Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
4節で考察する。)

さて、おそらく BN 分離法が注目される理由の一つは、この BN モデルの多変量モデルへの応用が共和分モデル (Stock and Watson, 1987) であるからであろう。共和分モデルも、当然、上の 2 つの仮定に基づいており、この意味でマクロ経済変数を共和分モデルで推定した結果は、「平均経済成長率 $ \mu_{t} $ は長期において一定であり構造変化は起こさない」という強い制約から導出されたものであることは留意すべきである。(あるいは、トレンドのショックの分散は景気循環のショックの分散に比して極めて大きいと想定している。) $ ^{2} $

本節を締めくくるにあたり、UC-UR モデルの推定結果 (Morley, Nelson and Zivot, 2003) について触れておく。アメリカの実質 GDP で、UC-UR モデルを推定したところ、サイクルとトレンドの相関係数は高い負の値となり、景気循環は、BN 法と同じ形状をもつ振幅が小さく周期が短いサイクルとなった。Murasawa (2007) によるとアメリカにおける GDP、失業率、物価等の多変量 BN モデルでも、振幅が小さく、周期が短いサイクルが抽出されるとのことである。また、多変量 BN モデルによる日本の分析も同様の結論が得られる。(村澤, 2007)

### 2.2 ハイブリッド的手法

ハイブリッド的手法として、以下の2つを先のCanova(2007)はあげている。

(i) Hodrick Prescott Filter (1997) （これについては、3.2 節で扱う。）

(ii) Band Pass Filter これは以下の (a) Baxter King (1998) と (b) Christiano Fitzgerald (2003) がある。

(a) Baxter King (1998) の手法は、トレンドを定常性と仮定している。両側フィルター(両側の移動平均)を利用してサイクルを抽出している。しかしながら、トレンドが(UC モデルのような)非定常な場合は、みせかけの周期(Spurious Periodicity)が発生することが、Murray(2003)によって指摘されている。

(b) Christiano Fitzgerald (2003) の手法は、上の手法の問題を克服するためにトレンドを非定常性に拡張し、さらに片側フィルターでも推定できるように改良した手法である。³
### 2.3 経済学的手法

経済理論に基づいてサイクルとトレンドに分離する手法である。ここでは代表的な4つのモデルをあげておく。

## (i) Blanchard and Quah Decomposition (1989)

これは、構造化 VAR モデルを利用して識別された独立した 2 つの供給ショックと需要ショックから実質 GDP をサイクルとトレンドを分離する方法である。ここで、供給ショックは実質 GDP に対して長期的な影響力をもち、需要ショックは実質 GDP に対して長期的な累積効果は 0 であると制約している。この構造化 VAR モデルで推定した需要ショックから形成された需要変動分を景気循環因子とする。

## (ii) King, Plosser, Stock and Watson Decomposition (1991)

リアルビジネスサイクル (RBC) 理論に基づき、長期の共通ショック (common shock) は技術革新ショックとみなして、共和分モデルのアプローチを利用して（一人あたりの）GDP, 消費、投資の3系列の平均成長率の長期制約を、「1:1:1」とおいてトレンド（経済成長率）とサイクルに分離した。先に述べたように、共和分モデルは多変量版の Beveridge-Nelson (BN) Decomposition であるので、トレンドのドリフト項 $ \bar{\mu} $ (長期における平均成長率) は一定であると仮定しているのが特徴である。

## (iii) New-Keynesian Phillips curve を入れた分離法

## (a) Basistha and Nelson (2007, JME)

BN 分離法でも、このモデルに New-Keynesian Pillips curve をいれることで UN モデルのように、景気循環の振幅は大きく、周期が長いサイクルが取り出せるという報告をしている。このモデルについては補論 A.1 で説明する。

## (b) Domenech and Gomez (2006, JBES)

GDP と失業率、インフレ率の 3 つのマクロ経済変数についてこれらの自然率をカルマンフィルターから推定している。

## (iv) DGE モデルによる Decomposition (Smets and Wouters, 2007, AER, Yano, 2008)

動学一般均衡 (DGE) モデルである New Keynesian Model から、消費と投資の循環成分を分離して推定した。通常の DGE モデルでは、循環成分をマクロ経済のデータとして DGE モデルの構造パラメータを推計するが、これらのモデルはマクロ経済の原データ
を利用して、構造パラメータの推定と同時に景気循環(サイクル)成分とトレンド成分の推計も行おうという野心的なものである。Smets and Wouters (2007)では、消費、投資、輸出や政府支出等の外生的支出のトレンド成分はGDP比を一定と仮定した。しかしながら、これらのモデルはトレンドの構造変化ということは考慮していないようである。

将来的には経済学的手法による分離は大変に有望であると期待されるが、いくつかの克服すべき課題があるものと思われる。

(1) DGE モデルから識別された経済学的ショック (実物ショックや金融ショック等) から、どのように景気循環 (サイクル) とトレンドのショックとしてモデル化するのか。

たとえば、技術ショックは長期の経済成長と短期の景気循環の両方に影響を与えると想定されるが、これをどのようにマクロ経済モデルに組み込むのか。

(2) トレンドの構造変化を付加しないと、日本におけるマクロ経済時系列は正しくトレンドとサイクルは分離できない。どのように構造変化をモデル化するか。 $ ^{4} $

## 3 本研究の基本モデル

### 3.1 基本モデル

2.1 節で見たように UCO モデルでは $ \mu $ が固定していて日本の実質 GDP へ適用できなかった。そこで次にトレンドのドリフト項 $ \mu_{t} $ が時間的に変化するモデルを考察しよう。本稿では Perron and Wada (2009) に基づき、2 節でみた UC モデルについて確率トレンド $ \tau_{t} $ のドリフト項 $ \mu_{t} $ (平均成長率) を定数からランダムウォーク型の確率変数に変更したもの (以下の式 (3.1) 〜ら (3.5) のモデル) を基本モデルとする。この UC モデルのトレンド $ \tau_{t} $ は $ I(2) $ となる。この基本モデルを UR-RW (Random Walk) と呼ぶことにする。この UC-RW モデルの特徴は、2 節の UC-UR モデルの欠点を補完するために平均経済成長率 $ \mu_{t} $ を式 (3.3) のように時間的に可変にし、「ゆるやかな構造変化」の可能性を許した点である。また、この拡張により 3.2 節で見るように、UC モデルの観点から HP フィルタの評価も可能になった。

$$ y_{t}=\tau_{t}+c_{t} $$
$$ \tau_{t}=\mu_{t}+\tau_{t-1}+\eta_{t} $$

$$ \mu_{t}=\mu_{t-1}+\nu_{t}, $$

$$ c_{t}=\phi_{1}c_{t-1}+\phi_{2}c_{t-2}+\varepsilon_{t}, $$

$$ \left[\begin{array}{c}{{{\eta_{t}}}} \\{{{\varepsilon_{t}}}} \\{{{\nu_{t}}}}\end{array}\right]\sim i.i.d.\mathbf{N}\left(\left[\begin{array}{c}{{{0}}} \\{{{0}}} \\{{{0}}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c c c}{{{\sigma_{\eta}^{2}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\sigma_{\varepsilon}^{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\sigma_{\nu}^{2}}}}\end{array}\right]\right) $$

ここで、2節のUCモデルと同じように $ \tau_{t} $ はトレンド成分であり、 $ c_{t} $ は循環成分である。新たに式(3.3)のトレンドのドリフト項 $ \mu_{t} $ の式が追加されている。また、式(3.5)のように、3つのショックはそれぞれ独立で均一 (iid) な正規分布である。

このモデルから日本の実質 GDP と完全失業率を推定した。推定結果は図6、図7、図8および表3に記してある。図6では、ドリフト項のショックの分散の事前分布を $ \sigma_{\nu} \sim U(0.001) $ と小さく設定した推定結果であり、図7では、この事前分布を $ \sigma_{\nu} \sim U(0.01) $ と大きく設定した推定結果である。まず前者の推定結果であるが、図6(a)と(b)にはGDPのトレンドとサイクルの推定値が描いてあり、図6(c)は平均成長率 $ \mu_{t} $ の推定値である。図6(b)を見ると、推定したサイクル $ \hat{c}_{t} $ の山谷と政府が公表している景気転換点と一致しているのがわかる。また、図6(c)には、1節で推定した3つの構造変換点を既知としたUCモデルの平均成長率 $ \mu_{t} $ もベンチマークとして描いている。この図6(c)から平均成長率は徐々に下落傾向にあることがわかるが、ベンチマークのように階段状かどうかは、このモデルの推定結果では判断は難しい。次に、後者の推定結果であるが、図7をみるとトレンドはGDPの原系列に張り付いているようであり、このサイクル成分 $ c_{t} $ の周期は政府公表の景気転換点よりずっと短いものであり、振幅も小さい。図6と図7の結果からわかるように、サイクル成分を抽出するためには事前情報としてドリフト項のショックの分散の大きさを知る必要がありそうである。

また、図8には完全失業率のトレンド(自然失業率)、循環成分、トレンド(自然失業率)の平均変化率を描いている。ここでは、図6と同様にドリフト項のショックの分散の事前分布を小さく設定した。(σν∼U(0.06))

[図6—図8]

[ 表 3 ]
### 3.2 Hodrick-Prescott (1997) フィルタの問題点

ここでは3.1節のUC-RWモデルを利用して、サイクルとトレンドの代表的分離法であるHPフィルタの問題点について先行研究の報告を整理する。 $ ^{5} $ Harvey and Jeager (1993)は、マクロ経済変数が以下のようなUCモデル(式(3.6)～(3.8))であった場合にHPフィルタを利用するとどのようなことが生じるか分析している。

$$ y_{t}=\tau_{t}+c_{t}, $$

$$ \tau_{t}=\mu_{t}+\tau_{t-1}+\eta_{t},\ \eta_{t}\sim N(0,\sigma_{\eta}^{2}) $$

$$ \mu_{t}=\mu_{t-1}+\nu_{t},\ \nu_{t}\sim N(0,\sigma_{\nu}^{2}) $$

このモデルは3.1節のUCモデルから式(3.4)のサイクル成分$c_{t}$の動学モデルを除いたものである。また、このモデルにおいて、トレンドを除去した循環因子の推定値$\hat{c}_{t}$は、次式であらわされる。

$$ \hat{c}_{t}=\left[\frac{(1-L)^{2}(1-L^{-1})^{2}}{q_{\nu}+(1-L)^{2}(1-L^{-1})^{2}}\right]y_{t} $$

ここで、 $ q_{\nu} $ は、信号-ノイズ比 $ (q_{\nu} = \sigma_{\nu}^{2}/\sigma_{c}^{2}) $ である。また $ \sigma_{c}^{2} $ は循環因子の分散である。すなわち、このモデルでは、トレンドのドリフト項のショックの分散 $ \sigma_{\nu}^{2} $ を信号、循環因子の分散 $ \sigma_{c}^{2} $ をノイズとしている。

この UC モデルに対して、HP フィルタを適用すると次のようになる。

$$ \begin{aligned}&\min_{\tau_{t}}\left\{\sum_{t=1}^{T}(\underbrace{y_{t}-\tau_{t}}_{c_{t}})^{2}+\lambda\sum_{t=1}^{T}\left((\underbrace{\tau_{t+1}-\tau_{t}}_{\mu_{t+1}})-(\underbrace{\tau_{t}+\tau_{t-1}}_{\mu_{t}})\right)^{2}\right\}\\=\quad&\min_{\tau_{t}}\sigma_{c}^{2}\left\{\begin{array}{c}\displaystyle\sum_{t=1}^{T}\frac{(y_{t}-\tau_{t})^{2}}{\sigma_{c}^{2}}+\frac{1}{\sigma_{\nu}^{2}}\sum_{t=1}^{T}\left(\tau_{t+1}-2\tau_{t}+\tau_{t-1}\right)^{2}\end{array}\right\}\end{aligned} $$

ここで、第1式はHPフィルタの定義であり、この式が意味しているのは、第1項の循環因子 $ c_{t} $ の2乗和とトレンドのドリフト項 $ \mu_{t} $ (平均成長率)の第一階差 $ (=\Delta\mu_{t+1}) $ の2乗和をスムージングパラメータ $ \lambda $ でウェイト付けした値の和が最小になるトレンド $ \tau_{t} $ がHPフィルタであるということである。

今、このスムージングパラメータ $ \lambda $ を信号-ノイズ比 $ q_{\nu} $ の逆数で置き換えて、 $ \lambda = \sigma_{c}^{2} / \sigma_{\nu}^{2} = 1 / q_{\nu} $ とすると第2式のように書き換えられて、第1項は循環因子の、第2項はドリフト項のそれぞれ標準化した値を表すことになる。すなわち、HPフィルタは循環成分とトレンドのドリフト項(平均成長率)の標準化した値の和を最小にするようなトレンドを推定していることになる。また、スムージングパラメータ $ \lambda $ の値を大きくとる
いうことは、循環成分の分散 $ \sigma_{c}^{2} $ をドリフト項 $ \mu_{t} $ の分散 $ \sigma_{\nu}^{2} $ に比して大きく設定することを意味する。

マクロ経済変数が上記の UC モデルであると仮定したならば、HP フィルタの問題点は以下の 2 点があげられる。

(1) トレンドが (UC-RW モデルのような) 非定常な場合は、みせかけの周期 (Spurious Periodicity) が発生する。(Harvey and Jeager, 1993)

(2) スムージングパラメータ $ \lambda $ は一般に固定した値 (たとえば四半期ならば $ \lambda = 1600 $ ) が利用されるが、各国によって、各系列によって、または推定期間によって、信号-ノイズ比 $ q_{\nu} = \sigma_{\nu}^{2} / \sigma_{c}^{2} $ は異なるであろう予想されるので、その比に応じた適切なスムージングパラメータを決めなければならない。 $ ^{67} $

$$ \Delta y_{t}=\mu_{t}+u_{t}, $$

$$ \mu_{t}=\mu_{t-1}+\nu_{t},\ \nu_{t}\sim N(0,\sigma_{\nu}^{2}), $$

$$ u_{t}=\Delta c_{t}+\eta_{t}, $$
## 4 構造変化 (Break) をもつUCモデル

### 4.1 混合正規分布モデル (Gaussian Mixture Model)

Perron and Wada (2009) は先の 3 節で見た基本モデルのトレンドのドリフト項 $ \mu_{t} $ と循環因子 $ c_{t} $ のショック $ \nu_{t}, \varepsilon_{t} $ の分散を混合正規分布 (mixture normal distribution) に拡張することで、「急激な構造変化」(structural breaks) も捕捉できる UC-RW モデルを提案した。この混合正規分布は図 1 のように正規分布と比較してはるかに広い裾 (Fat-Tail) をもつように設定されている。このモデルを UC-GM (Gaussian Mixture) モデルと本稿では呼ぶこととし、以下の式 (4.1) 〜式 (4.8) で表現される。(UC-GM モデルは 3 節の UC-RW モデルの式 (3.5) を式 (4.5) 〜式 (4.8) に差し替えたモデルである。)

$$ y_{t}=\tau_{t}+c_{t}, $$

$$ \tau_{t}=\mu_{t}+\tau_{t-1}+\eta_{t}, $$

$$ \mu_{t}=\mu_{t-1}+\nu_{t}, $$

$$ c_{t}=\phi_{1}\;c_{t-1}+\phi_{2}\;c_{t-2}+\varepsilon_{t}, $$

$$ \nu_{t}=\left(1-\alpha_{t}\right)\nu_{1}+\alpha_{t}\nu_{2},\quad\nu_{i}\sim N(0,\sigma_{\nu i}^{2}),\quad i=1,2,\quad\sigma_{\nu1}<\sigma_{\nu2} $$

$$ \varepsilon_{t}=\left(1-\gamma_{t}\right)\varepsilon_{1}+\gamma_{t}\varepsilon_{2},\quad\varepsilon_{i}\sim N(0,\sigma_{\varepsilon i}^{2}),\quad i=1,2,\quad\sigma_{\varepsilon1}<\sigma_{\varepsilon2} $$

$$ \alpha_{t}\sim B e r n(p_{\alpha}) $$

$$ \gamma_{t}\sim B e r n(p_{\gamma}) $$

ここで、式(4.5)と式(4.6)は2つのショックの混合正規分布をあらわしている。式(4.7)および式(4.8)が示すように係数$\alpha_{t}$と$\gamma_{t}$はそれぞれベルヌーイ分布から発生する確率変数であり、0または1の値をもつ。

この UC-GM モデルを使って、日本の実質 GDP と完全失業率を推定したものが、図9から図12および表4である。なお、本稿はトレンドの構造変化に注視したので、式(4.6)と(4.8)を採用せず $ \varepsilon \sim N(0, \sigma_{\varepsilon}^{2}) $ として推定をおこなった。図9は、式(4.5)の混合正規分布の分散比を $ \sigma_{\nu_{2}}^{2} / \sigma_{\nu_{1}}^{2} = 1000 $ とおき、係数 $ \alpha_{t} = 1 $ になる確率を $ p_{\alpha} = 0.01 $ と設定して、実質 GDP を推定したものである。図9(a)と(b)はトレンドと景気循環が描いてあり、図9(c), (d)には各期の $ \alpha_{t} $ の事後平均 ( $ \alpha_{t} $ は0か1であるが、ベイズ推定によりサンプリングした値の平均)と推定した $ \mu_{t} $ が、UC-RW モデルの $ \mu_{t} $ とあわせて描いて
ある。図10は図9と同様であるが、分散比を$\sigma_{\nu2}^{2}/\sigma_{\nu1}^{2}=10$ とおき、係数$\alpha_{t}=1$ になる確率を$p_{\alpha}=0.1$ と設定している。図11も同様であるが、これは$\nu_{1}$ の標準偏差$\sigma_{\nu1}$ を0.0001と設定したものである。図9(c)と図10(c)からわかるように、UC-GMモデルのGDPの平均成長率$\mu_{t}$ は分散比$\sigma_{\nu2}^{2}/\sigma_{\nu1}^{2}$ を大きく変更しても形状は変化せず、UC-RW モデルの$\mu_{t}$ の形状や図2(c)でみられるようなUC-Dummyモデルの階段状の$\mu$ と比較しても滑らかである。しかし、この混合正規分布の分散比を特定せずに片方の分散の値のみ特定して推定すると図11(c)のような$\mu_{t}$ が推定され、このUC-GMモデルの景気循環も図11(b)のような周期が短く振幅が小さいものとなってしまうことがわかる。図12は完全失業率を対象に分散比を$\sigma_{\nu2}^{2}/\sigma_{\nu1}^{2}=1000$ とおき、係数$\alpha_{t}=1$ になる確率を$p_{\alpha}=0.01$ と設定して推定したものである。

## [図9 — 図12]

## [ 表 4 ]

この UC-GM モデルの特徴と問題点は、以下のように整理することができる。

## Perron and Wada (2009) の特徴

(1) UC モデルを混合正規分布に拡張することで、たとえ時期が不明確で複数の構造変化をもっていても、マクロ経済変数のトレンドとサイクルをとりだせる。(ただし、これらのショックの分散( $ \sigma_{\eta}^{2}, \sigma_{\nu}^{2}, \sigma_{\epsilon}^{2} $ の大きさを制約する必要がある。)

(2) この UC-GW モデルの推定結果は Watson(1986) や Clark(1987) の UC0 モデル (トレンドとサイクルの 2 つのショックは無相関) に近い結果となった。すなわち、振幅が大きく周期が長い景気循環が抽出できる。(ただし、ここでいう UC0 モデルは、トレンドの構造変化が既知であり、UC0 モデルにダミー変数を取り込んだ UC-Dummy モデルの場合をさす。)

## Perron and Wada (2009) の問題点

(1) このモデルは混合正規分布を利用するので、構造変化点の時期と数を特定するのは不向きである

(2) 混合している2つの正規分布の大きさ(分散の比率 $ \sigma_{\nu_{2}}^{2}/\sigma_{\nu_{1}}^{2} $ ) の特定化(分布の形状の特定化)が難しい。なぜならば、リーマンショックや石油危機などの稀にしか生じないショックの確率分布の推定を如何にするのかが課題である。
### 4.2 レジームスイッチ型ドリフト項モデル (Regime Switching Stochastic Trend Model)

もし構造変化がゆるやかなものではなく、石油ショックやリーマンションック等のような外生的なショックにより、ある特定の時点で急激に引き起こされたものであるならば、UC-RWモデルやUC-GMモデルでは前節で述べたようにPerron and Wada (2009)の問題点(1)と(2)を克服できないと思われる。ここで提案するトレンドモデルは、トレンドのドリフト項$\mu_{t}$を階段状に離散的にレジーム(局面)スイッチするので、複数の構造変化点とその数を特定化するのに優れたモデルであると思われる。したがって、先にみたUC-GMモデルのようにトレンドのショックの確率分布の形状を特定化する必要がない。(しかし、本節のモデルは、予め構造変化の数に応じたモデルの設定が必要となる。)このレジームスイッチ型トレンドモデルとして、以下のマルコフスイッチ型トレンドモデルと平滑推移(smooting transition)型トレンドモデルの2つのモデルを導入し推定する。

## (1) マルコフスイッチ型トレンドモデル (UC-MS model)

本モデルは Iiboshi and Wakita (2004) で提案され、式 (4.9) から式 (4.14) のように構成される。

$$ y_{t}=\tau_{t}+c_{t}, $$

$$ \tau_{t}=\mu_{t}+\tau_{t-1}+\eta_{t}, $$

$$ \mu_{t}=\sum_{i=1}^{N}\mu_{i}I(S_{t}=i), $$

$$ c_{t}=\phi_{1}c_{t-1}+\phi_{2}c_{t-2}+\varepsilon_{t}, $$

$$ \left[\begin{array}{c}{{{\eta_{t}}}} \\{{{\varepsilon_{t}}}}\end{array}\right]\sim i.i.d.\mathbf{N}\left(\left[\begin{array}{c}{{{0}}} \\{{{0}}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c c}{{{\sigma_{\eta}^{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\sigma_{\epsilon}^{2}}}}\end{array}\right]\right) $$

$$ \Pr(S_{t}=i\mid S_{t-1}=i)=p_{i},\quad i=1,\cdots N $$

ここで式(4.11)と式(4.14)が、新たに差し替えられた部分である。式(4.11)の $ I(S_{t}=i) $ はindicator functionで $ S_{t}=i $ の時に1、それ以外は0をとる関数である。またNは状態の数をあらわしており、構造変化数はN-1である。式(4.14)は、状態 $ S_{t} $ がマルコフ性を有しており、 $ p_{i} $ は状態iが次の期にも変わらずに維持される遷移確率を示している。ドリフト項 $ \mu_{t} $ はUC-RWモデルやUC-GMモデルのような連続的確率変数ではな
く、式(4.11)で表される離散的確率変数であり、状態 $ S_{t} $ が状態 $ S_{t}=1 $ から状態 $ S_{t}=N\wedge1 $ つずつ移動するごとに、 $ \mu_{t} $ の値は $ \mu_{1},\cdots,\mu_{N} $ に切り替わる。このモデルをUC-MS (Markov Switching) モデルと呼ぶことにする。

本研究では、式(4.14)のレジーム(状態 $ S_{t} $ ) の遷移確率を以下のように 2 つの場合を想定して日本の実質 GDP を推定する。

(1) レジーム数 2 (可逆型) の場合

$$ \left[\begin{array}{c}I(S_{t}=1)\\ I(S_{t}=2)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c}p&1-p\\ 1-q&q\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I(S_{t-1}=1)\\ I(S_{t-1}=2)\end{array}\right] $$

(2) レジーム数 3 (不可逆型、2 つの構造変化、 $ S_{1} \rightarrow S_{2} \rightarrow S_{3} $ ) の場合

$$ \left[\begin{array}{l}{{{I(S_{t}=1)}}} \\{{{I(S_{t}=2)}}} \\{{{I(S_{t}=3)}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c}{{{p}}}&{{{1-p}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{q}}}&{{{1-q}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{1}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{{{I(S_{t-1}=1)}}} \\{{{I(S_{t-1}=2)}}} \\{{{I(S_{t-1}=3}}}\end{array}\right] $$

図13、図14、表5と表6は、日本の実質GDPを3つの種類の遷移確率行列から推定した結果である。図13と表5は、レジーム数2の可逆型の遷移確率行列(4.15)から推定したトレンドと景気循環であり、図14と表6は、レジーム数3の不可逆型の遷移確率行列(4.16)の推定結果である。これらの結果から、レジーム数2の可逆型モデルでは明確な構造変化の時期を特定するのは難しいが、レジーム数3の不可逆型モデルでは2つの構造変化の時期が特定できているように思える。図14(c)の\hat{\mu}_{t}はUC-Dummyモデルのものと非常に近い値であるのがわかる。このUC-MS-R3モデルによると第1の構造変化は70Q1から73Q4の間に生じており、第2の構造変化は91年Q1から97年Q2までの幅広い期間で生じている。 $ ^{8} $ したがって、本稿1節で触れたUC-Dummyモデルの3つの構造変化の時期(73Q4,91Q1,97Q2)は全く見当違いのものではないことの裏づけとなるであろう。

また、図15と表6(b)には、レジーム数3の不可逆型の遷移確率行列(4.16)で推定した完全失業率の推定結果がある。図15(c)を見ると、失業率におけるトレンドの構造変化は、第1次石油危機前の70-71年とバブル崩壊後の92年の時期に2回ほど発生したように見える。
## [図13 — 図15]

## [ 表 5 — 表 6 ]

## (2) 平滑推移型トレンドモデル (UC-ST model)

平滑推移 (smooth transition) 型のレジームスイッチモデルは Terasvirta (1994) により提案された。本節では、3つのレジームをもつ平滑推移型トレンドモデルを使って日本の GDP と失業率を推定しよう。このモデルは以下の式 (4.17)～(4.23) に示される。このモデルを UC-ST モデルと呼ぶことにする。

$$ y_{t}=\tau_{t}+c_{t}, $$

$$ \tau_{t}=\mu_{t}+\tau_{t-1}+\eta_{t}, $$

$$ \mu_{t}=\mu_{0}+\mu_{1}G_{1}(t,\gamma_{1},c_{1})+\mu_{2}G_{2}(t,\gamma_{2},c_{2}), $$

$$ c_{t}=\phi_{1}c_{t-1}+\phi_{2}c_{t-2}+\varepsilon_{t}, $$

$$ \left[\begin{array}{c}{{{\eta_{t}}}} \\{{{\varepsilon_{t}}}}\end{array}\right]\sim i.i.d.\mathbf{N}\left(\left[\begin{array}{c}{{{0}}} \\{{{0}}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c c}{{{\sigma_{\eta}^{2}}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\sigma_{\epsilon}^{2}}}}\end{array}\right]\right) $$

$$ G_{1}=\frac{1}{1+\exp[-\gamma_{1}\left(t/T-c_{1}\right)]},\quad t=1\cdots T, $$

$$ G_{2}=\frac{1}{1+\exp[-\gamma_{2}\left(t/T-\left(c_{1}+c_{2}\right)\right)]},\quad t=1\cdots T, $$

このモデルで、平均成長率 $ \mu_{t} $ は式(4.19)で定義されているが、この値が $ \mu_{0} $ から $ \mu_{1} $ に、次に $ \mu_{2} $ へと離散的に推移する過程は、関数 $ G_{1}(\cdot) $ および $ G_{2}(\cdot) $ により規定される。これらの関数 $ G_{i} $ の閾値は $ 0 \leq G_{i} \leq 1 $ であり、式(4.22)や(4.23)のようにロジスティック型の推移関数が利用される。このロジスティック型の推移関数 $ G_{1} $ が、まず 0 から 1 へ推移し、その後に $ G_{2} $ が 0 から 1 へ推移することにより、平均成長率 $ \mu_{t} $ の 3 段階のレジームスイッチを表現できる。（4 段階以降のレジームスイッチモデルを設定する場合は、これと同様に関数 $ G_{3} \cdots G_{n} $ を追加していけばよい。）関数 $ G_{i}(\cdot) $ の係数 $ c_{1} $ や $ (c_{1} + c_{2}) $ は、スイッチする時点 (の中心値) をあらわす。 $ t/T $ が $ c_{1} $ や $ (c_{1} + c_{2}) $ と等しくなった時点で $ G_{i} $ は 0 から 1 へ推移する。 $ \gamma_{i} $ はこの推移にかかる期間を表す係数であり、 $ \gamma_{i} $ の値が大きいほど短期間で推移する。この平滑推移型モデルとマルコフスイッチモデルの大きな違いは後者はレジーム間が可逆的であるのに対し前者は不可逆的である点である。
付加逆的である構造変化がどのくらいの期間をかけて新しいレジームへ移行するのか、後者のモデルと違い、このモデルは推定できるのである。

このモデル推定結果が図16と図17および表7である。

図 16 は実質 GDP（SNA68）の推定結果であるが、パネル(c)を見ると UC-ST モデルの推定した平均成長率 $ \mu_{t} $ が UC-Dummy モデルのそれと非常に近いことがわかる。この図から 72 年から 73 年までの期間で最初のレジームスイッチが生じ $ (\gamma_{1}=615) $ 、次のレジームスイッチはバブル崩壊の年の 91 年から 97 年までの 6 年間にわたる長期のレジームスイッチであったことがうかがえる $ (\gamma_{2}=469)^{9} $ 。図 17 は完全失業率の推定結果である。このパネル(c)から UC-ST モデルの推定結果は、自然失業率のはじめのレジームスイッチは 1962 年から 1967 年の間におこり $ (\gamma_{1}=484) $ 、2 つ目のレジームスイッチは 92 年から 97 年にかけて長期に起きている $ (\gamma_{2}=502) $ 。失業率の結果については GDP と違って、UC-Dummy モデルや UC-MS モデルの推定したスイッチの時期と結果が異なる点が興味深い。各パラメータの推定値については表 7 に記した。

## [図16 - 図17]

[ 表 7 ]

## 5 各モデルの比較と評価

本節では、今まで11個のUCモデルを見てきた。これらの日本のマクロ時系列への適用可能性を、情報量基準と一般的な分離法(HPフィルタやBPフィルタ)との相関および景気一致指数(一致CI)との相関から評価していく。

まず、情報量基準であるが、ベイズ推定の観点からの基準として、Deviance Information Criterion (DIC) がある。(Gelman et al. 2004) これは外挿予測の予測力が最良のモデルを選ぶ基準であり、この DIC の値が小さいほど予測力が高いモデルとされる。この情報量基準からモデル選択について考察してみよう。 $ ^{10} $ 各 UC モデルから日本の実質 GDP

$ ^{10} $ DIC とは Deviance Information Criterion の略であり、 $ DIC = pD + \overline{D(\theta)} = 2\overline{D(\theta)} - D(\bar{\theta}) $ と定式化される。ここで $ D(\theta) $ とは deviance で、 $ D(\theta) = -2\log\{p(y \mid \theta)\} + 2\log\{f(y)\} $ であり、この式の $ p(y \mid \theta) $ は尤度関数であり、 $ f(y) $ はデータ y のみの関数で基準化するための項である。また、 $ \overline{D(\theta)} $ はパラメータ $ \theta $ の事後分布にわたって算出された deviance の期待値であり $ \overline{D(\theta)} = E(D(y, \theta \mid y) \approx \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} D(y, \theta^{l}) $ である。ここで、 $ \theta^{l} $ はパラメータの事後分布の l 番目のサンプリングであり L は MCMC のシミュレーションの回数である。他
を推定した DIC は表 8 にあるが、DIC の値は UC-GW(3) のモデルを選択している。しかし、これはほぼ制約をかけていないモデルであり、データの情報のみで推定されたモデルである。図 11(b) を見ればわかるように、このモデルから抽出されたサイクル成分を景気循環とみなすのは難しい。実際、表 8(a) の HP や BP フィルタから抽出されたサイクルや一致 CI との相関係数を見ると極めて低い値である。

他方で、表8(a)にあるように、HPフィルタとの相関が最も高いモデルはUC-MS-R3であり、一致CIとの相関が最も高いモデルはUC-Dummyモデルであった。UC-Dummyモデルは完全失業率でも一致CIと相関が最も高かった。また、UC-RW(1)モデルやUC-GM(1)モデルは、HPフィルタ、一致CIおよび同一UCモデルから抽出した失業率のサイクル成分の3つの相関係数がともに高い値をとっている。また、同じく表8(a)に示されているように、これらのモデルから抽出されたサイクルの標準偏差はHPフィルタやBPフィルタのものより2倍ほど大きい。HPフィルタやBPフィルタではトレンド成分がサイクル成分の一部を吸収している可能性をうかがわせる。 $ ^{11} $ 図18(a)には、各モデルから抽出されたGDPのサイクル成分と対数化した一致CIを描いた。この図を見るとUC-Dummy、UC-GM、UC-MS-R3の各モデルのサイクル成分が一致CIと共通の変動(comovement)をしている様子がうかがえる。図9には、各UCモデルのサイクル成分の相関係数を記した。UC-Dummyモデルと相関が高いのはUC-STモデルであり、その値は0.85であった。UC-MS-R3モデルの0.71がそれに次いだ。

次に、完全失業率であるが、HP フィルタとの相関が最も高いのは UC-GM(1) モデルであるが、一致 CI との相関は高くない。これは完全失業率は景気変動に対して遅行系列であるのが理由かもしれない。実際、図 18(b) には各モデルの失業率のサイクル成分の抽出結果と自然対数化した一致 CI を反転させたものを示しているが、この図からも失業率のサイクルが景気より遅れているのが見て取れる。

以上のように、モデルの予測力を計測する情報量基準を使って、サイクルとトレンドの分離法を評価するのは適さないようである。DICのような情報量基準は、何ら制約を付加しない自由度の高いモデルを選択してしまうが、このモデルから抽出したサイクル成分は一般的に景気循環と定義されているサイクルとは周期や振幅の観点から見ると
ほど遠いものである。したがって、政府(内閣府)が公表している景気転換点が真であり、これと一致するサイクル成分が景気循環を正しく捕捉していると考えるならば、統計的手法のみではサイクル成分とトレンド成分を一意に分離することは難しいと結論づけられる。一意に分離するためには、本稿で考察してきたような経済的な事前情報が必要になる。たとえば、それは、(1) 石油危機やリーマンショックなどのトレンドの構造変化の時期であり、(2) トレンドとサイクルの分散比であり (HP フィルタはここを制約している。)、(3) トレンドの分布の形状であり（もし正規分布でなく混合正規分布のような Fat-Tail であるならば）、(4) サイクルの周期や振幅の大きさ (BP フィルタはここを制約している。）などである。

[ 表8-9 ]

[図18]

## 6 結論

本稿で検証してきたように、実質 GDP を代表とするマクロ経済変数をトレンド成分と景気循環成分に分離する場合、例え同じ UC-UR モデルでさえも一意的には特定化することはできず、景気循環成分の周期の長短、振幅の大きさは、(1) Morley, Nelson, Zivot (2003) の研究のようにトレンドとサイクルの 2 つのショック間の相関関係、(2) 3.1 節の UC-RW モデルで見たようにトレンドのショックの分散の大きさ、(3) 補論で説明するような景気循環成分に対する経済学モデルの制約の付加の有無、等に依存することが示唆される。

さらに、Perron and Wada (2009) のような「急激な構造変化」を考慮した混合正規分布をもつ UC-GM モデルで、日本の実質 GDP を検証したところ、トレンドのショック $ \sigma_{\nu} $ の混合正規分布に利用される 2 つの正規分布の分散比が予め特定化されていないと、4.1 節でみたように景気循環成分は周期が短く振幅が小さい Morley, Nelson, Zivot (2003) の UC-UR タイプと同様なものになるであろう。

以上のように、本検証結果によると先行研究が用いている統計的手法のみでは、一意的にマクロ経済変数をトレンド成分とサイクル成分に分離をすることは難しく、一意に分離するためには、経済学の観点からの事前情報が必要であることが示唆された。たとえば、Band Pass フィルタで一般にサイクルの周期として「1.5年から8年」が設定さ
れているが、これはアメリカの景気循環の研究から導出された事前情報であるし、HPフィルタのスムージングパラメータλの値も同様である。一意的に分離するための経済学の観点からの事前情報として、以下の2点が必要であろうと推察される。

## 1 ) トレンド (経済成長) 成分とサイクル (景気循環) 成分の 2 成分のショックの分散の比率 $ \sigma_{\nu}^{2}/\sigma_{\varepsilon}^{2} $

この２つの分散の比率は、たとえば、経済成長（トレンド）の源泉である技術革新などの実物ショックと景気循環を引き起こす金融ショックや需要ショックの大きさに依存すると思われるが、このショックの分散の推定には経済学的モデルなくして識別することはできないのではないかと思われる。この分散比の値はHPフィルタを利用するときには重要である。というのも、この分散比は、HPフィルタのスムージングパラメータλの値となるものであり、通常、四半期データならばλ=1600が利用されている。しかし、トレンドとサイクルのショックの分散比は、各国、各系列、各期間でまちまであり、HPフィルタのλは一律の値が使うべきではないと思われる。

## 2 ）トレンドのショック $ \nu_{t} $ の分布の形状（正規分布、あるいは Fat-Tail をもつ t 分布や 混合正規分布など）

10～100年に1度の頻度の石油ショックやリーマンショックなどトレンドに大きな影響を及ぼす要因も確率トレンドモデルであらわそうとすると、そのショックの確立分布は正規分布で示すよりも下振れリスクをもつ裾が広い確率分布を採用するほうが望ましい。しかし、その分布の形状がどのようなものなのか、10年～100年に1度の頻度しか生じないショックからは推定することは非常に難しいであろう。

本研究の最後では、レジームスイッチによるトレンドのドリフト項(平均成長率)を離散的に切り替えるモデルを取り込んだ分離法を検証した。構造変化点の数と時期を特定化するには他の手法より優れていると思われるが、いまだ十分な検証がなされておらず今後の課題としたい。

## A 補論

### A.1 ニューケインジアンフィリプス曲線を入れた BN 分離法

最後に、経済モデルであるニューケインジアンフィリプス曲線を取り入れた分離法を紹介して、本稿を締めくくることとする。これは Basistha and Nelson (2007) によって提案されたモデル (式 (A.1) 〜式 (A.6)) であるが、興味深い推定結果となっている。
$$ y_{t}=\tau_{t}+c_{t}, $$

$$ \tau_{t}=\bar{\mu}+\tau_{t-1}+\eta_{t}, $$

$$ c_{t}=\phi_{1}c_{t-1}+\phi_{2}c_{t-2}+\varepsilon_{t}, $$

$$ \pi_{t}=\tilde{\pi}_{t}+\delta c_{t}, $$

$$ \tilde{\pi_{t}}=\beta_{0}+\beta_{1}\pi_{t}^{s e}+\beta_{2}\pi_{t-1}+\varepsilon_{\pi,t}, $$

$$ \left[\begin{array}{c}\eta_{t}\\ \varepsilon_{t}\\ \varepsilon_{\pi,t}\end{array}\right]\sim i.i.d.\mathbf{N}\left(\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c c c}\sigma_{\eta}^{2}&\sigma_{\eta\varepsilon}&\sigma_{\eta,\pi}\\ \sigma_{\varepsilon\eta}&\sigma_{\varepsilon}^{2}&\sigma_{\pi,\varepsilon}\\ \sigma_{\pi,\eta}&\sigma_{\pi,\varepsilon}&\sigma_{\pi}^{2}\end{array}\right]\right) $$

ここで $ \pi_{t} $ はインフレ率であり、式(A.4)はニューケインジアンフィリプス曲線をあらわす。また $ \tilde{\pi}_{t} $ は non-gap part of inflation であり、output gap (潜在 GDP から実質 GDP の乖離)を発生させないインフレ率である。 $ \pi^{se} $ は一般の社会人に対しておこなったアンケートから得た期待インフレ率の推計値である。このモデルは各ショックに相関を持たせているので、BN タイプまたは UC-UR タイプである。しかしながら、Basistha and Nelson(2007)によれば、アメリカの実質 GDP に対して実証をおこなったところ、このモデルから抽出された景気循環は BN タイプまたは UC-UR タイプのような振幅が小さく周期が短いものにならず、トレンドと景気循環のショックを無相関と仮定する UC モデルのように振幅は大きく周期が長い景気循環となったと報告している。このように、経済モデル (A.4) により景気循環 $ c_{t} $ に制約を付加することでも、景気循環の特性を変更することができる。

### A.2 Hodrick-Prescott Filter(1997) によるデータ処理法

マクロ経済時系列 $ y_{t} $ に対する HP フィルタから算出されるトレンド $ \tau_{t} $ は、以下の式により定義されたものである。

$$ \{\tau_{t}\}_{t=1}^{T}=\arg\min\Bigg(\sum_{t=1}^{T}(y_{t}-\tau_{t})^{2}+\lambda\sum_{t=2}^{T-1}(\Delta\tau_{t+1}-\Delta\tau_{t})^{2}\Bigg) $$

ここで、λはスムージングパラメータであり非負の値をもつ。λが0に近い値ならば、トレンドτはy_{t}へ近い値をとる。他方でλ→∞になるにつれて、トレンドτ_{t}は直線へ近づいていく。
この式の1階の条件は以下のようにあらわせる。

$$ \left(y_{t}-\tau_{t}\right)=\lambda\Biggl\{\left(\tau_{t+2}-2\tau_{t+1}+\tau_{t}\right)-2(\tau_{t+1}-2\tau_{t}+\tau_{t-1})+\left(\tau_{t}-2\tau_{t-1}+\tau_{t-2}\right)\Biggr\} $$

さらに、この１階の条件は以下のように整理できる。

$$ \lambda\tau_{t+2}-4\lambda\tau_{t+1}+(1+6\lambda)\tau_{t}-4\lambda\tau_{t-1}+\lambda\tau_{t-2}=y_{t} $$

これを行列表現に書き直すと

$$ \left[\begin{array}{c}{{{\tau_{1}}}} \\{{{\tau_{2}}}} \\{{{\tau_{3}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\tau_{T-2}}}} \\{{{\tau_{T-1}}}} \\{{{\tau_{T}}}}\end{array}\right]=\left(\mathbf{I}_{T}+\lambda\left[\begin{array}{ccccc}{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{-2}}}&{{{5}}}&{{{-4}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-4}}}&{{{6}}}&{{{-4}}}&{{{1}}} \\{{{\vdots}}}&{{{\vdots}}}&{{{\vdots}}}&{{{\vdots}}}&{{{\vdots}}} \\{{{1}}}&{{{-4}}}&{{{6}}}&{{{-4}}}&{{{1}}} \\{{{1}}}&{{{-4}}}&{{{5}}}&{{{-2}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{-2}}}&{{{1}}}\end{array}\right]\right)^{-1}\left[\begin{array}{c}{{{y_{1}}}} \\{{{y_{2}}}} \\{{{y_{3}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{y_{T-2}}}} \\{{{y_{T-1}}}} \\{{{y_{T}}}}\end{array}\right] $$

となる。ただし、$\mathbf{I}_{T}$ は $T$ 行の大きさをもつ単位行列である。この式にマクロ経済時系列 $[y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{T-1}, y_{T}]$ を代入して計算することで、HP フィルタによるトレンド $\tau_{t}$ を導出できる。

## B 参考文献

[1] Bai, J. and P. Perron (1998) "Estimating and Testing Linear Models with Multiple Structural Changes," Econometrica, 66, 1, 47-78.

[2] Basistha, A. and Nelson, C. R. (2007) "New Measures of the Output Gap Based on the Forward-looking New Keynesian Phillips Curve," Journal of Monetary Economics, 498-511.

[3] Baxter, M. and R. King (1999) "Measuring Business Cycles: Approximate Band-Pass Filters For Economic Time Series," Review of Economics and Economic Statistics 81, 4, 575-593.

[4] Beveridge, S. and C.R. Nelson, (1981) A New Approach to Decomposition of Economic Time Series, into Permanent and Transitory Components with Particular Attention to Measurement of the Business Cycle, Journal of Monetary Economics, Vol.7, p151-174.