Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
保安林の指定又は解除のための現地調査等や、海岸部の保安林指定適地及び被災した保安林の森林所有者情報の整備等に係る費用について支援を行っている。さらに、林野庁の担当官を被災地に派遣し、「復興整備計画」や保安林解除申請書の作成方法の助言等を行っている。

このほか、土木分野の復旧・復興事業でも地域の木材が活用されている。例えば、治山施設や港湾施設の復旧事業では、コンクリートの打設に用いられる型枠用合板に、国産間伐材を使用する事例もみられる $ ^{*19} $ 。

## (木質系災害廃棄物の有効活用)

東日本大震災では、地震と津波により、多くの建築物や構造物が破壊され、コンクリートくず、木くず、金属くず等の災害廃棄物(がれき)が大量に発生した。13道県239市町村で約2,000万トン発生した災害廃棄物 $ ^{*20} $ は、平成26(2014)年3月末時点で97%が処理され、福島県の一部地域(8市町村)を除く231市町村において処理が完了した。また、約62万トンの広域処理必要量も、平成26(2014)年3月末までに18都県92件で全ての処理が完了した $ ^{*21} $ 。

このような災害廃棄物のうち、木くずの量は、災害廃棄物の約1割に相当する約135万トンであった。木くずについては、平成23(2011)年5月に環境省が策定した「東日本大震災に係る災害廃棄物の処理指針（マスタープラン）」では、木質ボード、ボイラー燃料、発電等に利用することが期待できるとされ、各地の木質ボード工場や木質バイオマス発電所で利用された。

## (木質バイオマスエネルギー供給体制を整備)

平成24(2012)年7月に閣議決定された「福島復興再生基本方針」では、目標の一つとして、再生可能エネルギー産業等の創出による地域経済の再生が位置付けられた。これを受けて、福島県会津若松市では、同月から、未利用間伐材等を主燃料とするバイオマス発電施設が稼働している。

また、「岩手県東日本大震災津波復興計画」や「宮城県震災復興計画」においても、木質バイオマスの活用が復興に向けた取組の一つとして位置付けられている。これを受けて、岩手県宮古市では、平成26(2014)年4月から新たに製材端材及び未利用間伐材等を燃料とする発電施設が稼動しており、また宮城県気仙沼市でも、同3月から主に未利用間伐材を燃料とする発電施設が稼働している $ ^{*22} $ 。

## (復興への森林・林業の貢献)

政府が設置した有識者等から成る復興推進委員会は、平成26(2014)年4月に「「新しい東北」の創造」に向けた提言を行った。提言では、震災復興の中で、人口減少、高齢化、産業の空洞化等といった課題を解決し、我が国や世界のモデルとなる「創造と可能性のある未来社会」を目指すとしている。森林・林業分野では、豊富な森林資源など再生可能エネルギー資源の導入を推進すること、多重防御の一つとして海岸防災林を整備することなどが挙げられている。

また、復興庁が設置した「産業復興の推進に関するタスクフォース」は、同6月に「東日本大震災被災地域の産業復興創造戦略」を取りまとめた。この中で、林業の目標像として、東北地域は大規模な木材加工施設が集中する地域であり、川上から川下まで連携した木材安定供給体制の構築により、林業の成長産業化を実現することが求められるとしている。
## 5 局面推移モデル

2.4において，局面推移モデル(regime switching model)とは景気指標等の確率変数がある局面から他の局面に推移する確率を求める非線形時系列モデルであると述べた．本章では，5.1で局面推移モデルの理論的解説を行い，5.2で局面推移モデルを用いた景気動向の実証分析の例を示す．

### 5.1 局面推移モデルの理論的解説

#### 5.1.1 はじめに

局面推移モデルは時系列モデルのひとつの拡張とみなすことができる．拡張前の統計モデルで定数として扱われるパラメータに関して，次のような仮定が置かれる：

モデルの背後に有限個の離散的な値をとる「非観測確率変数列」が存在すると仮定する．拡張されたモデルでは，元のモデルにおけるパラメータは非観測確率変数の関数として扱われる．非観測確率変数がとり得る値のひとつひとつを局面(regime)という．非観測確率変数の局面間の推移はMarkov過程に従うものとする．

元のモデルと比較すると，次の2つの理由でモデルを規定するパラメータ数が増加している：

(1) 元のモデルにおけるパラメータは確率変数へと拡張されたが，これがとり得る値をあらためてパラメータとして扱う．

(2) 局面間の推移を記述する確率をパラメータとして扱う.
### 5.1 局面推移モデルの理論的解説

拡張されたモデルにおいて，非観測確率変数が定数であるという特殊な場合を考えると，元のモデルと一致する．この意味でモデルを拡張したことになっている．

この拡張されたモデルに基づいて行う推論は2つの部分からなる．1つはパラメータ推定であり，もう1つは非観測確率変数に関する推論である．前者のパラメータ推定に関しては，本節では最尤法を採用する．すなわち，尤度関数を最大化するようなパラメータを求める．尤度関数を求める必要があるが，モデルを拡張したために元のモデルのときほど単純ではない．5.1.2および5.1.3で説明するフィルタリング(filtering)と呼ばれる計算テクニックを用いる．

後者の非観測確率変数に関する推論については，局面確率(filtered probability)および平滑化確率(smoothed probability)を用いる．後できちんとした定義を与えるが，簡単に言えば，観測データを得ている下での非観測確率変数に関する条件付き確率である．局面確率および平滑化確率を用いて拡張したモデルの妥当性を検証することができる．5.2の実証分析では計算が簡単な局面確率を用いることにする．

本節では，正規線形モデルと自己回帰モデルを具体例としてとりあげて局面推移モデルを解説する．以下の記述は，主としてKim and Nelson（1999）のChapter 4. Markov-Switching Modelsによる．5.1.2および5.1.3における誤差分布は正規分布 $ N(0,\tau) $ であるが，この仮定は本質的なものではない．正規分布 $ N(0,\tau) $ の密度関数を $ \phi_{\tau}(\cdot) $ と書くことにするが， $ \phi_{\tau}(\cdot) $ を平均0，分散 $ \tau $ の一般の誤差分布の密度関数と読み替えてもよい．5.1.4では局面推移モデルに関する最近の発展について概観を述べる．

この小節の最後に，本節の様々な計算過程において頻繁に用いる，条件付き確率に関する公式を3つ挙げておく．ほとんどの式変形はこれらの3つの公式
に基づいている。

公式(1) $ \Pr(A \cap B \mid C) = \Pr(A \mid B \cap C) \Pr(B \mid C). $

公式(2) $ \bigcup_{i=1}^{\infty}C_{i}=\Omega $ (全事象)，かつ， $ i\neq j $ に対して $ C_{i}\cap C_{j}=\varnothing $ （空事象）

のとき, $ \Pr(A\mid B)=\sum_{i=1}^{\infty}\Pr(A\cap C_{i}\mid B). $

公式(3) $ \Pr(A\mid B\cap C)=\frac{\Pr(A\cap B\mid C)}{\Pr(B\mid C)} $

#### 5.1.2 正規線形モデルと局面推移モデル

## 正規線形モデルと最尤推定値

次のような正規線形モデルを考える。

$$ \begin{aligned}&y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta=e_{t}\sim N(0,\tau)\setminus(t=1,\ldots,T),\\&t\neq s\ のとき e_{t}\ と e_{s}\ は独立 .\\ \end{aligned} $$

ここで，目的変数 $ y_{t} $ は1次元の量であり，説明変数 $ x_{t} $ および回帰係数 $ \beta $ はp次元縦ベクトルであり，プライム $ ^{(1)} $ はベクトルの転置を表すものとする．

このモデルの対数尤度関数は簡単に求めることができて

$$ \log L(\beta,\tau)=\sum_{t=1}^{T}\log\phi_{\tau}(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta) $$

となる．この対数応度関数を最大化することにより，パラメータ（ $ \beta,\tau $ ）の最も推定値が求められる．

## 正規線形モデルの拡張

正規線形モデル(5.1.1)の背後に非観測確率変数列 $ \{S_{t}\}_{1\leq t\leq T} $ の存在を仮定する．各 $ S_{t} $ は m 個の値 1,…, m をとるものとし，モデル(5.1.1)におけるパラメータ $ (\beta,\tau) $ は $ S_{t} $ の関数とする．すなわち， $ (\beta,\tau) $ は $ S_{t} $ の値に応じて m 個の値を
とり得る確率変数とする．正規線形モデル(5.1.1)は次のように拡張される：

$$ \begin{aligned}&y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta(S_{t})=e_{t}\sim N(0,\tau(S_{t}))\quad(t=1,\ldots,T),\\&(\beta(S_{t}),\tau(S_{t}))=\left\{\begin{aligned}&(\beta_{1},\tau_{1})\quad(S_{t}=1),\\&(\beta_{2},\tau_{2})\quad(S_{t}=2),\\&\quad\vdots\quad\quad\vdots\\&(\beta_{m},\tau_{m})\quad(S_{t}=m).\end{aligned}\right.\end{aligned} $$

モデルを拡張した結果, パラメータに構造変化があるケースを扱えるようになっている.

注意： $ S_{t} $ の値が事前に知られていれば，これは単なるダミー変数モデルにすぎない．このとき対数応度関数は

$$ \log L\left(\beta_{1},\ldots,\beta_{m},\tau_{1},\ldots,\tau_{m}\right)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{\left\{t\mid S_{t}=i\right\}}\log\phi_{\tau_{i}}\left(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{i}\right) $$

となる．ここで，$\sum_{\{t|S_{t}=i\}}$ は，$S_{t}=i$ なる$t$ に関する和を表す．対数尤度関数を最大化することによってパラメータ$(\beta_{1},\ldots,\beta_{m},\tau_{1},\ldots,\tau_{m})$ の最尤推定値が求められる．

## 対数尤度関数の計算

拡張されたモデル(5.1.3)の対数庁度関数を計算手順を以下に示す。最初に記号の定義を行う。確率変数 $ y_{1},\ldots,y_{T} $ の同時密度関数を $ f(y_{1},\ldots,y_{T}),\{y_{1},\ldots,y_{t}\} $ の実現値に関する情報を $ \psi_{t},\psi_{t} $ の下での $ y_{t+1},\ldots,y_{T} $ の条件付き同時密度関数を $ f(y_{t+1},\ldots,y_{T}|\psi_{t}) $ とする。記号が繁雑にならないように密度関数にはすべて記号 f を用いた。また， $ \psi_{0} $ は $ \{y_{1},\ldots,y_{T}\} $ の実現値に関する情報が全くない状態を表すものと約束する。

条件付き密度関数に関する等式

$$ \begin{aligned}f(y_{1},\ldots,y_{T})&=f(y_{1},\ldots,y_{T}|\psi_{0})\\&=f(y_{1}|\psi_{0})f(y_{2},\ldots,y_{T}|\psi_{1})\\&=\cdot\cdot\cdot\\&=\prod_{t=1}^{T}f(y_{t}|\psi_{t-1})\end{aligned} $$
および次の式変形

$$ \begin{aligned}f(y_{t}|\psi_{t-1})=&\sum_{i=1}^{m}f(y_{t},S_{t}=i|\psi_{t-1})\\=&\sum_{i=1}^{m}f(y_{t}|S_{t}=i,\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=i|\psi_{t-1})\\=&\sum_{i=1}^{m}\phi_{\tau_{i}}(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{i})\Pr(S_{t}=i|\psi_{t-1})\end{aligned} $$

に注意すると、次式を得る：

$$ \log f(y_{1},\ldots,y_{T})=\sum_{t=1}^{T}\log\Biggl\{\sum_{i=1}^{m}\phi_{\tau_{i}}\left(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{i}\right)\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})\Biggr\}. $$

2つの式(5.1.2)と(5.1.5)を比較せよ．元のモデルと拡張されたモデルの間の関係が見てとれるであろう．

非観測確率変数列 $ \{S_{t}\}_{1\leq t\leq T} $ を適当にモデル化し，「重み」

$$ \Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i\leqq m), $$

すなわち，$\psi_{t-1}$ の下での非観測確率変数$S_{t}$ に関する条件付き確率を求めれば，対数尤度関数を計算できることがわかる．

## 独立な推移

本題の Markov 推移に入る前に，Markov 性より強い性質である独立性を仮定した場合を考えてみよう．各時点における状態間の推移がすべて独立に発生すると仮定する．このとき，重みは $ (m-1) $ 個のパラメータ $ \alpha_{2},\ldots,\alpha_{m} $ を用いて

$$ \Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})=\Pr(S_{t}=i)=\frac{e^{\alpha_{i}}}{\sum_{j=1}^{m}e^{\alpha_{j}}}\ \left(1\leqq t\leqq T\ ;1\leqq i\leqq m\right) $$

と表される．ただし，$\alpha_{1}=0$ と約束する．（5.1.5）を用いると対数応度関数は次のようになる：

$$ \begin{aligned}&\log L\left(\beta_{1},\ldots,\beta_{m},\tau_{1},\ldots,\tau_{m},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{m}\right)\\ &=\sum_{t=1}^{T}\log\left[\sum_{i=1}^{m}e^{\alpha_{i}}\left.\phi_{\tau_{i}}\left(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{i}\right)\middle/\sum_{j=1}^{m}e^{\alpha_{j}}\right]\right..\\ \end{aligned} $$
### 5.1 局面推移モデルの理論的解説

この対数応度関数を $ (\beta_{1},\ldots,\beta_{m},\tau_{1},\ldots,\tau_{m},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{m}) $ について最大化することによってパラメータの最冊推定値が求められる。

## Markov 推移

本題の Markov 推移に入ろう．非観測確率変数列の確率的な挙動として次のような1次の m 状態 Markov 過程を仮定する．

$$ \begin{aligned}&p_{ij}=Pr(S_{t}=j\mid S_{t-1}=i)\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i,j\leqq m),\\ &\sum_{j=1}^{m}p_{ij}=1\quad(1\leqq i\leqq m).\\ \end{aligned} $$

ここで，非観測確率変数の初期状態を表す確率変数 $ S_{0} $ を形式的に導入した．全確率が1であることを意味する2番目の式から $ p_{11},\ldots,p_{mm} $ のうち独立なパラメータは $ m(m-1) $ 個であることがわかる．そこで， $ \left\{P_{ij}\right\}_{1\leq i\leq m;2\leq j\leq m} $ を独立なパラメータとして扱うことにする．（5.1.5）で示したとおり，対数尤度関数を求めるためには重み

$$ \Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i\leqq m) $$

を計算すればよい。

## フィルタリング

重みを求めるための再帰式を導く．このような計算テクニックをフィルタリングという．再帰式は次の2つのステップからなる．

$$ \text{Step 1} \quad \left\{ \Pr(S_{t-1} = i \mid \psi_{t-1}) \right\} \text{ から } \left\{ \Pr(S_t = i \mid \psi_{t-1}) \right\} \text{ を求める :} $$

$$ \begin{align*}\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})=&\sum_{j=1}^{m}\Pr(S_{t}=i,\;S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\\=&\sum_{j=1}^{m}\Pr(S_{t}=i\mid S_{t-1}=j,\;\psi_{t-1})\;\Pr(S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\\=&\sum_{j=1}^{m}p_{ji}\Pr(S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1}).\end{align*} $$
Step 2 $ \{\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})\} $ から $ \{\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t})\} $ を求める :

$$ \begin{align*}\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t})&=\Pr(S_{t}=i\mid y_{t},\psi_{t-1})\\&=\frac{f(y_{t},S_{t}=i\mid\psi_{t-1})}{f(y_{t},\mid\psi_{t-1})}\\&=\frac{f(y_{t}\mid S_{t}=i,\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})}{\sum_{j=1}^{m}f(y_{t}\mid S_{t}=j,\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=j\mid\psi_{t-1})}\\&=\frac{\phi_{\tau_{i}}(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{i})\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})}{\sum_{j=1}^{m}\phi_{\tau_{j}}(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{j})\Pr(S_{t}=j\mid\psi_{t-1})}.\end{align*} $$

フィルタリングに関する初期値 $ \{\operatorname{Pr}(S_{0}=i\mid\psi_{0})\} $ が与えられているならば，対数庁度関数の計算に必要な重みはすべて上記の再帰式から求めることができる：

$$ \begin{aligned}&\{\Pr(S_{0}=i\mid\psi_{0})\}\quad\overset{Step1}{\Longrightarrow}\quad\{\Pr(S_{1}=i\mid\psi_{0})\}\quad\overset{Step2}{\Longrightarrow}\quad\{\Pr(S_{1}=i\mid\psi_{1})\}\\ &\\ &\quad\overset{Step1}{\Longrightarrow}\quad\{\Pr(S_{2}=i\mid\psi_{1})\}\quad\overset{Step2}{\Longrightarrow}\quad\{\Pr(S_{2}=i\mid\psi_{2})\}\quad\overset{Step1}{\Longrightarrow}\quad\cdot\cdot\cdot\\ \end{aligned} $$

## 初期値の求め方

フィルタリングを実行するために初期値を求めよう。初期値を $ \pi_{i}=\Pr(S_{0}=i\mid\psi_{0}) $ （ $ 1\leq i\leq m $ ）とおく。初期値としては，普通，定常状態の確率を用いる。すなわち，1次方程式系

$$ \begin{aligned}&\sum_{i=1}^{m}\pi_{i}=1,\\&(\pi_{1},\cdots,\pi_{m})=(\pi_{1},\cdots,\pi_{m})\begin{pmatrix}p_{11}&\cdots&p_{1m}\\\vdots&\ddots&\vdots\\p_{m1}&\cdots&p_{mm}\end{pmatrix}\end{aligned} $$

の解として求められる．以上から対数応募関数はパラメータ

$$ \left(\begin{array}{c}\beta_{1},\cdots,\beta_{m},\tau_{1},\cdots,\tau_{m},\left\{p_{ij}\right\}_{1\leq i\leq m;2\leq j\leq m}\end{array}\right) $$

の関数として求めることができる．あとは対数応用数を最大化してパラメータの最冊推定値を求めればよい．この最大化は，例えば，統計ソフトRに組み込
### 5.1 局面推移モデルの理論的解説

まれている最適化用サブルーチンによって簡単に実行できる¹．具体的には5.2を参照せよ．

## 非観測確率変数に関する推論

パラメータの最尤推定値を求めた後で，局面確率および平滑化確率を用いて非観測確率変数 $ S_{t} $ に関する推論を行うことができる．局面確率とは

$$ \Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t})\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i\leqq m) $$

のことをいう．すなわち，$\left\{y_{1},\ldots,y_{t}\right\}$ の実現値を得ている下での非観測確率変数$S_{t}$ に関する条件付き確率である．パラメータに最尤推定値を代入した後でフィルタリングを行えば，その第2ステップで算出される．一方，平滑化確率とは

$$ \Pr(S_{t}=i\mid\psi_{T})\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i\leqq m) $$

のことをいう．局面確率との違いは，条件付けの部分で時点Tまでの実現値を得ているという点である．平滑化確率の算出方法については次の小々節で述べる．算出された局面確率および平滑化確率の値を吟味することによって，拡張されたモデルの妥当性を検証することができる．

例：適当な経済変数 $ x_{t} $ で実質 GDP の成長率 $ y_{t} $ を回帰する場合を考える．非観測確率変数 $ S_{t} $ を景気の状態を表す2値確率変数とする．このとき，算出された局面確率および平滑化確率と政府発表の景気状態を比較することによって，モデルの妥当性を検証することができる．

## 平滑化確率の導出

平滑化確率の算出は以下の3つのステップで行われる．第1ステップでは， $ t=1,\ldots,T $ について

$$ \begin{aligned} 命题 P_{t}:\left\{f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,\omega_{t-1},\psi_{t-1})\right\}_{1\leq i\leq m} が \omega_{t-1} お上び \psi_{t-1}\\ に依存しない \end{aligned} $$
が成り立つことを帰納的に示す．ここで，$\omega_{t}$ は$\left\{S_{1},\ldots,S_{t}\right\}$ の実現値に関する情報を表し，$\omega_{0}$ は$\left\{S_{1},\ldots,S_{T}\right\}$ の実現値に関する情報がない状態を表すものと約束する．まず$t=T$ の場合，確かに命題$P_{T}$ は成り立つ：

$$ f(y_{T}\mid(S_{T}=i,\ \omega_{T-1},\ \psi_{T-1})=\phi_{\tau_{i}}\left(y_{T}-x_{T}^{\prime}\beta_{i}\right)\quad(1\leqq i\leqq m). $$

次に，tを $ 1 \leq t \leq T-1 $ なる自然数とする．帰納法の仮定として命題 $ P_{t+1} $ が成り立つとする．まず，次の式変形に注意する：

$$ \begin{aligned}&f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,\omega_{t-1},\psi_{t-1})\\&=f(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,\omega_{t-1},\psi_{t})f(y_{t}\mid S_{t}=i,\omega_{t-1},\psi_{t-1})\\&=\phi_{\tau_{i}}(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{i})\sum_{j=1}^{m}f(y_{t+1},\ldots,y_{T},S_{t+1}=j\mid S_{t}=i,\omega_{t-1},\psi_{t})\\&=\phi_{\tau_{i}}(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{i})\sum_{j=1}^{m}\Big\{f(y_{t+1},\ldots,y_{T},\mid S_{t+1}=j,S_{t}=i,\omega_{t-1},\psi_{t})\\&\quad\times\Pr(S_{t+1}=j\mid S_{t}=i,\omega_{t-1},\psi_{t})\Big\}\\ \end{aligned} $$

ここで帰納法の仮定を用いると,

$$ \begin{aligned}&f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,\omega_{t-1},\psi_{t-1})\\ &=\phi_{\tau_{i}}(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{i})\sum_{j=1}^{m}p_{ij}f(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t+1}=j)\quad(1\leqq i\leqq m).\\ \end{aligned} $$

を得る．この等式は命題 $ P_{t} $ が成り立つことを示している．帰納法により，すべてのtに対して命題 $ P_{t} $ が成り立つが証明された．

第2ステップでは，第1ステップの結果

$$ f\left(y_{T}\mid S_{T}=i\right)=\phi_{\tau_{i}}\left(y_{T}-x_{T}^{\prime}\beta_{i}\right)\quad(1\leqq i\leqq m) $$

および

$$ \begin{align*}f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i)=\phi_{\tau_{i}}\left(y_{t}-x_{t}^{\prime}\beta_{i}\right)\sum_{j=1}^{m}p_{ij}f(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t+1}=j)\ $ 1\leqq t\leqq T-1;1\leqq i\leqq m)\end{align*} $$
### 5.1 局面推移モデルの理論的解説

を用いて再帰的に

$$ f\left(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i\right)\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i\leqq m) $$

を求める．パラメータには最も推定値を代入する．

第3ステップでは，上記の準備の下で平滑化確率を求める．まず，

$$ \begin{aligned}\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{T})&=\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1},y_{t},\ldots,y_{T})\\&=\frac{f(y_{t},\ldots,y_{T},S_{t}=i\mid\psi_{t-1})}{f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid\psi_{t-1})}\\&=\frac{f(y_{t},\ldots,y_{T},S_{t}=i\mid\psi_{t-1})}{\sum_{j=1}^{m}f(y_{t},\ldots,y_{T},S_{t}=j\mid\psi_{t-1})}\\&=\frac{f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i\mid\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})}{\sum_{j=1}^{m}\quad f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=j,\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=j\mid\psi_{t-1})}\end{aligned} $$

に注意する．ここで第1ステップで証明した命題を用いると，

$$ \Pr(S_{t}=i\mid\psi_{T})=\frac{f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i)\Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t-1})}{\sum_{j=1}^{m}\ f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=j)\Pr(S_{t}=j\mid\psi_{t-1})}. $$

を得る．上記の式に現れる $ \left\{\Pr\left(S_{t}=i\mid\psi_{t-1}\right)\right\} $ は，パラメータに最も推定値を代入した状態でフィルタリングを行うと算出される．第2ステップの結果を代入すれば，平滑化確率が得られる．

#### 5.1.3 自己回帰モデルと局面推移モデル

## 自己回帰モデル

5.1.2で扱った正規線形モデルは系列相関がないケースに適用される．系列相関のあるデータのモデル化では自己回帰モデルがよく用いられている．1次の自己回帰モデルは次のように記述される：

$$ \begin{aligned}&(y_{t}-\mu)-\theta(y_{t-1}-\mu)=e_{t}\sim N(0,\tau)\quad(t=1,\ldots,T),\\&t\neq s\ のとき e_{t}\ と e_{s}\ は独立 .\\ \end{aligned} $$

簡単のため，ここでは5.1.2とは違い， $ \mu=x_{t}^{\prime}\beta $ のような構造は考えないことにする．このモデルの対数応度関数は

$$ \log L(\mu,\tau,\theta)=\sum_{t=1}^{T}\log\phi_{\tau}((y_{t}-\mu)-\theta(y_{t-1}-\mu)) $$
となる．パラメータ $ (\mu,\tau,\theta) $ の推定値は対数庁度関数を最大化することによって求められる．

以下，自己回帰モデル(5.1.6)を拡張するわけであるが，議論の展開は5.1.2と同様である．また，記法についても特に注意しない限り同じである．

## 自己回帰モデルの拡張

正規線形モデルの場合と同様に，モデルを拡張してパラメータに構造変化がある場合に対応できるようにしよう：

$$ \begin{array}{l}\{y_{t}-\mu(S_{t})\}-\theta\{y_{t-1}-\mu(S_{t-1})\}=e_{t}\sim N(0,\tau(S_{t}))\quad(t=1,\ldots,T),\\ \left(\mu(S_{t}),\tau(S_{t})\right)=\left\{\begin{aligned}&(\mu_{1},\tau_{1})\quad(S_{t}=1),\\ &(\mu_{2},\tau_{2})\quad(S_{t}=2),\\ &\quad\vdots\quad\quad\vdots\\ &(\mu_{m},\tau_{m})\quad(S_{t}=m).\end{aligned}\right.\end{array} $$

## 対数尤度関数の計算

対数尤度関数の計算手順を以下に示す．数式を簡単化するために，非観測確率変数の初期状態を表す確率変数 $ S_{0} $ を形式的に導入しておく．5.1.2で導いた一般的な等式(5.1.4)および次の式変形

$$ \begin{aligned}&f(y_{t}\mid\psi_{t-1})\\ &=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}f(y_{t},S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\\ &=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}f(y_{t}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\\ &=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\phi_{\tau_{i}}\left((y_{t}-\mu_{i})-\theta(y_{t-1}-\mu_{j})\right)\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\\ \end{aligned} $$
に注意すると，対数応度関数の計算において基本的な役割を演じる等式

$$ \begin{aligned}&\mathrm{g}f(y_{1},\ldots,y_{T})\\&\sum_{t=1}^{T}\log\Biggl\{\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\phi_{\tau_{i}}\left((y_{t}-\mu_{i})-\theta(y_{t-1}-\mu_{j})\right)\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\Biggr\}\\&(\xi_{1},\ldots,\xi_{T})\end{aligned} $$

を得る．(5.1.7)および(5.1.9)は，元のモデルと拡張されたモデルの間の関係を明確にしている．

非観測確率変数列 $ \{S_{t}\}_{1\leq t\leq T} $ の確率的な挙動をモデル化し, $ Tm^{2} $ 個の重み

$$ \Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i,j\leqq m), $$

すなわち，$\psi_{t-1}$ の下での非観測確率変数 $S_{t}$ および $S_{t-1}$ に関する条件付き確率を求めれば，拡張されたモデル(5.1.8)の対数応度関数を計算することができる.

## Markov 推移

正規線形モデルの場合と同様に，非観測確率変数列の確率的な挙動として次のような1次のm状態Markov過程を仮定する.

$$ \begin{aligned}&p_{ij}=\Pr(S_{t}=j\mid S_{t-1}=i)\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i,j\leqq m),\\&\sum_{j=1}^{m}p_{ij}=1\quad(1\leqq i\leqq m).\\ \end{aligned} $$

2番目の式から $ p_{11},\ldots,p_{mm} $ のうち独立なパラメータは $ m(m-1) $ 個であることがわかるので， $ \{p_{ij}\}_{1\leq i\leq m;2\leq j\leq m} $ を独立なパラメータとして扱うことにする.

(5.1.9) で示したとおり，対数応度関数を求めるためには重み

$$ \Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i,j\leqq m) $$

を計算すればよい。

## フィルタリング

$ Tm^{2} $ 個の重み $ \{\operatorname{Pr}(S_{t}=i, S_{t-1}=j \mid \psi_{t-1})\} $ の計算方法を以下に示す．フィルタリングでは以下の3ステップを再帰的に適用する．
$$ \begin{aligned}\left\lfloor Step1\right\rfloor\left\{Pr(S_{t-1}=i\mid\psi_{t-1})\right\} から \left\{Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\right\} を求める :\\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})=Pr(S_{t}=i\mid S_{t-1}=j,\psi_{t-1})Pr(S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\\=p_{ji}Pr(S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1}).\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}\left\lfloor Step2\right\rfloor&\left\{Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\right\} から \left\{Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t})\right\} を求め \\ &\begin{aligned}\\ &\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t})\\&=\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid y_{t},\psi_{t-1})\\&=\frac{f(y_{t},S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})}{f(y_{t},\mid\psi_{t-1})}\\&=\frac{f(y_{t}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})}{\sum_{k=1}^{m}\sum_{l=1}^{m}f(y_{t}\mid S_{t}=k,S_{t-1}=l,\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=k,S_{t-1}=l\mid\psi_{t-1})}\\&=\frac{\phi_{\tau_{i}}\left((y_{t}-\mu_{i})-\theta(y_{t-1}-\mu_{j})\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})\right.}{\sum_{k=1}^{m}\sum_{l=1}^{m}\phi_{\tau_{k}}\left((y_{t}-\mu_{k})-\theta(y_{t-1}-\mu_{l})\right)\Pr(S_{t}=k,S_{t-1}=l\mid\psi_{t-1})}.\\ &\end{aligned}\\ \end{aligned} $$

Step 3 $ \{\mathrm{Pr}(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t})\} $ から $ \{\mathrm{Pr}(S_{t}=i\mid\psi_{t})\} $ を求める :

$$ \Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t})=\sum_{j=1}^{m}\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t}). $$

フィルタリングに関する初期値 $ \{\operatorname{Pr}(S_{0}=i\mid\psi_{0})\} $ が与えられているならば，対数広度関数の計算に必要なすべての重みを求めることができる.

$$ \left\{\Pr(S_{0}=i\mid\psi_{0})\right\}\ \stackrel{Step1}{\Longrightarrow}\ \left\{\Pr(S_{1}=i,\ S_{0}=j\mid\psi_{0})\right\}\ \stackrel{Step2}{\Longrightarrow} $$

$$ \left\{\Pr(S_{1}=i,\;S_{0}=j\mid\psi_{1})\right\}\quad\stackrel{Step3}{\Longrightarrow}\quad\left\{\Pr(S_{1}=i\mid\psi_{1})\right\}\quad\stackrel{Step1}{\Longrightarrow} $$

$$ \left\{\Pr(S_{2}=i,\;S_{1}=j\mid\psi_{1})\right\}\quad\stackrel{Step2}{\Longrightarrow}\quad\cdot\cdot\cdot $$
### 5.1 局面推移モデルの理論的解説

## 初期値の求め方

初期値を $ \pi_{i}=\Pr(S_{0}=i\mid\psi_{0})\quad(i=1,\ldots,m) $ とおく．初期値としては，普通，定常状態の確率を用いる．すなわち，1次方程式系

$$ \sum_{i=1}^{m}\pi_{i}=1, $$

$$ \left(\pi_{1},\cdots,\pi_{m}\right)=\left(\pi_{1},\cdots,\pi_{m}\right)\begin{pmatrix}p_{11}&\cdots&p_{1m}\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ p_{m1}&\cdots&p_{mm}\end{pmatrix} $$

の解として求められる．対数応度をパラメータ

$$ \left(\theta,\mu_{1},\cdots,\mu_{m},\tau_{1},\cdots,\tau_{m},\left\{p_{i j}\right\}_{1\leq i\leq m;2\leq j\leq m}\right) $$

の関数として求めることができたので, この対数応度関数を最大化してパラメータの推定値を求めればよい. 5.1.2と同様に, この最大化は統計ソフトRの最適化用サブルーチンで簡単に実行できる.

## 非観測確率変数に関する推論

時点tまでの情報を含んでいる局面確率

$$ \Pr(S_{t}=i\mid\psi_{t})\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i\leqq m) $$

およびデータの全情報を含んでいる平滑化確率

$$ \Pr(S_{t}=i\mid\psi_{T})\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i\leqq m) $$

を用いて非観測確率変数 $ S_{t} $ に関する推論を行えることは，正規線形モデルの場合と同様である．局面確率はパラメータに最尤推定値を代入してフィルタリングを行うと第3ステップで算出される．平滑化確率の算出方法については次の小々節で説明する．
## 平滑化確率の導出

平滑化確率を求める $ ^{2} $ . 5.1.2と同様に導出は3つのステップで行う．第1ステップでは，次の命題 $ P_{t} $ をtに関する帰納法で証明する．

$$ \begin{aligned} 命题 P_{t}:\left\{f\left(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t-1},\psi_{t-2}\right)\right\}_{1\leq i,j\leq m}\\ は \omega_{t-2} および \psi_{t-2} に依存しない \end{aligned} $$

ただし，$\omega_{t-1}$ および $\omega_{0}$ は $\{S_{1},\ldots,S_{T}\}$ の実現値に関する情報がない状態を表し，$\psi_{-1}$ および $\psi_{0}$ は $\{y_{1},\ldots,y_{T}\}$ の実現値に関する情報がない状態を表すものと約束する．まず $t=T$ の場合，命題 $P_{T}$ は正しい：

$$ \begin{align*}f(y_{T}\mid S_{T}=i,S_{T-1}=j,\ \omega_{T-2},y_{T-1},\psi_{T-2})=\phi_{\tau_{i}}\left((y_{T}-\mu_{i})-\theta(y_{T-1}-\mu_{j})\right)\ $ 1\leqq i,j\leqq m).\end{align*} $$

帰納法の仮定として $ 1 \leq t \leq T - 1 $ なるtに対して命題 $ P_{t+1} $ が成り立つとする.次の2つの式変形

$$ \begin{aligned}&f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t-1},\psi_{t-2})\\&=f(y_{t}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t-1},\psi_{t-2})\\&\quad\times f(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t},\psi_{t-1})\\&=\phi_{_{T_{i}}}((y_{t}-\mu_{i})-\theta(y_{t-1}-\mu_{j}))\\&\quad\times f(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t},\psi_{t-1})\end{aligned} $$

および

$$ \begin{aligned}f\quad&(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t},\psi_{t-1})\\&=\sum_{k=1}^{m}f(y_{t+1},\ldots,y_{T},S_{t+1}=k\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t},\psi_{t-1})\\&=\sum_{k=1}^{m}\Big\{f(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t+1}=k,S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t},\psi_{t-1})\\&\quad\times\Pr(S_{t+1}=k\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t},\psi_{t-1})\Big\}\\&=\sum_{k=1}^{m}p_{ik}f(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t+1}=k,S_{t}=i,y_{t})\end{aligned} $$
に注意すると,

$$ \begin{aligned}&f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\omega_{t-2},y_{t-1},\psi_{t-2})\\ &=\phi_{r_{i}}((y_{t}-\mu_{i})-\theta(y_{t-1}-\mu_{j}))\sum_{k=1}^{m}p_{ik}f(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t+1}=k,S_{t}=i,y_{t})\\ &\quad(1\leqq t\leqq T-1;1\leqq i,j\leqq m)\\ \end{aligned} $$

を得る．この等式は命題 $ P_{t} $ が正しいことを示している．したがって，帰納法により $ 1 \leq t \leq T $ なるすべての t に対して命題 $ P_{t} $ は成り立つことが証明された．

第2ステップでは，第1ステップの結果

$$ \begin{align*}f(y_{T}\mid S_{T}=i,S_{T-1}=j,y_{T-1})=\phi_{\tau_{i}}\left((y_{T}-\mu_{i})-\theta(y_{T-1}-\mu_{j})\right)\ $ 1\leqq i,j\leqq m)\end{align*} $$

および

$$ \begin{aligned}&f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,y_{t-1})\\ &=\phi_{\tau_{i}}\left((y_{t}-\mu_{i})-\theta(y_{t-1}-\mu_{j})\right)\sum_{k=1}^{m}p_{ik}f(y_{t+1},\ldots,y_{T}\mid S_{t+1}=k,S_{t}=i,y_{t})\\ &\quad(1\leqq t\leqq T-1;1\leqq i,j\leqq m)\\ \end{aligned} $$

を用いて再帰的に

$$ f\left(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,y_{t-1}\right)\quad(1\leqq t\leqq T;1\leqq i,j\leqq m) $$

を求める．パラメータには最尤推定値を代入する．

第3ステップでは，上記の準備の下で $ \left\{\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{T})\right\} $ を求める．

まず，次の式変形に注意する：

$$ \begin{aligned}&\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{T})\\&=\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1},y_{t},\ldots,y_{T})\\&=\frac{f(y_{t},\ldots,y_{T},S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})}{f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid\psi_{t-1})}\\&=\frac{f(y_{t},\ldots,y_{T},S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})}{\sum_{k=1}^{m}\sum_{l=1}^{m}f(y_{t},\ldots,y_{T},S_{t}=k,S_{t-1}=l\mid\psi_{t-1})}\\&=\frac{f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})}{\sum_{k=1}^{m}\sum_{l=1}^{m}f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=k,S_{t-1}=l,\psi_{t-1})\Pr(S_{t}=k,S_{t-1}=l\mid\psi_{t-1})}.\end{aligned} $$
最後の式の分母および分子において第1ステップで証明した命題を用いると,

$$ \begin{aligned}&\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{T})\\ &=\frac{f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=i,S_{t-1}=j,y_{t-1})\Pr(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{t-1})}{\sum_{k=1}^{m}\sum_{l=1}^{m}f(y_{t},\ldots,y_{T}\mid S_{t}=k,S_{t-1}=l,y_{t-1})\Pr(S_{t}=k,S_{t-1}=l\mid\psi_{t-1})}\\ \end{aligned} $$

を得る．この式の分母および分子にあらわれる確率 $ \Pr(S_{t}=i, S_{t-1}=j \mid \psi_{t-1}) $ は，パラメータに最尤推定値を代入した状態でフィルタリングを行えば算出することができる．したがって，平滑化確率は次の式で計算される：

$$ \mathrm{P r}(S_{t}=i\mid\psi_{T})=\sum_{j=1}^{m}\mathrm{P r}(S_{t}=i,S_{t-1}=j\mid\psi_{T}). $$

#### 5.1.4 局面推移モデルの展開

Hamilton（1989）によって提案された局面推移モデルは，いくつかの側面でオプションが追加されている．5.1.2および5.1.3ではパラメータ推定に最冊法を採用したが，EMアルゴリズム（Hamilton，1990）および擬似（quasi）ベイズアプローチ（Hamilton，1991）が開発されている．擬似ベイズアプローチはいわゆる singularity 問題を解決するための方法である．もう1つのオプションは，Hamilton（1996）による特定化検定（specification test）である．5.1.3で示したように，目的変数 $ y_{t} $ の変動に自己回帰モデルを仮定する場合がある．特に $ y_{t} $ が実質 GDP の成長率などの四半期データの場合は，4次の自己回帰モデルを用いることが多い．特定化検定では，自己回帰モデルの次数，Markov 性の次数およびARCH 性など検定することができる．

次に，局面推移モデルの拡張について述べる．5.1.2および5.1.3において推移確率 $ p_{ij} $ は一定であると仮定したが，Diebold et al.(1994)はこの仮定を緩めて推移確率が時間とともに変化するというモデル(time-varying transition probability model)を提案した．通常，推移確率には

$$ p_{ij,t}=\Pr(S_{t}=j\mid S_{t-1}=i,\ z_{t-1})=\frac{\exp(\alpha_{ij}+\beta_{ij}z_{t-1})}{1+\exp(\alpha_{ij}+\beta_{ij}z_{t-1})} $$

のような時間依存性が入れられる．ここで $ z_{t-1} $ としては， $ y_{t} $ が景気指標のとき先行指標の過去の値や局面の継続期間を用いることが多い．前者の場合は，先