Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
$$ -(a_{2}f_{t}-a_{3})=a_{4}s_{t}-a_{5} $$

したがって(3)——これは $ f_{t}=I_{b}+s_{t} $ として成立している——を用いて

$$ a_{2}(I_{b}+s_{t})-a_{3}+a_{4}s_{t}-a_{5}=0 $$

である。この式をみたす $ s_{t} $ の値（これを $ s^{*} $ とする）が定常状態における直物為替レートであり，

$$ \boldsymbol{s}^{*}=\frac{1}{a_{2}+a_{4}}(a_{3}+a_{5}-a_{2}I_{b}) $$

なる。(5)式において $ s_{t}=s_{t-1}=s^{*},I_{t-1}=I_{b} $ とすれば,定常状態においては資本流出量がゼロだったはずであることは直ちに導かれる。

## 資本移動関数

さて,上に定義した定常状態にあった経済がある期において内外金利差の変化というインパクトを蒙ったものとする。このようなインパクトは為替レートおよび資本移動量にどのような影響を与えるであろうか。この問題を以下では考えてみよう。

簡単化のため,予想将来直物レートの値は上のインパクトの前後を通じ常に一定である（定常的期待）ものとしよう。すると(1)，(2)において$a_{1}\cdot_{t}s_{t+1}$と$a_{1}\cdot_{t-1}s_{t}$は等しいから,(1)～(3)を用いて$s_{t}$に関する次の定差方程式を得る

$$ \begin{aligned}&(a_{1}+a_{2}+a_{4})s_{t}-a_{1}s_{t-1}-(a_{3}+a_{5})\\&=-a_{1}\varDelta I_{t}-a_{2}I_{t}\end{aligned} $$

ただし $ \Delta I_{t}=I_{t}-I_{t-1} $ (金利差の変化) である。

現在（t期）からτ-1期前にインパクト（金利差の変化）がおこってそれまでの定常状態が破壊されたものとしよう。更に，τ-1期前に生じたインパクト以外のインパクトはその後現在まで生じていないものとしよう。つまり，τ-2期前までは金利差は $ I_{b} $ であり，τ-1期以降現在に到るまでは金利差は $ I_{b}+\Delta I $ （ $ \Delta I $ はτ期前に生じた金利差の変化）であるものとする。

(7)式は各期において次のような形で成立しなくてはならない：

$$ \begin{aligned}&(a_{1}+a_{2}+a_{4})s_{t}-a_{1}s_{t-1}\\ &\begin{aligned}\\ &=0-a_{2}(I_{b}+\varDelta I)+(a_{3}+a_{5})\quad\quad\cdots\cdots(8)\\&(a_{1}+a_{2}+a_{4})s_{t-1}-a_{1}s_{t-2}\\ &\end{aligned}\\ \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}=&0-a_{2}(I_{b}+\varDelta I)+(a_{3}+a_{5})\bullet\bullet\bullet(8)-2\\&\vdots\\&(a_{1}+a_{2}+a_{4})s_{t-\tau+1}-a_{1}s_{t-\tau}\\=&-a_{1}\varDelta\mathbf{I}-a_{2}(I_{b}+\varDelta I)+(a_{3}+a_{5})\\&(a_{1}+a_{2}+a_{4})s_{t-\tau}-a_{1}s_{t-\tau-1}\\=&0-a_{2}I_{b}+(a_{3}+a_{5})\bullet\bullet\bullet(8)-(\tau+1)\\&(a_{1}+a_{2}+a_{4})s_{t-\tau-1}-a_{1}s_{t-\tau-2}\\=&0-a_{2}I_{b}+(a_{3}+a_{5})\bullet\cdots\cdots(8)-(\tau+2)\\&\vdots&\vdots\end{aligned} $$

上の諸式から,与件の変化からτ-1期を経過した現在における $ s_{t} $ 値を算出することができる。そのためには $ \lambda=\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}+a_{4}} $ と定義した固有

根 $ \lambda $ を用いて, $ \lambda^{0}=1 $ を(8)-1 に, $ \lambda^{1}=\lambda $ を(8)-2 に, $ \lambda^{\tau-1} $ を(8)- $ \tau $ にそれぞれ乗じて辺々を加え合わせればよい。結果は

$$ \begin{aligned}s_{t}&=-\lambda^{\tau}\varDelta I-\frac{a_{2}}{a_{1}+a_{2}+a_{4}}I_{b}\cdot\frac{1}{1-\lambda}\\&\quad-\frac{a_{2}}{a_{1}+a_{2}+a_{4}}\varDelta I\cdot\frac{1-\lambda^{\mathrm{t}}}{1-\lambda}\\&\quad+\frac{a_{3}+a_{5}}{a_{1}+a_{2}+a_{4}}\cdot\frac{1}{1-\lambda}\end{aligned} $$

となる $ ^{10)} $ 。この式は,利子率格差が変化して $ \tau-1 $ 期が経過した時の直物レートの値 $ s_{t} $ を示している。

利子率格差が変化して $ \tau-1 $ 期が経過したときの資本流入量 $ K_{t} $ は, (5) 式において

$ I_{t-1}=I_{b}+\Delta I $ とおいたものに(9)式を代入すれば求めることができる。その結果は,

$$ K_{t}=\frac{a_{4}(a_{1}+a_{2})}{a_{1}+a_{2}+a_{4}}\lambda^{t-1}\cdot\varDelta I,\lambda=\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}+a_{4}} $$

である。たとえば,利子率格差が変化した当座の期 $ (\tau-1=0) $ の資本移動量は上式で $ \tau=1 $ とおいたもの,すなわち

$$ \frac{a_{4}(a_{1}+a_{2})}{a_{1}+a_{2}+a_{4}}\Delta I $$

に等しい。

(10)式および(11)式はいくつかの興味ある事実を示している。第1に, $ a_{1},a_{2},a_{4} $ がいずれ
も正である場合,すなわち,投機の対期待投機収益率弾力性・輸出入者の先物（直物）為替需要の対先物（直物）レート弾力性がいずれも正の場合は $ 0<\lambda<1 $ であり,資本移動量は第4図のように時間が経つに従ってゼロに収束する。すなわち,一回かぎりの利子率格差の変化は資本移動量に一時的な影響を与えるのみであって,永続的な影響は与えない。

第2に,利子率格差が各期に次々と変化して行く一般の場合では,各期における利子率格差の変化に応じて(10)の右辺と同様の形をした項が(10)式につけ加わるので, $ K_{t} $ は一般的には過去の利子率格差の変化の関数としてあらわされることになる。

たとえば, $ \tau-1 $ 期前に $ \Delta I_{\tau-1}, \mu-1 $ 期前 $ (\tau-1 > \mu-1) $ に $ \Delta I_{\mu-1} $ だけの利子率格差の変化が生じたとすれば,

$$ \begin{aligned}&K_{t}=-\alpha\lambda^{\tau-1}\varDelta I_{\tau-1}-\alpha\lambda^{\mu-1}\varDelta I_{\mu-1}\\ &\quad(\alpha=\frac{a_{4}(a_{1}+a_{2})}{a_{1}+a_{2}+a_{4}})\ ,\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots(10)^{\prime}\\ \end{aligned} $$

となり, $ \tau-1 $ 期前から $ (\tau-1)-(\mu-1)=\tau-\mu $

期間は上式の左辺第1項のみが, それ以降は上式左辺の両方の項の和が, $ K_{t} $ を定める。したがって資本移動の時間的経路は第5図のOABC

DEのような経路になる。

第3に,このモデルの安定条件は一般に

$$ -1<\frac{a_{1}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}<1 $$

ならばみたされることが注意される。そのためのひとつの必要条件は $ a_{1}>0 $ なるとき

$$ a_{2}+a_{4}>0 $$

である。したがって $ T_{s} $ 曲線（その弾力性は $ a_{4} $ ）と $ T_{F} $ 曲線（その弾力性は $ a_{2} $ ）のいずれか一方が負の傾きを持っていることは必ずしもモデルの動学的不安定性を意味しない。しかし，

$ a_{2}+a_{4}<0 $ であれば， $ a_{1}>0 $ であるかぎりモ

デルは必ず不安定になる。

第4に,(10)(11)式から明らかなように,利子率格差が当初ゼロの状態から変化した場合を考えれば,その場合の資本移動量は利子率格差（その変化ではなく）の関数とともみなすことができる。すなわち

$$ K_{t}=\frac{a_{4}(a_{1}+a_{2})}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}\cdot\lambda^{\tau-1}\cdot(i-i^{*})\quad\cdots(10)^{} $$

と考えることができる。したがって,定常状態から出発して1回限りの利子率格差の変化を考える限り,資本移動は利子率格差自体の関数と考えても誤りではない。しかし,(10)式において $ a_{4}<0 $ , $ a_{1}>0 $ , $ a_{2}<0 $ （これは充分ありる場合である）とおけば解るように,自国金利の上昇が自国への資本流入をもたらすとは限らない。実際上記のようにおけば（ $ a_{2}+a_{4}>0 $ はみたされているものとして）

$$ \frac{a_{4}(a_{1}+a_{2})}{a_{1}+a_{2}+a_{4}}<0 $$

であり,自国金利iの上昇は自国からの資本流出 $ K_{t} $ は資本流入量として定義されていることに注意）をもたらすのである $ ^{11)} $ 。

第5に,以上に導出した資本移動関数はモデル(1)～(3)導出された誘導型であることに注意しよう。最初にも指摘したように資本移動関数の定式化は甚だ直感的に行われてきたにすぎない。しかし,我々がここで導出した誘導型関数は理
# 経済分析

第 112 号 昭和 63 年 7 月

計量経済分析再考

- より信頼性の高いモデル

作りのための推定手続き -

经济企画厅经济研究所编集
# 经 济 分 析

第 112 号

昭和63年7月

经济企画厅经济研究所

## 目 次

## 計量経済分析再考

はじめに ..... 1
第1部 計量経済分析の理論 - 基本的な考え方ならびにその診断と対策
第1章 計量経済分析の基本的な考え方 ..... 3
1 - 1. 理論研究と実証研究 ..... 3
1 - 2. 計量経済分析のステップ ..... 3
1 - 3. 統計手法の利用 ..... 5
第2章 結果の診断と対策 ..... 7
2 - 1. より信頼性の高い分析結果を得るための要件 ..... 7
第3章 経済企画庁経済研究所ドイツモデルの統計的性質の分析 ..... 10
3 - 1. 分析の目的 ..... 10
3 - 2. 分析の前提 ..... 10
3 - 3. 多重共線性 ..... 14
3 - 4. 残差の外れ値 ..... 14
3 - 5. 系列相関 ..... 22
3 - 6. 分散不均一 ..... 23
3 - 7. 同時性のバイアス ..... 24
3 - 8. 結論 ..... 30
第4章 計量経済モデル推定のフローチャート化.....30
第2部 計量マクロモデルの開発と評価
- 小型日本モデルの作成とそれを用いた実証研究
第5章 第2部の基本的な考え方.....37
5 - 1 . 分析目的と分析手法.....37
第6章 式の特定化.....39
6 - 1 . 式の特定化の意味.....39
6 - 2 . モデルの全体像.....39
6 - 3 . 各式の特定化.....40
第7章 推定期間の決定.....42
7 - 1 . 推定期間を決定するときの要因.....42
7 - 2 . 推定期間の決定.....42
第8章 データの収集・加工と検討.....42
8 - 1 . データの収集・加工.....42
8 - 2 . データの検討.....49
第9章 推定と検定.....53
9 - 1 . 推定作業の実際.....53
9 - 2 . 中間段階の推定結果.....53
9 - 3 . 自由度のチェック.....58
9 - 4 . 多重共線性.....58
9 - 5 . 残差の外れ値.....69
9 - 6 . 構造変化の問題.....85
9 - 7 . 系列相関の問題.....97
9 - 8 . 分散不均一.....103
9 - 9 . 係数の符号と大きさの検討.....104
9 - 10 . F値の検討.....104
9 - 11 . t値の検討.....105
9 - 12 . 残差の標準偏差.....105
第10章 同時性のバイアス.....105
10 - 1 . 同時推定の問題.....105
10 - 2 . 同時推定の結果.....106
第11章 モデルの性能の評価.....106
11 - 1 . 推定結果のまとめ.....106
11 - 2 . モデルの性能の評価.....119
11 - 3 . モデルの選択.....133
第12章 結論.....136
補論1 主成分分析を用いた経済変数の最近20年間の変動の分析.....139
補論2 季節変動の検討.....142
補論3 データに含まれる外れ値の検出.....148
補論4 推定に過大な影響を及ぼす観測値の検出.....159
参考文献.....168
巻末資料 第1部の分析に用いたドイツモデル.....173
# 計量経済分析再考

- より信頼性の高いモデル作りのための推定手続き -

## はじめに

計量経済モデル（以下単にモデルという）を用いた実証分析（以下単に計量経済分析という）に対して、今日非常に大きな批判が投げかけられている。計量経済分析は、1950年に発表されたクラインIモデル以来今日まで、大学、政府機関、民間の研究機関等において、景気予測、構造分析、シミュレーション分析あるいは経済政策の政策効果の分析などの多くの分野で用いられてきた。この間モデルは、より精密に現実を記述したいという願望のもとに次第に複雑化・大型化の途をたどり、総方程式数が数千にも達する非線形の大型モデルがいくつも開発されてきた。

しかし第1次石油危機以降の世界経済の不安定化に伴い、計量経済分析の結果と現実との乖離が如実に、否定し難いかたちで現われるようになり、計量経済分析に対する失望と批判は次第に高まっていった。そしてそれに呼応して時系列分析が計量経済分析に代わるものとして脚光を浴びるようになった。しかしこの時系列分析に対してもさまざまな視点から批判、反論が投げかけられており、現在のところ計量経済分析に代わりうる手法とはなりえていない。こうして現在では非常に強い批判を浴びつつも、ほかに有力な分析手法がないという消極的な理由によって、依然として計量経済分析が、大学、政府機関等を中心に根強く行われている。

また最近の現象として高性能のパーソナルコンピュータや分析用のソフトウェアが低価格で市販されるようになるにしたがい、誰でも手軽

ひろまつ

廣松

ふじわら

藤原直哉・若林芳雄

たけしいけだみのる実

毅・池田

やわかばやしよしお

に計量経済分析を行うことが可能となり、中小規模のモデル開発が再び盛んになってきている。しかし他方で計量経済分析からその中核をなす回帰分析をもはずして、あらかじめ想定した構造方程式の係数を外から与えるという手法も一部で用いられるようになってきている。

こうした計量経済分析の現状に対して、理論研究の面では同時推定法の分布理論やその他個々の分野で非常に大きな業績が見られるものの、実際に計量経済分析を行う段階になると実用上のいろいろな制約からその成果を適用できないことが多い。すなわち現在の計量経済分析は、推定上の個々の問題に関する理論的貢献が実証研究では必ずしも十分に活かされているとはいえない状況にある。その最大の理由は、すべての問題が同時に存在し得るという一般的状況を念頭に、個々の問題に対する対応手法をどのように組み合せてモデル全体の性能を向上させるかという研究が従来ほとんど行われてこなかったことにあるといえよう。

本稿はこのような問題認識に立って、より信頼のおける計量経済分析を行うための方法について一つの見通しを呈示することを目的としている。

本稿の全体は2部構成となっている。第1部ではまずデータの問題も含めて、改めて計量経済分析の理論と前提、結果の診断と前提が満たされない場合の対策についての整理を行う。次に経済企画庁経済研究所84年11月版世界経済モデルの中のドイツモデルをとり上げて、現実の
計量経済モデルがどの程度統計上の問題点を持っているかを分析した上で、より信頼性の高い計量経済分析の必要性を明らかにする。そしてその次にこのモデルの分析結果を踏まえて、モデルの推定手続きを総合的にフローチャート化することを試みる。このフローチャートは、数多くの推定上の問題をどのような手順にもとづいて処理し、かつそれらの問題に対してどのような手法で対応したらよいかについての見通しを与えるものである。

第2部ではこのフローチャートに従って実際に小型日本モデルを推定する。その過程でさまざまな推定上の問題を克服することがどの程度モデル全体の性能向上につながるかを実証的に明らかにするとともに、このフローチャートの有効性を検証する。

このように本稿は従来にはない実践的なマニュアルとしての内容をもそなえており、これが本稿全体の大きな特徴となっている。
## 第1部 計量経済分析の理論

- 基本的な考え方ならびにその診断と対策 -

### 第 1 章 計量経済分析の基本的な考え方 1 - 1. 理論研究と実証研究

計量経済分析の目的は、複数の経済変数間の因果関係を定量的に把握した上で、予測やシミュレーションといったさまざまな実証研究を行うことにある。この因果関係の表現には、経済理論に基づいて数学の記号を用いて表わされたモデル、すなわち数理モデルが使われる。この数理モデルは単一方程式のこともあれば連立方程式のこともある。前者の場合は一つの経済変数に注目して、その変数とそれに影響を与えるいくつかの変数との間の因果関係を記述するのに対して、後者の場合は複数の経済変数間の相互依存関係を含めた因果関係を記述する。

そしてこの数理モデルの係数（パラメータ）は現実のデータを用いて統計的に推定される。数理モデルを使って経済変数間の関係を表現する学問分野が数理経済学である。計量経済学と数理経済学の違いは現実のデータに基づいて係数を統計的に推定するかしないかにある。

こうして係数が推定された数理モデル（これを計量経済モデルという）は、現実の経済をモデル化して表現したものと考えられるから、このモデルを用いて予測を行ったり、現実には行うことができない経済現象に関するさまざまな実験をシミュレーションとして行うことができる。さらにこうした分析は各種の経済政策の政策効果の比較考量による政策研究にも応用することができる。そしてこのような実証研究は、それを行うことによって新たな事実を発見することができれば、既成の理論の改良あるいは新理論の構築という形で理論研究にフィードバックすることもできる。また理論の検証のためにこうした実証研究が用いられることも多い。計量経済分析はこのように経済活動に関して実証研究を行うための有力な分析手法である。

計量経済分析を行うに当たって必要な学問分野は多岐にわたっている。まず複数の経済変数間の因果関係の想定に当たっては理論経済学が必要となる。そして現実のデータを使って係数の統計的な推定を行うためには経済統計と数理統計が必要になる。さらに因果関係の想定に数理モデルを使うこと、および統計的な推定において数値計算を行う必要がある場合もあることから数学が必要であり、実際の計算を行うに当たってはコンピュータとそれを駆使する知識が必要である。

### 1 - 2. 計量経済分析のステップ

## （１）モデルビルディング（式の特定化）

計量経済分析では、複数の経済変数間の因果関係の想定は経済理論に基づいて数理モデルを使って行われる。そしてその数理モデルの係数は必ず現実のデータを使って推定されなければならない。したがって計量経済分析で使う数理モデルは現実に計量可能なモデルでなければならない。計量経済分析の大きなポイントの一つは経済理論と矛盾しない形でいかに計量可能なモデルを想定するかという点にある。この計量可能性は推定に使えるデータの制約に大きく依存する。同時に推定が容易になるように係数に関して線形なモデルが使われることが多い。

モデルに含まれる変数は大きく内生変数と外生変数の二つに分けられる。内生変数とは想定した因果関係に基づいてモデルのなかで決められる変数のことであり、外生変数とはモデルの外から与えられる変数のことである。どの変数を内生変数にし、その他を外生変数にするかは、分析目的とモデルの規模によって決まるものであって、両者の区別はきわめて相対的なもので
ある。また政策研究を行う場合には、政策手段である公定歩合や財政支出額、あるいは税率などは外生変数とするのが一般的である。これらの変数は政策変数と呼ばれることもある。

またモデルは静学モデルと動学モデルという形で分けることができる。静学モデルとはモデルのなかに時間要素が入っていないモデルのことであり、動学モデルとは時間要素が入ったモデルのことである。前者の場合は各時間単位ごとに独立に各変数が決められるのに対して、後者の場合はタイムラグの存在によって過去の各変数の動きが当期の各変数に影響を及ぼすことになる。タイムラグを持った内生変数のことを特に先決内生変数と呼ぶことがある。

さらに内生変数を決定する方程式は構造方程式と定義式の二つに分けられる。構造方程式とは変数間の因果関係の想定を表わした式のことであり、定義式とは定義的に恒等関係が成り立つことを表わした式のことである。構造方程式はさらに行動方程式、技術方程式、制度方程式の3つに分けることができる。行動方程式とは、経済主体の行動を念頭において因果関係の想定を行った式のことであり、消費関数や投資関数などがその例である。技術方程式とは生産関数に見られるように技術的な入力と出力の関係を表わしたものである。制度方程式とは税率と税額の関係のような制度的関係を表わしたものである。

## (２) データの収集

式の特定化が終わると、次に推定に必要なデータの収集を行う。データは官公庁が公表する統計（いわゆる官庁統計）や民間機関が作成する統計（民間の設備投資調査など）から取ることが多い。またデータの季節変動を排除する必要がある場合は季節調整も行われる。

## （３）モデルの推定

データの収集が終わると、次はモデルの各構造方程式の係数の推定を行う。推定は、一般に回帰分析によって行われる。そして通常は、回帰分析のなかでも特に最小二乘法がよく使われる。最小二乘法はいくつかの仮定の下で最もよい性質を持つ推定量であることがわかっている（詳細は後述）。そして推定作業は、主に次の3つの基準によって推定結果の良否を判断しながら、試行錯誤的に行われる。

イ）推定値と実績値の乖離の大きさ（推定精度）

口）推定された係数の符号（符号条件という）や絶対値の大きさ

八）有効な推定値を得るための仮定が満たされているかどうかの診断とその対策（詳細は後述）

（４）モデルの評価

モデルの推定が終わると、次にモデルの性能の評価を行う。モデルの性能は、

イ）実績値の追跡力

☐）乗数の大きさ

の２つで判定することが多い。

推定したモデルが持つ実績値の追跡力をテストする方法としては部分テスト、全体テスト、最終テストの3つがある。部分テストとは、単一の方程式あるいはモデルのなかの一部の方程式のみを内生化し、他の方程式を外生化することによって、モデルのなかの一部分の性能をテストする方法である。全体テストとはモデルに含まれるすべての方程式を同時に解いて解を求めることにより、モデル全体の性能をテストする方法である。ただし全体テストではタイムラグを持った先決内生変数には実績値を代入する。これに対して最終テストでは先決内生変数にもモデルで解いた値を代入する。この3つのテストのなかでは最終テストが最もきびしいテストである。

一方、乗数の大きさは乗数シミュレーションといわれる方法によってチェックされる。乗数とは外生変数を変化させたときに各内生変数にどの程度の影響が及ぶかを示す量のこと（たとえば外生変数である公定歩合が1％引き上げられたときの、内生変数である実質国民総生産の滅少額）を言い、乗数シミュレーションとはこの乗数を調べる実験のことである。

そしてこれらの基準でモデルの性能を評価し
問題があれば推定の段階に戻って修正を加え、問題がなければ完成したモデルに基づいて分析を進めることになる。

## （５）モデルに基づく分析

計量経済モデルを使った実証研究は大きく構造分析と予測に分けられる。構造分析とは複数の経済変数間の相互依存関係を分析することであり、予測とはモデルを用いて将来の経済変数の値を計算することである。構造分析には先に述べたように乗数シミュレーションや経済政策効果の検討、あるいは理論の検証などが含まれる。分析の方法はいずれの場合も外生変数を与えてモデルを解き、解（内生変数の値）を求めるという方法である。すなわち、

という方法である。

構造分析の場合は、乗数シミュレーションを行うのであれば、外生変数に変化分を加えた値（たとえば実績値より10％切り上がった為替レートの値）を与えてモデルを解き、変化がない場合の解と比較する。また乗数シミュレーションを行わないのであれば、外生変数に実績値を与えてモデルを解き、その結果を分析する。それに対して、予測の場合は予測期間において想定される外生変数の値を与えたうえで、モデル（経済変数間の関係および係数の大きさ）は予測期間においても変化しないと仮定した上でモデルを解き、解を求める。

### 1 - 3. 統計手法の利用

計量経済分析では構造方程式の係数を決めるに当たって、係数は確率的に変動するものと考えて統計的な推定を行う。この係数の確率的変動は構造方程式のなかに含まれ誤差項（攪乱項ともいう）といわれる確率変数によってもたらされる。この誤差項が構造方程式に含まれるのは、次のような理由による。すなわち現実の経済活動は数多くの要因の影響を受けているが、モデル化するに当たってはこれらのすべての要因をモデルにとり込むことは不可能であるために、分析目的に照らして必要かつ影響力の大きな要因だけを抽出しなければならない。そうすると現実の経済活動のうちモデルでは説明できない部分が発生する。計量経済分析ではこの説明できない部分を確率的に変動すると考えて、これを誤差項と呼んで構造方程式のなかに一つの項として入れるのである。すなわち誤差項はモデルで説明できない数多くの要因を一つにまとめて表わしたものである。

そして係数の統計的推定に当たっては、この誤差項が次に述べる仮定を満たしているという前提がおかれる。その仮定とは、

イ）誤差項の期待値はゼロ

$ \left( \mathrm{E} \left( \mathrm{u}_{\mathrm{t}} \right) = 0 \right) $

）誤差項の分散は観測時点に関わらず一定

$ (\mathrm{E}(\mathrm{u}_{\mathrm{t}}^{2})=\sigma^{2}) $

八）異時点間の誤差項は互いに独立

$ \left( \mathrm{E} \left( \mathbf{u}_{\mathrm{t}} \cdot \mathbf{u}_{\mathrm{s}} \right) = 0, \quad \mathbf{t} \neq \mathbf{s} \right) $

二）誤差項と説明変数は互いに独立

$ \left( \mathrm{E} \left( X_{t} \cdot u_{t} \right) = 0 \right) $

ホ）誤差項は正規分布にしたがう

$ (\mathbf{u}_{\mathrm{t}} \sim \mathrm{N}(0, \sigma^{2})) $

（ただし E（）は期待値をとるというオペレータであり、u_{i}はi期の誤差項、X_{i}は説明変数 X のi期の値を表わす）

の5つである。このうちイ）から二）までが満たされているとき、最小二乗法による推定量は線形で不偏な推定量のなかで最も分散が小さい推定量（Best Linear Unbiased Estimator，略してBLUE）になる（ガウス・マルコフの定理）。さらにホ）が満たされると最小二乗推定量は線形、非線形を問わず不偏推定量のなかで最も分散が小さい推定量になり、最尤推定量と等しくなる。

ところが実際にモデルを推定するときにはこうした仮定が必ずしも満たされているとは限らない。計量経済分析に固有の数多くの推定法は、こうした仮定が満たされないときに、いかにより信頼性の高い推定量を得るかという問題意識から生まれたものである。たとえば上に述べた仮定のなかでハ）が満たされないときには、系列相関が存在するといわれて、最小二乗推定量
の分散が大きくなってしまう（有効性の低下）ことがわかっている。これを解決する推定法としてはコックラン・オーカット法と呼ばれる方法などが開発されている。また二）が満たされないときには、同時性のバイアスが存在するといわれて、最小二乗推定量の期待値は真の値に一致せず（不偏性の喪失）その偏よりはデータの数を増やしても解消されない（一致性の喪失）ことがわかっている。これを解決する推定法としては二段階最小二乗法や完全情報最尤法など、いくつかの同時推定法といわれる推定法が開発されている。

しかしながらこうした推定法が数多く開発されているということは、実際に推定作業を行うに当たってどの推定法を選択するのかという点で、ある程度分析者の恣意性が入り込む余地を許していることも事実である。しかしより重要な点は、個々の仮定が満たされない場合にそれぞれに対応した推定法が数多く開発されているものの、すべての仮定が必ずしも満たされていないという、より一般的な状況に対応できる推定法は現在のところ確立されていないということである。このため推定法の理論研究で生まれた数多くの成果が、実証分析においては必

図 1 - 1 計量経済分析の考え方

↓ 精確性と単純性のジレンマ

↓ 精確性と単純性のジレンマ
部分モデルの作成

イ）分析の対象とする部分のみをモデル化する

ロ）モデル化しない部分は所与あるいは確率的変動とする

↓

条件付き推論

計量経済モデルによる推論は、モデル化しない部分を所与あるいは確率的変動の期待値としたときの条件付き推論である

↓

意味のある結論を導く条件

イ）モデルが現実を反映するように作られていること

ロ）所与とした部分が正しく想定されていること

↓

最後まで残る不確実性

確率的に変動する部分にその期待値を与えても、結果的にそれが期待値に一致する必然性はない

ずしも十分に生かされていないのが現状である。

以上の計量経済分析の考え方を改めて簡潔に表わすと図1-1のようになる。以下第2章では図1-1にある「意味のある結論を導く条件」の一つである「モデルが現実を反映するように作られていること」という条件について検討を進めていくことにする。

## 第 2 章 結果の診断と対策

### 2 - 1. より信頼性の高い分析結果を得るための要件

計量経済分析において、より信頼性の高い結果を得るためには、まず何よりも推定されたモデルがより忠実に現実を反映していなければならない。現実をより忠実に反映するモデルを推定するための要件は大きく分けると3つある。3つの要件とは、モデルビルディング、つまり式の特定化とデータ、そして推定方法の3つである。その具体的な内容は次のとおりである（表2-1）。

しかし実際にはこれらの要件が常に成り立っているという保証はない。したがってモデルの推定に当たってはこれらの要件が成り立っているかどうかの診断と、成り立っていない場合の対策が必要である。

ところがこうした考え方に基づくモデルの推定は従来必ずしも十分に行われてきたとはいえない。その第1の理由はそもそも診断と対策を行わなければならないという意識が希薄であり、満足のいく結果さえ得られればそれで十分であ
表 2 - 1 より信頼性の高い分析結果を得るための要件

区分	満たすべき要件
式の特定化	イ) 準拠する経済理論と現実が矛盾していてはならない ☐) 式の特定化、つまり変数間の因果関係と相互依存関係の想定は経済理論に基づいて行わなければならない
データ	イ) 経済活動の定量的な観測は精確に行われていなければならない。またデータの作成過程にミスがあってはならない ☐) 準拠する経済理論と整合的なデータでなければならない
推定方法	推定結果に統計的な悪影響を及ぼす要因は排除し得るか、たとえそれが存在してもそれを克服しうるか、あるいはその影響を受けない推定方法を選択しなければならない

るという意識が強かったことである。第2の理由はこうした診断と対策には大変な労力を必要とするということである。しかし最近になってこうした推定方法の必要性が計量経済分析の実践上の要請という観点から見直されてきたほか、データ解析そのものに関する新たな考え方（探索的データ解析等、詳細は後述）の登場によって診断と対策に関する研究が進められるようになってきた。本稿ではこうした推定結果の診断と対策のプロセスを含めた総合的かつ現実的な推定方法を呈示することを目的としている。

そこでまず、次表において表2-1の3つの要件についてもう少し細かく内容を整理したうえで、それらの要件が満たされない場合に分析結果にどのような影響が及ぶか、またそれらに対する一般的な対策についてまとめを行うことにする（表2-2参照。なお対策とした挙げた各種手法については、第2部で解説する）。

表 2 - 2 推定上の問題点とその対策

区分	満たすべき要件からの逸脱	逸脱に対する名称	逸脱の影響	対策
式の特定化	イ)準拠した経済理論が現実と矛盾する口)経済理論どおりに定式化されていない	特定化の過誤	推定したモデルが現実を反映しない	準拠した経済理論の現実妥当性と定式化の方法を理論的に検討する
データ	イ)データが精確さを欠く	観測誤差や作成のミス	推定結果に偏よりが生じたり誤差が増大する	イ)より信頼のおけるデータの使用口)推定開始前のデータのチェック
ロ)理論とデータが整合的でない	特定化の過誤	推定されたモデルが経済理論と一致しない	イ)データの作成方法やカバレッジの検討ロ)新データの作成
推定方法	イ)推定時に自由度が不足する	自由度不足	推定される係数が不安定になる	推定期間の変更や変数の減少
口)説明変数間の相関が高い	多重共線性	推定不能あるいは推定値の有効性の低下	イ)推定期間の変更、変数変換、特定化の見直し口)係数制約をかけた推定ハ)リッジ回帰、主成分回帰、ベイズ推定等
ハ)残差に外れ値が存在する	外れ値	モデル化されていない部分が推定に及ぼす影響が大きく、推定された係数に偏よりが発生する	イ)推定期間の変更、変数変換、特定化の見直し口)ダミー変数の導入や欠測値処理ハ)頑健推定等
二)推定期間中に構造変化がある	構造変化	構造変化を無視して係数を推定すると偏よりが発生する	イ)推定期間の変更、変数変換、特定化の見直し口)可変係数モデル(スイッチングパラメータモデル、カルマンフィルター等)や加重回帰等
ホ)非線形関係に線形モデルを当てはめている	線形近似の誤差	線形なモデルを当てはめたために誤差項の仮定(後述)が満たされなくなり、偏よりが生じたり推定値の有効性が低下する	イ)非線形関係を線形関係に変換あるいは近似する口)非線形推定を行なう
ヘ)確率変数である誤差項に関する仮定	1.誤差項の期待値はゼロ(E(ut)=0)	-	ゼロにした場合としない場合の差は定数項に現われる	定義的にゼロとして計算する
2.誤差項の分散は観測時点に関わらず一定(E(ut²)=σ²)	分散不均一	推定値の有効性が低下	イ)推定期間の変更、変数変換、特定化の見直し口)一般化最小二乘法,加重回帰等
3.異時点間の誤差項は互いに独立(E(ut·us)=0、t≠s)	系列相関	推定値の有効性が低下	イ)推定期間の変更、変数変換、特定化の見直し口)ボックス-コックス回帰,一般化最小二乘法、コックララン・オーカット法等
4. 誤差項と説明変数は互いに独立(E(Xt·u t) = 0)	同時性のバイアス	不偏性、一致性の喪失	各種の同時推定法
5. 説差項は正規分布にしたがう(u t~N(0,σ²))	-	有効性が低下するほか、正規分布を仮定した検定にバイアスが生ずる	頑健推定等

## 第3章 経済企画庁経済研究所ドイツモデルの統計的性質の分析

### 3 - 1. 分析の目的

本章では、上で述べた信頼性の高い推定結果を得るための要件のうち、推定方法上の問題点に範囲を絞って、実際に経済分析に使われている計量経済モデルがどの程度こうした要件を満たしているかを、検討することにする。これまで、経済現象の分析に実際に使われるモデルを純粋に統計的観点から分析することは、あまり行われてこなかった。ここでは1つのモデルを例として取り上げて、上で述べた統計的な視点から分析を行うことにする。もちろんここでの結果をそのまま一般化することはできない。しかし一般には、実際に計量経済分析を行うにしても、そのために用いることのできるモデルを推定し、とりあえず満足のいく結果を得ることにほとんどの労力が費やされているのが現実である。そのため統計的問題点の検討はあまり行われないことが多い。この意味でこの章での分析結果は、他の計量経済分析にも、十分意味のある示唆を与えるであろう。

### 3 - 2. 分析の前提

## （１）モデルの選択

分析に使う計量経済モデルとして、経済企画庁経済研究所 84 年 11 月版世界経済モデルの中のドイツモデルを選ぶことにする。ドイツモデルを選ぶ理由は、このモデルが 84 年 11 月版世界経済モデルのなかでは中規模のモデルに属しており扱いやすく、かつ極度に単純化されてはいないこと、またこのモデルの動学的特性が他のモデルに比べて安定していることの 2 つである。ドイツモデルの総方程式数は 139 本、そのうち構造方程式は 46 本である（84 年 11 月版ドイツモデルの詳細については、経済分析 83 号および 97 号参照）。

## (2) 分布ラグとコックラン・オーカット法による推定式の処理

本稿のめざす分析をドイツモデルを使って進めるに当たって直面する第1の問題は、アーモンラグ、シラーラグの2つの分布ラグの扱いである $ ^{注1} $ 。この2つの分布ラグが存在する場合の同時推定は理論的に未解明である。そこで以下の分析に当たってはなんらかの方法によってこの2つの分布ラグをモデルから取り除く必要がある。

アーモンラグやシラーラグを用いる場合には、ラグの長さ、なめらかさの次数あるいは端点制約の有無などはある程度先験的な知識に基づいて決めることが多い。そこで分布ラグをもつ変数については、その分布ラグの係数を固定ウェイトと考えて、このウェイトで加重平均をとった変数を新たに作り、それを使って推定を行うことにする。すなわち、アーモンラグまたはシラーラグを含む項が

$$ \mathbf{X}^{\prime}=\begin{array}{c}\mathbf{t}_{2}\\ \sum\mathbf{\bar{R}}_{\text{i}}\mathbf{x}\text{．-i}\\ \mathbf{i}=\mathbf{t}_{1}\end{array} $$

（ただし、x.i は説明変数 x の i 期のラグ、 $ \overline{R}_{i} $ はアーモンラグまたはシラーラグの係数推定値）

と表わされるとき、$\overline{\mathrm{R}}_{i}$ を固定係数と考えて変数 $x'$ を新たな変数として定義しなおし、$x\cdots_{i}$ ($i=t_{1},\ldots,t_{2}$) にかわって $x'$ を用いて推定を行う
ことにする。

第2の問題はコックラン・オーカット法による推定式である。これもアーモンラグ、シラーラグと同じように同時推定や各種統計量の計算に当たって困難を生じさせる。そこでコックラン・オーカット法による推定式を、

\[\begin{aligned}&\mathbf{y}-\hat{\boldsymbol{\rho}

（ただし y は nx1 の被説明変数ベクトル、$\overline{\mathrm{R}}_{\mathrm{i}}\left(\mathrm{i}=1,\ldots,\mathrm{m}\right)$ はコックラン・オーカット法による係数推定値、$\mathrm{x}_{\mathrm{i}}\left(\mathrm{i}=1,\ldots,\mathrm{m}\right)$ は nx1 の説明変数ベクトル、$\hat{\rho}$ は自己相関係数

## （注1）世界経済モデルに使われている分布ラグ

世界経済モデルに使われているコイックラグ、アーモンラグ、シラーラグの3種類の分布ラグについて、基本的な考え方を紹介するとともに実用上の問題点について説明する（理論・実証研究における分布ラグの考え方については蓑谷[1981]コイックラグについてはKoyck[1954]アーモンラグについてはAlmon[1965]シラーラグについてはShiller[1973]を参照せよ。またGriliches[1967]は分布ラグに関するサーベイ論文として有名である）。

現実経済においては、ある経済活動になんらかの変動が起こったとき、その影響が他の経済活動に及ぶには一定の時間を必要とし、かつその影響は一定期間継続すると考えられる。こうしたタイムラグの構造を回帰分析によって推定することは、一般には次のようなモデル（分布ラグモデルと呼ばれる）の係数β₁を推定する問題に帰着される。

$$ \begin{aligned}Y=&\beta_{0}+\beta_{10}X+\beta_{11}X\cdot\cdot\cdot1+\beta_{12}X\cdot\cdot\cdot2+\ldots+\\&\beta_{1s}X\cdot\cdot\cdot s+\ldots+u\ldots( 式 1)\end{aligned} $$

ただし Y は nx1 の被説明変数ベクトル、X は nx1 の説明変数ベクトル、X. -i は X の i 期のラグをとったもの、U は nx1 の説差ベクトル、β₀ は定数項、β₁₀ は X および X. -i の係数である。

ここで式 1 をそのまま OLS で推定しようとしても、それは不可能である。なぜならば式 1 にはラグが無限に含まれているからである。したがってなんらかの方法によって無限のラグを消去するか、もしくは有限の範囲内でラグを打ち切らなければならない。たとえ有限の範囲内でラグを打ち切るにしても、ラグの長さがかなり長いと、推定における自由度不の推定値、 $ x_{i}\cdot_{i} $ は変数 $ x_{i} $ の1期のラグ、uはnx1の残差ベクトル）とするとき、

$$ \begin{aligned}&\mathbf{y}^{\prime}=\mathbf{y}-\hat{\boldsymbol{\rho}}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\\&\mathbf{x}_{\mathrm{i}}^{\prime}=\mathbf{x}_{\mathrm{i}}-\hat{\boldsymbol{\rho}}\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{x}_{\mathrm{i}}.\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\\&(\mathbf{i}=1,\ldots,\mathbf{\gamma}\mathbf{\gamma}\mathbf{m})\\ \end{aligned} $$

という形で y'、x_{i}' を定義しなおし、y、x に代わって y'、x_{i}' を用いて推定を行うことにする。

このような変換を行って OLS で推定した構造方程式は巻末資料のとおりである。以降の分析においては各構造方程式は巻末資料の方程式番号（1～46）で表わすことにする。また被説明変数、説明変数の各項も巻末資料の D101～の記号で表わすことにする。

足の問題が起きる。さらにたとえ自由度不足の問題が起きなくても、XおよびX.iの各変数が強い多重共線性を起こすために、推定される係数は著しく不安定になってしまう。

そこでこうした問題を解決するために、数多くの分布ラグモデルとその推定法の研究が進められてきた。基本的には分布ラグモデルとは、式1の係数β $ _{11} $ に制約を課すことによって問題の解決をはかろうとするものである。このような係数制約に関して経済理論による意味付けが正しく行い得るならばなんら問題は起きない。しかし現実には経済理論に従って決めることができる制約よりも「常識」の範囲内である程度恣意的に決めざるを得ない制約のほうが多い。したがって実際に分布ラグを使って推定を行うに当たっては、恣意的に決める制約がなるべく少なくてすむ分布ラグモデルを使うとともに、恣意的に決めざるを得ない制約の妥当性には十分注意を払うようにすべきである。

以下、各分布ラグモデルについて簡単な説明を加えておく。

## ・コイックラグ

コイックラグは、ラグの長さは無限大であると仮定したうえで、式1の係数β_{1i}の符号はラグ期間で不変であり、かつその絶対値の大きさが幾何級数的に減少すると考える。すなわち想定する分布ラグモデルは、

$ Y=\beta_{0}+\beta_{1}X+\lambda\beta_{1}X\cdot1+\lambda^{2}\beta_{1}X\cdot2+\ldots+\lambda^{S}\beta_{1}X\cdot s+\ldots+u\ldots $ （式2）ただし $ 0<\lambda<1 $ という形である。式2はラグの長さが無限大でありこのままでは推定ができない。しかしこの式2は簡
## (注1のつづき)

単な計算によって、次のような非常に単純な形に変換することができる。

$$ \begin{aligned}\mathrm{Y}&=(\beta_{0}-\lambda\beta_{0})+\beta_{1}\mathrm{X}+\lambda\mathrm{Y}.\cdot1+\mathrm{u}-\lambda\mathrm{u}-\mathrm{y}\\&\quad\ldots( 式 3)\end{aligned} $$

式 3 を見ると右辺には定数項と誤差項以外には当期の説明変数と被説明変数の 1 期のラグ（これを自己ラグという）しか含まれていない。このようにコイックラグは非常に簡単な形になり比較的簡単に推定ができるので、きわめて多用される分布ラグモデルの一つである。

コイックラグの問題点としては、上に述べたラグ分布全般に関する問題を別にすると、次のようなことが指摘できる。

1. 式 3 を実際に推定すると説明変数 X と、自己ラグ Y. -1 の間で強い多重共線性を起こすことがある。このような場合は推定される $ \lambda $ が不安定になってしまう。

2. 推定された入の値が1を越えることがある。この場合はモデルが発散体系になってしまうので、その推定結果を採用することができない。また入が1を越えなくても1に近い場合には被説明変数が事実上自己ラグのみによって説明されることになり、他の説明変数が実質的にほとんど意味を持たなくなってしまう。こうしたモデルの最終テストを行うと、実績値と推定値が一方的に乖離してしまう。

3. コイックラグは多用される分布ラグモデルの一つであるが、実際には式2で表わされる分布ラグモデルの想定を考慮することなく、単に式の当てはまりをよくするためだけに自己ラグが入れられることが多い。こうしたことは構造分析の立場からするとまったく無意味であるばかりでなくて分析結果を歪めるものであるから、厳に慎まなければならない。

## ・アーモンラグ

アーモンラグに関しては、ラグ期間は有限であると仮定して、次のような分布ラグモデルの推定を考える（ここではラグの開始期を当期としているが必ずしも当期である必要はない）。

$$ Y=\beta_{0}+\sum_{i=0}^{t}\beta_{1i}X_{-i+}u\quad\ldots( 式 4) $$

このとき式4をそのままOLSで推定しようとすると、先に述べたように多重共線性のために係数が不安定になってしまう。そこで係数β_{1i}について制約を課すことを考える。アーモンラグではβ_{1i}が比較的次数の低い多項式の上に一定の間隔で乗っていると仮定する。たとえば式4でラグの長さtが4、当てはめる多項式の次数が2次であるとすると、β_{1i}は図3-1に示されているような形となる。

図3-1（注1）アーモンラグの考え方

推定する式：

$$ \mathbf{Y}=\boldsymbol{\beta}_{0}+\sum_{\mathbf{i}=0}^{4}\boldsymbol{\beta}_{1i}\mathbf{\alpha}_{i}._{-\mathbf{i}+}\mathbf{e} $$

当てはめる多項式：

$$ \begin{array}{r l}{\boldsymbol{\upbeta}}&{{}\mathrm{~\textmu~{~t~}~}_{1}\mathrm{~i~}\mathrm{~\textmu~{~t~}~}_{0}=\mathbf{a}_{0}+\mathbf{a}_{1}\mathbf{t}+\mathbf{a}_{2}\mathbf{t}^{2}}\end{array} $$

アーモンラグを用いるに当たって決めなくてはならない条件は次の3つである。

### 1. ラグの長さ

### 2. 当てはめる多項式の次数

### 3. ラグの端点（開始期と終了期）において、

係数が特定の値（普通はゼロ）を取るかどうか

まず、ラグの長さの決定は非常にむずかしい問題である。理論的にラグの存在は仮定しうるにしても、実際にそのラグの長さが何日、何カ月、あるいは何年であるかは「常識」によって決めざるを得ないことが多い。真のラグの長さを推定結果の比較によって求めようという試みがうまくいかないことは、蓑谷[1981]のモンテカルロ実験によって明らかにされて
(注1のつづき)

いる。したがってラグの長さの決定に当たって、ある程度の恣意性が入ることはやむを得ないであろう。

次に当てはめる多項式の次数の問題は、ラグ期間において多項式が最大何個の変曲点を持つことが許されるかという問題に置き換えて考えるとわかりやすい。もしラグ期間内で係数がなめらかに変化するとすれば、ラグ期間内における変曲点の数は少なくなるであろうし、逆にギザギザに変化するとすれば変曲点の数は多くなるであろう（図3-2）。当てはめる多項式の次数が2次であれば、ラグ期間内における変曲点の数は最小ゼロ、最大1個であり、次数が4次であれば変曲点の数は最小ゼロ、最大3個である。「常識」で考えてラグ期間内で係数がギザギザに

図 3 - 2（注 1）アーモンラグにおける係数のなめらかな変化とギザギザの変化

（１）なめらかな変化(当てはめる多項式の次数２次、ラグ期間中の変曲点１カ所）

アーモンラグでは係数は多項式の上にきれいに乗っている。しかしそもそも多項式の次数はかなり恣意的に決めるものであり、なるべくこのような恣意性が介在しない分布ラグモデルを用いる方が望ましい。シラーラグの考え方は、ラグ期間内において係数のd次の階差が、平均0、分散 $ V_{w^{2}} $ の正規分布に従って変動するという先験的知識を用いて、ベイズ推定を行うというものである。結局のところシラーラグは係数制約なしのOLSとアーモンラグの中間に存在すると考えることができる。すなわちシラーラグでは、推定される係数がアーモンラグで考えた多項式のまわりでσ $ w^{2} $ の大きさに応じて変動するものとする（図3-3）。もしこの確率分布の分散がほ变化するということはあまりないであろう。当期の影響かいちばん強く、当期から遠ざかるにつれて影響が徐々に減少していくとすれば、係数の絶対値は単調減少となるであろうし、影響のいちばん強い期が当期の1期前であるとすれば、1期のラグの係数の絶対値がいちばん大きく、その前後で単調減少となるであろう。このような「常識」からアーモンラグで通常使われる次数は1次か2次である。

3 番目のラグの端点制約は必ずしも常にもうけられるわけではない。ラグの終了期の係数を特にゼロにしたいときなどに用いられる。しかし経済理論的にこうした制約の意味付けが明確にできる場合を除いて、あまり強い制約は課すべきではない。

（２）ギザギザの変化（当てはめる多項式の次数４次、ラグ期間中の変曲点３カ所）

とんどゼロに近ければ、推定される係数は多項式の上にほぼ乗ることになり、シラーラグはアーモンラグとほとんど同じになる。逆にσ w²が非常に大きいと、ラグの係数制約そのものがほとんど課されない状態となり、推定される係数は係数制約なしの普通のOLSとほぼ同じになる。このようにシラーラグでは、アーモンラグの推定に当たって決めなければならない3つの条件に加えて、分散の大きさが決定すべき重要な要素になる。

ではシラーラグの分散の大きさはどのように決めればよいのであろうか。シラーラグは最終的にはタイルとゴールドバーガーの混合推定という推定法（後出の9-4参照）と同じになる。すなわち式で表わすと、次のようになる。