Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
$$ l n\left(\frac{L_{i}}{L_{j}}\right)=l n\left(\frac{\boldsymbol{\alpha}_{i}}{\boldsymbol{\alpha}_{j}}\right)+\left(\boldsymbol{\uprho}-1\right)l n\left(\frac{w_{i}}{w_{j}}\right),\left(i,j=1,\ldots,n\right). $$

もしρの値が分かっていれば、われわれは集計関数を導くことができる。そして$\acute{a}_{i}(i=1,\ldots,n)$ の値をコストシェア$-s_{i}$ と雇用量$L_{i}$ を用いて計算することは容易である。必要とするすべての情報はρにある。この便利さがCES型関数が依然として計算可能な一般均衡(CGE)モデルへの応用に際して人気がある理由となっている。しかしこの制約は、年齢別、性別といった労働需要形態別に異なる反応を議論しようとしているわれわれの目的には強すぎる。たとえば、代替の弾力性を計算するために、われわれは時系列データを用いてある種の二つのカテゴリーの労働者を使うことができる。そのデータをもちいて計測されたρは、他のすべてのカテゴリーの労働者に対し適用することができる。

Translog 型関数の場合は、そのパラメターであるシェア弾力性を計算しなければならない。しかし Translog 型関数は双対的ではないので、その弾力性の値は Translog 型関数が価格指数で定義されているか、あるいは数量指数で定義されているかに依存する。さらに集計した投入要素(K、L、Energy、Material)の分離可能性を、単純化のために仮定することが多い。分離可能性の設定の下では、労働の集計関数は生産量や資本ストック(サービス)のようなその他の経済変数から独立していることを示す。例えば分離可能な Translog 集計関数は次のように仮定される。

$$ f\big(X\left(X_{1},\ldots,X_{n_{X}}\right),L\big(L_{1},\ldots,L_{n_{L}}\big),K\big(K_{1},\ldots,K_{n_{K}}\big),M\left(M_{1},\ldots,M_{n_{M}}\right)\big)=1. $$

このケースでは労働の集計関数は、次のような Translog 形態で定義される。

$$ \begin{aligned}&ln L\ =\ ln L\left(L_{1},L_{2},\ldots,L_{n_{L}}\right)=\alpha\ +\sum_{i=1}^{n_{L}}\alpha_{i}ln L_{i}\ +\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n_{L}}\sum_{i=1}^{n_{L}}\alpha_{_{ij}}ln L_{i}ln L_{_{j}},\\ &\quad\alpha_{_{ij}}\ =\ \alpha_{_{ji}},\ \left(i,j=1,\ldots,n\right)\\ &\sum_{j=1}^{n_{L}}\alpha_{ij}\ =\ 0,\ \left(i=1,\ldots,n\right)\\ &\sum_{i=1}^{n_{L}}\alpha_{i}\ =\ 1.\\ \end{aligned} $$

この Translog 集計関数を仮定すると、生産における労働投入量の弾力性は以下のようになる。

$$ \begin{align*}\frac{\partial\ln X}{\partial\ln L_{j}}&=\frac{\partial\ln X}{\partial\ln L}\frac{\partial\ln L}{\partial\ln L_{j}}\\&=\ s_{_{L}}s_{_{j}}=\frac{\partial\ln X}{\partial\ln L}\left(\alpha_{_{j}}+\sum_{i=1}^{n_{L}}\alpha_{_{ij}}\ln L_{_{i}}\right).\end{align*} $$

もし、ある労働投入量がゼロになるならば、生産に関する労働投入量の弾力性を定義する
ことはできない。すなわち労働投入量 $ L_{i} $ がゼロに達する前に、労働投入量 $ s_{i} $ のコストシェアーはゼロになる。これは、労働投入量の価格 $ w_{i} $ がゼロであることを意味している。

これはTranslog集計関数の特性である。われわれがTranslogコスト関数(19)を定義するとき、それぞれの労働投入量のシェア－弾力性が一定であるということを示すことができる。

$$ l n C_{L}=\sum_{i=1}^{n_{L}}\beta_{i}l n w_{i}\sum_{i=1}^{n_{L}}\sum_{j=1}^{n_{L}}\beta_{i j}l n w_{i}l n w_{j}+\beta_{X}l n X+\sum_{i=1}^{n_{L}}\beta_{i X}l n X l n w_{i}, $$

$$ s_{i}=\beta_{i}+\sum_{j=1}^{n_{I}}\beta_{i j}l n w_{j}+\beta_{i X}l n X\left(i=1,\ldots,n_{L}\right). $$

このケースでは、関数型はプラスの価格(賃金)に対してゼロ水準の労働投入量を許容している。しかし、残念ながら、このタイプのシェアー関数は、競争的な労働市場メカニズムゆえに、一つのカテゴリーの労働に関して一つの賃金水準しかないクロスセクション・データからは計測することができない $ ^{5} $ 。こうして雇用に関するシェアー関数の賃金弾力性は推計することができず、また、もし労働市場が競争的でないとしたら、シェアー関数はもはや根拠のあるものではなくなる。

要素制限的生産関数と呼ばれている他のタイプの生産関数もまた研究されている。小宮[1962]は、投入・産出関係を対数線型関数によって示した代替モデル(コブ・ダグラス型生産関数)と制限的モデルを分類した。例えば、労働投入関数を $ L = AX^{\beta^{X}}X_{u}^{\beta^{X}} $ と定式化している。ここで、X は産出水準、 $ X_{u} $ は、同じ工場の生産単位の数を表している。この定式化は、労働投入量の間では完全代替関係が成立していると仮定しているので、労働の集計関数は単純に生産単位あたりの平均的雇用の数である。この定式化は、レオンチェフ生産関数(Leontief[1951])を拡張した、とりわけ尾崎[1966、1970]が、広範囲にわたり日本の産業における要素制限的生産関数をプラントベースのデータを用いて計算している。尾崎は労働投入に関する規模の経済性が多くの事業所に存在することを観察している。
$$ l n L=\alpha_{L}+\beta_{L}l n X, $$

Lは雇用水準、Xは産出水準、 $ \alpha_{L} $ と $ \beta_{L} $ は計算される係数である。この結果についてはLau·田村[1972]が、より一般的な関数形を日本の石油化学工業について、また中村[1990]が、さらに複数の一般的な関数形のあいだで比較し、その結果は日本の工業について非同次性があることを計測している。

$$ \begin{align*}ln L\ &=~\boldsymbol{\alpha}_{L}+\boldsymbol{\beta}_{L}ln X+\boldsymbol{\gamma}_{L}\mathfrak{v}\\ \frac{L}{X}\ &=\quad\boldsymbol{\beta}_{LL}X^{\mathrm{\boldmath~\beta~}_{XL}}exp\left(\boldsymbol{\beta}_{Lt}\right)+\sum_{j\neq L}\boldsymbol{\beta}_{jL}\sqrt{\left(\frac{p_{j}}{w_{L}}\right)}X^{\mathrm{\boldmath~\beta~}_{X}}exp\left(\boldsymbol{\beta}_{t}t\right),\end{align*} $$

vは資本財の製造年次、tは時間、Xは産出水準、 $ p_{j} $ は労働以外の要素の投入価格、 $ w_{L} $ は単位労働コスト、 $ \alpha_{L} $ 、 $ \beta_{L} $ 、 $ \beta_{LL} $ 、 $ \beta_{XL} $ 、 $ \beta_{Lt} $ 、 $ \beta_{jL} $ 、 $ \beta_{X} $ 、 $ \beta_{t} $ 、 $ \gamma_{L} $ は計算された係数である。しかし、これらの分析はどれも、どのような種類の労働力も互いに完全代替すると仮定しているので、労働投入量はすべての種類の労働投入の単純合計を用いている。上記の計測いずれもが総労働投入量のみを用いている理由は、単に使用可能なデータの制約があるからである。

この論文では性・年齢別の分類で労働需要を分析するのでこうした集計の妥当性を調べることができる。もし、すべての性・年齢カテゴリーで労働が生産活動において同じ役目をはたすならば、推定されたパラメターはそのカテゴリーに関わらず同じ値をとることになる。こうした場合には、性・年齢別分類でみた雇用と失業の問題は、最近 Davis・Haltiwanger[1992]や Bertin[1996]により指摘されているが、労働供給行動パターンが同じであれば、労働需要のカテゴリー特有の問題というよりも、事業所が生成したり消滅したりすることから生じる影響が大きいことを示している。

Hamermesh[1993]は、時系列データを用いて性別・年齢別の違いに着目する労働需要の既存の研究を展望している。しかし、それらの分析は代替性のあるモデルを用いた賃金弾力性の計測に集中しており、労働需要に関する産出(生産)の弾力性については触れていない。もし、われわれが分類別の労働需要を計算するために素直に要素制限的生産関数を一般化するとしたら、Lau・田村[1972]や中村[1990]の研究にあるように、非同次の一般化されたレオンチェフ・コスト関数を導くことになる。したがって、上記の労働需要関数は、完全競争的な労働市場を前提にすると、次のFussクラスのコスト関数により導かれる。

$$ \frac{C\left(p,X,t\right)}{X}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sqrt{p_{i}p_{j}}h_{ij}\left(X,t\right), $$
$ p_{i} $ は要素価格、X は産出水準、t は時間、 $ h_{ij} $ は非同次関数、C はコスト関数である。1970 年代以降の生産理論の発展は、最初に Chenery [1954] や尾崎 [1966、1970] により主張された生産技術には注意を払ってこなかった。Lau・田村 [1972] は資本財の製造年次について少しだけ言及しているので、労働と産出の技術的関係を依然として追求しているといえよう。小宮 [1962] は、労働と生産活動の安定した関係を見いだす過程で成功しなかったものの、生産単位と設備の取扱いを承知していた。

技術的な関係に注意が払われていれば、労働投入に関する公式は、価格効果を無視するが、もしそうでなければ、労働投入は競争的な要素市場の下で、双対性によるコスト関数から導かれ、定式化のさいに規模の効果を無視することとなる。後者のケースでは、生産関数は要素制限タイプをベースとしている。

$$ X=m i n\left\{f\left(L_{1},L_{2},\ldots,L_{n_{L}}\right),K,M\right\}, $$

Xは産出水準、fは労働集計関数、Kは資本ストック、Mは原料(省略される)である。労働の集計関数 $ f\left(L_{1},L_{2},\ldots,L_{nL}\right) $ は $ f\left(\sum_{i=1}^{nL}L_{i}\right)=f(L) $ の形態をとるものの、双対理論により対応するコスト関数は(21)のように表される。ここでは、労働投入の集計に関する仮定をすることなく、年齢別・性別の労働需要を分析するために新しいタイプの要素制限的生産関数を導入することにする。

## ４．年齢・性別労働需要の新たな定式化

クロスセクション・データを用いて年齢別・性別の労働需要関数を計算するに際し考慮すべきポイントが三つある。前節で説明したように、これまでの分析は性・年齢別に労働を分割することなく完全代替を仮定しているため、性・年齢別の労働需要を分析する際に考慮しなければならない課題に応えるには極めて限定的なものである。

もし異なる労働力のタイプ間で完全代替を仮定すれば、対処しなければならない問題の一つは消滅する。すなわち、仮にある分類に属する労働力が生産に必要ないとしても、われわれは問題なく総労働投入量についての労働需要を計算することができる。しかし、われわれは性・年齢別の労働需要に関心があるが、企業は同時にすべてのタイプの労働力を需要するわけではない。それゆえ、少なくとも部分的には労働力のタイプ間の代替性を許容しなければならない。これがわれわれが考慮すべき第一のポイントである。われわれはこの問題に対処するために、二つの生産関数のタイプを考えてみる。一つは負の定数をと
る $ L_{i}=a+bX $ で示される線型の労働需要関数であり、もう一つは労働力のタイプのあいだで分布を導入している。特定のタイプの労働需要は労働力のタイプ間の分布 $ L_{i}/L(i=1,\ldots,n_{L}) $ で表され、総労働需要は、すべての労働力のタイプの合計により、 $ L=\sum_{i=1}^{nL}L_{i} $ として表される。

第二のポイントは、その他の投入要素、資本、原材料との間の代替性と補完性である。原材料の投入のように、生産活動に原材料が必要だとすれば、その投入なしには何のアウトプットも生まれないので、われわれは要素制限的な仮説を素直に仮定することができる。しかし資本の投入の場合は、たとえある種の労働が資本投入との補完関係があったとしても、一般に労働と資本との間の代替性が存在することはもっともなことである。ここでは、投入要素間に認められる三種類の代替・補完性について定義したい。

第一は、投入要素は完全に補完的な場合である。このタイプはレオンチェフ投入係数で表現され、労働投入関数はアウトプットだけに依存する。

第二は、投入要素がセミ・ファクター・サブスティチュータブル (準要素代替的) であるということである。すなわち、このタイプでは必要な労働のタイプが資本投入水準に依存しているというである $ ^{6} $ 。このケースでは労働投入関数は、アウトプットと資本ストック、あるいはその代理変数といった事業所の特性に依存する可能性がある。

第三は、投入要素が完全に代替的である場合である。このタイプは推定された係数をもちいて労働と資本のあいだで集計するものである。この場合、労働投入関数は資本ストックは固定的である仮定のもと推定することができる。

われわれが注意しなければならない第三のポイントは、多品種生産の場合である。事業所は単一品生産だけでなく、多品種生産もおこなっている場合がある。商業にかんする限り、この問題はそれほど深刻ではない。多くの商品を扱う小売業であっても、その生産活動は商品ごとに定義されるのではなく、その商品を取引する仲介のサービスで定義されるからである。しかし、小売業の中には小売活動のみならず、商品の修理や手数料をともなう活動も含まれている。これらの活動を分析する場合には、もっとも簡単な処理を選んでいる。次に、これらの問題が要素制限的生産関数として定式化されることを示す。

### 4.1 計量分析のためのモデルの一般的な解説

すべての労働投入に関するカテゴリーが互いに補完的であるとしたら、生産関数は次のように表される。

$$ L=\alpha_{_{L}}K^{\beta L}、K=\alpha_{_{K}}Q^{\beta K}、 $$
$$ X=m i n\left\{f_{1}\big(L_{1}\big),f_{2}\big(L_{2}\big),\ldots,f_{n_{L}}\big(L_{n_{L}}\big),g\left(\overline{K}\right)\right\}, $$

Xは産出水準、 $ f_{i} $ は労働投入関数、gは資本投入関数、 $ L_{i} $ は性・年齢別の労働、 $ \overline{K} $ は資本ストックである。もし関数 $ f_{i}(i=1,\ldots,n_{L}) $ が、すべて原点を通っていると仮定すると、それはあらゆるタイプの労働力が生産活動に関して必要とされるということ、および'必要不可欠な'補完性を示している。

$$ 0=\ f_{i}\left(0\right),\left(i=1,\ldots,n_{L}\right), $$

もし、関数 $ f_{i}(i=1,\ldots,n_{L}) $ がすべて同次型だとすれば、すべての労働分類は互いに完全に補完関係にあるということがいえる。この生産関数はレオンチェフの投入係数(関数)である。

$$ \lambda f_{i}\left(L_{i}\right)=\ f_{i}\left(\lambda L_{i}\right),\lambda\geq0\left(i=1,\ldots,n_{L}\right), $$

しかし、全体としての労働投入は不可欠であるが、個々の性・年齢別の労働投入は、生産活動にとっては常に不可欠なものではないため、これら二つの仮定は、性・年齢別に労働需要を分析する場合には、大きな制限を与えることになる。一般に産業連閉分析では、労働投入は性・年齢別分類ではなく、職種分類によって生産活動と安定的な関係が得られると仮定している。労働投入が職種別に分類されている場合には、すべてのタイプの労働力が、生産に必要不可欠な投入要素として表現されていることは、職種の定義から明らかなことである。その場合でも、特に事務労働の職種分類は、性・年齢別の労働力タイプほど明確に定義できるわけではない。事務労働を詳しく分類しても互いに代替的である場合が多いことがあるからである。この問題は、われわれの "Labor Demand by Age and Gender in Manufacturing Industries" [1997]の中でよりフォーマルに考察している。

小尾[1978、1996]は、企業は就職志望者に対して選択順位をもっていることから、性・年齢別の就業確率と労働需要にかんする企業行動モデルを提示している。小尾は性・年齢別の人口群を職種分類にもとづいた生産関数に結びつける試みを提示しているわけではないが、そのアプローチは労働需要を分析するにあたり非常に示唆に富んでいる。小尾が考えたように、特に日本の企業は既存の技術と生産水準に応じて必要となる職種への労働需要があるとしても、人事が就職志望者の管理を行っている。技術的制約からくる職種への需要は、常にそれがそのまま労働需要を表すわけではない。これは、労働投入係数が不安定であるといわれている産業連関分析ではよく知られた事実である。

所与の資本ストック $ \overline{K} $ に対し、準要素代替的生産関数を次のように定義することができる。
$$ X=m i n\left\{f_{1}\left(L_{1},\overline{{K}}\right),f_{2}\left(L_{2},\overline{{K}}\right),\ldots,f_{n_{L}}\left(L_{n_{L}},\overline{{K}}\right)\right\}, $$

Xは産出水準、$f_{i}$ はそれぞれのタイプの準要素代替的労働投入関数である。もし、$f_{i}\left(0,\overline{K}\right)=0,\left(i=1,\ldots,\eta\right)$ ならば、性・年齢別の労働投入は、それぞれのカテゴリーで互いに補完関係にあり、資本とは代替的である。しかし、もしあるカテゴリーの労働についてプラスの領域$f_{i}\left(0,\overline{K}\right)=f_{i0}>0$ が存在するならば、そのようなカテゴリーの労働力は、現状の資本ストックをもちいると生産水準が$f_{i0}$ に達するまで雇用されない。これは、労働力のカテゴリー間での代替性を示すものではないが、あるカテゴリーの労働力は産出量が増える際に他のカテゴリーより多数を必要とする。労働投入のタイプのなかで偏った増加傾向をもった技術であることを示している。ここでは、残念ながら、資本ストックの効果を計算するのに十分なデータが無いので、その結果が産出量が増えたために発生するのかあるいは資本ストックが増えたために発生するのかは識別することができない。

基本的には上記の生産関数では労働力テゴリー間の代替性は表現されていない。しかし、レオンチェフ[1951]が指摘したように、もし投入 $ L_{1} $ と $ L_{2} $ の間に完全な代替性があれば、例えば $ L_{1} $ のコストがより安い場合には $ L_{1} $ のみというように、観察される投入要素は、その二つのうちのどちらかである。したがって、産出量Xとの関係は完全に補完的な労働投入係数 $ L_{1}=áX $ と同じ式であらわされる。われわれはどのタイプの労働投入が見いだせないかをデータからチェックすることができる。もし、労働力テゴリー間の相対賃金がすべての事業所で共通ならば、いくつかのタイプの労働投入が観察されない理由は事業所間の労働生産性の違いからくるものである。

次に、カテゴリー間で完全に代替的な労働投入に直面しているが、生産活動をおこなううえで特別の労働力構造を必要とする事業所があるとしよう。このとき、総労働投入量または資本ストックに対しては、そうした労働力構造は補完的な場合を仮定しよう。

$$ X=m i n\Bigg\{f h\left(\frac{L_{1}}{L},\frac{L_{2}}{L},\ldots,\frac{L_{n L}}{L}\right),f\left(L\right),g\left(\overline{{K}}\right)\Bigg\}, $$

X を産出水準、fh を労働力構造の関数、f を総労働投入関数、L を総労働投入量、 $ \overline{K} $ を資本ストック、g を資本投入関数とする。

方程式(24)は、労働の集計関数 $ L=f\left(L_{1},L_{2},\ldots,L_{nL}\right) $ の修正版として解釈でき、それは次のように書き直すことができる。

$$ X=m i n\left\{\mathrm{L}f(\frac{L_{1}}{L},\frac{L_{2}}{L},\ldots,\frac{L_{n L}}{L}),g(\overline{{K}})\right\}. $$

上式の場合には、総労働投入量 L と労働力構造の代替性を認めていることになるが、こ
れに対して(24)式は、そうした代替性を認めていない場合である。

労働力の属性別のパターンが、それぞれの構成要素間で補完的であると仮定すれば、生産関数は次のように表される。

$$ X=m i n\Bigg\{f h_{1}(\frac{L_{1}}{L}),f h_{2}(\frac{L_{2}}{L}),\ldots,f h_{n_{L}}(\frac{L_{n_{L}}}{L}),f\left(L\right),g\left(\overline{K}\right)\Bigg\}, $$

$ fh_{i} $ は対応する属性の労働力構成比 $ \frac{L_{i}}{L} $ の投入関数であり、その他の記号については、前の方程式と同じである。

このケースでは、われわれは関数 $ fh_{i}(\frac{L_{i}}{L}) $ は $ fh_{i}(\frac{0}{L})>0 $ となるような正の切片を持つと仮定することができる。そして総労働投入 L がそれぞれの労働力の属性別割合 $ (\frac{L_{i}}{L}) $ に対し補完的であるから、このモデル方程式(25)と方程式(22)とのあいだには、相違はない。しかし、このモデルは総労働投入 L と産出 X との関数では非線形となる。実際、労働投入の属性間での代替性の自由度は全く無い $ ^{7} $ 。

もし、属性別労働力と資本ストックとの間に準要素的代替性を仮定すれば、生産関数は次のように表される。

$$ X=m i n\Bigg\{f h_{1}(\frac{L_{1}}{L},\overline{K}),f h_{2}(\frac{L_{2}}{L},\overline{K}),\ldots,f h_{n_{L}}(\frac{L_{n_{L}}}{L},\overline{K}),f\big(L\big)\Bigg\}. $$

また、生産関数を次のように表すとすれば、資本ストックに対して代替的な総労働投入量

$$ L\;=\;b_{0}\;+\;b_{1}X, $$
を記述できる。

$$ X=m i n\left\{f h_{1}(\frac{L_{1}}{L},\overline{K}),f h_{2}(\frac{L_{2}}{L},\overline{K}),\ldots,f h_{n_{L}}(\frac{L_{n_{L}}}{L},\overline{K}),f(L,\overline{K})\right\}. $$

この生産関数は、雇用者数に占める特定の性・年齢階級の構成比であらわされた労働力構造を投入要素として含んでいる。この意味は、産出水準Xを技術的にかつ効率的に生産するために、企業が総雇用者数Lのほかに、ある特定の労働力構造を必要としているということである。ここでは、その労働力構造が、たとえば企業内部のピラミッド型のヒエラルキーのようなであっても構わないし、あるいはよりフラットな少数の年長者と多数の若年労働といったようなものであっても構わない。また、その労働力構造が、情報の伝達メカニズムに必要なものであっても構わないし、機械操作への対応といったより肉体的な制約からくるものであっても構わない。つまり、労働力構造が何を意味するかについては、ここでは問わないで分析することにする。もちろん、その構造が事業所の生産活動にとって必要であるから需要されるのであるが、その必要性がどのような理由にもとづくのかを分析するには、より踏み込んだ仮説を提示するとともに、その仮説を検証するために設計されたデータの収集と調査が必要であろう。

最後にわれわれは多品種の結合生産について考える。ここでは、だた(22)から(27)式の左辺をφ $ \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{nx}\right) $ に置き換えたものである。

$$ \begin{array}{r l r}{\phi\left(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n_{X}}\right)}&{{}=}&{m i n\Big\{f_{1}(L_{1}),f_{2}(L_{2}),\ldots,f_{n_{L}}\left(L_{n_{L}}\right),g(\overline{{K}})\Big\}}\end{array} $$

$$ \begin{array}{r l r}{\phi\left(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n_{X}}\right)}&{{}=}&{m i n\Big\{f_{1}(L_{1},\overline{{K}}),f_{2}(L_{2},\overline{{K}}),\ldots,f_{n_{L}}\left(L_{n_{L}},\overline{{K}}\right)\Big\}}\end{array} $$

$$ \Phi\left(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n_{X}}\right)\quad=\quad min\left\{fh\left(\frac{L_{1}}{L},\frac{L_{2}}{L},\ldots,\frac{L_{n_{L}}}{L}\right),f(L),g(\overline{K})\right\} $$

$$ \Phi\left(X_{1},X_{2},\ldots,X_{n_{X}}\right)\quad=\quad min\left\{fh_{1}(\frac{L_{1}}{L}),fh_{2}(\frac{L_{2}}{L}),\cdots,fh_{n_{L}}(\frac{L_{n_{L}}}{L}),f(L),g(\overline{K})\right\} $$

$$ \Phi\left(X_{1},X_{2},\ldots,\ X_{n_{X}}\right)\quad=\quad m i n\left\{f h_{1}(\frac{L_{1}}{L},\overline{K}),f h_{2}(\frac{L_{2}}{L},\overline{K}),\cdots,f h_{n_{L}}(\frac{L_{n_{L}}}{L},\overline{K}),f(L)\right\}, $$

$$ \phi\left(X_{1},X_{2},\ldots,\ X_{n_{X}}\right)\qquad=\qquad m i n\left\{f h_{1}(\frac{L_{1}}{L},\overline{K}),f h_{2}(\frac{L_{2}}{L},\overline{K}),\cdots,f h_{n_{L}}(\frac{L_{n_{L}}}{L},\overline{K}),f\left(L,\overline{K}\right)\right\}, $$

$ \phi\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{nx}\right) $ は、生産物についての集計関数の一種である。

これらの方程式は上記の(22)式から(27)式に結合生産の概念以外の何も手を加えてはいない。それぞれの投入要素が、集計関数φに対し分離可能性があるという仮定をしている。すなわち、生産物間での技術的限界代替率の水準が投入要素の水準に依存しないということを示している。

これらの関数式に対し、考慮すべき三つの点がある。労働力テゴリー間の代替性は、労働力構造についての $ fh_{i} $ や総労働投入関数についてのfの定式化で示すことができる。それ
ぞれの $fh_{i}$ は定義により 0 から 1 の間にある。また、$\sum_{i=1}^{nL}fh_{i}=1$ は恒等式である。例えば $n_{L}=2$ の場合、もし $fh_{1}$ が以前より大きくなれば、$fh_{2}$ は $fh_{1}$ を補うためにより小さくならなければならない。それゆえ、$n_{L}=2$ の場合は二つのタイプの労働がお互い補完的だというようなことはあり得ない。これは、生産関数 $f_{i}(L_{i})$ と生産関数 $fh_{i}(L_{i}/L)$ のあいだの重要な違いの一つである。前者のケース $f_{i}(L_{i})$ は、代替効果のような一定の合計関係を意味していない。

第二のポイントは、総投入水準についての代替性と補完性である。われわれは既に二つのタイプの生産関数について明らかにした。すなわち、完全補完型と準要素的代替型である。

第三のポイントは、結合生産であり、それはまさにφ関数について述べたものである。

### 4.2 計測される方程式の詳細

上記の関数式を計算するに際し、関数形を特定化しなければならない。前節で説明した関係は十分に分析されたことがなかったので、われわれはもっとも単純な関数形ともっとも簡単な計算手順で分析することにする。今後の分析によって、より精緻な関数形とより複雑な計算手順の必要性が示されるだろう。われわれは労働投入関数を計算するために、つぎの六種類のモデルに取り組んだ。

Model "AGE1"

最初のモデルは、(22)式から導かれる。 $ f_{i} $ の関数形は線形的だが、非同次型である。

$$ X\;=\;f_{_{0i}}\;+\;f_{_{1i}}L_{_{i}},\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big), $$

$ f_{oi} $ 、 $ f_{li} $ は、関数のパラメターである。独立変数を式の左辺に移項すると、上式は次のように変形される。

$$ L_{i}=a_{_{0}i}+a_{_{1}i}X,\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big), $$

$ a_{0i} $ 、 $ a_{1i} $ は、推定されるパラメターである。

Model "AGE2"

次のモデルは、(23)式から導かれる。(23)式の労働投入関数は以下のようにあらわされる。

$$ X=f_{i}\Big(L_{i},\overline{K}\Big),\big(i=1,\ldots,n_{L}\big) $$

資本ストック $ \overline{K} $ を利用して売上高 X を得ているという関係は、次式で表されるとしよう。
$$ X=g\big(\overline{K}\big) $$

ここでは、クロスセクション・データだけが利用できるので、資本ストック$\overline{K}$と生産活動の結果得られた売上高Xのあいだにある時間差は無視することになる。クロスセクション・データでは、売上高Xの違いは企業規模の違いを反映しており、事業所の成長・衰退の指標としてその分布状態を解釈するには限界がある。ここではしかも資本ストックの十分なデータがないため、形式的に上式をもちいて資本ストック$\overline{K}$を消去し、売上高Xとカテゴリー別労働投入$L_{l}$の関係を得て、これを推定に用いることにする。

$$ X=f_{i}\left(L_{i},g^{-1}\left(X\right)\right),(i=1\ldots,n_{L}) $$

資本ストックの投入関数 $ K = g^{-1}(X) $ については、線形関係ではないことが予想されるため、次のような X の二次方程式で近似することにする。

$$ g^{-1}\big(X\big)=g_{0}+g_{1}X+g_{2}X^{2} $$

そして $ f_{i} $ は X と K の一次方程式で近似する。ここで、 $ f_{0i} $ 、 $ f_{1i} $ 、 $ f_{2i} $ は、関数のパラメターである。

$$ X=f_{0i}+f_{1i}L_{i}+f_{2i}K,(i=1\ldots,n_{L}) $$

推計される労働投入関数は次のように与えられる。

$$ L_{i}=a_{_{0}}+a_{_{1}}X+a_{_{2}}X^{^{2}},(i=1\ldots,n_{_{L}}), $$

$ a_{0i} $ 、 $ a_{1i} $ 、 $ a_{2i} $ は計測されるパラメターである。

Model "AGE3"

$\overline{K}$ のその他の近似方法は小売業についてのみ調査されている売場面積である。そこでわれわれは $X = f_{i}(L_{i}, \overline{K})$、$(i = 1, \ldots, n_{L})$ に対し $\overline{K}$ の代わりに面積 $S$ を用いる。そこで得られるのが労働投入関数のモデル "AGE3" である。

$$ X\;=\;f_{0i}\;+\;f_{1i}L_{i}\;+\;f_{4i}S\;,(i=1\ldots,n_{L}), $$

$ f_{0i} $ 、 $ f_{1i} $ 、 $ f_{4i} $ は関数のパラメターである。そして、推定式は次のようになる。
$$ L_{i}=a_{0}+a_{1}X+a_{4}S,\left(i=1,\ldots,n_{L}\right) $$

$ á_{0i} $ 、 $ á_{1i} $ 、 $ á_{4i} $ は計測されるパラメターである。

Model "AGE4"

モデル "AGE4" は結合生産の方程式(28)の最も単純なものである。それは

$$ \boldsymbol{\Phi}\big(X_{1},X_{2}\big)=\boldsymbol{\Phi}_{1}X_{1}+\boldsymbol{\Phi}_{2}X_{2}, $$

および線形労働投入関数の

$$ \phi\big(X_{_{1}},X_{_{2}}\big)=f_{_{0i}}+f_{_{1i}}L_{_{i}},\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big), $$

から導かれる。 $ ph_{i1} $ 、 $ ph_{i2} $ 、 $ f_{0i} $ 、 $ f_{1i} $ は関数パラメターである。

モデル "AGE4" は、つぎの式となる。

$$ \Phi_{1}X_{1}+\Phi_{2}X_{2}=f_{0i}+f_{1i}L_{i},\big(i=1,\ldots,n_{L}\big). $$

したがって、推定式は次のようになる。

$$ L_{i}=a_{0i}+a_{1i}X_{1}+a_{3i}X_{2},\left(i=1,\ldots,n_{L}\right). $$

$ a_{0i} $ 、 $ á_{1i} $ 、 $ á_{3i} $ は計測されるパラメターである。

Model "AGE5"

モデル "AGE5" は、(29)式のような結合生産をともなう準要素代替的生産関数である。このケースでは、関数形を特定化するさいに生産と投入との間に分離性を仮定しなかった。しかし、資本ストックは生産物 $ X_{1} $ の生産能力を決定すると考えられるので、その他収入 $ X_{2} $ の生産活動には資本ストックは要素制限的ではないと考えられる。一方、労働投入 $ L_{i} $ は生産物 $ X_{1} $ にとってもその他収入 $ X_{2} $ にとっても要素制限的であると考えられる。というのは、結合生産の場合、 $ X_{1} $ 、 $ X_{2} $ を得るための生産活動は事務所、ファックス、その他の施設をおそらく共有しているだろう。しかし、商品を取引するための労働投入は、同時に両方の活動を行うことはできない。このような状況を念頭において、その他の収入 $ X_{2} $ にもちいている資本ストックは、 $ X_{1} $ を取引するための資本ストックを共用していると仮定すれば、われ
われは次の関係を見いだすことができる。

$$ X_{1}=g\big(\overline{K}\big) $$

$ X_{1} $ 、 $ X_{2} $ を生産するために需要される労働投入は次の関数で表される。

$$ \phi\big(X_{_{1}},X_{_{2}}\big)=f_{_{i}}\big(L_{_{i}},\overline{K}\big),\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big) $$

φと $ f_{i} $ の線形性については、単独生産の"AGE2"モデルでのベたものと同様のことがいえる。結局、推計式は次のように与えられる。

$$ L_{i}=a_{0i}+a_{1i}X_{1}+a_{2i}{X_{1}}^{2}+a_{3i}X_{2},\ \big(i=1,\ldots,n_{L}\big), $$

$ a_{0i} $ 、 $ a_{1i} $ 、 $ a_{3i} $ は計測されるパラメターである。

Model "AGE6"

モデル "AGE6" は結合生産の別のタイプである。しかしここでは、労働投入関数のみ用い、資本ストックは、売場面積 S で近似しているので、関数形に生産量と投入量に関する分離性は仮定していない。

$$ \boldsymbol{\upphi}\left(\boldsymbol{X}_{1},\boldsymbol{X}_{2}\right)=\boldsymbol{f}_{i}\left(\boldsymbol{L}_{i},\overline{\boldsymbol{K}}\right),\left(i=1,\ldots,n_{L}\right), $$

$$ \Phi\left(X_{_{1}},X_{_{2}}\right)=f_{_{i}}\left(L_{_{i}},S\right),\left(i=1,\ldots,n_{_{L}}\right), $$

関数形を一次近似した場合、推計式が得られる。

$$ L_{_{i}}=a_{_{0i}}+a_{_{1i}}X_{_{1}}+a_{_{3i}}X_{_{2}}+a_{_{4i}}S,\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big), $$

$ a_{0i} $ 、 $ a_{1i} $ 、 $ a_{3i} $ 、 $ a_{4i} $ は計測されるパラメターである。

Model "Ratio 1"

次のモデルは、属性別的な労働力構造が要素制限的となる生産技術を前提にしたものである。しかし、生産量に対して、労働力属性別の投入要素も総労働量もともに線形関係を仮定した場合、資本ストックについて解いた誘導形の準要素代替的モデル "AGE2" と、このモデルは同じ式になる。パラメターの安定性を考えた場合、計測されるパラメターの値が、
金額評価や雇用者数のような特定の単位になることを避けた方がよい。そえゆえ、われわれは労働投入関数について次のように半対数形をとることにする。

$$ X\ =\ Fh\ _{_{oi}}e^{fh_{_{1i}}\frac{L_{_{i}}}{L}},\big(i\ =1,\ldots\ ,n\ _{_{L}}\ \big), $$

あるいは

$$ l n X=f h_{_{0i}}+f h_{_{1i}}\frac{L_{i}}{L},\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big), $$

ここで、 $ lnFh_{0i}=fh_{0i} $ 、 $ fh_{1i} $ は関数のパラメターである。この特定化は、総労働投入 L と売上高水準 X の間の関係からは独立である。

Model "Ratio 2"

モデル "Ratio2" は "AGE2" の場合と同様、準要素代替的生産関数の一つである。しかし、属性別の労働力と産出量のあいだに半対数線形、産出量と資本との間に対数線形の関係を仮定する。

$$ X=F h_{_{0}i}e^{f h_{1i}\frac{L_{i}}{L}}K^{f h_{2i}},\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big), $$

あるいは

$$ l n X=f h_{_{0i}}+f h_{_{1i}}\frac{L_{i}}{L}+f h_{_{2i}}l n K,\left(i=1,\ldots,n_{_{L}}\right), $$

ここで、 $ lnFh_{0i}=fh_{0i} $ 、 $ fh_{1i} $ 、 $ fh_{2i} $ は関数 $ fh_{i} $ のパラメターである。

$$ l n K=b_{_{0}}+b_{_{1}}l n X+b_{_{2}}\left(l n X\right)^{2}, $$

$ b_{0} $ 、 $ b_{1} $ 、 $ b_{2} $ は関数 $ g(K) $ のパラメターである。

上式で ln K を消去すると、推計式は次のようになる。

$$ \frac{L_{i}}{L}=a_{_{0i}}+a_{_{1i}}\ln\ X+a_{_{2i}}\big(\ln\ X\big)^{2},\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big), $$

$ a_{0i} $ 、 $ a_{1i} $ 、 $ a_{2i} $ 、は計測されるパラメターである。
Model "Ratio 3"

モデル "Ratio 3" は、結合生産の最も単純なケースである。

$$ \phi\left(X_{_{1}},X_{_{2}}\right)=f h_{_{i}}(\frac{L_{_{i}}}{L}),\left(i=1,\ldots,n_{_{L}}\right). $$

もし、φが対数線形に特定化され、また$fh_{i}$が線形なら、関数関係は次のようになる。

$$ \Phi_{_{1}}lnX_{_{1}}+\Phi_{_{2}}lnX_{_{2}}=fh_{_{0i}}+fh_{_{1i}}(\frac{L_{_{i}}}{L}),\left(i=1,\ldots,n_{_{L}}\right), $$

$\phi_{1}$、$\phi_{2}$、$fh_{0i}$、$fh_{1i}$ は、関数のパラメターである。そして推計式は、

$$ \frac{L_{i}}{L}=\acute{a}_{0i}+\acute{a}_{1i}lnX_{1}+\acute{a}_{3i}lnX_{2},\big(i=1,\ldots,n_{L}\big), $$

となる。ここで $ a_{0i} $ 、 $ a_{1i} $ 、 $ a_{3i} $ は計測されるパラメターである。

Model "Ratio 4"

モデル "Ratio4" は、準要素代替と結合生産を混合したものである。このモデルでは前と同様に半対数線形を仮定する。したがって、生産と投入の関数関係は次のようになる。

$$ \phi_{1}\ln X_{1}+\phi_{2}\ln X_{2}=f h_{0i}+f h_{1i}(\frac{L_{i}}{L})+f h_{2i}\ln K,\big(i=1,\ldots,n_{L}\big), $$

$\phi_{1}$、$\phi_{2}$、$fh_{0i}$、$fh_{1i}$、$fh_{2i}$は、関数のパラメターである。われわれはさらに前のようにその他収入$X_{2}$の生産量が、資本ストックにより制限されないということを仮定する。それゆえ$ln K$は売上高$X_{1}$にのみ影響する。

$$ l n K=b_{_{0}}+b_{_{1}}l n X_{_{1}}+b_{_{2}}\big(l n X_{_{1}}\big)^{2}, $$

$ b_{0} $ 、 $ b_{1} $ 、 $ b_{2} $ は関数 $ g(K) $ のパラメターである。また推計式は、

$$ \frac{L_{i}}{L}=a_{_{0i}}+a_{_{1i}}\ln X_{_{1}}+a_{_{2i}}\big(\ln X_{_{1}}\big)^{2}+a_{_{3i}}\ln X_{_{2}},\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big), $$

$ a_{0i} $ 、 $ a_{1i} $ 、 $ a_{2i} $ 、 $ a_{3i} $ は計測されるパラメターである。

Model "Ratio 5"

モデル "Ratio5" は、準要素代替関数のいま一つの例であり、ここでは資本ストック K は小売業の売場面積 S で置き換えられている。この場合、 $ g(K) $ の関数形についての仮定はな
くてよい。労働力の属性別構造についての関数を次のように考えるとする。

$$ l n\ X=f h_{_{0}}+f h_{_{1i}}\frac{L_{_{i}}}{L}+f h_{_{4i}}S,\left(i=1,\ldots,n_{_{L}}\right), $$

ここで、 $ fh_{0i} $ 、 $ fh_{1i} $ 、 $ fh_{4i} $ は関数 $ fh_{i} $ のパラメターであり、計測されるモデルは次のように表される。

$$ \frac{L_{i}}{L}=a_{_{0i}}+a_{_{1i}}\ln X+a_{_{4i}}S,\big(i=1,\ldots,n_{_{L}}\big), $$

ここで $ a_{0i} $ 、 $ a_{1i} $ 、 $ a_{4i} $ は計測されるパラメターである。

これらのいくつかの生産関数の代案を定式化することで求めているものは、これらの特定化にかかわらず共通の傾向を見つけることであり、もっとも説明力の高いモデルを探すことではない。もし、どんなモデルを計測しても、共通に見つかる労働投入需要関数の傾向があるとしたら、それは労働投入の基本法則が記述されたものとして解釈できるだろう。

### 5. 計測結果

この節では、最初に前節であらわれた変数に対応するデータが説明されている。そして次に計測結果の概要がある。

### 5.1 データと変数

第一節でのべたように、売上高データと雇用データの両方を含む事業所レベルでのデータは、これまで利用できなかった。しかしここでわれわれはその目的にかなうデータセットを作成した。商業の生産活動は製造業の場合ほど明確ではない。したがって、何を計測したのかを明確にしておく必要がある。生産水準 X は 1991 年の『商業統計調査』で報告されている毎年取引される売上高総量のことであり、それは 10,000 円単位で報告されている。産業連関分析では、商業の活動水準は、この分析でもちいている売上高ではなく、むしろ、取引された商品から発生するマージンであると定義している。

もし売上高に対するマージン率が事業所間で同じならば、基本的な問題はまったくない。しかし、商業活動のアウトプットとしてマージンをとった場合に検討すべき点が残されている。と同時にアウトプットとして取引される販売量を考えた場合にも困難は残っている。

アウトプットとしてマージンを取上げることは、競争的市場においては整合的である。というのは独占的なマージンが存在しなければ、報告されているマージンは危険分担費用や保守費用などから見積もられるので取引活動の正当な報酬として解釈できる。しかし、その場合、市場の競争性から各企業間で同一のマージン率を導き、そのためマージンで計
っても取引量で計っても両者には違いが現れなくなる。

逆に、もし独占的マージンが存在するとすると、統計で報告されているマージンには、取引活動の報酬だけでなく、独占的利益も含まれることになる。独占的利益は生産活動によるアウトプットとして評価することはできない。したがって、商業活動に関しては完璧なアウトプットの指標はないといえる。残念ながら、『商業統計調査』では、購入した商品金額が報告されていない。そのため取引マージンを全く計算することができない。

商業活動による取引以外にその他の収入が報告されており、これには修理、サービス料のほか、工業製品にも及ぶような活動も含んでいる。これらの活動はその他の収入のようにすべて一緒に加えられているが、一年毎に10,000円単位で報告されている。1992年のサンプルでは、小売業サンプル全体の2,108事業所に対し、その他収入のある事業所数は829であった。その他の利用可能な年についてのサンプルサイズは、表4-4に示す。

『商業統計調査』では、前節でのベた変数 S に対応する売場面積 $ \left(m^{2}\right) $ を小売業について報告している。その他のデータは『賃金構造基本調査』からのものである。すなわち、年齢別、性別に事業所ごとに従業員数を分類している。『賃金構造基本調査』は一事業所内で雇用者についての標本抽出をしており、その復元倍率と雇用者の属性を報告している。それぞれの労働力属性別の分類 i について従業員レコードの数をかぞえ $ M_{i}(i=1,\ldots,n_{L}) $ としている。それをもとに事業所ごとに復元倍率をかけている。すなわち、事業所で雇われている属性 i の雇用者数は、 $ L_{i}=M_{i}\times a $ で与えられる。á は事業所別の復元倍率であり、事業所が異なると数値も異なってくる。ある事業所の正確な総雇用者数を得るために、われわれは統計上の総雇用者数 L と雇用者数総合計 $ \sum_{i=1}^{n_{L}}M_{i} $ から計算される復元倍率を用いる。

$$ a=\frac{L}{\sum_{i=1}^{n_{L}}M_{i}},by enterprise. $$

統計に報告されている復元倍率は整数値であり丸めの誤差があるために、われわれは事業所ごとに正確な総従業員数を得ることはできない。そのため合計が一致するように復元倍率を計算しなおしたものを利用している。さらに、事業所を抽出したことによる事業所数の復元倍率については考慮しなかった。しかし、もし事業所について復元倍率をかけたならば、日本の総事業所数を得ることができるはずである。

分類は年齢で五つの階級、性別では二つの階級に分けられる。 $ n_{L} $ の値は 10、年齢は 10 歳さざみで分けられている。すなわち、(1)20 代と見なされる 30 歳未満の従業員、(2)30 歳以上 39 歳までの 30 代、(3)40 歳以上 49 歳までの 40 代、(4)50 歳以上 59 歳までの 50 代、(5)60 歳以上の 60 代である。言うまでもなく性別は男性、女性である。

### 5.2 計測方法と結果

推定方法は特別サンプルの属性を考慮したものというよりは、単に最小自乗法を用いている。Tobit モデルで扱っている耐久財のゼロ消費のように、似たような問題であるカテゴ