Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
評価結果	目標達成度合いの測定結果	(各行政機関共通区分) 目標達成
1. リモートセンシング衛星に関するユーザニーズ調査防災等のため、関係行政機関や民間事業者等に多目的に利用できるリモートセンシング衛星の複数機の一体的な整備に関し、衛星画像のユーザニーズ調査を実施。2. 衛星分野に係る技術動向の調査我が国が強みを有する技術、ユーザニーズに応えている技術、産業部門へのスピンオフの可能性などを明らかにすることを目的に、衛星分野に係る研究開発部門が保有する技術の調査・分析を実施。また、今後の我が国衛星産業の方向性としてどのような戦略及び強化策が必要となるかを明らかにすることを目的に、国内・海外の衛星製造産業における産業構造・特性及び衛星に関する技術力の調査・分析を実施。3. 海外動向調査我が国が将来保有すべき技術の特定に役立てるために、欧米諸国等(国と地域10か所程度、組織及び機関合計35か所程度について以下の事項について調査を実施。・各国・地域における現在のリモートセンシング衛星・将来性衛星計画の把握と、想定している利用分野、サービス、提供形態・政府製造の衛星のみならず、米国、カナダ、欧州(英、仏、独、伊)の研究開発機関、民間衛星製造事業者の動向調査を実施。4. 関係行政機関や民間事業者のユーザニーズ等を満たす衛星システムの具体的仕様の検討1. において調査したユーザニーズは多岐に及んでいたため、複数の仮想の衛星システムを設定し、これらの衛星システムとユーザニーズの適合度を指標として評価して、共通的にニーズを満たす衛星システムの組合せを選択する方法により実施。
施策の分析	(有効性、効率性)今回の各調査でリモートセンシング衛星に関するユーザニーズやユーザニーズに合致した複数の衛星システムモデル(案)などの有用な調査結果を得ることができた。また、リモートセンシング衛星について、内閣府、文部科学省、経済産業省3省合同により、リモートセンシング衛星政策に係る基礎資料の調査を実施し、宇宙政策を省庁横断的に実施する礎を築けたという点、点在していた情報が広域災害監視衛星ネットワーク関係調査事業 報告書(2015年3月31日)にて集約できた点で成果は大きい。一方、リモートセンシング衛星は、各省の具体的な政策ニーズに基づいて計画されているものであり、今回の調査のような演繰的な手法により、政府衛星アセットの在り方の検討を行うことが困難であるということが、関係府省間にて共有できた。(課題等)調査内容に対し調査期間が短かったことから、調査の項目によってはもう少し深掘できたのではないかというものがあった。
次期目標等への反映の方向性	【施策】本施策は単年度の調査事業であるため、平成26年度の結果は宇宙開発利用の推進の今後の調査の方向性を決めるために活かし、更なる利用拡大を図る施策の資とする。
学識経験を有する者の知見の活用	—
政策評価を行う過程において使用した資料その他の情報	—
担当部局名	宇宙戦略室	作成責任者名	末富参事官	政策評価実施時期	平成27年8月
ESRI Discussion Paper Series No.219

主成分分析によるマクロ経済パネルデータの

共通ファクターの抽出とその利用

飯星 博邦

July 2009

內閣府経済社会総合研究所

Economic and Social Research Institute

Cabinet Office

Tokyo, Japan
# 主成分分析によるマクロ経済パネルデータの 共通ファクターの抽出とその利用 $ ^{*} $

飯星 博邦 $ ^{†} $

首都大学東京 大学院 社会科学研究科

## 概要

本稿では欧米において近年注目されている Stock and Watson (1998, 2002a,b) の Diffusion Index の推定法を日本の約 120 系列のマクロ経済パネルデータに適用し、これから共通ファクターを景気動向指数 (Diffusion Index) として抽出した。さらにこの共通ファクター (因子) を利用して、主要マクロ経済変数の 12 系列の予測およびこの予測値を用いた Forward-looking 型 テイラールの推定をおこなった。この推定結果から、抽出した共通ファクターは経済活動の先行指数として有用な情報を有していることが暗示された。このマクロ経済の大規模パネルデータから共通ファクターを抽出する Stock and Watson (1998, 2002a,b) の手法は、近似ダイナミックファクターモデル (Approximate Dynamic Factor Model) と呼ばれる主成分分析をベースとした比較的簡単な計算で行える推定手法である。本稿では彼らの手法およびこの一連の最新研究に関するサーベイもあわせて行う。

$ ^{*} $ 本稿は、2009年1月での内閣府経済社会総合研究所の「景気動向指数に関する研究会」および3月の景気日付研究会の小田原コンファレンス、6月のESRIセミナーにおいて、内閣府経済社会総合研究所の岩田一政所長、中藤泉次長、杉原茂部長、岡田靖氏、矢野浩一氏、および浅子和美先生（一橋大学）、飯田泰之先生（駒沢大学）、小巻泰之先生（日本大学）、福田慎一先生（東京大学）、村澤康友先生（大阪府立大学）、山澤成康先生（跡見学園女子大学）、渡部敏明先生（一橋大学）、研究会およびセミナー参加者より貴重なコメントを頂いた。なかんずく飯田泰之先生にはESRIセミナーにおいて討論者をお引き受けいただき多岐にわたるコメントを頂いた。また、日本経済研究センターの猿山純夫部長、松岡秀明氏、蓮見亮氏からもデータの提供および研究に対する有意義なコメントを頂戴した。ここに感謝を表したい。なお、本稿に残された誤りは筆者の責任に負うものである。

$ ^{\dagger} $ e-mail: iiboshi@tmu.ac.jp
# The Extract and Usage of Common Factors of Macroeconomic Panel Data by Principal Component Analysis

Hirokuni Iiboshi

Graduate School of Social Science, Tokyo Metropolitan University

## Abstract

In this paper, we extract common factors from nearly 120 series of Japanese macroeconomic Panel Data as the diffusion index of business cycles, using the estimation method proposed by Stock and Watson (1998, 2002a,b). This model referred to as Approximated Dynamic Factor Model, can be estimated from rather easy methods based on principal component analysis. In addition, using these common factors, forecasting for principal macroeconomic time series and estimating forward looking Taylor rule are implemented. The estimation result suggests the common factors have useful information on forward-looking economic activities. This paper is also the survey dealing with advanced studies of Approximated Dynamic Factor Model in the Western countries.
## 1 はじめに

日本のマクロ経済分析において、バブル崩壊以前では、マクロ経済のスペシャリストやエコノミストが長年培った経験則（マクロ計量モデルも含めて）により代表的なマクロ経済変数の分析のみで景気変動の分析と予測が可能であり、また彼らの間にコンセンサスが得やすい状況であったが、いわゆる「失われた10年」と呼ばれる90年代以降、景気変動や景気転換点の測定をするためには数少ないマクロ経済時系列を使っただけでは容易に判断することができなくなってきているように思われる。この原因として考えられるのは、バブル崩壊以降、経済構造やそれを取り巻く環境の変化によって、マクロ経済系列の個々の変数間に、以前に見られた安定的な相関関係に齟齬が生じ、数少ないマクロ経済変数の挙動から、過去の経験則を生かした推定法が通用しなくなったのではないでろうか。

そこで、Burns and Mitchel (1946) の景気循環の定義「景気循環とは、マクロ経済時系列の共通変動である。」に立ち返り、120 系列という大規模なマクロ経済系列 (パネルデータ) から共通変動 (Comovement) を抽出し、あらためて個々の経済変数と共通変動の関係性を捉え直し、さらにこの共通変動に対して現在政府が判定している景気転換点 (景気基準日付) や GDP の変動を比較・吟味することで「景気循環とは何か」という問に対する考察の一助としたい。実際、欧米においても大規模な系列数をもつマクロ経済のパネルデータの共通成分を分析する手法が近年着目されており、その開発が進んでいる。Stock and Watson (1998, and 2002a,b) は、近似ダイナミックファクターモデル (Approximate Dynamic Factor Model) を使って大規模なマクロ経済系列 (パネルデータ) から共通変動を抽出して、これを景気動向指数 (Diffusion Index) と解釈した。本稿は、近似ダイナミックファクターモデルのサーベイ論文として、欧米の先行研究についても敷衍する。 $ ^{1} $

また本稿では、マクロ経済の大規模パネルデータから抽出した共通変動（または共通ファクター）を利用して、景気予測に有用となるような Forward-Looking 型の景気指標の開発についても考察する。この共通ファクターが個々のマクロ経済系列がもつ情報よりもマクロ経済変数の予測に対して有用な情報を有していることが、本論の5節でも見るように、欧米の先行研究で示唆されている。さらに Bernanke and Boivin (2003) のようにこの共通ファクターを使った Forward-Looking 型テイラールによる金融政策シミュレーションへの応用が試みられている。本稿では、この主要マクロ経済変数の予
測と Forward-Looking 型テイラールールの推定の手法について日本経済への適用をおこなった。

本稿の構成であるが、2 節ではまず Stock and Watson (1998, and 2002a,b) が提案した近似ダイナミックファクターモデルについて考察する。このモデルは、主成分分析という簡易な手法でありながら、数百におよぶマクロ経済時系列のパネルデータからその共通成分を抽出することができる。この近似ダイナミックファクターモデルとその推定法を2 節で説明した後、3 節ではこの近似ダイナミックファクターモデルの欧米における先行研究および最新動向について紹介する。4 節は3 節で紹介した先行研究の日本経済への適用として120 系列のマクロ経済のパネルデータから共通ファクターの抽出を行い景気循環との関連性を考察する。5 節ではこの共通ファクターを用いた欧米における応用方法の紹介およびその日本への適用例として主要なマクロ経済変数の予測とForward-Looking型ティラールの推定を行う。6 節は結語である。

## 2 近似ダイナミックファクターモデルと推定法

### 2.1 近似ダイナミックファクターモデルとその利点

## (1) 近似ダイナミックファクターモデル

経済時系列のパネルデータ $ X_{it} $ を使った近似ダイナミックファクターモデルは、q 個という少数の共通ファクター， $ F_{t}=(f_{1t},f_{2,t},\cdots,f_{qt}) $ ，から数百におよぶマクロ経済変数， $ X_{it} $ ，の挙動を説明するモデルであり、以下の（2.1）式のように表すことができる。

$$ X_{it}=\lambda_{i}\;F_{t}+\varepsilon_{it}=\chi_{it}+\varepsilon_{it} $$

ただし、添え字の i は各系列 $ X_{it} $ の系列番号、添え字 t は期間をそれぞれ表している。 $ F_{t} $ は q 個の要素をもつベクトル $ F_{t} = (f_{1t}, f_{2,t}, \cdots, f_{qt}) $ であり、q 個の共通ファクター (common factor) を表している。 $ \lambda_{i} $ は係数（factor loading coefficient）である。 $ F_{t} $ は観測不可能な変数であるので、この値は係数 $ \lambda_{i} $ の値と同時に推定する必要がある。また $ \varepsilon_{it} $ は idiosyncratic error または個別成分 (idiosyncratic component) と呼ばれる。 $ \chi_{it} $ は共通成分（common component）である。

## (2) 近似ダイナミックファクターモデルの利点

現在では、多变量 AR(VAR) モデルは Sims(1980) により提案されて以来、マクロ経済の
実証分析や政策シミュレーション等に多用されている上に、その予測精度も他の計量モデルと比較しても大変優れているので、最も実用性の高い時系列モデルであるといえるだろう。しかしこのモデルの欠点として、以下の(2.2)式のように系列数Nが多くなると係数$\beta_{i,j}$等のパラメータの数が多くなるために扱いが難しくなり、ついには系列数NがN>Tの場合に推定不可となってしまう。政府当局などによるマクロ経済時系列データの整備が今後すすみ、利用できる系列数Nが例え増加したとしても、それをVARモデルに取り込めなくなるというジレンマが生じてしまう。

$$ X_{i t}=\beta_{0}+\sum_{i=1}^{N}\sum_{j=0}^{q}\beta_{i,j}X_{i,t-j}+\varepsilon_{i t} $$

他方で、この近似ダイナミックファクターモデルは説明変数として（2.1）式のように共通ファクター $ F_{t} $ を利用しているので、上のような VAR モデルの抱える問題を克服している。その意味でこの近似ダイナミックファクターモデルは大規模なパネルデータを扱うことができる多变量時系列モデルとして、現在注目されているモデルである。また、この近似ダイナミックファクターモデルを利用した予測や政策シミュレーションモデルの開発も同時に進んでおり、これについては5節で説明する。

### 2.2 推定方法

Stock and Watson (1998, 2002) で提案している近似ダイナミックファクターモデルの推定法は、主成分分析という多变量分析の分野で古くから利用されてきた「簡易」な手法を用いる。ここでいう「簡易」とは、主成分分析では多变量データの分散共分散行列の固有値と固有ベクトルの計算さえできればよいという意味である。

まず、近似ダイナミックファクターモデルの推定にあたっては、以下の目的関数を最小化する F, Λ を探索しなくてはならない。

$$ V(\mathbf{F},\Lambda)=\sum_{i=1}^{N}\sum_{t=1}^{T}(X_{it}-\lambda_{i}F_{t})^{2} $$

ここで、F は共通ファクターであり、 $ \Lambda $ は係数（factor loading coefficient）である。また、N は系列数である。この目的関数の最小化の手法として、主成分分析が用いられる。

## 推定手順

主成分分析を用いた近似ダイナミックファクターモデルの推定法の手順は以下のように
3 ステップから構成される。なお、この手法による日本のマクロ経済時系列からの共通ファクターの抽出の推定結果は4節で説明することとする。

Step 1. 各系列 $ X_{it} $ の定常化ならびに標準化 $ (X_{it} \sim N(0,1)) $ を行う。

主成分分析では分散・共分散が大きい系列の成分に重いウエイトがかかってしまうので、すべての系列 $ X_{it} $ は標準化する必要がある。

Step 2. 各系列 $ X_{it} $ から分散共分散行列 $ X^{\prime}X $ を計算し、この行列から固有値 $ (p_{j}) $ 、固有ベクトル $ (\mathbf{v}_{j} = [v_{1j}, v_{2j}, \cdots, v_{Nj}]^{\prime}) $ を算出する。

ただし X はパネルデータの $ (T \times N) $ 行列であり、 $ X' $ の添え字 ' は転置を意味する。固有ベクトルは i = j の時には $ v_{j}' v_{i} = 1 $ 、および $ i \neq j $ の時には $ v_{j}' v_{i} = 0 $ という性質をもつとする。

Step 3. 固有値 $ p = \left[ p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{j} \cdots, p_{q} \right] $ の値が大きい順にならべ、これに対応する固有ベクトル $ v_{j} = \left[ v_{1j}, v_{2j}, \cdots, v_{Nj} \right]' $ から、以下のように、共通因子 $ F = \left[ F_{t}^{1}, F_{t}^{2}, \cdots F_{t}^{q} \right] $ と係数（factor loading coefficient） $ \Lambda = \left[ \lambda_{1j}, \lambda_{2j}, \cdots, \lambda_{Nj} \right] $ を計算する。

$$ \hat{F}_{t}^{j}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{i=1}^{N}X_{i t}v_{i j},\quad\hat{\lambda}_{i j}=\sqrt{N}v_{i j} $$

## 主成分分析による別の推定方法

また、主成分分析によるファクターの推定法の2つ目の手法として、パネルデータXから、 $ X\ X' $ と計算して $ T\times T $ の分散共分散行列を求め、この行列の固有ベクトル $ \mathbf{v}_{i},(T\times1) $ を共通ファクターとする手法もある。

## 3 近似ダイナミックファクターモデルの先行研究

近似ダイナミックファクターモデルの先行研究としては、以下の6点があげられる。

## (1) 一致推定量

主成分分析による近似ダイナミックファクターモデルの推定値の一致性については、Stock
and Watson(1998, 2002a,) および Bai(2003) によってなされた。簡単に示せば、以下のような命題である。

$ X_{it} $ が定常、かつ $ N \rightarrow \infty $ , $ T \rightarrow \infty $ ならば、たとえ、個別成分 $ \varepsilon_{it} $ が互いに独立でなく相互相関している正規分布でも、推定値は $ \hat{\Lambda} \rightarrow \Lambda $ , $ \hat{F} \rightarrow F $ である。

ここで N は系列数であり、T は時系列の観測数である。

(2) 近似ダイナミックファクターモデルの最適な共通因子の数の選定方法

Bai and Ng (2002) によって最適な共通因子の数の選定方法が検討された。

## (3) 系列の選定方法

Boivin and Ng, (2006) によって系列の選定方法についての検討がなされてた。(1) では単に系列数 N と時間 T を ∞ に増加していけばその推定値は、一致性 (consistent) が保証されるとするが、しかし実際問題として「データの系列数を無闇に何の考慮もなく増加すればよいのか?」という疑問が生じる。よって、彼らはモンテカルロ法による実験から、各系列の $ \varepsilon_{it} $ (idiosyncratic error) において相互相関 (cross-correlation) が高い場合には、系列数 N が増加しても $ \hat{F}_{t} $ (common factor) の推定量が効率的 (efficient) でないこと (推定値と真の値とのバイアスが大きい) を明らかにした。

次に、彼らは、より良い推定量を求めるたるの工夫として、以下の２つの相互相関を小さくするための方法を提案している。

(i) 加重主成分分析 (Weighted Principal Component)

(ii) カテゴリーによる系列の分類（実質データ、名目データ、ボラティリティデータ等）この2点の方法については、本論文でも4.3節で日本のマクロ経済時系列を使って検証する。推定結果はそちらで説明する。

(4) 一般化ダイナミックファクターモデル

(2.1) 式でみたように、Stock and Watson(1998, 2002a,b) の近似ダイナミックファクターモデルでは、共通ファクター $ F_{t} $ の t 期時点だけの値をモデルの説明変数としており、そのリードとラグの変数がモデルの説明変数に付加されていない。しかし景気変動を考える場合、マクロ経済変数の中には景気一致系列だけでなく先行系列や遅行系列もあり、共通ファクター $ F_{t} $ のリード $ F_{t+k} $ やラグ $ F_{t-k} $ をモデルの中に付加することは自然なこと思われる。Forni, Hallin, Lippi and Reichilin (2000,2003, and 2005) は、このモデルを一般化ダイナミックファクターモデル (Generalized Dynamic Factor Model) と呼び、以下
の (3.1) 式として提案した。

$$ X_{it}=B(L)\ f_{t}+\varepsilon_{it}=\sum_{k=-M}^{M}b_{iM}\ f_{t-k}+\varepsilon_{it}=\chi_{it}+\varepsilon_{it} $$

ただし、 $ f_{t} $ は動学的共通ファクター (dynamic common factor) と呼ばれ, $ \varepsilon_{it} $ は個別成分 (idiosyncratic error) である。また、 $ \chi_{it} $ は共通成分 (common component) である。この一般化ダイナミックファクターモデルの推定法とこのモデルによる日本のマクロ経済データの推定については、4.4 節で行っている。

(5) 日本における主成分分析の景気指数への適用研究

この最新の研究には、小巻・飯塚 (2008) および 村澤 (2008) がある。

(6) 非定常なパネル系列の推定 (共和分)

上で見てきたモデルは、定常性を仮定してきたが、系列の非定常性および系列間の共和分を考察したものに Bai,(2004) および Bai, Kao and Ng（2009）がある。

## 4 近似ダイナミックファクターモデルによる日本のマクロ大規模パネルデータの共通ファクターの抽出

### 4.1 データと推定期間

今回の推定に利用したマクロ経済パネルデータについては、以下のとおりである。詳細については表1を参照のこと。

[表1]

・マクロ経済系列数 約120系列 (月次データ)を利用。

その内訳は、実質データ (生産指数、雇用、販売額)、名目データ (金利、物価、銀行勘定)、およびボラティリティ・データ (株価、在庫指数、住宅着工指数、商品指数) の3つのカテゴリーから成る。

・推定期間は、1983年4月～2008年10月である。
・データの処理の方法は、レベルデータを自然対数化し標準化（ $ X_{it} \sim N(0,1) $ ）をおこなった。ただし、金利等の%表示のものは無変換のまま、標準化を行った。

### 4.2 近似ダイナミックファクターモデルによる推定結果

Stock and Watson, (1998, 2002) では、6 個の共通ファクターを推定しているので、これに倣い本研究も 6 個の共通ファクターを推定した。この推定した共通ファクターは図 1 である。この図 1 における実線は共通ファクターを表し、影の部分は内閣府が公表している景気後退期を表している。また、この 6 つの各共通ファクターが各系列 i を説明する決定係数 $ R_{i}^{2} $ は、図 2 である。この図 2 の横軸の数字は表 1 の各マクロ経済系列 i の番号を示す。系列番号 1 から 38 までは実質データ、39 から 62 まではボラティリティ・データ、63 から 121 までは名目データを、それぞれ示している。なお、この決定係数 $ R_{i}^{2} $ は、 $ R_{i}^{2} = \sum_{t=1}^{T} (\lambda_{i} \times F_{t})^{2} / \sum_{t=1}^{T} X_{it}^{2} $ から計算されている。

## [図1 および 図2]

図1(a)-(c)には、第1共通ファクターから第3共通ファクターまでが描いてある。また、図2(a)-(c)はこれら3つのファクターの決定係数である。まず、第1ファクターをみると1983年から2002年まで安定して上昇しているが、その後2002年以降はほぼ水平になっている。また図2(a)のように第1ファクターの決定係数はどのマクロ系列においても高い値を示していることもあり、この第1ファクターは、マクロ経済変数のトレンドを表している成分と解釈できる。次に、第2ファクターを見ると1991年にピークを迎え、その後1997から1999年までの約2年間下落し、さらに2001年から2002年までの2年間も下落している。図2(b)の決定係数を見ると、第2ファクターは、主にボラティリティ・グループと名目グループにおいて高い値を示している。したがって、第2ファクターは資産価格および物価水準の変動を表した成分であると考えられる。 $ ^{2} $ 第3ファクターは、景気転換点を境に上昇と下降の方向を変えることから景気循環を表している成分であると思われる。実際、図2(c)の決定係数をみると、第3ファクターは主に実質グループで高い値を示しているのがわかる。
図1(d)-(f)では、第4から第6ファクターの推定値を示し、その決定係数は図2(d)-(f)である。これらの図からわかるように、これらのファクターの説明力は大変に低い。以上のように実質データから名目データまでの幅広い種類のデータから判断すると、日本のマクロ経済系列のパネルデータにおいては概ね共通ファクターは3つではないのかと考えられる。

つぎに、図3および図4(a)から(d)は、この3つの共通ファクターの各々が、以下の4つの代表するマクロ経済変数に対してどのような説明力をもつのか、その寄与度を計算したものである。この4つの代表的なマクロ経済変数として、実質データグループからは月次GDPと失業率の2変数、ボラティリティ・グループからは資産価格として日経平均を、また名目データからは金利として長期プライムレートを選択した。各変数ともに、この3つの共通因子による決定係数は70％から90％と高い値を示している。特に注目すべきは、第2ファクター(資産価格および物価水準の変動に該当)と第3ファクター(景気循環に該当)から説明されるGDPに対する寄与度は、図4(a)に見られるようにGDPギャップと比較すると非常に近い値を示しているのに対して、図3に見られるようにHodrick and Prescott FilterやBand Pass Filterなどのような通常、トレンド因子と循環因子の分離に利用される手法から導出された景気変動と比較するとその振幅はかなり大きいのが分かる。 $ ^{3} $

[図3 および 図4]

### 4.3 各系列の $ \varepsilon_{it} $ (idiosyncratic error) の相互相関が高い場合の対処法

Boivin and Ng (2006) によれば、先に述べたように、近似ダイナミックファクターモデルを推定するにあたり、パネルデータの系列数 N を単に増加していけばよいというものではなく、各系列の $ \varepsilon_{it} $ (idiosyncratic error) で相互相関 (cross-correlation) が高い場合には、系列数 N が増加しても $ \hat{F}_{t} $ (common factor) の推定量は効率的ではない。(真の値
F と推定値 $ \hat{F}_{t} $ (の間にバイアスが発生する。) そこでこの $ \varepsilon_{it} $ (idiosyncratic error) の相互相関を小さくするために、系列の選択または推定法の修正が要求される。

彼らは $ \varepsilon_{it} $ (idiosyncratic error) の相互相関を小さくする手法として以下の 2 つを提案し、アメリカのマクロ経済系列を用いてその検証をしている。

(i) Weighted Principal Component (加重主成分分析)

(ii) カテゴリーによる系列の分類（系列を実質データ、名目データ、ボラティリティデータの3つに分類し各々推定）

この２点の方法について、本節では日本のマクロ経済時系列を用いて確認してみたい。

(1) 加重主成分分析 (Weighted Principal Component):

加重主成分分析とは、下の(4.1)式のように、上で見た(2.3)式にウェイト W をつけて主成分分析を行うことである。

$$ \min\quad\sum_{t=1}^{T}(X_{t}-\Lambda F_{t})^{\prime}W\left(X_{t}-\Lambda F_{t}\right) $$

Boivin and Ng (2006) によれば、いくつかのルールを提案して検証しているが、その中で予測精度が最も高いルールは以下の2つであった。

Stock & Watson (SW) Rule A – ウェイト $ w_{i} $ を、 $ \varepsilon_{it} $ (idiosyncratic error) の分散共分散行列の対角要素の逆数とする。すなわち、ウェイトを $ w_{i}=1/\sigma_{i}^{2} $ ，とし、系列を以下のように変換して、 $ X_{it}^{A}=\sqrt{w_{i}}\times X_{it} $ 、再度、主成分分析を行う。

Stock & Watson (SW) Rule B – ウェイト $ w_{i} $ を、 $ \varepsilon_{it} $ (idiosyncratic error) の分散共分散行列の列の要素の絶対値の合計の逆数とする。すなわち、ウェイトを $ w_{i} = 1 / \sum_{j=1}^{N} |\sigma_{ij}| $ として、系列を以下のように変換し、 $ X_{it}^{B} = \sqrt{w_{i}} \times X_{it} $ 、再度主成分分析をおこなう。

この２つのルールに基づいて、３つの共通因子をそれぞれ推定したものが、図５および図６である。この新しいルールで計算した共通ファクターは赤い実線で、従来の手法から算出した共通ファクターは青い点線で示している。トレンド成分を示している第１ファクターでは、従来の手法とのズレが確認できるものの、循環因子である第２ファクターと第３ファクターではズレはほとんど見られないのがわかる。

[図5および図6]
## (2) カテゴリーによる系列の分類

Boivin and Ng (2006) はマクロ経済系列を以下のカテゴリーに分類して各カテゴリーグループから主成分分析を行い共通ファクターを抽出し、これを利用することを提案している。

i) 実質データグループ

ii）名目データデータグループ

iii）ボラティリティ+先行指数データグループ

各カテゴリー間の関係については、その概念図として図7に記しておいた。

[図7]

各カテゴリーによる共通ファクターおよび各系列に対する共通ファクターの決定係数が図8から図10に示されている。図8に見られるように、実質データのカテゴリーから抽出された第1ファクターはトレンド成分でありが、第2ファクターは景気循環成分である。他方で、図8および図9にみられるように精緻な分析をしないと結論づけるのは難しいものの、一見したところでは、ボラティリティ・カテゴリーや名目データ・カテゴリーからは景気循環の因子を捉えていないようである。

[図8,図9および図10]

### 4.4 一般化ダイナミックファクターモデルの推定

本節では先に述べた Forni, Hallin, Lippi and Reichilin(2000,2003, and 2005) の一般化ダイナミックファクターモデル (Generalized Dynamic Factor Model) を日本のマクロ経済系列のパネルデータに適用してみたい。

この一般化ダイナミックファクターモデルを再掲すると以下の式となる。

$$ X_{it}=B(L)\ f_{t}+\varepsilon_{it}=\sum_{k=-M}^{M}b_{iM}\ f_{t-k}+\varepsilon_{it}=\chi_{it}+\varepsilon_{it} $$
ただし、 $ f_{t} $ は動学的共通ファクター (dynamic common factor) であり、 $ \varepsilon_{it} $ は個別成分 (idiosyncratic error) であり、 $ \chi_{it} $ は共通成分 (common component) である。

この (3.1) 式が示すように、このモデルの特徴は、Stock and Watson (1998, 2002ab) の近似ダイナミックファクターモデル (2.1) とは違い、共通ファクター $ F_{t} $ のリード $ F_{t+k} $ やラグ $ F_{t-k} $ が説明変数としてモデルに付加されている点である。繰り返しになるが、マクロ経済変数には景気一致系列だけでなく先行系列や遅行系列も含まれているので、景気循環を考察する上で、共通ファクターのリードとラグを付加したモデルから共通ファクターを抽出しようと考えることは極めて自然なことである。

この共通ファクターの推定にあたっては、以下の2ステップをとる。

Step 1. Dynamic Principal Component (スペクトル分析による主成分分析) により、以下の固有ベクトルを導出する。この式の第2項目ではフーリエ逆変換を行っている。

$$ \mathbf{v}_{j}(L)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\big[\int_{-\pi}^{\pi}\mathbf{v}_{j}(\theta)e^{ik\theta}d\theta\big]L^{k}\approx\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-M}^{M}\big[\sum_{h=0}^{2M}\mathbf{v}_{j}(\theta_{h})e^{ik\theta_{h}}\big]L^{k} $$

ここで、L はラグオペレーターであり、θ は周波数である。また、 $ \mathbf{v}_{i}(\theta_{h}) $ は以下のような周波数 $ \theta_{h} $ に対応する行列 $ \Sigma(\theta_{h}) $ の固有ベクトルである。

$$ \Sigma(\theta_{h})=\sum_{k=-M}^{M}X_{t}^{\prime}X_{t-k}\;\omega\;e^{-i k\theta_{h}}, $$

ただし、$\omega$ は Bartlett Window、すなわち $\omega = 1 - |k| / (M + 1)$ である。また $\theta_{h} = 2\pi h / 2M, h = 0, 1, \cdots, 2M$ である。

Step 2. 以下の式のように t - M から $ t + M $ までリードとラグの両面からの Two Side Filter (移動平均) により共通成分 $ \chi_{it} $ (Common Components) を推定。

$$ \chi_{t}=\sum_{k=-M}^{M}\mathbf{b}_{k}^{\prime}\ f_{t-k}=\sum_{k=-M}^{M}\sum_{j=1}^{q}\mathbf{v}_{j k}\ \mathbf{v}_{j k}^{\prime}\ X_{t-k}\ \eqref{e q:1} $$

ここで、$\chi_{t}=[\chi_{1t},\chi_{2t},\cdots,\chi_{Nt}]^{\prime}$ および $\mathbf{b}_{k}=[b_{1k},b_{2k},\cdots,b_{Nk}]^{\prime}$ である。M の値として、Forni, Hallin, Lippi and Reichlin (2000) が推奨した手法に従って、本研究では $M=round(\frac{2}{3}T^{1/3})=round(\frac{2}{3}\times350^{1/3})=5$ と算定し、これを利用した。

上で示した一般化ダイナミックファクターモデルから算出した鉱工業生産指数 (IIP)、完全失業率 (Unemployment Rate) および日経平均 (Nikkei 225) の共通成分は図 11 に示
されている。赤い実線はこの手法によるものであり、青い実線はStock and Watsonによる手法から抽出された共通成分である。また点線は実績値である。この図11からわかるように、Forni et al. (2000)による手法による共通成分 $ \chi_{it} $ は、Stock and Watson (1998, 2002)の手法より導出された共通成分よりもスムーズである。これは、共通成分の計算にあたって、リードとラグの移動平均を用いているからである。

## [図11]

静学的ファクター (Static Factor) の推定 (Forni et al. 2003, 2005)

上で述べた動学的ファクター (Dynamic Factor) $ f_{t} $ の推定はノンパラメトリック推定であり、個々の動学的ファクター $ f_{t} $ とその係数 $ B(L) $ を識別できないので、個々の因子を予測やシミュレーションに利用したい場合は、以下の式のような静学的ファクター (Static Factor) $ F_{t} $ をその代用とすることを Forni et al. (2003, 2005) は提唱している。

$$ X_{it}=\sum_{i=-M}^{M}b_{iM}f_{t-i}+\varepsilon_{it}=C_{i}F_{t}+\varepsilon_{it} $$

この式では動学的ファクター $ f_{t} $ から成る共通成分を静学的ファクター $ F_{t} $ で表現している。 $ ^{4} $ この動学的ファクター $ F_{t} $ の6つの因子の推定結果は図12に示されている。図12の第2静学的ファクターはトレンドを、第3と第5の静学的ファクターは資産価格を、第4と第6の静学的ファクターは景気循環をそれぞれ捕捉しているようである。

[図 12]

## 5 共通ファクターの利用方法

本節では抽出した共通ファクターの利用方法として以下の3つの先行研究を紹介する。このうち、5.1節と5.2節のモデルを日本のマクロ経済データに適用した。
### 5.1 主要マクロ系列の予測

Stock and Watson (1998, 2002b) および Boivin and Ng (2006) は、以下の (5.1) 式のように共通ファクターをモデルに付加した AR モデルから予測の精度を検証した。

$$ \hat{Y}_{t+h|t}^{h}=\beta_{0}+\sum_{i=0}^{k}\beta_{i}\;F_{t-i}+\sum_{j=0}^{p}\gamma_{j}\;y_{t-j} $$

ただし、 $ y_{t} $ は観測変数であり、 $ F_{t} $ は共通因子 (common factor) で $ f \times 1 $ ベクトルである。

予測対象は t 期から h 期先の変化分 (年率換算) $ \hat{Y}_{t+h}^{h} = (y_{t+h} - y_{t}) \times 12/h $ である。

Boivin and Ng (2006) では、4.3 節で見た加重主成分分析 (Weighted Principal Component) およびカテゴリー別の共通ファクターを使って、この (5.1) 式のようなファクターモデルの予測性能を検証している。また、Forni et al. (2003) でも、4.4 節で見た静学的ファクター (Static Factor) からファクターモデルの予測性能を検証している。注目すべきは、上の両研究とも名目データのグループを含んだパネルデータから抽出された共通ファクターの予測性能が他と比較しても飛びぬけて高いことが指摘されている。

本研究では、以下の12系列の日本のマクロ経済変数について、上の(5.1)式のファクターモデルから予測の精度の検証をおこなった。 $ ^{5} $ 推定にあたっては、(a) AR のラグの次数を p=11 と固定した。(b) ファクターのラグの次数を $ 0 \leq k \leq 11 $ の間で可変とする。ラグの次数 k は最小二乗予測誤差 (RMSE) の値が最小となるラグ数を選択する。

(c) 予測に利用した共通ファクター $ (F) $ は、上位 3 ファクター $ (f = 3) $ とした。

(1). 景気一致指数 (Composited Index) (レベル)

(2). 景気先行指数 (CI) (レベル)

(3). 景気遅行指数 (CI) (レベル)

(4). GDP 成長率 (年率換算)

(5). 失業率 (レベル)

(6). 日经平均 收益率 (年率换算)

(7). 長期プライムレート (レベル)

(8). コールレート (レベル)

(9). 為替レート 収益率 (年率換算)

(10). C P I (食料除く総合、季節調整済) インフレ率 (年率換算)

$ ^{5} $ ESRI セミナーにおいて、昨今の原油高騰の影響が少ない「消費者物価指数(食品およびエネルギーを除く総合)」の予測精度についても質疑を受けた。検証をおこなったところ、AR モデルとファクターモデルの間に大きな優劣はなかった。Stock and Watson (2007) にもあるように、インフレ率の予測モデルを確立することは極めて難しいようである。
(11). 企業物価 (総平均 季節調整済) インフレ率 (年率換算)

(12). 実質賃金指数 (30 人以上 季節調整済) インフレ率 (年率換算)

なお、各変数の末尾に (レベル) と表記があるのは、レベルを予測しており、予測対象の変数を $ Y_{t+h}^{h} = y_{t+h} $ とした。また、(年率換算) とあるのは、変数を自然対数化の上、第1階差をとって変化率 $ y_{t} = (\log x_{t} - \log x_{t-1}) $ からファクターモデル (5.1) 式を推定している。予測対象の変数は $ Y_{t+h}^{h} = (\log x_{t+h} - \log x_{t}) \times 1200 / h $ と変換してパーセント表示である。

Boivin and Ng, (2006) に基づき、以下の7つのモデルの共通因子の予測性能を評価した。

(i) Stock and Watson (1998, 2002ab) の近似ダイナミックファクターモデル (SW と略す)

(共通因子は図 1)

(ii) 加重主成分分析 : Rule A $ (SW_{A} $ と略す $ (共通ファクターは図 5)

(iii) 加重主成分分析 : Rule B ( $ SW_{B} $ と略す) （共通ファクターは図 6）

(iv) マクロ経済系列の分類し、各グループの主成分分析

iv-a）実質データグループの上位3因子(Realと略す)（共通ファクターは図8）

iv-b) 名目データグループの上位 3 因子 (Nominal と略す) （共通ファクターは図10）

iv-c) ボラティリティ + 先行指数データグループの上位 3 因子 (Volatility と略す)

(共通ファクターは図 9)

iv-d) 3 カテゴリーの各上位 1 因子 (Mix と略す) （共通ファクターは図 8, 9, 10）

各ファクターモデルの予測性能の評価結果は、表2のとおりである。予測の種類は、1カ月先、3カ月先、6か月先、12カ月先の4種類の外挿予測(Out of Sample Forecasting)を行った。予測期間は2005年2月から2008年10月まである。この表にあるRMSEとはRoot Mean Square of Errorの略で、予測自乗誤差の平均の平方根の値である。RMSEは値が小さい方が予測精度が良いことを表している。ARモデルの欄のRMSEの値はRMSEを示しているが、その他の7つのモデルの欄のRMSEは、Stock and Watson (1998,2002b)に倣い、ARモデルのRMSEの値との比率を表している。したがって、1より小さければARモデルより予測性能が高いことを示し、1より大きければARモデルより性能が低いことを示す。このRMSEの値が最も小さいものが予測性能が最も高いモデルである。表2(1)から(12)を見てわかるように、日本においては名目データのグループ(Nominal)の共通因子の予測性能は高くないようである。他方で、景気一致指数や先行指数、失業率での予測では、ボラティリティ+先行指数データグループの上位3因
子 (Volatility) の予測性能は高く、GDP や長期プライムレート、消費者物価指数や企業物価のインフレ率については実質データグループの上位 3 因子 (Real) の予測性能が高い。各 12 系列に対して AR モデルと RMSE が最も小さくなったファクターモデルのそれぞれの 12 カ月先の外挿予測値 (Out of Sample Forecasting)、プートストラップ法により導出したこの値の 65% の信頼区間、および実測値を図 13 に描いた。この図 13 からわかるように 12 カ月先という長期の予測ではファクターモデルの予測精度は AR モデルと比して極めて高いことから、抽出した共通ファクターには主要なマクロ経済変数の予測に有用な情報が含まれていると思われる。

[表 2]

[図 13]

また Boivin and Ng, (2006) にならって、各モデルの予測性能を SW モデルと比較したものが図 14 である。これは予測対象のマクロ経済 12 系列の中、SW モデルで予測した RMSE の値より小さくなった系列の数を棒グラフにしたものである。1 カ月先予測から 6 カ月先予測は $ SW_{A} $ と Real の性能が良く、1 年先では $ SW_{B} $ の性能がよかった。以上から、日本経済においては、アメリカ経済と同様に 3 つのカテゴリーの情報をすべて含み個別変動の相互相関を小さくした共通ファクター ( $ SW_{A} $ および $ SW_{B} $ ) の予測性能が高く、他方で Nominal のカテゴリーの共通ファクターはアメリカ経済と異なり予測性能は低いことが検証された。 $ ^{6} $

[図 14]

### 5.2 Forward Looking 型 テイラールールの推定

Bernanke and Boivin (2003) は、共通ファクター $ F_{t} $ を使ってインフレ率 $ \pi_{t} $ と Output Gap $ (y_{t}=Y_{t}-Y_{n,t}:Y_{n,t} $ は potential output ) の予測値を作成し、この予測値から以下の (5.2) 式のような Forward Looking 型 テイラールールを推定した。

$$ R_{t}=\phi_{0}+\rho R_{t-1}+(1-\rho)(\phi^{\pi}\hat{\pi}_{t+h|t}+\phi^{y}\hat{y}_{t+h|t})+\varepsilon_{t} $$

$ ^{6} $ 以上の検証結果から、カテゴリー分類による共通ファクターの予測精度が悪いことがわかったが、この原因として、データのカテゴリーに基づく分類そのものに問題があるのかもしれない。各データの変動をより精査し、より厳密にカテゴリーの分類を行うことで予測精度の向上の可能性がある。この点について飯田泰之氏より指摘を受けた。記して感謝を表す。
ここで、 $ R_{t} $ はコールレート、 $ \pi $ はインフレ率、y は Output Gap である。この式は Clarida, Gali, and Gertler (2000) により提案されたテイラールールであり、1 期前のコールレート $ R_{t-1} $ が Backward looking 項として付加されている。この式の Forward Looking 項である予測値 $ \hat{\pi}_{t} $ および $ \hat{y}_{t} $ は、以下のような (5.3), (5.4) から導出される。

$$ \hat{\pi}_{t+h|t}=\gamma_{t}^{\pi}F_{t}^{\pi} $$

$$ \hat{y}_{t+h|t}=\gamma_{t}^{y}F_{t}^{y} $$

ここで $\hat{\pi}_{t+h|t}$、$\hat{y}_{t+h|t}$ は、それぞれインフレ率と Output Gap の $h$ 期先の予測値である。

本稿では日本経済の Forward Looking 型 テイラールール (5.2) 式を推定した。この推定式でのインフレ率の予測値 $ \hat{\pi}_{t+h|t} $ および Output Gap の予測値 $ \hat{y}_{t+h|t} $ は前節で述べた (5.1) 式のファクターモデルを使った内挿予測 (In Sample Forecasting) から得た。インフレ率の予測値として消費者物価指数 (CPI) の 12 ヶ月先予測値を用いた。また Output Gap の予測値しては、(1) 景気一致指数 (CI) の 12 ヶ月先予測値 ( $ \hat{y}_{t+12|t} $ )、(2) Bernanke and Boivin (2003) に倣い完全失業率の 6 ヶ月先予測値と 5 年間の移動平均 (自然失業率に相当) の差 ( $ \hat{y}_{t+6|t} - \frac{1}{60} \sum_{i=0}^{59} y_{t-i} $ )、の 2 つの変数を用いた。この推定結果は表 3 に示されている。表 3(1) は Output Gap の項目を付加しないインフレ率のみのティラールールの推定結果であり、(2) では Output Gap の項目として景気一致指数 (CI) の 12 ヶ月先予測値を用いたティラールール、(3) では完全失業率の 6 ヶ月先予測値と 5 年間の移動平均の差を用いたティラールールの推定結果である。

表3の(1)(2)(3)のどのケースでも、86年12月～91年2月のバブル好況期ではインフレに対するコールレート $ R_{t} $ の反応係数 $ \phi^{\pi} $ は有意ではないが1より大きくテイラー原則を満たしており金融政策がインフレに対してアグレッシブであることを示している。他方で91年3月以降ではこの推定値は1より小さくテイラー原則を満たさず金融政策が受動的であることを示している。またBackward looking項である1期前のコールレート $ R_{t-1} $ の係数 $ \rho $ の推定値は3つのケースともに1に近く、コールレートにおいては強い慣性が働いていることを示している。

## [表 3]

次に、上のテイラールールの推定結果では Backward looking 項である 1 期前のコールレート $ R_{t-1} $ の係数 $ \rho $ の値が 1 に近いことから、以下の Henderson-Mckibbin-Taylor ルールを推定した。 $ ^{7} $

$$ R_{t}=R_{t-1}+\phi^{\pi}\left(\hat{\pi}_{t+h|t}-\pi_{t-1}\right)+\phi^{y}\left(\hat{y}_{t+h|t}-y_{t-1}\right)+\varepsilon_{t} $$