Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
ただし、 $ g_{3}(r) $ は、次式で定義される関数である。

$$ g_{_{3}}\big(r\big)=\frac{C_{_{f}}}{\pi\alpha^{^{2}}\mathsf{\rho}_{_{p}}\gamma r^{^{2}}}+C_{_{q}}+\frac{2}{3}r $$

これより、最小条件は下式で表され目標回収率 $ R_{0} $ によらないことがわかる。

$$ {g^{\prime}}_{3}\left({r^{*}}\right)=0 $$

ここで得られた結果は、直感的には、以下のように解釈できる。まず、回収円が重ならない範囲の任意の回収率 $ (R_{0}) $ で運営しているとき、リファンド額が $ r_{0} $ 、ステーション数が $ N_{0} $ であったとしよう。この状態から、リファンド額とステーション数を変えて費用を最小化することを考える。

とり得る戦略は(1)ステーション数を変化させる戦略と(2)リファンド額を変化させる戦略および(3)これらの戦略の任意の比率の混合戦略である。

リファンド額を一定に保って、ステーション数を増加させると、回収率が増加し、システムの運営費用と消費者の不便さを増加させるが、回収円自体は変わらず数が増えるだけであるから、ステーション数に比例的に費用を増加させるのみであり、回収容器1本当たりの費用(平均費用)は回収率によらずリファンド額のみで決まる一定額である。

ステーション数を一定に保って、リファンド額を増加させると、回収率が増加し、システムの運営費用のうち固定費用は変わらず、変動費用と消費者の不便さを増加させる。回収容器1本当たりの費用で評価すると、目標回収率の増加とともに固定費用はリファンド額の-2乗に比例して減少し(1.36)、変動費用は一定となり(1.36)、消費者の不便さはリファンド額に比例して増加する(1.35)。

したがって、この場合には、回収容器1本当たりの費用(平均費用)を最小とするリファンド額が存在する。初期状態のリファンド額 $ (r_{0}) $ をこの平均費用を最小にするリファンド額 $ (r^{*}) $ に変更すると平均費用は $ (r_{0}=r^{*} $ の場合を除いて)減少する。このとき、回収率は、 $ R_{0} $ から $ R_{1} $ に変化している。つぎにリファンド額を $ r^{*} $ で一定に保ったままステーション数を $ N_{0} $ から $ N^{*} $ へ変化させて回収率を $ R_{1} $ から $ R_{0} $ へ変化させよう。このとき上述したように、回収円が重ならない場合は、平均費用はリファンド額 $ (r^{*}) $ のみで決まる一定値であり変化しない。

この２段階の操作で、回収率を初期の値に保ったまま、平均費用を下げることができた。一般には、この操作の結果が平均費用の極小値を与えているとは言えないが、本モデルの場合は、以下に示すように、この操作の結果が極小値となることが保証される。

ステーション数を一定に保った状態では、平均費用は、式(1.38)で表されステーション数(密度)とも回収率とも独立でリファンド額のみの関数となる。従って、リファンド額( $ r^{*} $ )は、ステーション数が $ N_{0} $ のときのみならず、 $ N^{*} $ のときにも平均費用を最小にしているからである。

回収円が互いに重なる場合を含めて検討する。

式(1.20)、(1.24)を目的関数(1.5)に代入し、飲料1本当たりの運営経費と消費者の不便さの和(Sc')で表すと、

$$ \begin{aligned}Sc^{\prime}=&\frac{SC}{Q}\\=&\frac{C_{f}\Theta}{4\uprho_{p}\gamma\upalpha^{2}r^{2}}+C_{q}R+\frac{1}{3}r^{*}\left(2R-f_{2}\left(\uptheta\right)\right)\end{aligned} $$
回収率は式(1.12)よりパラメータθのみの単調増加関数であるから、回収率一定の条件でパラメータθも一定となる。式(1.40)より目的関数はリファンド金額のみの関数として表すことができたので、最小条件は、以下のとおりである。

$$ \frac{dSc^{\prime}}{dr}=0 $$

$$ \frac{d^{2}Sc^{\prime}}{dr^{2}}>0 $$

式(1.41)に式(1.40)を代入すると、最小値を $ ^{*} $ で表して、

$$ \frac{1}{3}\left(2R-f_{2}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)\right)-\frac{C_{f}\boldsymbol{\Theta}}{2\boldsymbol{\rho}_{p}\boldsymbol{\gamma}\boldsymbol{\alpha}^{2}}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)^{-3}=0 $$

式(1.43)左辺第1項は、回収率一定の条件下で、リファンド金額を1単位増加させたときの飲料1本当たりの消費者の不便さ(1.20)の増分であり、第2項は、同じ条件下でのリファンドステーション運営費の固定費用の減少分(回収率一定でリファンド金額を増加させればリファンドステーションの数を減らすことができる)を表している。

式 $ (1.43) $ を解くと、

$$ r^{*}=\left(\frac{3C_{f}\theta}{2\uprho_{p}\gamma\upalpha^{2}\left(2R-f_{2}\left(\theta\right)\right)}\right)^{\frac{1}{3}} $$

式(1.42)は以下に示すとおり常に成立する。

$$ \frac{d^{2}S_{c}}{d r^{2}}\Bigg|_{r=r^{*}}=\frac{3C_{f}\boldsymbol{\Theta}}{2\boldsymbol{\mathsf{\rho}}_{p}\gamma\boldsymbol{\alpha}^{2}}\Big(r^{*}\Big)^{-4}>0 $$

回収円が互いに重ならない場合の最適リファンド額を $ r_{0}^{*} $ とおくと、一般の場合の最適リファンド額は次式で表すことができる。

$$ \boldsymbol{r}^{*}=f_{3}\left(\boldsymbol{\theta}\right)\boldsymbol{r}_{0}^{*} $$

ここで $ f_{3}(\theta) $ は、次式で定義される関数でステーションの幾何学的配置とパラメータ $ \theta $ のみに依存する関数である。

$$ f_{3}\left(\boldsymbol{\theta}\right)=\frac{\boldsymbol{r}^{*}}{\boldsymbol{r}_{0}^{*}}=\left(\frac{\frac{\pi}{4}\boldsymbol{\theta}}{\frac{\pi}{4}\boldsymbol{\theta}f r\left(\boldsymbol{\theta}\right)-\frac{1}{2}f_{2}\left(\boldsymbol{\theta}\right)}\right)^{\frac{1}{3}} $$
関数 $ f_{3}(\theta) $ を図表 1.6 に示した。関数 $ f_{3}(\theta) $ は、回収円が互いに重なることによる最適リファンド額への影響を表している。関数 $ f_{3}(\theta) $ は、 $ \theta < 1 $ では、回収円が重ならないため一定値 1 をとる。 $ \theta > 1 $ では、回収円が重なり、1 から徐々に増加し、回収円が全領域を覆う $ \theta = 2 $ で約 1.25 の値をとる。

図表 1.6 関数 $ f_{3}(\Theta) $ ：回収円の重なりが最適リファンド額に与える影響を表す関数

このとき、リファンドステーション密度は、式(1.14)に式(1.17)、(1.46)を代入して、次式のようになる。

$$ \mathsf{\rho}^{*}=\frac{\theta}{4\left(\alpha r_{0}^{*}f_{3}\left(\theta\right)\right)^{2}} $$

このときのデポジット額は式(1.4)に式(1.12)、(1.24)、(1.34)、(1.46)を代入して整理すると、以下のように表せる。

$$ d^{*}=\left(r^{*}-\mathfrak{v}+\frac{r_{0}^{*}}{3f_{1}\left(\boldsymbol{\theta}\right)f_{3}^{3}\left(\boldsymbol{\theta}\right)}+C_{q}\right)R_{0} $$

このとき Sc' の最小値は、式(1.40)に式(1.12)、(1.46)、(1.34)を代入して整理すると次式で表される。

$$ S c^{\prime^{*}}=\left(\frac{2f_{1}\big(\boldsymbol{\theta}\big)\cdot\boldsymbol{f}_{3}^{4}\big(\boldsymbol{\theta}\big)+1}{3f_{1}\big(\boldsymbol{\theta}\big)\cdot\boldsymbol{f}_{3}^{3}\big(\boldsymbol{\theta}\big)}r_{0}^{*}+C_{q}\right)R_{0}-\frac{1}{3}r_{0}^{*}f_{2}\big(\boldsymbol{\theta}\big)f_{3}\big(\boldsymbol{\theta}\big) $$
## １．５ 最適解のまとめ

以上まとめると、目標回収率が与えられた場合のリデンプションシステムの運営費用と消費者の不便さの和の最小条件は、回収率の関数として以下のように表される。

$$ \boldsymbol{r}^{*}=\left(\frac{3C_{f}\boldsymbol{\Theta}}{2\boldsymbol{\mathsf{\rho}}_{p}\boldsymbol{\gamma}\boldsymbol{\alpha}^{2}\left(2R-f_{2}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)\right)}\right)^{\frac{1}{3}} $$

$$ \boldsymbol{\mathbf{\rho}}^{*}=\frac{\boldsymbol{\mathbf{\Theta}}}{4\left(\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{r}^{*}{}_{0}f_{3}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)\right)^{2}} $$

$$ \boldsymbol{d}^{*}=\left(\boldsymbol{r}^{*}-\boldsymbol{\upsilon}+\frac{\boldsymbol{r}_{0}^{*}}{3f_{1}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)f_{3}^{3}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)}+\boldsymbol{C}_{q}\right)\boldsymbol{R}_{0} $$

$$ {S c}^{^{\prime}*}=\left(\frac{2f_{1}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)\cdot\boldsymbol{f}_{3}^{4}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)+1}{3f_{1}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)\cdot\boldsymbol{f}_{3}^{3}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)}r_{0}^{*}+C_{q}\right)R_{0}-\frac{1}{3}r_{0}^{*}f_{2}\left(\boldsymbol{\Theta}\right)f_{3}\left(\boldsymbol{\Theta}\right) $$

ここで、 $ f_{1}(\Theta) $ 、 $ f_{2}(\Theta) $ 、 $ f_{3}(\Theta) $ は以下に定義される関数でステーションの幾何学的配置のみに依存する関数である。

$$ \left\{\begin{aligned}0<\boldsymbol{\theta}<1\\ f_{1}\left(\boldsymbol{\theta}\right)=1\\ 1<\boldsymbol{\theta}<2\\ f_{1}\left(\boldsymbol{\theta}\right)=1-\frac{4}{\pi}\left(\tan^{-1}\sqrt{\boldsymbol{\theta}-1}-\frac{\sqrt{\boldsymbol{\theta}-1}}{\boldsymbol{\theta}}\right)\end{aligned}\right. $$

$$ \begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}\\ &0<\Theta<1\\&\quad f_{_{2}}(\Theta)=0\\&1<\Theta<2\\&\quad f_{_{2}}(\Theta)=\sqrt{\Theta-1}-\frac{1}{\sqrt{\Theta}}ln\Big|\sqrt{\Theta-1}+\sqrt{\Theta}\Big|\\ &\end{aligned}\right.\\ \end{aligned} $$

$$ f_{_{3}}(\boldsymbol{\theta})=\frac{r^{*}}{r_{_{0}}^{*}}=\left(\frac{\frac{\pi}{4}\boldsymbol{\theta}}{\frac{\pi}{4}\boldsymbol{\theta}f_{_{1}}(\boldsymbol{\theta})-\frac{1}{2}f_{_{2}}(\boldsymbol{\theta})}\right)^{\frac{1}{3}} $$
ここでθは以下で定義されるパラメータである。

$$ \theta=4\alpha^{2}\uprho r^{2} $$

回収円が互いに重ならない場合は、以下のように簡単になる。

$$ r_{0}^{*}=\left(\frac{3C_{f}}{\pi\rho_{p}\gamma\alpha^{2}}\right)^{\frac{1}{3}} $$

$$ \boldsymbol{\uprho}^{*}=\left(\frac{\uprho_{p}\gamma}{3C_{f}}\right)^{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{\pi\alpha^{2}}\right)^{\frac{1}{3}}R_{0} $$

$$ d^{*}=\left(\frac{4}{3}r_{0}^{*}+C_{q}-\mathfrak{v}\right)R_{0} $$

$$ S c^{\prime*}=\Big(r_{0}^{*}+C_{q}\Big)R_{0} $$
# 第2章 デポジット・リファンド(リデンプション)・システムの最適設計に関するモデル分析2

(消費者の不便さが距離の単調増加関数である場合のモデル)

最小化する関数 $ SC' $ は、前章と同じでシステム運用費用 (OC) と消費者の不便さ (TI) の和である。この章では、消費者の不便さがリファンドステーションからの距離の単調増加関数で表せる場合で、システムの運営費用がステーション数に比例する費用と回収量に比例する費用の和で表される場合について取り扱う。

定式化のために 16 ページに示した仮定に加えて、以下の仮定をおく。

(3) リファンドステーションは正方格子上に配置する。

(4) 消費者は飲料を消費後、リファンド金額と、リファンドのための不便さを比較してリファンドするかどうかを決定する。

(5) 消費者のリファンドに伴う不便さは、距離の単調増加関数で表せる。

(6) リデンプションシステム運営費用は、ステーション数に比例する固定費用と回収量に比例する変動費用の和で表される。

### 2.1 回收率

消費者のリファンドに伴う不便さは、距離の単調増加関数で表せる場合にも臨界距離で回収率を表現すると前章と同じ結果となる。

単位面積当たりのステーション密度を $ \rho \equiv \left(1/L\right)^{2} $ とおくと、回収率は下式で表される。

$$ 0
$$ \left\{\begin{aligned}0<\Theta<1\\ f_{_{1}}(\Theta)=1\\ 1<\Theta<2\\ f_{_{1}}(\Theta)=1-\frac{4}{\pi}\Bigg(\tan^{-1}\sqrt{\Theta-1}-\frac{\sqrt{\Theta-1}}{\Theta}\Bigg)\end{aligned}\right. $$

ここで、èは下式で定義されるパラメータ、関数 $ f_{1}(\Theta) $ は、前章で定義された関数で、図表1.3の回収円が互いに重なり合うことによる影響を表す関数であり、ステーションの幾何学的配置のみによって決まる。

$$ \mathbf{\Theta}=4\mathbf{\rho}x_{c}^{2} $$

この章では、消費者の不便さが距離の単調増加関数で表せるから、仮定(4、5)より臨界距離 $ x_{c} $ での消費者の不便さ $ I(x_{c}) $ がリファンド額に等しいから、消費者の不便さ $ I(x) $ は次式で表せる。

$$ r=I\big(x_{_{c}}\big) $$

従って臨界距離 $ x_{c} $ は、

$$ x_{_{c}}=I^{-1}\big(r\big) $$

式(1.14)に代入すると、θは、式(2.3)で表される。

$$ \boldsymbol{\Theta}=4\tilde{n}\big(I^{-1}\big(r\big)\big)^{2} $$

$ r_{1}\left(=I\left(\frac{L}{2}\right)=I\left(\frac{1}{2\sqrt{\rho}}\right)\right) $ を、図1.3で回収される領域を示す円が互いに接する場合のリファンド額と定義すると、このとき回収率は $ \pi/4 $ となる。この値は、ステーション密度の関数でもある。

### 2.2 消費者の不便さ

消費者の不便さも前項と同様に計算できる。式(1.12)に式(2.3)を代入して逆関数を考え、リファンド額を回収率の関数として表すと、この関数は、リファンドステーション数が一定の場合に、目標回収率を達成するために必要なリファンド額を表している。これは、リファンドステーション数が一定の場合の使用ずみ飲料容器の供給曲線と解釈できる。

したがって、回収率 R の時の消費者の不便さ(コスト)は、この曲線を 0 から R まで積分した面積に販売数量を乗じた量である。
$$ T I=Q\bigg(R r-\pi\mathsf{p}\int_{0}^{r}\big(I^{-1}\big(t\big)\big)^{2}f_{1}\Big(4\mathsf{p}\big(I^{-1}\big(t\big)\big)^{2}\Big)d t\bigg) $$

ここで $ f_{1}\big(\Theta\big) $ は前項で定義された関数である(式(1.13))。式(2.4)中の回収率 R、パラメータ $ \theta $ をリファンド額とステーション密度で表すと下式のようになる。

$$ T I=\pi Q\big(\big(I^{-1}(r)\big)^{2}f_{1}(4\mathsf{\rho})\big(I^{-1}(r)\big)^{2}\big)r-\int_{0}^{r}\big(I^{-1}(t)\big)^{2}f_{1}\big(4\mathsf{\rho}\big(I^{-1}(t)\big)^{2}\big)d t\big)\mathsf{\rho} $$

回収円が互いに重ならない場合は、 $ f_{1}(\Theta) $ が1であることを考慮すると、式(2.5)は、消費者の不便さが距離の単調増加関数で表される場合においてもリファンド額一定の場合、消費者の不便さがステーション密度に比例することを示している。

運営費用

運営費用は前章と同じである。

$$ OC=Q\cdot\left(C_{s}+C_{q}R\right) $$

$$ \begin{aligned}C_{s}&=\frac{C_{f}N}{Q}\\&=\frac{C_{f}\left(N/A\right)}{Q/A}\\&=\frac{C_{f}\mathsf{\mathsf{p}}}{\mathsf{\mathsf{p}}_{p}\gamma}\\ \end{aligned} $$

式(2.3)、式(1.23)を式(1.22)に代入して、運営費用を $ r,\theta $ で表わすと下式のようになる。

$$ OC=Q\Biggl(\frac{C_{_{f}}\boldsymbol{\Theta}}{4\boldsymbol{\mathsf{\rho}}_{_{p}}\gamma\bigl(I^{-1}\bigl(r\bigr)\bigr)^{2}}+C_{_{q}}R\Biggr) $$

式(2.6)中の回収率 R 、パラメータθをリファンド額とステーション密度で表すと次式のようになる。
$$ O C=Q\Biggl(\frac{C_{_{f}}}{\mathsf{\mathsf{\rho}}_{_{p}}\gamma}+C_{_{q}}\pi\bigl(I^{-1}\bigl(r\bigr)\bigr)^{2}f_{_{1}}\bigl(4\mathsf{\mathsf{\rho}}\bigl(I^{-1}\bigl(r\bigr)\bigr)^{2}\bigr)\Biggr)\mathsf{\mathsf{\rho}} $$

回収円が互いに重ならない場合は、 $ f_{1}(\Theta) $ が1であることを考慮すると、式(2.7)は、消費者の不便さが距離の単調増加関数で表される場合においても、リファンド額一定の場合、運営費用がステーション密度に比例することを示している。

### 2.3 最小条件

前章と同じく、まず回収円が互いに重ならない場合について検討する。

問題は以下のようである。

$$ \begin{aligned}&Min\\ &\quad SC^{\prime}\left(r,\mathsf{\rho}\right)=OC+TI\\ &\\&s.t.\\ &\quad R\big(r,\mathsf{\rho}\big)=R_{0}\\ \end{aligned} $$

飲料販売量 1 本当たりの運営経費と消費者の不便さの和(Sc')で表すと、式(2.5)、(2.7)より以下のようになる。

$$ \begin{aligned}&Min\\ &\quad Sc^{\prime}\big(r,\mathsf{\rho}\big)=\mathsf{\rho}g_{_{4}}\big(r\big)\\ &\\&s.t.\\ &\quad R_{_{0}}=\mathsf{\rho}g_{_{5}}\big(r\big)\\ \end{aligned} $$

ここで、 $ g_{4}(r) $ 、 $ g_{5}(r) $ は以下で定義される関数で、回収率、ステーション密度を含まない。

$$ g_{_{4}}(r)=\frac{C_{_{f}}}{\pmb{\Omega}_{_{p}}\gamma}+\pi\Big(\big(C_{_{q}}+r\big)\big(I^{-1}\big(r\big)\big)^{2}-\int_{_{0}}^{_{r}}\big(I^{-1}\big(t\big)\big)^{2}dt\Big) $$

$$ g_{5}\left(r\right)=\pi\big(I^{-1}\big(r\big)\big)^{2} $$

前章と同様にして目的関数を最小にするリファンド額 $ r^{*} $ が満たすべき必要条件は、次式で示される。

$$ g_{_{4}}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\boldsymbol{g}_{_{5}}^{\prime}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)-\boldsymbol{g}_{_{4}}^{\prime}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\boldsymbol{g}_{_{5}}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)=0 $$
式(2.12)は $ \rho^{*} $ 、 $ R_{0} $ を含まず、リファンド額のみの関数であるから、最適なリファンド額 $ r^{*} $ は、目標回収率にかかわらず一定値 $ r_{0}^{*} $ となる。式(2.10)、(2.11)を代入して整理すると、以下のようである。

$$ \frac{C_{_{f}}}{\pi\boldsymbol{\uprho}_{_{p}}\boldsymbol{\gamma}}=\int_{0}^{r_{0}^{*}}\left(I^{-1}(t)\right)^{2}d t $$

式(2.13)を $ r_{0}^{*} $ について解くと以下のようになる。

$$ r_{_{0}}^{*}=G^{-1}\Biggl(\frac{C_{_{f}}}{\pi\mathbf{\uprho}_{_{p}}\gamma}\Biggr) $$

ただし、 $ G(r) $ は、消費者の選好のみに係わる関数であり、次式で定義される。

$$ G(r)=\int_{0}^{r}\left(I^{-1}(t)\right)^{2}d t $$

式(2.14)より、消費者の不便さが距離の単調増加関数で表される場合においても、回収円が互いに重ならない範囲では、最適リファンド額が目標回収率によらず一定値となることが示された。

このとき、ステーション密度の最適値 $ \rho^{*} $ は、式(2.9)、(2.11)より、以下のように決まる。

$$ \boldsymbol{\rho}^{*}=\frac{R_{0}}{\pi\left(I^{-1}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\right)^{2}} $$

デポジット金額の最適値 $ d^{*} $ は、式(1.4)に式(2.7)を代入して $ f_{1}(\Theta) $ が1であることに注意して整理すると、次式で表される。

$$ d^{*}=\left(\frac{C_{f}}{\mathsf{\mathcal{P}}_{p}\boldsymbol{\gamma}}\frac{1}{\pi\left(I^{-1}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\right)^{2}}+C_{q}+\left(\boldsymbol{r}^{*}-\boldsymbol{\upsilon}\right)\right)\boldsymbol{R}_{0} $$

式(2.16)、(2.17)は、ステーション密度の最適値 $ \rho^{*} $ 、デポジット金額の最適値 $ d^{*} $ は、回収円が重ならない場合には目標回収率に比例することを示している。これは、消費者の不便さが距離に比例する場合の結果と同じである。

このときの飲料販売量1本当たりの運営経費と消費者の不便さの和の最小値 $ (Sc^{*}) $ は、式(2.8)、(2.10)、(2.13)、(2.16)より以下のようになる。

$$ S c^{\prime^{*}}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)=\left(C_{q}+\boldsymbol{r}^{*}\right)R_{0} $$

つぎに、回収円が重なる場合も含めて検討する。式(1.5)に式(2.5)、(2.7)、(2.3)を代入し、
飲料販売量 1 本当たりの運営経費と消費者の不便さの和(Sc')で表すと、以下のようになる。

Min

$$ S c^{\prime*}\left(r,\boldsymbol{\Theta}\right)=\frac{\boldsymbol{\Theta}}{4\left(I^{-1}\left(r\right)\right)^{2}}\Bigg(\frac{C_{_{f}}}{\mathsf{P}_{p}\boldsymbol{\gamma}}-\boldsymbol{\pi}\int_{0}^{r}\left(I^{-1}\left(t\right)\right)^{2}f_{_{1}}\left(4\mathsf{\rho}\left(I^{-1}\left(t\right)\right)^{2}\right)d t\Bigg)+\left(C_{_{q}}+r\right)R $$

s.t.

$$ \begin{aligned}&R_{0}=R\big(\boldsymbol{\Theta}\big)=\frac{\pi}{4}\boldsymbol{\Theta}f_{1}\big(\boldsymbol{\Theta}\big)\\&\boldsymbol{\Theta}=4\boldsymbol{\mathsf{\rho}}\big(I^{-1}\big(r\big)\big)^{2}\\ \end{aligned} $$

式(2.20)より、回収率Rを与えるとパラメータθも一定値( $ \Theta_{0} $ )に決まる。従って、最小条件は、以下の式で表される。

$$ \frac{dSc^{\prime*}\left(r\right)}{dr}=0 $$

$$ \frac{d^{2}Sc^{\prime*}\left(r\right)}{dr^{2}}>0 $$

式(2.21)に式(2.19)を代入して整理すると、最小値を $ ^{*} $ で表して $ r^{*} $ は、次式から決まる。

$$ \frac{C_{_{f}}}{\mathbf{\Omega}_{p}\boldsymbol{\gamma}}-\boldsymbol{\pi}\int_{0}^{r^{*}}\left(\boldsymbol{I}^{-1}\left(t\right)\right)^{2}f_{1}\left(\left(\frac{\boldsymbol{I}^{-1}\left(t\right)}{\boldsymbol{I}^{-1}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)}\right)^{2}\cdot\boldsymbol{\Theta}_{0}\right)d t=0 $$

式(2.23)を $ r^{*} $ について解くと以下の関数を用いて式(2.25)で表される。

$$ \boldsymbol{r}^{*}=\boldsymbol{F}^{-1}\left(\frac{\boldsymbol{C}_{f}}{\pi\boldsymbol{\rho}_{p}\gamma}\right) $$

$$ F\big(r\big)=\int_{0}^{r}\big(I^{-1}\big(t\big)\big)^{2}f_{1}\Biggl(\Biggl(\frac{I^{-1}\big(t\big)}{I^{-1}\big(r\big)}\Biggr)^{2}\cdot\boldsymbol{\Theta}_{0}\Biggr)d t $$

このとき、ステーション密度の最適値 $ \rho^{*} $ は、式(2.3)より以下のように決まる。
$$ \boldsymbol{\mathsf{\rho}}^{*}=\frac{\boldsymbol{\Theta}_{0}}{4\left(I^{-1}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\right)^{2}} $$

デボジット金額の最適値 $ d^{*} $ は、式(1.4)に式(2.7)、(2.26)を代入して整理すると、次式で表される。

$$ d^{*}=\left(\frac{C_{_{f}}}{\pi\mathfrak{p}_{_{p}}\gamma f_{_{1}}(\boldsymbol{\Theta}_{_{0}})\left(I^{-1}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\right)^{2}}+C_{_{q}}+\boldsymbol{r}^{*}-\boldsymbol{\mathfrak{v}}\right)R_{_{0}} $$

## ２．４ 最適解のまとめ

以上の結果をまとめると、目標回収率が与えられた場合のリデンプションシステムの運営費用と消費者の不便さの和の最小条件は、目標回収率の関数として以下のように表される。

$$ \boldsymbol{r}^{*}=\boldsymbol{F}^{-1}\left(\frac{\boldsymbol{C}_{f}}{\pi\tilde{n}_{p}\tilde{a}}\right) $$

$$ \boldsymbol{\mathsf{\rho}}^{*}=\frac{\boldsymbol{\Theta}_{0}}{4\left(I^{-1}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\right)^{2}} $$

$$ d^{*}=\left(\frac{C_{_{f}}}{\pi\mathfrak{p}_{_{p}}\gamma f_{_{1}}(\boldsymbol{\Theta}_{_{0}})\left(I^{-1}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\right)}_{^{2}}^{+}C_{_{q}}+\boldsymbol{r}^{*}-\boldsymbol{\mathfrak{v}}\right)R_{_{0}} $$

$$ S c^{\prime^{*}}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)=\left(C_{q}+\boldsymbol{r}^{*}\right)R_{0} $$

ここで、 $ I(x) $ は以下に定義される関数である。

$$ r=I\big(x_{_{c}}\big) $$

$$ F\big(r\big)=\int_{0}^{r}\big(I^{-1}\big(t\big)\big)^{2}f_{1}\Biggl(\Biggl(\frac{I^{-1}\big(t\big)}{I^{-1}\big(r\big)}\Biggr)^{2}\cdot\Theta_{_{0}}\Biggr)d t $$

式(2.25)において、 $ F(r) $ は消費者の選好とステーションの幾何学的配置のみによって決まる関数であり、 $ f_{1}(\Theta) $ は、ステーションの幾何学的配置のみによって決まる関数であるから、ステーションの幾何学的配置に関する仮定(ステーションは正方格子上に配置する)は、 $ f_{1}(\Theta) $ の形がステーション密度に
よらない場合(ステーションの幾何学的配置は任意であるが、ステーション数の増減に応じて幾何学的相似性を保つ場合)に拡張可能であることは明らかである。

また、最適解での目的関数(ステーション運営費用と消費者の不便さの和)の値はステーションの幾何学的配置によらずステーションの変動費用と総リファンド額の和となることが示された。

回収円が互いに重ならない場合は、以下のように簡単になる。

$$ r_{0}^{*}=G^{-1}\left(\frac{C_{f}}{\pi\mathbf{\varphi}_{p}\gamma}\right) $$

$$ \boldsymbol{\mathbf{\rho}}^{*}=\frac{R_{0}}{\pi\left(I^{-1}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\right)^{2}} $$

$$ d^{*}=\left(\frac{C_{f}}{\mathsf{\Omega}_{p}\boldsymbol{\gamma}}\frac{1}{\pi\left(\boldsymbol{I}^{-1}\left(\boldsymbol{r}^{*}\right)\right)^{2}}+\boldsymbol{C}_{q}+\left(\boldsymbol{r}^{*}-\boldsymbol{\upsilon}\right)\right)\boldsymbol{R}_{0} $$

$$ S c^{\prime*}\left(r^{*}\right)=\left(C_{q}+r^{*}\right)R_{0} $$
年 月	D + Q 銀行預金 成 長 率	L 貸 出	S 有価証券	G 国 債	N F A 純 対 外 資産	B D 金 融 債	N U L 純 その他 負 債	R 準備預金	C M 日銀貸出
91	3	7.922	7.46	0.985	-0.424	0.303	-1.675	0.99	0.22
4	2.692	6.435	0.926	-0.537	1.025	-1.441	-3.646	0.231
5	4.245	7.232	1.000	-0.625	0.68	-1.168	-2.355	0.113
6	3.927	6.886	0.947	-0.762	0.675	-1.516	-1.872	-0.018
7	3.108	4.554	0.959	-0.422	1.952	-1.705	-1.165	-0.223
8	4.321	6.692	0.911	-0.116	2.507	-1.984	-1.799	0.202
9	1.914	5.33	0.874	-0.299	2.908	-1.83	-3.465	-0.289
10	3.033	5.142	0.757	-0.129	3.213	-1.498	-1.914	-0.323
11	4.515	5.406	0.761	-0.516	3.317	-1.923	-0.548	-0.737
12	2.579	5.333	0.761	-0.712	3.538	-1.435	-2.883	-0.302
92	1	2.816	4.804	0.774	-0.57	3.755	-1.862	-2.031	-0.506
2	4.103	6.969	0.817	-0.746	3.956	-0.85	-3.887	-0.422
3	1.199	3.702	0.593	-0.608	4.05	-1.504	-3.801	-0.242
4	2.1	4.145	0.573	-0.191	4.345	-1.813	-3.249	-0.409
5	3.501	4.646	0.584	0.025	4.632	-1.071	-2.387	-0.584
6	0.611	3.311	0.526	0.397	4.447	-1.305	-5.211	-0.214
7	1.124	5.521	0.485	-0.64	4.136	-1.598	-5.717	-0.408
8	-0.904	2.063	0.398	0.433	3.605	-1.202	-4.977	-0.331
9	-0.099	2.56	0.216	0.059	3.06	-1.312	-3.648	-0.233
年 月	D + Q 銀行預金 成長率	L 貸 出	S 有価証券	GB 国 債	N F A 純 対 外 資 產	B D 金 融 債	N U L 純その他 負 債	R 準備現金	C M 日銀貸出
91	3	7.922	94.164	12.433	-5.375	3.82	-21.135	12.511	2.778
4	2.692	239.07	34.389	-19.989	38.056	-53.539	-135.45	8.572
5	4.245	170.37	23.554	-14.747	16.011	-27.514	-55.478	2.645
6	3.927	175.37	24.102	-19.449	17.188	-38.594	-47.66	-0.484
7	3.108	146.52	30.854	-13.625	62.783	-54.862	-37.462	-7.204
8	4.321	154.88	21.067	-2.704	58.023	-45.919	-41.638	4.677
9	1.95	273.34	44.828	-15.417	149.14	-93.864	-175.9	-14.833
10	3.033	169.58	24.938	-4.305	105.95	-49.376	-63.107	-10.7
11	4.515	119.72	16.839	-11.454	73.465	-42.59	-12.136	-16.349
12	2.579	206.83	29.512	-27.672	137.2	-55.651	-111.8	-11.766
92	1	2.816	170.61	27.489	-20.283	133.34	-66.108	-72.102	-18.034
2	4.103	169.85	19.894	-18.206	96.407	-20.706	-94.723	-10.308
3	1.199	308.89	49.488	-50.867	337.87	-125.5	-317.08	-20.288
4	2.1	197.42	27.265	-9.178	206.99	-86.359	-154.78	-19.53
5	3.501	132.74	16.674	0.691	132.34	-30.579	-68.193	-16.738
6	0.611	542.57	86.166	65.071	728.73	-213.78	-853.81	-35.306
7	1.124	491.22	43.165	-57.106	367.99	-142.18	-508.72	-36.395
8	-0.904	227.85	43.969	47.748	398.32	-132.78	-549.89	-36.719
9	-0.099	2549.6	214.43	58.106	3048.1	-1306.9	-3634	-233.17
資料表VII - 3 貸出残高の寄与度分解（%）

年 月	銀行 預 金 成長率	貸 出	製造業	卸·小 壳業	サービス業	不動產 業	その他	個 人	建設業	運輸· 通信業	電気· ガス
71	1	17.899	22.564	6.415	3.439	0.681	0.814	0.813	0.48	0.245
2	18.784	23.067	6.593	3.552	0.717	0.839	0.874	0.482	0.26
3	18.056	22.946	6.575	3.649	0.714	0.934	0.869	0.478	0.262
4	18.853	22.937	6.656	3.741	0.717	0.908	0.905	0.504	0.277
5	19.066	23.115	6.834	3.686	0.77	0.944	0.959	0.56	0.295
6	20.895	23.977	7.195	3.856	0.815	0.989	1.025	0.649	0.308
7	21.596	25.055	7.412	4.1	0.894	1.104	1.151	0.668	0.338
8	23.362	25.477	7.64	4.066	0.939	1.197	1.194	0.707	0.362
9	23.529	25.979	7.672	4.128	1.012	1.304	1.283	0.741	0.333
10	24.063	26.828	7.826	4.232	1.085	1.371	1.305	0.754	0.338
11	24.399	26.686	7.511	4.288	1.151	1.448	1.362	0.814	0.329
12	25.033	27.745	7.526	4.583	1.243	1.698	1.479	0.877	0.31
72	1	24.348	25.231	7.212	4.438	1.273	1.802	1.446	0.885	0.297
2	23.938	25.595	6.964	4.543	1.268	1.974	1.49	0.91	0.291
3	24.736	25.966	6.616	4.558	1.392	2.082	1.593	0.936	0.288
4	24.4	25.979	6.492	4.507	1.384	2.141	1.527	0.906	0.263
5	23.593	25.234	5.615	4.413	1.374	2.24	1.489	0.902	0.247
6	23.254	25.415	5.254	4.658	1.499	2.33	1.467	0.902	0.227
7	22.95	25.963	5.123	4.641	1.569	2.382	1.452	0.931	0.236
8	21.754	25.786	4.81	4.753	1.562	2.401	1.548	0.95	0.2
9	22.074	26.461	4.735	4.931	1.605	2.564	1.65	0.925	0.228
10	23.255	26.746	4.506	5.138	1.583	2.71	1.69	0.885	0.21
11	23.851	27.462	4.477	5.182	1.642	2.798	1.707	0.882	0.194
12	24.242	28.179	4.759	5.126	1.588	2.682	1.687	0.823	0.208
73	1	24.379	28.463	4.6	5.198	1.574	2.759	1.724	0.818	0.204
2	25.034	29.152	4.484	5.178	1.618	2.699	1.735	0.796	0.217
3	24.918	29.006	4.42	5.162	1.531	2.67	1.722	0.748	0.148
4	26.108	28.927	4.531	5.013	1.513	2.449	1.777	0.736	0.147
5	25.576	28.598	4.553	5.067	1.453	2.306	1.667	0.701	0.151
6	24.528	27.923	4.548	4.764	1.337	2.161	1.602	0.655	0.177
7	23.973	27.389	4.484	4.712	1.267	1.998	1.573	0.619	0.173
8	22.998	26.948	4.438	4.623	1.228	1.868	1.425	0.536	0.169
9	22.787	25.407	4.298	4.349	1.111	1.609	1.278	0.489	0.16
10	20.184	23.957	3.978	3.941	1.044	1.476	1.167	0.459	0.178
11	18.798	22.819	3.899	3.728	0.922	1.262	1.093	0.373	0.182
12	16.691	20.731	3.34	3.424	0.837	1.124	0.871	0.348	0.183
74	1	16.859	21.216	3.75	3.366	0.817	1.04	0.885	0.343	0.221
2	15.34	20.218	3.765	3.145	0.744	0.943	0.852	0.311	0.232
3	14.677	19.35	3.968	2.813	0.606	0.683	0.74	0.304	0.281
4	12.606	17.776	3.496	2.582	0.508	0.706	0.665	0.242	0.325
5	12.253	17.596	3.798	2.407	0.471	0.631	0.697	0.243	0.376
6	12.375	17.789	4.066	2.195	0.441	0.586	0.681	0.259	0.408
7	11.218	16.83	3.89	2.015	0.417	0.591	0.626	0.251	0.413
8	10.8	16.457	3.925	1.842	0.377	0.57	0.598	0.242	0.436
9	10.145	15.799	3.85	1.625	0.358	0.504	0.573	0.221	0.416
10	10.333	15.713	3.962	1.603	0.353	0.437	0.563	0.228	0.419
11	10.497	15.301	3.907	1.465	0.33	0.422	0.519	0.244	0.42
12	10.877	14.569	4.086	1.261	0.324	0.309	0.507	0.265	0.407
75	1	10.523	14.318	3.932	1.319	0.349	0.299	0.685	0.807	0.504	0.276	0.421
2	10.965	14.077	3.972	1.377	0.349	0.283	0.618	0.853	0.487	0.27	0.423
3	10.87	13.414	3.781	1.425	0.378	0.309	0.633	0.84	0.483	0.259	0.408
4	11.35	12.929	3.735	1.377	0.368	0.276	0.667	0.871	0.414	0.27	0.365
資料表VII - 5 ハイパワード・マネーの寄与度分解（%）

（注）△：準備率が引き上げられた月

：準備率が引き下げられた月

年 月	R準備預金成長率	NFA对外資產(純)	Cp預金通貨銀行向信用	CG政府向信用	NUAその他資產(純)	DG政府預金等	C現金通貨発行高
日銀貸出	国 債
68	10	0.191	127.1	60.497	83.588	230.79	108.65	-0.064
11	23.247	188.12	-99.219	-67.661	427.92	303.51	-151.3	-17.987
12	17.288	234.87	85.246	132.56	359.17	206.48	-155.81	1.787
69	1	40.657	268.49	46.521	90.149	318.69	166.77	-183.11
2	-10.415	242.8	42.046	68.814	251.89	229.1	-153.41	-15.026
3	-11.171	163.31	20.096	41.298	117.7	179.83	-67.181	-31.048
4	6.906	268.68	30.572	42.059	209.73	309.86	-178.91	33.897
5	-5.444	243.91	-9.308	7.729	304.33	397.54	-190.45	-14.11
6	-20.907	259.65	-3.515	14.195	279.28	376.6	-148.53	-7.993
7	-11.531	198.81	67.44	67.1	168.29	236.52	-101.3	4.917
8	8.814	230.4	147.88	110.48	181.75	340.39	-101.25	1.595
9	36.305	213.69	136.82	123.26	159.63	303.62	-87.725	16.988
10	18.159	167.56	161.71	176.95	186.22	324.13	-82.665	-9.524
11	42.519	143.47	235.56	230.77	28.768	146.21	-21.706	10.536
12	36.849	171.16	207.31	224.21	205.91	260.67	-41.739	11.689
70	1	32.963	164.92	181.99	189.77	109.78	156.31	-26.404
2	42.143	185.13	287.17	302.33	136.36	160.11	104.37	-136.36
3	75.343	125.53	133.42	174.76	91.906	143.34	9.714	21.045
4	58.896	212.45	167.59	239.11	77.98	135.17	45.802	-25.191
5	70.403	178.39	211.83	269.97	52.88	115.29	83.963	-4.644
6	85.692	186.18	346.56	430.56	-6.628	76.476	192.32	-24.495
7	68.243	99.745	247.16	317.19	100.77	157.32	199.42	-85.687
8	58.036	82.972	236.61	314.41	99.809	129.02	186.22	-76.085
9	9.763	44.029	184.93	227.44	39.384	62.56	139.34	-62.18
10	34.229	91.242	226.33	268.35	17.84	54.863	176.57	-86.943
11	8.836	58.3	134.6	182.11	53.42	92.644	50.093	-22.145
12	37.883	124.47	150.37	203.39	153.95	229.71	21.635	-41.597
71	1	13.587	124.46	190.64	239.88	62.96	131.73	-52.551
2	42.241	204.76	138.08	132.18	151.41	243.23	-44.917	-32.97
3	17.306	120.41	138.3	106.51	-91.713	-56.438	39.797	-24.811
4	8.574	213.38	159.53	162.82	-94.677	-14.3	30.414	-36.918
5	24.201	377.18	95.095	102.11	-209.26	-129.98	54.107	-38.663
6	32.826	579.06	-0.434	5.965	-277.27	-180.76	86.896	-38.529
7	-11.316	584.66	-61.411	-43.371	-272.65	-170.37	40.449	0.416
8	31.639	1255.9	-446.77	-426.43	-339.71	-212.83	-88.941	-45.602
9	94.258	1473.1	-612.39	-594.43	-401.81	-254.49	-49.653	9.584
10	39.672	1435.5	-644.51	-631.9	-369.57	-248.2	-82.665	6.043
11	54.348	1284.8	-521.77	-526.9	-296.53	-208.22	-138.52	-30.843
12	-1.783	1009.6	-546.4	-543.74	-389.39	-273.16	255.59	-25.926
72	1	32.352	1141.7	-608.76	-612.33	-467.46	-340.56	-74.163
2	42.942	1087.5	-510.14	-487	-547.16	-419.03	327.61	-62.113
3	2.523	604.2	-349.2	-340.81	-142.68	-119.74	186.58	-140.56
4	24.269	975.25	-553.71	-562.86	-329.1	-306.67	265.18	-49.728
5	25.6	680.22	-378.64	-415.86	-122.61	-106.79	180.9	-108.31
6	33.104	661.55	-213.99	-248.28	-147	-132.58	166.21	-136.61
7	57.26	803.94	-81.369	-175.93	-247.45	-193.62	293.06	-283.38