおくと，「代表的主体」の恒常所得 $ Y_{pt} $ は

$$ Y_{p t}=r\Big[W_{t}+E_{t}\sum_{s=0}^{\infty}\Big(\frac{1}{1+r}\Big)^{s+1}X_{t+s}\Big]=r W_{t}+\frac{r}{1+r-\lambda}X_{t} $$

となり，その $t+1$ 期におけるイノヴェーション $\xi_{t+1} \equiv Y_{pt+1} - Y_{pt}$ は

$$ \xi_{t+1}=\frac{(N+1)r}{1+r-\lambda}\varepsilon_{t+1} $$

となる．(43)(44)式より

$$ \mathrm{Var}(\xi_{t+1})=\left(\frac{(N+1)r}{1+r-\lambda}\right)^{2}<\mathrm{Var}(\zeta_{t+1}) $$

となることから，消費の予期されない変動は恒常所得のそれよりも大きく，「過剰平滑」は説明できない．これは，有限の計画期間をもつ主体の恒常所得に対する労働所得のイノヴェーションの影響が，無限の計画期間を持つ主体のそれよりも大きくなることに由来する．

他方，労働所得の階差 $ \Delta x_{t} $ が定常なAR(1)過程

$$ \Delta x_{t}=\lambda\Delta x_{t-1}+\varepsilon_{t}\qquad(0<\lambda<1) $$

に従う場合には，$\xi_{(t-n)t+1}$ が

$$ \xi_{(t-n+1)t+1}=\varphi_{n}\varepsilon_{t+1} $$

となることから, $t+1$ 期に誕生した主体の $t+1$ 期における恒常所得 $y_{p(t+1)t+1}$ は,

$$ y_{p(t+1)t+1}=y_{p(t-N)t-N}+\sum_{s=1}^{t+1}\mathfrak{v}_{s}\pmb{\varepsilon}_{t-s+1}+\pmb{\xi}_{(t+1)t+1} $$

となる．ただしφ_{n}，ν_{s}はそれぞれ

$$ \varphi_{n}\equiv\frac{1}{1-\lambda}\bigg[1-\frac{\lambda r\{(1+r)^{N-n+1}-\lambda^{N-n+1}\}}{(1+r-\lambda)\{(1+r)^{N-n+1}-1\}}\bigg]\in\left(1\ ,\frac{1+r}{1+r-\lambda}\right)\quad if\quad0<\lambda<1 $$
$$ \begin{aligned}\mathfrak{v}_{s}&\equiv\left\{\begin{aligned}&\lambda^{s}\varphi_{0}+\frac{1-\lambda^{s}}{1-\lambda}\quad&if\quad s=1,2,\ldots,N\\ &\end{aligned}\right.\\ &\quad\lambda^{i-(N+1)}\left(1-\lambda^{N+1}\right)\left(\frac{1}{1-\lambda}-\varphi_{0}\right)\quad&if\quad s=N+1,N+2,\ldots\\ &>0\end{aligned} $$

で与えられるパラメーターである。

各世代の人口が常に 1 であるとすると，すべての世代のすべての主体について集計された労働所得 $ X_{t} \equiv (N + 1)x_{t} $ および消費 $ C_{t} \equiv \sum_{s=0}^{N}y_{p(t-s)t} $ について，

$$ \begin{aligned}X_{t+1}&=X_{t}+(N+1)\sum_{s=0}^{t+1}\lambda^{s}\mathfrak{e}_{t-s+1}\\C_{t+1}-C_{t}&=\sum_{s=1}^{N}(y_{p(t-s+1)t+1}-y_{p(t-s+1)t})+y_{p(t+1)t+1}-y_{p(t-N)t}\\&=\sum_{s=1}^{N}(\mathfrak{v}_{s}-\varphi_{N-s})\mathfrak{e}_{t-s+1}+\sum_{s=N+1}^{t+1}\mathfrak{v}_{s}\mathfrak{e}_{t-s+1}+\sum_{s=0}^{N}\xi_{(t-s+1)t+1}\end{aligned} $$

が成り立つ．ここで

$$ \mathfrak{v}_{s}-\varphi_{N-s}=\frac{\lambda r}{(1-\lambda)(1+r-\lambda)}\Biggl[\frac{(1+r)^{s+1}-\lambda^{s+1}}{(1+r)^{s+1}-1}-\frac{\lambda^{s}\{(1+r)^{N+1}-\lambda^{N+1}\}}{(1+r)^{N+1}-1}\Biggr]>0 $$

より，(49)式の右辺は集計された労働所得の過去のイノヴェーションと正の相関を持つ $ ^{31} $ 。よって，5.1節の議論より，集計された労働所得と消費との間には「過剰感応」が観察されることになる。これは，t期を最終期とする主体にとって，労働所得に生じたt期のイノヴェーションがその主体の恒常所得を同じ額だけ増加させるのに対して， $ t+1 $ 期に生まれた主体の恒常所得は，労働所得のt期のイノヴェーション以上に増加することによって生じる。

ここで，集計された消費 $ C_{t} $ の $ t + 1 $ 期におけるイノヴェーションを $ \zeta_{t+1} $ とすると，

$$ \zeta_{t+1}=\sum_{s=0}^{N}\xi_{(t-s+1)t+1}=\sum_{s=0}^{N}\varphi_{s}\varepsilon_{t+1} $$

となる．他方，世代の重複構造を無視し，無限期間生きる「代表的主体」を想定し，そのt時点での非人的資産額を $ W_{t} $ とおくと，「代表的主体」の恒常所得 $ Y_{pt} $ は
$$ Y_{pt}=r\Big[W_{t}+E_{t}\sum_{s=0}^{\infty}\Big(\frac{1}{1+r}\Big)^{s+1}X_{t+s}\Big]=rW_{t}+X_{t}+\frac{N+1}{1+r-\lambda}\sum_{s=1}^{\infty}\lambda^{s}\varepsilon_{t-s+1} $$

となり，その $ t+1 $ 期におけるイノヴェーション $ \xi_{t+1} \equiv Y_{pt+1} - Y_{pt} $ は

$$ \xi_{t+1}=\frac{(N+1)(1+r)}{1+r-\lambda}\varepsilon_{t+1} $$

となる．ここで(47)式より

$$ \begin{aligned}&\frac{1+r}{1+r-\lambda}-\varphi_{n}=\frac{\lambda r\{(1+r)^{N-n+1}-\lambda^{N-n+1}\}}{(1-\lambda)(1+r-\lambda)\{(1+r)^{N-n+1}-1\}}>0\quad&for all n=0,1,\ldots,N\\ \rightarrow\quad&N+1<\sum_{s=0}^{N}\varphi_{s}<\frac{(N+1)(1+r)}{1+r-\lambda}\\ \end{aligned} $$

が成り立つことから，結局

$$ \mathrm{Var}((N+1)\boldsymbol{\varepsilon}_{t+1})<\mathrm{Var}(\boldsymbol{\zeta}_{t+1})<\mathrm{Var}(\boldsymbol{\xi}_{t+1}) $$

となる．よって，消費の予期されない変動は恒常所得のそれよりも小さく，「過剰平滑」が観察されることとなる $ ^{32} $ ．これは，有限の計画期間をもつ主体の恒常所得に対する労働所得のイノヴェーションの影響が，無限の計画期間を持つ主体のそれよりも小さくなることに由来する．

以上の議論より，世代重複モデルでは，労働所得の確率過程が定常的な場合でも単位根を持つ場合でも「過剰感応」の生じることが示された．他方，「過剰平滑」に関しては，労働所得が単位根を持つ場合にしか説明できない．ただし，「過剰感応」については，所得の予期された変動 $ E_{t}\Delta X_{t} $ が世代数Nに比例して大きくなるのに対して，消費の予期された変動はNとは無関係であるため，消費の階差を所得の予期された変動に回帰させた場合の係数（最小二乗推定値）は世代数Nに反比例して小さくなり，Campbell and Mankiw (1989)で観察された0.5前後といった大きな係数の値は説明できない．Attanasio and Weber (1993)でも，単にコーホートを取り出しただけでは過剰感応はなくならず，家族構成，教育水準および就業状態を表す説明変数を追加して初めて過剰感応が観察されなくなったことから，現実の集計データで観察される「過剰感応」の原因をすべて複数世代の重複に帰することはできない．特に就業状態に関する変数は，将来
所得や所得の不確実性と深く関わっている可能性が高いため，そのような変数が説明力を持つ場合には，「過剰感応」や「予備的貯蓄」が生じている可能性が大きいと考えられる．

### 7. 予備的貯蓄

将来所得が不確実な人は，そうでない人に比べてより多くの貯蓄を行うのではないか，という「予備的貯蓄」の問題は，Leland（1968），Sandmo（1970），Dreze and Modigliani（1972）によって初めて理論的に考察された．彼らはすべて，2期間の計画期間を持ち，第2期の所得 $ x_{2} $ に不確実性 $ \varepsilon_{2} $ が存在するような個人の動学的効用最大化問題を考察した．そして，瞬時効用関数 $ u(c_{t}) $ の3次の導関数 $ u^{\prime\prime} $ が予備的貯蓄の存在を左右すること，特に「絶対的危険回避度」(absolute risk aversion measure) $ u^{\prime}/u $ が消費量の変化に対してどのように振る舞うのかが，「予備的貯蓄」の大きさに大きな影響を及ぼすことを示した．これらの性質を，危険回避度に関するアロー＝プラットの議論との数学的な等質性に基づいて，予備的貯蓄の大きさに関する「慎重度」(prudence measure)の理論としてまとめたのが，Kimball（1990）である $ ^{33} $ ．

### 7.1 予備的貯蓄の直観的な意味

オイラー方程式の上に予備的貯蓄の性質が示されることは，すでに第2節で簡単に触れたが，ここでは予備的貯蓄が発生する直感的な理由について，より詳しい説明を行う．問題となるのは

「オイラー方程式

$$ u^{\prime}(c_{t})=\beta E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})] $$

の左辺に含まれる時点 $ t + 1 $ での消費 $ c_{t+1} $ は,時点 t において不確実な確率変数であるが,この $ c_{t+1} $ に関する不確実性の変化は,時点 t における消費-貯蓄行動にどのような影響を及ぼすか?」
ということである $ ^{34} $ .

簡単な例として， $ c_{t+1} $ のとり得る値が $ c_{h} $ と $ c_{l} $ の 2 つしかない場合を考える．ただし $ c_{h} > c_{l} $ であるとする．両者の実現する確率が共に 1/2 である場合，来期（時点 $ t+1 $ ）の消費の限界効用の期待値 $ E_{t}[u'(c_{t+1})] $ は，

$$ E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]=\frac{u^{\prime}(c_{h})+u^{\prime}(c_{l})}{2} $$

となる．これに対して $ c_{t+1} $ に不確実性が存在せず，確率1で $ (c_{h}+c_{l})/2 $ となる場合には，来期の消費の限界効用の期待値 $ E_{t}[u'(c_{t+1})] $ は，

$$ E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]=u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg) $$

となる． $ c_{h} $ と $ c_{l} $ の差 $ c_{h}-c_{l} $ が十分小さいとき，将来消費に不確実性が発生した場合の限界効用の変化は，

$$ \frac{u^{\prime}(c_{h})+u^{\prime}(c_{l})}{2}-u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg)=\frac{1}{2}\bigg[\bigg\{u^{\prime}(c_{l})-u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg)\bigg\}-\bigg\{u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg)-u^{\prime}(c_{h})\bigg\}\bigg] $$

となって，

$$ u^{\prime}(c_{l})-u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg)>u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg)-u^{\prime}(c_{h}) $$

の時，不確実性によって将来消費の限界効用は増加する．ここで(53)式の左辺は，消費が平均値より小さくなったことによる限界効用の上昇幅を示し，右辺は，消費が平均値より大きくなったことによる限界効用の低下幅を示す．(53)式が成り立つのは，消費の減少にともなう限界効用の上昇，すなわち消費が少なくなったことによる「消費1単位の価値」の上昇が，消費の増加にともなう限界効用の低下を上回る場合である．個人が危険回避的な行動をとるのは，消費の限界効用が遞減する場合であるが，その限界効用の減少幅が，消費の増加にともなって遞減するとき，すなわち，図1.1のように限界効用曲線が凸関数であるとき，(53)式が成り立つことになる．来期の消費の期待限界効用が不確実性によって上昇すると，それにともなってオイラー方程式(9)の右辺で示される今期の貯蓄の限界効用も上昇する．そのため，個人はより価値の高まった貯蓄を増加させ，その分消費を減らすこととなる．この将来消費の不確実性によって生じた
貯蓄の増加が，予備的貯蓄である．

さらに，不確実性の程度が変化した場合を考察するために， $ c_{t+1} $ に関する不確実性が， $ c_{h} $ が $ c_{h} + \Delta c $ に， $ c_{l} $ が $ c_{l} - \Delta c $ にそれぞれ変化し， $ c_{h} $ と $ c_{l} $ の差 $ c_{h} - c_{l} $ が $ 2\Delta c $ 拡大するという意味で増大した場合を考える．このとき $ E_{t}[u'(c_{t+1})] $ は，次の計算

$$ \begin{aligned}\frac{u^{\prime}(c_{h}+\Delta c)+u^{\prime}(c_{l}-\Delta c)}{2}-\frac{u^{\prime}(c_{h})+u^{\prime}(c_{l})}{2}\\=\frac{\left\{u^{\prime}(c_{h}+\Delta c)-u^{\prime}(c_{h})\right\}+\left\{u^{\prime}(c_{l}-\Delta c)-u^{\prime}(c_{l})\right\}}{2}\\ \cong\frac{\left\{u^{\prime\prime}(c_{h})-u^{\prime\prime}(c_{l})\right\}\Delta c}{2}\end{aligned} $$

より， $ -u''(c_{h})<-u''(c_{l}) $ の場合に増加することがわかる。

ここで−u^{\prime\prime}(c_{h})は，消費量が多い状況（ $ c_{t+1}=c_{h} $ ）で，消費が限界的に1単位増加したときの限界効用 $ u^{\prime}(c_{h}) $ の下落幅を示し，−u^{\prime\prime}(c_{l})は消費量が少ない状況（ $ c_{t+1}=c_{l} $ ）で，消費が限界的に1単位減少したときの限界効用 $ u^{\prime}(c_{l}) $ の上昇幅を示す．不確実性の増加は，元々消費量が多いときの消費がより増加し，少ないときの消費がより減少することである．そのとき，消費量の多いときの限界効用の下落よりも，少ないときの限界効用の上昇の方が大きい場合 $ (-u^{\prime\prime}(c_{h})<-u^{\prime\prime}(c_{l})) $ には，期待値でみた将来消費の限界効用が上昇する．その結果，貯蓄の期待限界効用 $ \beta E_{l}[u^{\prime}(c_{t+1})] $ が大きくなり，今期の消費から貯蓄への代替の誘因が強まることになる（図1.2）．効用関数u^{\prime}の3階の導関数u^{\prime\prime}が定義域において常にu^{\prime\prime}>0となる場合，2階の導関数u^{\prime\prime}が単調増加関数となることから，任意の $ c_{h} $ ， $ c_{l} $ に対して $ -u^{\prime\prime}(c_{h})<-u^{\prime\prime}(c_{l}) $ が成り立つことになる．よってu^{\prime\prime}>0の場合，将来消費の不確実性が増加すると，今期の貯蓄が増加する，すなわち予備的貯蓄が増加することになる．
図 1.2: 不確実性の拡大と予備的貯蓄の誘因

一般に $ F(x,\rho) $ を $ c_{t+1} $ の従う分布関数とし，そのリスクに関するパラメータ- $ \rho $ が $ \rho_{0} $ から $ \rho_{1} $ に変化し，不確実性が mean-preserving-spread の意味で増加したとする $ ^{35} $ . ここである関数 g を考えたとき，g が厳密な凹関数ならば

$$ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF(x,\rho_{0})>\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF(x,\rho_{1}) $$

g が厳密な凸関数ならば

$$ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF(x,\rho_{0})<\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF(x,\rho_{1}) $$

が成り立つ．よって効用関数 u が厳密な凹関数の場合，消費の不確実性が mean-preserving-spread の意味で増加すると，事前の期待効用は減少し，危険回避的な選好を表すことになる．また限界効用 u が厳密な凸関数の場合，消費 $ c_{t+1} $ の不確実性が mean-preserving-spread の意味で増加すると，期待限界効用 $ E_{t}[u'(c_{t+1})] $ は増加し，予備的貯蓄が増加することとなる．
### 7.2 「慎重度」(prudence measure)の理論

オイラー方程式のみを用いた議論では，将来消費の不確実性そのものを仮定しなければならないが，本来将来消費の不確実性は家計の貯蓄＝消費行動の結果としてもたらされるものであり，所得の不確実性を定義し期待効用最大化問題を解くことで，モデルから導出されなければならない．以下では計画期間が2期である家計の問題を考察し，予備的貯蓄と家計の瞬時効用関数 $ u(\cdot) $ との関係をKimball(1990)によって考察する．

単純化のために，家計の割引ファクターδおよび安全利子率rを共にゼロとおくと，家計の期待効用最大化問題は，

$$ \begin{aligned}\max&E_{1}[u(c_{1})+u(c_{2})]\quad u^{\prime}>0,u^{\prime\prime}<0\\&s.t.x_{1}+x_{2}=c_{1}+c_{2}\end{aligned} $$

となり，1階の条件は

$$ u^{\prime}(c_{1})=E_{1}[u^{\prime}(x_{1}+x_{2}-\quad c_{1})] $$

となる．来期(第2期)の労働所得 $ x_{2} $ が確実，すなわち $ x_{2}=x_{D2} $ となる場合の今期（第1期）の消費および貯蓄をそれぞれ $ c_{D1} $ ， $ s_{D1} $ とおくと，(54)式は

$$ u^{^{\prime}}(c_{D1})=u^{^{\prime}}(x_{1}+x_{D2}-\ c_{D1}) $$

となることから， $ c_{D1} $ について解くと，

$$ c_{D1}=\frac{x_{1}+x_{D2}}{2} $$

$$ \begin{aligned}\rightarrow\quad&s_{D1}\equiv x_{1}-c_{D1}=\frac{x_{1}-x_{D2}}{2},\end{aligned} $$

$$ c_{D2}=c_{D1}=\frac{x_{1}+x_{D2}}{2} $$

となって, 今期の貯蓄 $ s_{D1} $ は今期の労働所得から来期の労働所得を差し引いた差の半分に等しくなる. 来期の労働所得が不確実, すなわち $ \varepsilon_{2} $ を平均ゼロ, 分散 $ \sigma_{s}^{2} $ の確率変数として $ x_{2} $ が $ x_{2} = x_{D2} + \varepsilon_{2} $ となる場合の今期の消費および貯蓄をそれぞれ $ c_{R1}, s_{R1} $ とおくと, $ u' $ が厳密な凸関数の場合, (54)式より

$$ u^{\prime}(c_{R1})=E_{1}[u^{\prime}(x_{1}+x_{D2}+\varepsilon_{2}-\ c_{R1})]>u^{\prime}(x_{1}+x_{D2}-\ c_{R1}) $$

となることから， $ c_{R1} $ について解くと $ c_{R1} < c_{D1} $ が得られる．
以上のモデルで，「等価予備的プレミアム」(Equivalent Precautinary Premium, EPP) $ \psi(s_{R1}, \varepsilon_{2}) $ および「補償予備的プレミアム」(Compensating Precautinary Premium, CPP) $ \psi^{*}(s_{D1}, \varepsilon_{2}) $ をそれぞれ

$$ \begin{aligned}&E_{t}[u^{\prime}(s_{R1}+x_{D2}+\mathfrak{E}_{2})]=u^{\prime}(s_{R1}+x_{D2}-\ \psi(s_{R1},x_{D2},\mathfrak{E}_{2}))\\&E_{t}[u^{\prime}(s_{D1}+x_{D2}+\mathfrak{E}_{2}+\ \psi^{*}(s_{D1},x_{D2},\mathfrak{E}_{2}))]=u^{\prime}(s_{D1}+x_{D2})\\ \end{aligned} $$

と定義する．このとき，EPPは，来期の労働所得の不確実性$\varepsilon_{2}$を取り去っても，貯蓄が変化しないよう来期の所得から差し引かなければならない固定額であり，CPPは，来期の労働所得に不確実性が加わっても，貯蓄が変化しないよう来期の所得に付け加えなければならない額を表す．(55)式とEPPを用いれば，不確実性下の貯蓄額$s_{R1}$は

$$ \begin{aligned}s_{R1}&=s_{R}(x_{1},x_{D2},\mathfrak{E}_{2})\\&=s_{D}(x_{1},x_{D2}-\quad\Psi(s_{R},x_{D2},\mathfrak{E}_{2}))\\&=\frac{x_{1}+\quad\Psi(s_{R1},x_{D2},\mathfrak{E}_{2})-x_{D2}}{2}\\ \end{aligned} $$

となり，EPP が大きいほど貯蓄も大きくなることがわかる $ ^{36} $

この EPP と CPP について，消費の限界効用にマイナスをかけた- $ u'(c_{2}) $ を Pratt (1964) の議論における効用関数とみなすことで，その「等価リスクプレミアム」および「補償リスクプレミアム」に関する結果がそのまま適用できる．まず，不確実性 $ \varepsilon_{2} $ が非常に小さい場合，「絶対的慎重度」(absolute prudence measure) $ \eta(c_{2}) $ を

$$ \boldsymbol{\eta}(c_{2})=-\frac{\boldsymbol{u}^{\prime\prime\prime}(c_{2})}{\boldsymbol{u}^{\prime\prime}(c_{2})} $$

とおけば, EPP と CPP は任意の s および $ x^{D} $ に対して

$$ \boldsymbol{\psi}(s,x_{D},\boldsymbol{\varepsilon}_{2})=\frac{1}{2}\boldsymbol{\eta}(s+x_{D})\boldsymbol{\sigma}_{s}^{2}+o(\boldsymbol{\sigma}_{\varepsilon})=\boldsymbol{\psi}^{*}(s,x_{D},\boldsymbol{\varepsilon}_{2}) $$

となる．ただし， $ o(\sigma_{\varepsilon}) $ は $ \sigma_{s}^{2} $ がゼロに収束するとき， $ \sigma_{s}^{2} $ よりも速くゼロに収束す
るような$\sigma_{s}^{2}$ の関数である．さらに，不確実性$\varepsilon_{2}$ が十分大きく，(58)式の近似が不適当な場合にも，2つの瞬時的効用関数$u_{A}$ と$u_{B}$ について，それぞれの「絶対的慎重度」$\eta_{A}$ と$\eta_{B}$ との間に，すべての$c$ について

$$ \eta_{A}(c)=-\frac{u_{A}{}^{\prime\prime\prime}(c)}{u_{A}{}^{\prime\prime}(c)}>-\frac{u_{B}{}^{\prime\prime\prime}(c)}{u_{B}{}^{\prime\prime}(c)}=\eta_{B}(c) $$

が成り立つならば，任意の c および不確実性εに対して，

$$ \Psi_{A}(c,\varepsilon)>\Psi_{B}(c,\varepsilon) $$

および

$$ \boldsymbol{\psi}_{A}^{*}(c,\boldsymbol{\varepsilon})>\boldsymbol{\psi}_{B}^{*}(c,\boldsymbol{\varepsilon}) $$

が成り立つことが示される．つまり，「絶対的慎重度」が大きいほど，「予備的プレミアム」が大きくなるのである $ ^{37} $ ．

以上の「慎重度」の議論より，瞬時効用関数の3階微分と2階微分の比である「絶対的慎重度」が，「予備的貯蓄」の大きさを示す指標となることが明らかになった．ここで注意しなければならないのは，絶対的慎重度が(58)式で示されるような予備的貯蓄の量的指標となるのは，(58)式の近似が正当化できる場合，すなわち，起こりうるすべての所得変化が小さい場合に限られる．所得変動の分散が小さいからといって，「起こりうるすべての所得変化が小さ」くなるとは限らない．どれほど小さな確率であっても，大きな所得変化の起こる可能性がある場合，予備的貯蓄の実際の大きさは「慎重度」から導かれる水準から乖離することになる $ ^{38} $ ．

### 7.3 無限期間の効用最大化と予備的貯蓄

計画期間が無限の場合，予備的貯蓄の生じるような瞬時効用関数を持つ家計の，動学的最大化問題の解を解析的に求めることは困難である．ところが，瞬
時効用関数 $ u(c_{t}) $ が絶対的危険回避度一定(CARA)型

$$ u(c_{t})=-\exp(-\alpha c_{t}),\alpha>0 $$

の場合 $ ^{39} $ ，3階微分が

$$ u^{\prime\prime\prime}\left(c_{t}\right)=\alpha^{3}\mathrm{e x p}(-\alpha c_{t})>0 $$

と正であることから，家計には予備的貯蓄の誘因が存在し，しかも解析的に解が得られることがわかる．以下では，瞬時効用関数が CARA 型の場合に，予備的貯蓄の存在が消費の確率過程におよぼす影響に関する，Caballero (1990)の研究を紹介する．

資産の収益率 r が時間を通じて一定であると仮定し, 労働所得 $ \left\{x_{t}\right\}_{t=0}^{\infty} $ が定常な ARMA 過程に従うとすると, 消費関数および時系列について, 以下の 2 式

$$ c_{t}=y_{p t}-\Gamma/r $$

$$ c_{t+1}=c_{t}+\Gamma+\xi_{t+1} $$

が得られる（Caballero (1990), Proposition 1）. ただし $ \Gamma $ は，

$$ \Gamma=(1/\alpha)\mathrm{ln}E_{t}[\mathrm{exp}(-\alpha\xi_{t})]+(1/\alpha)\mathrm{ln}\delta\left(1+r\right) $$

で定義される定数である．証明は，消費過程$\{c_{t}\}_{t=0}^{\infty}$の従う関数形を

$$ c_{t+1}=\phi_{t}c_{t}+\Gamma_{t}+\mathfrak{v}_{t+1} $$

と予想(guess)し（ただし$\phi_{t}$，$\Gamma_{t}$は確定的な変数，$\nu_{t+1}$はホワイトノイズ），オイラー方程式および予算制約に逐次代入し整理して具体的に確認(verify)する方法で行われる．また(60)式における消費の1階階差$\Delta c_{t}\equiv c_{t+1}-c_{t}$に関する性質（$\Delta c_{t}$が定常分布に従う）は，恒常所得過程の誤差項$\xi_{t+1}$の定常性と，オイラー方程式

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{\alpha}\cdot\exp(-\boldsymbol{\alpha}c_{t})=\delta\left(1+r\right)\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{E}_{t}[\exp(-\boldsymbol{\alpha}c_{t+1})]\\&1=\delta\left(1+r\right)E_{t}[\exp(-\boldsymbol{\alpha}(c_{t+1}-c_{t}))]\\ \end{aligned} $$

が階差$\Delta c_{t}$ だけの方程式として表せることに由来する$^{40}$

(59)式より，消費は恒常所得のみに依存して，予期された今期の所得変化には影響を受けないこともわかる．さらに(60)式より，消費の確率過程はドリフト付きのマーティングールに従うことがわかる．特に利子率rが充分小さく，
$$ \frac{1}{\alpha}\mathrm{ln}E_{t}[\exp(-\alpha\xi_{t+1})]=-\frac{1}{\alpha}\mathrm{ln}\delta\left(1+r\right) $$

が成り立つ場合には$\Gamma=0$ となることから，消費は純粋なランダム・ウォークとなる．予備的貯蓄の大きさを示すパラメーターΓは，(61)式での定義より，$\xi_{t+1}$ がmean-preserving-spreadの意味でよりリスキーになる場合に増加することがわかる．

以上より，CARA 型効用関数の下での予備的貯蓄の存在は，消費の時系列に関しては，確実性等価モデルで得られた性質に対して影響をおよばさず，そのため，過剰感応や過剰平滑を説明する要因にはならないことが明らかになった．これに対して，利子率 r と消費の成長率 $ \Delta c_{i}/c_{t} $ との関係については，期待成長率 $ E_{t}[\Delta c_{i}/c_{t}] $ がゼロとなる利子率 r の水準が，確実性等価モデルに比べて小さくなることが示された．

### 7.4 不確実性の変化と予備的貯蓄

今までは労働所得のイノヴェーション$\varepsilon_{t}$が常に同一の分布に従う,すなわち所得の不確実性の程度が時間を通じて一定の場合を考察してきたが,ここでは,$\varepsilon_{t}$を生み出す分布が,時間を通じて変化する場合について,前節に引き続きCaballero(1990)の分析を紹介する.具体的には,(59)式で予備的貯蓄を表していた項Γが時間を通じて一定ではなく,その確率過程$\{\Gamma_{t}\}_{t=0}^{\infty}$が,

$$ E_{t}[\Gamma_{t+s}]-E_{t-1}[\Gamma_{t+s}]=\varphi_{s}z_{t}\qquad\mathrm{w i t h}\qquad\sum_{j=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{j}\varphi_{j}<\infty $$

で表される場合を考える．このとき消費関数およびその時系列について

$$ c_{t}=y_{p t}-\Gamma_{t}/r-r\sum_{s=1}^{\infty}\biggl(\frac{1}{1+r}\biggr)^{s+1}\sum_{j=1}^{s}\sum_{h=0}^{t}(\varphi_{h+j-1}-\varphi_{h})z_{t-h} $$

$$ c_{t+1}=c_{t}+\Gamma_{t}+\xi_{t+1}-\vartheta z_{t+1} $$

が得られる（Caballero (1990), Proposition 2）. ただし $ \Gamma_{t} $ は

$$ \Gamma_{t}=(1/\alpha)\mathrm{l n}E_{t}[\mathrm{e x p}(-\alpha(\xi_{t+1}-\vartheta z_{t+1}))]+(1/\alpha)\mathrm{l n}\delta\;(1+r) $$

で与えられ，は

$$ \vartheta=\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\varphi_{s} $$
で定義される定数である $ ^{41} $ . $ \vartheta > 0 $ の場合, (64)式より, 予備的貯蓄 $ \Gamma_{t} $ のイノヴェーション $ z_{t} $ は当期の消費 $ c_{t} $ と負の相関を持つことがわかる.

予備的貯蓄$\Gamma_{t}$と労働所得$x_{t+1}$あるいは恒常所得$y_{pt+1}$の不確実性との関係については，消費$c_{t+1}$のイノヴェーション$\nu_{t+1}$の条件付き分布が正規分布で近似でき，恒常所得$y_{pt+1}$のイノヴェーション$\xi_{t+1}$の分散$\sigma_{\xi_{t+1}}^{2}$が，次の確率過程

$$ E_{t}[\sigma_{\xi t+s+1}^{2}]-E_{t-1}[\sigma_{\xi t+s+1}^{2}]=\varphi_{s}\lambda_{t}\qquad\mathrm{w i t h}\qquad\sum_{j=0}^{\infty}\binom{1}{1+r}^{j}\varphi_{j}<\infty $$

に従い（$\lambda_{t}$ は i.i.d に従うホワイトノイズ），かつ $\mathrm{Cov}(\xi_{t+s}, \lambda_{t+1})$ が（ほぼ）定数と見なせるとの仮定の下で，

$$ c_{t}=y_{p t}-\frac{1}{r}\Big[\frac{\alpha\sigma_{\mathfrak{v}t+1}^{2}}{2}+\frac{1}{\alpha}\mathrm{l n}\delta\left(1+r\right)\Big] $$

$$ -\ \frac{\alpha r}{2}\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\sum_{j=1}^{s}\sum_{h=0}^{t}(\varphi_{h+j-1}-\varphi_{h})\lambda_{t-h} $$

$$ c_{t+1}=c_{t}+\frac{\alpha\sigma_{\mathfrak{v}t+1}^{2}}{2}+\frac{1}{\alpha}\mathrm{ln}\delta\left(1+r\right)+\mathfrak{v}_{t+1} $$

$$ \mathfrak{v}_{t+1}=\xi_{t+1}-\frac{\alpha\vartheta\lambda_{t+1}}{2} $$

が得られる（Caballero (1990), Corollary 2） $ ^{42} $ .

ここで予備的貯蓄に関する$\sigma_{u+1}^{2}$の大きさは,恒常所得のイノヴェーションの分散$\sigma_{\xi t+1}^{2}$プラス定数となることから（補論$\mathrm{F}(\mathrm{a}11)$式を参照のこと），(69)式は，将来所得$x_{t+1}$の不確実性$\sigma_{\xi t+1}^{2}$の増大が，今期（$t$期）から来期（$t+1$期）にかけての消費の増分$\Delta c_{t}$を増加させること，すなわち消費の成長をもたらすことを示している$^{43}$．また(69)式および(70)式より，$t+1$期に生じた不確実性のイノヴェーション$\lambda_{t+1}$は，今期の消費の増分$\Delta c_{t}\equiv c_{t+1}-c_{t}$と負の相関を持つことがわかる．さ
らに(67)式より，

$$ \boldsymbol{\sigma}^{2}_{\xi_{t+1}}=\mathbf{C}+\lambda_{t}+\boldsymbol{\varphi}_{1}\lambda_{t-1}+\boldsymbol{\varphi}_{2}\lambda_{t-2}+\cdots $$

となることから（ただし C は定数項），過去（t-s 期）に生じた不確実性のイノ

ヴェーション $ \lambda_{t-s} $ は， $ \varphi_{s} $ が正のとき $ \Delta c_{t} $ と正の相関を持つことがわかる．

労働所得のイノヴェーション$\varepsilon_{t+1}$(および恒常所得のイノヴェーション$\xi_{t+1}$)と，その分散のイノヴェーション$\lambda_{t+1}$とは，互いに相関する可能性がある．(69)式の不確実性に(71)式を代入すると，消費の変化$\Delta c_{t}$は，

$$ \Delta c_{t}=\xi_{t+1}+\frac{\alpha}{2}(\mathbf{C}-\vartheta\lambda_{t+1}+\lambda_{t}+\varphi_{1}\lambda_{t-1}+\varphi_{2}\lambda_{t-2}+\cdots) $$

となる．5.1 節の議論より，労働所得 $ x_{t} $ が定常な確率過程に従うなら， $ \xi_{t-i} $ （すなわち $ \varepsilon_{t-i} $ ）と $ \lambda_{t-i} $ が負の相関を持つ場合，すなわち，不確実性が増すと所得が減少するとき，消費の増分 $ \Delta c_{t} $ は所得の予期された変化 $ E_{t}[\Delta x_{t}] $ と正の相関を持ち，過剰感応が観察されることになる．労働所得 $ x_{t} $ の確率過程が単位根を持つなら， $ \xi_{t-i} $ （すなわち $ \varepsilon_{t-i} $ ）と $ \lambda_{t-i} $ が正の相関を持つとき，すなわち，不確実性が増すと所得が増加する場合に，消費の増分 $ \Delta c_{t} $ は所得の予期された変化 $ E_{t}[\Delta x_{t}] $ と正の相関を持ち，過剰感応が観察されることになる．また $ \xi_{t+1} $ と $ \lambda_{t+1} $ が正の相関を持つ場合，所得変化の影響と不確実性変化の影響が互いに相殺するため，消費の予期されない変化 $ \zeta_{t+1} = \xi_{t+1} - \alpha \vartheta \lambda_{t+1}/2 $ の分散が

$$ \begin{aligned}\mathrm{Var}(\zeta_{t+1})&=\mathrm{Var}(\xi_{t+1})+\alpha^{2}\vartheta^{2}\mathrm{Var}(\lambda_{t+1})/4-\alpha\vartheta\mathrm{Cov}(\xi_{t+1},\lambda_{t+1})\\&<\mathrm{Var}(\xi_{t+1})\end{aligned} $$

となる可能性，すなわち過剰平滑の起こる可能性もある。

以上より，CARA 型効用関数の下で予備的貯蓄の誘因が存在する場合，所得の不確実性のレベル $ \sigma_{\xi t+1}^{2} $ と消費の階差 $ \Delta c_{t} $ との間に正の相関が生じることがわかった．また，労働所得に対するショックとその不確実性に対するショックの間の相関関係を考慮すると，労働所得の確率過程が単位根を持つ場合に，CARA 型瞬時効用関数の下での予備的貯蓄の存在によって，過剰感応と過剰平滑を同時に説明できることが分かった．