Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
フィリップス曲線によって示される。

$$ \pi_{t}=(1-\alpha)B_{1}(L)\pi_{t}+\alpha\pi_{t}^{e}+B_{2}(L)(y_{t}^{d}-y_{t}^{p})+B_{3}(L)(y_{t}^{d}-y_{t}^{p})^{+} $$

ここでは， $ y_{t}^{d} $ は総需要， $ y_{t}^{p} $ は潜在産出量， $ B(L) $ はバックシフトオペレーターである．また上添え字+は産出量ギャップが負のときには消滅するオペレーターである．このオペレーターによって，金融当局がインフレギャップが観察された場合に，よりアクティブに政策を実行することを示している．期待インフレ率 $ \pi_{t}^{e} $ は，

$$ \pi_{t}^{e}=(1-\gamma)B(L)\pi_{t}+\gamma F(L)\pi_{t+1} $$

のように仮定されている．但し $ F(L) $ はフォワードシフトオペレーターである．実際にはコストプッシュ・インフレの概念を導入するため，(10)式の拡張として，実質賃金の変化率，間接税の変化率や外国価格ショックの項を加えたインフレ期待も用意されている．

## 4 JEM

JEM(the Japanese Economic Model)は，日本経済をDSGEモデルとして近似し，政策見通しとともに日本経済の現状を分析するためのツールとして日本銀行によって開発された．特徴としては，JEM開発時点から今もなお日本経済が陥っており，昨今では先進主要国でも陥りつつあるゼロ金利制約下のモデル化に取り組んでいる点である．また取り扱われる経済主体は，家計，企業，政府，海外，金融当局に加え，FPS-コアでは考慮されていない金融仲介部門が含まれており，資産価格の急激な変動がマクロ経済にもたらす影響を分析する新たな試みを行っている．

JEMは，FPS-コアモデルをベースに拡張されており，家計部門では効用関数に耐久財(具体的には，住宅ストック)，予算制約式にライフサイクル所得プロフィールを追加，また企業部門においては独占的競争，インフレ動学にはハイブリッド・ニューケインジアン・フィリップス曲線を仮定するなど価格の粘着性を強調することで，より現実の世界に整合的になるように考慮されている．以下では経済主体別に説明を行う．

まず家計については，FPS-コアと同様，消費者を2種類(FWL，ROT)に分け，FWL消費者の効用を，消費と住宅ストックのトレードオフを加味したCRRA型効用関数で特徴付けている．また世代重複モデル(Blanchard-Weil-Buiter-Yaariモデル)にライフサイクルプロフィールを考慮したFuraqee, Laxton and Symansky [1996]を使用することによって，非リカード等価的性質をさらに強調している $ ^{21} $ ．JEMの効用関数とフローの予算制約式は以下である．

$$ \begin{array}{rcl}U&=&\displaystyle\sum_{s=0}^{\infty}\left((1-\gamma)\delta\right)^{s}\bigg\{\frac{cfl_{a,t+s}^{1-\sigma^{-1}}}{1-\sigma^{-1}}+\theta\frac{D^{1-\sigma^{-1}}}{1-\sigma^{-1}}\bigg\}\\cfl_{a,t}+fa_{a,t}&=&\displaystyle\frac{(1+rcon_{t-1})}{1-\gamma}fa_{a,t-1}+W_{t}\cdot l\cdot x_{a,t}\\-&=&pd_{t}\left\{D_{a,t}-(1-dh)D_{a,t-1}\right\}+risk_{a,t}\end{array} $$
ここでのθはテイストパラメータ，Dは住宅ストック価値，pdは住宅投資財価格，dhは住宅ストックの減耗率，Wは賃金である $ ^{22} $ ．また加重関数xは，Furaqee et al. [1996]によるライフサイクル労働所得プロフィールであり，

$$ x_{a,t}=\frac{\kappa}{(1+\alpha_{1})^{t-a+1}}+\frac{1-\kappa}{(1+\alpha_{2})^{t-a+1}} $$

のようである．ここでの $ \kappa,\alpha_{1},\alpha_{2} $ はパラメータであり，これによって労働所得にhump-shapedな形状を与えている．ストックの予算制約は，

$$ t w f l_{a,t}=\frac{(1+r c o n_{t-1})}{1-\gamma}f a_{a,t-1}+p d_{t}(1-d h)D_{a,t-1}+h w f l_{a,t}+f a_{a,t} $$

である．富に対する消費の限界性向は，

$$ c f l_{a,t}=m p c w_{a,t}\cdot t w f l_{a,t} $$

但し,

$$ \begin{array}{r}{m p c w_{a,t}^{-1}=(1-\gamma)\delta^{\sigma}\left[1+r c o n_{t}\right]^{\sigma-1}m p c w_{a,t+1}^{-1}+1+\theta^{\sigma}\iota_{t}^{1-\sigma}}\end{array} $$

である．ここでのいは消費と住宅投資の限界代替率である．もう一方のROT消費者の予算制約は，FPS-コアモデルの(4)式と基本的には同じであるが，FWL消費者とROT消費者の人数比率λにも，ライフサイクル所得プロフィールの考慮を加えている．

企業部門に関しては，JEMではBlanchard and Kiyotaki [1987]による独占的競争モデルを前提にしている $ ^{23} $ ．そのため無数に存在する企業は製品の差別化を行なっており，各々の製品価格とその供給量を自ら決めることができる．したがってJEMの企業の利潤関数は，FPS-コアモデルのそれと基本的に同じであるが，企業ごとの利潤関数を用意しなくてはならないため，変数に添え字jがついたものとなる．すなわち，

$$ \Pi_{j,t}=\left(1-t k\right)\left[\frac{P_{j,t}}{P_{t}}y_{t}-w_{j,t}\cdot l_{j,t}\right]+d e p r_{t}\cdot i c c c_{j,t}-p i_{t}\cdot i_{j,t} $$

である．生産関数はCES型を採用しており，

$$ y_{j,t}=\left\{(1-\alpha)\Big\{A_{t}\cdot l_{j,t}\Big\}^{\psi}+\alpha(K P_{j,t-1})^{\psi}\right\}^{-\psi} $$

と仮定している．は労働と資本の代替の弾力性を示す．また資本の蓄積経路はFPS-コアモデルと同様にtime-to-build制約を課した(5)式を用いている．以上の3つの式とBlanchard and Kiyotaki [1987]にしたがった需要関数

$$ \frac{P_{j,t}}{P_{t}}=\left(\frac{Y_{j,t}}{Y_{t}}\right)^{-(1-\rho)} $$
から，最適化問題を解くことによって企業の意思決定が行われる。

政府部門はFPS-コアモデルと類似し，最適化は行わず各期にわたって以下の予算制約式を満足するように行動する。

$$ g b_{t}=\left(1+r g b_{t-1}\right)\cdot g b_{t-1}+p g_{t}\cdot g_{t}-t_{t} $$

ここでは目標となる政府債務と政府支出を達成するために，税収を決定する。

JEMでは，外国部門として小国開放の仮定をおいている．内容はFPS-コアモデルと同じであり，外国部門を資産の恒等式(market clearing condition)と国際収支の恒等式の2つの式で表している．JEMとFPS-コアの相違点であるのが，次に紹介する金融仲介機関の存在である．但しJEMでは，アドホックなリスクプレミアムを追加するにとどまっており，金融仲介機関の存在は経済主体間の資金移動を担う役割しか持たず，具体的な金融市場の不完全性メカニズムを組み込んでいるわけではない $ ^{24} $ ．しかしながらこのリスクプレミアムの存在によって，企業への貸出金利が満期が同じ政府債金利よりも高い傾向をもつといった現実の金融市場の動きを反映することができる．このことは，以下の式で示されている．

$$ r k_{t}=r l_{t}+r k r l_{t} $$

rk, rl, rkrllは，それぞれ企業貸出金利，長期金利，企業貸出金利のリスクプレミアムである.

金融当局の反応関数として，以下が仮定されている。

$$ \begin{aligned}rs_{t}\quad=&\quad smooth\left[rs^{*}+rsl_{4}(tpdot_{t+4}-pdottar_{t+4})\right.\\&+\quad rsl_{5}(tpdot_{t+5}-pdottar_{t+5})+rsl_{6}(tpdot_{t+6}-pdottar_{t+6})\left.\right]\\&+\quad(1-smooth)rs_{t-1}\end{aligned} $$

smoothはスムーズパラメータ，tpdotはCPIインフレ率と国内生産消費財のインフレ率の加重平均，pdottarはインフレ目標水準，rslはパラメータである．パラメータは予想のパフォーマンスを重視して操作変数法で推定された値を使用している． $ r_{s} $ のラグ項は，Giannoni [2000]，Giannoni and Woodford [2002]やWoodford [2003]によって強調される「歴史的依存性(history dependence)のある金融政策」とみなすことができる．

またJEMの主要な目的の一つであるゼロ金利制約下での政策シミュレーションは，(10)式を次の式に置き換えることによって行われる。

$$ \begin{array}{rcl}rs_{t}&=&\max\left\{0,smooth\left[rs^{*}+rsl_{4}(tpdot_{t+4}-pdottar_{t+4})\right.\right.\\ &+&\left.rsl_{5}(tpdot_{t+5}-pdottar_{t+5})+rsl_{6}(tpdot_{t+6}-pdottar_{t+6})\right]\\ &+&\left.\left.\left(1-smooth\right)rs_{t-1}\right\}\right.\end{array} $$
しかしながらこの式は，金利がゼロ近傍にあるとき微分可能でないため，モデルを解く際に使用するソフトウェアTROLLに組み込まれている求解アルゴリズムでは計算できない場合がある $ ^{25} $ ．そこでJEMでは(11)式は10次の多項式によって近似し，ゼロ金利のインパクトを分析している．

最後にインフレ動学に関して，JEMでは次のようなフィリップス曲線とインフレの期待形成を仮定している.

$$ \begin{aligned}\pi_{t}&=(1-\alpha)B_{1}(L)\pi_{t}+\alpha\pi_{t}^{e}+pd_{0}\left(\frac{y_{t}}{yp_{t}}-1\right)\\\pi_{t}^{e}&=[1-(\gamma_{0}+\gamma_{1})]B(L)\pi_{t}+\gamma_{0}F(L)\pi_{t+1}+\gamma_{1}\pi_{tar}\end{aligned} $$

ここでは $ y_{t} $ は一人当たりGDP, $ yp_{t} $ は一人あたり潜在GDP, $ \pi $ は国内生産消費財のインフレ率, $ \alpha, pd_{0}, \gamma $ はパラメータであり, Kimura and Kurozumi [2002]による日本のデータを用いた推計値を使用している.

(12)式はハイブリッド・ニューケインジアン型のフィリップス曲線と呼ばれる．加藤 [2007]によると，ラグ項の存在によりインフレ率の調整の遅れに配慮されているため，実証上のパフォーマンスは良い反面，厳密な意味でのミクロ的基礎付けがないことが特徴とされる．

## 5 まとめ

本稿では，ニュージランド準備銀行の保有するマクロ計量モデルFPSと日本銀行の保有するJEMを比較し，その紹介を行った．この2つのモデルはDSGEモデルをベースにしており，類似した点も多くみられるが，後発のJEMはより価格の粘着性に力点をおいて拡張されていると言えよう．近年のマクロ経済理論は，Bernanke, Gertler and Gilchrist [1999]のフィナンシャルアクセラレーターやKiyotaki and Moore [1997]のクレジットサイクルに代表される金融市場の不完全性がますます考慮されつつある．JEMの中でも指摘されているが，FPSおよびJEMでは金融市場の不完全性に関する明示的なメカニズムの具体化は行なわれていない．今後の中銀モデルの発展はこのあたりの拡張が検討されるであろう．さらに今後の中銀モデルの発展として，上述の金融市場のモデル化に加えて次の3つの方向性が考えられる．

第1にモデル内のパラメータを直接推計する方法を模索すべきかもしれない．FPSやJEMだけでなく多くの中銀モデルでは，カリブレーションを使用していることが多いが，本来正しい推計値が得られるのであれば，推計値を使用したシミュレーションの方がカリブレーションのそれよりも正確な予測が可能となるはずである．現在，マルコフ連鎖モンテカルロ法(MCMC)やモンテカルロ粒子フィルター法などに基づく新たな推計方法の開発が進んでいるが，近い将来においてこれらの推計方法の使用に期待が寄せられる $ ^{26} $ .

第2に供給サイドの拡張である．カナダ中銀のToTEMでは4種類の異なる最終財(消費財，投資財，政府財，輸出財)の生産部門と，原材料などの生産部門と製造業の生産部門を分割してモデル
化することで，相対価格ショックを含む広範囲のショックに対するシミュレーションを可能としている．またFRBによるEDOモデルでも，IT産業と非IT産業のモデル化として，生産部門を低成長生産部門と高成長生産部門に分割している．今後の中銀モデルにおいては，その国の特徴に合わせて生産部門を分割し，それぞれの生産部門で最適化が行われるような複数の生産部門構造に拡張されるであろう．

最後に，FPSおよびJEMでは政府部門と中央銀行の行動は最適化されずルールに従っていたが，ToTEMの金融政策は，インフレ率のその目標値からの乖離とGDPの潜在GDPから乖離を最小化するように設計されており，将来の中銀モデルでは金融政策および財政政策も最適化行動に基づいたモデルが趨勢となるかもしれない.

## 付録 合理的期待解の求解アルゴリズム

多くのRBCモデルあるいはDSGEモデルは，オイラー方程式を含む非線形の方程式体系によって特徴付けられ，その求解アルゴリズムは，初期条件と終端条件を同時に満足する動学解を得る二点境界問題(two-point boundary value problem)の解法として知られる.

非線形方程式を含むモデルの合理的期待解を導出する方法は，一般に，非線形方程式モデルを線形近似して「線形モデル」として解く方法と，非線形系モデルをそのまま解く方法に大別される．前者の場合は，Blanchard and Kahn [1980]が一意となる厳密解の必要条件を明らかにしており，多くのモデルがこれに従っている．

後者の場合は，厳密解を得ることは容易ではなく，以前はFair and Taylor [1983]によって紹介された3つの収束過程に分かれる繰り返し数値計算法が用いられていた．しかしながら，この方法はコンピュータの性能に依存しており膨大な時間を要するため，近年では，スタックタイム法と呼ばれる，各期間の変数を別のものとして扱い同時に一括して解く方法が使用されることが多い $ ^{27} $ ．例えばTROLLやDYNAREなどのソフトウェアではこのスタックタイム法が組み込まれており，FPSおよびJEM，内閣府による東アジアリンクではこのうちTROLLを使用して合理的期待解を求めている．

本稿の補論では，はじめにBlanchard and Kahn [1980]に従う線形モデルの求解アルゴリズムを説明し，次に非線形モデルの求解アルゴリズムとして代表的なFair and Taylor [1983]の方法とスタックタイム法を紹介する.

## Blanchard and Kahn [1980]の線形モデル求解アルゴリズム

本節では，線形モデルの代表的な解法であるBlanchard and Kahn [1980]の解説を行う．線形モデルの合理的期待解を求めるアルゴリズムは以下のような手順に従う．
2. 定常状態(終点条件)を見つける.

3. 定常状態のまわりで，線形近似する.

4. コントロール変数(=ジャンプ変数)と状態変数(=先決変数)をみつけて，線形方程式を用いて解を特徴づける連立差分方程式に直す.

5.4の連立差分方程式を行列表現に直す.

6. 連立差分方程式の解，すなわち合理的期待解を得る.

本補論では，このうち4の連立差分方程式を行列表現に直した以降を解説する．Blanchard and Kahn [1980](以下，B-Kと省略する)では，連立差分方程式を以下のように行列の表現に直す.

$$ A\left[\begin{array}{c}x_{t+1}\\ E y_{t+1}\end{array}\right]=B\left[\begin{array}{l}x_{t}\\ y_{t}\end{array}\right]+C v_{t} $$

但しここでは， $ x $ は $ n\times1 $ の状態変数（先決変数）， $ y $ は $ m\times1 $ のコントロール変数， $ v $ は $ k\times1 $ のホワイトノイズの確率ショックである．またAとBは $ (n+m)\times(n+m) $ ，Cは $ (n+m)\times k $ の行列である．Eはt期の情報に条件付けられた期待オペレーターである $ ^{28} $ ．

Aが非特異行列であるとすると,

$$ \left[\begin{array}{c}x_{t+1}\\ E y_{t+1}\end{array}\right]=F\left[\begin{array}{l}x_{t}\\ y_{t}\end{array}\right]+G v_{t}=\left[\begin{array}{l l}F_{11}&F_{12}\\ F_{21}&F_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{t}\\ y_{t}\end{array}\right]+G v_{t} $$

となる．但し $ F \equiv A^{-1}B $ は $ (n+m) \times (n+m) $ 行列， $ G \equiv A^{-1}C $ は $ (n+m) \times k $ の行列である．ここで，Fをジョルダン標準形に直す．

$$ \boldsymbol{F}=\boldsymbol{H}\boldsymbol{J}\boldsymbol{H}^{-1}=\boldsymbol{H}\left[\begin{array}{cccc}\lambda_{1}&&&\\&\lambda_{2}&&\\&&\ddots&\\&&&\lambda_{n+m}\end{array}\right]\boldsymbol{H}^{-1} $$

但しHは固有ベクトルからなる行列である．また固有値 $ \lambda_{i},(i=1,\cdots,n+m) $ は，

$$ \left|\lambda_{1}\right|<\left|\lambda_{2}\right|<\cdots<\left|\lambda_{n+m}\right| $$

の順(固有値を小さいものから大きいものへと順に並べる)に並んでいる $ ^{29} $ ．B-Kは1より大きい固有値の数をhとしたとき，h=mならば，一意の解が存在することを論じている．

ここでは解が一意である $ (h=m) $ と仮定し，行列Jを収束する固有値 $ (\lambda_{i}<1) $ と発散する固有値 $ (\lambda_{i}\geq1) $ に分割する．収束する固有値をまとめた $ J\varnothing n\times n $ の部分行列を $ J_{1} $ ，発散する固有値をまとめた $ J_{2} $ ，収束する固有値を $ J_{3} $ と仮定し，行列Jを収束する固有値 $ (\lambda_{i}<1) $ と発散する固有値 $ (\lambda_{i}\geq1) $ に分割する．
めた $ m \times m $ の部分行列を $ J_{2} $ とすると，(13)式は，

$$ \begin{aligned}\left[\begin{array}{c}{{{x_{t+1}}}} \\{{{E y_{t+1}}}}\end{array}\right]&\quad=\quad H J H^{-1}\left[\begin{array}{c}{{{x_{t}}}} \\{{{y_{t}}}}\end{array}\right]+G v_{t}\\ &=\quad\left[\begin{array}{cc}{{{H_{11}}}}&{{{H_{12}}}} \\{{{H_{21}}}}&{{{H_{22}}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{{{J_{1}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{J_{2}}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{{{\hat{H}_{11}}}}&{{{\hat{H}_{12}}}} \\{{{\hat{H}_{21}}}}&{{{\hat{H}_{22}}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{{x_{t}}}} \\{{{y_{t}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{{{G_{1}}}} \\{{{G_{2}}}}\end{array}\right]v_{t}\end{aligned} $$

となる．ここで表記の簡単化のために．以下のように書き直す．

$$ \left[\begin{array}{l}\tilde{x}_{t}\\ \tilde{y}_{t}\end{array}\right]=H^{-1}\left[\begin{array}{l}x_{t}\\ y_{t}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l l}\hat{H}_{11}&\hat{H}_{12}\\ \hat{H}_{21}&\hat{H}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{t}\\ y_{t}\end{array}\right] $$

および,

$$ \left[\begin{array}{l}\tilde{G}_{1}\\ \tilde{G}_{2}\end{array}\right]=H^{-1}\left[\begin{array}{l}G_{1}\\ G_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l l}\hat{H}_{11}&\hat{H}_{12}\\ \hat{H}_{21}&\hat{H}_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}G_{1}\\ G_{2}\end{array}\right] $$

したがって，(14)式の両辺に $ H^{-1} $ を前から掛けることによって，

$$ \left[\begin{array}{c}{{{\tilde{x}_{t+1}}}} \\{{{E\tilde{y}_{t+1}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c}{{{J_{1}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{J_{2}}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{{\tilde{x}_{t}}}} \\{{{\tilde{y}_{t}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{{{\tilde{G}_{1}}}} \\{{{\tilde{G}_{2}}}}\end{array}\right]v_{t} $$

を得る。

次に発散する2行目の方程式群に着目し， $ \tilde{y}_{t} $ について解くと，

$$ \begin{array}{r c l}{E\tilde{y}_{t+1}}&{=}&{J_{2}\tilde{y}_{t}+\tilde{G}_{2}v_{t}}\\ {}&{}&{}\\ {\tilde{y}_{t}}&{=}&{J_{2}^{-1}E\tilde{y}_{t+1}-J_{2}^{-1}\tilde{G}_{2}v_{t}}\\ \end{array} $$

となる．一期進めて期待値をとると，

$$ \begin{array}{r l r}{E\tilde{y}_{t+1}}&{{}=}&{J_{2}^{-1}E\tilde{y}_{t+2}-J_{2}^{-1}E\tilde{G}_{2}v_{t+1}}\end{array} $$

となり，上式を(17)式に代入する。

$$ \begin{array}{r l r}{\tilde{y}_{t}}&{{}=}&{J_{2}^{-2}E\tilde{y}_{t+2}-J_{2}^{-2}E\tilde{G}_{2}v_{t+1}-J_{2}^{-1}\tilde{G}_{2}v_{t}}\end{array} $$

これを無限期間繰り返し， $ Ev_{t+1}=Ev_{t+2}=Ev_{t+3}=\cdots=0 $ を考慮すると，

$$ \begin{array}{r l r}{\tilde{y}_{t}}&{{}=}&{-J_{2}^{-1}\tilde{G}_{2}v_{t}}\end{array} $$

となる．ここで(15)式と(16)式を代入して，表記を元に戻す．

$$ \begin{array}{r l r}{y_{t}}&{=}&{-\hat{H}_{22}^{-1}\hat{H}_{21}^{-1}x_{t}-\hat{H}_{22}^{-1}J_{2}^{-1}[\hat{H}_{21}G_{1}+\hat{H}_{22}G_{2}]v_{t}}\end{array} $$

これは最適決定ルールと呼ばれる．(13)式から

$$ x_{t+1}=F_{11}x_{t}+F_{12}y_{t}+G v_{t} $$
なので, (18)を上式に代入して,

$$ x_{t+1}=[F_{11}-F_{12}\hat{H}_{22}^{-1}\hat{H}_{21}^{-1}]x_{t}+\quad\left\{G-\hat{H}_{22}^{-1}J_{2}^{-1}[\hat{H}_{21}G_{1}+\hat{H}_{22}G_{2}]\right\}v_{t} $$

を得る．これが連立差分方程式の解である．

近年，Sims [2002]が線形モデルの合理的期待解の新しい導出方法を提案している．Sims [2002]の解説は矢野 [2008]に詳しい．

RBCモデルを含むDSGEモデルのような確率的非線形モデルの1次近似は，確実性等価の問題を引き起こすことが知られている．すなわち，線形化された方程式には確率ショックの一次モーメントしか入らず，期待値をとると消えてしまうために，内生変数の無条件期待値が非確率的定常状態の値に等しくなる．これは例えば，2次の厚生関数の分析が必要な場合や，資産価格モデルにおけるリスク(ショックの分散)の分析には不都合が生じる．この点を回避するためにCollard and Juillard [2001]，あるいはSchmitt-Grohe and Uribe [2004]は，最適決定ルールの2次近似を利用した合理的期待解の解法を提案している．

## 非線形モデルの求解アルゴリズム

Fair and Taylor [1983]の方法は繰り返しによる数値計算法であり，計算アルゴリズムは3つの収束過程(タイプⅠⅡⅢ)に分かれる.

Fair and Taylor [1983]の方法の概要は以下である．まずモデルの予測期間よりも長い期間についてフォワードルッキング変数と外生変数に初期値を与える．タイプI収束過程では，この初期値をもとに，ガウス・ザイデル法によって内生変数を順次解く．タイプII収束過程では，タイプ・過程で得られた内生変数をフォワードルッキング変数の値としてモデルを解き，その解をさらにフォワードルッキング変数の値に置き換えモデルを解く．このプロセスを収束基準をクリアするまで繰り返す．タイプIII収束過程では，さらに解く期間を1期延長して，タイプII過程を繰り返し，収束基準を満足するまで続ける．タイプIIIの収束過程は，解が終端条件が依存しないことを保証するためのものであり，終端条件が分かっている場合には行わなくてもよい．

Fair and Taylor [1983]の繰返し収束法の問題点は，コンピュータの性能に依存しており膨大な時間を要するため，時間節約のために様々なパラメータのチューニングが必要となる．また鞍点解が存在してもそれを見つけられない場合がある．

フォワードルッキング型モデルの解法として，近年広く使用されているスタックタイム法がある $ ^{30} $ ．この方法はモデルを各期ごとに順次解くのではなく，初期条件と終端条件を含むモデルの求解期間について各期の変数を別のものとして，同時に一括して解くのが特徴である．したがって，Fair and Taylor [1983]の方法と比較すると高速な計算方法といえる．

非線形モデルの解法は，ニュートン法で解くことになるが，実際の計算ではヤコビ行列の計算が非常に煩雑となる．しかしマクロモデルの特徴として，ヤコビ行列の要素がブロック対角行列で疎 $ ^{30} $ この方法は別名，L-B-J(Laffargue, Boucekki and Juillard)法とも呼ばれる．
(sparse)という性質を利用して，高速で誤算の少ない計算方法が利用できるのが利点である．以下では，スタックタイム法の計算アルゴリズムについて紹介する $ ^{31} $

まずフォワードルッキング型の非線形モデルを次のように表す。

$$ \begin{aligned}&g_{1}(y_{t-1},y_{t},y_{t+1},x_{t},\Theta)&=&0\\&\vdots&\vdots&\\&g_{n}(y_{t-1},y_{t},y_{t+1},x_{t},\Theta)&=&0\\ \end{aligned} $$

但し， $ y_{t} $ を t 時点での n 個の内生変数ベクトル， $ x_{t} $ を m 個の外生変数ベクトル， $ \Theta_{k} $ を p 個パラメータベクトルとする．また初期条件と終端条件を

$$ \begin{aligned}f_{0}\quad&=\quad y_{0}-y_{0}^{*}=0,\\f_{T+1}\quad&=\quad y_{T+1}-y_{T+1}^{*}=0\end{aligned} $$

とし， $ Y' = [y_{0}', y_{0}', \cdots, y_{T}', y_{T+1}'] $ ， $ z_{t} = [y_{t-1}', y_{t}', y_{t+1}'] $ と表すと，(19)式は，

$$ F(Y)=\left[\begin{array}{c}f_{0}(y_{0})\\ f_{1}(z_{1})\\ \vdots\\ f_{T}(z_{T})\\ f_{T+1}(z_{T+1})\end{array}\right]=0. $$

と書くことができる．ここでの方程式数は， $ (T+2)\times n $ 本である．

スタックタイム法では，(20)式を解くためにNewton-Raphson法を用いる．収束計算の各段階では，

$$ \Delta Y=-\left[\frac{\partial F}{\partial Y}\right] $$

を計算する．ここでのΔYはYの増加分である．このアプローチの問題は，ヤコビ行列∂F/∂Yの次元が $ [(T+2)\times n]\times[(T+2)\times n] $ となり，かなり煩雑となる点である．しかしフォワードルッキング型のマクロモデルでは，このヤコビ行列は三角化しやすいことが知られている．したがって，Newton-Raphson法によって解くための方程式体系は，以下のようになる．

$$ \left[\begin{array}{cccc}I&&&\\L_{1}&C_{1}&F_{1}&&\\\ddots&\ddots&\ddots&\\&L_{t}&C_{t}&F_{t}&\\\ddots&\ddots&\ddots&\\&L_{T}&C_{T}&F_{T}&\\&&&I\end{array}\right]\Delta Y=-\left[\begin{array}{c}0\\f_{1}(z_{1})\\\vdots\\f_{t}(z_{t})\\\vdots\\f_{T}(z_{T})\\0\end{array}\right] $$

$ ^{31} $ ここではJuillard [1996]とJulliard M. and Pioro. [1998]を参照している.
ここでは,

$$ L_{t}=\frac{\partial f_{(}z_{t})}{\partial y_{t-1}},\qquad C_{t}=\frac{\partial f_{(}z_{t})}{\partial y_{t}},\qquad\frac{\partial f_{(}z_{t})}{\partial y_{t+1}} $$

である．最初の期は，

$$ L_{1}\Delta y_{0}+C_{1}\Delta y_{1}+F_{1}\Delta y_{2}=-f_{1}(z_{1}) $$

であり，初期条件 $ \Delta y_{0}=0 $ を考慮すれば，

$$ \Delta y_{1}+C_{1}^{-1}F_{1}\Delta y_{2}=-C_{1}^{-1}f_{1}(z_{1}) $$

となり，$\Delta y_{1}$ について解くことができる．このとき(21)式は，

$$ \left[\begin{array}{c c c c c}I&&&\\&I&M_{1}&&\\&L_{2}&C_{2}&F_{2}&\\&&\ddots&\ddots&\ddots\\&&L_{T}&C_{T}&L_{T}\\&&&I&\end{array}\right]\Delta Y=\left[\begin{array}{c}0\\d_{1}\\-f_{2}(z_{2})\\\vdots\\-f_{T}(z_{T})\\0\end{array}\right] $$

となる。但し。

$$ M_{1}=C_{1}^{-1}F_{1},\qquad d_{1}=-C_{1}^{-1}f_{1}(z_{1}) $$

である．2期目以降も同様に解けば，t期の基本方程式は次のようになる．

$$ L_{t}\Delta y_{t-1}+C_{t}\Delta y_{t}+F_{t}\Delta y_{t+1}=-f_{t}(z_{t}) $$

$t-1$ 期では$\Delta y_{t-1}+M_{t-1}\Delta y_{t}=d_{t-1}$ が成立しているので，$\Delta y_{t-1}$ を消去すれば，

$$ (C_{t}-L_{t}M_{t-1})\Delta y_{t}+F_{t}\Delta y_{t+1}=-f_{t}(z_{t})-L_{t}d_{t-1} $$

となるので, $ \Delta y_{t} $ について解けば,

$$ \Delta y_{t}+(C_{t}-L_{t}M_{t-1})^{-1}F_{t}\Delta y_{t+1}=-(C_{t}-L_{t}M_{t-1})^{-1}(f_{t}(z_{t})+L_{t}d_{t-1}) $$

同様にT期まで繰り返せば，(22)式は次のようになる。

$$ \left[\begin{array}{cccc}I&&&\\&I&M_{1}&\\&&\ddots&\ddots&\ddots\\&&&I&M_{T}\\&&&&I\end{array}\right]\Delta Y=\left[\begin{array}{c}0\\d_{1}\\\vdots\\d_{T}\\0\end{array}\right] $$

但し,

$$ M_{t}=(C_{t}-L_{t}M_{t-1})^{-1}F_{t},\qquad d_{t}=-(C_{t}-L_{t}M_{t-1})^{-1}(f_{t}(z_{t})+L_{t}d_{t-1}) $$
したがって， $ \Delta y_{t} $ は，後方から代入することによって得ることができる．すなわち，

$$ \Delta y_{t}=d_{t}-M_{t}\Delta y_{t+1} $$

となる。

## 参考文献

BankofEngland (1999) Economic models at the Bank of England: Bank of England.

(2000) Economic models at the Bank of England, Vol. September.

Bernanke, B., M. Gertler, and S. Gilchrist (1999) “The financial accelerator in a quantitative business cycle framework,” in J. B. Taylor and M. Woodford eds. Handbook of Macroeconomics: North Holland, pp. 1341–93.

Black, Richard, Vincenzo Cassino, Aaron Drew, Eric Hansen, Benjamin Hunt, David Rose, and Alasdair Scott (1997) “The Forecasting and Policy System: the core model,” Reserve bank of New Zealand’s Reseach Paper, No. 43.

Blanchard, O. J. (1985) “Debt, Deficits and Finite Lives,” Journal of Political Economy, Vol. 93, No. 2, pp. 223–247.

Blanchard, O. J. and C. M. Kahn (1980) “The Solution of Linear Difference Models under Rational Expectations,” Econometrica, Vol. 48, No. 5, pp. 1305–1311.

Blanchard, O. J. and N. Kiyotaki (1987) “Monopolistic Competition and the Effects of Aggregate Demand,” American Economic Review, Vol. 77, pp. 647–666.

Brayton, F. and P. Tinsley (1996) “A guide to FRB/US: a macroeconomic model of the United States,” Board of Governors of the Federal Reserve System (U.S.)’s Finance and Economics Discussion Series, No. 96-42.

Buiter, W. (1988) “Death, Birth, Productivity Growth and Debt Neutrality,” The Economic Journal, Vol. 98, pp. 279–293.

Calvo, G. (1983) “Staggered Contracts and Exchange Rate Policy,” in J. Frenkel ed. Exchange Rates and International Economics: Chicago: University of Chicago Press.

Campbell, John Y. and Gregory Mankiw (1989) “Consumption, Income, and Interest Rates: Reinterpreting the Time Series Evidence,” in Olivier Blanchard and Stanley Fischer eds. NBER Macroeconomics Annual, Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
Christiano, Lawrence, Martin Eichenbaum, and Charles Evans (2005) “Nominal Rigidities and the Dynamic Effects of a Shock to Monetary Policy,” Journal of Political Economy, Vol. 113, No. 1, pp. 1–45.

Collard, F. and M. Juillard (2001) “A Higher-Order Taylor Expansion Approach to Simulation of Stochastic Forward-Looking Models with an Application to a Nonlinear Phillips Curve Model,” Computational Economics, Vol. 17, No. 2-3, pp. 125–139.

Erceg, Christopher J., Luca Guerrieri, and Christopher J. Gust (2006) “SIGMA: A New Open Economy Model for Policy Analysis,” International Journal of Central Banking, Vol. 2, No. 1.

Evans, P. (1991) “Is Ricardian Equivalence A Good Approximation?” Economic Inquiry, Vol. 29, pp. 626–644.

Fair, R.C. and J.B. Taylor (1983) “Solution and Maximum Likelihood Estimation of Nonlinear Rational Expectations Models,” Econometrica, Vol. 51, pp. 1169–85.

Frenkel, J.A. and A. Razin (1992) Fiscal Policies and the World Economy, Cambridge: MIT Press.

Fujiwara, Ippei, Naoko Hara, Yasuo Hirose, and Yuki Teranishi (2004) “The Japanese Economic Model: JEM,” Bank of Japan Working Paper Series, No. 04-E-3.

Furaqee, H., Douglas Laxton, and Steve Symansky (1996) “Government Debt, Life-Cycle Income and Liquidity Constraints: Beyond Approximate Ricardian Equivalence,” IMF Working Paper, Vol. WP/96/140.

Giannoni, M. P. (2000) “Optimal Interet-Rate Rules in a Forward-Looking Model,” Working paper, Federal Reserve Bank of New York.

Giannoni, M. P. and M. Woodford (2002) “Optimal Interet-Rate Rules: I. General Theory,” NBER working paper, No. 9419.

Juillard, M. (1996) “DYNARE: A Program for the Resolution and Simulation of Dynamic Models with Forward Variables through the use of a Relaxation Algorithm,” CEPREMAP No:9602.

Julliard M., P. McAdm, D. Laxton and H. Pioro. (1998) “An Algorithm Competition: First-order. Iteration versus Newton-based Technique,” Journal of Economics and Dynamics, Vol. 22, pp. 1291–1318.

Kimura, T. and T. Kurozumi (2002) “Effective of History- Dependent Monetary Policy,” paper presented at ECB workshop on the role of monetary policy rules in the conduct of monetary policy.
Kiyotaki, N. and J. Moore (1997) “Credit Cycle,” Journal of Political Economy, Vol. 105, pp. 211–48.

Kydland, Finn E. and Edward C. Prescott (1982) “Time to Build and Aggregate Fluctuations,” Econometrica, Vol. 50, No. 6, pp. 1345–1370.

Lalonde, Rene and Dirk Muir (2007) “The Bank of Canada’s Version of the Global Economy Model (BoC-GEM),” Bank of Canada’s Technical Report series, No. 98.

Levin, Andrew T., John H. Rogers, and Ralph W. Tryon (1997) “A Guide to FRB/GLOBAL,” Board of Governors of the Federal Reserve System IFDS Working Paper, No. 588.

Lucas, E. Jr., Robert (1976) “Econometric Policy Evaluation: A Critique,” in K. Brunner and A. H. Meltzer eds. The Phillips Curve and Labor Markets: Amsterdam: North Holland.

Murchison, Stephen and Andrew Rennison (2006) “ToTEM: The Bank of Canada’s New Quarterly Projection Model,” Bank of Canada’s Technical Report series, No. 97.

Pagan, Adrian (2003) “Report on Modelling and Forecasting at the Bank of England,” Bank of England Quarterly Bulletin, pp. 60–88.

Richard, and Kalin Nikolov, Harrison, Quinn Meghan, and Alasdair Scott Gareth, Ramsay, and Thomas Ryland (2005) “The Bank of England Quarterly Model,” Bank of England Quarterly Bulletin, Vol. Summer.

Rochelle M. Edge, Michael T. Kiley and Jean-Philippe Laforte (2007) “Documentation of the Research and Statistics Division’s Estimated DSGE Model of the U.S. Economy: 2006 Version,” Board of Governors of the Federal Reserve System (U.S.)’s Finance and Economics Discussion Series, No. 07-53.

Rotemberg, J. J. (1982) “Sticky Prices in the United States,” Journal of Political Economy, Vol. 90, No. 6, pp. 1187–1211.

Schmitt-Grohe, S. and M. Uribe (2004) “Solving dynamic general equilibrium models using a second-order approximation to the policy function,” Journal of Economic Dynamics and Control,, Vol. 28, No. 4, pp. 755–775.

Sims, C.A. (2002) “Solving Linear Rational Expectations Models,” Computational Economics, Vol. 20, No. 1-2, pp. 1–20.

Stephen, Poloz, Rose David, and Tetlow Robert (1994) “The Bank of Canada’s new Quarterly Projection Model (QPM): An introduction,” Bank of Canada Review, Vol. Autumn, pp. 23–38.
Walsh, C. (2003) Monetary Theory and Policy, Cambridge: MIT Press.

Weil, P. (1989) “Overlapping Families of Infinitely-Lived Agents,” Journal of Public Economics, Vol. 38, pp. 183–198.

Woodford, M. (2003) Interest and Prices: Foundation of A Theory of Monetary Policy: Princeton University Press.

Yaari, M. (1965) “Uncertain Lifetime, Life Insurance, and the Theory of the Consumer,” The Review of Economic Studies, Vol. 32, pp. 137–150.

加藤涼 (2007) 『現代マクロ経済学講義』，東洋経済新報社.

矢野浩一 (2008) 「DYNARE による動学的確率的一般均衡シミュレーション～新ケインズ派マクロ経済モデルへの応用～」， ESRI Discussion Paper Series， 第203号.

(2009)「流動性の罠の下での動学的確率的一般均衡モデルと自己組織化状態空間モデル」, ESRI Discussion Paper Series, 第206号.
表1: FRBのマクロモデル

FRB-US	FRB-EDO	SIGMA
導入時期	1996年頃	2006年頃	2005年頃
残余の世界のモデル化	外生的	外生的	7つの地域ブロックをモデル化
主な経済主体	家計	家計	家計
企業	企業	企業
金融市場	資本のオーナー	金融当局
(政府)	金融当局	政府
(外国)	(政府)	外国
(外国)
特徴	期待形成の明示化	複数の生産部門	1財生産
VARとの組み合わせ	名目賃金の硬直性	独占的競争
完全競争	2種の家計
MCMC推計	Calvo型の価格設定

注）括弧内の経済主体は，モデル化されていないが暗黙的に存在することを意味する.
表 2: カナダ銀行のマクロモデル

ToTEM	Boc-GEM
導入時期	2007年頃	2007年頃
残余の世界のモデル化	外生的	5つの経済プロックをモデル化
主な経済主体	家計	家計
企業	企業
金融当局	金融当局
政府	政府
(外国)	外国
特徴	2種の家計	2種の家計
複数の生産部門	複数の生産部門
Calvo型の価格設定	Rotemberg型の価格設定
名目賃金の硬直性	名目賃金の硬直性

注）括弧内の経済主体は，モデル化されていないが暗黙的に存在することを意味する.

表 3: イングランド銀行のマクロモデル

導入時期	2003年頃
残余の世界のモデル化	外生的
主な経済主体	家計
企業
金融当局
政府
(外国)
特 徴	世代重複モデルの家計
企業部門の株式・債券発行
Rotemberg型の価格設定
名目賃金の硬直性

注）括弧内の経済主体は，モデル化されていないが暗黙的に存在することを意味する。
ESRI Discussion Paper Series No.156

「求人規模と提示賃金の関係」

~ 日本におけるサーチフリクションの源泉 ~

by

上野有子・神林龍

November 2005

內閣府経済社会総合研究所

Economic and Social Research Institute

Cabinet Office

Tokyo, Japan
# 求人規模と提示賃金との関係¹

~ 日本におけるサーチフリクションの源泉 ~

# 上野有子 内閣府内閣府政策統括官（経済財政分析担当）付参事官補佐 神林龍 一橋大学経済研究所

2005年11月
## 求人規模と提示賃金との関係

~ 日本におけるサーチフリクションの源泉 ~

## 目次

１．はじめに　・・・・

2．求人規模と提示賃金との関係　・・・・

3. データ …… 13

4．推定モデル

5．推定結果 ___ 18

(5 - 1) 主要な変数

(5-2)主要な結果

（５－３）求人規模の計測方法

(5 - 4) 事業所・入職者属性変数

( 5 - 5 ) 職種別推定

(５－６)内生性の問題

(5-7)サンプルセレクションバイアス

6．議論と結論

(6-1) 推定上の問題 (1)

(6-2) 推定上の問題 (2)

(6 - 3) 結論

参考文献 ___ 3 5