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以上、内生的成長理論の最も単純なモデルを見てきた。内生的成長のためには、稲田の条件が成立せず、資本の限界生産性（広い意味では蓄積する生産要素の限界生産性）が漸近的に正の値を取ることが少なくとも必要なのである。これは、資本に対する収益率が永久にゼロにはならず正の値であり続けることを意味している。

### 3.3 外部性と内生的成長 - 資本蓄積のスピルオーバー効果

前節では、内生的成長のためには資本の限界生産性が漸近的にゼロにならない、つまり稲田条件が成立しないことが少なくとも必要であることが示された。蓄積された生産要素がマーシャル的な外部経済を及ぼす場合にそのような条件が成立する可能性があることが Romer(1986)によって示された。この試みは Romer を待つまでもなく Arrow(1962)が学習効果(learning by doing)としてその可能性を示していた。Arrow の発想は、先に示したハロッド中立的技術進歩に対して過去に蓄積されてきた資本ストックを用いるというものである。過去に蓄積して現在利用可能な資本ストックには、過去の知識や経験が体化されており労働の生産効率を向上させる効果があるという発想である。Arrow は内生的な成長を示すことはなかったのであるが、Romer はその発想をリバイバルさせ、蓄積される生産要素が個々の生産者にとって公共財のようにマーシャル的な外部経済をもたらすとき、社会全体にとっては収穫遅増効果（つまり蓄積する生産要素の限界生産性が遅減しない）となって顕在化し内生的成長が可能になることを示したのである。後に示すようにこのような収穫遅増現象は内生的成長のために十分ではない。規模効果が十分に大きいときにのみ内生的成長が可能になる。

次のような企業ベースの生産関数を考えよう。N は企業数で非常に大きな定数であると仮定しよう。また各企業は全く同質（同じ生産関数を持つ）であるとする。

$$ Y_{i}=F\big(K_{i},L_{i},Z\big),\qquad i=1,\ldots,N $$

$ Y_{i} $ 、 $ K_{i} $ 、 $ L_{i} $ はそれぞれ企業 i の産出量、資本ストック投入量、労働投入量を示す。Z は公共財としての性質を持ったインプットである。Z は経済全体に賦存する量で、全ての企業にとって費用をかけることなく投入可能な量である。各企業の R&D 投資によって蓄積された知識は他の企業にも波及して一般的で公共性のある知識ストックの形成に貢献すると考えれば、Z はそのような知識ストックであるかもしれない。また、Z は社会資本の総賦存量であってもよい。企業数 N が非常に大きいという仮定は Z が各企業にとって一定の数量として与えられていることを意味する。各企業は企業に固有なインプットである $ K_{i} $ と $ L_{i} $ のみを最適に選択することが可能である。つまり、Z はマーシャルのな外部効果をもたらす。規模の経済性が外部効果として働くという設定は、生産物および生産要素市場が完全競争的であるという設定と矛盾しないということは重要である (Chipman, 1970)。もちろん、後に触れるように市場均衡解はパレートの意味で最適ではない。

いま、生産関数 $ F(\bullet) $ は企業に固有の要素 $ K_{i} $ 、 $ L_{i} $ に関して単調増加 1 次同次凹関数、Z に関する増加関数であると仮定しよう。したがって、 $ F(\bullet) $ 全体として規模に対する収穫遞増を示すことになる。つまり、全ての実数 $ \lambda > 1 $ に関して次が成り立つ。

$$ F\big(\lambda K_{i},\lambda L_{i},\lambda Z\big)>F\big(\lambda K_{i},\lambda L_{i},Z\big)=\lambda F\big(K_{i},L_{i},Z\big) $$

ここでは Arrow(1962)、Romer(1986,1989)にしたがって

$$ Z=K=\sum^{N}K_{i} $$

としよう。また、単純化のために企業数 N は人口 L に等しく、人口は一定であるとしよう。したがって同質的な各企業の生産関数は、

$$ Y_{i}=F\big(K_{i},L_{i},K\big),\qquad i=1,...,L $$
となる。全ての企業は同質であるから均衡においては市場で決まった要素価格に対して同じ量の生産要素を需要するはずである。そのときの資本の投入量を k = K / L 、またそのときの産出量を y = Y / L とすれば、企業固有の要素に関する企業別生産関数の1次同次性を利用して代表的企業の生産関数を

$$ Y=L y=F\big(L k,L,K\big)=F\big(K,L,K\big) $$

と書くことができる。また集約型で表して、

$$ y=f\big(k,K\big) $$

となる。代表的企業の生産関数 $ f(\bullet) $ に対して $ D_{i}f $ を第 i 要素に関する偏導関数、 $ D_{ij}f $ を第 i 要素と第 j 要素に関する 2 階の偏導関数と約束すれば、生産関数 $ F(\bullet) $ に関する仮定より、 $ D_{1}f > 0 $ 、 $ D_{11}f \leq 0 $ である。つまり資本に関する私的限界生産性は遅減する。また集計資本は各企業にプラスの外部経済を与えるとして $ D_{2}f > 0 $ とする。

これに対し経済全体では外部性が内部化されて K = kL として扱うことができる。したがって代表的企業の生産関数を $ f(k, Lk) $ と書ける。すなわち、経済全体の生産関数は k のみの関数として $ F(k) = f(k, Lk) $ と書ける。これを社会的生産関数と呼ばう。このとき資本の社会的限界生産性は、 $ F'(k) = D_1 f + LD_2 f $ となり資本の私的限界生産性よりも常に大きいことになる。

いま企業の生産関数を次のようなコブ・ダグラス型で表わしてみよう。

$$ Y_{i}=K_{i}^{\alpha}L_{i}^{1-\alpha}K^{\eta},\quad0<\alpha<1,\quad0<\eta $$

このとき代表的企業の生産関数の集約型は

$$ y=f\big(k,K\big)=k^{\alpha}K^{\eta} $$

となる。資本の私的限界生産性は $ D_{1}f=\alpha k^{\alpha-1}K^{\eta} $ である。また、社会的生産関数は、

$$ y=F\big(k\big)=k^{\alpha}\left(Lk\right)^{\eta}=k^{\alpha+\eta}L^{\eta} $$

となるから、資本の社会的限界生産性は $ F'(k) = (\alpha + \eta)k^{\alpha + \eta - 1}L^{\eta} $ である。この定式化のとき、資本の社会的限界生産性と私的限界生産性の比率は一定で次の値をとる。

$$ \frac{D_{1}f+LD_{2}f}{D_{1}f}=\frac{\left(\alpha+\eta\right)k^{\alpha+\eta-1}L^{\eta}}{\alpha k^{\alpha+\eta-1}L^{\eta}}=\frac{\alpha+\eta}{\alpha} $$

さらに、 $ F''(k) = (\alpha + \eta - 1)(\alpha + \eta)k^{\alpha + \eta - 2}L^{\eta} $ となるから資本の社会的限界生産性は人口一定という条件のもとで $ ^{5} $

ケース 1: 資本の限界生産性が遅減的なケース $ \alpha + \eta < 1 $ のとき $ F''(k) < 0 $ となり遅減的で、さらにコブ・ダグラス型の場合には稲田条件が成立する。つまり $ \lim_{k \to 0} F'(k) = \infty $ 、 $ \lim_{k \to \infty} F'(k) = 0 $ である。これらの特徴は新古典派生産関数と全く同じである。

ケース 2: 資本の限界生産性が一定のケース $ \alpha + \eta = 1 $ のとき $ F''(k) = 0 $ となり一定で $ F'(k) = (\alpha + \eta) L' $ となる。

ケース 3: 資本の限界生産性が透増的なケース $ \alpha + \eta > 1 $ のとき $ F''(k) > 0 $ となり透増的である。すなわち、社会的生産関数は k の全域において凸関数である。また $ \lim_{k \to 0} F(k) = 0 $ 、 $ \lim_{k \to \infty} F(k) = \infty $ が成り立つ。
$$ \alpha+\eta>1 のケース $$

$$ F(k) $$

(a) 限界生產性遞減

(b) 限界生產性一定

$ \alpha+\eta=1 $ のケース

$$ F'(k) $$

(c) 限界生產性遞增

図4：社会的生產関数
#### 3.3.1 ソロー・モデルと内生的成長

この社会的生産関数をソロー・モデルに適用してみよう。ソローの動学的方程式は次のようになる。

$$ \frac{\dot{k}}{k}=s k^{\alpha+\eta-1}L^{\eta}-\pmb{\delta} $$

また産出量の成長率は、

$$ \frac{\dot{y}}{y}=(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\eta})\boldsymbol{\eta}_{k} $$

で与えられる。

図5は、それぞれケース1、ケース2、ケース3に対応した位相図である。それぞれの図には、 $ (\dot{k}/\mathrm{k}, \mathrm{k}) $ 平面に貯蓄率で縮小した資本の平均生産性曲線と $ \dot{k}/k = \delta $ を示す半直線が k 軸に水平に描かれている。ソローの動学方程式からわかるとおり、両曲線の差が資本の成長率になる。資本の生産性曲線が $ \dot{k}/k = \delta $ を示す水平線よりも上側に位置する領域では $ \dot{k}/k > 0 $ であり資本は成長する。これらの曲線が逆に位置する領域では $ \dot{k}/k < 0 $ であり資本は減少する。

## ケース 1：資本の限界生産性が遞減的なケース

ケース 1 の場合、稲田条件が成立するので図 5(a) に見るように資本の平均生産性曲線は δ が正である限り必ず $ \dot{k}/k = \delta $ を示す水平線と 1 度だけ交わる。したがってこのケースの場合、人口が一定であるならば定常状態が存在し一意に決まる。図 5(a) の両曲線の交点に対応する $ k_{ss} $ が資本の定常値で、この値は、 $ k_{ss} = \left[ \frac{\delta}{sL\eta} \right]^{1/(\alpha + \eta - 1)} $ に一義的に定まる。定常値 $ k_{ss} $ に対応する資本の成長率はゼロであり、したがって生産物の成長率もゼロとなり、ケース 1 の場合は内生的な成長はないことになる。つまり、外部経済があったとしても社会的限界生産性が遅減的である限り最終的に経済はゼロ成長の定常状態に至ってしまうのである。ケース 2: 資本の限界生産性が一定のケース

ケース 2 の場合ソローの動学方程式は、

$$ \frac{\dot{k}}{k}=s L^{\eta}-\delta $$

となり資本の社会的平均生産生は資本の変化に関して不変である。したがって人口が一定である限り、右辺は定数になる。 $ \alpha+\eta=1 $ であるから生産物の成長率も資本の成長率に等しく、この経済は均育的に成長する。 $ sL^{\eta}>\delta $ と考えて良いから、図5(b)に示すとおり、この経済は永久に定常状態における一定率で成長し続けることになる。つまり、外部的な規模の経済性を示すパラメータ- $ \eta $ が資本の社会的限界生産性を一定に保つほどに大きければ、外生的な技術進歩がなくても経済は持続的な成長を続けることができるのである。ここで得られた結果は先に述べた稲田条件を緩めた成長モデルから得られる結果と同じである。

## ケース 3: 資本の限界生産性が遅増的なケース

生産関数のパラメーターが $ \alpha + \eta > 1 $ のとき社会的生産関数は k の全域において凸関数であるという性質を示す。したがって位相図は図 $ 5(c) $ のようになる。この場合、資本の貯蓄率で縮小した平均生産性曲線と資本の償却率を示す水平線の交点に対応する k の値は非常に小さい。したがって、資本ストックの初期レベルはこの交点の右側にあると考えて良いだろう。もしそうであるならば、このケースには定常状態は存在せず資本の成長率が永遠に上昇し続ける。また、 $ \dot{y}/y = (\alpha + \eta) \dot{k}/k $ で与えられる産出量の成長率は、資本の成長率を上回るペースで上昇する。これは永遠に発揮される規模の経済性の効果である。

最後に本節で一貫して一定であるとして扱ってきた人口規模について触れておこう。人口を一定にした内生的成長のケース2では、たとえ生産関数のパラメターと貯蓄率が国際間で同じであっても、人口の規模が違えば永久に経済成長率も異なりそのギャップは永久に埋まらないことになる。もし人口が一定率で
(a) 資本の限界生産性遞減

(b) 資本の限界生産性一定

(c) 資本の限界生産性遞増

図 5: 外部経済と内生的成長
上昇するならば、集計された社会的生産関数を見てわかるように、人口の拡大は常に資本の限界生産性を上昇させ、ケース3のように永久に規模の経済が働き一人当たりの産出量の成長率が永遠に上昇し続けることになる。

ソローの新古典派モデルでは生産関数のパラメターと貯蓄率の大きさに関わりなく長期の経済成長率はゼロであった。そして長期の経済成長を説明するためには、天から降ってくる外生的な技術進歩に依存するしかなかった。本節では、外生的な技術進歩に頼らずとも、これまでの成長会計で取り上げられてきた生産要素、すなわち資本と労働によって長期の成長が可能になる条件を整理してきた。その一つは、資本蓄積が経済全体にもたらす収穫遞増効果が長期の経済成長を説明し得るということである。そのときには、外部的に働く収穫遞増効果が資本の限界生産性を一定に保つほどに大きいことが必要であることが示された。また資本の限界生産性が一定で正の値を持つという条件が漸近的に成り立つ場合には、資本蓄積の収穫遞増効果なくしても長期の経済成長が可能であることが示された。これは、新古典派的な生産関数が持つ特徴の一つである稲田条件を緩めることに等しい。ソロー・モデルに外部的な収穫遞増効果を入れることにより内生的成長理論の大筋は説明できたと思う。よく知られるようにソロー・モデルでは貯蓄率の変化は長期の成長率にはなんら影響を及ぼさない。しかし、このことは定常状態における消費水準が変化しないことを意味しない。貯蓄率を外生的に扱ったモデルでは、異なる貯蓄率に対応する成長経路のどれが消費者にとって最適であるのかが曖昧である $ ^{6} $ 。次にRamsey-Cass-Koopmansによる最適成長モデルの中で資本蓄積のスピルオーバー効果を扱ってみよう。

##### 3.3.2. 最適成長モデルと内生的成長

Ramsey-Cass-Koopmans の最適成長モデルでは、未来永劫に存続していく家計を想定し、その家計は次のような厚生関数を最大化することによって異時点間の消費経路を選択するものとされる。

$$ U=\int_{0}^{\infty}u(c)e^{-p t}e^{n t}d t $$

c は一人当たりの消費水準、 $ \rho(>0) $ は時間選好率、n は人口の成長率である。また $ u(c) $ は各時点の効用関数で次のような性質を持つ。 $ u(c) $ は c に関する凹関数である、すなわち、 $ u'(c)>0 $ 、 $ u''(c)<0 $ を満たす。また $ u(c) $ は稲田条件を満たす、すなわち、 $ \lim_{c\to0}u'(c)=\infty $ かつ $ \lim_{c\to\infty}u'(c)=0 $ 。つまり消費水準がゼロに近づくにしたがって限界効用は無限大になり、消費水準が無限に大きくなるにつれ限界効用はゼロに近づく。この条件によって消費水準がゼロになることを排除することができる。さらに、 $ \rho>n $ という条件を付け加える。これは、たとえ消費水準が時間を通じて一定であるとしても厚生関数 U が有界であることを保証する。次に各時点の効用関数 $ u(c) $ を次のように特定化しよう。

$$ u(c){=}\frac{c^{^{1-\theta}}}{1{-}\theta} $$

この場合、限界効用は $ u'(c) = c^{-\theta} $ となる。また $ u''(c) = -\theta c^{-(1+\theta)} $ となるから、 $ \sigma = -u'(c)/(cu''(c)) $ で定義される異時点間の消費に関する代替の弾力性は $ \sigma = 1/\theta $ となる。

## 中央計画局の最適成長経路

ここで、この経済は全知全能の計画者によって運営されているとしよう。生産された財は家計で消費されるか次期以降の消費を賄うために資本ストックの蓄積に使われる。すなわち、資本ストックの蓄積に関
する動学は次の微分方程式によって表わされる。

$$ \dot{K}=Y-C-\boldsymbol{\delta}K $$

この計画者は生産に外部性が働くこと知ったうえで最適な経路を決定しなければならない。つまり計画者にとっての生産関数は社会的生産関数である。前と同様に人口は一定としよう。このとき、計画者は次の制約のもとで家計の厚生関数を最大化すべく資本ストックと消費の最適経路を決定する。

$$ \dot{k}=F\big(k\big)-c-\pmb{\delta}k=k^{\alpha+\eta}L^{\eta}-c-\pmb{\delta}k $$

また、計画者にとって資本ストックの初期値 $ k_{0} = \overline{k}_{0} > 0 $ は既知である。以後、資本ストックの初期値 $ k_{0} = \overline{k}_{0} $ と資本蓄積の動学方程式(37)を制約に厚生関数(36)を最大化する問題を計画者の問題と呼ばう。

計画者の問題を k を状態変数、c を操作変数とする最適制御の問題として捉らえれば次のハミルトニアンを得る。

$$ H=u\big(c\big)e^{-\rho t}+\lambda\big[F(k)-c-\delta k\big]=\frac{c^{I-\theta}}{1-\Theta}e^{-\rho t}+\lambda\big[k^{\alpha+\eta}L^{\eta}-c-\delta k\big] $$

入は資本蓄積方程式(37)に随伴する共役変数で、資本ストックが限界1単位増加したときの経済厚生Uの増加分を示す。すなわち、経済厚生単位で測った投資の帰属価格と考えてよい。よって、計画者の問題のハミルトニアンは経済厚生単位で測った国民所得（国内総生産-資本減耗）にほかならない。

計画者の問題に関する一階の条件は次のようになる。

$$ \frac{\partial H}{\partial c}=e^{-\rho t}u^{\prime}\big(c\big)-\lambda=e^{-\rho t}c^{-\theta}-\lambda=0 $$

$$ \dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial k}=-\lambda[F^{\prime}\big(k\big)-\delta]=-\lambda[(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\eta})k^{\alpha+\eta-1}L^{\eta}-\delta] $$

$$ \lim_{t\to\infty}\lambda_{_{t}}k_{_{t}}=0 $$

(39)は、最適経路上では消費水準cはハミルトニアンを最大化するように選ばれなくてはならず、そのときには各期の消費はその限界効用が資本蓄積の帰属価格に等しくなるように選ばれることを意味している。(40)は資本蓄積の帰属価格の変化を示すオイラー方程式である。最適経路上では、資本ストックの限界的な1単位の増加による生産性の上昇分（すなわち資本の限界生産性）だけ帰属価格が低下することを意味している。(41)は横断性の条件である。これは最適経路上では資本ストックの価値が漸近的にゼロになることを意味している。直感的には横断性の条件は、無限の期間にわたる予算制約を成立させる条件と考えて良い。(37)を積分してみれば、初期資産$\overline{k}_{0}$と生産（あるいは所得）の現在価値の総和が消費の現在価値の総和と$\lim_{t\to\infty}\lambda_{t}k_{t}$の和に等しくなる。したがって、無駄な投資をせず$\lim_{t\to\infty}\lambda_{t}k_{t}=0$とすることが、生産した財を無駄無く使いきるという意味で最適な選択となる。共役変数に関する微分方程式(40)を解けば、

$$ \lambda_{_{t}}=\lambda_{_{0}}e^{-\int_{_{0}}^{T}(F^{\prime}(k)-\delta)d\nu} $$
となる。また(40)より $ \lambda_{0}=u^{\prime}\left(c_{0}\right)>0 $ で稲田条件より $ c_{0} $ が有限である限り $ u^{\prime}\left(c_{0}\right) $ も有限であるから(41)に代入して、横断性の条件は次のように書くことができる。

$$ \lim_{t\to\infty}k_{t} e^{-\int_{0}^{T}\left(F^{\prime}(k)-\delta\right)d v} $$

すなわち横断性の条件が成り立つためには、漸近的に資本の社会的限界生産性はその償却率よりも高くなければならない。

(39)から $ \lambda = e^{-pt}c^{-\theta} $ であるから、これを時間に関して微分し(40)に代入して整理すれば、

$$ \frac{\dot{c}}{c}=\sigma\left[F^{\prime}\big(k\big)-\mathsf{\rho}-\delta\right]=\frac{1}{\theta}\big[\big(\alpha+\mathsf{\eta}\big)k^{\alpha+\mathsf{\eta}-1}L^{\mathsf{\eta}}-\mathsf{\rho}-\delta\big] $$

を得る。これは、消費経路に関するオイラー方程式でラムセイ-ケインズ式とも言われる。

以上整理すれば、計画者の最適計画が存在するとすれば、それは初期条件 $ k_{0}=\overline{k}_{0} $ から出発し資本ストックと消費に関する微分方程式(37)と(44)に導かれる経路のうち横断性の条件(41)を満足する経路であるということができる。計画者の選択する経路は、ソロー・モデルの場合と同様に社会的生産関数の収穫遞増の程度によって異なってくる。消費経路のオイラー方程式(44)を一瞥してわかるように、資本の社会的限界生産性が遅減的であれば有限時限で消費の成長が止まる資本ストックのレベルに遭遇するであろう。一定であれば消費成長率は資本ストックのレベルに関わりなく一定であるし、遅増的であれば資本ストックの拡大とともに消費の成長率も遅増的に上昇する。後者の場合には、一定率もしくは遅増的に成長する消費を可能にするだけの生産ができるかどうかという条件、またそのときに厚生関数の積分が可能であるための追加的な条件が最適解の存在のために必要になるだろう。本節では最適解の存在を示すことが容易な資本の社会的限界生産性が遅減的なケースと一定のケースについて説明することにする。遅増的なケースについてはRomer(1986)を参照されたい。

資本の社会的限界生産性が遅減的なケース、図6は、$\alpha+\eta<1$ のケースに関して$(c,k)$ 平面に位相図を描いたものである。資本蓄積方程式(37)とラムゼイ-ケインズ式(44)に導かれる様々な経路が矢印によって描かれている。$\dot{c}=0$ を示す垂直な半直線は、(44)において$F^{\prime}(k)=\rho+\delta$ を満たす軌跡である。先に示したように資本の限界生産性が遅減的な場合には稲田条件が成立する。したがって、$\dot{c}=0$ を満たす$k$ は一義的に決定する。この$k$ を$k_{ss}$ とすれば、$F^{\prime}(k)<0$ という性質より$k_{ss}0$ である。$\dot{k}=0$ で示される曲線は(37)において$c=F(k)-\delta k$ を満たす軌跡である。$dc/dk>0$、$d^{2}c/dk^{2}<0$ よりこのような山なり形になることは自明である（図ではコブ・ダグラス型に対応させて$F(0)=0$ で描いてある）。(37)より$\dot{k}=0$ より上方に位置する$(c,k)$ に関しては$\dot{k}<0$ であり、下方に位置する$(c,k)$ に関しては$\dot{k}>0$ である。このように資本の社会的限界生産性が遅減的な場合には、$\dot{c}=0$、$\dot{k}=0$ を満たす定常状態が存在する（図のE点）。位相図が示すように$k_{0}=\overline{k}_{0}$ から出発して点Eに至る経路に対応する$c_{0}$ が必ず存在し、そのような経路は鞍点経路になっていることがわかる。そして鞍点経路に乗って定常点$\left(c_{ss},k_{ss}\right)$ に到達した経済の成長はゼロでストップすることになる。さらに、鞍点経路に乗って定常状態に到達すれば$F^{\prime}(k_{ss})=\rho+\delta$ を満たすから$\rho>0$ より$F^{\prime}(k)>\delta$ となり横断性の条件(43)を満たす。したがって、この経路は最適な経路であることがわかる。

資本の社会的限界生産性が一定のケース このケースは社会的生産関数（3.3）において $ \alpha + \eta = 1 $ になるケースである。このとき資本ストックの蓄積方程式(37)、ラムゼイ-ケインズ式(44)および横断性の条件(43)をそれぞれ次のように書くことができる。

$$ \dot{k}=kL^{\eta}-c-\delta k $$
図6：資本の社会的限界生産性が遅減的なケース（最適成長モデル）

$$ \frac{\dot{c}}{c}=L^{\eta}-\mathsf{\rho}-\delta $$

$$ \lim_{t\to\infty}k_{t} e^{-\left(L^{\eta}-\delta\right)t}=0 $$

新しいラムゼイ-ケインズ式(46)に見るように、人口一定という条件のもとで消費の成長率は一定である。このとき消費が成長するためには $ L^{\eta} > \rho + \delta $ という条件が必要である。

以下、Barro and Sala-i-Martin(1995, pp.142-143)にしたがって、この成長率が均弁成長率であることを示そう。まず(46)は定数係数の常微分方程式であるから、

$$ c_{t}=c_{0}e^{\frac{1}{\uptheta}\left(L^{\upeta}-\uprho-\updelta\right)t} $$

なる一般解を得る（この段階では消費の初期値 $ c_{0} $ は未決定である）。この解を（36）に代入すると、

$$ U=\frac{c_{0}^{1-\theta}}{1-\theta}\int_{0}^{\infty}{_{e}^{\rho t}}{_{e}^{\frac{1-\theta}{\theta}}\big(L^{\eta}-{\mathfrak{p}}-\delta\big)t}_{d t} $$

を得る。したがって、

$$ L^{\eta}-\delta>\mathsf{\uprho}>\frac{1-\theta}{\theta}\left(L^{\eta}-\mathsf{\uprho}-\delta\right) $$

という関係は、この経済が消費を成長させるのに十分に生産的であるが、無限の経済厚生を生じる程には生産的でないという条件になる。

資本ストックの蓄積方程式(45)も定数係数の常微分方程式であるから(48)を用いれば次の一般解を得る。

$$ k_{t}=b e^{\left(L^{\eta}-\delta\right)t}+\frac{c_{0}}{\varphi}e^{\frac{1}{\theta}\left(L^{\eta}-\uprho-\delta\right)t} $$

$$ \boldsymbol{\upvarphi}=L^{\upeta}-\updelta-\frac{1}{\uptheta}\left(L^{\upeta}-\uprho-\updelta\right) $$
bは積分定数であり、また(49)よりφ>0である。さらにこの結果を横断性の条件(47)に代入すると、

$$ \lim_{t\to\infty}\left[b+\frac{c_{0}}{\boldsymbol{\varphi}}^{-\boldsymbol{\varphi}t}\right]=0 $$

となる。したがって、横断性の条件が成り立つためには積分定数bがゼロでなければならない。よって、

$$ k_{_{t}}=\frac{\mathbf{c}_{_{0}}}{\boldsymbol{\upvarphi}}e^{\frac{1}{\theta}\left(L^{\upeta}-\uprho-\updelta\right)_{t}} $$

となる。これを消費の初期値 $ c_{0} $ について解いて(48)に代入すれば、消費は資本ストックの線形関数として、

$$ c_{_{t}}=\boldsymbol{\varphi}k_{_{t}} $$

と表わせる。したがって、$\dot{c}=\dot{k}$ であり、また生産関数より $\dot{y}=\dot{k}$ であるから、この経済の均弁成長率は(46)で与えられ、外生的な技術進歩や人口の成長がなくとも内生的に長期の成長が可能であることがわかった。以上示したように、$k_{0}=\overline{k}_{0}$ を所与として $c_{0}=\varphi\overline{k}_{0}$ 、$y_{0}=\overline{k}_{0}L^{\eta}$ から出発して $L^{\eta}-\rho-\delta$ で永久に成長する経路は、資本ストックの蓄積方程式(45)、ラムゼイ-ケインズ式(46)、および横断性の条件(47)を満たしており最適成長経路である。

最適成長モデルを用いて資本蓄積のスピルオーバーによる収穫遅増効果を調べてみた。得られた結果は前節のソロー・モデルと全く同じである。すなわち、資本蓄積のスピルオーバーによる収穫遅増が資本の限界生産性を一定に保つ程には大きくない場合には、新古典派のRamsey-Cass-Koopmansの最適成長モデルと同じ結果になり、外生的な技術進歩や人口の成長率がゼロのときには長期の成長率はゼロになる。また、その成長経路は鞍点経路として与えられる。一方、スピルオーバーによる収穫遅増効果がちょうど資本の限界生産性を一定に保つ場合には内生的成長が可能である。ただしその場合には、経済は常に一定率で成長し遷移経路に関する動学は存在しない。またソロー・モデルと比較したとき、経済成長を正に保ち、効用積分(36)が発散しない条件(49)が必要である。

## 市場経済における最適成長モデル

多数の家計と企業からなる市場経済を考えよう。家計と企業の数は有限でともに L であり、各家計および企業は全く同質であるとしよう。家計および企業の数 L は時間を通じて一定とする。

家計　家計は資本ストックと労働を保有し、企業に対して毎期時点それらを供給するものとしよう。それぞれのレンタル価格を q と w で表わすことにする。家計はこれらのレンタル価格の将来の値について完全に予見できるものとしよう。各家計が初期時点で保有する資本ストックを $ k_{0} = \overline{k}_{0} $ とする。以上の設定のもとで家計の動学的予算制約は次のようになる。

$$ \dot{k}=w+q k-c-\pmb{\delta}k $$

右辺の第1項および第2項は生産要素の供給から得られる家計所得で、それぞれ労働所得、資本所得である。第3項および第4項は家計の支出を表わす。家計は資本ストックを保有することになっているから、その償却も自ら行なわなければならない。したがって、家計は所得と支出の差すなわち貯蓄を資本蓄積にあてる。家計は、資本ストックの初期保有量 $ k_{0}=\overline{k}_{0} $ を所与として動学的予算制約(50)の制約のもとに厚生関数(36)を最大化すべく行動するものとする。このように家計の動学的な選択の問題は資本ストックを状態変数、消費を操作変数とする最適制御問題として定式化される。つまり家計の最適化問題のハミルトニアンは、

$$ H=u(c)e^{\rho t}+\lambda\big[w+q k-c-\pmb{\delta}k\big] $$
となり、一階の条件は、

$$ \frac{\partial H}{\partial c}=u^{\prime}\big(c\big)e^{\rho t}-\lambda=c^{-\theta}e^{\rho t}-\lambda=0 $$

$$ \dot{\lambda}=-\frac{\partial H}{\partial k}=-\lambda\big(q-\delta\big) $$

$$ \lim_{t\to\infty}=\lambda_{t} k_{t}=0 $$

によって与えられる。(51)と(52)から家計消費に関するオイラー方程式は次のようになる。

$$ \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta}\left(q-\mathsf{\rho}-\delta\right) $$

また、共役変数に関する微分方程式(52)を解いて(53)に代入すると横断性の条件を次のように書くことができる。

$$ \lim_{t\to\infty}k_{t} e^{-\int_{0}^{t}(q_{v}-\delta)d v}=0 $$

以上より、家計の動学的予算制約(50)と消費のオイラー方程式(54)に導かれる資本ストックと消費の経路の中で横断性の条件(55)を満たす経路が家計の最適経路である。

企業 一方、企業は利潤を最大化すべく家計から資本および労働を需要する。企業の生産技術は、 $ Y_{i}=F\left(K_{i},L_{i},K\right)=K_{i}^{\alpha}L_{i}^{1-\alpha}K^{\eta} $ で表わされる。先に述べたように企業は財市場および生産要素市場で競争的に行動する。すなわち、資本および労働のレンタル価格 q および w は企業にとって所与である。さらに各企業は資本蓄積による収穫遅増効果を内部化できない、つまり集計資本 K は各企業にとって所与である。代表的企業の利潤を $ \pi_{i} $ で表わす。

$$ \begin{array}{l}\pi_{_{i}}=F\left(K_{_{i}},L_{_{i}},K\right)-qK_{_{i}}-wL_{_{i}}=K_{_{i}}^{\alpha}L_{_{i}}^{1-\alpha}K^{\eta}-qK_{_{i}}-wL_{_{i}}\\ \quad=L_{_{i}}\big[f\big(k_{_{i}},K\big)-qk_{_{i}}-w\big]=L_{_{i}}\big[k_{_{i}}^{\alpha}K^{\eta}qk_{_{i}}-w\big]\end{array} $$

企業の利潤最大化およびゼロ利潤の条件は次の限界生産性原理によって表わされる。各企業は資本および労働の私的限界生産性がそれぞれの要素価格に等しくなる水準に資本および労働を調達する。

$$ \frac{\partial\pi_{_{i}}}{\partial K_{_{i}}}=D_{_{1}}f\left(k_{_{i}},K\right)-q=\alpha k_{_{i}}^{\alpha-1}K^{\eta}-q=0 $$

$$ \frac{\partial\pi_{_{i}}}{\partial L_{_{i}}}=f\left(k_{_{i}},K\right)-kD_{_{1}}f\left(k_{_{i}},K\right)-w=0 $$

このように各企業の資本の私的限界生産性では、各企業の $ K_{i} $ の限界的な増加の集計資本Kに寄与する効果が考慮されない。

市場均衡 さて全ての企業は同じ生産関数を持つと仮定しているから、生産要素市場において需給がバランスする生産要素価格においては全ての企業の資本集約度は等しい。この水準を k で表わす。企業の利潤最大化の条件(56)と(57)を家計の予算制約(50)と最適化の条件(54)、(55)に代入し、さらに K = Lk を代入すると市場均衡の条件として、

$$ \dot{k}=f\left(k,Lk\right)+c-\delta k=k^{\alpha+\eta}L^{\eta}-c-\delta k $$

$$ \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\boldsymbol{\Theta}}\left[D_{l}f\left(k,L k\right)-\boldsymbol{\mathsf{\rho}}-\boldsymbol{\delta}\right]=\frac{1}{\boldsymbol{\Theta}}\left[\boldsymbol{\alpha}k^{\alpha+\eta-1}L^{\eta}-\boldsymbol{\mathsf{\rho}}-\boldsymbol{\delta}\right] $$

$$ \lim_{t\to\infty}k_{t} e^{-\int_{0}^{t}\left(D_{1}f\left(k,Lk\right)-\delta\right)d\nu}=\lim_{t\to\infty}k_{t} e^{-\int_{0}^{t}\left(\alpha k^{\alpha+\eta-1}L^{\eta}-\delta\right)d\nu}=0 $$
を得る。以上の三条件を満たす経路が市場経済によって導かれる最適経路である。計画者の問題と全く同様に $ \alpha + \eta < 1 $ のケースと $ \alpha + \eta = 1 $ のケースに分けて市場経済の均衡経路を分析することができる。内生的成長が可能かどうかという結果に関しては計画者の問題と全く同じである。つまり、 $ \alpha + \eta < 1 $ の場合には長期の均弁成長率はゼロになり、 $ \alpha + \eta = 1 $ の場合には(59)に与えられる成長率で永久に均弁的に成長する。それでは $ \alpha + \eta < 1 $ のケースでの定常状態における産出、消費、資本ストックのレベル、 $ \alpha + \eta = 1 $ の場合における内生的均衡成長率はどうであろうか。

計画者の問題における(37)と市場経済における(58)はともに予算制約を表わしているから両問題に共通である。一方、消費の経路を導くオイラー方程式 $ ((44) $ と $ (59) $ )および横断性の条件 $ ((43) $ と $ (60)) $ は両者の間で異なっている。どれだけ異なっているかといえば、資本の社会的限界生産性と私的限界生産性の分だけ市場経済における消費の成長率が低くなっているのである。これに対応して $ \alpha+\eta<1 $ の場合には定常状態において $ \dot{c}=0 $ に対応する資本ストックのレベルが $ \alpha/(\alpha+\eta) $ だけ縮小する。図6の $ \dot{c}=0 $ を表わす垂直線が左に移動しているわけである。また、 $ \alpha+\eta=1 $ のケースでは永久に $ \alpha $ だけ成長率が低くなってしまうのである。これは、資本蓄積がもたらす外部性による動学版市場の失敗といえるものである。

このように外部性による市場の失敗がある場合、政府の介入によって社会的な最適解を得ることができるのはよく知られたことである。このケースの場合、資本蓄積の外部経済を各企業が享受できないことが問題であるから、

$$ q=\left(1+\tau\right)D_{1}f\left(k,K\right) $$

を満たすような r の率で政府が企業の資本の使用に関して補助金を出すとしよう。同時に家計から消費税として rc の税金を徴収するとしよう $ ^{8} $ 。したがって家計の予算制約は、

$$ \dot{k}=w+q k-\left(1+\tau\right)c-\delta k $$

となる。この予算制約に基づいて求められる家計消費に関するオイラー方程式は(54)と変わらない。また、企業の利潤最大化条件を加味して求められる市場経済における資本蓄積方程式は、

$$ \dot{k}=f\big(k,K\big)+c-\delta k+\big[\tau k D_{1}f\big(k,K\big)-\tau c\big] $$

となる。最後の括弧内は均衡財政条件にほかならないから、これも結局(58)と同じになる。したがって、ここで考えている税制は他に歪みをもたらさない。一方、市場版の消費に関するオイラー方程式(59)は、

$$ \frac{\dot{c}}{c}=\frac{1}{\theta}\big[\big(1+\tau\big)D_{1}f\big(k,K\big)-\mathsf{\rho}-\mathsf{\delta}\big] $$

となるから、 $ 1+\tau=(\alpha+\eta)/\alpha) $ のとき計画者の問題と同じ均衡経路を得ることができる。

最適成長のフレームワークの中でも資本蓄積による外部経済が存在する場合、たとえ外生的な技術進歩や人口の成長がなくても、長期の成長が可能であることがわかった。外部経済によって成長が可能になる場合、家計と企業による市場均衡によって達成される経路はパレート最適な経路に比べて縮小した成長経路をもたらす。パレート最適な成長経路を達成するためには永続的な政府の政策介入が必要であることが示されたわけである。
## 4 静学的スピルオーバー効果と技術特性

### 4.1 静学的スピルオーバー

前章で展開した最近の最適経済成長理論、とりわけ内生的経済成長理論での問題意識は、経済体系内の個別経済主体の合理的行動の結果として内生的に発生した経済成長要因が、個別主体の意図とは別に、外部性をもつことに着目している。その結果として主体の内生的な合理性追求による資本蓄積効果以上に個別生産主体の限界生産力を変位させる可能性を持つことになる。そこではその効果を資本蓄積のスピルオーバー効果と呼んでいる。資本のスピルオーバー効果による収穫遅増効果が、内生的に決定される個別経済主体の資本の限界生産力の収穫遅減の程度を相殺して、資本の限界生産力を一定もしくはそれ以上に保つ効果もつとすれば、経済は持続的な成長を維持できることになる。そのときには、外部効果の作用が資本の私的限界生産力と社会的限界生産力に乖離を生むことになり、価格メカニズムへの何らかの政府介入によって、市場の失敗を補うことが必要とされることになる。この理論展開は、経済主体の私的利益追求の合理性が、内生的な発生によるものであり、その外部効果に政府が補完的役割を果たすことによって持続的成長を内生的に発生させることができるという意味で規範的な論理の帰結として注目に値する。ただ、ここで指摘されるような資本蓄積のスピルオーバー効果が現実の経済体系の中で有り得るのかどうか、またそれがあるとすれば、どのようなメカニズムによって生じ、どの程度の大きさをもつものか、という点になると実証的な実験計画が明確に付されているわけではないので、今後の課題として詰めるべき点も多い。

われわれがこの研究で着目しているのは、ある部門での生産性の変化が、経済の相互依存のメカニズムを通じて、他の部門の生産効率の変化に与える影響の度合の測定である。しかし、この部門間スピルオーバーの効果は、本来経済の価格波及のメカニズムを通じたスピルオーバーの効果であり、市場で成立する価格がそれを体現しているかぎり、個別経済主体の経済合理性の追求によって、実現できるものといえる。しかしそれが効率的に実現できるかどうかは、経済の相互依存のメカニズム、特にここでは中間財投入の部門間技術波及の構造に依存することになり、よってわが国の経済発展の過程での構造変化がその実現にどのように寄与してきたかを推察することは興味深い課題である。この章では、部門間の相互依存の構造をわが国の資料に基づいて、比較静学的に追跡することによって生産性波及の意味を明らかにするための分析枠組みを提示したいと考えている。

一国での種々の商品の生産に際して生じる中間原材料の取り引きがもたらす技術の相互依存の連鎖を通じて、ある商品の生産効率の向上が、それを中間財として投入する他の商品の生産効率の変位を発生させるという、「Static Spill-over Effect on Technology」と呼んだものに着目している。一国経済の商品生産技術構造を見たとき、個別商品の技術変化、それに伴う要素投入や中間財投入の変位と併せて、商品構成もしくは産業構造の変化も同時に発生している。そこで生じた技術の商品間、産業間の連鎖の特性を明らかにするために、ここでは、産業連関表を用いて以下のような二つの分析枠組みを設定した。ひとつは、産業の技術特性と産業間の技術連鎖(Technology Linkage)に着目したものである。産業連関表では、各商品の生産技術特性は、投入係数のベクトルで捉えられる。中間投入の投入係数の相互依存を通じて、各商品の生産には、相互に連閉性をもつ。投入係数行列のかたちで産業の投入の技術連鎖の構造を描写することができる。この技術的連鎖構造は次節で明かにするように、商品の序列を三角化することによって、基礎素材商品から、最終財商品まで原料系統に沿った依存性のあることを示すことができる。もうひとつの分析ツールは、各商品部門の生産性向上の尺度である。第2章の社会会計フレームを用いた一国の技術進歩率の測定と整合的に、ここでも、各商品生産部門の生産効率もしくは生産性の変化を全要素生産性(Total Factor Productivity)の変化によって捉える。第1の分析ツールである三角化の枠組みとこの生産性尺度を組み合せると、いずれかの商品部門での生産性向上、もしくは技術革新がそれに関連するすべての生産部門の生産性向上に寄与する技術連鎖を通じた生産性向上の波及経路を記述できるのである。わが国のこの4半世紀の産業構造の変化をみてくると、産業構造の変化の形態、言い替えれば、一国のなかでの成長
産業と衰退産業の入れ換わりや規模の拡大の相違が技術連鎖を通じた相互依存の構造と密接に結び付いていることがわかる。ここではそれを商品の素原材料系統という視点から捉える。この章での分析対象期間は、1960年から1985年までの25年間である。

### 4.2 技術連関構造と三角化

産業連関表を用いて、一国の産業構造の特性を明かにする分析枠組みとわが国の1960年からの産業構造変化の実態をそれに基づいて捉えた結果を述べておこう。周知のように産業連関表では、一国の産業構造をそこで生産される商品の技術構造、もしくは投入構造に着目して捉えようとしている。投入構造は各商品について、中間原材料投入、要素投入にわけて捉えられており、中間投入に関しては、他の商品生産との相互依存の関係が中間投入行列として表示されている。わが国では、1955年表以来5年おきにいわゆる基本表といわれる産業連関表が作成、公表されており、それ各基本表の商品分類、概念などを比較可能なかたちに調整して、300-349商品分類の時系列比較表を作成することができる。ここでは、1960、65、70、75、80、85年の6表を分析対象とする。

各年の表について、商品の配列を並び替えることによって、配列の上部に最終財を下部に中間財を配置するように工夫する。最終財は、中間財として他の商品生産に投入されることが少なく、逆に下部の中間財は、多くの商品の生産に中間財として投入されるかわりに、最終財にまわる可能性が少ない。こうした商品の投入技術構造に着目した結果、中間投入の商品間連鎖がある種のヒエラルキーの構造をもっていることを知ることができる。いわゆる三角化(Triangularization)と呼ばれる手法である。三角化の結果、商品の相互依存の関係に次のような特性を見いだすことができる。

## (1) ブロック独立性(Block Independency)

商品を幾つかのプロックに分けることによって、そのプロック相互の中間投入は、ある種の独立性をもつことが確認できる。ここでは、商品を[表5]に示すように、50の商品プロックに分割することができた。50プロックは、さらに（A）建設業から（L）サービスまでの12の大プロックの結合することによって、一国の産業のヒエラルキーの姿を明確に浮び上がらせることができる。

## (2) ブロック間逐次性(Inter-Block Recursive)

12 の大ブロックおよび 50 の小ブロック間に、その中間投入の構造を通じて、ヒエラルキーの成り立つことを確認できる。われわれの分類では、最も上部に位置する商品群は（A）建設アクテビティーである。建設部門は、多くの他のブロック、とりわけ（C）その他の最終工業製品、（D）一次金属工業、（F）窯業・土石産業などの商品と中間投入を通じて密接な関係をもち、その生産物は、資本形成としての建築、土木など最終需要に振り向けられる。ブロック（B）の機械製品もまた、（D）一次金属工業に密接な依存関係を持つ最終製品である。（G）その他の最終工業製品は、一部は、より上部に位置する最終財への中間財として、また一部は直接的に最終需要に向けられる最終財として性格づけされる。これらの（A）建設業から（G）製造業製品までの比較的ヒエラルキーの上部に位置するブロックにある商品の生産は、（H）素原材料ブロックの各商人と素原材料系統を通じて特徴づけられる。素原材料系統については、後に詳述するけれども、一国の商品生産の構造が幾つかの素原材料系統に分かれており、産業構造は、素原材料系統間の代替を通じて、ある素原材料系統から、別の素原材料系統への資源配分の移動が、その各素原材料の上部に位置するすべての産業についてその構造を変化させるというかたちをとっていることが観察されるのである。したがって、ある産業の生産効率は、当該産業の技術革新や生産性の向上によって創出されるばかりではなく、その下部構造に位置するすべての産業の生産効率の変動と密接に関係をもっていることになる。最後に、商品のブロックのうち、（I）第2次エネルギー製品、（J）補助材料、（K）補修材料、（L）サービスなどの各ブロックの商品は、中間財として、すべての産業ブロックに関係する基礎産業のブロックである。その意味で、三角化のヒエラルキーの中では、もっとも下部に位置付けられている。この様に、三角化することによって、商品のブロックの間での依存関係にもある種の逐次性を認めることができる。
## (3) ブロック内逐次性(Intra-Block Recursive)

上記の各ブロック内では、三角化の順序にしたがって、下部の商品から上部の商品にブロック内での逐次性が観察される。これを Intra-Block Recursive と呼んでおく。

三角化した産業連関表に関して、観察されるこれらの特徴は、各商品生産の技術構造を反映してきわめて安定的でであることを確認することができる。「図7」、「図8」は1960年、1985年についての三角化の結果を、投入係数の大きさにおおじてその相互依存の関係をプロットしたものである。投入係数の大きさによってプロットの点に濃淡をつけて、その依存関係の濃密さの度合を表している。1960年と1985年とで三角化の形象は非常に似ていることが分かる。(A)建設業プロックから(G)製造業製品プロックまでそれぞれのプロック内で明確なInter-Block Recursiveが観察されると同時に、プロック間の独立性も観察できる。また(H)素原材料プロックの特定素原材料とその上部商品群との連鎖も認められる。また(I)第2次エネルギー製品プロックから(L)サービスプロックの諸商品はすべての上部産業に影響を与える構造をもっている。このように安定的に観察される商品間の相互依存の構造は、産業の生産効率の向上の上で非常に有効な分析視点を与える。とりわけ商品間の連鎖の構造がある特定部門の生産性向上や国際競争力を決定する上で重要な視点を与えることになる。