ここで,

$$ \begin{aligned}&L{=}P^{\prime}P{-}P^{\prime}X_{j}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}X_{j}^{\prime}P{=}P^{\prime}(I{-}X_{j}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}X_{j}^{\prime})P{=}P^{\prime}QP\\&K{=}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}X_{j}^{\prime}P\\&M{=}P^{\prime}X_{j}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}\\ \end{aligned} $$

とおけば,

$$ \begin{pmatrix}X_{j}^{\prime}X_{j}&\quad X_{j}^{\prime}P\\P^{\prime}X_{j}&\quad P^{\prime}P\\\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}+KL^{-1}M&\quad-\quad KL^{-1}\\-L^{-1}M&\quad L^{-1}\\\end{pmatrix} $$

となる。ただし， $ Q=I-X_{j}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}X_{j}^{\prime} $ はべキ

等行列であり $ X_{j}^{\prime}Q=0,\quad QX_{j}=0 $ が成立する。

そこで$\hat{\beta}_{j}$の性質を調べよう。まず，外生変数が共通の場合$(X_{j}=X;j=1,2,\cdots,J)$をみよう。

$$ \begin{aligned}P=&\frac{\sum_{j}X_{j}\alpha_{j}}{\sum_{j}\beta_{j}}-\frac{\sum_{j}u_{j}}{\sum_{j}\beta_{j}}\\=&Xc+\nu\\&c=\frac{1}{\gamma}\sum_{j}\alpha_{j}\\\nu=&\frac{1}{\gamma}\sum_{j}u_{j}\\\gamma=&-\sum_{j}\beta_{j}\end{aligned} $$

であるから。

$$ \begin{aligned}&L=(Xc+\nu)\prime Q\ (Xc+\nu)=V\prime Q\nu\\&K=c+(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}X_{j}^{\prime}\nu\\&M=c+\nu^{\prime}X_{j}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}\\ \end{aligned} $$

となる。

$$ \begin{pmatrix}X_{j}^{\prime}X_{j}&\quad X_{j}^{\prime}P\\P^{\prime}X_{j}&\quad P^{\prime}P\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A_{11}&\quad A_{12}\\A_{21}&\quad A_{22}\end{pmatrix} $$

とおけば,

$$ \begin{aligned}A_{11}=&(X^{\prime}X)^{-1}+L^{-1}(cc^{\prime}+c\nu^{\prime}X(X^{\prime}X)^{-1}\\&+\quad(X^{\prime}X)^{-1}X^{\prime}\nu c^{\prime}\\&+\quad(X^{\prime}X)^{-1}X\nu\nu^{\prime}X(X^{\prime}X)^{-1})\\A_{12}=&-(c+(X^{\prime}X)^{-1}X^{\prime}\nu)L^{-1}\end{aligned} $$

$$ \begin{array}{l}A_{21}=-L^{-1}(c^{\prime}+\nu^{\prime}X(X\prime X)^{-1})\\A_{22}=-L^{-1}\end{array} $$

となり，

$$ \begin{array}{c}\hat{\beta}-\beta_{j}=A_{21}X^{\prime}u_{j}+A_{22}(c^{\prime}X^{\prime}u_{j}+\nu^{\prime}u_{j})\\=L^{-1}(-c^{\prime}X^{\prime}u_{j}-\nu^{\prime}X(X^{\prime}X)^{-1}X^{\prime}u_{j}\\+c^{\prime}X^{\prime}u_{j}+\nu^{\prime}u_{j})\\=L^{-1}\nu^{\prime}Q u_{j}=\frac{\nu^{\prime}Q u_{j}}{\nu^{\prime}Q\nu}\quad(11)\end{array} $$

となる。Qの性質から,

$$ \begin{array}{l}\displaystyle\operatorname*{p l i m}_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\nu^{\prime}Q\nu{=}\frac{1}{\gamma^{2}}\sum_{j}\sigma_{j}^{2}\\ \displaystyle\operatorname*{p l i m}_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}\nu^{\prime}Q u_{j}{=}\frac{1}{\gamma}\sigma_{j}^{2}\end{array} $$

となるから。

$$ \underset{T\rightarrow\infty}{\mathrm{p l i m}}(\hat{\beta}_{j}-\beta_{j})=\gamma\frac{\sigma_{j}^{2}}{\sum_{j}\sigma_{j}^{2}} $$

となる。価格パラメータ一の最小二乗推定量のバイアスは，その方程式の誤差項の分散の相対的な大きさに比例することがわかる。一般の場合は次のようになる。価格の誘導型を，

$$ P=X_{i}c+z+v $$

と外生変数 $ X_{j} $ とそれ以外を加え合わせた部分

$ z=\sum_{l\neq j}X_{l}\alpha_{l}/\gamma $ に分ける。ただし $ c=\alpha_{j}/\gamma $ である。以前と同様に，

$$ \begin{aligned}&L{=}z^{\prime}Qz{+}z^{\prime}Qv{+}v^{\prime}Qz{+}v^{\prime}Qv\\&K{=}c{+}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}X_{j}^{\prime}z{+}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}X_{j}^{\prime}v\\&M{=}c^{\prime}{+}z^{\prime}X_{j}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}{+}\nu^{\prime}X_{j}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}\\ \end{aligned} $$

より，

$$ \begin{aligned}\hat{\beta}_{j}-\beta_{i}&=-L^{-1}M X_{j}^{\prime}u_{j}+L^{-1}(c^{\prime}X_{j}^{\prime}u_{j}+z^{\prime}u_{j}+v^{\prime}u_{j})\\&=L^{-1}(-z^{\prime}X_{j}(X_{j}^{\prime}X_{j})^{-1}X_{j}u_{j}-v^{\prime}X_{j}(X_{j}^{^{\prime}}X_{j})^{-1}X_{j}^{\prime}u_{j}+z^{\prime}u_{j}+v^{\prime}u_{j})\\&=L^{-1}(z^{\prime}Q u_{j}+v^{\prime}Q u_{j})\\&=\frac{z^{\prime}Q u_{j}+v^{\prime}Q u_{j}}{z^{\prime}Q z+z^{\prime}Q v+v Q z+v^{\prime}Q v}\end{aligned} $$