以上の結果は, 基本モデルでパラメータを推定した方がより高い信頼性をもつ推定値を得ることができる事実を示している。これは, 時間集計が情報の損失を伴なうことからも予想される結果である。ところで同じ情報量の損失でも, ストック量の方がフロー量よりも大きいことが直感的に予想される。それは, 集計モデルでのストック量がもとの時系列からの標本抽出(point sampling)であるのに対して, フロー量は一種の平均をとっていることになるが (time averaging), 一応すべての標本を用いていることによる。これを示すためには,

$$ var=(\underline{\hat{\beta}}_{s}^{*})-var(\underline{\hat{\beta}}_{f}^{*}) $$

あるいは,

$$ \varPi=(\operatorname{var}(\hat{\underline{\beta}}_{f}^{*}))^{-1}-(\operatorname{var}(\hat{\underline{\beta}}_{s}^{*}))^{-1} $$

が正定符号であることを証明すればよい。

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{\varPi}&=\frac{1}{\sigma^{2}}\boldsymbol{x}^{^{\prime}}\left(\frac{1}{q}\boldsymbol{A}_{f}^{^{\prime}}\boldsymbol{A}_{f}-\boldsymbol{A}_{s}^{^{\prime}}\boldsymbol{A}_{s}\right)\boldsymbol{x}\\&=\frac{1}{\sigma^{2}}\boldsymbol{x}^{^{\prime}}\boldsymbol{H}\boldsymbol{x}\\\boldsymbol{H}&=\boldsymbol{G}\otimes\boldsymbol{I},\quad\boldsymbol{G}=\left(\begin{aligned}&11\cdots1\\&\vdots\ddots\\&1\quad1-\frac{1}{q}\end{aligned}\right)\end{aligned} $$

Hは一般に正定符号とはならないが， $ x_{t} $ が共分散定常で独立な確率過程にしたがうというような特別な場合には，Πは漸近的に正定符号となる。フロー量と価格を比較した場合，時間集計による情報量の損失が等しいことは，直感的にも明らかであり，またパラメーターの精度に関してはΠ=0であることから確かめられる。

以上の議論を,線型回帰モデルに基づく予測誤差の分析に拡張することは容易である。いま,標本期間外の予測期間で,従属変数が,

$$ \underline{y}_{*}=x_{*}\underline{\beta}+\underline{u}_{*} $$

によって生成されるものとする。

ここに， $ y_{*} $ は $ g \times 1 $ ， $ x_{*} $ は $ g \times k $ ， $ u_{*} $ は $ g \times 1 $ ，の次元をもつものとする。誤差項については以前の性質が保たれるものとして，

$ E\left[\underline{u}_{*}\right]=0,E\left[\underline{u}_{*}\underline{u}_{*}^{'}\right]=\sigma^{2}I,E\left[\underline{u}\underline{u}_{*}^{'}\right]=0 $ を仮定する。

モデル(3.3)の最小二乗推定量に基づく予測誤差は,

$$ (3.4)\quad\underline{\hat{y}}_{*}-\underline{y}_{*}=x_{*}(\underline{\hat{\beta}}-\underline{\beta})-\underline{u}_{*} $$

となる。ここで,以前と同様な $ N\times g $ の集計化行列 $ A_{*g} $ を用いて,

$$ \underline{{Y}}_{*}=A_{*g}\underline{{y}}_{*},\;X_{*}=A_{*g}x_{*},\;\underline{{u}}_{*}=A_{*g}\underline{{u}}_{*}, $$

と定義すれば予測期間における集計モデルは,

$$ \underline{Y}_{*}=X_{*}\beta+\underline{U}_{*} $$

となる。 $ Y_{*} $ を $ A_{*g}\hat{y}_{*} $ を用いて予測したときの誤差は,

$$ \begin{aligned}\underline{\hat{e}}_{*0}&=A_{*g}\underline{\hat{y}}_{*}-A_{*g}\underline{y}_{*}\\&=A_{*g}x_{*}(\underline{\hat{\beta}}-\underline{\beta})-A_{*g}\underline{u}_{*}\end{aligned} $$

と表わせる。そして,平均二乗誤差行列は,

(3.7)

$$ \begin{aligned}MSE(\hat{\underline{e}}_{*0})&=E\quad\langle\hat{\underline{e}}_{*0}\hat{\underline{e}}_{*0}^{^{\prime}}\rangle\\&=E\quad[(\hat{\underline{e}}_{*0}-E(\hat{\underline{e}}_{*0}))(\hat{\underline{e}}_{*0}-E(\hat{\underline{e}}_{*0}))^{\prime}]+E\quad\langle\hat{\underline{e}}_{*0}\rangle\quad E\quad\langle\hat{\underline{e}}_{*0}\rangle\\&=A_{*g}x_{*}\operatorname{var}(\hat{\underline{\beta}})x_{*}^{^{\prime}}A_{*g}^{^{\prime}}+A_{*g}E\quad\langle\underline{u}_{*}\underline{u}_{*}^{^{\prime}}\rangle\quad A_{*g}^{^{\prime}}\\&\quad+A_{*g}x\quad[E(\hat{\underline{\beta}})-\underline{\beta}]\quad\langle E(\hat{\underline{\beta}})-\underline{\beta}\rangle^{\prime}\quad x_{*}^{^{\prime}}A_{*g}^{^{\prime}}\\&=A_{*g}x_{*}[MSE(\hat{\underline{\beta}}-\underline{\beta})]\quad x_{*}^{^{\prime}}A_{*g}^{^{\prime}}+A_{*g}E\quad\langle\underline{u}_{*}\underline{u}_{*}^{^{\prime}}\rangle\quad A_{*g}^{^{\prime}}\\ \end{aligned} $$

他方, 標本期間内の集計モデル(3.2)に基づく予

測期間における $ A_{*g}y_{*} $ の予測値を $ A_{*g}x_{*}\hat{\beta}_{m}^{*} $ とす $ \hat{e}_{*1}=A_{*g}x_{*}\left(\hat{\beta}_{m}^{*}-\beta\right)-A_{*g}u_{*} $

れば,集計モデルに基づく予測誤差は,と表される。そして,平均誤差行列は

(3.8) $ MSE(\hat{\underline{e}}_{*1}) = A_{*g}x_{*}[MSE(\hat{\underline{\beta}}_{m}^{*} - \underline{\beta})]x_{*}^{'}A_{*g}^{'} + A_{*g}\underline{u}_{*}\underline{u}_{*}^{'}A_{*g}^{'} $ となる。(3.8)から(3.7)を引けば,

$$ \begin{aligned}MSE\big(\hat{\underline{e}}_{*1}\big)&-MSE\big(\hat{\underline{e}}_{*0}\big)\\&=A_{*g*}x\quad\big\lfloor MSE\big(\hat{\underline{\beta}}_{m}^{*}-\underline{\beta}\big)-MSE\big(\hat{\underline{\beta}}-\underline{\beta}\big)\big\rfloor x_{*}^{^{\prime}}A_{*g}^{^{\prime}}\end{aligned} $$