Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
δは資本減耗率であり、 $ b_{t} $ は投資を資本に変換する効率性を示すショックである（ $ b_{t} $ については後述）。

産出は資本と労働を用いて決定される。本節では Cobb–Douglas 型生産関数を用いる $ ^{16} $ 。

$$ y_{t}=\exp(a_{t})k_{t}^{\alpha}h_{t}^{1-\alpha}\mathrm{w i t h}0<\alpha<1 $$

ここで $ a_{t} $ は技術に対するショック（もしくはSolow残差）を表す。先述したショック $ a_{t} $ と $ b_{t} $ は、それぞれ平均はゼロであるが、t期において相関するような関係にあると想定する。ショック $ a_{t} $ と $ b_{t} $ のプロセスは以下の通りである。

$$ \left(\begin{array}{l}a_{t}\\ b_{t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l l}\rho&\tau\\ \tau&\rho\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}a_{t-1}\\ b_{t-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}\varepsilon_{t}\\ \nu_{t}\end{array}\right) $$

ここで定常性を満たすため $ |\rho + \tau| < 1 $ と $ |\rho - \tau| < 1 $ である必要がある。さらに以下の条件が必要である。

$$ \begin{aligned}E(\varepsilon_{t})\quad&=\quad0,\\E(\nu_{t})\quad&=\quad0,\\E(\varepsilon_{t}\varepsilon_{s})\quad&=\quad\left\{\begin{array}{ll}\sigma_{\varepsilon}^{2}&if\quad t=s\\0&if\quad t\neq s\end{array}\right.,\\E(\nu_{t}\nu_{s})\quad&=\quad\left\{\begin{array}{ll}\sigma_{\nu}^{2}&if\quad t=s\\0&if\quad t\neq s\end{array}\right.,\\E(\varepsilon_{t}\nu_{s})\quad&=\quad\left\{\begin{array}{ll}\varphi\sigma_{\varepsilon}\sigma_{\nu}&if\quad t=s\\0&if\quad t\neq s\end{array}\right..\end{aligned} $$

これまでの設定において問題の最適性を満たす1階の条件は以下のように得られる。

$$ \begin{aligned}&c_{t}\theta h_{t}^{1+\psi}=(1-\alpha)y_{t}\\&\beta E_{t}\left[\left(\frac{\exp(b_{t})c_{t}}{\exp(b_{t+1})c_{t+1}}\right)\left(\exp(b_{t+1})\alpha\frac{y_{t+1}}{k_{t+1}}+1-\delta\right)\right]=1\\&y_{t}=\exp(a_{t})k_{t}^{\alpha}h_{t}^{1-\alpha}\\&k_{t+1}=\exp(b_{t})(y_{t}-c_{t})+(1-\delta)k_{t}\\&a_{t}=\rho a_{t-1}+\tau b_{t-1}+\varepsilon_{t}\\&b_{t}=\tau a_{t-1}+\rho b_{t-1}+\nu_{t}\\ \end{aligned} $$

以上で RBC に関する説明は終了し、続いて DYNARE のコードの書式について述べる。

基本的には DYNARE のコードは (1) 内生変数や外生変数、パラメーターについて設定する preamble、(2) モデルについて設定する model、(3) モデルを解き、シミュレーション（インパルス応答分析）を行う設定から構成される。以下、それぞれのステップについて一つずつ記述していく $ ^{17} $ 。
以上のルールに留意しながら、本節でのモデルを記述すると以下の通りである。

model;
c*theta*h^(1+psi)=(1-alpha)*y;
k = beta*((exp(b)*c)/(exp(b(+1))*c(+1))) * (exp(b(+1))*alpha*y(+1)+(1-delta)*k));
y = exp(a)*(k(-1)^alpha)*(h^(1-alpha));
k = exp(b)*(y-c)+(1-delta)*k(-1);
a = rho*a(-1)+tau*b(-1) + e;
b = tau*a(-1)+rho*b(-1) + u;
end;

もし、レベルではなく対数で Taylor 展開を行う必要がある場合はモデルを以下のように書き直す必要がある。

model;
exp(c)*theta*exp(h)^(1+psi)=(1-alpha)*exp(y);
exp(k) = beta*((exp(b)*exp(c))/(exp(b(+1))*exp(c(+1))))
*(exp(b(+1))*alpha*exp(y(+1))+(1-delta)*exp(k)));
exp(y) = exp(a)*(exp(k(-1))^alpha)*(exp(h)^(1-alpha));
exp(k) = exp(b)*(exp(y)-exp(c))+(1-delta)*exp(k(-1));
a = rho*a(-1)+tau*b(-1) + e;
b = tau*a(-1)+rho*b(-1) + u;
end;

この場合、消費のレベルは $ \exp(c) $ で与えられる。

モデルを解く 次にモデルの合理的期待解を計算し、インパルス応答関数を算出するための設定を行う。

1. はじめに均衡を計算するための初期条件を数値的に与える。初期条件は文字列 initial；と end；の間に記述する。初期値を設定すべきなのは内生変数、外生変数である。さらに本節のモデルではショックがない場合の非確率的均衡を計算するためにショック e と u にも初期値を設定する。

initial;
y = 1.08068253095672;
c = 0.80359242014163;
h = 0.29175631001732;
k = 11.08360443260358;
a = 0;
b = 0;
e = 0;
u = 0;
end;
2. 次にイノベーション項（e と u）を特定するために分散共分散行列を設定する。この設定は Sigma_e コマンドで行うことができる。

Sigma_e = [ 0.000081, (phi*0.009*0.009); ...
0.000081];

ここでイノベーションの分散は両方とも0.000081に設定されている。Sigma_eでのショックはvarexoで記述された順番で並べる必要がある。なお、要素が記号である場合（ここではphi）その記号はそれより前に特定の値を与えておく必要がある。

Sigma_e を使わない方法としては shocks；と end；を使う方法がある。

shocks;
var e = 0.009^{2};
var u = 0.009^{2};
var e, u = phi*0.009*0.009;
end;

3. stoch_simul；コマンドを書くことで、モデルが解かれ、シミュレーションが行われる。デフォルトでは近似された decision rules の係数とシミュレートした変数のモーメントが表示され、外生ショックに対するインパルス応答関数がプロットされる。さらに以下のオプションを使うことができる。

- DR_ALGO = [0,1]: Decision rules の 2 次近似を行うアルゴリズムを設定する $ ^{18} $ 。[0]（デフォルト）の場合は Schmitt-Grohe and Uribe (2004) のアルゴリズムを使用し、[1] の場合は Collard and Juillard (2001a) のアルゴリズムを使用する

AR = 整数: 自己相関係数の次数の指定（デフォルトでは=5）

NOCORR 相関行列を印刷しない（デフォルトでは印刷する）

- DROP = 整数: シミュレーションした変数の記述統計を計算する際に最初のいくつまでを捨てるか指定（デフォルトでは=100）

• IRF = 整数: インパルス応答関数の計算期間を設定する（デフォルトでは=40）

• NOFUNCTIONS 近似された解の係数をプリントしない

• LINEAR オリジナルのモデルが線形であることを示す

- NOMOMENTS 内生変数のモーメントをプリントしない

• ORDER = [1,2] Taylor 近似の次数（デフォルトでは=2）

- REPLIC = 整数: IRF(インパルス応答関数)を計算する際に使用するシミュレーションされた時系列の数を設定する(ORDER=1の場合はREPLIC=1、それ以外ではREPLIC=50)

シミュレートされた結果は変数名（var や varexo で使用した名前）の MATLAB のベクトルとして出力される（そのため MATLAB の予約語を変数名で使用しないように注意）。分散共分散行列を指定する時には政策関数が 2 次近似できるようなものを指定するように注意すること。さらに DYNARE はモーメントの計算をする時にはショックは正規分布に従うと仮定している。

本節のモデルでは単純に以下のように書けばよい。
「経済分析」第181号

stoch_simul;

Collard and Juillard (2001a) のアルゴリズムを使い、初期値を 200 捨てる場合には以下のように書けばよい。

simul_stoch(dr_algo=1,drop=200);

レベルで表記した場合の DYNARE のプログラム例

ここまで述べたレベルでモデルを表記した場合の DYNARE のコードをまとめる。

periods 20100;

var y, c, k, a, h, b;

varexo e, u;

parameters beta, rho, beta, alpha, delta, theta, psi, tau;

alpha = 0.36;
rho = 0.95;
tau = 0.025;
beta = 0.99;
delta = 0.025;
psi = 0;
theta = 2.95;
phi = 0.1;

model;
c*theta*h^(1+psi)=(1-alpha)*y;
k = beta*(((exp(b)*c)/(exp(b(+1))*c(+1))) * (exp(b(+1))*alpha*y(+1)+(1-delta)*k));
y = exp(a)*(k(-1)^alpha)*(h^(1-alpha));
k = exp(b)*(y-c)+(1-delta)*k(-1);
a = rho*a(-1)+tau*b(-1) + e;
b = tau*a(-1)+rho*b(-1) + u;
end;

initial;
y = 1.08068253095672;
c = 0.80359242014163;
h = 0.29175631001732;
k = 11.08360443260358;
a = 0;
b = 0;
e = 0;
u = 0;
end;
Sigma_e = [0.000081, phi*0.009*0.009; 0.000081];
stoch_simul;

図 6: RBC: Shock to e
theta = 2.95;
model;
exp(c)*theta*exp(h)^(1+psi)=(1-alpha)*exp(y);
exp(k) = beta*((exp(b)*exp(c))/(exp(b(+1))*exp(c(+1))))
*(exp(b(+1))*alpha*exp(y(+1))+(1-delta)*exp(k)));
exp(y) = exp(a)*(exp(k(-1))^alpha)*(exp(h)^(1-alpha));
exp(k) = exp(b)*(exp(y)-exp(c))+(1-delta)*exp(k(-1));
a = rho*a(-1)+tau*b(-1) + e;
b = tau*a(-1)+rho*b(-1) + u;
end;

initial;
y = 0.1;
c = -0.2;
h = -1.2;
k = 2.4;
a = 0;
b = 0;
e = 0;
u = 0;
end;

steady;

shocks;
var e = 0.009^2;
var u = 0.009^2;
end;

stoch_simul(dr_algo=1,drop=200);

## 付録 C New IS-LM の導出

本節では New Keynesian(ニューケインジアン)による金融政策分析モデルを取り上げる $ ^{19} $ 。このモデルは現代マクロ経済学における金融政策の分析の基礎となるモデルであり、現在、金融政策に関するほとんどの分析がこのモデルを出発点としている。

このモデルでは家計は労働を供給し、消費のために財を購入し、貨幣と債券を保有する。企業は労働者を雇用し、それぞれ特有の財を生産し、独占的競争市場でそれを売却する。企業は財の価格を設定することが出来るが、すべての企業が各期毎に価格を再設定するできるとは限らない。家計と企業ともに最適行動を取る（家計は期待効用を最大化し、企業は利益を最大化する）。中央銀行は名目利子率を制御するが、最適化行動は取らないものとする。

$ ^{19} $ 本節の記述は Walsh (2003) の第 5 章 4 節に基づき、原文よりさらに詳細に計算過程を示したものである。
家計の効用は以下の式で表される。

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}\Big[\frac{C_{t+i}^{1-\sigma}}{1-\sigma}+\frac{\gamma}{1-b}\Big(\frac{M_{t+i}}{P_{t+i}}\Big)^{1-b}-\chi\frac{N_{t+i}^{1+\eta}}{1+\eta}\Big] $$

ただし、ここで $ C_{t} $ は構成消費財（後述） $ M_{t}/P_{t} $ は実質貨幣残高、 $ N_{t} $ は労働を表す。構成消費財は異なる最終財から構成される。その最終財は独占的競争市場で売却される。企業は連続で1に正規化され、企業jは財 $ c_{j} $ を製造する。構成消費財は以下のような形で定義される。

$$ C_{t}=\left[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}d j\right]^{\frac{\theta}{\theta-1}}\quad\theta>1. $$

ここでθは各財に対する需要の価格弾力性を表している。

家計の意思決定は二段階に分けて行われる。(1)最初に $ C_{t} $ のレベルを考慮せずに構成財を購入する費用を最小にすることを考える。(2)次に $ C_{t} $ 、 $ N_{t} $ 、 $ M_{t} $ に関する最適化を考える。

ステップ(1)：最初に $ C_{t} $ を購入する費用を最小化することを考える。

$$ \min_{c_{j,t}}\int_{0}^{1}p_{j,t}c_{j,t}dj $$

制約条件を以下に示す。

$$ \left[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}d j\right]^{\frac{\theta}{\theta-1}}\geq C_{t} $$

ここで $ p_{j,t} $ は財 j の価格を表す。ラグランジュ乗数を $ \psi_{t} $ と表し Lagrangian を以下に示す。

$$ \mathcal{L}=\int_{0}^{1}p_{j,t}c_{j,t}d j+\psi_{t}\Big[C_{t}-\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}d j\Big]^{\frac{\theta}{\theta-1}}\Big] $$

$ c_{j,t} $ に関する1階の条件を計算する[ここでは $ C_{t} $ は単なる上限としてしか作用しないことに注意]。

$$ \begin{aligned}c_{j,t}:\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_{j,t}}&=0=p_{j,t}-\psi_{t}\frac{\partial}{\partial c_{j,t}}\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}dj\Big]^{\frac{\theta}{\theta-1}}\\&0=p_{j,t}-\psi_{t}\frac{\theta-1}{\theta}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}-1}\frac{\theta}{\theta-1}\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}dj\Big]^{\frac{\theta}{\theta-1}-1}\\&0=p_{j,t}-\psi_{t}c_{j,t}^{-\frac{1}{\theta}}\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}dj\Big]^{\frac{1}{\theta-1}}\\c_{j,t}^{\frac{1}{\theta}}=&\frac{\psi_{t}}{p_{j,t}}\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}dj\Big]^{\frac{1}{\theta-1}}\\c_{j,t}=&\Big(\frac{p_{j,t}}{\psi_{t}}\Big)^{-\theta}C_{t}\end{aligned} $$
という制約条件の下で $ W_{t}N_{jt} $ を最小化する問題として表される。

$$ \min_{N_{t}}\Big(\frac{W_{t}}{P_{t}}N_{j,t}\Big)+\phi_{t}\big(c_{jt}-Z_{t}N_{jt}\big) $$

1階の条件は以下のとおり。

$$ \phi_{t}=\frac{W_{t}/P_{t}}{Z_{t}} $$

ここで $ \phi_{t} $ は企業の実質限界費用である。

企業の価格決定は以下の関数を最大化するものとする。

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[\Big(\frac{p_{jt}}{P_{t+i}}\Big)c_{jt+i}-\phi_{t+i}c_{jt+i}\Big] $$

ここで $ \omega $ は価格改定が行えない企業の比率（外生パラメータ一）であり、確率的割引因子 $ \Delta_{i,t+i} $ は $ \beta^{i}(C_{t+i}/C_{t})^{-\sigma} $ で与えられる。式 (C13) を用いて $ c_{jt} $ を削除する。

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[\Big(\frac{p_{j t}}{P_{t+i}}\Big)^{1-\theta}-\phi_{t+i}\Big(\frac{p_{j t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}\Big]C_{t+i} $$

それぞれの企業は違った製品を作っているが、企業はどれも同じ製造技術を有し、一定で等しい需要弾力性を持つ需要曲線に対応しなければならない。言い換えると、それぞれの企業は本質的に同一だが、Calvo (1983) モデルの仮定により現在の価格はそれぞれに企業で異なる可能性がある（過去もしくは現在に決定した価格を使っている）。しかし、価格調整の機会を与えられた企業は同じ価格を設定する。

1階の条件を計算する。

$$ \begin{aligned}&\frac{\partial}{\partial p_{j,t}}E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{1-\theta}-\phi_{t+i}\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}\Big]C_{t+i}=0\\&E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[(1-\theta)\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}\frac{1}{P_{t+i}}+\phi_{t+i}\theta\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta-1}\frac{1}{P_{t+i}}\Big]C_{t+i}=0\\&E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[(1-\theta)\frac{1}{P_{t+i}}+\phi_{t+i}\theta\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-1}\frac{1}{P_{t+i}}\Big]\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}C_{t+i}=0\\&E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[(1-\theta)\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)+\theta\phi_{t+i}\Big]\Big(\frac{1}{p_{j,t}}\Big)\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}C_{t+i}=0\end{aligned} $$

よって $ p_{t} $ の最適値 $ p_{t}^{*} $ は

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[\big(1-\theta\big)\Big(\frac{p_{t}^{*}}{P_{t+i}}\Big)+\theta\phi_{t+i}\Big]\Big(\frac{1}{p_{t}^{*}}\Big)\Big(\frac{p_{t}^{*}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}C_{t+i}=0 $$

$$ \begin{aligned}&E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}(\theta-1)\frac{1}{P_{t+i}}(p_{t}^{*})^{-\theta}P_{t+i}^{\theta}C_{t+i}=E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\theta\phi_{t+i}\frac{1}{p_{t}^{*}}(p_{t}^{*})^{-\theta}P_{t+i}^{\theta}C_{t+i}\\&\frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}(\theta-1)P_{t+i}^{\theta-1}P_{t}^{1-\theta}P_{t}^{\theta}C_{t+i}=E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\theta\phi_{t+i}P_{t+i}^{\theta}C_{t+i}\\ \end{aligned} $$
ここで $ \Delta_{i,t+i} $ は $ \beta^{i}(C_{t+i}/C_{t})^{-\sigma} $ で与えられることを利用して式を整理する。

$$ \begin{aligned}\frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}&=\Big(\frac{\theta}{\theta-1}\Big)\frac{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\phi_{t+i}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta}C_{t+i}}{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta-1}C_{t+i}}\\ \frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}&=\Big(\frac{\theta}{\theta-1}\Big)\frac{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}{}^{1-\sigma}\phi_{t+i}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta}}{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}{}^{1-\sigma}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta-1}}\end{aligned} $$

ここからは式(C26)を用いて $ \omega=0 $ の時とそうでない時について考察する。まず、 $ \omega=0 $ の時、

$$ \frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}=\Big(\frac{\theta}{\theta-1}\Big)\phi_{t}=\mu\phi_{t} $$

それぞれの企業は価格 $ p_{t}^{*} $ を設定する。価格 $ p_{t}^{*} $ は名目限界費用 $ P_{t}\phi_{t} $ に markup $ \mu > 1 $ を乗じた値になる。この結果は独占的競争モデルでは標準的な結果である。なぜなら、価格が限界費用を超えているから、産出が非効率的に低くなっている。価格が完全に柔軟に変更される場合（つまり今のように $ \omega = 0 $ の時）には企業はどれも同じ価格をつける。この場合には $ p_{t}^{*} = P_{t} $ かつ $ \phi_{t} = 1/\mu $ となる。実質限界費用の定義を使って

$$ \frac{W_{t}}{P_{t}}=\frac{Z_{t}}{\mu} $$

が伸縮価格での均衡になる。それに加えて余暇と消費の代替に関する限界率を加えて

$$ \frac{W_{t}}{P_{t}}=\frac{Z_{t}}{\mu}=\frac{\chi N_{t}^{\eta}}{C_{t}^{-\sigma}} $$

ここから $ \hat{x}_{t} $ を変数 $ X_{t} $ の定常状態からの乖離を表すとする。また添え字 f は伸縮価格での均衡を表すこととする。式 (C29) を定常状態近傍で近似して

$$ \eta\hat{n}_{t}^{f}+\sigma\hat{c}_{t}^{f}=\hat{z}_{t}^{f} $$

また生産関数

$$ \hat{y}_{t}^{f}=\hat{n}_{t}^{f}+\hat{z}_{t}^{f} $$

と合理的期待均衡

$$ \hat{y}_{t}^{f}=\hat{c}_{t}^{f} $$

を用いて

$$ \begin{aligned}\eta\hat{n}_{t}^{f}+\sigma\hat{c}_{t}^{f}&=\hat{z}_{t}^{f}\\\eta(\hat{y}_{t}^{f}-\hat{z}_{t}^{f})+\sigma\hat{y}_{t}^{f}&=\hat{z}_{t}^{f}\end{aligned} $$

よって

$$ \hat{y}_{t}^{f}=\Big(\frac{1+\eta}{\sigma+\eta}\Big)\hat{z}_{t} $$

これが伸縮価格の場合の均衡産出量である。
次に $ \omega > 0 $ である場合（つまり価格が粘着的である場合）を考える。

$$ P_{t}^{1-\theta}=(1-\omega)(p_{t}^{*})^{1-\theta}+\omega P_{t-1}^{1-\theta} $$

次に New Keynesian Phillips 曲線について述べるが、その導出は後述する。

$$ \pi_{t}=\beta E_{t}\pi_{t+1}+\tilde{\kappa}\hat{\phi}_{t} $$

ここで

$$ \tilde{\kappa}=\frac{(1-\omega)(1-\beta\omega)}{\omega} $$

式 (C36) を New Keynesian Phillips 曲線 (NKPC) という。従来の Phillips 曲線と異なり NKPC は forward-looking である。NKPC はエージェントの最適化から導き出されたものであり、ミクロ経済学的基礎を持つという点で、従来の Phillips 曲線とは異なっている。また、NKPC を書き直すと、

$$ \pi_{t}=\tilde{\kappa}\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}E_{t}\hat{\phi}_{t+i} $$

ここまでの表記では NPKC は実質限界費用にしか依存しないように見えるがそうではない。企業の限界費用は以下の形で表されることはすでに見た。

$$ \phi_{t}=\frac{W_{t}/P_{t}}{Z_{t}} $$

これを定常状態からの変化率の式に直すと

$$ \hat{\phi}_{t}=\left(\hat{w}_{t}-\hat{p}_{t}\right)-\hat{z}_{t} $$

また、伸縮価格均衡においては、すべての企業はまったく同じ価格をつけるために式(C29)から

$$ \hat{w}_{t}-\hat{p}_{t}=\eta\hat{n}_{t}+\sigma\hat{y}_{t},\quad(\hat{y}_{t}=\hat{c}_{t}) $$

また、$\hat{y}_{t}=\hat{n}_{t}+\hat{z}_{t}$ を用いて

$$ \begin{aligned}\hat{\phi}_{t}&=\big(\hat{w}_{t}-\hat{p}_{t}\big)-\hat{z}_{t}\\&=\big(\eta\hat{n}_{t}+\sigma\hat{y}_{t}\big)-\hat{z}_{t}\\&=\big(\eta(\hat{y}_{t}-\hat{z}_{t})+\sigma\hat{y}_{t}\big)-\hat{z}_{t}\\&=(\sigma+\eta)\hat{y}_{y}-(1+\eta)\hat{z}_{t}\\&=(\sigma+\eta)\Big[\hat{y}_{y}-\Big(\frac{1+\eta}{\sigma+\eta}\Big)\hat{z}_{t}\Big]\\&=\gamma(\hat{y}_{t}-\hat{y}_{t}^{f})\end{aligned} $$

ただし、$\gamma=\sigma+\eta$ である。またこの結果を使って NKPC を書き直すと

$$ \pi_{t}=\beta E_{t}\pi_{t+1}+\kappa x_{t} $$
ここで $ x_{t} = \hat{y}_{t} - \hat{y}_{t}^{f} $ は価格粘着性がある実世界の産出と伸縮価格での産出のギャップ (New Keynesian 型の産出ギャップ [GDP ギャップ]) である $ ^{21} $ 。ただし、 $ \gamma\kappa = \gamma(1 - \omega)(1 - \beta\omega)/\omega $

次に New Keynesian IS 曲線を導出する。表記を簡単にするため $ I_{t} = (1 + i_{t}) $ と記号を置き換え、式 (C15) と $ Y_{t} = C_{t} $ を用いて

$$ \begin{aligned}Y_{t}^{-\sigma}&=\beta(I_{t})E_{t}\pi_{t+1}^{-1}Y_{t+1}^{-\sigma},\ \left[\pi_{t+1}^{-1}=\frac{P_{t}}{P_{t+1}}\right]\\\left(Y e^{\hat{y}_{t}}\right)^{-\sigma}&=\beta I e^{\hat{i}_{t}}E_{t}\pi e^{\hat{\pi}_{t+1}}\big(Y e^{\hat{y}_{t+1}}\big)^{-\sigma}\\1-\sigma\hat{y}_{t}&=\beta I\pi(1+\hat{i}_{t})E_{t}\big(1-\hat{\pi}_{t+1}\big)\big(1-\sigma\hat{y}_{t+1}\big)\\&\left[\beta I\pi^{-1}=1\right]\\\hat{y}_{t}&=E_{t}\hat{y}_{t+1}-\frac{1}{\sigma}\big(\hat{i}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1}\big)\\\hat{y}_{t}-\hat{y}_{t}^{f}&=\big(E_{t}\hat{y}_{t+1}-E_{t}\hat{y}_{t+1}^{f}\big)-\frac{1}{\sigma}\big(\hat{i}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1}\big)+E_{t}\hat{y}_{t+1}^{f}-\hat{y}_{t}^{f}\\x_{t}&=E_{t}x_{t+1}-\frac{1}{\sigma}\big(\hat{i}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1}\big)+u_{t}\end{aligned} $$

ただし、ここで $ u_{t}=E_{t}\hat{y}_{t+1}^{f}-\hat{y}_{t}^{f} $ をあらわす。この式を New Keynesian IS 曲線（NKIS）という。NKPC と NIS が New Keynesian における金融分析の重要三要素のうちの二つである（三つ目の要素は名目金利を用いた政策ルールである）。NKPC は供給側の関係を表し、NKIS は需要側の関係を表している。

続いて NKPC の導出を行う。

$$ \frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}=\Big(\frac{\theta}{\theta-1}\Big)\frac{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}^{\phantom{i}1-\sigma}\phi_{t+i}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta}}{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}^{\phantom{i}1-\sigma}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta-1}} $$

$$ P_{t}^{1-\theta}=(1-\omega)(p_{t}^{*})^{1-\theta}+\omega P_{t-1}^{1-\theta} $$

我々はインフレ率の定常状態をゼロとおき、そのゼロからはずれたインフレ率を表現することを考える。 $ Q_{t}=p_{t}^{*}/P_{t} $ を(価格調整の機会を得た)すべての企業が期間tに製品価格を調整した場合の製品価格と物価水準の相対価格を意味する。均衡での $ Q_{t} $ はQ=1である。また、 $ Q_{t} $ は各期にすべての企業が製品価格を調整できた場合に1となる。次に式を変形していく。

$$ \begin{aligned}&1=(1-\omega)\Big(\frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}\Big)^{1-\theta}+\omega\Big(\frac{P_{t}}{P_{t-1}}\Big)^{-(1-\theta)}\\ &1=(1-\omega)Q_{t}{}^{1-\theta}+\omega\Big(\frac{P_{t}}{P_{t-1}}\Big)^{-(1-\theta)}\\ &1=(1-\omega)(Q^{SS})^{1-\theta}\big(1+(1-\theta)\hat{q}_{t}\big)+\omega(\pi^{SS})^{1-\theta}\big(1-(1-\theta)\pi_{t}\big)\\ \end{aligned} $$

また、均衡状態では

$$ 1=(1-\omega)(Q^{S S})^{1-\theta}+\omega(\pi^{S S})^{1-\theta} $$
が成り立つ。これを用いて

$$ \begin{aligned}0&=(1-\omega)\hat{q}_{t}-\omega\pi_{t}\\\hat{q}_{t}&=\frac{\omega}{1-\omega}\pi_{t}\end{aligned} $$

が成り立つ。次に

$$ E_{t}\Big[\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}^{\phantom{i}1-\sigma}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta-1}\Big]Q_{t}=\mu E_{t}\Big[\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}^{\phantom{i}1-\sigma}\phi_{t+i}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta}\Big] $$

について考える(ただし $ \mu = \theta / (\theta - 1) $ )。まず左辺を変形する。

$$ \begin{align*}&E_{t}\big[\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}\big(C e^{\hat{c}_{t+i}}\big)^{1-\sigma}\big(\frac{P e^{\hat{p}_{t+i}}}{P e^{\hat{p}_{t}}}\big)^{\theta-1}\big]Q e^{\hat{q}_{t}}\\=&\frac{C^{1-\sigma}}{1-\omega\beta}+\frac{C^{1-\sigma}}{1-\omega\beta}\hat{q}_{t}+C^{1-\sigma}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}\big[(1-\sigma)E_{t}\hat{c}_{t+i}+(\theta-1)\big(E_{t}\hat{p}_{t+i}-\hat{p}_{t}\big)\big]\end{align*} $$

右辺は

$$ \begin{align*}&\mu E_{t}\big[\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}(Ce^{\hat{c}_{t+i}})^{1-\sigma}\phi e^{\hat{\phi}_{t+i}}\big(\frac{Pe^{\hat{p}_{t+i}}}{Pe^{\hat{p}_{t}}}\big)^{\theta}\big]\\=&\frac{C^{1-\sigma}}{1-\omega\beta}+C^{1-\sigma}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}\big[E_{t}\hat{\phi}_{t+i}+(1-\sigma)E_{t}\hat{c}_{t+i}+\theta(E_{t}\hat{p}_{t+i}-\hat{p}_{t})\big]\end{align*} $$

ただし途中で $ \mu = 1/\phi $ を用いた。よって

$$ \begin{align*}\frac{1}{1-\omega\beta}\hat{q}_{t}+\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}\big[(1-\sigma)E_{t}\hat{c}_{t+i}+(\theta-1)\big(E_{t}\hat{p}_{t+i}-\hat{p}_{t}\big)\big]\\=\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}\big[E_{t}\hat{\phi}_{t+i}+(1-\sigma)E_{t}\hat{c}_{t+i}+\theta\big(E_{t}\hat{p}_{t+i}-\hat{p}_{t}\big)\big]\\\hat{q}_{t}+\hat{p}_{t}=&(1-\omega\beta)\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}\big(E_{t}\hat{\phi}_{t+i}+E_{t}\hat{p}_{t+i}\big)\end{align*} $$

左辺は最適な名目価格 $ \hat{p}^{*} = \hat{q}_{t} + \hat{p}_{t} $ であり、それが未来の名目限界費用の割引現在価値に等しい。この式は以下のように変形できる。

$$ \begin{aligned}\hat{q}_{t}+\hat{p}_{t}=&(1-\omega\beta)(\hat{\phi}_{t}+\hat{p}_{t})+\omega\beta(E_{t}\hat{q}_{t+1}+E_{t}\hat{p}_{t+1})\\\hat{q}_{t}=&(1-\omega\beta)\hat{\phi}_{t}+\omega\beta(E_{t}\hat{q}_{t+1}+E_{t}\hat{p}_{t+1}-\hat{p}_{t})\\\hat{q}_{t}=&(1-\omega\beta)\hat{\phi}_{t}+\omega\beta(E_{t}\hat{q}_{t+1}+E_{t}\pi_{t+1})\end{aligned} $$

$$ \hat{q}_{t}=(\omega/(1-\omega))\pi_{t} $$

$$ \begin{aligned}\frac{\omega}{1-\omega}\pi_{t}=&(1-\omega\beta)\hat{\phi}_{t}+\omega\beta\Big[\frac{\omega}{1-\omega}E_{t}\pi_{t+1}+E_{t}\pi_{t+1}\Big]\\=&(1-\omega\beta)\hat{\phi}_{t}+\frac{\omega\beta}{1-\omega}E_{t}\pi_{t+1}\end{aligned} $$
よって以下の関係を得る。

$$ \pi_{t}=\kappa\hat{\phi}_{t}+\beta E_{t}\pi_{t+1} $$

ここで $ \kappa = \frac{(1-\omega)(1-\omega\beta)}{\omega} $ 。この式を new Keynesian Phillips 曲線という。

式(C16)からLM曲線を導出する。 $ i_{t}<<1 $ より式(C16)は以下のように書き直せる（ただし、 $ \gamma=1 $ とする）。

$$ \frac{\left(\frac{M_{t}}{P_{t}}\right)^{-b}}{C_{t}^{-\sigma}}=i_{t} $$

対数線形化を用いて

$$ \begin{aligned}&\frac{\gamma\big(\frac{M\exp(\hat{m}_{t})}{P\exp(\hat{p}_{t})}\big)^{-b}}{(C\exp(\hat{c}_{t}))^{-\sigma}}=i\exp(\hat{i}_{t})\\&\exp(-b(\hat{m}_{t}-\hat{p}_{t}))=\exp(\hat{i}_{t}-\sigma\hat{c}_{t})\\&1-b(\hat{m}_{t}-\hat{p}_{t})=1+\hat{i}_{t}-\sigma\hat{c}_{t}\\ \end{aligned} $$

よって以下のLM曲線を得る。

$$ \hat{m}_{t}-\hat{p}_{t}=-\frac{1}{b}\hat{i}_{t}+\frac{\sigma}{b}\hat{c}_{t} $$

## 付録 D Sims (2002) による線形合理期待モデルの解法

Sims (2002) による線形合理的期待モデルの解を求めるアルゴリズムの概要を解説する $ ^{22} $ 。Sims (2002) は Blanchard and Kahn (1980) と同様に線形合理的期待モデルの解を求めるアルゴリズムであるが、(1) 変数を先決（predetermined）変数、非先決（non-predetermined）変数 $ ^{23} $ に先見的に分類する必要がない、(2) 内生変数ベクトルにかかる行列（後述する $ \Gamma_{0} $ と $ \Gamma_{1} $ ）が特異であっても構わないなどいくつかの違いがある。

線形合理的期待モデルは以下の形で定式化される。

$$ \mathbf{\Gamma}_{0}\boldsymbol{y}_{t}=\mathbf{\Gamma}_{1}\boldsymbol{y}_{t-1}+\boldsymbol{C}+\mathbf{\Psi}\boldsymbol{z}_{t}+\mathbf{\Pi}\boldsymbol{\eta}_{t},\quad t=1,\cdots,T. $$

$ y_{t} $ は $ n \times 1 $ の状態変数、C は $ n \times 1 $ の定数ベクトル、 $ z_{t} $ は $ m \times 1 $ の外生変数、 $ \eta_{t} $ はすべての t に対し $ E_{t}\eta_{t+1}=0 $ を満たすような $ r \times 1 $ の誤差項である。また、 $ \Gamma_{0} $ 、 $ \Gamma_{1} $ 、 $ \Psi $ 、 $ \Pi $ はそれぞれ $ n \times n $ 、 $ n \times n $ 、 $ n \times m $ 、 $ n \times r $ の行列である。なお、 $ \Gamma_{0} $ 、 $ \Gamma_{1} $ は特異であっても構わない。さらに、外生変数 $ z_{t} $ は平均がゼロである独立同分布の確率変数とする $ ^{24} $ 。

上記の線形合理的期待モデルの解を求める前に、「その安定的な解とは何か」について検討する。はじめに内生変数 $ y_{t} $ のすべての要素に共通するある上限値（もしくは下限値） $ \xi $ があると仮定する。その場合に $ y_{t} $ が外生変数 $ z_{t} $ と過去の内生変数 $ y_{t-s}, s > 1 $ （t 期においては外生）を用いて表され、 $ y_{t} $ を未来までシミュレーションしても発散しないことが必要である。つまり、内生変数の初期条件 $ y_{0} $ と外生変数 $ \{z\}_{t=1}^{\infty} $ を与えた時に、 $ y_{t} $ が上限値（もしくは下限値）を超えて発散していかないことが安定的な解には必要である $ ^{25} $ 。
QZ分解を用いて$\Gamma_{0}$、$\Gamma_{1}$をユニタリー行列と上三角行列に分解する。

$$ \begin{aligned}&Q^{\prime}\Lambda Z^{\prime}=\Gamma_{0}\\&Q^{\prime}\Omega Z^{\prime}=\Gamma_{1}.\\ \end{aligned} $$

ここで Q と Z は $ Q^{\prime}Q = Z^{\prime}Z = I $ を満たし（ユニタリー行列の定義）。複素数行列でも構わない。また、/は転置と複素共役を表す。さらに、ΩとΛは上三角行列であり、複素数行列でも構わない。QZ分解は常に存在するため、式(D60)の両辺にQを掛け、以下の式を得る。

$$ \Lambda w_{t}=\Omega w_{t-1}+Q C+Q\Pi\eta_{t}+Q\Psi z_{t}, $$

ただし、 $ w_{t}=Z^{\prime}y_{t} $ である。

QZ分解は一意ではないが、ΩとΛの対角成分の比である一般化固有値$\{\omega_{ii}/\lambda_{ii}\}$は一意である（ただし、一般化固有値が無限大になる場合を許容する必要がある）²⁶。さらに一般化固有値を絶対値で昇順に並べなおす（つまり、絶対値が最も小さい一般化固有値が左上に、最も大きい一般化固有値が右下になる）。次に一般化固有値がξより大きいか小さいかで式(D62)を分割する。$\left|\omega_{ii}/\lambda_{ii}\right|<\xi$ ある場合には$i\leq k$となり、$\left|\omega_{ii}/\lambda_{ii}\right|\geqslant\xi$ ある場合には$i>k$となるように$k$を定める。よって式(D62)は以下のように展開できる。

$$ \begin{bmatrix}\boldsymbol{\Lambda}_{11}&\boldsymbol{\Lambda}_{12}\\ \mathbf{0}&\boldsymbol{\Lambda}_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{w}_{1,t}\\ \boldsymbol{w}_{2,t}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{\Omega}_{11}&\boldsymbol{\Omega}_{12}\\ \mathbf{0}&\boldsymbol{\Omega}_{22}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\boldsymbol{w}_{1,t-1}\\ \boldsymbol{w}_{2,t-1}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}\boldsymbol{Q}_{1.}\\ \boldsymbol{Q}_{2.}\end{bmatrix}\left[\boldsymbol{C}+\boldsymbol{\Psi}\boldsymbol{z}_{t}+\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\eta}_{t}\right]. $$

ここで $ \Lambda_{22} $ の対角成分のいくつかがゼロになる可能性がある。以上のように一般化固有値をグループ化したため、式(D62)の下側プロックは内生変数の経路が発散する（これは下側プロックの一般化固有値がξ以上であるため）。この場合、 $ w_{2,t} $ を未来の $ z_{t} $ と未来の誤差項 $ \eta_{t} $ の関数として前向きに解けば、発散を防ぐことができる。 $ M=\Omega_{22}^{-1}\Lambda_{22} $ 、 $ x_{t}=Q\left[C+\Psi z_{t}+\Pi\eta_{t}\right] $ として、下側プロックの $ w_{2,t} $ をフォワードに解くと以下のようになる（以下、表記の簡単化のため断りなく $ E_{t} $ を省略することがある）。

$$ \begin{aligned}&\mathbf{w}_{2,t}\\=&M\mathbf{w}_{2,t+1}-\boldsymbol{\Omega}_{22}^{-1}\mathbf{x}_{2,t+1}\\=&M^{2}\mathbf{w}_{2,t+2}-M\boldsymbol{\Omega}_{22}^{-1}\mathbf{x}_{2,t+2}-\boldsymbol{\Omega}_{22}^{-1}\mathbf{x}_{2,t+1}\\=&-\sum_{s=1}^{\infty}M^{s-1}\boldsymbol{\Omega}_{22}^{-1}\mathbf{x}_{2,t+s}\\=&-\sum_{s=1}^{\infty}M^{s-1}\boldsymbol{\Omega}_{22}^{-1}\boldsymbol{Q}_{2\cdot}\left[C+\boldsymbol{\Psi}\mathbf{z}_{t+s}+\boldsymbol{\Pi}\boldsymbol{\eta}_{t+s}\right].\end{aligned} $$