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## 子育て支援と世代間効用

- 人口内生 OLG モデルの視点から -

一橋大學經濟研究所·准教授

経済産業研究所コンサルティングフェロー

小黑一正

秋田大学・准教授

内閣府経済社会総合研究所・客員研究員

島澤 諭

一橋大学大学院・経済学研究科博士課程

高畑 純一郎

### 1. はじめに

本稿の目的は、多世代の人口内生OLGモデルを構築し、子育て支援の拡充や年金給付の削減等が、現役世代および将来世代の効用に及ぼす影響を分析することにある $ ^{1} $ 。その際、子育て支援拡充の財源を何で賄うかという選択は、現役世代および将来世代の効用に異なる影響を及ぼすに違いない。この点で比較対象となるのは、人口外生OLGモデルでの先行研究である。

Diamond(1965)等に代表される標準的な人口外生 OLG モデルにおいて、政府支出の経路が定まっている場合、その支出を賄う財源としては、消費税が最も望ましく、次に賃金税、そして資本課税となるケースが通常である。これは、次のように説明できる。

まず一つのベンチマークとなるのは、Atkinson and Stiglitz(1972)の最適課税（均一課税）から導かれる「資本課税ゼロ定理」である。この定理は、第1期（現役期）と第2期（引退期）から成る簡素な2世代OLGモデルを考えると理解しやすい。各世代は、第1期（現役期）で、労働を提供し賃金を稼ぐとともに、その賃金の一部を消費し残りを貯蓄する。そして、第2期（引退期）には、第1期の貯蓄と利子を用いて消費する。このような状況において、Atkinson and Stiglitz(1972)は、効用関数に関する一定の前提のもと、第1期と第2期の異なる消費課税は最適でないことを示した。なお、第1期と第2期での異なる消費課税は、引退期の消費のために貯蓄した利子に対する課税としての性質をもつことから、この定理は資本課税ゼロが望ましいことを示唆する（多世代の人口外生OLGモデルでも同様の定理が成立） $ ^{2} $ 。同様に、Chamley(1986)やJudd(1985)等も、遺産の引継ぎのある人口外生OLGモデルにおいて、長期的に資本課税ゼロが望ましいことを示している。

また、定常状態では、（1 - 賃金税率）(1 + 消費税率) = 1 が成立し、借入制約や政府行動に変化がない場合、消費課税と賃金課税は同等となる。このため、賃金課税から消費課税に移行する政策は、上記の同等税率であれば、移行後の世代には何の影響を与えない可能性が
あるが、移行期での効果は異なる。これは、移行初期における老齢世代の消費に対する課税は、歪みのない一括税の性質もつからである。つまり、世代間移転のゼロサムの性質をもつ政府の通時的予算制約を考慮すると、この政策は、老齢世代から現役世代および将来世代への世代間移転の効果をもつことを示唆する。

ところで、公的債務の増加はクラウディング・アウトを引き起こし、資本蓄積を抑制し将来の成長を低下させる可能性がある。同様に、八田・小口(1999)等によると、賦課方式の公的年金も対GDP比で約150%にも及ぶ「暗黙の債務」をもち、将来の成長を抑制させている可能性がある。公的年金は現役世代および将来世代から老齢世代への世代間移転であるが、このとき、上記政策の実行は、老齢世代から現役世代および将来世代への世代間移転という逆の効果をもち、資本蓄積を増加させ将来の成長を高める効果をもつ。

以上から、標準的な人口外生OLGモデルでは、政府支出の経路が定まっている場合、その支出を賄う財源としては、消費税が最も望ましく、次に賃金税、そして資本課税となるケースが多い。だが、この標準的な人口外生OLGモデルが設定している、いくつかの前提を現実的なものに修正していくと、資本課税ゼロ定理などの結論は異なってくる。

例えば、Cremer and Gahvari(1995)は、第2期（引退期）の賃金に不確実性がある場合、第1期（現役期）の消費と比較して、第2期の消費に対して追加課税を行うの（つまり一定の資本課税）が望ましいことを示した。同様に、Conesa, Kitao and Krueger(2007)も、寿命と賃金に不確実性がある場合、一定の資本課税が望ましいことを示している。また、Saez(2002)は、異なるスキルをもつ個人間では望ましい貯蓄率は異なることから、資本課税ゼロが望ましいとは限らないことを示している。さらに、Weinzierl(2007)は、ヘテロな人口動態で、賃金が年齢に応じて変化する場合、資本課税15%の方がゼロの場合よりも社会厚生が高いことを示した。なお、Hubbard and Judd(1986)は、資本市場が完全でなく、借入制約があると、資本課税の根拠がでてくる可能性を示している。

以上のとおり、Atkinson and Stiglitz(1972)の修正により、様々な資本課税の根拠が提示されている。だが、それらは人口外生OLGモデルを前提としており、人口内生OLGモデルにおける資本課税の根拠についての研究は見当たらないのが現状である。結論を先取りすると、人口内生OLGモデルで重要となるのは、子どものコストである。例えば、子どものコストが各世代の生涯賃金の増加関数であると、資本課税ゼロが望ましいとは限らなくなる。これは、次のように説明できる。まず、標準的な人口外生OLGモデルでは資本課税ゼロが望ましいが、その場合、資本課税がゼロでないケースと比較して、将来世代の生涯賃金は上昇し子どものコストも増加する。このとき、生涯賃金の上昇によるプラス効果よりも、子どもコスト増加に伴うマイナス効果の方が大きいと、各世代の生涯予算制約における実質的な生涯賃金は減少してしまうケースも考えられる。このようなケースでは、資本課税の根拠がでてくるが、人口内生OLGモデルでの研究は進んでいない。

そこで、本稿では、Oguro, Takahata and Shimasawa(2009)をベースに、多世代の人口内生OLG モデルを構築し、子育て支援拡充の財源として、消費税、賃金税、資本課税などを想定する場合、それが各世代の効用に与える影響を分析する。さらに、今後の社会保障改革の
参考とする観点から、年金給付を削減するケースや、年金財源の一部を消費税で賄うケースにおいて、それらが各世代の効用に与える影響についても分析を行う。

なお、本稿の構成は以下のとおりである。まず、第2節では、簡素な人口内生OLGモデルを用いて、Atkinson and Stiglitz(1972)の定理を再考し、人口外生OLGモデルと人口内生OLGモデルの相違を簡単に考察する。次に、第3節では、本稿で利用する多世代の人口内生OLGモデルについての説明を行う。その上で、第4節では、データ、パラメータおよびシミュレーションシナリオの説明を行う。そして、第5節では、そのシミュレーション結果の考察を行う。最後の第6節では、まとめと今後の課題を述べる。

## 2 ．简易分析

本節では、簡素な人口内生 OLG モデルを用いて、「Atkinson and Stiglitz(1972)の定理」(以下「AS 定理」という)を再考し、出生選択が外生のモデルと内生のモデルの相違をライフサイクルモデルで考察する。

まず、出生選択が外生のライフサイクルモデルでは、効用が時間について加法的であり、限界効用の弾力性が一定であれば、資本課税ゼロが望ましいとするAS定理が成立する。このAS定理は、同様の条件のもと、出生選択が内生のライフサイクルモデルでも成り立つ。以下、これを簡単に確認しておこう。

家計の効用最大化問題を以下のように設定する。

$$ Max U=u_{1}(n)+u_{2}(C_{1})+u_{3}(C_{2}) subject to\quad(1+t_{1})(z-\delta)n+(1+t_{2})C_{1}+(1+t_{3})C_{2}/R=W $$

ここで、 $ u_{1}(n) $ は Becker(1960)等にように子どもを消費財とみなした場合、その出生数から得られる効用である。また、 $ u_{2}(C_{1}) $ は現役期の消費の効用、 $ u_{3}(C_{2}) $ は老齢期の消費の効用、n は出生数、 $ C_{1} $ は現役期の消費、 $ C_{2} $ は老齢期の消費、 $ t_{j}(j=1,2,3) $ はそれに対する課税、R はグロス金利、W は生涯賃金、z は子どものコスト、δ は政府による子育て支援である。このとき、生涯賃金の限界効用 $ \lambda $ を用いて、家計にとっての最適化条件は以下のようになる。

$$ \left\{\begin{aligned}\boldsymbol{u}_{1,n}&=\lambda(1+\boldsymbol{t}_{1})(z-\delta)\\ \boldsymbol{u}_{2,C_{1}}&=\lambda(1+\boldsymbol{t}_{2})\\ \boldsymbol{u}_{3,C_{2}}&=\lambda(1+\boldsymbol{t}_{3})/R\end{aligned}\right. $$

他方で、政府の予算制約は以下になる。

$$ G+\delta n=\boldsymbol{t}_{1}(z-\delta)n+\boldsymbol{t}_{2}C_{1}+\boldsymbol{t}_{3}C_{2}/R=W-(z-\delta)n-C_{1}-C_{2}/R $$

この(C)と、(B)を(A)に代入した予算制約式のもとで、政府は家計効用を最大化する。このラグランジュ関数を以下のように設定する。

$$ U+\mu\Big[\lambda W-u_{1,n}n-u_{2,C_{1}}C_{1}-u_{3,C_{2}}C_{2}\Big]+\gamma\big[W-zn-C_{1}-C_{2}/R-G\big] $$

ここで $ \mu $ と $ \gamma $ は未定乗数である。この最適化条件から以下を得る。

$$ \left\{\begin{array}{l}u_{1,n}-\mu u_{1,n}-\mu u_{1,n,n}\boldsymbol{n}-\gamma z=0\\ u_{2,C_{1}}-\mu u_{2,C_{1}}-\mu u_{2,C_{1},C_{1}}C_{1}-\gamma=0\\ u_{3,C_{3}}-\mu u_{3,C_{2}}-\mu u_{3,C_{2},C_{2}}C_{2}-\gamma/R=0\end{array}\Leftrightarrow\begin{cases}\lambda(1+\boldsymbol{t}_{1})(1-\delta/z)\big[(1-\mu)-\mu\hat{\boldsymbol{o}}(\log u_{1,n})/\hat{\boldsymbol{o}}(\log\boldsymbol{n})\big]=\gamma\\ \lambda(1+\boldsymbol{t}_{2})\big[(1-\mu)-\mu\hat{\boldsymbol{o}}(\log u_{2,C_{1}})/\hat{\boldsymbol{o}}(\log C_{1})\big]=\gamma\\ \lambda(1+\boldsymbol{t}_{3})\big[(1-\mu)-\mu\hat{\boldsymbol{o}}(\log u_{3,C_{2}})/\hat{\boldsymbol{o}}(\log C_{2})\big]=\gamma\end{cases}\right. $$

ここで、上式の右側への変形は(B)を利用しているが、$\varepsilon^{X}\equiv\partial(\log u_{1,X})/\partial(\log X)$ は限界効用の
弾力性であり、これが一定で等しければ、以下の命題と系が成立する。

命題　限界効用の弾力性 $ \varepsilon^{X} \equiv \hat{\partial}(\log u_{1,X}) / \hat{\partial}(\log X) $ （ $ X = n, C_{1}, C_{2} $ ）が等しく、子育て支援を行わない場合、子どもコストと現役期・老齢期の消費に対する課税は、均等課税とすることが最適である。

証明 (D)から、$\zeta\equiv(1+t_{1})(1-\delta/z)=1+t_{2}=1+t_{3}$ が成り立ち、$\delta=0$ のとき命題が導かれる。■

系$\delta\ne0$ のとき、子どもコストに対する課税は、$t_{1}=\zeta/(1-\delta/z)-1$ とするのが最適である。

この命題と系は、Atkinson and Stiglitz (1972)での結果をそのまま拡張して得られるものである。ところで、(A)の予算制約は、両辺に $ 1/(1+t_{2}) $ をかけると以下を得る。

$$ (1+\tau_{_{1}})(z-\delta)n+C_{_{1}}+C_{_{2}}/(1-\tau_{_{2}})R=(1-\tau_{_{3}})W $$

ここで、 $ \left(1+\tau_{1}\right)\equiv\left(1+t_{1}\right)/\left(1+t_{2}\right) $ かつ $ \left(1-\tau_{2}\right)\equiv\left(1+t_{2}\right)/\left(1+t_{3}\right) $ かつ $ \left(1-\tau_{3}\right)\equiv1/\left(1+t_{2}\right) $ である。この式は、子どもコストと現役期・老齢期の消費に課税する政策は、子どものコストと資本（貯蓄）・賃金に課税する政策と同等であることを意味する。そして、現役期と老齢期の消費に異なる課税を行うと、 $ \tau_{2}\neq0 $ となるから、それは資本課税と同等となる。これから、上記命題の前提が成り立つ場合は、 $ \tau_{2} $ はゼロとなるから、資本課税ゼロが最適となり、消費税は賃金税と同等となる。このため、この前提が成立するケースでは、資本課税でなく、消費税または賃金税で、子育て支援を行うことが望ましくなる。

だが、これは子どものコストが生涯賃金（手取り）に比例しない場合での議論である。子どものコストが生涯賃金（手取り）に比例する場合には、消費税は賃金税と同等にはならない。これは、賃金税への課税によって、子どものコストが変化するため、もはや賃金税による一律課税が実現できないということから示すことが可能である。

図：子どもの数と消費財の選択

消費

加えて、子育て支援として、子ども一人につき定額の給付を行う場合には、さらに効果が異なる。この場合の効果を、簡単に図に表すと上図のようになる。子育て支援実施の前には太線のような予算制約であったのが、実施後には細い線のようになる。子どもの価格が低下することによって、場合によって政策実施以前よりも多くの子どもを持つことが可
能な状況が生まれている。

このように、子どものコストに関する仮定によっては、賃金税による課税で最適な資源配分を再現することは不可能になる。

これを数式で表現すると、以下のとおりである。これまでと同様の設定で、

$$ (1+\tau_{_{1}})(z-\delta)n+C_{_{1}}+C_{_{2}}/(1-\tau_{_{2}})R=(1-\tau_{_{3}})W $$

となる。ここで注意すべきなのは、子どもの価格zが賃金率に比例している点である。仮に、生涯賃金（手取り）の一定割合が子育ての費用としてかかると考える場合、 $ z=k(1-\tau_{3})W $ と表すことができるだろう。この表現を用いると、上の式は以下のように書き換えられる。

$$ (1+\tau_{1})(k(1-\tau_{3})W-\delta)n+C_{1}+C_{2}/(1-\tau_{2})R=(1-\tau_{3})W $$

ここで賃金税率 $ \tau_{3} $ が上がった場合を考えると、これまでと異なり、生涯賃金（手取り）の低下を通して、相対的に子どもの価格が低下する。というのは、両辺を $ (1-\tau_{3}) $ で割ることによって、

$$ (1+\tau_{_{1}})(kW-\delta/(1-\tau_{_{3}}))n+C_{_{1}}/(1-\tau_{_{3}})+C_{_{2}}/[(1-\tau_{_{2}})(1-\tau_{_{3}})R]=W $$

となることから分かる。つまり、課税前と比較して、各期の消費の価格は上昇しているのに対して、子どもの価格は低下しており、図のような変化が起きていることになる。よって、このようなモデルでは、賃金税と消費税はそれぞれ全く別の効果を持った制度となる。

ここまではライフサイクルモデルでの議論である。さらに、出生選択が外生で、小国開放経済のOLGモデルでも、定常状態を分析している限り、消費税と賃金税に違いはない。しかし、子育て支援の拡充など、制度の導入を考察する場合には、消費税と賃金税で違いが生まれる。この点は、出生選択が外生か内生かに依存せずに違いが発生する。

この点を明らかにするため、まず、小国開放経済で人口外生OLGモデルのケースについて考察してみよう。また、議論を単純化するため、世代人口は一定とする。このとき、子育て支援拡充と増税の組み合わせは、割引率をRとして、各世代に概ね以下の生涯純益をもたらす。まず、消費増税のケースでは、若年世代から引退世代の消費が平準化されていることを前提に、子育て期にある若年世代と中年世代にBの子育て支援を追加的に配分するケースを想定している。このとき、若年世代と中年世代の追加的受益は2Bだから、その負担を若年世代から引退世代が均等（B/2）に負担する。他方で、賃金増税のケースでは、若年世代から高年世代が同じ賃金収入であることを前提に、若年世代と中年世代の追加的受益2Bを、それら世代が均等（B/3）に負担する。

子育て支援拡充と増税の組み合わせは、賦課方式の年金を消費税や賃金税を財源として導入したケースの逆の世代間移転になっている。つまり、子育て支援拡充を消費税で賄うケースも賃金税で賄うケースも、導入時の若中年世代および将来世代の生涯純益がプラスになる可能性がある。ただ、引退・高年世代から中年世代以降の世代への移転は、引退世代の生涯純益がマイナスとなる消費税の方が大きい。すなわち、将来世代の生涯純益は消費税の方が高い。
1) 消費増税のケース

導入時	生涯純益
引退世代	-負担B/2	-B/2
高年世代	-負担B/2	-B/2(1+1/R)
中年世代(子育て期)	受益B-負担B/2	B/2[1-(1/R+1/R²)]
若年世代(子育て期)	受益B-負担B/2	B/2[1+1/R-(1/R²+1/R³)]
将来世代(t期後の若年世代)	B/2R(t-1)[1+1/R+1/R²+1/R³]

## 2 ) 賃金増税のケース

導入時	生涯純益
引退世代	不变	不变
高年世代	-負担2B/3	-2B/3
中年世代(子育て期)	受益B-負担2B/3	B/3[1-2/R]
若年世代(子育て期)	受益B-負担2B/3	B/3[1+1/R-2/R²]
将来世代(t期後の若年世代)	B/3R(t-1)[1+1/R-2/R²]

ここで、人口内生にすると、この議論はどう修正されるだろうか。小国開放経済の仮定より、子育て支援拡充や増税による要素価格の変化をとりあえず無視すると、消費税の方が生涯純益による効果は高いから、その分、中年世代以降の生涯賃金（手取り）は上昇する。すると、将来世代の効用は上昇する可能性があるが、子どものコストが各世代の生涯賃金（手取り）の増加関数であると、そうとは限らなくなる。その場合、賃金税を財源とするケースと比較して、将来世代の生涯賃金（手取り）は上昇し子どものコストも増加する。このとき、生涯賃金の上昇によるプラス効果よりも、子どものコスト増加に伴うマイナス効果の方が大きいと、各世代の生涯予算制約における実質的な生涯賃金は減少してしまうケースも考えられる。このようなケースでは、消費税が賃金税よりも望ましいとは限らなくなるだろう。

また、資本課税を財源として子育て支援の拡充を行う方が子どものコスト上昇を抑制できるケースも想定できる。この場合、資本課税の根拠もでてくるが、上記のような小国開放経済の人口内生OLGモデルでは、そのような複雑な分析はできない。さらに、各世代の生涯賃金（手取り）には、賦課方式の年金も大きな影響を及ぼしている。

そこで、次節以降では、Oguro, Takahata and Shimasawa(2009)をベースに、多世代の人口内生OLGモデルを構築して、子育て支援拡充の財源として、消費税、賃金税、資本課税などを想定する場合、それが各世代の効用に与える影響を分析する。
## 3 ．モデルの説明

本節では、次節以降で利用する多世代の人口内生OLGモデルの概説を行う。議論を簡略化する観点から、このモデルに登場する各世代は合理的かつ完全予見的とし、世代内の異質性は考慮しない。また、各世代は20歳で、自らの消費経路および出生数を決定するものとする。他方で、企業は、標準的なCobb-Douglas型の生産関数に従い、自らの利潤を最大化するとともに、要素価格市場は完全競争的であるとする。なお、このモデルは、以下のとおり、1）家計部門、2）企業部門、3）年金部門、4）政府部門、5）市場均衡の5つのプロックから構成される。

## (1) 家計部門

家計部門には、各世代において代表的家計が存在し、各世代の効用関数は同形であると仮定する。また、各世代は一定期間生き、各時点では最も古い世代が死亡し、新しい世代が参入してくる。合理的かつ完全予見の各世代はその生涯予算制約に従い、自らの消費経路と出生数によって定まる効用を最大化する。具体的には、各世代は21歳で労働市場に参入するとともに、21歳から $ M+20 $ 歳で出産・育児を行い、Q-1歳で引退する。そして、Q歳から年金を受け取りはじめ、Z歳で死亡するものとする。さらに、労働供給は非弾力的であり、t年に生まれたt世代の効用関数は、以下のように与えられるものとする。

$$ U_{t}=\alpha\frac{n_{t}^{^{1-\sigma_{1}}}}{1-\sigma_{1}}+(1-\alpha)\sum_{j=1}^{Z-20}\left(\frac{1}{1+\rho}\right)^{j}\frac{c_{t,j}^{^{1-\sigma_{2}}}}{1-\sigma_{2}} $$

ここで、αは出生数と生涯消費の間の選好比率を表すパラメータであり、 $ \sigma_{1} $ は出生数の選好パラメータ、jは生涯のうちの第j期、 $ \rho $ は時間選好率、 $ \sigma_{2} $ は異時点間の消費に関する代替弾力性の逆数である。また、 $ n_{t} $ は出生数、 $ c_{t,j} $ は第j期の消費である。

さらに、t 世代が第 j 期に産む出生数 $ (n_{t,i}) $ は、以下のように与えられるものとする。

$$ n_{t,j}=p_{j}n_{t}(where\ p_{j}>0\quad(if\ 1\leq j\leq M-20)\quad and\ p_{j}=0\quad(if\ j>M-20))\ (2) $$

ここで、 $ p_{i} $ は外生変数であり、t 世代が第 j 期に子どもを産む確率である。

また、技術進歩率を $ \lambda $ として、労働生産性は毎年 $ \lambda $ で伸びていくものとする。そして、年齢別の労働生産性プロファイルは上に凸(hump-shaped)で、第 j 期の賃金プロファイル $ e_{j} $ は、以下のような形をしているものとする。

$$ e_{j}=\varsigma_{0}+\varsigma_{1}j+\varsigma_{2}j^{2}\quad,\quad\zeta_{0},\zeta_{1}\geq0and\zeta_{2}\leq0\quad(3) $$

そして、t 世代の通時的予算制約式は、以下のように与えられるものとする。

$$ \begin{aligned}\sum_{j=1}^{M-20}&(1+t c_{t+j+20})\sum_{g=1}^{20}\frac{\phi_{g}\left(1-\theta_{t+j-1+g+20}\right)n_{t,j}}{\prod_{k=1}^{j-1+g}(1-t r_{t+k+20})R_{t+k+20}}+\sum_{j=1}^{Z-20}\frac{(1+t c_{t+j+20})c_{t,j}}{\prod_{k=1}^{j}(1-t r_{t+k+20})R_{t+k+20}}=N W_{t}\\&\equiv\sum_{j=1}^{Q-21}\frac{(1-t w_{t+j+20}-\tau w_{t+j+20})w_{t+j+20}(1+\lambda)^{t+j+20}e_{j}}{\prod_{k=1}^{j}(1-t r_{t+k+20})R_{t+k+20}}+\sum_{j=Q-20}^{Z-20}\frac{(1-\tau p_{t+j+20})q_{t+j+20}}{\prod_{k=1}^{j}(1-t r_{t+k+20})R_{t+k+20}}\end{aligned} $$

ここで、 $ 1/\prod(1-tr)R $ は t 年のグロス金利 $ R_{t} $ と資本課税 $ tr_{t} $ から導出される現在価値の割引因子、 $ \phi_{g} $ は g 歳の子どもにかかる子育てコスト、 $ \theta_{t} $ は t 年の子育て支援、 $ tc_{t} $ は消費税、 $ tw_{t} $ は賃金税、 $ \tau w_{t} $ は年金保険料、 $ NW_{t} $ は手取りの生涯賃金、 $ w_{t} $ は t 年の賃金率、 $ \tau p_{t} $ は年金課税、
$ q_{i} $ は年金給付である。なお、子どもコストは手取りの生涯賃金に比例し、 $ \phi_{g}=\Phi_{g}NW_{t}/(1+\bar{t}c_{t}) $ と表現できるものとする。ただし、 $ \Phi_{g} $ は定数、 $ \bar{t}c_{t} $ は t 世代が生涯に直面する消費税率の平均である。

以上の設定のもと、各世代は(4)の予算制約に従い、(1)の効用を最大化する。このとき、$\sigma\equiv\sigma_{1}=\sigma_{2}$ のケースにおいて、出生数と消費に関する最適化条件として以下を得る。

$$ c_{t,j}=\left\{\left(1-\alpha\left(\frac{1}{1+\rho}\right)^{j}\right)\middle/\left(\mu\frac{(1+t c_{t+j+20})}{\prod_{k=1}^{j}(1-t r_{t+k+20})R_{t+k+20}}\right)\right\}^{1/\sigma},n_{t}=\left\{\left(\frac{\alpha}{\mu\sum_{j=1}^{M-20}(1+t c_{t+j+20})\sum_{k=1}^{20}\frac{\phi_{g}(1-\theta_{t+j-1+g+20})p_{j}}{\prod_{k=1}^{j-1+g}(1-t r_{t+k+20})R_{t+k+20}}}\right)^{1/\sigma}\right\} $$

$$ ,and\quad\mu^{1/\sigma}=\left[\frac{\alpha^{1/\sigma}}{\left\{\sum_{j=1}^{M-20}(1+t c_{t+j+20})\sum_{g=1}^{20}\frac{\phi_{g}\left(1-\theta_{t+j-1+g+20}\right)p_{j}}{\prod_{k=1}^{j-1+g}\left(1-t r_{t+k+20}\right)R_{t+k+20}}\right\}^{1/\sigma-1}+\sum_{j=1}^{Z-20}\frac{(1-\alpha)^{1/\sigma}\left(\frac{1}{1+\rho}\right)^{j/\sigma}}{\left\{\frac{(1+t c_{t+j+20})}{\prod_{k=1}^{j}(1-t r_{t+k+20})R_{t+k+20}}\right\}^{1/\sigma-1}}\right]\Bigg/N W_{t} $$

もし $ \mu $ が安定的ならば、この(5)は次の2点を示唆する。第1に、通常のライフサイクル・モデルと同様、現在の消費と将来の消費のトレードオフは、金利と時間選好率、それからリスク回避度等によって決定される。第2に、子どもコストが減少または政府による子育て支援が増加すると、出生数は増加するということである。さらに、(5)式は以下の関係式を導く。

$$ C_{t}=\sum_{j=1}^{Z-20}N_{t}c_{t-j-20,j}\quad,\quad N_{t}=\sum_{j=1}^{M-20}N_{t}n_{t-j-20,j}\ (6) $$

ここで、 $ C_{t} $ は t 年の総消費、 $ N_{t} $ は t 世代の人口である。また、貯蓄の経路は以下の式で与えられる。

$$ \begin{aligned}a_{t,j}=&a_{t,j-1}(1-tr_{t+(j-1)+20})R_{t+(j-1)+20}+(1-tw_{t+j+20}-\tau w_{t+j-20})w_{t,j}-(1+tc_{t+j+20})c_{t,j}\\&-(1+tc_{t+j+20})\sum_{g=1}^{j}\phi_{g}(1-\theta_{t+j+20})n_{t,j-g+1},and\ PA_{t}=\sum_{j=1}^{Z-20}N_{t}a_{t-j-20,j}\ (7)\end{aligned} $$

ここで、 $ a_{t,j} $ は t 世代の第 j 期での貯蓄であり、 $ PA_{t} $ は t 年の総民間資本である。

## (2) 企業部門

生産関数は以下の Cobb-Douglas 型とし、企業は、利潤最大化を図る観点から賃金率と金利を所与に、資本と効率的労働力に対する需要を決定するものとする。

$$ Y_{t}=A{K_{t}}^{\varepsilon}{L_{e,t}}^{1-\varepsilon},\quad L_{e,t}\equiv\sum_{j=1}^{Q-20}(1+\lambda)^{t}e_{j}N_{t-j-20}(8) $$

$$ K_{t}=I_{t}+(1-\delta)K_{t-1}\left(9\right) $$

ここで、 $ Y_{t} $ は国内総生産(GDP)、εは資本分配率、Aはスケール・パラメータ、 $ K_{t} $ は資本ストック、 $ L_{e,t} $ は効率的労働力である。さらに、利潤最大化条件から、金利 $ r_{t} $ や、効率労働
1 単位あたりの賃金率 $ w_{t} $ は、以下となる。

$$ R_{t}\equiv1+r_{t}=\varepsilon A K_{t}^{\varepsilon-1}L_{e,t}^{\phantom{e,t}^{1-\varepsilon}}+(1-\delta),\quad w_{t}=(1-\varepsilon)A K_{t}^{\varepsilon}L_{e,t}^{\phantom{e,t}^{-\varepsilon}}(10) $$

ここで、δは資本の減価償却率である。

## (3) 年金部門

年金部門は引退世代に年金を給付する一方、以下のとおり、現役世代から年金保険料を集めるものとする。

$$ P_{t}=\tau w_{t}\times w_{t}L_{e,t}\quad(11) $$

ここで、 $ P_{t} $ は年金保険料の合計である。

また、t 年の年金給付の合計は、以下のとおり、引退世代の人口や所得代替率、それら世代の現役期の平均賃金（$\overline{W}_{t}$）によって決定されるものとする。

$$ B_{t}=\sum_{j=Q-19}^{Z-20}q_{t+j+20}N_{t+j+20}=\sum_{j=Q-19}^{Z-20}\gamma\times\overline{W}_{t+j+20}N_{t+j+20}(12) $$

ここで、 $ \gamma $ は所得代替率、 $ B_{t} $ は年金給付の合計である。

さらに、年金財政は賦課方式とし、その予算制約は以下のように与えられるものとする。

$$ P_{t}=(1-sp)B_{t}\left(13\right) $$

ここで、spは、政府支出（ $ G_{t} $ ）で賄われる年金の国庫負担である。なお、本稿の年金財政モデルでは、所得代替率を外生として、(13)を満たすように年金保険料が決定される。

## (4) 政府部门

政府部門は、4 タイプの課税（消費税、賃金税、年金課税、資本課税）を行う。

$$ T_{t}=t w_{t}\times w_{t}L_{e,t}+t c_{t}\times C_{t}+t c_{t}\times C H_{t}+t r_{t}\times R_{t}\times P A_{t}+t p_{t}\times B_{t}\left(14\right) $$

ここで、 $ CH_{t} $ は t 年の子育てコストの合計である。また、政府部門は、この税収を所与として、政府支出の財源を賄うために公債を発行する。

$$ D_{t}=G_{t}-T_{t}+(1+r_{t})D_{t-1}\quad(15) $$

ここで、 $ G_{t} $ は t 年の政府支出、 $ T_{t} $ は税収、 $ D_{t} $ は公債残高である。

## (5) 市場均衡

最後に、本稿のモデルは閉鎖経済であるから、総民間資本は資本ストックと公債残高の合計に一致する必要がある。このため、資本市場において以下の均衡が成立する。

$$ PA_{t}=K_{t}+D_{t}\left(16\right) $$

$$ 4\ \text{．データ、パラメータおよびシミュレーションシナリオの説明} $$

本節では、まず、データとパラメータについて概説した後、シミュレーションシナリオを説明する。
### 4.1 データとパラメータ

まず、本稿のモデルで利用する主要パラメータと外生変数は、表1のとおりである。家計部門や企業部門のパラメータは、Auerbach and Kotlikoff (1987)や日本における人口外生OLGモデルの先行研究のものを利用している $ ^{3} $ 。なお、パラメータ $ \alpha $ を除き、技術進歩や選好パラメータは一定とする。また、マクロ経済や財政、年金に関する外生変数は、OECD (2007) “Tax Database”やWhitehouse (2007) “Pensions Panorama”のデータを主に利用している。さらに、子どもを産む確率は国連（2007）の年齢別出生率、子どものコストや子育て支援は内閣府政策統括官(2005)「社会全体の子育て費用に関する調査研究」を利用している。

次に、1900 年から 2007 年のパラメータ $ \alpha $ を調整することで、前節のモデルから得られる人口動態を、総務省統計局が提供する年齢別人口（1900 年生から 2007 年生の人口）にフィットさせている。その結果が図 1 であるが、これをみると、現実の人口動態とモデルの人口動態は概ねフィットしていると評価できよう。

その上で、このモデルの基準年である2007年から、十分長い期間で定常状態に到達するよう、500年後までの推計を行っている。なお、表2は、2007年の現実のマクロ変数と、モデルの推計結果との比較であるが、概ね一致していると評価できよう。

### 4.2 シナリオ

次に、本稿のシミュレーションシナリオを説明する。シナリオは全部で9つあるので、順番に説明しよう。まず「シナリオ1」は、子育て支援拡充も、年金給付の削減も何も行わない基準ケースである。次に、「シナリオ2」から「シナリオ5」は、子育て支援拡充シナリオである。具体的には、「シナリオ2」は、消費税を財源に、2015年から子育て支援を2倍にする。同様に、「シナリオ3」は賃金税を財源に、「シナリオ4」は資本課税を財源に、「シナリオ5」は公債を財源に、2015年から子育て支援を2倍にする。

他方で、「シナリオ6」および「シナリオ7」は年金改革シナリオである。具体的には、「シナリオ6」は、2015年から年金保険料の半分を保険料から消費税で賄う方式に転換する。また、「シナリオ7」は、2015年から年金給付の1割を削減する。

最後の「シナリオ 8」と「シナリオ 9」は財政再建シナリオである。具体的には、「シナリオ 8」は、2015年から消費税を15%に引上げる。また、「シナリオ 9」は、2015年から消費税を15%に引上げるとともに、子育て支援を2倍にする。

### 5. シミュレーション結果の考察

本節では、第3節と第4節の設定に基づくシミュレーション結果の考察を行う。まず、シミュレーション結果であるが、それは表3および図2から図6である。表3はマクロ経済の推移、図2は将来世代の人口推移、図3は高齢化率の推移、図4は合計特殊出生率（TFR）の推移、図5は労働者一人あたり公債残高、図6は各世代の効用である。以下、順に考察し
ていく。

## (1) 人口動態とマクロ経済変数の推移

まず、人口動態の推移をみてみよう。図2は、2000年生から2030年生の世代人口の推移である。点線は国立社会保障・人口問題研究所の2006年推計（中位）であるが、これとシナリオ1の推移は概ね一致している。また、子育て支援拡充のシナリオ2からシナリオ5や、財政再建のシナリオ8とシナリオ9は、シナリオ1と比較して、2015年生以降の世代人口は増加している。他方で、年金改革のシナリオ6とシナリオ7の世代人口は減少している。2030年生の世代人口が最も多いのは、シナリオ1との比較で181千人増のシナリオ9（財政再建+子育て支援）である。次いで、160千人増のシナリオ5（公債財源の子育て支援）158千人増のシナリオ3（賃金税財源の子育て支援）149千人増のシナリオ2（消費税財源の子育て支援）146千人増のシナリオ4（資本課税財源の子育て支援）となっている。なお、財政再建のみのシナリオ8は32千人増、シナリオ6（年金保険料の半分を消費税に転換）は19千人減、シナリオ7（年金給付1割削減）は11千人減となっている。

なお、図4は1995年から2030年までの合計特殊出生率（TFR）である。点線はその過去データと国立社会保障・人口問題研究所の2006年推計（中位）であるが、これとシナリオ1の推移は概ね一致している。各シナリオのTFRは図2の推移と連動しており、2030年のTFRが最も高いのはシナリオ9の1.51、次いでシナリオ5の1.48、シナリオ3の1.47などとなっている。

図3は、2010年から2050年までの高齢化率の推移である。点線は国立社会保障・人口問題研究所の2006年推計（中位）であるが、これとシナリオ1の推移は概ね一致している。子育て支援拡充のシナリオ2からシナリオ5は、シナリオ1と比較して、2030年の高齢化率を0.30%ポイントから0.32%ポイントまで引下げる。同様に、シナリオ9は0.43%ポイントまで引下げるものの、その引下げ幅は微小に過ぎない。また、子育て支援拡充のシナリオ2からシナリオ5は、他のシナリオと比較して、2050年の高齢化率を1.4%ポイントから1.9%ポイントまで引下げている。これは、長期的にはともかく、短中期的には、子育て支援によって高齢化率を大幅に引下げることは難しいことを示唆する。

次に、マクロ経済の推移を簡単にみてみよう。本稿のモデルはライフサイクル仮説を採用しているから、貯蓄率は高齢化の影響を強く受ける。実際、マクロ経済変数の推移を表す表3をみると、どのシナリオの貯蓄率も、2007年の5.89％と比較して、一時的に上昇するケースもあるものの2030年には低下（-5.62％から2.42％の幅）していく傾向にある。特に、シナリオ1と比較して、2030年の貯蓄率が上昇しているのは、子育て支援拡充のシナリオ2（消費税財源）とシナリオ4（資本課税財源）・シナリオ5（公債財源）となっている。また、シナリオ1からシナリオ6は2040年に貯蓄率が一時的に上昇するものの、2050年にはどのシナリオも貯蓄率はマイナスとなっている。

なお、要素価格については、どのシナリオも金利（賃金率）で2.27%から4.04%（92.74%）
から 101.89%）の幅での動きであり、安定的な推移となっている。

## (2) 财政变数

一般的に、子育て支援拡充による出生数の増加は、将来の労働力を増加させるので課税ベースを拡大し、将来の財政収支や公債残高（対GDP）を改善させる可能性がある。また、年金給付の1割削減を行う年金改革や、消費税を15%に引上げる財政再建は、将来の財政収支や公債残高（対GDP）を改善させる。

だが、将来の労働力の増加は、資本労働比率（労働者一人あたりが利用できる資本の量）を低下させ、金利を上昇させると同時に、賃金率を抑制する可能性がある。実際、表3をみると、子育て支援拡充のシナリオ2からシナリオ5の2030年の資本労働比率は、シナリオ1と比較して低下し、GDPや労働者一人あたりGDPも低下している。他方で、年金改革や財政再建を行っているシナリオ6からシナリオ9の資本労働比率は上昇し、GDPや労働者一人あたりGDPも上昇している。

以上の関係から、表3と図5をみると、2030年の労働者一人あたり公債残高が、シナリオ1と比較して改善しているのは、子育て支援拡充のシナリオ2（消費税財源）とシナリオ3（賃金税財源）それから、年金改革または財政再建のシナリオ6からシナリオ9である。他方で、2030年の公債残高（対GDP）が、シナリオ1と比較して改善しているのは、年金改革または財政再建のシナリオ6からシナリオ9である。また、子育て支援拡充のシナリオ4（資本課税財源）とシナリオ5（公債財源）の2030年の労働者一人あたり公債残高がシナリオ1と比較して悪化しているのは、シナリオ4は資本課税による金利上昇、シナリオ5は子育て支援拡充のための公債発行のためである。

なお、表3をみると、子育て支援拡充に必要な財源は、シナリオ2(消費税財源)で約1.96%から2.39%、シナリオ3(賃金税財源)で2.41%から2.79%、シナリオ4(資本課税財源)で2.34%から8.63%となっている。

## (3) 効用

最後に、各世代の効用の推移をみてみよう。図6は、1930年生まれ世代の効用を1に基準化した場合のシナリオ1からシナリオ9の各世代の効用である。少子高齢化の進展は、賦課方式の年金の保険料を引上げていく。また、公的債務（対GDP）の上昇は、生産に回る民間資本を抑制し、将来の成長を低めていく。このため、現役世代および将来世代の効用は、1930年生まれ世代と比較して、低い厚生になっている。だが、各シナリオ（シナリオ6を除く）は下に凸の形をしており、シナリオ1からシナリオ5は2025年生まれ世代、シナリオ7は2045年生まれ世代、シナリオ8は2050年生まれ世代、シナリオ9は2005年生まれ世代が最も低い効用になっている。なお、子育て支援拡充のシナリオ2からシナリオ5で、1955年生まれ世代から1985年生まれ世代の効用が最も低くなっているのは、シナリオ2（消費税財源）である。これは、第2節の簡易分析でも説明したように、消費税による子育て支援拡充は、古い世代から若い世代への世代間移転の効果をもつためと考えられる。
他方で、2050年生まれ世代の効用が最も高いのは、シナリオ5（公債財源の子育て支援）となっている。次いで、シナリオ4（資本課税財源の子育て支援）シナリオ2（消費税財源の子育て支援）シナリオ3（賃金税課税の子育て支援）となっている。そして、シナリオ6（年金保険料の半分を消費税に転換）シナリオ1（現状維持）シナリオ9（財政再建+子育て支援）シナリオ8（財政再建のみ）シナリオ7（年金給付1割削減）が続く。

このため、将来世代の効用を重視する場合には、シナリオ5（公債財源の子育て支援）が最も望ましいように見えるが、その解釈には注意が必要だろう。表3をみても分かるように、財政再建を行わないシナリオ1からシナリオ7の2030年における公債残高（対GDP）は、300%を超えている。したがって、財政の持続可能性を高める観点から、財政再建は不可避の可能性が高い。特に、シナリオ2からシナリオ4の2030年の公債残高（対GDP）は約348%から355%であるにもかかわらず、シナリオ5は約377%と突出している（2050年も同様）。このようなケースでは、子育て支援拡充の財源として公債を利用するのは妥当でなく、シナリオ4（資本課税財源の子育て支援）が望ましくなる。

## 6 ．まとめと今後の課題

以上のとおり、本稿では、多世代の人口内生OLGモデルを構築し、子育て支援の拡充や年金給付の削減等が、現役世代および将来世代の効用に及ぼす影響を分析した。その結果、明らかになったことは、以下のとおりである。

まず、子育て支援拡充である。財政の持続可能性を考慮しない場合、将来世代の効用を最も改善するのは、公債を財源とする子育て支援拡充である。他方で、財政の持続可能性を考慮する場合は、資本課税による子育て支援拡充が最も望ましく、次いで、消費税、賃金税の順となる。

また、財政再建が既定路線のケースである。この場合、財政再建のみを行うよりも、子育て支援拡充とセットで財政再建を行う方が、将来世代の効用を改善させる。

なお、年金改革としては、年金給付の削減よりも、年金保険料の一部を消費税で賄う方式に転換する方が、将来世代の効用を改善させる。

最後に、筆者らの考える今後の課題についても述べておきたい。

第1は、人口内生OLGモデルでの最適課税である。本稿では主に、子育て支援拡充の財源として、消費税、賃金税、資本課税を想定した場合において、それらが現役世代や将来世代の効用に及ぼす影響について分析を行った。だが、これは子育て支援拡充の財源のみに注目した分析に過ぎず、子育て支援や年金以外の教育や医療も含む既存の政府の支出構造を前提とした場合、どのような税構造で課税を行うのが最適なのか、という問題までの分析は行えていない。これは今後の大きな課題である。

第 2 は、世代内の異質性の取扱いである。本稿のモデルでは、分析を簡略化するため、世代内の異質性は考慮していない。異質性を考慮すると、将来の人口動態推移をはじめとして、子育て支援拡充がマクロ経済に及ぼす効果も変化してくる可能性も否定できない。これ
も今後の大きな課題である。

第 3 は、労働供給の内生化である。本稿のモデルでは、分析を簡略化するため、労働供給は非弾力的とし、各世代は出産・育児と就労の時間選択は行わない形に設定している。しかし、現実の経済では、この出産・育児と就労の時間選択は極めて重要なテーマであり、この点もモデルに取り込みつつ、研究を深めていく必要がある。

また、現実の政策との関係では、1）子育て支援の財源を年金削減で調達するケースや、2）賦課方式の年金がもつ外部性を内部化する観点から、子供が多いほど年金保険料を引き下げる、年金給付を引き上げるケース、3）子どもを消費財でなく、投資財として扱うケースなどの政策効果についても分析を深めていく必要があろう。

なお以上のほか、本稿のモデルを、閉鎖経済から開放経済に拡張していく試みや、不確実性を取り込んでいく試みなども重要であり、今後の発展と研究の深化が期待される。
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表1 モデルのパラメータ

パラメータ	値
効用関数
時間選好率	ρ	0.01
異時点間消費の代替弾力性	1/σ	2.0
出生数と生涯消費の間の選好比率	α	0.84*
生産関数
技術進歩率	λ	0.002
資本分配率	ε	0.3
資本の減価償却率	δ	0.05
課税政策パラメータ
賃金税	tw	20.0%
資本課税	tr	20.0%
消費税	tc	5.0%
年金課税	tp	10.0%
年金政策パラメータ
年金の国庫負担	sp	25.0%
所得代替率	γ	50.0%
その他パラメータ
子どもコスト(対・手取り生涯賃金)	Φg	0 to 5	0.78%
g=	6 to 10	0.46%
11 to 15	0.55%
16 to 20	0.58%
出産確率	p j j=	1 to 5	3.0%
6 to 10	7.4%
11 to 15	7.0%
16 to 20	2.6%
子育て支援	θ	0.1
出産限界年齢	M	40
引退年齢	Q	65
平均寿命	Z	85

$ ^{*} $ このパラメータは、2007年以降は一定とする。
表２ 基準シナリオの2007年

OFFICIAL	MODEL
国民所得(%) 对 GDP)
民间消费	74.1%	82.3%
政府消费·政府支出	21.0%	24.2%
储蓄率	3.1%	5.9%
政府部门
年金保险料	14.9%	14.9%
公的債務(%) 对 GDP)	170.6%	172.2%
基础的财政收支(%) 对 GDP)	-2.4%	-4.3%
税收(%) 对 GDP)	18.4%	19.8%
その他 s
民间资本 (对 GDP)	2.9	4.4
金利	1.7%	2.6%

(出所) Official values are derived from OECD Economic Outlook No. 84, 2008 and “Annual Report on National Accounts,” the Japanese SNA statistics (Cabinet Office).