体系の構造を分析し，ブロック三角化やフィルインの最小化により計算量を著しく軽減させることができる。

前章において，西独モデルや日本モデルも図1.5で示されるような4つのプロックに分割されることが実証された。その4つのプロックとは，プロローグ，コア，ループ，エピローグである。これらのプロックのなかで，前方三角プロックと後方三角プロックに対応するプロローグとエピローグの各プロックは，変数の決定が逐次になされており，単純な逐次代入法を用いて解くことができる。したがって，（2.26）式あるいは（2.27）式で表わされる連立方程式体系が，構造分析により再構成された体系であるならば，プロローグとエピローグの各プロックを，中間プロックとは独立に解くことにより効率を高めることができる。以下では，ニュートン法および簡易ニュートン法を中間プロックに限定して適用するが，それにより一般性は失われない。

前章の分析結果によれば，（2.26）式あるいは（2.27）式は，西独モデルで71本，日本モデルで113本の連立方程式体系となる。さらに，構造分析の結果によれば，これらの連立方程式体系はコアとループの各ブロックに分割されるが，その性質を利用すれば計算量の軽減が可能となる。いま，連立方程式体系を，

$$ \begin{aligned}&g_{i}(y_{1},\ y_{2},\cdots\cdots,\ y_{i},\ y_{m+1},\ y_{m+2},\cdots\cdots,\\&y_{m+l})=0\\&\quad i=1,2,3,\cdots\cdots,\ m\quad( 須須 2.28)\\&g_{i}(y_{1},\ y_{2},\cdots\cdots,\ y_{m},\ y_{m+1},\ y_{m+2},\cdots\cdots,\\&y_{m+l})=0\\&\quad i=m+1,\ m+2,\cdots\cdots,\ m+\ell\quad(2.29)\end{aligned} $$

とする。(2.28) 式はコアブロック，(2.29) 式はループブロックに対応する方程式である。さらに(2.28) 式を $ y_{i} $ について規準化して表わせば,

$$ \begin{aligned}&y_{i}=f_{i}(y_{1},y_{2},\cdots\cdots,\ y_{i-1},y_{m+1},y_{m+2},\\&\cdots\cdots,\ y_{m+\ell})\\&\quad i=1,2,3,\cdots\cdots,\ m\quad(\quad2.28\text{)}\end{aligned} $$

とすることができる。2.28)式と（2.29）式をベクトル関数で表わせば,

$$ \begin{aligned}&y^{c}=f^{c}(y^{c},\ y^{\ell})\Biggr\rbrace\\&g^{\ell}(y^{c},\ y^{\ell})=0\Biggr\rbrace\quad( 冏 \\&\quad y^{c}=(y_{1},\ y_{2},\cdots\cdots,\ y_{m})^{\prime}\\&\quad y^{\ell}=(y_{m+1},\ y_{m+2},\cdots\cdots,\ y_{m+1})^{\prime}\end{aligned} $$

となる。$y^{c}$ はコア変数，$y^{\ell}$ はループ変数である。$y^{\ell}$ を所与とすれば，$y^{c}$ は逐次体系となっているために代入法を用いて簡単に解くことができる。したがって

$$ y^{c}=y^{c}(y^{\ell}) $$

とすることができる。この関係を用いれば,

$$ \begin{aligned}g^{\ell}(y^{c},y^{\ell})=&g^{\ell}(y^{c}(y^{\ell}),y^{\ell})\\=&\phi(y^{\ell})=0\end{aligned} $$

となる。(2.32) 式は, $ \ell $ 本の方程式からなる非線型の連立方程式体系である。以上により, (2.32) 式が $ y^{\ell} $ について解かれれば, 大規模モデル (2.13) 全体の解を容易に得ることができる。そこで, 以下においては (2.32) 式をループ変数 $ y^{\ell} $ について解くことを考える。この場合, ニュートン法の反復過程は,

$$ y^{\ell,k}=y^{\ell,k-1}-\psi^{\prime}(y^{\ell,k-1})^{-1}\psi(y^{\ell,k-1}) $$

簡易ニュートン法の反復過程は,

$$ y^{\ell,k}=y^{\ell,k-1}-\psi^{\prime}(y^{\ell,0})^{-1}\psi(y^{\ell,k-1}) $$

となる。ここで関数$\phi$のヤコビアン行列$\phi'(y^{\ell})$が得られれば，反復計算を実行することができる。

ヤコビアン行例を代数的に解くには, 以下のようにすればよい。まず

$$ \psi^{\prime}(y^{\ell})\equiv\frac{\partial\psi}{\partial y^{\ell}}\xlongequal{}\frac{\partial g^{\ell}}{\partial y^{c}}\cdot\frac{\partial y^{c}}{\partial y^{\ell}}+\frac{\partial g^{\ell}}{\partial y^{\ell}} $$

が成りたつ。また（2.30）式より，次式を得る。

$$ \frac{\partial y^{\mathrm{c}}}{\partial y^{\ell}}=\frac{\partial f^{\mathrm{c}}}{\partial y^{\mathrm{c}}}\cdot\frac{\partial y^{\mathrm{c}}}{\partial y^{\ell}}+\frac{\partial f^{\mathrm{c}}}{\partial y^{\ell}} $$

となる。(2.34) 式と (2.35) 式から,

$$ \frac{\partial\psi}{\partial y^{\ell}}=\frac{\partial g^{\ell}}{\partial y^{\mathrm{c}}}\cdot\left(I_{m}-\frac{\partial f^{\mathrm{c}}}{\partial y^{\mathrm{c}}}\right)^{-1}\frac{\partial f^{\mathrm{c}}}{\partial y^{\ell}}+\frac{\partial g^{\ell}}{\partial y^{\ell}}\left(2.36\right) $$

となる。

ここで関数$\phi$のヤコビアン行列の計算に必要なものは,

$$ \frac{\partial f^{^{c}}}{\partial y^{^{c}}},\frac{\partial f^{^{c}}}{\partial y^{\ell}},\frac{\partial g^{\ell}}{\partial y^{^{c}}},\frac{\partial g^{\ell}}{\partial y^{\ell}} $$

であるが，関数 $ f^{c} $ ， $ g^{l} $ が所与であるから，こ