Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
れらは簡単にもとめることができる。さらに

$$ I_{\mathrm{m}}-\frac{\partial f^{c}}{\partial y^{c}}]^{-1}\frac{\partial f^{c}}{\partial y^{\ell}} $$

は，(2.35)式を\frac{\partial y^{c}}{\partial y^{\ell}}について解いたものである

が， $ I_{m}-\frac{\partial f^{c}}{\partial y^{c}} $ が下三角行列であるために，

（2.35）式から簡単な代入法でもとめることができる。

関数 $ \psi $ のヤコビアン行列は以下のような数値微分の方法によっても計算することができる。

この時，ヤコビアン行列の（i,j）要素は，次式により計算される $ ^{注} $ 。

$$ \begin{aligned}\frac{\partial\phi_{i}}{\partial y_{m+j}}=&\frac{1}{h_{j}}\left\{\phi_{i}(y_{m+1},\cdots\cdots,\ y_{m+j}+h_{j},\right.\\&\cdots\cdots,\ y_{m+\ell})-\phi(y_{m+1},\cdots\cdots,\\&\left.y_{m+j},\ \cdots\cdots,\ y_{m+\ell}\right)\Big\}\\&(i,\ j=1,2,\cdots\cdots,\ \ell)\qquad&\text{(}\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}&y_{k}=f_{k}(y_{1},\cdots\cdots,\ y_{k-1},\ y_{m+1},\ y_{m+2}\\ &\quad\cdots\cdots,\ y_{m+\ell})\\ &\quad(k=1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ m)\\ &\psi_{i}(y^{\ell})=y_{i}-f_{i}(y_{1},\cdots\cdots,\ y_{m},\ y_{m+1},\\ &\quad\cdots\cdots,\ y_{m+\ell})\\ &\quad(i=m+1,\ m+2,\cdots\cdots,\ m+\ell)\\ \end{aligned} $$

本章における数値実験は（2.38）式による。

## 2 —4 モデル解法への応用

本節では，（1）ガウス・ザイデル法，（2）ニュートン法，（3）簡易ニュートン法の各手法を用いて，前章の構造解析の分析対象に用いた西独と

(注) 数值微分をより正確に求めるためには
$ \frac{\partial\varphi_{i}}{\partial y_{m+j}}=\frac{1}{2h_{j}}\left\{\varphi_{i}(y_{m+1},\cdots,y_{m+j}+h_{j},\cdots,\ y_{m+\ell})-\varphi_{j}(y_{m+1},\cdots,y_{m+j}-h_{j},\cdots,\ y_{m+\ell})\right\} $
とする方が望ましい。しかし，この場合に（2.38）式を2回づつ計算することが必要であり，その分計算時間を必要とする。
今回の実験では， $ h_{j}=y_{j}/1000 $ としている。

日本のモデルを実際に解き比較検討する。さらに，モデル解法における構造解析の有用性を評価するために，西独と日本の個々のモデルについて，以下の三つのモデルを対象とする。

(i) 構造解析を行なわないモデル。

(ii) 前方三角化と後方三角化のみを行い中間ブロックについては構造解析を行なわないモデル。

(iii) 前方三角化と後方三角化を行ない，中間ブロックをコアブロックとループブロックに分割したモデル。

(i) は，図1.6と1.7の構造を示すモデルであり，以下では標準モデルとよぶ。(ii) においては，構造解析の手法にかかわらず，中間プロックと非中間プロックに属する変数グループは同一である。中間プロックの大きさは，西独モデルで71本，日本モデルで113本の連立方程式体系である。(iii) は，構造解析の手法によりループ変数の個数が異なる。そこで，本節では，西独モデルについてはStewardの結果を用いるループ変数10個を選択する。一方，日本モデルについてはNepomiastchy・Ravelliの結果を用いるループ変数16個を選択する。以下では，(ii) をプロック化モデル，(iii) をループ化モデルとよぶ。プロック化モデルとループ化モデルの解法に際しては，前方三角化プロック，すなわちプロローグプロックを逐次的に解き，次いで中間プロック

表2.1 モデル別方程式数

標準モデル	プロック化モデル	ループ化モデル
西 独
モデル	84	1	1
71	61
10
12	12
日 本
モデル	152	14	14
113	97
16
25	25
を各解法の手続に従って解く。最後に後方三角化プロック，すなわちエピローグブロックを逐次的に解く。本節で用いる計算量は，全ての内生変数の解が確定するまでに必要とされる量を意味する。各モデルごとの方程式の本数は，表2.1に示される。

モデルの各方程式は全て特定の変数について規準化され，ガウス・ザイデル法，ニュートン法，簡易ニュートン法で共通に用いられる。その表現形式は，

$$ \begin{aligned}y_{i}=&f_{i}(y_{1},y_{2};\cdots\cdots,y_{i-1},y_{i+1};\cdots\cdots,y_{G})\\&i=1,2,3,\cdots\cdots,G\quad(2.39)\end{aligned} $$

である。したがって，ニュートン法，簡易ニュートン法で必要とされるヤコビアン行列は，まず数値微分を用いて

$ i \neq j $ の場合

$$ \begin{aligned}\frac{\partial f_{i}}{\partial y_{j}}&=\frac{1}{h_{j}}\Big[f_{i}(y_{1},y_{2};\cdots\cdots,y_{j}+h_{j},\\&\quad\cdots\cdots,y_{G})\cdot f_{i}(y_{1},y_{2};\cdots\cdots,y_{j},\\&\quad\cdots\cdots,y_{G})\Big]\\&i,j=1\ 2\ 3;\cdots\cdots,G\quad(2.\end{aligned} $$

$ i=j $ の場合

$$ \begin{aligned}\frac{\partial f_{i}}{\partial y_{i}}&=1\\i&=1,2,3,\cdots\cdots,G\end{aligned} $$

が計算される。したがってヤコビアン行列は，

$$ (\frac{\partial G}{\partial y})_{ij}=\boldsymbol{\delta}_{ij}-(1-\boldsymbol{\delta}_{ij})\frac{\partial f_{i}}{\partial y_{i}} $$

$$ \delta_{_{ij}}=\left\{\begin{aligned}&1&&i=j\\ &0&&i\neq j\end{aligned}\right. $$

として求めることができる。

標準モデルとプロック化モデルにニュートン法，簡易ニュートン法を用いる場合，西独モデルでは，84×84あるいは71×71の次元を持つ行列，日本モデルでは，152×152あるいは113×113の次元を持つ行列からなる連立方程式体系を解く必要がある。本節では，LU分解に基づくDoolittleの手法を用いて解いている。

収束の判定は次の式による。

$$ \left|\frac{y_{i}^{k}-\mathbf{y}_{i}^{k-1}}{1+y_{i}^{k-1}}\right|<1.0\times10^{-a} $$

ここで， $ y_{i}^{k} $ は内生変数 $ y_{i} $ の k 回目の反復過程で得られる値である。本節では， $ \alpha = 4 $ ，6，8 の 3 通りについて解法およびモデルごとの計算量の大きさを比較する。また，モデルの構造に応じて収束判定に用いる変数は異なる。すなわち，標準モデルの場合は全ての変数，プロック化モデルの場合は中間プロックに属する変数，ループ化モデルの場合はループ変数について各々収束判定を行なう。

解法は，75年第I四半期から79年第IV四半期までの20期間について行なうが，各期ごとの先決変数（先決内生変数＋外生変数）は全て実績値が用いられる。

表2.2 西 独 モ デ ル で の 比 較

10^{-4}	10^{-6}	10^{-8}
G 法	N 法	S 法	G 法	N 法	S 法	G 法	N 法	S 法
標準モデル	27.0 (1,514)	3.1 (22,530)	3.9 (7,872)	38.0 (2,112)	4.0 (28,699)	4.8 (8,020)	48.2 (2,625)	4.1 (29,416)	5.8 (8,157)
カック化モデル	26.1 (1,422)	3.1 (16,046)	3.9 (5,732)	37.4 (2,003)	3.9 (20,164)	4.8 (5,875)	47.9 (2,517)	4.1 (20,934)	5.8 (6,033)
ループ化モデル	14.7 (847)	3.3 (2,446)	3.3 (944)	20.5 (1,142)	4.7 (3,487)	4.7 (1,024)	26.0 (1,439)	6.0 (4,359)	6.1 (1,108)

（注）1. $ 10^{-4} $ , $ 10^{-6} $ , $ 10^{-8} $ は収束判定条件を示す。

2. G法はガウス・ザイデル法, N 法はニュートン法, S 法は簡易ニュートン法である。

3. 上段は反復回数の平均，下段の（）内は，収束に要した計算時間（CPU：ミリ秒）の総量
表2.3 日本モデルでの比較

$ 10^{-4} $	$ 10^{-6} $	$ 10^{-8} $
G 法	N 法	S 法	G 法	N 法	S 法	G 法	N 法	S 法
標準モデル	16.3 (1,641)	3.4 (108,299)	4.3 (33,552)	21.4 (2,160)	4.1 (129,543)	5.5 (33,938)	27.1 (2,688)	4.8 (152,228)	6.5 (34,394)
プロック化モデル	14.5 (1,397)	3.2 (49,144)	4.3 (16,410)	20.0 (1,847)	4.0 (61,604)	5.3 (16,842)	25.5 (2,297)	4.6 (70,526)	6.3 (17,165)
ループ化モデル	10.8 (1,060)	3.0 (4,103)	3.0 (1,665)	15.3 (1,456)	3.0 (4,269)	3.7 (1,755)	19.3 (1,846)	3.3 (4,606)	4.6 (1,834)

表2.4 西 独 モ デ ル

- ガウス・ザイデル法-

収束条件	10-4	10-6	10-8
モデル区分	S	B	L	S	B	L	S	B	L
75 1	30	30	17	40	40	23	47	47	25
2	25	24	14	35	35	20	46	45	26
3	25	25	15	36	36	21	46	46	26
4	27	22	13	37	33	19	44	43	25
76 1	26	26	14	36	36	19	47	47	26
2	25	25	15	39	39	22	49	49	26
3	31	31	16	41	41	23	51	51	27
4	26	26	16	40	40	21	50	50	28
77 1	25	25	13	35	35	20	46	46	24
2	26	26	13	36	36	19	47	47	25
3	24	24	14	35	35	19	45	45	26
4	28	24	14	45	37	20	52	48	26
78 1	24	24	11	35	35	17	45	45	23
2	27	27	14	37	37	18	50	50	25
3	26	26	16	36	36	20	49	49	27
4	26	26	15	37	37	21	47	47	27
79 1	26	26	16	39	39	21	50	50	28
2	30	30	17	44	44	24	54	54	28
3	30	30	17	40	40	23	50	50	28
4	25	25	13	37	37	20	48	48	24
平均イタレーション回数	27.0	26.1	14.7	38.0	37.4	20.5	48.2	47.9	26.0
CPUタイム(ms)	1,514	1,422	847	2,112	2,003	1,142	2,625	2,517	1,439

(注) モデル区分で, S は標準モデル, B はブロック化モデル, L はループ化モデルである。

CPU時間の単位はミリ秒
各解法の反復計算を始める際には，変数について何らかの初期値を必要とする。ただし，初期値を必要とする変数はモデルの構造に依存する。標準モデルでは，モデルの構造に関する先験的情報がないため，全ての変数について初期値を与える必要がある。

一方，ブロック化モデルでは，プロローグとエピローグの各ブロックに属する変数については初期値を必要としないが，中間ブロックの構造に関する先験的情報がないため，そのブロックに属する変数については初期値が必要となる。ループ化モデルの場合は，初期値を与える変数はループブロックに属する変数だけでなく，他のモデルと異なり必要とされる初期値の数は著しく少ない。なお，本節では初期値としては全て実績値を用いている。

計算機は富士通FACOM M－200システムで行ない，用いた言語はFORTRAN HEである。なお，実数については全て倍精度として扱い処理している。

表2.2と表2.3は実験の結果を要約したものである。なお，各期において解法に要した反復の回数は表2.4～2.9に示される。実験結果から得られる結論は次の通りである。

### 1. 構造解析と反復回数

ガウス・ザイデル法では，構造解析によ

表2.5 西 独 モ デ ル

-ニュートン法-

収束条件	10-4	10-6	10-8
モデル区分	S	B	L	S	B	L	S	B	L
75 1	4	4	4	4	4	5	4	4	6
2	3	3	3	4	4	4	4	4	6
3	3	3	4	4	4	5	4	4	7
4	3	3	4	4	3	5	4	4	6
76 1	3	3	3	4	4	5	4	4	6
2	3	3	4	4	4	5	4	4	6
3	3	3	3	4	4	5	4	4	6
4	3	3	3	3	3	4	4	4	6
77 1	3	3	3	4	4	5	4	4	5
2	3	3	3	4	4	4	4	4	6
3	3	3	3	4	4	5	4	4	6
4	3	3	4	4	4	5	4	4	6
78 1	3	3	4	4	4	5	4	4	6
2	3	3	3	4	4	4	4	4	6
3	3	3	3	4	4	4	4	4	6
4	3	3	2	4	4	4	4	4	6
79 1	3	3	3	4	4	5	4	4	6
2	4	4	3	4	4	5	5	5	6
3	3	3	3	4	4	4	4	4	6
4	3	3	3	4	4	5	4	4	6
平均イタレーション回数	3.1	3.1	3.3	4.0	3.9	4.7	4.1	4.1	6.0
CPUタイム（ms）	22,530	16,046	2,446	28,669	20,164	3,487	29,416	20,934	4,359
り，与える初期値を少なくなるようにモデルを再構成すれば・反復の回数は減少する。一方，ニュートン法や簡易ニュートン法では，構造解析により反復回数が必ずしも減少しない。

### 2. 構造解析と計算時間

ガウス・ザイデル法では，反復回数の減少により計算時間が少なくなる。

一方，ニュートン法と簡易ニュートン法では，ヤコビアン行列の計算に要する時間が著しく減少するため，全体としての計算時間が少なくなる。

### 3. 収束判定条件と計算量

ガウス・ザイデル法では，収束判定条件を厳しくすれば，反復回数が増大しそれに比例して計算時間も増加する

一方，ニュートン法と簡易ニュートン法では，収束判定条件を厳しくしても反復回数の増加は少ない。特に簡易ニュートン法については，ヤコビアン行列の計算は各期について1回のみのため，反復回数が増加しても計算時間の増加は非常に少ない。

### 4. ニュートン法と簡易ニュートン法

両者は反復過程でヤコビアン行列を再計算するか否かの違いであるが，反復回数に大きな差がない。これは，与えられた初期

-簡易ニュートン法-

表2.6 西 独 モ デ ル

収束条件	$ 10^{-4} $	$ 10^{-6} $	$ 10^{-8} $
モデル区分	S	B	L	S	B	L	S	B	L
75 1	4	4	4	5	5	5	6	6	7
2	4	4	3	5	5	4	6	6	6
3	3	3	4	4	4	5	5	5	7
4	3	3	4	4	3	5	5	5	6
76 1	3	3	3	4	4	5	5	5	6
2	4	4	4	4	4	5	5	5	6
3	4	4	3	5	5	5	6	6	6
4	4	4	3	5	5	4	6	6	6
77 1	3	3	3	4	4	5	4	4	5
2	3	3	3	4	4	4	5	5	6
3	4	4	3	5	5	5	5	5	6
4	5	4	4	5	5	5	6	6	7
78 1	4	4	4	5	5	5	6	6	6
2	5	5	3	5	5	4	7	7	6
3	4	4	3	5	5	4	6	6	6
4	4	4	2	5	5	4	7	7	6
79 1	4	4	3	5	5	5	6	6	6
2	5	5	3	6	6	5	7	7	6
3	4	4	3	5	5	4	7	6	6
4	4	4	3	5	5	5	6	6	6
平均イタレーション回数	3.9	3.9	3.3	4.8	4.8	4.7	5.8	5.8	6.1
CPUタイム（ms）	7,872	5,732	944	8,020	5,875	1,024	8,157	6,033	1,108
値が解の近傍にあり，反復過程でのヤコビアン行列の変化が小さいことの表われである。

5. ガウス・ザイデル法と簡易ニュートン法

標準モデルやブロック化モデルのような

構造解析が十分でない方程式体系ではガウ

ス・ザイデル法が優位であるが，構造解析

を十分に行なうループ化モデルでは，ガウ

ス・ザイデル法と簡易ニュートン法に大き

な差はない。むしろ，収束判定条件を厳し

くすれば，簡易ニュートン法が優位となる

場合がある。

Gabay et al. [1980] によれば，収束判定条件が $ 10^{-4} $ より厳しくなればガウス・ザイデル法はニュートン法や簡易ニュートン法よりも計算時間が多くなることが示される。本章での分析は彼らの実験ほどには明確な結果を示すことはできていないが，ニュートン法や簡易ニュートン法が，大規模計量経済モデルでも十分利用可能であることを示した。

特に，次の2点を考慮すれば，ニュートン法と簡易ニュートン法のガウス・ザイデル法に対する優位性は今後の実験で十分実証可能と思われる。その第1は，ヤコビアン行列を計算するための数値微分の使用についてである。現在の計算機のソフトウェアの水準からすれば，数値

表2.7 日本 モ デ ル

- ガウス・ザイデル法-

収束条件	$ 10^{-4} $	$ 10^{-6} $	$ 10^{-8} $
モデル区分	S	B	L	S	B	L	S	B	L
75 1	24	17	12	29	23	16	34	29	21
2	16	15	12	22	20	16	27	27	20
3	16	15	11	21	20	15	27	25	19
4	17	14	12	20	20	17	28	24	21
76 1	16	15	12	21	21	17	27	27	21
2	17	14	12	19	19	16	24	24	21
3	14	14	7	19	19	10	26	24	14
4	15	14	11	22	19	16	27	24	20
77 1	15	14	11	21	19	15	26	25	20
2	15	14	10	20	19	14	25	24	19
3	18	18	10	21	21	15	29	25	20
4	16	13	10	21	18	14	25	24	19
78 1	15	13	8	22	19	12	29	24	17
2	17	17	13	22	22	18	28	28	23
3	17	15	12	22	22	17	28	28	21
4	14	13	11	21	20	16	26	25	20
79 1	15	13	9	20	18	14	26	23	18
2	15	13	10	20	18	15	24	24	20
3	18	13	9	23	21	14	28	27	19
4	16	16	14	22	22	19	28	28	23
平均イタレーション回数	16.3	14.5	10.8	21.4	20.0	15.3	27.1	25.5	19.3
CPUタイム（ms）	1,641	1,397	1,060	2,160	1,847	1,456	2,688	2,297	1,846
微分よりも数式処理による解析的微分の方法が正確で計算時間も少ない。このことは，Nepomiastchy・Ravelli [1978] で示される結果をみても明らかである。第2は，次世代の計算機では，アレイプロセッサーによる並行処理が主流になる点である。このような処理は，ガウス・ザイデル法に対しては何らの利益をもたらさないが，ニュートン法や簡易ニュートン法を用いる際の数式処理や逆行列の計算時間を大幅に短縮する効果をもつと考えられている。

表2.8 日本 モ デ ル

-ニュートン法-

収束条件	$ 10^{-4} $	$ 10^{-6} $	$ 10^{-8} $
モデル区分	S	B	L	S	B	L	S	B	L
75 1	4	3	3	5	4	3	6	5	3
2	4	3	3	4	4	3	5	4	3
3	3	3	2	4	4	3	4	4	3
4	3	3	3	4	4	3	5	5	3
76 1	3	3	3	4	4	3	5	5	3
2	4	3	3	4	4	3	5	5	3
3	3	3	3	4	4	3	4	4	3
4	3	3	3	4	4	3	5	5	3
77 1	4	4	3	4	4	3	5	5	4
2	3	3	3	4	4	3	4	4	3
3	3	3	3	4	4	3	5	5	3
4	3	3	3	4	4	3	5	4	3
78 1	3	3	3	4	4	3	4	4	4
2	4	4	3	4	4	3	5	5	3
3	4	4	3	4	4	3	5	5	4
4	3	3	3	4	4	3	5	5	4
79 1	3	3	3	4	4	3	4	4	3
2	3	3	3	4	4	3	4	4	4
3	4	3	3	4	4	3	5	5	3
4	4	4	3	4	4	3	5	5	4
平均イタレーション回数	3.4	3.2	3.0	4.1	4.0	3.0	4.8	4.6	3.3
CPUタイム(ms)	108,299	49,144	4,103	129,543	61,604	4,269	152,228	70,526	4,606
表2.9 日本 モ デ ル

-簡易ニュートン法-

収束条件	10-4	10-6	10-8
モデル区分	S	B	L	S	B	L	S	B	L
75 1	6	5	3	8	6	3	9	7	4
2	4	4	3	5	5	4	6	6	5
3	4	4	2	5	5	3	6	6	4
4	4	4	3	5	5	3	6	6	4
76 1	4	4	3	5	5	3	6	6	4
2	4	4	3	6	5	3	7	6	4
3	4	4	3	6	6	4	6	6	4
4	4	4	3	5	5	4	6	6	4
77 1	4	4	3	5	5	4	6	6	4
2	4	4	3	5	5	3	6	6	4
3	5	5	3	5	5	3	6	6	4
4	4	4	3	5	5	4	6	6	4
78 1	4	4	3	5	5	4	6	6	5
2	5	5	3	6	6	4	7	7	4
3	5	5	3	6	6	4	7	7	5
4	4	4	3	5	5	4	6	6	4
79 1	4	4	3	5	5	4	6	6	5
2	4	4	3	5	5	4	6	6	5
3	4	4	3	6	6	4	8	7	5
4	5	5	3	6	6	4	8	8	5
平均イタレーション回数	4.3	4.3	3.0	5.5	5.3	3.7	6.5	6.3	4.6
CPUタイム(ms)	33,552	16,410	1,665	33,938	16,842	1,755	34,394	17,165	1,834

## 第3章 大規模計量経済モデルの推定

## 3 —1 同時推定法について

前章で扱われた日本経済モデルが示すように，実際に用いられる計量経済モデルの多くは100本を超える大規模連立方程式体系により構成される。さらに，各国の経済モデルを結合して作られる世界経済モデルは，2,000本を超える規模となる。このような大規模計量経済モデルを作成するうえでの重要な問題の1つは，個々の構造方程式のパラメータをどのように推定すればよいかという点にある。パラメータを推定するための1つの方法である最小二乗推定量は，一致性を持たないことが知られている。すなわち，各方程式における説明変数と確率的誤差項が独立でない同時方程式体系では，最小二乗推定量はたとえ標本数が無限に利用可能であっても真のパラメータに確率収束する性質を持たない。それに対し，操作変数法・二段階最小二乗法・制限情報最尤法などの一致性を持ついくつかの推定量が提案されている。
しかしながら，一致性という推定量としての望ましい性質は標本数が無限の場合に意味のあるものであり，標本数が50前後の小標本については別の評価基準で推定量を比較する必要がある。一方，大規模計量経済モデルは第1章で述べたように方程式と変数の関係が疎（Sparse）であり，過剰識別の程度が著しく高いことが知られている。さらに，外生変数の数が標本数と比較して著しく多いために．二段階最小二乘法や制限情報最尤法を単純に適用することが不可能である。本章では，大規模計量経済モデルのこのような性質を考慮したいくつかの推定方法を用いて，日本経済モデルを若干簡略化したモデルを推定し比較を試みる。

一般性を失うことなく，同時方程式体系のなかの任意の一本の方程式を次のように表わす。

$$ \begin{aligned}y_{1}=&Y_{1}\ \beta_{1}+X_{1}\gamma_{1}+u_{1}\\&y_{1}: 従属変数 (T\times1)\\&Y_{1}: 内生変数 (T\times G_{1})\\&X_{1}: 外生変数 (T\times K_{1})\\&u_{1}: 攪乱項 (T\times1)\\&\beta_{1}: パラメータ (G_{1}\times1)\\&\gamma_{1}: パラメータ (K_{1}\times1)\end{aligned} $$

とする。さらにモデルに含まれる全ての外生変数をXとし

$ X \equiv \left[ X_{1}, X_{2} \right] $

と表わす。ここで， $ X_{2} $ は（3.1）式からゼロ制約により除かれる外生変数である。なお， $ X_{2} $ は（ $ T \times K_{2} $ ）行列である。いま，構造方程式（3.1）のパラメータ $ \beta_{1} $ ， $ \gamma_{1} $ に関する推定量を $ \hat{\beta}_{1} $ ， $ \hat{\gamma}_{1} $ とし，次の式を用いて計算する。

$$ \begin{aligned}(\hat{\beta}_{1})=&[\begin{array}{ll}Y_{1}^{\prime}Y_{1}-kV_{1}^{\prime}V_{1}&Y_{1}^{\prime}X_{1}\end{array}]^{-1}\\&\begin{array}{l}X_{1}^{\prime}Y_{1}\\ (Y_{1}-kV_{1})^{\prime}y_{1}\end{array}]\\&\begin{array}{l}X_{1}^{\prime}y_{1}\end{array}\end{aligned} $$

ここで,

$$ V_{_{1}}=\left[\begin{array}{l}I-X(X^{\prime}X)^{-1}X^{\prime}\end{array}\right.\left.\begin{array}{l}Y_{_{1}}\end{array}\right. $$

とする。 $ V_{1} $ は $ (T\times G_{1}) $ 行列であり，(3.1)式の右辺の内生変数 $ Y_{1} $ をモデルに含まれる全ての外生変数Xへ回帰させ，その結果として得られる残差行列である。一方，kは任意の定数で，(3.2)式で得られる $ \hat{\beta}_{1} $ ， $ \hat{\gamma}_{1} $ はkクラス推定量とよばれる。

k = 0 であれば，最小二乗推定量（OLSQ : Ordinary Least Squares Estimator）となる。

$$ \begin{array}{c}(\hat{\beta}_{1})_{\mathrm{OLSQ}}=\left[\begin{array}{cc}\mathrm{Y}_{1}^{\prime}Y_{1}&Y_{1}^{\prime}X_{1}\\\mathrm{X}_{1}^{\prime}Y_{1}&X_{1}^{\prime}X_{1}\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c}Y_{1}^{\prime}y_{1}\\X_{1}^{\prime}y_{1}\end{array}\right]\end{array} $$

一方，k=1であれば二段階最小二乗推定量（TSLS：Two Stage Least Squares Estimator）となる。

$$ \begin{aligned}(\hat{\beta}_{1}\big|_{\hat{\gamma}_{1\text{ TSLS}}}=&[\begin{array}{ll}Y_{1}^{\prime}X(X^{\prime}X)^{-1}X^{\prime}Y_{1}&Y_{1}^{\prime}X_{1}\end{array}]^{-1}\\&X_{1}^{\prime}Y_{1}\quad X_{1}^{\prime}X_{1}\\&Y_{1}^{\prime}X(X^{\prime}X)^{-1}X^{\prime}y_{1}\end{aligned} $$

さらに,

$$ \begin{aligned}&W{=}(y_{1},\ Y_{1}[\prime\ I{-}X(\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{X})^{-1}X^{\prime}](y_{1},\ Y_{1})\\&W^{*}{=}(y_{1},\ Y_{1}[\prime\ I{-}X_{1}(\mathbf{X}_{1}^{\prime}\mathbf{X}_{1})^{-1}X_{1}^{\prime}]\\&\quad(y_{1},\ Y_{1})\\ \end{aligned} $$

とするとき,

$$ \left|W^{*}-\ell W\right|=0 $$

を満たす根$\ell$のなかで最小値$\hat{\ell}$を探し$k=\hat{\ell}$とすれば，制限情報最尤推定量（LIML：Limited Information Maximum Likelihood Esti-

$$ \begin{aligned}(\hat{\beta}_{1})_{\substack{\hat{\gamma}_{1\text{LIML}}}}=&[\begin{array}{ll}Y_{1}^{\prime}Y_{1}-\hat{\ell}V_{1}^{\prime}V_{1}&Y_{1}^{\prime}X_{1}\end{array}]^{-1}\\&(Y_{1}-\hat{\ell}V_{1})^{\prime}y_{1}\end{aligned} $$

k クラス推定量に属するこれらの推定量のうち，最小二乗推定量は一致推定量でない。一方，二段階最小二乗推定量と制限情報最尤推定量については，次の性質のあることが明らかにされている。

(i) 二段階最小二乗推定量と制限情報最尤推定量は，漸近的に同等である。

(ii) 二段階最小二乗推定量は，小標本の場合には $ (K_{2}-G_{1}) $ 次のモーメントまで存在する。(Sawa [1969])

(iii) 制限情報最尤推定量は，小標本の場合には一次のモーメント（期待値）すら存在し
ない。(Sawa [1972])

(ii) と (iii) は, Summers [1965] らの仮想モデルによるモンテカルロ実験によっても確かめられている。すなわち, 二段階最小二乗推定量と制限情報最尤推定量を比較すると, 前者の方法により推定されるパラメータは後者の方法で推定されたものより安定的であると言える。実際, 計量経済モデルを制限情報最尤法により推定すると, 推定値が「爆発現象」を起す場合のあることが知られている。そのため, 二段階最小二乗推定量の方が制限情報最尤推定量よりも安定的な推定値を与えるという意味で望ましいとされた。

一方，大規模計量経済モデルを推定すると最小二乗推定量と二段階最小二乗推定量はしばしば近い値を示すことから，小標本の場合には最小二乗推定量で十分ではないかという推測が生まれた。

しかし, 大規模計量経済モデルの推定方法に関する理論的な発展は, 次の点を明らかにした。

(iv) 大規模計量経済モデルにおいては, 制限情報最尤推定量の小標本バイアスは, 二段階最小二乗推定量より小さい場合がある。 (Kadane [1971])

$\hat{\ell}$ は制限情報最尤推定量で用いる値であり，$T$ は標本数，$K$ はモデルに含まれる外生変数の数，$\alpha$ は修正係数である，$\alpha=0$ であれば，制限情報最尤推定量である。バイアス，すなわち$E(\hat{\beta}_{1}) - \beta_{1}$ を最小とする場合は $\alpha=1$，平均二乗誤差すなわち$E(\hat{\beta}_{1}-\beta_{1})^{2}$ を最小とするためには $\alpha=4$ とする。

(vi) 大規模計量経済モデルにおいては, 最小二乗推定量と二段階最小二乗推定量の小標本

分布は互いに似ている。(Kunitomo [1981])

(v) と (vi) は, 大規模計量経済モデルを実際に推定して得られる経験的事実と一致する。Morimune [1978] は, 同時方程式体系を推定するための推定量の小標本バイアスを消去するために, 制限情報最尤推定量と二段階最小二乗推定量の結合推定量を提案している。それは, $ L=K_{2}-G_{1} $ とすれば,

$$ (\hat{\beta}_{1})_{=}\frac{L-1}{L}(\hat{\beta}_{1})_{_{\hat{\gamma}_{1}\text{LIML}}}+\frac{1}{L}(\hat{\beta}_{1})_{_{\hat{\gamma}_{1}\text{TSLS}}} $$

となる。Lはその方程式から除かれている外生変数の数 $ (K_{2}) $ から含まれている内生変数の数 $ (G_{1}) $ を引いたものである。大規模計量経済モデルではLは著しく大きく，この結合推定量は制限情報最尤推定量に近いものとなる。このように，最近の大規模計量経済モデルの推定方法についての理論は，制限情報最尤推定量の優位性を示す方向にある。しかし，制限情報最尤推定量の小標本分布自体はその裾野が広く，(iii)の理由で推定値の「爆発現象」を避けることができない。

(3.6)式の結合推定量はそれを回避するための有力な方法であるが，それとは別にFuller [1977]は，制限情報最尤推定量を次のように修正する提案を行っている。

$$ \begin{aligned}\begin{pmatrix}\hat{\beta}_{1}\\\hat{\gamma}_{1}\end{pmatrix}=&\begin{pmatrix}Y_{1}^{\prime}Y_{1}-(\hat{\ell}-\frac{\alpha}{T-K})V_{1}^{\prime}V_{1}&Y_{1}^{\prime}X_{1}\\X_{1}^{\prime}Y_{1}&X_{1}^{\prime}X_{1}\end{pmatrix}^{-1}\\&\begin{pmatrix}(Y_{1}-(\hat{\ell}-\frac{\alpha}{T-K})V_{1}^{\prime}y_{1}\\X_{1}^{\prime}y_{1}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

## 3 －2 大規模計量経済モデル推定における諸問題

大規模計量経済モデルを推定する際に生ずる問題は，（1）モデルが通常非線型体系となる，（2）モデルに含まれる外生変数の数が標本数を上回る点にある。さらに，（3）各方程式と変数の関係が疎（Sparse）であるという特徴がある。

まず，非線型性については，大規模計量経済モデルの非線型性は変数についてであり，パラメータ一に関しては多くの場合線型である点を
考慮する必要がある。すなわち，モデルの各構造方程式は一般性を失うことなく，

$$ y_{1}=F_{1}(Y_{1})\beta_{1}+X_{1}\gamma_{1}+u_{1} $$

と表わすことができる。 $ F_{1}(Y_{1}) $ は，内生変数に関する非線型性を表わすものである。

一方，外生変数 $ X_{1} $ に非線型部分があれば，その部分を新たな変数として再定義すれば（3.8）式は不変である。一方，内生変数と外生変数が混存する場合も，新たな内生変数として再定義すればよい。この場合，kクラス推定量は一般に次のようになる。

$$ \begin{aligned}(\hat{\beta}_{1})=[\begin{array}{cc}F_{1}^{\prime}F_{1}-kV_{1}^{\prime}V_{1}&F_{1}^{\prime}X_{1}\end{array}]^{-1}\ $ \hat{\gamma}_{1}^{\prime})=[X_{1}^{\prime}F_{1}&X_{1}^{\prime}X_{1}\end{aligned} $$

（3.9）式で得られる推定量は漸近的有効性を持たない可能性があるが一致性は持つ。

次に，モデルに含まれる全ての外生変数の数が標本数を上回る問題である。この場合は行列 $ (XX) $ が非特異となり，逆行列を求めることが不可能となる。そのため，kクラス推定量の第1段階で必要な内生変数を外生変数へ回帰させ残差行列 $ V_{1} $ を求めることができなくなる。

この問題を解決するための方法の1つは，外生変数の数を何らかの方法で少なくして推定するものである。Kloek－Mennes [1960] は，主成分を用いて外生変数を縮約する方法を提案している。主成分をとる方法としては次の3通りが考えられる。

(i) 構造方程式から除かれる外生変数 $ X_{2} $ の主成分をとる。

(ii) モデルに含まれるすべての外生変数Xの主成分をとる。

(iii) $ X_{2} $ を構造方程式に含まれる外生変数 $ X_{1} $ へ回帰させ，その残差行列の主成分をとる。

一般に, (i) あるいは (iii) が望ましいとされるが, 各方程式ごとに主成分をとる必要があり, 計算量が著しく増大する。そのため, (ii) の方法による縮約が一般的に用いられる。主成分手法を用いる際に注意すべき点は, McCarthy [1971] が指摘しているように, k クラス推定量が一致推定量となるためには, 残差行列 $ V_{1} $ を計算する際にその構造方程式に含まれる外生変数 $ X_{1} $ が回帰変数として用いられることが必要である。すなわち, 計算された主成分のうち固有値の大きい順に m 個を選びそれを $ P_{m} $ とすれば, 内生変数 $ Y_{1} $ を $ Z = (P_{m}, X_{1}) $ へ回帰させることである。したがって, (3.9) 式の残差行列 $ V_{1} $ は,

$$ V_{1}=[I-Z(Z^{\prime}Z)^{-1}Z^{1}]Y_{1} $$

となる。

外生変数を縮約する方法としては，他にFisher [1965]が提案するモデルの因果構造に関する情報に基づいて操作変数の選択を行なうものがある。操作変数として望ましい性質は，その構造方程式の攪乱項と独立であり，右辺の内生変数 $ Y_{1} $ と相関の高いことである。外生変数の主成分へ回帰させるのも， $ Y_{1} $ の推計値 $ \hat{Y}_{1} $ がそのような性質を持つからである。Fisherは内生変数 $ Y_{1} $ を決定する構造方程式に注目し，そこに含まれる外生変数を第1順位の操作変数と考える。さらに，それらの各方程式の右辺に含まれる内生変数を決定する構造方程式に含まれる外生変数を第2順位の操作変数とする。以下同様にして推定される構造方程式に直接あるいは間接に影響する外生変数について因果方向に従う順位を明らかにする。次に，その順位に従い操作変数として望ましい性質を持つ外生変数を選択する。Fisherの方法はモデルの構造を重視する操作変数の選択方法であり，第1章で述べた構造解析と密接に関連する。ただ，1国モデルの構造はそれ自体としては比較的簡単であるため，操作変数の選択基準としては効率的でないが，世界経済モデルのような各国経済を結合して作成されるモデルでは，各国の構造方程式の推定に際しては，操作変数としてはその国のモデルに含まれる外生変数を考慮すれば十分であることが示唆される。
主成分を用いる方法も，Fisherの方法もいずれも第1段階での残差行列の計算を縮約された外生変数を用いて行なう。このような推定量は一致推定量であるが漸近的に有効な推定量とはならない。そこで，Brundy・Jorgenson [1974]とDhrymes [1971]は，操作変数推定法を2回繰り返す方法で漸近的に有効な推定量の得られることを明らかにした。これは，まず，(1)何らかの方法で外生変数を縮約して操作変数として推定を行なう。(2)推定された係数に基づいてモデルを解き，その推計値を $ \tilde{Y}_{1} $ とする。(2) $ \tilde{Y}_{1} $ を操作変数として推定を行なう。

次に，各方程式と変数間の関係が疎である点についてである。これは，Fisherの方法とも密接に関連することであるが，モデルの構造解析によるブロック分割化は，推定作業を大幅に簡略化する可能性がある。すなわち，第1章で述べた事実によれば，モデル体系は，プロローグブロック，中間ブロック，エピローグブロックに分割される。この時，各ブロックごとに分割された攪乱項が，ブロックが異なる場合に互いに独立であることを仮定できるならば，プロローグとエピローグの各ブロックに含まれる構造方程式の推定は，最小二乗推定法で十分である。したがって，同時方程式体系とは，第1章で述べた中間ブロックに対応するものとして考えれば十分である。

## 3 —3 日本経済モデルの同時推定

本節では，世界経済モデルにおける日本経済のマクロ計量モデル（方程式152本）を参考とし，それを簡略化したモデルの推定を行なう。方程式は111本であり，そのなかで行動方程式は47本，定義式は64本である。簡略化した部分は次の2点である。まず，国際資本移動と為替レート関係の全ての変数を外生扱いとする点である。これは，モデルを簡単化するために行なった処置である。次に，分布ラグを推定するためにしばしば用いられているシラーラグの推定を行なわない点である。これは，シラーラグのような分布ラグ推定量に関する同時推定理論が未開発であり，推定することができないためである。ラグウェイトを最小二乗推定量により先験的に与えるのも1つの方法であるが，この方法はパラメーターを著しく不安定にさせるため用いてはいない。本節で推定する簡略化された日本モデルの特徴の1つは，複雑な調整過程をシラーラグを用いて推定していない点にあるが，シミュレーション分析によるモデルの動学的特性は，原モデルと大きな差はない。

本節では推定方法として，（1）最小二乗推定量（OLSQ），（2）二段階最小二乗法（TSLS），（3）制限情報最尤法（LIML），（4）Fullerの修正制限情報最尤法（LIML4：修正係数 $ \alpha=4 $ ）の4種類を用いて比較する。モデル構造は全ての推定方法に関して同一であり，構造の特定化は最小二乗法の推定結果を参考とし，他の同時推定法による推定結果をフィードバックさせていない。推定期間は，特定の構造方程式を除いて概ね1968年第I四半期から1978年第IV四半期までの44四半期のデータを用いて推定する。

外生変数の個数は79であり，標本数44を上回る。そのため，本節では外生変数を縮約する方法として主成分を用いる。主成分は79個の外生変数とモデルの先決内生変数の全てについて計

表3.1 外生変数の固有値分析

固有值	寄与率	累積寄与率
1	25.22	63.05	63.05
2	5.16	12.90	75.95
3	2.53	6.31	82.26
4	2.02	5.05	87.31
5	1.48	3.71	91.02
6	0.97	2.43	93.45
7	0.57	1.43	94.88
8	0.51	1.29	96.17
9	0.35	0.88	97.05
10	0.29	0.72	97.77
11	0.25	0.70	98.40
12	0.15	0.38	98.78
13	0.10	0.26	99.04
14	0.07	0.18	99.22
15	0.06	0.16	99.38
算することが望ましいが，本節では先決内生変数は除いて主成分を計算している。表3.1は主成分を固有値の大きさの順に15個抽出したものである。本節では最初の11個の主成分を用いて推定を行なう。11個の主成分の外生変数全体に対する変動寄与率は98.4%である。

表3.2～3.18は，主要な構造方程式について上記の4種類の異なる推定方法を用いた推定結果を示す。制限情報最尤法で推定する際に生ずる「爆発現象」が，有効求人倍率（VA），民間企業在庫デフレータ（PIIP）と金融債利回り（RSEC）などのモデルで比較的重要な役割を果す変数に集中して発生する。「爆発現象」は表3.10のPIIPのように残差平方和が著しく増大し，係数の有意性が低下するものと，表3.9のVAや表3.15のRSECのように残差平方和そのものはあまり変化しないものの，各パラメータの有意性が著しく低くなり，さらにパラメータの符号が変化するものもある。特に，後者のような事例は民間消費支出（C），民間企業在庫投資（IIP），鉱工業生産指数（O）などでも観測される。

表3.2 C: 民間消費支出

OLSQ	TSLS	LIML	LIML 4
constant	-0.6428	-0.7341	-1.0746	-0.7891
(2.5)	(2.5)	(1.9)	(2.5)
$ \log YD/PC \cdot 100 $	0.2769	0.3687	0.6748	0.4184
(4.6)	(3.0)	(2.0)	(2.8)
$ \dot{PC}^{3} \log YD/PC \cdot 100 $	-6.3542	-5.5092	-4.0247	-5.2307
(4.7)	(3.2)	(1.4)	(2.8)
$ \log NW_{-1}/ [PC/(1+RSEC) \cdot 100] $	0.1095	0.1271	0.1878	0.1370
(4.3)	(3.7)	(2.5)	(3.6)
$ \log C_{-1} $	0.6552	0.5503	0.2012	0.4936
(9.4)	(4.0)	(0.5)	(2.9)
$ \overline{R}^{2} $	0.998	0.998	0.996	0.998
SE	0.0075	0.0077	0.0113	0.0080
DW	2.262	2.181	2.125	2.145

表3.3 IHP: 民間住宅投資

OLSQ	TSLS	LIML	LIML 4
constant	-1.1363	-1.2146	-1.2662	-1.2068
(2.5)	(2.5)	(2.5)	(2.5)
$ \log YD / PIHP \cdot 100 $	0.8979	0.9039	0.9079	0.9033
(22.9)	(21.6)	(20.7)	(21.7)
PIHP $ \log YD / PIHP \cdot 100 $	0.1162	0.1551	0.1740	0.1522
(3.9)	(3.3)	(3.1)	(3.3)
RSEC - PA	-0.0082	-0.0067	-0.0059	-0.0068
(4.8)	(2.8)	(2.2)	(2.9)
D 732	0.1272	0.1302	0.1320	0.1299
(3.8)	(3.7)	(3.6)	(3.7)
D 742	-0.1521	-0.1397	-0.1331	-0.1407
(4.2)	(3.5)	(3.1)	(3.5)
$ \overline{R}^{2} $	0.947	0.944	0.940	0.944
SE	0.0322	0.0332	0.0343	0.0331
DW	2.470	2.636	2.654	2.625
表3.4 IFP: 民間企業設備投資

OLSQ	TSLS	LIML	LIML 4
constant	0.3344	1.0202	2.1196	1.9710
(0.5)	(1.4)	(2.5)	(2.4)
$ \sum_{0}^{4}\log $ GNP/KFP $ _{-1} $	0.8093	0.9142	1.0824	1.0597
(8.1)	(8.3)	(8.2)	(8.2)
$ \sum_{0}^{4}\log $ YW/TS	0.4870	0.6384	0.8811	0.8483
(3.4)	(4.1)	(4.7)	(4.6)
$ \sum_{0}^{4}\left(RSEC-\dot{PA}\right) $	-0.7210	-0.8379	-0.9965	-0.9768
(3.6)	(3.9)	(4.0)	(4.0)
$ \overline{R}^{2} $	0.952	0.950	0.941	0.943
SE	0.0691	0.0703	0.0765	0.0754
DW	0.981	0.963	0.842	0.862

表3.5 IIP: 民間企業在庫投資

OLSQ	TSLS	LIML	LIML 4
constant	4792	3967	3763	3908
(4.1)	(3.0)	(2.8)	(3.0)
O	133.0	145.0	148.3	145.9
(4.5)	(4.3)	(4.3)	(4.3)
C+CG-IFP+IHP+XG+IG	-0.1424	-0.1278	-0.1245	-0.1268
(9.9)	(8.1)	(7.7)	(8.0)
MG	0.3412	0.1689	0.1263	0.1566
(2.2)	(0.9)	(0.7)	(0.9)
$ \overline{R}^{2} $	0.740	0.730	0.725	0.729
SE	770.0	784.7	792.5	786.8
DW	1.763	1.841	1.840	1.839

一方，爆発現象を生ずる構造方程式も，Fullerの修正制限情報最尤法を用いて推定すれば，そのような事態が生じないことが確認される。このことから，Fullerの修正法が安定的な制限情報最尤推定量をもたらすことが分かる。

次に，最小二乘法（OLSQ），二段階最小二乘法（TSLS）とFullerの制限情報最尤法（LIML4）の各々の推定方法に基づいて推定されたパラメータを持つモデルの比較を行なう。モデルの比較を行なうために4つの異なるシミュレーションを行ない，計算値と実績値の乖離を平均平方誤差（RMSE：Root Mean Square Errors）により評価する。

(I) 1975年第I四半期から1978年第IV四半期までの16期間について，右辺のすべての先決変数に実績値を代入して静学解を求める。

(Ⅱ) (I) の期間について，すべての外生変数に実績値を代入して動学解を求める。

(III) 1979年第I四半期から同年第IV四半期までの4期間について，右辺のすべての先決変数に実績値を代入して静学解を求める。

(IV) (Ⅲ) の期間について, すべての外生変数に実績値を代入して動学解を求める。

すなわち，(I)と(II)は標本期間内，(III)と(IV)は標本期間外でのモデルのパフォーマンスを評価するためのものである。表3.19は，上記の4種類のシミュレーションと，(I)および
表3.6 XG:財貨輸出

OLSQ	TSLS	LIML	LIML 4
constant	-5.5158
(8.0)	-5.5273
(7.5)	-5.6329
(6.7)	-5.6019
(6.9)
log TWMM	1.1285
(38.6)	1.1292
(38.3)	1.1292
(37.6)	1.1293
(37.8)
$ \sum_{0}^{5}\log(PXG/FXS/PWMU) $	-0.2333
(11.4)	-0.2330
(10.9)	-0.2345
(10.0)	-0.2339
(10.2)
GFKIP \#O	0.5277
(4.4)	0.5466
(3.9)	0.6004
(3.2)	0.5870
(3.3)
$ \overline{R}^{2} $	0.987	0.987	0.987	0.987
SE	0.0333	0.0333	0.0335	0.0335
DW	1.291	1.293	1.260	1.268

表3.7 MG: 財貨輸入

OLSQ	TSLS	LIML	LIML 4
constant	-0.9606	-0.7314	-0.5721	-0.6067
(1.8)	(1.3)	(1.1)	(1.1)
$ \log $ GNP	0.2189	0.1716	0.1389	0.1458
(2.2)	(1.7)	(1.3)	(1.4)
$ \log $ PGNP/PMG	0.0901	0.0994	0.1059	0.1045
(2.4)	(2.5)	(2.6)	(2.6)
$ \log $ MG $ _{-1} $	0.8303	0.8646	0.8884	0.8832
(11.3)	(11.3)	(11.3)	(11.3)
$ \overline{R}^{2} $	0.981	0.981	0.980	0.981
SE	0.0334	0.0335	0.0337	0.0336
DW	1.602	1.632	1.640	1.638

表3.8 O:鉱工業生産指数

OLSQ	TSLS	LIML	LIML 4
constant	-5.6088
(36.9)	-5.6432
(35.1)	-5.874
(23.6)	-5.806
(26.3)
log $ (CG+IFP+IHP+IG) $	0.5826
(11.3)	0.6196
(10.5)	0.7474
(7.7)	0.7173
(8.5)
log ∑14(C+XG)	0.3365
(7.1)	0.3068
(5.8)	0.2158
(2.6)	0.2359
(3.2)
PIIP-RC	0.00192
(5.8)	0.00174
(4.2)	0.00057
(0.63)	0.00091
(1.2)
KIP-VO-1	-0.00125
(10.6)	-0.00123
(9.7)	-0.00128
(6.9)	-0.00125
(7.6)
R²	0.993	0.993	0.989	0.991
SE	0.0139	0.0140	0.0176	0.0162
DW	0.969	1.002	0.879	0.936