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## Abstract

This paper surveys the growing empirical literature on the production effects of public capital in Japan. Our survey is rather methodological, and focuses on the issue of simultaneity of public capital, or 'reverse causation' from output to public capital. Our purpose is to highlight how the issue is conceived and tackled in the existing literature, summarize what are important, and discuss what are more appropriate empirical procedures. Limiting our discussion to the estimation of aggregate production function, we review the relevant Japanese studies, focusing on the following analytical points: (1) endogeneity problem due to simultaneity and missing variables, (2) the timing of stock variables and its implication for simultaneity, (3) serial correlation and the endogeneity of stock variables, and (4) the simultaneity of labor and private capital utilization and its implication for the choice of instruments. As it turns out in the Japanese studies, the simultaneity of public capital is a celebrated issue that very few understand properly.
### 1. はじめに

我が国の研究を嚆矢とする社会資本の生産効果の実証分析（華藤 1967, Mera 1973, Nose 1973）は 1980 年代終盤から本格的に再開され $ ^{1} $ （e.g., 堀 1989, 岩本 1990, 浅子・坂本 1993, 浅子ほか 1994, 吉野・中野 1994, 三井・太田 1995）、特に 1990 年代後半以降からは数多くの実証分析が生み出されている。この「ブーム」ともよぐる社会資本研究の背景としては次のような要因が考えられるであろう。第 1 は、公共投資の地域的・部門別の偏在や公共事業評価の必要性などの、公共投資に関する社会的・政策的関心が強くなったことである。また社会資本のデータソースが中央官庁にあることや、自己の公共投資の効果を検証もしくは正当化する必要性などから、必然的に官庁の研究会を中心に研究者が組織され、それが他の研究者の関心を喚起したというプロセスも指摘できるかもしれない $ ^{2} $ 。また、シンクタンク等が中央官庁から受託した調査研究を含めると社会資本に関する実証分析は膨大なものになるであろう。

第2は、米国の社会資本研究の蓄積である。80年代の米国では既に社会資本の生産効果に関する一連の実証研究が行なわれていたし（e.g., Ratner 1983, Costa et al. 1987, Deno 1988, Holtz-Eakin 1988, 1989, Ram and Ramsey 1989）、90年代初頭になるとAschauer（1989）が大きなインパクトを社会資本研究に与えていた。Aschauer（1989）は、1970年以降の米国経済の生産性上昇の鈍化は不充分な社会資本整備によるものであるという議論を展開し、それをうけて米国ではさらに多くの社会資本研究が行なわれるようになっていた。したがって、多くの日本の研究者が実証分析を開始した90年以降においては、米国の先行研究で使用された分析手法の雛型を応用すればよいという状況になっていたことは否めない。

第3は、分析方法の見かけ上の容易さである。海外の先行研究による手法を日本のデータに応用すれば生産力効果を推定できるという状況になっていただけではなく、その分析手法そのものが比較的理解しやすく、実証研究を始める障壁が小さかったと考えられる。社会資本を生産要素として含む生産関数は単なる技術的な関係を描写するものであるから、最適化問題を用いて経済主体の意思決定ルールを導出する場合と比較すればモデルの理解は容易である。また推定作業に関しても、近年のコンピュー
タソフトの進化によって、データさえ揃えば比較的単純にパラメータ推定値を得ることができる状況にあったことは否定できない。

このような背景が、数多くの研究者をして社会資本の実証分析へ向かわせたと考えられるが、それ故に、実証分析上の諸問題が適切に認識され、相応の分析手法が適用されてきたかという懸念も存在する。したがって、実証分析方法の観点から既存研究を批判的に整理・展望する作業が必要とされるであろうが、推定された社会資本の生産効果とその含意に関しては複数のサーベイは存在しても（e.g., 吉野・中東 1999, 村田・大野 2001, 江尻ほか 2001, 岩本 2002）既存研究の実証分析方法を適切に整理・展望した研究は存在しないようである。

この状況に鑑み本稿では、実証分析方法の観点から既存研究を批判的に整理・展望する。特に検討の対象となる論点は社会資本の「同時性の問題」である。社会資本の実証分析における同時性の問題は、三井ほか（1995）や岩本ほか（1996）によって強調されて以来、社会資本の生産効果推定における重要な問題として数多くの研究において言及されている。その一方で、当該問題の要点は必ずしも適切に認識されず、不適切な対処方法が提唱されている場合もあるようである。また、そのような対処方法に批判的な考察が加えられることなく、同様の手法が繰り返し用いられている場合も散見される。したがって、既存研究をサーベイしながら、同時性の問題に関して明示的な議論を行なうことは相応の意義があると考える。

本稿で議論する実証分析上の論点は、（1）計量経済学における内生性と同時性の関連、（2）資本ストックデータのタイミング、（3）攪乱項の系列相関、および、（4）社会資本以外の生産要素の同時性である。社会資本の生産効果は費用関数（e.g., 張2000）や地価・地代関数（e.g., 井田1999, 田中1999, 三井・林2001）を用いて推定される場合があるが、本稿では、我が国の研究において最も頻繁に行なわれている生産関数の推定を通じた実証分析を対象とする。また、社会資本の生産効果の推定における他の重要な論点としては、社会資本の便益の地域間スピルオーバー（e.g., 三井ほか1995, 井出1997, 塚井ほか2002）、集積の経済（e.g., Kanemoto et al. 1996, 金本・斎藤1998, 伊田波2000）、および、時系列分析におけるデータの定常性（e.g., 高橋1996, 土居1998, 畑農2000）などが存在するが、これらの論点の考察は別の機会に譲るものとする。
### 2. 同時性と内生性

#### 2.1. 逆の因果

社会資本の生産効果の推定において「同時性の問題」とよばれるものは、生産関数の推定における「逆の因果（reverse causation）」に関わる問題である。逆の因果とは、生産関数の中で想定されている社会資本から生産量という因果ではなく、生産量から社会資本量への因果をさす。欧米の研究では既にEisner（1991）によって指摘されていた「逆の因果」の問題は、我が国の研究においても頻繁に言及される重要なキーワードとなっている（e.g., 岩本ほか 1996, 吉野・中野 1996, 井田・吉田 1999, 吉野・中東 1999, 石川 2000, 田中 2001）。

これらの研究が指摘している逆の因果は横断面における因果である。Eisner（1991）は、産出量と所得が高水準にある地域にはより多くの社会資本が存在するために、社会資本の生産効果が正の方向に偏ってしまう傾向にあることを指摘している。一方、我が国において逆の因果は、地域間再分配の手段としてより多くの公共投資が生産や所得の低い地域へ投入されていることをさしている（e.g., 三井ほか 1995, 岩本ほか 1996）。この我が国における議論は、横断面データを利用した推定において社会資本の生産力効果が負となることへの解釈の手段として提供されており（岩本ほか 1996）欧米においては正の生産力効果を安易に受け入れることへの警鐘として逆の因果が用いられていることと対照的である。

時系列の次元においても逆の因果は存在する。例えば、公共投資の安定化機能に着目すれば、生産が低い（＝景気が悪い）時に公共投資量は増加するため、生産は公共投資、そして、社会資本に影響を与えることとなる。しかし、我が国の実証分析においては、時系列における逆の因果は、その存在を指摘した三井・井上（1995, p.52）以外では、横断面における逆の因果ほどには強調されていないようである。

逆の因果による計量分析上の問題は、そもそも、社会資本の生産効果の懐転期間と社会資本データ測定のタイミングに依存する問題である。この点については第3節で詳しく考察が加えられるが、本節ではとりあえず、多くの先行研究の通り、逆の因果による問題が存在することを所与として、逆の因果に関わる推定上の問題点とその対処方法について議論を進めることにしよう。
#### 2.2. 内生性

逆の因果による問題は、三井ほか（1995）や岩本ほか（1996）が「社会資本の同時性」と呼んだように、計量経済学的には「同時性(simultaneity)」の問題として捉えられる。ここで同時性とは、推定の対象となる構造方程式の説明変数が連立方程式体系内で内生的に決定されていることをさし、均衡モデル内で変数が決定されるという本来の意味での内生性（endogeneity）に対応している。以下では、次の（対数表示された）コブ・ダグラス型の生産関数を用いることによって同時性の問題を考えよう。

$$ y_{i t}=\boldsymbol{\beta}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{l}l_{i t}+\boldsymbol{\beta}_{k}k_{i t}+\boldsymbol{\beta}_{g}g_{i t}+u_{i t} $$

ここで、 $ y,\ l,\ k,\ g $ はそれぞれ、生産量、労働投入量、民間資本投入量、および、社会資本投入量の対数値であり、u は攪乱項を表す。添字 i および t は、それぞれ、横断面と時系列を表す。したがって、ここでは、横断面および時系列の双方で傾きを表す係数は同一であるという制約を課している。なお、固定効果モデルが用いられる場合は、切片 $ \beta_{0} $ は横断面について異なる値をとる $ ^{3} $ 。

ここで逆の因果は、 $ y \neq g $ への影響を表す。つまり、逆の因果は、g を被説明変数とし y を説明変数とする別の構造方程式の存在を含意し、その結果、 $ y \neq g $ は同時方程式モデル内で決定される内生変数であることが示唆される。したがって、データ g は内生的に決定された均衡値として理解される。均衡値は各構造方程式に付される攪乱項にも依存するため、社会資本 g は攪乱項 u にも依存することになる。したがって、 $ g \neq u $ は漸近的に直交せず、(1)の最小二乗推定量は一致性を失ってしまう $ ^{4} $ 。

一般的に、このような同時性の問題は操作変数を用いた推定や連立方程式体系を同時推定する方法よって対処される。しかし我が国の先行研究では、（1）を固定効果モデル（地域ダミー）を用いて推定することによって同時性の問題に対処できるという考えが広く共有されている（e.g., 岩本ほか 1996, 吉田・井田 1999, 塩路 1999）。この主張は、以下で議論する2つの異なった原因による内生性を混同していることに起
因していると考えられる。

計量経済学における「内生性（endogeneity）」とは、単に説明変数と攪乱項の相関を示す言葉である。ここで留意すべきことは、均衡モデルを扱う経済理論では同時性のみが内生性を含意するのに対し、計量経済分析では同時性以外のケースからも内生性が含意されることである（e.g., Wooldridge 2001 pp.49-51.）。

典型的な例は、「除外された変数（omitted variables）」とよばれる、本来ならば含まれる説明変数が推定の対象となる回帰モデルから除外されているケースである。ここで、生産 $ y_{it} $ に関する真のデータ生成過程（DGP）が

$$ y_{i t}=\boldsymbol{\beta}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{l}l_{i t}+\boldsymbol{\beta}_{k}k_{i t}+\boldsymbol{\beta}_{g}g_{i t}+\boldsymbol{\beta}_{z}z_{i t}+\boldsymbol{\varepsilon}_{i t} $$

であるとしよう。ここで、 $ z_{it} $ は追加的な説明変数、 $ \beta_{z} $ はパラメータ、 $ \varepsilon_{it} $ はホワイトノイズ（i.i.d.）である。（2）を真の DGP とする場合に、変数 $ z_{it} $ を含まない（1）を推定すると、その攪乱項は

$$ \boldsymbol{u}_{i t}=\boldsymbol{\beta}_{z}z_{i t}+\boldsymbol{\varepsilon}_{i t} $$

となる。したがって、 $ l_{it} $ 、 $ k_{it} $ 、 $ g_{it} $ のうち少なくともひとつが $ z_{it} $ と相関すれば、それらは $ u_{it} $ とも相関することになり、（1）の最小二乗推定量は一致性を失う。例えば、 $ z_{it} $ を地域生産に正の影響を与える外生的な生産性要因としよう。公共投資が地域間の所得再分配を目的とするならば、外生的な生産性要因 $ z_{it} $ の劣る地域に多くの公共投資が行なわれるであろう。その結果、 $ z_{it} $ が劣る地域では社会資本量 $ g_{it} $ も増加することになるり、 $ g_{it} $ と $ z_{it} $ は相関する。

このように、最小二乗推定量に一致性を保証しないという点においては、除外された変数による内生性と同時性による内生性は同じ結果をもたらす。しかし、その問題の原因は質的に異なっており、各々の対処法に関しては応分の注意が必要である。以下では、この点を若干詳しく議論しよう $ ^{5} $ 。まず、（2）を

$$ \boldsymbol{y}=\boldsymbol{X}\boldsymbol{\beta}+z\boldsymbol{\beta}_{z}+\boldsymbol{\varepsilon} $$

と行列表記する。ただし、$\beta'\equiv[\beta_{0}\beta_{l}\beta_{k}\beta_{g}]$ である。横断面と時系列の観測値をプールする場合は、データはスタックされることになり、横断面方向の観測数を$I$、時系列方向の観測数を$T$とすると、サンプルの大きさは$n=I\times T$と表記される。$y$は$y_{it}$を要素
とする $ n \times 1 $ の列ベクトル、X は $ \left[1 \quad l_{it} \quad k_{it} \quad g_{it}\right] $ を行ベクトルとする $ n \times 4 $ の行列、z は $ z_{it} $ を要素とする $ n \times 1 $ の列ベクトル、ε は $ \varepsilon_{it} $ を要素とする $ n \times 1 $ の列ベクトルとなる。

ここで、zを除外したモデル（1）のOLS推定量は$\beta_{OLS}=(X'X)^{-1}X'y$であるから、真のDGPが（2）である場合は

$$ \boldsymbol{\beta}_{O L S}=\boldsymbol{\beta}+\left(\boldsymbol{X}^{\prime}\boldsymbol{X}\right)^{-1}\boldsymbol{X}^{\prime}\boldsymbol{z}\boldsymbol{\beta}_{z}+\left(\boldsymbol{X}^{\prime}\boldsymbol{X}\right)^{-1}\boldsymbol{X}^{\prime}\boldsymbol{\varepsilon} $$

となる。したがって、その probability limit は以下のようになる。

$$ \operatorname*{p l i m}_{n\to\infty}\beta_{O L S}=\beta+\operatorname*{p l i m}_{n\to\infty}\left(\frac{X\acute{X}}{n}\right)^{-1}\frac{X\acute{z}}{n}\beta_{z}+\operatorname*{p l i m}_{n\to\infty}\left(\frac{X\acute{X}}{n}\right)^{-1}\frac{X\acute{\varepsilon}}{n} $$

ここで、$\operatorname{plim}_{n\to\infty}(n^{-1}X^{\prime}X)^{-1}$ は positive definite であり、特定の値に収束するとしよう。

まず、同時性による内生性の問題は $X$ と $\varepsilon$ の関係に関わる問題であり、(3) の第 3 項 $\operatorname{plim}_{n\to\infty}(n^{-1}XX)^{-1}n^{-1}X\varepsilon$ に関係する。$X$ が外生もしくは先決ならば $\operatorname{plim}_{n\to\infty}(n^{-1}XX)^{-1}n^{-1}X\varepsilon=0$ となるが、既述の生産から社会資本への逆の因果が存在するならば、社会資本は（本来の意味で）「内生」となり、$\operatorname{plim}_{n\to\infty}(n^{-1}XX)^{-1}n^{-1}X\varepsilon\neq0$ となる。つまり、$\beta_{OLS}$ の一致性が失われる。つぎに、除外された変数による内生性の問題は $X$ と $z$ の関係に関わる問題であり、(3) の第 2 項 $\operatorname{plim}_{n\to\infty}(n^{-1}XX)^{-1}n^{-1}Xz\beta_{z}$ に関係する。ここで $X$ に含まれる説明変数の少なくともひとつが変数 $z$ と相関すると、$\operatorname{plim}_{n\to\infty}(n^{-1}XX)^{-1}n^{-1}Xz\beta_{z}\neq0$ となる。したがって、社会資本整備がこの除外された変数から影響を受けているのならば、$\beta_{OLS}$ の一致推定量ではないことがわかる。

双方の問題は適切な操作変数を用いることによって対処することができるが $ ^{6} $ 、除外された変数のみが問題となる場合は、必ずしも操作変数を必要としない。例えば、除外された変数が既知で、かつ、観測可能であるならば、単に当該変数を回帰式に含んで推定を行なえばよい。もちろん、通常問題となるのは、除外された変数は既知ではあるが観測不可能である場合や、除外されている変数自体が未知で特定できない場合である。ここで、同時性による内生性が存在しないという仮定のもと、除外された変数に関する仮定を若干緩め、当該変数が時系列的に固定されている場合（ $ z_{it}=z_{i} $ ）を考えよう。この場合、横断面の単位（i）別の時系列データのみを用いた推定では、切片「 $ \beta_{0}+z_{i} $ 」以外の傾きを表す係数は最小二乘法によって適切に推定される。同様に、横断面と時系列面のデータをプールして推定する場合も、横断面に関して固定効果モデ
ル（切片に関する地域ダミー）を用いることによって、傾きの係数に関して適切な最小二乗推定量を得ることができる。

一方、$\operatorname{plim}_{n\to\infty}(n^{-1}X^{\prime}X)^{-1}n^{-1}X^{\prime}\varepsilon\neq0$ となることに起因する同時性（=逆の因果）による内生性は操作変数を用いた推定や連立方程式体系の同時推定よって対処するしかない。この場合は、$z_{it}=z_{i}$ という仮定のもとで、固定効果モデルを最小二乘法で推定し、除外された変数による内生性に対処したとしても、$\operatorname{plim}_{n\to\infty}(n^{-1}X^{\prime}X)^{-1}n^{-1}X^{\prime}\varepsilon\neq0$ はそのままであるから、最小二乗推定量は一致推定量とならない。つまり、岩本ほか（1996）吉田・井田（1999）、および、塩路（1999）などの主張とは反対に、固定効果モデルを用いるだけでは、逆の因果（=同時性）による内生性には対処できない。

このように、岩本ほか（1996）が「同時性」という言葉で表した問題は、三井ほか（1995）が指摘した同時性による内生性の問題ではない。前者が提起した論点は、米国における社会資本の実証分析においてHotlz-Eakin（1994）が指摘していた、除外された変数による内生性の問題に関する論点を、我が国の文脈の中で明示したものとして理解されるべきであろう $ ^{7} $ 。

### 3. ストックデータのタイミングと同時性

### 3.1 公共投資の同時性と社会資本の同時性

前節で議論した社会資本の同時性を考える場合は次の2点に注意する必要がある。第1は、逆の因果のタイミングである。同時性が問題になる場合は、その言葉が含意するように、逆の因果は同じ期間に発生せねばならず、時間的な遅れが存在してはならない。しかし、一部の研究ではこの点が十分に認識されておらず、例えば、江尻ほか（2001, p.80）は、VAR（vector autoregression）モデルを用いて逆の因果や同時性バイアスを議論している。もちろん、ラグ付きの変数間の関係を描写するVARモデルは、同時期において発生する逆の因果（=同時性）に対処するものではない。VARがラグ
を含む同時方程式関係から導出される誘導型として解釈される場合があるように（Hamilton 1996, pp.326-7）、それは同期間の因果関係や経済変数間の構造を直接描写するものではないからである。

第2は、同時的な逆の因果は、「生産」から「社会資本」ではなく、「生産」から「公共投資」へ発生しているという点である。したがって、所与の期間において社会資本が逆の因果の影響をうけるためには、公共投資が瞬時に生産能力をもった社会資本として蓄積することを前提としなければならない。実際、社会資本の同時性を議論している先行研究（e.g., 三井ほか 1995, 岩本ほか 1996）では、表現上、「公共投資」と「社会資本」は相互に交換可能な形で使用されており、公共投資の瞬時的な生産効果を暗黙的に前提としているようである。また前節の分析においても、同時性の問題を議論するために、そのような前提を設けていたことに留意したい。

したがって、社会資本に対する逆の因果が問題となるためには、①所与の期間の公共投資が同時期の生産に影響をうけること、そして、②公共投資が瞬時に生産力をもった社会資本として蓄積することが条件となる。本節では、条件①を所与として $ ^{8} $ 、条件②に関して考察を加えたい。

期間 t における公共投資が同期の生産に貢献するケースは、t 期の社会資本データが同期の公共投資を含んでいるケースに対応し、社会資本データが同期の公共投資を含むか否かは社会資本データが測られるタイミングに依存する。既存研究では、t 期の社会資本を測るタイミングとして、(a)t 期首（t-1 期末）（b)t 期末（t-1 期首）、そして、(c)t 期首（t-1 期末）値とt 期末（t 期首）値との単純平均、以上3つが利用されている $ ^{9} $ 。したがって、社会資本の同時性が問題となるのは、社会資本量が同期の公共投資額を含む（b）と（c）である。社会資本が期首値（前期末値）となる（a）では、攪乱項が時系列的に独立している限り、社会資本の同時性は問題とならない。期首値（前期末値）は、当期の公共投資が反映されない先決変数であるため、時系列的に独立した攪乱項と漸近的に直交するからである $ ^{10} $ 。

このように社会資本の同時性はストックデータのタイミングに依存し、第5節で述
べるように、ストックデータのタイミングは操作変数の選択を通じてパラメータ推定に決定的な影響を与える。しかしながら、既存研究では社会資本の同時性の問題が重要であると繰り返し主張されているにもかかわらず、ストックデータのタイミングの重要性は十分に認識されていないようである。このことは、表1に示すように、大半の先行研究では使用データの説明においてストックデータのタイミングは明記されておらず、また、明記されている場合でも、畑農（1998）や土居（2000）を例外として、特定のタイミングを利用した理由は述べられていないことからも伺い知れる。

表 1. ストックデータのタイミング

タイミング	先行研究
期首（前期末）	Asako/Wakasugi(1984)、堀(1989)、岩本(1990)、宮原(1998)
期末	吉野・中野(1994)、三井ほか(1995)、楊(1997)、金内(1998)、井田・吉田(1999)、土居(2000)、石川(2000)、遠藤(2002)
期首と期末の平均	三井・井上(1995)、畑農(1998)
明記なし	浅子・坂本(1993)、浅子ほか(1994)、西垣(1994)、大河原・山野(1995)、吉野・中野(1996)、岩本ほか(1996)、林(1997)、坂本(1998)、別所(1999)、奥井(2000)、吉野ほか(1999)、野崎(1999)、長島(2000)、臼木・山田(2000)、光多(2000)、田中(2001)、大河原ほか(2001)

#### 3.2. 期首（前期末）值办期末值办

このように資本データのタイミングについては複数の可能性が考えられるが、本稿では期首（全期末）値で測られたデータが用いられるべきと考える。既述のように、誤差項の系列相関がコントロールされているのならば、期首データを用いることによって逆の因果による内生性の問題は簡単に回避することができる。しかし、それは本稿の主張の結果であり理由ではない。本稿の主張の本来の理由は以下の通りである。

第1に、ストック（社会資本）とフロー（生産）の因果関係に関して説得的な解釈が可能となる。ここで検討しているのは、1時点に存在するストック（社会資本）が特定期間に生み出されるフロー（生産）に与える効果である。結果（生産）が生まれ
る以前に原因（社会資本）が存在しなければならないならば、期首（前期末）値を用いることによって、社会資本が先ず存在し、その数量を一定期間利用して生産が生み出されるという自然なプロセスがはじめて可能となる。一方、社会資本に期末値を用いるのならは、当該期が終わる瞬間に当該期間の全ての生産が行なわれるという不自然な仮定を設けなければならない。

第2に、標準的な動学モデルでは、特定の期間に行なわれる投資は、次期以降の資本として蓄積することによって将来の生産に貢献するように概念化される（e.g., Romer 1996）。例えば、離散的な動学的最適化問題では、過去の投資蓄積の結果である資本は「状態変数（state variable）」とよばれ、当該期では選択の対象とならない先決変数として扱われる。このような代表的な理論モデルの設定を用いると、ストックデータは期首（前期末）値で測られることになる。

第3に、日常言語として「投資」とは「将来（来期以降）の便益」のために「現在（当期）の便益」を犠牲にすることを意味する。一方、今期末データや期首期末の平均値を用いると同期の投資が同期の生産（=同期の便益）に貢献するような設定となってしまい、同期の便益を犠牲にするという投資の本来の定義に反することになる。

第4に、完了直後に生産効果を発現する公共投資の量は比較的少ないと考えられる。Nose（1973）は、公共投資が行なわれてから社会資本が生産効果を有するまで平均して約7年間の懐妊期間を要すると分析している。能勢（1982）自身が認めるように、この数字には若干の注意が必要であるが、少なくとも瞬時に効果を発揮する公共投資は量的には大きくないと考えられよう。さらに公共投資額として用いられる、公的固定資本形成や行政投資実績には当該年度内に完成しない事業への支出額が含まれている。したがって、実際のデータには当該年度に効果を発揮しない部分が相当あると考えてよい。しかし、公共投資データの大部分は短期的には生産効果をもたないとしても、それらは乗数効果を通じて生産量自体には影響を与えるであろう。このとき当該期の公共投資を含むストックデータを用いると、本来は除外されるべき短期的な乗数効果が、社会資本の「生産効果」として推定される場合がある（e.g., Gramlich 1994）。

第 5 に、期首値と比べて他のタイミングが好ましいという積極的な理由が存在しない。例えば、期間途中で整備が完了した社会資本の当該期間の生産に対する効果を適切に把握するために、期首値ではなく期首期末の平均値や期末値が使用されるべきという主張があるかもしれない。しかし、そのような公共投資量は既述のごとく小量であると考えられるし、また、たとえ期間途中で完了した公共投資が瞬時的に同期の生
産に影響を与えるとしても、そのような効果が今期末や値期首期末の平均値によって期首値よりも適切に把握できると分析的に示すことは困難であろう。

以上より、所与の期間の社会資本データから同期の公共投資量を除くこと（期首値を用いること）の不都合は、除かないこと（他のタイミングを用いること）の不都合よりも小さいと考えられる。もちろん、期首（前期末）値を使用することによって、問題の程度は和らぐにしても、全ての問題が解決されるわけではない。特に懐姫期間や複数年度にわたる公共事業による問題は、期首（前期末）値を用いるだけでは根本的な解決は困難である。このような場合は、社会資本の生産効果に対してさらに長い時間的な遅れを想定する必要がある。この側面は、次節で議論するような単なる攪乱項の自己回帰過程で処理できるかもしれないし、より複雑でダイナミックな生産関数の特定化を必要とするのかもしれない。

### 4. 攪乱項の系列相関と社会資本の内生性

横断面データのみや非連続的な時系列データを用いた研究では系列相関を明示的に考慮することは困難である。連続した時系列データを用いた研究に絞っても、系列相関に配慮して推定を行なっているのは表2に示す研究を数えるのみである。したがって、我が国の社会資本の実証分析では系列相関の問題は十分に配慮されていないと考えてよいであろう。

表 2. 系列相関

タイミング	先行研究
期首（前期末）	Asako/Wakasugi（1984）、岩本（1990）
期末	遠藤（2002）
期首と期末の平均	三井・井上（1995）、畑農（1998）
明記なし	浅子・坂本（1993）、西垣（1994）、吉野ほか（1999）、長島（2000）
攪乱項が系列的に相関していたとしても、その度合が極端に大きくならない限り、回帰式内のパラメータの最小二乗推定量は一致推定量となる $ ^{11} $ 。しかし、その推定量の標準誤差は一致性をもたないため、系列相関が存在すると、パラメータ推定量に関して誤った仮説検定が行なわれるおそれがある。

また、攪乱項の系列相関は、社会資本の生産効果の推定において社会資本量に期首（前期末）値を用いる場合においても内生性の問題を生じさせる $ ^{12} $ 。ここで、（1）の攪乱項 $ u_{it} $ がp階の自己回帰過程

$$ u_{it}=\sum_{j=1}^{p}\mathsf{\rho}_{j}u_{it-j}+\mathbf{\omega}_{it} $$

に従うと仮定しよう。ただし、$\omega_{it}\sim\mathrm{i.i.d.}(0,\sigma_{\omega}^{2})$ である。ここで、生産は $Y_{it}\equiv\exp\{y_{it}\}=\exp\{\beta_{0}+\beta_{l}l_{it}+\beta_{k}k_{it}+\beta_{g}g_{it}+u_{it}\}$ と表されるので、前期の攪乱項 $u_{it-1}$ は前期の生産 $Y_{it-1}$ に影響を与えることは容易に理解できる。さらに、$G_{it}\equiv\exp\{g_{it}\}$ を社会資本の t 期の期首値（t-1 期の期末値）$\delta_{it}$ を減耗率、$Q_{it}$ を公共投資すると、$G_{it}=(1-\delta_{it-1})G_{it-1}+Q_{it-1}$ となるから、生産が公共投資に影響を与えるならば、その影響は前期の公共投資を介して今期の社会資本 $g_{it}=\ln G_{it}$ に影響を与える。つまり、$u_{it-1}\rightarrow y_{it-1}\rightarrow Q_{it-1}\rightarrow g_{it}$ というルートを迎って前期の攪乱項 $u_{it-1}$ は今期の社会資本に影響を与える。さらに、(4)より、今期の攪乱項 $u_{it}$ も $u_{it-1}$ の影響をうける。したがって、$g_{it}$ と $u_{it}$ はともに $u_{it-1}$ から影響をうけ、社会資本 $g_{it}$ は攪乱項 $u_{it}$ と相関する。つまり、系列相関（4）を考慮しない（1）の最小二乗推定量は一致推定量ではない。

このように系列相関は推定量に複数の問題をひきおこすことになるが、系列相関を考慮している研究は既述のように少数であり、また、考慮している場合でもその対処方法は限定的である。例えば、浅子・坂本（1993）はランダム・ウォーク（$p=1,\rho=1$）のみを想定して変数の階差をとることで対処している。他の研究においては、1階の系列相関を想定して、Beach-MacKinnon法（Asako and Wakasugi 1984，西垣1994，三井・井上1995，畑農1998）、Cochrane-Orcutt法（長島2000，遠藤2002）、および、Hildreth-Lu法（吉野ほか1999）が用いられている。また、これらの方法を用いると、第5節で議論する社会資本以外の説明変数の同時性に対処することが困難になる。実際、系列相関を考慮した研究においては、変数の差分を用いた浅子・坂本（1993）を
例外として、他の変数の同時性は考慮されていない。一方、説明変数の同時性が考慮されている他の研究では、攪乱項の系列相関は考慮されていないようである。

しかし、攪乱項の系列相関と説明変数の同時性を同時に対処することは容易である。

まず（1）から導出される

$$ \boldsymbol{u}_{i t}=\boldsymbol{y}_{i t}-(\boldsymbol{\beta}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{l}l_{i t}+\boldsymbol{\beta}_{k}k_{i t}+\boldsymbol{\beta}_{g}g_{i t}) $$

という関係を（4）に代入し、それをさらに（1）の攪乱項として明示すれば、次の非線形回帰モデルを導出することができる。

$$ \begin{aligned}y_{it}&=\boldsymbol{\beta}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{l}l_{it}+\boldsymbol{\beta}_{k}k_{it}+\boldsymbol{\beta}_{g}g_{it}\\&\quad+\sum_{j=1}^{p}\mathsf{p}_{j}\left[y_{it-j}-(\boldsymbol{\beta}_{0}+\boldsymbol{\beta}_{l}l_{it-j}+\boldsymbol{\beta}_{k}k_{it-j}+\boldsymbol{\beta}_{g}g_{it-j})\right]+\mathbf{\omega}_{it}\end{aligned} $$

ここで\omega_{it} は i.i.d.であるから、社会資本が期首(前期末)値として計測されている限り、既述の内生性の問題は生じない。したがって、他の説明変数も外生ならば、(5)を非線形最小二乘法で推定すれば適切な推定量を得ることができる。一方、他の変数に同時性が認められるならば、非線形操作変数法を用いて(5)を推定することによって、攪乱項の系列相関と説明変数の同時性を同時に対処することができる $ ^{13} $ 。

系列相関の存在は、モデル（5）を対立仮説とした帰無仮説 $ \rho_{j}=0\quad\forall j $ を検定することによって検討できる。ただし、帰無仮説が棄却されたとしても、必ずしも（5）が正しいモデルであるとは限らない。そもそも回帰モデル（1）が誤って特定化されている場合、本来なら攪乱項が系列的に独立しているにもかかわらず、系列相関を示唆するような検定結果が得られるからである（e.g., Hendry 1980）。したがって、（5）に関して共通要因制約（common factor restrictions）の検定を行なうことによって、この「みせかけ」の系列相関を検討する必要がある（e.g., Hendry 1985）。この場合の共通要因制約検定とは、（5）をネスト（入れ子に）する

$$ y_{i t}=\boldsymbol{\phi}_{0}+\sum_{j=0}^{p}\left(\boldsymbol{\phi}_{l j}l_{i t-j}+\boldsymbol{\phi}_{j k}k_{i t-j}+\boldsymbol{\phi}_{j g}g_{i t-j}\right)+\sum_{j=1}^{p}\boldsymbol{\phi}_{y j}y_{i t-j}+\boldsymbol{\omega}_{i t} $$

という対立仮説に対して帰無仮説（5）を検定する特定化テストである。帰無仮説（5）が棄却される場合は、他の正しい特定化の存在が強く示唆されることになる。
既存研究では、特定化（5）を利用して系列相関に対処している研究は存在せず、その結果、系列相関と説明変数の内生性を同時に考慮した推定や（5）を検定する共通要因制約検定は行なわれていない。前節で議論した社会資本の懐妊期間の問題や複数年度にわたる公共事業による問題から理解できるように、社会資本の生産効果はダイナミックなプロセスを明示することによって適切に分析できるかもしれない。この意味において、系列相関に対する適切な対処や共通要因制約検定を通じた動学的なモデル・ビルディングは、今後の社会資本研究における重要な課題と考えられよう。

### 5. 労働・民間資本の同時性と操作変数の選択

#### 5.1. 同時性の対処法と操作変数の選択基準

標準的な経済理論を前提とすると社会資本以外の説明変数も同時方程式体系内で決定される内生変数となる。したがって、理論的には社会資本以外の変数に関しても同時性が認められることに。しかし、同時性の問題に対処しているのは表3に示す研究のみであり、特に社会資本以外の同時性を考慮しているのは、浅子・坂本（1993）浅子ほか（1994）、吉野・中野（1994）、三井・井上（1995）、三井ほか（1995）、畑農（1998）および、土居（1998, 2000）に限られる。

表 3. 説明変数の同時性とその対処法

内生变数	操作变数法	FIML
労働
民間資本
社会資本	浅子・坂本（1993）
浅子ほか（1994）
吉野・中野（1994）
三井・井上（1995）
土居（1998,2000）
社会資本	三井ほか（1995）
労働	畑農（1998）
同時性に対処する推定方法としては、操作変数法 $ ^{14} $ （IV）に加え、完全情報最尤法（FIML）、および、部分情報最尤法 $ ^{15} $ （LIML）がある。例えば、三井ほか（1995）や畑農（1998）はFIMLを用いて推定を行なっている。FIML推定量は同時方程式体系を構成する全ての構造方程式を特定化し、それらを最尤法によって同時推定するものである。しかし、よく知られている通り、いずれかの構造方程式が1つでも誤って定式化されていれば、全ての構造方程式におけるパラメータの推定量は一致性を失うことになる（e.g., Davidson and MacKinnon 1993, pp.637-44）。この意味において、三井ほか（1995）における「投資関数」や畑農（1998）における「労働供給関数」は、十分に精査される必要があるかもしれない。さらに、三井ほか（1995）においては社会資本のみが、畑農（1998）においては労働供給のみが内生変数としてモデル化され、他の変数の内生性は問われていないことも留意するべきであろう。

LIML は FIML のように全ての構造方程式を特定化する必要はないが、体系内の先決および外生変数を全て特定化する必要がある。しかしながら、FIML の場合と同様に、そのような変数を特定化することは容易ではないであろう。実際、LIML を用いて社会資本の生産力効果を推定した研究は存在しないようである。

（1）のような単一の構造方程式におけるパラメータの推定が目的ならば、操作変数のみを特定化する操作変数法が最も制約の少ない推定方法と考えられる。実際、我が国の研究では、操作変数法が最も頻繁に利用されている（e.g., 浅子・坂本 1993, 浅子ほか 1994, 吉野・中野 1994, 三井・井上 1995, 土居 1998, 2000）。その一方で、幾つかの研究は操作変数法に対して懸念を示している（e.g., 三井・井上 1995, 岩本ほか 1996, 吉野ほか 1999）。特に、操作変数の選択には客観的な基準が存在せず、操作変数は一意に決定することができないため、操作変数の選択によっては推定値が複数存在してしまうことが問題とされている。

実際には、操作変数の選択には緩いものではあるが幾つかの基準が存在し、また、操作変数の妥当性を検定する方法も存在する。まず、当然のことながら、操作変数の選択基準としては、操作変数が攪乱項と直交することが条件となる。また、同時方程式体系内の外生・先決変数を全て操作変数とすれば漸近的に最も有効な推定量が得られることも知られている。ただし、後者は実際的な問題を孕んでいる。まず、同時方
程式体系における全ての外生・先決変数を正しく特定化しなければならない。また、標本の規模と比較して先決・外生変数（＝操作変数）の数が大きくなると、有限標本分布におけるⅣ推定量のバイアスも大きくなることが知られている（e.g., Anderson and Sawa 1979, Buse 1992）。さらに大規模な同時方程式モデルを前提とする場合は、外生・先決変数の数が標本規模を上回り、Ⅳ推定量自体が定義されないかもしれない。

したがって、操作変数の選択においては、次のような実際上のルールで補完されるべきであろう。まずは、推定の対象となる回帰モデルに含まれる外生・先決変数を全て操作変数とすることである。外生・先決変数であるから直交条件は満たされているし $ ^{16} $ 、当該式の外生・先決変数であるから必然的に有効性を満たす操作変数のセット（＝同方程式体系の外生・先決変数）の一部分となる。つぎに、推定されるパラメータ数がmであるとき、操作変数の数nを $ n\geq m+2 $ とすることである。これは、Ⅳ推定量の有限標本分布におけるモーメントの最大次数はm-nである（e.g., Kinal 1980）から、Ⅳ推定量が有限標本分布で平均と分散を有するための条件となる $ ^{17} $ 。一方、操作変数の数の上限は、有限標本分布におけるⅣ推定量のバイアスが大きくならないように標本の規模と比較して決定されることになる。

したがって、回帰モデルに含まれる先決・外生変数の数が $ n \geq m + 2 $ とならない場合には、連立方程式内で外生もしくは先決変数と考えられる変数から操作変数を追加的に選択しなければならない。ここで、変数選択に恣意性が入り込むことになる。また、同時方程式体系内の外生・先決変数が既知でない場合もある。その場合は、推定の対象となる回帰式に含まれる内生変数と殆ど相関しない変数（weak instruments）が選択される可能性がある。特に、近年の研究（Bound et al. 1995, Staiger and Stock 1997）では、weak instruments を用いると、有限標本分布における IV 推定量のバイアスが拡大するだけではなく、漸近的な特性に関しても問題が生じることが指摘されている $ ^{18} $ 。

しかし、操作変数の妥当性は、推定の対象となる回帰モデルの特定化の妥当性とともに、過剰識別制約(over-identifying restrictions)を検定することによって判断できる。また、weak instruments による問題に対しても、内生変数を操作変数に回帰させる第1
段階の回帰分析からの F 統計量（Bound et al. 1995, Staiger and Stock 1997）や操作変数の選択過程における第 1 段階の決定係数の変動の度合（Buse 1992）からある程度の判断を下すことができる $ ^{19} $ 。しかしながら、我が国の先行研究では、操作変数の選択に関して懸念が頻繁に表明されるにもかかわらず、このような操作変数の妥当性に関する検討を行っているのは、過剰識別制約を検定した土居（2000）だけであった。

#### 5.2. 説明変数の同時性と操作変数の選択

既述のように、標準的な経済理論を前提とすると、社会資本以外の説明変数も均衡モデル内で決定される内生変数となる。以下では、既存研究において、社会資本以外の説明変数が、この同時性の観点からどのように扱われているかを概観しよう。

まずは労働である。Mera（1973）は、我が国の雇用慣行を考えると労働の同時性は無視できると議論している。Mera（1973）では労働データとして「雇用者数」を使用しており、当該変数に限れば、この議論はある程度妥当性をもつかもしれない。しかし、既存研究で「労働」として頻繁に用いられているデータは「労働時間」である。畑農（1998）が議論するように、我が国では労働時間の調整を通じて景気循環に対応した雇用調整が行なわれてきた。この点を考慮すると、労働が時間単位で計測されているのならば、同時性の問題は十分に懸念されるであろう。しかし、労働の同時性を考慮しているのは、浅子・坂本（1993）、浅子ほか（1994）、吉野・中野（1994）、三井・井上（1995）、畑農（1998）、および、土居（1998, 2000）のみである。

次は民間資本である。民間投資は生産に影響をうけると考えられるため、社会資本と同様、民間資本に期末値が用いられる場合には同時性が存在する。しかし、攪乱項の系列相関がコントロールされ、かつ、期首（前期末）値が用いられるならば、民間資本データそのものには内生性の問題は存在しない。ただし、生産技術を適切に推定するためには、多くの既存研究が行なっているように、稼働率を用いて民間資本値を調整する必要がある。表4に示すように、大多数は民間資本に稼働率を乗じて稼働率調整済みの民間資本を算定している。一方、三井・井上（1995）および、畑農（1998）は対数線形型の生産関数の特徴を生かし、稼働率調整前の民間資本（対数）に加え、稼働率（対数）を独立した説明変数として利用している。ここで注意しなければなら
ないのは、民間資本の稼働率は景気（生産）の影響をうけることである。つまり、生産から稼働率へ逆の因果が存在することになり、稼働率で調整された民間資本には同時性の問題が存在する $ ^{20} $ 。しかしながら、この点を明示している先行研究は少なく、推定において稼働率の同時性に対処しているのは、浅子・坂本(1993)、浅子ほか(1994)、および、土居（2000）を数えるだけである。

説明変数の同時性を正しく認識することは非常に重要である。例えば、労働の同時性が看過される場合は、同時性をもった変数（＝労働）が操作変数として使用されることになり、推定量の一致性が失われる。また、期首（前期末）の社会資本値が誤って内生変数とされる場合では、操作変数から連立方程式内の先決変数たる社会資本が除外されることによって、推定量の有効性が失われる。さらに、攪乱項の系列相関を正しく把握することも大切である。しばしば操作変数としてラグをとった変数が使用されるが（e.g., 浅子・坂本 1993, 浅子ほか 1994, 吉野・中野 1994, 三井・井上 1995, 土居 1998, 2000）第4節の議論から理解できるように、攪乱項に系列相関が存在すると、ストックデータのラグ値は攪乱項と相関してしまう。したがって、系列相関がコントロールされていないと、そのようなラグ付きのストックデータは操作変数として不適切となる。

表 4. 稼働率の取扱い

稼働率の同時性	民間資本を稼働率で調整	稼働率を独立の変数として使用
考慮	浅子・坂本（1993）
浅子ほか（1994）
土居（1998,2000）
考慮せず	Asako/Wakasugi（1984）
堀（1989）、畑農（1998）
岩本（1990）、西垣（1994）
吉野・中野（1994）
坂本（1998）、別所（1999）
臼木・山田（2000）、遠藤（2002）	畑農（1998）
三井・井上（1995）
#### 5.3. 内生性の検定

このように回帰モデル内の説明変数に同時性が存在することが示唆されるにもかかわらず、我が国の多くの社会資本の実証分析では最小二乗法が用いられている $ ^{21} $ 。もちろん、経済理論によって同時性が示唆される場合でも、計量分析においては、Hoch（1958）やZellner et al.（1966）などが示した特殊な条件 $ ^{22} $ のもとでは、同時性が問題とならないケースが存在する。また、理論から含意される変数の特性と実際のデータの特性は必ずしも同一であるとは限らないかもしれない。したがって、実際には同時性はそれほど問題にならないかもしれない。

同時性が存在しない場合に操作変数を用いても一致性は保持されるが、最小二乗推定量と比較して有効性が犠牲となる。この有効性の喪失が懸念される場合は、Durbin-Wu-Hausman 検定（DWH 検定）を用いて最小二乗推定量の一致性を検定すればよい $ ^{23} $ 。この仮説が棄却できなければ、最小二乗法を用いて推定することも適切であるという含意を得る。欧米の研究では、Garcia-Milà et al.（1996）が最小二乗法を正当化するために、DWH 検定を行っているが、最小二乗法を用いている我が国の研究においては同検定を行いて自らの推定方法を正当化している実証分析は存在しない。

### 6. 結語

本稿では社会資本の生産効果の推定における「同時性」に関し、我が国の既存研究の多くが看過していた計量分析上の論点を整理した。ここで議論された論点は、同時性の適切な認識、ストックデータのタイミングとその含意、攪乱項の系列相関、および、労働投入と民間資本稼働率の内生性ならびに操作変数の選択という観点である。これ
らの論点から適切な推定方法を議論し、それに照らし合わせて我が国の先行研究を批判的にレビューした。その結果、表1～4から理解できるように、本稿で整理した論点を全て適切に対処した既存研究は存在しないことが示された。

本稿では「同時性」という観点から議論を進めたため、生産関数による社会資本の効果の推定において重要とされる他の争点を検討することはできなかった。我が国の研究で既に社会資本との関連で実証分析が行なわれているトピックとしては、社会資本の地域間スピルオーバー（e.g., 三井ほか 1995, 井出 1997, 塚井ほか 2002）、集積の経済（e.g., Kanemoto et al. 1996, 金本・斎藤 1998, 伊田波 2000）、および、時系列分析におけるデータの定常性の問題（e.g., 高橋 1996, 土居 1998, 畑農 2000）、などがある。また、本稿でも触れた「懐妊期間」の詳しい検討、および、懐妊期間の存在から示唆される生産効果の動学的な波及形態の実証も重要な研究課題である。これらの論点は、実証分析上、興味深い論点と問題を提示しているように考えられるが、それらに関しては稿を改めて考察を加えたい。

## 参考文献

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