Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
を大きく減少させるとともに、効用水準を低下させてしまう可能性が高いことも指摘されている。これらの結果、一般的には、積立方式への移行が支持されている。

本稿の目的は、このようなOLGモデルによる先行研究をサーベイし、今後の研究課題、特に、モデルの改良・拡張の方向性を明らかにすることである。本稿の次節以下では、まず、OLGモデルの理論的根拠を概説した上で、現実経済への応用分析のための具体的なモデルの定式化を論ずる。その際、いくつかの先行研究を基に、そのようなモデルの定式化のオプションを合わせて示すこととする。さらに、そういった先行研究の政策的示唆を概観した上で、今後のモデル開発の方向性を論ずる。

## ２．一般均衡型世代重複シミュレーションモデルの理論的基礎

本章では一般均衡型世代重複（Overlapping Generations. 以下 OLG）モデルの理論的基礎について解説する。OLG モデルは、Allais（1947）Samuelson（1958）により開発され、これにより経済学に“世代”と言う概念が数学的に導入されることとなった。しかしながら、Allais、Samuelson のモデルは静学的なモデルであり、OLG モデルが現在広範に利用されているのは Diamond（1965）の功績によるところが大きい。Diamond（1965）は Samuelson（1958）の静学的なモデルに、Solow（1956）Swan（1956）による新古典派成長モデルを組み込むことで、OLG モデルの動学化を図ったのである。

以下では、Diamond（1965）に従いながら OLG モデルの理論的基礎の解説を行うが、その際3段階に分けてモデルを提示する。すなわち、まずは（1）家計と企業の2部門のみのモデルであり、続いて（2）政府部門を導入し、そして最終的には（3）年金部門を導入する。この年金部門は年金財政方式によりさらに（a）積立方式、（b）賦課方式とに分けられる。

## (1) 2部門モデル

ここでは家計と企業とからなる経済についてのモデルを提示する。簡単化のため、本章を通して、家計は勤労期と引退期の2期間のみ生存し（図1）、労働供給は常に非弾力的に行うものと仮定する。さらに、寿命についての不確実性は存在せず、期待形成は完全予見により前向きに行われるものと仮定する。

## (a) 家計部門

それではまず家計部門について見てみることとしよう。

勤労世代は非弾力的に労働供給を行い賃金所得（w）を得てその一部を消費（c）し、残りを貯蓄（s）する。引退世代は勤労世代の時期に貯蓄したものを取り崩して全て消費（d）する。
したがって、t期に生まれた家計iが直面する効用最大化問題は、

$$ \max\mathrm{U}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}}=\mathrm{U}(\mathrm{c}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}})+\beta\mathrm{U}(\mathrm{d}_{\mathrm{t}+1}^{\mathrm{i}}) $$

$$ \mathbf{c}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}}=\mathbf{w}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}}-\mathbf{s}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}} $$

$$ \mathbf{d}_{\mathrm{t}+1}^{\mathrm{i}}=\mathbf{R}_{\mathrm{t}+1}^{\mathrm{i}}\mathbf{s}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}} $$

となる。このとき、効用関数は分離加法的かつ凹であると仮定する。

ここで、 $ U_{t} $ は効用、 $ s_{t} $ は貯蓄、 $ \beta $ は時間選好率、 $ r_{t} $ を利子率として $ R_{t} \equiv (1 + r_{t}) $ である。また、t は時期を表し、i は世代を表す添字である。以下では、文脈から判別が尽きにくい場合を除き世代を表す添字 i は省略する。

上記の問題を解くと、勤労期の消費と引退期の消費の関係式及び貯蓄関数が得られる $ ^{1} $ 。

$$ \mathbf{U}^{\prime}(c_{t})=\beta\mathbf{U}^{\prime}(\mathbf{d}_{t+1})\mathbf{R}_{\mathrm{t}+1} $$

$$ \mathbf{s}_{t}=\mathbf{s}(\mathbf{R}_{\mathrm{t}+1},\mathbf{w}_{\mathrm{t}}) $$

いま、(2)式において、 $ x_{t+1}=\frac{d_{t+1}}{c_{t}} $ と置き、 $ R_{t+1}, x_{t+1} $ で全微分すると、

$$ \mathrm{U}^{\prime}(\mathrm{c})\mathrm{U}^{\prime \prime}(\mathrm{d})\mathrm{c}\mathrm{d}\mathrm{x}=-\beta\left(\mathrm{U}^{\prime}(\mathrm{d})\right)^{2}\mathrm{d}\mathrm{R}^{2} $$

左辺に（2）式を代入し整理すると、

$ \frac{dR}{R} = -\frac{U''(d)c}{U'(d)}dx $ が得られる。このとき、 $ x_{t+1} = \frac{d_{t+1}}{c_t} $ とから、

$$ \frac{dx}{x}=-\frac{U^{\prime}(d)}{U^{\prime \prime}(d)c}\frac{c}{d}\frac{dR}{R}=s(d)\frac{dR}{R},s(d)\equiv-\frac{U^{\prime}(d)}{U^{\prime \prime}(d)d} $$

したがって、 $ s(d) $ は利子率が1%変化した時、引退期の消費が勤労期の消費に対してどれだけ変化するかを表しており、結局消費の異時点間の代替の弾力性を表していることとなる $ ^{3} $ 。

次に、貯蓄関数（3）式においては、効用関数に関する仮定から、勤労期、引退期の消費はどちらも正常財であるため、貯蓄は賃金率の増加関数となる。すなわち、 $ 0 < s_{w} < 1 $ 。

しかしながら、利子率に関しては代替効果と所得効果の大きさに依存して決まるため、不確定となる。要すれば、消費の異時点間の代替の弾力性 $ s(d) $ が1より大きい場合には利子率の増加関数となり、1より小さい場合には減少関数となる。さらに、消費の異時点間の代替の弾力性 $ s(d) $ が1に等しい（すなわち、対数関数）場合には、代替効果
=所得効果となるため、貯蓄関数は賃金率のみの関数となる。

## (b) 企業部門

企業は、収穫一定の生産技術を用い、資本のレンタルコスト（r）及び賃金率（w）を所与として、家計から労働サービス（L）資本（K）を雇用し、消費財にも資本財にもなる生産物（Y）を産出し利潤（Π）を最大化する。このとき、企業は以下の利潤最大化問題に直面する。

$$ \max\prod=F(K_{t},L_{t})-r_{t}K_{t}-w_{t}L_{t} $$

一人当たり表示にし、利潤最大化問題を解くと、一階の条件から、

$ r_{t}=f'(k_{t})-d $ (5)

$ w_{t}=f(k_{t})-k_{t}\ f'(k_{t}) $ (6)

が得られる。ここで、 $ k_{t} $ は労働者一人当たり資本ストック、dは資本減耗率である。

## (c) 均衡条件

財市場の均衡は、各時点において投資と貯蓄が一致する点で決定される。すなわち、

$$ \begin{aligned}&I_{_{t}}\equiv K_{_{t+1}}-(1-d)K_{_{t}}=L_{_{t}}s_{_{t}}-(1-d)K_{_{t}}\\&\Leftrightarrow\\&K_{_{t+1}}=L_{_{t}}s(w_{_{t}},R_{_{t+1}})\\ \end{aligned} $$

（７）式前半の右辺は、勤労世代の貯蓄から引退世代の貯蓄取崩しを控除したものであり、社会のネットの貯蓄に相当する。さらに、（７）式の後半部分を労働力人口（ $ L_{t} $ ）で割ると、

$$ K_{t+1}=\frac{s(w_{t},R_{t+1})}{1+n} $$

ただし、 $ I_{t} $ は t 期の投資、n は人口成長率である。

また、要素市場においては（5）（6）式が成立している。

## (d) 動学的特性と定常状態

上で得られた（5）（6）（8）式はこの経済システムの動学体系を表す式である。すなわち、

$$ k_{t+1}=\frac{s(w_{t},\bar{R}_{t+1})}{1+n}=\frac{s(f(k_{t})-k_{t}f^{\prime}(k_{t}),1+f^{\prime}(k_{t+1}))}{1+n} $$

で表すことができる $ ^{4} $ 。(9)式をkで微分すると、
$$ \frac{dk_{_{t+1}}}{dk_{_{t}}}=\frac{-s_{_{w}}(k_{_{t}})k_{_{t}}f^{\prime \prime}(k_{_{t}})}{1+n-s_{_{R}}(k_{_{t+1}})f^{\prime \prime}(k_{_{t+1}})} $$

実はこの（10）式は、更なる追加条件が存在しない限り、定常解が存在するか否か、また存在するにしても安定的か否か、ということが確定することはない。

したがって、ここでは安定的で一意の定常解 $ k^{*} $ が存在する条件を示しておくと、それは、 $ 0 < \frac{-s_{w}(k^{*})k^{*}f''(k^{*})}{1+n-s_{R}(k^{*})f''(k^{*})} < 1 $ と同値となる。

## （２）政府部門の導入

次に、上で定義された経済に政府部門を導入することとする。政府は、勤労世代に一括固定式の定額税（lump sum tax）を課すことで収入を得、また常にGDPの一定割合だけの支出を行うものとする。

以下では、政府部門の導入に伴う家計の定式化の変更点と政府部門について解説する。

## （ａ）家計部門の定式化の変更

この場合、家計の効用最大化問題は、

$$ \begin{aligned}&\max\mathrm{U}_{\mathrm{t}}=\mathrm{U}(\mathrm{c}_{\mathrm{t}})+\beta\mathrm{U}(\mathrm{d}_{\mathrm{t}+1})\\&\text{s.t.}\mathrm{c}_{\mathrm{t}}=\mathrm{w}_{\mathrm{t}}-\mathrm{s}_{\mathrm{t}}-\tau\\&\quad\mathrm{d}_{\mathrm{t}+1}=\mathrm{R}_{\mathrm{t}+1}\mathrm{s}_{\mathrm{t}}\end{aligned} $$

へと変更されるに応じて、生涯にわたるこの家計の予算制約式は、 $ c_{t}+\frac{d_{t+1}}{R_{t+1}}=w_{t}-t $ となり、税額だけ生涯に利用可能な資源が減少していることが分かる。したがって、貯蓄関数は $ s_{t}=s(R_{t+1},w_{t};t) $ ， $ s_{t}<0 $ となり、政府が存在しない場合と比べて、下方へシフトすることとなる。しかしながら、効用最大化条件（2）式に関しては変更はない。

## （b）政府部門の導入

政府は勤労世代から税を徴収する一方、GDP の一定割合の支出を行い、その差額だけ公債を発行する。したがって、

$$ T_{t}=tL_{t} $$

政府支出: $ G_{t}=gY_{t} $

政府の予算制約式：$D_{t+1}=R_{t}D_{t}+(G_{t}-T_{t})$

となる。
## (c) 均衡条件

均衡条件は、公債の存在により以下のように変更される。すなわち、 $ K_{t+1} + D_{t+1} = L_t s(w_t, R_{t+1}; t) $ （12）

## (d) 動学的特性と定常状態

政府部門の導入は企業の最適化条件にはなんら影響を与えないため、この経済システムの動学体系は（5）（6）（12）式によって決定される。すなわち、一人当たり表示にすると、

$$ \mathrm{k}_{\mathrm{t}+1}=\frac{\mathrm{s}(\mathrm{w}_{\mathrm{t}},\mathrm{R}_{\mathrm{t}+1};\boldsymbol{\tau})}{1+\mathrm{n}}-\mathrm{d}_{\mathrm{t}+1}=\frac{\mathrm{s}(\mathrm{f}(\mathrm{k}_{\mathrm{t}})-\mathrm{k}_{\mathrm{t}}\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{k}_{\mathrm{t}}),1+\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{k}_{\mathrm{t}+1});\boldsymbol{\tau})}{1+\mathrm{n}}-\mathrm{d}_{\mathrm{t}+1} $$

と表すことができる。

（13）式から明らかなように、安定的かつ一意の定常解が存在するための条件には変更はないものの、資本ストックの遷移式は、公債が存在するため、下方にシフトすることとなる。さらに、税率τの引上げも資本ストックの遷移式を下方へとシフトさせる。

## （３）年金部門の導入

今度は、上で政府部門を導入した経済システムに公的年金部門を導入する。年金制度は財政方式の違いにより、1）積立方式、2）賦課方式とに区分される。

## (a) 積立方式

まず、積立方式による公的年金部門を導入しよう。積立方式の場合は、勤労期に b だけ年金保険料を徴収され、引退期に p だけ年金を受給することとなる。勤労世代から t 期に徴収された保険料は貯蓄と同じく資本市場において運用された後、 $ t+1 $ 期に年金として支給されるので、 $ p_{t+1} = R_{t+1} b_t $ と表すことができる。

したがって、家計部門の定式化は以下のように変更されることとなる。

$$ \begin{aligned}\max\mathrm{U}_{\mathrm{t}}&=\mathrm{U}(\mathrm{c}_{\mathrm{t}})+\beta\mathrm{U}(\mathrm{d}_{\mathrm{t}+1})\\\text{s.t.}\mathrm{c}_{\mathrm{t}}&=\mathrm{w}_{\mathrm{t}}-\mathrm{s}_{\mathrm{t}}-\boldsymbol{\tau}-\mathrm{b}_{\mathrm{t}}\\\mathrm{d}_{\mathrm{t}+1}&=\mathrm{R}_{\mathrm{t}+1}\mathrm{s}_{\mathrm{t}}+\mathrm{p}_{\mathrm{t}+1}\\\mathrm{p}_{\mathrm{t}+1}&=\mathrm{R}_{\mathrm{t}+1}\mathrm{~b}_{\mathrm{t}}\end{aligned} $$

ここで簡単化のため、年金保険料は一定であるとする $ (b_{t}=b) $ 。

このとき、家計の生涯にわたる予算制約式を見てみると、 $ c_{t}+\frac{d_{t+1}}{R_{t+1}}=w_{t}-t $ となり、積立方式による公的年金制度導入前と後とでは家計の資源は全く影響を受けないことが分かる。したがって、積立方式による公的年金部門を持った経済システムの振る舞いは上で見た政府が導入された経済システムのそれと全く同一であることが分かる。
## (b) 賦課方式

次に、賦課方式による公的年金部門をシステムに導入してみよう。賦課方式とは、t期において、勤労世代から年金保険料bを徴収し、それをそのまま引退世代に支給する方式である。また、マクロ的な関係を見てみると、 $ B_{t}=bL_{t} $ ， $ P_{t}=p_{t}L_{t-1} $ ， $ B_{t}=P_{t} $ であるから、 $ p_{t}=(1+n)b $ となる。すなわち、賦課方式の場合には、勤労世代から得られた年金保険料は資本市場へは回らずに直ちに引退世代へ支給されることとなるため、年金利回りは、積立方式の場合が市場利子率に一致するのに対して、賦課方式の場合には、人口成長率に一致することとなることが確認される。

さて、家計の定式化は、

$$ \begin{aligned}&\max\mathrm{U}_{\mathrm{t}}=\mathrm{U}(\mathrm{c}_{\mathrm{t}})+\beta\mathrm{U}(\mathrm{d}_{\mathrm{t}+1})\\&\text{s.t.}\mathrm{c}_{\mathrm{t}}=\mathrm{w}_{\mathrm{t}}-\mathrm{s}_{\mathrm{t}}-\tau-\mathrm{b}\\&\quad\mathrm{d}_{\mathrm{t}+1}=\mathrm{R}_{\mathrm{t}+1}\mathrm{s}_{\mathrm{t}}+\mathrm{p}_{\mathrm{t}}\\&\quad\mathrm{p}_{\mathrm{t}}=(1+\mathrm{n})\mathrm{b}\end{aligned}\quad(1^{\prime\prime}) $$

と変更される。したがって、（２）式及び貯蓄関数は、

$$ \begin{aligned}&\mathrm{U}^{\prime}(\mathrm{w}_{t}-\mathrm{s}_{t}-\tau-\mathrm{b})=\beta\mathrm{U}^{\prime}(\mathrm{R}_{t+1}\mathrm{s}_{t}+(1+\mathrm{n})\mathrm{b})\mathrm{R}_{t+1}\qquad(2^{\prime})\\ &\\ &\mathrm{s}_{t}=\mathrm{s}(\mathrm{R}_{t+1},\mathrm{w}_{t};\tau,\mathrm{b})\qquad(3^{\prime})\\ \end{aligned} $$

いま、賦課方式的な年金制度の導入が貯蓄に与える影響を調べるため、（2'）式をbで偏微分すると、 $ \frac{\partial s_{t}}{\partial b}=-\frac{U_{c}^{\prime\prime}+\beta R_{t+1}(1+n)U_{d}^{\prime\prime}}{U_{c}^{\prime\prime}+\beta R_{t+1}^{2}U_{d}^{\prime\prime}}<0 $ となり、賦課方式による年金制度の導入により、貯蓄は減少することが確認できる。

資本市場においては、$\mathrm{K}_{\mathrm{t}+1}+\mathrm{D}_{\mathrm{t}+1}=\mathrm{L}_{\mathrm{t}}\mathrm{s}(\mathrm{w}_{\mathrm{t}},\mathrm{R}_{\mathrm{t}+1};\tau,\mathrm{b})$ が成立し、一人当たりにすると、

$$ \mathrm{k}_{\mathrm{t}+1}=\frac{\mathrm{s}(\mathrm{w}_{\mathrm{t}},\mathrm{R}_{\mathrm{t}+1};\boldsymbol{\tau},\mathrm{b})}{1+\mathrm{n}}-\mathrm{d}=\frac{\mathrm{s}(\mathrm{f}(\mathrm{k}_{\mathrm{t}})-\mathrm{k}_{\mathrm{t}}\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{k}_{\mathrm{t}}),1+\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{k}_{\mathrm{t}+1});\boldsymbol{\tau},\mathrm{b})}{1+\mathrm{n}}-\mathrm{d}\quad(14) $$

したがって、この経済の動学システムは、(3')(5)(6)(14)式により決定される。

さて、先に賦課方式的な年金制度は貯蓄を減少させることを確認したが、これは部分均衡的な分析に過ぎなかった。貯蓄の減少→資本ストックの減少→要素価格の変化という径路を通じた資本ストックへの影響を見るためには、一般均衡的な分析を行う必要がある。そこで、これまでと同じように安定的かつ一意の定常解の存在を仮定し、（14）
式を年金保険料 b で偏微分すると、 $ \frac{\partial k_{t+1}}{\partial b}=\frac{\frac{\partial s_{t}}{\partial b}}{1+n-s_{R}f^{\prime\prime}}<0 $ 。したがって、賦課方式的な年金制度は資本ストックを減少させることが分かる。さらに、図2によると、定常状態における資本ストックも減少してしまう。

### 3. OLG シミュレーションモデルの基本

第2章では、簡単な2世代OLGモデルにより、理論的な特徴を見てきた。本章では、2世代理論モデルを現実経済に応用できるように拡張する。具体的には、1時点においてn（≥3）世代が共存するように世代数を一般化するとともに、一般形で示されていた各関数のスペックを特定化する。

本章では、OLG シミュレーションモデルの元祖と言うべき Auerbach and Kotlikoff（1987）のモデル（以下、A-K モデル）に適宜修正を加え、基本モデルとして提示する。なぜなら、Auerbach and Kotlikoff（1987）の業績以降、OLG シミュレーションモデルによる無数のペーパーが輩出されることとなるが、それはいずれも A-K モデルの諸仮定・スペックに適宜変更を加えることでなされており、OLG シミュレーションモデルの概要を理解するための一番の近道は、とりもなおさず A-K モデルを理解することに尽きるからである。先行研究による A-K モデルの変更については、A-K モデルの解説の中で適宜紹介することとする。

具体的なモデルの検討に入る前に、OLG シミュレーションモデルにおける消費/貯蓄行動に関する仮定について言及しておく。すなわち、OLG シミュレーションモデルでは、消費/貯蓄はライフサイクル仮説に従い行うものとされる。ライフサイクル仮説とは、生涯消費は生涯所得に等しくなるというものであり、個人は稼得した所得をすべて自分自身で使い切ることが想定されている。このライフサイクル仮説を前提とすれば、高齢化比率の上昇とともに貯蓄率は低下することとなる。本稿では、そのようなライフサイクル仮説の妥当性自身については、他の文献に譲ることとする $ ^{5} $ 。
また、流動性制約および予備的貯蓄に関する取り扱いを述べておくと、本稿で参照する文献においては、（１）自由に借入れ/貸出しが可能で、かつ生涯所得を全て使い切る/マイナスの遺産を残さない、（２）寿命以外の変数に関して不確実性が存在しない、と仮定されているため、そもそも検討対象の枠外にあることとなる。

## (1) 家計

家計は、消費と余暇から効用を得る。また、期待形成は前向き（forward-looking）に合理的（rational）に行われると仮定され、特に不確実性が存在しない場合には完全予見（perfect foresight）となる。瞬時的な効用関数はCES型で以下のように特定化されていることが多い。

$$ u_{j}^{i}=(c_{j}^{i\quad1-\frac{1}{\rho}}+\theta I_{j}^{i\quad1-\frac{1}{\rho}})^{-1+\frac{1}{\rho}} $$

このとき、iは世代を表す添字、jは年齢、uは瞬時的な効用、cは消費、/は余暇、θは余暇の選好度、ρは消費と余暇に関する代替の弾力性を表す。

さらに、生涯にわたる総効用関数は、分離加法形かつ相対的危険回避度一定であり、

$$ \mathbf{U}^{\mathrm{i}}=\frac{1}{1-\frac{1}{\gamma}}\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{d}}\beta^{\mathrm{j}-1}\mathbf{u}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{i}1-\frac{1}{\gamma}} $$

U、γ、dは、それぞれ総効用、異時点間の代替の弾力性、寿命、βは時間選好率をとすると、 $ \beta=\frac{1}{1+\zeta} $ である。なお、以下では、文脈から明らかな場合に限り世代を表す添字iは省略する。

各時点における家計の予算制約式は、

$$ \mathbf{a}_{\mathrm{j}+1}=(1+(1-\mathfrak{t}\mathbf{r}_{\mathrm{t}})\mathbf{r}_{\mathrm{t}})\mathbf{a}_{\mathrm{j}}+(1-\mathfrak{t}\mathbf{w}_{\mathrm{t}}-\mathfrak{t}\mathbf{p}_{\mathrm{t}})\mathbf{w}_{\mathrm{t}}\mathbf{e}_{\mathrm{j}}(1-1_{\mathrm{j}})-(1+\mathfrak{t}\mathbf{c}_{\mathrm{j}})\mathbf{c}_{\mathrm{j}}+\mathbf{p}_{\mathrm{j}} $$

このとき、a、e、p、r、t、 $ \tau_{c} $ 、 $ \tau_{p} $ 、 $ \tau_{r} $ 、 $ \tau_{w} $ は、それぞれ資産、賃金プロファイル、年金支給額、利子率、年（ $ t=i+j-1 $ ）消費税率、年金保険料率、利子率税率、賃金税率を表す。

また、賃金プロファイルは時間の関数として、 $ e_{j}=\psi_{0}+\sum_{z=1}^{n}\psi_{z}j^{z} $

と定式化される。

さらに、各期における貯蓄関数は、 $ s_{j}=a_{j}-a_{j-1} $ である。

世代 i の生涯予算制約式は、

$$ \sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{d}}(1+\tau\mathrm{c}_{\mathrm{t}})\mathrm{c}_{\mathrm{j}}\mathrm{PDV}_{\mathrm{j}}=\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{d}}((1-\tau\mathrm{w}_{\mathrm{t}}-\tau\mathrm{p}_{\mathrm{t}})\mathrm{w}_{\mathrm{t}}\mathrm{e}_{\mathrm{j}}(1-1_{\mathrm{j}})+\mathrm{p}_{\mathrm{j}})\mathrm{PDV}_{\mathrm{j}} $$
ただし、$\mathrm{PDV_{j}}=\prod_{\mathrm{m}=1}^{\mathrm{j}}\left\{1+\left(1-\mathrm{tr}_{\mathrm{i}+\mathrm{m}-1}\right)\mathrm{r}_{\mathrm{i}+\mathrm{m}-1}\right\}^{-1}$

家計は、生涯予算を制約として生涯にわたる効用を最大化する。その結果、消費のオイラー方程式と余暇と消費の関係式が得られる。

$$ \frac{\mathrm{c}_{\mathrm{j}}}{\mathrm{c}_{\mathrm{j}-1}}=(\beta(1+(1-\mathrm{tr}_{\mathrm{t}})\mathrm{r}_{\mathrm{t}})^{\gamma}(\frac{1+\mathrm{tr}_{\mathrm{t}-1}}{1+\mathrm{tr}_{\mathrm{t}}})^{\gamma}(\frac{1+\theta\rho((1-\tau\mathrm{w}_{\mathrm{t}}-\tau\mathrm{p}_{\mathrm{t}})\mathrm{w}_{\mathrm{t}}\mathrm{e}_{\mathrm{j}})^{1-\rho}}{1+\theta\rho((1-\tau\mathrm{w}_{\mathrm{t}-1}-\tau\mathrm{p}_{\mathrm{t}-1})\mathrm{w}_{\mathrm{t}-1}\mathrm{e}_{\mathrm{j}-1})^{1-\rho}})^{\frac{\rho-\gamma}{1-\rho}}} $$

$$ \mathrm{l_{_{j}}}=(\frac{(1-\tau\mathrm{w_{_{t}}}-\tau\mathrm{p_{_{t}}})w_{_{t}}\mathrm{e_{_{j}}}}{\theta})^{-\rho}\mathrm{c_{_{j}}} $$

マクロの民間金融資産 W は、 $ W_{t}=\sum_{j=1}^{d}GEN_{t,j}a_{i,j} $ となり、家計による資本供給は、

$ K_{t}^{S}=W_{t} $ (8)

さらに、家計によるマクロの有効労働供給は、 $ \mathrm{L}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{S}} = (1 + \lambda)^{\mathrm{t}} \sum \mathrm{GEN}_{\mathrm{t},\mathrm{j}} \mathrm{e}_{\mathrm{j}} (1 - 1_{\mathrm{j}}) $ （9）である。

## [変更1遺産の導入]

また、Auerbach, Kotlikoff, Hagemann and Nicoletti (1989), Hviding, and Mérette (1998), Fougère and Mérette (1998) では、遺産を消費として捉える遺産消費モデルを定式化している。すなわち、遺産消費モデルでは、遺産は親の消費行為であり親の効用関数に変数として入ることとなる。したがって、生涯効用関数は、

$$ \mathbf{U}^{\mathrm{i}}=\frac{1}{1-\frac{1}{\gamma}}\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{d}}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{j}-1}\mathbf{u}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{i}1-\frac{1}{\gamma}}+\frac{1}{1-\frac{1}{\gamma}}\boldsymbol{\xi}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{d}-1}\mathbf{b}\mathbf{e}\mathbf{q}^{\mathrm{i}1-\frac{1}{\gamma}} $$

ξ、beq はそれぞれ遺産動機の強さを表すパラメター、遺産を表す変数である。このとき、生涯にわたる予算制約式は、

$$ \begin{aligned}\mathrm{H}_{\mathrm{t}}+\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{d}}(1+\tau\mathrm{c}_{\mathrm{t}})\mathrm{c}_{\mathrm{j}}\mathrm{PDV}_{\mathrm{j}}=&\\\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{d}}((1-\tau\mathrm{w}_{\mathrm{t}}-\tau\mathrm{p}_{\mathrm{t}})\mathrm{w}_{\mathrm{t}}\mathrm{e}_{\mathrm{j}}(1-1_{\mathrm{j}})+\mathrm{p}_{\mathrm{j}})\mathrm{PDV}_{\mathrm{j}}+\mathrm{beq}_{\mathrm{i}}\mathrm{PDV}_{\mathrm{d}}\end{aligned} $$
ただし、Hはi世代の(i-d)世代からの遺産受取を示し、 $ H_{i}=\left(\prod_{m=i-d+2}^{i}\left(1+n_{m}\right)^{-1}\right)beq_{i-d+1} $

異時点間の効用最大化により、消費のオイラー方程式には変更はなく、遺産についての最適化条件は、

$$ \mathbf{b}eq_{i}=\xi^{\gamma}\left(1+\tau c_{d}\right)^{\gamma}c_{d} $$

## [変更2 不確実性の導入]

寿命に不確実性がある場合、例えば、Miles and Cerny（2003）、Börsch-Supan, Ludwig and Winter（2003）では、効用関数に生存確率 prob が掛かることとなる。すなわち、

$$ \mathbf{U}^{\mathrm{i}}=\frac{1}{1-\frac{1}{\gamma}}\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{d}}\mathbf{p r o b}_{\mathrm{j}\mathrm{t}}\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{j}-1}\mathbf{u}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{i}1-\frac{1}{\gamma}} $$

このとき、j歳の家計が翌年にも生存している条件付確率を $ q_{j+1,j} $ とすると、j歳の家計がs+j歳まで生存している確率は、

$$ prob_{j t}=\prod_{j=0}^{s}q_{j+1,j t} $$

となる。

## [変更 3 人的資本投資の導入]

Sadahiro and Shimasawa（2003）では、効用関数に人的資本投資をいれることによって、内生的成長モデルを実現している。すなわち、各家計は、毎期、働くか、人的資本投資を行うかをの選択を効用最大化原理に基づき決定することとなる。したがって、瞬時的効用関数は、

$$ \mathbf{u}_{\mathrm{j}}=\frac{1}{1-\frac{1}{\rho}}\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{d}}\beta^{\mathrm{j}-1}(\mathbf{c}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{1-\frac{1}{\rho}}}+\theta\mathbf{\Sigma}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{1-\frac{1}{\rho}}}) $$

ここで z は人的資本ストックへの投資であり、ρ は時間選好率、γ は異時点間の代替の弾力性の逆数、θ は教育への選好の強さを表すパラメターである。

効用最大化問題を解くと、人的資本投資に関するオイラー方程式は、個人レベルの人的資本ストックを hc として、

$$ \boldsymbol{Z}_{i,j}=\left\{\frac{1+\boldsymbol{r}_{t}\left(1-T\boldsymbol{r}_{t}\right)}{1+p}\right\}^{\frac{1}{Y}}\left\{\frac{w_{t-1}\left(1-T w_{t-1}-T\boldsymbol{p}_{t-1}\right)}{w_{t}\left(1-T w_{t}-T\boldsymbol{p}_{t}\right)}\right\}^{\frac{1}{Y}}\left(\frac{h\boldsymbol{c}_{i,j-1}}{h\boldsymbol{c}_{i,j}}\right)^{\frac{1}{Y}}\boldsymbol{Z}_{i,j-1} $$
と表すことができる。

## [変更4所得階層の導入]

これまでのモデルは 1 世代に 1 タイプの家計しか登場しない、いわゆる「代表的家計」のモデルであり、世代間の不平等（inter-generational inequality）は分析できるが、世代内の不平等（intra-generational inequality）を分析するのは不可能であった。そこで Altig, Auerbach, Kotlikoff, Smetters, and Walliser（2001）Kotlikoff, Smetters, and Walliser（2001）Kotlikoff, Smetters, and Walliser（2002）では、異なる賃金稼得能力を持つ 12 の集団を導入することで世代間の不平等ばかりでなく世代内の不平等を分析できるフレームを作成することに成功している。すなわち、この場合、賃金プロファイルは、

$$ \mathbf{e}_{\mathrm{j}}^{\mathrm{~m}}=\boldsymbol{\Psi}_{0}^{\mathrm{~m}}+\sum_{\mathrm{z}=1}^{\mathrm{n}}\boldsymbol{\Psi}_{\mathrm{z}}^{\mathrm{~m}}\mathbf{j}^{\mathrm{z}}\ ,\mathrm{m}=1,2,\cdot\cdot\cdot,12\qquad(4^{\prime}) $$

と変更される。

## (2) 企業

企業は、完全競争的な生産要素市場において家計から資本と労働を需要して、1次同次の生産技術により、消費財にも資本財にもなる財を産出する。財市場は完全競争的であるので、利潤最大化行動の結果、利潤は常にゼロとなる。

マクロの生産関数は、A-K モデルでは、コブ・ダグラス型生産関数で定式化されており

$ Y_{t}=AK_{t}^{a}L_{t}^{1-a} $ である。一人当たり表示に直すと、 $ y_{t}=Ak_{t}^{a} $ （13）

コブ・ダグラス型の生産関数は、よく知られているように定常状態の存在を保証する「稲田条件」(Inada（1963））を満足する。すなわち、

$$ \lim_{k\to0}f^{\prime}(k)=\lim_{k\to0}\alpha A k_{t}^{\alpha-1}=\infty,\ \lim_{k\to\infty}f^{\prime}(k)=\lim_{k\to\infty}\alpha A k_{t}^{\alpha-1}=0 $$

資本ストックの蓄積式は、dを資本減耗率として、

$$ \mathrm{K}_{\mathrm{t}+1}=\mathrm{I}_{\mathrm{t}}+(1-\delta)\mathrm{K}_{\mathrm{t}} $$

企業による利潤最大化行動の結果、生産要素価格は各限界生産力に等しくなるので、

$$ \mathbf{r}_{\mathrm{t}}=\alpha\mathbf{A}\mathbf{k}_{\mathrm{t}}^{\alpha-1}-\boldsymbol{\delta} $$

$$ \mathrm{w}_{\mathrm{t}}=(1-\alpha)\mathrm{Ak}_{\mathrm{t}}^{\alpha} $$

## [ 变更 1 CES 型生產関数 ]

また、Börsch-Supan, Ludwig and Winter（2001）においては、コブ・ダグラス
型生産技術の代わりに、CES 型生産関数で生産関数が特定化されている。すなわち、

$$ \mathbf{Y}_{\mathrm{t}}=\mathrm{A}\left\{\alpha\left(\chi\mathrm{K}_{\mathrm{t}}\right)^{\phi}+(1-\alpha)\left((1-\chi)\mathrm{L}_{\mathrm{t}}\right)^{\phi}\right\}^{\frac{1}{\phi}} $$

このとき、ηを生産の代替弾力性であるとすると$\phi=\frac{1}{1-\eta}$である。

一人当たり表示にすると、

$$ \mathbf{y}_{\mathrm{t}}=\mathrm{A}\left\{\alpha\left(\chi\mathrm{k}_{\mathrm{t}}\right)^{\phi}+\left(1-\alpha\right)\left(1-\chi\right)^{\phi}\right\}^{\frac{1}{\phi}} $$

したがって、利潤最大化の結果、

$$ \mathrm{r}_{\mathrm{t}}=\alpha\chi^{\phi}\mathrm{A}\left\{\alpha\chi^{\phi}+(1-\alpha)(1-\chi)^{\phi}\mathrm{k}_{\mathrm{t}}^{-\phi}\right\}^{\frac{1-\phi}{\phi}}-\delta $$

$$ \mathrm{w}_{\mathrm{t}}=(1-\alpha)\chi^{\phi}\mathrm{A}\left\{\alpha\left(\chi\mathrm{k}_{\mathrm{t}}\right)+(1-\alpha)\left(1-\chi\right)^{\phi}\right\}^{\frac{1-\phi}{\phi}} $$

となる。

また、

$$ \lim_{\mathrm{k}\rightarrow\mathrm{o}}\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{k})=\lim_{\mathrm{k}\rightarrow\mathrm{o}}\alpha\chi^{\phi}\mathrm{A}\big\{\alpha\chi^{\phi}+(1-\alpha)(1-\chi)^{\phi}\mathrm{k}_{\mathrm{t}}^{-\phi}\big\}^{\frac{1-\phi}{\phi}}=\infty\ , $$

$$ \lim_{\mathrm{k}\rightarrow\infty}\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{k})=\lim_{\mathrm{k}\rightarrow\infty}\alpha\chi^{\phi}\mathrm{A}\left\{\alpha\chi^{\phi}+(1-\alpha)(1-\chi)^{\phi}\mathrm{k}_{\mathrm{t}}^{-\phi}\right\}^{\frac{1-\phi}{\phi}}=\alpha^{\frac{1}{\phi}}\chi\mathrm{A}>0 $$

となり、CES 型生産関数については稲田条件が成立していないことが分かる。これにより一定の条件のもとでは、他に特別な仮定や変数の追加がなくとも内生的な成長が実現されることとなる $ ^{6} $ 。

[変更2 人的資本の導入]

Fougère and Mérette（1998, 1999）では、Uzawa=Lucas タイプの蓄積式により人的資本蓄積を内生化することで、内生的な成長過程を描写している。すなわち、

$$ \mathrm{hc}_{\mathrm{i},\mathrm{j}+\mathrm{l}}=\frac{\mathrm{hc}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}}{1+\delta_{\mathrm{hc}}}+\mu\mathrm{hc}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}\mathrm{z}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}^{\mathrm{~\tiny~\phi~}}\quad,\quad\mu>0;\delta_{\mathrm{hc}}>0\qquad(\mathrm{~16~}) $$

一方、Sadahiro and Shimasawa（2003）では、

$$ \mathsf{hc}_{\mathrm{i},\mathrm{j}+1}=\left(1-\delta_{\mathrm{hc}}\right)\mathsf{hc}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}+\mu\left(\mathsf{mk}_{\mathrm{t}}\right)^{\phi}\left(\mathsf{hc}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}\mathsf{z}_{\mathrm{i},\mathrm{j}}\right)^{\mathrm{l}-\phi},\mu>0;\delta_{\mathrm{hc}}>0;0<\mathrm{m}<1 $$

と定式化することで、人的資本ストックの蓄積には、人的資本（投資）のみではなく物的資本も必要であるようにより一般化された Uzawa=Lucas タイプの関数形を用いて
いる。こうした人的資本の導入により、コブ=ダグラス型生産関数 $ Y_{t}=AK_{t}^{a}L_{t}^{1-a} $ は、

$ Y_{t}=AK_{t}^{a}(HC_{t}L_{t})^{1-a} $ （HC はマクロの人的資本ストック）と変更される。この結果、事

後的に見た TFP は人的資本ストックの蓄積スピードに応じて変化することとなる。Fougère and Mérette（1998, 1999）Sadahiro and Shimasawa（2003）では、少子・高齢化の進行とともに、人的資本投資が増加することで人的資本蓄積が進み、その結果、経済成長率は、技術進歩率（TFP）が一定である場合に比べ、低下しないことが報告されている。

## [変更 3 投資関数の導入 (トービンの q)]

新古典派的な分析（長期的な分析）においては、通常投資は常に貯蓄に等しい均衡状態が仮定されるため、投資関数は存在していない。Auerbach and Kotlikoff（1987）では、調整費用を導入したトービンのq理論を用いることで、投資関数を明示的に導入している。すなわち、企業は、その割引現在価値を最大化するように生産要素を需要するというものであり、具体的には、利潤関数による異時点間にわたる利潤最大化行動の結果、

$$ q_{t}=1+C^{\prime}(I_{t})=1+\kappa\frac{I_{t}}{K_{t}}\quad(18) $$

ただし、調整費用関数は $ C(I_{t})=(1+\frac{\kappa}{2}(\frac{I_{t}}{K_{t}}))I_{t} $ と特定化されている。

さらに資本市場では、

$$ \mathrm{r}_{\mathrm{t}}=\frac{\alpha\mathrm{Ak}_{\mathrm{t}}^{\alpha-1}-\delta+\left(\mathrm{q}_{\mathrm{t}+\mathrm{l}}-\mathrm{q}_{\mathrm{t}}\right)}{\mathrm{q}_{\mathrm{t}}}\qquad(14^{\prime}) $$

が成立することとなる。したがって、トービンの q が一定とならない限り、利子率は資本収益率（14）式から乖離することとなる。

(3) 政府

政府は、消費税、資本税、賃金税からなる租税収入と公債発行に伴う公債収入による歳入と、政府支出及び公債にかかる支出からなる歳出を行う。政府支出はGDP比の一定割合に固定されると仮定する。

税収は、 $ T_{t}=\sum_{j=1}^{d}GEN_{t,j}(\tau c_{t}c_{j}+\tau w_{t}w_{t}e_{j}(1-1_{j})+\tau r_{t}r_{t}a_{j}) $

政府支出は、 $ G_{t}=gY_{t} $ (20)

また、公債は毎期新たに歳入と税収の差額だけ発行されるので、政府の予算制約式は
$$ D_{t+1}=(1+r_{t+1})D_{t}+(G_{t}-T_{t}) $$

となる。

## [変更 1 政府の異時点間の予算制約式]

Auerbach, Kotlikoff, Hagemann and Nicoletti (1989) では、政府は通時的に予算制約を均衡化させるとの想定をとっている。すなわち、上では政府は temporal な資源制約のもと、理論的には赤字を永遠に垂れ流すことも可能であるような定式化だったものを、政府は各時点ではともかく長期的には予算を均衡化させる必要があるという具合に変更を加えているのである。これは具体的には、現在財政バランスが赤字である場合にも長期的には財政収支を黒字化する必要性があることを政府が認識して行動することを意味している。また、この場合、政府債務残高は発散しないという仮定も設けられている。すなわち、

$$ \begin{aligned}&t 期における政府の予算制約式を \\&D_{t+1}=D_{t}+G_{t}\quad T_{t}+r_{t}D_{t}=R_{t}D_{t}+P_{t}\quad,\quad D=0\\& とすると、\\ \end{aligned} $$

次のような異時点間の予算制約式が得られる。

$$ \begin{aligned}&\mathrm{D}_{t}+\sum_{i=0}^{T}G_{t+i}/\prod_{j=0}^{i}\big(1+r_{t+j}\big)=\sum_{i=0}^{T}\mathrm{T}_{t+i}/\prod_{j=0}^{i}\big(1+r_{t+j}\big)+\mathrm{D}_{t+\mathrm{T}}/\prod_{j=0}^{i}\big(1+r_{t+j}\big)\\ &\Leftrightarrow\\ &\mathrm{D}_{t}=-\sum_{i=0}^{T}\mathrm{P}_{t+i}/\prod_{j=0}^{i}\big(1+r_{t+j}\big)+\mathrm{D}_{t+\mathrm{T}}/\prod_{j=0}^{i}\big(1+r_{t+j}\big)\\ \end{aligned} $$

ここで、Pはプライマリーバランスを表し、P>0であればプライマリー赤字、P<0であればプライマリー黒字である。さてこの式において、債務残高が発散しない、すなわち財政が持続可能であるということは、右辺第2項において、

$ \lim_{T\to\infty}\frac{D_{t+T}}{\prod_{j=0}^{i}(1+r_{t+j})}=0 $ であることと同値であるので、このような条件が満たされているとすると、政府の異時点間の予算制約式は結局次のようになる。

$$ \mathrm{D}_{\mathrm{t}}=-\sum_{i=0}^{T}\mathrm{P}_{t+i}/\prod_{j=0}^{i}\left(1+r_{t+j}\right) $$

[变更 2 年齢別政府支出]

Auerbach and Kotlikoff（1989）以下大多数の先行研究では、政府支出を、各年齢層共通の一人当たり支出とある年齢層特有の一人当たり支出とに区分し、ぞれぞれの人口を掛け合わせることで算出している。すなわち、年金・医療支出を含む社会保障費は高齢層に相対的に多く支出していると考えられるが、そういった年齢に応じた支出に対してウェイト付けを行っているのである。具体的には、
$$ \mathbf{G}_{\mathrm{t}}=\sum_{\mathrm{j}=1}^{\mathrm{d}}\mathbf{G}\mathbf{E}\mathbf{N}_{\mathrm{t}\mathrm{j}}\mathbf{g}^{\mathrm{j}} $$

となる。

## (4) 年金部門

年金部門については、Auerbach and Kotlikoff（1987）では、アメリカをはじめ世界的に主流の年金制度として賦課方式を定式化している。

賦課方式においては、各期の年金保険料収入はそのまま年金給付に充てられるので、

年金保険料収入 $ P_{t} = \sum_{j=1}^{ret} GEN_{t,j} \tau p_{t} w_{w} e_{j} (1 - 1_{j}) = $

年金給付 $ P_{t} = \sum_{j=ret+1}^{d} GEN_{t,j} b_{j} $

となる。

## [变更 1 修正 积立方式]

わが国の年金制度は、導入当初は積立方式であり、その後次第に賦課方式的な色彩を強めてきたという経緯がある。また、年金会計に対する政府からの支出（補助金）も存在しており、より現実の制度に近づけたいと思えば、上のような定式化を若干変更する必要性が生じる。すなわち、

政府の予算制約式：

$$ \mathrm{D}_{\mathrm{t}+1}=(1+\mathrm{r}_{\mathrm{t}+1})\mathrm{D}_{\mathrm{t}}+(\mathrm{G}_{\mathrm{t}}-\mathrm{T}_{\mathrm{t}})+\mathrm{v}\mathrm{B}_{\mathrm{t}} $$

年金会计：

$$ \mathrm{FUND_{t+1}}=(1+\mathrm{r_{t+1}})\mathrm{FUND_{t}}+(\mathrm{P_{t}}-(1-\upsilon)\mathrm{B_{t}}) $$

このとき、 $ ν $ は国庫負担率となり、わが国の場合は1/3である。

[変更 2 その他の社会保障制度のモデル化]

もともと OLG シミュレーションモデルは、高齢化に伴う経済への影響を分析する手法として開発されたものであり、年金部門を含む社会保障制度の定式化に力を入れている先行研究は数多い。例えば、Fougère and Mérette（1998）はカナダの社会保障制度を詳細にモデル化 $ ^{7} $ しているし、Börsch-Supan, Ludwig and Winter（2003）はドイツの失業保険をモデル化している。
## (5) 均衡条件

モデルを閉じるためには、財市場、資本市場と生産要素市場において以下のような均衡条件が必要になる。

まず、財市場においては、 $ Y_{t}=C_{t}+I_{t}+G_{t} $ （26）

次に、資本市場においては、家計供給する資本は実物資産か公債に配分されなければならない。したがって、

$$ W_{t}=K_{t}+D_{t}\quad(27) $$

また、生産要素市場においては、需給が一致しているので、

$$ K_{t}^{D}=K_{t}^{S}=K_{t}\quad,\quad L_{t}^{D}=L_{t}^{S}=L_{t} $$

## [変更1年金積立て金の導入]

先に見た修正積立方式により、年金部門が積立金を持つ場合には、資本市場の均衡条件を以下のように変更する必要がある。

$$ W_{t}+FUND_{t}=K_{t}+D_{t}\quad(27^{\prime}) $$

## [変更2 海外部門の導入]

先行研究の多くは 1 カ国モデルであるが、Börsch-Supan, Ludwig and Winter（2001、2003）INGENUE（2001）は多国間（multi-country）モデルであり、明示的に海外部門が存在している。この場合、簡単化のため、内外の資産を区別せず、かつ既存の資本ストックもコスト無しで自由に移動可能であると仮定される。したがって、変更されるのは均衡条件のみとなる。

まず、財市場においては、 $ Y_{t}=C_{t}+I_{t}+G_{t}+CA_{t} $ （26'）

ただし、CAは経常収支であり、対外資産残高の変化分として定義される。

次に資本市場においては、 $ \sum_{v=1}^{f}W_{t}^{v}=\sum_{v=1}^{f}K_{t}^{v}+\sum_{v=1}^{f}D_{t}^{v} $ （27”）

ただし、添字 v は国の番号を表す。

さらに、資本は移動自由であるので、（27”）式を満たすように、金利は各国で等しくなる。

$$ r_{t}^{1}=r_{t}^{2}=\cdot\cdot\cdot=r_{t}^{f} $$

このとき、各国で分配率等のパラメターが同一であれば、資本労働比率も等しくなることに注意する必要がある。

## (6) 動学的特徵