Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
≡βH/r を用いて，c_{t}，W_{t}，およびx^{p_{t}}の3変数の体系に書き換えた，

$$ \begin{aligned}&c_{t}=\beta_{W}W_{t}+\beta_{xp}x^{p_{t}}+\beta_{\sigma}\sigma^{^{2}\xi_{t+1}}\\&W_{t+1}=(1+r)(W_{t}-c_{t})+x^{^{p}_{t}}+{{\varepsilon}^{p}}_{t+1}+{{\varepsilon}^{t}}_{t+1}\\&x^{^{p}_{t+1}}-x^{^{p}_{t}}={{\varepsilon}^{p}}_{t+1}\\ \end{aligned} $$

に基づいて分析を進める $ ^{4142} $ .(60)式がいわゆる消費関数であり,βWおよびβHが非人的資産Wtおよび人的資産Htの限界消費性向βσは不確実性の程度を示す変数σ²ξt+1の係数である.それぞれの符号条件は

$$ \begin{aligned}\beta_{W}&=\frac{\partial c^{*}_{t}(W^{*};H^{*},\sigma^{*2})}{\partial W_{t}}>1-\delta>\frac{r}{1+r}\\\beta_{H}&=\frac{\partial c^{*}_{t}(W^{*};H^{*},\sigma^{*2})}{\partial H_{t}}>0\\\beta_{\sigma}&=\frac{\partial c^{*}_{t}(W^{*};H^{*},\sigma^{*2})}{\partial\sigma^{2}\xi_{t}}<0\end{aligned} $$

となる。

(60), (61)式より，消費の1階の階差$\Delta c_{t} \equiv c_{t+1} - c_{t} = c_{t+1} - c_{t}$ は

$$ \begin{aligned}\Delta c_{t}=\beta_{W}\big[\{r-(1+r)\beta_{W}\}W_{t}+\{1-(1+r)\beta_{xp}\}x^{^{\wedge}p_{t}}\big]+(\beta_{W}+\beta_{xp})\varepsilon^{p_{t+1}}+\beta_{W}\varepsilon^{t_{t+1}}\\+\beta_{\sigma}[\sigma^{^{\wedge}2}_{\xi t+2}-\{1+\beta_{W}(1+r)\}\sigma^{^{\wedge}2}_{\xi t+1}]\end{aligned} $$

となる．(62)式の右辺第1項に $ W_{t} $ が含まれ，その係数 $ r-(1+r)\beta_{W} $ が負であることから，消費の増分 $ \Delta c_{t} $ は1期前の非人的資産保有額 $ W_{t} $ と負の相関を持つことがわかる．ここで非人的資産にその期に実現した実際の労働所得が含まれることから $ (W_{t}=(1+r)w_{t}+x_{t}) $ ，非人的資産は労働所得の一時的変動 $ x^{t_{t}} $ と正の相関を持つ．これに対して労働所得の予期された変化は前期の労働所得の一時的変動と負の相関を持つ $ (E_{t}[x_{t+1}]-x_{t}=x^{p_{t}}-x_{t}=-x^{t_{t}}) $ ．よって，労働所得に一時的な変動が生じる場合，消費の増分 $ \Delta c_{t} $ と労働所得の予期された変化 $ E_{t}[x_{t+1}]-x_{t} $ は正の相関を持つ．

消費の増分$\Delta c_{t}$ と1期前の実際の労働所得$x_{t}=W_{t}-(1+r)w_{t}=x^{p_{t}}+x^{t_{t}}$ との相関関係は，(62)式右辺第1項の中かっこ内が

$$ \begin{aligned}\left(\frac{r}{1+r}-\beta_{W}\right)W_{t}+\left(\frac{1}{1+r}-\beta_{xp}\right)x^{\wedge p_{t}}&=(1-\beta_{W}-\beta_{xp})x^{\wedge p_{t}}\\&\quad+\quad\left(\frac{r}{1+r}-\beta_{W}\right)\{(1+r)w_{t}+\varepsilon_{t}^{t}\}\end{aligned} $$

と変形できることから，

$$ \begin{aligned}\mathrm{Cov}(\Delta c_{t},x_{t})&=\mathrm{Cov}((1-\beta_{W}-\beta_{xp})x^{p_{t}}+\left(\frac{r}{1+r}-\beta_{W}\right)\varepsilon^{t_{t}},x^{p_{t}}+\varepsilon^{t_{t}})\\&=(1-\beta_{W}-\beta_{xp})\mathrm{Var}(x^{p_{t}})+\left(\frac{r}{1+r}-\beta_{W}\right)\mathrm{Var}(\varepsilon^{t_{t}})\end{aligned} $$

で表される．労働所得の変動のほとんどが一時的要因による場合（$\mathrm{Var}(x^{p_{t}})\cong0$），$\beta_{W}>\frac{r}{1+r}$であることから$\mathrm{Cov}(\Delta c_{t},x_{t})<0$，すなわち消費の増分$\Delta c_{t}$と過去の労働所得$x_{t}$とは負の相関を持つことになる．これは，非人的資産の限界消費性向が「確実性等価」行動のそれよりも大きく，短期的なショックに過剰に反応することから，「平均への回帰」が起こることで生じる．これに対して，労働所得の変動のほとんどが恒久的要因による場合（$\mathrm{Var}(\varepsilon_{t})\cong0$），消費の増分$\Delta c_{t}$と過去の労働所得$x_{t}$とは$\beta_{W}+\beta_{xp}<1$のとき正の相関を持つ，すなわち過剰感応の生じることがわかる．確実性等価モデルでは$\beta_{W}+\beta_{xp}=1$であり，「緩衝在庫」モデル
ルでは$\beta_{W}$がより大きいことから，$\beta_{W}+\beta_{xp}<1$が生じるのは，人的資産の限界消費性向$\beta_{xp}$が確実性等価モデルに比べて非常に小さい場合に限られる．このとき，消費は人的資産（＝将来の労働所得）の増加に比べて少ししか増加しないため，将来の非人的資産が期待値の意味で大きく増加し，将来消費も大きく増加することになる．

消費のイノヴェーションの分散 $ \mathrm{Var}(\Delta c_{t}-E_{t}(\Delta c_{t})) $ と所得のイノヴェーションの分散 $ \mathrm{Var}(\varepsilon^{p_{t+1}}+\varepsilon^{t_{t+1}}) $ との大小関係は，労働所得が純粋なランダム・ウォークに従い $ (\varepsilon^{t_{t}}=0 \text{ for all } t) $ ，かつ労働所得の不確実性が時間を通じて一定 $ (\sigma^{2\xi_{t+1}}=\sigma^{2\xi} \text{ for all } t) $ の場合，

$$ \mathbf{Var}(\Delta c_{t}-E_{t}(\Delta c_{t}))=(\beta_{W}+\beta_{xp})^{2}\mathbf{Var}(\boldsymbol{\varepsilon}^{p}_{t+1}) $$

$$ >(<)\operatorname{Var}(\varepsilon^{p}_{t+1})\quad\text{if}\quad\beta_{W}+\beta_{xp}>(<)1 $$

となる．(63)式は$\beta_{W}+\beta_{xp}<1$ のときいわゆる過剰平滑が発生することを示している．労働所得の不確実性$\sigma^{2}\xi_{t+1}$ との関係は，$\sigma^{2}\xi_{t+1}$ の時系列が1階の自己相関(AR)過程

$$ \sigma^{\wedge2}\xi_{t+2}=\rho\sigma^{\wedge2}\xi_{t+1}+\lambda_{t+1}\qquad\rho\in[0,1] $$

に従う（$\lambda_{t+1}$ は平均ゼロのホワイトノイズである）と仮定すると，(62)式の右辺第4項が

$$ \beta_{\sigma}[\sigma^{^{\prime2}}\xi t+2-\{1+\beta_{W}(1+r)\}\sigma^{^{\prime2}}\xi t+1]=-\beta_{\sigma}\{1+\beta_{W}(1+r)-\rho\}\sigma^{^{\prime2}}\xi t+1+\beta_{\sigma}\lambda_{t+1} $$

となることから，時点 $t$ における不確実性の水準 $\sigma^{2}_{\xi t+1}$ と正の相関を持ち，不確実性の予期せぬ変化 $\lambda_{t+1}$ と負の相関を持つことがわかる．

以上より，絶対的危険回避度が消費量とともに遅減するような瞬時効用関数を仮定した，いわゆる「緩衝在庫」モデルの下では，過剰感応と過剰平滑が同時におこる状況を説明できる可能性のあることがわかった．また，不確実性に対する性質は，CARA型の効用関数を仮定した場合と基本的に変わらず消費の増分 $ \Delta c_{t} $ と所得の不確実性のレベル $ \sigma^{2}\xi_{t+1} $ との間には正の相関関係の成立することが明らかになった $ ^{4344} $ ．

#### 6.7. 予備的貯蓄に関する実証研究

本稿は，ライフサイクル／恒常所得仮説の下で成り立つ消費関数について，予備的貯蓄を中心とした理論研究のサーヴェイを主な目的としているため，実証研究については，予備的貯蓄に限ってごく簡単に，上記の理論と整合的，あるいは非整合的な結果を示している2，3の研究を紹介するにとどめたい．

はじめに，マクロの集計データを用いて，理論的には例えば(59)式のように与えられるある時点での消費関数そのものを推計した例としてBoskin(1979)がある．彼の研究は，貯蓄の利子弾力性をめぐる議論に触発されたものであり，考察の中心は消費＝貯蓄行動と利子率との関係である．しかし，その推計式（Boskin(1979), equation (2)）は，前節までの
表記法に従えば

$$ \begin{aligned}\mathrm{Log}(c_{t})=&-3.8+0.56\mathrm{Log}(x_{t}+r_{t}w_{t})+0.18\mathrm{Log}(x_{t-1}+r_{t-1}w_{t-1})\\&+0.28\mathrm{Log}(w_{t})-0.003\mathrm{Log}(\mathrm{UNEM}_{t})-1.07r_{t+1}\end{aligned} $$

と表され，説明変数の中に失業率(UNEM_{t})の対数値が含まれていることから，これを将来所得の不確実性を表す変数と解釈すれば，予備的貯蓄に関する実証研究としてとらえられる．彼の推計では，失業率の係数は負となり，予備的貯蓄の存在が示されている．ただし，彼の研究はライフサイクル／恒常所得仮説に基づいておらず，説明変数として用いられているのは労働所得 $ x_{t} $ と資産からの所得 $ r_{t}w_{t} $ を合わせた民間可処分所得，およびその1期ラグであって，「恒常所得の予期せぬ変化」と予期された変化の違いなどは考えられていないまた，同時点での所得と消費の間に存在しうる攪乱項の相関の可能性も考慮されていない．マクロの集計データを用いたより新しい研究にCarroll(1992)がある．彼はミシガン大学のSurveys of Consumersでのアンケート調査より，次の3つの変数を作成した．1つは，「あなたが欲しいと思っている大きな買い物があったとして，今が，貯蓄の一部を使っても良い時期だと思いますか，それとも，今は貯蓄を使うのは控えるべき時期だと思いますか？」という問いに，「控えるべきだ」と答えた人の割合（SAV）であり，もう1つは，失業率が上昇すると予想している人の割合（MU），そして最後の1つは所得が増加すると予想している人の割合（MY）である．これらの3変数について，次の推計式（Carroll(1992)，Equation 9）

$$ SAV_{t}=\alpha_{0}+\alpha_{1}MY_{t}+\alpha_{2}MU_{t}+v_{t} $$

を推定した結果，失業率の予想に関する係数$\alpha_{2}$は有意に正となった（Carroll (1993) Table 5）。この推定結果は，失業率に関する予想が，将来所得の不確実性に関する予想を示しているとの想定に立つならば，予備的貯蓄の存在を示したことになる。

ところが，Carroll (1992)で同時に行われたもう1つの推計は，予備的貯蓄に関する理論的な予想に反する結果であった．彼は，可処分所得の対数値の1階階差 $ \Delta\ln Y $ と前の推計でも用いた失業率に関する予想MUを説明変数，近似的に消費の増加率と考えられる，消費の対数値の1階階差 $ \Delta\ln C $ を非説明変数とする推計式を，いくつかの異なる消費のデータを用いて推定したが，いずれのデータにおいても，失業率に関する予想MUの係数は負，すなわち，失業率が上昇すると消費成長率が低下するという結果になった．この結果は，一見予備的貯蓄と整合的にみえるかもしれないが，実際には，不確実性の増加がその期の予備的貯蓄を増加させた場合，貯蓄の増加は次の期の資産保有額，すなわち次の期の恒常所得額を増加させ，その結果消費を増加させることになるため，(47)式や(62)式に関する議論より明らかに，将来所得の不確実性のレベル $ \sigma^{2}\xi\tau+1 $ は，消費の増加 $ \Delta c_{t} $ と正の相関を持つことになる．

実証結果が理論と逆になった原因について，Carroll (1992)では消費の調整に時間のかかる可能性を指摘しているが，6．5節で見たように，消費の調整に遅れがある場合，不確実性に対する直近のイノヴェーションと消費の増加との間には負の相関の生じる可能性があるが，不確実性のレベルそのものと消費の増加との正の相関は，(51'')式より消費の調整が瞬時に調整されない場合でも維持されることがわかっているため，消費の調整はCarroll (1992)の結果を説明できない $ ^{45} $ ．前節の議論によれば，消費成長率を非説明変数とするオイラー方程式の推計は，家計が「緩衝在庫」モデルに従って行動している場合，非人的資産を説明変数に加えない限り正しい結果を得られないため，このような逆の結果が観察され
たと考えられる。

近年の予備的貯蓄に関する実証研究の多くは，マイクロ・データを使ったクロス・セクションで行われている．この場合，失業率などマクロの変数を不確実性の指標として用いることができないため，各家計の所得や消費のデータより，その家計が直面する不確実性を推定することになる．Dynan (1993)では，家計iのオイラー方程式について，2階のテーラー展開による近似を行うことで，消費の増加率GCに関して

$$ \mathrm{avg}(\mathrm{GC})_{i}=\frac{1}{\xi}\bigg(\frac{r_{i}-\delta}{1+r_{i}}\bigg)+\frac{\rho}{2}\mathrm{avg}(\mathrm{GC}^{2})_{i}+\varepsilon_{i} $$

という推計式を導いている（Dynan (1993), Equation 6, ただし $ \operatorname{avg}(x)_{i} $ は, 家計 i の x の平均値を表す）. ここで, ξは相対的危険回避度に, ρは Kinball (1990) で定義された「相対的慎重」(relative prudence measure) になっている. この推計式が, 1985 年の Consumer Expenditure Survey (CEX) のデータを用い, $ \operatorname{avg}(\mathrm{GC}^{2})_{i} $ と ε₁ との間の相関の存在を考慮して職種, 産業, 教育, 就労者数, そして配当および利子所得を操作変数とする 2 段階最小 2 乗法で推計されている. その結果, 相対的慎重度にあたる ρ の推定値は, 最も大きなケースで 0.314 と, 危険回避に関する多くの研究から予想される値に比べて非常に小さく, また ρ = 0 という期無仮説, つまり確実性等価モデルを, 5% の有意水準で棄却できないことがわかった $ ^{46} $ .

このような Dynan (1993) の結果について, Carroll (1992) では理論上と実証上の要因を 1 つずつ挙げている．理論上の要因としては，各家計が「緩衝在庫」モデルに従って行動している場合，中長期的な消費の増加率は所得の増加率に等しくなり，不確実性の違いは消費の増加率の違いにではなく，保有資産と恒常所得との比率の違いに現れることから，消費の不確実性を表す消費成長率の分散は，消費成長率の期待値と必ずしも相関を持たないことが挙げられている．実証上の要因としては，4 半期データにおける消費の変動が，必ずしも消費の不確実性を反映せず，むしろ家計の選好などに起因する予期された変化を反映するため，職種などの操作変数が，消費の不確実性ではなく，消費の予期された变動を生み出す選好ショックと相関を持つことで選ばれた場合，それらが消費の成長率と無相関になる可能性が高くなることが挙げられている．

以上の2要因のうち，理論上の問題について，予備的貯蓄に関する既存の実証研究を「緩衝在庫」モデルに従って解釈する場合の問題点という形で，もう少し細かく議論してみよう．既存の実証研究では，Hall流の「確実性等価」モデルやCaballero(1990)のCARA型効用関数のケースを念頭においているため，非人的資産保有額 $ W_{t} $ や恒常所得 $ x^{p_{t}} $ の水準が消費の増分 $ \Delta c_{t} $ におよばす影響を無視して，不確実性 $ \sigma^{2}\xi_{t+1} $ に対応する変数のみを説明変数とする推計を行っているものが多い．この場合，推計結果にどのようなゆがみが生じるかは，以下の議論によって示される．

簡単化のために$\sigma^{2}\xi_{t+1}$ の時系列について(64)式を仮定し，また消費関数(60)式の$W_{t}$ および$x^{p_{t}}$ の係数$\beta_{W}$, $\beta_{xp}$ が，$\beta_{W}+\beta_{xp}<1$ を満たすとする．ここで，所与の恒常所得$x^{p_{t}}$ ，不確実性の水準$\sigma^{2}\xi_{t+1}$ に対して，(62)式の左辺$\Delta c_{t}$ の時点$t$ におけるすべての情報の下での期待値$E_{t}[\Delta c_{t}]$ がゼロとなるような，非人的資産の水準を$W^{**}$ とすると，

$$ W^{**}{}_{t}=\frac{\{1-\beta_{xp}(1+r)\}x^{^{\wedge}p}{}_{t}-\beta_{\sigma}\{1+r+(1-\rho)/\beta_{W}\}\sigma^{^{\wedge}2}{}_{\xi t+1}}{\beta_{W}(1+r)-r}\equiv W^{**}(x^{^{\wedge}p}{}_{t},\sigma^{^{\wedge}2}{}_{\xi t+1}) $$

と表される $ ^{47} $ .さらに,時点tにおける労働所得の恒常成分 $ x^{p_{t}} $ について, $ \sigma^{2}\xi^{t+1}=\sigma^{2} $ だ

$$ \mathcal{O}^{\Gamma} $$

$$ \lrcorner W_{t}^{*}\left(=W_{t}^{*}-W^{*}\right) $$

$$ (60)(61) $$

$$ W^{*}{}_{t}=\frac{\{1-\beta_{xp}(1+r)\}x^{^{p}}t-\beta_{\sigma}(1+r)\sigma^{^{2}}\xi_{t+1}}{\rho\quad(1+r)\quad\alpha\quad\beta} $$
けを唯一の条件としたときの条件付期待値を

$$ E x^{\wedge p}(\sigma^{\wedge2})\equiv E[x^{\wedge p}_{t}\left|\right.\sigma^{\wedge2}_{\xi t+1}=\sigma^{\wedge2}], $$

時点 $t$ における非人的資産 $W_{t}$ について, $x^{p_{t}} = x^{p}$ および $\sigma^{2}_{\xi t+1} = \sigma^{2}$ の $2$ つだけを条件としたときの条件付期待値を

$$ E W(x^{\wedge p},\sigma^{\wedge2})\equiv E[W_{t}\left|x^{\wedge p}_{t}=x^{\wedge p},\sigma^{\wedge2}_{\xi t+1}=\sigma^{\wedge2}\right. $$

とする。

以上の $ W^{**}(x^{p_t},\sigma^{2}_{\xi t+1}) $ ， $ Ex^{p}(\sigma^{2}) $ ，および $ EW(x^{p},\sigma^{2}) $ を用いると， $ \sigma^{2}_{\xi t+1}=\sigma^{2} $ だけを唯一の条件としたときの消費の増分 $ \Delta c_t $ の条件付期待値 $ E\Delta c(\sigma^{2}) \equiv E[\Delta c_t] \left| \sigma^{2}_{\xi t+1} = \sigma^{2} \right] $ が，(62)式より，

$$ \begin{align*}E\Delta c(\boldsymbol{\sigma}^{2})&=\beta_{W}\{r-(1+r)\beta_{W}\}(E W(Ex^{p}(\boldsymbol{\sigma}^{2}),\boldsymbol{\sigma}^{2})-W^{**}(x^{p},\boldsymbol{\sigma}^{2}))\\&=\beta_{W}\{r-(1+r)\beta_{W}\}\Delta W(\boldsymbol{\sigma}^{2})\end{align*} $$

となる．ただしΔW(σ²)は，

$$ \Delta W(\boldsymbol{\sigma}^{2})\equiv E W(E x^{p}(\boldsymbol{\sigma}^{2}),\boldsymbol{\sigma}^{2})-W^{**}(x^{p},\boldsymbol{\sigma}^{2}) $$

と定義される関数である .(65)式より,消費の増分\Delta c_{t} の不確実性\sigma^{2}\xi_{t+1} に関する単回帰で,\Delta c_{t} と\sigma^{2}\xi_{t+1} との間に正の相関が観察されるのは,関数\Delta W(\sigma^{2}) の1階微分\Delta W'(\sigma^{2}) が負の場合であることがわかる.\Delta W'(\sigma^{2}) の符号は,定義より(W_{t},x^{p_{t}},\sigma^{2}\xi_{t+1}) の同時分布に依存し,正しい定式化の下で\sigma^{2}\xi_{t+1} の係数-\beta_{\sigma}\{1+\beta_{W}(1+r)-\rho\} の符号とは必ずしも一致しない148

これは，推計上は考慮されていないが実際には消費に影響を与える非人的資産 $ W_{t} $ が，推計式の誤差項に含まれると同時に，不確実性の変数 $ \sigma^{2}\xi_{t+1} $ と相関を持つことで生じる推計のゆがみの問題である．「緩衝在庫」モデルでは，人々の保有する非人的資産はその「適正水準」の近傍に分布することになるため，消費の長期的な平均成長率は非人的資産の「適正水準」の平均成長率にほぼ等しくなる．この「適正水準」の成長率は，労働所得およびその不確実性の大きさの成長率に応じて変化すると考えられるので，後の2つの長期的な平均成長率がほぼ等しい場合，「適正水準」の長期平均成長率は，労働所得の長期平均成長率にほぼ等しく，よって，消費の長期平均成長率もまた労働所得のそれに等しくなる．よって，人々が「緩衝在庫」モデルに従って行動している限り，労働所得の成長率と無相関である不確実性の大きさは，消費の成長率とも無相関になる．

だからといって，人々は所得の不確実性に無反応な訳でも，「予備的貯蓄」を行っていない訳でもない．同じ額の非人的資産の持つ人々の間では，（他の条件を一定として）労働所得の不確実性の大きな人ほど，貯蓄額は大きくなる．所得の不確実性の大きな人にとって，不確実性の小さな人と同じ額の非人的資産では，リスクに耐えることができないため，予備的貯蓄をより多く行う誘因が働き，その結果消費の期待成長率が大きくなる．ところが，予備的貯蓄をより多く行った結果，不確実性の小さな人よりも多くの非人的資産を保有するようになると，期待消費額の増加によって「絶対的慎重度」が低下し，予備的貯蓄の誘因は小さくなる．多額の非人的資産の保有で「豊か」になると，リスクに対してより「寛容」になり，予備的貯蓄の欲求が小さくなるのである．長期的な平均値，あるいは多くの人々の平均値をとれば，各個人の保有する非人的資産額は，ほぼその「適正水準」にあると考えられるので，不確実性の大きな人はより多くの資産を，小さな人はより少ない資産を持ち，消費の成長率は不確実性の大きさとは無関係に，所得の成長率によって決定され

$$ \Delta W(\sigma^{2})=\frac{\beta_{\sigma}(1-\rho)\sigma^{2}_{\xi t+1}}{\beta_{w}\{\beta_{w}(1+r)-r\}}\leq0,\ =\ \mathrm{if}\ \rho=1 $$

と，不確実性が定常分布$\sigma^{2}\xi_{t+1}$に従う$(\rho<1)$限り負となるが，(65)式を$\sigma^{2}$について解いた$\sigma^{2}\xi_{t+1}$の係数は，$-\beta_{\sigma}(1-\rho)<-\beta_{\sigma}\{1+\beta_{W}(1+r)-\rho\}$となることから，推計値は真の値よりも小さくなる．ただし，「$EW(x^{p},\sigma^{2})=W^{*}\downarrow$」という仮定はあまり適切なものではなく，たとえば$\sigma^{2}\xi_{t+1}$が定常分布に従う$(\rho=0)$ケースでは，$EW(x^{p},\sigma^{2})$は$\sigma^{2}$には依存しないと予想することが尤もらしい．
る．その結果，本当は「同じ非人的資産保有の下での，不確実性の違いが貯蓄に与える効果」を調べようとしても，不確実性の違いのほとんどが，考慮されていない非人的資産の保有額の違いに吸収されてしまって，推計上不確実性の効果がほとんど検出できないのである．

以上の推論より，非人的資産を考慮しない誤った定式化の下では，たとえ所得の不確実性に関する適切な変数を説明変数に用いたとしても，予備的貯蓄をオイラー方程式の推計によって検証することはできないことが明らかになった．よって，オイラー方程式に関する既存の実証研究で有意な予備的貯蓄が観察されなかったとしても，実際に予備的貯蓄が行われていなかったと結論づけることはできない．

Carroll and Samwick (1997)では,「緩衝在庫」モデルにおける目標資産額 $ W^{*} $ が,不確実性の程度 $ \sigma_{\xi t+1}^{2} $ の増加関数になることを,様々な特定化の下でより厳密な

「目標資産額は相対的等価予備的プレミアム(relative equivalent precautionary premium: REPP)の線形関数となる」

という形で定式化し，平均および実際の消費の代わりに，恒常所得および実際の所得に置き換えて計算した REPP や，推計上ほぼ同様の結果を示した所得の対数値の分散 $ \operatorname{Var}(\ln(Y)) $ を不確実性の指標として，保有資産額との関係を推計した．そして，予備的貯蓄の重要性を示す結果を得た．

### 7. おわりに

本稿では，ライフサイクル／恒常所得仮説について，主に Hall (1978) 以降の理論研究を中心にその概略を紹介した．Hall (1978) で提唱された「消費のランダム・ウォーク仮説」すなわち「確実性等価」モデルに対しては，「過剰感応」と「過剰平滑」という，実証上の2つの問題点が指摘された．これに対して，理論モデルに対する様々な拡張が試みられたが，将来の不確実性の増大が現在の貯蓄を増加させる「予備的貯蓄」をモデルに導入すると，相対的危険回避度一定(CRRA)型の瞬時効用関数の下での「緩衝在庫」モデルの場合，「過剰感応」と「過剰平滑」の両方を同時に説明できる可能性が示された．「予備的貯蓄」の理論から得られる，「不確実性のレベルと消費の増加が正の相関を持つ」という仮説については，これに反する実証研究がいくつか存在するため，「緩衝在庫」モデルが消費＝貯蓄に関する問題をすべて解決したと結論づけるのは時期尚早である．ただし，「予備的貯蓄」仮説に否定的な実証研究の多くには，「緩衝在庫」モデルの立場から見ると重大な定式化の誤りが存在するため，さらなる実証研究の積み重ねが必要である．

## 補論

１．「４．１．過剰感応」における(17)式の導出

定常な ARMA 過程

$$ x_{t}=\uprho_{1}x_{t-1}+\uprho_{2}x_{t-2}+\cdots+\uprho_{p}x_{t-p}+\upvarepsilon_{t}+\upphi_{1}\upvarepsilon_{t-1}+\upphi_{2}\upvarepsilon_{t-2}+\cdots+\upphi_{q}\upvarepsilon_{t-q} $$

$$ \Leftrightarrow\qquad x_{t}=[1+M(L)]/[1-A(L)]\varepsilon_{t} $$

を考える（ただし L はラグオペレーター，

$$ A(L)=\uprho_{1}L+\uprho_{2}L^{2}+\cdots+\uprho_{p}L^{p}\quad,M(L)=\upphi_{1}L+\upphi_{2}L^{2}+\cdots+\upphi_{q}L^{q} $$

である)

定常な ARMA(p,q)過程は MA(∞)表現ができるので, (16)式で表される ARMA 過程の MA(∞)表現を

$$ x_{t}=\pmb{\varepsilon}_{t}+\pmb{\psi}_{1}\pmb{\varepsilon}_{t-1}+\pmb{\psi}_{2}\pmb{\varepsilon}_{t-2}+\pmb{\psi}_{3}\pmb{\varepsilon}_{t-3}+\ldots. $$

とする．ただし$\psi_{s}\equiv\phi_{s}+\sum_{j=1}^{s_{j=1}}\rho_{j}\psi_{s-j}$である．

s 期前に実現した誤差項が今期の所得に与える影響は，

$$ \frac{dx_{t+s}}{d\varepsilon_{t}}=\frac{dx_{t}}{d\varepsilon_{t-s}}=\Psi_{s} $$

となることから，将来所得の予測値の改定分は，今期の実現した誤差$\varepsilon_{t}$の定数倍となる．
$$ E_{t}x_{t+s}-E_{t-1}x_{t+s}=\boldsymbol{\uppsi}_{s}\boldsymbol{\upvarepsilon}_{t} $$

よって明らかに

$$ \sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t}x_{t+s}-E_{t-1}x_{t+s})=\left[\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\psi_{s}\right]\varepsilon_{t} $$

であり，また，

$$ \sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\psi_{s}=\begin{array}{l}\displaystyle\frac{1+\sum_{s=0}^{q}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\phi_{s}}{1+\sum_{j=0}^{p}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{j}\mathfrak{p}_{j}}\end{array} $$

広徳まわる恒常所得の予測の修正分ξは，

$$ \xi_{t}=r\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\psi_{s}\mathfrak{E}_{t}=r\Phi\mathfrak{E}_{t} $$

と今期の所得のイノベーションの定数倍となり，消費の系列は，

$$ c_{t}=c_{t-1}+r\Phi\boldsymbol{\varepsilon}_{t} $$

となる．

2．「5．2．持続的な消費」における(24)(25)式の導出

このとき，支出 $ c_{t} $ に関する 1 階の条件

$$ E_{t}\left[\sum_{k=0}^{\infty}\delta^{k}\mathfrak{p}^{k}u^{\prime}(\boldsymbol{c}_{t+k})\right]=E_{t}\left[(1+r)\delta\sum_{k=0}^{\infty}\delta^{k}\mathfrak{p}^{k}u^{\prime}(\boldsymbol{c}_{t+k+1})\right] $$

より，消費に関して通常のオイラー方程式

$$ u^{^{\prime}}(\boldsymbol{c}_{t})=E_{t}[(1+r)\delta u^{^{\prime}}(\boldsymbol{c}_{t+1})] $$

が成り立つ。

効用関数が2次であり $ (1+r)\delta=1 $ が成り立っているとき，上式は

$$ \boldsymbol{c}_{t+1}-\boldsymbol{c}_{t}=\boldsymbol{\uprho}(L)(c_{t+1}-c_{t})=e_{t+1} $$

と変形でき，さらに

$$ c_{t+1}-c_{t}=e_{t+1}-\rho e_{t} $$

が得られる

$$ \begin{aligned} ここから \end{aligned} $$

$$ E_{t}[c_{t+s}]=c_{t}-\uprho e_{t}\mathrm{f o r a l l s=1,2,3,\ldots} $$

が得られ，これを予算制約式に代入すると，恒常所得に関する消費関数が

$$ \begin{aligned}&c_{t}=y_{t^{p}}+\frac{\mathsf{\rho}}{1+r}e_{t}\\&\quad=\;y_{t^{p}}+\frac{\mathsf{\rho}}{1+r}(\mathfrak{c}_{t}-\mathfrak{c}_{t-1})=y_{t^{p}}+\frac{\mathsf{\rho}}{1+r}\{c_{t}-(1-\mathsf{\rho})\sum_{k=1}^{\infty}\mathsf{\rho}^{k-1}c_{t-k}\}\\&c_{t}=\;\frac{1+r}{1+r-\mathsf{\rho}}y_{t^{p}}-\frac{\mathsf{\rho}(1-\mathsf{\rho})}{1+r-\mathsf{\rho}}\sum_{k=1}^{\infty}\mathsf{\rho}^{k-1}c_{t-k}\\ \end{aligned} $$

となる．(a1)式を資産蓄積の遷移式(5)に代入し，さらに恒常所得の定義式(6')に代入すると，恒常所得 $ y_{t^{P}} $ および支出 $ c_{t} $ の時系列に関して

$$ \begin{aligned}&y_{t+1^{p}}=y_{t^{p}}+\xi_{t+1}-\frac{r}{1+r}\mathsf{p}e_{t}\\&c_{t+1}=y_{t+1^{p}}+\frac{\mathsf{p}}{1+r}e_{t+1}=y_{t^{p}}+\xi_{t+1}-\frac{r}{1+r}\mathsf{p}e_{t}+\frac{\mathsf{p}}{1+r}e_{t+1}\\&\quad=c_{t}+\xi_{t+1}-\mathsf{p}e_{t}+\frac{\mathsf{p}}{1+r}e_{t+1}\\ \end{aligned} $$

が得られる。

よって, 消費のイノヴェーション $e_{t}$ と人的資産のイノヴェーション $\xi_{t}$ との間には

$$ e_{t}=\frac{1+r}{1+r-\uprho}\xi_{t} $$

という関係が成り立つ。
以上より，恒常所得 $ y_{t}^{p} $ および支出 $ c_{t} $ の時系列は

$$ y_{t+1^{p}}-y_{t^{p}}=\xi_{t+1}-\frac{\uprho r}{1+r-\uprho}\xi_{t} $$

$$ c_{t+1}-c_{t}=\frac{1+r}{1+r-\mathsf{\rho}}\xi_{t+1}-\frac{\mathsf{\rho}(1+r)}{1+r-\mathsf{\rho}}\xi_{t} $$

となる。

1．「５．３．消費の習慣性」における(27)(28)式の導出

このとき，消費 $ c_{t+s} $ （ $ s=0,1,2,\ldots $ ）に関する1階の条件

$$ \begin{align*}E_{t}[1-2a(c_{t+s}-\upmu c_{t+s-1})+\updelta(1+r)2a(c_{t+s+1}-\upmu c_{t+s})]]\\=E_{t}[\updelta(1+r)\{1-2a(c_{t+s+1}-\upmu c_{t+s})\}+\updelta^{2}(1+r)^{2}2a(c_{t+s+2}-\upmu c_{t+s+1})]]\end{align*} $$

より，次の条件

$$ \begin{aligned}E_{t}c_{t+1}-(1+\upmu)c_{t}+\upmu c_{t-1}&=E_{t}c_{t+2}-(1+\upmu)E_{t}c_{t+1}+\upmu c_{t}\\&=E_{t}\{c_{t+3}-(1+\upmu)c_{t+2}+\upmu c_{t+1}\}\\&=\cdots=E_{t}\{c_{t+s+1}-(1+\upmu)c_{t+s}+\upmu c_{t+s-1}\}=\cdots\end{aligned} $$

が得られる。

ここで

$$ E_{t}c_{t+1}-(1+\upmu)c_{t}+\upmu c_{t-1}=\mathfrak{c} $$

と置くと

$$ E_{t}c_{t+1}-c_{t}=\upmu(c_{t}-c_{t-1})+\mathfrak{c} $$

$$ E_{t}[c_{t+s}-c_{t+s-1}]=\upmu E_{t}[c_{t+s-1}-c_{t+s-2}]+\mathtt{c}=\upmu^{s}(c_{t}-c_{t-1})+\sum_{k=1}^{s}\upmu^{k-1}\mathtt{c} $$

となることから，これを，期待値をとった予算制約式

$$ y_{t^{p}}=r\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}E_{t}[c_{t+s}] $$

を１期ずらして引いた

$$ (1+r)y_{t^{p}}-y_{t^{p}}=r c_{t}+r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}E_{t}[c_{t+s}-c_{t+s-1}] $$

に代入すると,

$$ \begin{aligned}&y_{t^{p}}=c_{t}+\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\Big(\mu^{s}(c_{t}-c_{t-1})+\sum_{k=1}^{s}\mathfrak{u}^{k-1}\mathfrak{c}\Big)\\&\quad=c_{t}+\frac{\mathfrak{u}(c_{t}-c_{t-1})}{1+r-\mathfrak{u}}+\frac{(1+r)\mathfrak{c}}{r(1+r-\mathfrak{u})}\\&y_{t^{p}}=\frac{(1+r)c_{t}}{1+r-\mathfrak{u}}-\frac{\mathfrak{u}c_{t-1}}{1+r-\mathfrak{u}}+\frac{(1+r)\mathfrak{c}}{r(1+r-\mathfrak{u})}\\ \end{aligned} $$

となることから，今期の消費 $ c_{t} $ が今期の恒常所得 $ y_{t}^{p} $ および前期の消費 $ c_{t-1} $ の関数

$$ c_{t}=\frac{(1+r-\upmu)y_{t}{}^{p}}{1+r}+\frac{\upmu c_{t-1}}{1+r}-\frac{\mathrm{c}}{r} $$

として表される。

他方資産蓄積の遷移式(5)を恒常所得の定義式(6')に用いると，

$$ \begin{aligned}&y_{t+1^{p}}=(1+r)y_{t^{p}}-rc_{t}+\xi_{t+1}\\&c_{t}=-\frac{y_{t+1^{p}}}{r}+\frac{(1+r)y_{t^{p}}}{r}+\frac{\xi_{t+1}}{r}\\ \end{aligned} $$

となることから，(a2)(a3)の両式を，恒常所得 $ y_{t}^{p} $ および消費 $ c_{t} $ について解くと

$$ y_{t+1^{p}}-(1+\upmu)y_{t^{p}}+\upmu y_{t-1^{p}}-\mathrm{c}-\xi_{t+1}+\frac{\upmu}{1+r}\xi_{t}=0 $$

$$ y_{t+1^{p}}-y_{t^{p}}=\upmu(y_{t^{p}}-y_{t-1^{p}})+\mathtt{c}+\xi_{t+1}-\frac{\upmu}{1+r}\xi_{t} $$

$$ c_{t+1}-(1+\upmu)c_{t}+\upmu c_{t-1}-\mathrm{c}-\frac{1+r-\upmu}{1+r}\xi_{t+1}=0 $$
$$ c_{t+1}-c_{t}=\upmu(c_{t}-c_{t-1})+\mathrm{c}+\frac{1+r-\upmu}{1+r}\xi_{t+1} $$

が得られる。

ここで $t$ 期における家計の期待生涯効用 $E_{t}[V_{t}]$ を計算すると,

$$ \begin{aligned}E_{t}[V_{t}]&=E_{t}\Big[\sum_{s=0}^{\infty}\delta^{s}u(c_{t+s})\Big]=E_{t}\Big[\sum_{s=0}^{\infty}\delta^{s}[c_{t+s}-a(c_{t+s}-\upmu c_{t+s-1})^{2}]\Big]\\&=\frac{y_{t^{P}}}{r}-E_{t}\Big[\sum_{s=0}^{\infty}\delta^{s}a(c_{t+s}-\upmu c_{t+s-1})^{2}\Big]\qquad(\text{∵}r=1/\delta-1\text{ より })\end{aligned} $$

となることから， $ E_{t}[(c_{t+s}-\mu c_{t+s-1})^{2}] $ が最小となるときに最大となる．ここで(27')式より，

$$ \begin{aligned}c_{t+1}-\mu c_{t}&=c_{t}-\mu c_{t-1}+\mathsf{c}+\frac{1+r-\mu}{1+r}\xi_{t+1}\\c_{t+s}-\mu c_{t+s-1}&=c_{t+s-1}-\mu c_{t+s-2}+\mathsf{c}+\frac{1+r-\mu}{1+r}\xi_{t+s}\\&=\mathsf{c}_{t}-\mu c_{t-1}+s\mathsf{c}+\frac{1+r-\mu}{1+r}\sum_{k=1}^{s}\xi_{t+k}\end{aligned} $$

となることから， $ E_{t}[(c_{t+s}-\mu c_{t+s-1})^{2}] $ は

$$ \begin{aligned}E_{t}[(c_{t+s}-\upmu c_{t+s-1})^{2}]&=(c_{t}-\upmu c_{t-1})^{2}+2sc(c_{t}-\upmu c_{t-1})+s^{2}c^{2}\\&\quad+\quad\frac{1+r-\upmu}{1+r}\sum_{k=1}^{s}var(\xi_{t+k})\end{aligned} $$

となって c = 0 の時最小となる.

4．「6．3．無限期間の効用最大化と予備的貯蓄」における(37)-(39)式の導出

瞬時効用関数 $ u(c_{t}) $ が絶対的危険回避度一定(CARA)型であるとき，オイラー方程式は

$$ \boldsymbol{\alpha}\cdot\exp(-\alpha c_{t})=\delta\left(1+r\right)\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{E}_{t}[\exp(-\alpha c_{t+1})] $$

となる．ここで，消費過程$\left\{c_{t+s}\right\}_{s=0}^{\infty}$ の従う関数形を

$$ c_{t+s}=\phi_{t+s-1}c_{t+s-1}+\Gamma_{t+s-1}+\mathfrak{v}_{t+s} $$

と予想(guess)し（ただし$\phi_{t+s-1}$，$\Gamma_{t+s-1}$ は定数，$\upsilon_{t+s-1}$ はホワイトノイズ），(a4)式に代入すると，

$$ \begin{aligned}&\mathrm{exp}(-\alpha c_{t})=\delta\left(1+r\right)E_{t}[\mathrm{exp}(-\alpha\{\phi_{t}c_{t}+\Gamma_{t}+\mathfrak{v}_{t+1}\})]\\ &\mathrm{exp}(-\alpha(1-\phi_{t})c_{t}+\alpha\Gamma_{t}-\ln\delta\left(1+r\right))=E_{t}[\mathrm{exp}(-\alpha\mathfrak{v}_{t+1})]\\ \end{aligned} $$

となる。

ここで, $\phi_{t} \neq 1$ の場合には, (a5') 式より $c_{t}$ が一意に決まってしまうが, そのように決まった $c_{t}$ は必ずしも予算制約式(3)を満たすとは限らないため, 明らかに $\phi_{t} = 1$ であり, $\Gamma_{t}$ は

$$ \Gamma_{t}=(1/\alpha)\ln E_{t}[\exp(-\alpha\mathfrak{v}_{t+1})]+(1/\alpha)\ln\delta\left(1+r\right) $$

となる．この場合δ(1 + r) = 1が成り立つなら，Jensenの不等式より

$$ \alpha\Gamma_{t}=\ln E_{t}[\exp(-\alpha\mathfrak{v}_{t+1})]>E_{t}[-\alpha\mathfrak{v}_{t+1}]=0 $$

となるため，数列$\left\{c_{t+s}\right\}_{s=0}^{\infty}$は単調増加列となる．

(a5)式に $ \phi_{t+s-1}=1 $ for all $ s=1,2,3,\ldots $ を代入すると

$$ c_{t+s}=c_{t+s-1}+\Gamma_{t+s-1}+\mathfrak{v}_{t+s} $$

が得られ，この(a5')式を代入すると，予算制約式(3)は，

$$ \sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}c_{t}+\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\sum_{j=1}^{s}\Gamma_{t+j-1}-\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}E_{t}[x_{t+s}] $$

$$ +\ \sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}\{\sum_{j=1}^{s}\mathfrak{v}_{t+j}-(x_{t+s}-E_{t}[x_{t+s}])\}=\left(1+r\right)w_{t} $$

と変形できる. (a7)式の両辺の期待値をとると,

$$ c_{t}=y_{t}{}^{p}-r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\sum_{j=1}^{s}E_{t}[\Gamma_{t+j-1}] $$

となる．さらにこの(a8)式を元の(a7)式に戻し，すべての $ j \geq 0 $ について $ \Gamma_{t+j} = E_{t}[\Gamma_{t+j}] $ を仮定すると，