Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
表 2 ケインズ的消費関数

期間	切片	傾	き	R²
推定值	標準誤差	推定值	標準誤差
1981年4月	1,449.1	106.3	0.31	0.04	0.07
5月	1,420.3	106.5	0.26	0.04	0.05
6月	1,230.3	65.9	0.19	0.01	0.26
7月	1,615.5	69.8	0.18	0.02	0.15
8月	1,574.0	99.4	0.22	0.03	0.06
9月	1,033.7	82.7	0.35	0.03	0.16
10月	1,233.2	107.2	0.35	0.04	0.10
11月	1,255.2	82.5	0.31	0.03	0.15
12月	1,650.7	130.4	0.23	0.02	0.23
1982年1月	1,292.3	81.2	0.30	0.03	0.13
2月	749.8	121.3	0.49	0.05	0.14
3月	916.6	101.9	0.51	0.03	0.28
1981年4月～6月	3,284.5	210.9	0.33	0.02	0.26
7月～9月	3,528.7	221.1	0.32	0.02	0.21
10月～12月	3,534.3	265.5	0.32	0.02	0.27
1982年1月～3月	2,216.1	229.7	0.53	0.03	0.35

（注）1981年4月～9月はパネルAにより，1981年10月～1982年3月はパネルBによる。

低いということになる。

この問題はのちの節でも触れるが，さしあたりまず，総消費がケインズ的消費関数でどれほど説明できるのかをみてみよう。表2は，各月ごとあるいは各四半期ごとに総消費支出を可処分所得に回帰した結果を示してある。表2からすぐわかるように， $ R^{2} $ はきわめて低い。特に月ごとの回帰式についてはこれは顕著である。

また，限界消費性向も月ごとにかなり変動している。ただし，四半期ごとの結果をみると，1982年の第1四半期をのぞいて切片・傾きともかなり安定している。月ごとのデータから得られる限界消費性向よりも四半期ごとの限界消費性向が低いということは，消費支出の方が可処分所得よりも時間を通じての変動が小さいということを意味しよう。

次節以降は，各費目への支出および所得の変化が分析の対象となる。しかし表1からもうかがえるように，月ごとの支出・所得の変動のかなりの部分は季節的要因による。この季節的要因をとりのぞくため，それぞれの月について，支出・所得の水準をその月の平均値で割ったあとで，月々の変化分をとった。すなわち，第t月の第i家計の変数Xの値を $ X_{it} $ とすると，季節調整済の第t月から第 $ t+1 $ 月にかけてのXの変化は，

$$ \left(3.1\right)X_{i,t+1}/\overline{X}_{t+1}-X_{it}/\overline{X}_{t} $$

となる。ここに $\overline{X}_{t}$ は第 $t$ 月の $X$ の平均値である。この方法の問題点は，$\overline{X}_{t}$ は季節変動ばかりでなくマクロ的な季節変動以外の変動を含んでいることである。しかし月々の変化の大部分は季節変動であるから，この季節調整の方法と，$\overline{X}_{t}$ から何らかの方法で季節変動のみを抽出して行う季節調整の方法とで，次節以降の結果が変更されることは考えられない。

なお，こうして得られた季調済変化から，家計の特性（世帯主の性別・年齢，世帯人員数の変化，持家形態，地域，職業，産業，居住地域の都市化の程度）の影響をとりのぞくため，季調済の支出・所得の変化を家計の上記の特性に対応するダミー変数に回帰してみた。しかしどの回帰についても決定係数（ $ R^{2} $ ）はだいたい5%以下であり，各ダミー変数のt値はほとんど2以下であった。また以下で計算する相関係数
表 3 季調済支出・所得の変化の標準偏差と相関係数

A. 1981 年 4 月 ~ 9 月のパネル

1. 食費

標準偏差	相関係数
5月~6月	6月~7月	7月~8月	8月~9月
4月~5月	0.22	-0.37***	0.01	0.00	-0.02
5月~6月	0.24	-0.46***	-0.01	0.06
6月~7月	0.29	-0.53***	-0.51
7月~8月	0.31	-0.52***
8月~9月	0.28

### 2. その他の非耐久財

標準偏差	相関係数
5月~6月	6月~7月	7月~8月	8月~9月
4月~5月	1.58	-0.50***	0.05	0.03	-0.03
5月~6月	1.40	-0.47***	-0.05	0.04
6月~7月	1.13	-0.32***	0.03
7月~8月	1.74	-0.79***
8月~9月	1.77

### 3. 半耐久財

標準偏差	相関係数
5月~6月	6月~7月	7月~8月	8月~9月
4月~5月	1.60	-0.50***	0.15***	-0.10**	0.01
5月~6月	1.79	-0.72***	0.21***	-0.10**
6月~7月	1.67	-0.49***	0.10**
7月~8月	1.39	-0.44***
8月~9月	1.83

### 4. 耐久財

標準偏差	相関係数
5月~6月	6月~7月	7月~8月	8月~9月
4月~5月	7.61	-0.70***	0.05	-0.01	-0.01
5月~6月	7.05	-0.40***	-0.00	0.01
6月~7月	4.91	-0.39***	-0.03
7月~8月	5.18	-0.54***
8月~9月	6.16
### 5. サービス

標準偏差	相関係数
5月~6月	6月~7月	7月~8月	8月~9月
4月~5月	1.07	-0.39***	-0.09*	0.08*	-0.07
5月~6月	0.87	-0.39***	-0.05	0.01
6月~7月	0.93	-0.54***	-0.12***
7月~8月	0.91	-0.43***
8月~9月	0.88

### 6. 総支出

標準偏差	相関係数
5月~6月	6月~7月	7月~8月	8月~9月
4月~5月	0.76	-0.66***	0.12***	-0.03	0.04
5月~6月	0.75	-0.51***	0.03	-0.04
6月~7月	0.64	-0.43***	-0.03
7月~8月	0.60	-0.50***
8月~9月	0.63

### 7. 可処分所得

標準偏差	相関係数
5月~6月	6月~7月	7月~8月	8月~9月
4月~5月	0.55	-0.41***	0.11**	-0.10**	0.06
5月~6月	0.73	-0.74***	0.21***	0.11**
6月~7月	1.04	-0.70***	-0.01
7月~8月	0.79	-0.46***
8月~9月	0.52

（注） $ ^{***} $ 0.1% で有意。

** 1% で有意。

$ ^{*} $ 5% で有意。

B. 1981 年 10 月 ~ 1982 年 3 月のパネル

### 1. 食費

標準偏差	相関係数
11月~12月	12月~1月	1月~2月	2月~3月
10月~11月	0.23	-0.22***	-0.12**	0.06	0.06
11月~12月	0.33	-0.73***	0.12**	0.15***
12月~1月	0.43	-0.53***	-0.16***
1月~2月	0.29	-0.35***
2月~3月	0.24
2.その他の非耐久財

標準偏差	相関係数
11月~12月	12月~1月	1月~2月	2月~3月
10月~11月	1.56	-0.65***	-0.01	0.00	-0.01
11月~12月	1.48	-0.44***	0.04	-0.02
12月~1月	1.00	-0.34***	0.04
1月~2月	1.27	-0.54***
2月~3月	1.88

### 3. 半耐久財

標準偏差	相関係数
11月~12月	12月~1月	1月~2月	2月~3月
10月~11月	1.24	-0.44***	-0.10	-0.06	0.03
11月~12月	1.30	-0.49***	0.05	-0.07
12月~1月	1.52	-0.44***	0.03
1月~2月	1.99	-0.65***
2月~3月	1.84

### 4. 耐久財

標準偏差	相関係数
11月~12月	12月~1月	1月~2月	2月~3月
10月~11月	6.91	-0.73***	0.22***	-0.04	0.01
11月~12月	5.66	-0.34***	0.02	0.01
12月~1月	6.26	-0.57***	-0.03***
1月~2月	7.63	-0.56***
2月~3月	7.56

### 5. サービス

標準偏差	相関係数
11月~12月	12月~1月	1月~2月	2月~3月
10月~11月	0.82	-0.44***	0.06	0.03	-0.06*
11月~12月	0.81	-0.56***	-0.02**	0.05
12月~1月	0.77	-0.27***	0.02
1月~2月	1.09	-0.65***
2月~3月	1.31
標準偏差	相関係数
11月~12月	12月~1月	1月~2月	2月~3月
10月~11月	0.60	-0.57***	0.16***	-0.03	-0.03
11月~12月	0.63	-0.54***	0.02	0.01
12月~1月	0.63	-0.39***	0.02
1月~2月	0.77	-0.62***
2月~3月	0.83

### 7. 可処分所得

標準偏差	相関係数
11月~12月	12月~1月	1月~2月	2月~3月
10月~11月	0.47	-0.64***	0.16***	0.02	-0.07
11月~12月	0.59	-0.63***	-0.05	0.22***
12月~1月	0.49	-0.46***	-0.15***
1月~2月	0.40	-0.37***
2月~3月	0.53

(注) *** 0.1% で有意。

** 1% で有意。

* 5% で有意。

の値も，このようにして家計の特性の影響をとりのぞいた回帰式の残差を使ってもほとんど変わらない。このような理由により，以下の分析では家計の特性の影響をとりのぞかない季調済の支出・所得の変化を用いる。

こうして得られた季調済の支出・所得の変化の標準偏差と相関係数をみたのが表3である。そこで計算されている相関係数は，それぞれの支出あるいは所得についての月々の変化の間の相関である。たとえば， $ D_{it} $ を家計iの第t月から第 $ t+1 $ 月にかけての所得（季調済）の変化分とすると，所得のtとsの間の相関係数は

$$ \frac{\sum\limits_{i=1}^{N}(D_{it}-\overline{D_{t}})(D_{it}-\overline{D_{s}})}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}(D_{it}-\overline{D_{t}})^{2}}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}(D_{it}-\overline{D_{s}})^{2}}} $$

によって計算できる。ここに $\overline{D}_{t}$ は第 $t$ 期についての平均，つまり $\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}D_{it}$ であり，$N$ はサンプルの大きさ（家計の数）である。上記（3.1）のようにして季節調整を行っているので $\overline{D}_{t}$ はゼロである。表 3 を見てまず気づくことは，1 次の相関係数（連続する 2 つの変化分の間の相関係数）が一様にどの費目の支出についても所得についても負であり，非常に有意であるということである$^{6}$。これにたいして 2 次以上の相関係数はあまり有意ではない。1 次の相関係数が負であるということは，ある月から次の月にかけての支出が増大したときにはその月の支出は減少する傾向があるということである。これは前節でみた恒常所得仮説と矛盾するようにみえる。なぜなら，恒常所得仮説によれば，消費者は消費の変動をできるだけ小さくするように行動するはずであり，消費の一時的な変動は

6）季節調整をしていないデータで変化分の相関をとっても1次の相関係数は負になるが，その値は月により変動する。たとえば,1981年10月～1982年3月のデータで可処分所得の変化の1次相関係数を計算すると，（-0.30，-0.95，-0.11，-0.33）となる。季調済のデータでは，これが表3からわかるように（-0.64，-0.63，-0.46，-0.37）となる。
できるだけ避けるようにするはずだからである。

1 次相関係数が負であることのひとつの説明の仕方は，消費支出のデータに測定誤差が含まれていると想定することである。もし測定された消費支出が真の消費支出と測定誤差の和であるとすれば，真の消費支出の変化分に相関がなくても，測定された消費支出の変化分には負の相関が生じえる。 $ X_{it} $ を家計iの第t期のある費目への消費支出とし，測定誤差を $ m_{it} $ としよう。測定された消費支出は $ X_{it}+m_{it} $ である。かりにホール流の恒常所得仮説が正しいとし， $ \mathrm{Cov}(X_{i,t+1}-X_{it},X_{it}-X_{i,t-1})=0 $ であるとしよう $ ^{7} $ 。もし測定誤差 $ m_{it} $ に相関がない，すなわち $ \mathrm{Cov}(m_{i,t+1},m_{it})=0,\mathrm{Cov}(m_{it},m_{i,t-1})=0 $ とすると，測定された支出の変化分の共分散は $ -\mathrm{Var}(m_{it}) $ となり負である。しかし，『家計調査』は実際につけられた家計簿に基づいたデータであり，大きな測定誤差が含まれているとは考えられない。測定誤差がかりにあるとしても，それだけで表3にみられるような強い負の相関を発生できるとは思われない。

測定誤差で負の相関を説明できないとすれば，前節でふれた恒常所得仮説はデータと両立しないことになる $ ^{8} $ 。両立しない理由は，恒常所得仮説が支出と消費の概念を区別していないためであるというのが本稿の立場である。家計の効用関数の変数は消費であるが，月々の支出

が消費と一致するとは限らない。これは耐久消費財についてはあきらかであろう。過去の耐久消費財への支出の累積による耐久消費財のストックからえられるフローが家計の効用を左右するのであって，今月の耐久財への支出は，耐久財のストックを変化させる限りにおいて効用に影響を与える。したがって恒常所得仮説は消費のフローについてあてはまるが，支出にあてはまるとはかぎらない。これと同じことが耐久消費財ばかりでなく他の費目についてもある程度あてはまると考えるのは自然であろう。たとえば歯科医にかかる費用はサービス支出に分類されているが実際には耐久財支出の性格をもっている。歯科医にかかるのは，治療そのものから効用を得るためではなくて，治療の結果，よりよい歯を得るためである。もう一つの例として，旅行を考えてみよう。旅行をすることによって物理的にはあとに何ものこらないから，旅行はサービス支出に分類されようが，旅行をしたという記憶はのちのちまで残りのちの効用に影響をおよぼすかもしれない。こういう例からもわかるように，サービスや非耐久財もかなり耐久財的性格を持っている。そうだとすれば，恒常所得仮説においても支出と消費を区別する必要がでてくる。したがって次節では，支出と消費を区別した恒常所得仮説を展開してみる。

7) この節でいう相関あるいは共分散は，時間の次元上ではなくクロス・セクションについての相関あるいは共分散である。したがってここで $ D_{it} $ と $ D_{is} $ の共分散とは，
$$ \operatorname{Cov}(D_{it}, D_{is}) = \operatorname*{P}\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (D_{it} - \overline{D}_t)(D_{is} - \overline{D}_s) $$
に等しいが，必ずしも
$$ \operatorname*{P}\operatorname*{l i m}_{T\to\infty}\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}(D_{it}-\overline{D}_{i})(D_{is}-\overline{D}_{i}) $$
(ただし $ \overline{D}_{i}=\frac{1}{T}\sum_{t=1}^{T}D_{it} $ )
に等しいとは限らない。合理的期待を仮定するホール流の恒常所得仮説では，後者の意味での $ \operatorname{Cov}(X_{it+1}-X_{it}X_{it}-X_{it,t-1}) $ が 0 となる。しかし，もし予測誤差 $ e_{it} $ が各家計に共通なマクロのショックと各家計に特有のショックの和であるときには，合理的期待仮説が成立すると前者の意味での共分散も 0 となる。この点についての詳細は林(1984)を参照。
8) ただし，第6節では効用関数が月々シフトする可能性を検討している。
### 4. 消費と支出を区別した恒常所得仮説

第 2 節で恒常所得仮説を要約したがそのときには,消費財は1種類しかないと暗黙に仮定していた。われわれは『家計調査』の支出項目を5つのグループに分けて分析するのであるから,この節で展開する消費と支出を区別する恒常所得仮説においては,消費財はn種類存在するとする。第j財の第t期における消費を $ C_{jt} $ と書くことにし, $ C_{t}=(C_{1t},\ldots,C_{nt}) $ は第t期の消費ベクトルを表わすことにする。これにたいし,第j財の第t期における支出を $ X_{jt} $ であらわすことにする。消費は,支出の累積から得られるフローであるから, $ C_{jt} $ と $ X_{jt} $ の関係は,

$$ \begin{aligned}\left(4.1\right)C_{jt}=&\rho_{j0}X_{jt}+\rho_{j1}X_{j\cdot t^{-1}}\\&+\rho_{j2}X_{j\cdot t^{-2}}+\ldots\ldots+\rho_{jM}X_{j\cdot t^{-M}}\end{aligned} $$

と書ける。すなわち，消費は現在および過去の支出の加重和である。Mは無限大であってもよい。ウェイト（$\rho_{j0},\rho_{j1},\ldots,\rho_{jM}$）は財の性質によるから，jに依存する。一般性を失なうことなく，$\rho_{j0}=1$ とおくことができる。もし財の耐久性が低ければ，$\rho_{jk}$はkが1からMへと増えるつれて急速に0に近づくであろう。逆に耐久性が高ければ$\rho_{jk}$はかなり長い期間にわたって1に近い値をとるであろう。

支出と消費をこのように区別する点が,われわれの恒常所得仮説と第2節でみた標準的な恒常所得仮説の相違である。消費者は,消費の流列 $ C_{t},C_{t+1},\ldots,C_{T} $ から得られる効用を最大化するように支出計画をたてる。その場合の制約は,生涯予算制約であるが,それは,消費の流列の現在価値が第2節の $ A_{t}+H_{t} $ に等しいというのではなく,支出額の流列現在価値が $ A_{t}+H_{t} $ に等しいという制約である。

消費者が効用を最大化しているとすると，消費および支出の流列はどのような条件をみたさなくてはならないだろうか。最適な支出計画からの次のよりな乖離を考えてみよう。今期（第t期）の第j財への支出を1単位きりつめてその分余計に貯蓄をし，それから得られる元利合計を次期の第j財への追加的な支出にあてる。今期の第j財への支出が1単位減るから，今現の第j財の消費は1単位減り，次期には $ \rho_{j1} $ 単位減り，第 $ t+2 $ 期には $ \rho_{j2} $ 単位減り，一般に第 $ t+k $ 期には $ \rho_{jk} $ 単位減る。効用が（2.3）のように書けるとすれば（ただし， $ C_{t} $ はn個の要素から成るベクトル），このような消費の減少から生ずる効用の減少は

$$ \begin{aligned}&(4.2)\frac{\partial u(C_{t})}{\partial C_{jt}}+\delta\frac{\partial u(C_{t+1})}{\partial C_{j,t+1}}\rho_{j1}+\ldots\ldots+\\&\quad\delta^{M}\frac{\partial u(C_{t+M})}{\partial C_{j,t+M}}\rho_{j,M}\end{aligned} $$

である。これが最適支出計画からの乖離から生ずる限界費用にあたる。今期の第j財1単位分の追加的貯蓄から得られる第 $ t+1 $ 期におけるj財で測った元利合計は，第j財の実質利子率を $ r_{j} $ とすると， $ 1+r_{j} $ である。これを第 $ t+1 $ 期に第j財への支出にあてれば，第 $ t+1 $ 期の消費は $ 1+r_{j} $ 単位増大し，一般に第 $ t+k+1 $ 期には $ (1+r_{j})\rho_{jk} $ 増大する。したがって限界便益は

$$ (1+r_{j})\Biggl\{\delta\frac{\partial u(C_{t+1})}{\partial C_{j,t+1}}+\delta^{2}\frac{\partial u(C_{t+2})}{\partial C_{j,t+2}}\rho_{j1} $$

$$ \left.+\ldots\ldots+\delta^{M+1}\frac{\partial u(C_{t+M+1})}{\partial C_{j,t+M+1}}\rho_{jM}\right\} $$

となる。最適な支出計画からの上記のような乖離は効用を変化させないから，限界費用(4.2)は限界便益(4.3)に等しい。これが，消費と支出を区別した場合のオイラー方程式である。

もし, T - t(すなわち消費者の残りの生涯の長さ)が M(支出が消費に及ぼす影響の長さ)に比べて十分に大きいと仮定すれば,今導いたオイラー方程式について近似的に

$$ \begin{aligned}(4.4)\frac{\partial u(C_{t})}{\partial C_{jt}}&=(1+r_{j})\delta\frac{\partial u(C_{t+1})}{\partial C_{j,t+1}}\ $ j=1,2,\ldots,n)\end{aligned} $$
が成り立つ（巻末の付注参照）。これは，消費と支出を区別しない恒常所得仮説におけるオイラー方程式(2.9)を多数財に一般化したものと考えることができる。

ここで, 効用関数 $ U(C_{t}) $ を次のどれかに特定化しよう。

(4.5) $u(C_{t}) = -g_{1}e^{-\mu_{1}C_{1}t} - \ldots - g_{n}e^{-\mu_{n}C_{n}t}$

あるいは

$$ \begin{aligned}\left(4.6\right)u\left(C_{t}\right)&=a^{\prime}C_{t}-C_{t}^{\prime}BC_{t} か \supset\ $ 1+r_{j})\delta&=1\end{aligned} $$

ここに $a$ は $n$ 次元の係数ベクトル, $B$ は係数 $n$ 次正方行列 $C_{t}^{\prime}$ は $C_{t}$ の転置を表わす。(4.5)

あるいは(4.6)のもとでは，(4.4)は

$$ \left(4.7\right)C_{j\ ,t+1}-C_{jt}=d_{j}\qquad\left(j=1\ ,\ \ldots\ ,n\right) $$

となることが容易にわかる。ここに $d_{j}$ は(4.5)のもとでは

$$ (4.8)d_{j}=\mu_{j}{}^{-1}\left[\ln\left(1+r_{j}\right)+\ln\delta\right] $$

であり, (4.6)のもとでは0である。さて, こうして得られた(4.7)式では,(4.1)を用いて, 次のような支出に関する式に書きかえる。

$$ \begin{aligned}\left(4.9\right)X_{j\ \pmb{\ell}+1}-X_{jt}=d_{j}-\rho_{j1}(X_{jt}-X_{j\ \pmb{\ell}-1})\\\ -...\ -\rho_{jM}(X_{j\ t-M+1}-X_{j\ \pmb{\ell}-M})\end{aligned} $$

以上では，将来に関する不確実性がないものとしてきたが，将来の変数の値が事前にわかっていない場合は，(4.9)における将来値 $ X_{j,t+1} $ は，第 t 期に形成された期待値 $ X_{j,t+1}^{e} $ に置きかえられなくてはならない。すなわち，予測誤差を

$$ \left(4.10\right)e_{j\nmid t+1}=X_{j\nmid t+1}-X_{j,\mathrm{t}+1}^{e} $$

と定義すれば. (4.9)は

$$ \begin{aligned}\left(4.9^{\prime}\right)&X_{j\ \pmb{\ell}+1}-X_{jt}=d_{j}-\rho_{j1}(X_{jt}-X_{j\ \pmb{\ell}-1})\\&-\ldots-\rho_{jM}(X_{j\ \pmb{\ell}-M+1}-X_{j\ \pmb{\ell}-M})\\&+e_{j\ \pmb{\ell}+1}\end{aligned} $$

$$ \left(j=1,\ldots,n\right) $$

となる。ここで，第2節と同様，期待が合理的であるとすると，予測誤差は，第t期に入手可能などの情報とも相関していない。したがって，(4.9')によれば，今期（第t期）から次期にかけての第j財の支出の変化分は，過去の第j財の支出の変化分と第t期に予期せざる変動(e_{j}, t_{+1})のみに依存し，他の財への過去の支出変化分にも過去の可処分所得の変化分にも依存しないということになる。これが，消費と支出を区別する恒常所得仮説から得られる結論である。次節では，この結論が『家計調査』のデータと音合的であるかどうかを検討する。

### 5. 推定結果

『家計調査』では，同じ家計は7ヶ月以上調査の対象とならないので，同一の家計については6ヶ月までしか月々連続した支出と所得のデータは得られない。したがって，支出と所得の月々の変化分は，5ヶ月分しか得られず(4.9')のような式を推定するにあたっては，右辺の変化分のラグは4つまで入れることができるが，残りのラグは，誤差項として扱わざるを得ない。

すなわち推定する方程式は

$$ \begin{aligned}X_{j\ \sharp+1}-X_{jt}=&-\rho_{j1}(X_{j\ \sharp}-X_{j\ \sharp-1})\\&-\ldots-\rho_{j4}(X_{j\ \sharp-3}\\&-X_{j\ \sharp-4})+\mathrm{V}_{jt}\end{aligned} $$

となる。ここに $ V_{jt} $ ，は，定数項 $ d_{j} $ と予測誤差と残りのラグの和である。すなわち，

$$ \begin{aligned}\mathrm{V}_{jt}&=e_{j\ \mathbf{\alpha}+1}+d_{j}-\sum_{K=5}^{M}\rho_{j k}(X_{j\ \mathbf{\alpha}-k+1}\\&\quad\cdot X_{j\ \mathbf{\alpha}-k})\quad(j=1,2,\ldots,n)\end{aligned} $$

第3節でみたように,支出の変化分の平均値は0であるから,以下では定数項は無視できる。2つのパネル(1981年4月~9月,1981年10月~1982年3月)を使って,5つの費目について自己回帰モデル(5.1)を最小2乗法で推定した結果が表4である。1981年4月~9月のパネルAでは,従属変数 $ (X_{j t+1}-X_{jt}) $ は,1981年8月から9月にかけての支出の変化,1981年9月~1982年3月のパネルBでは従属変数は1982年2月から3月にかけての変化である。表4には支出ばかりでなく可処分所得についての結
表 4 单変数自己回帰モデル（5.1）

A. 1981年4月~9月のパネル

变 数	ρ j1	ρ j2	ρ j3	ρ j4	R²
食 費	0.78(0.03)	0.63(0.04)	0.35(0.04)	0.14(0.04)	0.47
食費以外の非耐久財	0.93(0.02)	0.57(0.04)	0.28(0.03)	0.11(0.03)	0.70
半耐久財	0.78(0.05)	0.46(0.06)	0.37(0.06)	0.20(0.05)	0.25
耐久財	0.84(0.04)	0.53(0.05)	0.27(0.04)	0.17(0.03)	0.39
サ一ビス	0.81(0.03)	0.71(0.04)	0.42(0.04)	0.19(0.03)	0.46
可処分所得	0.86(0.03)	0.70(0.04)	0.50(0.04)	0.20(0.03)	0.52

表 4 单変数自己回帰モデル(5.1)

B. 1981年10月~1982年3月のパネル

变 数	ρj1	ρj2	ρj3	ρj4	R²
食 費	0.65(0.04)	0.49(0.04)	0.31(0.04)	0.10(0.04)	0.34
食費以外の非耐久財	0.92(0.05)	0.50(0.08)	0.27(0.07)	0.18(0.05)	0.33
半耐久財	0.82(0.03)	0.66(0.04)	0.53(0.05)	0.28(0.04)	0.58
耐久財	0.89(0.03)	0.73(0.04)	0.28(0.05)	0.05(0.04)	0.52
サ一ビス	0.86(0.04)	0.43(0.06)	0.24(0.06)	0.17(0.05)	0.46
可処分所得	0.86(0.06)	0.66(0.07)	0.25(0.06)	0.15(0.06)	0.28

（注）カッコ内は標準誤差

果も書き入れてある。

もし，財が完全に非耐久的であれば，\rho_{j1}，\rho_{j2}……，はすべて0のはずであり，自己回帰モデル(5.1)の誤差項は予測誤差e_{j_{j+1}} だけから成る。予測誤差は合理的期待仮説のもとでは第t期に観測できる変数と相関していないからとくに(5.1)の右辺のどの変数とも相関していない。したがって，財が完全に非耐久的であれば(5.1)は最小2乗法でバイアスなしに推定でき，推定された係数は有意に0から離れていないはずである。食費とその他の非耐久財についての表4の結果をみると，どのデータについても，係数は0から有意に離れている。この事実から，食費も耐久財も完全に非耐久的でないことがわかる $ ^{9} $ 。

財が耐久的であれば，$\rho_{j1},\rho_{j2}\ldots\ldots$ ，は1に近い値をとるはずである。しかしその場合，(5.1)の誤差項$V_{jt}$ は，(5.2)より明らかなように5次以上の変化分のラグを含む。月々の変化分は負の相関を持つから，誤差項は，右辺の変数である1次から4次の変化分のラグと正の相関をもつ。したがって，自己回帰モデル(5.1)を最小2乗法で推定した場合には，$\rho_{j1},\ldots\ldots\rho_{j4}$ の推定値は下方バイアスを持ち，財が完全に耐久的である場合でも1より小さい値をとる可能性が高い。表4で耐久財の係数が一様に1よりもかなり小さいのはそのせいであろう。表4の結果のうちでおそらく一番意外なのは，サービスについての係数が耐久財についての係数と同じぐらいに高いことであろう。第3節のおわりで述べたように，サービスに含まれる支出の中には，耐久財的な性格を持つものがあることを考えれば，サービスについての表4の結果は，考えてみればそれほど驚くべきことではないのかもしれない。

財の耐久性がサービスについても存在することがこれでわかったが，前節の終わりで述べた恒常所得の結論，すなわちある財にたいする支出の変化分は，他の財への過去の支出変化分にも過去の可処分所得の変化分にも依存しないという結論の妥当性についてはどうであろうか。ケインズ的消費関数が主張するように，今期の支出の変化分が今期の所得の変化分によって大きく影響されるのであれば，支出の変化分を過去の所得の変化分に回帰した場合，過去の所得の変化分が有意に出てくるはずである。これはなぜかというと，表4の可処分所得の結果からわかるように，今期の所得の変化分は過去の変化分によってかなりよく説明される。したがってもし今期の支出の変化分が今期の所得の変化分によって決定されるのであれば，今期の支出
変化分は,過去の所得の変化分とも相関しているはずである。

支出と所得の相互連関を調べるための一つの方法は，多变数自己回帰モデルを推定することである。多变数自己回帰モデルとは，各変数の今期の値がすべての変数の過去の値と，過去の値から独立な誤差項の和としてあらわされるモデルである。このモデルに含まれる変数が5費目への支出の変化と可処分所得の変化であれば，（単変数）自己回帰モデル(5.1)はこの多变数自己回帰モデルの特殊ケースになることがわかる。すなわち，もし(5.1)で示される恒常所得仮説が正しければ，多变数自己回帰モデルのそれぞれの費目の支出変化の回帰式において，その費目の過去の支出変化のみが有意でなくてはならない。

この6変数（5費目の支出変化と所得の変化）から成る多变数自己回帰モデルの推定結果が表5である。どの支出項目についても，他財の支出変化のラグはほとんど有意でなく，また所得変化のラグは食費の回帰式をのぞいて全く有意でない（この結果は，季節調整前のデータを使ってもおおむね成立する。）他財への支出変化のラグが有意であるとしても，それは財（費目）の分類の不完全性によるのかもしれない。たとえば，食費に属すべき財がまちがって他の費目に分類されていれば，その費目への支出の変化のラグが食費の回帰式で有意になるこ

表 5 多変数自己回帰モデル

A. 1981年4月~9月のパネル

従 属 变 数	ラグ	自己ラグの係 数	所得ラグの係 数	有意なラグを示す他の費目	R²
食 費	1	-0.78***	0.038*
2	-0.63***	0.026	な し	0.49
3	-0.36***	0.025
4	-0.15***	-0.009
その他の非耐久財	1	-0.93***	-0.039	耐 久 財 (2次*)
2	-0.56***	-0.067	サービス (4次*)	0.71
3	-0.28***	-0.168
4	-0.09**	-0.139
半 耐 久 財	1	-0.76***	0.189	な し	0.27
2	-0.45***	0.093
3	-0.35***	0.114
4	-0.19***	0.151
耐 久 財	1	-0.85***	0.452	な し	0.40
2	-0.53***	0.272
3	-0.27**	0.193
4	-0.16***	0.124
サ ー ビ ス	1	-0.79***	0.004	その他の非耐久財 (1次)，4次*)
2	-0.69***	-0.007	耐 久 財 (1次***，2次*)	0.50
3	-0.42***	0.004
4	-0.20***	-0.006
可 処 分 所 得	1	-0.86***	その他の非耐久財 (4次*)
2	-0.69***	耐 久 財 (4次*)	0.56
3	-0.50***
4	-0.19***
B. 1981年10月~3月のパネル

従 属 变 数	ラグ	自己ラグの係 数	所得ラグの係 数	有意なラグを示す他の費目	R²
食費	1	-0.66***	0.016	半耐久財(3次*,4次*)	0.37
2	-0.50***	0.079**
3	-0.32***	0.053
4	-0.10**	0.036
その他の非耐久財	1	-0.92***	0.138	なし	0.34
2	-0.51***	0.166
3	-0.29***	0.238
4	-0.19**	0.065
半耐久財	1	-0.78***	-0.094	その他の非耐久財(3次***,4次***)	0.61
2	-0.61***	-0.079
3	-0.49***	0.012
4	-0.25***	-0.146
耐久財	1	-0.89***	0.015	サービス(1次***)	0.54
2	-0.73***	-0.328
3	-0.27***	0.094
4	-0.05	-0.543
サービス	1	-0.86***	-0.004	食費(1次**,2次**)	0.4850
2	-0.41***	-0.014
3	-0.24***	0.011
4	-0.14**	-0.075
可処分所得	1	-0.86***	なし	0.29
2	-0.65***
3	-0.24***
4	-0.14*

（注） $ ^{***} $ 0.1% で有意

とは十分考えられる。

では，食費の回帰式で有意である過去の所得変化についてはどうか。2つの解釈がありうる。第1は，すでに述べたように，ケインズ的消費関数がある程度食費について妥当するという考え方である。第2の解釈は，あくまで恒常所得仮説の立場から，次のように考える。多变数自己回帰モデルで，ラグの長さは4であるから5次以上のラグは誤差項に入っている。この残りのラグが，1次から4次の可処分所得の変化のラグと相関しているために，可処分所得の変化のラグ食費の回帰式で有意に出てくるというわけである。しかし，食費について，その耐久度が，5次以上のラグが重要になるほど高いとは考えられない。恒常所得仮説が完全には成立していないと考える方がもっともらしい。

以上が本節の恒常所得仮説のテストである。ここで読者は，どうして今期の支出の変化分を所得の変化分のラグでなく今期の所得の変化分に回帰しないのかという疑問を持つかもしれない。そうしない理由は，今期の所得の変化
表 6 多変数自己回帰モデルの誤差項の標準偏差と相関係数

A. 1981年4月~9月のパネル

回帰式の従属変数	誤差項の標準偏差	相関係数
その他の非耐久財	半耐久財	耐久財	サービス	可処分所得
食費	0.20	0.13***	0.08*	0.02	-0.03	0.08*
その他の非耐久財	0.95	-0.03	0.03	0.13***	0.03
半耐久財	1.57	0.04	0.04	0.07
耐久財	4.76	0.01	0.03
サービス	0.63	0.11**
可処分所得	0.35

B. 1981年10月~1982年3月のパネル

回帰式の従属変数	誤差項の標準偏差	相関係数
その他の非耐久財	半耐久財	耐久財	サービス	可処分所得
食費	0.19	-0.03	-0.00	0.02	-0.03	0.08*
その他の非耐久財	1.52	-0.14***	0.02	0.25***	0.43***
半耐久財	1.15	0.08*	0.00	0.18***
耐久財	5.14	0.07	-0.00
サービス	0.95	0.11**
可処分所得	0.44

（注） $ ^{***} $ 0.1% で有意

は自己回帰モデル(5.1)の予測誤差と相関しているからである。その結果恒常所得仮説が正しくても，今期の所得の変化分が，今期の支出の変化分を有意に説明することは十分に考えられる。表6では，表5で推定した自己回帰モデルの誤差項の相関係数を計算してある。どちらのパネルについても，所得の変化分の回帰式の誤差項と，支出の変化分の回帰式の誤差項の間にはほぼ一様に正の相関がある。この相関は恒常所得仮説によって説明できる。所得の変化分の回帰式の説差項は，今期の所得の変化のうち過去の変化で説明できない部分であるから，予測不可能な所得の変化を含んでいる。これにたいし，(5.1)からわかるように支出の変化の回帰式の説差項は予測誤差を含んでいる。所得の変化分の予測誤差が支出の変化分の予測誤差と正の相関をもつのは自然であろう。

### 6. 効用関数の変動

以上の分析のひとつの問題点は，食費の耐久性が高くでいることであろう。表4で食費についてのρの推定値は高くでいるが，食費が非耐久的だとするとこのρは0になるはずである。もうひとつの問題点は，表6からわかるように，所得の予測誤差と支出の予測誤差の相関係数が小さいということである。第4節で展開した理論モデルでは，支出の予測誤差の源泉は所得の予測誤差であるから表6の支出と所得の誤差項の相関は，1に近い値をとるはずであ
表 7 支出変化の所得変化への回帰

A. 1981年4月~9月のパネル

支出变化(8月~9月)	所得变化	R²
8月~9月	7月~8月	6月~7月	5月~6月	4月~5月
食費	0.04	0.05	0.05	0.02	-0.03	0.009
他の非耐久財	-0.02	-0.30	-0.30	-0.27	-0.14	0.005
半耐久財	0.19	0.28	0.28	0.32	0.37	0.007
耐久財	0.18	0.44	-0.08	0.36	0.20	0.007
サ一ビス	0.13	-0.01	-0.01	0.03	-0.01	0.008
総支出	0.10	0.05	0.01	0.05	0.04	0.009

B. 1981年10月~1982年3月のパネル

支出变化(2月~3月)	所得变化	R²
2月~3月	1月~2月	12月~1月	11月~12月	10月~11月
食費	0.04*	0.01	0.05	0.04	0.03	0.012
他の非耐久財	1.50***	1.13***	1.25***	0.76***	-0.25	0.167
半耐久財	0.39*	-0.04	0.17	0.07	-0.09	0.016
耐久財	0.34	0.57	0.48	0.90	-0.42	0.006
サ一ビス	0.20	-0.35	-0.46*	-0.36	-0.31	0.022
総支出	0.37***	0.06	0.09	0.06	-0.18	0.070

(注) ***	0.1% で有意
**	1% で有意
*	5% で有意

る。表7では，支出の変化を所得の変化とそのラグに回帰した結果を示してあるが，所得の説明力は低い。さらに，食費について，月々の季調済支出の成長率（自然対数の変化）の標準偏差をみると，だいたい0.22から0.32の間の値をとる。これほどの変動が，所得の予測誤差のみから発生するとは考えにくい。

支出・所得の測定誤差が小さいとすれば，上記の事実を説明するには，効用関数が月々シフトする可能性を考慮しなくてはならない。第4節のモデルにもどって，効用関数(4.5)と(4.6)に，シフト変数 $ \eta_{jt} $ （j = 1, ..., n）を次のように導入しよう。

(4.5') $ u(C_{t}) = -g_{1}, e^{-\mu_{1}(C_{1}t - \eta_{1}t)} $

- ... - $ g_{n} e^{-\mu_{n}(C_{n}t - \eta_{n}t)} $

(4.6') $ u(C_{t}) = a'C_{t} - (C_{t} - \eta_{t}) B(C_{t} - \eta_{t}) $ ,

すると(4.7)にあたる式は

(4.7') $ C_{j\ell+1} - C_{jt} = d_{j} + \eta_{j\ell+1} - \eta_{jt} $

$$ \left(j=1,\ldots,n\right) $$

となる。したがって，かりに第j財が完全に非耐久的で$\rho_{j1}=\rho_{j2}=...=0$であり支出$X_{jt}$と消費$C_{jt}$が一致するとしても，シフト変数の存在により，表3で計算された支出の変化の自己相関係数は負になり得るし，表4に示される自己回帰係数$\rho_{j}$の推定値も0となる必然性はなくなる。

このように, 効用関数が月々シフトする場合には, 自己相関係数や自己回帰モデルによって財の耐久性を測ることはできなくなる。しかしシフト変数 $ \eta_{t} $ が所得の変化と相関していないかぎり, 表 5 に示されるような多变数自己回帰モデルにおいて, 支出の変化の回帰式のなかに所得の変化のラグが有意に出てくる可能性は小さい。有意に出てくるとすればそれは, サンプルの一部の家計が, ケインズ的消費関数で想定されるような行動をとっていると考えるの
が自然であろう。

効用関数がシフトする可能性を許す恒常所得仮説とケインズ的消費関数と，どちらがよりデータと合致しているかを見るために，日本の勤労者世帯の一定割合については次のような消費行動を想定する。

$$ \begin{aligned}\left(6.1\right)X_{j,t+l}-X_{jt}=&\alpha\left(YD_{j,t+l}-YD_{jt}\right)\\&\left(j=1,\ldots,n\right)\end{aligned} $$

ここに $ X_{jt} $ 第 t 期における第 j 財への支出，YD は可処分所得である $ ^{10)} $ 。したがって $ a_{j} $ は第 j 財への限界消費性向である。総限界消費性向 $ \sum_{j=1}^{n}a_{j} $ は 1 であるとする（あるいは，同じことであるが，総限界消費性向が a である家計の割合が $ \lambda / a $ である，としてもよい。）

一方，残りの1-jの割合の家計については，（4.7'）が成立するとする。すなわち（定数項を省略すると）

$$ \begin{aligned}X_{j,t+1}-X_{jt}&=-\sum_{K=0}^{\infty}\rho_{jk}(X_{j,t-k}\\&-X_{j,t-k-1})\eta_{j,t+1}\\&-\eta_{jt}+e_{j,t+1}\end{aligned} $$

$$ \left(\begin{array}{c}j=1,\ldots,n\end{array}\right) $$

が成立するとしよう(この式は第4節の(4.9')にシフト変数の変化を加えた式にほかならない)。さらに, $ \rho_{jk} $ は幾可級数的に縮少する(すなわち $ \rho_{jk} = (\rho_j)^k $ ) という仮定をおくと(6.2)

10) ここで YD にそえ字 j がついている理由は, YD の季節調整を第 j 財の支出の平均を用いて行っているからである。季調前の値を $ ^{*} $ をつけることによって表わすと,

$$ Y D_{i j t}=Y D_{i t}^{*}\;/\;\overline{X}_{j t}^{*}\quad\left(i=1,\ldots\ldots,N\right) $$

である。ここに $\overline{X}_{jt}^{*}$ は，$X_{ijt}^{*}$ の平均である（本文中では家計インデックス $i$ は記号の簡単のため省略してある。）このように YD の季節調整をすると，

(5.1) は

$$ X_{jt}^{*}=\alpha_{oj}+\alpha_{j}YD_{t}^{*} $$

というケインズ的消費関数から導くことができる。

は，

$$ \begin{aligned}\left(6.2^{\prime}\right)&X_{j,t+1}-X_{jt}=(\eta_{j,t+1}-\eta_{jt})-\rho_{j}(\eta_{j,t+1}\\&-\eta_{jt})+\left(\epsilon_{j,t+1}-\rho_{j}\epsilon_{jt}\right)\end{aligned} $$

となる。この式が，効用関数の変動と財の耐久性を許す恒常所得仮説の意味する支出の変化についての式である。

もし支出が（6.1）によるなら，

$$ \begin{aligned}\operatorname{Cov}(X_{j_{t}+1}-X_{jt},YD_{jt}-YD_{j_{t}\cdot1})\\=\alpha_{j}\operatorname{Cov}(YD_{j_{t}+1}-YD_{jt},YD_{jt}\\-\ YD_{j_{t}\cdot1})\end{aligned} $$

となるが，(6.2')によって支出が決まれば，

$$ \begin{aligned}\left(6.4\right)\mathrm{Cov}(X_{j\_{t}+1}-X_{jt},YD_{jt}-YD_{j\_{t}-1})\\=\rho\mathbf{\alpha}_{j}\mathrm{Cov}(e_{jt},YD_{jt}-YD_{j\_{t}-1})\end{aligned} $$

となる。ただしここで，シフト変数は所得の変化と無相関であることを仮定している。しかし，母集団（日本の勤労者家計全体）のうちλが（6.1）にしたがい1-λが（6.2'）にしたがうと想定しているから，この母集団から抽出された $ X_{j,t+1}-X_{jt} $ と $ YD_{jt}-YD_{j,t-1} $ という変数の共分散は，（6.3）と（6.4）をλと1-λでウェイトづけした加重平均になるはずである。

したがって

$$ \begin{aligned}Cov&(X_{j\ t+1}-X_{jt}\ ,YD_{jt}-YD_{j\ t-1})\\=&\lambda\alpha_{j}Cov(YD_{j\ t+1}-YD_{jt}\ ,YD_{jt}\\&-YD_{j\ t-1})\ -(1-\lambda)\rho_{j}Cov(e_{jt}\ ,\\&YD_{jt}-YD_{j\ t-1})\end{aligned} $$

を得る。同様にして，

$$ \begin{aligned}\left(6.6\right)\operatorname{Cov}(X_{j\_{t}+1}-X_{jt},YD_{j\_{t}-1}\\\quad-YD_{j\_{t}-2})=\lambda\alpha_{f}\operatorname{Cov}(YD_{j\_{t}+1}\\\quad-YD_{jt},YD_{j\_{t}-1}-YD_{j\_{t}-2})\\\quad\left(j=1,\ldots,n\right)\end{aligned} $$

が得られる。

すなわち,(6.1)と(6.2')を前提とすれば，支出の変化と所得の変化の共分散は，(6.5)と(6.6)を満たさなくてはならない。この事実を用いて,(6.5)と(6.6)の右辺に登場するパラメータ一

$$ \begin{aligned}\lambda\quad,&a_{1},\ldots,a_{n},\rho_{j}Cov(e_{jt},YD_{jt}\\&-YD_{j,t-1})\end{aligned} $$
$$ \left(\sum_{j=1}^{n}\alpha_{j}=1\right) $$

を推定することができる $ ^{11} $ 。ただし\rho_{j} Cov (e_{jt}, YD_{jt} - YD_{j,t-1}) は推定できても\rho_{j} そのものは推定できない。

以上説明した方法でλを2つのパネル(1981年4月~9月と1981年10月~1982年3月)を用いて推定すると,λの推定値は次のようになる。

1981年4月~9月 0.074(0.062)

1981 年 10 月～1982 年 3 月 0.15(0.14)

かっこ内の数字は標準誤差である。この結果から判断すると，恒常所得仮説（すなわちλ = 0）を棄却することはできない。しかし棄却できない理由は，λ の推定値の標準誤差が大きいからであり，推定値を額面どおりとると，だいたい90％の家計は恒常所得仮説（6.2′）にしたがっているということになる。

## <付往> オイラー方程式の一般化導出

（4.4）が近似的に成り立つことの証明

（4.2），（4.3）において t を T-n（n=0，1，

……，T-t）におきかえて，（4.2）と（4.3）が

等しいという条件を考察する。

$$ a_{i}=\frac{\partial u(C_{t-i})}{\partial C_{j_{t-i}}}\quad b_{i}=a_{i}(1+\forall\text{μ}_{j})\delta a_{i-1} $$

という記号を使うと，

$$ \begin{align*}\left(\begin{array}{c}1\end{array}\right)b_{n}+&\left(\rho_{jl}\delta\right)b_{n-1}+\ldots\ldots+\left(\rho_{jM}\delta^{M}\right)b_{n\cdot M}\\&=0\end{align*} $$

$$ \left(n=0,1,2,\ldots\ldots,T_{-}t\right) $$

を得る。これは$\{b_{n}\}$についての$M$次差分方程式である。$n0\\ (1-x_{1^{2}})+(1-x_{2^{2}})>0\end{aligned}\right. $$

を示せばよい。 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2} $

$ =\rho_{1^{2}}-2\rho_{2} $ を代入して（4）を展開すれば，

$$ (4)\left\{\begin{aligned}&2-\rho_{1^{2}}+2\rho_{2}>0\\ &1-\rho_{1^{2}}+2\rho_{2}+\rho_{2^{2}}>0\end{aligned}\right. $$
を得る。 $ 0 < \rho_{1} < 1, 0 < \rho_{2} < 1 $ であるから (4) が満たされていることは明らかである。また特性根が虚根の場合には， $ x^{2} = \bar{x}_{1} $ であるから， $ 1 - |x_{1}|^{2} = 1 - x_{1}\bar{x}_{1} = 1 - \rho_{2} > 0 $ が成り立つ。一般に $ M \geq 2 $ について (1) の係数に関する条件

$ 1 > \rho_{j}, \delta > \rho_{j2}\delta^{2} > \ldots > \rho_{jM}\delta^{M} > 0 $ が均

衡解の安定条件を満たすことが証明される（詳細は，

例えば高橋(1961) $ ^{6)} $ を参照のこと)。よって n すなわち T-t が十分大きい (T $ \gg t $ ) 場合には, $ b_{T-t} \div 0 $ とみなすことができる。ゆえに,

$$ \begin{aligned}b_{T\cdot t}&=\alpha_{T\cdot t}\cdot(1+r_{j})\delta_{a_{T\cdot t\cdot1}}\\&=\frac{\partial u(C_{t})}{\partial C_{jt}}-(1+r_{j})\delta\frac{\partial u(C_{t+1})}{\partial C_{j_{t+1}}}\end{aligned} $$

より（4.4）が近似的に成立することが示された。