Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
<59> 個人業主所得

$$ YU=WU\times LU $$

<60> 個人財產所得

$$ Y R=\left(Y R-D I\right)+D I $$

<61> 個人所得

$$ YP{=}YW{+}YR{+}YU{+}TAP{+}TGP $$

<62> 個人可処分所得

$$ YD=YP-TP-SI-TPA $$

<63> 国民所得

$$ Y=YW+YU+\quad(YR-DI)\quad+YC+YG $$

<64> 統計上の不突合

$$ \begin{aligned}SD=&\left(V^{\prime}-DP-DH-DG-TI+SB\right)\\&-Y\end{aligned} $$

<65> 租税総額

$$ TAX{=}TC{+}TP{+}TI $$

<66> 個人在庫品評価調整額

$$ AU{=}AP{-}AG $$

<67> 民間企業減価償却

$$ DP=\alpha DP\times KPN_{-1}\times4 $$

<68> 民間住宅減価償却

$$ DH=\alpha DH\times KHN_{-1}\times4 $$

<69> 民間企業純資本ストック

$$ K P N{=}K P N_{-1}{+}\frac{1}{4}\quad(I P^{\prime}{-}D P) $$

<70> 民間企業粗資本ストック

$$ KP{=}KP_{-1}{+}\frac{1}{4}\quad(IP{-}R) $$

<71> 民間純住宅ストック

$$ KHN{=}KH{N}{+}\frac{1}{4}\quad(IH^{\prime}{-}DH) $$

<72> 民間在庫ストック

$$ KJP{=}KJP_{-1}{+}\frac{1}{4}JP $$

<73> 政府在庫ストック

$$ KJG{=}KJG_{-1}{+}\frac{1}{4}JG $$

<74> 民間企業バランス

$$ BC=\left(SC+DP\right)\ -\ \left(IP^{\prime}+JP^{\prime}\right) $$

<75> 政府バランス

$$ BG=\left(SG+DG\right)-\left(IG^{\prime}+JG^{\prime}\right) $$

<76> 個人貯蓄

$$ SP\text{=}YD\text{—}C^{\prime} $$

<77> 法人留保

$$ SC=YC-TC-DI $$

<78> 政府経常余剰（政府貯蓄）

$$ \begin{aligned}SG=&\ (TAX+YG+SI+TAGN)\\&-\ (CG^{\prime}\ +TGP+SB)\end{aligned} $$

<79> 個人貯蓄累積額

$$ SSP{=}SSP_{-1}{+}\frac{1}{4}SP $$

<80> 法人貯蓄累積額

$$ SSC{=}SSC_{-1}{+}\frac{1}{4}SC $$

<81> 経常海外余剰（ドル建・名目）

$$ BA\ (D)\ =\ (E^{\prime}-M^{\prime})\ \times EX\ne36 $$

<82> 経常海外余剰（円建・実質）

$$ BA\ \left(Y\right)\ =E-M $$

<83> 海外に対する債権の純増

$$ \begin{aligned}BF=&\ (E^{\prime}+TAP+TAGN)\\&-\ (M^{\prime}+TPA)\end{aligned} $$

<84> 現金通貨增減

$$ MCC=\left(MCCS-MCCS_{-1}\right)\times4 $$

<85> 預金通貨残高

$$ MDS{=}MDS_{-1}{+}\frac{1}{4}MD $$

<86> 通貨（M1）增減

$$ M1=MCC+MD $$

<87> 通貨（M1）残高

$$ M1S{=}M1S_{-1}{+}\frac{1}{4}M1 $$

<88> 準通貨残高

$$ MQS{=}MQS_{-1}{+}\frac{1}{4}MQ $$

<89> マネーサプライ (M2) 増減

$$ M2{=}MCC{+}MD{+}MQ $$

<90> マネーサプライ（M2）残高

$$ M2S{=}M2S_{-1}{+}\frac{1}{4}M2 $$
## 短期経済予測モデル SP−18

变 数 记 号 表

$ ^{*} $ は外生変数

$ ^{\circ} $ は季節調整前原系列

記号	名 称	單 位	記 号	名 称	單 位
AC	法人在庫品評価調整額	時価 10億円	JG'	政府在庫投資(名目)	時価 10億円
*AG	政府在庫品評価調整額	"	JP	民間在庫投資(実質)	45年価格10億円
AP	民間在庫品評価調整額	"	JP'	" (名目)	時価 "
AU	個人在庫品評価調整額	"	KHN	民間住宅純資本ストック(名目)	"
BA(D)	經常海外余剩(ドル建て・名目)	時価,億ドル	KJG	政府在庫ストック(実質)	45年価格 "
BA(Y)	" (円建て・実質)	45年価格10億円	KJP	民間在庫ストック(")	"
BC	法人バランス	時価 "	KP	民間設備粗資本ストック(")	"
BF	海外に対する債権の純增	"	KPN	民間設備純資本ストック(名目)	時価 "
BG	政府バランス	"	L	就業者数	百万人
C	個人消費支出(実質)	45年価格10億円	LF	銀行貸出増減	時価 10億円
C'	" (名目)	時価 "	*LN	日銀信用増減	"
CG	政府経常支出(実質)	45年価格 "	LU	個人業主数(含家族従業者)	百万人
*CG'	" (名目)	時価 "	LW	雇用者数	"
*DG	政府減価償却	"	M	輸入等(実質)	45年価格10億円
DH	民間住宅減価償却	"	M'	" (名目)	時価 "
DI	個人配当及び法人から個人への移転	"	M1	マネー・サプライ(M1)増減	"
*DN	日銀預り金増減	"	M1S	マネー・サプライ(M1)残高	"
DP	民間設備減価償却	"	M2	マネー・サプライ(M2)増減	"
E	輸出等(実質)	45年価格10億円	M2	マネー・サプライ(M2)残高	"
E'	" (名目)	時価 "	M2S	マネー・サプライ(M2)残高	"
EC	商品輸出(実質)	45年価格 "	MC	商品輸入(C.I.F.) (実質)	45年価格10億円
EC'	" (名目)	時価 "	MC'	" (名目)	時価 "
EO'	商品外輸出(")	360円からの乖離	MD	預金通貨増減	"
*EX	円為替変動率	時価100万ドル	MDS	預金通貨残高	"
*FAS	海外資産残高	1965.7～1966.6=100	MCC	現金流通増減	"
*FR	航海用船料指数	MCCS	現金流通残高	"
°I	全国銀行約定貸出平均金利	%	MO'	商品外輸入(運賃,保険料を除く)	"
°IC	コール・レート	"	MQ	準通貨(定期制預金)増減	"
IG	政府固定資本形成(実質)	45年価格10億円	MQS	" 残高	"
*IG'	" (名目)	時価 "	*N	生産年令人口	百万人
IH	民間住宅投資(実質)	45年価格 "	NL	労働力人口	"
IH'	" (名目)	時価 "	O	鉱工業生産指数	45年=100
°*IN	公定歩合	%	P	国民総支出デフレータ	"
IP	民間設備投資(実質)	45年価格10億円	PC	個人消費支出 "	"
IP'	" (名目)	時価 "	PCG	政府経常支出 "	"
*JG	政府在庫投資(実質)	45年価格 "	PCG	政府経常支出 "	"
記号	名 称	單 位	記 号	名 称	單 位
PE	輸出等デフレーター	45年=100	*TAP	海外から個人への移転	時価 10億円
PEC	商品輸出デフレーター	"	TAX	租税収入	"
*PEIW	世界工業品輸出価格指 数(MBS)	"	TC	法人税および税外負担	"
*PEO	その他輸出デフレーター	"	*TCS	法人利得特別税	"
PH	民間住宅投資デフレーター	"	*TGP	政府から個人への移転	"
PI	民間設備投資	"	TI	間接税	"
PIG	政府固定資本形成	"	TP	個人税および税外負担	"
PJ	民間在庫	"	*TPS	個人税累積減税額	"
*PJG	政府在庫	"	*TPA	個人から海外への移転	"
PM	輸入等	"	*TWM	世界輸入(日本を除く)(IFS)	45年価格億ドル
*PMC	商品輸入	"	U	完全失業者数	百万人
*PMO	商品外輸入	"	UR	完全失業率	%
*R	民間設備除却	"	V	国民総支出(実績)	45年価格10億円
*R1	法人一般税率	45年価格10億円	V'	(名目)	時価
*R2	法人配当軽課税率	%	VA	有効求人求職倍率	倍
*RDT	定期預金金利(1年もの)	"	W	一人当たり雇用者所得	時価 1,000円
*SB	経常補助金	"	WU	一人当たり個人業主所得	"
SC	法人留保	"	Y	国民所得	"
SD	統計上の不突合	"	YC	法人所得	"
*SEB	金融機関保有国債増減	"	YD	個人可処分所得	"
*SEL	金融機関保有地方債増減	"	*YG	政府の事業・財産所得(政府支払利息控除)	"
SG	政府経常余剰(政府貯蓄)	"	YP	個人所得	"
*SHARE	個人持株比率	"	YR	個人財産所得	"
*SI	社会保险負担	%	YR-DI	個人利子賃貸料所得	"
SP	個人貯蓄	"	YU	個人業主所得	"
SSC	法人貯蓄累積額	"	YW	雇用者所得	"
SSP	個人貯蓄累積額	"	*αDH	民間住宅減価償却率	%
*TAGN	海外から政府への純移転	"	*αDP	"設備"	"
### 3. List of Variables

Note : 1. “ $ ^{*} $ ” indicates exogenous variable.

2. All variables (except those with “○”) are seasonally adjusted and expressed in annual rates.

AC : Inventory valuation adjustment in private incorporated enterprises, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ AG : Inventory valuation adjustment in government enterprises, in billion yen at current prices.

AP : Inventory valuation adjustment in private enterprises, in billion yen at current prices.

AU : Inventory valuation adjustment in unincorporated enterprises, in billion yen at current prices.

BA $ (D) $ : Current account surplus, in hundred million dollars at current prices.

BA $ (Y) $ : Current account surplus, in billion yen at current prices.

BC : Net investment over saving of private enterprises, in billion yen at current prices.

BF : Current account surplus and net transfer abroad, in billion yen at current prices.

BG : Net investment over savings of the government sector, in billion yen at current prices.

C : Private consumption expenditure, in billion yen at 1970 prices.

$ C' $ : Private consumption expenditure, in billion yen at current prices.

CG : Government consumption expenditure, in billion yen at 1970 prices.

$ ^{*} $ CG' : Government consumption expenditure, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ DG : Capital consumption allowances for government enterprises, in billion yen at current prices.

DH : Capital consumption allowances for private dwellings, in billion yen at current prices.

DI : Personal dividends, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ DN : Net increase in deposits with the Bank of Japan, in billion yen at current prices.

DP : Capital consumption allowances in private enterprises, in billion yen at current prices.

E : Exports of goods and services and factor income from abroad, in billion yen at 1970 prices.

$ E' $ : Exports of goods and services and factor income from abroad, in billion yen at current prices.

EC : Commodity exports, in billion yen at 1970 prices.

$ EC' $ : Commodity exports, in billion yen at current prices.

$ EO' $ : Exports of services and factor income from abroad, in billion yen at current prices.
*EX : Index of exchange rate, a dollar/360 yen=1.

*FAS : The outstanding of long-term foreign assets, in billion yen at current prices.

*FR : Index of ocean freight, 1965.7−1966.6=100.0

I : Average interest rates on loans and discounts of all banks, in per cent per annum.

IC : Call money rate, per cent per annum.

IG : Gross fixed investment by government, in billion yen at 1970 prices.

*IG' : Gross fixed investment by government, in billion yen at current prices.

IH : Private housing investment, in billion yen at 1970 price.

IH' : Private housing investment, in billion yen at current prices.

*IN : Bank of Japan official discount rate, in per cent per annum.

IP : Gross fixed investment by private enterprises, in billion yen at 1970 prices.

IP' : Gross fixed investment by private enterprises, in billion yen at current prices.

*JG : Changes in inventories of government enterprises, in billion yen at 1970 prices.

JG' : Changes in inventories of government enterprises, in billion yen at current prices.

JP : Changes in inventories of private enterprises, in billion yen at 1970 prices.

JP' : Changes in inventories of private enterprises, in billion yen at current prices.

KHN : Net stock of private houses, in billion yen at current prices.

KJG : Inventories of government enterprises, in billion yen at 1970 prices.

KJP : Inventories of private enterprises, in billion yen at 1970 prices.

KP : Gross capital stock of private enterprises, in billion yen at 1970 prices.

KPN : Net capital stock of private enterprises, in billion yen at current prices.

L : Employment, in million of persons.

LF : Changes in bank lendings, in billion yen at current prices.

*LN : Loans to, and net purchases of securities from, private banks by the Bank of Japan, in billion yen at current prices.

LU : Farmers and unincorporated enterprises, in million of persons.

LW : Employee, in million of persons.

M : Imports of goods and services and factor income paid abroad, in billion yen at 1970 prices.

M' : Imports of goods and services and factor income paid abroad, in billion yen at current prices.

M1 : Change in money stock (cash currency), in billion yen at current prices.

M1S : Money stock (M1), in billion yen at current prices.

M2 : Change in money stock (cash currency, demand deposits and time and saving deposits), in billion yen at current prices.

M2S : Money stock (M2), in billion yen at current prices.

MC : Commodity imports (including freight and insurance related to them), in billion yen at 1970 prices.

MC' : Commodity imports (including freight and insurance related to them), in billion yen at 1970 prices.
MO': Imports of services other than freight and insurance and factor income paid abroad, in billion yen at current prices.

PEC : Implicit price deflator for commodity exports, 1970=100.

PH : Implicit price deflator for private housing investment, 1970=100.

$ ^{*} $ RDT : Interest rate on time deposits (1 year), in per cent.

billion yen at current prices.

MD : Changes in demand deposits, in billion yen at current prices.

MDS : Demand deposits outstanding, in billion yen at current prices.

MCC : Changes in cash money in circulation, in billion yen at current prices.

MCCS : Cash money in circulation, in billion yen at current prices.

MQ : Changes in time and saving deposits, in billion yen at current prices.

MQS : Time and saving deposits outstanding, in billion yen at current prices.

NL : Labour force, in million of persons.

O : Index of mining and manufacturing production, 1970=100.

P : GNP implicit deflator, 1970=100.

PC : Implicit price deflator for private consumption expenditure, 1970=100.

PCG : Implicit price deflator for government consumption expenditure, 1970=100.

PE : Implicit price deflator for exorts of goods and services and factor income from abroad, 1970=100.

$ ^{*} $ PEIW : Export price index of manufactured goods, 1970=100.

$ ^{*} $ PEO : Implicit price deflator for exports of services and factor income from abroad, 1970=100.

PI : Implicit price deflator for gross fixed investment by private enterprises, 1970=100.

PIG : Implicit price deflator for gross fixed investment by government, 1970=100.

PJ : Implicit price deflator for inventories of private enterprises, 1970=100.

$ ^{*} $ PJG : Implicit price deflator for inventories of government enterprises, 1970=100.

$ ^{*} $ PMO : Implicit price deflator for imports of services and factor income paid abroad, 1970=100.

$ ^{*} $ R : Removal of fixed capital of private enterprises, in billion yen at 1970 prices.

$ ^{*} $ R1 : General corporate tax rate, in per cent.

$ ^{*} $ R2 : Preferential tax rate for corporate income as to dividends paid, in per cent.

SB : Government current subsidies, in billion yen at current prices.

SC : Savings of private incorporated enterprises, in billion yen at current prices.

SD : Statistical discrepancy, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ SEB : Changes in government bonds held by banks, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ SEL : Changes in local government bonds held by banks, in billion yen at current
prices.

SG : Government savings, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ SHARE : Ratio of personal shareholders in stock market, in per cent.

$ ^{*} $ SI : Social insurance contributions, in billion yen at current prices.

SP : Household savings, in billion yen at current prices.

SSC : Saving stock of private enterprises, in billion yen at current prices.

SSP : Saving stock of household, in billion yen at current prices,

*TAGN : Net transfers from abroad to government, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ TAP : Transfers from abroad to household and private non-profit institutions, in billion yen at current prices.

TAX : Tax revenue, in billion yen at current prices.

TC : Direct taxes and charges on private corporations, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ TCS : Temporary corporate special surtax, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ TGP : Transfers from government to household and private non-profit institutions, in billion yen at current prices.

TI : Indirect taxes, in billion yen at current prices.

TP : Personal income taxes and tax contributions (including transfer to government), in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ TPS : Cumulative reductions in TP, in billion yen at current prices.

* TPA : Transfers from household and private non-profit institutions to abroad, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ TWM : World imports excluding those by Japan and socialist countries, in thousand million dollars at 1970 prices.

U : Unemployment, in million of persons.

UR : Unemployment rate, in per cent.

V : Gross national expenditure, in billion yen at 1970 prices.

$ V' $ : Gross national expenditure, in billion yen at current prices.

VA : Effective ratio of job offers to applicants except new graduates.

W : Wage income per employee, in thousand yen at current prices.

WU : Income of farmers and unincorporated enterprises per head, in thousand yen at current prices.

Y : National income, in billion yen at current prices.

YC : Corporate income, in billion yen at current prices.

YD : Personal disposable income, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ YG : Government's income from enterprises and property (less interests paid on public debt), in billion yen at current prices.

YP : Personal income, in billion yen at current prices.

YR : Personal income from property, in billion yen at current prices.

YR−DI : Persol rental and interest income (less interest on consumer's debt), in billion yen at current prices.
YU : Income of farmers and unincorporated enterprises, in billion yen at current prices.

YW : Compensation of employee, in billion yen at current prices.

$ ^{*} $ $ \alpha $ DH : Rate of depreciation for private dwellings, defined as DH/KHN $ _{-1} $ .

$ ^{*} $ $ \alpha $ DP : Rate of depreciation for private fixed capital, defined as DP/KPN $ _{-1} $ .

$ ^{*} $ $ \lambda_{e} $ : Ratio of export cargoes carried by Japanese vessels in relation to total cargoes.
## 東京都庁の視察の概要

（1）日 時：平成27年5月22日（金）

（2）出席者：

先方）小林生活文化局長 ほか

当方）堀部委員長、阿部委員、嶋田委員、手塚委員、加藤委員、其田事務局長、松元総務課長、大塚調査官

（３）主な意見交換事項

① 条例の整備状況について

② 独自利用事務及び規則連携に係る検討状況について

③ 特定個人情報保護評価の実施状況と課題について

④ マイナンバー関係のシステム開発状況について

⑤ 特定個人情報の取扱いに関するガイドラインについて

⑥ 広報について
# 経済分析

第93号 昭和59年3月

☆大規模計量経済モデルの構造解析・

解法・推定について

経済企画庁経済研究所編集
## 本誌の性格について

本誌は，研究所員の研究試論である。この種の成果は，研究所内部においても検討中のものであるが，現在研究所でどういう研究が進行しつつあり，どういう考え方が生まれつつあるかを外部の方々に知っていただくと同時に，きたんのない批判な仰ぐことを意図するものである。そのために，掲載は研究員個人の名義であり，研究所としての公式の見解ではないことを含まれたい。
## 経 济 分 析

第 93 号

昭和59年3月

经济企画厅经济研究所

## 目次

## <分析>

大規模計量経済モデルの構造解析・解法・推定について

はしがき.....1

第1章 大規模計量経済モデルの構造解析.....2

1-1 はじめに.....2

1-2 Stewardの方法.....6

1-3 Hellerman・Rarickの方法.....9

1-4 Nepomiastchy・Ravelliの方法.....14

1-5 構造解析.....17

第2章 大規模計量経済モデルの解法.....36

2-1 はじめに.....36

2-2 ガウス・ザイデル法.....37

2-3 ニュートン法・簡易ニュートン法.....39

2-4 モデル解法への応用.....42

第3章 大規模計量経済モデルの推定.....49

3-1 同時推定法について.....49

3-2 計量経済モデル推定における諸問題.....51

3-3 日本経済モデルの同時推定.....53

参考文献.....72

付録1 簡単な日本経済モデル.....74

付録2 簡略化された日本経済モデル.....75
# 大規模計量経済モデルの構造

# 解析・解法・推定について $ ^{*} $

伊藤 征一，佐々木隆博，伴 金美

藤井 健二，矢萩 恵一，Jean-Louis Brillet**

はしがき

本稿は，大規模計量経済モデルの構造解析，解法及び推定に関する諸問題に対処するために提案されたいくつかの方法を，若干の実験結果を用いて比較検討しようとするものである。ここで実験的に扱われているモデルは，経済企画庁経済研究所で開発中の世界経済モデルのうちの日本及び西独経済モデルであり，世界経済モデル全体の規模と比較すれば小さなものである。しかしながら，モデルを推定し解く場合に生ずる問題は大規模な全体モデルの場合と全く同じであり，実験に用いるには十分な規模であると考える。

計量経済モデルの大規模化は，方程式と変数の数を著しく増大させるが，その一方で方程式と変数間の関係を不明確なものにする傾向がある。このような大規模計量経済モデルにおける各方程式と変数の関係を分析することは，モデルの開発過程で重要な役割を持つ。大規模計量経済モデルの特徴の1つは，方程式と変数間の関係が疎（sparse）である（個々の方程式に含まれる変数がモデル全体に含まれる変数に比べて著しく少なく，連立方程式体系のほとんどの係数がゼロとなっている）ことである。このような関係を分析するための方法は，大規模線型連立方程式モデルや大規模線型計画法などの数値解法の分野で発展したものであるが，連立方程式で構成されている計量経済モデルへも十分適用することができる。その方法によれば，大規模モデルもブロック化することにより，より小さいモデルへの分割が可能となる。これは方程式あるいは変数をグループ化することであり，このブロック分割によりその構造を明確な形で整理することが可能となる。

次に，問題となるのは大規模計量経済モデルを解くための方法である。世界経済モデルをはじめ，多くのモデルは非線型連立方程式から成る。この方程式体系を解くためには，通常ガウス・ザイデル法とよばれる反復代入法が用いられる。この方法は非線型連立方程式体系を比較的効率よく解く方法として知られており，経済企画庁の世界経済モデルもこの方法で解かれている。しかしながら，ガウス・ザイデル法は方程式の順序により収束回数が著しく異なるのみならず，解が存在してもモデルを解くことができない場合もある。一方，ニュートン法とよばれる解法は比較的小規模の非線型連立方程式体系の解法として工学的分野でよく用いられており，解の精度もガウス・ザイデル法と比較して高いことが知られている。

これまで，大規模計量経済モデルへのニュートン法の適用については否定的な考え方が強
く，解法として用いられることが少なかった。しかし，大規模計量経済モデルにおける方程式と変数との関係が疎である構造的特性を利用すれば，ニュートン法の適用も十分に可能であり，解の精度を高めるためにも望ましいことが最近明らかになりつつある。本稿では，ガウス・ザイデル法以外の解法としてニュートン法などを比較検討の対象とする。

最後に，大規模計量経済モデルを推定するうえで生ずる問題として同時方程式体系の扱いがある。世界経済モデルの各パラメータは原則として最小二乘法を用いて推定されている。ところが，同時方程式体系を最小二乘法で推定すると，いわゆる「最小二乗バイアス」が発生することが知られている。この問題に対しては，二段階最小二乗法や制限情報最尤法をはじめとするいくつかの同時推定法が提案されている。特に，最近の大規模計量経済モデルの推定量に関する小標本理論によれば，制限情報最尤推定量あるいはそれを若干修正した方法が，最小二乗推定量や二段階最小二乗推定量よりも望ましいとされている。本稿では，このような異なる推定量を用いてモデルを推定し，比較検討する。

## 第1章 大規模計量経済モデルの構造解析

## 1 −1 はじめに

連立方程式体系として記述される計量経済モデルは，モデルに含まれる方程式と変数との関係が疎（sparse）となる特有な性質を持つ。すなわち，個々の方程式に含まれる変数がモデル全体に含まれる変数と比較して著しく少なく，他の大部分の変数は係数のゼロ制約条件によりその方程式から除かれている。このような計量経済モデルに特有な性質を十分に考慮することは，大規模化しつつあるモデルの推定と解法を効率的に行うために重要な意味を持つ。本章では，特に内生変数と各方程式の関係に視点を置いて分析する。これは，モデルの推定と解法において，先決変数（先決内生変数及び外生変数）が常に所与として扱われていることによる。

表1.1 簡単な日本経済モデルの構造

C	IP	GNP	K	L	P	W	YO	YP
(1)	*	*	*
(2)	*	*
(3)	*	*	*
(4)	*	*
(5)	*	*	*	*
(6)	*	*
(7)	*	*	*	*
(8)	*	*	*
(9)	*	*	*	*

(注) $ ^{*} $ は各内生変数がその方程式に含まれ、ブランクは除かれていることを意味する。
る。本章における「構造」という用語はこのような内生変数と各方程式の関係を指すものとする。

表1.1は，付録1における9本の方程式からなる簡単な日本経済のマクロモデルについて，内生変数と方程式との関係を行列形式で表現したものである。これは，線型の連立方程式体系

$$ B y+\varGamma x=0 $$

$$ \begin{aligned}&y(G\times1): 内生変数 \mathbb{A} クトル \\&x(K\times1): 外生変数 \mathbb{A} クトル \\ \end{aligned} $$

$$ \left.\begin{aligned}B(G\times G)&:\Biggr\} 係数行列 \\ \varGamma(G\times K)&:\Biggr\}\end{aligned}\right. $$

における係数行列Bに対応するものである。すなわち，表1.1の*は行列Bの非ゼロ要素に，ブランクはゼロ要素に対応している。*の全体 $ (G\times G) $ に占める比率は行列の密度とよばれるが，表1.1のモデルの場合は33%である。一般に行列の規模は方程式の本数の2乗に比例して拡大するが，非ゼロ要素である*の数は方程式に単純比例するだけである。従って計量経済モデルの規模の拡大に伴う構造行列の密度は急速に低下する。

(1.1) 式の線型モデルの場合，解は

$$ y=-B^{-1}\varGamma x $$

として表わされる。すなわち，解ベクトル y を計算するためには，係数行列 B の逆行列を求めることが必要である。この場合，行列 B が疎であれば逆行列を計算する方法を工夫することにより，計算機を用いる際のメモリー量と計算時間を大幅に軽減することが可能となる。(Curtis and Reid [1971])。一方，非線型モデルの場合は，

$$ \begin{aligned}&f(y,\ x)=0\\ &\quad y(G\times1): 内生変数 \text{ベクトル }\\ &\quad x(K\times1): 外生変数 \text{ベクトル }\\ \end{aligned} $$

(注) 実際に方程式体系を解く場合は, 逆行列 $ B^{-1} $ を計算するわけではなく, ガウス消去法などで行われているように, 行列 B を三角行列へ変換して代入法などを用いる。以下の議論は行列を三角行列へ変換する過程で重要な問題となる点である。

$ f=(f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{G})' $ : 関数ベクトル

と表わされる。(1.3)を $ y_{0} $ の近傍で展開すれば,

$$ \begin{aligned}f(y_{0},&x)+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{y=y_{0}}(y-y_{0})=0\\\frac{\partial f}{\partial y}=&\begin{pmatrix}\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{1}},\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{2}},\cdots\cdots,\frac{\partial f_{1}}{\partial y_{G}}\\\frac{\partial f_{2}}{\partial y_{1}},\frac{\partial f_{2}}{\partial y_{2}},\cdots\cdots,\frac{\partial f_{2}}{\partial y_{G}}\\\cdots\cdots\cdots\\\frac{\partial f_{G}}{\partial y_{1}},\frac{\partial f_{G}}{\partial y_{2}},\cdots\cdots,\frac{\partial f_{G}}{\partial y_{G}}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

となる。(1.4)式は,(1.1)式と同じ線型の連立方程式体系である。この場合，表1.1の構造は一次の偏微分係数行列$\left[\frac{\partial f}{\partial y}\right]_{y=y_{0}}$ に対応している。したがって，ニュートン法などのような非線型モデルの解法に用いられる方法を適用する場合でも，線型モデルの解法におけると同じ計算上の工夫が必要となる。

以下においては大部分の要素が0である疎行列（sparse matrix）によって表現される大規模連立方程式体系を解く際の工夫について述べる。これはガウスの消去法における前進消去式の算法を用いて説明することができる。一般に，連立方程式体系を

$$ \left.\begin{aligned}b_{11}y_{1}+b_{12}y_{2}+\cdots\cdots+b_{1G}y_{G}=&a_{1}\\ b_{21}y_{1}+b_{22}y_{2}+\cdots\cdots+b_{2G}y_{G}=&a_{2}\\ &\cdots\cdots\cdots\\ b_{G1}y1+b_{G2}y_{2}+\cdots\cdots+b_{GG}y_{G}=&a_{G}\end{aligned}\right\} $$

とし，これをガウス消去法を用いて解くものとする。すなわち，第k回目のステップにおいて第k行の係数全体に同一の値を乗じ，下の行から減ずる。その際乗ずる数は，下の行のk番目の係数がゼロになるように，行毎に異る値を用いるものとする。また第k行自体は，そのk番目の係数が1になるように，全体をk番目の係数で除しておく。この場合，第k行をピポット行と呼ぶ。この，k回目のステップにより各係数は次のようになる。

$$ b_{k j}^{k}=b_{k j}^{k-1}\nearrow b_{k k}^{k-1},\ a_{k}^{k}=a_{k}^{k-1}\nearrow b_{k k}^{k-1}\ \setminus $$
$$ \begin{aligned}&b_{ij}^{k}=b_{ij}^{k-1}-\left(\frac{b_{ik}^{k-1}}{b_{kk}^{k-1}}\right)\cdot b_{kj}^{k-1}\quad 冮 \quad\\ &a_{i}^{k}=a_{i}^{k-1}-\left(\frac{b_{ik}^{k-1}}{b_{kk}^{k-1}}\right)a_{k}^{k-1}\quad 冮 \\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&k\leqq j\leqq G\\&k\leqq i\leqq G\\ \end{aligned} $$

このステップをくり返すことにより，Gステップ目で，連立方程式体系（1.5）は次のように変換される。

$$ \left.\begin{aligned}y_{1}+b_{12}^{1}y_{2}+b_{13}^{1}y_{3}+\cdots\cdots+b_{1G}^{1}y_{G}=a_{1}^{1}\\ y_{2}+b_{23}^{2}y_{3}+\cdots\cdots+b_{2G}^{2}y_{G}=a_{2}^{2}\\ \cdots\cdots\cdots\\ y_{G}=a_{G}^{G}\end{aligned}\right\} $$

(1.5) 式の (1.7) 式への変換を一般に行列の三角化とよぶ。連立方程式体系が (1.7) 式のように変換されれば，解は (1.7) 式の最後の式から順番に $ y_{G}, y_{G-1}, \cdots, y_{1} $ と逐次代入することにより計算できる。ガウス消去法の過程のなかで重要と考えられるのは，いわゆる前進消去式とよばれる。

$$ b_{ij}^{k}=b_{ij}^{k-1}-\left(\frac{b_{ik}^{k-1}}{b_{kk}^{k-1}}\right)b_{kj}^{k-1} $$

である。この式で $ b_{ij}^{k-1}=0 $ ，かつ $ b_{kj}^{k-1}=0 $ であれば $ b_{ij}^{k}=0 $ となる。一方， $ b_{ij}^{k-1}=0 $ であっても $ b_{kj}^{k-1}\neq0 $ であれば $ b_{ij}^{k}\neq0 $ となる。計算の過程で常に $ b_{ij}^{k}=0 $ となることが明らかな要素については，計算機上にメモリーを占有する必要がなく，実際の計算も必要でない。ところが後者のように， $ b_{ij}^{k-1}=0 $ なのに $ b_{kj}^{k-1}\neq0 $ の場合は，k ステップ目で $ b_{ij}^{k} $ は非ゼロとなる。このような $ b_{ij} $ については，あらかじめメモリーを準備する必要が生ずる。このように計算過程の途中で非ゼロとなる要素は，一般にフィルイン（fill-in）とよばれる。（Drud [1978]，深尾・渡辺 [1982]）フィルインの発生は，計算に必要なメモリーと計算量を増大させる。フィルインは，ガウスの前進消去過程で，ピポット行のなかに $ b_{kj}\neq0(k図1.1 行列におけるスパイク列

（注） 右上三角部分は，スパイク列以外はすべてゼロである。斜線部は， $ b_{ij}=0,\quad b_{ij}\neq0 $ が混在する部分。空白部は，全て $ b_{ij}=0 $ となる部分。

からなる連立方程式体系を解く場合の工夫は，このようなフィルインの発生をどのようにして少なくするかという点にある。これは一般に消去の順序の選択として知られている。

計量経済モデルの場合は各方程式によって解かれる変数が陽関数の形で事前に決められているため，消去の順序の選択は方程式の順序の選択と言い換えることができる。これは，グラフの理論で最小帰還点集合（minimum feedback vertex set）を求める問題として知られている。

（伊理・恒川・室田 [1982]）しかし，この問題に対する一意的な最適解は存在しないことが証明されている。ただ，フィルインをなるべく少なくするための近似的解法はいくつか提案されており，本章ではそれらを計量経済モデルへ適用することを試みる。
大規模計量経済モデルの構造解析・解法・推定について

表1.2 再順序化された簡単な日本経済モデル

P	L	W	YO	YP	C	IP	GNP	K
(6)	*	*
(5)	*	*	*	*
(7)	*	*	*	*
(8)	*	*	*
(9)	*	*	*	*
(1)	*	*	*
(2)	*	*
(3)	*	*	*
(4)	*	*

(注) ☐部分はスパイク列を意味する。

表1.2は表1.1で示される日本経済に関する簡単なマクロモデルを並び替えて再順序化したものである。この場合のスパイク列は賃金Wと国民総生産GNPの2つである。スパイク列が存在しない構造であれば，そのモデルは逐次決定体系とよばれるものになる。一方，表1.2に示されるようなスパイク列が存在する場合はスパイク列に対応する内生変数WおよびGNPを通してモデルは同時決定体系となる。一方，表1.2の資本ストックKのような変数は他の変数に対して何らの影響も与えない。

このように方程式の並べ替えによってスパイク列をなるべく少なくしたモデルへ再構成することは、フィルインの発生を少なくして計算量を減少させるのみならず、計量経済モデルに含まれる変数間の関係を整理するうえでも重要な情報を与えてくれる。

方程式体系を並び替えて再順序化を行なうことにより全体系は一般に図1.2で示されるようなブロック化された体系へ再構成される。図1.2の場合，連立方程式体系は（I），（II），（III）の3種類のブロックに分割される。第Ⅱブロックは，さらに（2），（3）の小ブロックからなるヘリ付三角行列（bordered triangular matrix）となる。ここで，ブロック（3）はスパイク列に対応

図1.2 連立方程式体系のブロック化

(注) 下三角部分は全て斜線でもよい。

する。計量経済モデルは，一般にヘリ付三角行列を基本単位とするプロックリカーシブ体系（block recursive system）として再構成することができる。大規模計量経済モデルについても，ブロック化することができれば，各ブロックごとにモデルを解くことができ，計算量は著しく減少する。図1.2の場合，まず第Iブロックを解き，次いで第IIブロック，最後に第IIIブロックを解くというように，逐次的に解くことができる。その際，第IIブロックで表わされているような，スパイク列をなるべく少なくしたヘリ付三角行列を作りフィルインの発生を少な