Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
## 医療機器

医療機器の生産額等

(单位：億円、%)

年 次	生產額	前年比	輸出額	輸入額	国内出荷額
1979(昭和54)年	5,669	23.1	-	-	-
1989(平成元)年	12,195	9.9	2,266	2,972	12,819
1999(平成10)年	15,075	-0.4	3,273	8,345	19,298
2005(平成17)年	15,724	2.5	4,739	10,120	20,695
2006(平成18)年	16,883	7.4	5,275	10,979	24,170
2007(平成19)年	16,845	-0.2	5,750	10,220	21,727
2008(平成20)年	16,924	0.5	5,592	10,907	22,001
2009(平成21)年	15,762	-6.9	4,752	10,750	21,829
2010(平成22)年	17,134	8.7	4,534	10,554	22,856
2011(平成23)年	18,085	5.5	4,809	10,584	23,525
2012(平成24)年	18,952	4.8	4,901	11,884	25,894
2013(平成25)年	19,055	0.5	5,305	13,008	26,722
2014(平成26)年	19,895	4.4	5,723	13,685	27,655

資料：厚生労働省医政局「平成26年薬事工業生産動態統計年報」

詳細データ 医療機器分類別生産金額

(单位：億円、%)

分類	生産金額	構成比	代表例
1処置用機器	5,225	26.3	滅菌済み血管処置用チューブ及びカテーテル、滅菌済み輸液セット
2画像診断システム	2,905	14.6	全身用X線CT装置、汎用超音波画像診断装置
3生体機能補助・代行機器	2,655	13.3	ステント人工股関節
4生体現象計測・監視システム	2,606	13.1	電子内視鏡、血圧計
5医用検体検査機器	1,695	8.5	ディスクリート方式臨床化学自動分析装置、血球計数装置
6歯科材料	1,278	6.4	歯科鋳造用金銀パラジウム合金、歯科用セラミックス
7家庭用医療機器	881	4.4	家庭用電気マッサージ器、耳穴型補聴器
8画像診断用X線関連装置及び用具	535	2.7	画像記録用フィルム、直接撮影用フィルム
9眼科用品及び関連製品	523	2.6	視力補正用眼鏡レンズ、コンタクトレンズ
10その他	1,592	8.1
合計	19,895	100.0

資料：厚生労働省医政局「平成26年薬事工業生産動態統計年報」
## 医薬分業

## 概要

## 医薬分業の体制

医薬分業とは、医師が患者に処方せんを交付し、薬局の薬剤師がその処方せんに基づき調剤を行い、医師と薬剤師がそれぞれの専門分野で業務を分担し国民医療の質的向上を図るものである。

## [医薬分業の利点]

1）使用したい医薬品が手元に無くても、患者に必要な医薬品を医師・歯科医師が自由に処方できること。

2）処方せんを患者に交付することにより、患者自身が服用している薬について知ることができること。

3）「かかりつけ薬剤師・薬局」において薬歴管理を行うことにより、複数診療科受診による重複投薬、相互作用の有無の確認などができ、薬物療法の有効性・安全性が向上すること。

4）病院薬剤師の外来調剤業務が軽減することにより、本来病院薬剤師が行うべき入院患者に対する病棟活動が可能となること。

5）薬の効果、副作用、用法などについて薬剤師が、処方した医師・歯科医師と連携して、患者に説明（服薬指導）することにより、患者の薬に対する理解が深まり、調剤された薬を用法どおり服用することが期待でき、薬物療法の有効性、安全性が向上すること。

## 詳細データ 薬局数及び処方せん枚数の推移

年 次	薬局数	処方せん枚数
(万枚/年)	1,000人当たり処方
せん枚数(枚/月)	医薬分業率全国平均
(%)
1989 (平成元) 年度	36,670	13,542	95.2	11.3
1990 (平成2) 年度	36,981	14,573	105.4	12.0
1991 (平成3) 年度	36,979	15,957	111.7	12.8
1992 (平成4) 年度	37,532	17,897	125.8	14.1
1993 (平成5) 年度	38,077	20,149	140.6	15.8
1994 (平成6) 年度	38,773	23,501	161.0	18.1
1995 (平成7) 年度	39,433	26,508	182.5	20.3
1996 (平成8) 年度	40,310	29,643	210.0	22.5
1997 (平成9) 年度	42,412	33,782	238.1	26.0
1998 (平成10) 年度	44,085	40,006	278.8	30.5
1999 (平成11) 年度	45,171	45,537	307.3	34.8
2000 (平成12) 年度	46,763	50,620	348.6	39.5
2001 (平成13) 年度	48,252	55,960	393.7	44.5
2002 (平成14) 年度	49,332	58,462	393.0	48.8
2003 (平成15) 年度	49,956	59,812	418.8	51.6
2004 (平成16) 年度	50,600	61,889	368.7	53.8
2005 (平成17) 年度	51,233	64,508	425.2	54.1
2006 (平成18) 年度	51,952	66,083	442.5	55.8
2007 (平成19) 年度	52,539	68,375	481.0	57.2
2008 (平成20) 年度	53,304	69,436	483.0	59.1
2009 (平成21) 年度	53,642	70,222	494.1	60.7
2010 (平成22) 年度	53,067※	72,939	486.6	63.1
2011 (平成23) 年度	54,780	74,689	498.3	65.1
2012 (平成24) 年度	55,797	75,888	533.3	66.1
2013 (平成25) 年度	57,071	76,303	510.2	67.0
2014 (平成26) 年度	57,784	77,558	509.3	68.7

資料：薬局数（厚生労働省医薬・生活衛生局調べ、1996年までは各年度12月31日現在、1997年以降は、各年度末現在）、処方せん枚数、1,000人当たり処方せん枚数、医薬分業率（日本薬剤師会調べ）

(注) 医薬分業率の計算の仕方

$$ 医薬分業率 (\%)=\quad\frac{ 薬局 \text{∧の処方せん枚数 }}{ 外来処方件数 ( 全体 )}\text{ \times}100 $$

※東日本大震災の影響で宮城県は含まれていない。
## 血液事業

## 概要

## [血液製劑]

血液製剤とは人の血液からつくられた医薬品を総称して呼び、輸血用血液製剤、血漿分画製剤に大別される。このうち輸血用血液製剤はそのすべてを献血により確保している。

一方、血漿分画製剤のうち、血液凝固因子製剤については海外から輸入する遺伝子組換え製剤にシェアを奪われている。その他アルブミン製剤、抗HBs人免疫グロブリン製剤等については、いまだ多くを海外から輸入しており倫理性、安定供給の面からも問題を指摘されている。このため、これらの血漿分画製剤についても国内自給を図るための取組を行っている。

分類	種類	適応症
輸血用血液製劑	赤血球製劑	造血器疾患に由来する貧血、慢性出血等
血漿製劑	肝障害、播種性血管内凝固(DIC)、血栓性血小板減少性紫斑病(TTP)、溶血性尿毒症症候群(HUS)等
血小板製劑	活動性出血、外科手術の術前状態、大量輸血時、播種性血管内凝固(DIC)、血液疾患等
血漿分画製劑	アルブミン製劑	出血性ショック、ネフローゼ症候群、難治性腹水を伴う肝硬変等
免疫グロブリン製劑	無または低グロブリン血症、重症感染症、川崎病等
血液凝固因子製劑	血液凝固因子欠乏症患者に対する凝固因子の補充

## [献血の状況]

献血者数は近年減少傾向であるが、特に10代・20代・30代の若年層の献血者数の減少傾向は引き続いている。また、従来より献血は200mLのほか、400mL献血及び成分献血が導入されているが、近年では、400mL献血及び成分献血が主流になっている。

詳細データ $ ^{①} $ 献血者の推移

詳細データ $ ^{②} $ 血液確保量及び採血種類別採血人数
# 経済分析

第 115 号 平成元年 9 月

☆最適制御理論の応用

- マクロ経済政策の協調問題 -

经济企画厅经济研究所 编集
本誌の性格について

本誌は,研究所員の研究試論である。この種の成果は,研究所内部においても検討中のものであるが,現在研究所でどういう研究が進行しつつあり,どういう考え方が生まれつつあるかを外部の方々に知っていただくと同時に,きたんのない批判を仰ぐことを意図するものである。そのために,掲載は研究員個人の名義であり,研究所としての公式の見解ではないことを含まれたい。
# 经 济 分 析

第 115 号

平成元年 9 月

经济企画厅经济研究所

## 目 次

<分析>

## 最適制御理論の応用 - マクロ経済政策における

協調問題

はじめに.....1
動学的な最適資源配分問題の分析.....2
マクロ計量経済モデルを制御対象とする研究.....2
本研究の位置付けと特徴.....3
1 章 経済分析の手法としての最適制御理論.....5
1 - 1. 動学システムの最適制御.....5
1 - 1 - 1. システムの設計と解析.....5
1 - 1 - 2. システムの制御.....5
1 - 1 - 3. 最適制御理論.....7
1 - 2. 複数主体による最適制御：ゲーム構造の導入.....8
1 - 2 - 1. 展開型ゲーム.....8
1 - 2 - 2. 標準型ゲーム.....10
1 - 2 - 3. プレーヤーが3人以上のゲーム.....14
1 - 3. 複数主体による最適制御問題.....17
2 章 最適制御の理論 ..... 20
2 - 1. 制御理論とは ..... 20
2 - 1 - 1. 制御の考え方 ..... 20
2 - 1 - 2. システムの表現と特性 ..... 22
2 - 1 - 3. 状態フィードバック ..... 25
2 - 1 - 4. 確率線形システム ..... 28
2 - 1 - 5. 離散時間システム ..... 32
2 - 2. 最適制御理論 ..... 32
2 - 2 - 1. 最適制御問題の定式化 ..... 32
2 - 2 - 2. 最大原理と最適制御の必要条件 ..... 35
2 - 2 - 3. 最適制御問題の解法：動的計画法（DP）と非線形計画法（NLP） ..... 39
2 - 3. 階層制御理論 ..... 47
2 - 3 - 1. 階層システムの理論 ..... 47
2 - 3 - 2. 2レベル制御 ..... 50
3 章 最適制御の経済分析への応用 ..... 55
3 - 1. 経済システムの分析と最適制御理論 ..... 55
3 - 2. 最適制御問題としての政策決定問題 ..... 57
3 - 2 - 1. 経済モデルと制御モデル ..... 57
3 - 2 - 2. 目的関数 ..... 58
3 - 2 - 3. 制約条件 ..... 58
3 - 3. 単一主体の政策決定問題 ..... 58
3 - 4. 複数主体の政策決定問題 ..... 60
3 - 4 - 1. ゲーム理論を用いた複数主体の最適制御問題 ..... 60
3 - 4 - 2. 階層制御理論を用いた複数主体の最適制御問題 ..... 62
3 - 5. シミュレーション・アルゴリズム ..... 63
3 - 5 - 1. はじめに ..... 63
3 - 5 - 2. 単一主体 CASE 1) ..... 64
3 - 5 - 3. 複数主体 CASE 2)、CASE 3)、CASE 4)、 ..... 65
4 章 経済動学モデルの最適制御
- Chow の理論の要約と実証分析例 ..... 68
4 - 1. 経済動学モデルの導入 ..... 68
4 - 1 - 1. 静学モデルと動学モデル ..... 68
4 - 1 - 2. 動学モデルの乗数 ..... 69
4 - 1 - 3. 確率動学モデル ..... 70
4 - 1 - 4. モデルに影響を及ぼす要因 ..... 71
4 - 1 - 5. 経済動学モデルと最適制御問題 ..... 72
4 - 2. 線形動学モデルの解法 ..... 72
4 - 2 - 1. 線形動学モデル ..... 72
4 - 2 - 2. Lagrange 乗数法による閉ルーブ解（フィードバック解） ..... 74
4 - 2 - 3. 線形確率動学モデルの取扱い ..... 75
4 - 2 - 4. 動的計画法による閉ルーブ解 ..... 78
4 - 3. 非線形動学モデルの解法 ..... 79
4 - 3 - 1. 非線形動学モデル ..... 79
4 - 3 - 2. Lagrange 乗数法による閉ルーブ解（フィードバック解） ..... 80
4 - 3 - 3. 条件なしの最適化問題の開ルーブ解 ..... 82
4 - 3 - 4. 線形近似モデルの勾配法による解法 ..... 82
4 - 3 - 5. 確率非線形動学モデルの取扱い ..... 83
4 - 4. 計量経済モデルの最適制御：実証分析例 ..... 86
4 - 4 - 1. 1期間の最適制御問題 ..... 86
4 - 4 - 2. 動的計画法による多期間の最適制御問題の解法 ..... 88
4 - 4 - 3. 実証分析の結果 ..... 91
5 章 国際経済における政策協調問題に関する最適制御シミュレーション ..... 97
要旨 ..... 97
5 - 1. 問題の定式化 ..... 97
5 - 1 - 1. 問題の簡略化 ..... 98
5 - 1 - 2. 制約条件 ..... 100
5 - 1 - 3. 目的関数 ..... 102
5 - 1 - 4. 分権的制御問題 ..... 104
5 - 1 - 5. 集権的制御問題 ..... 110
5 - 1 - 6. 階層制御問題 ..... 115
5 - 2. 乗数シミュレーションを用いた政策協調問題の分析：離散型の場合 ..... 120
5 - 2 - 1. 計量経済モデルの乗数シミュレーション ..... 120
5 - 2 - 2. 日米経済協調問題の分析：離散型の場合 ..... 123
5 - 3. 最適制御問題としての政策協調問題：連続型の場合 ..... 126
5 - 3 - 1. 目的関数の基準化 ..... 126
5 - 3 - 2. 国内の目的間のウェイト比の算出 ..... 127
5 - 3 - 3. 分権的制御によるナッシュ均衡解の算出 ..... 128
5 - 3 - 4. ナッシュ均衡解の周囲の許容空間の構造 ..... 129
5 - 3 - 5. 集権的制御と集権的制御の解の集合 ..... 130
5 - 3 - 6. 制御変数の空間での構造解析 ..... 131
5 - 3 - 7. 日米政策協調問題の分析：連続型の場合 ..... 134
5 - 4. 最適制御シミュレーションを用いた政策協調問題の分析：相互依存関係の大きさと政策協調の余地 ..... 136
5 - 4 - 1. 日本の輸入性向が増大した場合 ..... 136
5 - 4 - 2. 米国における政策上のプライオリティーが変化した場合 ..... 138
付録 最適制御シミュレーション用モデル（LINK 14）の考え方とその動学的特性 ..... 145
要旨 ..... 145
A - 1. モデル全体の考え方 ..... 146
A - 2. 各サブモデルの構造と推定結果 ..... 147
A - 2 - 1. サブモデルの構造 ..... 147
A - 2 - 2. 各サブモデルの推定結果 ..... 149
A - 3. サブモデルのリンク ..... 150
A - 3 - 1. リンクの考え方 ..... 150
A - 3 - 2. LINK 14のリンク構造 ..... 151
A - 4. ファイナルテストとリンク・シミュレーションの結果 ..... 153
A - 4 - 1. ファイナルテストの結果 ..... 153
A - 4 - 2. 各国の財政政策と政策上のトレードオフ ..... 154
A - 4 - 3. 2国間にみられる政策効果の非対称性 ..... 155
A - 5. 参考資料 ..... 156
A - 5 - 1. 变数名の一覧表 ..... 156
A - 5 - 2. LINK 14 直接結合型（3サブシステムモデル）の方程式系と推定結果 ..... 159
A - 5 - 3. LINK 14 リンクモデル型（4サブシステムモデル）の方程式系と推定結果 ..... 164
A - 5 - 4. ファイナルテストの結果 ..... 169
A - 5 - 5. 協調のない場合の各国の財政政策と政策上のトレードオフ ..... 174
A - 5 - 6. 協調のない場合の各国の財政政策の効果の海外への波及 ..... 175
A - 5 - 7. 協調によるトレードオフの改善 ..... 177
参考文献 ..... 179
# 最適制御理論の応用 - マクロ経済政策における 協調問題 $ ^{*} $

廣松毅池田実

原田泰龍前三郎

若 林 芳 雄 今 井 良 夫

柴本芳郎 渡辺啓史

# はじめに

経済分析に制御理論を導入することによって、経済学の分析手法を強化する試みは古くからなされてきた。そして今日ではそのような試みは、いくつかの流れを形成している。そこで、本研究の内容に具体的に立ち入る前に、このいくつかの流れを概観するとともに、そのような流れの中における本研究の位置付けを与えておくことにする。

そのためには、まず現在、制御工学、数理計画法、オペレーションズ・リサーチ、システム工学といった理論に体系化されている一連の最適化手法が経済分析に応用されるときの対象によって分類して考えるのが便利である。これまでのところ、最適化手法が経済分析に応用された例を、その対象によって大別すると、次の2つの経済学上の研究領域に分類できる。その第1は、ミクロ経済学における経済主体の行動のモデル化や最適行動の記述に関するものである。そして第2は、本研究に直接かかわるマクロ（計量）経済モデルの分析である。

第1の、ミクロ経済学の分野における最適化手法の応用は、経済主体の行動原理を記述するときの効用の最大化、利潤の極大化といった問題の動学的な最適化までを含む分析である。このような分析の古典的な例としては、「PHELPS 70」[坂口 70] [INTRILLIGATAR 71]などがあり、最近では不確実性を明示的に含んだ確率制御の問題も扱われるようになってきている（例えば[板垣 85]）。この立場からは、現在でも広範な分野にわたる多くの問題に関して研究が行なわれている。それらについては例としてあげた巻末の文献リストを参照されたい。

ここでは本研究に直接かかわりのある第2の研究領域に限定して、以下で概観することにする。
## 動学的な最適資源配分問題の分析

最適化手法の経済分析への応用としてのマクロ（計量）経済モデルの分析には、動学的な最適資源配分問題の分析に関するものとマクロ（計量）経済モデルそのものを制御対象とした最適制御理論の応用がある。

第1の分野における分析の端緒として、経済成長論への応用があげられる。この分野の歴史は古く、ラムゼー[RAMSEY 28]による消費と投資の時間的最適配分の問題にまでさかのぼる。その後サミュエルソンやソロー等の黄金成長経路と最適成長経路の関係の解明[SAMUELS ON 65][SOLOW 70]など一連の研究によって大きな進歩をとけ、古典的な変分法を応用した解析手法が経済分析の手法として確立した。その後、理論経済学において動学的な分析の有力な手段として変分法が広範に利用されるようになった。最近では[HADLEY/KEMP 71][SEIERSTAD /SYDSAETER 87]などに変分法の応用の方法論的な枠組や歴史的な展開の記述を見ることができる。また、ターンパイク定理の数学的性質の解明や、確率モデルへの拡張といったこの分野の最近の研究の体系化を[ARKIN/EVSTGNEEV 87]が試みている。

このように動学的な最適資源配分問題の取り扱いが盛んになるとともに、古典的な変分法のほかに線形計画法、非線形計画法、最大原理 [PONTRYAGIN / BOLTYANSKII / GAMKRELIZE / MISHCENKO 62] 最適性原理 [BELLMAN 57] を利用した数理計画法や最適制御、動的計画法 (DP : Dynamic Programming) などの経済分析への応用 [INTRILIGATO R 71] [KAMIEN / SCHWARTZ 81] が注目されるようになった。わが国においては、この種の手法による動学的最適化問題の分析を単に理論的分析に終らせずに、投入産出分析と結び付けて、非線形最適化問題を線形計画問題によって近似することにより、多部門成長モデルのターンパイクを計量的に計算する試みが行われている。そしてさらに、それを長期経済計画に利用するための実用化研究が経済企画庁経済研究所 [村上 他 70] [筑井 他 71 - 1,2] [筑井 他 73] を中心に行なわれている。その成果は、経済企画庁総合計画局が行なっている長期経済予測に利用されている [経済企画庁 82]

また一般に、連続時間をもつ大規模非線形最適化問題は解析的に取り扱うことが困難であるため、目的関数や変数を効率よく近似することによって、それを非線形計画問題に帰着させて解く方法の研究がなされており「今井 82」[IMAI / SUZUKI 88]、かなり複雑な理論モデルの最適化問題を数値解析によって解くことができるようになりつつある。

## マクロ計量経済モデルを制御対象とする研究

第2のマクロ（計量）経済モデルそのものを制御対象に最適制御理論の応用も、いくつかの流れに分けることができる。その端緒となった研究を特定化することは、きわめて困難である。しかし一般的には[CHOW 87]にもあるとおり、ティンバーゲンによるマクロ経済政策の最適化に関する方法論の体系化とその応用研究をもって、端緒とする場合が多い。このティンバーゲンの一連の研究は、経済モデルを構成し、政策の最適化を行なうためのシミュレーションを行なうことによって、1国の経済政策の策定[TINBERGEN 52]や国際的な政策協調[TINBERGEN 54]に必要な情報を定量的に得ようとする試みであり、この分野における先駆的な業績として高く評価されている。オランダにおけるティンバーゲンの研究とほぼ時を同じくして、イギリスにおいてもやはり経済モデルを用いて定量的な情報を得るとともに経済の最適化や安定化に必要な制御機構をモデル化する試みが[TUSTIN 53]等によって行なわれている。このイギリスでの研究の大きな特徴は、このようなモデル化に必要な計算過程を自動化する試みがなされた点にある。当時まだデジタル・コンピュータが利用できなかったので、経済のモデル化やその安定化のために、アナログ・コンピュータの回路の設計や機械的なサーボ機構の
設計が行なわれた。わが国においては、すでに戦前から同様の発想で、茅野健など工学の専門家たちの手により、経済現象をシミュレートするための電気的な回路の設計の研究が着手されていた。しかし一般に知られる前に、戦争のため他の研究が優先されることになったようである。

## 本研究の位置付けと特徴

最適化手法の時間的な最適資源配分問題への応用では、理論的・解析的な研究が先行した後に計量的な分析や、それを数値解析の手法を用いて解くことが試みられるようになった。それと対照的に、ティンバーゲンやタスチン等により方法論的基礎が与えられた経済政策への応用では、理論的・解析的研究と計量的・数値解析的な応用研究が平行して発展してきた。

これら2つの分野における個々の研究にはさまざまな要素が含まれているので、それらを一律に概観することは不可能である。しかし、これまでの研究は、経済理論の観点から大きく分けると、主として、次の3つの問題を取り扱っていたと考えられる。第1は[TUSTIN 53]の発想に近いものであり、経済変動の安定化の問題である。この問題の理論的な研究としては、「GANDOLFO 71」が試みた、各種の景気変動論に基づいて経済変動を安定化するための制御工学的な定式化、さらにはリヤプーノフの第2法による動学システムの安定性の分析から経済政策論的なインプリケーションを得ようとする研究などをあげることができる。その後[AOKI 76][MURATA 77][MYOKEN 80][AOKI 81]などの業績によってこの問題の理論的研究は発展し、経済動学システムの可制御性や可観測性の問題や開放経済モデルさらには多国経済モデルの安定化などの問題が扱われるようになってきた。この問題に関しては[ASA KO / KANOH 88]が計量的な応用研究を試みようとしているが、未完成である。

第2は[TINBERGEN 52,54]の発想に近いものであり、経済状態を所望の状態、あるいはできるだけ所望の状態に近いものにするために必要な制御（経済政策）を求めようとするものである。この問題での理論研究の発展はチョウによるところが大きく[CHOW 75,87]最近では確率制御の考え方が導入されつつある。この考え方に基づく最適制御理論のマクロ計量経済モデルへの应用研究はかなり多く、最近のものとしては、「平井 81」[RAO 87]などがある。本研究の4章の実証分析例は、この延長線上に位置するものである。

第3に、国際経済協調問題への最適制御理論によるアプローチがある。この問題の研究の出発点はやはり「TINBERGEN 54」である。この問題に関しては最近では次の2つの考え方に基づいて研究がされている。1つは「LASDON 70」等が体系化した階層制御理論に基づくものであって、「MYOKEN 83」などがこのアプローチを理論的に研究している。最近わが国で行なわれている一連の研究「ITO 87,88」は地域経済問題や国際経済問題に関してこのようなアプローチから定量的な分析を行なおうとする試行的な研究である。

もう1つの考え方は、システムにゲーム構造を導入した上でそのシステム全体を制御しようとするアプローチである。この考え方を計量分析に応用するためには分権的制御や集権的制御の問題として定式化されることが多い。この立楊から国際協調問題を理論的に扱ったものには[浜田82][早川86][HAMADA88]などがある。これらの研究は、分析手法としてゲーム理論や数理計画法、さらには最適制御理論を用いている。[小坂82][DE ZEEUW84][KOSAKA85]などは計量経済モデルを利用した研究である。

5 章に述べる本研究の研究成果は基本的にこの考え方に立つものである。そこでは複数主体の最適制御理論の考え方に基づいて計量経済モデルのシミュレーション分析を行っている。

[ OUDIZ / SACHS 84 ] 以来の一連のサックスモデルの研究は、この問題に関する先駆的な研究である。彼らのモデルは、理論的に定式化さ
れてはいるものの、その構造パラメータには、他の計量モデルのシミュレーション結果に基づく、仮設値が恣意的に与えられている。

本研究の大きな特徴は、小規模ながら、国際経済の相互依存関係を表わす計量経済モデルを実際に開発し、その動学的特性に関するシミュレーション分析の結果を踏まえた上で、そのモデルに最適制御理論を適用している点にある。このような意味から、本研究は経済分析手法としての最適制御理論の新たな応用分野を拓くとともに、国際経済における政策協調問題について、実証的にその可能性を探ろうとしている点に、大きな意義をもつといえよう。
# 1 章 経済分析の手法としての最適制御理論

### 1.1 動学システムの最適制御

#### 1.1.1 システムの設計と解析

経済学の分野において、マクロ経済の動きを動学システムととらえて、それを安定化させる制御手段（これは一般に政策とよばれる）を研究するという試みは、かなり古くから行われている。経済学の分野におけるこの種の研究の代表的なものに関しては、「はじめに」のところでふれたので、ここでは、制御理論の立場から、これまでの発展をごく簡単に追ってみることにする（本節は主として「高橋 78」による。制御理論の考え方およびその理論的展開の詳細については2章を参照せよ）。

さて制御理論の立場から動学システムを取扱う場合に、大別すると、設計（design またはsynthesis）と解析（analysis）という2つの立場がある。前者は目ざす性質をもつシステムを実際に設計・構築するという立場であるのに対して、後者は現実に存在するシステムまたはそれをモデル化したものの動学的な特性を調べたり、それを望ましい状態にするための方法を考えるという立場である。この2つの立場は一見すると全く異なるように見えるが、実際にはきわめて多くの共通点をもっている。というのはまず第1に、システムを設計する場合には、その一部または全体が未知であり、設計を行うにあたって、直観、類推、経験などによって何らかのモデルを想定し、それに基づいて暫定的な結果を求めることが必要となること、次に、その結果と目ざす結果の相違をチェックして、それが大きければ、はじめに想定したモデルを修正するなり別のモデルと置き換えることによって、また計算の繰り返しが行われること、そしてこのプロセスが終って、目ざす性質をもつシステムを表すモデルが得られて、はじめて実際にそれをどのように具体化するかという問題になるからである。このモデルを想定しそれに基づく結果と目ざす結果との相違をチェックするというステップは、システムを解析する立場とまったく同じである。さらに第2に、システムの設計においてもまた解析においても、その基本的な考え方が、まさに「システム」という概念に基づいているということである。なぜならば、システム全体の動きはその一部分の動きだけからでは知ることができないからである（経済学の分野でいう「合成の誤謬」(fallacy of composition）である）。

本研究は、マクロ経済を表す動学システムをその分析対象とするということから、当然のことながら、原則としてシステムの解析という立場に立つ。しかし5章でふれるように、本研究では国際経済における政策協調が可能なケースを探ることも実際に行っており、この部分はシステムの設計という立場も若干含んでいる。このような意味で、以下、本研究ではシステムの分析という言葉を用いることにする。

#### 1.1.2 システムの制御

ここでは「システム」という言葉の厳密な定義は行わずに、「システム」とは、直観的に、「ある境界によって環境と区別された、あるまとまりをもった1つの集合（体）」であると考えることにする。そしてこのシステムにはその内部およびその環境との間にいろいろな相互作用が存在するとする。そのうえこれらの相互作用には2種類あり、それらをシステムに加わる入力とシステムから出る出力とよぶことにする（これらを因果論的にそれぞれ原因と結果と考えてもよい）。そうして動学システムとはその出力が現時点だけではなくて過去の入力によっても影響を受けているシステムのことであると考える。これは動学システムが過去の記憶をもっていることを意味する。動学システムの数
学モデルでは、積分演算子（連続時間の場合）またはラグ演算子（離散型時間の場合）がその記憶要素を表すと考えられる。動学システムの内部の状態は、これら記憶要素の状態のベクトルとして表わされる。

さてこのような動学システムの制御として、もっとも基本的なものはフィードバック制御である。ここでフィードバックとは出力（結果）を入力（原因）の方に戻すことを意味する。このフィードバック制御の考え方を図示したものが、以下の図である。

図1-1-1

一般に、制御主体が入出力（ここではeとo）の関係から制御uを求める規則のことを制御規則（制御法則、制御則）という。この制御規則としては、歴史的に、次のような形のものが考えられてきた。まず第1に制御uが入力eに比例する場合である。

$$ \mathbf{u}\left(\mathbf{t}\right)=\mathbf{K}_{\mathrm{p}}\mathbf{e}\left(\mathbf{t}\right) $$

これを比例制御則という。この比例制御則では、特定の条件（例えば外乱が存在しないという条件）の下でないと、偏差が残ってしまうことがわかっている。

そこでそれを解消するために、次のような制御規則が考えられる。

$$ \mathrm{D u}\left(\mathbf{t}\right)=\mathrm{K}_{\mathrm{I}}\mathbf{e}\left(\mathbf{t}\right) $$

すなわち $ u(t) = \frac{K_{I}}{D} e(t) $

ただし、Dは微分をとる演算子である。これを解くと、次のようになる。

$$ \mathbf{u}\left(\mathbf{t}\right)=\mathbf{u}\left(\mathrm{o}\right)+\mathrm{K}_{\mathrm{I}}\int\limits_{0}^{\mathrm{t}}\mathrm{e}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{d}\mathrm{x} $$

## u（0）は u（t）の初期値

これを積分制御則という。この制御規則の問題点は e(t) → 0 になるまで制御過程が完了しないこと、およびこの制御規則の導入により図1-1-1の閉じたループに循環、特に発振振動が起きてシステム全体が不安定になることである。なお比例制御則と積分制御則を組み合わせた比例・積分制御則

$$ \begin{aligned}&\mathbf{u}\left(\mathbf{t}\right)=\mathbf{k}_{\mathrm{C}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{T}_{\mathrm{I}}\mathrm{D}}\right)\mathbf{e}\left(\mathbf{t}\right)\\&\mathbf{K}_{\mathrm{P}}=\mathbf{k}_{\mathrm{C}}、\mathbf{K}_{\mathrm{I}}=\mathbf{k}_{\mathrm{C}}/\mathrm{T}_{\mathrm{I}}\\ \end{aligned} $$

も可能である。この規則も積分制御則と本質的に同じ問題点をもつ（このとき kC を比例ゲイン、Ti を積分時定数という）。

この積分制御則もしくは比例・積分制御則（積分制御則のみのときよりも制御過程が遅くなることがわかっている）を用いると、偏差を除くことはできるが、上で述べたような欠点をもつ。そこでこれにさらに微分制御則を付け加えたもっとも一般的な比例・積分・微分制御則が考えられる。

$$ \mathbf{u}\left(\mathbf{t}\right)=\mathrm{k}_{\mathrm{C}}\left(1+\frac{1}{\mathrm{T}_{\mathrm{I}}\mathrm{D}}+\mathrm{T}_{\mathrm{D}}\mathrm{D}\right)\mathbf{e}\left(\mathbf{t}\right) $$

ただし $ T_{D} $ は微分時定数である。

制御理論の初期の段階では、これらの制御規則をアナログ・コンピュータで実現しようとした。しかし現在では、もっぱらディジタル・コンピュータによって実現されている（これらの制御規則の経済学的な意味付けとその適用例については「TUSTIN、53」を参照せよ）。

またもし外乱 a があって、その外乱が観測可能であるときには、図 1 - 2 - 2 のようにそれを相殺する制御規則が考えられる。

この制御規則は外乱による制御の変化を見越しているという意味でフィードフォワード制御とよばれることがある。図1-1-1のフィードバック制御が閉ループをもつのに対して、図
1 - 1 - 2 は開ループをもつので、この制御規則のことを開ループ制御ということもある。一般に開ループ制御では制御規則に含まれる定数値（パラメータ）の変化がそのまま出力に反映される。また観測されない外乱や偏差の累積が制御に及ぼす影響に対して、この制御規則は無力である。

図1-1-2

#### 1.1.3 最適制御理論

1.1.2 節で述べたシステムの制御に関する研究は、1950年代にほぼ完成したものである（これをこの節で述べる制御理論と区別するために古典的制御理論とよぶことがある）。これに対して1960年代に入って、次の2つの観点から新たな制御理論が生まれてきた（これを現代制御理論あるいは最適制御理論とよぶ）。

### 1. システムの状態の表現

### 2. システムを制御する目的

ここでは、それぞれを簡単に要約することによって、最適制御理論についてまとめておくことにする。

まず第1のシステムの状態の表現に関していえば、システムの表現として、次の2つの表現方法が考えられる。その第1は、入力に対する出力の関係に注目する表現方法であり、古典的制御理論がもっぱら採用してきた方法である。第2は、システムの内部状態（これは一般に、ベクトルによって表される）に注目する表現方法である。

システムの内部状態はそれへの入力に支配され、出力はシステムの内部状態を反映するものであるから、入力と内部状態の関係および内部状態と出力の関係という2つの関係から、内部状態を表す状態ベクトルを消去すれば、入力と出力の関係を直接表す表現、すなわち第1の表現方法が得られる。この意味で第2のシステムの内部状態を表す状態ベクトルを用いた表現方法の方が第1の入力と出力の関係を直接表す表現方法よりも情報量が多く、第1の方法では捨象されてしまっているシステムの特性を明らかにすることができる。このような観点から、最適制御理論では、システムの表現方法として第2のものをとる。

さらに第2のシステムを制御する目的に関しても、古典的な制御理論が、システムを制御するときに、与えられた入力を忠実に反映する出力を得ること、あるいはシステムの安定的な状態あるいは平衡状態を実現することを目ざしていたのに対して、最適制御理論では、制御主体の制御の目的を目的関数という形で明確にしたうえで、古典的な制御理論が目ざした目的以外の目的（たとえば制御コストの最小化、制御時間の最短化など）についても、制御を行えるようにした点に、大きな特徴がある（現代の制御理論が最適制御理論とよばれるのは、まさにこの点による）。

最適制御理論は、理論的には、リアプーノフのシステムの安定性の理論、ポントリャーギンの最大原理、ベルマンの動的計画法（DP）などが端緒となっている。そして最適制御理論の最大の特徴は、特にシステムの動学的な変化がその内部状態を表わす状態ベクトルの線形関数で記述でき、目的関数が状態ベクトルと制御変数の2次関数であり、外乱が確率変数として正規分布に従うときには、最適な制御規則が状態ベクトルに関する線形関数、すなわち古典的制御理論でいう比例制御則によって与えられることを明らかにした点である。それと同時に、一般に完全に観測することが不可能なような状態ベクトルをもつシステムに関する制御問題についても、次の図1-1-3のような方法をとれば解くことが可能であることを示した点も最適制御理論の大きな特徴である。

すでにふれたように、比例制御則だけでは、
特定の条件が成り立たない限り偏差 $ e = v - o $ が残ってしまうが、最適制御理論ではそれを観測という操作を導入することによって排除しようとするものである。

このような最適制御理論の発展により、制御の考え方が、それまで以上に多くの分野で利用されるようになったといえる。

x：システムの内部状態を表す状態ベクトル

x：状態ベクトルの推定値

（他は図1-1-1と同じ）

図1-1-3

### 1.2 複数主体による最適制御：ゲーム構造の導入

1．1 節では、暗黙理に、制御を行う主体は唯 1 人であると仮定している。つまり 1．1 節の議論は、単一主体による最適制御の理論である。

1.1 節の単一の主体は自分が過去に得た情報および自分がとった制御の系列（過去の経路）をすべて記憶していた。ここでいま、便宜的に任意のtについて、第t段階における制御主体（DM_{t}）と第（t+1）段階における制御主体（DM_{t+1}）とは異なるとしてみよう。すると上の完全記憶の仮定は、DM_{t}の得る情報（その段階で得られる追加的情報のみならず過去の経路も含む）と彼のとる制御とがDM_{t+1}に、完全にかつ誤差なく伝達されることを意味している。これが単一主体による制御問題から複数主体による制御問題へのもっとも単純な拡張である。このように各段階における制御主体が異なりかつそれまでの過去の経路について完全な知識をもつ複数主体による制御問題のことを完全情報型という。

本節では、複数の主体が競争的状況にある場合にいかなる行動をとるかについて考えてみよう。このような理論は、一般にゲーム理論とよばれている。

#### 1.2.1 展開型ゲーム

ここでは、複数の主体のことをプレーヤーとよぶことにする。そして、ゲームのルールとは、各プレーヤーの選択を規定する1組の規約のことであるとする。例をあげれば、経済の問題では、ゲームのルールとは経済主体の選択を規定するもの、つまりその経済社会における物理的ならびに制度的な与件に他ならない。

いま時間の推移は離散的であり、かつ有限であるとしておく。

このときもしゲームに参加しているすべてのプレーヤーの目的関数（損失関数）が同一であり、かつ完全情報型であるならば、このゲームは前節の単一主体による制御問題に帰着してしまう。それゆえ複数主体によるゲームが単一主体による制御問題に帰着してしまわないためには、各プレーヤーの損失関数が異なっているか、または完全情報型ではない、すなわち各プレーヤーの得られる情報が完全ではなくて不完全でなければならない。もちろん、損失関数が異なっており同時に情報が不完全であってもかまわない。さらには各プレーヤーが選択を行う（すなわちプレーする）順番もあらかじめ固定されてはいないという想定も考えられる。

このように拡張された複数主体の選択の問題は、通常、展開型のゲームとよばれている。

展開型のゲームは、game tree によって表現することが可能である。game tree とは、ゲームの出発点に対応する底点 O と、それ以後のプレーヤーの選択（これを手番という）を示すいくつかの分岐点と、もはや木の分岐がでていない頂点（結果）とからなっている。
図1-2-1

この図において底点 O から出発して、各分岐点において、各プレーヤーが選択を行いながら進んでいくと、ある1つの頂点に到達する。ここで、各頂点において、すべてのプレーヤーに対してある実数値の損失が定義されているものとする。いまこの底点 O から1つの頂点に到るpathをこのゲームの（1つの）プレーとよぶ。つまりプレーとはあるゲームが、特定の形として実現されたものである。そうすると、各頂点はそれぞれ異なる1つのプレーに対応しているから、各頂点ですべてのプレーヤーに対して損失が定義されているとは、頂点 t に達した（つまりプレー t が行われた）とき、プレーヤー i は Ji（t）の損失をこうむることを示す（実数値）損失関数 Ji（t）の組が定義されていることを意味している。各プレーヤーの目的は、この損失関数を最小にするように自分の選択を行うことである。

もちろんこのゲームのプレーヤーの中に自然という特殊なプレーヤーがいて、意思とはまったく無関係な偶然的なメカニズムで選択を行うとすることもできる。この場合には、自然の選択対象に対してはある既知の確率法則が存在するとする。この自然による選択のことを偶然手番とよび、他のプレーヤーが自分の意思にもとづいて行う選択のことを人的手番とよんで区別することもある。

自然とは別にプレーヤーがn人いるゲームのgame treeを考えてみよう。このgame treeの頂点を含まない分岐点の全体の集合をKとすると、この集合Kは、まず人的手番に属する分岐点と偶然手番に属する分岐点との2つの部分集合に分割される。そして人的手番に属する分岐点は、それぞれ、n人のプレーヤーの内の誰か1人の選択でありかつ2人以上のプレーヤーの選択となることはありえないから、どの分岐点はどのプレーヤーに属するかを分類することが可能である。それゆえ、結局、分岐点の集合Kは自然も含めて(n+1)コの部分集合に分割される。これをプレーヤー分割といい、それぞれの部分集合のことをプレーヤー集合という。

もし、いまこのゲームが完全情報型であれば、ゲームの各手番において常にそれまでの選択の結果がわかっているのだから、ある任意のプレーヤーは、自分の番が回ってきたときに、自分自身のプレーヤー集合すなわち自分に属する分岐点の部分集合のうち、現在どの点に位置しているかを明確に知りうることになる。しかしながら、もしこのゲームが完全情報型でなければ、すなわち不完全情報であれば、今回の手番で自分がどの分岐点に位置しているかを特定化ことはできない。このようにプレーヤーが現在自分がいる分岐点がその集合に含まれるどの点であるかを区別できないような点を、ひとまとめにした集合のことをそのプレーヤーの情報集合といい、プレーヤー集合を情報集合によってさらに分割することを情報分割という。プレーヤーの情報集合とは、プレーヤーのプレーヤー集合の部分集合であり、情報分割とはプレーヤー分割の細分割であることは、上の定義から明らかである。

また上の定義により完全情報型の場合には、情報集合とはただ1点のみからなる集合のことに他ならない。しかし一般の情報集合においては、プレーヤーは自分がどの情報集合にいるかは知りうるが、その情報集合内のどの分岐点にいるかは知ることはできない。この意味で、情報集合は各プレーヤーに利用可能な情報がどの程度不完全であるかを表わしているといえる。
さて、自然というプレーヤー以外にn人のプレーヤーがいるゲームのgame treeが定義されており、上にのべたような条件を満足しているとき、これを展開型のゲームという。以下、上にあげた条件をまとめておこう。

(E-1) 底点 O といくつかの頂点が存在し、

底点 O から 1 つの頂点までの path が 1 つのプ

レーを表わしている。

（E - 2）頂点 t において、n コの損失関数の組

$$ \mathbf{J}\left(\mathbf{t}\right)=\left(\mathbf{J}_{1}\left(\mathbf{t}\right),\mathbf{J}_{2}(\mathbf{t}),\ldots,\mathbf{J}_{\mathrm{n}}(\mathbf{t})\right) $$

（E - 3）プレーヤー分割：すべての分岐点の集合が、 $ n + 1 $ コの部分集合に分割されている。

（E-4）プレーヤー分割において、自然という特殊なプレーヤーのプレーヤー集合では、選択対象（分枝）に関して既知の確率法則が存在する。

（E - 5）情報分割：自然以外のすべてのプレーヤーのプレーヤー集合は、情報集合に分割される。そして与えられた1つの情報集合に属するすべての分岐点は、常に同数の選択対象（分枝）をもっている。

(E-6) t を支点 O からある 1 つの頂点に到るプレーであるとしたとき、任意のプレーヤーの情報集合と t の両方に含まれる分岐点は高々 1 つである。さらに自然に対する情報集合は、ただ 1 点のみからなる。

(E-7) 各プレーヤーは、このような構造を知っていて、損失 Ji(t) を最小にするように行動を選択する。

展開型ゲームは、ゲームのもつ本来の姿を示す完全な表現であり、ゲームの基本的な体系である。上の定義から明らかなように、ゲームすなわち複数主体の（行動の）選択の問題の基本的な特徴は、各プレーヤーがこうむる損失が、そのプレーヤー自身の選択のみによって決定されるのではなくて、自分の選択と他のプレーヤーの選択によって、はじめて決定されるということである。すなわち、利害を異にする相手がいるということがゲームの本質である。またさらに、ゲームの情報が不完全な場合には、その不完全性が各プレーヤーの選択を制限して、その損失に影響を与えるという点も重要である。

しかしながら、このような game tree を用いた展開型によるゲームの完全な表現は、単純なゲームに対しても膨大なものになり、各プレーヤーの最適な選択を求めるということは、非常に困難である。そのためもっと処理しやすい形にするためにいくつかの限定的な仮定をおくか、あるいは展開型の表現を簡略化することを考えなければならない。

ゲーム理論においては、上の展開型ゲームに戦略という概念を導入して、ゲームを標準型に変換するというアプローチがとられることが多い。ここで戦略とは各プレーヤーが game tree のうち自分に属する各分岐点においていかなる選択を行うかを、ゲーム全体にわたって、あらかじめ指定したものである。つまり戦略とは各プレーヤーの情報集合から、彼の行動空間への写像のことである。この戦略という概念を用いて展開型ゲームを簡略化したもののことを標準型ゲーム（あるいは標準型によるゲームの表現）という。次にこの標準型ゲームについて考えてみよう。

#### 1.2.2 標準型ゲーム

いま自然という特殊なプレーヤーは存在せず、かつn人すべてのプレーヤーがとりうるすべての戦略の集合がわかっているとしよう。そして、プレーヤーのとりうる戦略を$\gamma_{i}$とし、その許容可能な集合を「$\mathrm{i}$とする($\mathrm{i}=1,2,\cdots,\mathrm{n}$)」さらにプレーヤーは相異なるqの情報集合を持っているものとし、それを$\mathrm{z}_{\mathrm{i}}=\{z_{\mathrm{i}^{1}},z_{\mathrm{i}^{2}},\cdots,z_{\mathrm{i}^{\mathrm{q}}}\}$とする。そうすると、プレーヤーの戦略$\gamma_{i}$とは、次のように$\mathrm{z}_{\mathrm{i}}$をqの行動の組$\mathrm{b}_{\mathrm{i}}=(\mathrm{b}_{\mathrm{i}^{1}},\mathrm{b}_{\mathrm{i}^{2}},\cdots,\mathrm{b}_{\mathrm{i}^{\mathrm{q}}})$に移す関数である。すなわちプレーヤーは，第j番目の情報集合$z_{\mathrm{i}}^{\mathrm{j}}$で$\mathrm{a}_{\mathrm{j}}$種