$$ \underline{\hat{\beta}}=(x^{^{\prime}}x)^{-1}x^{^{\prime}}\underline{y} $$

は最良線型不偏推定量であり,その分散共分散行列は,

$$ \mathrm{var}(\hat{\underline{\beta}})=E\left[(\hat{\underline{\beta}}-\underline{\beta})(\hat{\underline{\beta}}-\underline{\beta})^{\prime}\right]=\sigma^{2}(x^{\prime}x)^{-1} $$

となる。次に,変数x,yの時間集計されたもの,

X，Yによるモデル，

(3.2) $ Y = X\beta + U $

$$ \begin{aligned}&\underline{Y}=\begin{pmatrix}Y_{1}\\ \vdots\\ Y_{n}\end{pmatrix},X=\begin{pmatrix}X_{iT}\end{pmatrix};i=1,2,\cdots,k\\&\underline{U}=\begin{pmatrix}U_{1}\\ \vdots\\ U_{N}\end{pmatrix}\\ \end{aligned} $$

を考え,集計モデルと呼ぶ。ここでn=qNとする。qは時間集計の個数で,たとえば月次を四半期に集計する場合にはq=3である。変数がフロ一量の場合は,たとえば,

$$ Y_{T}=\sum_{i=1}^{q}y_{q(T-1)+i} $$

であり, ストック量の場合には,

$$ Y_{T}=y_{q T} $$

価格, 金利といった指標の場合には,

$$ Y_{T}=\frac{1}{q}\sum_{i=1}^{q}y_{q(T-1)+i} $$

となる。いま行列表示を行うためにフロー量, ストック量, 価格に対する $ N \times n $ 集計化行列 $ A_{f}, A_{s}, A_{p} $ をそれぞれ次のように定義する。

$$ \begin{aligned}A_{f}&=\begin{pmatrix}{{{\overbrace{11\cdots1}^{q}}}}&{{{0}}} \\{{{11\cdots1}}} \\{{{\ddots}}} \\{{{0}}}&{{{11\cdots1}}}\end{pmatrix}\\A_{s}&=\begin{pmatrix}{{{0\cdots1}}}&{{{0}}} \\{{{0\cdots1}}} \\{{{\ddots}}} \\{{{0}}}&{{{0\cdots1}}}\end{pmatrix}\\A_{p}&=\frac{1}{q}A_{f}\end{aligned} $$

この集計化行列には次の性質がある。

$$ \begin{aligned}&A_{f}A_{f}^{\prime}=qI_{N},A_{s}A_{s}^{\prime}=I_{N},\\&A_{p}A_{p}^{\prime}=\frac{1}{q}I_{N o}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&I_{n}-\frac{1}{q}\overset{'}{A_{f}}A_{f},\ I_{n}-A_{s}^{^{\prime}}A_{s},\\&I_{n}-q\overset{'}{A_{p}}A_{p}\\ \end{aligned} $$

は階数 N の巾等行列で, 正定符号である。いま基本モデル (3.1) において説明変数, 被説明変数ともに同種の変数と仮定する。集計モデル (3.2) において,

$$ \begin{aligned}\underline{Y}=A_{m}\underline{y},&X=A_{m}x,&\underline{U}=A_{m}\underline{u}\\ &;m=f,s,p\end{aligned} $$

である。集計モデルでの誤差項 $ U_{i} $ は, $ E\left[U\right]=0 $ で,

$$ \begin{aligned}E\setminus\underline{U}\underline{U}^{^{\prime}}&=E\setminus\left[A_{m}\underline{u}\underline{u}^{^{\prime}}\right.\left.A_{m}^{^{\prime}}\right]\\&=A_{m}E\setminus\underline{u}\underline{u}^{^{\prime}}\setminus\left.A_{m}^{^{\prime}}\right.\\&=\sigma^{2}A_{m}\left.A_{m}^{^{\prime}}\right.\\&=q_{m}\sigma^{2}I\quad\text{；}m=f,s,p\end{aligned} $$

である。ただし， $ q_{m} $ は

$$ q_{m=}\left\{\begin{array}{l}q\quad\quad\quad if\quad\quad m=f\\1\quad\quad\quad if\quad\quad m=s\\\displaystyle\frac{1}{q}\quad\quad\quad if\quad\quad m=p\\\end{array}\right. $$

となる定数である。集計モデルにおけるパラメ

一ターβの最小二乗推定量,

$$ \begin{aligned}\hat{\underline{\beta}}_{m}^{*}=&\left(X^{^{\prime}}X\right)^{-1}X^{^{\prime}}\underline{Y}\\=&\left(x^{^{\prime}}A_{m}^{^{\prime}}A_{m}x\right)^{-1}x^{^{\prime}}A_{m}^{^{\prime}}y;\ m=f,s,p\end{aligned} $$

は不偏推定量であり, 分散共分散行列は,

$$ \begin{aligned}\mathrm{var}(\hat{\underline{\beta}}_{m}^{*})&=E\left[((\hat{\underline{\beta}}^{*}-\underline{\beta})(\hat{\underline{\beta}}^{*}-\underline{\beta})^{\prime}\right]\\&=q_{m}\sigma^{2}(x^{^{\prime}}A_{m}^{^{\prime}}A_{m}x)^{-1}\end{aligned} $$

ところで,集計モデルでの推定量$\hat{\beta}_{m}^{*}$の精度が基本モデルでの推定量$\hat{\beta}$よりも低いことを示すためには,

$$ \mathrm{v a r}(\hat{\beta}^{*})-\mathrm{v a r}(\beta) $$

が正定符号であること,あるいは同値であるが,

$$ I I_{m}=(\mathrm{v a r}(\hat{\underline{{\beta}}}))^{-1}-(\mathrm{v a r}(\underline{{\beta}}_{m}^{*}))^{-1} $$

が正定符号になることを示せばよい。

$$ \begin{aligned}II_{m}=&\frac{1}{\sigma^{2}}(\boldsymbol{x}^{^{\prime}}\boldsymbol{x})-\frac{1}{q_{m}}\frac{1}{\sigma^{2}}(\boldsymbol{x}^{^{\prime}}A_{m}^{^{\prime}}A_{m}\boldsymbol{x})\\=&\frac{1}{\sigma^{2}}\boldsymbol{x}^{^{\prime}}(I-\frac{1}{q_{m}}A_{m}^{^{\prime}}A_{m})\boldsymbol{x}\end{aligned} $$

であるから,集計行列(ii)の性質から $ II_{m} $ は正定符号であり命題は示された。