Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
$$ K_{k}^{j}=h_{k}^{j}(\sum_{}^{j}\sum_{}^{k}K_{k}^{j}) $$

ここで、 $ d_{l}^{j} $ 、 $ h_{k}^{j} $ は、それぞれ一国和集計での総労働・資本投入にしめる、j 部門の1種、k 種の労働・資本投入の構成割合を示している。これを用いて、(15)、(16)式を書き改めると、

$$ \begin{align*}\Delta\ \ln\ L=[&\ \ln\ \sum^{j}\ \sum^{l}\ L_{l}^{j}(T)-\ln\ \sum^{j}\ \sum^{l}\ L_{l}^{j}(T-1)]\\&+\sum^{j}\sum^{l}\overline{v}_{Ll}^{j}[\ln d_{l}^{j}(T)-\ln d_{l}^{j}(T-1)],\end{align*} $$

$$ \begin{align*}\Delta\ln K&=[\ln\sum_{}^{j}\sum_{}^{l}K_{_{k}}^{^{j}}(T)-\ln\sum_{}^{j}\sum_{}^{l}K_{_{k}}^{^{j}}(T-1)]\\&\quad+\sum_{}^{j}\sum_{}^{l}\overline{v}_{_{Kk}}^{^{j}}[\ln h_{_{k}}^{^{j}}(T)-\ln h_{_{k}}^{^{j}}(T-1)].\end{align*} $$

(21)、(22)の右辺第1項は、それぞれ労働・資本の投入量の変化率(Quantity Indexの変化率)を示しており、第2項は、各投入要素の種別構成比の変化が総合指数に与える影響を示している。第2項は、その意味で労働・資本投入の質的変化率(Quality Index変化率)を示すものといえる。

### 2.3 技術進歩率の集計指数

前 2.2 節での投入・産出の各集計指数の算定から、一国全体の技術進歩指数を求めるのがこの節の課題である。

各産業部門における技術進歩率 $ v_{T}^{j} $ は、次のように定義できる。

$$ \begin{aligned}v_{_{T}}^{^{j}}=&\frac{Z_{_{I}}^{^{j}}}{Z_{_{I}}^{^{j}}}-\sum_{_{i}}\frac{p_{_{i}}X_{_{i}}^{^{j}}}{p_{_{I}}^{^{j}}Z_{_{I}}^{^{j}}}(\frac{X_{_{i}}^{^{j}}}{X_{_{i}}^{^{j}}})\\&-\sum_{_{i}}(\frac{p_{_{U}}^{^{j}}L_{_{i}}^{^{j}}}{p_{_{I}}^{^{j}}Z_{_{I}}^{^{j}}})(\frac{tL_{_{i}}^{^{j}}}{L_{_{i}}^{^{j}}})-\sum_{_{k}}(\frac{p_{_{Kk}}^{^{j}}K_{_{k}}^{^{j}}}{p_{_{I}}^{^{j}}Z_{_{I}}^{^{j}}})(\frac{\dot{K_{_{k}}^{^{j}}}}{K_{_{k}}^{^{j}}})\end{aligned} $$

もしくは、付加価値タームで、

$$ \begin{align*}v_{_{T}}^{^{j}}&=(\frac{p_{_{vj}}V^{^{j}}}{p_{_{I}}^{^{j}}Z_{_{I}}^{^{j}}})(\frac{V^{^{j}}}{V^{^{j}}})\\&\quad-\sum(\frac{p_{_{U}}^{^{j}}L_{_{l}}^{^{j}}}{p_{_{I}}^{^{j}}Z_{_{l}}^{^{j}}})(\frac{\dot{L_{_{l}}^{^{j}}}}{L_{_{l}}^{^{j}}})-\sum(\frac{p_{_{Kk}}^{^{j}}K_{_{k}}^{^{j}}}{p_{_{l}}^{^{j}}Z_{_{l}}^{^{j}}})(\frac{\dot{K_{_{k}}^{^{j}}}}{K_{_{k}}^{^{j}}}).\end{align*} $$

とも書くことが出来る。

(24)式を離散型近似すると、

$$ \begin{align*}\hat{v}_{T}^{j}=&\frac{1}{2}[v^{j}(T)+v^{j}(T-1)][\ln V^{j}(T)-\ln V^{j}(T-1)]\\&-\sum\frac{1}{2}[v^{j}_{Kk}(T)+v^{j}_{Kk}(T-1)][\ln K^{j}_{k}(T)-\ln K^{j}_{k}(T-1)]\\&-\sum\frac{1}{2}[v^{j}_{Ll}(T)+v^{j}_{Ll}(T-1)][\ln L^{j}_{l}(T)-\ln L^{j}_{l}(T-1)],\end{align*} $$

ただし

$$ v^{^{j}}(T)=\frac{p^{^{j}}_{\nu}V^{^{j}}(T)}{p^{^{j}*}Z^{^{j}}_{I}(T)},v^{^{j}}_{Kk}(T)=\frac{p^{^{j}}_{Kk}K^{^{j}}_{k}(T)}{p^{^{j}*}Z^{^{j}}_{I}(T)},v^{^{j}}_{Ll}(T)=\frac{p^{^{j}}_{Ll}L^{^{j}}_{l}(T)}{p^{^{j}*}Z^{^{j}}_{I}(T)}. $$
である。

(25) 式は、j 部門の実質付加価値の伸び率が要素投入の労働や資本の伸び率以上に伸びたときには、T-1 時点から T 時点の間に $ \hat{v}_{T}^{j} $ 率の技術進歩があったとみなせることを示している。この部門別技術進歩率を一国全体に集計したとすれば、

$$ \sum^{j}\frac{p_{_{I}}^{^{j}*}Z^{^{j}}}{p_{_{\nu}}V}v_{_{T}}^{^{j}}=\sum^{j}\frac{p_{_{\nu}}^{^{j}}V^{^{j}}}{p_{_{\nu}}V}\cdot\frac{\dot{V^{^{j}}}}{V^{^{j}}} $$

$$ \bar{s}_{L}\cdot\sum_{}^{j}\sum_{}^{l}\frac{p_{L l}^{j}L_{l}^{j}}{\sum_{}^{j}\sum_{}^{l}p_{L l}^{j}L_{L}^{j}}\cdot\frac{\dot{L_{l}^{j}}}{L_{l}^{j}} $$

$$ \begin{array}{r}{-s_{_{K}}\cdot\sum^{j}\sum^{k}\frac{p_{K k}^{j}K_{k}^{j}}{\sum^{j}\sum^{k}p_{K k}^{j}K_{k}^{j}}\frac{\dot{K_{k}^{j}}}{K_{k}^{j}},}\end{array} $$

ただし

$$ s_{L}=\frac{\sum\sum^{j}p_{L\ l}^{j}L_{l}^{j}}{p_{\nu}V},s_{K}=\frac{\sum\sum^{j}p_{Kk}^{j}K_{k}^{j}}{p_{\nu}V}. $$

となり、部門別の技術進歩率を集計した形で、一国全体の加重平均としての技術進率を定義することができる。一方、より単純に一国の集計レベルでの集計的生産関数 (Aggregate Production Function) の存在を仮定して、集計レベルでの社会会計定義式から技術進歩率を定義することもできる。集計レベルの社会会計バランスは、

$$ p_{v}V=p_{L}L+p_{K}K. $$

となり、そこから集計的技術進歩率 $ v_{T} $ 、

$$ v_{_{T}}=\frac{\dot{V}}{V}-s_{_{L}}\frac{\dot{L}}{L}-s_{_{K}}\frac{\dot{K}}{K}, $$

を定義できる。

ただしここで、

$$ \begin{aligned}\frac{\dot{V}}{V}&=\sum_{}^{j}\frac{p_{\nu}^{j}V^{j}}{p_{\nu}V}\cdot\frac{o t V^{j}}{\dot{V}^{j}}\\&=\sum_{}^{j}\frac{\tilde{p}_{\nu}V^{j}}{p_{\nu}V}\cdot\frac{\dot{V}^{j}}{V^{j}},\\ &\\&=\frac{(\sum\dot{\dot{V}}^{j})}{\sum V^{j}}\\ &\\&s_{L}=\frac{p_{L}L}{p_{\nu}V},\\ &\\&\frac{\dot{L}}{L}=\sum_{}^{l}\frac{p_{Ll}L_{l}}{p_{L}L}\frac{\dot{L}_{l}}{L_{l}}\\ &\\&=\sum_{}^{l}\frac{\tilde{p}_{Ll}L_{l}}{p_{L}L}\cdot\frac{\dot{L}_{l}}{L_{l}}\\ &\\&s_{K}=\frac{p_{K}K}{p_{\nu}V},\\ &\\&\frac{\dot{K}}{K}=\sum_{}^{k}\frac{p_{Kk}K_{k}}{p_{K}K}\cdot\frac{\dot{K}_{k}}{K_{k}}\\ &=\sum_{}^{k}\frac{\tilde{p}_{\dot{K}k}K_{k}}{p_{K}K}\cdot\frac{\dot{K}_{k}}{K_{k}}\\ \end{aligned} $$
となっている。すなわち各産業部門の付加価値は等質的であり、各部門の付加価値デフレーターは同等である、したがって一国集計のGDP成長率は、各部門の実質付加価値を和集計したものの成長率に等しいと仮定している。また労働・資本の要素投入も、各1、k種については各産業部門の間で等質的であり、同等の価格が成立していると仮定している。従って、労働・資本の一国レベルへの集計は、各異種の投入要素の投入変化率のディビジア集計のかたちをとっている。

(28) 式を (24) 式を用いて変形すると次のようになる。

$$ \begin{aligned}v_{T}\bullet p_{v}V=&\sum^{j}\widetilde{p}_{v}^{j}\dot{V}_{j}-\sum^{l}\widetilde{p}_{Ll}\dot{L}_{l}-\sum^{k}\widetilde{p}_{Kk}\dot{K}_{k}\quad.\\ =&\sum^{j}\widetilde{p}_{v}^{j}\dot{V}_{j}-\sum^{j}p_{v}^{j}\dot{V}^{j}+\sum^{j}p_{v}^{j}\dot{V}^{j}-\sum^{l}\widetilde{p}_{Ll}\dot{L}_{l}-\sum^{k}\widetilde{p}_{Kk}\dot{K}_{k}\\ &\\ =&\sum^{j}[\nu_{T}^{j}p_{I}^{j*}Z_{I}^{j}+\sum^{l}p_{Ll}^{j}\dot{L}_{j}^{j}+\sum^{k}p_{Kk}^{j}\dot{K}_{k}^{j}]\\ &\\ &+(\sum^{j}\widetilde{p}_{v}\dot{V}^{j}-\sum p_{v}^{j}\dot{V}^{j})-\sum^{l}\widetilde{p}_{Ll}\dot{L}_{l}-\sum^{k}\widetilde{p}_{Kk}\dot{K}_{k}\\ &\\ =&\sum^{j}\nu_{T}^{j}p_{I}^{j*}Z^{j}+\sum^{j}(\widetilde{p}_{v}-p_{v}^{j})\dot{V}^{j}\\ &\\ &+\sum^{j}\sum^{l}(p_{Ll}^{j}-\widetilde{p}_{Ll})\dot{L}_{l}^{j}+\sum\sum(p_{Kk}^{j}-\widetilde{p}_{Kk})\dot{K}_{k}^{j}.\end{aligned} $$

さらに整理すると、

$$ \begin{aligned}\nu_{T}=&\sum(\frac{p_{I}^{j^{*}}Z_{I}^{j}}{p_{\nu}V})\nu_{T}^{j}+\sum(\frac{(\widetilde{p}_{\nu}-p_{\nu}^{j})V^{j}}{p_{\nu}V})(\frac{\dot{V}^{j}}{V^{j}})\\&+\sum\sum(\frac{(p_{Ll}^{j}-\widetilde{p}_{Ll})L_{l}^{j}}{p_{\nu}V})(\frac{\dot{L}^{j}}{L_{l}^{j}})\\&+\sum\sum(\frac{(p_{Kk}^{j}-\widetilde{p}_{Kk})K_{Kk}^{j}}{p_{\nu}V})(\frac{\dot{K}_{Kk}^{j}}{K_{Kk}^{j}})\end{aligned} $$

と表すことが出来る。(30)式の左辺は、集計的技術進歩率であり、(28)式で定義されている。右辺の第1項は、部門別技術進歩率の加重平均値である。両者の差は、集計的生産関数の仮定が妥当するかどうかであるけれども、その差異の右辺第2項以下の3項で分解して表現することが出来る。第2項は、部門間の付加価値デフレーターが差があり、 $ p_{v}^{j} $ が平均の $ \tilde{p}_{v} $ から乖離することに依る構造的バイアスを示している。第3項、4項は労働、資本の投入価格が平均から乖離したときに生ずる構造的バイアスである。(30)式を(28)式に代入して整理すると、

$$ \begin{aligned}\frac{\dot{V}}{V}-\sum(\frac{(\tilde{p}_{v}-p_{v}^{j})V^{j}}{p_{v}V})(\frac{\dot{V}^{j}}{V^{j}})\\ &\\=s_{L}\frac{\dot{L}}{L}+\sum\sum(\frac{(p_{Ll}^{j}-\tilde{p}_{Ll})L_{l}^{j}}{p_{v}V})(\frac{\dot{L}_{l}^{j}}{L_{l}^{j}})\\ &\\+s_{k}\frac{\dot{K}}{K}+\sum\sum(\frac{(p_{Kk}^{j}-\tilde{p}_{Kk})K_{k}^{j}}{p_{v}V})(\frac{\dot{K}_{k}^{j}}{K_{k}^{j}})\\ &\\+\sum(\frac{p_{l}^{j*}Z_{l}^{j}}{p_{v}V})v_{T}^{j}\\ \end{aligned} $$

となる。

(31)式の意味は、一国の集計レベルの GDP の成長率が、左辺全体でとらえられる。左辺は 2 つの部分に分けられ、第 1 の和集計での GDP の成長率と第 2 の構造変化の部分になる。第 2 項は、平均付加価値
デフレーター $ \tilde{p}_{\nu} $ より、価格が高い部門のウェイトが大きく成長すれば、第2項は負値となり、全体のGDPの実質成長率の高めることを意味している。言い替えれば、付加価値デフレーターは各部門の単位当り付加価値率とも読みかえることが出来るから、経済発展の結果、高付加価値部門のウェイトが高まるように産業構造が変化しておれば、よりGDP成長率に寄与した構造変化であったということになる。左辺全体のGDPの成長率は、右辺によって大きく3項にその要因を分解できる。左辺第1、2項の部分は、労働投入の成長への寄与を表わしている。そのうち、第1の部分は、和集計（各1種の和集計）による労働投入の成長率の部分であり、第2項は、異質労働投入要素間の構造的变化を表している。平均的労働要素価格 $ \tilde{p}_{Ll} $ より、低い価格の部門のウェイトが高まれば、この項は、負値となり他の条件一定の下で、労働投入の効率が高くなることを意味している。この分解の意味は第3、4項の資本投入の寄与についても同様に考えることが出来る。最後に右辺の第5項の部分は、部門別の技術進歩率を一国全体に加重平均したものである。さて以上の経済成長の要因分解の手法を1960年-85年迄の日本経済に適用してみると、この期間のわが国経済成長の特性をみることができる。

### 2.4 日本経済の成長の要因分解

[表 1 ] は、日本経済の 1960 年から 1985 年の成長要因を分解して示している。表側の 21 の項目は、大きく 3 つの部分に分けることができる。第 1 は、(1) ~ (6) の項目で、前節の(26)式にもとづく、ディビジア指数による要因分解である。第 2 は、(28) 式に基づく集計社会会計バランスによるもので、項目（7）~（12）、そしてそれを成長の寄与度で算定したものが（13）~（18）である。第 3 の部分は、(31)式にもとづく構造バイアスを示している。ディビジア集計方法に依れば、項目（1）に示されているように、日本経済は 1960 年から 1985 年までの間、年率平均 6.787% もの急激な成長を遂げている。1973 年の第 1 次石油危機を境に、年率成長率 9.76% から 4.04% と成長率の半減を示しており、1960 年代の高度経済成長期と大きな差異がみられる。1980 年代に入って低下の傾向は、安定化に変わったようにも見える。

これらの GDP 経済成長の要因は、要素投入と技術進歩率の要因とに分解できる。労働と資本の投入の平均年率伸び率は、1960 年-85 年で、1.72%と7.61%であった。労働投入に関しては、1960 年代には年率2%を上回っていたものが、1970 年代にはいるとその伸び率が低下する。特に1970-75年には、伸び率が負値をとっている。これは石油危機後のコスト削減要求からくる。いわゆる労働コスト節約的企業行動の結果とも言えるが、1970 年代に入って、日本の労働市場がそれまでの在来部門から近代部門への労働移動という形での近代部門の労働需要の拡大に対する対応が少なくなって、労働市場の需給逼迫が労働投入価格を急激に上昇させたことにも依っている。一方、資本の投入に関しては、非常に高い伸び率を示しているのが、日本経済の成長の大きな特徴となっている。1960 年代には、年率10%を超える伸び率を示し、1973年以降その伸び率は半減するが、依然として5%を上回る成長を遂げている。産出と投入要素の成長率を比較してみると、労働の伸びが、産出の成長率を大きく下回っているのに対して、資本のそれは、若干上回って成長している。別の言い方をすれば、この期間労働生産性が急激に上昇したのに対して、資本生産性はほぼ停滞的もしくは、むしろ若干下降していたということになる。生産性については、両者の総合したいわゆる全要素生産性という点からすると、(6)に示されているように、1960-85年の平均で年率2.215%の伸びを示している。特に1960年代そしてその後半1965-70年の技術進歩率は大きく、年率5.48%となっている。1970年代、特に石油危機をはさんで急速に低下するが、1980年代には若干回復の兆しが見えている。これらの要因を成長への寄与度でみると、1960-85年の平均で、労働・資本・技術進歩のGDP成長への寄与は、それぞれ13%、54%、33%となっており、平均的には日本経済の成長への寄与は、資本投入のそれが50%を上回っているというのが一つの特徴となっている。労働投入の寄与度については、1960年からを5年毎に区分してみると、14%、9%、-1.5%、30%、24%と変化しているし、同じく資本投入のそれは55%、44%、80%、50%、52%、技術進歩率のそれは31%、47%、21%、20%、24%となっている。平均的には、資本投入の寄与が大きいというのが特性であるけれども、高度経済成長期（1960年代後半）には技
術進歩の寄与度が大きいこと、また石油危機後、労働投入の伸び率は低下しているにも関わらず、寄与率は、逆に大きくなっているというのも注目すべきである。

次に、表の第2の部分に話を移すと和集計でのGDPの成長率は、第7項目にあるように1960-85年の年率平均で6.823％とディビジア成長率6.787％を0.035％だけ上回っている。0.035％は、第19項目に示した付加価値の構造バイアスを示している。この期間を平均すると若干の正值で、構造的には非効率な方向に動いていることを示している。しかし、これは、時代を区切ってみると1960年代の高度経済成長期には、1960-65年で-2.153%、1965-70年で-0.649％といずれも構造変化が資源配分の効率化をもたらし、それが成長に貢献していることを示している。1970年代、特に1980年代に入って、大きく傾向が逆転しており、1980年代になってからの産業構造の急激な変化は一国全体の高付加価値化という点には沿っていないということが言える。労働投入に関しては、1960-85年平均で集計的算定方式では、年率1.784％で、第2項目のディビジア指数との比較で構造バイアスが年率-0.031％となっている。1975-80年を除いて、全期間負値を示しており、資源配分が効率的に作動していることを示している。労働投入を一方、その量的変化と質的変化の成長への寄与に区分すると（15）、（14）項目に示した通り、全年平均で0.506%、0.426％とほぼ同程度の寄与を示している。1960年以来を5年毎に区分してみると1960年代の高度成長期には、量的変化の寄与が大きいのに対して、1970年代以降は、質的変化の寄与が相対的に大きくなっており、労働市場の量的拡大がタイトになった1970年代以降の状況を反映しているといえる。一方、資本の投入についても、（21）項目の構造バイアスは、全期間負値を示しており、資源配分の観点から効率的配分がなされたことを示している。資本の投入を量的拡大の寄与と質的変化のそれに分けてみると、全年平均では、量的拡大の寄与が年率2.587％と質的変化の寄与の年率1.348％の倍の寄与を示している。

以上が、日本経済の1960年-85年迄の成長要因の分解であるが、要点を整理すると以下のようになる。

(1) 資本投入の成長への貢献 54% 程度が、投入要素の内でもっとも大きく、資本投入の成長率 7.6% は産出の成長率 6.8% を上回っており、その結果、資本の生産性は、若干低下傾向にある。

(2) 労働投入量の成長への貢献は 33% 程度であり、年率 1.7% 程度の平均伸び率を示している。それは、マン・アワーベースの労働力人口の伸び約年率 1.0% 程度と労働の質の向上率 0.7% とに分解される。労働の質変化が労働投入の成長への寄与の約 50% 弱を説明するのは一つの特性である。産出の伸び率が労働投入の伸び率を大きく下回っていることに依って、労働生産性がこの間急激に上昇していることがわかる。

(3) 技術進歩率は、年率 2.2% 程度の平均伸び率を示しており、成長に対する寄与も 33% 程度と大きい。1975 年以降の伸び率の下降は著しく、低成長の一つの要因となっている。

これら（1）、（2）、（3）の成長要因の特性は、日本経済のこの間の要素相対価格の動きと大きく関係している。労働投入価格の上昇率は1960年-85年の平均で年率10.28%、60年から5年毎に区切ると、それぞれ11.58%、12.47%、17.54%、6.54%、3.34%となっている。一方、資本投入価格は、1960-85年平均で年率3.03%、1960年からの5年毎で、2.62%、6.51%、-0.88%、6.62%、0.25%となっており、労働投入価格の上昇率が圧倒的に高い上昇率となっている。労働投入と資本投入との代替効果は、こうした相対価格の変化の方向と整合的である。また、前述した様に、付加価値、労働、資本の構造バイアスについては、1980年代の付加価値構成の変化の方向を除いては、各部門の価格の相対価格の働きと整合的である。このように価格体系に整合的な日本経済の成長が、急激な構造的变化を伴っているのである。
表 1：日本経済の成長要因の分解

No.	Item	60-65	65-70	70-75	75-80	80-85	60-72	72-85	60-85
ディビジア 集計
(1)	付加価値	9.725	11.798	4.733	3.784	3.896	9.760	4.043	6.787
(2)	労働投入	2.929	2.201	-.097	1.967	1.608	2.381	1.113	1.722
(3)	資本投入	10.274	10.190	7.958	4.647	4.990	10.105	5.310	7.612
(4)	労働寄与率	1.397	1.079	-.075	1.154	.953	1.156	.667	.902
(5)	資本寄与率	5.349	5.237	3.792	1.925	2.047	5.190	2.267	3.670
(6)	部門別技術進歩率	2.979	5.482	1.016	.704	.895	3.415	1.108	2.215
集計生産関数仮定の集計
(7)	付加価値	7.573	11.149	5.012	4.003	6.375	8.649	5.137	6.823
(8)	労働投入	3.049	2.339	-.090	1.962	1.661	2.528	1.098	1.784
(9)	マン・アワー	1.288	2.608	-.718	1.047	.735	1.667	.369	.992
(10)	資本投入	10.817	11.210	8.517	5.055	5.189	10.829	5.692	8.158
(11)	資本ストック	4.140	8.326	6.462	5.369	3.011	6.584	4.425	5.461
(12)	集計技術進歩率	.488	4.241	1.029	.757	3.261	1.860	2.043	1.955
寄与率
(13)	<労働投入>	1.453	1.146	-.074	1.151	.985	1.227	.660	.933
(14)	質的変化	.838	-.125	.332	.537	.549	.419	.433	.426
(15)	マン・アワー	.616	1.272	-.406	.614	.436	.809	.227	.506
(16)	<資本投入>	5.631	5.762	4.056	2.095	2.129	5.561	2.433	3.935
(17)	質的変化	3.499	1.488	.988	-.129	.893	2.209	.553	1.348
(18)	資本ストック	2.133	4.274	3.068	2.224	1.236	3.353	1.880	2.587
構造的パイアス
(19)	付加価値	-2.153	-.649	.279	.220	2.480	-1.111	1.094	.035
(20)	労働投入	-.056	-.067	-.001	.003	-.032	-.072	.007	-.031
(21)	資本投入	-.282	-.525	-.264	-.170	-.082	-.371	-.166	-.265
表2: ディビジア指数(1970年=1.0): 日本の経済成長の要因

年	付加価值	労働投入	分配率	寄与率	資本投入	分配率	寄与率	技術進歩
1960	.34090	.77376	.47049	.88356	.35945	.52951	.58901	.65503
1961	.38156	.80110	.45968	.89795	.40316	.54032	.62630	.67847
1962	.41355	.82881	.48501	.91249	.45382	.51499	.66667	.67982
1963	.45409	.85585	.48727	.92684	.49739	.51273	.69882	.70108
1964	.51462	.91128	.48421	.95553	.54419	.51579	.73190	.73585
1965	.55438	.89577	.50042	.94749	.60080	.49958	.76961	.76026
1966	.60382	.92583	.49763	.96322	.64774	.50237	.79917	.78440
1967	.68281	.96376	.48628	.98244	.71840	.51372	.84233	.82511
1968	.78832	.96496	.48071	.98303	.79986	.51929	.89039	.90065
1969	.87932	.99334	.47896	.99680	.89324	.52104	.94302	.93545
1970	1.00000	1.00000	.48180	1.00000	1.00000	.51820	1.00000	1.00000
1971	1.03791	1.01078	.51605	1.00536	1.11124	.48395	1.05427	.97923
1972	1.09972	1.02961	.51588	1.01499	1.20859	.48412	1.09801	.98677
1973	1.19860	1.00593	.52475	1.00277	1.32325	.47525	1.14680	1.04228
1974	1.25241	1.01628	.55888	1.00835	1.42908	.44112	1.18795	1.04553
1975	1.26698	.99518	.59065	.99626	1.48869	.40935	1.20877	1.05209
1976	1.28691	1.02313	.58965	1.01268	1.54991	.41035	1.22891	1.03409
1977	1.29602	1.04001	.59442	1.02254	1.62516	.40558	1.25291	1.01161
1978	1.31130	1.06376	.58192	1.03621	1.69793	.41808	1.27571	.99198
1979	1.46961	1.09344	.57913	1.05290	1.76886	.42087	1.29780	1.07549
1980	1.53086	1.09802	.57981	1.05545	1.87808	.42019	1.33092	1.08980
1981	1.59127	1.10970	.58891	1.06200	1.98050	.41109	1.36062	1.10125
1982	1.67761	1.11581	.59151	1.06544	2.07488	.40849	1.38682	1.13537
1983	1.69894	1.17517	.59621	1.09875	2.16229	.40379	1.41026	1.09643
1984	1.76060	1.20123	.59153	1.11315	2.27341	.40847	1.43926	1.09893
1985	1.86006	1.18992	.58396	1.10698	2.41030	.41604	1.47437	1.13967
表 3: 集計的生産関数仮定による要因分解

年	付加価值	労働投入	分配率	寄与率	資本投入	分配率	寄与率	技術進歩
1960	.39215	.76385	.47049	.87811	.33242	.52951	.56571	.789 43
1961	.41775	.79384	.45968	.89398	.37638	.54032	.60457	.772 93
1962	.44368	.82222	.48501	.90894	.42377	.51499	.64361	.758 42
1963	.48157	.84957	.48727	.92351	.46773	.51273	.67710	.770 13
1964	.53448	.90655	.48421	.95309	.51393	.51579	.71071	.789 05
1965	.57266	.88964	.50042	.94430	.57092	.49958	.74968	.808 93
1966	.62036	.92081	.49763	.96067	.61894	.50237	.78063	.827 22
1967	.69142	.96237	.48628	.98176	.69459	.51372	.82774	.850 83
1968	.79512	.96306	.48071	.98210	.78219	.51929	.88011	.919 90
1969	.88338	.99415	.47896	.99718	.88453	.52104	.93823	.944 20
1970	1.00000	1.00000	.48180	1.00000	1.00000	.51820	1.00000	1.000 00
1971	1.04034	1.01246	.51605	1.00619	1.11213	.48395	1.05470	.980 31
1972	1.10713	1.03453	.51588	1.01745	1.21907	.48412	1.10262	.986 87
1973	1.21149	1.00663	.52475	1.00309	1.34651	.47525	1.15648	1.044 34
1974	1.28357	1.01831	.55888	1.00937	1.46808	.44112	1.20321	1.056 88
1975	1.28479	.99551	.59065	.99632	1.53088	.40935	1.22483	1.052 82
1976	1.30969	1.02393	.58965	1.01301	1.59948	.41035	1.24704	1.036 75
1977	1.33416	1.04124	.59442	1.02311	1.67980	.40558	1.27221	1.025 00
1978	1.36196	1.06414	.58192	1.03629	1.76270	.41808	1.29771	1.012 76
1979	1.57815	1.09538	.57913	1.05384	1.84591	.42087	1.32306	1.131 86
1980	1.56952	1.09812	.57981	1.05537	1.97112	.42019	1.36008	1.093 45
1981	1.66217	1.11014	.58891	1.06211	2.08427	.41109	1.39200	1.124 26
1982	1.77776	1.11651	.59151	1.06570	2.18410	.40849	1.41895	1.175 63
1983	1.84715	1.17918	.59621	1.10083	2.28157	.40379	1.44434	1.161 76
1984	1.98352	1.20473	.59153	1.11493	2.40155	.40847	1.47471	1.206 37
1985	2.15878	1.19321	.58396	1.10865	2.55502	.41604	1.51286	1.287 10
表 4: GDP の成長と構造変化バイアス

年	和集計	構造的バイアス	ディビジア指数
1960	.39215	1.15037	.34090
1961	.41775	1.09484	.38156
1962	.44368	1.07285	.41355
1963	.48157	1.06051	.45409
1964	.53448	1.03860	.51462
1965	.57266	1.03298	.55438
1966	.62036	1.02739	.60382
1967	.69142	1.01260	.68281
1968	.79512	1.00863	.78832
1969	.88338	1.00462	.87932
1970	1.00000	1.00000	1.00000
1971	1.04034	1.00234	1.03791
1972	1.10713	1.00674	1.09972
1973	1.21149	1.01075	1.19860
1974	1.28357	1.02488	1.25241
1975	1.28479	1.01406	1.26698
1976	1.30969	1.01770	1.28691
1977	1.33416	1.02942	1.29602
1978	1.36196	1.03863	1.31130
1979	1.57815	1.07385	1.46961
1980	1.56952	1.02525	1.53086
1981	1.66217	1.04456	1.59127
1982	1.77776	1.05970	1.67761
1983	1.84715	1.08724	1.69894
1984	1.98352	1.12661	1.76060
1985	2.15878	1.16059	1.86006
## 3 経済成長理論の展望

### 3.1 新古典派成長モデル - ソロー・モデル

ここでは、最近話題となっている内生的成長の理論をわれわれが着目している、資本蓄積のスピルオーバー効果を中心に簡単に展望しておきたい。

Solow(1956)によって示された貯蓄率一定のモデルを用いて新古典派成長理論の構造を明らかにしよう。Solow(1956)以降、Ramsey(1928)の最適貯蓄モデルを出発点としてCass(1965)、Koopmans(1965)によってソロー・モデルの貯蓄率一定という仮定が緩られ最適成長モデルという形で新古典派成長モデルが完結されてきた。しかし、最適成長モデルが示す結果はソロー・モデルとほぼ同じであり、新古典派の成長理論の構造を示すにはソロー・モデルで十分であると考える。最適成長モデルについては後に内生的成長理論のところで述べることにする。

#### 3.1.1 新古典派的生產関数

Y を産出量、K を資本の投入量、L を労働の投入量とするとき生産要素の投入と産出の技術的関係を表わす関数を生産関数と呼ぶ。

$$ Y=F\big(K,L\big) $$

生産閉数 $ F(K,L) $ は K と L に関して連続で 2 階微分可能であると仮定する。また、生産要素を何も投入しないとき産出量はゼロ、 $ F(0,0)=0 $ 、であると仮定する (桃源郷の不可能性)。

生産関数 $ F(K,L) $ が次の四つの性質を持つとき新古典派的であるという。

1．各生産要素の限界生産性は正で遞減する。すなわち、生産関数 $ F(K,L) $ は K と L に関して単調増加凹関数である。したがって、 $ F_{K} = \frac{\partial F}{\partial K} > 0, F_{L} = \frac{\partial F}{\partial L} > 0, F_{K K} = \frac{\partial^{2}F}{\partial K^{2}} < 0, F_{L L} = \frac{\partial^{2}F}{\partial L^{2}} < 0 $ 、という性質を持つ。

2．規模に対して収穫一定である。すなわち、生産関数 $ F(K,L) $ は K と L に関する 1 次同次関数である。したがって、任意の正の実数 $ \lambda $ に対して、 $ \lambda F(K,L) = F(\lambda K, \lambda L) $ となる。労働の平均生産性を y = Y/L、資本集約度を k = K/L で定義すると生産関数 $ F(K,L) $ を次の集約型で書くことができる。

$$ y=f(k) $$

資本と労働の限界生産性を集約型で表わすと、

$$ \begin{aligned}&\frac{\partial Y}{\partial K}=f^{\prime}(k)>0\\&\frac{\partial Y}{\partial L}=f(k)-kf^{\prime}(k)>0\\ \end{aligned} $$

となる。さらに$\partial^{2}Y/\partial K^{2}=f^{\prime \prime}(k)/L<0$ であるから集約型$f(k)$ も$k$ に関する単調増加凹関数である。資本の平均生産性は集約型を用いて$Y/K=f(k)k$ と表わせる。また$\partial Y/\partial L=k\left[f\left(k\right)/k-f^{\prime}(k)\right]>0$ であるから$0
集約型における資本の限界生産性は $ f^{\prime}(k) $ であるから集約型においても稲田条件はそのままあてはまる。

$$ \lim_{k\to0}f^{\prime}(k)=\infty,\quad\lim_{k\to\infty}f^{\prime}(k)=0 $$

また L'Hopital の規則から

$$ \lim_{k\to0}\frac{f(k)}{k}=\lim_{k\to0}f^{\prime}(k)=\infty,\quad\lim_{k\to\infty}\frac{f(k)}{k}=\lim_{k\to\infty}f^{\prime}(k)=0 $$

という性質も従う。つまり資本の平均生産性も無限大からゼロに単調に遅減する。

4. 資本 K および労働 L は生産関数 $ F(K, L) $ において本質的な要素である。ある生産要素が本質的であるというのは、その生産要素の投入がなくては生産が成り立たない、つまり産出量がゼロになってしまうということで、次の性質を満たす場合であると定義される。

$$ F\big(0,L\big)=F\big(K,0\big)=0 $$

これは稲田条件とL'Hopitalの規則から示すことができる³。集約型においてkは本質的な生産要素である。

以上まとめると、新古典派的生産関数とは生産要素に関して単調増加1次同次凹関数であり、稲田条件を満たすことから生産要素の平均および限界生産性は無限大からゼロに単調に遅減するという性質を持つ。次の節で示されるように、特に稲田条件は新古典派の経済成長モデルから得られる帰結に重要な役割を果たす。

#### 3.1.2 ソローの新古典派成長モデル

新古典はモデルでは、生産要素市場で完全雇用レベルに決定された生産要素の供給量に応じて総生産Yが決まる。生産されたYはその時点で消費されるか貯蓄される。そして、その貯蓄がすべて資本ストックへの投資として吸収される。すなわち、

$$ \begin{aligned}Y&=C+S\\\dot{K}&=S-\delta K\end{aligned} $$

が新古典派の国民経済計算体系である。ここに Y は産出量、C は消費量、S は貯蓄である。δ は資本の償却率で時間を通じて一定であると仮定する。ソロー・モデルの特徴は貯蓄 S が産出量の一定レベルに決定されるということである。すなわち貯蓄は、

$$ S=sY,\quad0
図1：ソローの新古典派成長モデル

生産関数 $ F(K, AL) $ は先に述べた新古典派的生産関数の四条件を全て満たすものとする。Aがハロッド中立的技術進歩で $ \dot{A}/A = g > 0 $ で外生的に成長する。つまり、労働の効率性が時間の経過とともに上昇していくのである。たとえ労働の投入レベルが変わらなくてもこの天から降ってきた技術進歩によって労働の投入量が増加したかのごとく見えるので労働増加的技術進歩とも呼ばれる。労働の供給量は常に人口に等し $ \dot{L}/L = n > 0 $ で成長するものとする。いま、 $ \hat{L} = AL $ として労働の投入単位を効率性の単位に換算して、産出量、資本ストックのレベルも全て労働の効率性の単位で換算すると集約型の生産関数として次を得る。

$$ \hat{y}=f\left(\hat{k}\right) $$

ここで、$\hat{y}$ と $\hat{k}$ は労働の効率性の単位に換算した産出量と資本ストックで、それぞれ $\hat{y}=Y/\hat{L}$、$\hat{k}=K/\hat{L}$ となっている。

整理するとソローの成長モデルは次の一本の$\hat{k}$に関する微分方程式に集約される。

$$ \frac{\dot{\hat{k}}}{\hat{k}}=\boldsymbol{s}\frac{f\left(\hat{k}\right)}{\hat{k}}-\left(\boldsymbol{g}+\boldsymbol{n}+\boldsymbol{\delta}\right) $$

これをソローの動学方程式と呼ぼう。

ソローの動学方程式は、貯蓄率で縮小した資本の平均生産性が外生的に与えられた技術進歩率、人口成長率、減価償却率の和より大きければ、すなわち、 $ s\frac{f(k)}{\hat{k}}>(g+n+\delta) $ ならば資本ストックが拡大し、逆に、 $ s\frac{f(k)}{\hat{k}}>(g+n+\delta) $ ならば資本ストックが縮小し、また、 $ s\frac{f(k)}{\hat{k}}>(g+n+\delta) $ であるときに資本ストックの成長率がゼロになることを示している。図1はソローの動学方程式の振る舞いを $ (\dot{\hat{k}}/\hat{k},\hat{k}) $ 平面に描いた位相図である。高さ $ g+n+\delta $ の水平線はソローの動学方程式の右辺第2項である。右下がりの曲線は右辺第1項の貯蓄率で縮小した資本の平均生産性曲線である。ここで稲田条件が重要な役割を果たす。稲田条件によれば資本の限界生産性は無限大からゼロに単調に遅減する。先に述べたように資本の平均生産性も同じである。故に、貯蓄率で縮小した資本の平均生産性曲線は $ 0<\hat{k}<\infty $ において必ず一度だけ $ g+n+\delta $ の水平線と交じわるのである。しかも、 $ 0<\hat{k}<\infty $ のどこから出発しても、この交点に対応する $ \hat{k}_{ss} $ に大域的に収束することを図1は示しているのである。そして一度この点に到達してしまうと $ \hat{k} $ は二度と動こうとしないのである。 $ \hat{k} $ が $ \hat{k}_{ss} $ で一定であれば、 $ \hat{y}_{ss}=f(\hat{k}_{ss}) $ も一定であり、対応する貯蓄、消費も全て一定である。すなわち、ソロー・モデルは長期の成長率はゼロであることを予測しているのである。このソロー・モデルの変数はすべて労働の効率単位に換算されていた。労働の効率性に換算された資本
ストックの成長率は

$$ \frac{\dot{\hat{k}}}{\hat{k}}=\frac{\dot{k}}{k}-\ g=\frac{\dot{K}}{K}-\ g-\ n $$

と表わされる。労働の効率性の単位で測った資本ストックの長期成長率がゼロであるということは、一人あたりの資本ストックが技術進歩率 g で成長し、資本ストックそのものは技術進歩率プラス人口成長率で成長することを意味している。産出量、貯蓄、消費に関しても同様である。つまり、新古典派の成長モデルでは、長期の成長を説明するものはモデルでは説明できない外生的な要素（技術進歩率、人口成長率）しかないのである。

### 3.2 稻田条件と内生的成長

図１をもう一度眺めてみよう。もしも貯蓄率で縮小された資本の平均生産性曲線が水平線 $ g + n + \delta $ よりも高い位置に収束したらどういうことになるだろう。そのような生産関数で記述される経済の長期の成長率は、たとえ外生的な技術進歩や人口の成長がなくても、

$$ s\lim_{t\to\infty}\frac{f(k)}{k}-\delta $$

に漸近的に収束していくであろう。この場合、外生的な要因に依存しなくてもモデルが説明する内生変数によって長期の成長率がゼロではなく正の値になることを説明できることになる。これが内生的成長モデルのメカニズムであるといっても過言ではない。

このような状況が成り立つのは新古典派生産関数の四つの性質のうち稲田条件、$\lim_{t\to\infty}f^{\prime}(k)=0$が成立せず、

$$ \lim_{t\to\infty}f^{\prime}(k)=A>0 $$

が成り立つ場合である。つまり、資本の限界生産性が漸近的に下に有界であれば良い。

その最も単純な例が Rebelo(1991)の AK モデルである。 AK モデルでは集約型の生産関数が、

$$ y=A k $$

で与えられる。したがって、資本の限界生産性も平均生産性も定数 A になり、$\lim_{t\to0}f'(k)=A$、$\lim_{t\to\infty}f'(k)=A$ で稲田条件も成り立たない。AK モデルをソローの動学方程式に入れてみれば、

$$ \frac{\dot{k}}{k}=s A-\pmb{\delta} $$

となり、 $ A>\delta/s $ であれば、 $ \dot{y}/y=\dot{k}/k $ であるから、AK モデルは定常的な成長率 $ sA-\delta $ で永久に均斉的に成長を続ける。図 2 に見るように AK モデルでは遷移経路に関する動学は存在せず、いつでも同じ速度で経済は永遠に成長する。

$k\to\infty$ のとき稲田条件が成り立たない生産関数の例として、AKモデルとコブ・ダグラスの混合型、$Y=AK+K^{\alpha}L^{1-\alpha}$ (Jones and Manuelli 1990) と CES 生産関数、$Y=A\left[aK^{\nu}+\left(1-a\right)L^{\nu}\right]^{1/\nu}$ (Arrow, Chenery, Minhas, and Sollow, 1961) が有名である$^{4}$。これらの生産関数の特徴は稲田条件だけでなく全ての生産要素が本質的であるという条件も緩められていることに気がつくだろう。つまり、労働の投入がゼロであっても資本の投入が正であれば産出が可能である。また、AKモデルと異なりこれらの生産関数を用いた場合には遷移経路に関する動学が存在する。

ここでは CES 生産関数を例にとろう。1 次同次 CES 生産関数の集約型は次のようになる。

$$ y=f\big(k\big)=\mathrm{A}\Big[a k^{\vee}+\big(1-a\big)\Big]^{1/i},\qquad0
図2: AK (資本増加的技術進歩) モデル

$ 1/(1-\nu) $ は資本と労働の代替の弾力性である。周知のとおりCES生産関数は $ \nu\to-\infty $ のとき完全補完のレオンティエフ型、 $ \nu\to0 $ のとき代替の弾力性が1のコブ・ダグラス型、 $ \nu=1 $ のとき完全代替の線形生産関数になる。資本の限界生産性と平均生産性は、

$$ \begin{aligned}&f^{\prime}\big(k\big)=A a\left[a+\big(1-a\big)k^{-\nu}\right]^{\left(1-\nu\right)/\nu}>0\\&\frac{f^{\prime}\big(k\big)}{k}=A\big[a+\big(1-a\big)k^{-\nu}\big]^{1/\nu}\\ \end{aligned} $$

で与えられる。 $ f''(k) < 0 $ であることは容易に確かめられる。CES 型の場合ソローの動学方程式は次のようになる。

$$ \frac{\dot{k}}{k}=s A\left[a+\left(1-a\right)k^{-\nu}\right]^{1/\nu}-\delta $$

次に CES 生産関数がレオンティエフ型より代替的でコブ・ダグラス型よりは代替的でないケース、すなわち、ν < 0 の場合とコブ・ダグラス型より代替的で完全代替よりは代替ではないケース、すなわち、0 < ν < 1 の場合とに分けて調べてみよう。

$v<0$ のケース このとき稲田条件は、$\lim_{k\to\infty}f'(k)=\lim_{k\to\infty}f(k)/k=0$、$\lim_{k\to0}f'(k)=\lim_{k\to0}f(k)/k=Aa^{1/\nu}$ になる。$k$ をゼロに近づけたとき $sAa^{1/\nu}$ が資本の償却率を上回る程に貯蓄率が大きければ、位相図は図 $3(\mathrm{a})$ のようになり、定常状態における成長はゼロである。逆に貯蓄率が非常に低く $sAa^{1/\nu}$ が資本の償却率よりも小さければ図 $3(\mathrm{b})$ に示すように経済は時間とともに縮小していき資本ストックも生産量もゼロに収束してしまう。

$0
(a) $ \nu < 0, sAa^{1/\nu} > \delta $

(b) $ \nu < 0, sAa^{1/\nu} < \delta $

(c) $ 0 < \nu < 1, sAa^{1/\nu} > \delta $

(d) $ 0 < \nu < 1, s A a^{1/\nu} < \delta $

図 3: CES 生産関数とソロー・モデル