式(9)及び(10)を $ E_{n}(t) $ 及び $ F_{n}(t) $ について解き次式を得る。

$$ E_{\mathrm{n}}(t)=\frac{\sinh(\alpha_{\mathrm{n}}a)}{\exp(2\alpha_{\mathrm{n}}b)-1}D_{\mathrm{n}}(t)-\frac{A_{\mathrm{n}}\rho(t)}{1+\exp(\alpha_{\mathrm{n}}b)} $$

$$ F_{n}(t)=\frac{\sinh\left(\alpha_{n}a\right)}{\exp\left(-2\alpha_{n}b\right)-1}D_{n}(t)-\frac{A_{n}\rho(t)}{1+\exp\left(-\alpha_{n}b\right)} $$

油面でGaussの定理が成立することから次式が与えられる。

$$ \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{\varepsilon}_{0}\left(\frac{\partial\Phi^{\mathrm{a}}}{\partial\boldsymbol{z}}\right)_{\boldsymbol{z}=0}-\boldsymbol{\varepsilon}_{0}\boldsymbol{\varepsilon}_{r}\left(\frac{\partial\Phi^{\mathrm{b}}}{\partial\boldsymbol{z}}\right)_{\boldsymbol{z}=0} $$

式(3)に式(7)、(8)、(11)〜(13)を代入することにより係数 $ D_{n}(t) $ に関する下記の1階微分方程式が導かれる。

$$ \frac{\partial D_{\mathrm{n}}(t)}{\partial\mathrm{t}}=-D_{\mathrm{n}}(t)\times\left[\frac{\kappa(\rho)}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}}}\times G_{\mathrm{n}}^{1}+\frac{\lambda\alpha_{\mathrm{n}}}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{\mathrm{r}}}\times G_{\mathrm{n}}^{2}\right] $$

ここで、

$$ \begin{aligned}&G_{n}^{1}=\frac{\coth(\alpha_{n}b)\sinh(\alpha_{n}a)}{\cosh(\alpha_{n}a)}{\bigg/}_{\varepsilon_{r}}+\coth(\alpha_{n}b)\sinh(\alpha_{n}a)}\\ &G_{n}^{2}=\frac{\sinh(\alpha_{n}a)}{\cosh(\alpha_{n}a)}{\bigg/}_{\varepsilon_{r}}+\coth(\alpha_{n}b)\sinh(\alpha_{n}a)}\\ \end{aligned} $$

である。

各境界条件及び静電場の解から式(14)が導かれるまでの過程をFig.2に示す。

式(14)は $ D_{n}(t) $ に関する1階の常微分方程式であり、容易に解くことができ、解は次式で示される。

$$ \left(\Phi\right)_{z=0}^{b}=-\Phi\left(0\right)\exp\left(\alpha_{n}b\right)+F_{n}(t)\exp\left(-\alpha_{n}b\right)=0\\
\left(\Phi\right)_{z=0}^{a}=\Phi\left(\frac{\alpha_{n}b}{z}=0\right)-D_{n}(t)\sinh\left(\alpha_{n}b\right)=A_{n}b(t)+E_{n}(t)+F_{n}(t)\\
\Phi=\Phi\left(\frac{\alpha_{n}b}{z}=0\right)\exp\left(\frac{\alpha_{n}b}{z}=0\right) $$

Fig.2 An outline of the procedure to obtain the factors from given boundary conditions

$$ D_{n}(t)=\mathbf{K}\times\boldsymbol{\uprho}^{\mathrm{G_{n}^{1}}}\times\exp\left[-\frac{\lambda\alpha_{n}G_{n}^{2}}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}\times t\right]=\mathbf{K}\times\boldsymbol{\uprho}^{\mathrm{G_{n}^{1}}}\times\exp\left[-t/(\tau_{n}^{s})\right](15) $$

ここで、Kは初期条件によって定まる定数、

$$ \tau_{n}^{s}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}/\lambda\alpha_{n}G_{n}^{2} $$

この解を式(11)、(12)に代入することにより $ E_{n}(t) $ 及び $ F_{n}(t) $ が求まり、さらに式(7)、(8)、(12)に代入することによって、電位 $ \Phi^{a} $ 、 $ \Phi^{b} $ 及び油面電荷密度 $ \sigma $ の過渡状態に対する解が求められる。それぞれの式中の $ \rho $ に式(5)の解を代入することにより種々の電荷緩和則に対応した解が得られる。

### 3. 解析結果に関する考察

静電気危険の指標として用いられることの多い油面電位に着目して、得られた解を用いて考察する。式(7)及び(15)から、時刻tの油面電位Φ_{s}(t)は次式で与えられる。

$$ \Phi_{s}(t)=\Phi_{s}(0)\times\sum_{n=1}\left\langle\rho(t)/\rho(0)\right\rangle^{G_{n}^{1}}\exp\left(-t/\tau_{n}^{s}\right) $$

この式から、油面電位の減衰が油中電荷密度の $ G_{n} $ 乗に比例する減衰項と時定数 $ \tau_{n} $ の指数減衰項の積の級数で表わされることがわかる。さらに、式(14)及び式(4)から明らかなように、各項はそれぞれ、油面への電荷蓄積を考慮したことによる項及び油面を通しての電荷漏洩を考慮したことによる項である。 $ G_{n} $ はタンクの縦横比及び充填率の影響を受ける量であり、この値が小さい程油面電位の減衰が緩慢となる。 $ G_{n} $ の逆数をとれば油面電荷の蓄積を考慮したことによる電位減衰の遅延の指数とすることができる。

Fig.3は、直径と高さの等しい条件での遅延係数 $ 1/G_{n}^{1} $ の最初の5項を充填率を変数として図示したものである。この図から遅延係数は充填率が1に近づくにしたがって急激に増大すること及びこの時第1項が卓越していくことがわかる。Fig.4は、第1項に対する第2項以下の各項の比率を充填率を横軸にとって表わしたものである。この図からも充填率が増加することもなって第1項が第2項以下の項に対して卓越していくことが示される。

Fig.5は遅延係数の第1項と充填率の関係を、いくつかのタンクの縦横比について求めた結果である。この図から、タンクが偏平なほど充填率が1に近い領域での遅延係数の増加が著しくなることがわかる。