負の相関があることと解釈できる．この性質は，労働所得の時系列を特定化すると，次のように説明することができる．

まず労働所得$\left\{x_{t+s}\right\}_{s=0}^{\infty}$ が定常な ARMA 過程

$$ x_{t+1}=\mathfrak{p}_{1}x_{t}+\mathfrak{p}_{2}x_{t-1}+\ddots+\mathfrak{p}_{p}x_{t-p+1}+\mathfrak{\varepsilon}_{t+1}+\phi_{1}\mathfrak{\varepsilon}_{t}+\phi_{2}\mathfrak{\varepsilon}_{t-1}+\ddots+\phi_{q}\mathfrak{\varepsilon}_{t-q+1}\qquad(16) $$

に従うとする．このとき，確実性等価モデルにおける恒常所得および消費のイノヴェーションξ_{t+1}はt+1期に起こった労働所得x_{t+1}のイノヴェーションε_{t+1}の定数倍

$$ \xi_{t+1}=r\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\psi_{s}\pounds_{t+1}=r\Phi\pounds_{t+1} $$

になる¹⁴．ただしΦは，(16)式で表される ARMA 過程を MA(∞)過程

$$ x_{t+1}=\pmb{\varepsilon}_{t+1}+\pmb{\psi}_{1}\pmb{\varepsilon}_{t}+\pmb{\psi}_{2}\pmb{\varepsilon}_{t-1}+\pmb{\psi}_{3}\pmb{\varepsilon}_{t-2}+\ldots. $$

で表現したときの係数$\psi_{s}\equiv\phi_{s}+\sum_{j=1}^{s_{j=1}}\rho_{j}\psi_{s-j}$の割引和

$$ \Phi=\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\Psi_{s} $$

であら

$t$ 期および $t-1$ 期に関する(16')式,および $t$ 期以前のすべての期に関する(17)式を用いると,労働所得の変化$\Delta x_{t}$ は,恒常所得の過去のイノヴェーション$\xi_{t-s}$ を用いて

$$ \Delta x_{t}=\boldsymbol{\varepsilon}_{t+1}+(\boldsymbol{\psi}_{1}-1)\boldsymbol{\varepsilon}_{t}+(\boldsymbol{\psi}_{2}-\boldsymbol{\psi}_{1})\boldsymbol{\varepsilon}_{t-1}+(\boldsymbol{\psi}_{3}-\boldsymbol{\psi}_{2})\boldsymbol{\varepsilon}_{t-2}+(\boldsymbol{\psi}_{4}-\boldsymbol{\psi}_{3})\boldsymbol{\varepsilon}_{t-3}+\cdots. $$

$$ =\xi_{t+1}/r\Phi-\tau_{1}\xi_{t}-\tau_{2}\xi_{t-1}-\tau_{3}\xi_{t-2}-\tau_{4}\xi_{t-3}+\ldots. $$

とあらわすことができる．ただし$\tau_{i}\ (i=0,\ 1,\ 2,\ \ldots)$ は，

$$ \tau_{i}=(\psi_{i}-\psi_{i+1})/r\Phi\qquad(\psi_{0}=1\text{)} $$

と定義されるパラメーターである．特に，労働所得 $ x_{t} $ が定常的な1階の自己回帰（AR(1)）過程

$$ x_{t}=\upmu+\lambda x_{t-1}+\upvarepsilon_{t}\quad(\quad|\lambda|<1) $$

に従うとき，その MA 表現の攪乱項の係数 $ \psi_{i} $ は $ \psi_{i} = \lambda^{i} $ となることから， $ \lambda > 0 $ ならば

$$ \tau_{i}=\lambda^{i-1}(1-\lambda)/r\Phi>0 $$

となる．この場合，労働所得の予期された変化 $ E_{t}\Delta x_{t} $ は，恒常所得の過去のイノヴェーション $ \xi_{t-s} $ と負の相関を持つ（共分散は $ -\tau_{s}\mathrm{Var}(\xi_{t-s}) $ ）。

消費の過剰感応が発生する典型的な例は，(15)式における$\beta_{0}$が厳密に正である，すなわち消費$c_{t}$が同じ期の所得の予期された変動の増加関数である場合である．このとき，(19)式の関係を用いると，過剰感応とは，

$$ (1-\beta_{0}/r\Phi)\xi_{t+1}-\beta_{0}\tau_{1}\xi_{t}-\beta_{0}\tau_{2}\xi_{t-1}-\beta_{0}\tau_{3}\xi_{t-2}-\beta_{0}\tau_{4}\xi_{t-3}+\ldots $$

すなわち今期の消費と恒常所得（すなわち労働所得）の過去のイノヴェーションとの間に負の相関が存在することを意味する。

#### 4.2. 過剰平滑(excess smoothness)

確実性等価モデルの下では，(10′′)式より，消費の変化$\Delta c_{t}$ は恒常所得$y_{t^{p}}$ の（予期されない）変化$\xi_{t+1}$ に等しくなることから，分散で測った両者の変動の大きさも

$$ var(\Delta c_{t})=var(\xi_{t+1}) $$

と等しくなる．労働所得 $ x_{t} $ がランダム・ウォークする場合 $ (x_{t+1}=x_{t}+\varepsilon_{t+1}) $ ，(16')式において $ \psi_{s}=1 $ がすべての $ s\in\{0,1,2,\ldots\} $ について成り立つことから，(17)式の右辺の係数 $ \Phi $ は $ \Phi=1/r $ となり，恒常所得のイノヴェーション $ \xi_{t+1} $ と労働所得のイノヴェーション $ \varepsilon_{t+1} $ は一致することになる．つまり，労働所得 $ x_{t} $ がランダム・ウォークする確実性等価モデルの下では，

$$ \mathrm{Var}(\Delta c_{t})=\mathrm{Var}(\xi_{t+1})=\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1}) $$

すなわち消費の分散 $ \operatorname{Var}(\Delta c_{t}) $ と労働所得のイノヴェーションの分散 $ \operatorname{Var}(\varepsilon_{t+1}) $ が等しくなる。一般に労働所得が単位根を持つ場合， $ \operatorname{Var}(\xi_{t+1}) = \operatorname{Var}(\varepsilon_{t+1}) $ が成り立つため，確実性等価モデルにおいては $ \operatorname{Var}(\Delta c_{t}) = \operatorname{Var}(\varepsilon_{t+1}) $ が満たされる．また単位根を持たない場合でも，労働所