Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
の貯蓄投資ギャップの合計 $ Z_{t} $ は、財政赤字の水準 $ D_{t} $ からは独立となる。現時点でもう少し大きい規模の財政赤字が生じていたとしても、家計はちょうどそれを埋め合わせるだけの貯蓄を行うこととなるので、家計と政府の貯蓄投資ギャップの合計である $ Z_{t} $ の大きさは変わらないのである。

以上から、マクロデータで(11)の成立が支持される場合、バローの中立命題と恒常所得仮説が支持されることとなる。逆に、(11)は支持されないが、死亡・生存確率であるpの値のもとで(11)の成立が支持される場合は、バローの中立命題は成立しないが個人および世代レベルで恒常所得仮説が支持される可能性が残されることとなる。これら両極端なケースの中間のケースが成立しているなら、世代同士がある程度利他的に結びついていて、そのもとで恒常所得仮説に基づく消費決定がなされていることとなる。

## 3 ．実証分析

以下のようなVARモデルを考える。

$$ \begin{pmatrix}LHS_{_{t+1}}\\\Delta Q_{_{t+1}}\\\Delta D_{_{t+1}}\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}a_{_{11}}&a_{_{12}}&a_{_{13}}\\a_{_{21}}&a_{_{22}}&a_{_{23}}\\a_{_{31}}&a_{_{32}}&a_{_{33}}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}LHS_{_{t}}\\\Delta Q_{_{t}}\\\Delta D_{_{t}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}u_{_{t+1}}^{^{1}}\\u_{_{t+1}}^{^{2}}\\u_{_{t+1}}^{^{3}}\end{pmatrix} $$

ただし、$LHS_{t}$ は(11)の左辺、$Q_{t}$ は$Q_{t}=W_{t}-G_{t}$ として定義される変数である。

家計がQやDの変動についての情報を、観測者よりも早く知り得るような状態にあり、

その情報をフルに用いて行動するなら、結果としてLHSSの変動によってQやDの変動が

説明される状況が観察されることになる。(12)はこうした可能性を前提に設定されている。家計が自らの情報集合のもと（11）で示される行動をとるなら、家計の情報集合の部分集合である観測者の情報集合に対しても（11）が成立する。その場合に（12）の要素間に課せられる制約を考えることとなる。

$$ X_{_{t}}=(LHS_{_{t}}\Delta Q_{_{t}}\Delta D_{_{t}})^{\prime}\quad\Gamma=\left[\begin{aligned}&a_{_{11}}a_{_{12}}a_{_{13}}\\ &a_{_{21}}a_{_{22}}a_{_{23}}\\ &a_{_{31}}a_{_{32}}a_{_{33}}\end{aligned}\right]\quad v_{_{t}}=(u_{_{t+1}}^{^{1}}u_{_{t+1}}^{^{2}}u_{_{t+1}}^{^{3}})^{\prime} $$

とおくと、(12)は

$$ X_{_{t+1}}=\Gamma X_{_{t}}+\nu_{_{t}} $$

と書かれる。時点 t において、 $ X_{t+\tau} $ は

$$ E_{t}(X_{_{t+\tau}})=\Gamma^{\tau}X_{_{t}} $$
のように期待されることとなる。 $ e_{1}=(1\ 0\ 0)'\quad e_{2}=(0\ 1\ 0)'\quad e_{3}=(0\ 0\ 1)' $ とおくと、

$$ LHS_{_{t}}=e_{_{1}}^{^{\prime}}X_{_{t}} $$

$$ E_{t}(\Delta Q_{t+\tau})=e_{2}^{\prime}\Gamma^{\tau}X_{t} $$

$$ E_{t}(\Delta D_{t+\tau})=e_{3}^{\prime}\Gamma^{\mathfrak{r}}X_{t} $$

となる。従って、(11)は以下の制約が満たされれば成立することになる。

$$ \begin{align*}e_{1}^{^{\prime}}=&-\sum_{\tau=1}^{\infty}\Biggl[e_{2}^{^{\prime}}+p\Biggl(\frac{1+r}{r+p}\Biggr)e_{3}^{^{\prime}}\Biggr]\Biggl\{\Biggl(\frac{1-p}{1+r}\Biggr)\Gamma\Biggr\}^{\tau}\\=&-\Biggl[e_{2}^{^{\prime}}+p\Biggl(\frac{1+r}{r+p}\Biggr)e_{3}^{^{\prime}}\Biggr]\Biggl[I-\Biggl(\frac{1-p}{1+r}\Biggr)\Gamma\Biggr]^{-1}\Biggl(\frac{1-p}{1+r}\Biggr)\Gamma\end{align*} $$

書き直して

$$ e_{1}^{^{\prime}}=\left[e_{1}^{^{\prime}}-e_{2}^{^{\prime}}-p\left(\frac{1+r}{r+p}\right)e_{3}^{^{\prime}}\right]\left(\frac{1-p}{1+r}\right)\Gamma $$

となる。この制約を帰無仮説におき、棄却できるか否かを検証することとなる。

まったく同じことだが、(12)を書き直して得られる式

$$ \begin{aligned}LHS_{t}-\Delta Q_{t}-p\Biggl(\frac{1+r}{r+p}\Biggr)\Delta D_{t}-\Biggl(\frac{1+r}{1-p}\Biggr)LHS_{t-1}\\=\Biggl[\Biggl\{a_{11}-a_{21}-p\Biggl(\frac{1+r}{r+p}\Biggr)a_{31}\Biggr\}-\Biggl(\frac{1+r}{1-p}\Biggr)\Biggr]LHS_{t-1}\\+\Biggl\{a_{12}-a_{22}-p\Biggl(\frac{1+r}{r+p}\Biggr)a_{32}\Biggr\}\Delta Q_{t-1}+\Biggl\{a_{13}-a_{23}-p\Biggl(\frac{1+r}{r+p}\Biggr)a_{33}\Biggr\}\Delta D_{t-1}+\pmb{\varepsilon}_{t}\end{aligned} $$

における右辺の係数がゼロになるという複合仮説

$$ \left\{\begin{array}{l}a_{11}-a_{21}-p\Bigg(\frac{1+r}{r+p}\Bigg)a_{31}=\frac{1+r}{1-p}\\ a_{12}-a_{22}-p\Bigg(\frac{1+r}{r+p}\Bigg)a_{32}=0\\ a_{13}-a_{23}-p\Bigg(\frac{1+r}{r+p}\Bigg)a_{33}=0\end{array}\right. $$

を F 值タイプの検定によって検証することとなる。

Nor nandi n(1999) は、3 節のモデルをもとに、(11) が成立するか否かを、アメリカと
カナダの場合について検討している $ ^{7} $ 。まず、両国ともに、p=0とおいた場合には、(11)式が成立しない(13)や(15)で示される複合仮説が棄却されることが示される。そして次に、正のpのもとで(11)が成立するか、成立するとすればどの範囲内で成立するかを検討している。カナダの場合 $ 0.004\leq p\leq0.015 $ の範囲内に設定すると、(11)式の成立が有意水準1％で棄却できず（5％にすると棄却される）、アメリカの場合 $ 0.001\leq p\leq0.036 $ に設定すると、有意水準1％で棄却できない（p=0.01くらいだと10％でも棄却できない）ことが分かった。

以下、日本の場合について、(11)が成立し得るか否かを検証する。

はじめに、p=0のもとで(11)が成立する((11)’が成立する)という仮説、つまり中立命題が支持されるか否かを考察する。利子率については1％、2％の場合を想定した。その結果、どの利子率のもとでも、この仮説は有意水準5％で棄却された。つまり中立命題は支持できないことが分かった。

では、生存確率$\geq p\geq0$ なる$p$ のもとで、(11)は成立するか否か、つまり「完全には利他的でないか（生存確率$>p\geq0$）まったく利他的でない（生存確率$=p$）各世代が恒常所得仮説に基づいて消費計画を立てている」という仮説を立てた場合、それは支持し得るか否かを検証する。図III-1は、理論モデルにおける$p$ に対応する変数として、年間あたりの出生・死亡率を示している。したがって、もし$p$ を$0.006\leq p\leq0.01$ らいに設定し、その$p$ のもとで(11)が支持されるなら、それと(11)が棄却されたという事実から、「世代ごとに恒常所得にもとづく消費計画を立ててはいるが、完全に利他的でないため、中立命題は成立していない」と言えることとなる。

図 III - 2 は、設定した各 p のもと、(11) が成立するという仮説を検定する場合に用いられる F 値を示している。利子率を 1% に設定した場合、p が 0 から 0.07 の範囲内にあれば、(11) が成立するという仮説は有意水準 1% で、0.02 から 0.035 の範囲内にあれば、有意水準 5% で採択される (p = 0.03 < らいで F 値最小)。利子率 2% に設定した場合、p が 0.005 から 0.06 の範囲内にあれば、(11) の成立は有意水準 1% で採択される (p = 0.03 < らいで F 値最小)。なお、表 III - 1 はそのうちのいくつかの場合についての推定結果を示したものである。

以上から、「世代ごとに恒常所得にもとづく消費計画を立ててはいるが、完全に利他的でないため、中立命題は成立していない」ことが言える。

ただし、生存確率よりも大きい$p$ のもとでも(11)が成立している。これについては、恒常所得仮説の前提条件そのものが成立していない可能性が考えられる。例えば、流動性制約の存在のために、最適な消費計画が実現出来ていないのかもしれない。また、そ
もそも長期的な視野にたって計画を立てていないnyopicな家計が存在するのかもしれない。

### 4. まとめ

本章では、近年の恒常所得仮説の検証方法を応用して、世代ごとの恒常所得仮説と世代間の利他性がともに支持され、バローの中立命題が成立するような状況にあるのか、それとも、世代ごとの恒常所得仮説は支持できても利他性は支持されず、公債が将来世代へ負担をもたらすような状況にあるのかを、わが国の場合について検証した。結果として、まず、恒常所得仮説と利他性の同時の成立は支持されないこと、つまり厳密なバローの中立命題は支持し得ないことが示された。しかし、世代ごとに恒常所得仮説にしたがって行動しているが、利他性は持たないか、持っていても完全ではないという仮説は棄却できなかった。

こうした結果から、現在の公債残高のうち、かなりの部分が、将来世代への負担として残されると言えよう。ただし、中立命題を検証した従来の研究も、ここでの研究も、ともに政府支出が何に使われたかを明示的には扱っていないので、この結果のみで、財政政策が全般として将来世代に負担を強いていると結論することはできない。特に、政府支出のうち、公共投資に相当する部分については、それが生活関連の社会資本の蓄積に用いられているなら、現在世代のみならず将来世代の効用水準を改善させ得るし、産業基盤の社会資本の蓄積に用いられているなら、将来世代に効率的な生産手段を残すことになる。こうした社会資本を蓄積することの便益が、将来世代にも及ぶなら、その費用のうちのある程度まで、将来世代が負担することは妥当であると言えよう。問題となるのは、そうした社会資本が、質量共に効率的に蓄積されているか、ということとなる。近年では、社会資本は総量ではすでに十分な規模に達していること、質の面からみると、充実度にばらつきがあるが、配分については硬直的なため、効率性が達成されていないことが指摘されている $ ^{8} $ 。

近年の財政政策が、受益と負担を各世代間にどれだけずつもたらしているかを、政府支出の使われ方とそのファイナンスのされ方の両方に着目して把握していくことが、今後ますます必要とされよう。
## データ補論

(14) 式を推定する際には、(11)からも分かるように、家計の純資産A、財政赤字D、およびZとQのデータが必要となるが、Zは家計の貯蓄投資差額（モデルでは家計は投資をしないとおいたので貯蓄額となっている）Sから、財政赤字Dを引いたものであり、Qは賃金Wから政府支出Gを引いたものである。したがって、全部でA, D, S, W, Gのデータが必要となる。これらのデータは、「国民経済計算」より以下のものを用いた。

A：家計資産 - 負債

D：一般政府貯蓄投資差額

S：家計（個人企業含む）雇用者所得

W：家計（個人企業含む）受取－（営業余剰＋財産所得受取－財産所得支払）

G：一般政府最終消費支出 + 一般政府固定資本形成 + 純土地購入

いずれも、GDP デフレータを用いて実質化した。
## 参考文献

井堀利宏・近藤広紀(1998)「公共投資と民間消費：財政赤字と乗数の分析」『フィナンシャルレビュー』47, 106-133.

近藤広紀・井堀利宏(1999)「最適社会資本・公共投資の規模と民間消費の動向」『日本経済研究』39, 55-75.

本間正明・武藤恭彦・井堀利宏・阿部暢夫・神取道宏・跡田直澄(1987)「公債と中立命題：理論とその実証分析」『経済分析』106

Barro, R. J. (1974) “Are Government Bonds net wealth?” Journal of Political Economy 82, 1095-1117.

Blanchard, Olivier J. (1985) “Debt, Deficits and Finite Horizons,” Journal of Political Economy, 93, 223-247.

Campbell, John Y. (1987) "Does Saving Anticipate Declining Labor Income? An Alternative Test of the Permanent Income Hypothesis," Econometrica, 55, 1249-1273.

Hall, Robert E. (1978) “Stochastic Implications of the Life Cycle Permanent Income Hypothesis: Theory and Evidence,” Journal of Political Economy, 86, 971-987.

Haug, Alfred A. (1990) “Ricardian Equivalence, Rational Expectations, and the Permanent Income Hypothesis,” Journal of Money, Credit and Banking, 22, 305-326.

Ihori, Toshihiro (1989) “On the Degree of Debt Neutrality: Some Evidence for the Japanese Economy,” Economic Studies Quarterly, 40, 66-74.

Ihori, Toshihiro and Hiroki Kondo (2001) “Efficiency of Disaggregate Public Capital Provision in Japan.” Public Finance and Management, 1, 161-182.

Normandin, Michel (1999) “Budget Deficit Persistence and the Twin Deficits Hypothesis,” Journal of International Economics, 49, 171-193.
表 III - 1 理論モデルに基づく実証分析

r = 0.01 の場合

p	0	0.005	0.01	0.03	0.05	0.07	0.1
$ LHS_{t-1} $	-0.224**	-0.213**	-0.193**	-0.143*	-0.126**	-0.125**	-0.138**
(-3.378)	(-3.099)	(-2.876)	(-2.586)	(-2.759)	(-3.219)	(-4.396)
$ \Delta Q_{t-1} $	0.206	0.170	0.132	0.049	0.008	-0.018	-0.045
(0.826)	(0.668)	(0.515)	(0.185)	(0.031)	(-0.067)	(-0.167)
$ \Delta D_{t-1} $	-0.213*	-0.168	-0.150	-0.142	-0.148	-0.156	-0.168
(-1.041)	(-0.793)	(-0.694)	(-0.620)	(-0.631)	(-0.652)	(-0.685)
F值	4.377*	3.752*	3.299*	2.811	3.245*	4.381*	7.964**
D.W.	2.273	2.232	2.220	2.22	2.225	2.224	2.217
R²	0.273	0.243	0.220	0.194	0.218	0.273	0.406

r = 0.02 の場合

p	0	0.005	0.01	0.03	0.05	0.07	0.1
$ LHS_{t-1} $	-0.234**	-0.223**	-0.207**	-0.158**	-0.140**	-0.137**	-0.149**
(-3.529)	(-3.350)	(-3.184)	(-2.902)	(-3.071)	(-3.553)	(-4.794)
$ \Delta Q_{t-1} $	0.206	0.180	0.150	0.063	0.017	-0.013	-0.043
(0.826)	(0.712)	(0.588)	(0.243)	(0.062)	(-0.049)	(-0.159)
$ \Delta D_{t-1} $	-0.213	-0.181	-0.163	-0.144	-0.148	-0.155	-0.167
(-1.041)	(-0.863)	(-0.760)	(-0.637)	(-0.634)	(-0.651)	(-0.683)
F值	4.748**	4.330*	3.964*	3.446*	3.929*	5.246**	9.369**
D.W.	2.273	2.244	2.229	2.219	2.221	2.221	2.214
R²	0.289	0.271	0.254	0.228	0.252	0.310	0.445

1957-1995 年次データ

$$ L H S_{_{t}}=Z_{_{t}}+p\Bigg(\frac{1+r}{1-p}\Bigg)A_{_{t}}+p\Bigg(\frac{1+r}{r+p}\Bigg)D_{_{t}} $$

$$ Q_{t}=W_{t}-G_{t} $$

括弧内は t 值

**有意水準 1%** 有意水準 5%
図III - 1 出生・死亡率（人口1000人あたり）

出生率 死亡率
図III - 2 理論モデルに基づく中立命題・恒常所得仮説の検定

r=0.02の場合

破線上側は1％，破線下側は5％の有意水準を示す。F値がこの水準より大きければ、その生存確率の設定のもとでは恒常所得仮説が棄却されることとなる。特に、生存確率ゼロのもとでのF値が破線より上に位置している場合には、バローの中立命題が成立しないこととなる。
# 第 4 章 地方間非協力動学ゲームを用いた財政再建の分析

- 財政再建の試みとその帰結 -

### 1. はじめに

日本の財政状況は、G7諸国の中でも比較的良好なパフォーマンスを保っていたが、90年代を経て、この状況は逆転してしまった。国の一般会計における公債依存度は、1991年度には6.7%であったが、1996年度には21.6%まで上昇した。こうした状況を受けて、1997年度には、財政再建に向けた動きが本格化する。所得税と消費税の増収が試みられる一方、公共投資などの政府支出が削減され、公債依存度は18.5%まで抑えられた。しかしながら、この年から再び景気が後退したため、翌1998年度には、補正予算において大規模な公共投資が行われることとなった。この年の公債依存度は34.0%にも達し、財政再建路線は事実上放棄された状態となっている。

本章では、財政再建の試みが失敗し、日本の財政状況が、当初意図していたのとはまったく正反対の方向に振れてしまったのはなぜかについて、税源のあり方や、政府支出の決定メカニズムにおける、国と地方の関係に着目して分析を行う。

日本においては、地方よりも中央政府が、税源において大きなウェイトを占めている。一方、そうした税収は、中央から各地方に、公共投資などの形で移転されているが、こうした政府支出の決定においては、地方が大きな影響力を持っている。日本において、急な勢いで公債残高が累増していった直接の原因は、こうした移転支出が急増したことに求められる。特に、財政再建を進めるため、消費税や所得税の税収増大が試みられた1997年度以降、税収の増大をはるかに上回る勢いで、公共投資水準が増大している。景気後退により、期待されていただけの税収が得られなくなった状況下では、さらなる速度で公債残高が累増していくこととなった。こうして財政再建の試みは、当初の目的とは正反対の結果をもたらすこととなったのである。したがって、日本における公債累増プロセスを解明するには、こうした構造的な要因に踏み込んだ分析が不可欠となる。

そのために、本章では、Velasco（2000）の動学的非協力ゲームの枠組みを、上述のような特徴をもつ、日本の中央政府と地方の関係について応用し、そのもとで、地方がどのように行動するか、その結果として、公債残高がどのような動向をたどるかを分析する。そして、その枠組みのもとで、以下の2点について考察を加える。第1に、特に近年になって、地方が予算決定に積極的に働きかけるようになってきているが、それは何故か、また、その結果、公債残高はどのように変動するかを考える。第2に、財政再建をすすめるために増税を行った場合、意図したとおり財政再建が行われるのか、それとも逆の結果が引き起こされるのかについて考察を行う。これらの点については、Velasco
(2000) を拡張することで議論されるが、近年の日本の財政を分析する上で、非常に重要なポイントである。

本章では、税源をもつ中央政府と、そこからトランスファーを受け取る複数の地方もしくは利益団体からなるモデルを提示する $ ^{1} $ 。政策を策定するにあたっての、中央と地方、そして地方どうしもしくは利益団体どうしの関係については、以下のようであるとする。まず、地方に比べて中央政府のリーダーシップは弱く、トランスファーなどの政府支出の水準は、各地域・各利益団体の意向によって決定されているとする。また、地方どうしは、協調して行動しているわけではなく、中央政府の税収や、他の地方の行動などを見ながら、出来るだけおおくのトランスファーを得ようと、非協調的に行動しているものとする。また、本稿では、中央政府にトランスファーを要求し、それを実現させる過程で、何らかの政策コストが必要であるとする。特に、その地域のみに便益をもたらすような支出は、そうでない支出より、相対的に大きなコストを費やして獲得できるものとする。

一国全体の公債残高がそれほど大きくないうちに、各地域は挙って多くのトランスファーを要求することになる。それによって公債残高は累増していくが、その利払いを他の地域に押し付けようとするのである。最終的には、所与の租税収入でかろうじて維持可能な水準まで公債残高が累増することとなる。結果としてすべての地域がまったく同じだけ互いに負担を押し付けあっている状態となるが、こうしたパスにおいて、一地域だけはじめのうちからトランスファーを小さくしようとすると、他の地域から公債利払い負担だけを押し付けられることとなるのである。

そうしたメカニズムを所与として、公債残高を減らす目的で増税を行っても、再び各地域が我先にトランスファーを増やす行動をとることとなる。結局、増えた税収で新たに維持可能となる分だけ、公債残高が増大することが示される。

また、こうしたトランスファーを実現するための政策的なコストが低下すると、各地方から、中央への政策的働きかけが活発となる。トランスファーの水準は大きくなり、公債残高累増のスピードや、長期的な公債残高水準が上昇することになる $ ^{2} $ 。

以上から、公債残高が累増していくこと、特に、増税が行われたり、トランスファーを多く得るべく中央政府に働きかける際の政策コストが低下したりした場合に、より顕著に累増していくことの背景には、こうした構造的な不備が潜んでいると結論されることとなる。

次の第2節では、モデルの基本的枠組みを提示する。そして、第3節では、増税が試
みられたり、政策コストに変化が生じた場合、公債残高や政府支出にどのような変化が起こるかを考察する。第4節では、まとめと望ましいメカニズムのあり方について考察される。

## 2 ．モデル

n 個の地域から構成される経済を考える。どの地域も所得Yが外生的に与えられているものとする。これに中央政府から、税率ωの所得税が課せられているとする。中央政府の収入は、こうして得られる所得税 $ n\omega Y $ と、公債発行（純債権の減少- $ \dot{B} $ ）からなる。それを、地域 $ i=1,\cdots,n $ へのトランスファー（ $ E^{i} $ ）および公債の利払い（rB）に当てているとする。

$$ \dot{\boldsymbol{B}}_{t}=r\boldsymbol{B}_{t}+n\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{Y}-\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{E}_{t}^{i} $$

税率ωは中央政府が決めるが、トランスファーは各地域の意向を反映して決定される。このようなメカニズムのもと、トランスファーはどのような水準に決定され、それによって公債残高はどのような動向を辿るかを考察することとなる。

各地域の代表的個人の効用関数は以下のような2次形式であるとする³。

$$ \int_{t}^{\infty}\Biggl[-\Biggl(\frac{1}{2}\Biggr)(C_{t}^{i}-\gamma)^{2}-\Biggl(\frac{1}{2}\Biggr)(G_{t}-\gamma)^{2}\Biggr]e^{-r(\tau-t)}d\tau $$

ここで、 $ C_{t}^{i} $ は地域の代表的個人の消費水準である。また、 $ G_{t} $ は経済全体の純粋公共財の供給量であり、各地域の供給量 $ g_{t}^{i} $ の合計として以下のように与えられる。つまり

$$ G_{t}=\sum_{i=1}^{n}g_{t}^{i} $$

であるとする。γは、その水準で消費および純粋公共財の供給を行えば、効用が最大になる点(bliss point)である。しかし、すべての所得をもってしても、この点は到達できないと仮定する。つまり

$$ \gamma>Y $$

であるとする。

各地域は、トランスファーの一部は純粋公共財供給にあて、残りは消費支出に割り当てる。つまり、

$$ E_{t}^{i}=z_{t}^{i}+g_{t}^{i} $$
$$ C_{t}^{i}=(1-\boldsymbol{\omega})Y+(1-\boldsymbol{\alpha})z_{t}^{i} $$

であるとする。z がトランスファーのうち、消費に充てられる部分、g が純粋公共財の支出に当てられる部分である。ただし、中央政府からトランスファーを得て、これを消費にあてる過程で、α だけの比率で政策コストがかかるものとする。

なお、このモデルでは、公共投資については、純粋公共財ではなく、zに含まれると考える。実際の公共投資の大半は、その地域内では公共財であっても、国レベルで見た場合の外部効果はきわめて限定されているため、性格上ここでいう純粋公共財には含めない。むしろ、公共投資が行われると、その分だけその地域の誰かの所得となり、そしてそれが消費支出に当てられると考えると、zに含めるのがより妥当となる。つまり、公共投資は、それが行われる地域での雇用や所得の水準を維持することを目的として行われると考える。本稿で公共投資という場合には、こうしたケインズ的な需要サイドの役割のみを想定する $ ^{4} $ 。

また、可処分所得を純粋公共財供給にまわすことはできないと仮定する。すなわち、

$$ g_{t}^{i}\leq E_{t}^{i} $$

同じことだが、

$$ 0\leq z_{t}^{i} $$

であるとする。

以下では、各地域がどれだけのトランスファーを要求することになるかについて、その最適戦略を、以下の2段階に分けて考察する。まず、各時点において、トランスファーの水準 $ E_{t}^{i} $ が与えられたとき、これを消費 $ z_{t}^{i} $ と純粋公共財 $ g_{t}^{i} $ への支出にどれだけずつ当てるかを考察する。次に、通時的に見て、各地域にとって最適なトランスファー $ E_{t}^{i} $ のパスはどのようになるかを考察する。

瞬時的効用関数に、消費水準と純粋公共財水準に関する式(3)、(6)を代入し、等号制約(5)および不等号制約(7)を考え合わせて、ラグラジュアンを以下のように置く。

$$ L=-\left(\frac{1}{2}\right)\{(1-\boldsymbol{\omega})Y+(1-\boldsymbol{\alpha})z_{t}^{i}-\boldsymbol{\gamma}\}^{2}-\left(\frac{1}{2}\left(\sum_{j=1}^{n}g_{t}^{j}-\boldsymbol{\gamma}\right)^{2}+\boldsymbol{\lambda}_{t}^{i}\{E_{t}^{i}-(z_{t}^{i}+g_{t}^{i})\}+\boldsymbol{\mu}_{t}^{i}z_{t}^{i}\right) $$

これをもとに、最適性の条件は、(5)、(7)および以下のような式で表される。
$$ -(C_{t}^{i}-\gamma)(1-\boldsymbol{\alpha})=\boldsymbol{\lambda}_{t}^{i}-\boldsymbol{\mu}_{t}^{i} $$

$$ -\left(G_{t}\right.\left.-\gamma\right)=\lambda_{t}^{i} $$

$$ \mathbf{\mu}_{t}^{i}\geq0 $$

$$ \mathbf{\mu}_{t}^{i}z_{t}^{i}=0 $$

まず、$\mu_{t}^{i}=0$ かつ$z_{t}^{i}\geq0$ の場合について考える。そして、そこでの議論をもとに、$\mu_{t}^{i}\geq0$ かつ$z_{t}^{i}=0$ となるのはどのような場合かを考察する。

$\mu_{t}^{i}=0$ かつ $z_{t}^{i}\geq0$ の場合、トランスファーの水準 $E_{t}^{i}$ 所与のもと、各地域の純粋公共財供給量、トランスファーのうち消費に回す量、および可処分所得にそれを加えて得られる消費の総量はそれぞれ以下のようになる。

$$ g_{_{t}}=\frac{(1-\boldsymbol{\alpha})^{2}E_{_{t}}+(1-\boldsymbol{\alpha})(1-\boldsymbol{\omega})Y+\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\gamma}}{(1-\boldsymbol{\alpha})^{2}+n} $$

$$ z_{_{t}}=\frac{nE_{_{t}}-(1-\boldsymbol{\alpha})(1-\boldsymbol{\omega})Y-\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\gamma}}{\left(1-\boldsymbol{\alpha}\right)^{2}+n} $$

$$ C_{_{t}}=\frac{n(1-\boldsymbol{\alpha})E_{_{t}}+n(1-\boldsymbol{\omega})Y-\boldsymbol{\alpha}(1-\boldsymbol{\alpha})\boldsymbol{\gamma}}{\left(1-\boldsymbol{\alpha}\right)^{2}+n} $$

純粋公共財への支出水準は、外部効果のため、当該地域以外の地域が供給するであろう数量を所与として決定されることとなる。この場合、他の地域の供給量が大きいほど、自らの供給量は少なくしようとする、ただ乗りのインセンティブが生じる。したがって、最適な場合と比較して、純粋公共財供給は過小に、消費支出は過大に行われることとなる。このモデルでは、どの地域も所得、選好共に全く同質のため、トランスファーの水準も等しいなら、均衡では全ての地域が同じだけの純粋公共財の支出と消費支出を行うこととなり、これらが(13)、(14)式として計算される。なお、以下では特に断らない限り、地域を示す添え字iは省略する。

トランスファーを得るために必要な政策コストαが大きければ大きいほど、純粋公共財への支出水準gが大きくなり、消費水準Cは小さくなる。政策コストが高いと、トランスファーを消費に回そうとした場合に、より多くの純粋公共財への支出を犠牲にしなければならないこととなる。したがって、トランスファーのうち、消費支出に当てられる部分zが小さくなり、純粋公共財支出に当てられる部分gが大きくなるのである。また、税率ωが上昇すると、（トランスファーの水準Eが同じなら $ ^{5} $ ）純粋公共財への支出gと消費支出Cともに減少する。増税によって可処分所得が減少しても、純粋公共
財支出量 g および z の水準を変化させなければ、消費のみが可処分所得の減少分だけ減少することとなる。したがって、トランスファーE のうち、純粋公共財への支出 g を減らし、逆に消費に当てる部分 z を増やすことで、純粋公共財から得られる効用と、消費から得られる効用のバランスを保とうとするのである。したがって、純粋公共財支出水準 g は低下し、逆に z の水準が上昇するのである。しかし、トランスファーを消費に当てる場合には、α だけの率で政策コストがかかる。したがって、トランスファーのうち純粋公共財への支出に当てる量を減らしても、それがそのまま z の増加につながることはないし、可処分所得に増加した z を加えても、増税前の消費の水準を下回ることとなるのである。

トランスファーの水準 E が小さくなれば、純粋公共財への支出の水準 g、トランスファーのうち消費にまわる部分 z、および消費水準 C そのものも小さくなる。特に、トランスファーの水準が非常に小さく、

$$ E_{_{t}}=\frac{(1-\boldsymbol{\alpha})(1-\boldsymbol{\omega})Y+\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\gamma}}{n} $$

の水準以下となる場合には、z の水準はゼロとなり、トランスファーE はすべて純粋公共財への支出 g に当てられ、消費水準 C は可処分所得の水準のみとなる。つまり、

$$ g_{_{t}}=E_{_{t}} $$

$$ z_{t}^{i}=0 $$

$$ C_{t}^{i}=(1-\mathbf{\omega})Y $$

となる。この時、(9)(10)より、以下の式が成立することとなる。

$$ \{-(C_{t}^{i}-\gamma)(1-\boldsymbol{\alpha})\}-\{-(G_{t}-\gamma)\}=-\boldsymbol{\mu}_{t}^{i} $$

この左辺に(3)(13)'（15）'を代入し、さらにトランスファーの水準は(16)よりも低いことを考慮に入れると、

$$ \begin{align*}\{-(C_{t}^{i}-\gamma)(1-\boldsymbol{\alpha})\}-\{-(G_{t}-\gamma)\}&=-(1-\boldsymbol{\omega})Y(1-\boldsymbol{\alpha})+nE_{t}^{i}-\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\gamma}\\&\leq-(1-\boldsymbol{\omega})Y(1-\boldsymbol{\alpha})+(1-\boldsymbol{\alpha})(1-\boldsymbol{\omega})+\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\gamma}-\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\gamma}\\&=0\end{align*} $$

が言えることとなる。このことと(17)より、$\mu_{i}^{i}\geq0$ が言え、したがって条件(10)が満たされていることが確認できる。

以上をまとめると、トランスファーの水準が十分に大きい場合には、 $ \mu_{t}^{i}=0 $ かつ $ z_{t}^{i}\geq0 $ なる内点解が成立しており、トランスファーの水準が小さい場合には、 $ \mu_{t}^{i}\geq0 $ かつ $ z_{t}^{i}=0 $ なる端点解が成立することとなる。このことは以下のように理解できる。消費については、可処分所得とトランスファーの一部の2つを財源に行うことが出来るが、
純粋公共財支出の財源はトランスファーのみである。したがって、トランスファーの水準が小さくなる場合、純粋公共財への支出の財源は、消費支出のそれよりも深刻となる。したがって、トランスファーの水準があまりにも小さいと、それは全部純粋公共財支出にあて、消費は可処分所得のみでカバーすることとなる。また、出来るなら可処分所得の一部も純粋公共財の支出に当てたいが、それが不可能なため、せめてトランスファーを全部純粋公共財への支出に当てている状態であるとも言える。結果、純粋公共財から得られる限界効用が、消費から得られる限界効用よりも $ \mu_{i}^{i}\geq0 $ だけ高くなっているのである。

こうした臨界値のトランスファーの水準(16)は、政策コストの率αが大きいほど大きくなり、税率ωが大きいほど小さくなる。先にも述べたように、政策コストαが大きければ、トランスファーが一定でも、そのうち消費に回す部分zを小さくするのであった。したがって、αが大きければ、トランスファーの水準が大きい場合であっても、zはゼロとなり得るのである。また、税率ωが大きいと、可処分所得は減少するため、トランスファーのうちそれを補償する分だけ消費に回そうとする。つまり、純粋公共財の支出を犠牲にして、zを大きくするのであった。したがって、トランスファーの水準がよほど小さくない限り、zはゼロとはなり得ないのである。

次に、第2段階目の、動学的最適化問題を考える。つまり、(1)の予算制約のもと、通時的な効用を最大化するようなトランスファーの動学的パスについて考察する。その際に、各地域が、その他の地域の戦略を所与とした時、自らの効用を最大化するようなフィードバック戦略に焦点をある。そして、そのもとで、トランスファーと公債残高はどのような動向を辿るかを分析する。

なお、以下では、トランスファーの水準が(16)を下回ることはないものとする。つまり、トランスファーの水準が(16)を下回り、消費の限界効用と純粋公共財の限界効用に大きな格差が生じるような状況は、社会的に容認されないケースを想定する。最低限(16)だけのトランスファーがなされるような場合には、(1)より、公債残高の上限（もしくは資産残高の下限）は以下のように設定されることとなる。

$$ B_{t}=-\Biggl(\frac{1}{r}\Biggr)[n\mathbf{\omega}Y-\{(1-\mathbf{\alpha})(1-\mathbf{\omega})Y+\mathbf{\alpha}\gamma\}] $$

ある時点において、公債残高が(18)の水準にあったとする。そこから公債残高を減少させたくとも、トランスファーは(16)の水準以下にはならないので、それは不可能となる。逆に、その時点で(16)以上のトランスファーがなされた場合には、その後公債残高は無限に膨張していくこととなる。したがって、公債残高が(18)の水準に到達すると、その時点以降、公債残高はこの水準に、トランスファーは(16)の水準に永久にとどまりつづけることとなる。

以上の想定のもと、各地域の戦略関数を、以下のような線形のファミリーに限定して、以下の分析を進めることとする。
$$ E_{_{t}}=\phi B_{_{t}}+\boldsymbol{\Theta}\quad\text{i f}\quad B_{_{t}}\geq-\left(\frac{1}{r}\right)[n\boldsymbol{\omega}Y-\{(1-\boldsymbol{\alpha})(1-\boldsymbol{\omega})Y+\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\gamma}\}] $$

$$ E_{_{t}} は (16) の水準 \quad if\quad B_{_{t}}=-\left(\frac{1}{r}\right)[n\boldsymbol{\omega}Y-\left\{(1-\boldsymbol{\alpha})(1-\boldsymbol{\omega})Y+\boldsymbol{\alpha}\boldsymbol{\gamma}\right\}] $$

資産が(18)の水準に到達する時点を T とおくと、各地域の最適化問題は、以下のようになる。

$$ V(E_{_{t}})=MAX\int_{t}^{T}U(E_{_{t}})e^{-r(\tau-t)}d\tau+e^{-r(T-t)}V(E_{_{T}}) $$

$$ \mathsf{s.t.}\quad\dot{\boldsymbol{B}}_{t}=\{\boldsymbol{r}-(n-1)\boldsymbol{\phi}\}\boldsymbol{B}_{t}+\{n\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{Y}-(n-1)\boldsymbol{\Theta}\}-\boldsymbol{E}_{t},\quad0\leq t\leq T $$

$$ 0=U(E_{_{T}})+\lambda_{_{t}}[\{r-(n-1)\phi\}B_{_{t}}+\{n\mathbf{\omega}Y-(n-1)\boldsymbol{\Theta}\}-E_{_{t}}]-rV(E_{_{T}}) $$

(21) において $ U(E_{t}) $ は、 $ E_{t}^{i} $ が (16) よりも大きい場合の最適な消費水準と純粋公共財水準 (13) (14) を瞬時的効用関数に代入して得られる以下のような式として定義される。

$$ U(E_{t})=-\Biggl(\frac{1}{2}\Biggr)\{1+\left(1-\boldsymbol{\alpha}\right)^{2}\}\Biggl[\frac{n(1-\boldsymbol{\alpha})E_{t}+n(1-\boldsymbol{\omega})Y-\{(1-\boldsymbol{\alpha})+n\}\boldsymbol{\gamma}}{\left(1-\boldsymbol{\alpha}\right)^{2}+n}\Biggr]^{2} $$

また、(1)’は各地域にとっての予算制約であり、(1)に(19)を代入して得られる。(22)は、無限期間モデルだけれども状態変数の領域に制約がある場合の横断性条件である。この問題の解として、資産とトランスファー水準についての以下のような連立微分方程式が得られる（詳細は補論参照）。

$$ \dot{E}_{t}=r\Bigg(\frac{n-1}{2n-1}\Bigg]\Bigg[E_{t}+\Bigg[\frac{n(1-\pmb{\omega})Y-\{(1-\pmb{\alpha})+n\}\pmb{\gamma}}{n(1-\pmb{\alpha})}\Bigg]\Bigg]\Phi $$

$$ \dot{\boldsymbol{B}}_{t}=r\boldsymbol{B}_{t}+n(\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{E}_{t}) $$

この体系についての位相図が図 IV-1 である。この体系には、2つのパス、つまりトランスファーと公債残高の水準がそれぞれ

$$ E_{_{t}}=\frac{\{(1-\boldsymbol{\alpha})+n\}\boldsymbol{\gamma}-n(1-\boldsymbol{\omega})Y}{n(1-\boldsymbol{\alpha})} $$

$$ B_{_{t}}=-\Biggl(\frac{1}{r}\Biggl[\frac{(1-\mathbf{o}\mathbf{c}\mathbf{o})n Y-\{(1-\mathbf{\alpha})+n\}\gamma}{(1-\mathbf{\alpha})}\Biggr] $$

の水準に留まり続けるパスと、トランスファーは減少、公債残高は増加していき、有限期間内にそれぞれ(16)、(18)に到達し、その後はその水準に留まりつづけるパスの2通
りのパスが生じ得る $ ^{6} $ 。このうち前者は不安定であることが分かる。つまり、初期の公債残高が(27)の水準になければ、また、仮に(27)の水準にあったとしても、何らかのショックが加われば、後者のパスに移行することとなる。したがって、以下では後者のパスのみに焦点を当てることとする。

各地域は、公債残高が小さいうちは、(16)よりも大きなトランスファーの水準を要求している。そのような大きなトランスファーは、租税収入だけでなく、公債の新規発行によってようやくファイナンスされる。そのように公債残高が増大して行くに伴い、トランスファーの水準は低下していくこととなり、長期的には、租税収入の一部がトランスファーにあてられ、残りが累増した公債の利払いに用いられる状態が成立することとなる。

こうしたパスが、地域が複数あり（ $ n \geq 2 $ ）それらが単一の予算からトランスファーを得ていることで生じていることは重要である。各地域は、いずれも公債残高が小さいうちに、多くのトランスファーを得ようとする。そして、それが原因で生じる新規公債の利払いを、他の地域に押し付けようとするのである。つまり、各地域にとっての主観的な利子率は、実際の利子率（割引率に等しい）よりも低めに認識されることとなる。そのため、現在多くのトランスファーを得て、多くの消費を行い、公債残高が累増していくに伴ってトランスファーを減らしていき、収入のより多くの部分を利払いに当てていくといったパスが、各地域にとって最適なパスと認識される。結果的には、各地域が予算過程にただ乗りし合っている。つまり、負担を同じだけ押し付けあっているので、自分たちが作り出した債務は、それぞれが自らのトランスファーを減少させることで負担していくこととなる。

以上から、公債残高が累増していくプロセスは、こうした行動パターンがもたらす非効率性の裏返しであるといえよう。このモデルでは、すべての経済主体は永久に生き続けると仮定しているため、ファイナンス面では公債は問題とはならない。しかし、このモデルでは、そうした主体間が、協調して意思決定を行わないために非効率性が生じ、これが公債残高の累増に反映されている、という意味において、公債が問題となるのである。

## 3 ．比較動學

ここでは、トランスファーを獲得するために必要とされる政策コストの率であるαが変化した場合、および増税が行われた場合に、長期的な公債残高と、そこに至るまでの移行過程がどのようになるかを検討する。

まず、政策コストαが低下した場合を考える。(16)、(18)より
$$ \frac{\partial E}{\partial\boldsymbol{\alpha}}=\frac{-(1-\boldsymbol{\omega})Y+\boldsymbol{\gamma}}{n}>0 $$

$$ \frac{d(-B)}{d\boldsymbol{\alpha}}=\frac{(1-\boldsymbol{\omega})Y-\gamma}{r}<0 $$

であることから、政策コストαの低下で、長期的に成立することになる公債残高は以前より増大し、トランスファーの水準は減少することになる。こうした新たな定常状態へ向かう移行過程については、図Ⅳ-2の位相図および図Ⅳ-3に示されている。トランスファーは短期的には増大し、長期的には低下している。これにともなって、公債残高は増大していき、以前よりも大きな水準にとどまる。

政策コストαの低下は、消費の実質的な価格が低下する場合と同様の代替効果をつうじて、トランスファーのうち、消費に回す分zを拡大させることとなる。さらに、トランスファーの水準そのものは、長期的には以前の水準以下になるものの、短期的には増大する。租税収入自体は増えていないので、トランスファー水準が大きくなっている間、新しく公債が発行されつづけることとなる。したがって、将来、租税収入のうち、多くの部分が増大した公債の利払いに当てられることとなり、トランスファーの水準はそれに圧迫されて次第に小さくなる。トランスファーのうち消費にまわる部分zもゼロとなり、純粋公共財への支出もトランスファーが以前より小さくなった分だけ減少している。しかし、それにもかかわらず、今のうちに安価になった消費を楽しんでおいたほうが、個々の地域にとっては通時的、戦略的に見て最適なのである。

次に、税率ωが上昇した場合の影響について考察する。(16)、(18)より

$$ \frac{dE}{d\boldsymbol{\omega}}=\frac{-(1-\boldsymbol{\alpha})Y}{n}<0 $$

$$ \frac{d(-B)}{d\boldsymbol{\omega}}=\frac{(n+1-\boldsymbol{\alpha})Y}{r}>0 $$

であることから、長期的に成立することになる公債残高は増大し、トランスファーの水準は低下することとなる。移行過程での公債残高やトランスファーについては、図 IV-2 の位相図および図 IV-3 に示されている。トランスファーは短期的には増大し、長期的には低下している。これにともなって、公債残高は増大していき、以前よりも大きな水準にとどまる。

税率が上昇すると、可処分所得が低下することとなる。したがって、各地域では、トランスファーのうち、より大きな部分を消費にまわすことで、それを補填しようとする。したがって z は短期的には増大することとなる。また、トランスファーの水準そのものも増大するため、z はより大きく増大することとなる。税収が大きくなる場合、それによって維持可能な長期的な公債水準に比べて、現在の公債残高は小さい。したがって、
どの地域も今のうちに大きなトランスファーを要求しようとするのである。長期的には、税収のうちの大きな部分が、そうした現在の消費的支出の増大によって生じた公債の利払いにあてられることとなり、また、それによって純粋公共財の供給量は圧迫されることとなる。それにもかかわらず、個々の地域にとっては、直近のトランスファーと消費的支出を増大させるのが、通時的、戦略的に見て最適なのである。

### 4. まとめ

以上の分析から、税源が中央政府に集中する一方、支出の使途は地域間が非協力的に決定する予算決定のメカニズムのもとでは、トランスファーを獲得する際に各地方に必要となる政策的なコストの低下も、増税も、いずれも短期的なトランスファーおよび消費的支出の増大をもたらし、新たな公債発行を生じさせることが分かった。長期的には、税収のより大きな部分がそうして増大した公債の利払いに充てられ、純粋公共財への支出は逆に圧迫されることとなる。日本においても、税源が中央に集中し、そこから地方にトランスファーとして支出がなされていること、そしてその決定プロセスが、地域間で非協力的であることなどを考えると、地方がトランスファー獲得の際に必要になる政治活動のコストが低下したり、税源について、その範囲や程度が広がることで、地方から中央への政治的な働きかけが強くなり、その結果公債残高がかえって累増していく可能性がある。

I horì, Doi and Kondo (2001) では、実際に増税が財政再建にどの程度寄与しているかを VAR を用いて実証している。税収が増えると、確かに一部は公債発行の抑制に効果をもつものの、無視し得ぬ割合だけ部分が政府支出の増大に当てられていることが示されている。増税は、財政再建に対して、期待されただけの効果を発揮出来ていないと言える。

また、Doi, I horí and Kondo (2001) $ ^{8} $ は、政策コストαを推定している。1956年以降のデータによると、およそ0.539、より近年の1965年以降のデータによると、0.515まで低下している。したがって、各地域や利益団体の、予算プロセスへの介入が強まり、これによって公共投資が増えて公債残高が累増した可能性もある。

これらの分析や、本章での分析を考えると、近年の日本において公債残高が累増していく現状は、日本の財政における制度的な要因と、そのもとでの各地方や利益団体の行動パターンが引き起こす非効率性を反映したものである可能性が高い。