Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
(37)式より，消費は恒常所得のみに依存して，予期された今期の所得変化には影響を受けないこともわかる．さらに(38)式より，消費の確率過程はドリフト付きのマーティングールに従うことがわかる．特に利子率rが充分小さく，

$$ (1/\alpha)\mathrm{ln}E_{t}[\mathrm{exp}(-\alpha\xi_{t+1})]=-(1/\alpha)\mathrm{ln}\delta\;(1+r) $$

が成り立つ場合には$\Gamma=0$ となることから，消費は純粋なランダム・ウォークとなる．予備的貯蓄の大きさを示すパラメーターΓは，(39)式での定義より，$\xi_{t+1}$ が mean-preserving-spread の意味でよりリスキーになる場合に増加することがわかる．

以上より，CARA型効用関数の下での予備的貯蓄の存在は，消費の時系列に関しては，確実性等価モデルで得られた性質に対して影響をおよばさず，そのため，過剰感応や過剰平滑を説明する要因にはならないことが明らかになった．これに対して，利子率rと消費の成長率 $ \Delta c_{t}/c_{t} $ との関係については，期待成長率 $ E_{t}[\Delta c_{t}/c_{t}] $ がゼロとなる利子率rの水準が，確実性等価モデルに比べて小さくなることが示された．

#### 6.4. 不確実性の変化と予備的貯蓄(Caballero (1990))

今までは労働所得のイノヴェーション$\varepsilon_{t}$が常に同一の分布に従う，すなわち所得の不確実性の程度が時間を通じて一定の場合を考察してきたが，ここでは，$\varepsilon_{t}$を生み出す分布が，時間を通じて変化する場合を考える．具体的には，(37)式で予備的貯蓄を表していた項Γが時間を通じて一定ではなくその確率過程$\{\Gamma_{t}\}^{\infty}$が

間を通じて一定ではなく，その確率過程 $ \{\Gamma_{t}\}_{t=0}^{\infty} $ が

$$ E_{t}[\Gamma_{t+s}]-E_{t-1}[\Gamma_{t+s}]=\varphi_{s\mathcal{Z}t}\qquad\mathrm{w i t h}\qquad\sum_{j=0}^{\infty}\binom{1}{1+r}^{j}\varphi_{j}<\infty $$

で表される場合を考える．このとき消費関数およびその時系列について

$$ c_{t}=y_{t}{}^{p}-\Gamma_{t}/r-r\sum_{s=1}^{\infty}\Biggl(\frac{1}{1+r}\Biggr)^{s+1}\sum_{j=1}^{s}\sum_{h=0}^{t}(\varphi_{h+j-1}-\varphi_{h})z_{t-h} $$

$$ c_{t+1}=c_{t}+\Gamma_{t}+\xi_{t+1}-\vartheta z_{t+1} $$

が得られる（Caballero (1990), Proposition 2）. ただし $ \Gamma_{t} $ は

$$ \Gamma_{t}=(1/\alpha)\ln E_{t}[\exp(-\alpha(\xi_{t+1}-\vartheta_{Z_{t+1}}))]+(1/\alpha)\ln\delta\left(1+r\right) $$

で与えられ，は

$$ \vartheta=\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\varphi_{s} $$

で定義される定数である¹．∀＞0 の場合，(42)式より，予備的貯蓄Γt のイノヴェーション zt は当期の消費 c t と負の相関を持つ．

予備的貯蓄$\Gamma_{t}$と労働所得$x_{t+1}$あるいは恒常所得$y^{p_{t+1}}$の不確実性との関係については，消費$c_{t+1}$のイノヴェーション$\nu_{t+1}$の条件付き分布が正規分布で近似でき，恒常所得$y^{p_{t+1}}$のイノヴェーション$\xi_{t+1}$の分散$\sigma^{2}_{\xi_{t+1}}$が，次の確率過程

$$ E_{t}[\sigma^{2}\xi_{t+s+1}]-E_{t-1}[\sigma^{2}\xi_{t+s+1}]=\varphi_{s}\lambda_{t}\qquad\mathrm{w i t h}\qquad\sum_{j=0}^{\infty}\binom{1}{1+r}\mathrm{j}\varphi_{j}<\infty $$

に従い（$\lambda_{t}$ は i.i.d に従うホワイトノイズ），かつ $\mathrm{Cov}(\xi_{t+s}, \lambda_{t+1})$ が（ほぼ）定数と見なせるとの仮定の下で，

$$ c_{t}=y_{t}{}^{p}-\frac{1}{r}\Big\{\frac{\alpha\sigma^{2}{}_{\mathfrak{v}t+1}}{2}+\frac{1}{\alpha}\mathbf{l n}\delta\left(1+r\right)\Big\} $$

$$ -\ \frac{\alpha r}{2}\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}\sum_{j=1}^{s}\sum_{h=0}^{t}(\varphi_{h+j-1}-\varphi_{h})\lambda_{t-h} $$

$$ c_{t+1}=c_{t}+\frac{\alpha\sigma_{\mathfrak{v}t+1}^{2}}{2}+\frac{1}{\alpha}\mathbf{ln}\delta\left(1+r\right)+\mathfrak{v}_{t+1} $$

$$ \mathfrak{v}_{t+1}=\xi_{t+1}-\frac{\alpha\vartheta\lambda_{t+1}}{2} $$
が得られる（Caballero (1990), Corollary 2） $ ^{32} $ .

ここで予備的貯蓄に関する$\sigma_{v+1}^{2}$ の大きさは，恒常所得のノヴェーションの分散$\sigma^{2}\xi_{t+1}$ プラス定数となることから（補論(a11)式を参照のこと），(47)式は，将来所得$w_{t+1}$ の不確実性$\sigma^{2}\xi_{t+1}$ の増大が，今期（$t$ 期）から来期（$t+1$ 期）にかけての消費の増分$\Delta c_{t}$ を増加させること，すなわち消費の成長をもたらすことを示している．また(47)式および(48)式より，$t+1$ 期に生じた不確実性のイノヴェーション$\lambda_{t+1}$ は，今期の消費の増分$\Delta c_{t}\equiv c_{t+1}-c_{t}$ と負の相関を持つことがわかる．さらに(45)式より，

$$ \boldsymbol{\sigma}^{2}\boldsymbol{\xi}_{t+1}=\mathbf{C}+\boldsymbol{\lambda}_{t}+\boldsymbol{\varphi}_{1}\boldsymbol{\lambda}_{t-1}+\boldsymbol{\varphi}_{2}\boldsymbol{\lambda}_{t-2}+\cdots $$

となることから（ただし C は定数項），過去（$t-s$ 期）に生じた不確実性のイノヴェーション $\lambda_{t-s}$ は，$\Delta c_{t}$ と正の相関を持つことがわかる．

労働所得のイノヴェーション$\varepsilon_{t+1}$（および恒常所得のイノヴェーション$\xi_{t+1}$）と，その分散のイノヴェーション$\lambda_{t+1}$とは，互いに相関する可能性がある．(47)式の不確実性に(49)式を代入すると，消費の変化$\Delta c_{t}$は，

$$ \Delta c_{t}=\xi_{t+1}+\frac{\alpha}{2}(\mathbf{C}-\vartheta\lambda_{t+1}+\lambda_{t}+\varphi_{1}\lambda_{t-1}+\varphi_{2}\lambda_{t-2}+\cdots) $$

となる．よって$\xi_{t-i}$（すなわち$\varepsilon_{t-i}$）と$\lambda_{t-i}$が負の相関を持つとき，消費が所得の予期された変化$E_{t}[\Delta x_{t}]$と正の相関を持つ，すなわち過剰感応が発生する可能性がある．また$\xi_{t+1}$と$\lambda_{t+1}$が正の相関を持つ場合には，消費の予期されない変化$\zeta_{t+1}=\xi_{t+1}-\alpha\vartheta\lambda_{t+1}/2$の分散が

$$ \begin{array}{r}{\mathrm{V a r}(\zeta_{t+1})=\mathrm{V a r}(\xi_{t+1})+\alpha^{2}\vartheta^{2}\mathrm{V a r}(\lambda_{t+1})/4-\alpha\vartheta\mathrm{C o v}(\xi_{t+1},\lambda_{t+1})}\\ {<\mathrm{V a r}(\xi_{t+1})}\end{array} $$

となる可能性，すなわち過剰平滑の起こる可能性もある。

以上より，CARA 型効用関数の下で予備的貯蓄の誘因が存在する場合，所得の不確実性のレベル $ \sigma^{2}\xi_{t+1} $ と消費の階差 $ \Delta c_{t} $ との間に正の相関が生じることがわかった．また，労働所得に対するショックとその不確実性に対するショックの間の相関関係を考慮すると，CARA 型効用関数による予備的貯蓄の存在によって過剰感応や過剰平滑を説明できることが分かった．ただしそれらはそれぞれ異なる想定に基づいているため，両者が同時に生じている状況を説明することはできないことも明らかとなった．

## 6 ．5．「調整のずれ」と予備的貯蓄

現実の家計は，予備的貯蓄の誘因のほか，消費の持続性や習慣性の問題にも同時に直面している可能性がある．ところが，予備的貯蓄と消費の非加法性を同時に考慮した上で，合理的な個人の最大化問題を解いて，解析的に厳密な解を求めることはきわめて困難である．直感的には，消費に持続性がある場合，各時点での消費支出は，実際の消費の一部にすぎないことから，恒常所得の予期せぬ減少に応じて実際の消費を減らす際に，直前の，現在から見ると過大であった消費支出の過剰分を差し引くため，今期の消費支出は将来の期待支出額よりもさらに少なくなる必要がある．これは，一種の過剰反応，あるいは「調整の行きすぎ」として近似することが可能である．消費に習慣性がある場合には，持続性とは逆に，前期の大きな消費に引きずられて，今期の消費は将来の期待消費ほどには減少しないため，一種の過小反応，あるいは「調整の遅れ」として近似することが可能である．そこで本節では，近似的な方法として，家計の行動が，過去の行動に引きずられて，本来の最適な消費計画を完全には実現できない，あるいは，調整を「やりすぎてしまう」という仮定を導入して，そのような「調整のずれ」がある場合の恒常所得および消費の時系列的な振る舞いを分析する．

具体的には，(46)式で得られる最適な消費計画の下での消費量を $ c_{t}^{*} $ とおき，

$$ c_{t}{}^{*}=y_{t}{}^{p}-\frac{\alpha\sigma^{2}{}_{v t+1}}{2r}+\left(1/\alpha\right)\mathbf{l}\mathbf{n}\delta\left(1+r\right) $$
$$ -\ \frac{\alpha r}{2}\sum_{s=1}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\ \right)^{s+1}\sum_{j=1}^{s}\sum_{h=0}^{t}(\varphi_{h+j-1}-\varphi_{h})\lambda_{t-h} $$

これに対して実際の消費量 $ c_{t} $ が,

$$ c_{t}-c_{t-1}=k(c_{t^{*}}-c_{t-1})\qquad k>0 $$

を満たすように決定されるとする．ここで k は調整速度のパラメータ一で，k < 1 の場合は「過小調整」，k > 1 の場合は「過剰調整」ということになる．t - 1 期における最適消費量 $ c^{*}_{t-1} $ を用いると，(51)式は

$$ c_{t}-c_{t-1}=k(c_{t}^{*}-c_{t-1}^{*})+k(c_{t-1}^{*}-c_{t-1}) $$

と変形できる。

これに対して，(51)式を $ c_{t}^{*} $ と $ c_{t} $ との関係で考えると

$$ c_{t^{*}}-c_{t-}=\frac{1-k}{k}(c_{t}-c_{t-1}) $$

という式が得られる．さらに，t-1期に $ c_{t-1}=c^{*}_{t-1} $ が成り立っていた場合に実現したであろうt期の恒常所得を $ y^{*}_{t^{p}} $ とおいて恒常所得が $ y^{*}_{t^{p}} $ である場合のt期の最適消費計画を $ c_{t}^{**} $ とおけば，資産蓄積の遷移式(5)および恒常所得の定義式(6')より，

$$ \begin{aligned}&y_{t^{p}}-y^{*}{}_{t^{p}}=r(-c_{t-1}+c^{*}{}_{t-1})=r(c^{*}{}_{t-1}-c_{t-1})\\&c_{t^{*}}-c_{t}{}^{**}=y_{t^{p}}-y^{*}{}_{t^{p}}=r(c^{*}{}_{t-1}-c_{t-1})\\ \end{aligned} $$

となることから，(51')式を $ c_{t}^{**} $ を用いてさらに変形した

$$ c_{t}-c_{t-1}=k(c_{t}^{**}-c_{t-1}^{*})+k(c_{t}^{*}-c_{t}^{**})+k(c_{t-1}^{*}-c_{t-1}) $$

に(52)(53)両式を代入すると，

$$ \begin{align*}c_{t}-c_{t-1}&=k(c_{t}^{**}-c_{t-1}^{*})+k(1+r)(c_{t-1}^{*}-c_{t-1})\\&=\;k(c_{t}^{**}-c_{t-1}^{*})+(1-k)(1+r)(c_{t-1}-c_{t-2})\\&=\;k\bigg(\frac{\alpha\sigma^{2}\mathfrak{v}t}{2}+(1/\alpha)\ln\delta\;(1+r)+\mathfrak{v}_{t}\bigg)+(1-k)(1+r)(c_{t-1}-c_{t-2})\end{align*} $$

となり，消費の1階階差$\Delta c_{t}$は，不確実性$\alpha\sigma^{2}_{vt}/2$に対して正の相関を持つと同時に，$k<1$の場合には正の自己相関を，$k>1$の場合には負の自己相関を持つことがわかる。

前節で議論したように，消費の増分$\Delta c_{t}$が正（負）の自己相関を持つ場合，$\Delta c_{t}$と所得のイノヴェーション$\xi_{t+1}$との間には正（負）の相関がある．また所得が定常な確率過程に従っていると所得の予期された変化$E_{t}[\Delta x_{t}]$と過去の所得のイノヴェーション$\xi_{t-s}$との間には負の相関が成り立つ．よって，消費の増分$\Delta c_{t}$が正（負）の自己相関を持つ場合，消費の増分$\Delta c_{t}$と所得の予期された変化$E_{t}[\Delta x_{t}]$との間には負（正）の相関が生じることになる．よって，過剰感応が観察されるためには，消費に持続性が存在するなどの要因によって，一種の「過剰調整」が行われている必要がある．また，自己相関の存在と所得の不確実性の影響を正しく考慮した上で計測された，消費のイノヴェーションの分散$\mathrm{Var}(\zeta_{t+1})$は，

$$ \mathrm{Var}(\zeta_{t+1})=k^{2}\mathrm{Var}(\mathfrak{v}_{t+1})=k^{2}[\mathrm{Var}(\xi_{t+1})+\alpha^{2}\mathfrak{v}^{2}\mathrm{Var}(\lambda_{t+1})/4-\alpha\mathfrak{v}\mathrm{Cov}(\xi_{t+1},\lambda_{t+1})] $$

となることから，kが十分に小さい，すなわち消費の習慣性が強く，「過小調整」の度合いがはなはだしい場合，$\xi_{t+1}\perp\lambda_{t+1}$ が互いに無相関であっても，所得のイノヴェーションの分散$\mathrm{Var}(\varepsilon_{t+1})$ より小さくなる，すなわち過剰平滑が生じることになる．以上の結果は前節の議論と全く同じであり，CARA型効用関数による予備的貯蓄の導入は，既存の議論を覆すようなものではないことが明らかになった．

(51'')式を AR 表現から MA 表現に書き換えると,

$$ \begin{align*}c_{t}-c_{t-1}&=k\sum_{s=0}^{\infty}\{(1-k)(1+r)\}^{s}\Bigg(\frac{\alpha\sigma^{2}\mathfrak{v}_{t-s}}{2}+(1/\alpha)\ln\delta\ (1+r)+\mathfrak{v}_{t-s}\Bigg)\\&=k\sum_{s=0}^{\infty}\{(1-k)(1+r)\}^{s}\xi_{t-s}+\frac{k\ln\delta\ (1+r)}{\alpha(k-r+kr)}\\&\quad-\frac{\alpha\vartheta\lambda_{t}}{2}+\frac{\alpha k}{2}\sum_{s=1}^{\infty}\{(1-k)(1+r)\}^{s}\Big\{\sum_{j=1}^{s}(1-k)(1+r)^{j-2}\varphi_{s-j}-\vartheta\Big\}\lambda_{t-s}\end{align*} $$

となることから，十分小さなkとsについて
$$ \sum_{j=1}^{s}(1-k)(1+r)^{j-2}\varphi_{s-j}<\vartheta $$

が成り立って，過去（$t-s$ 期）に生じた不確実性$\sigma^{2}_{\xi t-s+1}$ のイノヴェーション$\lambda_{t-s}$ が今期（$t$ 期）の消費の増分$\Delta c_{t-1}=c_{t}-c_{t-1}$ と負の相関を持つ可能性が生じる．

以上より，消費の調整に遅れがあったとしても，消費の増分$\Delta c_{t}$ と所得の不確実性のレベル$\sigma^{2}\xi_{t+1}$ との間の正の相関関係は保持されるが消費の増分$\Delta c_{t}$ と過去の不確実性のイノヴェーション$\lambda_{t-s}$ との間には負の相関が生じる可能性のあることが明らかになった。

## 6 ．6．相対的危険回避度一定(CRRA)型効用関数と「緩衝在庫」(buffer stock)モデル

瞬時効用関数が2次関数や絶対的危険回避度一定(CARA)型でない場合，動学的な最大化問題の解を解析的に解くことはできないが，そのような効用関数の下では，家計の貯蓄＝消費行動が確実性等価モデルやCARA型のモデルと著しく異なる可能性がある．本節では，Zeldes(1989)，Carroll(1992,1997)，Carroll and Kimball(1996)の議論を元に，絶対的危険回避度(absolute risk aversion)が消費の増大と共に遞減するような効用関数の下で，最適消費水準が非人的資産，人的資産，将来所得の不確実性の変化に応じてどのように変化するのかを考察する．

議論の単純化のために，効用関数については，相対的危険回避度一定(CRRA)型効用関数

$$ u(c_{t})=\begin{cases}\frac{1}{1-\alpha}c_{t}{}^{1-\alpha},&\quad\alpha>0,\alpha\neq1\\\ln(c_{t}),&\quad\alpha=1\end{cases} $$

を仮定する $ ^{33} $ ．この仮定の下では，限界効用 $ u'(c_{t}) $ に関して，一般に稲田条件と呼ばれる次の2つの性質 $ \lim_{ct\to0}u'(c_{t})=\infty $ および $ \lim_{ct\to\infty}u'(c_{t})=0 $ が成り立つ．このうち特に重要なのは，前者の，消費量が限りなくゼロに近づくとき，その限界効用が無限大に近づく，という性質である．この性質のために，この個人は消費が非正となる確率をゼロにしようとする強い誘因を持つ．この結果，後に見るようにこの個人は実質的に流動性制約を課されているのと同じように振る舞うことになる．

労働所得の不確実性については，労働所得 $ x_{t} $ が

$$ x_{t}=x^{p}_{t}+x^{t}_{t} $$

と，2つの成分恒常成分 $ x^{p_{t}} $ と変動成分 $ x^{t_{t}} $ の和になっていると仮定し，恒常成分について

$$ x^{p}{}_{t+1}=e^{p}{}_{t+1}x^{p}{}_{t} $$

変動成分については

$$ x^{t}{}_{t}=(e^{t}{}_{t}-1)x^{p}{}_{t} $$

という関係を満たしているものとする．ここで $ e^{p_{t+1}} $ および $ e^{t_t} $ はそれぞれ恒常成分および変動成分の確率的変動を表し，それぞれ非負の領域で定義された平均1のi.i.d.過程に従う．さらに $ e^{p_{t+1}} $ および $ e^{t_t} $ それぞれの従う確率分布 $ F^{p}(x) $ および $ F^{t}(x) $ は，任意のx>0 に対して $ F^{p}(x)>0 $ ， $ F^{t}(x)>0 $ を満たす，すなわち，各期の所得は限りなくゼロに近づく可能性を常に持っていることを仮定する．現実には，失業保険や生活保護など，最悪の状況でもいくらかの所得が得られる場合が多いと考えられるが，本節での所得 $ x_t $ はそのような「最低保障分」を除いた労働（人的）所得の変動分と解釈しなければならない．また，「最低保障分」については，これを担保にした借り入れが可能であると仮定し，その割引和が非人的資産に含まれると解釈するべきである．このとき労働所得 $ x_t $ の時系列は

$$ \begin{aligned}x_{t+1}&=x^{p}_{t+1}+x^{t}_{t+1}=e^{t}_{t+1}x^{p}_{t+1}=e^{p}_{t+1}e^{t}_{t+1}x^{p}_{t}\\&=\frac{e^{p}_{t+1}e^{t}_{t+1}x_{t}}{\mathfrak{E}^{e}_{t}}\end{aligned} $$

という過程に従う。

家計の計画期間は，今までのように無限期間を仮定するのではなく，長期ではあるが有限の期間（ $ T+1 $ 期）を仮定する．よって安全利子率一定（ $ r_{t}=r $ for all t）の仮定の下で，
家計の効用最大化問題は，

$$ \begin{aligned}&V_{t}=\max\Big[\sum_{s=0}^{T}\delta^{s}E_{t}[u(c_{t+s})]\Big]\\ &\quad s.t.\quad\sum_{s=0}^{T}\Big(\frac{1}{1+r}\Big)^{s+1}E_{t}[c_{t+s}]\leq w_{t}+\sum_{s=0}^{T}\Big(\frac{1}{1+r}\Big)^{s+1}E_{t}[x_{t+s}]\\ \end{aligned} $$

となる．ここで来期以降の将来所得の確率分布を所与とすると，今期の最適消費量$c_{t}^{*}$はその時点で保有する非人的資産の合計$W_{t}\equiv(1+r)w_{t}+x_{t}$の関数$c_{t}^{*}(W_{t})$となる．この最適消費関数$c_{t}^{*}(W_{t})$はどのような形状をしているのだろうか？

はじめに非人的資産がきわめて少ないときの最適消費量を考える。

$t=T-1$ ，すなわち最終期の1期前の時点で，手持ちの非人的資産$W_{T-1}$ がきわめて少ない状況を仮定する．家計の消費量$c^{*}_{T-1}$ が手持ちの非人的資産の量$W_{T-1}$ を超えた場合，次期（T期）の期初における非人的資産の保有量$w_{T}$ は必ず負の値をとること，そしてその時点での労働所得$x_{T}$ は，小さな確率とはいえ，非常に小さな値をとる可能性があることから，次期の消費時点における非人的資産の保有量$W_{T}$ は厳密に正の確率で負の値を可能性がある．T期における予算制約式は，単純に$c_{T}\leq W_{T}$ となるが，対数効用関数は正の消費についてのみ定義されるので，$W_{T}$ が負となるため$c_{T}$ も負にならざるを得ない状況では，効用水準を決定することができない．そこで$W_{T}$ が負の場合，消費量$c_{T}$ はゼロ，そして消費の限界効用は無限大になると仮定する．

T−1 期におけるオイラー方程式

$$ u^{\prime}(c^{*}_{T-1})=\delta E_{T-1}[(1+r)u^{\prime}(c_{T})] $$

を考えると，T-1期における消費 $ c^{*}_{T-1} $ が $ W_{T-1}(>0) $ より大きく $ W_{T} $ が負となる確率が正である場合，同じ確率で $ c_{T} $ がゼロとなることから，その時の限界効用が無限大となり，結局オイラー方程式の右辺であるT期の消費の期待限界効用が無限大となってしまう．これは $ c^{*}_{T-1} $ が正，すなわちオイラー方程式の左辺が有限であることと矛盾する．よって，T-1期における最適消費量 $ c^{*}_{T-1}(W_{T-1}) $ は

$$ c^{*}_{T-1}(W_{T-1}) 0 $ であるすべての $ W_{t} $ について $ c_{t}^{*}(W_{t}) > 0 $ であることから，結局

$$ \lim_{Wt\to0}c^{*}_{t}(W_{t})=0 $$

であることがわかる。

(52")式は，t期の最適消費量 $ c^{*} $ が手持ちの非人的資産額 $ W_{t} $ を上回らないことを意味するが，この場合， $ W_{t} $ は消費のための購入資金として用いることのできる最大額，つまりこの家計の流動性保有額を意味することになり，(52")式は，家計が自発的に設定した流動性制約と考えることができる．よって，消費量がゼロに漸近するにしたがって限界効用もまた無限大に漸近するような瞬時効用関数を仮定することは，家計が流動性制約に直面することを，暗黙に仮定することになっている．

次に非人的資産が非常に多いときの最適消費量を考える．

来期（ $ t+1 $ 期）の期待限界効用を，点 $ c_{t+1}=E_{t}[c_{t+1}] $ でテーラー展開して

$$ E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]=u^{\prime}(E_{t}[c_{t+1}])+\frac{1}{2}u^{\prime\prime\prime}(E_{t}[c_{t+1}])\mathfrak{s}_{c}+o(\mathfrak{s}_{c}) $$

と近似する．ただし$\sigma_{c}\equiv\mathrm{Var}(c_{t+1})$ は来期の消費$c_{t+1}$ の分散であり，$o(\sigma_{c})$ は$\sigma_{c}$ がゼロに収束す
と近似する．ただし$\sigma_{c}\equiv\mathrm{Var}(c_{t+1})$ は来期の消費$c_{t+1}$ の分散であり，$o(\sigma_{c})$ は$\sigma_{c}$ がゼロに収束するとき，$\sigma_{c}$ より早くゼロに収束する値であるとする．このとき$u(c_{t})=\frac{1}{1-\alpha}c_{t}^{1-\alpha}$ または$u(c)=\ln(c)$ であることから，$u^{\prime\prime}/u^{\prime}=\alpha(\alpha+1)2c^{-2}$ は消費量$c$ が無限大に発散するとともにゼロに収束する．よって，来期の期待限界効用$E_{t}[u^{\prime}(c_{t+1})]$ は，$E_{t}[c_{t+1}]$ が無限大に発散するにつれて，それ自体ゼロに収束していく値である$u^{\prime}(E_{t}[c_{t+1}])$ に，$u^{\prime}(E_{t}[c_{t+1}])$ 自体の収束よりも早く収束していく．よって，オイラー方程式$(9^{\prime})$ は，非人的資産の増加にともなって$c_{t}$ および$E_{t}[c_{t+1}]$ が無限大に発散するにつれて，将来消費が確実な場合のそれに限りなく近づいていくことになる．

今期（t期）の非人的資産 $ W_{t} $ が無限大に発散するとき，予算制約式より少なくともある1時点での期待消費量が無限大に発散する必要がある．ところが，今期以降最終期までのすべての連続する2期間の消費量 $ (c_{t+s}, c_{t+s+1}) $ について，オイラー方程式 $ (9') $ が今期の期待値の意味で成り立つためには，ある1時点 $ t + s' $ における消費量 $ c_{t+s} $ の期待値が無限大に発散していくとき，他のすべての時点における消費量の期待値も無限大に発散する必要がある．そのため，今期（t期）の非人的資産 $ W_{t} $ が無限大に発散するとき，今期以降最終期までのすべての時点 $ t + s $ の消費の期待値 $ E_{t}[c_{t+s}] $ も互いに同じスピードで無限大に発散していくことになる．よって今期の非人的資産 $ W_{t} $ がきわめて大きくなると，オイラー方程式は

$$ u^{\prime}(c_{t})=\delta\left(1+r\right)u^{\prime}(E_{t}[c_{t+1}]) $$

に近づき，労働所得の不確実性が存在しない場合の貯蓄＝消費行動である「確実性等価」行動に近づくことになる．

以上の「非人的資産 $ W_{t} $ が無限大に発散するとき，最適消費関数 $ c_{t}^{*}(W_{t}) $ が『確実性等価』行動のそれに収束する」という命題を，より扱いやすい形にするために，ここで，「確実性等価」行動をより厳密に定義する．上記の家計モデルに対応する「確実性等価」行動は，以下の最大化問題

$$ \begin{aligned}&V_{t}=\max\left[\sum_{s=0}^{T}\delta^{s}u(E_{t}c_{t+s})\right]\\ &\quad s.t.\quad\sum_{s=0}^{T}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}E_{t}[c_{t+s}]\leq w_{t}+\sum_{s=0}^{T}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}E_{t}[x_{t+s}]\\ \end{aligned} $$

の解であると定義する．ここで $ u'(c) = 1/c $ および $ E_{t}[x_{t+s}] = x^{p_{t}} $ for all $ s \geq 1 $ を用いると，オイラー方程式より

$$ E_{t}[c_{t+s}]=\delta^{s}\left(1+r\right)^{s}c_{t} $$

となることから，結局「確実性等価」行動の下での消費量 $ c_{t}^{CEQ} $ は，

$$ c_{t}^{CEQ}=\frac{1-\delta}{1-\delta^{T+1}}\left[W_{t}+\frac{\left\{1-\left(\frac{1}{1+r}\right)^{T+1}\right\}x^{p_{t}}}{r}\right] $$

となる．ここで右辺かっこ内の第2項$\left\{1-\left(\frac{1}{1+r}\right)^{T+1}\right\}x^{p_{T}/r}$ は，人的資産（以下では$H_{t}$ とする）の割引現在価値をあらわすため，かっこ内はこの家計の（人的資産$H_{t}$ と非人的資産$W_{t}$ との合計としての）総資産となる．またかっこにかかる係数$\frac{1-\delta}{1-\delta^{T+1}}$ は，この家計の総資産に対する（一定の）限界消費性向をあらわす．

ヒックス＝フリードマン的に，「保有資産額を（期待値の意味で）減少させない最大の消費額」として恒常所得を定義すれば，この家計の恒常所得 $ y_{t}^{p} $ は

$$ y_{t^{p}}=\frac{rW_{t}}{1+r}+\frac{1}{1+r}\left\{1+r-\left(\frac{1}{1+r}\right)^{T}\right\}x^{p}_{t}=\frac{r(W_{t}+H_{t})}{1+r} $$

となり，「確実性等価」行動における恒常所得に対する限界消費性向$\gamma^{CEQ}$は
の極限をとったものを考察の対象とする．この場合，人的資産 $ H_{t} $ ，恒常所得 $ y_{t^{p}} $ ，「確実性等価」行動における人的資産と非人的資産に共通の限界消費性向 $ \gamma^{CEQ} $ は，それぞれ

$$ H_{t}=x^{p}_{t}/r $$

$$ \begin{aligned}&y_{t^{p}}=\frac{rW_{t}+x^{p_{t}}}{1+r}=\frac{r(W_{t}+H_{t})}{1+r}\\&\gamma^{CEQ}=\frac{(1-\delta)(1+r)}{r}>(<)1\quad\quad\quad if\quad r<(>)\frac{1}{\delta}-1\\ \end{aligned} $$

と表される．「確実性等価」行動を以上のように定義すれば，「非人的資産 $ W_{t} $ が無限大に発散するとき，最適消費関数 $ c^{*}(W_{t}) $ が『確実性等価』行動のそれに収束する」という命題は，

$$ lim_{Wt\to\infty}c^{*}_{t}(W_{t})=c_{t}^{CEQ}(W_{t})=(1-\delta)(W_{t}+H_{t}) $$

とあらわすことができる。

以上の分析より，最適消費関数 $ c^{*}_{t}(W_{t}) $ について，その両端，すなわち $ W_{t} \rightarrow 0 $ と $ W_{t} \rightarrow \infty $ における形状はわかった．それでは， $ W_{t} $ が中間の領域にある場合には， $ c^{*}_{t}(W_{t}) $ はどのような形状をしているのだろうか？

中間の形状については,Carroll and Kimball (1996)において詳しい議論がなされている彼らは,次の定理（Carroll and Kimball (1996), Theorem 1）

「HARA（Hyperbolic Absolute Risk Aversion，双曲型絶対的危険回避）型の効用関数と，許容可能なすべての所得過程について，もし $ u^{\prime}>0,\mu^{\prime\prime}<0 $ および $ u^{\prime\prime\prime}\geq0 $ が成り立つなら，最適消費関数は凹関数，すなわち $ c_{t}^{\prime\prime}(W_{t})\leq0 $ となる」

および, HARA 型効用関数のパラメータを k として, その補題(ibid., Corollary 1)

「HARA（Hyperbolic Absolute Risk Aversion，双曲型絶対的危険回避）型の効用関数と，許容可能なすべての所得過程について，k > 0，k ≠ 1 および将来の労働所得が不確実かつ将来の利子率と完全には相関していないなら，最適消費関数は厳密な凹関数，すなわち $ c_{t}^{\star\prime}(W_{t}) < 0 $ となる」

を，将来の利子率 $ r_{t+s} $ に不確実性が存在する場合も含めて証明している $ ^{35} $ ．我々が考察の対象としている CRRA 型効用関数は k=1+ $ \alpha $ の HARA 型効用関数なので，Carroll-Kimball の補題より，最適消費関数 $ c^{*}_{t}(W_{t}) $ は厳密な凹関数となることがわかる．

以上の議論より，人的資産 $ H_{t} $ および将来所得の不確実性を所与とおいた場合の最適消費関数 $ c^{*}(W_{t}) $ が，利子率 r が時間選好率 $ 1/\delta - 1 $ より小さいとの仮定の下で，図 3 のように図示できる．

図3の直線$c^{CEQ}$は「確実性等価」行動における非人的資産$W_{t}$と消費$c_{t}^{CEQ}(W_{t})$との関係をあらわし，限界消費性向をあらわすその傾きは$1-\delta$，非人的資産がゼロのときの消費量をあらわす縦軸の切片の大きさは$(1-\delta)H_{t}$となる．直線$y^{p_{t}}$は非人的資産$W_{t}$と，総資産を減少させない最大消費量としての恒常所得$y_{t^{p}}(W_{t})$との関係をあらわし，その傾きは$r/(1+r)$，縦軸の切片の大きさは$rH_{t}/(1+r)$となる．直線$y^{p_{t}}$上では「消費$c_{t}=$恒常所得$y_{t^{p}}$」が成り立っているため，直線$y^{p_{t}}$は，利子率$r$と時間選好率$1/\delta-1$が等しい，一般的な確実性等価モデルにおける家計の行動を表していると解釈できる$^{36}$．

図3の前提として将来の人的資産 $ H_{t} $ を所与の定数とおいているため，直線 $ y_{t^{p}} $ 上にある非人的資産 $ W_{t} $ と消費 $ c_{t} $ の組み合わせの下では，次期の非人的資産額の期待値 $ E_{t}[W_{t+1}] $ は今期の非人的資産額 $ W_{t} $ と等しくなる．また，図上で直線 $ y_{t^{p}} $ の下に位置する非人的資産 $ W_{t} $ と消費 $ c_{t} $ の組み合わせの下では，次期の非人的資産額の期待値 $ E_{t}[W_{t+1}] $ は今期の非人的資産額 $ W_{t} $ より大きくなり，上に位置する組み合わせの下では， $ E_{t}[W_{t+1}] < W_{t} $ となる． $ r < 1/\delta - 1 $ の仮定の下では，「確実性等価」行動に従う家計の消費量 $ c_{t^{CEQ}}(W_{t}) $ は恒常所得水準
$ y_{t}^{p}(W_{t}) $ を上回ることから，次期の非人的資産額の期待値 $ E_{t}W_{t+1} $ は今期の非人的資産額 $ W_{t} $ より少なくなる，すなわち非人的資産を「食いつぶしていく」ことになる。

以上を踏まえて，最適消費関数 $ c^{*}(W_{t}) $ およびその下での非人的資産の時系列の性質を見ていくと， $ W_{t}W^{*} $ の領域では， $ c^{*}(W_{t})>y_{t}^{p}(W_{t}) $ となって消費水準は恒常所得水準を上回るため，非人的資産は期待値の意味で減少していくことになる．つまり非人的資産の時系列は，常にその「適正水準」 $ W^{*} $ に向かって収束していく傾向を持つことになる．ただし $ W^{*} $ は，

$$ c^{*}{}_{t}(W^{*}{}_{t})=y_{t}{}^{p}(W^{*}{}_{t}) $$

を満たす値と定義される．そして $ W_{t}=W^{*}_{t} $ における限界消費性向 $ c^{*}_{t}'(W_{t}) $ は，図3より明らかに「確実性等価」行動下の限界消費性向 $ 1-\delta $ ，あるいは確実性等価モデルの下の限界消費性向 $ r/(1+r) $ よりも厳密に大きくなる．個人が非人的資産を労働所得の不確実性の「緩衝材」として，その「適正在庫水準」を維持するように消費＝貯蓄行動を決定することから，以上のモデルは「緩衝在庫」モデルと呼ばれる．

このような，非人的資産の大きさによって，消費＝貯蓄行動が変化するというのは，「確実性等価」モデルや CARA 型効用関数の下では決して生じない性質であるが，その直感的メカニズムはどうなっているのであろうか？予備的貯蓄が生じる理由は，不確実性の結果貯蓄の期待収益率がかさ上げされることで生じるが，その不確実性による増加の割合は，直面する不確実性の大きさと，人々の「絶対的慎重度」に応じて変化することになる．既存の確実性等価モデルや CARA 型効用関数のモデルでは，この「絶対的慎重度」が消費量の大きさに関わらず一定であるため，所得や期待消費の水準に関わらず貯蓄の誘因が一定となり，非人的資産の大きさは消費＝貯蓄行動に影響を及ぼさない．これに対して CRRA 型の効用関数では，消費量が増加するにつれて「絶対的慎重度」が低下していく．つまり，経済的に豊かになるにつれて，人々はリスクを恐れないようになる．そのため貯蓄の期待収益に含まれる「予備的貯蓄」要因が縮小し，貯蓄の誘因が低下する．安全な非人的資産の蓄積によって，総資産額が労働所得の不確実性に対して相対的に大きくなると，期待消費の水準が大きくなり，「絶対的慎重度」が低下して，予備的貯蓄の大きさが減少するのである．オイラー方程式が，今期と来期の消費の相対的な大きさだけでなく，労働所得の不確実性を一定として，来期の消費の絶対的なレベルにも依存していることが，「緩衝在庫」的行動を生み出す最大の要因である．

今までは非人的資産 $ W_{t} $ の消費 = 貯蓄行動に与える影響を見てきたが，人的資産 $ H_{t} $ の変化や所得の不確実性の変化は最適消費関数 $ c^{*}(W_{t}) $ および「適正」資産水準 $ W^{*}_{t} $ にどのような影響をおよばすだろうか？以下では，「確実性等価」行動あるいは確実性等価モデルにおいてそれぞれの変化が最適消費量におよぼす影響との比較で考えてみる．

まず，人的資産 $ H_{t} $ の変化が「確実性等価」行動および確実性等価モデル下の行動に与える影響を考えると，両行動の下では，人的資産に対する限界消費性向と非人的資産に対する限界消費性向が常に一致することから， $ \partial c_{t}^{CEQ}(W_{t})/\partial H_{t}=1-\delta $ および $ \partial y_{t}^{P}(W_{t})/\partial H_{t}=r/(1+r) $ が成り立つ．これに対して， $ H_{t} $ の変化が「緩衝在庫」モデルの下での最適消費関数 $ c^{*}(W_{t}) $ に与える影響については，それほどはっきりとしたことはいえない．まず $ \lim_{W_{t}\to0}c^{*}(W_{t})=0 $ であることから明らかに $ \lim_{W_{t}\to0}(\partial c^{*}(W_{t})/\partial H_{t})=0 $ である，すなわち，非人的資産の保有額 $ W_{t} $ がゼロの場合には人的資産の増加 $ H_{t} $ は消費 $ c^{*} $ に何の影響も与えないことがわかる．よって，非人的資産 $ W_{t} $ が非常に小さい場合には，人的資産 $ H_{t} $ が増加したとしても消費 $ c^{*} $ はほとんど増加しないと予想される．しかし， $ W_{t} $ がより大きい場合については，厳密な議論抜きに明言できることはない．強いて挙げれば，限界消費性向が「確実性等価」行動下のそれを超えて大きくなる必然性がないため， $ \partial c^{*}(W_{t})/\partial H_{t}<1-\delta $ が成り立つ，すなわち人的資産 $ H_{t} $ の限界消費性向は，「確実性等価」行動の限界消費性向に比べて常に小さいと予想できる．しかしながら，代表的な確実性等価モデルの下での限界消費性向である1と比べて小さいかどうかについては，以上の分析からは判断できない．
$ H_{t} $ の変化が「適正」資産水準 $ W^{*}_{t} $ に対して与える影響は以下の通りである. (52)式を $ W^{*}_{t} $ および $ H_{t} $ に関して微分すると,

$$ \begin{aligned}\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial W_{t}^{*}}dW_{t}^{*}+\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial H_{t}}dH_{t}&=\frac{\partial y_{t^{p}}}{\partial W_{t}^{*}}dW_{t}^{*}+\frac{\partial y_{t^{p}}}{\partial H_{t}}dH_{t}\\&=\frac{r}{1+r}(dW_{t}^{*}+dH_{t})\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned}\rightarrow\quad&\quad\frac{dW_{t}^{*}}{dH_{t}}=\frac{\frac{r}{1+r}-\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial H_{t}}}{\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial W_{t}^{*}}-\frac{r}{1+r}}>(<)0\quad if\quad\frac{r}{1+r}>(<)\frac{\partial c_{t}^{*}}{\partial H_{t}}\end{aligned} $$

となる．よって，最適消費 $ c_{t}^{*} $ の人的資産 $ H_{t} $ に関する限界消費性向 $ \partial c_{t}^{*}/\partial H_{t} $ が，確実性等価モデルの下での資産に対する限界消費性向 $ r/(1+r) $ よりも小さいとき，人的資産 $ H_{t} $ の増加は，非人的資産の「適正在庫」水準 $ W_{t}^{*} $ を増加させる．

次に，将来の労働所得の，現時点 t における不確実性をあらわすパラメーターを $ \sigma^{2}\xi_{t+1} $ とおき， $ \sigma^{2}\xi_{t+1} $ の変化が最適消費関数 $ c^{*}(W_{t}) $ および「適正」資産水準 $ W^{*} $ におよばす影響を， $ \sigma^{2}\xi_{t+1} $ の変化が確実性等価モデルの下での行動におよばす影響との比較で考察する $ ^{37} $

確実性等価モデルでは，不確実性の程度$\sigma^{2}\xi_{t+1}$が貯蓄＝消費行動に全く影響をおよばさないため，$\sigma^{2}\xi_{t+1}$の変化もまた消費行動に何の影響もおよばさない，すなわち$\partial y_{t^{p}}(W_{t})/\partial\sigma^{2}\xi_{t+1}=0$が成り立つ．これに対して，「絶対的慎重度」が正であるような瞬時効用関数の下での最適消費量は，他の条件を一定とすれば，労働所得の不確実性$\sigma^{2}\xi_{t+1}$が高まると減少する，すなわち$\partial c^{*}_{t}(W_{t})/\partial\sigma^{2}\xi_{t+1}<0$となる．ただしその大きさについては，$\lim_{Wt\to0}c^{*}_{t}(W_{t})=0$であることから$\lim_{Wt\to0}(\partial c^{*}_{t}(W_{t})/\partial\sigma^{2}\xi_{t+1})=0$となること以外，はっきり言えることはない．(53)式を$W^{*}_{t}$および$\sigma^{2}\xi_{t}$に関して微分すると，$\partial y_{t^{p}}(W_{t})/\partial\sigma^{2}\xi_{t+1}=0$および$\partial c^{*}_{t}(W_{t})/\partial\sigma^{2}\xi_{t+1}<0$であることから，労働所得の不確実性$\sigma^{2}\xi_{t+1}$の増加は非人的資産の「適正在庫」水準$W^{*}_{t}$を増加させる，すなわち$dW_{t}/d\sigma^{2}\xi_{t+1}>0$となることがわかる．

このような最適消費関数 $ c^{*}_{t}(W_{t}) $ の性質は，消費の時系列 $ \{c_{t}\}_{t=0}^{\infty} $ に対してどのような影響をおよばすだろうか？ $ ^{38} $ 以下では，モデルの動学的な体系を表す次の6本の方程式

$$ c_{t}=c^{*}_{t}(W_{t};H_{t},\sigma^{2}_{\xi t+1}) $$

$$ W_{t+1}=(1+r)(W_{t}-c_{t})+x_{t+1} $$

$$ x_{t}=x^{p}_{t}+x^{t}_{t} $$

$$ x^{p}{}_{t+1}=e^{p}{}_{t+1}x^{p}{}_{t} $$

$$ x^{t}{}_{t}=(e^{t}{}_{t}-1)x^{p}{}_{t} $$

$$ H_{t}=\frac{x^{p_{t}}}{r} $$

$$ x_{t}=x^{p}_{t}=x^{p^{*}}_{},x^{t}_{t}=0\ ,e^{p}_{t}=e^{t}_{t}=1\ ,H_{t}=H^{*}=x^{p^{*}}/r\ ,\sigma^{2}_{\xi t+1}=\sigma^{*2}\ ,W_{t}=W^{*} $$

および $ c_{t}=c^{*} $ の近傍で線形近似し40，新しい変数 $ c_{t}\equiv c_{t}-c^{*} $ ， $ W_{t}\equiv W_{t}-W^{*} $ ， $ H_{t}\equiv H_{t}-H^{*} $ ， $ \sigma^{2}\xi_{t+1}\equiv\sigma^{2}\xi_{t+1}-\sigma^{*2} $ ， $ x^{p_{t}}\equiv x^{p_{t}}-x^{p^{*}} $ ， $ \varepsilon^{p_{t+1}}\equiv(e^{p_{t+1}}-1)x^{p^{*}} $ ， $ \varepsilon_{t}\equiv(e_{t}^{t}-1)x^{p^{*}} $ ( $ x^{t} $ )，および $ \beta_{xp} $