であり，さらに $ \sum_{i}\Delta a_{ij}=0 $ に留意すれば，

(6.26) $ \delta_{j}=-\sum\gamma^{(i)}\overline{a}_{ij} $

が得られる。

他方， $ i \in I $ について

(6.27) $ \sum_{j}\Delta a_{ij}M_{j}=\varepsilon_{i} $

が成立するから。

(6.28) $ \gamma^{(i)}\sum_{j}\overline{a}_{ij}M_{j}+\sum_{j}\delta_{j}\overline{a}_{ij}M_{j}=\varepsilon_{i} $ となり，これを $ \gamma^{(i)} $ について解けば

$$ \gamma^{(i)}{=}\frac{1}{\sum_{j}\overline{{a}}_{i j}M_{j}}(\varepsilon_{i}{-}\sum_{j}\delta_{j}\overline{{a}}_{i j}M_{j}) $$

が得られる。ここで,

$$ \xi_{i}=\frac{\varepsilon_{i}}{\sum_{j}\overline{a}_{ij}M_{j}},\lambda_{ij}=\frac{\overline{a}_{ij}M_{j}}{\sum_{j}\overline{a}_{ij}M_{j}} $$

と定義しよう。$\xi_{i}$ は，第$i$国の輸出調整率，$\lambda_{ij}$ は，第$i$国総輸出に占める第$j$輸入市場の相対的シェアを表わしていると考えられる。したがって，$\gamma^{(i)}=\xi_{i}-\sum_{k}\lambda_{ik}\delta_{k}$ を（6.26）に代入すれば，

(6.31) $ \delta_{j}=-\sum_{i\in I}\overline{a}_{ij}\xi_{i}+\sum_{k}(\sum_{i\in I}\lambda_{ik}\overline{a}_{ij})\delta_{k} $ となるが， $ \sum_{i\in I}\overline{a}_{ij}\lambda_{ik}\geq0,\quad\sum_{k}\sum_{i\in I}\overline{a}_{ij}\lambda_{ik}=1 $ となることに留意して，

(6.32) $ w_{ik} = \sum_{i \in I} \bar{a}_{ij} \lambda_{ik} $ , $ Z_{j} = \sum_{i \in I} \bar{a}_{ij} \xi_{j} $

と定義すれば，（6.31）式は

$$ \delta_{j}\sum_{k}w_{i k}\delta_{k}=-z_{j} $$

と書くことができる。あるいは,

$$ \begin{array}{l}\varDelta=(\delta_{1},\quad\delta_{2},\cdots\cdots,\quad\delta_{n}),\quad W=\left\lfloor w_{i j}\right\rfloor,\\ Z=(z_{1},\quad z_{2},\cdots\cdots,\quad z_{n})\end{array} $$

と定義し，行列記号で表わせば,

(6.34) $ \left[I-W\right]\Delta=-Z $

である。したがって,

$$ \varDelta=-\left[I-W\right]^{-1}Z $$

より δ_{j} が求まり, i ∉ I についての a_{ij} の変化は

(6.36) Δa_{ij} = δ_{j} \overline{a}_{ij} (i ∈ I)

によって決定される。

ところで，上述した $ X_{i} $ の同時調整法は，1つの興味深い特徴を持っている。それは，この方法によって求められた2国間実質貿易フロー $ \tilde{X}_{ij} $ と当初の $ X_{ij} $ との乖離が，ある意味で最小化されるように $ X_{i} $ の調整が行われていることである。

いま, 調整前の2国間貿易フローを $ \hat{X}_{ij} $ とし, 次のような評価関数を考える。

$$ V{=}\sum_{i,j}c_{ij}(X_{ij}{-}\hat{X}_{ij})^{2} $$

ただし， $ c_{ij} $ は正の定数である。調整後の $ X_{ij} $ は，制約条件

$$ \begin{aligned}\Sigma_{i}X_{ij}-&M_{j}=0\\&(j=1,2,\cdots\cdots,15)\end{aligned} $$

$$ \Sigma_{j}X_{ij}\tilde{X}_{i}=0 $$

を満たしていなければならないから，これらの制約条件の下で V を最小化する問題を考えてみよう。(6.38)，(6.39) の制約式に関するラグランジュ乗数を，それぞれ δ_{j}，γ^{(i)} とすれば，最小化の条件は，

$$ (6.40)\qquad X_{ij}-\hat{X}_{ij}=c^{\prime}_{ij}(\gamma^{(i)}+\delta_{j}) $$

と表わすことができる。ただし， $ c_{ij}^{\prime}=1/(2c_{ij}) $ である。（6.40）式左辺のiに関する合計はゼロであるから， $ a_{ij}=c_{ij}^{\prime}/\sum_{i}c_{ij}^{\prime} $ と定義すれば，

$$ \delta_{j}=-\sum_{i}\alpha_{i j}\gamma^{(i)} $$

が得られる。

次に， $ i \in I $ について（6.40）式左辺のjに関する合計をとれば，それは $ \varepsilon_{i} $ に等しいから

$$ \xi_{i}=\frac{\varepsilon_{i}}{\sum_{j}c_{ij}^{\prime}},\lambda_{ij}=\frac{c_{ij}^{\prime}}{\sum_{j}c_{ij}^{\prime}} $$

と定義すれば,

$$ \gamma^{(i)}=\xi_{i}-\sum_{k}\lambda_{i k}\delta_{k}\qquad(i\in I) $$

が得られる。

最後に， $ i \notin I $ に対しては $ \gamma^{(i)} = 0 $ であること

に注意して（6.43）を（6.41）に代入すれば，

$$ \delta_{j}=-\sum_{i\in I}\alpha_{i j}\xi_{i}+\sum_{k}(\sum_{i\in I}\lambda_{i k}\alpha_{i j})\delta_{k} $$

となる。この式と（6.31）式との類似性は明らかであろう。事実,

(6.45) $ c_{ij}^{\prime}=\overline{a}_{ij}M_{j} $

とすれば,

(6.46) $ \alpha_{ij}=\overline{a}_{ij} $

であるから，(6.42)と(6.30)の定義は完全に一致し，(6.44)は(6.31)と同値となるのである。

6. 5 前項の方法の貿易連関モデルへの適用例

前項で述べた $ X_{i} $ の同時調整法の 1 つの適用例として，実際に世界経済モデルの中で用いられている貿易連関モデルを取り上げ，各国の実質総輸出を調整したときにそれが他の国の実質