Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
144) 海外への要素所得 JA\_PTRIV [OLS, 1990Q1 to 2007Q4]

$$ \begin{aligned}DEL(1:LOG(JA_{-}PTRIV))&=-0.08771*LOG\left(\frac{(2*JA_{-}PTRIV(-1))}{(JA_{-}FLIABV(-2)*\sum_{i=-2}^{-1}JA_{-}RGB(i))}\right)\\&\quad(-2.83264)\\&\quad+0.13458*DEL(1:LOG(JA_{-}PTRIV(-2)))\\&\quad(2.16771)\\&\quad+0.52508*DEL(1:LOG(JA_{-}FLIABV(-1)))\\&\quad(3.20942)\\&\quad+0.00186*DEL(1:JA_{-}RGB(-2))\\&\quad(0.08914)\\&\quad+0.55157*DEL(1:LOG(JA_{-}FXS))\\&\quad(3.74590)\\&\quad-0.75009*JA_{-}D961\\&\quad(-11.71542)\\&\quad-0.36920\\&\quad(-2.78336)\\&\quad+CERR*ERTS_{-}PTRIV\ $$ RQ:0.764648,SER&:0.058632,DW&:2.061238]\end{aligned} $$

145) 对外資産 JA_FASSTV [OLS, 1990Q1 to 2007Q4]

$$ \begin{aligned}&DEL(1:LOG(JA\_{F}ASSTV))=\\ &-0.06411^{*}\left(\begin{aligned}\\ &LOG\left(JA\_{F}ASSTV(-1)\right)-(-3.31418)-(-0.003096)*\left(\begin{aligned}\\ &\left(JA\_{R}GB(-1)-400*LOG\left(\frac{JA\_{C}GPIAT(-1)}{JA\_{C}GPIAT(-2)}\right)\right)\\&-\left(US\_{R}GB(-1)-400*LOG\left(\frac{US\_{W}PID(-1)}{US\_{W}PID(-2)}\right)\right)\\&-0.199813*LOG\left(JA\_{G}DPV(-1)\right)-1.2342*LOG\left(JA\_{X}GSV(-1)\right)-(-0.044861)*LOG\left(\frac{JA\_{F}XS}{JA\_{F}XS(-1)}\right)\\ &\end{aligned}\right)\\ &\end{aligned}\right.\\ &\\ &(-1.61422)\\ &+0.74251*DEL\left(1:LOG\left(JA\_{F}ASSTV(-1)\right)\right)\\ &\\ &(9.44186)\\ &-0.00014*DEL\left(1:\left(JA\_{R}GB-400*LOG\left(\frac{JA\_{C}GPIAT}{JA\_{C}GPIAT(-1)}\right)\right)-\left(US\_{R}GB-400*LOG\left(\frac{US\_{W}PID}{US\_{W}PID(-1)}\right)\right)\right)\\ &\\ &(-0.43984)\\ &-0.05853*DEL\left(1:LOG\left(\frac{JA\_{F}XS}{JA\_{F}XS(-1)}\right)\right)\\ &\\ &(-1.99730)\\ &+0.16615*DEL\left(1:LOG\left(JA\_{G}DPV\right)\right)\\ &\\ &(0.79220)\\ &+0.14406*DEL\left(1:LOG\left(JA\_{X}GSV\right)\right)\\ &\\ &(2.01235)\\ &+CERR*ERTS\_FASSTV\\ &[RSQ:0.661364,SER:0.014828,DW:2.034368]\\ \end{aligned} $$
146）对外資產評価調整額 JA_RSBCV [2SLS, 1990Q1 to 2007Q4]

$$ \begin{aligned}LOG(JA\_{R}SB\quad CV)&=0.65708*LOG(JA\_{R}SB\quad CV(-1))\\&(1.49838)\\&+0.86908*(LOG(\frac{JA\_{F}XS}{JA\_{F}XS(-1)})\\&(3.63719)\\&-0.78942*LOG(\frac{JA\_{F}XS(-1)}{JA\_{F}XS(-2)}))\\&(-1.39176)\\&-0.00054\\&(-0.10060)\\&+CERR*ERTS\_RSBCV\\{[RSQ:0.713453\quad,SER:0.036106\quad,DW:1.426109\quad]}\end{aligned} $$

147) 為替レート JA_FXS [OLS, 1990Q1 to 2007Q4]

$$ \text{DEL}(1:\log(\text{JA\_FXS})) = -0.050496 * \log\left(\frac{\text{JA\_FXS}(-1)}{\left(\frac{\text{JA\_CGPIAT}(-1)}{\text{US\_WPID}(-1)}\right)}\right) $$

$$ (-1.566532) + 0.005132 * (\text{US\_RGB} - \text{JA\_RGB}) $$

$$ (2.92062) + 0.006843 * (\text{US\_RGB}(-1) - \text{JA\_RGB}(-1)) $$

$$ (2.92062) + 0.005132 * (\text{US\_RGB}(-2) - \text{JA\_RGB}(-2)) $$

$$ (2.92062) + 0.718953 * \text{DEL}(1:\log\left(\frac{\text{JA\_CGPIAT}}{\text{US\_WPID}}\right)) $$

$$ (1.709562) + 0.129324 * \text{DEL}(1:\log(\text{JA\_FXS}(-1))) $$

$$ (1.276106) - 0.004272 * \text{DEL}(1:\text{JA\_SBCVATGDPV}(-2)) $$

$$ (-1.341158) - 0.131641 * \text{JA\_D952} $$

$$ (-3.131247) - 0.173986 * \text{JA\_D984} $$

$$ (-4.206081) + 0.429423 $$

$$ (1.440288) + \text{CERR} * \text{ERTS\_FXS} $$

$$ [\text{RSQ}: 0.397818, \text{SER}: 0.040318, \text{DW}: 1.592374] $$

148）经常收支 JA BCV

$$ \mathrm{JA\_{B}CV}=\frac{\mathrm{JA\_{B}FV}}{4}+\frac{\left(\mathrm{JA\_{R}TRIV-JA\_{P}TRIV}\right)}{4}+\mathrm{JA\_{E}RRBCV} $$

149) 累積経常収支 JA_SBCV

JA_SBCV = JA_SBCV(-1) * JA_RSBCV + JA_BCV
150) 对外负债 JA FLIABV

$$ JA\_{F}LIABV\quad=\quad JA\_{F}ASSTV-JA\_{S}BCV $$

151）经常收支对名目 GDP 比 JA_BCVATGDPV

$$ JA\_{B}CVATGDPV=\frac{JA\_{B}CV}{JA\ GDPV}*400 $$

$$ JA\_SBCVATGDPV=\frac{JA\_SBCV}{JA\_GDPV}*100 $$

152）累積經常收支對名目 GDP 比 JA_SBCVATGDPV
# Dynare による動学的確率的一般均衡シミュレーション*

～新ケインズ派マクロ経済モデルへの応用～

矢野浩一**

<要約>

本論文は DYNARE を用いた動学的確率的一般均衡モデル（Dynamic Stochastic General Equilibrium Model）のシミュレーションを解説する。近年、Yun (1996)、Gali (2002)などの研究に基づくミクロ経済学的基礎を持つ新ケインズ派（New Keynesian）マクロ経済モデル（New IS-LM）が金融政策の分析において注目を沿びている。また、New IS-LM を発展させた New Keynesian モデル(Hybrid New IS-LM)が Christiano et al. (2005) などで提案されており、各国政府や中央銀行などで研究が進められている。本論文では DYNARE を用いて、New IS-LM ならびに Hybrid New IS-LM、Hybrid New IS-LM モデルに流動性制約下にある家計を導入したモデルのシミュレーションを解説する。また、DYNARE や New IS-LM に詳しくない読者のため、Appendix に簡潔な DYNARE 入門である Collard and Juillard (2001b) 全訳と New IS-LM の導出過程、Sims (2002) の解説を付する $ ^{1} $ 。

JEL Classification Number: C15, E00, E50, E62, and D52

Key words: Dynare, 動学的確率的一般均衡モデル, 新ケインズ派経済学, New IS-LM, 流動性制約下の家計
# Dynare and Dynamic Stochastic General Equilibrium Models: Application to New Keynesian Models

By Koiti Yano

## Abstract

This paper is an introduction to Dynare and New Keynesian, dynamic stochastic general equilibrium models. In recent years, micro-founded macroeconomic models is a hot topic in monetary policy analysis, for example, Yun (1996) and Gali (2002). A simple new Keynesian model is often called new IS-LM. Christiano et al. (2005) propose a medium-scale DSGE model (hybrid new IS-LM), and the extensions of it are often used in governments and central banks. This paper shows simulating new IS-LM and hybrid new IS-LM using Dynare. Moreover, we show simulating hybrid new IS-LM with liquidity-constraint households to analyze fiscal policy.

JEL Classification Number: C15, E00, E50, E62, and D52

Key words: Dynare, Dynamic Stochastic General Equilibrium Model, New Keynesian, New IS-LM, Liquidity-constraint household
## 1 はじめに

近年、マクロ経済学において、ミクロ経済学的基礎を持った動学的確率的一般均衡モデル（Dynamic Stochastic General Equilibrium Model、以下DSGEモデル）を用いた金融・財政政策の分析が盛んになりつつある。代表的なテキストとして加藤(2006)やWalsh(2003)、Woodford(2003)、Gali(2008)などが挙げられる（なお、この分野はすでに膨大な先行研究があるため、文献等に関してはこれらのテキストを参照されたい） $ ^{3} $ 。DSGEモデルは期待項（forward-looking変数）を含んだ非線形モデルとして定式化されることが多く、従来はその合理的期待解を得るために研究者各人が自分のモデルに合致したプログラムを作成する必要があった。しかし、現在ではフランスCEPREMAPを中心としたチームによりDynareが開発され、各人がプログラミングで苦労するという問題はほぼ解消されたといえる $ ^{4} $ 。DynareはDSGEモデルの合理的期待解を求め、インパルス応答関数を計算するなどの機能を装備したMATLABもしくはGNU octave上で動くプログラム群である $ ^{5} $ 。Dynareには以下のような機能が含まれている。

1. DSGE モデルの定常状態の計算

2. DSGE モデルの Stochastic な解を求める：1 次近似は Sims (2002)、2 次近似は 摂動展開法 [Collard and Juillard (2001a), Schmitt-Grohe and Uribe (2004)] に基づく

3. パラメーターの構造推計：最尤法とマルコフ連鎖モンテカルロ法による

4. 最適金融政策の導出

5. Bayesian VAR : Del Negro et al. (2007)

これらの機能により研究者が独自にプログラミングする負担が軽減される。

Kimball (1995)、Roberts (1995)、Yun (1996)、King (2000)、Mccallum and Nelson (1999)、Clarida et al. (1999)、Gali (2002)などの先行研究を基盤としてCalvo型粘着価格モデルに基づくNew Keynesianモデルが各国政府・中央銀行で政策分析に用いられることが多くなりつつある（各国政府・中央銀行での政策分析例についてはFujiwara et al. (2005)やErceg et al. (2006)などを参照のこと）。そのため、New Keynesianモデルを用いたシミュレーションに対する必要性が高まっているため、本論文ではそれらをDynareでシミュレーションする方法を解説する。基本となるNew KeynesianモデルであるNew IS-LMは(1)IS曲線、(2)フィリップス曲線、(3)金融政策ルール（Taylorルール）の3式からなる。このNew IS-LMは「金融政策分析のコンセンサス」(McCallum (2001))と呼ばれており、そういう意味からもこのモデルを中心に取り上げることは意義があると言える。この基本モデルは(1)GDPギャップが期待GDPギャップのみに依存する[IS曲線]、(2)インフレ率（目標インフレ率からの乖離）が期待インフレ率に依存するという形で定式化されている。そのため、将来に対する期待（GDPギャップとインフレ率）が変化すると、それに合わせて現在の値がジャンプするという現象が見られる。しかし、実際のマクロデータで実証分析を行うと、GDPギャップもインフレ率も過去に依存する部分が大きく、純粋なジャンプ変数とは言い難いことがすでに指摘されている（Fuhrer and Moore (1995)、Amisano and Tristani (2007)等を参照のこと）。これらの課題を解決するために改良されたモデルがChristiano et al. (2005)やSmets and Wouters (2003)で提案されたHybrid New IS-LM (Medium-scale DSGE model)である。Hybrid New IS-LMが現実のマクロ経済データと整合性が
高いことは Onatski and Williams (2004)、Levin et al. (2005)、Fout (2005)、Trabandt (2006)、Del Negro et al. (2007) などによって指摘されている。日本のマクロ経済データによるパラメータ一推定は Iiboshi et al. (2005) と Sugo and Ueda (2008) で行われている。そのため、本論文では Hybrid New IS-LM を用いたシミュレーションも併せて解説する。

これらの New Keynesian モデルは基本的には Real Business Cycles モデルの特徴を受け継いでおり、リカード等価命題が成り立つため、これらを用いて財政政策の効果を論じることは今までほとんど行われてこなかった。しかし、Mankiw (2000), Gali et al. (2004), Coenen and Straub (2005), Erceg et al. (2006) などの研究により流動性制約下の家計をモデルに含めることで財政政策の効果も合わせて論じることが近年の潮流になりつつある $ ^{6} $ 。そのため、応用例として Hybrid New IS-LM モデルに流動性制約下にある家計を導入し、リカード等価命題が成り立たない（つまり財政政策が効果を持つ）場合のシミュレーションも合わせて示す。各モデルの特徴をまとめると以下の通りである。

1. New IS-LM [ モデルの詳細と導出過程は Appendix を参照のこと ]

・ミクロ経済学的基礎付けを持つ動学モデル

・名目価格の硬直性（Calvo型粘着価格モデル）

• Taylor ルール

・資本と投資なし

・主として金融政策の分析に使用

2. Hybrid New IS-LM (Medium-scale DSGE model) [モデルの詳細は Christiano et al. (2005), Smets and Wouters (2003) を参照されたい]

• New IS-LM に以下の特徴を追加

• 効用関数に習慣形成

・名目賃金の硬直性（Calvo型粘着価格モデル）

・改定されなかった場合の名目価格・名目賃金をインフレ連動

• 資本と投資

• 投資の調整コスト

・金融政策の分析に限らず資本蓄積や投資、労働市場の分析も可能

3. 流動性制約家計付き Hybrid New IS-LM

• Hybrid New IS-LM に以下の特徴を追加

・流動性制約下の家計

• Hybrid New IS-LM の分析対象に加えて財政政策政策の分析が可能

本論文は以下のように構成されている。第2節ではGali (2002)などに代表されるCalvo型粘着価格モデルに基づくNew Keynesianモデル (New IS-LM)、第3節ではChristiano et al. (2005)で提唱されたNew Keynesianモデル (Hybrid New IS-LMモデル)に関するシミュレーション法について述べ、第4節ではHybrid New IS-LMに流動制約下の家計を加えたモデルのシミュレーション例を示し、第5
節でまとめと今後の展望について述べる。また、AppendixにDynareやNew IS-LMに詳しくない読者の便宜のため、Appendixに簡潔なDynare入門であるCollard and Juillard (2001b)全訳とNew IS-LMの導出過程、Sims (2002)の解説を付する。

## 2 New IS-LM

近年、New Keynesian モデルを用いた金融政策分析がしばしば用いられるようになってきている（McCallum (2001)）。欧米の上級マクロ経済学テキスト（Walsh (2003) や Woodford (2003) など）でも New Keynesian モデルが中心に取り上げられている。それらのモデルは、基本的に代表的個人モデルと独占的競争下で中間財を生産する企業の価格改定の機会が確率的に制限されるというモデル（Calvo 型粘着価格モデル、Calvo (1983)）に基づいている。最もシンプルなモデルは以下の 3 式に集約される（導出過程は Appendix を参照のこと）。

1. New Keynesian IS 曲線

2. New Keynesian Phillips 曲線

3. 金融政策ルール (Taylor ルール)

まず第一の要素は New Keynesian IS 曲線：

$$ \hat{Y}_{t}=E_{t}\hat{Y}_{t+1}-\sigma(\hat{R}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1})+\epsilon_{t}^{Y} $$

ここで $ \hat{Y}_{t} $ は GDP ギャップ、 $ \hat{R}_{t} $ は名目短期金利、 $ \hat{\pi}_{t} $ はインフレ率を表す（ただし、ハット付き記号（たとえば $ \hat{X} $ ）は変数 X の定常状態からの乖離を表す。以下同じ）。また $ \sigma $ は定数、 $ \epsilon_{t}^{Y} $ は平均ゼロ・標準偏差 $ \sigma^{Y} $ の正規分布を表す誤差項（以下、記号 $ \epsilon_{t}^{X} $ はすべて正規分布による誤差項を意味する）。第二の要素は New Keynesian Phillips 曲線：

$$ \hat{\pi}_{t}=\beta E_{t}\hat{\pi}_{t+1}+\kappa\hat{Y}_{t}+\epsilon_{t}^{\pi} $$

ここで $ \beta $ は割引因子、 $ \kappa $ は定数である（以下、明らかに定数である場合は説明を省くことがある）。第三の要素は短期の名目金利をターゲットとする金融政策ルール（通常は Taylor ルール）が用いられることが多い。

$$ \hat{R}_{t}=\phi_{1}\big(\hat{\pi}_{t}-\pi^{*}\big)+\phi_{2}\hat{Y}_{t}+\epsilon_{t}^{R} $$

ここで $ \pi^{*} $ はインフレ目標値を表す。以上の3式からなる分析モデルは従来のIS-LMとの類推からNew IS-LMと呼ばれることが多い $ ^{7} $ 。なお、金融政策ルールとして式(3)の代わりに、吉野・義村(1997)、Clarida et al. (2000)などの先行研究に基づき以下のような政策ルール([Henderson-McKibbin-]Taylor ルール)を用いることも多い $ ^{8} $ 。

$$ \hat{R}_{t}=\rho_{m}\hat{R}_{t-1}+\big(1-\rho_{m}\big)\big\{\phi_{1}\big(\hat{\pi}_{t}-\pi^{*}\big)+\phi_{2}\hat{Y}_{t}\big\}+\epsilon_{t}^{R} $$

新たに加わった $ \rho_{m}\hat{R}_{t-1} $ 項は中央銀行が政策金利の変動を平滑化することを意味している。今回は式(4)を政策ルールとして用いた。
// New IS-LM, Kato (2006), Walsh (2003), Woodford (2003),

New IS-LM は GDP ギャップ、インフレ率、名目短期金利に関する 3 式という非常に簡単なモデルであるため、金融政策に関する議論の出発点としてしばしば用いられている。図 1 に 1 標準偏差分の利上げを行った場合のインパルス応答関数を示す。New IS-LM の問題点は図 1 に見られるように

図1: New IS-LMにおける金利ショック

利上げが即時的にインフレ率とGDPギャップの下降を招いている点にある。しかし、現実の経済では利上げがGDPやインフレ率に即時的に影響を及ぼすとは考え難い。むしろ利上げの効果はある程度のラグを持ってGDPやインフレ率に影響を及ぼすと考えられており、そのため実際のデータは緩やかな丘陵状になると考えられている。実際、New IS-LMは必ずしも実データとの整合性がよくないことが知られており、New IS-LMが普及し始めた時期から克服すべき課題とされていた（その点を克服するために提唱されたのが次節で解説するChristiano et al. (2005)のモデルである）。最後に本節でのシミュレーションに用いたコードを掲載する（パラメーターは加藤 (2006)を参考にした）。

// and Clarida, Gali, Gertler (2000)

// Copyright (c) 2007 Koiti Yano

//Endogenous variables

var pi Y R;
// Exogenous variables
varexo epi eY eR;

// Parameters
parameters beta kap mu sig rhom phi1 phi2 target sdpi sdY sdR;
beta=0.99;
kap=0.5;
sig=1.5;
rhom=0.8;
phi1=1.5;
phi2=0.5;
target=0;
sdpi=0.2;
sdY=0.2;
sdR=0.2;

// Model
model(linear);
pi=beta*pi(+1)+kap*Y+epi; // New Keynesian Phillips Curve
Y=Y(+1)-sig*(R-pi(+1))+eY; // New Keynesian IS curve
// R=phi1*pi+phi2*Y+eR; // Taylor rule (Simple)
R=rhom*R(-1)+(1-rhom)*(phi1*(pi-target)+phi2*Y)+eR; // Tarlor rule
end;

// Initial conditions
initval;
Y=0;
R=0;
pi=0;
end;

// Shocks
shocks;
var epi=sdpi^2;
var eY=sdY^2;
var eR=sdR^2;
end;

// Simulation
check;
stoch_simul(irf=10) R pi Y;

## 3 Hybrid New IS-LM

本節では、Christiano et al. (2005) で提唱された Hybrid New IS-LM (Medium-scale DSGE model) のシミュレーションについて述べる。このモデルは前節の New IS-LM に (1) 代表的個人の効用関数に習慣形成の効果を含める、(2) 名目質金の硬直性、(3) 改定されなかった場合の名目価格・名目質金をインフレ連動、(4) 資本と投資、(4) 投資の調整コストなどの仮定を追加して、New IS-LM の問題点を解消することに成功している。Christiano et al. (2005) を対数線形化したモデル（Hybrid New IS-LM）は式 (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12), (13) で表される（以下の式は Smets and Wouters (2003) と Onatski and Williams (2004) の定式化に基づくため、モデルの詳細についてはそれらの文献を参照されたい。パラメーターは Iiboshi et al. (2005) による 1970 年から 1998 年までの日本経済マクロデータによる推定結果に基づく。なお、読者の便宜を考え、元のモデルを少し簡略化してある）⁹。消費 $\hat{C}_{t}$ に習慣形成がある場合のオイラー方程式は以下の通りである。

$$ \hat{C}_{t}=\frac{h}{1+h}\hat{C}_{t-1}+\frac{1}{1+h}E_{t}\hat{C}_{t+1}-\frac{1-h}{(1+h)\sigma_{c}}(\hat{R}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1})+\epsilon_{t}^{C} $$

ここで h は習慣形成の度合いを表し、$\sigma_{C}$ は CRRA 型消費関数のパラメーターであり、$\epsilon_{t}^{C}$ は需要ショックである。投資には調整コストを導入し、投資がトービンの $\hat{Q}_{t}$ によって決まることとなる。投資 $\hat{I}_{t}$ とトービンの $\hat{Q}_{t}$ に関する式は以下の通りである。

$$ \hat{I}_{t}=\frac{1}{1+\beta}\hat{I}_{t-1}+\frac{\beta}{1+\beta}E_{t}\hat{I}_{t+1}+\frac{\varphi}{1+\beta}\hat{Q}_{t}+\epsilon_{t}^{I} $$

ここでβは割引因子であり、φは定数であり、 $ \epsilon_{t}^{I} $ は投資ショックである。トービンの $ \hat{Q}_{t} $ は以下のように決まる。

$$ \hat{Q}_{t}=-(\hat{R}_{t}-\hat{\pi}_{t+1})+\frac{1-\tau}{1-\tau+\bar{r}^{k}}E_{t}\hat{Q}_{t+1}+\frac{\bar{r}^{k}}{1-\tau+\bar{r}^{k}}\hat{r}_{t+1}^{K}+\epsilon_{t}^{Q} $$

ここで $ \tau,\bar{r}^{K} $ は定数であり、 $ \epsilon_{t}^{Q} $ はトービンの Q に対するショックである。資本 $ \hat{K}_{t} $ の遷移式は以下の通りである。

$$ \hat{K}_{t}=(1-\tau)\hat{K}_{t-1}+\tau\hat{I}_{t-1} $$

Christiano et al. (2005) は中間財市場で独占的競争企業が中間財を生産していると想定しており、その価格設定には Calvo 型粘着価格モデルを採用している。Calvo 型粘着価格モデルにおけるパラメータ $ \xi_{p} $ は t 期において価格改定できない企業の割合を示し、 $ 1 - \xi_{p} $ の企業が最適な価格を設定できると仮定して、New Keynesian Phillips 曲線を導出できる (Appendix 参照)。Christiano et al. (2005) はさらに t 期に価格改定できなかった企業が製品価格を t - 1 期のインフレ率に連動させる (inflation indexation) という仮定を導入し、New Keynesian Phillips 曲線に過去のインフレ率に依存する項を追加した Hybrid New Keynesian Phillips 曲線を採用している。インフレ率 $ \hat{\pi}_{t} $ に関する Hybrid New Keynesian Phillips 曲線は以下の通りである。

$$ \hat{\pi}_{t}=\frac{\gamma_{p}}{1+\beta\gamma_{p}}\hat{\pi}_{t-1}+\frac{\beta}{1+\beta\gamma_{p}}E_{t}\hat{\pi}_{t+1}+\frac{(1-\beta\xi_{p})(1-\xi_{p})}{(1+\beta\gamma_{p})\xi_{p}}[\alpha\hat{r}_{t}^{K}+(1-\alpha)\hat{w}_{t}-\epsilon_{t}^{a}+\epsilon_{t}^{\pi}] $$
図 2: Hybrid New IS-LM における金利ショック

書く。ただし、DSGE の論文では資本は $\hat{K}_{t+1}(t+1$ 期の期初 )と書くことが多いが、DYNARE のプログラミング上は $\hat{K}_{t}(t$ 期の期末 )と考える

• DYNARE では外生ショックは iid（独立同分布）で定義する：

$$ \hat{A}_{t}=\rho_{A}\hat{A}_{t-1}+\epsilon_{t}^{A} $$

DSGE に関する論文では今期の $\hat{A}_{t}$ を外生状態変数（外生ショック）とすることが多いが、Dynare では $\hat{A}_{t-1}$ が内生の状態変数、$\epsilon_{t}^{A}$ を外生状態変数（外生ショック）と考える

最後に本節でのシミュレーションに用いたコードを掲載する。

// Christiano, Eichenbaum, and Evans (2005), Smets and Wouters (2003),
// Clarida, Gali, Gertler (2000), and Iiboshi Nishiyama, and Watanabe (2005)
// Parameter estimates are described in Iiboshi Nishiyama, and Watanabe (2005).
// Copyright (c) 2007 Koiti Yano,
// Endogenous variables
var Y C I Q K pi w L rk R;
// Exogenous variables
varexo eC eI eQ epi ew ea eR;
図 3: Hybrid New IS-LM におけるインフレショック

// Parameters
parameters beta h sigC psi tau rbarK gammaP xiP sigpi alpha gammaW lambdaW;
parameters xiW sigL sigW rhow phi ky gy phi y rhom phi1 phi2 target;
parameters sdC sdI sdQ sdpi sdw sda sdR;
beta = 0.99;
h = 0.79;
sigC = 1.92;
psi = 0.041;
tau = 0.025;
rbarK = 1/beta - 1 + tau;
gammaP = 0.579;
xiP = 0.791;
sigpi = ((1-beta*xiP)*(1-xiP))/(1+beta*gammaP)*xiP);
alpha = 0.3;
gammaW = 0.581;
lambdaW = 0.05;
sdR = 0.015;

// Model
model (linear);

C = (h/(1+h))*C(-1) + (1/(1+h))*C(+1) - (1-h)/(1+h)*sigC)*(R - pi(+1)) + eC;
I = (1/(1+beta))*I(-1) + (beta/(1+beta))*I(+1) + psi/(1+beta)*Q + eI;
Q = -(R - pi(+1)) + (1-tau)/(1-tau+rbarK)*Q(+1) + rbarK/(1-tau+rbarK)*rk + eQ;
K = (1-tau)*K(-1) + tau*I;

pi = gammaP/(1+beta*gammaP)*pi(-1) + beta/(1+beta*gammaP)*pi(+1)
+ sigpi*(alpha*rk + (1-alpha)*w - ea + epi);

w = (1/(1+beta))*w(-1) + (beta/(1+beta))*w(+1) + (gammaW/(1+beta))*pi(-1)
- ((1+beta*gammaW)/(1+beta))*pi + (beta/(1+beta))*pi(+1)
- sigW*(w - sigL*L - (sigC/(1-h))*C-h*C(-1)) - ew);

L = -w + (1+phi)*rk + K(-1);

Y = (1-tau*ky-gy)*C + tau*ky*I + rbarK*ky*phi*rk;

Y = phi*alpha*K(-1) + phi*alpha*phi*rk + phi*((1-alpha)*L + phi*ea);

R = rhom*R(-1) + (1-rhom)*(phi1*(pi-target) + phi2*Y) + eR;

end;

// Initial conditions
initial;

Y = 0;

C = 0;

I = 0;

Q = 0;

K = 0;

pi = 0;

w = 0;

L = 0;

rk = 0;

R = 0;

end;

// Shocks

shocks;

var eC = sdC^2;

var eI = sdI^2;

var eQ = sdQ^2;

var epi = sdpi^2;

var ew = sdw^2;
「経済分析」第181号
var ea = sda^2;
var eR = sdR^2;
end;
// Simulation
check;
stoch_simul(irf=50, LINEAR) R Y C pi w I;

## 4 流動性制約下の家計を伴う Hybrid New IS-LM

本節では Erceg et al. (2006)、Coenen and Straub (2005) に倣い、前節で述べたモデルに流動性制約下の家計を導入する。流動性制約下の家計は消費の異時点間最適化を行えないため、可処分所得をすべて消費に費やしてしまうと仮定する。手を動かして働いた収入をすべて口に運んで食べてしまうというイメージから Hand-to-Mouth 家計（以下 HM 家計）と呼ぶことにする $ ^{11} $ 。HM 家計は消費の異時点間最適化を行わないため、リカードの等価命題が成り立たない。つまり、一時的な所得移転を得るとそれをすべて消費に回してしまうため、HM 家計に関しては財政政策が効果を持つことになる。

最初に式(12)を以下のように変更する。

$$ \begin{aligned}\hat{Y}=&\lambda_{o}(1-\tau k_{y}-g_{y})\hat{C}_{t}+\tau k_{y}\hat{I}_{t}+\bar{r}^{k}k_{y}\psi\hat{r}_{t}^{K}+(1-\lambda_{o})(1-\tau k_{y}-g_{y})\hat{C}_{t}^{hm}+g_{y}\hat{G}_{t}\\\hat{Y}=&\phi_{y}\alpha\hat{K}_{t-1}+\phi_{y}\alpha\psi\hat{r}_{t}^{K}+\phi_{y}(1-\alpha)\hat{L}_{t}+\epsilon_{t}^{a}\end{aligned} $$

ここで $ \hat{C}_{t}^{hm} $ は HM 家計の消費、 $ \hat{G}_{t} $ は政府支出、 $ \lambda_{o} $ は消費の異時点間最適化を行う家計の比率を表している（シミュレーションでは畑農 (2004) などの先行研究を参考に、 $ \lambda_{o}=0.6 $ （つまり 60％が異時点最適化を行う家計、40％が HM 家計）とした）。さらに HM 家計は以下の式に従って消費を決定すると仮定する。

$$ C_{t}^{hm}=w_{t}L_{t}+TR_{t} $$

ここで $ TR_{t} $ は t 期における所得移転を示す。また、モデルを簡単にするため HM 家計の賃金と労働供給は最適化を行う家計に完全に連動すると仮定する。式 (15) を対数線形化すると以下の式となる。

$$ \hat{C}_{t}^{h m}=\rho_{h m}(\hat{w}_{t}+\hat{L}_{t})+\sigma_{h m}\hat{T R}_{t} $$

ここで $ \rho_{hm} = \bar{w}\bar{L}/\bar{C}^{hm} $ と $ \sigma_{hm} = \bar{T}\bar{R}/\bar{C}^{hm} $ は定数である。なお、簡単化のために本論文での政府は民間から税の徴収は行わず、国債の償還・発行の範囲内だけで政府支出と所得移転を決定するものとする。その場合、政府予算制約式は以下の形で定式化される。

$$ G_{t}+T R_{t}+\frac{(1+R_{t-1})B_{t-1}}{P_{t}}=\frac{B_{t}}{P_{t}} $$

ここで $ G_{t} $ は政府支出、 $ B_{t} $ は国債発行量、 $ P_{t} $ は物価水準である。対数線形化すると以下の式を得る。

$$ \hat{G}_{t}+\rho_{T R}\hat{T R}_{t}+\rho_{b}(\hat{R}_{t}+\hat{b}_{t-1}-\pi_{t})=\sigma_{b}\hat{b}_{t} $$
ここで $ b_{t} = B_{t} / P_{t} $ と記号を置き換えてある。また、 $ \rho_{TR} = \bar{T} R / \bar{G}, \rho_{b} = (1 + \bar{R}) \bar{b} / (\bar{\pi} \bar{G}), \sigma_{b} = \bar{b} / \bar{G} $ は定数である。また $ \hat{G}_{t} $ と $ \hat{T} R_{t} $ は以下の確率的プロセスに従うと仮定する。

$$ \hat{G}_{t}=\alpha_{G}\hat{G}_{t-1}+\epsilon_{t}^{G} $$

$$ \hat{T R}_{t}=\alpha_{T R}\hat{T R}_{t-1}+\epsilon_{t}^{T R} $$

まとめると式(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12′),(13),(15),(17),(18),(19)が本節のモデルである。次に所得移転ショック $ T\hat{R}_{t} $ を表すインパルス応答関数を図5に示す。図から分かるように所得移転により異時点最適化を行う家計の消費 $ \hat{C}_{t} $ は程度低下しているが、HM家計の消費 $ \hat{C}_{t}^{hm} $ は上昇しており、全体の $ \hat{Y}_{t} $ が上昇している。そのため、所得移転がある程度の景気浮揚効果を持つことが分かる。最後にシミュレーションに用いたコードを掲載する。

図 5: HM 家計あり Hybrid New IS-LM における所得移転

// Christiano, Eichenbaum, and Evans (2005), Smets and Wouters (2002),

// and Erceg (2006) [SIGMA]
//Endogenous variables
var Y C I Q K pi w L rk R b G TR Chm;

// Exogenous variables
varexo eC eI eQ epi ew ea eR eG eTR;

// Parameters
parameters beta h sigC psi tau rbarK gammaP xiP sigpi a;
parameters xiW sigL sigW rhow phi ky gy phiy rhom phil j;
parameters lambdao rhoTR rhob sigb rhomh sighm alphaG a;
parameters sdC sdI sdQ sdpi sdw sda sdR sdG sdTR;

beta = 0.99;
h = 0.79;
sigC = 1.92;
psi = 0.041;
tau = 0.025;
rbarK = 1/beta - 1 + tau;
gammaP = 0.579;
xiP = 0.791;
sigpi = ((1-beta*xiP)*(1-xiP))/(1+beta*gammaP)*xiP);
alpha = 0.3;
gammaW = 0.581;
lambdaW = 0.05;
xiW = 0.275;
sigL = 2.077;
sigW = (lambdaW*(1-beta*gammaW)*(1-gammaW))/((1+beta)*(lambdaW+(1+lambdaW)*sigL)*xiW);
phi = 0.288;
ky = 2.2;
gy = 0.2;
phy = 1.588;
rhom = 0.68;
phi1 = 1.62;
phi2 = 0.097;
target = 0;
lambdao = 0.6;
rhoTR = 0.2;
rhob = 0.1;
sigb = 0.1;
rhohm = 0.2;
sighm = 0.3;
alphaG = 0.1;
alphaTR = 0.85;
sdC = 0.125;
sdI = 0.045;
sdQ = 0.3;
sdpi = 0.33;
sdw = 0.25;
sda = 0.202;
sdR = 0.015;
sdG = 0.01;
sdTR = 0.5;

// Model
model (linear);

C = (h/(1+h))*C(-1) + (1/(1+h))*C(+1) - (1-h)/(1+h)*sigC)*(R - pi(+1)) + eC;
I = (1/(1+beta))*I(-1) + (beta/(1+beta))*I(+1) + psi/(1+beta)*Q + eI;
Q = -(R - pi(+1)) + (1-tau)/(1-tau+rbarK)*Q(+1) + rbarK/(1-tau+rbarK)*rk + eQ;
K = (1 - tau)*K(-1) + tau*I;
pi = gammaP/(1+beta*gammaP)*pi(-1) + beta/(1+beta*gammaP)*pi(+1) + sigpi*(alpha*rk + (1-alpha)*w - ea + epi);
w = (1/(1+beta))*w(-1) + (beta/(1+beta))*w(+1) + (gammaW/(1+beta))*pi(-1) - ((1+beta*gammaW)/(1+beta))*pi + (beta/(1+beta))*pi(+1) - sigW*(w - sigL*L - (sigC/(1-h))*((C-h*C(-1)) - ew);
L = -w + (1+phi)*rk + K(-1);
Y = lambda0*(1-tau*ky-gy)*C + tau*ky*I + rbarK*ky*phi*rk + (1-lambda0)*(1-tau*ky-gy)*Chm + gy*G;
Y = phi*alpha*K(-1) + phi*alpha*phi*rk + phi*((1-alpha)*L + phi*ea);
G+rhoTR*TR+rhob*(R + b(-1) - pi)=sigb*b;
Chm = rhohm*(w + L) + sighm*TR;
G = alphaG*G(-1) + eG;
TR = alphaTR*TR(-1) + eTR;
R = rhom*R(-1) + (1-rhom)*(phi1*(pi-target) + phi2*Y) + eR;

end;

// Initial conditions
initval;
Y = 0;
C = 0;
I = 0;
Q = 0;
K = 0;
pi = 0;
w = 0;
L = 0;
rk = 0;
R = 0;
b = 0;
G = 0;
TR = 0;
Chm = 0;
end;

// Shocks

shocks;
var eC = sdC^2;
var eI = sdI^2;
var eq = sdQ^2;
var epi = sdpi^2;
var ew = sdw^2;
var ea = sda^2;
var eR = sdR^2;
var eg = sdG^2;
var eTR = sdTR^2;
end;

// Simulation

check;
stoch_simul(irf=50, LINEAR) R Y C pi w I G Chm;

## 5 まとめ

本論文では DYNARE を用いた動学的確率的一般均衡モデルのシミュレーションを紹介した。はじめに Gali (2002) などに代表される New Keynesian モデル (New IS-LM) によるシミュレーションを解説し、続いて Christiano et al. (2005), Smets and Wouters (2003) で提唱された New Keynesian モデル (Hybrid New IS-LM) と Hybrid New IS-LM モデルに流動性制約下にある家計を導入したモデルのシミュレーションを解説した。

今後の課題としてはゼロ金利政策ならびに量的緩和政策を分析するため金利の非負制約（ゼロ金利制約）を考慮したモデルの構築が必要である $ ^{12} $ 。また今回のモデルは小規模なものに留まっているが、今後はより大規模なDSGEモデルを実現していく予定である。さらに、近年 Dynare の機
能であるマルコフ連鎖モンテカルロ法（Markov Chain Monte Carlo）によるDSGEパラメータ一推定も盛んに行われるようになっている $ ^{13} $ 。今後はそれらの重要手法に対してさらに理解を深めるとともに筆者が提唱するモンテカルロフィルター（粒子フィルター）と自己組織化状態空間モデルを組み合わせてDSGEを推定する手法（Yano(2008)）も同時に推進して行く予定である $ ^{14} $ 。

## 付録 A プログラムファイル名

本論文で使用したプログラムは以下のサイトで配布する。

http://koitiyano.hp.infoseek.co.jp/dynare/

各モデルに対応するファイル名は以下の通り。

1. New IS-LM モデル: newislm.mod

2. Hybrid New IS-LM モデル: smets.mod

3. Hand-to-Mouth モデル: h2m.mod

4. Collard and Juillard (2001b) の例：example1.mod (Dynare に付属で配布されているもの)

## 付錄 B Collard and Juillard (2001b) 全訳

本節では Real Business Cycles モデル（以下、RBC）を題材として DYNARE を解説する $ ^{15} $ 。RBC では無限期間の経済を考え、そこに多数で同質の家計と多数で同質の企業が完全競争市場下で活動していると想定する。企業は資本と労働を用いて同質な最終財を生産する。最終財は消費することも投資に使うこともできると仮定する。企業は資本を保有し、家計が提供する労働を雇用して生産を行う。この企業は家計に保有されていると想定する。各期には、消費財市場、労働市場、資本財市場の3つの完全競争市場が開催されると考える。家計の選好は以下の式で定式化される。

$$ E_{t}\sum_{\tau=t}^{\infty}\beta^{\tau-t}\left(\log(c_{t})-\theta\frac{h_{t}^{1+\psi}}{1+\psi}\right) $$

ここで $ 0 < \beta < 1 $ は割引因子、 $ c_{t} $ は t 期の消費、 $ h_{t} $ は t 期の労働、 $ \theta > 0 $ と $ \psi \geqslant 0 $ は定数である。さらに以下の制約条件の下で、経済全体を統制する中央計画者が存在し、家計の効用関数を最大化させるように消費、労働、資本蓄積を決定する。

$$ c_{t}+i_{t}=y_{t} $$

ここで $ i_{t} $ は投資、 $ y_{t} $ は産出である。投資は物的資本として以下の式で蓄積される。

$$ k_{t+1}=\exp(b_{t})i_{t}+(1-\delta)k_{t}\;\mathrm{w i t h}\;0<\delta<1 $$