Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
最後に，第3段階のステップ2.)までをイレギュラー・フィルター（irregular filter）と呼ぶ.

$$ \Gamma_{I}(B)=\{1-H^{(n)}(B)\}\Gamma_{A}(B) $$

図 6-(a)～(e) に対応させたイレギュラー・フィルター $ \Gamma_{I}(B) $ の伝達関数を図 8-(a)～(e) に，図 7-(a)～(e) に対応させたイレギュラー・フィルター $ \Gamma_{I}(B) $ の伝達関数を図 9-(a)～(e) に示している．

### 2.4 X-11 フィルターの特徴と問題点

X-12-ARIMA は様々な幅広いオプションを備えた季節調整プログラムである。その分解パートである X-11 においても数多くのオプションを備えている。上で説明したように移動平均項数を設定することができ、その項数選択により季節フィルター、季節調整フィルター、トレンド・フィルター、及びイレギュラー・フィルターの伝達関数が異なってくることを確認した。一般に、経済時系列データには様々なものがあり、各時系列に内在する季節変動成分やその他の成分はそれぞれ異なると考えられる。例えば、季節変動成分が決定的パターンに従うような安定した時系列もあれば、逆に、かなり不安定な季節変動を有する時系列も在り得る。このような様々な変動成分を捉えるための対応策として X-11 の移動平均項数の選択オプションが用意されている。既存の移動平均フィルターを用いている限り、項数選択オプションが複雑になることは致远方がないであろう。しかしながら、実際に、X-12-ARIMA により季節調整を掛ける場合、このオプションはユーザーを困らせる要因となり得る。例えば、移動平均項数をデフォルト設定や自動選択オプションを選択した場合に、季節変動成分が適切に除去されないときがある。この場合、ユーザーは移動平均項数を指定することも検討しなければならないが、その際の必要条件として移動平均について詳しいユーザーであることが要求されているのである。

また以前からよく指摘される問題点であるが，ユーザーが移動平均項数をどのように設定しようが明確な基準がない為か事後診断チェックをパスしてしまうということがある．筆者自身も，3×3MA，3×5MA，3×9MAの3つのパターンを指定して，ある同じ時系列に対し季節調整の実験を行った結果，そのすべてが事後診断チェックをパスしたという経験がある．この様な曖昧さは，パワー・ユーザーをも悩ますのではなかろうか．

次に，図4と図5の季節調整フィルターの伝達関数を見てみよう．3×3MA以外の季節調整フィルターは，高周波数領域のゲイン二乗の値が1を超えている．すなわち，それらのフィルターにおいては高周波数領域の変動（短期変動）を過大推定してしまうということを意味している．やや厳しい評価かもしれないが，この点も問題といえよう．

最後に X-11 内で用意されている個々の移動平均フィルターの指定 (使用) に関する注意点を述べておく。例えば，季節調整フィルターの伝達関数の図から，可变的で，かつ比較的安定した季節性を持つと考えられる時系列に関しては， $ 3 \times 15MA $ を指定したいところである。四半期系列の場合について説明すると， $ 3 \times 15MA $ は，例えば第1四半期のデータを15年単位の算術平均値に変換し，その後にその変換された値に対し3年単位の算術平均値に変換するということを意味する (順序は逆でもよい)。つまり，データが短いときは， $ 3 \times 15MA $ は使用できないのである。同様のことがヘンダーソン MA の項数指定についてもいえるので注意されたい。
## 3 TRAMO-SEATS の分解構造 (SEATS)

### 3.1 シグナル抽出法について

前節に挙げた ad-hoc フィルターを用いる移動平均型の季節調整法は，移動平均を組み合わせ，その反復推計により各コンポーネントに分解する手法である．この ad-hoc フィルターは，しばしば empirical フィルターとも呼ばれる．これは，ある程度の経験に基づいてそのフィルターが設計されていることに由来する．ただし，この手法は，事前に用意されたフィルターを使用するために，分析下にある時系列の統計的特性を反映させていないと批判されることも多い．

一方，これに対峙するように，時系列モデル及び確率モデルに基づき観測系列を未観測コンポーネントに分解する手法も考案されてきた．モデルに基づく季節調整法では，各未観測コンポーネントに対し仮定を置くことにより，観測系列がどのような時系列モデルから生成されているのかを明示することになる．モデルに基づく季節調整法にも様々なものがあり，その特徴は一様には説明できないが，何らかの方法で観測系列の統計的特性を反映させている．季節調整プログラム TRAMO-SEATS もモデルに基づく季節調整法に分類される．以下では，その分解パート SEATS で応用されているシグナル抽出法について簡単に説明する．

$$ \begin{aligned}noise(\hat{n}_{t})\\ \uparrow\\ signal(s_{t})+noise(n_{t})\xrightarrow{\quad}\quad filter\quad\xrightarrow{\quad}signal(\hat{s}_{t})\end{aligned} $$

シグナル抽出法は，ノイズが混入した観測値から未観測値であるシグナルを推定する手法である．この手法の起源は，最適フィルタリング問題を解いたWienerやKormogorovにまで遡ることができる $ ^{11} $ ．彼らは，過去の観測値に基づいて将来の値を予測したり，ノイズが混入した観測値からシグナルのみを抽出する問題を定常過程の最小分散推定問題として研究した．今日ではその最適フィルターをWiener-Kormogorov(WK)フィルターと呼んでいる．後にBurman(1980)やHillmer and Tiao(1982)等がこのシグナル抽出法を季節調整に適用したのである．上の概念図に季節調整の考え方をあてはめると，シグナルが季節調整値に該当し，ノイズが季節コンポーネントに該当する．尚，その手法は，ここでの最適フィルターが観測系列と未観測コンポーネントの変動を記述するARIMAタイプの時系列モデルから構築されることよりARIMA Model Based Signal Extraction(AMBシグナル抽出法)と呼ばれている．当初，WKフィルターの適用範囲は定常過程の時系列に制限されていたが，Pierce(1979)，Bell(1984)，Maravall(1988)等により非定常時系列に対しても適用されることが示された．AMBシグナル抽出法を解説したものとしては，Maravall(1995)，Kaiser and Maravall(2000)，Gómez and Maravall(2001)等が詳しい．以下ではWKフィルターの構造およびARIMAモデルに基づく分解方法について説明する．
### 3.2 WK フィルター

観測系列 $ (x_{t}) $ が signal コンポーネント $ (s_{t}) $ と non-signal コンポーネント $ (n_{t}) $ からなる以下の加法型モデルに従うと仮定する (乗法型モデル $ x_{t} = s_{t} \cdot n_{t} $ に従う場合でも対数変換すれば加法型モデルとなるので, 以下では加法型モデルについて議論する).

$$ x_{t}=s_{t}+n_{t} $$

我々が関心を寄せる未観測コンポーネントを signal コンポーネントと呼ぶので，季節調整の観点からは SA 系列 (seasonal adjustment series，季節調整系列) が $ s_{t} $ に該当し，季節コンポーネントが $ n_{t} $ に該当することになる．

それぞれのコンポーネントの ARIMA モデルは以下のようなものを仮定する．

$$ \phi_{s}(B)s_{t}=\theta_{s}(B)a_{s t} $$

$$ \phi_{n}(B)n_{t}=\theta_{n}(B)a_{n t} $$

ここで，$\phi_{i}(B),\theta_{i}(B)\{i=s,n\}$ は，それぞれ次数が $p_{i},q_{i}$ であるバックシフト・オペレーター $B$ の多項式であり，共通の単位根を持たず，またすべての根は単位円上かまたは単位円外にあるものとする．

また,以上のモデルには次のような仮定がなされる。

A-1 $ a_{st} $ と $ a_{nt} $ は，平均がゼロであり，それぞれ $ \sigma_{s}^{2} $ と $ \sigma_{n}^{2} $ の分散を持つ，互いに独立したホワイト・ノイズである．

A-2 $ \phi_{s}(B) $ と $ \phi_{n}(B) $ は, 互いに素である.

A-3 $ \theta_{s}(B) $ と $ \theta_{n}(B) $ は, 共通の単位根を持たない.

A-1 は，例えば，季節変動を引き起こす要因はトレンドを引き起こす要因とは関連していないということを表している．A-2 は，異なるコンポーネントは異なるスペクトラル・ピークを持つことを意味している．A-3 は， $ x_{t} $ のモデルの反転可能性を保証するものである．

観測系列の ARIMA モデルは次式に従うとする。

$$ \Phi(B)x_{t}=\Theta(B)a_{t} $$

ここで， $ a_{t} $ は分散 $ \sigma^{2} $ を持つホワイト・ノイズであり， $ \Theta(B) $ は反転可能であるとする．また，(33),(34),(35) 式と仮定 A-2 から， $ \Phi(B) $ は次のように因数分解されると解釈できる．

$$ \Phi(B)=\phi_{s}(B)\phi_{n}(B) $$
さて，(34),(35),(36)式のモデルが既知であり，(36)式が定常モデルであるとして議論を進める．また，無限の観測データが与えられているとする．そうすれば，シグナル・コンポーネント $ s_{t} $ のMMSE $ ^{12} $ を与えるWKフィルターは， $ s_{t} $ と $ x_{t} $ のAGF(Autocovariance Generating Function) $ ^{13} $ の比率によって表される．

$$ \hat{s}_{t}=\left[\frac{AGF(s_{t})}{AGF(x_{t})}\right]x_{t}=\left[\frac{\frac{\theta_{s}(B)\theta_{s}(F)}{\phi_{s}(B)\phi_{s}(F)}\sigma_{s}^{2}}{\frac{\Theta(B)\Theta(F)}{\Phi(B)\Phi(F)}\sigma^{2}}\right]x_{t} $$

ここで重要なことは，観測系列のモデルとシグナル・コンポーネントのモデルが識別されると，このWKフィルターが決定するということである．

また（37）式を用いて，（38）式を簡略化すれば，

$$ \hat{s}_{t}=\left[\frac{\sigma_{s}^{2}}{\sigma^{2}}\frac{\theta_{s}(B)\theta_{s}(F)}{\Theta(B)}\frac{\phi_{n}(B)\phi_{n}(F)}{\Theta(F)}\right]x_{t} $$

となる．(39) 式から，このフィルター構造は，時点 t で中心化される対称フィルターであり，また B と F において収束することがわかる (詳しくは Appendix-2 を参照せよ)．仮定 A-3 は，(39) 式が収束するための条件なのである．

次に, 推定されるシグナルの特性を示すために, そのスペクトラムを考察する. まず観測系列, シグナル・コンポーネント, ノン・シグナル・コンポーネントのスペクトラムを $ g(w), g_{s}(w), g_{n}(w) $ と表記する $ ^{14} $ . (33) 式と仮定 A-1 より, 次の関係式が得られる.

$$ g(w)=g_{s}(w)+g_{n}(w) $$

WK フィルターの周波数応答関数は,(38) 式の括弧内の表現によって与えられる 2 つの AGF の比率のフーリエ変換であり, それは $ \frac{g_{s}(w)}{g(w)} $ である. このように (38) 式より MMSE 推定量 $ \hat{s}_{t} $ のスペクトラム $ g_{\hat{s}}(w) $ は,

$$ g_{\hat{s}}(w)=\Big[\frac{g_{s}(w)}{g(w)}\Big]^{2}g(w)=\Big[\frac{g_{s}(w)}{g(w)}\Big]g_{s}(w) $$

で表される．詳細を述べるために周波数応答関数を次のように書き直そう．

$$ \frac{g_{s}(\omega)}{g(\omega)}=\frac{1}{1+\frac{g_{n}(\omega)}{g_{s}(\omega)}} $$

特定の周波数 $ \omega^{*} $ においてシグナルのスペクトラムがノン・シグナルのスペクトラムに比べてかなり大きい場合には， $ \frac{g_{n}(\omega^{*})}{g_{s}(\omega^{*})}\simeq0 $ となる．すなわち，周波数応答関数の値は1に接近し， $ g_{\hat{s}}(\omega^{*})\simeq g_{s}(\omega^{*}) $ が成立する．理論コンポーネントと推定値は，周波数 $ \omega^{*} $ の周辺でよく似た変動を表示することになる．また，この周波数におけるゲインは1に接近しているから， $ g_{\hat{s}}(\omega^{*})\simeq g(\omega^{*}) $ を得る．観測系列のスペクトラムの大部分がシグナルの推定値を説明するのである．
逆に，特定の周波数に対してシグナルのスペクトラムが相対的に小さければ，WKフィルターはシグナル推定値のスペクトラムを無視する．例えば，シグナルのスペクトラムが周波数$\omega^{*}$でゼロをもつか，またはノン・シグナルのスペクトラムが周波数$\omega^{*}$で無限ピークを示している場合には，$\frac{g_{n}(\omega^{*})}{g_{*}(\omega^{*})}\to\infty$となる．

更に (40) と (41) 式から，すべての周波数において $ g_{\hat{s}}(\omega) \leq g_{s}(\omega) $ が容易に導かれる．つまり，シグナルはいつも過小推定される．換言すれば，推定値は理論コンポーネントよりも安定したスペクトラムを描くのである．

以上の説明では無限個の観測データを仮定して議論を進めてきた。しかしながら，現実には観測データは有限個であるから，時系列の始点と終点においてこのような両側フィルターを掛けることが出来ない。この点の解決策として，時系列の始点で後戻り予測（backcast）を，そして終点で先行き予測（forecast）を行って時系列を拡張し，Burman-Wilson アルゴリズム $ ^{15} $ を用いてWKフィルターを適用することになる。

### 3.3 ARIMA モデルに基づく時系列の分解

AMB 分解 (ARIMA-Model-Based decomposition) とは，まず観測系列の ARIMA モデルを推定し，その ARIMA モデルから各コンポーネントのモデルを導出する手法である．以下では四半期系列の時系列に対する AMB 分解を説明する．

観測系列 $ \{x_{t}\} $ の ARIMA モデルが既知であり，次式で表されるとする．

$$ \Phi(B)\Delta\Delta_{4}x_{t}=\Theta(B)a_{t}\quad,\qquad a_{t}\sim w.n.(0,\sigma^{2}) $$

ここで, B はバックシフト・オペレーター, Φ(B) は定常 AR 項, Θ(B) は反転可能な MA 項, Δ = (1 - B), Δ₄ = (1 - B⁴).

また観測系列 $ \{x_{t}\} $ が，トレンド・コンポーネント $ {}^{16}\{m_{t}\} $ ，季節コンポーネント $ \{n_{t}\} $ ，トランジトリー・コンポーネント $ \{c_{t}\} $ ，不規則コンポーネント $ \{u_{t}\} $ から成る加法型モデルに従っていると仮定する。

$$ x_{t}=m_{t}+n_{t}+c_{t}+u_{t} $$

トレンド・コンポーネントは，時系列の低周波数（長い周期）の変動成分であり，周波数ゼロでスペクトラル・ピークを持つ．季節コンポーネントは，季節変動成分であり，季節周波数 $ ^{17} $ でスペクトラル・ピークを持つ．トランジトリー・コンポーネントとは，トレンドや季節コンポーネントに影響を及ぼさない一時的な変動を意味し，平均ゼロの定常過程で表される．これは，ホワイト・ノイズとは異なる変動である $ ^{18} $ ．不規則コンポーネントは，ホワイト・ノイズ変動であり，従って水平なスペクトラムを持つ．
我々が求めたいのは各コンポーネントのモデルである．まず，(37)式で行ったようにΦ(B)ΔΔ_{4}を因数分解すると，次のようになると仮定しよう $ ^{19} $ ．

$$ \Phi(B)\Delta\Delta_{4}=\phi_{m}(B)\phi_{n}(B)\phi_{c}(B)\Delta^{2}S $$

ここで， $ S = 1 + B + B^{2} + B^{3} $ は年合計オペレーターである． $ \Delta^{2} $ はトレンド・コンポーネントに割当てられる根を持ち，S は季節コンポーネントに割当てられる根を持つ．ただし， $ \phi_{m}(B), \phi_{n}(B), \phi_{c}(B) $ は，それぞれトレンド・コンポーネント，季節コンポーネント，トランジトリー・コンポーネントに割当てられる定常な AR 項であると仮定している（これらは仮定 A-2 を満たすとする）．実際にプログラム SEATS で行われる AR 項の根の割り当てについては Appendix-3 に纏めている．

(45) 式による AR 項の根の割り当てから各コンポーネント・モデルの AR 項が決定され，それぞれのコンポーネント・モデルは以下で表される．

$$ \phi_{m}(B)\Delta^{2}m_{t}=\theta_{m}(B)a_{m t}\quad,\quad a_{m t}\sim w.n.(0,\sigma_{m}^{2}) $$

$$ \phi_{n}(B)S n_{t}=\theta_{n}(B)a_{n t}\quad,\quad a_{n t}\sim w.n.(0,\sigma_{n}^{2}) $$

$$ \phi_{c}(B)c_{t}=\theta_{c}(B)a_{c t}\quad,\quad a_{c t}\sim w.n.(0,\sigma_{c}^{2}) $$

$$ u_{t}=a_{ut}\quad,\quad a_{ut}\sim w.n.(0,\sigma_{u}^{2}) $$

ここで，$\phi_{i}(B),\theta_{i}(B)\{i=m,n,c\}$ は，それぞれ次数が $p_{i},q_{i}$ である B の多項式であり，共通の単位根を持たず，またすべての根は単位円上かまたは単位円外にあるとする．

次に，(44) 式の両辺に $ \Phi(B)\Delta\Delta_{4} $ を掛け，(43),(45)~(49) 式を用いると次式が得られる．

$$ \begin{aligned}\Theta(B)a_{t}=\phi_{n}(B)\phi_{c}(B)S\theta_{m}(B)a_{mt}+\phi_{m}(B)\phi_{c}(B)\Delta^{2}\theta_{n}(B)a_{nt}+\\+\phi_{m}(B)\phi_{n}(B)\Delta^{2}S\theta_{c}(B)a_{ct}+\phi_{m}(B)\phi_{n}(B)\phi_{c}(B)\Delta^{2}S a_{ut}\end{aligned} $$

以下ではより具体的に説明するために，$\Phi(B)$ の次数 $p=3,\Theta(B)$ の次数 $Q=8$ と仮定して進める．また，(観測系列の階差項も含めた AR 項の次数 $P)\geq$(観測系列の MA 項の次数 $Q)$ の場合に焦点を当て説明する$^{20}$．そしてまた，上で仮定した根の割当てが成り立つように，$\phi_{m}(B),\phi_{n}(B),\phi_{c}(B)$ の次数はすべて1と仮定しておく．

ここで我々が知りたいのは，$\theta_{m}(B),\theta_{n}(B),\theta_{c}(B)$ のそれぞれの係数と，分散 $\sigma_{m}^{2},\sigma_{n}^{2},\sigma_{c}^{2},\sigma_{u}^{2}$ の値である．AMB 分解では，この識別問題を解くために，各コンポーネントの階差項を含めた AR 項と MA 項の次数を一致させるのである．つまり，ここの問題では $\theta_{m}(B)$ の次数 $q_{m}$ を $3,\theta_{n}(B)$ の次数 $q_{n}$ を $4,\theta_{c}(B)$ の次数 $q_{c}$ を $1$ と設定するのである．そうすれば，(50) 式の左辺は MA(8) 過程であり，また右辺のすべての項の合計も MA(8) 過程となる（和の定理）．従って，(50) 式の両辺の AGF が等しくなり，9 本の方程式からなる方程式体系が得られるこ
となる．しかしながら，この方程式体系の未知数は12個であり，過少識別問題となっている．この過少識別問題を回避するために，方程式体系において各コンポーネント・モデルのMA項の最大次数の係数を0に設定するのである（このモデルでは，トレンド・コンポーネント，季節コンポーネント，トランジトリー・コンポーネントのMA項の最大次数の係数を0と設定する）．こうして方程式体系は解かれ，第1の許容分解を得る．

第1の許容解を(46)～(49)式にあてはめて得られるスペクトラムをそれぞれ $ g_{m}^{0}(\omega) $ ， $ g_{n}^{0}(\omega) $ ， $ g_{c}^{0}(\omega) $ ， $ g_{u}^{0}(\omega) $ とする。そして，最終的な分解過程で次の操作をする。

$$ \begin{aligned}g_{m}(\omega)\quad&=\quad g_{m}^{0}(\omega)-min\{g_{m}^{0}(\omega)\}\\g_{n}(\omega)\quad&=\quad g_{n}^{0}(\omega)-min\{g_{n}^{0}(\omega)\}\\g_{c}(\omega)\quad&=\quad g_{c}^{0}(\omega)-min\{g_{c}^{0}(\omega)\}\\g_{u}(\omega)\quad&=\quad g_{u}^{0}(\omega)+min\{g_{m}^{0}(\omega)\}+min\{g_{n}^{0}(\omega)\}+min\{g_{c}^{0}(\omega)\}\end{aligned} $$

こうして得られたスペクトラム $ g_{m}(\omega) $ , $ g_{n}(\omega) $ , $ g_{c}(\omega) $ をスペクトル分解して，(46)～(49)式で表されるモデルを最終的に決定する．このような分解を"canonical"分解と呼び，最終的に得られた不規則コンポーネント以外の各コンポーネントを"canonical"トレンド・コンポーネント"canonical"季節コンポーネント"canonical"トランジトリー・コンポーネントと呼ぶ．例として，図10には第1の許容解のトレンド・コンポーネントと最終的に得られる"canonical"トレンド・コンポーネントのそれぞれのスペクトラムを描いている．同様に，第1の許容解の季節コンポーネントと"canonical"季節コンポーネントのスペクトラムを図11に示している．図10と図11で示されているように，第1の許容解から得られるトレンド・コンポーネントや季節コンポーネントのスペクトラムは点線で表されているノイズを含んでいる．このノイズを除去する操作が(51)式の操作であり，第1の許容解のスペクトラムが下方にシフトされ"canonical"コンポーネントのスペクトラムが得られるのである．また，下方にシフトさせた分を不規則コンポーネントに足すことから"canonical"分解は不規則コンポーネントの分散値を最大化させることを意味する．

以上により，各コンポーネントのモデルが決定されると，前節で説明したWKフィルターが決定され，そのWKフィルターを用いて各コンポーネントが推定されるのである．理解の助けとなるよう以下に数値計算の例を挙げておく．

【数値計算例】この数値計算例は，筆者が実際にインターフェース Demetra を使って，TRAMOSEATS により国内家計最終消費支出 (名目，data span=1994Q1-2000Q4) に airline model $ (0,1,1)(0,1,1)_{s} $ で季節調整を施し，アウトプットとして得た計算結果である．ただし，次式のホワイト・ノイズの分散値を 1 に規準化している．

$$ \Delta\Delta_{4}x_{t}=(1-0.6793B)(1-0.7756B^{4})a_{t}\quad,\quad a_{t}\sim w.n.(0,1) $$

(52) 式で表される時系列を上で説明した AMB 分解により分解し，最終的に得られた各コンポーネントのモデルを以下に纏めている．

"canonical"トレンド・コンポーネント$\{m_{t}\}$のモデル

$$ \Delta^{2}m_{t}=(1+0.0608B-0.9392B^{2})a_{mt}\quad,\quad a_{mt}\sim w.n.(0,0.0219) $$
"canonical" 季節コンポーネント $ \{n_{t}\} $ のモデル

$$ Sn_{t}=(1-0.1526B-0.4805B^{2}-0.3669B^{3})a_{nt}\quad,\quad a_{nt}\sim w.n.(0,0.0082) $$

不規則コンポーネント $ \{u_{t}\} $ のモデル

$$ u_{t}=a_{ut}\quad,\quad a_{ut}\sim w.n.(0,0.5504) $$

季節調整系列 $ \{s_{t}\} $ のモデル

$$ \Delta^{2}s_{t}=(1-1.6178B+0.6375B^{2})a_{s t}\quad,\quad a_{s t}\sim w.n.(0,0.8311) $$

(52) 式で表される観測系列 (原系列) のスペクトラムを図 12-(a) に，(53) 式で表される "canonical" トレンド・コンポーネントのスペクトラムを図 12-(b) に，(54) 式で表される "canonical" 季節コンポーネントのスペクトラムを図 12-(c) に，(55) 式で表される不規則コンポーネントのスペクトラムを図 12-(d) に，(56) 式で表される季節調整系列のスペクトラムを図 12-(e) に示している。

また，各コンポーネントを推定する WK フィルターは以下である。

トレンド・コンポーネントを推定する WK フィルター $ G_{m} $

$$ G_{m}=\frac{0.0219\frac{\left(1+0.0608B-0.9392B^{2}\right)\left(1+0.0608F-0.9392F^{2}\right)}{\left(1-B\right)^{2}\left(1-F\right)^{2}}}{\frac{\left(1-0.6793B\right)\left(1-0.7756B^{4}\right)\left(1-0.6793F\right)\left(1-0.7756F^{4}\right)}{\left(1-B\right)\left(1-B^{4}\right)\left(1-F\right)\left(1-F^{4}\right)}} $$

季節コンポーネントを推定する WK フィルター $ G_{n} $

$$ G_{n}=\frac{0.0082\frac{\left(1-0.1526B-0.4805B^{2}-0.3669B^{3}\right)\left(1-0.1526F-0.4805F^{2}-0.3669F^{3}\right)}{\left(1+B+B^{2}+B^{3}\right)\left(1+F+F^{2}+F^{3}\right)}}{\frac{\left(1-0.6793B\right)\left(1-0.7756B^{4}\right)\left(1-0.6793F\right)\left(1-0.7756F^{4}\right)}{\left(1-B\right)\left(1-B^{4}\right)\left(1-F\right)\left(1-F^{4}\right)}} $$

不規則コンポーネントを推定する WK フィルター $ G_{u} $

$$ G_{u}=\frac{0.5504}{\frac{(1-0.6793B)(1-0.7756B^{4})(1-0.6793F)(1-0.7756F^{4})}{(1-B)(1-B^{4})(1-F)(1-F^{4})}} $$

季節調整値を推定する WK フィルター $ G_{s} $

$$ G_{s}=\frac{0.8311\frac{\left(1-1.6178B+0.6375B^{2}\right)\left(1-1.6178F+0.6375F^{2}\right)}{\left(1-B\right)^{2}\left(1-F\right)^{2}}}{\frac{\left(1-0.6793B\right)\left(1-0.7756B^{4}\right)\left(1-0.6793F\right)\left(1-0.7756F^{4}\right)}{\left(1-B\right)\left(1-B^{4}\right)\left(1-F\right)\left(1-F^{4}\right)}} $$

これらトレンド・フィルター $ G_{m} $ ，季節フィルター $ G_{n} $ ，イレギュラー・フィルター $ G_{u} $ ，季節調整フィルター $ G_{s} $ のそれぞれの伝達関数を図 13-(a)～(d) に示している $ ^{21} $ 。
### 3.4 SEATS の特徴と問題点

SEATS で採用されている WK フィルターは，MMSE 推定量を与えるという意味で数理的に最適化されたフィルターである．その WK フィルターは，観測系列の ARIMA モデルと AMB 分解で一意的に決定される各コンポーネントの ARIMA モデルから決定されることから X-11 フィルターに比べ幾分かは時系列の統計的特性を反映させたフィルターであるといえよう．ただし，幾つかの問題点を含んでいると想われるので順を追って述べたい．各コンポーネント・モデルの AR 項は，観測系列のモデルにおける AR 項の根の割り当て（因数分解）から決定される．これは，観測系列のモデルが示すスペクトラル・ピークを周波数によりトレンド・コンポーネントや季節コンポーネント等に割り当てるということを意味しており，この点は論理的に妥当であると想われる．問題は，各コンポーネント・モデルの MA 項の決定である．先ず，許容解を得る段階で連立方程式の数が未知数より少なくなるという過少識別問題が生じることを見た．つまり，許容解は無限に存在することを意味している．この過少識別問題を回避する方法として，各コンポート・モデルにおける MA 項の最大次数の係数を 0 と設定するのだが，こうした方法は解を得るための一つの解決策に過ぎず，何ら根拠は無いといえる．また，最終的な各コンポーネント・モデルは，許容解から得られた各コンポーネント・モデル（不規則コンポーネントを除く）が描くスペクトラムを最も安定的にさせる canonical 分解から得られることをみた．許容解のトレンドや季節コンポーネントに含まれるノイズを除去する操作は一見論理的ではあるけれども，統計的な根拠はなく，これも一つの取り決めでしかないといえよう $ ^{22} $ ．最終的な各コンポーネントのモデルが決定されるまでには，過少識別問題の回避や canonical 分解といった複雑な過程を踏むことから時系列の統計的特性を直接的に反映させたエレガントな解法であるとは言い難い．AMB 分解は，一意的な解を得るための一つの方法であって，それにより決定される各コンポーネント・モデルが真のモデルに近いかどうかは，また別問題である．

最後に，X-11 フィルターと WK フィルターの伝達関数を比較してみる．X-11 の季節調整フィルターの伝達関数では多くの場合，高周波数領域においてゲインの二乗が1を超えるという問題があった．図13-(d)に示しているWK フィルター（季節調整フィルター）の伝達関数を見る限り，その様な問題はないようである．この点はイレギュラー・フィルターの比較においてもいえることである．

## 4 実証分析

ここでは，国内家計最終消費支出 (帰属家賃分を除く) と民間企業設備投資の四半期系列 (名目・実質，サンプル期間:1994/1-3～2002/10-12) を用いて，幾つか目的別に季節調整の実証分析を行い2つのプログラム X-12-ARIMA と TRAMO-SEATS を比較する (以下の分析で用いた原系列データは表1参照).
### 4.1 季節調整値の単純比較

〔分析目的と手法〕まず国内家計最終消費支出 (名目・実質) と民間企業設備投資 (名目・実質) の 4 つの系列を以下の調整方法により季節調整を施し，季節調整値の実数及び前期比成長率を比較する．

〔調整方法〕

· 变换：对数变换

・期間：サンプル期間

• ARIMA model : airline model (0 1 1)(0 1 1)s

・事前調整：異常値・閏年・曜日効果等の調整なし

・Mean Correction : なし

・その他：デフォルト設定

〔季調結果〕〈季節調整値：表1,図14,16,18,20/季節調整値前期比成長率：表2,図15,17,19,21〉

上記の方法で季節調整を施した場合，両プログラムの季節調整値の推移は，全ての系列において非常に類似している（図14,16,18,20）.ここでは一応の滑らかさをみるために季節調整値の前期比成長率を使用する（図15,17,19,21）.前期比成長率の各期絶対値の合計値を比較すると，国内家計最終消費支出（実質）ではX-12-ARIMA=28.23＜30.05=TRAMO-SEATSとなっておりX-12-ARIMAの方が滑らかな季節調整系列となっているが，その他の国内家計最終消費支出（名目）と民間企業設備投資（名目・実質）の3系列では，いずれもTRAMO-SEATSの方が値は小さく，X-12-ARIMAより滑らかな季節調整系列であるという結果となっている（表2）.

### 4.2 安定性の比較分析

【分析目的と手法】原系列データに新規データを追加して季節調整を施した場合に季節調整値がどのくらい改訂されるかという安定性について比較分析する。直近部分の改訂度を調べるために，季節調整の算出期間の終期を2001/10-12から1期ずつ追加してゆく毎に季節調整を施し，2001/10-12～2002/7-9の期間に季節調整データが平均してどのくらい改訂されるかを見る。ここではMAPR(Mean Absolute Percent Revision)という指標を用いて安定性を測ることにする（以下参照）。尚，季節調整の方法は4.1節で説明した調整方法に従っている（期間を除く）。

[MAPRについて]

ある時系列 $ Y_{t}(t=1,2,\cdots,N) $ に対して， $ Y_{1},Y_{2},\cdots,Y_{T}(n\leq T\leq N) $ から計算される n 番目の季節調整値を $ A_{n|T} $ で表すとする．ここで， $ A_{n|n},(n
この $ R_{n} $ の一定の期間についての絶対値の平均が MAPR であり, MAPR の値が小さいほど安定性の高い季節調整法であるといえるのである.

## 〔季調結果〕〈表3~10,図22~29〉

MAPRの値を比較すると，国内家計最終消費支出の名目系列ではX-12-ARIMA=0.052<0.153=TRAMO-SEATS(表3,4)，実質系列ではX-12-ARIMA=0.040<0.079=TRAMO-SEATSとなっており(表5,6)，当系列においてはX-12-ARIMAの方が安定的である．しかしながら，民間企業設備投資の系列を比較すれば，名目系列ではX-12-ARIMA=0.821>0.678=TRAMO-SEATS(表7,8)，実質系列ではX-12-ARIMA=0.848>0.725=TRAMO-SEATSであり(表9,10)，TRAMO-SEATSの方が安定的という結果となっている．これら4系列の安定性比較において両プログラムは甲乙付け難い．参考までに，MAPRの計算過程で用いた各系列のinitial季節調整値とfinal季節調整値の比較を載せている(図22～29)．

### 4.3 加法性の比較分析

〔分析目的と手法〕GDEのような消費や設備投資及び在庫等の幾つかの構成要素から成る時系列は，一般に各構成要素の季節調整値の合計値とGDE自体の季節調整値は多くの場合一致しない．これを回避するには同じ線型フィルターを全ての季節調整の際に選択すればよいといわれるが，そうすることによって加法の整合性が保たれたとしても各季節調整が望ましい調整になっているとは限らない．むしろ，各系列の統計的特性に反した調整となり，ある種歪められた季節調整となる可能性が大きい．こうした季節調整値におけるBalancing Constraintの問題が解決しなければ，例えばGDE自体の季節調整値を用いた寄与度分析等が出来ないばかりか，経済の基調を読み違えることにもなりかねない．

以上のような観点から，ここでは国内家計最終消費支出と民間企業設備投資の原系列を足し合せた系列の季節調整値と各系列の季節調整値を足し合わせたものを比較し，どちらのプログラムがそれらの乖離が小さいかをみる．尚，季節調整の方法は4.1節で説明した調整方法に従っている．

## 〔季調結果〕〈表 11~14 ，図 30~33〉

国内家計最終消費支出 (名目) の季節調整値と民間企業設備投資 (名目) の季節調整値を足し合わせた系列 $ \{\mathrm{DFCN(SA)+PEN(SA)}\} $ と，国内家計最終消費支出 (名目) と民間企業設備投資 (名目) を足し合わせた系列の季節調整系列 $ \{\mathrm{DFCN+PEN.(SA)}\} $ の差の絶対値の合計値を比較すると，X-12-ARIMA=5055.3>2287.4=TRAMO-SEATS であり，TRAMO-SEATS の方が両者の乖離は小さい．また， $ \{\mathrm{DFCN(SA)+PEN(SA)}\} $ と $ \{\mathrm{DFCN+PEN.(SA)}\} $ の前期比成長率をみると，X-12-ARIMA で異なる符合を示しているのは 3 期 (1995/7-9, 1998/1-3, 1999/7-9) であるのに対して，TRAMO-SEATS では 1 期 (1998/1-3) のみである (表 11,12)．

次に国内家計最終消費支出 (実質) の季節調整値と民間企業設備投資 (実質) の季節調整値を足し合わせた系列 $ \{\mathrm{DFCR}(\mathrm{SA}) + \mathrm{PER}(\mathrm{SA})\} $ と，国内家計最終消費支出 (実質) と民間企業設備投資 (実質) を足し合わせた系列の季節調整系列 $ \{\mathrm{DFCR} + \mathrm{PER}.(\mathrm{SA})\} $ の差の絶対値の
合計値を比較すると，X-12-ARIMA=4186.1>3571.2=TRAMO-SEATSであり，実質系列についてもTRAMO-SEATSの方が両者の乖離は小さい．また， $ \left\{\mathrm{DFCR}(\mathrm{SA})+\mathrm{PER}(\mathrm{SA})\right\} $ と $ \left\{\mathrm{DFCR}+\mathrm{PER}(\mathrm{SA})\right\} $ の前期比成長率をみると，X-12-ARIMAとTRAMO-SEATSで異なる符合を示しているのは共に5期であった(表13,14)．

以上の結果より，加法の整合性という観点からは TRAMO-SEATS の方が優れていると評価できる．

### 4.4 再掃性の比較分析

〔分析目的と手法〕ここでは季節調整系列と，これに再度季節調整を施した系列がどの程度一致しているかをみる．つまり，最初の季節調整により適切に季節性が除去されているならば，2度目の季節調整で除去される季節成分は殆どなく，最初の季節調整値とほぼ一致しているはずである．季節調整値とそれを再度季節調整した系列の両者における各期の差の絶対値を計算し，サンプル期間におけるその合計値がX-12-ARIMAとTRAMO-SEATSでどちらが小さいかをみる．尚，季節調整の方法は4.1節で説明した調整方法に従っている．

〔季調結果〕〈表 15,16〉

国内家計最終消費支出の名目系列の比較では X-12-ARIMA=876.6>314.0=TRAMO-SEATS 実質系列では X-12-ARIMA=1230.8>9.9=TRAMO-SEATS 民間企業設備投資の名目系列では X-12-ARIMA=1398.9>103.6=TRAMO-SEATS 実質系列では X-12-ARIMA=2038.0>125.8=TRAMO-SEATS と，全ての比較において TRAMO-SEATS の方が小さくなっている．従って，季節調整値の再帰性という観点からは TRAMO-SEATS の方が優れていると評価できる．

## 5 結び

本稿では，X-12-ARIMAとTRAMO-SEATSの分解構造を説明した．X-12-ARIMAの分解パートであるX-11は，既存の移動平均フィルターを組み合わせて観測系列を分解し，季節調整系列を推定する手法であり，他方，TRAMO-SEATSの分解パートであるSEATSは，AMB分解により観測系列のARIMAモデルから季節調整コンポーネントのARIMAモデルを導出し，それらのARIMAモデルから構築されるWKフィルターにより季節調整系列を推定する手法であった．これら2つのアプローチの違いは，フィルター構造が時系列の統計的特性を反映させたものであるか否か，またフィルター設計が数理的に最適化されているか否かであると云えよう．このように違いを述べるとSEATSの方が優れた分解プログラムであるように想われるが、そのSEATSの分解手順にも幾つか統計的客観性に欠けた部分があることを指摘した．

また，本稿では試験的な意味での実証分析を幾つか試みた．結果を纏めると，ARIMAモデルをairline modelに統一した場合には，TRAMO-SEATSの方が滑らかな季節調整系列を作り出すことがわかった．MAPRという指標を用いた安定性比較では，X-12-ARIMAとTRAMO-SEATSの両者の結果は甲乙付け難かった．明らかに優劣の判定がついたのは，加法
性と再帰性の比較であって，これらに関しては TRAMO-SEATS の方が優れていると結論付けられた．ただし，断っておかなければいけないことは，これらの結果は限定的な調整（オプション）によるものであることである．まず，ARIMA モデルを airline model に限定した理由については，同じモデルの下で調整を施した場合に X-12-ARIMA と TRAMO-SEATS による季節調整結果が如何ほど異なるかを調査したかったこと，また事前調整パートである RegARIMA と TRAMO では ARIMA モデルの自動選択オプションが異なることから同じ時系列に対しても異なる ARIMA モデルを選択する可能性があったこと，これらの点を考慮して代表的な airline model を事前に選択した．代替案としては，RegARIMA と TRAMO のどちらを使用するか事前に決め，その一方の自動選択オプションにより選択された ARIMA モデルを使用して両プログラムにより季節調整を施し，その結果を比較するということも考えられる．TRAMO に関しては，本稿の対象とする範囲を超えるために依然不明な部分があり，この点を考慮して出来る限り事前調整パートでの違いをなくすために，異常値や聞年及び曜日効果等の事前調整オプションを用いずに分析した点も断っておく．

本稿の実証結果を補完する意味でも，Hood et al.(2000)の実証研究について述べておきたい．Hood et al.(2000)では，シミュレーションにより作成した時系列データ（月次）を使用し，SEATSによる季節調整とX-12-ARIMAによる季節調整の結果を比較評価している．12年分のデータを使用した場合には両者の季調結果は甲乙付け難く，比較的短い4年分のデータを使用した場合にはX-12-ARIMAの方が優れた結果であるとしている．また，変動幅の大きい不規則コンポーネントを含む系列のみを比較の対象とすると，12年分のデータを使用した場合にはSEATSによる季節調整の方が優れており，4年分のデータを使用した場合にはX-12-ARIMAによる季節調整の方が優れているということが示されている．加えて，季節調整の必要性がない系列に対してSEATSで季節調整を施すと，結果として得られる季節調整系列に季節性が誘導されてしまう場合があることを指摘している．従って，オリジナル・プログラムには備わっていないspectral diagnosticsといった事後診断機能をSEATSプログラムに備えることは有用であるとしている．この点に関してはHood(2002)で詳しく述べられているので参照されたい．

異なる季節調整法を比較し相対的な評価を下すことは，想いのほか困難なことである．これは，評価基準を設けることの困難さに起因する．もとより季節成分とは観測不能であり，これを定義するにあたって，季節調整法では先験的に仮定を設けることになる．この仮定が異なれば，異なる季節調整結果になることはいうまでもない．重要なことは，各季節調整法で設けられた仮定が，現実に則したものであるかどうかをよく吟味することであろう．本稿では，両プログラムにおける特徴や問題点等を述べたが，これらが適切であったか，またそれ自体に恣意性がなかったかどうか不安の残るところである．実証分析においても，更に最適なシナリオ（オプション選択）を描いた上で，季節調整結果を比較しなければ，両プログラムを適正に評価したことにはならないであろう．また，我が国の更に多くの経済時系列に対しても分析する必要性がある．ただし，これらについては今後の課題としたい．
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