# 補論 モデル体系とパラメーターの概要

### 1. 家計部門の経済行動

家計は(1)式の効用関数を保有するものと仮定する。

$$ \begin{aligned}\mathbf{U}=\mathbf{U}[\mathbf{H}(\prod_{\mathrm{j}=1}^{18}\mathbf{X}_{\mathrm{j}}^{\lambda_{\mathrm{j}}},\ell),\mathbf{C}_{\mathrm{F}}]\\ \mathrm{j}=1,\cdots\cdots,18\end{aligned} $$

ただし、Hは財 $ X_{j} $ と余暇 $ \ell $ の関数であり、 $ C_{F} $ は将来消費である。HとUにはCES型関数を想定し、財 $ X_{j} $ はコブ・ダグラス型で集計されているものとする。具体的に書くと次のような関数である。

$$ \begin{aligned}\mathbf{H}=&[(1-\boldsymbol{\beta})^{\frac{1}{\sigma_{1}}}\overline{\mathbf{X}}^{\frac{\sigma_{1}-1}{\sigma_{1}}}+\boldsymbol{\beta}^{\frac{1}{\sigma_{1}}}\\\boldsymbol{\ell}^{\frac{\sigma_{1}-1}{\sigma_{1}}}]^{\frac{1}{\sigma_{1}-1}}\\\mathbf{U}=&[\boldsymbol{\alpha}^{\frac{1}{\sigma_{2}}}\mathbf{H}^{\frac{\sigma_{2}-1}{\sigma_{2}}}+(1-\boldsymbol{\alpha})^{\frac{1}{\sigma_{2}}}\\\mathbf{C}_{\mathrm{F}}^{\frac{\sigma_{2}-1}{\sigma_{2}}}]^{\frac{1}{\sigma_{2}-1}}\end{aligned} $$

ただし、$\overline{\mathrm{X}}$ は財$\mathrm{X}_{\mathrm{j}}$ の合成消費財を表わし、そのウェイトは$\lambda_{\mathrm{j}}$ で与えられる。$\sigma_{1}$ は合成消費財$\overline{\mathrm{X}}$ と余暇$\ell$ の代替弾力性、$\sigma_{2}$ は現在消費$\mathrm{H}$ と将来消費$\mathrm{C}_{\mathrm{F}}$ の代替弾力性、$\alpha$ と$\beta$ はそのウェイトである。

### (1.1) 消費、貯蓄、余暇の決定

家計は貯蓄、現在消費、余暇の選択を同時に行なう。ここでその決定の概要を述べておこう。先ず、貯蓄と将来消費の関係を導出しておこう。j所得階級家計の余暇価格 $ P_{L_{j}}^{*} $ は要素税と所得税抜きの労働価格に等しいから、次式が成立する。

$$ \mathbf{P}_{\mathrm{Lj}}^{*}=\mathbf{P}_{\mathrm{L}}(1-\mathbf{M}\mathbf{R}_{\mathrm{j}}) $$

ただし、$\mathrm{P}_{\mathrm{L}}$ は要素税抜きの労働価格、$\mathrm{MR}_{\mathrm{j}}$ は j 所得階級の限界所得税率である。貯蓄を S、貯蓄の価格を $\mathrm{P}_{\mathrm{s}}$、$\gamma$ を資本の純収益率、$\mathrm{P}_{\mathrm{kj}}^{*}$ を j 所得階級の税抜き実効資本価格とする。労働と同様に $\mathrm{P}_{\mathrm{kj}}^{*}$ は次式のように書ける。

$$ \mathbf{P}_{\mathrm{kj}}^{*}=\mathbf{P}_{\mathrm{k}}(1-\mathrm{V}_{\mathrm{j}}\mathbf{M}\mathbf{R}_{\mathrm{j}}) $$

ただし、$\mathrm{P_{k}}$ は税抜き資本価格、$\mathrm{V_{j}}$ は資本所得に課税される割合である。貯蓄によって生じる収益は将来消費$\mathrm{C_{F}}$ をファイナンスすることになる。将来消費$\mathrm{C_{F}}$ の価格を$\overline{\mathrm{P}}$ （これはmyopicな仮定の下で、$\overline{\mathrm{X}}$ の価格にも等しい）とすると、次式が成立する。

$$ \mathbf{P}_{\mathrm{k j}}^{*}\gamma\mathbf{S}=\overline{\mathbf{P}}\mathbf{C}_{\mathrm{F}} $$

従って、貯蓄と将来消費の関係は次のように表現できる。

$$ \mathrm{SP_{s}=(P_{s}\overline{P}/P_{kj}^{*}\gamma)C_{F}} $$

この関係式は、予算制約式にとって重要な情報を与えている。

### (1.2) ∪の最大化

先ず第1段階として、与えられた予算制約式の下で、Uを最大化することによって得られた結果を書いておこう。繁雑化を避けるために途中の計算手続を省略している。現在消費Hと将来貯蓄 $ C_{F} $ は次式のように与えられる。

$$ \begin{aligned}\mathbf{H}&=\alpha\mathbf{I}/(\mathbf{P}_{\mathrm{H}}^{\sigma^{2}}\Delta_{2})\\\mathbf{C}_{\mathrm{F}}&=(1-\alpha)\mathbf{I}/[(\mathbf{P}_{\mathrm{s}}\overline{\mathbf{P}}/\mathbf{P}_{\mathrm{k}}^{*}\gamma)^{\sigma^{2}}\Delta_{2}]\end{aligned} $$

ただし、$\mathrm{P}_{\mathrm{H}}$ は現在合成消費の価格、エは拡張された可処分所得、$\Delta_{2}$ は(10)式で与えられる。

$$ \begin{aligned}\Delta_{2}=&\alpha\mathbf{P}_{\mathrm{H}}^{1-\sigma_{2}}+(1-\alpha)(\mathbf{P}_{\mathrm{s}}\overline{\mathbf{P}}/\mathbf{\alpha}_{\mathrm{k}}^{*})^{1-\sigma_{2}}\end{aligned} $$

(7)式と(9)式によって、貯蓄Sは次式のように与えられる。

$$ \begin{aligned}\mathbf{S}&=(1-\alpha)\mathbf{I}/[\mathbf{P}_{\mathrm{s}}^{\sigma^{2}}(\overline{\mathbf{P}}/\mathbf{\varepsilon}_{\mathrm{k}}^{\mathrm{*}}\gamma)^{\sigma_{2}-1}\Delta_{2}]\end{aligned} $$

### (1.3) Hの最大化

次に第2段階として、Hを最大にするような$\overline{\mathrm{X}}$とlを求めてみると次式のようになる。

$$ \overline{\mathbf{X}}=(1-\beta)(\mathbf{I}-\mathbf{S}\mathbf{P}_{\mathrm{s}})/(\mathbf{P}^{-\sigma_{1}}\Delta_{1}) $$

$$ \boldsymbol{\ell}=\boldsymbol{\beta}(\mathbf{I}-\mathbf{S}\mathbf{P}_{\mathrm{s}})/(\mathbf{P}_{\mathrm{L}}^{*\sigma_{1}}\boldsymbol{\Delta}_{1}) $$

ただし、$\mathrm{P}_{\mathrm{H}}$ と $\Delta_{1}$ は次のように与えられる。