Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
が安定しており、インフレ予測をするのに有用なツールであることを明らかにしている。さらに、DiNard and Moore(1999)は、OECD9カ国のパネルデータを用い、開放経済下においてもフィリップス曲線が頑健性であることを明らかにしている。さらに、1970年代に見られた石油危機によるサプライションックの発生によって期待形成が乱されため、フィリップス曲線の安定性が損なわれた可能性を示している。

Forward Looking 型マクロ計量モデルでは、長期的な総供給曲線と短期的な総供給曲線をともに含む次のような伝統的なフィリップス曲線が想定される。

$$ \boldsymbol{\pi}_{t}=\boldsymbol{\pi}_{t}^{*}+\lambda\Big(lnGDP_{t}-lnGDP_{t}^{f}\Big) $$

$$ \pi_{_{t}}: インフレ率 \quad\pi_{_{t}}^{^{*}}: コアインフレ率 \quad GDP_{_{t}}: 国内総生産 $$

$$ GDP_{t}^{f}: 潜在的国内総生產 $$

このモデルは、自然失業率仮説に基づくNAIRU (Non Accelerating Inflation Rate of Unemployment) モデルとよばれるものである。(3-28)式におけるコアインフレ率 $ \pi_{t}^{*} $ は、国内総生産が潜在的国内総生産に一致し、需給ギャップがゼロのときに観測されるインフレ率であるが、Friedman によれば外部的環境によっても大きく左右される。ここで、 $ \pi_{t}^{*}=\pi_{t-1} $ とすれば、

$$ \pi_{_{t}}=\pi_{_{t-1}}+\lambda\Big(lnGDP_{_{t}}-lnGDP_{_{t}}^{^{f}}\Big) $$

となる。このとき、「需給ギャップ」と「インフレ率の変化」との間にトレードオフ関係は存在するが、「国内総生産の水準」と「インフレ率」との間に恒久的なトレードオフ関係は存在しない。さらに、需給ギャップがゼロであればどのようなインフレ率も持続可能であるが、インフレ率の水準自体をコントロールするには、一定期間にわたって需給ギャップを持続させれば良いことになる。さらに、このモデルでは、インフレ率の持続的な上昇を許容すれば、潜在的水準を上回って国内総生産の水準を恒久的に紺持できる。しかし、いずれも観測される経験的事実と整合的でない。

コアインフレーションの扱いのもう一つは、それを期待インフレ率で置き換えることである。

$$ \boldsymbol{\pi}_{t}=\boldsymbol{\pi}_{t+1}^{^{e}}+\lambda\Big(lnGDP_{t}-lnGDP_{t}^{^{f}}\Big) $$

期待インフレ率の導入により、国内総生産の水準が潜在的水準を恒久的に上回ることは避けることができる。何故なら、国内総生産の水準が潜在的水準を持続的に上回るのは、実際のインフレ率が期待インフレ率を下回ることで実質賃金が低下することが必要であるが、コアインフレ率を期待インフレ率で置き換えることで、持続的な実質賃金の低下を持続させることができなくなるためである。

IMF の MULTIMOD を含めて Forward Looking 型モデルの多くは、コアインフレーションを前期
のインフレ率と期待インフレ率の一次結合で次のように定式化するが、東アジアリンクモデルも価格決定について同じ定式化を行う。

インフレ率関数

$$ \boldsymbol{\pi}_{t}=\boldsymbol{\phi}\boldsymbol{\pi}_{t+1}^{^{e}}+\left(1-\boldsymbol{\phi}\right)\boldsymbol{\pi}_{t-1}+\lambda\Big(lnGDP_{t}-lnGDP_{t}^{^{f}}\Big) $$

$$ \begin{aligned}& インフレ率定義式 \\&\pi_{_{t}}=lnPGDP_{_{t}}-lnPGDP_{_{t-1}}\end{aligned} $$

潜在生產能力水準

$$ \begin{aligned}&lnGDP_{_{t}}^{^{f}}=\alpha+\beta lnK_{_{t}}+\left(1-\beta\right)lnLF_{_{t}}\quad(3-33)\\ &\\ &K_{_{t}}: 資本ストック \quad LF_{_{t}}: 労働力人口 \quad PGDP_{_{t}}:GDP デフレータ \\ \end{aligned} $$

表 3．4 にフィリップス曲線のパラメータの推定値を示している。なお、マレーシアとインドネシアについては、期待インフレ率は含まれておらず、前期のインフレ率と輸入インフレ率が説明変数となっている。タイと台湾については、輸入インフレ率が追加的に用いられている。パラメータ推定値のうち、期待インフレ率、前期のインフレ率及び輸入インフレ率の係数、需給ギャップの係数は、モデルの安定性とシミュレーション結果に基づいて決められている。

表 3．4 フィリップス曲線のパラメータ推定値

期待インフレ率	前期インフレ率	輸入インフレ率	需給ギャップ
日本	0.500	0.500	0.010
韓国	0.750	0.250	0.100
タイ	0.800	0.150	0.050	0.010
マレーシア	0.800	0.200	0.050
インドネシア	0.800	0.200	0.050
フィリピン	0.900	0.100	0.050
シンガポール	0.900	0.100	0.050
中国	0.600	0.400	0.010
台湾	0.400	0.500	0.100	0.100
米国	0.500	0.500	0.100
EU	0.514	0.486	0.050

モデルにおける賃金率の決定は、期待インフレ率と労働市場における需給ギャップの関数として次のように定式化される。
賃金決定関数

$$ \begin{aligned}&w_{_{t}}=\pi_{_{t+1}}^{^{e}}+\gamma(\ln L_{_{t}}-\ln LF_{_{t}})\\ &\quad w_{_{t}}: 賃金率 \quad\quad L_{_{t}}: 就業者数 \quad\quad LF_{_{t}}: 労働力人口 \\ \end{aligned} $$

労働力人口 $ LF_{t} $ はモデルでは外生変数である。

東アジアリンクモデルでは、インフレ率$\pi_{t}$として国内総生産デフレータの伸び率が用いられる。モデルに含まれる他の価格変数としては、消費支出デフレータ、投資デフレータ、政府消費デフレータ、政府投資デフレータ、財貨サービス輸出デフレータ、財貨サービス輸入デフレータ、輸出価格指数などが含まれる。各デフレータと輸出価格指数は、国内総生産デフレータ、賃金率及び輸入価格指数によって決まる。

### 3.6 金融市場と為替レート

モデルで明示的に扱われている資産は、企業の総価値、国債残高及び海外純資産残高であり、大きな役割を果たしている。マネーも同様に重要な資産として保有されており、資産との代替に影響をあたえることで金利水準を決定し、生産水準や物価水準に大きく影響する。モデルにおける貨幣需要関数は次のように定式化される。

$$ \begin{aligned}&\frac{M_{_{t}}}{PGDP_{_{t}}}=L\big(GDP_{_{t}},i_{_{t}}-rdis_{_{t}}\big)\\ &\quad M_{_{t}}: 貨幣残高 \quad i_{_{t}}: 市場利子率 \quad rdis_{_{t}}: 公定步合 \\ \end{aligned} $$

モデルでは、貨幣供給を外生変数とし、市場利子率が次のように決定される。

市場利子率関数

$$ i_{_{t}}=\boldsymbol{\beta}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{1}\ln\frac{M_{_{t}}}{PGDP_{_{t}}GDP_{_{t}}}+\boldsymbol{\beta}_{2}rdis_{_{t}} $$

一方、長期金利の指標として重要な役割を果たす国債利回は、市場利子率の期間構造とリスク要因によって、次のように決定される。

$$ \begin{aligned}&rbond_{_{t}}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E\big(i_{_{t+i}}\mid\Omega_{_{t}}\big)+risk_{_{t}}\\ &\quad rbond_{_{t}}: 国債利回 \quad risk_{_{t}}: 国債保有リスク \\ \end{aligned} $$

$ i_{t+i}=i_{t} $ とし、国債保有リスクを国債残高の対GDP比の関数として表せば、国債利回関数を次のように定式化することができる。
国债利回関数

$$ rbond_{_{t}}=\boldsymbol{\eta}_{0}+\boldsymbol{\eta}_{1}\frac{BOND_{_{t}}}{PGDP_{_{t}}GDP_{_{t}}}+\boldsymbol{\eta}_{2}i_{_{t+1}} $$

$$ BOND_{t}: 国債残高 $$

為替レートは、各国通貨がドルに対してアンカバー利子平価に基づいて決定されると仮定する。すなわち、為替レート決定関数を次のように定式化する。

為替レート決定関数

$$ \begin{aligned}\ln REX_{_{t}}&=\ln REX_{_{t+1}}-\sigma\Big(rbond_{_{t}}-rbond_{_{t}}^{US}+risk_{_{t}}\Big)\\ REX_{_{t}}&: 為替レート ( 対ドル )\end{aligned} $$

ここで、$\sigma<1$ であれば、国内資産と海外資産の不完全代替を仮定することになる。

## 3 ．7 経常収支と貿易連関

経常収支プロックは、財輸出、財輸入、サービス輸出、サービス輸入、所得収支関数、経常収支の定義式からなる。財・サービスの輸出入関数は、国際収支統計ベースのデータに基づいて推定し、総需要項目として国民経済計算ベースに変換する。

財・サービスの輸出関数は当該国を除く世界からの輸入需要、輸入関数は当該国の輸入需要として次のように定式化される。なお、添字iは国を識別するためのものである。

財輸出関数

$$ ln\frac{BPXG_{it}}{PXG_{it}}=\alpha_{0}+\alpha_{1}ln\frac{WIM_{it}}{WPIM_{t}}-\alpha_{2}ln\frac{PXG_{it}}{REX_{it}WPIM_{t}}+others $$

サービス輸出関数

$$ ln\frac{BPXS_{_{it}}}{PGDP_{_{it}}}=\boldsymbol{\beta}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{1}ln\frac{WIM_{_{it}}}{WPIM_{_{t}}}-\boldsymbol{\beta}_{2}ln\frac{PGDP_{_{it}}}{REX_{_{it}}WPIM_{_{t}}}+others $$

財輸入関数

$$ ln\frac{BPMG_{_{it}}}{PMG_{_{it}}}=\gamma_{_{0}}+\gamma_{_{1}}lnGDP_{_{it}}-\gamma_{_{2}}ln\frac{PMG_{_{it}}}{PGDP_{_{it}}}+others $$

サービス輸入関数

$$ ln\frac{BPMS_{it}}{REX_{it}WPIM_{t}}=\boldsymbol{\delta}_{0}+\boldsymbol{\delta}_{1}lnGDP_{it}-\boldsymbol{\delta}_{2}ln\frac{REX_{it}WPIM_{t}}{PGDP_{it}}+others $$
所得收支関数

$$ B P Y_{i t}=\boldsymbol{\eta}_{0}+\boldsymbol{\eta}_{1}K B P C_{i t-1} $$

經常收支定義式

$$ BPC_{it}=BPXG_{it}-BPMG_{it}+BPXS_{it}-BPMS_{it}+BPY_{it}+BPTRN_{it} $$

累積經常收支定義式

$$ K B P C_{_{i t}}=B P C_{_{i t}}+K B P C_{_{i t-1}} $$

$$ \begin{aligned}&BPXG_{_{it}}: 財輸出 &&BPXS_{_{it}}: サービス輸出 &&BPMG_{_{it}}: 財輸入 \\&BPMS_{_{it}}: サービス輸入 &&BPY_{_{it}}: 所得収支 &&BPTRN_{_{it}}; 移転収支 \\&BPC_{_{it}}: 経常収支 &&KBPC_{_{t}}: 累積経常収支 &&GDP_{_{it}}: 国内総生産 \\&PXG_{_{it}}: 輸出価格 &&PMG_{_{it}}: 輸入価格 &&PGDP_{_{it}}: GDP デフレータ \\&REX_{_{it}}: 為替レート &&WIM_{_{it}}:i 国の輸入を除く世界輸入 \\&WPIM_{_{t}}: 世界輸入価格 &&other: その他の要因 \end{aligned} $$

東アジア諸国は、これまで日本、米国、ＥＵ等から直接投資を積極に受け入れて経済発展を遂げており、その際に直接投資がフローベース及びストックベースで財・サービスの輸出入に大きな影響を与えてきている。そこでフローベース及びストックベースの直接投資が影響を与えると考えられる場合には、その他の要因として輸出入関数に取り入れている。

各国のマクロ計量モデルを結合した世界モデルにおいて、各国間の取引で重要な役割を果たす変数をモデルに明示的に取り入れることが必要である。本モデルでは、貿易取引について貿易連関モデルによって明示的に取り入れているが、サービス取引及び資本取引については、明示的な扱いを行っていない。

貿易取引をモデルに明示的に取り入れる方法として、貿易連閉サブモデルの構築が一般的である。天野・栗原・Samuelson(1980)は、貿易連関モデルの展望と、経済企画庁世界経済モデルの詳細について明らかにしている。そこでも指摘されているように、貿易連関サブモデルの開発作業は膨大であり、時間的・資源的な制約を所与とすれば、何らかの形で簡単化することが必要となる。本モデルの開発においても、貿易連関サブモデルは、最小限の取り組みにとどめている。貿易連関モデルにおいては、輸出及び輸入の各々について次の関係式を満たすことが必要である。なお、各変数についてはドル建で表している。

名目世界輸入総額

$$ WIM=\sum_{i=1}^{N}MG_{i}=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}MG_{ji} $$

実質世界輸入
$$ \frac{WIM}{WPIM}=\sum_{i=1}^{N}\frac{MG_{i}}{PMG_{i}}=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\frac{MG_{ji}}{PMG_{i}} $$

名目世界輸出総額

$$ WEX=\sum_{i=1}^{N}XG_{i}=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}XG_{ij} $$

実質世界輸出

$$ \frac{WEX}{WPEX}=\sum_{i=1}^{N}\frac{XG_{i}}{PXG_{i}}=\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=1}^{N}\frac{XG_{ij}}{PXG_{i}} $$

名目輸出・輸入恒等式

$$ WIM=WEX $$

実質輸出入・輸入恒等式

$$ \frac{WIM}{WPIM}=\frac{WEX}{WPEX} $$

$ XG_{i}:i $ 国の輸出 $ XG_{ij}:i $ 国から j 国への輸出 $ PXG_{i}:i $ 国の輸出価格

$ MG_{i}:i $ 国の輸入 $ MG_{ji}:i $ 国の j 国からの輸入 $ PMG_{i}:i $ 国の輸入価格

WIM : 名目輸入

WPIM : 世界输入価格

WEX : 名目世界输出

WPEX：世界输出価格

モデルでは、貿易の名目シェアが基準時点に固定される最もナイーブな仮定を置いて貿易連関モデルを定式化する。このとき、i 国の名目輸出 $ XG_{i} $ は次のように表すことができる。

$$ X G_{_{i}}=\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{N}X G_{_{ij}}=\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{N}M G_{_{ij}}=\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{N}\frac{M G_{_{ij}}}{M G_{_{j}}}M G_{_{j}}=\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{N}\frac{M G_{_{ij,0}}}{M G_{_{j,0}}}M G_{_{j}}=\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{N}\mathbf{\omega}_{_{ij,o}}M G_{_{j}} $$

名目シェアが一定となる場合として、実質ベースについて次の関係が成立していると考えることができる。

$$ ln\frac{XG_{i}}{PXG_{i}}=\sum_{j=1\atop j\neq i}^{N}\omega_{ij,0}ln\frac{MG_{j}}{PMG_{j}} $$
このとき、右辺を

$$ \sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{N}\boldsymbol{\omega}_{i j,o}l n M G_{i}-\sum_{\substack{j=1\\ j\neq i}}^{N}\boldsymbol{\omega}_{i j,0}l n P M G_{j}=l n W I M_{i}-l n W P I M_{i}=l n\frac{W I M_{i}}{W P I M_{i}} $$

とすれば、$\frac{WIM_{i}}{WPIM_{i}}$ は i 国の輸出先の実質輸入需要と言える。

一方、貿易シェアが一定を仮定し、世界輸入価格と世界輸出価格が同じであることから、両者を次のように定義することができる。

世界輸入（輸出）価格

$$ lnWPIM=lnWPEX=\sum_{i=1}^{N}\frac{XG_{i,0}}{WEX_{0}}lnPXG_{i}=\sum_{i=1}^{N}\varphi_{i}lnPXG_{i} $$

モデルの輸出関数は、 $ WPIM_{i} $ ではなく、各国の輸出価格から算出されるWPIMで置き換えることで、次のような輸出関数を推定して用いている。

輸出関数

$$ \ln\frac{X G_{_{i}}}{P X G_{_{i}}}=\zeta_{_{0}}+\zeta_{_{1}}\ln\frac{W I M_{_{i}}}{W P I M}-\zeta_{_{1}}\ln\frac{P X G_{_{i}}}{W P I M}+o t h e r s $$

アジア諸国の輸出関数の場合には、その他の変数として、直接投資残高などの変数が含まれることがある。
将来の予想変数を明示的に含む Forward Looking 型マクロ計量モデルの開発にあたっては、モデルの持つ長期的な性質について考慮を払うことが必要となる。Forward Looking 型マクロ計量モデルを解く場合、将来の予想変数の値が、将来におけるモデル解と整合的なものであることが求められる。ところが、将来の予想変数の値を求めるには、さらに先の予想変数の値を必要とする。したがって、理論的には無限期間についてモデルを解くことが必要となる。しかし、予想変数の値が、それを求めるため必要となるその先の予想値と同じとなれば、それを終端条件として有限期間について解けば良い。このような終端条件は、モデルの長期的な定常均衡解でもある。一般的に、Forward Looking 型マクロ計量モデルを解くアルゴリズムは、初期条件と長期的な定常解である終端条件を同時に満たす動学解を得ることであり、二点境界値問題(Two Point Boundary Value Problem)の解法として知られている。

ところで、Forward Looking 型マクロ計量モデルの厳密解を明示的に求めることは簡単ではない。線形モデルの場合は、Blanchard and Kahn (1980)により厳密解が求め、解が存在し、一意となるための必要条件も明らかにしている。しかし、非線形モデルの場合は扱いが複雑となり、厳密解を得ることは難しい。そこで、Lipton, Poterba, Sachs and Summers(1982) や Fair and Taylor(1983)は、数値解を得るアルゴリズムを提案している。Forward Looking 型モデルとして先駆的な MSG モデルの解法にあたって、McKibbin and Sachs(1985)はこれら二つのアルゴリズムを選択的に用いて解を求めている。特に、後者の Fair and Taylor の方法は、Backward Looking 型マクロ計量モデルの解法で中心的な役割を果たしているガウス・ザイデル法が利用できることから、Forward Looking 型マクロ計量モデルの解法として広く普及している。わが国でも、刈屋他(1986)が深尾(1983)の為替市場の Forward Looking 型マクロ計量モデルを Fair and Taylor 法を用いて解いている。

本章では、Forward Looking 型マクロ計量モデルである東アジアリンクモデルの解を求めるための具体的な計算アルゴリズム、各アルゴリズムの効率性、解の正確性と安定性について検討する。さらに、長期的な定常均衡解を終端条件として与える方法について検討する。

## ４．１長期的定常均衡の存在

Forward Looking 型マクロ計量モデルの解を求める場合、予想変数に与えられる値は、それが実現する時点のモデル解と整合的なものであることが必要となる。ところが、予想が実現する時点のモデルを解くために、その時点よりさらに先の予想変数の値が必要となる。したがって、ある時点のモデル解を求めるために、理論的には無限期間の計算が必要となる。しかし、予想変数の値が、それを求めるために必要となるその先の予想値と同じであれば、それを終端条件とすることで、有限期間の計算でモデルを解くことができる。これはモデルの長期的均衡解と一致する。すなわち、モデルの長期的な定常均衡解を終端条件として与えることが必要となる。

ところで、モデルが長期的な定常均衡解を持つために、モデルの長期的な性質について強い
配慮が求められる。それがなければ、モデルが長期的な定常均衡を持たず、発散することになる。伝統的な Backward Looking 型マクロ計量モデルの開発においては、モデルの持つ長期的な定常均衡について考慮が払われることは少なかった。一つには、モデルを長期間にわたって解く必要がなく、それだけモデルの持つ欠陥を露呈せずに済んだことにある。しかし、Forward Looking 型マクロ計量モデルの作成には、解の存在を保証するために、長期的な定常均衡関係と、それから乖離した場合にそこに復帰するメカニズムを明示的に組み入れることが必要となる。

McKibbin and Sachs の MSG モデルでは、人口成長率に基づく潜在的成長経路が外生的に与えられ、各変数は潜在的成長経路からの乖離として表されている。さらに、潜在的成長経路からの乖離が発生したときには元の経路に復帰するメカニズムが明示的に組み入れられている。それに対して、長期的な定常均的衡経路を外生的に与えるのではなく、変数間に長期的な定常均衡関係を想定し、その定常均衡関係から乖離した場合に元に復帰するメカニズムを明示的な取り入れた方法として、誤差修正モデル(Error Correction Model)による特定化が広く用いられている。Forward Looking 型マクロ計量モデルを次のように表せば、

$$ f\left(y_{t},y_{t+1},x_{t}\right)=0 $$

となるが、長期的な定常均衡関係は次のように表される。

$$ f\left(y^{*},y^{*},x^{*}\right)=0 $$

このような長期的な定常均衡関係の特定化にあたっては、定常均衡関係について課される経済理論仮説が大きな役割を果たす。

長期的な定常均衡の状態では、賃金と物価の伸縮性が保証されるので、新古典派モデルの枠組みとなる。さらに、貨幣の中立性が成立すると考えられる。すなわち、経済は相対価格の変動によって影響を受けるが、一般価格水準の変動に対しては不変である。なお、長期的な均衡状態の下で、賃幣増加率がインフレ率と一致するには、名目所得に対して人々が保有する貨幣の割合であるマーシャルのKを一定とするか、あるいは外生的に与えることが必要となる。貨幣量の変動により影響を受けるとすれば、投機的動機に基づく名目金利である。なお、実物経済に対して価格はゼロ次同次の性質を持つため、価格決定に関しては一次同次性の成立が必要となる。

さらに、Forward Looking 型世界経済モデルの構築にあたっては、一国経済が消失したり、一国経済が世界経済を制覇することは考えられない。そのため、長期的な定常均衡状態での各国のシェアについてある均衡を仮定し、それが0又は1とならないようなメカニズムを明示的に組み入れることが必要となる。

ところが、経済理論にも基づく長期的な定常均衡関係は、観測される統計データと整合的でないことが多い。統計データによる定常均衡関係の検定は、共和分検定として知られているが、経済理論仮説の要求する条件を満たさないことがしばしば生じる。大きな理由は、現実経済が不均衡過程にあり、調整プロセスの特定化に誤りがあれば、統計データと理論的な長期的な定常均衡関係が整合的とはならない可能性がある。Forward Looking 型マクロ計量モデルで、方程式のパラメータが推定値ではなく、カリプレーションによる想定値となることが多いのは、定常均衡条件を重視
するためである。 $ ^{1} $

長期的な定常均衡関係を保証するための重要な条件の一つとして、横断面条件の確保がある。この条件は、動学的最適化問題の解が存在するための重要な条件であるが、モデルの構築にあたっても、その条件が満たされることが必要である。例えば、家計の最適化行動で資産残高を $ A_{t} $ 、市場金利を r とするとき、横断面条件は

$$ lim_{t\to\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{t}A_{t}=0 $$

であらわされる。この条件は、 $ C_{t} $ を消費支出、 $ Y_{t} $ を労働所得とするとき、各期の予算制約から、

$$ \sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}C_{t+i}=\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}Y_{t+i}+A_{t}=HW_{t}+A_{t} $$

という異時点間の動学的予算制約式に書き直すことができる。ここで、 $ HW_{t} $ は t 期の人的資産である。Forward Looking 型マクロ計量モデルの消費関数は、この条件を満たすように定式化されることが必要である。 $ ^{2} $

同様な制約条件として、政府財務に関する条件がある。政府についても、家計と同様に異時点間の予算制約が必要となり、次のような書くことができる。

$$ B O N D_{t}+\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}G_{t+i}=\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}T_{t+i} $$

$ BOND_{t} $ : 期首政府債務残高 $ G_{t} $ : 政府支出 $ T_{t} $ : 稅

モデルで政府支出は外生とされることが多いが、その場合には上記の異時点間の政府の予算制約を満たすようなメカニズムが必要となる。一つの方法は、次のような税率関数を組み入れることである。

$$ \tau_{_{t}}=\frac{B O N D_{_{t}}+\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}G_{_{t+i}}}{\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}Y_{_{t+i}}} $$

あるいは、
$$ \begin{aligned}\tau_{_{t}}=&\tau_{_{t-1}}+\phi_{1}\Bigg(\frac{BOND_{_{t}}}{Y_{_{t}}}-\boldsymbol{\mu}^{*}\Bigg)+\phi_{2}\Bigg(\frac{\Delta BOND_{_{t}}}{Y_{_{t}}}-\boldsymbol{\Theta}^{*}\Bigg)\\&\tau_{_{t}}: 税率 &\quad BOND_{_{t}}: 政府債務残高 &\quad G_{_{t}}: 政府支出 Y_{_{t}} 所得 \\\mu^{*}:& 債務残高対所得比 \varnothing 目標值 &\quad&\theta^{*}:& 財政赤字対所得比目標值 \end{aligned} $$

Forward Looking 型マクロ計量モデルの多くで、税率が内生変数とされるのは、異時点間の予算制約に従うことで、政府債務の返済能力(Solvency)に疑問を発生させないためのものである。それをしなければ、モデルを長期間にわたって解くことは困難となる。

## 4 ．2 線形 Forward Looking 型マクロ計量モデルの解

Blanchard and Kahn (1980)は、次の漸化式で表される線形 Forward Looking 型モデルの解が存在して一意となる条件明らかにし、解を求めている。

$$ \binom{y_{t+1}}{E\left(p_{t+1}\mid\Omega_{t}\right)}=A\binom{y_{t}}{p_{t}}+\gamma X_{t} $$

$ E\left(p_{t+1}\mid\Omega_{t}\right) $ は、期に利用可能な情報を所与とする内生変数 $ p_{t+1} $ の期待値である。このとき、漸化式の係数行列が

$$ A=C^{-1}J C $$

とジョルダンの標準形に分解でき、ジョルダン行列 J に含まれる二つのプロック化された行列のうち、前者の固有根の絶対値が 1 を下回り、後者の固有根の絶対値が 1 を上回り、1 を上回る根が予測変数の数と一致するとき、漸化式の解が一意的に存在する。1 を上回る固有根の存在は、漸化式を解く場合、Forward Looking 変数が無限期先までの状態変数の将来値の関数として表されるための必要条件である。

線形 Forward Looking 型マクロ計量モデルの例として、家計の動学的最適化行動から導出されるオイラー方程式を明示的に取り入れたモデルについて考える。 $ ^{3} $

$$ \begin{aligned}max_{C_{t}}&\sum_{t=1}^{\infty}\mathsf{\rho}^{t}lnC_{t}\\A_{t+1}&=Y_{t}-C_{t}+\left(1+r\right)A_{t}\\&C_{t}: 消費支出 \qquad Y_{t}: 労働所得 \qquad A_{t}: 期首資産 \\&\mathsf{\rho}: 割引率 \qquad r: 市場金利 \end{aligned} $$

この場合、横断面条件(Transversality Condition)として
$$ \lim_{t\to\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{t} A_{t}=0 $$

が仮定されている。動学的最適条件からオイラー方程式は

$$ E\big(C_{t+1}\mid\Omega_{t}\big)=C_{t+1}^{\quad e}=\mathsf{\rho}\big(1+r\big)C_{t} $$

と表される。これより、資産と消費支出の二変数について、次のような漸化式で表されるForward Looking型モデルが得られる。

$$ \begin{pmatrix}A_{_{t+1}}\\ C_{_{t+1}}^{^{e}}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+r&-1\\ 0&\mathsf{p}\big(1+r\big)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{_{t}}\\ C_{_{t}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}Y_{_{t}}\\ 0\end{pmatrix} $$

この時、Blanchard and Kahn によれば、漸化式を構成する行列の固有根の絶対値で 1 を上回る数がモデルに含まれる Forward Looking 変数である予測変数の数と一致すれば、初期条件と終端条件を同時に満たす解が一意に存在する。この例では、固有根は $ 1 + r $ と $ \rho(1 + r) $ である。したがって、 $ \left|\rho(1 + r)\right| < 1 $ であれば解が一意に存在し、次のように表すことができる。なお、 $ (\Theta, \phi_{1}, \phi_{2}) $ は、漸化式の行列とその固有根に依存するパラメータである。

$$ \begin{aligned}&A_{t}=\mathsf{\rho}(1+r)A_{t-1}+Y_{t-1}-\Theta\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}Y_{t+i-1}\\&C_{t}=\Phi_{1}A_{t}+\Phi_{2}\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}Y_{t+i-1}\\ \end{aligned} $$

しかし、\rho(1+r)=1 であれば、消費支出がランダムウォークに従うことになるが、非定常となることから、一般解は発散する。 $ ^{4} $ しかし、初期条件を所与とする特殊解は次のように表すことができる。

$$ \begin{aligned}&A_{t}=A_{t-1}+Y_{t-1}-\left(\frac{r}{1+r}\right)\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}Y_{t+i-1}\\ &C_{t}=rA_{t}+\left(\frac{r}{1+r}\right)\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}Y_{t+i}\\ \end{aligned} $$

なお、実際にモデルを解く場合、無限期先までの計算を有限期間の $ t+T $ でとどめることになるが、消費支出の解から

$$ C_{_{t}}=rA_{_{t}}+\left(\frac{r}{1+r}\right)\sum_{i=0}^{T}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{i}Y_{_{t+i}}+\left(\frac{r}{1+r}\right)\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{T+i}Y_{_{t+T+i+1}} $$
となる。この場合、 $ t+T $ 期を終端とすることで

$$ \left(\frac{r}{1+r}\right)\sum_{i=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{T+i}Y_{t+T+i+1} $$

が新たな終端条件として課されることになる。それが十分に小さければ、T期の与え方に関わらず解は同じとなるが、そうでなければ解が終端条件に依存することになる。もちろん、終端条件がモデルの定常解と一致すれば、解は無限期間について解いた結果と一致する。

このように、線形 Forward Looking 型モデルの場合、二点境界問題としての一意な解が存在し、それを明示的に表すことができる。しかし、非線形モデルの場合は簡単ではない。そのため、非線形 Forward Looking 型モデルの解法は数値計算に頼ることになる。そのような数値計算の方法として、繰り返し計算による方法とスタックモデルを解く方法の二つが知られている。前者の方法としては、Fair and Taylor (1983)があり、後者の方法としては、Lipton, Poterba, Sachs and Summers (1982)の Multiple Shooting 法などがある。

### 4.3 Fair and Taylor or 法

Forward Looking 型マクロ計量モデルの解法として、これまで Fair and Taylor (1983)によって提案された繰り返し計算法が広く用いられてきた。この方法は、伝統的な Backward Looking 型マクロ計量モデルの解法として利用されていたガウス・ザイデル法をそのまま適用することができ、新たにモデルを解くためのソフトウェアを開発することなく、その簡便性が高く評価された。繰り返し計算法というのは、次のような解法手続きによる。

将来の期待を表す Forward Looking 変数を含むモデルを各期毎解く場合、既に述べたように、伝統的なモデルの解法で必要される先決変数と外生変数の値以外に、Forward Looking 変数の値をあらかじめ与えて解くことが必要となる。ところが、そのための Forward Looking 変数の値は、次期以降の各期について解かれる内生変数の値と同じとなることが必要である。すなわち Forward Looking 変数の値に任意の値を与えるのではなく、当該期の先決変数と外生変数の値、さらに当該期以降の Forward Looking 変数の値を与えて解くことが必要となる。すなわち、Forward Looking 変数の値を与えるために、当該期以降についても解かれていることが必要である。

この問題を解決する方法の一つは、次のようなものである。まず、モデルを解く期間と最終期を越える期間について、Forward Looking 変数について暫定値を与えて解く。次の、最初の解をForward Looking 変数の新たな値としてモデルを解く。同様の操作を繰り返し、Forward Looking 変数の値が収束するまで続ける。もし収束すれば、Forward Looking 変数の値とモデルの解が一致することになり、Forward Looking モデルの解となる。ただ、この解は最終期を越える期間について
の与えられる Forward Looking 変数の暫定値に依存する。それはある意味でモデルの終端条件であるが、解がそれに依存するとした問題となる。そこで、解く期間を1期延長して再度同じ計算を行い、全期間について Forward Looking 変数の値が収束するまで続ける。収束したら、さらに解く期間を1期追加する。この過程で Forward Looking 変数の値が収束すれば、終端条件に依存しない解が得られたことになる。以上が Fair and Taylor 法の基本的発想である。

## Fair and Taylor 法の計算アルゴリズム

Forward Looking 型モデルを次のように表す。

$$ y_{it}=g_{i}\big(y_{t},y_{t-1},E\big(y_{t+j}\mid\Omega_{t-1}\big),x_{t}\big)\qquad i=1,2,3,...,n $$

ここで、 $ y_{t} = \left(y_{it}\right) $ は $ n \times 1 $ の内生変数ベクトル、 $ x_{t} $ は $ k \times 1 $ 外生変数ベクトル、 $ E\left(y_{t+j} \mid \Omega_{t-1}\right) $ は

t-1期で利用可能な情報 $ \Omega_{t-1} $ に基づく $ t+j $ 期の内生変数 $ y_{t+j} $ の予想値である。

## (1) 初期値の想定

モデルに含まれる Forward Looking 変数の最大予測期間を h とし、h より十分長い期間 k を定める。これは十分長い期間をとることで、初期値がモデルの解に影響する程度を小さくする工夫である。したがって、求解期間は、 $ h+k $ となる。

モデルを解くために、Forward Looking 変数の値 $ E\left(y_{t+j} \mid \Omega_{t-1}\right)\quad j=0,1,\ldots,k+2h $ について初

期値を与え、それを $ e_{j}(1,k) $ と表す。なお、i 回目の収束過程の値を $ e_{j}(i,k) $ と表す。一方、外生

变数 $ x_{t+j}\quad j=0,1,\ldots,k+h $ についても与える。

## (2) タイプⅠの収束過程

ガウス・ザイデル法で $ y_{t+j}\quad j=0,1,\ldots,k+h $ を順次解き、その解を $ e_{j}(2,k) $ とする。これをタイプ I の収束過程という。次に、タイプ I の収束解 $ e_{j}(2,k) $ を Forward Looking 変数の値としてモデルを解き、その解を $ e_{j}(3,k) $ とする。以下同様に繰り返し、判定条件 $ \left|e_{j}(i,k)-e(i-1,k)\right|\leq\varepsilon $ を満たすまで続ける。この過程を、タイプ II の収束過程とよぶ。

## (3) タイプ II の収束過程
次に、k 値を一つ増やして、収束過程 2 を繰り返す。タイプⅡの収束解が得られた時、判定条件 $ \left|e_{j}(i,k)-e(i,k-1)\right|\leq\delta $ を満たすまで続け、その解を $ e_{j}(k) $ とする。この過程をタイプⅢの収束過程とよぶ。

## (4) タイプ III の収束過程

タイプ III の収束解 $ e_{j}(k) $ $ j=0,1,\ldots,h $ を所与としてモデルを解く。

図4.1 Fair and Taylor 法の計算手順
## Fair and Taylor 法の特徴と問題点

先に述べたように、Forward Looking 型マクロ計量モデルを解くためには、理論的には無限期先の終端条件が必要である。しかし、実際には適当な有限期間について解くため、有限期間の制約によるにより新たに生じる端点条件を考慮することが必要となる。Fair and Taylor 法では、この終端条件は、 $ e_{j}(1,k)\;j=h+k+1,h+k+2,\ldots,k+2h $ であるが、タイプⅢの収束条件を満たすこと

は、解が終端条件に依存しないことを意味する。その意味で、Fair and Taylor 法は、終端条件について考慮しなくて済むほど十分に長い期間について解くことがタイプ III の収束判定の中に組み込まれていると言える。しかし、タイプ III までの収束作業を忠実に行うとすれば、かなりの時間を要することになる。

実際、Fair and Taylor 法の場合、収束までに必要される繰返し計算の回数を試算すれば、タイプⅠの収束過程の回数を $ N_{1} $ 、タイプⅡの収束過程の回数を $ N_{2} $ 、タイプⅢの収束過程の回数を $ N_{3} $ とすれば、全体で

$$ \sum_{q=k}^{k+N_{3}-1}\left[N_{2}\times N_{1}\times\left(h+q+1\right)\right] $$

の繰り返しを必要とする。 $ ^{6} $ Fair and Taylor 法が提案された 1980 年代において、現実に稼働しているマクロモデルを当時のコンピュータで解こうとした場合、解を得るまで膨大な時間を要した。そのため、Fair and Taylor を適用する場合でも、時間を節約するためにタイプ II の収束計算のみで、タイプ III の収束計算を行うことは少なかった。合理的期待を含むマクロモデルの普及が遅れた要因の一はこの膨大な時間を要するという点である。計算量の問題はコンピュータの発達とともに解消したが、もう一つの残された問題はガウスザイデルの収束過程で生じる誤差の累積である。

## ４．４ スタック・タイム法

Forward Looking モデルを解く方法としては、Fair and Taylor 法のような毎期々順次解く方法と Lipton, Poterba, Sachs and Summers(1982)によって推奨された Multiple Shooting 法がある。この方法は、終端条件と初期条件の双方を所与とし、二点境界問題を同時に解く方法として知られている。しかし、同時に解くとすれば、未知数の数がモデルの方程式×計算期間となり、計算誤差を抑えながら高速に解くことが必要となる。幸いなことに、Forward Looking 型マクロ計量モデルは、計算アルゴリズムの観点からすれば、プロック対角行列で、かつ疎(sparse)という性質を持ち、その性質を利用すれば、効率的に計算できる方法がいくつか提案されている。ここでは、Forward
Looking 型モデルの解法として広く利用されているスタック・タイム法について説明する。この方法は、開発者の名をとって L-B-J（Laffargue, Boucekine and Juillard）法ともよばれる。スタック・タイム法の基本的な考え方は、モデルを毎期々に順次解くのではなく、各期の変数を別のとして扱い、求解期間について一括して解く。したがって、初期条件と終端条件を同時に満たす解が一度に求まる。

スタック・タイム法の計算アルゴリズム $ ^{7} $

まず、内生変数を $ y_{t} $ 、外生変数を $ x_{t} $ とし、Forward Looking 変数は一期先内生変数のみとすれば、Forward Looking 型モデルを次のように表すことができる。

$$ f\left(z_{t}\right)=\left(\begin{aligned}&g_{1}\left(y_{t-1},y_{t},y_{t+1},x_{t}\right)\\ &\cdots\cdots\\ &g_{n}\left(y_{t-1},y_{t},y_{t+1},x_{t}\right)\end{aligned}\right)\quad t=1,2,...,T $$

ここで、nは内生変数の数、 $ z_{t}=(y_{t-1},y_{t},y_{t+1}) $ とする。さらに、初期条件を $ y_{0}=y_{0}^{*} $ 、終端条件を $ y_{T+1}=y_{T+1}^{*} $ とし、

$$ \begin{aligned}&f_{_{0}}=y_{_{0}}-y_{_{0}}^{*}=0,\\&f_{_{T+1}}=y_{_{T+1}}-y_{_{T+1}}^{*}=0\\ \end{aligned} $$

と表す。

初期条件と終端条件を満たし、かつ1~T期について解くとすれば、次の $ (\mathrm{T}+2)\times\mathrm{n} $ 本の方程式について解くことになる。

$$ F(Y)=\left(\begin{array}{c}f_{0}\left(y_{0}\right)\\ f_{1}\left(z_{1}\right)\\ \cdots\\ f_{T}\left(z_{T}\right)\\ f_{T+1}\left(y_{T+1}\right)\end{array}\right)=0 $$

ここで、 $ Y'=\left(y_{0}',y_{1}',...,y_{T},y_{T+1}\right) $ である。このような非線形モデルの解法はニュートン法で解くことになるが、i回目の収束計算において次式を計算する。

$$ \Delta Y=Y^{i+1}-Y^{i}=-\Biggl[\frac{\partial F}{\partial Y}\Biggr]^{-1}F(Y^{i}) $$
となる。

実際の計算では、ヤコビ行列の計算が大規模で煩雑なものとなる。具体的には、 $ (T+2)\times n $ の2乗の次元の逆行列を計算する必要がある。しかし、アルゴリズムの観点からすればマクロ計量モデルはヤコビ行列の要素がブロック対角行列で、各々のブロックも疎である。そのため行列の三角化がしやすい性質があり、その性質を用いることで、高速で誤算の少ない計算方法が利用できる。それを示すために、ヤコビ行列を含めた式を次のように書き直す。

$$ \begin{pmatrix}{{{I}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{L_{1}}}}&{{{C_{1}}}}&{{{F_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\cdots}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{L_{t}}}}&{{{C_{t}}}}&{{{F_{t}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\cdots}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{L_{t}}}}&{{{C_{T}}}}&{{{F_{T}}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{I}}}\end{pmatrix}\Delta Y=-\begin{pmatrix}{{{0}}} \\{{{f_{1}\left(z_{1}\right)}}} \\{{{\cdots}}} \\{{{f_{t}\left(z_{t}\right)}}} \\{{{\cdots}}} \\{{{f_{T}\left(z_{T}\right)}}} \\{{{0}}}\end{pmatrix} $$

ここで、 $ L_{t} $ 、 $ C_{t} $ 、 $ F_{t} $ は、

$$ L_{t}=\frac{\partial f_{t}(z_{t})}{\partial y_{t-1}},C_{t}=\frac{\partial f_{t}(z_{t})}{\partial y_{t}},F_{t}=\frac{\partial f_{t}(z_{t})}{\partial y_{t+1}} $$

を表わす。

ΔYは、つぎのような「前進消去、後進代入」で解くことができる。まず、最初の行は初期条件でありΔy₀=0である。第1期について書けば、

$$ L_{1}\Delta y_{_{0}}+C_{1}\Delta y_{_{1}}+F_{1}\Delta y_{_{2}}=-f_{_{1}}(z_{_{1}}) $$

となるが、$\Delta y_{0}=0$ より、$\Delta y_{1}$ について正規化すれば

$$ \Delta y_{1}+C_{1}^{-1}F_{1}\Delta y_{2}=-C_{1}^{-1}f_{1}(z_{1}) $$

となる。このとき、(4-20)式は、次の様になる。

$$ \begin{pmatrix}{{{I}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{I}}}&{{{M_{1}}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\cdots}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{L_{t}}}}&{{{C_{t}}}}&{{{F_{t}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\cdots}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{L_{t}}}}&{{{C_{T}}}}&{{{F_{T}}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{I}}} \\\end{pmatrix}\Delta Y=-\begin{pmatrix}{{{0}}} \\{{{d_{1}}}} \\{{{\cdots}}} \\{{{f_{t}\left(z_{t}\right)}}} \\{{{\cdots}}} \\{{{f_{T}\left(z_{T}\right)}}} \\{{{0}}} \\\end{pmatrix} $$

ここで、 $ M_{1}=C_{1}^{-1}F_{1} $ 、 $ d_{1}=-C_{1}^{-1}f_{1}(z_{1}) $ である。

第2期以降についても同様な方法で解けば、例えばt期について解けば

$$ L_{t}\Delta y_{t-1}+C_{t}\Delta y_{t}+F_{t}\Delta y_{t+1}=-f_{t}(z_{t}) $$

となるが、t-1期について、$\Delta y_{t-1} + M_{t-1}\Delta y_{t} = d_{t-1}$ が成立しているので $\Delta y_{t-1}$ を消去すれば、

$$ (C_{_{t-1}}-L_{_{t}}M_{_{t-1}})\Delta y_{_{t}}+F_{_{t}}\Delta y_{_{t+1}}=-f_{_{t}}(z_{_{t}})-L_{_{t}}d_{_{t-1}} $$