Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
ENEL（イタリア電力公社）がある。

第3のタイプは，前述の国家持株会社（Societa a Partecipazione Statale）で，その株の全部又は過半を直接・間接に国が保有し，株主が企業を支配する型態である。国家持株会社は，その傘下に多くの企業を擁し，イタリア経済の大動脈の役割を果している。

## 1 - 2 国家持株制度の仕組みと機能

この制度は，3段階のピラミッド型の構成となっている。まず，その頂点には，国家持株会社（holding company, Ente di Gestino）としてIRI，ENI等が存在し，その下に民間の株式会社である，金融機関があり，IRI，ENI等が資本参加し，さらに，その下に事業活動を行なう民間会社があり，金融機関が株主として参加する。このように国家持株会社は，資本の所有と役員の任免を通じて系列グループ全体をコントロールできるような仕組みとなっており，私的な企業の形態をとりながら，政府の方針・計画の枠内で自主的な活動を行ない，その責務を果たすものとされ，国家・社会のサービス実現手段として経済政策の一翼を担っているのである。1956年に新設された国家持株企業省は政府の基本政策にもとづいて国家持株会社の計画調整，役員会への政府代表の参加のほか年次報告提出，純利益の65%の国庫への納付や南部地域への投資義務（1959年以降）等の権限をもっているが，経営面での細部にわたる介入は行なわず，国家持株会社の自主性はかなり保たれている。

国家持株会社は7社あるが，そのうち6社はいずれも全額政府出資による特殊法人として経営計画推進の機能を果たしており，IRI，ENI，EFIMの3社はその直接的支配下に持株（子）会社（ほぼ全額ないし過半の出資）を置き，さらにその傘下に事業会社を擁し，産業に強大な影響力がある。例えば，IRI $ ^{注} $ は持株（子）会社として5つの事業部（海運，造船，機械，鉄鋼，電信・電話）を統轄し，その下に59の事業会社をもっているほか4つの金融機関に直接出資している（これら金融機関の資金額はイタリア全金融機関のそれのほぼ20%を占めている）。

## 1 - 3 国家持株制度の機能の変質

IRIなど国家持株会社（ente di gestino，管理会社）の本来の任務は，政府当局および議会によって付与された目標と，法律によって定められている経営の経済性の目標との間の均衡点を市場での民間企業との競争を通じて見出すことである。60年代央ごろまでは重工業，輪送，エネルギーなど「推進部門」に国家が参加するシステムとして有効に機能し資本の流れを円滑にし，南部開発の促進など経済・社会の発展に寄与した。また，資金調達面でも国家持株会社は莫大な利益，充分な補助金，公募の成功によって国庫に財政負担をかけることは少なかった。しかし70年代に入って国家持株会社の経営悪化を契機に公的目標の達成が持株企業の活動にとって負担となるようになり，その「危機」が議論されるようになった。そこで政府の諮問機関である国家持株制度組織委員会が提出したいわゆる「chiarelli報告」によって「危機」の原因と改革の論点を整理しておこう。

## (1) 国家持株制度の危機とその要因

国家持株制度が危機に追い込まれた要因としては，まず第1に，内外の政治的，経済的環境
が悪化したこと。とくに，鉄鋼，造船など国際的構造不況業種を抱えていることのほか政治不安や労働争議の多発が生産活動を阻害するようになったことである。第2には，経済政策全般についての適正な方針が欠如していたほか，中央・地方行政組織も混乱していたため国家持株会社を有効にコントロールできなかったことである。第3は，制度自体に問題があったことである。すなわち，イ）政策全般の方向を示す経済計画がなく，有効なコントロールがなされなかったため，国家持株会社が権力の中心に位置するようになり，消費的・寄生的傾向を強めるようになったこと。口）国家持株会社がシステム全体の目的を失うようになったため，傘下の企業は，その自立性をなくし，経済原理に従って運営する意欲を喪失するようになったこと。八）役員の選任に当って職業的な能力についての厳しい基準やモラルが十分に考慮されず，政治的な縁故・コネが重視され，役員の個人的興味が企業あるいは制度に優先するようになったこと。二）国家持株会社は，経済の危機的状況のなかで経営不振に陥った企業を吸収し，労働者の職場を保証するための救済事業を行なうことを強いられたため，その活動は経済性の原則に反するものとなったことである。

## (2) 国家持株制度改革のための提言

前述のように，国家持株制度には，多くの欠陥があるが，イタリア経済はいまだ自律的発展をなしうる段階に達していないことを考えると，この制度は存続されるべきであり，社会的目的を実現する手段として有効に機能するように改革する必要がある。その望ましい一般的枠組として同報告は次のような提言を行っている。イ）国家持株制度は，イタリアの生産システム，雇用水準の必要性に沿った国全体の発展目標のヴィジョンのなかでその責務を遂行し，口）生産システム，構造改善，業種転換のための経済政策手段の一翼を担うものであって，原則として救済機能を有するものではない。八）その経営は，経済性の基準に沿って行なわれるものとし，経営の集中化を排除し，個別企業の自律性を高めるとともに，合議性による決定原則を保証し，職員採用の選択を保証するものとする。二）役員に対しては，その責務に反する私的活動を禁止し，個人および家族の財産状況の報告を義務づける。

以上が「Chiarelliレポート」の要約であるが，こうした方向での制度改革の必要性は「産業構造改善」のためにますます高まった。

## 1 - 4 産業構造改善と国家持株制度の活用

国家持株制度は，1963年の政権の「左施回」によって強化され，高度成長と社会資本の充実という目漂を調和的に実現する政策手段として積極的に活用されたが，皮肉にもそのころからイタリア経済の「奇跡の成長」が崩壊しはじめ，その後70年代になって経済危機が表面化するにつれてこの制度が，イタリアの産業・経済構造をゆがめ，非効率性の大きな要因であるとの批判が高まってきたのである。その主要なものをあげると，イ）寡占企業の多くが国営企業であり，イタリアには，独占禁止法がないことと相まって，その絶大な価格支配力と強大な金融力によって経済全体に大きな影響を与え，国家持株制度を通じて，産業の二重構造を一段と強めた。口）強大な金融力で引締め下でも十分な資金調達を行い需要管理政策効果を減殺したほか，資本市場構造を歪めた。八）制度的に国営企業は政府の各種の特恵がある反面で，南部など後進地域への投資義務等の負担や政府の人事面などでの介入があるため，国際競争力が不十分である。 $ ^{注} $
平 成 2 9 年度 蔵 出 概 算 要 求 額 明 細 表
19 内 閣 府 所 管(北方对策本部(北方对策本部))
要求
番号	事 项	前
予 算	度
额	2 9 年 度
概 算 要 求 額	对 前 年 度
比 较 增 △ 减	備 考
2 3 年 度	2 4 年 度	2 5 年 度	2 6 年 度	2 7 年 度
030 北方 对 策 本 部	1,606,610	1,465,913	4	140,697
010 北方 对 策 本 部	370,514	356,783	4	13,731	2 3 年 度	2 4 年 度	2 5 年 度	2 6 年 度	2 7 年 度
予 算 额	2,072,811)	1,798,789)	1,640,267)	1,598,967)	1,600,968)
决 算 额	2,043,100	1,772,802	1,569,429	1,636,865	1,583,177
翌 年 度 繋 越 額	0	0	53,599	0	0
不 用 额	29,711	25,987	17,239	15,701	17,791
区 分	27 年 度	27 年 度	27 年 度	27 年 度	27 年 度
予 算 额	27 年 度	27 年 度	27 年 度	27 年 度	27 年 度
諸 謝 金	30,259	0	0	30,259	26,749
職 員 旅 費	6,912	0	0	6,912	6,068
委 員 等 旅 費	2,506	0	0	2,506	2,150
庁 費	60,344	0	0	60,344	48,381
北方地域旧漁業
権者等貨付事業
費補助金	177,785	0	0	177,785	177,785
①	01-95 北方对策本部の運営に必
要な経費	136,345	144,534	8,189	2 3 年 度	2 4 年 度	2 5 年 度	2 6 年 度	2 7 年 度
予 算 额	136,175)	122,273)	117,597)	131,406)	131,075)
001 既定定員に伴う経費	119,007	126,941	7,934	2 3 年 度	2 4 年 度	2 5 年 度	2 6 年 度	2 7 年 度
001 人 件 費	予 算 额	118,937)	105,885)	101,267)	114,049)	113,666)
予 算 额	118,937	119,294	107,567	120,846	118,198
定 員
95016-2111-02-0000 職員基本給	68,050	73,151	5,101	既定定員
02-0100 職員俸給	54,824	59,013	4,189	組織計	12人
02-0200 扶養手当	1,464	1,464	0	指定職	1人
02-0300 地域手当	11,762	12,674	912	行政職(一)	11人
95016-2111-03-0000 職員諸手当	35,046	37,145	2,099
03-0100 管理職手当	2,516	2,516	0
内(北)

要求番号	事 项	前 年 度 额	2 9 年 度 概 算 要 求 额	对 前 年 度 比 较 增 减	備 考
内(北)

要求
番号	事 项	前 年 度 额	2 9 年 度 概 算 要 求 额	对 前 年 度 比 较 增 减	備 考
95016-2122-08-6010 委 員 等 旅 費	1,731	1,747	16	1.都道府県担当課職員現地研修会出席旅費
各都道府県一根室(2泊3日、6～3級)
内(北)

要求
番号	事 项	前 年 度
序 算 额	2 9 年 度
概 算 要 求 额	对 前 年 度
比 较 增 减	備 考
北方関係資料送付	12月 @300 1.08	43(	43)
通信料
フレッツ光	12月 @370 1.08	83(	83)
I Cカード乗車券チャージ	3回 @10,000	30(	30)
(5)借料及び損料	1,957(	1,958)
自動車借料
12月 12人 3回 @3,400	0.4 1.08	1,568(	1,568)
パス借料(現地研修会等)	1日 @180,000 2台 1.08	389(	390)
(6)会議費
研修会(現地研修会)	60人 2日 @110 1.08	14(	15)
(7)賃金	8,723(	8,423)
期間業務職員	2人 @3,343,568	6,942(	6,688)
日本語講師同行者 行(一) 2-25相当
3人 45日 @13,190	1,781(	1,735)
(8)保険料
再任用短時間勤務職員	1,302(	1,279)
社会保险料	1,193(	1,172)
健康保険料	(7,919)	402(	395)
介護保険料	8,063千円 7.9 / 1,000	64(	63)
厚生年金保険料(4~8月)
(3,316)	3,355千円 89.14 / 1,000	299(	296)
厚生年金保険料(9~3月)
(4,603)	4,708千円 90.91 / 1,000	428(	418)
労働保険料	(7,919)	109(	107)
(9)子ども・子育て拠出金
再任用短時間勤務職員	(7,919)	12(	12)
8,063千円 1.5 / 1,000	12(	12)
内(北)

要求番号	事項	前年度算額	29年度概算要求額	对前年度比較增△減	備考
2	06-95 北方领土問題対策に必要な経費	234,169	212,249	21,920	23年度	24年度	25年度	26年度	27年度
予算額	539,240	366,238	233,340	253,026	260,387
27	23年度	24年度	25年度	26年度	27年度
予算額	5,976	5,976	5,856	5,873	5,522
(要求要旨)
北方地域に関する諸問題についての施策の資料として、これらに関する実情等を把握するために必要な経費
1.消耗品費
図書	10冊	@,000	1.08	54	54
2.印刷製本費	722	722
北方地域総合実態調査報告書	100部	@,200	1.08	130	130
北方领土問題解説資料	100部	@,480	1.08	592	592
3.雑役務費
口シア図書翻訳	1冊	10枚	12月	@,500	1.08	583
計	1,359	1,359
内(北)

要求番号	事項	前年度算額	29年度概算要求額	对前年度比較增△減	備考
23年度	24年度	25年度	26年度	27年度
006 北方领土返還要求運動推進經費	43,665	19,386	4	24,279	332,114)	165,410)	43,437)	52,609)
予算額	332,114	165,422	43,437
(要求要旨)
北方领土返還要求運動を推進するにあたり関係団体との連携強化や次世代啓発のために必要な経費
1. 北方领土返還要求運動の在り方に関する想談会経費	228)	223)
2. 元島民後継者対策推進経費	391)	370)
3. 北方领土教育機会の拡充経費	18,767)	18,834)
4. 北方领土問題に関する若年層をターゲットにした効果的な広報及び媒体についての調査(優先課題推進枠)	30,825)	0)
(1)北方领土問題に関する若年層向けの効果的な広報手法・媒体調査	11,809)	0)
(2)若年層向けコンテンツ作成経費	19,016)	0)
5. 地域における北方领土問題啓発事業の在り方等調査(前年度限りの経費)	0)	24,238)
計	50,211)	43,665)
95016-2129-06-0110 諸 謝 金	89	89	0	1. 北方领土返還要求運動の在り方に関する想談会経費
想談会出席謝金
東京 会 議	89)	89)
(大学教授級)	2人 1回 2H @,900	32)	32)
(大学准教授級)	3人 1回 2H @,100	37)	37)
(講師級)	2人 1回 2H @,100	20)	20)
95016-2122-08-2010 職 員 旅 費	1,817	1,555	262	2. 元島民後継者対策推進経費	391)	370)
北方领土返還要求北海道・東北国民大会に合わせた支部青年部事業への出席	196)	186)
東京一札幌(1泊2日、指定) 1人 1回 @100,420	100)	95)
東京一札幌(1泊2日、6～3級)
(90,740)
1人 1回 @96,120	96)	91)
後継者育成推進事業の指導・監督旅費	195)	184)
東京一札幌(1泊2日、10～7級)
(93,140)
1人 1回 @98,520	99)	93)
東京一札幌(1泊2日、6～3級)
(90,740)
1人 1回 @96,120	96)	91)
3. 北方领土教育機会の拡充経費
内(北)

0(
内(北)

要求番号	事項	前年度額	29年度概算要求額	对前年度比較增△減	備考
内(北)

要求番号	事項	前年度算額	29年度概算要求額	对前年度比較增△減	備考
平 成 2 7 年 度

予算案について

平成27年1月

特定個人情報保護委員會
## 目次

予算案について ..... 1
機構定員について ..... 2
(参考)
特定個人情報保護委員会の概要 ..... 3
## I 平成27年度予算案について

平成27年度から、マイナンバー（個人番号）の全国民に対する付番、利用が開始されることから、マイナンバーの保護に必要な、監視監督、国際協力などの業務を本格的に実施。

### 1. 予算額

総額：8.6億円（前年度6.1億円）

### 2. 重点施策

## （１）マイナンバー保護のための監視・監督

【0．5億円（前年度　0．1億円）】

民間事業者向けガイドライン説明会の開催、監視・監督業務に係る調査、立入検査の実施等

（２）広報・国際協力【１．１億円（前年度　０．２億円）】

国民向けマイナンバー相談窓口の設置、国民向け広報・リーフレットの作成、地方公共団体向け説明会の開催、海外の個人情報保護機関との連携・協力等のための国際会議出席等

（３）特定個人情報保護評価※の推進【０．５億円（前年度　０．２億円）】

特定個人情報保護評価書システム（ホームページで評価書の受付・閲覧ができるシステム）の運用開始

※マイナンバーを利用する行政機関等が、総合的なリスク対策を自ら評価し公表する制度

## （４）委員会運営に必要な事務費、委員及び職員の人件費等

【6．6億円（前年度　5．7億円）】

注）数字は、小数第2位（百万円）を四捨五入
## 3 ．平成27年度予算案総括表

(单位：百万円)

26年度予算額	27年度予算案額	比較增減額
特定個人情報保護委員會合計	615	865	250
1 マイナンバー保護のための監視・監督	14	50	36
2 広報・国際協力	15	107	91
3 特定個人情報保護評価の推進	16	50	34
4 委員会運営に必要な事務費、人件費等	570	658	88

注）四捨五入の関係で計数は必ずしも一致しない。

## I I 機構定員について

26年4月 27年4月

職員 32名 ⇒ 39名 （7名增）
## (参考) 特定個人情報保護委員会の概要

## 設置根拠・任務

行政手続における特定の個人を識別するための番号の利用等に関する法律（平成25年法律第27号）に基づき、平成26年1月1日に内閣府の外局として設置。

個人番号その他の特定個人情報の有用性に配慮しつつ、その適正な取扱いを確保するために必要な措置を講じることが任務。

## 組織

○委員長1名・委員6名（合計7名）の合議制

(平成27年中5名、平成28年1月から7名)

· 委员長（常勤） 堀部政男（元一橋大学法学部教授）

· 委 員（常勤） 阿部孝夫（元川崎市長）

· 委 員（常勤） 嶋田実名子（元（公財）花王芸術・科学財団常務理事）

· 委員（非常勤）手塚 悟（東京工科大学コンピュータサイエンス学部教授）

· 委 員（非常勤）加藤久和（明治大学政治経済学部教授）

○委員長・委員は独立して職権を行使 （独立性の高い、いわゆる3条委員会）

○任期 5 年 · 国会同意人事

## 主な所掌事務
## 4 時系列因子分析モデル

### 4.1 時系列因子分析モデル (Stock-Watson モデル) の理論的解説

#### 4.1.1 景気循環の状態空間表現

Stock and Watson (1989,1991)は観測される景気指標を状態空間表現と呼ばれるモデルで表し，景気の状態を示す指標を開発した．状態空間表現とは，われわれの目に見える実際に観測される変数は，目には直接見えない観測されない状態変数に依存していて，その影響が観測方程式を通して観測されると考える．そして状態変数は目に見えないが遷移方程式によって定められる確率過程に従っていると考える．

まず最初に状態空間表現に直す以前のモデルを考える， $ Y_{t}, t=1, \cdots, T $ をマクロの時系列の一階の階差とする．そのとき

$$ Y_{t}=\beta+\gamma\Delta C_{t}+u_{t} $$

$$ \phi(L)\Delta C_{t}=\delta+\eta_{t} $$

$$ D(L)u_{t}=\varepsilon_{t} $$

ここで L はラグ作用素であり，$\Delta=1-L,\quad\phi(L)=1-\phi_{1}L-\cdots-\phi_{p}L^{p},\quad D(L)$ は $d.$ を対角行列として $D(L)=1-d_{1}L-\cdots-d_{k}L^{k}$ と表される．また，$(\eta_{t},\varepsilon_{t}^{\prime})$ は平均ベクトル $0_{(n+1)\times1}$ 分散共分散行列 $\mathrm{diag}\left(\sigma_{\eta}^{2},\sigma_{\varepsilon_{1}}^{2},\cdots,\sigma_{\varepsilon_{n}}^{2}\right)\equiv\Sigma$ の $n+1$ 次元の正規分布に従う確率変数で，すべての $t$ に関して互いに独立とする．さらに，すべての $t,s$ に関して $u_{t}$ は $\Delta C_{t}$ と無相関で $N\left(0_{n\times1},H\right)$ に従っていると仮定する．

つまり観測されるマクロ時系列の階差 $ Y_{t} $ は，実は観測することの出来ない真の経済の状態の階差とそれ以外の各系列固有のドリフトによって表されると考
える．景気上昇局面で上昇する変数もあれば下降する変数もあり，また，大きく変動する変数もあれば，わずかしか反応しない変数も存在する．それらの違いはγの要素の違いに現れている．もし $ Y_{t} $ を景気の一致系列のように，景気動向と同じ動きをする変数の階差とすればγは正の項のみからなることが想像される．一方，経済変数には景気の上昇・景気の下降のような景気動向だけでは説明することが出来ない長い目で見たドリフトも存在すると考えられる．各系列毎のそれらの違いはβの項の違いとなって現れている．そして観測することの出来ないΔCtはp次の定常な自己回帰過程に従っていると仮定する．

このモデルの状態空間表現は以下で与えられる．まず推移方程式は

$$ \begin{aligned}\left(\begin{array}{c}C_{t}^{*}\\ u_{t}^{*}\\ C_{t-1}\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{c}\delta\\ 0_{(p+nk)\times1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}\phi^{*}&0_{p\times nk}&0_{p\times1}\\ 0_{nk\times p}&D^{*}&0_{nk\times1}\\ Z_{c}&0_{1\times nk}&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}C_{t-1}^{*}\\ u_{t-1}^{*}\\ C_{t-2}\end{array}\right)\\&\quad+\left(\begin{array}{cc}Z_{c}^{\prime}&0_{p\times n}\\ 0_{nk\times1}&Z_{u}^{\prime}\\ 0&0_{1\times n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\eta_{t}\\ \varepsilon_{t}\end{array}\right)\end{aligned} $$

で表される．ここで

$$ \begin{aligned}&C_{t}^{*}=(\Delta C_{t}\Delta C_{t-1}\cdot\cdot\cdot\Delta C_{t-p+1})^{\prime};p\times1\\&u_{t}^{*}=(u_{t}^{\prime}u_{t-1}^{\prime}\cdot\cdot\cdot u_{t-k+1}^{\prime})^{\prime};nk\times1\\&\phi^{*}=\begin{pmatrix}\phi_{1}\cdot\cdot\cdot\phi_{p-1}&\phi_{p}\\I_{p-1}&0_{(p-1)\times1}\end{pmatrix};p\times p\\&D^{*}=\begin{pmatrix}D_{1}\cdot\cdot\cdot D_{k-1}&D_{k}\\I_{n(k-1)}&0_{n(k-1)\times n}\end{pmatrix};nk\times nk\\&Z_{c}=(10_{1\times(p-1)});1\times p\\&Z_{u}=(I_{n}0_{n\times n(k-1)});n\times nk\\ \end{aligned} $$

であり $ I_{n} $ は $ n \times n $ 単位行列, $ 0_{n \times k} $ は $ n \times k $ の零行列を表し $ D_{i} = \mathrm{diag}(d_{1i}, \ldots, d_{ni}) $ , $ d_{j}(L) = 1 - \sum_{i=1}^{k} d_{ij} L^{i} $ である. このことは, 上の式を成分ごとに計算して, (4.1.2), (4.1.3) に対応する式が導かれることから容易に確認することができる.
一方，観測方程式は

$$ Y_{t}=\beta+(\gamma Z_{c}\ 0_{n\times(n k+1)})\ \left(\begin{array}{c}C_{t}^{*}\\ u_{t}^{*}\\ C_{t-1}\end{array}\right)+u_{t} $$

で表される．このことも推移方程式のときと同様に上の式を成分毎計算して(4.1.1)に対応する式を導き出すことで確認することができる．

上の推移方程式，観測方程式をより簡潔に

$$ \alpha_{t}=\mu_{\alpha}+T_{\alpha}\alpha_{t-1}+R\zeta_{t} $$

$$ Y_{t}=\beta+Z\alpha_{t}+u_{t} $$

と表すことにする。ここで

$$ \alpha_{t}=\left(C_{t}^{*^{\prime}}u_{t}^{\prime}C_{t-1}\right)^{\prime};\left(p+n k+1\right)\times1 $$

$$ \mu_{\alpha}=\left(\delta\text{任}_{1\times(p+n k)}\right)^{\prime};\left(p+n k+1\right)\times1 $$

$$ T_{\alpha}=\begin{pmatrix}\phi^{*}&0_{p\times n k}&0_{p\times1}\\0_{n k\times p}&D^{*}&0_{n k\times1}\\Z_{c}&0_{1\times n k}&1\end{pmatrix};(p+n k+1)\times(p+n k+1) $$

$$ \begin{aligned}R=\begin{pmatrix}Z_{c}^{\prime}&0_{p\times n}\\0_{nk\times1}&Z_{u}^{\prime}\\0&0_{1\times n}\end{pmatrix};(p+nk+1)\times(p+nk+1)\end{aligned} $$

$$ \zeta_{t}=\left(\eta_{t}\varepsilon_{t}^{\prime}\right)^{\prime};\left(n+1\right)\times1 $$

$$ Z=(\gamma Z_{c}\;0_{n\times(n k+1)});n\times(p+n k+1) $$

であるとする。

#### 4.1.2 Kalman フィルタによる状態空間表現モデルの推定

Kalman フィルタを用いて上の状態空間モデルを推定する．Kalman フィルタとは，新しい観測値が観測される毎に状態変数を推定しなおす方程式の組である．Kalman フィルタは予測方程式と更新方程式で構成される．予測方程式とは，ある時点で利用可能な情報のもとで次の時点における最適な予測を与える方程式である．更新方程式は，新しい観測値が利用可能になった時点で，それまで
の予測を加味して状態変数を推定する方程式である．いま$\alpha_{t\mid\tau}$を$(y_{1},y_{2},\ldots,y_{\tau})$に基づく$\alpha_{t}$の最小2乗推定量として$P_{t\mid\tau}=E[(\alpha_{t\mid\tau}-\alpha)(\alpha_{t\mid\tau}-\alpha)]$とする．$E[\zeta_{t}\zeta_{t}^{\prime}]=\Sigma$であったことを思い出すと，予測方程式は

$$ \alpha_{t|t-1}=\mu_{\alpha}+T_{\alpha}\alpha_{t-1|t-1} $$

で表され，推定誤差の分散共分散行列は上と4.1.6および仮定より

$$ \begin{aligned}P_{t|t-1}&=E[(\alpha_{t|\tau}-\alpha)\left(\alpha_{t|\tau}-\alpha\right)^{\prime}]\\&=E[\{T_{\alpha}\left(\alpha_{t-1|t-1}-\alpha_{t}\right)-R\zeta\}\{(\alpha_{t-1|t-1}-\alpha_{t}-R\zeta)\}^{\prime}]\\&=T_{\alpha}P_{t-1|t-1}T_{t}^{\prime}+R\Sigma R^{\prime}\\ \end{aligned} $$

で表される．一方t-1時点における $ Y_{t} $ の最小2乗推定量による予測は

$$ Y_{t|t-1}=\beta+Z\alpha_{t|t-1} $$

となり，予測の誤差は

$$ \nu_{t}=Y_{t}-Y_{t|t-1} $$

その分散共分散行列 $ F_{t} $ は上式と式 (4.1.7) および仮定より

$$ \begin{aligned}F_{t}&=E[\nu_{t}\nu_{t}^{\prime}]\\&=E[\{Z\left(\alpha_{t}-\alpha_{t|t-1}\right)\}\{Z\left(\alpha_{t}-\alpha_{t|t-1}\right)\}^{\prime}]\\&=Z P_{t|t-1}Z^{\prime}+H\\ \end{aligned} $$

で表される．更新方程式は最小2乗推定量による予測量 $ \alpha_{t|t-1} $ を事前の情報として，t 時点で得られた新しく利用可能な標本 $ y_{t} $ の情報を TheilとGoldberger による混合推定によって結びつけることによって得られる。 $ ^{2} $

いま次の拡張されたモデル

$$ y^{*}=\left(\begin{array}{c}\alpha_{t|t-1}\\ Y_{t}-\beta\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}I_{n}\\ Z\end{array}\right)\alpha_{t}+\left(\begin{array}{c}\alpha_{t|t-1}-\alpha_{t}\\ u_{t}\end{array}\right) $$

$$ \equiv Z^{*^{\prime}}\alpha_{t}+u_{t}^{*} $$
を考える．ここで，

$$ u_{t}^{*}=\left(\begin{array}{c}{{{\alpha_{t|t-1}-\alpha_{t}}}} \\{{{\zeta_{t}}}}\end{array}\right)\sim N\left(\begin{array}{c c}{{{0_{(p+n(k+1)+1)\times1},}}}&{{{\left(\begin{array}{c c}P_{t|t-1}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{H}}}\end{array}\right)\end{array}\right) $$

である．以下，この分散を V で表しておく．このモデルに一般化最小2乗法を適用すると $ \alpha_{t} $ の一般化最小2乗推定量 $ \alpha_{t|t} $ は

$$ \begin{aligned}\alpha_{t|t}&=\left(Z^{*}V^{-1}Z^{*}\right)^{-1}Z^{*^{\prime}}V^{-1}y^{*}\\&=\left[(I Z^{\prime})\begin{pmatrix}{{{P_{t|t-1}^{-1}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{H^{-1}}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{I}}} \\{{{Z}}}\end{pmatrix}\right]^{-1}\quad(I Z^{\prime})\begin{pmatrix}{{{P_{t|t-1}^{-1}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{H^{-1}}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{\alpha_{t|t-1}}}} \\{{{Y_{t}-\beta}}}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

ここで行列 A; $ n \times n $ , B; $ n \times m $ , C; $ m \times m $ , $ |A||C| \neq 0 $ に対して

$$ \left[A+BCD\right]^{-1}=A^{-1}-A^{-1}B[C^{-1}+B^{\prime}A^{\prime}B]^{-1}B^{\prime}A^{-1} $$

であること，および(4.1.16)，(4.1.17)，(4.1.18)を用いると，

$$ \begin{aligned}(P_{t|t-1}^{-1}+Z^{\prime}H^{-1}Z)^{-1}(P_{t|t-1}^{-1}\alpha_{t|t-1}+Z^{\prime}H^{-1}(Y_{t}-\beta))&\\ =&[P_{t|t-1}-P_{t|t-1}Z^{\prime}(H+Z P_{t|t-1}Z^{\prime})^{-1}Z P_{t|t-1}][P_{t|t-1}\alpha_{t|t-1}+Z^{\prime}H(Y_{t}-\beta)]\\=&[P_{t|t-1}-P_{t|t-1}Z^{\prime}F_{t}^{-1}Z P_{t|t-1}][P_{t|t-1}^{-1}\alpha_{t|t-1}+Z^{\prime}H^{-1}(Y_{t}-\beta)]\\=&\alpha_{t|t-1}+P_{t|t-1}Z^{\prime}[H^{-1}(Y_{t}-\beta)-F_{t}^{-1}Z\alpha_{t|t-1}-F_{t}^{-1}Z P_{t|t-1}Z^{\prime}H^{-1}(Y_{t}-\beta)]\\=&\alpha_{t|t-1}+P_{t|t-1}Z^{\prime}F_{t}^{\prime}[(F_{t}-Z P_{t|t-1}Z^{\prime})H^{-1}(Y_{t}-\beta)-Z\alpha_{t|t-1}]\\=&\alpha_{t|t-1}+P_{t|t-1}Z^{\prime}F_{t}^{-1}[(Y_{t}-\beta)-(Y_{t|t-1}-\beta)]\\=&\alpha_{t|t-1}+P_{t|t-1}Z^{\prime}F_{t}^{\prime}\nu_{t}\tag{4.1.22}\end{aligned} $$

が成立する．また一般化最小2乗法の性質から

$$ \alpha_{t|t}-\alpha_{t}\sim N(0,(Z^{*^{\prime}}V^{-1}Z^{*})^{-1}) $$

であり (4.1.18), (4.1.21) から

$$ \begin{aligned}(Z^{*^{\prime}}V^{-1}Z^{*})^{-1}&=\left[(IZ^{\prime})\begin{pmatrix}{{{P_{t|t-1}^{-1}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{H^{-1}}}}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{{{I}}} \\{{{Z}}}\end{pmatrix}\right]^{-1}\\&=(P_{t|t-1}^{-1}+Z^{\prime}P_{t|t-1}Z)^{-1}\\&=P_{t|t-1}-P_{t|t-1}Z^{\prime}(H+ZP_{t|t-1}Z^{\prime})^{-1}ZP_{t|t-1}\\&=P_{t|t-1}-P_{t|t-1}Z^{\prime}F_{t}^{\prime}ZP_{t|t-1}\\ \end{aligned} $$
となる。

よって更新方程式は

$$ \alpha_{t|t}=\alpha_{t|t-1}+P_{t|t-1}Z^{\prime}F_{t}^{-1}\nu_{t} $$

$$ P_{t|t}=P_{t|t-1}-P_{t|t-1}Z^{\prime}F_{t}^{-1}Z P_{t|t-1} $$

で表すことができる．ここで行列 $ P_{t|t-1}Z^{\prime}F_{t}^{-1} $ を通じて $ Y_{t} $ の予測誤差 $ \nu_{t} $ から $ \alpha_{t} $ の予測値の更新が行われていることから行列 $ P_{t|t-1}Z^{\prime}F_{t}^{-1} $ のことを Kalman ゲインと呼ぶ．

パラメータ $ T_{\alpha}, R, \Sigma, H, Z $ と $ \alpha_{t|t}, P_{t|t} $ の初期値を与えたとき，Kalman フィルタは状態ベクトルの予測量 $ \alpha_{t|t-1} $ と，その共分散行列 $ P_{t|t-1} $ を再帰的に計算することを可能にする．

## その手順は

1. 予測方程式を用いて $ \alpha_{0|0}, P_{0|0} $ から $ \alpha_{1|0} $ を推定する.

2. 予測方程式を用いて $ Y_{1|0} $ を推定する.

3. $ y_{1} $ を観測する.

4. 更新方程式を用いて $ \alpha_{1|1} $ を推定する.

5. 予測方程式を用いて $ \alpha_{1|0}, P_{1|0} $ から $ \alpha_{2|1} $ を推定する.

6. 1-5の手順を各時点で行い，最終時点まで継続する.

$ \alpha_{t|t}, P_{t|t} $ の初期値を与える方法はいくつか考えられる．1つは推移方程式(4.1.6)を定常なベクトル値自己回帰モデル（VAR Model）と考えると， $ T_{\alpha} $ は時間に関して一定なので

$$ \alpha_{0|0}=(I_{p+n k+1}-T_{\alpha})^{-1}E[\alpha_{t}]=\mu_{t} $$

が得られ，推移方程式とその定常性から

$$ \mathrm{cov}\left(\alpha_{t},\alpha_{t-\tau}\right)=T_{\alpha}\mathrm{cov}\left(\alpha_{t-1},\alpha_{t-\tau}\right)=T_{\alpha}^{\tau}\mathrm{cov}\left(\alpha_{t-\tau},\alpha_{t-\tau}\right)=T_{\alpha}^{\tau}\mathrm{cov}\left(\alpha_{t},\alpha_{t}\right) $$

が成り立つが，ここで特に $ \tau=0 $ のときは

$$ \begin{aligned}\operatorname{cov}\left(\alpha_{t},\alpha_{t}\right)&=T_{\alpha}\operatorname{cov}\left(\alpha_{t-1},\alpha_{t}\right)+R\operatorname{cov}\left(\zeta_{t},\alpha_{t}\right)\\&=T_{\alpha}\operatorname{cov}\left(\alpha_{t-1},\alpha_{t}\right)+R\operatorname{cov}\left(\zeta_{t},T_{\alpha}\alpha_{t}+R\zeta_{t}\right)\\&=T_{\alpha}\operatorname{cov}\left(\alpha_{t-1},\alpha_{t}\right)+R\operatorname{cov}\left(\zeta_{t},\zeta_{t}\right)R^{\prime}\\&=T_{\alpha}\operatorname{cov}\left(\alpha_{t-1},\alpha_{t}\right)+R\Sigma R^{\prime}\end{aligned} $$
となり更に

$$ \begin{align*}\mathrm{cov}\left(\alpha_{0},\alpha_{0}\right)&=\mathrm{cov}\left(\alpha_{t},\alpha_{t}\right)=T_{\alpha}\mathrm{cov}\left(\alpha_{t-1},\alpha_{t}\right)+R\Sigma R^{\prime}\\&=T_{\alpha}[\mathrm{cov}\left(\alpha_{t},\alpha_{t-1}\right)]^{\prime}+R\Sigma R^{\prime}=T_{\alpha}\mathrm{cov}\left(\alpha_{t},\alpha_{t}\right)T_{\alpha}^{\prime}+R\Sigma R^{\prime}\end{align*} $$

が得られるので最終的に

$$ vec(P_{0|0})=vec\{cov(\alpha_{0},\alpha_{0})\}=[I_{p+nk+1}-T\otimes T]^{-1}vec(R\Sigma R^{\prime}) $$

を得ることができる．ここで☒は行列のクロネッカー積，vec(・)は行列を列毎に縦に並べたベクトルに変換する作用素である．

最後の式は以下のようにして得ることができる．まず最初に次の式を証明する．A: $ m \times m $ 行列，B: $ n \times r $ 行列，C: $ r \times q $ 行列としたとき

$$ \mathrm{vec}\left(ABC\right)=\left(C^{\prime}\otimes A\right)\mathrm{vec}(B) $$

いま $ (n \times 1) $ ベクトル $ b_{i} $ を行列 B の i 番目の列とする．また， $ c_{ij} $ を行列 C の $ (i, j) $ 成分とすると，

$$ \begin{aligned}ABC=&A(b_{1}b_{2}\cdots b_{r})\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots&c_{1q}\\c_{21}&c_{22}&\cdots&c_{2q}\\&&&\\c_{r1}&c_{r2}&&c_{rq}\end{pmatrix}\\=&[\{Ab_{1}c_{11}+Ab_{2}c_{21}+\cdots+Ab_{r}c_{r1}\}\{A_{b1}c_{12}+Ab_{2}c_{22}+\cdots\cdot Ab_{r}c_{r2}\}\\\cdot\cdot\cdot&\{Ab_{1}c_{1q}+Ab_{2}c_{2q}+\cdots\cdot Ab_{r}c_{rq}\}]\\=&[\{c_{11}Ab_{1}+c_{21}Ab_{2}+\cdots\cdot c_{r1}Ab_{r}\}\{c_{12}A b_{1}+c_{22}Ab_{2}+c_{r2}Ab_{r}\}\\\cdot\cdot\cdot&\{c_{1q}Ab_{1}+c_{2q}Ab_{2}+\cdots\cdot+c_{rq}Ab_{r}\}]\end{aligned} $$

が成立する．ここで vec 作用素を用いると

$$ \begin{aligned}\mathrm{vec}(ABC)&=\begin{pmatrix}c_{11}Ab_{1}+c_{21}Ab_{2}+\cdot\cdot\cdot+c_{r1}Ab_{r}\\c_{12}A b_{1}+c_{22}Ab_{2}+\cdot\cdot\cdot+c_{r2}Ab_{r}\\\\c_{1q}Ab_{1}+c_{2q}Ab_{2}+\cdot\cdot\cdot+c_{rq}Ab_{r}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}c_{11}A&c_{21}A&\cdot\cdot\cdot&c_{r1}A\\c_{12}A&c_{22}A&\cdot\cdot\cdot&c_{r2}A\\&&&\\c_{1q}A&c_{2q}A&\cdot\cdot\cdot&c_{rq}A\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\cdot\\b_{r}\end{pmatrix}=(C^{\prime}\otimes A)\mathrm{vec}(B)\end{aligned} $$
これで上の等式が証明された．vec作用素を

$$ \mathrm{cov}(\alpha_{0},\alpha_{0})=T_{\alpha}\mathrm{cov}\left(\alpha_{0},\alpha_{0}\right)T_{\alpha}^{\prime}+R\Sigma R^{\prime} $$

の両辺に作用させると，上の等式から

$$ \mathrm{vec}[\mathrm{cov}(\alpha_{0},\alpha_{0})]=(T_{\alpha}\otimes T_{\alpha}^{\prime})^{-1}\mathrm{vec}[\mathrm{cov}(\alpha_{0},\alpha_{0})]+\mathrm{vec}(R\Sigma R^{\prime}) $$

が得られ，この式より

$$ \mathrm{vec}[\mathrm{cov}(\alpha_{0},\alpha_{0})]=[I_{(p+nk+1)}-T_{\alpha}\otimes T_{\alpha}^{\prime}]^{-1}\mathrm{vec}(R\Sigma R^{\prime}) $$

が得られる。

統計家が自分の主観に基づき，$\alpha_{0|0}$，$P_{0|0}$を与えることも理論的には可能である．その場合，統計家の事前の確信の程度が低い場合は$P_{0|0}$の分散に対応する項を大きくとる必要がある．

また， $ Y_{t} $ を時間に関して逆に並べてθを（統計家の確信が低いことに対応して）十分に大きな正の数として $ \alpha_{0|0}=0_{p+nk+1},\quad P_{0|0}=\theta I_{p+nk+1} $ としてKalman フィルタを行い， $ \alpha_{T|T},\quad P_{T|T} $ を計算して，その値を $ \alpha_{0|0},\quad P_{0|0} $ として用いることなどがある.

#### 4.1.3 平滑化

Kalman フィルタは各時点において得られた標本をそれまでの情報で得られた推定量と合わせて状態変数の推定を行うので，最終時点における状態変数の推定量 $ \alpha_{T|T} $ 以外は，利用可能な情報すべてを活かしているわけではない．従って T 期間すべての情報を用いて状態変数の再推定を行う，平滑化という手法がある．平滑化方程式は $ \alpha_{T|T} $ と $ P_{T|T} $ から始め，時間に関して逆方向に推定をおこなう．

ここで，$\alpha_{t|T}$ と $\alpha_{t|T}$ をそれぞれ時点 $t$ における，平滑化推定量と，その分散共分散行列とすると平滑化方程式は

$$ \alpha_{t|T}=\alpha_{t|t}+P_{t}^{*}(\alpha_{t+1|T}-T_{t+1}\alpha_{t|t}) $$

$$ P_{t|T}=P_{t}+P_{t}^{*}(P_{t+1|T}-P_{t+1|t})P_{t}^{*^{\prime}} $$
と表される．ここで，

$$ P_{t}^{*^{\prime}}=P_{t}T_{t+1}^{\prime}P_{t+1|t}^{-1} $$

である．このことは次のようにして確かめることができる．いま

$$ M=\begin{aligned}\left(\begin{array}{ccc}E(Y_{t}Y_{t}^{\prime})&E(Y_{t}\alpha_{t+1}^{\prime})&E(Y_{t}\alpha_{t}^{\prime})\\E(\alpha_{t+1}Y_{t}^{\prime})&E(\alpha_{t+1}\alpha_{t+1}^{\prime})&E(\alpha_{t+1}\alpha_{t}^{\prime})\\E(\alpha_{t}Y_{t}^{\prime})&E(\alpha_{t}\alpha_{t+1}^{\prime})&E(\alpha_{t}\alpha_{t}^{\prime})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}M_{11}&M_{12}&M_{13}\\M_{21}&M_{22}&M_{23}\\M_{31}&M_{32}&M_{33}\end{array}\right)\end{aligned} $$

とおくと，この行列は正值定符号行列なので

$$ \begin{aligned}\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&M_{13}\\M_{21}&M_{22}&M_{23}\\M_{31}&M_{32}&M_{33}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}I_{n}&0_{n\times n}&0_{n\times0}\\M_{21}M_{11}^{-1}&I_{n\times n}&0_{n\times n}\\M_{31}M_{11}^{-1}&L_{32}L_{22}^{-1}&I_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}M_{11}&0_{n\times n}&0_{n\times n}\\0_{n\times n}&L_{22}&0_{n\times n}\\0_{n\times n}&0_{n\times n}&L_{33}-L_{32}L_{22}^{-1}L_{23}\end{pmatrix}\\&\quad\times\begin{pmatrix}I_{n\times n}&M_{11}^{-1}M_{12}&M_{11}^{-1}M_{13}\\0_{n\times n}&I_{n}&L_{22}^{-1}L_{23}\\0_{n\times n}&0_{n\times n}&I_{n}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

と分解することができる．ここで， $ L_{22}=M_{22}-M_{21}M_{11}^{-1}M_{12} $ ， $ L_{33}=M_{33}-M_{31}M_{11}^{-1}M_{13} $ であり， $ L_{23}=L_{32}'=M_{23}-M_{21}M_{11}'M_{12} $ である．ところで，

$$ \begin{aligned}\left(\begin{array}{c}\tilde{\alpha}_{t+1}\\\tilde{Y}_{t}\\\tilde{\alpha}_{t}\end{array}\right)&=\left(\begin{array}{ccc}I_{n}&0_{n\times n}&0_{n\times0}\\M_{21}M_{11}^{-1}&I_{n}&0_{n\times n}\\M_{31}M_{11}^{-1}&L_{32}L_{22}^{-1}&I_{n}\end{array}\right)^{-1}&\left(\begin{array}{c}\alpha_{t+1}\\Y_{t}\\\alpha_{t}\end{array}\right)\\&=\left(\begin{array}{ccc}I_{n}&0_{n\times n}&0_{n\times n}\\-M_{21}M_{11}^{-1}&I_{n}&0_{n\times n}\\-M_{31}M_{11}^{-1}+L_{32}L_{22}^{-1}M_{21}M_{11}^{-1}&-L_{32}L_{22}^{-1}&I_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\alpha_{t+1}\\Y_{t}\\\alpha_{t}\end{array}\right)\end{aligned} $$

すなわち $ \tilde{Y}_{t}=Y_{t},\quad\tilde{\alpha}_{t+1}=\alpha_{t}-M_{21}M_{11}^{-1}Y_{t} $ および

$$ \tilde{\alpha}_{t}=\alpha_{t}-L_{32}L_{22}^{-1}\alpha_{t+1}+(-M_{31}M_{11}^{-1}+L_{32}L_{22}^{-1}M_{21}M_{11}^{-1})Y_{t} $$

の2次のモーメント行列が

$$ \left(\begin{array}{ccc}M_{11}&0_{n\times n}&0_{n\times n}\\0_{n\times n}&L_{22}&0_{n\times n}\\0_{n\times n}&0_{n\times n}&L_{33}-L_{32}L_{22}^{-1}L_{23}\\\end{array}\right) $$