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## 研究所でこれまでに出された日本モデル関連刊行物

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小林進他（1974）、「短期経済予測パイロットモデル SP-15」、『経済分析』第52号、経済企画庁経済研究所

馬場正雄他（1976）、「短期経済予測パイロットモデル SP-17」、『経済分析』第60号、経済企画庁経済研究所

馬場孝一他（1977）、「短期経済予測パイロットモデル SP-18」、『経済分析』第69号、経済企画庁経済研究所

吉富勝他（1981）、「世界経済モデルにおける日本経済の短期予測モデル」、『経済分析』第82号、経済企画庁経済研究所

経済企画庁経済研究所（1985）、「世界経済モデルの考え方と構造」、『経済分析』第98号、経済企画庁経済研究所

貞広彰他（1987）、「世界経済モデルにおける日本経済モデル」、『経済分析』第110号、経済企画庁経済研究所

安原宣和他（1989）「E P A 世界経済モデルの構造と財政政策の効果」、『経済分析』、114号、経済企画庁経済研究所

太田清他（1991）、「第4次版EPA世界経済モデル－基本構造と乗数分析－」、『経済分析』124号、経済企画庁経済研究所

增淵勝彦他（1994）、「第5次版EPA世界経済モデル－基本構造と乗数分析－」、『経済分析』第139号、経済企画庁経済研究所

堀雅博他（1998）、「短期日本経済マクロ計量モデルの構造とマクロ経済政策の効果」、『経済分析』第157号、経済企画庁経済研究所

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## 国の債権に係る情報の公表

歳入金債権の発生額及び消滅額等の推移

(单位:百万円)

平成24年度	平成25年度	平成26年度
管理对象債権額	消滅額	管理对象債権額	消滅額	管理对象債権額	消滅額
前年度以前
発生未消滅
債権分	本年度発生分	前年度以前発生分	本年度発生分	前年度以前
発生未消滅
債権分	本年度発生分	前年度以前発生分	本年度発生分	前年度以前発生分	本年度発生分
うち
不納欠損額	うち
不納欠損額	うち
不納欠損額	うち
不納欠損額	うち
不納欠損額	うち
不納欠損額	うち
不納欠損額
合 計	8,157,305	246,797	7,910,508	7,919,259	77,460	19,176	7,841,799	19	8,332,315	236,258	8,096,057	8,114,991	75,469	19,983	8,039,521	14	8,769,425	216,189	8,553,235	8,571,970	67,777	18,061	8,504,192
備 考	主な管理对象債権額
保険料債権 8,157,241百万円	主な消滅額
保険料債権 7,919,195百万円	主な管理对象債権額
保険料債権 8,332,300百万円	主な消滅額
保険料債権 8,114,975百万円	主な管理对象債権額
保険料債権 8,669,016百万円	主な消滅額
保険料債権 8,471,561百万円

※消滅額の項中「うち不納欠損額」は、歳入徴収官事務規程(昭和二十七年大蔵省令第百四十一号)第二十七条第一項各号に該当する金額の合計額であり、消滅額の内数。

歳入金債権の年度末現在額の推移

(单位:百万円)

平成24年度末現在額	平成25年度末現在額	平成26年度末現在額

※計数はそれぞれ単位未満切り捨てによっているので、端数において合計と合致しないものがある。
35)式のような自己回帰，移動平均型の入出力定差方程式（以下，これをARIMAXモデルと呼ぶ）と等価であることを示したが，このことは，次節で述べる状態空間モデルの構造推定と深い関係をもっている。

### § 4. 状態空間モデルの構造推定について

### A. 構造推定の意味

ここで，われわれが「状態空間モデルの構造推定」と呼ぶものは，オリジナルな状態空間モデル（11）および12）式）の構造パラメータ，A，bおよびcの推定のことである。

状態空間モデルの状態はシステム内部の状態であるから，通常観測不可能で，われわれが構造推定のために得られるデータは入出力（ $ u_{t} $ ， $ x_{t} $ ， $ y_{t} $ ）に関するもののみである。それ故，われわれは状態空間モデル11)および12)の構造を直接推定することはできない。エコノメトリックス流にいうならば，われわれが推定するのは「構造方程式」ではなく「誘導形方程式」であるということになる。

まず，状態空間モデルの構造の推定が可能であるためにはオリジナルな状態空間モデルが可観測でなければならない。これは可観測性の定義から自明のことである。すなわち，出力から何らかの形で状態が観測あるいは推定できない限り，11)の状態方程式の構造パラメータの同定は不可能である。

前節で，可観測な状態空間モデルは常に可観測正準型およびARIMAXモデルに等価変換できることを示したが，このことは逆にいえば，可観測正準型あるいはARIMAXモデルと等価な可観測な状態空間モデルが無数に存在することを意味している。そして，現実の入出力データから同定できる構造パラメータは$\overline{A}$，$\overline{b}$および$\overline{c}$であって，$A,b$および$c$ではない。すなわち，現実のデータから同定できるのは可観測正準型のパラメータあるいはARIMAXモデルのパラメータにすぎず，可観測正準型からオリジナルな状態空間モデルにもどるための変換マトリックス$T$に関する情報は入出力データには含まれていない。ここで，可観測正準型あるいはARIMAXモデルはエコノメトリックスでいわゆる「誘導形方程式」にあたり，オリジナルな状態方程式が「構造方程式」にあたることに留意すれば，両者の間の関係がより明らかになろう。以上の関係を図示すれば図3のようになる。

ここで留意したいのは，入出力データから同
定，あるいは検証できる構造はたかだか，可観測正準型あるいはARIMAXモデルのそれであり，無数に存在する正準型と等価な可観測な状態空間モデルのそれではないということである。可観測正準型からオリジナルな可観測モデルにもどるためには変換マトリックスTが必要であり，これはアプリオリに設定するしかない。エコノメトリックスにおける「identifiabi-

lity」の議論では，この「誘導型」から「構造方程式」への変換のためのアプリオリな制約がidentifiability conditionという型で定式化されているが，この純技術的かつデータとは関係のない条件が論理的に何を意味するかは定かではない。このことは，現実のデータと育合的な理論が実は無数に存在し，しかも，それを論理的，実証的に有効に識別する方法が存在しないことを意味しているようである。このことは，例えば，社会科学における理論とは一体何なのかという，より根本的かつ哲学的問題と密接に関連していると考えられるが，この問題については，ここではこれ以上立入らない。

さて，われわれが状態空間モデルの構造推定を入出力データだけによってするとすれば，図3からも明らかなように，2つのアプローチが可能である。第1の方法は，可観測正準型を入出力データから推定するものであり，ここではその典型としてAoki-Yueのアルゴリズムを示す。第2の方法は，ARIMAXモデルの推定である。これについては，Kashyap-Wallのアルゴリズムによってその概要を明らかにする。尚，両アルゴリズムに共通するのは最尤法による推定なので，最尤法の基礎についてまず簡単に述べてみよう。

### B. 構造推定のアルゴリズム

## (i) 最尤法の基礎

最尤法の原理は誠に素朴な発想に基づいている。いま，われわれは現実のシステムに入った入力データと出て来た出力データを持っているとする。この入出力データの関係をモデル化するわけであるが，そのモデルの構造パラメータの値は先見的に知る術がない。よってまず最初に思いつくこととは，勝手にそのパラメータに値を入れ，どれだけわれわれの持っている出力データに近くなるかチェックをすれば，いつかは出力データに極めて近い構造パラメータの組が出て来るのではないかということである。この場合，厳密にはモデル化の誤差，入出力データの確率性など，考慮しなければならない点が多いが，上の発想は最尤法のベーシックな考え方を理解する上では直観的で且つわかりやすい。

たとえば、ある入出力関係を、

図 4
$$ y=f(x,\beta) $$

で構造推定しようとしたとする。ここで，$y,x,\beta$ はそれぞれ出力（被説明変数）ベクトル，入力（説明変数）ベクトル，パラメータ・ベクトルである。もし，関数型 $f$ が $x$ について線形の関数であれば，40)式はよく知られている線形回帰モデルとなる。さて，実際に観測された出力データを並べたベクトルを $y_{a}$ とすれば，$y_{a}$ の $y$ との差は，当然 $x,\beta$ の関数である。いま，$x$ を所与とすれば，$y_{a}$ と $y$ の差は $\beta$ だけの関数となる。そこで $\beta$ を色々変化させ，この差を見るのであるが，$y$ が $y_{a}$ に近いという判断基準についてはいろいろ考えられる。

例えば，最小二乘法では $ y \perp y_{a} $ の差をとり，その差のベクトルの長さが最小となるように判断基準を定める。又，主成分分析と呼ばれる推定方法は，y の各要素から回帰直線（あるいは平面）へ至る距離の和が最小となるような判断基準を定めている。いずれにしても，この判断基準は $ \beta $ の関数となるが，この関数の型が 40) 式の f によって色々異る。一番便利な関数型は図4のような放物線（2次曲線）である。何故ならその最小点は唯一簡単に求められるからである。例えば，40)が線形回帰式

$ y = x \beta $ …… 41)

の場合，判断基準 S は y から $ y_{a} \wedge $ の長さの 2 乗（長さは常に正でありその 2 乗をとっても判断基準としては変りがないので）

$ S=\parallel y-y_{a}\parallel^{2} $ 42)をとっている。ここで//はユークリッド空間における2つのベクトル点間の距離（ノルムという）を示す記号である。42)式の右辺は，41)式を代入すれば具体的に

$$ \begin{array}{l}S=(y-x\beta)^{\prime}(y-x\beta)\\ =y_{a}^{\prime}y_{a}-2\beta x^{\prime}y_{a}+\beta^{\prime}x^{\prime}x\beta\end{array} $$

となる。ここで43)式は明らかにβに関して2次関数（放物線）であることを示している。よって，その最小値を与えるβな容易に求めることができる（ただし，行列の演算ということに気をつけなければならないが）。ここで注意するべきことは，43)式のβ変数の係数$x^{\prime}y_{a}$，$x^{\prime}x$や切片項$y_{a}^{\prime}y_{a}$は現在得られている入出力データを示しているが，新たに観測されたデータが入って来れば，当然変化するので放物線の形はその時々の時点で変化して行くという点である。よって，前に求めた最小値を与えるβ（つまり最適なパラメータ推定値$\hat{\beta}_{A}$）は，AがA'へ変化したのに従って$\hat{\beta}_{A}$へ修正されて行かねばならない。データがどんどん多くなっても，放物線の形が余り変化しなければ，推定パラメータの修正はほとんど必要なくなり，われわれは自信をもってこのパラメータを構造パラメータと見なすことができる。ここで放物線が変化するためにいちいち最小値を与えるβを計算するのは面倒であり，且つコストもかかるので，前の値に，たとえば$\hat{\beta}_{A}$を用いて，それに少しだけ工夫をこらして新しい最適パラメータ$\hat{\beta}_{A}$を計算しようとする考えがある。

この考えは，変化を表わす最小の情報量だけを使おうという，極めて合理的な思想に根ざしており，非線形最適化法でいう勾配法や，βを状態とみなす時の状態推定法，つまりカルマンフィルターの考えと軌を一にしている。しかしこの点に関しては主題ともはずれるのでここでは余り深く立ち入らないことにする。

さて明示的に判断基準が放物線となる場合は事態は簡単である。しかも40)式の$f$が複雑で，$S$が図Bのように放物線でない場合は一体どう処理したらよいのであろうか。その一つの解決策は，いささか強引ではあるが，どこか最小点ののありそうな付近を勝手に決め，その付近の曲線を放物線に近似させてしまおうという考え方である。一回の近似で間違うこともあろうから，丁度$A$から$A^{\prime}$へ変化した時と同じように，次々に近似を変え，最もうまく行った時の$\beta$（図では$\hat{\beta}_{B}$）を最適パラメータとすればよい。非線形最適化法でいう，Newton-Raphson法はこのような考え方に基づく極値問題の解法である。又，最も良く使われている，Davidon-
Fletcher-Powell法は，Newton-Raphson法で用いるHessian逆行列（例えば，43）式の一階の偏微分をとってできる行列をJacobian行列，二階のそれをHessian行列という）を，単位行列を初期値として，逐次的に求めて行くところが異るだけの極値決定法である $ ^{1} $ 。

以上までの議論は，判断基準と最適パラメータ決定について一般的に述べたまでである。最尤法を理解するには判断基準についてもう少し吟味し，確率分布の概念を導入して来なければならない。このことについて，先の直線（平面）回帰モデルを用いて簡単に議論してみよう。

まず，41)式を修正して，単なる構造推定のモデルではなく，実際に観測された出力データ， $ y_{a1}, y_{a2} \cdots y_{aN} $ （ $ N $ はサンプル数）を作り出すモデルを作ってみる。これを，例えば，

$$ y_{i}=x_{i}\beta+e_{i}\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots44) $$

としよう。ここで， $ e_{i} $ はある確率分布に従って変化するノイズである。上式は線形方程式であるから， $ y_{i} $ は $ e_{i} $ の確率分布と同じ確率分布を持つ確率変数であり，われわれの出力データ $ y_{a,1}, y_{a,2} \cdots y_{a,N} $ は確率変数 $ y_{i} $ がたまたまそのようになった例に過ぎないと考える。さて， $ e_{i} $ の確率分布は平均ゼロの正規分布であり，且つ $ e_{i} $ と $ e_{j} (i \neq j) $ は全く関係ないと仮定しよう。 $ e_{i} $ の独立性より， $ y_{i} (i=1,2 \cdots N) $ の実現値として $ y_{a,i} (i=1,2 \cdots N) $ が得られる確率

$$ p(y_{a,1},y_{a,2}\cdots y_{a,N}) $$

は，個々の $ y_{a,i} $ が出る確率の積である。つまり，

$$ p(y_{a,1},y_{a,2}\cdots y_{a,N})=\prod_{i=1}^{N}P(y_{a,i})\cdots\cdots\cdots45) $$

この45)式が成立するのは確率論の初步的定理に基づいている。ところで，正規分布は，平均と分散の2つの変数によって決定される関数（確率密度関数という）であり，その関数型は

$$ \begin{aligned}&\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot( 分散 )}\exp[-\frac{1}{2\cdot( 分散 )}\\ &\\ &( 確率変数 - 平均 )^{2}]\quad\cdots\cdots\cdots\cdots46)\\ \end{aligned} $$

なる形をしている。つまり，45)式の $ p(y_{a,i}) $

つ一つが46)式の正規分布関数形をしているのである。ここで平均は期待値のことであり，44)式より両辺の期待値をとれば,

$$ \begin{aligned}E(y_{i})&=E(x_{i}\beta)+E(e_{i})\\&=x_{i}\beta\end{aligned} $$

である。ここで，44)式の意味より，$x_{i}$ と $\beta$ は所与なる定数と見なしている。

これを46)式に代入し，さらにそれを45)式に代入すれば

$$ \begin{aligned}&p(y_{a,1},y_{a,2}\cdots\cdots y_{a,N})=\\ &\prod_{i=1}^{N}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi}\cdot( 分散 )}\exp\Bigl[-\frac{1}{2\cdot( 分散 )}\right.\right.\\ &\left.\left.(y_{a,i}-x_{i}\beta)\right]^{2}\right]\text{……47)}\\ \end{aligned} $$

となる。47)式のうち，分散は共通な固定分散， $ x_{i} $ を所与， $ y_{a,i} $ は既に観測されてしまっているので確定的な値，と見なせば，確率 $ p_{(a,1,y_{a,2}\cdots y_{a,N})} $ は， $ \beta $ の値によってのみ変化すると考えられる。ところで，もともと44)式を提案したのは，真にこのモデルによって観測出力が出ると確信しているからであり，したがって，最適パラメータはこの確率を最大にする $ \beta $ であるはずである。ところが，47)式は $ \beta $ の判断関数とするには冗長な部分を含んでいるので，もっと簡単にすべきである。その為，47)式の右辺の自然対数をとり，分散とか， $ 2\pi $ などを全部無視すれば，結局

$$ \sum(y_{ai}-x_{i}\beta)^{2}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots48) $$

を最小47)式の$\exp$の中にマイナス符号がでているので)にすれば$p$は最大確率になることが保証される。この48)式であらわされる推定すべき未知パラメータの関数を普通尤度関数と呼

注）1）判断基準（正確には後述する尤度関数）の極値を求めるには，この様な非線形最適化法を用いるのが普通である。これについては，D. M. Himmelblau [45]，あるいは，もっと当を得た解説としては，G. R. Walsh [93]，Chapter4を参照されたい。
んでいる。又こうして求められたパラメータの推定値を最尤推定値と呼ぶ。

## (ii) Aoki-Yueの方法 $ ^{1)} $

このアプローチを一言でいうなら，§3のDで述べた可観測正準形に等価変換した時の状態の初期値と，パラメータ行列・ベクトル $ \overline{A} $ ， $ \overline{b} $ を，回帰方程式の形になおして，最尤法を用い推定する方法である。この時後述するように，Toeplitz行列と呼ばれるものを用いる。

では，このアプローチを以下に簡単に説明してみよう。前節Dで議論したように，オリジナルな状態空間モデルが可観測であれば，変換行列27)式により，可観測正準形に等価変換出来その場合の誘導形は，35)式のような，簡単な自己回帰（antoregressive），移動平均（moving average）型になる²）。35)式にそのまま最小自乗法なりを適用することは出来ない。何故なら，最小自乗法においては，右辺の説明変数とノイズ項が統計学的に独立であるという仮定が必要であるからである。つまり，このまま最小自乗法を適用すると推定されたパラメータに所謂バイアスが入る（統計検定の言葉でいえば不偏推定値にならないということ）。従って，通常の回帰推定法的にいえば，何らかの手段を用いて，被説明変数を全て左辺に持って来る必要がある。

そのために，まず，下のようなToeplitz行列と呼ばれるものを定義する。

$$ S\underline{\underline{\Delta}}\left[\begin{array}{c}0\ 0\ \cdots\cdots\ 0\vdots\ 0\\\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\\1\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\\1\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\\0\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\\1\quad\vdots\quad\vdots\quad\vdots\end{array}\right] $$

この行列は，正方行列であり，その部分（余因子と呼ばれる）に一次元少い単位行列を持つものである。Toeplitz行列の特徴は，これをべき乗すれば部分としての単位行列が，一次元ずつそのべき乗の数に従って小さくなって行くことにある。これは実際に計算してみればただちに解る。ここで，出力系列と入力系列を $ y_{N} $ ， $ u_{N} $ と定義すれば，

$$ S y_{N}=\begin{bmatrix}0\\ y_{0}\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{N-2}\end{bmatrix}\quad S^{2}y_{N}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ y_{1}\\ \vdots\\ y_{N-3}\end{bmatrix} $$

$$ Su_{N}=\begin{bmatrix}0\\ u_{0}\\ u_{1}\\ \vdots\\ u_{N-2}\end{bmatrix}\quad S^{2}u_{N}=\begin{bmatrix}0\\ 0\\ u_{1}\\ \vdots\\ u_{N-3}\end{bmatrix} $$

となることは明らかである。このことより，35)式の入出力系列を $ t=0,\cdots,N-1 $ ならべた N 個の式の東

$$ \left.\begin{array}{r}y_{0}+a_{1}y_{-1}\cdots+a_{K}y_{-K}=b_{1}u_{-1}\cdots+b_{K}u_{-K}\\ y_{1}+a_{1}y_{0}\cdots+a_{K}y_{1-K}=b_{1}u_{0}\cdots+b_{K}u_{1-K}\\ \vdots\\ y_{N-1}+a_{1}y_{N-2}\cdots+a_{K}y_{N-K}=b_{1}u_{N-1}\cdots\\ +b u_{N-K}\end{array}\right\}\left(49)\right. $$

は，Toeplitz行列を用いて，ベクトルに簡単に下のような書き表わすことができる。

$$ (I_{N}+\sum_{i=1}^{X}a_{i}S^{i})y_{N}=(\sum_{i=1}^{X}b_{i}S^{i})u_{N}+\begin{bmatrix}\lambda_{1}\\ \vdots\\ \lambda_{X}\\ \vdots\\ 0\end{bmatrix}50) $$

ただし,

$$ \begin{array}{l}\lambda_{1}=-a_{1}y_{-1}\cdots-a_{K}y_{-K}+b_{1}u_{-1}\cdots+b_{K}u_{-K}\\\lambda_{2}=-a_{2}y_{-1}\cdots-a_{1-K}y_{K-1}+b_{2}u_{-1}\cdots b_{1-K}u_{K-1}\\\quad\vdots\\\lambda_{K}=-a_{K}y_{-1}+b_{K}u_{-1}\end{array} $$

である。ここでこれら，$\lambda_{1},\lambda_{2}\cdots\lambda_{K}$ は一体どのような意味をもっているのであろうか。49)式の
先頭の式により，まず，$\lambda_{1}=y_{0}$ は明らかである。又，34)式より，$y_{0}$ は$\overline{x}_{1,0}$ であるから，$\lambda_{1}$ は初期状態ベクトルの第1要素であることがわかる。次に，$\lambda_{2}$ は，49)式から

$$ y_{1}+a_{1}y_{0}-b_{1}u_{0}=\lambda_{2} $$

のことである。34)式より， $ y_{1}=\bar{x}_{1,1};y_{0}=\bar{x}_{1,0} $ であるから上の式は

$$ \overline{x}_{1,1}+a_{1}\overline{x}_{1,0}-b_{1}u_{1}=\lambda_{2}\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots51) $$

となる。さて，33)式の先頭の式より

$$ \overline{x}_{1,1}=-a_{1}\overline{x}_{1,0}+\overline{x}_{2,0}+b_{1}u_{0} $$

が成立し，文字を統一するため， $ \overline{b}_{1} $ を $ b_{1} $ とし $ \overline{x}_{2,0} $ の式にまとめると，

$$ \bar{x}_{2,0}=\bar{x}_{1,1}+a_{1}\bar{x}_{1,0}-b_{1}u_{0} $$

となる。この式と51)式を比較すれば,

$ \lambda_{2}=\bar{x}_{2,0} $

となることは明らかである。以下同様の計算をすれば，$\lambda_{1},\lambda_{2}\cdots\lambda_{K}$ は実は可観測正準形になおした時の初期状態ベクトルのそれぞれの要素であることがわかる。従って，50)式はこの初期状態ベクトル$\bar{x}_{0}$ を用い，且つ新たに，下のような$E_{N},A_{N},B_{N}$ なる行列を定義して

$$ \begin{aligned}&\mathcal{A}_{M}\underline{{\underline{{\Delta}}}}(I_{M}+\sum_{i=1}^{K}a_{i}S^{i})\\&\mathcal{B}_{M}\underline{{\underline{{\Delta}}}}\sum_{i=1}^{K}b_{i}S^{i}\\ \end{aligned} $$

次のようにまとめることができる。

$ A_{N}Y_{N}=B_{N}U_{N}+E_{N}\bullet x_{0} $ …… 52)

52)式に， $ A_{N} $ の逆行列を左からかければ，結局

$$ Y_{N}=A_{N}^{-1}B_{N}U_{N}+A_{N}^{-1}E_{N}x_{0} $$

となり，すっきりした回帰方程式の形を得ることができる。この53)式において， $ x_{0} $ は単に切片項のように，推定すべき未知パラメータとみなせばよい。53)式のパラメータ行列を実際に推定するには， $ A_{N}^{-1} $ のためパラメータの非線形性が出て来るので，非線形最小自乗法¹を用いるか，直接（i）で議論したような最尤法を用いなければならない。最尤法の場合の尤度関数の求め方については，前に述べたAoki-Yueの論文に詳しく解説されているのでここで改めて議論しない。

## (iii) Kashyap-Wall等の方法 $ ^{2)} $

本節Aで述べたように，入出力データから状態空間モデルの構造推定を行う場合，状態空間モデルは可観測正準形でなければ構造パラメータはユニークに求められない。この可観測正準形状態空間モデルを推定する場合，初期状態も明示的に未知パラメータの一部として取り扱うのが前に述べたAoki-Yueの方法である。ところが§3のDで議論したように，35)式の入出力定差方程式を直接推定することも考え得る。この場合，初期状態はAoki-Yueの方法のように明示的に推定の対象とならないが，出力値の中に当然初期状態と過去の入力の寄与が含まれている。従って，この定差方程式を効率よく推定出来れば可観測正準形の状態空間モデルの構造を推定出来たことになる。ここでいうKashyap-Wallの方法は一般的な入出力定差方程式，即ち入出力伝達関数の構造推定に関する汎用性の
高い手法である。われわれはこれを可観測正準形の状態空間モデルの構造推定に利用した。

まず，入出力定差方程式を35)式に従って，次のように表現しよう。ここで議論を簡単にするため，単一入出力モデルを提起することにする。

$$ y_{t}=\sum_{i=1}^{X}\alpha_{i}y_{t-i}+\sum_{i=1}^{X}\beta_{i}u_{t-i} $$

54)式は,

$$ y_{t}=\frac{\phi_{2}(L)}{\phi_{1}(L)}u_{t} $$

と，伝達関数表示をしてもよい。ここで $ \phi_{1}(L) $ $ \phi_{2}(L) $ はラグ演算子の多項式である。55)式のような形を普通Polynomial Lag Structure（多項式型ラグ構造）伝達関数と呼ぶ。

ところで，われわれの得る出力データは観測ノイズで汚されている。

$$ z_{t}=y_{t}+\eta_{t} $$

なるものがわれわれの観測する出力である。ここで $\eta_{t}$ は前の直線回帰の最尤法の $e_{t}$ と同じように，平均0，固定分散をもつ正規分布と仮定する。56式を54式に代入すると，

$$ \begin{aligned}z_{t}=-\sum_{i=1}^{K}\alpha_{i}z_{t-i}+\sum_{i=1}^{K}\beta_{i}u_{t-i}+\sum_{i=1}^{K}\alpha_{i}\eta_{t-i}\\+\eta_{t}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\end{aligned} $$

となる。

ここで，57)式についてもう少し吟味してみよう。もし，状態方程式に，入力の他にシステム・ノイズと呼ばれる外生ノイズ $ v_{t} $ が入って来れば，入出力誘導型の中に

$$ \sum_{i=1}^{x}c_{i}v_{t-i} $$

の項が入る来るはずである。ここで $ c_{i} $ は状態方程式のパラメータと出力方程式のパラメータの積が合成されたものをまとめてあらわしたものである。又入力変数を確定数として扱わず，一般性を持たせるため，ノイズ $ w_{t} $ で汚されているとすれば，やはり入出力誘導型の中に，

$$ \sum_{i=1}^{x}\beta_{i}w_{t-i} $$

なる項が入って来る。57)式のノイズ部分

$$ \sum_{i=1}^{X}\alpha_{i}\eta_{t-i}+\eta_{t} $$

と58)式, 59)式のノイズ部分は, ノイズが確率変数で測定しようのないものであるから, 互いに峻別するわけには行かず, 一つの正規ノイズで表わした方が合理的である。そしてこのノイズは58)式, 59)式60)式の線形結合とみなし, $ e_{t} $ とすれば, 57)式は,

$$ \begin{aligned}z_{t}=-\sum_{i=1}^{K}\alpha_{i}z_{t-i}+\sum_{i=1}^{K}\beta_{i}u_{t-i}\\+\sum_{i=1}^{K}\gamma_{i}e_{t-i}+e_{t}\end{aligned} $$

となる。61)式と57)式と違いは，ラグ付誤差の係数が$\alpha_{i}$から$\gamma_{i}$に変ったことにある。ここで，$e_{t}$は，$v_{t},w_{t}$の確率特性より，44)式の$e_{t}$と同じ確率特性を持つと仮定してもかまわないことが，Kashyap等の研究であきらかになっている。

では， $ e_{t} $ とは一体どのような意味を持つものであろうか。先の回帰分析モデル44)式の $ e_{2} $ は推定誤差であった。61)式の $ e_{t} $ もそれと同様に一種の推定誤差には違いない。しかし，54)式より， $ y_{t} $ はその過去の系列と入力の過去の系列より生成されるというプロセスを示している。つまり，このプロセスにノイズが全くないとなれば，現在の出力 $ y_{t} $ は過去のデータから完璧に予測することができるはずである。ところが，もし何らかのノイズがあれば，その予測には誤差が生じて来る。従って， $ e_{t} $ とはそれ即ち予測誤差に他ならない。これを式で表わせば，

$$ e_{t}=z_{t}-z_{t}\big/\big|_{t-1} $$

となる。ただし， $ z_{t}/_{t-1} $ は t-1 期までの過去のデータを用いて $ z_{t} $ を予測した場合の予測値をあらわす。つまり， $ z_{t} $ の条件付期待値

$$ z_{t}\big/_{t-1}=E\big\{z_{t}\big/Z_{t-1},\theta,U_{t-1}\big\} $$
のことである。ただし， $ Z_{N-1} $ は $ z_{1}, z_{2} \cdots z_{N-1} $ が作るベクトル，θ は $ \alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i} (i=1, \cdots, K) $ 全部が要素として入るパラメータ・ベクトル， $ U_{N-1} $ は過去の入力系列 $ u_{1}, u_{2} \cdots u_{N-1} $ が作るベクトルである。61)式で注意すべきことはこのような過去の予測誤差が累積し $ z_{t} $ の決定に影響を与えているという点である。

さて，先の（i）で議論したように，最尤法でパラメータ・ベクトルθを推定するには，尤度関数のもとになる $ z_{t} $ が生成される条件付確率をまず定めなければならない。61)式より $ z_{t} $ は過去の入出力と構造パラメータθによって決って来るので，出力データ系列 $ z_{N} $ の生起確率は

$$ p(z_{N}/Z_{N-1},\theta,U_{N-1}) $$

とあらわされる。

$ e_{i}, e_{j} (i \neq j) $ の独立が仮定されていると, 64)式の結合確率は個々の確率の積となり,

$$ p(z_{N}/Z_{N-1},\theta,U_{N-1})=\prod_{t=1}^{N}p(z_{t}/Z_{t-1},\theta,U_{t-1}) $$

のように逐次的な予測確率の積に分解できる。

さて， $ e_{t} $ の正規性と61)式の線形性より，65)式の条件付平均値（期待値）と条件付分散がわかれば尤度関数が求められる。ここで $ z_{t} $ の条件付期待値は，63)式の予測値であり，又条件付分散は，

$$ R_{N}\underline{\underline{\Delta}}E\left\{Z_{N}-Z_{N/N-1})(Z_{N}-Z_{N/N-1})^{\prime}\right\}\cdots\cdots66) $$

となる。

ただし， $ Z_{N/N-1} $ は， $ z_{1/0}, z_{2/1}, z_{3/2} \cdots z_{N/N-1} $ を要素とする行ベクトルである。ここで $ z_{t} - z_{t/t-1} $ は62)式より予測誤差 $ e_{t} $ のことであるから，これを要素にもつ $ (t=1, 2 \cdots N) $ 行ベクトルを $ E_{N} $ と定義すれば，67)式は

$$ R_{N}=E(E_{N}\cdot E_{N}{}^{\prime}) $$

と書きかえられる。又この$R_{N}$は，極限定理よりサンプル数$N$が大きくなると当然ある一定値$R_{N}\to R$ ……68)に収束する。

従って47)式の正規分布関数に62)式と68)式を代入すれば，65)式の右辺は，

$$ \prod_{i=1}^{N}\left[\frac{1}{\sqrt{2\pi\cdot R}}\right]\exp\left[-\frac{1}{2\cdot R}\sum_{t=1}^{N}{e_{t}}^{2}\right] $$

となる。これの自然対数をとったものに負符号をつけたものを尤度関数Lと定義すれば，Lは

$$ L=-\frac{N}{2}\mathrm{ln}2\pi-\frac{N}{2}\mathrm{ln}R-\frac{1}{2\bullet R}\sum_{t=1}^{N}e_{t}^{2} $$

___ 70)

となる。

70)式は, 予測誤差の分散および予測誤差の累積の関数となっている。予測誤差は, 62)式と63)式よりパラメータ・ベクトルθによって変動する。よって尤度関数70)式は, 実はRとθの関数である。従って70)式の最小化は, それぞれRとθに関して2段階に行う必要がある。

まず，第1段階として，Lを最小にするR，つまりRの最尤推定値を求めておく。これはLをRで偏微分してゼロとおくことより求められる。即ち，

$$ \frac{\partial L}{\partial R}=-\frac{N}{2}\cdot\frac{1}{R}+\frac{1}{2\cdot R^{2}}\sum_{t=1}^{N}e_{t}^{2}=0 $$

よって，両辺に $ 2R^{2} $ をかけ，Rの最尤推定値 $ R_{MLE} $ は

$$ R_{M L E}=\frac{1}{N}\stackrel{N}{\underset{t=1}{\sum}}e_{t}^{2} $$

である。

70)式のRをこれでおきかえたものを新たに尤度関数と決めれば，この尤度関数は $ e_{t} $ ，つまりθだけの関数となる。その具体的形は，

$$ \begin{aligned}L=&-\frac{N}{2}\ln2\pi-\frac{N}{2}\ln\Biggl(\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}e_{t}^{2}\Biggr)\\&-\frac{1}{2\cdot\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}e_{t}^{2}}\cdot\sum_{t=1}^{N}e_{t}^{2}\\=&-\frac{N}{2}(1+\ln2\pi)-\frac{N}{2}\ln\Biggl(\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}e_{t}^{2}\Biggr)\end{aligned} $$

である。最小値を求めるのに第1項と第2項の
$ \frac{N}{2} $ は無関係であるから，結局，θ推定のための最終的尤度関数は，極めて簡単になり，

$$ L=ln\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}e_{t}^{2}\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots72) $$

となる。ここで，改めてことわる必要もないが， $ e_{t} $ は62)式より予測誤差のことである。

以上の議論から，明らかのように，72)式導出のプロセスは，（i）で述べた回帰方程式に基づく最尤法のプロセスとほとんど同じである。

さて，実際に72)式をもとにパラメータ推定を行うには，θの値を変化させて尤度値がどのように変るか見なければならない。つまり，予測誤差をどのように計算するかのアルゴリズムを作る必要がある。まず，57)式の条件付期待値をとると，

$$ z_{t,t-1}=-\sum_{i=1}^{K}\alpha_{i}z_{t-i}+\sum_{i=1}^{K}\beta_{i}\mu_{t-i}+\sum_{i=1}^{K}e_{t-i} $$

を得る。何故なら，

$$ z_{t-i/t-1}\underline{\underline{\Delta}}\mathrm{E}\left\{z_{t-i}\mid Z_{t-1},\theta,U_{t-1}\right\}=z_{t-i}\quad\cdots74) $$

ただし， $ i=1,2 $ ……

$$ u_{t-i}\left.\right/_{t-1}\underline{\Delta E}\left\{u_{t-i}\left.\right/z_{t-1},\theta,U_{t-1}\right\}=u_{t-i}\ \cdots75) $$

ただし， $ i=1,2 $ ……

$$ \begin{aligned}e_{t-i}\left.\right/_{t-1}&\underline{\underline{\Delta}}\mathrm{E}\{e_{t-i}\left.\right/Z_{t-1},\theta,U_{t-1}\}\\&=\begin{cases}0& ただし i=0\\e_{t-i}& ただし i=1,2\end{cases}\quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots76)\end{aligned} $$

が成立するからである。

74)式75)式は, 条件付期待値が将来の生起を予測するのに対し, 過去の生起を予測することなく, それは過去の生起そのもの以外の何物でもないというロジックから来ている。又76)式のゼロの部分は$e_{t}$の正規性の仮定による。そして, $e_{t-i}$については, 74)式と75)式と同じロジックを用いればよい。

62)式を73)式に代入すれば，以下のような予測誤差の逐次計算式を得る。

\[\begin{aligned}e_{i}=-\sum_{i=1}^{K}\gamma_{i}e_{t-i}+z_{i}+\sum_{i=1}^{K}\alpha_{i}z_{t-i}-\sum_{i=1}^{K}u_{t-i}\leftrightarrow\\ \cdots\cdots\cdots\cdots

つまり，尤度計算のプロセスとしては，まず$\alpha_{i},\beta_{i},\gamma_{i}$を任意に定める（妥当性の高いものがもとより望しい）。次に，これ又任意の予測誤差$e_{t-i}$を定め，77)式に従って次々に$e_{t}$を計算して72)式の尤度を計算する。ここで逐次計算のための，予測誤差の初期値に関しては事前情報が何もないことに注意すべきである。これを初期値問題と呼ぶが，$e_{t}$の正規性の仮定よりゼロを入れるのが普通である。さて，このようにして，尤度関数の極値を与えるθを求めるのであるが，θを少しずつ変え，システマティックに行うには，（i）でふれた非線形最適化法を用いればよい。
# 補論II 道路事業制度の概要

### A. 道路投資策定の構造

日本における道路投資が現在のような形で行われるようになったのは、おおむね戦後の復興過程を通じてである。当初産業基盤の育成を目的としていた道路投資も、その過程を経て、現在の巨大なモータリゼーションの中で生活基盤の整備・生活環境の改善をも目的とする方向にある。以下、道路投資が具体的にどのような制度的枠組の中で行われているか概観する。

### 1. 道路の現況

## (1) 道路輸送の状況

## i）国内貨物輸送

国内貨物輸送量は，昭和30年度から昭和50年度までの20年間で，輸送トンキロで852億トンキロから3,609億トンキロで4.2倍に，輸送トン数で8.3億トンから50.3億トンで6.1倍に増大した。しかし，48年の石油ショック後，その伸びは停滞している。

この中で，自動車輸送は，40年代初めに鉄道を上回り，50年度で30年度に比べ輸送トンキロで14倍，シェアで11.1％から35.9％と3倍に増大している。(表IV－1参照)

## ii）国内旅客输送

国内旅客输送量は，昭和30年度から昭和50年度までで，輸送人キロ1,658億人キロから7,104億人キロで4.3倍，輸送人数で141億人から462億人で4.3倍と増加している。

中でも，乗用車輸送は，43年度にバス，民鉄を，46年度には国鉄を上回るに至った。50年度実績を30年度と比べると，輸送人キロで60倍，輸送人数で25倍と大幅に拡大している。（表IV−1参照）

## iii）自動車保有台数

昭和30年代は，貨物車の普及が著しく，40年度までの10年間で乗用車増加量の2倍の400万台増加した。昭和40年代は乗用車の増加が著しく，45年度末には貨物車保有台数を上回るに至った。最近数年間は，貨物車の増加の鈍化が影響して，全体として横ばいの状況である。(表IV−2参照)

## (2) 道路種類別狀況

道路は大別して, 自動車輸送の機能を効率的に増進する目的で造られた高速道路とその他の一般道路とに分けられる。一般道路の現況は昭和53年3月末の実延長の総計で106.6万km, 内訳は一般国道3.9万km, 都道府県12.6万km, 市町村道90.2万kmで市町村道が85%を占めている。高速道路は総計2,419km, このらち都市高速道路が224kmである。一般道路の整備状況は, 混雑度を考慮した整備率でみると一般国道で60%, 市町村道で22%という状況である。

## i）一般国道

一般国道路線は, 高速自動車国道と共に全国的幹線道路網を構成するものであり, 指定は道路法5条に依っている。主に都道府県庁所在地, 政治・経済・文化的に重要な都市, および, 人口10万以上の市等を日本全国に渡って連絡する道路であり, 主として建設大臣の管理下に有る。

昭和53年3月未で, 342路線38,540kmあり, 整備状況は昭和27年度末の改良率30.1%舗装率13.3%から各々87.7%, 93.7%と極めて向上している。

## ii）都道府県道・市町村道

## 都道府県道
地方の幹線道路網を構成するもので，認定は道路法7条に依っている。主に市および人口5千以上の町等を連絡する道路であり，都道府県知事の管理下に有る。都道府県道は更に，道路法56条によって建設大臣により指定され，国より1／2の新改築費補助のでる主要地方道と，それ以外の一般都道府県道とに分けられる。

昭和53年3月末で，主要地方道43,225km,一般都道府県道82,550km，計125,775kmあり，一般国道の約3倍である。整備状況は，主要地方道で改良率73.1%，舗装率85.0%，一般都道府県道で各々52.7%,73.1%と比較的整備は進んでいる。

## ☐ 市町村道

市町村区域内にあって，市町村長が認定した道路である。昭和53年3月末で，901,713 kmあり，全道路延長の約85％を占めている。整備状況は改良率で23.9%，舗装率で32.1%とまだ極めて低い状況にある。

## iii）高速道路

## イ 高速自動車国道

全国的自動車交通網の枢要部分を構成するもので，高速自動車国道法4条に依って，内閣を経て運輸大臣・建設大臣によって決定された路線である。

昭和38年に名神高速道路の一部開通に始まり，昭和53年3月末で2,195kmにおよび，日本の重要地域を連絡している。

## ☐ 都市高速道路

首都高速道路，阪神高速道路が有り，各都市地域の都市機能の増進を目的とする自動車専用道路である。道路法上地方道に属しているが，都市計画への依拠・料金の徴収・公共

表IV - 1 貨物輸送トンキロ及び旅客輸送人キロ

年度	30	35	40	45	50
貨物輸送	総量(億トンキロ)	852	1,369	1,864	3,502	3,609
うちトラック(億トンキロ)	95	208	484	1,359	1,297
(同分担率,%)	(11.1)	(15.1)	(25.9)	(38.8)	(35.9)
旅客輸送人キロ	総量(億人キロ)	1,658	2,433	3,821	5,872	7,104
うちバス(億人キロ)	233	440	801	1,029	1,101
(同分担率,%)	(14.1)	(18.1)	(21.0)	(17.6)	(15.5)
乗用車(億人キロ)	42	115	406	1,813	2,508
(同分担率,%)	(2.5)	(4.7)	(10.6)	(30.9)	(35.3)

表IV−2 自動車保有台数

(陸運統計要覧より)

(千台)

年度末	30	35	40	45	50
自動車保有台数 総計	1,502	3,404	8,123	18,919	29,142
うち 貨 物 車	693	1,673	4,680	8,519	10,172
(同シェア, %)	(46.1)	(49.1)	(57.6)	(45.0)	(34.9)
バス	35	58	105	190	220
(同シェア, %)	(2.3)	(1.7)	(1.3)	(1.0)	(0.8)
乗 用 車	158	473	2,290	9,105	17,377
(同シェア, %)	(10.5)	(13.9)	(28.2)	(48.1)	(59.6)
特殊車・二輪車等	616	1,179	1,048	1,105	1,373
(同シェア, %)	(41.0)	(34.6)	(12.9)	(5.8)	(4.7)

(陸運統計要覧より)
補論II 道路事業制度の概要

表IV−3 道路整備状況（昭和53年3月末見込み）

(单位：km, %)

道路種別	実延長	改良資源	舗装資源	整備資源
延長	率	延長	率	延長	率
高速自動車国道	2,195	2,195	100	2,195	100	-	-
都市高速道路	224	224	100	224	100	-	-
首都高速道路	132	132	100	132	100	-	-
阪神高速道路	92	92	100	92	100	-	-
一般国道	38,540	33,795	87.7	36,098	93.7	23,235	60.3
都道府県道	125,775	75,105	59.7	97,128	77.2	61,738	49.1
主要地方道	43,225	31,590	73.1	36,750	85.0	25,978	60.1
一般都道府県道	82,550	43,515	52.7	60,378	73.1	35,760	43.3
市町村道	901,713	215,474	23.9	289,465	32.1	201,474	22.3
合計	1,066,028	324,374	30.4	422,691	39.7	286,447	26.9

(道路行政より)

法人による事業実施の諸点で他と異っている。

首都高速道路は，昭和35年4月より首都高速道路公団（昭和34年設立）により着手され，昭和53年3月末で132kmを供用している。阪神高速道路は，昭和37年10月より阪神高速道路公団（昭和37年設立）により着手され，92kmを供用中である。尚，名古屋都市高速道路・福岡北九州都市高速道路が各々昭和45年・46年より着手されている。

## 八 一般有料道路

高速自動車国道，都市高速道路を除く有料道路であり，通行による顕著な利益享受と他の通行方法の存在が要件となっている。

昭和53年3月末で，日本道路公団に係るものが52路線721km，地方道路公社に係るもの58路線632km，地方公共団体に係るもの68路線818kmがある。