Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
II−2−9 サービス輸入と海外への要素所得デフレータ

$$ \begin{aligned}GF(PMS)=&\underset{(5.35)}{\overset{0.3144+\sum\limits_{0}^{3}\alpha_{i}}{\sum\limits_{0}^{3}}}\left\{GF\left(\frac{XGV+MGV}{XG+MG}\right)\right\}_{\substack{-1\\ 0}}+\underset{0}{\overset{1}{\sum}}\underset{0}{b_{i}}\{GF(FXS)\}_{-1}\\&+\underset{1}{\overset{4}{\sum}}\underset{1}{c_{i}}\{GF(FRT)\}_{-1}-0.0736D_{711}+0.0980D_{741}\\&\overline{R}=0.924\quad s=0.016\quad D.W.=1.20\\\alpha_{i}&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots Shiller lag:d=1,s.c=N,e.c=Y,k=1.0,\\b_{i}&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots lag:d=0,s.c=N,e.c=N,k=1.0,\\c_{i}&\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots lag:d=1,s.c=N,e.c=Y,k=1.0,\\\alpha_{i}&\quad\begin{array}{cccc}0&1&2&3\\0.2423&(0.1614&(0.0806&-0.0001\ $ 8.22)&(8.31)&(8.08)&(0.09)\end{array}\quad\begin{array}{cccc}4&&&\\&SUM&\\&0.4841&\\&&\\&0.2122&\\&0.0217&\\&0.0217&\\\end{array}\\\begin{array}{cccc}b_{i}&\begin{array}{cccc}0.1061&(0.1061&\ $ 2.80)&(2.80)\end{array}&&&\\c_{i}&\begin{array}{cccc}0.0105&(0.0073&(0.0037&0.0001\ $ 1.29)&(1.33)&(0.92)&(0.03)\end{array}&&&\\\end{array} $$

II−2−10 財貨輸入デフレータ

$$ \begin{aligned}ln\left(\frac{PMG}{FXS}\right)=&\ -4.753+0.9441ln\left(129.62\right)\quad(105.85)\\&\left(\frac{PMFC\times MMFC+PMGC\times MMGC+PRFC\times MRFC}{MMFC+MMGC+MRFC}\right)\\&\overline{R}^{2}=0.996\quad s=0.0266\quad D.W.=0.696\end{aligned} $$

II−2−11 1 人当たり雇用者所得

$$ \begin{aligned}GF(W)=&\begin{aligned}-0.0133+&\sum_{0}^{4}\alpha_{i}GF(PC)_{-i}+\sum_{1}^{4}b_{i}\left(\frac{YCI+VAC}{Y+IVA}\right)_{-i}+0.0320VA\\ (0.05)&\sum_{0}^{4}\alpha_{i}GF(PC)_{-i}+\sum_{1}^{4}b_{i}\left(\frac{YCI+VAC}{Y+IVA}\right)_{-i}\end{aligned}\\ &+0.0348D_{73IV}-0.0737D_{74I}+0.0261D_{75I}\\ &(2.96)\begin{aligned}(2.96)&(6.24)\begin{aligned}\overline{R}^{2}=0.942,\quad s=0.0100,\quad D.W.=2.53\\ 推定期間 \quad67:IV\quad to\quad78:I\end{aligned}\end{aligned}\\ \end{aligned} $$

$$ \textcircled{4}i $$

$$ \textcircled{1}\frac{1}{2} $$

$$ \textcircled{4}i $$

$$ \textcircled{k}I $$
II-2-12 一人当たり自営業者所得

$$ \begin{array}{r l r}&{}&{W S E=210.4+0.5086W+29.49(P C-P C_{-1})-12740\frac{(U R-U R_{-1})}{(1.35)}}\\ &{}&{\quad(11.31)\quad(40.68)\quad(6.12)}\\ &{}&{\quad\overline{{R}}^{2}=0.983\quad s=51.65\quad D.W.=1.37}\end{array} $$

## (4) 労働ブロック

## i) ブロックの構成

このブロックでは，労働供給と労働需要，そして需給変数としての有効求人求職倍率VAを決定する。構造方程式を4本しかもたないコンパクトな構成はSP-18と同様である。しかし，個々の方程式のスペシフィケーションは大きく異なり，参考として掲げたSP-18のフロー・チャートと比較すれば，かなりブロック内の相互連関の強い形に変っていることがわかるだろう。外生変数は，生産年令人口，主要なブロック外変数は1人当り雇用者所得（W），GNP，物価（PA），分配率などである。

## ii）今回改訂の目的

SP－18に限らず，これまでのモデルでは，労働プロックにあまり理論的な検討が加えられてこなかったので，かなりアドホックなスペシフィケーションとなっていた。そのため，次のような疑問のあるパフォーマンスを示していた。

第一は，需要の変化に対して極めて反応が鈍く，雇用量が変化しないので，需要の変動がそのまま1人当り労働生産性の変化を通じ，単位労働コストを動かしていた。すなわち，刺激策をとると，短期的に物価が下落するといった動きがあまりにも顕著に見られた。

第二としては，失業率（UR）と有効求人求職倍率（VA）が逆方向に動くことがあった。こういう逆方向の動きは賃金，物価が変化した場合によく見られた。まず，我々が注目したのは，物価決定や分配所得などの他のブロックとの関連が大きい第一の点であった。巻末付録の暫定版でとったアプローチでは，雇用調整を人数調整と時間調整に分けることによって，生産性を1人当りでなく，時間当りで考えるようにし，また，労働需給を男女に分け，より需給感応的と思われる女子労働の動きをとらえようと試みた。（暫定版の詳しい説明についてはⅡ章の2節の6を参照のこと。）

その結果，男女労働力の雇用調整の速度の差がはっきり得られたし，所定外労働時間の増減による時間調整も一応の結果が得られた。しかしながら，モデル全体としてテストを行ってみると，改善ははっきりしなかった。その原因は雇用調整がほとんど時間調整で行なわれ，労働需給に影響を与えず，賃金の反応がわずかだった点にある。そのような問題をもったのは，時間調整と人数調整にそれぞれの要するコストの区別を明示的に定式化しなかったので，時間調整から人数調整へのスイッチがうまく働かず，時間調整が行き過ぎてしまうからであった。本来なら，時間調整が行き過ぎると企業にとってコストが嵩み過ぎて雇用調整へスイッチするという企業行動をとらえるべきであろう。この問題は失業，有効求人倍率の式がSP－18と同じアドホックなものだったことや個人業主人口が残差で決められていることにより，より増幅されてしまっていた。

上述のような問題に対する我々のアプローチには2つある。第一のアプローチは人数調整と時間調整を同時的にそれぞれのコストを明示して決定しようという方法である。（理論的背景についてはⅡ章の2節の6を参照のこと。）第二のアプローチは，失業，有効求人倍率のスペシフィケーションをもっと理論的につめ，個人業主人口残差方式を改め，雇用者，個人業主，失業者数の和で労働力人口を決め，労働力人口の増減が非労働力人口を通じて，失業，有効求人倍率にフィード・バックする形にし，労働需給の不均衡がもれなく失業と有効求人倍率に反映されるようにすることである。しかしながら，今回の改訂作業でも，時間調整を考えた労
働需要及び第二のアプローチにおける個人業主人口の決定について満足すべきものが得られなかった。そこで，簡単な雇用者数と労働力人口の式を加えてブロックを構成している。

## iii）統計上の問題点

個別方程式に入る前に労働統計の問題点についてふれておこう。

労働力人口（LF）を以って労働供給量と見なすことが多いが，労働力人口と非労働力人口（N-LF）の間で景気循環の局面にしたがって移動があることが観察されており，非労働力人口の中にも労働供給と考えられるべき人口が存在すると考えられる。これは労働力人口が雇用者数（LW），個人業主人口（LSE），及び完全失業者数（U）の和で与えているが，完全失業者の統計が現在職を持たず就業の意志のある人々すべてをカバーせず，機会があれば働くといったパート・タイマーなどの一部の人々が非労働力人口に数えられてしまうためであろう。

このような現象は，失業統計が登録された失業者の数という性格を持てばもちろんのことサーベイ統計であっても見られることであるが，我が国の場合，景気局面での就業状態の移動をみると，就業者と完全失業者の間よりも，就業者と非労働力人口の間で大きい移動があると思われ，労働市場の逼迫度を考えるには見逃すことのできない要素である。記録された失業に対し，記録されない失業とでも呼ぶべきこの人口は，欧米の場合，高失業率が続いたため，求職活動をあきらめてしまった人々（discouraged unemployment）の数が多くなってきているようだが，日本の場合は，地域的問題を別にすれば，女子を中心としたパート・タイマー，アルバイトなどといった常用的でない就業機会と対応している人々が，ほとんどだと推測される。

## iv) 個別方程式

(1) 労働力人口統計上の問題点でも述べなように。労働力人口は，労働需要の強さによって増減する。これを従来から，生産年令人口と有効求人求職倍率で説明している。有効求人倍率は、後述のように，必ずしも労働力人口を増減させる人口の移動に対応する需給変数ではないが代理変数として用いられている。有効求人求職倍率にスケールファクターをとると以下のようになる。

$$ LF=a+bN+cVA\cdot N $$

このまま推計したところ，誤差の分布に問題がみられたので，下記のように差分で推計したところ，有意性が不充分だった。

$$ \Delta LF=\Delta bN+c(\Delta VA\cdot N+VA\cdot\Delta N) $$

そこで第2項を $ \Delta(VA \cdot N) $ に変え定数項を加えて推計したのがII−2−14式である。

## (2) 雇用者

資本労働比率が長期的展望の下に賃金，物価，原材料価格の相対的動きで，決定されるとし，短期の需要変動にあまり影響されないとして特定化したものである。原材料コストの上昇に対して，資本労働比率が資本集約的な方向に調整が行なわれると言う結果は興味深い。ただ，需要の変化に対し、動きが小さ過ぎるように思われ，パート・タイマーなどの調整の早い部分を説明する変数が必要であるように思う。

## (3) 完全失業者数

推計は，GNPと労働力人口のマルティ・コリニアリティーを避けるため失業者数でなく，失業率の形で行っている。失業率は，景気循環に対して遅れを伴って動いている。平均失業期間や就業者ベースでの各期中の入職者，離職者等のデータがないので，確実には言えないが，景気後退期には，離職者が増加する一方入職者が減り，失業者数が徐々に増加し，好況期には逆の動きをするために遅れを伴うものと思われる。
そこで，説明変数のうち GNP，分配率にかなり長いラグをとってある。

GNPにより，長期のトレンドとしての労働需要を，また，分配率により，短期的な労働需要の変動を説明している。分配率をとる際，名目GNPに在庫評価調整額を加えているのは狂乱物価当時の動きをとらえるためである。

第三の説明変数として，非労働力人口を与えている。これを加えるのは，統計上の問題点でもふれたように，失業統計の性質から，失業者として記録されずに就業者と非労働力人口の問を移動する人口があり，主にパート・タイマー，アルバイトなどであろうが，これと，失業者による労働供給に代替が存在すると考えられるからである。また，この変数は，労働需要が強いときに，労働力人口が増加する一方，失業が減少せず，労働市場に逼迫が現われないといったことを防ぐ要素としても重要である。

## (4) 有効求人求職倍率

有効求人求職倍率は，新卒者を含まないこと，男女比が男に偏っていること等々から，経済全体の労働需給を示すものではないが，唯一利用可能な需給変数であり，労働プロックでは中心的な変数となっている。有効求人求職倍率は失業率などに比べるとはるかに変動が大きい。これは，この変数が期中の求人数と求職数の比であり，特に求人数が大きく変動するからである。求人数は労働が固定性をもつことからみて，労働需要全体でなく，労働需要の変化分に対応すると考えられる。したがって，労働需要変動の要素をGNP及び実質賃金の変化で説明することとし，従来のレベルでの説明を改めた。

また，求職数は，基本的に失業者数に比例すると考えたが，有効求人求職倍率の特殊性から考えると，パート・タイマー等との代替関係が小さいと考えられることや，失業者数を入れるだけであると$\{VA\uparrow\rightarrow LF\uparrow\rightarrow(N-LF)\downarrow\rightarrow U\downarrow\rightarrow VA\uparrow\}$という不安定要素が存在することなどから，非労働力人口を説明変数に加え，正の符号を期待した。パラメータの大きさを検討すると，約7.31で失業者数からくるマイナス7.25（$-2.99\times2.42$）とほぼ相殺し合うことがわかり，非労働力人口に含まれていると考えられる労働供給との間にほとんど代替がないと推測される。この式に限り，推計期間を昭和45年4－6月から始めているが，これはこれ以前と以後ではっきりした構造変化が認められるためである。

## V ）パフォーマンス

まず，どのようなテストシミュレーションにおいても，有効求人求職倍率と失業率がバラバラに動くようなことはなくなった。また，以前のヴァージョンと比べると，需要に対する反応がかなり大きくなっている。しかしながら，それでも時間による調整を欠くため，依然として生産性の問題は残っており，大部分のデフレーターでは問題がないが単位労働コストの比重の高い消費支出デフレーターでは，刺激ケースで下落が見られることがある。したがって，時間調整の導入には今後とも努力を続ける必要があるだろう。

## (5) 労働ブロックの構造方程式

II-2-13 有効求人倍率

$$ \begin{aligned}&lnVA=-\underset{(7.20)}{25.7290}+\underset{0}{\overset{5}{\sum}}a_{i}ln\left(\frac{GNP}{GNP_{-1}}\right)_{-i}-\underset{(2.48)}{2.1204}ln\left(\frac{W/PA}{(W/PA)_{-1}}\right)-\underset{(13.09)}{2.9937}lnU\\&+7.3137ln\left(N-LF\right)\\&\quad(7.07)\\&\quad\overline{R}=0.965,\ s=0.094,\ D.W.=1.36\\&\quad 推定期間 \quad70:II\ to\ 78:I\\ \end{aligned} $$
$ a_{i} $ ……Shiller lag : d = 2 , s.c = N, e.c = Y, k = 1.0

$ a_{i} $ 0 1 2 3 4 5 SUM

$ 4.2408 $ 4.5447 4.0352 2.8830 1.4918 0.2281 17.424

(2.88) (5.80) (5.67) (3.92) (2.15) (0.31)

II-2-14 劳働力人口

$ \Delta LF = -0.0508 + 0.6880 \Delta N + 0.0101 \Delta (VA \cdot N) $

(0.58) (2.21) (3.30)

$ \overline{R}^{2} = 0.299, s = 0.1765, D.W. = 2.46 $

II-2-15 完全失業者数

$ b_{1}\left(\frac{U}{LF}\right) = -\frac{4.1213 + \sum_{i=1}^{6} a_{i} \ln GNP_{i}}{3.69} + \sum_{i=1}^{4} b_{i} \ln \left(\frac{f_{i} W}{GNP_{i} + f_{i} VA}\right) + 2.422 \ln (N - LF) $

$ + 0.1415 D_{rom - rv} $

(4.11)

$ \overline{R} = 0.973, s = 0.0461, D.W. = 1.80 $

$ a_{1} $ ……Shiller lag: d = 1, s.c = N, ac = Y, k = 10

$ b_{1} $ ……Shiller lag: d = 1, s.c = N, ac = Y, k = 10

$ a_{1} $ -0.1084 -0.1165 -0.1193 -0.1127 -0.0903 -0.0632 -0.0079

$ a_{1} $ (1.06) (2.69) (2.86) (2.22) (1.66) (1.13) (0.13)

$ b_{1} $ 0.9098 0.9169 0.9185 0.0176

$ a_{1} $ -0.60718

$ b_{1} $ 1.8919

II-2-16 雇用者数

$ \ln L_{W} = 0.9047 + \sum_{i=1}^{6} a_{i} \ln KFP_{i} + \sum_{i=1}^{6} b_{i} \ln W_{i} - \sum_{i=1}^{6} c_{i} \ln \left(\frac{P\ln P}{P\ln G}\right) $

$ \overline{R} = 0.890, s = 0.0070, D.W. = 1.12 $

$ a_{1} $ ……Shiller lag: d = 1, ac = N, ac = Y, k = 6.0

$ b_{1} $ ……Shiller lag: d = 1, ac = N, ac = Y, k = 6.0

$ a_{1} $ -0.02948 -0.01878 -0.01408 -0.00984 -0.00469

$ a_{1} $ (1.87) (1.91) (1.92) (1.89) (1.72)

$ c_{1} $ 0.1058 0.01341 0.01017 0.006391 0.003415

$ c_{1} $ (1.66) (1.68) (1.66) (1.43) (1.27)

$ a_{1} $ 0.000006399 0.3227

$ a_{1} $ (0.06)

$ b_{1} $ 0.00002779 -0.07034

$ c_{1} $ -0.00002696 -0.06038
## 第 5 章 わが国における満期構成に関する国債管理政策の分析

### 1. はじめに

わが国の国債残高は過去5年間で急増し、この巨額の残高を抱えて、今後国債管理政策が重要になってくると考えられる。実際に、1999年度以降10年債中心の発行から2、5年債や30年債が発行されるなど、満期構成を変える具体的な動きが見受けられる。本稿では、わが国における国債管理政策について、その満期構成を中心に、理論的分析を行い、これをもとにした数値解析から今後のあり方について考察することを目的とする。

そもそも、国債管理政策とは何であるか。国債管理政策とは、財務省（旧大蔵省）によると、「できるかぎり財政の負担の軽減を図りながら、国債が国民経済の各局面において無理なく受け入れられるよう、国債の発行、消化、流通および償還の各方面にわたり行われる種々の政策の総称」と定義している。先行研究では、国債管理政策の現状を分析するべく、さらに細かく定義づけがなされている。ここでは、土居(2000)などでもまとめられているように、国債管理政策に関する議論を整理する。

黒田(1982, 1996) では、「数量的国債管理政策」として「国債の満期構成操作が、国債発行コストや有効需要水準に与える効果を分析する政策論」と定義している。また、浜田(1997) では、「できるかぎり財政の負担の軽減を図りながら、国債が国民経済の各局面において無理なく受け入れられるよう、国債の発行、消化、流通および償還の各方面にわたり行われる種々の政策の総称」として国債管理政策を定義している。わが国における国債管理政策の実際については、中島(1977)、山田(1990)、宮島(1996)、浜田(1997) などで取り上げられている。

このように国債管理政策について定義がなされているのだが、国債管理政策のあり方を考える前に、国債管理政策が有効であるか否かを議論する必要がある。国債管理政策が実質的なマクロ変数に対して有効でないことが自明である状況は、公債の中立命題が成り立つ状況である。公債の中立命題が成り立っていれば、増税と公債発行は無差別となり、どの時点で増税するか、あるいはどの時点で公債を発行したり償還したりするかは、何らマクロ経済に影響を与えないことになる。

わが国における公債の中立命題に関する最近の研究として、本間(1996)やIhori, Doi, and Kondo(2001)がある。これらによれば、わが国では公債の中立命題は成立しないという実証結果を得ている。この結果から、わが国において国債管理政策が無意味であることが自明ではなく、その有効性を議論する意義があることが示唆される。そこで、次に国債管理政策をめぐる先行研究を簡単に展望することとする。

本稿の構成は下記の通りである。2節では、国債管理政策に関する先行研究を概観する。そして、国債管理政策を分析する意義を明確にする。3節では、本稿が構築した満
期構成に関する国債管理政策が扱える理論モデルを踏まえて数値解析を行い、わが国の今後の国債管理政策を検討する。最後に、4節で本稿の結論をまとめる。

## ２．国債管理政策とマクロ経済

## ２．１ 国債管理政策が有効である状況

国債管理政策が実質的なマクロ経済変数（生産、所得、消費等）に影響を与える状況としては、公債の中立命題が成り立たない状況や、時間的不整合性(time inconsistency)がある状況が考えられる。時間的不整合性がある状況とは、以前採られた政策について、事後的に変更するインセンティブが政策当局にある状況である。また、国債利回りの期間構造に関して、純粋期待仮説が成り立たない状況も、国債管理政策が実質的なマクロ経済に影響を与える状況である。純粋期待仮説が成り立たない状況としては、市場分断仮説が成り立つ（債券市場は残存期間別に分断されており、特定の残存期間を持つ債券の利回りがそれらの需給で決まる）状況や、流動性プレミアム仮説が成り立つ（残存期間が長いほど流動性プレミアムが大きい）状況がある。

これらの状況では、適切な国債管理政策を行う前は、望ましくない経済状況（資源配分が最適でないなど）であることが前提となっている。したがって、後述する先行研究での国債管理政策は、この望ましくない経済状況を改善するべく政策当局が満期構成を適切に操作するには、どのようにすればよいかという政策的含意を議論した。

## ２．２　財政政策の時間的不整合性と国債管理政策

1980 年代におけるマクロ経済学で一つの重要な研究テーマとなった時間的不整合性 (time inconsistency) の議論から、国債管理政策に対していくつかの政策的含意が与えられた。Persson, Persson and Svensson (1987) をはじめ、Calvo and Guidotti (1990a, 1990b) や Barro (1995, 1997) 等で議論されている。特に、Persson, Persson and Svensson (1987) をはじめ、Calvo and Guidotti (1990a, 1990b) では、満期構成に関する国債管理政策について議論している。しかし、これらの国債管理政策の理論は、財政・金融政策と国民所得との関係が断たれていたり、インフレーションに対する非合理的な期待形成が行われることを国債管理政策の拠り所にしたりしていた。そのため、前述の議論からもわかるように、国債管理政策が有効になる状況を、予めモデル上で想定して議論をしていたことになる。

本稿では、満期構成に関する国債管理政策を理論的に考える上で、財政・金融政策とマクロ経済の関係を明示し、家計の合理的な期待形成が行われることを考慮に入れて分析する。本稿が先行研究と大きく異なることは、先行研究では財政・金融政策と国民所得との関係が断たれているモデルで議論していたのに対して、本稿では国債管理政策を含む財政・金融政策がマクロ経済、特に生産・所得（GDP）に直接的に相互に影響し合
う関係を明示して議論していることである。そして、その理論モデルから得られる含意を数値解析で示して国債管理政策のあり方を議論している。

## 3 ．国債の満期構成と国債発行

## 3 ．1 国債管理政策とマクロ経済との関係

国債管理政策に関する政策的含意を引き出すべく、本稿では理論モデルを構築してこれをもとに数値解析を試みた。本稿で構築した理論モデルは、補論で詳述しているが、モデル設定が複雑であるから、ここではこのモデルの基本的な設定と、そこから得られる政策的含意を要約して述べることとする。

本稿では、Beetsma and Bovenberg（1997a, 1997b）を基礎に、満期構成に関する国債管理政策が扱えるよう、多様な満期の国債を導入して分析している。Beetsma and Bovenberg（1997a, 1997b）はそもそも国債管理政策を議論したものではないが、本稿ではこのモデルに国債管理政策に関する部分を独自に拡張したものである。詳細は、補論を参照されたい。

本稿で想定した経済には、有限期間生存する民間の経済主体（家計と企業）と政策当局（政府）がいて、それぞれが持つ目的関数を最大化するという意味で合理的に行動しているとする。民間の経済主体は、物価水準を所与として、労働を生産要素として投入して生産物を生産する。企業はこの利潤を最大化するように労働投入量を決定する。家計（労働者）は、物価水準（インフレーション）について合理的に期待を形成し、企業に対して実質賃金率を最大化するように行動する。この賃金決定は、毎期財政政策や金融政策が実施される前に行われるものとする。ただし、政策当局は、民間の経済主体の間で決まる賃金率の決定に対して、（同じ期で）その後行われる政策で決まる物価水準（インフレ率）をアナウンスして賃金決定の前に政策をコミットすることができる。このコミットメントができるか否かは政策当局の置かれている制度的・政治的環境に依存する（モデルの上では外生的に設定する）。

ここで、政府は所得（生産）に対して課税する。この所得税は、税率如何で生産量に影響を与えるので、歪みのある租税で、一括固定税のような歪みのない租税は用いることができないとする。政府は、毎期、租税と公債発行と通貨鋳造益から収入を得て、公債の利払・償還と政府支出に充てる。公債は、名目債のみを用いることができ、かつ満期構成を選択できる。また、政府が政策によってインフレ率を操作できると想定している。

この経済で、政策当局が免れない資源配分の歪みを所与として、その中で最も望ましい政策を選択する状況である「次善」の状況を考える。ここでは、私欲私権を超越して慈善的(benevolent)に政策を実行できる権限をもつ全知全能の「社会計画当局(social planer)」を想定して、その下で実現する経済状態（政策効果を含む）を分析する。次
善の状況は、合理的に期待を形成する民間の賃金決定がなされる前にインフレ率に関してアナウンスメントを行って事前にコミットでき、かつこの経済のあらゆる利害を反映した社会的損失関数を最小化するように政策を決める状況である。社会的損失は、インフレ、生産量、政府支出のそれぞれが目標値から乖離するほど大きくなると仮定している。

そこで、この状況における政策的含意を検討する。まず、社会的損失に対しては、Beetsma and Bovenberg（1997a，1997b）で言及されているように、初期時点における公債残高が影響を与えるが、その後の公債発行額が上記を満たすように行われれば、公債発行額が社会的損失に影響を与えない。別の言い方をすれば、インフレ率（マネーサプライ）や税率や財政支出の水準を、社会的損失をより小さくするべく設定できるように、公債発行は社会的損失に対して中立的になるよう行うべきであるということができる。

また、満期構成については、発行時における満期までの長さは、次善の意味で望ましい上記のインフレ率や税率や財政支出の水準には影響を与えないが、次善の意味で望ましい各期における公債発行額には影響を与える。これは、前述の含意と整合的に言えば、公債発行を社会厚生（社会的損失）に対して中立的にするには、各期において財政の予算制約式を満たしながらインフレ率や税率や財政支出の水準に歪みを与えないように、財政支出と償還費のために必要な財源を税収と通貨鋳造益だけではまかないきれなかった分として公債を発行するということである。すなわち、各期における公債発行は、既決の満期構成を所与として、予算においていわばクッションの役割を果たすべきであることを示唆している。

## 3 ．2 数值解析

数値解析を行うに際し、有限期間モデルであるが無限期間モデルに近づけるべくより長い期間で分析したいため、理論モデルを200期間モデルとして解いた上で、各期の政策変数の動きを分析した。ここでは、1期間を1年度とみなしている。また、期間を200期間と長くとった（無限期間モデルに近づけた）理由は、有限期間モデルで最終期に国債残高をゼロにしなければならないという制約がモデル全体の性質に非現実的な効果として影響するのをできるだけ避けるためである。

最後に、初期時点における公債の満期構成は、わが国の一般会計の1998年度末における残存満期構成を採用した。これは、わが国の満期構成に関する国債管理政策について、ここでの数値解析から政策的含意を引き出したいためである。そして、第1期以降の発行ベースの満期構成は、1998年度における発行ベースの満期構成を各期とも採用する。 $ ^{1} $ これらの満期構成の具体的な値は、表V-1に示されている。満期構成とともに、初期時点における公債残高の水準がモデルにおいて重要である。
ちなみに、実際の満期構成を見ると次のようになる。国債の残存満期構成を見たものが、図 V - 1 である。これによると、1970 年代後半は残存満期が 6～10 年の国債でほとんどが占められているのに対し、1980 年代後半以降は残存満期が 5 年以下の国債が約 45% 残存満期が 6 年以上の国債が約 55% という割合で安定的に推移している。これらの平均満期について見たものが、図 V - 2 と図 V - 3 である。図 V - 2 は残高ベースであり、図 V - 3 は発行ベースである。

また、これまでの一般会計における国債依存度の推移を示したのが図 V - 4 である。通常用いられている国債依存度は、公債金収入（国債新規発行）÷ 歳出総額であるが、本稿での財政の予算制約式と整合的になるように、借換発行分を含み、歳出総額（さらには税収）から地方交付税交付金を除いて、定義し直す必要がある。借換償還と借換債発行については、実際には国債整理基金特別会計が行っているから、一般会計と国債整理基金特別会計との間の関係を図示すると、図 V - 5 のようになる。したがって、本稿で用いる国債依存度は、（新規発行額 + 借換発行額）÷（地方交付税を除く歳出総額 + 借換償還）となる。ただし、借換発行額 = 借換償還である。図 V - 4 を見ると、本稿で定義した国債依存度は、1998 年度には約 68% に達している。

上記の満期構成（解析初期時点の残存満期構成は1998年度末、第1期以降の発行ベースの満期構成は1998年度における発行ベースの満期構成を採用）を前提として、今後のわが国がどのような国債管理政策を行えばよいかを具体的に検討したい。 $ ^{2} $ 脚注2の設定をベンチマークケースとして、数値解析を行った結果が、図V-6に示されている。図中の国債依存度とは、（補論でいえば財政の予算制約式(2)式における）歳入合計に占める国債発行の比率を意味する。これによると、1998年度末の残高ベースの満期構成と発行ベースの満期構成がともに10年債に重きがおかれていることを反映して、10期周期で国債依存度が上昇していることがわかる。これは、前に述べたように、税率や財政支出などの次善の政策選択水準に歪みを与えないように、満期到来債が集中する10期周期で国債発行を増やし（国債依存度を上げ）つつ、最終的には200期までには全て償還し尽くすように、国債依存度を次第に下げてゆく政策をとるのが望ましいということを示している。図中で国債依存度がマイナスとなっている期があるが、これは当局が民間に対して（一般会計から）資金を貸し付けていることを意味するが、モデ
ルと整合的に考えれば、事実上の繰上げ償還を意味する。

現在の満期構成（10年債に重きをおいた構成）を前提として、今後の国債発行スケジュールに対する政策的含意を述べれば、次のようになる。10期周期で満期が集中する時期が訪れるため、その時期に過度に税率を上げたり、インフレ率を上げたり、財政支出を減らしたりするのではなく、ある程度国債依存度を高めてでも財源を確保するのが望ましい。しかし、あまり満期到来債がない期（年度）には、過度に税率を下げたり、財政支出を増やしたりせず、その分だけ十分に国債依存度を引き下げる必要がある。さらに、国債依存度は趨勢的に引き下げてゆく必要がある。

### 3.3 満期構成の変更

次に、発行ベースでの満期構成を変更した場合、上記の結果がどのように変化するかを考察する。

まず、発行ベースでの満期構成が2000年度（補正後予算ベース）におけるものを第1期以降に採用したケースである。2000年度における発行ベースの満期構成は表V-1に示されている。この満期構成は、1998年度におけるそれよりも平均満期で見て短期化している。特徴は、1～5年債の比率が大きく高まり、10年債の比率が下がっていることである。これ以外は、ベンチマークケースと同じとして、数値解析を行った結果が図V-7に示されている。インフレ率、税率、財政支出比率の推移のみは、図V-6-4と同じである。

これによると、初期時点の残高ベースの満期構成で10年後の満期到来債が多いため、10期での国債依存度が急激に高まっているが、それ以降は主に1～5年債に借り換えられるため、残高ベースでの満期構成も平準化して、突出して国債依存度が高まる時期はなくなる。また、趨勢的には国債依存度は低下傾向となる。

次に、発行ベースでの満期構成が1987年度におけるものを第1期以降に採用したケースである。1987年度における発行ベースの満期構成は表V-1に示されている。この満期構成は、1998年度におけるそれよりも平均満期で見て長期化していて、図V-3によると国債発行が始まった1965年度以降発行ベースでの平均満期が最も長かった年度である。特徴は、1～5年債の比率が小さく、10年債、20年債の比率が高いことである。これ以外は、ベンチマークケースと同じとして、数値解析を行った結果が図V-8に示されている。インフレ率、税率、財政支出比率の推移のみは、図V-6-4と同じである。

これによると、10年債、20年債の比率が高いことから、国債依存度は10年周期で高下するが、満期構成がより長期化していることから、100期を過ぎてもほぼ10期周期で満期到来が集中しているため、国債依存度がベンチマークケースよりも高くなっている。特に、85期以降で国債依存度がマイナスとなる期が見られるが、これは、200期が最終期で満期到来が集中しないよう、満期到来前に予め国債残高を減らすべく財政黒字
を計上していることを反映している。

以上の分析から、国債の満期構成の変化に伴う国債発行スケジュールの変化は、次のようにまとめられる。満期構成を短期化すれば、ある時期に集中的に償還を迫られることがなくなる半面、各期で同程度の償還負担を必要とする。そのため、趨勢的には国債依存度を引き下げてゆく必要があるが、ある時期だけ国債依存度が突出して高くなることはなく、前年度よりも国債依存度を緩やかに引き下げてゆくような国債発行を行うのが望ましい。これに対して、満期構成を長期化すれば、ある程度先（20期や30期、ないしそれ以降）に満期が到来する国債を発行するため、その時期の国債依存度は適切に高くする必要があるが、満期が到来する国債が少ない期には、国債依存度をより低くし財政黒字を出すのが望ましい。

## ３．４　実質利子率に伴う国債発行の対応

次に、実質利子率が予期せざる形で上昇した場合、上記の結果がどのように変化するかを考察する。社会計画当局は、計画当初の政策に関する情報は完全予見で、時間的不整合性を起こすことなく最終期までの政策を決定する。しかし、途中で政策当局が当初予期していなかった形で実質利子率が（外生的に）上昇したと想定する。例えば、20期目に実質利子率が2%から2.5%に上昇したとする。このとき、社会計画当局は、20期目の時点で社会的損失最小化問題を解きなおし、次善の政策を改めて設定しなおすこととなる。

問題は、この事後的な政策変更によって、社会厚生（社会的損失）に場合によって異なり得ることである。満期構成に関する先の3つのケースは、3．3節の設定では社会的損失は同じである。しかし、3．2節の分析によれば、計画時点における期初の公債残高によって、社会的損失の値が異なることがわかる。よって、予期せざる実質利子率の上昇により、どのケースの満期構成が社会的損失をより増加させないかを分析することができる。ただし、ここでは実質利子率以外のパラメータ、0期における初期条件、実質利子率上昇前の政策、発行ベースでの満期構成は不変であるとする。

まず、ベンチマークケースで、20期目に実質利子率が2%から2.5%に上昇して、そこで政策変更が行われる場合の数値解析を行った結果が図V-9に示されている。これによると、満期到来時期が集中する点では同じであるから、その時期に国債依存度を上げて財源を確保し、過度に税率を上げたり、インフレ率を上げたり、財政支出を減らしたりしないようにしている。しかし、満期到来債が少ない期では、積極的に財政黒字を出して国債残高の削減をするのが望ましいことを、図V-9は示している。それは、図V-6に比べて利払負担が大きいためであり、その分財政運営としては、税率を上げて、財政支出 $ g_{t} $ を抑制している。ただ税率を上げて財政支出を抑制するだけでは、社会的損失を高めるため、その分インフレ率を引き下げることで補償している。

次に、図 V - 7 で取り上げた満期構成を短期化したケースで、20 期目に実質利子率
が 2% から 2.5% に上昇して、そこで政策変更が行われる場合の数値解析を行った結果が図 V - 10 に示されている。これによると、残高ベースでの満期構成を平準化して、突出して国債依存度が高まる時期はなくしている点では図 V - 7 と同様である。また、趨勢的には国債依存度は低下傾向となっている。しかし、図 V - 6 に比べて利払い負担が大きいため、満期到来債が少ない期では、積極的に財政黒字を出して国債残高の削減をしている。その分財政運営としては、税率を上げて、財政支出 $ g_{t} $ を抑制している。ただ税率を上げて財政支出を抑制するだけでは、社会的損失を高めるため、その分インフレ率を引き下げることで補償している。

そして、図 V - 8 で取り上げた満期構成を長期化したケースも同様に、図 V - 11 に示されている。以上の 3 つのケースで社会的損失の大きさを比較したのが、表 V - 2 に示されている。表 V - 2 によると、この予期せざる実質利子率の上昇に伴う厚生の変化によって、長期化したケース（図 V - 11）で社会的損失が最も小さくなっている。その理由は、表 V - 2 に示されているように、政策変更時点での国債残高対 GDP 比が最も低く、これに伴って実質利子率上昇後に税率の上昇や財政支出の削減をより軽微にできるからである。

この分析から、実質利子率上昇など国債の償還負担を増大させるような予期せざるショックに対しては、できるだけ早期に国債残高を減らすことができる満期構成を採ることで備えることが望ましい、という政策的含意が得られる。

### 4 \. 結論

本稿では、Beetsma and Bovenberg（1997a, 1997b）のモデルを基に、国債の満期構成を分析できるモデルを構築し、わが国における満期構成に関する国債管理政策について考察した。本稿で明らかにした政策的含意は以下のとおりである。

まず、初期時点における公債残高が社会的損失に対して影響を与えるが、その後の公債発行額が上記を満たすように行われれば、公債発行額が社会的損失に影響を与えない。別の言い方をすれば、インフレ率や税率や財政支出の水準を、社会的損失をより小さくするべく設定できるように、公債発行は社会的損失に対して中立的になるよう行うべきであるということができる。

また、満期構成については、発行時における満期までの長さは、次善の意味で望ましい上記のインフレ率や税率や財政支出の水準には影響を与えないが、次善の意味で望ましい各期における公債発行額には影響を与える。これは、前述の含意と整合的に言えば、公債発行を社会厚生（社会的損失）に対して中立的にするには、各期において財政の予算制約式を満たしながらインフレ率や税率や財政支出の水準に歪みを与えないように、財政支出と償還費のために必要な財源を税収と通貨鋳造益だけではまかないきれなかった分として公債を発行する、ということである。すなわち、各期における公債発行は、
既決の満期構成を所与として、予算においていわばクッションの役割を果たすべきであることを示唆している。

モデルから得られた上記の含意を、より現実の経済に近い値を用いつつ、モデルから得られる政策的含意を引き出すべく、200期間モデルで数値解析を試みた。

現在の満期構成（10年債に重きをおいた構成）を前提として、今後の国債発行スケジュールに対する政策的含意を述べれば、次のようになる。10期周期で満期が集中する時期が訪れるため、その時期に過度に税率を上げたり、インフレ率を上げたり、財政支出を減らしたりするのではなく、ある程度国債依存度を高めてでも財源を確保するのが望ましい。しかし、あまり満期到来債がない期（年度）には、過度に税率を下げたり、財政支出を増やしたりせず、その分だけ十分に国債依存度を引き下げる必要がある。さらに、国債依存度は趨勢的に引き下げてゆく必要がある。

国債の満期構成の変化に伴う国債発行スケジュールの変化は、次のようにまとめられる。満期構成を短期化すれば、ある時期に集中的に償還を迫られることがなくなる半面、各期で同程度の償還負担を必要とする。そのため、趨勢的には国債依存度を引き下げてゆく必要があるが、ある時期だけ国債依存度が突出して高くなることはなく、前年度よりも国債依存度を緩やかに引き下げてゆくような国債発行を行うのが望ましい。これに対して、満期構成を長期化すれば、ある程度先（40期や50期）に満期が到来する国債を発行するため、その時期の国債依存度は適切に高くする必要があるが、満期が到来する国債が少ない期には、国債依存度をより低くし財政黒字を出すのが望ましい。

実質利子率が予期せざる形で上昇した場合、社会計画当局による事後的な政策変更によって社会的損失がどのような影響を受けるかについても、同様に数値解析を行った。この分析から、実質利子率上昇など国債の償還負担を増大させるような予期せざるショックに対しては、できるだけ早期に国債残高を減らすことができる満期構成を採ることで備えることが望ましい、という政策的含意が得られる。

最後に、本稿での数値解析を包括的に見て得られる政策的含意を述べることとする。国債の満期構成や残高は、社会的損失をできるだけ小さくするようにするべく、つまり課税やインフレによる経済活動の阻害（資源配分の歪み）を全体としてできるだけ小さくしつつ、財政支出（公共財供給）をより適切に行えるようにするべく、国債残高（対GDP比率）をなめらかに低下させるのが望ましい。これは、公債のクッション政策と対応している。すなわち、満期が集中する時期が訪れれば、その時期に過度に税率を上げたり、インフレ率を上げたり、財政支出を減らしたりするのではなく、その時期以外よりも多く借換債を発行するのが望ましい、ということである。

しかも、将来予期せざる形で実質利子率が上昇するリスクがあるならば、その上昇が実現する前にできるだけ国債残高を少なくできるように、満期構成を選択しておく必要がある。その理由は、選択した満期構成を前提とした（次善の意味で）望ましい政策はインフレ率や税率を通時的になめらかにして、一時的に引き上げたり引き下げたりしないことであるのだが、その代償として国債残高を急激には減らせないこととなる。しか
し、実質利子率の突然の上昇に直面すると、その時点での国債残高が多ければ多いほどその後の社会的損失が大きくなってしまう。だから、インフレ率や税率を通時的になめらかにしつつも、国債残高ができるだけ早く少なくできるように、満期構成を選択しておく必要がある。本稿の分析に即して具体的な満期構成について言及すれば、満期構成を長期化しつつも満期が到来すればできるだけ償還するという国債管理政策が、実質利子率上昇のリスクに対してよりよく適応できる（社会的損失を小さくできる）といえる。ここに、満期構成に関する国債管理政策の意義がある。

その意味では、国債依存度は特別な政策的含意を持たないといえる。わが国の財政運営において、公債発行が過度に増加すると財政再建や財政構造改革として公債発行の抑制がこれまでに行われ、その際の政策目標として一般会計の国債依存度が用いられてきた。しかし、これまでにも井堀・宮田(1991)などでも指摘されているように、単純に公債金収入を歳出で除する国債依存度は、会計間移転などの恣意的な操作に耐え得ない不適切な財政赤字に関する政策目標であるといえる。

例えば、図 V - 5 でも示したように、一般会計で計上されている公債金収入は、新規発行分のみであるが、実際には既発債の満期償還時に借換発行が行われており、これらは通常の国債依存度には反映されない。借換発行に伴う収入は、一般会計の収入ではなく、国債整理基金特別会計の公債金収入として計上されている。しかし、借換債の利子支払、現金償還に伴う支出は、一般会計で計上されている。すなわち、一般会計の実態は、通常称される一般会計の歳入歳出の他に、一般会計が実際に債務負担を負うことになっている国債整理基金特別会計にある借換債の発行時の収入金と（借換え前に一旦現金で）償還するための支出が加えられる必要がある。図 V - 4 によると、公表されている一般会計の国債依存度では、1980 年代後半に国債依存度が低下して財政再建に成功したとされているが、借換発行分をも含めた国債依存度では、1980 年代末に 30% を切る程度にしか低下していなかったことがわかる。

本稿では、次善の意味で望ましい政策選択について考察したが、より現実的には、財政当局と金融当局は独立しており、それぞれが独自の目的と判断で政策を選択している。さらには、財政当局を司る政権与党は、選挙の影響を受け、政権交代が起こる可能性がある。そのとき、政権与党は必ずしも長期的な視野で政策決定を行わないかもしれず、これが満期構成に関する国債管理政策にも影響を与えることが考えられる。こうした分析については、本稿では触れることができず、今後に残された課題である。
補論．理論的枠組み

## 補論．1 基本モデル

本稿での目的をよりよく反映させることができる理論的枠組みは、Beetsma and Bovenberg（1997a, 1997b）が提示したモデルである。このモデルは、満期構成に関する国債管理政策を直接扱ったモデルではないが、財政・金融政策とマクロ経済の関係を明示し、家計の合理的な期待形成が行われることを考慮に入れて分析できるモデルである。このモデルは、Fuji ki et al.（1998）で中央銀行への最適契約（出来高契約やインフレーションターゲッティング）の議論に応用されるなどしている。以下では、Beetsma and Bovenberg（1997a, 1997b）を基礎に、満期構成に関する国債管理政策が扱えるよう、多様な満期の国債を導入して議論を進める。

まず、経済には、有限期間（一般性を失うことなく3期とする）生存する民間の経済主体（家計と企業）、財政当局、金融当局がいて、それぞれが持つ目的関数を最大化するという意味で合理的に行動しているとする。民間の経済主体は、物価水準を所与として、労働を生産要素として投入して生産物を生産する。いま、 $ t (= 1, 2, 3) $ 期における労働投入量を $ L_{t} $ 、生産量（GDP）を $ Y_{t} $ 、一般物価水準を $ P_{t} $ 、名目賃金率を $ W_{t} $ とする。その際の代表的企業の生産関数は $ Y_{t} = L_{t}^{\eta} $ と $ (0 < \eta < 1) $ し、企業の利潤は $ (1 - \tau_{t}) P_{t} L_{t}^{\eta} - W L_{t} $ と表され、企業はこの利潤を最大化するように労働投入量を決定する。ここで、 $ \tau_{t} $ は政府に対して支払う租税の税率である。

家計（労働者）は、物価水準（インフレーション）について合理的に期待を形成し、労働組合を組織して労働供給を統制して、企業に対して実質賃金率を最大化するように行動する。いま、この実質賃金率の対数値を0と基準化すると、t期における名目賃金率（の対数値）は合理的に期待されたt期の物価水準と等しくなるように決まる。この賃金決定は、毎期財政政策や金融政策が実施される前に行われるものとする。ただし、政策当局は、民間の経済主体の間で決まる賃金率の決定に対して、（同じ期で）その後行われる政策で決まる物価水準（インフレ率）をアナウンスして賃金決定の前に政策をコミットすることができる。このコミットメントができるか否かは政策当局の置かれている制度的・政治的環境に依存する（モデルの上では外生的に設定する）。

上記の状況において決まる生産量の対数値（ $ y_{t} = \ln Y_{t} $ ）は、

$$ \mathsf{y}_{\mathsf{t}}=\frac{\eta}{1-\eta}(\pi_{\mathsf{t}}-\pi_{\mathsf{t}}^{\mathsf{e}}-\tau_{\mathsf{t}}+\mathsf{I}\mathsf{n}\mathsf{\eta}) $$

と表される。ここで、$\pi_{\mathrm{t}}$ はインフレ率$\left(\pi_{\mathrm{t}}=\frac{\mathrm{P}_{\mathrm{t}}-\mathrm{P}_{\mathrm{t}-1}}{\mathrm{P}_{\mathrm{t}}}\right)$ 、$\pi_{\mathrm{t}}^{\mathrm{e}}$ は期待インフレ率である。いま、$\frac{\eta}{1-\eta}\mid\eta$ は定数だから、$v\equiv\frac{\eta}{1-\eta}$ とおいて、

$$ \mathsf{x}_{\mathsf{t}}\equiv\mathsf{y}_{\mathsf{t}}-\mathsf{v}\mid\mathsf{n}\mathsf{\eta}=\mathsf{v}(\pi_{\mathsf{t}}-\pi_{\mathsf{t}}^{\mathsf{e}}-\tau_{\mathsf{t}}) $$

のように、生産量を基準化する。このタイプは、ルーカス型供給関数として知られている。合理的期待の下での均衡（ $ \pi_{t} = \pi_{t}^{e} $ ）で、税の歪みがなければ（ $ \tau_{t} = 0 $ ）、 $ x_{t} = 0 $
となる。このとき、Fuji ki et al. (1998)で指摘されているように、自然失業率における労働投入量で生産されている。しかし、前述のように、この経済には賃金決定における労働組合の交渉力や、これに付随して財市場に対する独占力などがあるから、資源配分に歪みを与える要因が租税以外にも存在する。そこで、Beetsma and Bovenberg (1997a, 1997b)では、 $ \tilde{x}_{t} $ を租税や租税以外の要因で資源配分に歪みがない状態での生産量という意味で最善の生産量とし、これが外生的に与えられた正の数であるとしている。 $ \tilde{x}_{t}>0 $ は、租税や租税以外の要因で資源配分に歪みがない状態での生産量が、租税以外の要因で資源配分に歪みがあるときの自然失業率状態での生産量よりも大きいことを意味する。本稿でもこれを採用する。

次に、金融当局について考える。金融当局は各期におけるマネーサプライを決めることができる。このマクロ経済において貨幣数量説が成り立っているとし、

$$ \frac{\mathsf{M}_{\mathrm{t}}}{\mathsf{P}_{\mathrm{t}}}=\kappa\widetilde{X}_{t} $$

とする。 $ ^{3} $ ただし、κは定数で、Mは名目マネーサプライ、 $ \widetilde{X}_{t}=\exp(\widetilde{x}_{t}) $ とする。 $ \widetilde{X}_{t} $ は外生なので、この経済では、 $ \frac{M_{t}-M_{t-1}}{M_{t}}=\pi_{t} $ となる。したがって、金融当局は、マネーサプライの調節を通じて、直接インフレ率を決定する。以下では、金融当局が直接的にインフレ率を決めることができるものとして議論する。

最後に、財政当局について考える。財政当局は、租税と公債発行と通貨鋳造益から収入を得て、公債の利払・償還と政府支出に充てる。ただし、財政当局は資源配分に歪みを与えない一括固定税を課税できないとする。公債は、名目債を用いることができ、かつ満期構成も選択できる。 $ ^{4} $ そこで、実質財政支出を G とし、s 期に発行され t 期に満期が到来する名目債を $ D_{st} $ （発行量ベース）とする。この公債の利子率については、簡単化のため純粋期待仮説が成り立っているとし、t - 1 期から t 期にかけての利子率が名目債で $ r_{D} $ と表されるとする。 $ ^{5} $ このとき、財政当局の予算制約式は、各期において

$$ \mathsf{P}_{1}\mathsf{G}_{1}+(1+\mathsf{r}_{\mathsf{D}1})\mathsf{P}_{0}\mathsf{D}_{01}=\tau_{1}\mathsf{P}_{1}\mathsf{X}_{1}+(\mathsf{M}_{1}-\mathsf{M}_{0})+\mathsf{P}_{1}(\mathsf{D}_{12}+\mathsf{D}_{13}) $$