である。以上で民間の貸出に対する需要関数が定式化されたので、次に借手の余剰すなわち借手の利潤の和を求めよう。借手 k の総資金需要関数を x(r, k, L_{p}) と書くことにする。つまり、

$$ \begin{aligned}x\left(\textbf{r},\textbf{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)=&\mathrm{x}_{\mathrm{m}}\left(\textbf{r},\textbf{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)\\&+\left(\textbf{r},\textbf{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)\end{aligned} $$

である。そして、市場の金利が $ r=\hat{r} $ 、公的貸出が $ \hat{L}_{p} $ の下で、借手 k が最適化行動の結果として実現できる利潤 $ \pi $ を対応させる関数を利潤関数と呼び、その関数を $ \pi=\pi $ （r, k, L_{p}）と書けば、

$$ \begin{aligned}\pi\ \left(\mathbf{r},\mathbf{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)=&\mathrm{R}\left(\mathbf{x}\left(\mathbf{r},\mathbf{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right),\mathbf{k}\right)\\-\mathrm{r}\mathrm{x}_{\mathrm{m}}\left(\mathbf{r},\mathbf{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)-\mathbf{r}_{\mathrm{p}}\mathrm{x}_{\mathrm{p}}\left(\mathbf{r},\mathbf{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)\end{aligned} $$

である。したがって、市場全体での借手の余剰すなわち利潤の和をヒと書いて、その関数を$\Pi=\Pi\left(\mathbf{r},\mathbf{L}_{\mathrm{p}}\right)$ と表せば、

$$ \left(\mathrm{r},\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)=\int_{\mathrm{r}_{\mathrm{p}}}^{\infty}\pi\left(\mathrm{r},\mathrm{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}}\right)\mathrm{f}\left(\mathrm{k}\right)\mathrm{d}\mathrm{k} $$

となる。このとき、次の命題が成立する。

$$ \begin{aligned}\int\limits_{\hat{\mathrm{r}}}^{\infty}\mathrm{L}_{\mathrm{m}}(\mathrm{r},\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})\mathrm{d}\mathrm{r}\\=\prod(\hat{\mathrm{r}},\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})-\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}\cdot\\ \int\limits_{\mathrm{r}_{\mathrm{p}}}^{\hat{\mathrm{k}}(\hat{\mathrm{r}},\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})}(\mathrm{k}-\mathrm{r}_{\mathrm{p}})\mathrm{f}(\mathrm{k})\mathrm{d}\mathrm{k}\\ \leqq\prod(\hat{\mathrm{r}},\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})\end{aligned} $$

である。ここに、 $ k(r, L_{p}) = r(1 - L_{p}) + r_{p} L_{p} $ である。また、

$$ \int_{\mathrm{r p}}^{\mathrm{~\textdagger~K(r,L_{p})~}}\mathbf{f}(\mathbf{k})\mathbf{d}\mathbf{k}=0 $$

のときに等号が成立する。

この命題の意味は次のようなものである。まず第1には民間の貸出金利が $ ^{r} $ 、公的貸出額が $ ^{L_{p}} $ のときの借手の余剰 $ ^{r} $ $ ^{r} $ 、 $ ^{L_{p}} $ を需要関数の積分した値すなわち図補-2-2における斜線の部分の面積で測ろうとすれば、一般的には過小推計になる。

第2には、現行の $ ^{r} $ ， $ ^{L_{p}} $ の下で、公的貸出だけで資金調達している借手の人数、

$$ \int_{\mathrm{rp}}^{\mathrm{K}(\mathrm{r},\mathrm{L}_{\mathrm{p}})}\mathrm{f}(\mathrm{k})\mathrm{dk} $$

が少ない場合には、民間貸出に対する需要関数を用いて近似的に借手の余剰を計測できるのである。

図補-2-2 借手の余剰

(命題1の証明)

$$ \begin{aligned}\int\limits_{\hat{\mathrm{r}}}^{\infty}\mathrm{L}_{\mathrm{m}}(\mathrm{r},\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})\mathrm{d}\mathrm{r}\\=\int\limits_{\hat{\mathrm{r}}}^{\infty}\left[\int\limits_{\hat{\mathrm{r}}}^{\infty}\mathrm{x}_{\mathrm{m}}(\mathrm{r},\mathrm{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}})\mathrm{f}(\mathrm{k})\mathrm{d}\mathrm{k}\right]\mathrm{d}\mathrm{r}\\=\int\limits_{\mathrm{r}_{\mathrm{p}}}^{\infty}\left[\int\limits_{\hat{\mathrm{r}}}^{\infty}\mathrm{x}_{\mathrm{m}}(\mathrm{r},\mathrm{k},\mathrm{L}_{\mathrm{p}})\mathrm{d}\mathrm{r}\right]\mathrm{f}(\mathrm{k})\mathrm{d}\mathrm{k}\\=\int\limits_{\mathrm{r}_{\mathrm{p}}}^{\infty}\left[\int\limits_{\hat{\mathrm{r}}}^{\phi(\hat{\mathrm{r}},\mathrm{k},\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})}(1-\hat{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})\mathrm{d}\mathrm{r}\right]\mathrm{f}(\mathrm{k})\mathrm{d}\mathrm{k}\\ \equiv(\star)\end{aligned} $$

$$ \begin{array}{l} ここに、\\\quad\varphi(\stackrel{\wedge}{\mathrm{r}},\mathrm{k},\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}})=\max[\stackrel{\wedge}{\mathrm{r}}(\mathrm{k},\stackrel{\wedge}{\mathrm{L}}_{\mathrm{p}}),\stackrel{\wedge}{\mathrm{r}}]\end{array} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned}&(\star)=\int\limits_{\mathbf{r}_{\mathrm{p}}}^{\infty}(1+\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}})\left\{\phi(\hat{\mathbf{r}},\mathbf{k},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}})-\hat{\mathbf{r}}\right\}\\&\quad\mathbf{f}\left(\mathbf{k}\right)\mathrm{d}\mathbf{k}\\&=\int\limits_{\hat{\mathbf{k}}\left(\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\right)}^{\infty}(1+\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}})\left\{\frac{\mathbf{k}-\mathbf{r}_{\mathrm{p}}\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}}{1-\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}}-\hat{\mathbf{r}}\right\}\\&\quad\mathbf{f}\left(\mathbf{k}\right)\mathrm{d}\mathbf{k}\\&=\int\limits_{\hat{\mathbf{k}}\left(\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\right)}^{\infty}\left\{\mathbf{k}-\mathbf{r}_{\mathrm{p}}\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}-\hat{\mathbf{r}}(1-\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}})\right\}\\&\quad\mathbf{f}\left(\mathbf{k}\right)\mathrm{d}\mathbf{k}\\&=\int\limits_{\hat{\mathbf{k}}\left(\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\right)}^{\infty}\left\{\mathbf{R}\left(\mathbf{x}\left(\hat{\mathbf{r}},\mathbf{k},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\right),\mathbf{k}\right)\right.\\&\quad\left.-\mathbf{r}_{\mathrm{p}}\mathbf{x}_{\mathrm{p}}\left(\hat{\mathbf{r}},\mathbf{k},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\right)-\hat{\mathbf{r}}\mathbf{x}_{\mathrm{m}}\left(\hat{\mathbf{r}},\mathbf{k},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\right)\right\}\\&\quad\mathbf{f}\left(\mathbf{k}\right)\mathrm{d}\mathbf{k}\\&=\int\limits_{\mathbf{r}_{\mathrm{p}}}^{\infty}\left\{\mathbf{R}\left(\mathbf{x}\left(\hat{\mathbf{r}},\mathbf{k},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\right),\mathbf{k}\right)-\mathbf{r}_{\mathrm{p}}\mathbf{x}_{\mathrm{p}}\left(\hat{\mathbf{r}},\mathbf{k},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\right)\right.\\&\quad\left.-\int\limits_{\mathbf{r}_{\mathrm{p}}}^{\hat{\mathbf{k}}\left(\hat{\mathbf{r}},\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\right)}\left(\mathbf{k}-\mathbf{r}_{\mathrm{p}}\right)\hat{\mathbf{L}}_{\mathrm{p}}\mathbf{f}\left(\mathbf{k}\right)\mathrm{d}\mathbf{k}\right.\\ \end{aligned} $$