Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
In the business sector, revitalization of a business or industry often requires innovative human resources who can precisely assess the needs of consumers and service users, as well as the socioeconomic circumstances.

## [Involving experts and people with an outsider’s perspective]

As the case studies suggest, community development initiatives often requires experts.

A perspective from outside is often effective. In that sense, it is advisable to take advantage of the experience and skills of people who have moved in. It is also advisable that locals go outside and see good practices in other areas with their own eyes.

Businesses often work with universities and research institutions to develop technologies and products.

In order to gain an competitive edge, businesses often take advantage of human resources from outside or those who have learned about technologies, products or services of other businesses or industries through training programs or other means.

Overseas study tour

## 〔Leadership of heads of municipalities or top management at businesses〕

The head of a municipality often plays a crucial role in community development, as shown in the case studies.

In the private sector, top management has a decisive impact on initiatives toward vibrant business activities. This is especially true of small- to medium-sized businesses in terms of their flexibility.

The case studies show that those with strong leadership—be it the head of a municipality or the president of a business—are highly innovative and more than willing to accept creative ideas.

### Section 2. Better use of local resources

Each initiative to develop vibrant communities or business in Chapter 1 is unique in its own way because the municipality, community or business puts available resources to good use. Any municipality, community or business has some kinds of useful resources available. Therefore, it is important that each entity takes a fresh look at itself, identifies useful but hitherto hidden resources, and makes the most of them.

## I dentifying resources useful but hitherto hidden that are locally available

A wide variety of tangible and intangible resources are used for community development. Among them are: traditional streetscapes, history and culture, literature works, festivals and other events, local industries and products, hot springs, or even the local lifestyles, topography and other natural conditions, genius loci and spirit of hospitality.

As the case studies suggest, some municipalities take advantage of what was nothing special or even a nuisance in the eyes of locals for their community development.

Putting snow into a snow storage

The “discovery” of these local resources has been made possible by a number of factors: (i) deeper understanding of
the municipality or community, (ii) flexible thinking or a shift in thinking, (iii) innovative use of existing resources, (iv) attention to fresh perspectives from outside, and (v) selection of advantageous resources.

An inspection tour of a traditional building

A former post office turned into a visitor center

## Maintenance, conservation and improvement of local resources

Municipalities and communities should ensure that local resources are properly maintained, conserved, improved, and even recorded for future use as appropriate.

To that end, necessary arrangements may as well be made, as suggested by the case studies.

## [Proactive use of external resources]

Some municipalities or communities combine local resources with external resources to enhance the value of the former. Some of them learn from development initiatives in remote locations with similar situations. Others work with neighboring municipalities or communities for synergy effects.

In the private sector, businesses take advantage of joint research and development with others or even with universities and research institutions.

## [“Discovery,” strategic selection, maintenance, conservation and improvement of resources]

As the case studies suggest, some businesses concentrate their efforts on the cultivation of a small or niche market by identifying potential demand.

### Section 3. Concentration

## [Concentrated investment]

Businesses identify sectors where they can enjoy competitive advantages. Then they concentrate their management resources on these sectors to expand their market shares or establish their distinctive positions there.

## [Integration of community development policies; strategic public relations]

As suggested in the case studies, municipalities should implement community development policies in an integrated manner so as to achieve successful outcomes soon and maximize their synergy effects.

### Section 4. Cooperation and partnership

For successful community development, local stakeholders should—while exercising their originality—work together toward common goals. Businesses should also ensure such cooperation and partnership in developing new technologies with central or local governments and universities and in developing new services with other businesses of a different industry.

### 1. Pursuing common goals

Goals cannot be achieved unless different stakeholders share goals and work toward them.

With this in mind, some municipalities set up a council where the municipal government, local communities and businesses establish common goals. Some even incorporate such goals into an ordinance.

Businesses should set goals that can win support of other parties concerned.
## 補 論

Ⅰ 状態空間モデルと構造推定

--基本的考え方--

Ⅱ 道路事業制度の概要
# 補論Ⅰ 状態空間モデルと構造推定 ——基本的考え方——

### § 1. はしがき

この補論では，状態空間モデルの意味，その基礎概念およびその構造推定についてヒューリスティックな説明を試みた $ ^{1} $ 。従来，工学的手法に必ずしもなじんでいない読者を対象としたため，数学的厳密さをある程度犠牲にしても，状態空間モデルについての直観的把握を可能にするように叙述することを心がけた。

状態空間モデルは工学分野で発達したものだけに，社会科学への応用について明らかにしておかなくてはならないいくつかのポイントが存在する。筆者達がこの点で最も重要だと考えているのは，状態空間モデルの因果論的解釈である。本文でも何度かふれたように，状態空間モデルにおける状態の概念は社会科学における制度あるいは構造の概念と対応する部分があり，第2節ではこの点を通常の定差方程式との対比で明らかにすることを心がけた。

又，社会科学にあっては工学のようにシステムを自由にデザインすることができないので，この点で同定問題あるいは構造推定問題について工学の場合と違った問題が発生する。第3，第4節ではエコノメトリックス等との対比によってこの問題に留意しつつ，状態空間モデルの基礎概念，構造推定について概説した。

## § 2．ヒューリスティックな状態空間 モデルの理解一定差方程式との 関連において

離散時間だけを問題とする動的システムをわれわれは，通常，定差方程式モデルで表現して来た。

これらのモデルは，ある期のシステムの出力は，メモリーとして残ったそれから一定期間前の出力と，外から入って来た入力が原因となって出来上っているという様子を物語っている。

この場合，ある一定の過去の出力を本来原因とみなしてよいかどうかという問題が残る。何故なら，それらの原因としての過去出力も，それ以前の過去出力と過去入力を原因とする結果であるからである。このように過去をどんどん遡って行くと，究極的には時間の原点ですでにシステムがもっていたある値のセットと，それ以後外から入って来る入力のセットが根本的な原因となるはずである。つまり，

[時間原点からある時刻までに入って来た入力セット（これを原因 B としよう）のそれぞれの累積効果

が成立することが直観的に理解出来よう $ ^{2} $ 。

注）1）本補論の草稿段階で，宮武信奉氏（三菱総合研究所）から有益なコメントを賜わった。記して謝意を表したい。ただし，誤りがあるとすれば，もとよりそれ等は筆者達の責任に帰するものである。

2）この式は線形モデルを仮定している。一般性を保たせるためには非線形をも含めた議論をした方がよいが，本補論の主旨にそいなるべく議論を単純にするため，線形モデルであらわした。
ところで，この因果式ともともとの定差方程式 $ ^{1)} $ は数学的には全く等価である。ただそれぞれの意味は異る。

では，もとの定差方程式は何を意味しているかというと，これはある入力のセットと，出力の現在と過去のセットの関係を示しているだけで，いわば，システムを外からながめていた時，入って来た入力と出て来た出力の観測実験データの集り相互の関係をあらわしているにすぎない。したがって，定差方程式モデルは現象論的動学モデルと呼ぶほうがより適切である。

さて，数学的には，前に挙げた因果式の形は，通常，与えられた定差方程式（現象論的動学モデル）の解析解と称されている。

この解析解を導くには, 2つの方法がある。それらは

a）逐次解から規則性を見つける方法と，

b）Z变换法 $ ^{2)} $

である。

a）は，与えられた定差方程式に，先に名付けた原因A，つまり時間原点においてシステムが保有しているある値のセット（これを初期値のセットと呼ぶ）と，原因B，つまり時間原点からある時刻までに入って来た入力のセット，をつぎつぎに代入しその形から規則性を求める方法である。

たとえば，最も簡単な線形一次定差方程式モデル

$$ x_{t+1}=ax_{t}+bu_{t}\ \cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots1) $$

についてこの方法を説明しよう。

1)に $ t=0,\quad1,\quad2,\quad3\cdots\cdots $ を代入すると

$$ \begin{aligned}x_{1}&=ax_{0}+bu_{0}\\x_{2}&=a\big(x_{1}\big)+bu_{1}\\&=a\big(ax_{0}+u_{0}\big)+bu_{1}\\&=a^{2}x_{0}+au_{0}+bu_{1}\\x_{3}&=a\big(x_{2}\big)+bu_{2}\\&=a\big(a^{2}x_{0}+au_{0}+bu_{1}\big)+bu_{2}\\&=a^{3}x_{0}+a^{2}u_{0}+abu_{1}+bu_{2}\end{aligned} $$

このような規則性より，t=N時点では

$$ x_{M}=\alpha^{N}x_{0}+\sum_{i=0}^{N-1}\alpha^{M-1-i}b u_{i} $$

となる。ここで，右辺の第一項が先に述べた因果式の(口)，第二項が(い)に相当するわけである。

b）は，与えられた定差方程式の両辺を変換し，差分項を演算子で表現し，つぎに代数的に出力の変換に関する一義的な式を導き，最後にこれを逆変換して時間関数の解析解を得る方法である。

例えば，先の一階の定差方程式1)にZ変換を施せば，

$$ zX\big(z\big)-zx_{0}=aX\big(z\big)+bu\big(z\big)\ \cdots\cdots\cdots\cdots3) $$

を得，これを $ X(z) $ についてまとめると

$$ X\big(z\big)=\frac{z}{z-a}x_{0}+\frac{b}{z-a}U\big(z\big)……4) $$

となる。

4)を逆変換をすれば

$$ \begin{aligned}x_{t}&=Z^{-1}\big(X\big(z\big)\big)=Z^{-1}\bigg[\frac{z}{z-a}\bigg]x_{0}\\&\quad+bZ^{-1}\bigg[\frac{1}{z-a}U\big(z\big)\bigg]\quad\cdots\cdots\cdots\cdots5)\end{aligned} $$

となるが,

ここで逆変換の公式

$$ \begin{aligned}&Z^{-1}\left[\frac{z}{z-a}\right]=a^{t}\\&Z^{-1}\left[\frac{1}{z-a}U(z)\right]=\sum_{i=0}^{t-1}a^{t-i-1}u_{i}\\ \end{aligned} $$

を用いて。

結局，t=N時点での解析解は

$$ x_{N}=\alpha^{N}x_{0}+\sum_{i=0}^{N-1}\alpha^{N-1-i}b u_{i} $$

となり，2)と全く同じ結果を得る。

上記の2つの方法のうち，a）は直観的にわかりやすく余り数学的知識がなくてもできる

注）1）定差方程式についての教科書は沢山ある。たとえば，高橋健人〔90〕，S・ゴールドバーグ〔39〕，杉山昌平〔83〕などを参照されたい。2）Z変換法の要を得た解説については，たとえば，B.C.Kuo〔55〕などを参照されたい。
が，定差方程式が複雑になると規則性を得ることは難しくなる。又，b）は定差方程式がどのように複雑でも簡単な代数計算を施すことにより解析解を得る容易さはあるが，逆変換の数学的意味（z空間を逆ラプラス変換したもの）など，多少複雑な数学的知識を必要とする面倒くささが難点である。

さてa）b）いずれの方法を用いても線形非同次定差方程式の解析解は以下の2つの部分の和となる。

(i) 与えられた非同次方程式部分，いいかえればゼロ入力系列を仮定した定差方程式の一般解（通常これを余関数—complementary function—と呼ぶ），

（ii）非同次方程式の一つの特解，ふつうこれは初期値が全てゼロとおいた時の特解を指す。

すなわち，与えられた現象論的動学モデルとしての定差方程式の因果式の（口）が余関数（i），（ハ）が初期値ゼロの特解（ii）にそれぞれ符合するわけである。

たとえば, 先の2)の右辺の第1項 $ a^{N}x_{0} $ が余関数

部分，第2項 $ \sum_{i=0}^{N-1}a^{N-1-i}bu_{i} $ が特解部分に相

当する。

さて，これまでの議論では，究極的な原因を追求するのに，いちいち時間原点（t=0）までさかのぼっていたが，それは現実的にはなかなか大変であるし，データの制約からある程度の過去までの入出力のセットは完全にわかるが，時間原点での初期値のセット，および，そこから出発する入力履歴を知る術がない場合が普通である。ここで，ある一定時間たった以後の任意の時間 $ t_{0} $ （0＜ $ t_{0} $ ）以後のシステムの出力を完ペきに表現できる因果式を考える必要が生じて来る。

いま，任意の時間 $ t_{0} $ （ $ 0 < t_{0} $ ）において，そこから一定期間過去に遡った各時点でのシステムの入出力の値が完全に既知であるとする。そこで，先のa）の方法を適用し，与えられた定差方程式にこれらの $ t_{0} $ 時点ですでにある初期値群とそこから始まる入力を次々に代入して行けば，前と全く同様なやり方で任意な時間 t = N （ $ >t_{0} $ ）なるシステムの解析解（因果式）が完全にもとまるはずである。

例えば，1)式の例では，解析解は

$$ x_{t_{0}+N}=\alpha^{N}x_{t_{0}}+\sum_{i=0}^{N-1}\alpha^{N-1-i}b u_{t_{i}+i} $$

となる。

ここで，新しい時間原点 $ t_{0} $ （ $ 0
図1 動的システムの逐次因果律

図2 逐次因果律の最小単位

数学的すぎて概念的に貧弱のきらいがある。つまりこれらをひとまとめにする新しい概念を導入する必要がある。丁度，真の時間原点における初期値群をシステムが保持していた初期状態というように，各期の初期値群はその期のシステムの状態と呼ぶ方が概念的にわかりやすく，且つとらえやすい。

従って，システムの状態とは，

「一義的にシステムの出力を決定するものであり，且つ過去の入力履歴と時間原点（t=0）における初期状態の情報を全て含んだ変数のセット」

である。又これらの変数が張る空間を状態空間と呼ぶことができる。そして与えられた定差方程式を入出力外部関係モデルというのに対し，図2で与えられる因果式を状態空間モデル，あるいはシステムの内部状態モデルと呼ぼう。

入出力外部関係モデルと状態空間モデルの関係は以下なる簡単な例によっていっそう明らかにされよう。

まず，下のような2階の非同次方程式（2次の自己回帰，2次の移動平均モデルと呼ばれている）モデル

\[\begin{aligned}y_{t}=-a_{1}y_{t-1}-a_{2}y_{t-2}+b_{1}u_{t-1}+b_{2}u_{t-2}\\ \cdots\cdots\

は，適当な2つの補助変数 $ \left(x_{1t},x_{2t}\right) $ を導入すれば次のように表現できる。（9），10）を8）に代入すれば7）になる事より明らか

$$ x_{1,t}=-a_{1}x_{1,t-1}+x_{2,t-1}+b_{1}u_{t-1}\cdots\cdots\cdots\cdots8) $$
$$ \begin{aligned}&x_{2,t}=-a_{2}x_{1t-1}+b_{2}u_{t-1}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots9)\\&y_{t}=x_{1,t}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots10)\\ \end{aligned} $$

ここで， $ x_{1,t} $ および $ x_{2,t} $ が状態変数（あるいはt期の初期値群の要素）に相当する。この様子は8)9)10)をベクトルのに表現すればわかりやすい。すなわち，

\[\begin{aligned}&\begin{bmatrix}x_{1,t}\\ x_{2,t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-a_{1},1\\ -a_{2},0\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x_{1,t-1}\\ x_{2,t-1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}b_{1}\\ b_{2}\end{bmatrix}u_{t-1}\\ &\begin{pmatrix}x_{t}&\end{pmatrix}=\quad A\quad\begin{aligned}&\bullet\quad x_{t-1}+b\cdot u_{t-1}\quad11)\end{aligned})\\ &y_{t}=\begin{bmatrix}1&0\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x_{1,t}\\ x_{2,t}\end{bmatrix}\\ &\begin{pmatrix}y_{t}=cx_{t}\end{pmatrix}\cdots\cdots

このようなベクトル表現への変換からただちにわかることはどのような線型定差方程式も11)のように一階のベクトル定差方程式に変換できるということである。そして，11)12)が図2の具体的形式である。

ここで, ベクトルxが先に述べた初期値群を意味している事実は簡単に読み取れる。つまり7)にt=0, 1を入れると,

$$ \begin{aligned}&y_{0}=-a_{1}y_{-1}-a_{2}y_{-2}+b_{1}u_{-1}+b_{2}u_{-2}\\&y_{1}=-a_{1}y_{0}-a_{2}y_{-1}+b_{1}u_{0}+b_{2}u_{-1}\\ \end{aligned} $$

となる。ここで $ y_{0} $ の右辺は $ 0 \leq t $ では全く与えられていないものであるから，これが真の時間原点における初期値群の一部である。又， $ y_{1} $ の右辺のうち， $ y_{0} $ は上で規定され， $ u_{0} $ は与えられるものであるから未処理の情報は $ -a_{2}y_{-1} + b_{2}u_{-1} $ だけである。これが初期値群の残りの部分である。よってベクトル $ x_{0} $ が真の時間原点での初期値群を過不足なく含んでおり，11)が時間原点を次々に移動した時初期値群が更新されるプロセスを語っていることになる。通常この11)のプロセスを状態方程式と呼び，12)のプロセスを出力方程式と呼ぶ。つまり，状態空間モデルとはこの2つの方程式から成立している。

さて，状態空間モデルは一階のベクトル定差方程式であるから，丁度前に1)から2)を求めたように，ある任意の時間t=Nにおける状態は一義的に

$$ x_{N}=A^{N}x_{0}+\sum_{i=0}^{N-1}A^{N-1-i}bu_{i}\cdots\cdots\cdots\cdots13) $$

となり,初期状態 $ x_{0} $ と過去の入力履歴の集積が状態であるという先の議論がいっそう明らかになる。又,任意の時点 $ t=t_{0}(00なるどの時点でも適用可能にする。いいかえれば，時間をt<0で定義する必要がなく論理的に無理がない。

ハ）従つて，因果律をきちんとするためには，状態空間モデルから出発し，システムの内部の因果を記述する必要がある。先の例でも明らかなように状態は包括的な概念をもっているので，入出力変数以外の変数を導入出来，都合が良い。又，状態空間モデルは最終的には状態変数を埋没させ入出力関係にすることができるので，状態を作る変数は抽象的かつ通常観測不能の概念にもあてはめることができる。
二）一方，与えられた定差方程式を等価変換し，状態空間モデルにおきかえると，意味あるシステムかどうか（たとえば，システムの出力を自由にコントロールできるか……つまり，状態が動けるかどうか……，あるいは，第1の因果式を作り得るかどうか……つまり，時間原点t=0での初期状態を決めることができるかどうか……）がチェック可能になる。このようなことはシステムを作ったり，又，いまあるシステムの構造を推定したりする時，特に重要になる。

### § 3. 状態空間モデルの四つの基礎概念 - 可制御性，可観測性，等価性，正準形について -

前節で少しふれたように，これまで用いて来た定差方程式を，わざわざ状態空間モデルに変換したのは，因果律を明らかにする必要の他，所与の動的システムが意味あるシステムかどうか吟味したり，又，その構造をデータから最もよく推定したりする場合に都合がよいからである。本節および次節ではそのことについて議論をする。

A. 可制御性（状態を変化させる外生入力を決められるかについて）

この通常耳慣れない言葉は，次のようなことを意味している。

「ゼロ初期状態から任意の非ゼロ状態へ移すことのできる入力系列と時間が存在するシステムのこと。」

このようなシステムの性格を可制御性と呼んでいる。

上述の意味は，工学的な表現であり，それになじみのない者にとっては難解である。そこで，もう少し解り易いように，前節の議論の結果を用いて解釈してみよう。

13)式（つまり，状態方程式の解析解は，もし初期状態がゼロであれば（つまり，余関数部分が $ A^{N}x_{0}=0 $ であれば），

$$ x_{M}=\sum_{t=0}^{M-1}A^{M-1-t}b u_{t} $$

となる。この15)式は，時間原点t=0以後の任意の時点での状態は，それまで以前の全ての過去の入力履歴によって変化するということをあらわしている。しかし，このいい方は厳密には正しくない。何故なら，状態が本当に遷移しているかどうかはAとbの性質によるからである。つまり，可制御性は，数学的には，このペア(A, b)に関する制約であるといえる。

さて，15)式は下のように書くこともできる。

ここでKは状態数である。

$$ \begin{aligned}\begin{bmatrix}x_{1,N}\\\vdots\\\vdots\\x_{K,N}\end{bmatrix}=&\begin{bmatrix}A^{N-1}b,A^{N-2}b,\cdots Ab,b\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}u_{0}\\u_{1}\\\vdots\\\vdots\\u_{N-1}\end{bmatrix}\ $ K\times1)&\quad(K\times N)\quad(N\times1)\end{aligned} $$

16)式は，K個の方程式からなる $ u_{0}\cdots u_{N-1} $ を未知数とおいた連立方程式と見ることができる。方程式の数がKであるから， $ x_{N} $ を決定するには，未知入力の数は高々K個あれば充分である（即ち，サンプル数Nは状態数Kの数だけで充分である）。このことを考慮して16)式をもう一度下のように書きなおしてみよう。

$$ x_{_{K}}=V_{_{K}}\cdot u_{_{K}}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots17) $$

ここで， $ V_{K}, u_{K} $ は16)式のそれぞれのマトリックス，ベクトルを示し， $ V_{K} $ は明らかに正方行列である。連立方程式の議論より，任意の $ x_{K} $ を与える未知数 $ u_{K} $ が存在するには，16)あるいは17)式であらわされるK個の方程式がそれぞれ一次独立，あるいは $ V_{K} $ が正則で，逆行列が存在する必要がある。又この逆も成り立つ。数学的にはこのことは，

$ x \in Range V_{K} $ ……18)

あるいは,

$$ \mathrm{rank}\big(V_{K}\big)=K $$

ということになる。以上は単一入力を前提にしているが，多入力の場合も同じように成りたつ。この時 $ V_{K} $ は正方行列にならず， $ K \times (K \times $
r) のマトリックスになることに注意されたい。ここでtは入力数である $ ^{1)} $ 。

以上より，次のようなことがいえる。

(イ) システムの可制御性は状態方程式のみに関する問題である。つまり，状態方程式のパラメータ・ベクトルAとbの性質に関するもので，これを通常可制御対（A, b）という。

(口) システムが可制御でないということは，最初ぜロ状態にあったシステムに，如何なる入力を加えても状態がまるで変化しないということを意味する。又逆に，可制御であるということは，最初ぜロ状態にあったシステムに一定の入力を加えれば，ある任意に指定された状態へシステムを動かすことができることを意味する。

(八) 状態が出力を決定するという因果律が働くのであるから, システムが可制御でなければ, どんな入力を加えても, 任意に定める出力を出すことが出来ない。又逆に, 可制御であれば, 目的の出力を出すにふさわしい入力が少くとも存在することが保証されるわけである。

これまでの議論では，常にゼロ初期状態ということをことわって来た。これは，一つには物理系のシステムでは時間原点t=0においてシステムの状態はもともとないという現実的な事実があるからであった。しかし，本来は，13)式の第2項部分，つまり特解部分に焦点をあてたいがためにそのようにことわったに過ぎない。即ち，特解部分は，入力履歴が状態遷移に寄与する有様を物語っているわけであるから，初期状態のため，いわば自転的に変化している状態に，外から入力を加えることによって，余分に状態を変化させることができるかどうかというのが可制御性の議論の問題意識なのである。そしてこの余分な変化が，前に述べたゼロ状態から非ゼロ状態までの変化に他ならない。

このように考えて来ると，当然余関数部分にも何らかの意味があると推察されよう。これについては，次に述べる可観測性が関係する。

B. 可観測性（システムの出力から初めの状態をきめられるかについて）

工学的表現を用いると,

「システムに外から全く入力が入って来ない場合（ゼロ入力を加えたことに等しい），初期状態 $ x_{0} $ が，N個の出力系列から一義的に求められる」

とき，このシステムは可観測であるという。

すでに，前の可制御性のところで言及したように，ゼロ入力ということは，状態方程式の解析解が余関数そのものであることを意味している。そして，状態は初期状態の累積で変位し，これがシステムの外の出力方程式に従って出力として出て来る。このことを状態空間モデル

$ x_{t+1}=Ax_{t}+bu_{t} $ ……20)

$ y_{t}=cx_{t} $ ……21)

で解説すれば次のようになる。

まず，入力が全てゼロであるから20)から得られる状態遷移方程式は13)式の余関数部分

$$ x_{t}=A^{t}x_{0}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots22) $$

である。これを21)式に代入すると

$ y_{t}=cA^{t}x_{0} $ 23)

を得る。この23)式が初期状態の累積が出力に出て来る様子を示しているわけである。

24)式に, $ t=0, 1, 2 \cdots \cdots K-1 $ （ $ K $ は状態数）を代入すれば

$$ \begin{aligned}\begin{bmatrix}y_{0}\\y_{1}\\y_{2}\\\vdots\\y_{K-1}\end{bmatrix}&=\begin{bmatrix}c\\cA\\cA^{2}\\\vdots\\cA^{K-1}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}x_{1,0}\\x_{2,0}\\\vdots\\\vdots\\x_{K,0}\end{bmatrix}\ $ K\times1)&\quad(K\times K)&\quad(K\times1)\end{aligned} $$

24)式は，先の可制御性のところで議論したように， $ x_{0} $ を未知変数ベクトルとおいた，K個の方程式からなる連立方程式をあらわしている。従って， $ y_{0}\cdots\cdots y_{K-1} $ が与えられ， $ x_{0} $ が求まるには，それぞれの方程式が一次独立，即ち，24)

注）1）もう少し，厳密な証明については制御論の教科書を見よ。たとえば，古田勝久〔37〕，pp. 20−21。
式の右辺の $ (K \times K) $ の係数ベクトル……これを $ N_{K} $ としよう……が正則であることが必要である。これを数学的にすっきりと書くと,

$$ rank\left(N_{K}\right)=K\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots25) $$

ということになる。

以上より，次のようなことがいえる。

(イ) システムの可観測性は，状態方程式を出力方程式に代入した，いわゆる誘導形（定差方程式の完全解に相当）のうち，初期状態の出力に対する寄与の部分を問題にしている。つまり状態方程式のパラメータ・ベクトルA（bは考慮しない）と，出力方程式における状態から出力への変換ファクターcの性質に関するもので，これを通常可観測対（A，c）という。

(口) システムが可観測でないということは，出力を一義的に決定する誘導形(定差方程式の完全解）において，余関数部分（つまり，同次方程式の一般解)が定まらないということであるから，結局，システムの出力は因果的に完全には求められないということを意味する。このことは，システムから出力が出て行かないということではなく，出力がどのように因果的に作られていくかということが決定出来ないということである点に留意すべきである。

(八) 前で議論した可制御性は，システムの外から入って来る入力によって状態が実際に動くかどうかについて明らかにするものであった。ここで議論する可観測性は，入力ではなく，初期状態のみによって，システムの状態が自転的に遷移し，且つそれがシステムの外へ出力として出て来るかどうかについて明らかにするものである。これは，逆にいうと，ある出力系列から初期状態が一義的に計算される（観測される）ということと同じ意味をもつ。このように，可制御性と可観測性は，状態方程式の解析解の2つの部分，余関数部分および特解部分，のそれぞれを別々に議論するものとして出て来た概念で，数学的には全く同じオペレーションを施している。したがって，もし，

$$ \begin{aligned}&x_{t+1}=Ax_{t}+bu_{t}\\&y_{t}=cx_{t}\\ \end{aligned} $$

が可制御システムであれば, b, cを入れかえたシステム

$$ \left.\begin{array}{l}x_{t+1}=A^{\prime}x_{t}+c^{\prime}u_{t}\\ y_{t}=b^{\prime}x_{t}\end{array}\right\}\cdots\cdots\cdots\cdots26) $$

は，明らかに可観測であるといえる。これを普通双対定理と呼んでいる。

### C. 等価性（状態の意味の変換と取り扱い易いシステムについて）

§2で,状態の張る空間を状態空間だと述べた。これは,あるシステムの,ある時間における状態 $ x_{t} $ が,その空間の中の一つのベクトルとみなせば理解し易いことからベクトル空間の概念を導入したのであった。もし,ある因果システムを明らかにするため,K個の状態を考える必要があり,それぞれの状態は互いに関係しない全く独立の概念であれば,ベクトル $ x_{t} $ の要素はK個あり,又この状態空間の次元はKである。

線形ベクトル空間の基本的性質より，この状態ベクトル $ x_{i} $ は，状態空間の中にとれる一次独立のベクトル $ e_{1},e_{2}\cdots e_{K} $ の一次結合としてあらわすことができる。ここで，周知のように，一次独立というのは， $ e_{1},e_{2}\cdots e_{K} $ の一次結合 $ \left(\alpha_{1}e_{1}+\alpha_{2}e_{2}+\cdots\alpha_{K}e_{K}\right) $ を作ったとき，これがゼロとなるのは，全ての係数 $ \alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{K} $ がゼロとなるケースのみである場合を指す。さて，K次元空間の一次独立なベクトル群は，この空間を作る基底（base）と称されている。そして，この基底は，K次元空間の一次独立なベクトルの組が無数に存在することより，一意に定らない。このことを直観的に理解するには，K個の座標軸をくるくる回転した場合を想定すればよい（座標は基底をどうとるかによって決るものであるから）。

通常われわれが因果システムをモデル化する
際，状態の概念（意味）は，当然明らかになっていなければならない。このことは，上の数学的議論に結びつけると，当初からある基底（そして座標）を設定しておくということに相当する。ところが，基底は無数に存在するのであるから，はじめと異る基底を採り，当初きめた状態ベクトル $ x_{t} $ に適当な座標変換

$$ \overline{x}_{t}=T\cdot x_{t} $$

を施すことによって新たな状態 $ \overline{x}_{t} $ におきかえることができる。ここで T は正則（逆行列が存在する）な変換行列である。さて，新しい基底を採り，変数変換した状態を用いて当初のシステムを書き直してみよう。20)式21)式の $ x_{t} $ の中に，27)式から得られる $ T^{-1} \cdot \overline{x}_{t} = x_{t} $ を代入すると，

$$ T^{-1}\overline{x}_{t+1}=A T^{-1}x_{t}+b u_{t}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots28) $$

$$ y_{t}=cT^{-1}\overline{x}_{t} $$

となる。ここで，28)式の両辺に前からTをかけると，

$$ \bar{x}_{t+1}=T A T^{-1}\bar{x}_{t}+T b u_{t} $$

となり。

$$ \left.\begin{array}{l}\overline{A}\triangleq T A T^{-1}\\\overline{b}\triangleq T b\\\overline{c}\triangleq c T^{-1}\end{array}\right\} $$

と定義すれば、システム

$$ \left.\begin{aligned}\overline{x}_{t+1}&=\overline{A}\overline{x}+\overline{b}u_{t}\\ y_{t}&=\overline{c}\overline{x}_{t}\end{aligned}\right\} $$

は，20)式と21)式で作られる最初のシステムと全く等価である。ただ違いは，状態の意味が最初は $ x_{t} $ で規定され，31)は $ \overline{x}_{t} $ に変っている点と，それに伴ってそれぞれのパラメータが30)式のように変化しているだけである。

以上の議論を簡単な例で示してみよう $ ^{1} $ 。いま，オリジナルな状態空間モデルが以下のようであったとする。

$$ x_{t+1}=\begin{bmatrix}-2,-2\\ 0,-1\end{bmatrix}x_{t}+\begin{bmatrix}1\\ 0\end{bmatrix}u_{t} $$

$$ y_{t}=[1,1]x_{t} $$

さて，状態空間の基底をかえ，

$$ T=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix} $$

なる変換行列を用いて $ x_{t} $ を $ \overline{x}_{t} $ に座標変換したとそよう。T の逆行列は

$$ \begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix} $$

であるから，30)式より

$$ \overline{\boldsymbol{A}}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{{{-2}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{-1}}}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix} $$

$$ =\begin{bmatrix}0&-2\\ 1&-3\end{bmatrix} $$

$$ \begin{aligned}\overline{b}=\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{{{1}}} \\{{{0}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{1}}} \\{{{1}}}\end{bmatrix}\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}\overline{c}=&\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{-1}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{{{0}}}&{{{1}}}\end{bmatrix}\end{aligned} $$

である。

即ち，座標変換された後の状態空間モデルは，

$$ \begin{array}{l}\bar{x}_{t+1}=\begin{bmatrix}0&-2\\ 1&-3\end{bmatrix}\bar{x}_{t}+\begin{bmatrix}1\\ 1\end{bmatrix}u_{t}\\ y_{t}=\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}\bar{x}_{t}\end{array} $$

となる。

もともと意味をつけて作った状態空間モデルの状態を，わざわざ変数変換して31)式のようにするのは，次項で述べるように，システムの構造を推定したりするのに，元のパラメータ一A, b, cより，状態を変換した後出て来た$\overline{A}, \overline{b}, \overline{c}$ の方が便利な場合があるからである。又，上述の等価性の議論は，エコノメトリックスや工学モデルでいう同定問題（入出力関係をあらわす定差ーーあるいは微分ーー方程式モデルの次

注）1）この例は，古田〔37〕pp.25−27を参考にした。
数を決定する問題）と深いかかわりをもっている。本稿の性格上，この同定問題（ベクトル制御論では所謂最小実現問題と称されている $ ^{1)} $ を詳しく議論することはさけるが，大まかな概念は下のようなことを指す。

いま，20)式21)式の状態空間モデルを入出力関係にまとめる（状態を相殺して，入力と出力の式にする）ことを考える。この時，初期状態はゼロと仮定する。このゼロ初期状態の仮定は，先の可制御性の時と同じで，初期状態の累積（つまり余関数の効果）は考えないで，単に入力だけが出力にどう関係しているかを見るためのものである。こうすると，§2で言及したZ変換法を用いるまでもなく，進み演算子（forward operator）Fを用いて即座に入出力関係を導出することができる²）。勿論入出力関係は，状態方程式の解析解13)式か14)式から余関数部分をのぞいて21)式に代入すればただちに求められるが，ここではFを用いて，所謂伝達関数表示（ゼロ初期条件の下での入力から出力へ変換する関数を工学では伝達関数を称する）を採用し，議論を簡潔にしよう。

まず，進み演算子Fは

$$ F^{i}\big(y_{t}\big)\underline{\triangle}y_{t+i} $$

$$ L=F^{-1} $$

$ F_{を用いて20} $ 式を書き直す。

$$ F x_{_{t}}=A x_{_{t}}+b u_{_{t}} $$

よって,

$$ x_{t}=\left(IF-A\right)^{-1}b\cdot u_{t} $$

となり³)，これを21)式に代入すれば,

$$ y_{t}=c\big(IF-A\big)^{-1}b\cdot u_{t}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots32) $$

ここで， $ c(IF-A)^{-1}b $ が先に述べた伝達関数で

ある。

全く同様に，31)式に同様の操作をすれば，

$$ y_{t}=\overline{c}\Big(IF-\overline{A}\Big)^{-1}bu_{t} $$

となる。ところが，30)式をこれに代入すれば，

$$ \begin{array}{l}y_{t}=\left(c T^{-1}\right)\left[I F-\left(T A T^{-1}\right)\right]^{-1}\left(T b\right)\\ \quad=\left(c T^{-1}\right)\left[\left(T\cdot T^{-1}\right)F-\left(T A T^{-1}\right)\right]^{-1}\left(T b\right)\\ \quad=\left(c T^{-1}\right)\left[T\left(I F-A\right)T^{-1}\right]^{-1}\left(T b\right)\end{array} $$

となる。ここで

$$ \begin{aligned}\left(A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{K}\right)^{-1}=A_{K}^{-1}A_{K-1}^{-1}\\ \cdots\cdots A_{3}^{-1}A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}\end{aligned} $$

であるから。

$$ \begin{aligned}y_{t}&=c\cdot T^{-1}T\big(IF-A\big)^{-1}T^{-1}Tb\cdot u_{K}\\&=c\big(IF-A\big)^{-1}b\cdot u_{t}\end{aligned} $$

となって，32)式に等しくなる。以上は，このような演算を用いなくても，直観的に座標変換した状態空間モデルも，オリジナルなモデルも，内部記述を変えただけであるから，外部の入出力関係は変るはずはないというロジックから直ちに得られる。

以上のことは，最初状態空間モデルから出発するのではなく，得られた入出力データ（われわれが観測できるのは入出力の情報のみであ

## 注）1）このことに関しては，古田勝久〔39〕pp

23−34などを参照されたい。

2) 政治学者や (例えば, F. Cortes, et. al. [12]など), 経済学者（新開陽一 [82] など）達も最近演算子を用いた解説を行っている。この演算子のもとは, Z演算子（定差方程式）, ラプラス演算子（微分方程式）であり, これ等を用いた場合, 変数は一たんZ空間, ラプラス空間に移り, 代数計算が可能となる。そして最終的な結果（解析解）を出すには, もう一度時間空間へ逆変換する必要がある。この逆変換の際 §1 で少しふれたように, 畳み込み積分などの定理を用いなければならない。これを省略し, 時間空間の変数のまま演算子を用いるには, 初期条件を考えないという前提が必要である。前述の政治学者や経済学者達はこの辺のところを厳密に説いていないので注意することが必要である。以上の注意点に関しては, C. R. Wylie [97] Advanced Engineeringを見よ。

3) Fはスカラー量として扱われるので，Aの行列とあわせるため，それと同じサイズのidentity matrix をつけておかなければならない。