Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
である．この恒常所得の内生性は，消費関数の推計にとって非常に大きな問題となる．

上記の最大化問題の1階の条件として，異時点間の消費の代替に関するオイラー方程式

$$ u^{\prime}(c_{t})=\delta E_{t}[(1+r_{t+1})u^{\prime}(c_{t+1})] $$

が導かれる．この(9)の左辺は，今期（t期）の所得1単位を今期の消費に充てた場合の限界効用，すなわち今期の「消費の価値」を表し，右辺は，所得を貯蓄して来期（ $ t+1 $ 期）の消費に充てた場合の期待限界効用（の割引現在価値），すなわち今期の「貯蓄の価値」を表す．つまりオイラー方程式とは，消費から得られる限界効用と貯蓄から得られる限界効用が等しいという条件である．瞬時効用関数 $ u(\cdot) $ について，消費の限界効用が消費量の厳密な減少関数である場合（ $ u''<0 $ ），今期の所得 $ x_{t} $ が増加したことで今期の消費 $ c_{t} $ が増加するならば，オイラー方程式(9)が成り立つよう来期の消費 $ c_{t+1} $ （およびそれ以降の期の消費 $ c_{t+s} $ ）も同様に増加する必要がある．これが「消費の平滑化」であり，この性質のために，一時的な所得増加に対する限界消費性向は必ず1を下回ることになる．今期の一時的な所得増加によって今期の消費 $ c_{t} $ が増加するためには，来期以降の各時点における消費 $ c_{t+s} $ も増加しなければならないが，来期以降の労働所得は増加していないため，今期の所得増加の一部を貯蓄して，将来の消費増加に充てなければならないのである．恒常的な所得増加の場合には，将来消費の増加に必ずしも今期の貯蓄を充てる必要がないので，限界消費性向は1以上になる場合もある．

資産の収益率 $ r_{t+s} $ が時間を通じて一定 $ (r_{t+s}=r \text{ for all } s) $ のケースでは，(9)は

$$ E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]=\beta u^{\prime}(c_{t}) $$

と書き換えられる（ただし$\beta\equiv1/\delta(1+r)$ である）。これは，来期の消費の限界効用$E_{t}[u'(c_{t+1})]$ を予測するのに有用なすべての情報が，今期の消費の限界効用$u'(c_{t})$ ，ひいては今期の消費の実現値$c_{t}$ に集約されることを示している。$(9')$ より，来期の限界効用の実現値$u'(c_{t+1})$ は，$\zeta_{t+1}$ をホワイトノイズとして

$$ u^{\prime}(c_{t+1})=\beta u^{\prime}(c_{t})+\zeta_{t+1} $$

という確率過程に従う．つまり消費の限界効用 $u'$ はランダム・ウォークすることになる．さらに $r=1/\delta-1$ および限界効用 $u'$ が消費 $c_{t}$ の線形関数

$$ u^{\prime}(c_{t+1})=a-b c_{t} $$

となることを仮定すれば，(10)は，

$$ c_{t+1}=c_{t}+\zeta_{t+1} $$

と書き換えられ,消費 $ c_{t} $ そのものがランダム・ウォークすることになる.これが Hall (1978) の見出した有名な結論である.

限界効用 $ u^{\prime} $ が消費 $ c_{t} $ に関して非線形である場合，消費 $ c_{t} $ の振る舞いは $ (10^{\prime}) $ から微妙に乖離することになる $ ^{12} $ ．特に限界効用 $ u^{\prime} $ の逆関数を v とし，(10)より来期 $ (t + 1 $ 期 $ ) $ の消費を今期 $ (t $ 期 $ ) $ の消費の関数として

$$ c_{t+1}=\nu\ (u^{\prime}(c_{t})+\varepsilon_{t+1}) $$

と解くと,νが厳密な凸関数の場合,来期の消費の期待値 $ E_{t}[c_{t+1}] $ は

$$ E_{t}[c_{t+1}]=E_{t}[\nu(u^{\prime}(c_{t})+\varepsilon_{t+1})]>\nu(u^{\prime}(c_{t}))=c_{t} $$

となり，今期の消費の実現値 $ c_{t} $ を上回る．これは，来期の消費 $ c_{t+1} $ に不確実性が付け加わると，今期から来期にかけての消費の増分 $ c_{t+1}-c_{t} $ が期待値の意味で増加しなければならないことを意味する．所得に変化がない場合，今期の消費 $ c_{t} $ をそのままに来期の消費 $ c_{t+1} $ だけを増加させることはできないから，結果として今期の消費 $ c_{t} $ が減少する，すなわち貯蓄が増加することになる．これがいわゆる「予備的貯蓄」の効果である．しかしながら，(10')の時系列としての振る舞いは，将来値 $ c_{t+1} $ の予測に有用なすべての情報を直前の実現値 $ c_{t} $ が持つため，他の情報は何ら追加的な説明力を持たないという性質が同一であることから，(10')式から大きく変化することはないと考えられてきた．
## 3 ．2．確実性等価(certainty equivalence)モデル（Hall (1978)，Flavin (1981)）

$$ u(\cdot) が c_{t} ㅇ 2 $$

$$ u(c_{t})=c_{t}\bigg(a-\frac{bc_{t}}{2}\bigg) $$

で与えられ，資産の収益率 $r$ が時間を通じて常に一定で $r=1/\delta-1$ である場合には，$(9^{\prime})$ 式より

$$ E_{t}[c_{t+1}]=c_{t} $$

が成り立つ．この(9'')式および恒常所得の定義式(6')，非人的資産$w_{t}$の遷移式(5)を予算制約式(3)に代入すると，以下の2式

$$ \begin{aligned}&c_{t}=y_{t^{p}},\\&c_{t+1}-c_{t}=y_{t+1^{p}}-y_{t^{p}}=\xi_{t+1}\\ \end{aligned} $$

が得られる．ただし$\xi_{t+1}$は恒常所得の変化のうち，労働所得の期待割引和で表される人的資産価値に関する予測の修正で生じた部分を表し，

$$ \xi_{t+1}\equiv r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})x_{t+s} $$

と定義される．上の(10^{2})式は，消費の系列が係数1のAR(1)過程に従う，すなわちランダム・ウォークすることを示している．

以上の結果，特に(9")および(11)式は労働所得 $ x_{t} $ に不確実性が存在しない場合にも成立する．つまり，瞬時効用関数 $ u(\cdot) $ が消費の2次関数の場合には，個人の消費は恒常所得の大きさのみに依存し，不確実性の程度には全く影響されない．すなわち，このモデルに従う個人は，恒常所得が同じ限り，将来所得が確実であっても不確実であっても，現在の消費が全く同じになる．不確実性下の行動が確実な場合と全く同じになることから，このモデルは確実性等価モデルと呼ばれる．

(10")式の検定にはいくつかの方法が考えられる. Hall (1978)では，合理的期待による誤差ξ_{t+1}は，t期までのすべての変数と相関を持たないことから，z_{it}をt期までの任意の変数として，以下のモデル

$$ c_{t+1}-c_{t}=\beta_{0}+\beta_{1}z_{1t}+\beta_{2}z_{2t}+\cdots+\beta_{k}z_{kt}+\xi_{t+1} $$

を最小二乗法によって推定し, $ \beta_{0}=\beta_{1}=\beta_{2}=\ldots=\beta_{k}=0 $ が成立するか否かを検定する方法が用いられた．

## ４．確実性等価モデルに対する実証上の問題点

確実性等価モデルに対して ,Flavin (1981)では以下の構造型に基づいた検定が行われた $ ^{13} $ まず，労働（可処分）所得 $ x_{t} $ が $ \mathrm{AR}(p) $ モデルに従うと考え，(10")式と合わせて，労働所得と消費の構造型が

$$ x_{t+1}=\upmu_{1}+\uprho_{1}x_{t}+\uprho_{2}x_{t-1}+\cdots+\uprho_{p}x_{t-p+1}+\upvarepsilon_{1t+1} $$

$$ c_{t+1}-c_{t}=\upmu_{2}+r\Theta(x_{t+1}-\upmu_{1}-\uprho_{1}x_{t}-\uprho_{2}x_{t-1}-\ldots-\uprho_{p}x_{t-p+1}) $$

$$ +\ \beta_{0}\Delta x_{t}+\beta_{1}\Delta x_{t-1}+\beta_{2}\Delta x_{t-2}+\cdots+\beta_{p-1}\Delta x_{t-p+1}+\varepsilon_{2t+1} $$

で与えられるとする．このとき，消費関数(15)の右辺第2項の括弧内は，(14)式の攪乱項$\varepsilon_{1t+1}$と等しい．確実性等価モデル（$(10^{\prime\prime})$式）が正しければ，$\beta_{0}=\beta_{1}=\beta_{2}=\ldots=\beta_{p-1}=0$が成立するが，そうでない（$\beta_{k}\neq0$）場合，$\beta_{k}$は所得の予期せざる変動の影響$r\Theta\varepsilon_{1t+1}$を超えた，所得の予期された変動$E_{t}[\Delta x_{t}](\equiv E_{t}[x_{t+1}-x_{t}])$が消費の変動$\Delta c_{t}\left(\equiv c_{t+1}-c_{t}\right)$に及ぼす影響を示しており，所得に対する消費の「過剰感応」を表している．Flavin(1981)の実証研究では，$\beta_{k}$の推定値は$\beta_{0}=\beta_{1}=\beta_{2}=\ldots=\beta_{p-1}=0$の仮説が棄却できるほど有意に正であり，所得に対する消費の過剰感応の存在が示された．

後の理論モデルとの関係を明らかにするために，問題を所得のイノヴェーションとの関係で考えると，消費の過剰感応とは今期の消費と過去の所得のイノヴェーションとの間に
得に対するショックの持続性が大きくなるにつれて，$r\Phi$ の値は1に近づいていくことから，確実性等価モデルでは，消費の分散$\mathrm{Var}(\Delta c_{t})$ の大きさは，労働所得に対するショックの持続性が高まるにつれて，労働所得のイノヴェーションの分散$\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1})$ の大きさに近づくことになる．

ところが Deaton (1987) の推計では，労働所得 $ \left\{x_{t+s}\right\}_{s=0}^{\infty} $ が単位根を持つにもかかわらず「 $ \operatorname{var}(\Delta c_{t}) < \operatorname{var}(\varepsilon_{t+1}) $ 」という関係が見いだされ $ ^{15} $ ，その結果確実性等価モデルが統計的に否定されることとなった．これを過剰平滑または「ディートンの逆説」(Deaton's Paradox)と呼ぶ．消費の変動が所得の変動よりも小さいことは，昔からよく知られた事実であったが，かつては，恒常所得の変動が短期的な所得の変動よりも小さいと考えられていたことから，消費の変動が小さいことは恒常所得仮説が成り立っている証拠だとされてきた．ところが上でみたように，所得に対するショックが充分に持続的である場合には，恒常所得の変動は所得の変動に十分近づくことから，過剰平滑の問題が改めてクローズアップされることになった．

消費が純粋な確実性等価モデルに従わない場合には，消費の変化$\Delta c_{t}$ とそのうちの予期されない部分（イノヴェーション）$\zeta_{t+1}$ ，および恒常所得の変化$\Delta y_{t}^{p}$ とそのうちの予期されない部分$\zeta_{t+1}$ はそれぞれ異なる可能性がある．そのため「過剰平滑」を定義する場合，消費の変動と恒常所得の変動の指標として，どの変数を用いるのかという選択の問題が生じる．Flavin (1993)では，消費と恒常所得それぞれの予期されない変化同士を比較して

$$ \mathbf{Var}(\zeta_{t+1})<\mathbf{Var}(\xi_{t+1}) $$

のとき，消費が「過剰平滑」であると定義している。

### 5. 理論モデルの拡張

Hall(1978)が提唱した確実性等価モデルは,①効用関数が各時点の消費に関して加法的である，②瞬時効用関数が2次関数である，③労働所得に対する不確実性のみが考慮されているなど，特定の仮定に依存したものであった．そのような確実性等価モデルに対して，実証研究より過剰感応と過剰平滑という2つの問題が指摘されたこともあり，より一般的な仮定の下で，モデルがどのように変化するのか，様々な拡張が試みられてきた．本節では，そのような試みのうち，

5.1. 選好ショックが存在する場合（新たな不確実性の導入1）

5.2.持続的な消費（耐久財消費：効用関数の非加法性1）

5．3．消費の習慣性（効用関数の非加法性2）

5.4.流動性制約の存在

5.5. 労働所得における複数の異なる変動要因（新たな不確実性の導入2）

の５つを取り上げる $ ^{16} $ ．先に全体の結論を述べると，以上の５つの拡張は，消費の時系列の性質に，無視できない変化をもたらし，過剰感応と過剰平滑のうちのいずれか１つを説明できる場合があるが，両者を同時に説明することはできない．

## 5 ．1．選好ショックが存在する場合（Hayashi(1985) $ ^{17} $ ）

確実性等価モデルでは，労働所得に対するショックだけが消費の変動を引き起こす原因であった．そこで，家計の選好に対して，労働所得へのショックとは独立の選好ショックが加わる場合にモデルを拡張する．瞬時効用関数 $ u(c_{t}) $ を $ u(c_{t})=ac_{t}-(c_{t}-\eta_{t})^{2}/2 $ とし， $ \eta_{t} $ を家計の選好に対する（平均ゼロの）確率的ショックとする．消費の限界効用 $ u'(c_{t}) $ が $ u'(c_{t}) $
$ =a-c_{t}+\eta_{t} $ と求められることから， $ \eta_{t} $ は消費の限界効用に対する正のショックを意味することがわかる．

## このとき，消費に関するオイラー方程式

$$ E_{t}[a-c_{t+1}+\boldsymbol{\upeta}_{t+1}]=a-c_{t}+\boldsymbol{\upeta}_{t} $$

より，来期（ $ t+1 $ 期）の消費の期待値 $ E_{t}[c_{t+1}] $ は

$$ E_{t}[c_{t+1}]=c_{t}-\upeta_{t} $$

$$ (9^{\prime\prime}) $$

となる. この(9'')式および恒常所得の定義式(6')，非人的資産 $ w_{t} $ の遷移式(5)を予算制約式(3)に代入すると，

$$ c_{t^{p}}=y_{t^{p}}+\frac{1}{1+r}\ \eta_{t} $$

となることから，恒常所得 $ y_{t}^{p} $ および消費 $ c_{t} $ の時系列は，

$$ y_{t+1^{p}}-y_{t^{p}}=\xi_{t+1}-\frac{r}{1+r}\eta_{t} $$

$$ c_{t+1}-c_{t}=\xi_{t+1}+\frac{1}{1+r}\eta_{t+1}-\eta_{t} $$

となる $ ^{18} $ . (21)および(22)式の右辺には過去の選好ショック $ \eta_{t} $ が含まれ，誤差項が系列相関を持つことから，恒常所得 $ y_{t^{P}} $ と消費 $ c_{t} $ はともに純粋なランダム・ウォークには従わない．選好ショック $ \eta_{t} $ が，労働所得の現在および過去のすべてのイノヴェーション $ \varepsilon_{t-s}(s=0,1,2,\ldots) $ と無相関であれば， $ \eta_{t} $ および $ \eta_{t+1} $ は労働所得の予期された変化 $ E_{t}\Delta x_{t} $ と無相関となるため，消費の階差 $ \Delta c_{t} $ も $ E_{t}\Delta x_{t} $ と無相関になる．よって，選好ショックが存在する場合でも，過剰感応は生じない．また，消費のイノヴェーション $ \zeta_{t+1} $ は，他の変数より過去の選好ショック $ \eta_{t} $ が推定できる場合には

$$ \zeta_{t+1}=\xi_{t+1}+\frac{1}{1+r}\eta_{t+1} $$

となり，

$$ \mathrm{Var}(\zeta_{t+1})=\mathrm{Var}(\xi_{t+1})+\frac{1}{1+r}\mathrm{Var}(\eta_{t+1})>\mathrm{Var}(\xi_{t+1}) $$

となることから，消費の変動は恒常所得の変動よりも大きくなる $ ^{19} $ . 以上より，単純な選好ショックの導入では，過剰感応や過剰平滑を説明できないことが明らかとなった．

#### 5.2. 持続的な消費（耐久財消費）(Mankiw (1982), Hayashi(1985))

自動車や家電製品などの耐久財は，購入した時点だけでなく，将来の一定期間にわたって所有者に便益を与えて続ける．この場合，今期の消費支出は今期の消費だけでなく，将来の消費にも影響をおよばす，すなわち持続性を持つことになる．このような消費の持続性が存在する場合，恒常所得の過去のイノヴェーションが今期の消費支出水準と相関を持つことになる．

今期の消費 $ c_{t} $ と今期および過去の支出 $ c_{t-k} $ との関係が

$$ \boldsymbol{c}_{t}=\sum_{k=0}^{\infty}\boldsymbol{\uprho}^{k}c_{t-k}=\boldsymbol{\uprho}(L)c_{t} $$

と表され，消費に関する瞬時効用関数 $ u(c_{t}) $ は，確実性等価モデルと同じ2次関数であるとする．このとき，支出 $ c_{t} $ および恒常所得 $ y_{t}^{p} $ の時系列はそれぞれ

$$ \begin{aligned}\mathrm{Var}(\Delta c_{t})&=\mathrm{Var}(\xi_{t+1})+\frac{\mathrm{Var}(\eta_{t+1})}{1+r}+\mathrm{Var}(\eta_{t})\\&>\mathrm{Var}(\xi_{t+1})+\frac{r\mathrm{Var}(\eta_{t})}{1+r}=\mathrm{Var}(\Delta y_{t^{p}})\end{aligned} $$
$$ y_{t+1^{p}}-y_{t^{p}}=\xi_{t+1}-\frac{\uprho r}{1+r-\uprho}\xi_{t} $$

$$ \begin{align*}c_{t+1}-c_{t}&=\frac{1+r}{1+r-\mathsf{\rho}}\xi_{t+1}-\frac{\mathsf{\rho}(1+r)}{1+r-\mathsf{\rho}}\xi_{t}\\&=\sum_{k=1}^{\infty}(-\mathsf{\rho})^{k}(c_{t-k+1}-c_{t-k})+\frac{1+r}{1+r-\mathsf{\rho}}\xi_{t+1}\end{align*} $$

となり，その1階の階差$\Delta c_{t},\Delta y_{t}^{P}$ は共に自己相関を持つことになる$^{20}$．また，(25)式の右辺には1期前の恒常所得のイノヴェーション$\xi_{t}$ が含まれ，$\rho$ が正，すなわちその財が耐久財である場合にはその係数が負となるが，前節で議論したように，労働所得の予期された変化$E_{t}\Delta x_{t}$ は，恒常所得の過去のイノヴェーション$\xi_{t-s}$ と負の相関を持つことから，自己相関の存在を考慮せずに推計した場合，消費の増分$\Delta c_{t}$ と労働所得の予期された変化$E_{t}\Delta x_{t}$ との間に正の相関が観察されることになる$^{21}$．

消費のイノヴェーションζ_{t+1}は，消費の変動に対する過去の恒常所得のイノヴェーションξ_{t}の影響を「予測可能な変動」として除去した場合

$$ \zeta_{t+1}=\frac{1+r}{1+r-\uprho}\xi_{t+1} $$

となる．(26)式の右辺の係数$\frac{1+r}{1+r-\rho}$は，$\rho$が正の場合1より大きくなるため，

$$ \mathrm{Var}(\zeta_{t+1})=\frac{1+r}{1+r-\rho}\mathrm{Var}(\xi_{t+1})>\mathrm{Var}(\xi_{t+1}) $$

となって，消費の変動は恒常所得の変動よりも大きくなる $ ^{22} $ .

以上より消費に持続性がある場合には$\Delta c_{t}$の自己相関を考慮しない誤った推計の下で，過剰感応が導かれる可能性がある．他方，過剰平滑については，消費の持続性はむしろ消費の変動を大きくする方向に働くため説明できない．

#### 5.3. 消費の習慣性（Habit formation）

消費に持続性がある場合と同様に，過去の消費水準が今期の消費から得られる効用に影響を及ぼす場合にも，恒常所得の過去のイノヴェーションが今期の消費に影響を及ぼすことになる．過去の消費水準が，今期の消費からの効用に影響を及ぼすことは，一般に「消費の習慣性」と呼ばれている．習慣性のある消費財の最も典型的なものは，たばこや麻薬などの依存性のある嗜好品・薬物である．たとえばたばこの場合，今までたばこを1本も吸ったことのない人物が，新たにたばこを1本吸うことから得られる限界効用はきわめて小さく，咳込んだり気分が悪くなるなどして，不効用をもたらすことすらある．ところが，1日に2箱以上も吸うようなヘビースモーカーにとって，その日最初の1本から得られる限界効用はきわめて大きいため，禁煙のメリットがどれほど大きいとしても，吸わずにいることはきわめて難しい．つまり，たばこ1本の限界効用は，過去の喫煙量に応じて変化するのである．このような依存性のある薬物に限らず，携帯電話や電子メールなど，使わずにいる間はそれほど必要とも思えないのに，一度使い始めると二度と手放せなくなる財・サービスは数多い．また，全般的な生活水準についても，「一度贅沢をすると，貧乏に耐えられない」といったことがいわれている．以下では，このような消費の習慣性の最も単純なケースとして，今期（ｔ期）の消費から得られる効用が，1期前（ｔ－１期）の消費水
準に依存する家計を考える。

瞬時効用関数 $ u(c_{t};c_{t-1}) $ が

$$ u(c_{t};c_{t-1})=c_{t}-a(c_{t}-\upmu c_{t-1})^{2},\ 01$ より明らかに1より小さくなる．よって，恒常所得のイノヴェーションξ_{t+1}が消費の変化Δc_{t}に与える影響は，確実性等価モデルの場合よりも小さくなる．

以上より，消費の習慣性は過剰平滑を説明する可能性がある．他方，過剰感応については，予想される結論はデータが示す方向と逆である．

#### 5.4. 流動性制約の存在（Hayashi(1985)ほか）

確実性等価モデルでは，資金の貸借市場が完全であり，家計は，長期的な予算制約を守る限り，同じ安全利子率でいくらでも自由に貸し出し，借り入れができると仮定されている．現実には，将来の労働所得を返済原資とする借り入れは，貸し倒れのリスクを調整したあとでも，銀行預金などの貸出よりも高い利子率を要求されるのが普通であり，また一定の借り入れ限度が存在する場合がほとんどである．このような「流動性制約」の存在は，明らかに家計の消費＝貯蓄行動に影響をおよばすはずである．

しかし，「借り入れと預け入れの金利が，家計の資産ポジションによって変化する」というもっとも自然な流動性制約は，分析するのが非常に困難である．よって多くの分析では，流動性制約として今期の可処分所得 $ x_{t} $ に対する限界消費性向が1であるという制約，すなわち，

$$ c_{t}=x_{t} $$

あるいはその変形として

$$ c_{t+1}-c_{t}=x_{t+1}-x_{t} $$

を課すことが多い $ ^{24} $ .

(30)式は

$$ \Delta c_{t}=E_{t}\Delta x_{t}+\varepsilon_{t+1} $$

と変形できることから，流動性制約の下で過剰感応が成立するのは明らかである．逆に消
費の変動の大きさについては，

$$ \mathrm{Var}(\Delta c_{t})=\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1})+\mathrm{Var}(E_{t}[\Delta x_{t}])>\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1})\geq\mathrm{Var}(\xi_{t+1}) $$

となって確実性等価モデルに比べて大きくなるため，過剰平滑については，流動性制約の存在によっては説明できない．

#### 5.5. 労働所得における複数の異なる変動要因

一般に，家計は自らの将来所得に関係する非常に多くの情報を持っているのに対して，計量経済学者は，所得の実現値以外はほとんど何の情報も持たずに，将来所得を予測している．このように家計と計量経済学者との間に情報の格差が存在する場合，計量経済学者による恒常所得のボラティリティーの推計値が過大になる可能性がある．このことを分析するため，労働所得の変動が，恒久的な部分と一時的な部分の2つから構成されており，家計は両者の違いを区別できるが，計量経済学者はできない状況を考える．

簡単化のために労働所得 $ x_{t} $ が二つの時系列 $ x_{Pt} $ および $ x_{Tt} $ の和であり，それぞれが

$$ \begin{aligned}x_{Pt+1}&=x_{Pt}+\mathfrak{E}_{Pt+1}\\x_{Tt+1}&=\mathfrak{E}_{Tt+1}\end{aligned} $$

に従うとする．ここで，$\varepsilon_{Pt+1}$ および$\varepsilon_{Tt+1}$ は分散が1のi.i.dに従うホワイトノイズとする．また家計は，$\varepsilon_{Pt+1}$ と$\varepsilon_{Tt+1}$ を区別しながら，確実性等価モデルにしたがって行動するものとする．このとき恒常所得$y_{t+1^{p}}$ のイノヴェーション$\xi_{t+1}$ は

$$ \begin{align*}\xi_{t+1}&\equiv r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})x_{t+s}\\&=r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})\{ax_{Pt+s}+(1-a)x_{Tt+s}\}\\&=ar\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})x_{Pt+s}+(1-a)r\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s}(E_{t+1}-E_{t})x_{Tt+s}\\&=a\xi_{Pt+1}+(1-a)r\xi_{Tt+1}\end{align*} $$

となることから，観察される消費の分散 $ \operatorname{Var}(\Delta c_{t}) $ は，確実性等価モデルの下で

$$ \mathrm{Var}(\Delta c_{t})=\mathrm{Var}(\xi_{t+1})=a^{2}\mathrm{Var}(\varepsilon_{Pt+1})+(1-a)^{2}r^{2}\mathrm{Var}(\varepsilon_{Tt+1})=a^{2}+(1-a)^{2}r^{2} $$

と辭量経済学者は，以上の，労働所得の誤差項が，2つの独立した攪乱項の和で構成されているという構造を観察できないため，労働所得を単一の攪乱項から生成される階差定常な確率過程として定式化してしまう可能性がある．例えば，労働所得が以下の階差定常な1階の自己回帰（AR(1)）過程

$$ x_{t+1}=x_{t}+e_{t+1} $$

に従うと「誤って」定式化した場合，「観察された」労働所得の「イノヴェーション」 $ e_{t+1} $ が実際には

$$ e_{t+1}=\pmb{\varepsilon}_{P t+1}+\pmb{\varepsilon}_{T t+1}-\pmb{\varepsilon}_{T t} $$

となることから，その分散 $ \operatorname{Var}(e_{t+1}) $ は

$$ \begin{aligned}\mathrm{Var}(e_{t+1})&=a^{2}\mathrm{Var}(\mathfrak{E}_{Pt+1})+(1-a)^{2}\{\mathrm{Var}(\mathfrak{E}_{Tt+1})+\mathrm{Var}(\mathfrak{E}_{Tt})\}\\&=a^{2}+2(1-a)^{2}>\mathrm{Var}(\Delta c_{t})\end{aligned} $$

となって，消費の分散 var(∆c_{t}) を上回ることになる．このため，データ上は過剰平滑が生じているような結果が得られることとなる．

以上の定式化では，「観察された」攪乱項 $ e_{t+1} $ は，

$$ e_{t+1}=a\mathfrak{E}_{P t+1}+(1-a)(\mathfrak{E}_{T t+1}-\mathfrak{E}_{T t}) $$

と1次の系列相関$\rho_{1}=-(1-a)^{2}/\{a^{2}+2(1-a)^{2}\}$を持つことから，以上の定式化に問題があることは攪乱項の時系列を調べることですぐにわかる．しかしながら，労働所得に加わる2つの変動要素が，共に一般的なARMA過程にしたがっているような場合には，2つの変動要素を単一の時系列の観察によって分離することは非常に困難であると考えられる．一般的なケースについてのより厳密な分析はQuah(1990)を参照されたい．
### 6. 予備的貯蓄

将来所得が不確実な人は，そうでない人に比べてより多くの貯蓄を行うのではないか，という「予備的貯蓄」の問題は，Leland（1968），Sandmo（1970），Dreze and Modigliani（1972）によって初めて理論的に考察された．彼らはすべて，2期間の計画期間を持ち，第2期の所得 $ x_{2} $ に不確実性 $ \varepsilon_{2} $ が存在するような個人の動学的効用最大化問題を考察した．そして，瞬時効用関数 $ u(c_{t}) $ の3次の導関数 $ u^{\prime\prime} $ が予備的貯蓄の存在を左右すること，特に「絶対的危険回避度」(absolute risk aversion measure) $ u^{\prime}/u $ が消費量の変化に対してどのように振る舞うのかが，「予備的貯蓄」の大きさに大きな影響を及ぼすことを示した．これらの性質を，危険回避度に関するアロー＝プラットの議論との数学的な等質性に基づいて，予備的貯蓄の大きさに関する「慎重度」(prudence measure)の理論としてまとめたのが，Kimball（1990）の業績である $ ^{25} $ ．

#### 6.1. 予備的貯蓄の直観的な意味

オイラー方程式の上に予備的貯蓄の性質が示されることは，すでに第2節で簡単に触れたが，ここでは予備的貯蓄が発生する直感的な理由について，より詳しい説明を行う．問題となるのは

「オイラー方程式

$$ E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]=\beta u^{\prime}(c_{t}) $$

の左辺に含まれる時点 $ t + 1 $ での消費 $ c_{t+1} $ は，時点 t において不確実な確率変数であるが，この $ c_{t+1} $ に関する不確実性の変化は，時点 t における消費－貯蓄行動にどのような影響を及ぼすか？」

ということである。

簡単な例として， $ c_{t+1} $ のとり得る値が $ c_{h} $ と $ c_{l} $ の 2 つしかない場合を考える．ただし $ c_{h} > c_{l} $ であるとする．両者の実現する確率が共に 1/2 である場合，来期（時点 $ t + 1 $ ）の消費の限界効用の期待値 $ E_{t}[u'(c_{t+1})] $ は，

$$ E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]=\frac{u^{\prime}(c_{h})+u^{\prime}(c_{l})}{2} $$

となる．これに対して $ c_{t+1} $ に不確実性が存在せず，確率 1 で $ (c_{h} + c_{l})/2 $ となる場合には，来期の消費の限界効用の期待値 $ E_{t}[u'(c_{t+1})] $ は，

$$ E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]=u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg) $$

となる． $ c_{h} $ と $ c_{l} $ の差 $ c_{h}-c_{l} $ が十分小さいとき，将来消費に不確実性が発生した場合の限界効用の変化は，

$$ \frac{u^{\prime}(c_{h})+u^{\prime}(c_{l})}{2}-u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg)=\frac{1}{2}\bigg[\bigg\{u^{\prime}(c_{l})-u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg)\bigg\}-\bigg\{u^{\prime}\bigg(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\bigg)-u^{\prime}(c_{h})\bigg\}\bigg] $$

となって，

$$ u^{\prime}(c_{l})-u^{\prime}\biggl(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\biggr)>u^{\prime}\biggl(\frac{c_{h}+c_{l}}{2}\biggr)-u^{\prime}(c_{h}) $$

の時，不確実性によって将来消費の限界効用は増加する．ここで(31)式の左辺は，消費が平均値より小さくなったことによる限界効用の上昇幅を示し，右辺は，消費が平均値より大きくなったことによる限界効用の低下幅を示す．(31)式が成り立つのは，消費の減少ともなう限界効用の上昇，すなわち消費が少なくなったことによる「消費1単位の価値」の上昇が，消費の増加にともなう限界効用の低下を上回る場合である．個人が危険回避的な行動をとるのは，消費の限界効用が遅減する場合であるが，その限界効用の減少幅が，消費の増加にともなって遅減するとき，すなわち，図1のように限界効用曲線が凸関数であるとき，(31)式が成り立つことになる．来期の消費の期待限界効用が不確実性によって上昇す
ると，それにともなってオイラー方程式(9)の右辺で示される今期の貯蓄の限界効用も上昇する．そのため，個人はより価値の高まった貯蓄を増加させ，その分消費を減らすこととなる．この将来消費の不確実性によって生じた貯蓄の増加が，予備的貯蓄である．

さらに，不確実性の程度が変化した場合を考察するために， $ c_{t+1} $ に関する不確実性が， $ c_{h} $ が $ c_{h} + \Delta c $ に， $ c_{l} $ が $ c_{l} - \Delta c $ にそれぞれ変化し， $ c_{h} $ と $ c_{l} $ の差 $ c_{h} - c_{l} $ が $ 2\Delta c $ 拡大するという意味で増大した場合を考える．このとき $ E_{t}[u'(c_{t+1})] $ は，次の計算

$$ \begin{aligned}\frac{u^{\prime}(c_{h}+\Delta c)+u^{\prime}(c_{l}-\Delta c)}{2}-\frac{u^{\prime}(c_{h})+u^{\prime}(c_{l})}{2}\\=\frac{\left\{u^{\prime}(c_{h}+\Delta c)-u^{\prime}(c_{h})\right\}+\left\{u^{\prime}(c_{l}-\Delta c)-u^{\prime}(c_{l})\right\}}{2}\\ \cong\frac{\left\{u^{\prime \prime}(c_{h})-u^{\prime \prime}(c_{l})\right\}\Delta c}{2}\end{aligned} $$

より，$-u''(c_h) < -u''(c_l)$ の場合に増加することがわかる。

ここで $ -u^{\prime\prime}(c_{h}) $ は，消費量が多い状況 $ (c_{t+1}=c_{h}) $ で，消費が限界的に1単位増加したときの限界効用 $ u^{\prime}(c_{h}) $ の下落幅を示し， $ -u^{\prime\prime}(c_{l}) $ は，消費量が少ない状況 $ (c_{t+1}=c_{l}) $ で，消費が限界的に1単位減少したときの限界効用 $ u^{\prime}(c_{l}) $ の上昇幅を示す．不確実性の増加は，元々消費量が多いときの消費がより増加し，少ないときの消費がより減少することである．そのとき，消費量の多いときの限界効用の下落よりも，少ないときの限界効用の上昇の方が大きい場合 $ \left(-u^{\prime\prime}(c_{h})<-u^{\prime\prime}(c_{l})\right) $ には，期待値でみた将来消費の限界効用が上昇する．その結果，貯蓄の期待限界効用 $ E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]/\beta $ が大きくなり，今期の消費から貯蓄への代替の誘因が強まることになる（図2）．効用関数 $ u^{\prime} $ の3階の導関数 $ u^{\prime\prime} $ が定義域において常に $ u^{\prime\prime\prime}>0 $ となる場合，2階の導関数 $ u^{\prime\prime} $ が単調増加関数となることから，任意の $ c_{h} $ ， $ c_{l} $ に対して $ -u^{\prime\prime}(c_{h})<-u^{\prime\prime}(c_{l}) $ が成り立つことになる．よって $ u^{\prime\prime\prime}>0 $ の場合，将来消費の不確実性が増加すると，今期の貯蓄が増加する，すなわち予備的貯蓄が増加することになる．

一般に $ F(x,\rho) $ を $ c_{t+1} $ の従う分布関数とし，そのリスクに関するパラメータ- $ \rho $ が $ \rho_{0} $ から $ \rho_{1} $ に変化し，不確実性がmean-preserving-spreadの意味で増加したとする $ ^{26} $ ．ここである関数 g を考えたとき，g が厳密な凹関数ならば

$$ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF(x,\rho_{0})>\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF(x,\rho_{1}) $$

g が厳密な凸関数ならば

$$ \int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF(x,\rho_{0})<\int_{-\infty}^{\infty}g(x)dF(x,\rho_{1}) $$

が成り立つよって効用関数uが厳密な凹関数の場合消費の不確実性がmean-preserving-spreadの意味で増加すると，事前の期待効用は減少し，危険回避的な選好を表すことになる．また限界効用uが厳密な凸関数の場合，消費 $ c_{t+1} $ の不確実性がmean-preserving-spreadの意味で増加すると，期待限界効用 $ E_{t}[u'(c_{t+1})] $ は増加し，予備的貯蓄が増加することとなる．

#### 6.2. 「慎重度」(prudence measure)の理論

オイラー方程式のみを用いた議論では，将来消費の不確実性そのものを仮定しなければならないが，本来将来消費の不確実性は家計の貯蓄＝消費行動の結果としてもたらされるものであり，期待効用最大化問題を解くことで，モデルから導出されなければならない．

$$ \int_{0}^{y}[F\left(x,\mathfrak{p}_{1}\right)-F\left(x,\mathfrak{p}_{0}\right)]d x\geq0\ \mathrm{f o r a l l}y\in[0,1] $$
以下では計画期間が2期である家計の問題を考察し，予備的貯蓄と家計の瞬時効用関数 $ u(\cdot) $ との関係を Kimball (1990)によって考察する．

単純化のために，家計の割引ファクターδおよび安全利子率rを共にゼロとおくと，家計の期待効用最大化問題は，

$$ \begin{aligned}\max_{}&E_{1}[u(c_{1})+u(c_{2})]\quad u^{\prime}>0,u^{\prime\prime}<0\\ s.t.&x_{1}+x_{2}=c_{1}+c_{2}\end{aligned} $$

となり，1階の条件は

$$ u^{^{\prime}}(c_{1})=E_{1}[u^{^{\prime}}(x_{1}+x_{2}\cdot\quad c_{1})] $$

となる．来期(第2期)の労働所得$x_{2}$が確実，すなわち$x_{2}=x^{D_{2}}$となる場合の今期（第1期）の消費および貯蓄をそれぞれ$c^{D_{1}}$，$s^{D_{1}}$とおくと，(32)式は

$$ u^{^{\prime}}(c^{D}_{1})=u^{^{\prime}}(x_{1}+x^{D}_{2}-c^{D}_{1}) $$

となることから， $ c^{D_{1}} $ について解くと，

$$ c^{D_{1}}=\frac{x_{1}+x^{D_{2}}}{2} $$

→

$$ s^{D}{}_{1}\equiv x_{1}-c^{D}{}_{1}=\frac{x_{1}-x^{D}{}_{2}}{2}, $$

$$ c^{D_{2}}=c^{D_{1}}=\frac{x_{1}+x^{D_{2}}}{2} $$

となって，今期の貯蓄 $ s^{D_{1}} $ は今期の労働所得から来期の労働所得を差し引いた差の半分に等しくなる。来期の労働所得が不確実，すなわち $ \varepsilon_{2} $ を平均ゼロ，分散 $ \sigma_{\varepsilon} $ の確率変数として $ x_{2} $ が $ x_{2}=x^{D_{2}}+\varepsilon_{2} $ となる場合の今期の消費および貯蓄をそれぞれ $ c^{R_{1}} $ ， $ s^{R_{1}} $ とおくと， $ u' $ が厳密な凸関数の場合，(32)式より

$$ u^{\prime}(c^{R_{1}})=E_{1}[u^{\prime}(x_{1}+x^{D_{2}}+\varepsilon_{2}-\ c^{R_{1}})]>u^{\prime}(x_{1}+x^{D_{2}}-\ c^{R_{1}}) $$

となることから， $ c^{R_{1}} $ について解くと $ c^{R_{1}} < c^{D_{1}} $ が得られる．

以上のモデルで,「等価予備的プレミアム」(Equivalent Precautinary Premium, EPP) Ψ(s^{R_{1}}, ε_{2})および「補償予備的プレミアム」(Compensating Precautinary Premium, CPP) Ψ^{*}(s^{D_{1}}, ε_{2})をそれぞれ

$$ \begin{aligned}&E_{t}[u^{\prime}(s^{R_{1}}+x^{D_{2}}+\mathfrak{E}_{2})]=u^{\prime}(s^{R_{1}}+x^{D_{2}}-\ \psi(s^{R_{1}},x^{D_{2}},\mathfrak{E}_{2}))\\&E_{t}[u^{\prime}(s^{D_{1}}+x^{D_{2}}+\mathfrak{E}_{2}+\ \psi^{*}(s^{D_{1}},x^{D_{2}},\mathfrak{E}_{2}))]=u^{\prime}(s^{D_{1}}+x^{D_{2}})\\ \end{aligned} $$

と定義する．このとき，EPPは，来期の労働所得の不確実性$\varepsilon_{2}$を取り去っても，貯蓄が変化しないよう来期の所得から差し引かなければならない固定額であり，CPPは，来期の労働所得に不確実性が加わっても，貯蓄が変化しないよう来期の所得に付け加えなければならない額を表す．(33)式とEPPを用いれば，不確実性下の貯蓄額$s^{R_{1}}$は

$$ \begin{aligned}s^{R}_{1}&=s^{R}(x_{1},x^{D}_{2},\mathfrak{E}_{2})\\&=s^{D}(x_{1},x^{D}_{2}-\ \psi(s^{R},x^{D}_{2},\mathfrak{E}_{2}))\\&=\frac{x_{1}+\ \psi(s^{R}_{1},x^{D}_{2},\mathfrak{E}_{2})-x^{D}_{2}}{2}\\ \end{aligned} $$

となり，EPP が大きいほど貯蓄も大きくなることがわかる $ ^{27} $

この EPP と CPP について，消費の限界効用にマイナスをかけた- $ u'(c_{2}) $ を Pratt (1964) の議論における効用関数とみなすことで，その「等価リスクプレミアム」および「補償リスクプレミアム」に関する結果がそのまま適用できる．まず，不確実性 $ \varepsilon_{2} $ が非常に小さい場合，「絶対的慎重度」(absolute prudence measure) $ \eta(c_{2}) $ を
$$ \boldsymbol{\eta}(c_{2})=-\frac{\boldsymbol{u}^{\prime\prime}(c_{2})}{\boldsymbol{u}^{\prime\prime}(c_{2})} $$

とおけば, EPP と CPP は任意の s および $ x^{D} $ に対して

$$ \boldsymbol{\psi}(s,x^{D},\boldsymbol{\varepsilon}_{2})=\frac{1}{2}\boldsymbol{\eta}(s+x^{D})\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{\varepsilon}}+o(\boldsymbol{\sigma}_{\boldsymbol{\varepsilon}})=\boldsymbol{\psi}^{*}(s,x^{D},\boldsymbol{\varepsilon}_{2}) $$

となる．ただし， $ o(\sigma_{\varepsilon}) $ は $ \sigma_{\varepsilon} $ がゼロに収束するとき， $ \sigma_{\varepsilon} $ よりも速くゼロに収束するような $ \sigma_{\varepsilon} $ の関数である．さらに，不確実性 $ \varepsilon_{2} $ が十分大きく，(36) 式の近似が不適当な場合にも，2 つの瞬時的効用関数 $ u^{A} $ と $ u^{B} $ について，それぞれの「絶対的慎重度」 $ \eta^{A} $ と $ \eta^{B} $ との間に，すべての c について

$$ \eta^{A}(c)=-\frac{u^{A^{\prime\prime\prime}}(c)}{u^{A^{\prime\prime}}(c)}>-\frac{u^{B^{\prime\prime\prime}}(c)}{u^{B^{\prime\prime}}(c)}=\eta^{B}(c) $$

が成り立つならば，任意の c および不確実性εに対して，

$$ \boldsymbol{\psi}^{A}(c,\boldsymbol{\varepsilon})>\boldsymbol{\psi}^{B}(c,\boldsymbol{\varepsilon}) $$

および

$$ \boldsymbol{\psi}^{*A}(c,\boldsymbol{\varepsilon})>\boldsymbol{\psi}^{*B}(c,\boldsymbol{\varepsilon}) $$

が成り立つことが示される．つまり，「絶対的慎重度」が大きいほど，「予備的プレミアム」が大きくなるのである $ ^{28} $ ．

以上の「慎重度」の議論より，瞬時効用関数の3階微分と2階微分の比である「絶対的慎重度」が，「予備的貯蓄」の大きさを示す指標となることが明らかになった．

#### 6.3. 無限期間の効用最大化と予備的貯蓄(Caballero (1990))

計画期間が無限の場合，予備的貯蓄の生じるような瞬時効用関数を持つ家計の，動学的最大化問題の解を解析的に求めることは困難である．ところが，瞬時効用関数 $ u(c_{t}) $ が絶対的危険回避度一定(CARA)型

$$ u(c_{t})=-\exp(-\alpha c_{t}),\alpha>0 $$

の場合 $ ^{29} $ ，3階微分が

$$ u^{^{\prime \prime \prime}}\left(c_{t}\right)=\alpha^{3}\mathrm{e x p}(-\alpha c_{t})>0 $$

と正であることから，家計には予備的貯蓄の誘因が存在し，しかも解析的に解が得られることがわかる．

資産の収益率 r を時間を通じて一定とし，労働所得 $ \left\{x_{t}\right\}_{t=0}^{\infty} $ が定常な ARMA 過程に従うとすると，消費関数および時系列について，以下の 2 式

$$ \begin{aligned}&c_{t}=y_{t^{p}}-\Gamma/r\\&c_{t+1}=c_{t}+\Gamma+\xi_{t+1}\\ \end{aligned} $$

が得られる（Caballero (1990), Proposition 1）. ただしΓは，

$$ \Gamma=(1/\alpha)\mathrm{l n}E_{t}[\exp(-\alpha\xi_{t})]+(1/\alpha)\mathrm{l n}\delta\left(1+r\right) $$

で定義される定数である．証明は，消費過程$\{c_{t}\}_{t=0}^{\infty}$の従う関数形を

$$ c_{t+1}=\emptyset_{t}c_{t}+\Gamma_{t}+\mathfrak{v}_{t+1} $$

と予想(guess)し（ただし$\phi_{t}$，$\Gamma_{t}$は確定的な変数，$\nu_{t+1}$はホワイトノイズ），オイラー方程式および予算制約に逐次代入し整理して具体的に確認(verify)する方法で行われる．また(38)式における消費の1階階差$\Delta c_{t}\equiv c_{t+1}-c_{t}$に関する性質（$\Delta c_{t}$が定常分布に従う）は，恒常所得過程の誤差項$\xi_{t+1}$の定常性と，オイラー方程式

$$ \boldsymbol{\alpha}\cdot\exp(-\alpha c_{t})=\delta\left(1+r\right)\boldsymbol{\alpha}\cdot\boldsymbol{E}_{t}[\exp(-\alpha c_{t+1})] $$

$$ 1=\delta\left(1+r\right)E_{t}[\exp(-\alpha(c_{t+1}-c_{t}))] $$

が階差 $ \Delta c_{t} $ だけの方程式として表せることに由来する $ ^{30} $ .