# II．ポートフォリオモデルの導出

## 三 カ国モデルの定式化

実証分析に入る前に、ここでポートフォリオモデルを導出し、為替レート決定式を導いておこう。

教科書的なポートフォリオ理論では、資産選択と貯蓄の決定は分離できるとして、既存の資産ストックの期末の収益を最大化するように、資産保有の内訳を決めるとされる。しかしこのような定式化を当然のものとして認めてよいという訳ではない。投資家の生涯にわたる効用の最大化から資産選択を求めると、これは一般的には貯蓄決定から独立ではなくなる。しかし連続分析で議論すると、もし資産価格の動きが定常的で、対数正規分布の連続確率過程に従う時、同様なことであるが資産価格の変化率が幾何学的ブラウン運動をする時、かつ瞬時的効用関数が相対的危険回避度一定でホモセティックである時、時間を通じて不変なポートフォリオ・ルールが得られ、これは期待値と分散の一次関数を各時点で最大化する時のポートフォリオと同じになると分析されている（Macedo 等〔1984〕。また Merton〔1971〕、Branson 等〔1985〕も参照）。

この研究でも、他のいくつかのポートフォリオモデル分析と同様に、このような仮定を置き、資産選択と貯蓄決定を分離できると考えることにする。

ここでフランケル[1982]を参考にしながら、日（J）米（U）独（D）の三カ国の場合のポートフォリオモデルを期間分析で説明しよう。そしてこれと以下で行う実証分析との関連を論じておこう。

各国の期末の実質資産は、

$$ \begin{aligned}\mathrm{W_{J}}^{+1}=&\mathrm{W_{J}}\left[\mathrm{1+x_{J}^{D}}\left(\mathrm{i^{D}+\Delta~s^{D}-\Delta~s^{J}-\pi~_{J}~}\right)+\right.\\&\left.\mathrm{x_{J}^{J}}\left(\mathrm{i^{J}~-~\pi~_{J}~}\right)+\left(\mathrm{~1~-~~x_{J}^{D}~-~~x_{J}^{J}~}\right)\left(\mathrm{~i^{U}~}\right.\right.\\&\left.\left.-\Delta~\mathrm{s^{J}}~\left.-\quad\pi~_{J}\right)\right]\right.\end{aligned} $$

$$ \mathrm{W_{D}}^{+1}=\mathrm{~W_{D}}\left[\mathrm{~1+\mathrm{x_{D}}^{D}\left(\mathrm{i^{D}}-\pi_{\mathrm{~D~}}\right)+\mathrm{x_{D}}^{J}\left(\mathrm{i^{J}}-\Delta\mathrm{x_{D}}^{J}\right)}\right] $$

$$ \begin{aligned}&\mathrm{S}^{\mathrm{D}}+\Delta\mathrm{~s}^{\mathrm{J}}-\mathrm{\pi}_{\mathrm{~D~}}+\left(\mathrm{~1~-\quad x}_{\mathrm{D}}^{\mathrm{D}}\mathrm{~\textcent~{~\textcent~}~}\mathrm{x}_{\mathrm{D}}^{\mathrm{J}}\right)\\&\left(\mathrm{i}^{\mathrm{U}}-\Delta\mathrm{~s}^{\mathrm{D}}-\mathrm{\pi}_{\mathrm{~D~}}\right)\text{]\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}\mathrm{W}_{\mathrm{U}}^{^{+1}}&=\mathrm{~W}_{\mathrm{U}}\left[\begin{array}{l}1+\mathrm{X}_{\mathrm{U}}^{\mathrm{D}}\left(\mathrm{i}^{\mathrm{D}}+\Delta_{\mathrm{~S}}^{\mathrm{D}}-\pi_{\mathrm{~U~}}\right)+\end{array}\right.\\&\left.\begin{array}{l}\mathrm{x}_{\mathrm{U}}^{\mathrm{J}}\left(\mathrm{i}^{\mathrm{J}}+\Delta_{\mathrm{~S}}^{\mathrm{J}}-\pi_{\mathrm{~U~}}\right)+\left(\begin{array}{l l}1-\mathrm{X}_{\mathrm{U}}^{\mathrm{D}}-\end{array}\right.\\\left.\begin{array}{l}\mathrm{x}_{\mathrm{U}}^{\mathrm{J}}\right)\left(\mathrm{i}^{\mathrm{U}}-\pi_{\mathrm{~U~}}\right)\end{array}\right.\end{aligned} $$

で示される。

ここで $ W_{i} $ : i 国期首の実質資産残高

$ x_{i}^{D} $ : i 国がマルク建資産を保有する比率

$ x_{i}^{J} $ : i 国が円建資産を保有する比率

iD : マルク建資産の予想収益率（その国の通貨で測ったもの、以下同様）

iJ : 円建資産の予想収益率

iU : ドル建資産の予想収益率

Δ s^{D} : ドイツマルクの対ドル予想変化率（外貨建、以下同様）

Δ sJ : 円の対ドル予想変化率

π i : i 国のインフレ率

を示す。

なおここで x あるいは $ (1 - \Sigma x) $ にかかっている項、例えば $ (i^{D} + \Delta s^{D} - \Delta s^{J} - \pi^{J}) $ とか、 $ (i^{U} - \Delta s^{J} - \pi^{J}) $ 等は一期間に得られる予想実質収益率を表す。期間分析で一期間の実質収益率をこのように表すというのは、フランケルが説明しているように近似式でしかないが、簡単化のためこれを用いることにする。

インフレ率π₁については、

$$ \begin{aligned}\pi_{\mathrm{J}}&=\mathfrak{a}_{\mathrm{J}}{}^{\mathrm{J}}\overline{\pi}_{\mathrm{J}}+&\mathfrak{a}_{\mathrm{J}}{}^{\mathrm{D}}\left(\overline{\pi}_{\mathrm{D}}-&\Delta_{\mathrm{S}}{}^{\mathrm{J}}+&\Delta_{\mathrm{S}}{}^{\mathrm{D}}\right)+\\&(1-&\mathfrak{a}_{\mathrm{J}}{}^{\mathrm{J}}-&\mathfrak{a}_{\mathrm{J}}{}^{\mathrm{D}})(\overline{\pi}_{\mathrm{U}}-&\Delta_{\mathrm{S}}{}^{\mathrm{J}})\\\pi_{\mathrm{D}}&=\mathfrak{a}_{\mathrm{D}}{}^{\mathrm{J}}\left(\overline{\pi}_{\mathrm{J}}-&\Delta_{\mathrm{S}}{}^{\mathrm{D}}+&\Delta_{\mathrm{S}}{}^{\mathrm{J}}\right)+\mathfrak{a}_{\mathrm{D}}{}^{\mathrm{D}}\overline{\pi}_{\mathrm{D}}+\\&(1-&\mathfrak{a}_{\mathrm{D}}{}^{\mathrm{J}}-&\mathfrak{a}_{\mathrm{D}}{}^{\mathrm{D}})(\overline{\pi}_{\mathrm{U}}-&\Delta_{\mathrm{S}}{}^{\mathrm{D}})\\\pi_{\mathrm{U}}&=\mathfrak{a}_{\mathrm{U}}{}^{\mathrm{J}}\left(\overline{\pi}_{\mathrm{J}}+&\Delta_{\mathrm{S}}{}^{\mathrm{J}}\right)+\mathfrak{a}_{\mathrm{U}}{}^{\mathrm{D}}\left(\overline{\pi}_{\mathrm{D}}-&\Delta_{\mathrm{S}}{}^{\mathrm{D}}\right)+\\&(1-&\mathfrak{a}_{\mathrm{U}}{}^{\mathrm{J}}-&\mathfrak{a}_{\mathrm{U}}{}^{\mathrm{D}})\overline{\pi}_{\mathrm{U}}\end{aligned} $$

で示されるとする。つまり $ a_{j^{i}} $ をj国のi国財