Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
表3：Weibull分布を仮定したSurvival分析で推定された介護期間別認定率

介護期間	2001年度非認定率 認定率	2002年度非認定率 認定率	2003年度非認定率 認定率
1年	0.813	0.187	0.820
2年	0.567	0.433	0.383
3年	0.366	0.634	0.163
4年	0.237	0.763	0.073
5年	0.165	0.835	0.020
7年	0.077	0.923	0.005
10年	0.028	0.972	0.002
サンプル平均月数平均値における値	36.3770.364	23.7090.395	19.0820.344
表4:介護サービス受給に対する要介護者・世帯属性の影響 (プロビット・モデル)

定義	推定值	2001年度標準誤差	限界効果	推定值	2002年度標準誤差	限界効果	推定值	2003年度標準誤差	限界効果

注：全ての回帰分析は地域ダミーにより調整済み。a、b、cはそれぞれ、有意水準5%，10%，15%を示す。
表5:介護サービス費用に対する要介護者・世帯属性の影響（トービット・モデル）

定義	推定值	2001年度標準誤差	限界効果	推定值	2002年度標準誤差	限界効果	推定值	2003年度標準誤差	限界効果
認定後の期間による影響	1,211	(195)	542	a	581	(99)	332	a	375
1年間の1人当たりサービス費用の増加幅（限界効果X12ヶ月）	6,509	3,980
1.要介護者の身体的属性
女性	640	(3,527)	285	-3,794	(2,700)	-2,243	14,646	(9,559)	7,491
年龄	610	(240)	273	a	171	(180)	98	128	(663)
要介護度1	12,969	(3,942)	6,502	a	7,865	(2,703)	4,790	a	46,869
要介護度2	18,613	(3,481)	9,819	a	15,764	(2,716)	10,340	a	83,445
要介護度3	16,982	(4,767)	9,227	a	11,399	(3,207)	7,514	a	131,978
要介護度4	10,480	(5,066)	5,408	a	21,232	(3,674)	15,584	a	152,100
要介護度5	15,539	(5,570)	8,571	a	6,000	(4,484)	3,754	184,906	(16,823)
要支援=＞要介護度1	6,296	(15,276)	3,121	-6,610	(10,852)	-3,317	23,015	(22,430)	12,868
要支援=＞要介護度2	12,476	(8,248)	6,723	c	9,050	(7,665)	5,966	35,559	(26,990)
要介護度1=＞要介護度2	5,040	(6,761)	2,436	-5,737	(5,230)	-2,952	-5,808	(20,081)	-2,992
介護が必要となった理由：脳血管疾患	3,369	(3,635)	1,557	-5,340	(2,683)	-2,885	a	-10,098	-5,200
介護が必要となった理由：心臓病	1,050	(4,908)	477	-7,051	(3,724)	-3,591	b	-18,052	-9,006
介護が必要となった理由：癌	-8,577	(7,977)	-3,339	-11,426	(5,626)	-5,274	a	-27,301	-13,176
介護が必要となった理由：呼吸器疾患	-21,795	(7,235)	-6,793	a	-6,286	(5,303)	-3,209	5,225	(23,771)
介護が必要となった理由：閉節疾患	1,596	(4,988)	731	-4,529	(3,748)	-2,409	23,710	(17,156)	13,235
介護が必要となった理由：痴呆	10,489	(3,527)	5,176	a	10,875	(2,621)	6,945	a	-7,602
介護が必要となった理由：糖尿病	-1,034	(4,798)	-457	-5,808	(4,471)	-3,000	a	4,333	(14,914)
介護が必要となった理由：視覚・聴覚障害	-6,541	(5,576)	-2,655	-4,654	(3,966)	-2,461	-7,636	(15,336)	-3,919
介護が必要となった理由：骨折・転倒	-946	(3,555)	-420	-1,463	(2,469)	-823	16,513	(11,380)	8,958
介護が必要となった理由：脊髓損傷	5,524	(8,591)	2,697	-14,919	(9,043)	-6,257	b	-44,198	-20,264
介護が必要となった理由：高齢に衰弱	-2,424	(3,688)	-1,062	-1,686	(2,594)	-947	21,269	(9,806)	11,519
2.要介護者が必要な医療・介護
1ヶ月当たり通院回数	207	(279)	93	-382	(231)	-218	b	-968	(1,559)
1ヶ月当たり医療費（自己負担分）	-494	(517)	-222	487	(365)	278	a	-0,448	(0,759)
要介護状態になった当初の介護時間	1,289	(273)	577	a	1,060	(226)	605	a	1,980
3.世帯の経済的属性
要介護者の保険加入状況：民間の生命保険	3,167	(3,624)	1,457	1,516	(2,681)	876	790	(9,525)	414
要介護者の保険加入状況：民間の医療保険	3,297	(5,124)	1,545	-2,482	(3,798)	-1,366	7,334	(13,406)	3,907
要介護者の保険加入状況：民間の癒保険	-7,949	(7,607)	-3,128	5,850	(3,651)	3,623	c	25,434	(17,850)
要介護者の保険加入状況：民間の個人年金	-8,741	(7,279)	-3,394	-3,680	(4,624)	-1,975	940	(18,919)	494
要介護者の保険加入状況：民間の介護保険	36,974	(13,556)	25,907	a	968	(8,755)	562	-38,440	(30,258)
世帯所得	7,401	(2,840)	3,316	a	2,709	(2,033)	1,547	353	(891)
世帯資産	-730	(1,669)	-327	567	(1,110)	324	875	(812)	458
高齢者資産比率	381	(4,304)	171	1,340	(3,287)	765	615	(1,473)	322
世帯人数（要介護者除く）	-1,265	(1,066)	-567	287	(763)	164	-1,459	(2,798)	-764
住宅事情：一戸建て持家	-2,509	(4,789)	-1,163	-5,210	(3,116)	-3,187	b	16,734	(20,256)
定数項	-173,978	(45,394)	-77,951	a	-79,041	(34,893)	-45,136	a	-105,351
サンプル数	567	520	622
Log Likelihood	-3,800.510	-3,631.459	-6,363.547

注：全ての回帰分析は地域ダミーにより調整済み。a、b、cはそれぞれ、有意水準5%、10%、15%を示す。
表6：訪問・通所介護及び短期入所に関する介護費用の将来推計

単位:兆円2001年度価格	新規(2003年度)調査による推定結果	(参考)前回調査の推定結果
2003年現在	2010年	2015年	2025年	2002年現在	2010年	2015年	2025年
訪問·通所サービス	1.5	3.3	4.6	4.8	1.2	3.1	4.3	4.8
短期入所	0.1	0.3	0.4	0.5	0.1	0.3	0.4	0.5
総計	1.6	3.6	5.0	5.3	1.3	3.4	4.7	5.3
ESRI Discussion Paper Series No.180

コンセンサス予測は単なる平均的な予測か?

— ESP フォーキャスト調査の評価の再検討 —

by

河越 正明

April 2007

內閣府経済社会総合研究所

Economic and Social Research Institute

Cabinet Office

Tokyo, Japan
# コンセンサス予測は単なる平均的な予測か？

# — ESP フォーキャスト調査の評価の再検討 —

2007 年 4 月

河越正明 $ ^{*1} $

$ ^{*1} $ 内閣府経済社会総合研究所特別研究員
## 概要

「ESP フォーキャスト調査」(以下、ESPF と呼ぶ。) の 2004、2005 年度の 4 指標 (実質 GDP 成長率の年度値・四半期値、CPI 上昇率及び失業率の四半期値) の予測値のデータを検討したところ、いわゆるコンセンサス予測の成績が比較的良好であり、かつ、その結果は評価方法の多少の変更に依存しない頑健なものであることが確認された。これは、実現値が「予測を裏切る」ような外れ値になることが頻発するからであり、コンセンサス予測は常に大きく間違わないことが、良い成績を残す理由である。個別の予測者にとっては、コンセンサス予測より良い結果を一度出すことは比較的容易だが、それを継続することは困難である。また、実現値が外れ値となるのは、点推計値である予測値が密集している度合いに比べ、個々の予測者が自分の予測値に割合大きな幅をもって考えていることの反映と理解できる。こうした結果として、ESPF においては、コンセンサス予測が優れた予測であるという利用者にとっての価値と、コンセンサス予測を上回る結果を残すことは決して不可能ではないという参加者にとっての誘因が、両立する仕組みであると解釈することが可能である。さらに予測を組み合わせる効果を検証すると、実質 GDP 成長率の四半期予測値で一番大きく RMSE が減少し、1.5%ポイント程度の低下が見られた。
Is the Consensus Forecast Just the Average?

-- Re-examining an Evaluation of the ESP Forecast --

Masaaki Kawagoe (Special Fellow, Economic and Social Research Institute)

## Abstract

This paper examines forecast data of the ESP Forecast (hereafter ESPF), the monthly survey of forecasts for the Japanese economy, for 4 variable -- three quarterly figures of real GDP growth rates, year-on-year CPI growth rate and unemployment rate, and fiscal year real GDP growth rate -- in FY 2004 and 2005. The consensus forecast turns out to perform well, which is a robust result, regardless of changes in evaluation methods. This is because even though realized values often “betray forecasts”, that is, they could be regarded as outliers from forecasters’ viewpoints, the consensus forecast, by definition, does not deviate so much from realised values. Hence, each forecaster should find it easy to beat the consensus a few times, but difficult to continue. Frequent large deviations of realised values could result from relatively large uncertainty attached to the forecasts. The ESPF keeps the following two compatible: producing the consensus valuable to users; making it possible for participating forecasters to beat the consensus, thereby encouraging the forecasters to continue to participate in the ESPF. Forecast combination is shown to reduce RMSE of forecast errors the most for quarterly real GDP growth rate (s.a.a.r.), some 1.5 percentage points.
## 目次

1 はじめに
2 ESPF とその評価
2.1 ESPF とは何か
2.2 コンセンサス予測の予備的考察
2.3 評価方法
2.4 評価結果
3 再検討 1: 頑健性
3.1 ウェイトの変更
3.2 総合化の仕方
4 再検討 2: 良い成績が生まれる要因
4.1 予測値のバラツキと実現値
4.2 解釈と含意
5 予測を組み合わせるメリットの定量化
6 結び
A 予測時点に応じたウェイトの計算の詳細
A.1 実質 GDP 成長率の年度予測値
A.2 CPI 上昇率及び失業率の四半期予測値
A.3 実質 GDP 成長率の四半期予測値
B 推計結果
## 1 はじめに

本稿 $ ^{*1} $ の目的は、(社)経済企画協会が民間エコノミストのマクロ予測を毎月調査・公表している「ESPフォーキャスト調査」（以下、ESPFと呼ぶ。）のデータを用いて、予測値の総平均、いわゆる「コンセンサステン」のパフォーマンスを検討することである。（社）経済企画協会(2006)及び河越(2006a)では、コンセンサステン測のパフォーマンスが、民間エコノミストの予測と比べて相対的に優れていることを示した。本稿では、この事実発見について再検討を行う。

これまでの主に米国のデータを用いた研究結果によれば、コンセンサス予測は個別の予測に比して比較的良好な成績となることが示されている $ ^{*2} $ 。こうした研究は、日本経済についてはこれまでデータの制約からあまり行われていなかったが、（社）経済企画協会(2006)及び河越(2006a)は、米国の研究結果と同様の結果を日本においても確認した。

本稿では、その事実発見を基に、コンセンサス予測の比較的良好な成績が果たして頑健な結果かどうか、さらに、こうした良好な成績がどのようなメカニズムから生じるかを検討した。その際念頭にあるのは、既存の文献においてよく言及されるリスク分散による説明が、ESPFのデータにおいて実際にどのように作用しているか、という点である。またさらに進んで、予測値を組み合わせて平均をとるという操作によってどれ位のメリットが生じるのか、定量的に分析した。

この分析には、調査発足後２年余が経過して広く用いられるようになってきた ESPF について、そのユーザーに対して情報提供を行う意義がある。例えば、ESPF のコンセンサス予測は、日本銀行から年２回公表されるいわゆる展望レポート（「経済・物価情勢の展望」）において、2005年１０月以降、物価に関するエコノミストの展望を示すデータとして用いられている。ESPF のコンセンサス予測がどういう理由からどれ位の精度をもつものかが明らかになれば、その使い方の改善を図ることが可能となる。また、実際、エコノミストの中には、ESPF の情報を積極的に予測の実務に役立てようとする者も出てきた $ ^{*3} $ 。このように ESPF は、経済の
見方について幾つかのベンチマークを提供しているのであり、その特性を明らかにしておくことは、重要である。

本稿の構成は以下の通りである。まず次節では、ESPFに参加している各予測者の成績の評価方法を紹介し、コンセンサス予測に適用した結果を示す。第3節では、前節の結果がどれ位頑健なものか、評価方法のやり方を変更した場合の影響を検討する。第4節は、コンセンサス予測の比較的優れたパフォーマンスがどういった要因から生まれるか、リスク分散による説明の妥当性という観点から検討を加える。第5節は、そもそも色々な予測を結合することのメリットはどれ位なのか、定量的に示す。第6節は結びである。

## 2 ESPF とその評価

本節では、ESPF の概要を紹介するとともに、（社）経済企画協会 (2006) の解説である河越 (2006a) に基づきつつ、より詳細に評価の方法と結果を述べる。

### 2.1 ESPF とは何か

ESPF では、毎月エコノミストに、主として日本経済に関する予測を質問し、その結果を公表している $ ^{*4} $ 。この調査は、2004年4月の試行を経て、同年5月から本格的に開始された。本稿では、2004年4月の試行期間を含め2006年3月までの2004年度及び2005年度のデータを分析対象にしている。

調査発足時（2004年4月）の調査対象先数は38人だったが、その後、調査機関の再編・統廃合などから3人が抜け、他方、2人が2005年3月から新たに参加した結果、現時点で総数は37人である。なお、ESPFでは、基本的には個人的見解を回答してもらっている。機関として回答しているところもいくつかあるが、表記を簡単化するため、全て個人ベースの回答とみなして、回答者数の単位は「人」とする。

調査票は年度予測（当該年度及び翌年度）と四半期予測（翌年度の最終四半期まで）について予測値を尋ねている $ ^{*5} $ 。前者は、年度予測では16項目を尋ねており、そのうちGDP統計、金融指標でそれぞれ7項目、5項目を占める。四半期予測でカバーしているのは実質GDP成長率（季調済前期比年率）、CPI上昇率（前年同期比）及び失業率（季調値）の3項目のみである。
ESPF では、回答期限が毎月 5 日前後に設定され、10 日前後に結果が公表される。したがって、調査対象先となっているエコノミストは毎月末に発表される指標を見た後に回答できるが、10 日前後に公表されることが多い一次 QE などは見ることができない。本稿では、予測値をその結果の公表月で表記しているので、「t 月」の予測値とは実際にはその大部分が「t－1 月」の月末に作業したものである点に注意されたい。

### 2.2 コンセンサス予測の予備的考察

予測者 i が指標 k について時点 j に作成した t 期の予測値を $ f_{ijt}^{k} $ とし、その実現値を $ y_{t}^{k} $ とすれば、その予測誤差は

$$ e_{ijt}^{k}\equiv y_{t}^{k}-f_{ijt}^{k} $$

とあらわすことができる。コンセンサス予測とは、予測値 $ f_{ijt}^{k} $ を予測者 i について平均値をとったものであるから、 $ f_{cjt}^{k} \equiv \sum_{i} f_{ijt}^{k} / F_{jt} $ と表せる（ $ F_{jt} $ は t 期の予測値を j 期に回答した有効回答数）。したがって、コンセンサス予測の予測誤差は

$$ e_{c j t}^{k}\equiv y_{t}^{k}-f_{c j t}^{k} $$

と表せる。

評価対象として、調査項目の中から(a)年度予測は実質GDP成長率、(b)四半期予測は前述の3項目、以上合計4項目を取り上げる。予測時点は、(a)については、後述するデータの利用可能性から2004年度については2004年4月以降、2005年度については2005年1月以降とした。(b)については、公表直前から原則6ヶ月分とした。予測対象期間は、(a)については2004年度、2005年度の2年度分、(b)は2004年4-6月期から2006年1-3月期までである。

式(1)や(2)の計算の際にどの実績値を使うか、実は自明ではない。それは一度公表された実績値が後から改訂されるためであるが、ここでは一番最初に公表される値を「実績値」として用いることとした。さらに、GDP統計については、固定価格方式から連鎖価格方式への移行(2004年12月)、基準年の1995年から2000年への変更(2005年12月)といった大きなデータ系列の変更があって予測値との対応関係が複雑であるため、実質GDP成長率の年度値について図表1のように整理した。

以上の点に注意しつつ、式(2)から計算されるコンセンサス予測の予測誤差をプロットしたものが図表2である。ここでは $ e_{cjt}^{k} $ を各指標k毎に $ (j-t) $ 、すなわち予測時点が公表何ヶ月前か、を横軸に示した。図表2からは、二つのことがわかる。まず、公表時点に近づくほど、誤差の絶対値が小さくなる傾向がある。ただし、
図表 1: 予測値と実績値の対応: 実質 GDP 伸び率の年度値

予測時点	予測している系列	2004年度実績	2005年度実績	対応
2004年4-12月	1995年基準1995年固定価格	○	n.a. (注1)	評価せず
2005年1-12月	1995年基準連鎖価格(2000年参照価格)	○(1-5月)	n.a. (注2)	(A)で評価
2006年1月以降	2000年基準連鎖価格(2000年参照価格)(A)	-	○

注1：2005年4-6月期で実績値の公表が終了

注2：2005年7-9月期で実績値の公表が終了

図表2: 予測時点毎の予測誤差の推移

(注)1. 予測誤差は、本文の式(2)により計算。

2. 横軸は、予測時点が公表時点から何ヶ月遡るかを示す。

2004 年第 2 四半期の実質 GDP 成長率の予測のように例外もある。次に、縦軸の目盛りの取り方がグラフ間で共通でない点に注意しながら図表 2 を見ると、指標毎に誤差のバラツキが大きく違うことがわかる。誤差の小さい方から順に、CPI 上昇率、失業率、実質 GDP 成長率の年度値、同四半期値となる。
### 2.3 評価方法

#### 2.3.1 概要

予測の評価に当たっては、各予測者iについて評価した上で、それとの比較でコンセンサス予測がどれ位の精度があるかを検討する。評価対象の予測者として無回答数が多い者を除いた結果、その数は2004年度、2005年度とも37人となった。

ここで分析するのは調査発足以来2年度分のデータであるので、時系列データとしては非常に短いものである。したがって、n期先の予測値 $ f_{i,t-n,t}^{k} $ と実現値 $ y_{t}^{k} $ から、 $ y_{t}^{k}=a+bf_{i,t-n,t}^{k}+\varepsilon_{i,t-n,t} $ といった回帰分析を行うには $ ^{*6} $ 、たとえ四半期データでもサンプル数からいって難しいので行わないこととした。

他方、毎月調査しているので、図表2が示すように一つの実績値に対して予測時点の異なる多くの予測値が存在する。したがって、この情報を活用して予測誤差を評価することを考える。ただし、予測時点と公表時点が近いほど予測者が直面する不確実性は小さく、精度の高い予測値となるはずであり、この点を調整する必要がある。例えば2005年度の実質GDP成長率を同じ0.1ポイントだけ外した2人の予測者がいた場合に、2005年1月時点(2004年7-9月期の実績まで利用可能)の予測で外した予測者と、2006年5月時点(2005月10-12月期の実績まで利用可能)で外した予測者を同じように扱うのは適当ではない。そこでウェイト $ w_{jt}^{k} $ を予測誤差 $ e_{ijt}^{k} $ に乗ずることでこれを調整することとし、ウェイト自体は第2.3.2節で述べるように推計式を用いて求めた。

予測の評価を具体的に数式で示そう。実質 GDP 成長率の年度値については、年度別に

$$ RMSE_{it}^{GDPFY}=\left(\frac{1}{N_{t}}\sum_{j=1}^{N_{t}}(w_{jt}^{GDPFY}e_{ijt}^{GDPFY})^{2}\right)^{1/2},\quad t=FY2004,05;i=1,...,37 $$

のように RMSE(Root Measn Square Error, 平均予測誤差自乗和の平方根)を計算する。四半期予測についても、

$$ RMSE_{it}^{k}=\left[\frac{1}{4}\sum_{Q\in t}\left(\frac{1}{N_{Q}}\sum_{j=1}^{N_{t}}(w_{jQ}^{k}e_{ijQ}^{k})^{2}\right)\right]^{1/2},\quad t=FY2004,05;k=GDPQ,CPIQ,UNQ $$

のように、年度別に計算する。式(3),(4)の $ w_{jt}^{k} $ は予測時点の違いを反映したウェイトである(後述)。また、調査対象月数 $ N_{t} $ 又は $ N_{Q} $ で除して、対象月数の違いを調整している。次にこれらの4指標を年度別に、

$$ TTL_{it}=\frac{1}{4}\sum_{k}\left(50+10\times\frac{RMSE_{it}^{k}-Mean(RMSE_{t}^{k})}{Std(RMSE_{t}^{k})}\right),\quad t=FY2004,05 $$
を計算し、それぞれの指標のいわば偏差値 (平均 50, 標準偏差 10) の平均値をもって総合評価とする。そしてこの年度毎に求めた平均偏差値を用いて、各予測者のランキングを行った。ただし、通常の成績の偏差値と異なり、偏差値が小さいほど成績が良い。

■ 留意点 以下で、式(3)-(5)の計算を行う上での留意点を述べる。まず、式(3)及び(4)の計算において、データに散見される無回答の扱いが問題である。無回答の回数が多い者が成績良好とならないためにはペナルティを課すことが望ましいが、それは一体どの程度とすべきか。ここでは、当該月の有効回答の $ (w_{jt}^{k}e_{ijt}^{k})^{2} $ の平均を計算し、その1.5倍の数値で代用した。

次に、予測の精度を評価するために MSE(Mean Squared Error) を計算し、もとのデータと単位をあわせるために平方根をとった RMSE を指標として用いている点に留意が必要である。これら以外にも種々の指標があり $ ^{*7} $ 、異なる指標を用いれば違った評価となる可能性がある。理論的には、指標は予測者の損失関数（またはコスト関数）次第であり、RMSE（または MSE）を用いるのは、暗黙のうちに損失関数が、予測誤差の2次関数であることを仮定していることになる。

#### 2.3.2 ウェイト計算の詳細

■ 自己回帰モデルの活用 年度の実質経済成長率並びに四半期の CPI 上昇率及び失業率については、実績値 $ y_{t}^{k} $ が次のような自己回帰過程に従って発生していると想定し、予測作成時点が異なる予測誤差に与えるウェイトを計算した。

$$ y_{t}^{k}=\alpha^{k}+\sum_{m}\beta_{m}^{k}y_{t-m}^{k}+u_{t}^{k},\qquad u_{t}^{k}\sim i i d N(0,\sigma_{k}^{2}) $$

2005 年度の実質経済成長率を例に考えると、年度の成長率は每四半期の前年同期比の平均として計算でき、

$$ y_{2005}^{GDPFY}\approx\frac{1}{4}(y_{2005Q2}+y_{2005Q3}+y_{2005Q4}+y_{2006Q1}) $$

と表せる (右辺の上添え字の GDPQ は簡単化のために省略)。予測時点 j で利用可能な実績値に基づく条件付き期待値が、予測値である。そこから求められる予測誤差は、 $ u_{t}^{k} $ の線形結合で表され、その係数は $ \beta_{m}^{k}(m=1,2,\ldots) $ の関数である。その結果、予測時点 j の予測誤差の分散は一般的に、

$$ V a r(e_{j,2005}^{G D P F Y})=\frac{1}{16}\Phi_{j}(\beta)\sigma_{G D P Q}^{2} $$
図表 3: 予測時点別ウェイト

(1)年度予測
予測時点	実質GDP成長率
2000年基準連鎖価格	1995年基準連鎖価格	1995年基準固定価格
t年3-5月	1.000	1.000	1.000
t-1年12月~t年2月	0.433	0.443	0.482
t-1年9-11月	0.270	0.280	0.309
t-1年6-8月	0.200	0.209	0.225
t-1年3-5月	0.177	0.186	0.200
t-2年12月~t-1年2月	0.171	0.180	0.191

(2) 四半期予測 (4-6 月期の例)

予測時点	a. 実質 GDP 成長率
2000 年基準連鎖価格	1995 年基準連鎖価格	1995 年基準固定価格
8月	1.000	1.000	1.000
7月	0.957	0.955	0.952
6月	0.915	0.913	0.907
5月	0.876	0.872	0.863
4月	0.837	0.831	0.809
3月	0.800	0.792	0.759
2月	0.765	0.755	0.712
予測時点	b. CPI 上昇率	c. 失業率
7月	1.000	1.000
6月	0.495	0.480
5月	0.303	0.297
4月	0.243	0.241
3月	0.205	0.209
2月	0.180	0.189

と表せる (詳細は、付録 A を参照)。式 (6) を推計して式 (8) の $ \beta $ を $ \hat{\beta} $ で置き換え、ウェイトを

$$ w_{j,2005}^{GDPFY}\equiv\left(\Phi_{j}(\hat{\beta})\right)^{-1/2} $$

と定義する。これを予測誤差に乗じることで、予測時点にかかわらず予測誤差の分散を一定化することが可能となる。

式 (6) の推計結果は付録 B の図表 15 に示す通りであり、この推計結果に基づき計算したウェイトが図表 3(1) で示される。また、以上と同様のやり方で CPI 上昇率及び失業率の四半期予測におけるウェイトを計算できる。ただし四半期値であるので、式 (7) では月次データの 3 ヶ月分の平均をとることになる。それぞれの推計結果 (付録 B の図表 17) から、式 (9) と同様の計算を行い、その結果を 4-6 月期を例に示せば、図表 3(2)b 及び c の通りである。

■若干の拡張 四半期の実質 GDP 成長率 (季調済前期比年率) については、式 (6) の右辺に他の説明変数 $ x_{t-j}\left(j=0,1,\ldots\right) $ も加えたモデルを考えた。こうした若干の拡張形を用いるのは、自己回帰モデルを用いてウェイトを計算すると、後で第 3.1 節で示すように、予測と公表の両時点が離れるにつれてウェイトが減少するスピードが極めて緩やかに推計されるからである。図表 2(2) をみると、この程度の減少テンポでもよいの
かもしれないが、予測実務の実感からすると緩やか過ぎるという感が否めない。GDP統計は二次統計という性格上、同時期の結果を示すさまざまな統計が出た後に公表される。予測の実務においては、こうした種々の統計を使って、四半期の実質GDP成長率を推計しているのが実態だと推測される。つまり時間の経過とともに、他の指標が利用可能となることから、当該四半期の結果についての不確実性は減少していくが、自己ラグのみを説明変数としている自己回帰モデルでは、使用する情報に対する制約が厳しすぎるために、こうした点を考慮できない。

そこで具体的には以下のように、t期に観察可能である $ x_{t} $ を $ y_{t} $ の予測に使うことができると想定する(式(10)の上添え字GDPQは簡単化のために省略) $ ^{*8} $ 。

$$ y_{t}=\alpha_{y}+\sum_{m=1}^{M}\beta_{m}y_{t-m}+\sum_{n=0}^{N}\zeta_{n}x_{t-n}+u_{t},\qquad u_{t}\sim i i d N(0,\tilde{\sigma}_{G D P Q}^{2}) $$

$$ x_{t}=\alpha_{x}+\sum_{p}^{P}\eta_{p}x_{t-p}+v_{t},\qquad v_{t}\sim i i d N(0,\sigma_{x}^{2}) $$

より具体的に4－6月期の実質GDP成長率の予測する場合について検討する。 $ x_{t} $ として鉱工業生産指数(季調済前期比伸び率)を用いることを考えると、予測誤差の分散は、

$$ V a r(e_{j,2005Q2}^{G D P Q})=\bar{\Psi}_{j}(\beta)\tilde{\sigma}_{G D P Q}^{2}+\Theta_{j}(\beta,\zeta,\eta)\sigma_{I I P Q}^{2} $$

$$ =\Omega_{j}(\beta,\zeta,\eta,r)\tilde{\sigma}_{GDPQ}^{2},\quad r\equiv\sigma_{IIPQ}^{2}/\tilde{\sigma}_{GDPQ}^{2} $$

と計算される。式（10）及び（11）の推計結果（Bの図表16）から$\Omega_{j}(\hat{\beta},\hat{\zeta},\hat{\eta},\hat{r})$を計算し、$w_{jt}^{GDPQ}=[\Omega_{j}(\hat{\beta},\hat{\zeta},\hat{\eta},\hat{r})]^{-1/2}$を求める。この結果が図表3(2)aである。2,5,8月のウェイトは推計結果から直接から与えられ、その間の月のウェイトは一定の比率で補間している。

■ 留意点　以上説明したウェイトの計算方法は、次のような点から必ずしも正確ではない点に留意が必要である。まず、推計に用いたデータは、データの事後的な改定によって、毎月の調査時点で予測者が予測を作成するのに用いたデータとは異なっている。二番目に、上の方法はパラメータの推計誤差、さらには定式化のミスに起因する予測誤差を無視している。三番目に、予測時点の違いから生じるウェイトの違いから明らかなように、四半期予測におけるCPI上昇率や失業率では、公表直前月の誤差が極めて重要である。しかし、ESPFでは予測値を小数点第1位までしか求めていないために、大まかな計算となっている。
(1) 予測時点に応じたウェイト付けを行う場合

2004年度	2005年度
上位平均	総平均	下位平均	上位平均	総平均	下位平均
年度予測	実質GDP成長率	ランキング	35	10	14	6	16	34
偏差値平均	60.63	44.57	45.23	41.60	46.92	56.32
四半期予測	実質GDP成長率	ランキング	26	8	27	2	14	37
偏差値平均	52.47	41.70	55.63	38.76	45.15	66.81
CPI上昇率	ランキング	34	16	17	6	6	35
偏差値平均	62.15	44.53	46.19	40.47	42.10	66.82
失業率	ランキング	35	11	15	27	13	31
偏差値平均	63.75	43.71	45.26	51.69	44.80	55.37
総合評価	ランキング	36	5	15	5	8	35
偏差値平均(*)	59.75	43.63	48.05	43.13	44.74	61.33

$ ^{*} $ ：ベスト 5 の優秀フォーキャスターの平均は 2004 年度 41.54、2005 年度 41.81 である。

(2) ウェイト付けなし: w = 1

2004年度	2005年度
上位平均	総平均	下位平均	上位平均	総平均	下位平均
年度予測	実質GDP成長率	ランキング	37	15	5	3	14	36
偏差値平均	67.52	46.32	37.33	31.78	48.73	63.71
四半期予測	実質GDP成長率	ランキング	24	10	28	4	14	37
偏差値平均	51.41	42.10	56.42	39.00	45.38	66.39
CPI上昇率	ランキング	35	9	16	1	6	37
偏差値平均	64.11	42.74	45.12	36.11	40.77	69.46
失業率	ランキング	35	8	12	30	11	28
偏差値平均	67.38	40.96	43.14	50.97	45.65	50.08
総合評価	ランキング	36	5	8	2	9	36
偏差値平均(*)	62.61	43.03	45.50	39.46	45.13	62.41

### 2.4 評価結果

（社）経済企画協会 (2006) では、これまで述べた評価方法で各予測者の評価を行うとともに、同じやり方で ESPF で毎回算出している「予測総平均」、いわゆるコンセンサス予測のパフォーマンスについても評価している。その結果は図表 4(1) が示す通り、個別の指標では概ね 10 位前後であり、37 人の中央値である 19 位よりも下位になっているものはなく、比較的よい成績である。各指標の偏差値を平均すれば两年とも約 44 であるが、この総合評価は 2004 年度 5 位、2005 年度 8 位となる。なお、評価対象期間中ずっと強気派 (または弱気派) であったならどのようなパフォーマンスとなるかは、同表の「上位平均」 (または「下位平均」) の数字を見ることでわかる。

ではなぜコンセンサス予測が比較的よい成績を収められるのであろうか。これには2段階の議論が必要である。まず、予測を組み合わせることによって、個別の予測を上回る成績を残すことが可能である。その理由は、直観的には、どこにも完全な予測はないということに求められる。各予測は実態のある一面を捉えているが、見逃している点もあるに違いない。種々の予測を組み合わせることは、個々の予測が見逃しているリスク
の分散化を図ることに他ならず、その有効性はポートフォリオ理論の分散投資のアナロジーから考えることが可能である $ ^{*9} $ 。

次に予測を組み合わせる際のウェイトであるが、理論的には、例えば Granger and Ramanathan (1984) のように最適ウェイトを求めることができるので、通常のコンセンサスの計算のように各予測に等しいウェイトを与えるやり方が優れているとはいえない。しかし、Clemens (1989)、Armstrong (2001)、Timmermann (2006) などのサーベイによれば、最適ウェイトによるコンセンサスが単純な算術平均より優れたパフォーマンスとなるとは限らず、むしろ後者の方が優れている場合も少なくない。これは、最適ウェイトを求める際の推計誤差が大きいためと考えられる。すなわち、各予測値に等しいウェイトを与えるのは、明らかにバイアスのある次善の策であるが、推計誤差が大きい最適ウェイトを用いるよりも結果的には優れたパフォーマンスになることが多いと解釈できる。推計誤差に関しては、特に予測誤差の分散共分散行列の推計が難しいことに起因すると考えられることから、この分散共分散行列に制約を加え（バイアスは増加するものの）推計誤差を減少させることで全体のパフォーマンスの向上を図る方向での研究が行われている $ ^{*10} $ 。

## 3 再検討 1: 頑健性

この評価結果について、二つの点から再検討を加える。まず本節では、得られた結果が果たしてどれくらい頑健なものかということである。次節では、リスク分散による説明が、ESPFにおいては実際にどのように働いているかということである。

### 3.1 ウェイトの変更

まず、式(3)及び(4)で用いるウェイト $ w_{jt}^{k} $ を推計式から求めているが、これは絶対的なものではない。推計式の定式化の誤りや、予測者の情報集合の設定の仕方如何で、与えるウェイトに違いが出てくる可能性がある。例えば、四半期の実質 GDP 成長率について自己回帰式で推計した結果に基づきウェイトを計算すれば、図表 5 が示すように、ウェイトの低下は極めて緩やかとなる。

そこで時点間のウェイトの違いを無視してすべて $ w_{jt}^{k}=1 $ として再計算を行い、それがどの程度の違いをもたらすのか、検討しよう。図表 4(2) が示すように、コンセンサス予測については、2004 年度は実質 GDP 成
図表 5: 自己回帰式から求めたウェイト: 実質 GDP 成長率

予測時点	2000 年基準連鎖価格	1995 年基準連鎖価格	1995 年基準固定価格
8 月	1.000	1.000	1.000
7 月	0.988	0.990	0.983
6 月	0.976	0.979	0.966
5 月	0.964	0.969	0.950
4 月	0.963	0.968	0.948
3 月	0.962	0.968	0.947
2 月	0.962	0.967	0.945

長率（年度予測）及びCPI上昇率（四半期予測）で割合大きな順位の変動があるが、2005年度にはさして大きな順位変動はない。さらに、4指標をまとめた総合評価では順位はほとんど変わらない。上位・下位平均については、下位平均で総合評価は2004年度に順位が7違うなど、あまり安定的とはいえない。

さらに、個々の予測者のランキングについては、ウェイトの変更から大きな変化が見られる。個別の項目でランキングの違いを散布図（図表6）で見ると、四半期GDP成長率ではほとんど違いはないが、失業率や年度の実質GDP成長率では比較的大きな違いがある。総合評価では、順位がよい場合、悪い場合ともあまり変動がないが、中位では変動が見られる

### 3.2 総合化の仕方

総合指標の計算に当たって、式(5)では各指標の $ RMSE_{i} $ の偏差値の平均を計算しているので、いわば「事後的」に $ RMSE_{i} $ のバラツキを均等化することで、予測の難しさを調整していると考えられる。これに対し、予測の難易度をいわば「事前的」に調整するやり方も考えられる。そこでは、各変数のデータ発生過程(DGP, data generating process)である式(6)及び(10)の攪乱項 $ u_{t}^{k} $ のバラツキ $ \sigma_{k} $ によって、各指標のRMSEを除してノーマライズすることが一案として考えられる。すなわち、この場合、総合指標は以下のように計算される。

$$ TTL_{it}^{\prime}=\sum_{k}\frac{RMSE_{it}^{k}}{\sigma_{k}},\quad k=GDPFY,GDPQ,CPI,UNE;t=FY2004,05 $$

式 (14) で用いられる各式のバラツキは、推計結果から図表 7 で示される $ ^{*11} $ 。式 (5) との比較のために同図表で比率を計算すると、式 (5) のやり方は CPI 上昇率及び失業率の予測誤差について、式 (14) のやりかたよりも「甘い」ことがわかる。

その結果、総合ランキングは計算方法によって異なるが、両者のランキングを散布図 (図表 8) で見ると、上
図表6: ランキング比較

（注）横軸が推計式から求めたウェイトを使ったランキング。縦軸がウェイト=1のランキング。
図表 7: 代替的な合成の仕方

$ \sigma_{k} $ ( $ =\mathrm{A} $ )	Std( $ RMSE_{i} $ )	比率
年度成長率	1995年基準固定価格	0.01149	2004年度( $ =\mathrm{B1} $ )	2005年度( $ =\mathrm{B2} $ )	B1/A	B2/A
1995年基準連鎖価格	0.01059	0.03042	0.06983	2.6
2000年基準連鎖価格	0.01026	6.8
四半期成長率	1995年基準固定価格	0.02232	0.25692	0.41875	11.5
1995年基準連鎖価格	0.02268	18.4
2000年基準連鎖価格	0.02276
CPI上昇率	0.00099	0.04667	0.02775	47.2	28.1
失業率	0.00108	0.02751	0.02880	25.5	26.7

(注)1. $ \sigma_{k} $ は式(6)及び(10)の推計結果。

2. $ Std(RMSE_{i}) $ は式 (5) に用いた数値。

3. 式 (14) の計算では、2004 年度は年度、四半期の GDP 成長率ともに 1995 年基準固定価格の $ \sigma $ を用いた。

2005 年度は同様にともに 2000 年基準連鎖価格の $ \sigma $ を用いた。

図表8: 総合化のやり方によるランキングの違い

（注）横軸が式(5)によるランキング。縦軸が式(13)によるランキング。

位及び下位ランキングにはあまり差がなく、大きな違いが出るのは中位ランキングの予測者である。ただし、上位ランキング者でも、2004年度では式(5)のやり方で総合ランキング10位の予測者が式(14)のやり方では1位となることに注意が必要である。しかし、このように集計の際のウェイトが変更されても、コンセンサス予測の順位は図表4(1)で示されているものから2004、2005年度とも変わらない $ ^{*12} $ 。

■ 小括 ウェイト $ w_{jt}^{k} $ や総合化のやり方の変更があっても、コンセンサス予測の成績はあまり影響を受けず、比較的良好なパフォーマンスであるという結論には変更の必要性は認められなかった。しかし、個々の予測者のランキングについては変動が見られ、特に中位の者については変動は大きい。（社）経済企画協会 (2006) では、ベスト5の予測者を個々の順位を明示しないで公表しているが、個々の順位はやり方次第で変わりうるものであるので、妥当なやり方と考えられる。
## 4 再検討 2: 良い成績が生まれる要因

### 4.1 予測値のバラツキと実現値

コンセンサス予測の比較的良好な成績の説明として、リスク分散による説明がどれ位妥当なのかを検討するためには、個々の予測値のバラツキがどのようになっているか、検討する必要がある。図表9及び10は、各予測時点の予測値のバラツキを箱ひげ図(Box Plot)で示し $ ^{*13} $ 、そこに実現値を折れ線グラフで書き入れたものである $ ^{*14} $ 。

これらの図表からわかるように、特に実質 GDP 成長率の予測においては、どの予測値も不正確で、予測値が実現値とは大きく離れたところに集まっていることがしばしばある。実現値が予測値の最大値と最小値のレンジに収まらないことも珍しくない。すなわち、仮に予測値の平均値はほぼ中央値に等しいとすると、約半数の者がコンセンサえ予測よりも正確に予測する事態がよく起きているということである。

そこで、実現値 y がどれ位の頻度で大方の予測を裏切るような結果になっているか、McNees (1992) に倣って以下の範囲 $ M_{t}^{k*} $ を計算する。

$$ M_{t}^{k*}\equiv\left[\frac{Min(y_{ijt}^{k})+Median(y_{ijt}^{k})}{2},\frac{Max(y_{ijt}^{k})+Median(y_{ijt}^{k})}{2}\right] $$

この範囲 $ M_{t}^{k*} $ から外れる頻度を指標 k 毎に数えて示した結果が図表 11 である。特に、実質 GDP 成長率の年度の実現値は、8 割超がこの範囲から外れている。他の指標ではこれほど高くないが、それでも CPI 上昇率では 3 割台、失業率及び実質 GDP 成長率の四半期値では 4 割台も $ M_{t}^{k*} $ から外れている。

以上から予想されることは、コンセンサス予測に「勝つ」のは容易だということだ。しかし、コンセンサス予測の成績が比較的良いことからすると、「勝ち続ける」のは困難なはずである。実際、4指標の2年度分で「8試合」あるうち、何回コンセンサス予測に勝ったかを数えると、参加者の約85% (36人のうち31人)は、少なくとも1回はコンセンサス予測に勝っており(図表12)、平均勝利回数は2.4回である。しかし、「勝ち続ける」ことは難しく、4回以上勝っているのは2割強(8人)、7回以上勝っている者は皆無である。さらに、4指標をまとめた総合評価では、2004年度、2005年度ともにコンセンサス予測に勝ったのは僅か2人である。
図表 9: 各予測時点の予測値と実現値: 実質 GDP の年度及び四半期予測

実質GDP成長率年度予測: 2004年度

実質GDP成長率年度予測: 2005年度

実質GDP成長率四半期予測：2004年度

実質GDP成長率四半期予測：2005年度

「勝ち続ける」ことの難しさは、指標毎に両年度間の RMSE の相関係数を計算した結果からもうかがえる。特に、実質 GDP 成長率の年度予測では（有意ではないが）両者に負の相関（1 年よい成績を収めた者はもう一方の年で成績不振となる傾向がある）がある。実質 GDP 成長率の四半期予測では両者に相関はない。 $ ^{*15} $

### 4.2 解释と含意

#### 4.2.1 リスク分散といわゆる異常値

第3節の結果から考えると、コンセンサス予測は(その定義によって)いつも大きく間違うことがないということが、比較的優れたパフォーマンスを維持できる理由であると推測できる。実現値が $ M_{t}^{k*} $ の範囲に収まれば、プラスとマイナスの予測誤差が互いに打ち消し合うという形でリスク分散が図られることが大きく作用す
図表 10: 各予測時点の予測値と実現値: CPI 上昇率及び失業率の四半期予測

CPI上昇率四半期予測：2004年度

失業率四半期予測：2004年度

CPI上昇率四半期予測：2005年度

失業率四半期予測：2005年度

図表 11: 実現値が範囲 $ M^{k*} $ から外れる頻度

2004 年度	2005 年度	合計	比率 (b/a)
年度予測	実質 GDP 成長率	サンプル数 (a)	14	17	31
外れた回数 (b)	10	15	25	80.6%
四半期予測	実質 GDP 成長率	サンプル数 (a)	23	24	47
外れた回数 (b)	15	7	22	46.8%
CPI 上昇率	サンプル数 (a)	22	24	46
外れた回数 (b)	6	9	15	32.6%
失業率	サンプル数 (a)	22	24	46
外れた回数 (b)	12	9	21	45.7%

ると考えられるが、こういう場合はさほど多くない。むしろ、 $ M_{t}^{k*} $ から外れた実現値が生じた場合でも、コンセンサス予測であれば予測誤差がそれほど大きくなることがない、という点が効いている結果と解釈できる。では、どうして実現値が範囲 $ M^{k*} $ に収まらないことがこのように多数生じるのであろうか。この現象は、点推計値 (point estimate) である予測値のばらつきから、実現値の不確実性を測ると、その不確実性を過小評価する危険性を示している (McNees, 1992)。
図表 12: コンセンサスに「勝った」回数

予測者 i が予測値 $ f_{it} $ に関して考えている不確実性を、 $ k(y_{t}-f_{it};h) $ と表す $ ^{*16} $ 。k は kernel function と呼ばれる確率密度関数である。ここでは正規分布を仮定し、パラメータ h はその標準偏差である。予測者が n 人いる場合の実現値 $ y_{t} $ の分布は、

$$ \hat{g}(y_{t})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}k(y_{t}-f_{it};h) $$

と表せる (kernel estimator)。パラメータ h には、二つの役割がある。一つは前述のように、予測の観点からは、点推計値である各予測値 $ f_{it} $ に予測者が付している不確実性である。もう一つは、h は与えられた予測値 $ f_{it}, (i=1,\ldots,n) $ の下で、分布 $ \hat{g} $ の滑らかさを規定する smoothing parameter としての役割である。

そこで、hをどのように設定すべきかが問題となる。ノン・パラメトリックな手法を試みてみよう。kが正規分布と仮定すると、MISE(Mean Integrated Squared Error) ≡ E{∫[g(y)−g(y)]²dy}を最小化するh*は以下の式で与えられ、これを使って、式(16)を計算を行う。

$$ h^{*}=\left(\frac{4}{3n}\right)^{1/5}\bar{\sigma} $$

$$ \bar{\sigma}\equiv median(\mid f_{it}-median(f_{it})\mid)/0.6745 $$

なお、式 (17) において、通常の標準偏差 σ でなく、式 (18) で計算される σ を用いているのは、サンプルの異常値によって標準偏差の値が影響を受けないようにするためである $ ^{*17} $ 。

この手法を実質 GDP 成長率の年度予測値に適用してみよう。図表 9 から、2004 年度予測では、2004 年 8 月時点の予測値の精度が極めて低いことが読み取れる。そこで仮にこの時点で、式 (17)-(18) を計算すると
図表 13: 予測値の不確実性と実現値: 2004 年 8 月時点

$ h^{*}=0.24\% $ となる。図表 13 の細い実線が $ \hat{g}(y_{t}) $ を示し、ナイーブな利用者はこれが点推計値である予測値の集合が意味する不確実性と考えるかもしれない。

しかし、この様に解釈すると不確実性を著しく過小に考えていることになる。なぜなら、式(6)の攪乱項 $ u_{t}^{k} $ のバラツキの推計値 $ \hat{\sigma}_{k} $ が1％程度であり(図表7参照)、 $ h^{*} $ の大きさはその4分の1程度しかないからだ。つまり、 $ h^{*} $ は式(7)から見て、3四半期分の実績が出て最後の1四半期分の実績が不明という状況なら正当化できるが、8月時点(すなわち予測値作成時点は7月末)で年度当初の四半期である4-6月期の実績も観察できていない状況では明らかに小さい。

そこで予測者の観点から妥当な$h_{f}$を計算すれば、

$$ h_{f}=\frac{\hat{\sigma}}{4\times w_{6-8}}=\frac{1.15}{4\times0.225}=1.28\% $$

となる。この $ h_{f} $ を用いた $ \hat{g}(y_{t}) $ は、図表 13 の点線で示される。実現値 2.7% は、 $ h^{*} $ を用いた $ \hat{g} $ からは「予想外の異常値」と考えられるが、 $ h_{f} $ を用いた場合にはさしたる異常値とは考えられない。

このように考えると、予測者が予測値に対して過去のデータからみて現実的と思われる不確実性を想定することで、実現値が予測値のレンジから大きく外れることが頻発することを説明できる。実際、2種類のhを各指標毎・各期間ごとに計算すると、ほとんど常に $ h^{*} $ に比して $ h_{f} $ が大きく、実現値がいわゆる異常値になりがちであることが確認できる。そのポイントは、予測値の密集している程度に比して $ h_{f} $ が大きいことであって、この結果、 $ \hat{g}(y_{t}) $ の分布の厚い裾が予測値の最大値及び最小値を超えて延びていく点が、重要である $ ^{*18} $ 。