$$ \begin{aligned}=&\int^{\infty}_{\mathrm{rp}}\pi(\mathrm{r},\mathrm{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}})\mathrm{f}(\mathrm{k})\mathrm{dk}\\&-\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\cdot\int^{\hat{\mathrm{k}}(\mathrm{r},\mathrm{L}_{\mathrm{p}})}_{\mathrm{rp}}(\mathrm{k}-\mathrm{r}_{\mathrm{p}})\mathrm{f}(\mathrm{k})\mathrm{dk}\\=&\prod^{\hat{\mathrm{r}}}_{\mathrm{rp}}\mathrm{L}_{\mathrm{p}}-\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\cdot\int^{\hat{\mathrm{k}}(\mathrm{r},\mathrm{L}_{\mathrm{p}})}_{\mathrm{rp}}(\mathrm{k}-\mathrm{r}_{\mathrm{p}})\\&\mathrm{f}(\mathrm{k})\mathrm{dk}\end{aligned} $$

である。以上より、命題１の主張が成立する。

命題 1 の主張は借手の余剰の水準に関するものであったが、本論中の分析においては公的貸出 $ L_{p} $ が変化したときの借手の余剰の変化分に注目している。そこで、余剰の変化分と需要関数の変化分との関係について検討してみよう。

余剰の水準を需要関数を積分して求めようとする場合には、過小推計になる可能性があることを示した。それに対して、余剰の変化分を需要関数の積分値の変化分から求めようとする場合には、過小に推計されるか過大に推計されるかは、借手の人数の分布状況などに依存することになる。

この点を調べるために、 $ L_{p} $ に関する比較静学を行おう。その際、民間貸出の市場金利 r がどのように変化するかが問題であり、r の変化は供給関数などにも依存する。そして、ここでは市場金利 r が $ L_{p} $ の微分可能な関数として表現できると仮定する。これはかなり一般的なモデル設定の下で成立する性質であるといえよう。なお、その関数を $ \mathrm{r}=\mathrm{r}(\mathrm{L}_{\mathrm{p}}) $ と書くことにしよう。さらに、借手の人数分布を表す関数 $ \mathrm{f}(\mathrm{k}) $ が連続関数であることを以下の分析で仮定しよう。

$ L_{p}=\hat{L}_{p} $ 、 $ r=\hat{r} $ の下で $ L_{p} $ を微増させたときの需要関数の積分した値の変化と借手の余剩の変化を比較するために、命題 1 を利用すれば、

$$ \begin{aligned}&\frac{\partial}{\partial\mathrm{L}_{\mathrm{p}}}\int_{\mathrm{\hat{r}}}^{\mathrm{\infty}}\mathrm{L}_{\mathrm{m}}(\mathrm{r},\mathrm{\hat{L}}_{\mathrm{p}})\mathrm{d}\mathrm{r}=\frac{\partial}{\partial\mathrm{L}_{\mathrm{p}}}\prod(\mathrm{\hat{r}},\mathrm{\hat{L}}_{\mathrm{p}})\\ &\quad\cdot\mathrm{A}+\mathrm{B}\\ \end{aligned} $$

という関数を導入できる。ここに、

$$ \begin{aligned}A&\equiv\int_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{k}}(\mathrm{k}-\mathrm{r}_{\mathrm{p}})\mathrm{f}(\mathrm{k})\mathrm{dk}=0\\\mathrm{B}&\equiv\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}(\mathrm{k}-\mathrm{r}_{\mathrm{p}})\stackrel{\wedge}{\mathrm{f}}(\stackrel{\wedge}{\mathrm{k}})\cdot\{(\stackrel{\wedge}{\mathrm{r}}-\mathrm{r}_{\mathrm{p}})\\&-(1-\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})\mathrm{r}^{\prime}(\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})\}\\\stackrel{\wedge}{\mathrm{k}}&\equiv\stackrel{\wedge}{\mathrm{k}}(\stackrel{\wedge}{\mathrm{r}},\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})\end{aligned} $$

である。ここで、

$$ \mathbf{r}^{\prime}(\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})\leqq\frac{\stackrel{\wedge}{\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\mathrm{p}}}}{1-\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}} $$

を仮定しよう。すなわち、 $ L_{p} $ が増加したときの市場金利の増加は、その公的貸出の補助金効果を打ち消すほど大きくはないとする。そのとき、 $ B \geq 0 $ が成立することになる。ところで常に $ A \geq 0 $ であるから、需要関数を用いて借手の余剩の変化分を計測した場合に、過小推計が過大推計かは一般には定まらないのである。

ここで A、B の経済的意味を考えてみよう。まず A の部分は、 $ L_{p} $ が増加することにより公的金融機関だけから借り入れている借手の余剰の増加分を示している。その A の部分を、民間貸出に対する需要関数で捉えることはできないので、需要関数を用いて借手の余剰の変化分を計算した場合には、その分過小推計になる可能性がある。

次に B の部分は、 $ L_{p} $ が増加することで今までは公的金融機関からのみ借入れを行っていた借手が民間からも借入れを行うようになったことで、今までは捉えられていなかった余剰が捉えられるようになった部分を示している。したがって、需要関数を用いて借手の余剰の変化分を計算した場合には、過大推計になる可能性が存在する。

以上より過大推計と過小推計の両方の可能性があり、それは借手 k の人数の分布を表す関数 $ f(k) $ などに依存している。しかしながら、命題 1 の場合と同様に、

$$ \int_{\mathrm{r p}}^{\mathrm{\hat{K}(\mathrm{r},\mathrm{L_{p}})}}\mathbf{f}(\mathbf{k})\mathbf{d}\mathbf{k}=0 $$

のとき、すなわち現行の $ L_{p} $ 、 $ r $ の下で公的金融機関からのみ借入れを行っている借手が存在しない場合には、A=B=0であり、

$$ \frac{\partial}{\partial\mathrm{L}_{\mathrm{p}}}\int\limits_{\hat{\mathrm{r}}}^{\infty}\mathrm{L}_{\mathrm{m}}(\mathrm{r},\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})\mathrm{d}\mathrm{r}=\frac{\partial}{\partial\mathrm{L}_{\mathrm{p}}}\prod(\hat{\mathrm{r}},\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}) $$

が成立する。つまり、需要関数の積分値の変化分を計算することで、借手の余剰の変化分を捉えることができるのである。