Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
率の引き上げ）の効果も検証している。無論、いずれも一定の仮定の下で導かれる結果であり、モデルやパラメータ値の精査は今後とも進めていく必要がある。

### 2. モデルの概要

以下ではモデルの基本的な枠組みについて説明する。モデルは標準的な外生成長（ラムゼー）モデルに基づく。これに①サプライチェーンを担う中間財生産者と地域財生産者及び②中間財生産者への信用（借入）制約を加えている。

タイミング：各期（t期）は幾つかの段階に区分される。期初に政府による社会インフラの整備が行われる。震災が起きるかどうかはその次の段階で決まる。震災は事前（t−1期前）には予期されていない。簡単化のため、地震発生のリスク自体認識されていないものとする。このことは震災以前の経済の定常状態に影響する。その後、中間財、地域財、及び最終財が順次生産され、賃金や利潤を含む所得の分配が確定する。本モデルにおいて、サプライチェーンは中間財から最終財生産までの一連の流れを指す。続いて代表的家計が消費を行い、消費税と労働所得（賃金）税を支払う。この代表的家計は労働も供給するが、その決定は地域財生産と同じタイミングとする。期末に中間財生産者が（次期の中間財生産のための）投資に向けた、政府が財政赤字の補てんのための借入をそれぞれ、実施する。ただし、①中間財生産者は金融機関を通じて借入れをする一方、②政府は家計に対して直接的に公債を発行している。

図表1：時間軸（タイミング）

サプライチェーン（中間財生産）：サプライチェーンを構成するのは①中間財生産者、②地域財生産者、及び③最終財生産者である。中間財生産が川上産業、最終財生産が川下産業にあたる。全ての生産者は完全競争的に（よって価格受容者として）振る舞うものとする。このうち、中間財生産者は試算上では8地域（北海道、東北、関東、中部、近畿、中国、四国、九州）からなる地域と23部門に分類される部門によって区分される。したがって、中
間財生産者の数は $ I = 8 \times 23 = 184 $ に等しい。簡単化のため各中間財生産者は資本財のみを投入物とするものと仮定する。中間財生産が他の中間財や最終財等を投入するといった相互依存・フィードバック関係は考慮しない。（こうした相互依存・フィードバック関係は震災がサプライチェーンに与える影響を増幅させるだろう。）資本財は後述する資本財生産者から毎期購入するとともに、使用後（減価償却済み）の資本も同生産者に売却される。こうした資本財の売買は Financial accelerator モデルを含めて、この分野では標準的な想定である。

$$ x_{t}^{i}=\zeta_{t}^{i}K_{t}^{i} $$

ここで、 $ x_{t}^{i} $ は t 期の第 i 中間財の生産量、 $ K_{t}^{i} $ は資本投入量である $ (i=1,2,3\ldots,I) $ 。震災は影響地域（試算では関東圏）に立地する中間財生産者の生産性パラメータ $ \zeta_{t}^{i} $ を一時的に低下させる。これが地域財生産や最終財生産に波及していくことになる。試算では一般性を損なうことなく震災時以外はこの生産性パラメータは 1 に基準化できる。

図表2：生産構造（プロセス）

地域財生産: 各地域には単一の地域財生産者が存在する。よって試算では地域財生産者数は8となる。この地域財生産者は①「他地域を含む」中間財生産者から中間財群を購入するとともに、②地域の労働力を用いて地域財を生産する。また、③地域財の生産量には当該地域の社会資本も影響する。これを数式で表すと

$$ y_{_{jt}}=\varepsilon_{_{jt}}\overline{N}_{_{jt}}^{^{1-\alpha}}Z_{_{jt}}^{\alpha}G_{_{jt}}^{\eta}\quad 閃閃龙 旻閃、Z_{_{jt}}=\Pi_{_{i=1}}^{^{I}}(x_{_{jt}}^{^{i}})^{\sigma_{_{j}}^{i}} $$

ここで、添え字 j は地域を、t は時間を表す。 $ Z_{jt} $ は中間財を集計したもので I=184 は（他地域を含む）全ての中間財数、 $ x_{jt}^{i} $ は t 期に地域 j で投入されている第 i 中間財を指す（i=
1,2,3...,I)。 $ \sigma_{j}^{i} $ は第 i 中間財が地域財生産に占める比重を示す。これが高いほど震災ショックで当該中間財の生産量が低下する影響は大きいことになる。他の変数についても説明する。 $ G_{jt} $ は政府によって提供される地域 j の社会資本ストックである。なお、本モデルでは国と地方自治体の区別はなく、これらが供給している全ての社会資本が集約される。 $ \overline{N}_{jt} $ は地域 j の労働力であり、 $ \overline{N}_{jt}=N_{jt}\cdot H_{t}= $ 労働人口×労働時間で与えられる。労働時間 $ H_{t} $ は家計の効用最大化問題を通じて内生的に決定される。ただし、「代表的」家計を仮定する、つまり、家計間の所得分配は捨象するため、労働時間は全ての地域で同一となる。本来、地域ごとに代表的家計が居て然るべきだが、その場合、労働時間は（震災ショックの有無のほか）中間財生産者等からの配当を含む所得分配に依存するため、分析が複雑になってしまう。最後に $ \varepsilon_{jt} $ は地域財生産の生産性パラメータである。試算では、他の変数と合わせて「基準化」のために用いられる。

最終財生産：最終財生産＝GDPは地域財をインプットとして「代表的」生産者がこれを担うものとする。価格は1に基準化される。（本モデルではインフレ＝物価変動は考慮しない。）生産関数はコブ・ダグラス型の生産技術に従う。

$$ \overline{Y}_{t}=A_{t}^{1-\alpha-\eta}\Pi_{j}(y_{jt})^{\theta_{j}}\quad 閏 閏 た だ し 、\sum_{j=1}^{J}\theta_{j}=1 $$

ここで $ A_{i} $ は生産性パラメータであり、標準的なマクロ生産関数でいう TFP（全要素生産性）にあたる。外生成長モデルに従い、一定の比率 $ \gamma^{A} $ で増加すると仮定する。経済の潜在的成長率にあたる。生産関数の仮定から各地域財金額が GDP に占める比率は $ \theta_{j} $ に等しい。また、（中間財と労働を投入する）地域財生産、（地域財を投入する）最終財生産はいずれも収穫一定の生産技術に従うため、生産者にレント＝利潤は発生しない。他方、中間財生産者については利益が生じており、これが自己資金として以下で説明する金融機関からの借入と合わせて、次期の中間財生産のための資本購入の資金に充てられる。

金融（信用）制約：中間財生産者は中間財を生産・販売、（減価償却済み）資本ストックを売却し、利益が確定したt期の期末に借入を実施して、次の期（ $ t+1 $ 期）の中間財生産のための資本ストックを購入する。ただし、借入可能な金額はt期時点で評価される資本ストック金額の一定割合 $ \phi_{t+1} $ に限定されるものと想定する。これは①中間財生産者が金融（信用）制約に直面しており、②生産設備としての資本（機械等）が借入のための担保になっている状況にあたる。

$$ L_{_{t+1}}^{i}=\phi_{_{t+1}}Q_{_{t}}K_{_{t+1}}^{i} $$

ここで $ L_{t+1}^{i} $ は第 i 中間財生産者の借入額、添え字 $ t+1 $ は次の期に持ち越されて返済されることを指す。 $ Q_{t} $ は（借入のタイミングと一致する） t 期の資本財価格である。本モデルにおいて（震災の影響を含めて） $ \phi_{t+1} $ は外生的に扱われる。金融機関の意思決定を織り込んだ $ \phi_{t+1} $
の内生化は今後の課題として残される。ここでは学習効果（learning by doing）などを反映して、 $ \phi_{t+1} $ は前期の比率に応じて決定されるものと仮定する。

$$ \phi_{t+1}=(1-\varsigma)\overline{\phi}+\varsigma\phi_{t} $$

ここで $ \overline{\phi} $ は経済の定常状態（＝長期均衡）における貸出比率となる。 $ \overline{\phi} $ や $ \varsigma $ の値は貸出比率の実績値を（5）式に回帰させることで推計する。具体的には $ \varsigma=0.93 $ 、 $ \overline{\phi}=0.445 $ となる。

图表3：回帰式

Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
$ \varsigma $	0.929497	0.055191	16.84141	0
R-squared	0.952322
Adjusted R-squared	0.952322
$ \overline{\phi} $ （データ期間の平均）	0.445

(出所) 1993 年から 2008 年までの「総貸出平残（銀行計）」（日銀統計）

及び「民間資本ストック（全産業）」（内閣府統計）から推計

借入が担保価値によって制約される状況は Kiyotaki and Moore(1997) モデルとして知られている。ただし、Kiyotaki and Moore では生産設備ではなく土地が担保として想定されていた。結果、投資は(バブル要因を含む)地価の影響を被ることになる。このほか、将来の売上収入や国債等、流動金融資産を担保とするモデルもある。このように借入制約の定式化は様々だが、(4) 式は簡単化された Financial accelerator モデル(Bernanke et al(1999)) と関連づけることもできる。 $ \Pi_{t}^{i} $ を中間財生産者の t 期利益としよう。このうち比率 m が自己資金として投資に充てられるとする。この m は①内部留保比率（よって残りは配当として代表的家計に分配）と解釈できる。あるいは②中間財生産者が次期に生産する中間財の研究開発やマーケット・リサーチ等に利益を費やした後に残余の内部留保の比率が m という解釈も成り立つだろう。中間財生産に係る技術革新は本モデルでは明示的に扱われていないが、これを織り込んでもモデルの本質は大きく変わらないものと思われる。結果、借入と合わせた資本購入額＝投資額は以下のようになる。

$$ Q_{t}K_{_{t+1}}^{i}=m\Pi_{_{t}}^{i}+L_{_{t}}^{i}\Rightarrow Q_{t}K_{_{t+1}}^{i}=\frac{m\Pi_{_{t}}^{i}}{1-\phi_{_{t+1}}} $$

すなわち投資額は自己資金の一定比率として与えられる。 $ \phi_{t+1}/(1-\phi_{t+1}) $ は自己資金の何倍の借入が可能かというレバレッジ比率にあたる。Financial accelerator モデルでも投資額は自己資金（内部留保）に比例する。ただし、比率は投資收益率に依存するなど内生的になっており、これを外生とする本モデルとは異なる。とはいえ企業の投資額が内部資金に制約される状況を表すところは共通する。なお、金融機関が家計から預金を借り入れるときの金利と中間財生産者に貸付ける金利は一致しない。一般に利ぎやを稼いている状況を想定する。よって金融機関は利益を得るが、これは全額、家計に配当されるものと仮定する。
その他のモデルの設定: マクロ生産関数: (1) 式及び (2) 式を (3) 式に挿入することで、TFP で基準化された経済全体の生産関数が導かれる。

$$ \overline{Y}_{_{t}}=A_{_{t}}^{^{1-\alpha}}\Omega_{_{t}}H_{_{t}}^{^{1-\alpha}}K_{_{t}}^{\alpha}\Rightarrow Y_{_{t}}\equiv\frac{\overline{Y}_{_{t}}}{A_{_{t}}}=\Omega_{_{t}}H_{_{t}}^{^{1-\alpha}}\Bigg(\frac{K_{_{t}}}{A_{_{t}}}\Bigg)^{\alpha}\equiv\Omega_{_{t}}H_{_{t}}^{^{1-\alpha}}k_{_{t}}^{\alpha} $$

$$ ただし、\ln\Omega_{_{t}}=(1-\alpha)\sum_{_{j}}\big(\theta_{_{j}}\ln N_{_{jt}}\big)+\eta\sum_{_{j}}\big(\theta_{_{j}}\ln\chi_{_{jt}}\big)+\alpha\sum_{i}\big[\big(\sum_{_{j}}\theta_{_{j}}\sigma_{_{j}}^{i}\big)\big(\ln\zeta_{_{t}}^{i}+\ln\mu_{_{t}}^{i}\big)\big] $$

ここで、$\Omega_{t}$ はサプライチェーンを織り込んだ（$A_{t}$ とは区別される）生産性パラメータであり、震災のサプライチェーンに及ぼす影響が集約される。$K_{t}$ は中間財生産に投下される民間資本ストックの総量であり、$K_{t}=\Sigma_{i=1}^{I}K_{t}^{i}$ に等しい。$\chi_{jt}\equiv G_{jt}/A_{t}$ は基準化された社会資本、$\mu_{t}^{i}\equiv K_{t}^{i}/K_{t}$ は第$i$ 中間財生産に係る民間資本の全資本ストックに占める比重である。①$\mu_{t}^{i}$ は市場均衡で内生的に決まる。ただし、各期の期初には決まっている先決変数である。一方、②$\chi_{jt}$ は（関東圏において）震災ショックを被った上、震災後は政府による復興政策の変数として与えられる。地域財生産性パラメータ$\varepsilon_{jt}$ は他の定数項を合わせて対数値がゼロに基準化されている。（8）式において

$$ \mu_{i}^{0}\equiv\sum_{j}\theta_{j}\sigma_{j}^{i} $$

は第i中間財がサプライチェーンを通じて生産性に及ぼす影響の程度を表す。ここでは$\sigma_{j}^{i}$を個別に推計する必要はない。震災で$\zeta_{t}^{i}$が減じられたとき、$\mu_{i}^{0}$が大きいほど生産性へのインパクトも強くなる。なお、$\mu_{i}^{0}$としているのは震災前の定常状態において、$\sum_{j}\theta_{j}\sigma_{j}^{i}$が$\mu_{t}^{i}\equiv K_{t}^{i}/K_{t}$と一致することに拠る。

資本成長率：本モデルでは（Financial accelerator モデル等のように）中間財生産者の破綻は想定していない。とはいえ、借入金利（グロス） $ r_{t}^{E} $ には国債金利に比してリスクプレミアムが上乗せされているものとする。「流動性リスク」を反映するものとするが、破たんリスクを織り込んだモデルを構築することも比較的容易である。中間財生産者は①中間財を価格 $ q_{t}^{i} $ で販売、②減価償却済みの資本ストックを資本財生産者に売却した上で③借入金を返済する。ここで中間財生産者は完全競争的であるため、価格にマークアップは反映されない。利益 $ \Pi_{t}^{i} $ はその残余である。

$$ \Pi_{_{t}}^{i}=q_{_{t}}^{i}x_{_{t}}^{i}+(1-\delta)\upsilon Q_{_{t}}K_{_{t}}^{i}-r_{_{t}}^{^{E}}L_{_{t}}^{i}=\alpha\Big[\Sigma_{_{j}}\sigma_{_{j}}^{i}\theta_{_{j}}\Big]\overline{Y}_{_{t}}+(1-\delta)\upsilon Q_{_{t}}K_{_{t}}^{i}-r_{_{t}}^{^{E}}\phi_{_{t}}Q_{_{t-1}}K_{_{t}}^{i} $$

ここで金利はグロス（=1+利子率）であることに留意せよ。簡単化のため法人税等、生産者に対する課税は捨象している。最後の式の第1項は市場均衡における中間財販売額である。本モデルは資本財価値の①物理的な減価償却δと②（物理的減耗の後の）質的な減耗1-νを区別する。後者は（技術の進歩等Aに伴う）既存の生産設備の陳腐化にあたる。結果、中間財生産者が期末に売却できる資本財の（最終財で測った）価値は1単位あたり(1-δ)νになる。資本ストックの質に係るパラメータはGertler and Karadi(2011)等でも考
慮されている。ただし、これらのモデルでは資本ストックの質を確率的に（経済ショックの一つとして）扱っていたのに対して、ここでは簡単化のため定数とする。(9)式を(6)式に挿入し、 $ K_{t+1}=\Sigma_{i=1}^{I}K_{t+1}^{i} $ を用いると $ A_{t+1} $ で基準化された民間資本 $ k_{t+1}\equiv K_{t+1}/A_{t+1} $ の成長率(グロス)が次のように導かれる。

$$ \gamma_{_{t+1}}^{^{k}}=\frac{m/\gamma^{^{A}}}{1-\phi_{_{t+1}}}\Bigg(\alpha\frac{\Omega_{_{t}}H_{_{t}}^{^{1-\alpha}}}{Q_{_{t}}\big(k_{_{t}}\big)^{^{1-\alpha}}}+\big(1-\delta\big)\nu-r_{_{t}}^{^{E}}\phi_{_{t}}\frac{Q_{_{t-1}}}{Q_{_{t}}}\Bigg) $$

ただし、$\gamma^{A}\equiv A_{t+1}/A_{t}$。添え字$t+1$は付されているが、この成長率は中間財生産者が借入を行う$t$期末に定まることに留意されたい。よって$t+1$期には既知の経済変数となる。他方、$\Omega_{t+1}$と$H_{t+1}$（労働供給）は当該期に決まるため$t+1$期の経済成長率＝前期に比し$\overline{Y}_{t+1}$の増加は同期に決定されるという関係になる。

資本財生産: 本モデルでは各期末に資本財生産を担う生産者を想定する。中間財生産者から（量的・質的に減価した）資本ストックを購入するとともに、新規の資本財を生産して期末に売却する。ここで資本ストックの推移は以下のように与えられる。

$$ K_{_{t+1}}=\nu\bullet(\bar{I}_{_{t}}+(1-\delta)K_{_{t}})\equiv I_{_{t}}+(1-\delta)\nu K_{_{t}} $$

最初の等式は質的パラメータで調整した定式化である。（ただし、前述の通り、本モデルではvを確率変数ではなく定数として扱っている違いはある。） $ I_{t}\equiv\bar{I}_{t}v $ はこの「質」調整済みの投資＝新規資本財とみなせよう。新規資本財の生産には調整コストを伴う。これは既存文献に従い、前期の投資水準からのかい離= $ (I_{t}-I_{t-1})/I_{t-1} $ に依存するもの仮定する。よって資本財の生産に係るコストは $ f(I_{t}/I_{t-1}-1)I_{t} $ となる。①他の生産者同様、資本財生産者も完全競争的であること、②定常状態では投資の増加率が（他の変数同様）TFP成長率に一致するとして $ f(\gamma^{A}-1)=1 $ 、 $ f'(\gamma^{A}-1)=0 $ 、③（11）式のような関係式を用いると、t期の資本財価格は定常状態の周辺で次期までの（標準化された）資本成長率と当該期の成長率に依存するように近似される。

$$ Q_{_{t}}=Q_{_{0}}-Q_{_{0}}^{\prime}\gamma^{_{A}}+Q_{_{0}}^{\prime}\frac{\gamma^{^{A}}}{\gamma^{^{A}}-(1-\delta)\nu}\gamma^{^{A}}\gamma_{_{t+1}}^{^{k}}-Q_{_{0}}^{\prime}\frac{(1-\delta)\nu\gamma^{^{A}}}{\gamma^{^{A}}-(1-\delta)\nu}\gamma_{_{t}}^{^{k}} $$

ただし、 $ Q_{0}=1 $ 、 $ Q_{0}'=Q'(\gamma^{A}-1)\equiv f''(\gamma^{A}-1)\gamma^{A} $ である。 $ Q_{0}' $ の値について実証分析に依拠すべきところだが、筆者らが知る限り、合意された数値はない。仮置きとして試算では $ Q_{0}'=5 $ とした。

代表的家計：各地域に居住する家計は代表的家計に集約される。これは標準的なマクロ経済モデルに即するとともに所得分配に係る試算の複雑化を避けるためである。この代表的家計は①毎期、労働供給をして賃金所得を稼得するとともに、②期末には消費と貯蓄を行う。貯蓄は国債の購入と金融機関への預金に充てられる。このうち後者が中間財生産者への融資に回ることになる。所得には賃金所得のほか、国債・預金からの金利収入、中間財生産者・
金融機関からの配当、（定常状態からかい離した状態では）資本財生産者からの移転が含まれる。また、代表的家計は賃金所得税と消費税を支払う。これらの課税は①労働供給の選択のほか、②税率が変更される前後の期間の貯蓄に影響することになる。その生涯効用関数は

$$ U=\sum_{t}\beta^{t}\Bigg(\log C_{_{t}}+\varphi\log(B_{_{t+1}})-\frac{\chi}{\sigma}H_{_{t}}^{\sigma}\Bigg) $$

のように仮定する。ここで $ \beta $ は割引因子、 $ \chi $ は労働の不効用を表すパラメータである。指数 $ \sigma $ は後に示される通り、フリッシュ弾力性の逆数にあたる。（13）式で特徴的なのは家計が（t 期から）次期まで持ち越す国債残高 $ B_{t+1} $ から直接効用を得ていることである。 $ \varphi $ はその効用の程度となる。Hansen and Imrohoroglu (2015) も（特に理論的な裏付けをすることなく）我が国における低い国債金利を説明する便法として国債からの直接便益を仮定している。無論、国債に加えて（あるいは国債に代えて）預金残高や現金残高が効用関数に加わる（cash in utility）など別の定式化もあり得る。

本モデルでも現実の国債金利と国債残高を定常状態において整合的に説明できるように $ \varphi $ の値を決定（カリブレーション）している。Cash in utility の定式化と同様に家計は国債の保有から（本モデルでは捨象されている）貨幣同様、流動性の便益を得ているのかもしれない。とすれば（13）式を理論的に解釈することも可能であろう。①家計の異時点間の消費選択を与えるオイラー方程式から国債金利の決定式を、②各期の効用最大化から労働供給の決定式を以下のように導くことができる。

$$ r_{_{t}}^{^{G}}=r_{_{t}}-\frac{\varphi(1+\tau_{_{t}}^{^{C}})c_{_{t}}}{\beta b_{_{t}}}=c_{_{t}}\Biggl(\frac{(1+\tau_{_{t}}^{^{C}})}{(1+\tau_{_{t-1}}^{^{C}})}\frac{\gamma^{^{A}}}{\beta c_{_{t-1}}}-\frac{\varphi(1+\tau_{_{t}}^{^{C}})}{\beta b_{_{t}}}\Biggr) $$

$$ H_{_{t}}=\left[\frac{1-\tau_{_{t}}^{^{w}}}{\chi(1+\tau_{_{t}}^{^{C}})}\frac{W_{_{t}}}{C_{_{t}}}\right]^{1/(\sigma-1)}=\left[\frac{1-\tau_{_{t}}^{^{w}}}{\chi(1+\tau_{_{t}}^{^{C}})}\frac{(1-\alpha)Y_{_{t}}}{c_{_{t}}}\right]^{1/\sigma} $$

ただし、 $ c_{t} \equiv C_{t} / A_{t} $ は基準化された消費、 $ b_{t} \equiv B_{t} / A_{t} $ は国債残高、 $ \tau_{t}^{C} $ 、 $ \tau_{t}^{w} $ はそれぞれ消費税率、賃金所得税率である。 $ r_{t}^{G} $ は国債金利（グロス）であり、 $ r_{t} $ は預金金利（グロス）ないし（家計間での）貸借金利にあたる。（15）式の導出にあたっては（全国平均の）賃金率が $ W_{t} = (1 - \alpha) \overline{Y}_{t} / H_{t} $ で与えられることを用いた。また、 $ 1 / (\sigma - 1) $ が（所得の限界効用＝消費の逆数を与併とした）フリッシュ弾性値となる。

国債の推移：本モデルの政府は国と地方自治体を統合している。このため震災が被災自治体の財政に与えるインパクトは試算されない。各期の期初、政府は社会資本を整備する。公共支出にはこの投資的経費のほか、経常経費 $ e_{t} $ が含まれる。具体的には社会福祉や医療・介護、教育などがこれにあたる。ただし、これらは移転支出ではないため民間消費には影響しない。（年金などの移転支出は最終的には民間消費に反映されなければならないだろう。）最終財が生産され、所得が分配された後、政府は消費税と労働所得税を徴収して、国債の元利償還を行う。国債の満期は一期と仮定されるため、前期に発行された国債は今期に全て償還
されることになる。公共支出と元利償還費から税収を差し引いた財政赤字が新規の国債発行額となる。一期債の仮定から新規国債は（来期に持ち越される）国債残高に等しい。試算では定常状態で国債残高の対GDP比率を直近のデータ（＝約2.2）に一致させるため消費税・労働所得税のほか、一括税を加える。この一括税はTFPの成長率＝定常状態における経済成長率と等しく増加するものとする。（よって、 $ A_{t} $ で基準化すれば時間を通じて定額となる。）従って、基準化された国債残高の推移は次のように決まってくる。

$$ \frac{B_{_{t+1}}}{A_{_{t}}}\equiv b_{_{t+1}}\gamma^{^{A}}=r_{_{t}}^{^{G}}b_{_{t}}+\sum_{_{j}}\left(\chi_{_{jt}}-(1-\delta_{_{G}})\chi_{_{jt-1}}/\gamma^{^{A}}\right)+e_{_{t}}-T_{_{t}} $$

$$ ただし、T_{t}=\tau_{t}^{w}(1-\alpha)\Omega_{t}H_{t}^{1-\alpha}k_{t}^{\alpha}+\tau_{t}^{c}c_{t}+TT $$

このとき、（16）式の右辺の第2項が各地域に対する社会資本支出である。 $ \chi_{jt}\equiv G_{jt}/A_{t} $ であることを想起せよ。この社会資本はストックとして与えられるため、減価償却後の前期の社会資本ストックと今期のストックの差額が投資支出＝フローとなる。（17）式中のTTは基準化された一括税である。本モデルにおいて想定される税は賃金所得税と消費税のみとする。法人税・固定資産税等他の税目は簡単化のため捨象される。（あるいは一括税TTに織り込まれると解釈しても良い。）これらの税目を反映したモデルの構築は今後の課題として残される。

### 3. 試算で用いる数式とパラメータ

主要な方程式：試算で用いられる数式は以下のようにまとめられる。（金利や労働供給を除く）主要な内生変数はTFPパラメータの $ A_{t} $ で基準化されていることに注意せよ。具体的には $ k_{t}\equiv K_{t}/A_{t} $ 、 $ c_{t}\equiv C_{t}/A_{t} $ 、 $ b_{t}\equiv B_{t}/A_{t} $ である。

$$ \gamma_{_{t+1}}^{^{k}}=\frac{m/\gamma^{^{A}}}{1-\phi_{_{t+1}}}\Bigg(\alpha\frac{\Omega_{_{t}}H_{_{t}}^{^{1-\alpha}}}{Q_{_{t}}\big(k_{_{t}}\big)^{^{1-\alpha}}}+\big(1-\delta\big)\upsilon-r_{_{t}}^{^{E}}\phi_{_{t}}\frac{Q_{_{t-1}}}{Q_{_{t}}}\Bigg) $$

$$ Q_{_{t}}=Q_{_{0}}-Q_{_{0}}^{\prime}\gamma^{_{A}}+Q_{_{0}}^{\prime}\frac{\gamma^{^{A}}}{\gamma^{^{A}}-(1-\delta)\nu}\gamma^{^{A}}\gamma_{_{t+1}}^{^{k}}-Q_{_{0}}^{\prime}\frac{(1-\delta)\nu\gamma^{^{A}}}{\gamma^{^{A}}-(1-\delta)\nu}\gamma_{_{t}}^{^{k}} $$

$$ \ln\Omega_{_{t}}=(1-\alpha)\sum_{_{j}}\big(\theta_{_{j}}\ln N_{_{jt}}\big)+\eta\sum_{_{j}}\big(\theta_{_{j}}\ln\chi_{_{jt}}\big)+\alpha\sum_{_{i}}\big[\big(\sum_{_{j}}\theta_{_{j}}\sigma_{_{j}}^{^{i}}\big)\big(\ln\zeta_{_{t}}^{^{i}}+\ln\mu_{_{t}}^{^{i}}\big)\big] $$

$$ r_{_{t}}^{^{E}}=r_{_{t}}^{^{G}}+\pi=c_{_{t}}\Biggl(\frac{(1+\tau_{_{t}}^{^{C}})}{(1+\tau_{_{t-1}}^{^{C}})}\frac{\gamma^{^{A}}}{\beta c_{_{t-1}}}-\frac{\varphi(1+\tau_{_{t}}^{^{C}})}{\beta b_{_{t}}}\Biggr)+\pi $$

$$ H_{_{t}}=\left[\frac{1-\tau_{_{t}}^{^{w}}}{\chi(1+\tau_{_{t}}^{^{C}})}\frac{(1-\alpha)\Omega_{_{t}}k_{_{t}}^{\alpha}}{c_{_{t}}}\right]^{1/(\sigma+\alpha-1)} $$

$$ b_{_{t+1}}\gamma^{^{A}}=r_{_{t}}^{^{G}}b_{_{t}}+\sum_{_{j}}\left(\chi_{_{jt}}-(1-\delta_{_{G}})\chi_{_{jt-1}}/\gamma^{^{A}}\right)+e_{_{t}}-\tau_{_{t}}^{^{w}}(1-\alpha)\Omega_{_{t}}H_{_{t}}^{^{1-\alpha}}k_{_{t}}^{\alpha}-\tau_{_{t}}^{^{C}}c_{_{t}}-T T $$

ただし、 $ \pi $ は国債金利に上乗せされる貸出金利に係るプレミアムである。(15')式では、

$$ Y_{_{t}}\equiv\frac{\overline{Y_{_{t}}}}{A_{_{t}}}\equiv\Omega_{_{t}}H_{_{t}}^{^{1-\alpha}}k_{_{t}}^{\alpha} $$
を用いている。上記に加えて、第i中間財生産者の資本比率 $ \mu_{t}^{i} \equiv K_{t}^{i} / K_{t} $ は次のように与えられる。

$$ \mu_{t}^{i}=\frac{1}{\gamma_{t}^{k}\gamma^{A}}\frac{m}{1-\phi_{t}}\Bigg(\alpha\Big[\Sigma_{j}\sigma_{j}^{i}\theta_{j}\Big]\frac{\Omega_{t-1}H_{t-1}^{1-\alpha}}{Q_{t-1}\Big(k_{t-1}\Big)^{1-\alpha}}+\mu_{t-1}^{i}\Bigg((1-\delta)\nu-\frac{Q_{t-2}}{Q_{t-1}}r_{t-1}^{E}\phi_{t-1}\Bigg)\Bigg) $$

(18)

ここでは $ \mu_{t}^{i} \equiv K_{t}^{i} / K_{t-1} \times K_{t-1} / K_{t} $ を用いた。前述の通り（18）式は t 期の期初には決まっている（よって先決変数である）ことに留意されたい。次に民間消費は財市場均衡（IS バランス）から以下のように定まることになる。

$$ c_{_{t}}=\Omega_{_{t}}H_{_{t}}^{^{1-\alpha}}k_{_{t}}^{\alpha}-\left(k_{_{t}}\gamma^{^{A}}\gamma_{_{t+1}}^{^{k}}-k_{_{t}}(1-\delta)\upsilon\right)-nx-\left\{e_{_{t}}+\sum_{_{j}}\left(\chi_{_{jt}}-(1-\delta_{_{G}})\chi_{_{jt-1}}/\gamma^{^{A}}\right)\right\} $$

ただし、nxは $ A_{t} $ で基準化された純輸出で一定と仮定される。右辺の第2項は民間投資であり、（11）式から与えられる。最後の項は政府の資本・経常支出である。この民間消費は①（t期末に定まる）資本成長率 $ \gamma_{t+1}^{k} $ に依存することに留意されたい。このことは労働供給や貸出金利も資本成長率に依拠することを含意する。② $ c_{t} $ は当該期の労働供給にも依存する。（15）式より、労働供給関数が変数として $ c_{t} $ を含むことから、（15）式と（19）式は同時的に決まってくることがわかる。

定常状態：本モデルは外生（ラムゼー）成長モデルの拡張である。よって、定常状態＝長期均衡ではGDP成長率は $ A_{t}= $ 全要素生産性の成長率 $ \gamma^{A} $ に等しい。 $ A_{t} $ で基準化された経済変数は時間を通じて一定となる。つまり、 $ k_{0}\equiv K_{t}/A_{t} $ 、 $ c_{0}\equiv C_{t}/A_{t} $ 、 $ b_{0}\equiv B_{t}/A_{t} $ である。

金利や労働供給、各中間財生産者の資本比率も同様である。ここで一般性を失うことなく定常状態における労働時間は $ H_{0}=1 $ に基準化できる。（18）式で与えられる中間財生産者の資本比率は $ \mu_{i}^{0}\equiv\sum_{j}\theta_{j}\sigma_{j}^{i} $ に等しい。また、 $ \zeta_{t}^{i}=1 $ （中間財生産性パラメータ）、 $ Q_{t}=Q_{0}\equiv1 $ （資本財価格）より、定常状態に経済変数は以下の式から与えられる。

$$ 1=\gamma^{^{k}}=\frac{m/\gamma^{^{A}}}{1-\phi_{_{0}}}\Bigg(\alpha\frac{\Omega_{_{0}}}{\left(k_{_{0}}\right)^{1-\alpha}}+\left(1-\delta\right)\upsilon-r_{_{0}}^{^{E}}\overline{\phi}\Bigg) $$

$$ Y_{_{0}}\equiv\Omega_{_{0}}k_{_{0}}^{\alpha} $$

$$ \ln\Omega_{_{0}}=(1-\alpha)\sum_{_{j}}\big(\theta_{_{j}}\ln N_{_{j}}\big)+\eta\sum_{_{j}}\big(\theta_{_{j}}\ln\chi_{_{j}}\big)+\alpha\sum_{_{i}}\big[\big(\mu_{_{0}}^{^{i}}\big)\big(\ln\mu_{_{0}}^{^{i}}\big)\big] $$

$$ r_{_{0}}^{^{E}}=r_{_{0}}^{^{G}}+\pi=c_{_{0}}\Biggl(\frac{\gamma^{^{A}}}{\beta c_{_{0}}}-\frac{\varphi(1+\tau^{^{C}})}{\beta b_{_{0}}}\Biggr)+\pi $$

$$ b_{_{0}}\gamma^{^{A}}=r_{_{0}}^{^{G}}b_{_{0}}+\sum_{_{j}}\left(\chi_{_{j}}-(1-\delta_{_{G}})\chi_{_{j}}/\gamma^{^{A}}\right)+e-\tau^{^{w}}(1-\alpha)\Omega_{_{0}}k_{_{0}}^{\alpha}-\tau^{^{C}}c_{_{0}}-T T $$

$$ c_{_{0}}=\Omega_{_{0}}k_{_{0}}^{\alpha}-k_{_{0}}\Big(\gamma^{^{A}}-(1-\delta)\upsilon\Big)-nx-\Big\{e+\sum_{_{j}}\Big(\chi_{_{j}}-(1-\delta_{_{G}})\chi_{_{j}}/\gamma^{^{A}}\Big)\Big\} $$

上で内生的に定まる変数は $ k_{0} $ 、 $ c_{0} $ 、 $ Y_{0} $ 、 $ b_{0} $ 、及び $ r_{0}^{E} $ （あるいは $ r_{0}^{G} $ ）であり、連立方程式
の数と一致する。震災前の経済はこの定常状態にあると想定する。加えて、震災の発生は予見されていない。仮に震災リスクが経済主体によって認識されているならば、そのリスクを織り込んだ形で金利を含む経済変数は定式化されることになるだろう。

震災ショック：震災年は t=2015 年とおく。ただし、経済は当初定常状態にあると想定するため、当該年の経済状況を反映しているわけではないことに留意されたい。震災は被災地（試算では関東圏 j=3）における①中間財生産性パラメータ $ \zeta_{t}^{i} $ 、②社会インフラ $ \chi_{jt} $ 、③（中間財生産者が保有する）民間資本 $ k_{t}^{i} $ 及び④労働人口 $ N_{jt} $ を毀損する。加えて、⑤金融機関の貸出比率 $ \phi_{t+1} $ が低下する。ただし、 $ \phi_{t+1} $ は全国共通であることから、震災は直接的に被災地以外の企業（中間財生産者）の金融制約に影響することになる。これは東京に多く集中する金融機関の本店機能（建物やシステム、人員）が損なわれる結果と解釈できよう。試算では $ \phi_{t+1} $ が震災によって（全国一律に）定常状態に比して1割余り低下（ $ \phi_{t+1}=0.445\rightarrow0.4 $ ）とした。政府による金融機関への支援策、あるいは企業への直接融資はこの低下の程度を抑えることになるだろう。その後、（5）式に従って貸出比率は回復していく。一方、 $ \zeta_{t}^{i} $ は震災時（2015年と想定する）のみ、被災地に立地する中間財生産者の間で半減する（ $ \zeta_{t}^{i}=1\rightarrow0.5 $ ）。（翌年以降は元の生産性に回復する。）ただし、この中間財生産性の低下幅については実証的観点から検討の余地がある。今回の試算はあくまで「仮置き」の数値であることに留意願いたい。首都直下地震ではインフラ全体の毀損は66.6兆円と推計されている。この直接被害額を被災地＝関東圏に存在する民間資本ストック＝400兆円と社会資本ストック＝144兆円の割合で案分することで、それぞれの被害額を算定する。つまり被災地における中間財生産者の震災以前の資本ストックを $ k_{0}^{i}\equiv\mu_{0}^{i}k_{0} $ とおけば、震災直後の資本ストックは $ k_{t}^{i}=(1-d_{t}^{i})k_{0}^{i} $ に減じられる。試算では被害はその資本ストックに比例すると仮定される。つまり、

$$ d_{t}^{i}=d=66.6 兆円 \div\ (400 兆円 +144 兆円 ) $$

これに応じて期末に資本生産者に売却される資本ストックも減ることになる一方、負債の返済額に変わりはない。後者は中間財生産者の利益を減らし、よって（金融制約を通じて）次期への投資額を低下させることを含意する。これらを織り込むと震災時点（t=2015）での資本の成長率と資本比率は以下のように変更が加えられる。

$$ \gamma_{_{t+1}}^{^{k}}\gamma^{^{A}}=\frac{m}{1-\phi_{_{t+1}}}\Bigg(\alpha\frac{\Omega_{_{t}}H_{_{t}}^{^{1-\alpha}}}{Q_{_{t}}\big(k_{_{0}}\big(1-D_{_{t}}\big)\big)^{1-\alpha}}+\big(1-\delta\big)\upsilon-r_{_{0}}^{^{E}}\overline{\phi}^{^{}}\frac{Q_{_{0}}}{Q_{_{t}}}\sum_{^{i}}\frac{\hat{\mu}_{_{t}}^{^{i}}}{1-d_{_{t}}^{^{i}}}\Bigg) $$

$$ \hat{\mu}_{_{t}}^{i}\equiv\frac{K_{_{t}}^{i}(1-d_{_{t}}^{i})}{K_{_{t}}(1-D_{_{t}})}=\mu_{_{0}}^{i}\frac{1-d_{_{t}}^{i}}{1-D_{_{t}}} $$

ただし、 $ D_{t}=\Sigma_{i}\mu_{0}^{i}d_{t}^{i}=\Sigma_{i}K_{t}^{i}d_{t}^{i}/K_{t} $ は全国でみた被害比率にあたる。無論、被災地以外では $ d_{t}^{i}=0 $ であるが、分母に占める資本ストック全体が損なわれる結果、こうした地域の中間財生産者の資本比率 $ \mu_{t}^{i} $ も変化する。なお、震災は予期されていないため、震災時（2015年）における貸出金利は前期に（定常状態で）定まった水準のままとなる。無論、震災後の金利
は当初の定常状態からかい離、震災ショックが後年までに影響を及ぼす要因の一つになる。

(12) 式より資本財価格は震災直後に来期への資本成長率 $ \gamma_{t+1}^{k} $ に応じて変化する。また、(8) 式より社会インフラや労働人口の毀損は震災時 $ (t=2015) $ の生産性パラメータ $ \Omega_{t} $ に影響することになる。首都直下地震の被害想定では死者と重傷者は4.8万人と推計される。試算では関東圏の就業者数2078万人のうちこの4.8万人を労働人口の減少分とした： $ \Delta N_{j}=-4.8/2078\times N_{j} $ 。一方、社会インフラの毀損比率は按分された社会インフラ被害額÷被災地に所在する社会インフラ額に等しい $ \left(\Delta\chi_{3}=-66.6/(400+144)\times\chi_{3}\right) $ 。

試算では①社会インフラは震災から5年をかけて復旧（毎年の復旧割合は一定）、②労働人口の復活には2年を要すると仮定した。加えて③震災時に政府の経常支出は対GDP比で2%増加（約10兆円）する。これは被災者支援に充てられるものである。後述の通り、震災からの復興については幾つかのシナリオがありうる。これらの仮定はあくまでその一つに過ぎない。

図表4：震災ショック

パラメータの設定：本モデルの内生変数のうち定常状態における民間消費 $ c_{0} $ 、 $ b_{0} $ 、及び $ r_{0}^{G} $ は実績値に即する形で決める。このうち国債金利は（現行の金融緩和以前の水準を反映して）1.5％とおく： $ r_{0}^{G}=1.015 $ 。また、民間消費対GDP比率を0.6、国債残高対GDP比率を2.2とすることで $ c_{0}=0.6*Y_{0} $ 、 $ b_{0}=2.2*Y_{0} $ で与える。（7）式中の生産性 $ \Omega_{0} $ については、その定常状態（8'）式に実績値を代入することで導く（ $ k_{0} $ の導出については後述）。このうち、各地域の労働人口 $ N_{j} $ は図表5の通り、全国8区分（北海道、東北、関東、中部、近畿、四国、中国、九州）したときの労働人口比率を用いている。ここでは労働力の「絶対数」は全要素生産性 $ A_{t} $ の「水準」に吸収されることとなる。試算にあたっては労働人口の減少は加味していないが、 $ A_{t} $ の成長率 $ \gamma^{A} $ (グロス)にはこの人口減のマイナス分を含むものと解釈できよう。
こでは内閣府の経済見通しのベースライン（慎重）シナリオに即して$\gamma^{A}=1.01$ とおく。GDP に占める資本所得分配率にあたる$\alpha$ については多くの先行文献に従い0.3とした。社会インフラの定常水準には各地域の社会インフラ÷全国民間資本ストック比率を用いる。よって$\chi_{j}=G_{j}/K_{0}*k_{0}$ 。各地域における$G_{j}/K_{0}$ は図表5に与えた通り。$\mu_{0}^{i}$ については資本比率に代えて全国$\mathrm{I}=\mathrm{地域数}*\mathrm{産業部門}=8*23=184$ の名目付加価値シェアを用いている(図表6)。データは都道府県別生産性データ（RIETI）による。資本ではなく付加価値シェアとしたのは$\mu_{0}^{i}$ が第$i$ 中間財生産者のサプライチェーンに及ぼすインパクトを表す変数であることへの留意による。モデル上、中間財生産者は生産において資本のみをインプットとするが、実際には無形資産・人的資本などの生産要素が含まれる。このため資本シェアでは試算において震災のサプライチェーンへの効果をとらえ切れない可能性がある。なお、生産関数をコブ・ダグラス型としたことから、個別の$\sigma_{j}^{i}$ に代えて$\mu_{i}^{0}\equiv\sum_{j}\theta_{j}\sigma_{j}^{i}$ の値を特定できればよかったが、一般の生産関数については$\sigma_{j}^{i}$ の値が求められなければならない。①生産関数の一般化や②実証に即した$\sigma_{j}^{i}$ の設定については今後の検討課題としたい。続いて、$k_{0}$ は（10'）式より、

$$ {k_{_{0}}^{^{1-\alpha}}}=\alpha e^{\ln\Omega_{_{0}}}\left\{\frac{1-\phi}{m}\gamma^{^{A}}-\big(1-\delta\big)\upsilon+\overline{{\phi}}{r_{_{0}}^{^{E}}}\right\}^{-1} $$

で与えられる。 $ \overline{\phi} $ は実績（貸出比率の平均）から 0.445 とおく。民間貸出金利に上乗せされるプレミアム = π は Arai and Ueda(2012) に従って 3.6% とした： $ r_{0}^{E}=1.015+0.036 $ 。物理的減価償却率は $ \delta=0.05 $ とする一方、m と合わせて質的調整パラメータにあたる $ \nu $ は定常状態の民間投資が概ね実績値 15%（国民経済計算の総固定資本形成 + 在庫増加）ほどになるよう定めた：

$$ k_{_{0}}\Big(\gamma^{^{A}}-(1-\delta)\upsilon\Big)=0.15^{*}Y_{_{0}} $$

次に公共支出についてみていこう。社会インフラ投資の対 GDP 比率は 5% ほどになる。これを定常状態の公共投資支出を一致させるよう社会インフラの減耗率 $ \delta_{g} $ を決める：

$$ \sum_{j}\left(\chi_{_{j}}-(1-\delta_{_{G}})\chi_{_{j}}/\gamma^{^{A}}\right)=0.05*Y_{_{0}} $$

一方、政府の経常支出の対GDP比は20％として $ e=0.2*Y_{0} $ 。これは政府最終消費の対GDP比（2009年～2013年）にあたる。本稿では単純化のため、賃金所得税率 $ \tau^{w} $ は10%、消費税率 $ \tau^{c} $ は10％と設定する $ ^{3} $ 。

以上から、財市場均衡（19'）式から純輸出nx、政府の予算制約式（16'）式から定額税TTが各々残余変数として定まる。このうち純輸出は概ねゼロであり、これは実績値とも整合的になる。前述の通り、国債金利は $ r_{0}^{G}=1.015 $ で与えられる。この金利水準と国債残高 $ b_{0}=2.2*Y_{0} $ が整合的になるよう効用関数中の国債への選好パラメータをおく。低い金利と高い国債残
高にも関わらず、家計が国債を保有する（現実には金融機関を介して間接的な保有ではあるが）のは国債の流動性・安全性に高い選好を有しているためと解釈される：

$$ \varphi=\frac{b_{_{0}}}{(1+\tau^{^{C}})}\Bigg(\frac{\gamma^{^{A}}-\beta r_{_{0}}^{^{G}}}{c_{_{0}}}\Bigg) $$

ここで $ \beta $ は先行研究に従い 0.98 とする。最後に労働供給についてみていく。定常状態における労働時間は 1 に基準化される。労働の不効用パラメータはこれを満たすように定まる：

$$ \chi=\frac{1-\tau^{^{w}}}{(1+\tau^{^{C}})}\frac{(1-\alpha)\Omega_{_{0}}k_{_{0}}^{\alpha}}{c_{_{0}}} $$

労働供給に影響する外生変数として $ \sigma $ が残される。前述の通り $ 1/(\sigma-1) $ は（所得の限界効用＝消費の逆数を与件とした）フリッシュ弾力性にあたる。同弾力性の実証分析には労働時間(intensive margin)のほか、就労選択（extensive margin）を含むことがある。一般に前者に比して後者の弾力性が高く、男女の比較でいえば、女性の方が弾力性は高い。ここでは黒田・山本（2007）の研究結果に従い、男女計の「労働時間の選択」のみのフリッシュ弾性値として $ 1/(\sigma-1)=0.1 $ を採用する。結果、 $ \sigma=11 $ を得る。震災による民間消費の減少は負の所得効果となって労働供給を喚起する。他方、復興増税（消費税の増税）は労働供給を減じるように働く。これらの効果の多寡は $ \sigma $ の水準によることが示される。震災の影響を試算する上では重要なパラメータの一つといえる。

図表 5：8 地域パラメータ

北海道	東北	関東	中部	近畿	中国	四国	九州
N	0.04	0.08	0.33	0.20	0.16	0.06	0.03	0.11
X	0.04	0.05	0.11	0.11	0.07	0.04	0.02	0.07
θ	0.04	0.07	0.37	0.19	0.16	0.06	0.03	0.09

注1：1990～2009年平均（Nは1990～2008年平均）

注 $ ^{2} $ ：N=就業人口

出所：経済財政データ（内閣府）・Nは都道府県別生産性データ（RIETI）

図表 6：地域別・部門別の名目付加価値シェア

北海道	東北	関東	中部	近畿	中国	四国	九州
1	農林水産業	0.00202	0.00294	0.00297	0.00365	0.00117	0.00111	0.00114	0.00347
2	鉱業	0.0001	0.00015	0.00026	0.00037	0.00018	0.00012	0.00006	0.00028
3	食料品	0.00145	0.00275	0.00999	0.00683	0.00592	0.00189	0.00121	0.00382
4	繊維	0.00005	0.00053	0.001	0.00227	0.00177	0.00065	0.00034	0.00042
5	パルプ・紙	0.00045	0.00045	0.00151	0.0017	0.0011	0.0003	0.00073	0.00029
6	化学	0.00007	0.00064	0.00797	0.00362	0.00356	0.00185	0.00055	0.00094
7	石油・石炭製品	0.00049	0.00035	0.00532	0.00147	0.00225	0.00221	0.00051	0.00045
8	窯業・土石製品	0.00027	0.00055	0.00199	0.00241	0.0013	0.00058	0.00024	0.00095
9	一次金属	0.00024	0.00075	0.00541	0.00319	0.00323	0.00247	0.00026	0.00135
10	金属製品	0.00025	0.00057	0.00412	0.00361	0.00297	0.00064	0.0003	0.00077
11	一般機械	0.00016	0.00093	0.00808	0.00725	0.00582	0.00154	0.00061	0.00121
12	電気機械	0.00028	0.00367	0.01422	0.01002	0.00607	0.00181	0.00074	0.00275