Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
表4 記述統計量

変数	Obs	Mean Std. Dev.	Min	Max
賃金
2011年度見込み賃金	4222	273.697	164.513	25
ln2011年度見込み賃金	4222	5.379	0.804	3.219
教育過剰
教育過少ダミー	4222	0.099	0.299	0
教育適当ダミー(基準)	4222	0.654	0.476	0
教育過剰ダミー	4222	0.247	0.431	0
中学3年生時の成績
下の方ダミー	4222	0.039	0.193	0
やや下の方ダミー	4222	0.065	0.247	0
真ん中あたりダミー(基準)	4222	0.172	0.378	0
やや上の方ダミー	4222	0.285	0.451	0
上の方ダミー	4222	0.439	0.496	0
最高学歴
高校ダミー(基準)	4222	0.061	0.239	0
1年制専門・専修学校ダミー	4222	0.005	0.072	0
2年制専門・専修学校ダミー	4222	0.049	0.215	0
2年制短期大学ダミー	4222	0.026	0.159	0
高等専門学校ダミー	4222	0.014	0.118	0
3年制専門・専修学校ダミー	4222	0.026	0.159	0
3年制短期大学ダミー	4222	0.004	0.065	0
4年制専門・専修学校ダミー	4222	0.010	0.098	0
4年制大学ダミー	4222	0.627	0.484	0
大学院修士課程ダミー	4222	0.157	0.364	0
医歯薬学部ダミー	4222	0.021	0.143	0
中退ダミー	4222	0.040	0.195	0
勤続	4222	19.557	12.369	0
年齢	4222	24.189	1.758	17
男性ダミー	4222	0.462	0.499	0
結婚ダミー	4222	0.071	0.257	0
子どもダミー	4222	0.033	0.178	0
従業上の地位
役員ダミー(基準)	4222	0.063	0.243	0
正規ダミー	4222	0.739	0.439	0
非正規ダミー	4222	0.198	0.399	0
職業
専門的・技術的職業ダミー(基準)	4222	0.403	0.491	0
管理的職業ダミー	4222	0.020	0.140	0
事務ダミー	4222	0.314	0.464	0
販売ダミー	4222	0.083	0.276	0
サービス職業ダミー	4222	0.112	0.316	0
保安職業ダミー	4222	0.007	0.081	0
農林漁業ダミー	4222	0.003	0.055	0
運輸・通信ダミー	4222	0.020	0.141	0
生産工程・労務ダミー	4222	0.037	0.190	0
企業規模	4222	526.755	418.875	14.5
自動車運転免許ダミー	4222	0.895	0.306	0
有効求人倍率	4222	0.790	0.171	0.35

出所：筆者作成。
表5 分散分析

Mean	Std. Dev.	Freq.
教育過少	303.96	182.07	419
教育適当	287.16	165.27	2761
教育過剩	225.85	144.46	1042
合計	273.70	164.51	4222

df=2 F=62.17 Prob>F = 0.000

出所：筆者作成。

表6 多重比較檢定

教育過少	教育適当
教育適当	-16.80
0.142
教育過剩	-78.11	-61.32
0.000	0.000

出所：筆者作成。

注：セルの上段：行のグループの平均値－列のグループの平均値

セルの下段：平均値差の検定の有意確率
表7 教育過剰が賃金に与える影響(1)

Coef.	Std. Err.	P>|t|
教育過剰
教育過少ダミー	0.073	0.037	0.050
教育適当ダミー (基準)
教育過剰ダミー	-0.228	0.026	0.000
中学3年生時の成績
下の方ダミー	-0.031	0.061	0.606
やや下の方ダミー	0.049	0.050	0.322
真ん中あたりダミー (基準)
やや上の方ダミー	0.065	0.033	0.052
上の方ダミー	0.168	0.032	0.000
最高学歴
高校ダミー (基準)
1年制専門・専修学校ダミー	0.097	0.157	0.536
2年制専門・専修学校ダミー	0.220	0.069	0.001
2年制短期大学ダミー	0.190	0.083	0.022
高等専門学校ダミー	0.262	0.102	0.010
3年制専門・専修学校ダミー	0.273	0.084	0.001
3年制短期大学ダミー	0.363	0.173	0.036
4年制専門・専修学校ダミー	0.370	0.122	0.003
4年制大学ダミー	0.385	0.058	0.000
大学院修士課程ダミー	0.576	0.072	0.000
医歯薬学部ダミー	0.759	0.098	0.000
中退ダミー	-0.331	0.056	0.000
勤続	0.020	0.001	0.000
年齢	0.039	0.009	0.000
男性ダミー	0.124	0.023	0.000
結婚ダミー	0.068	0.050	0.172
子どもダミー	0.001	0.071	0.992
自動車運転免許ダミー	0.133	0.037	0.000
有効求人倍率	0.174	0.063	0.006
定数項	3.311	0.201	0.000
Number of obs	4222
F(24, 4197)	57.74
Prob > F	0.000
Adj R-squared	0.244

出所：筆者作成。
表8 教育過剰が賃金に与える影響(2)

Coef.	Std. Err.	P>|t|
教育過剰
教育過少ダミー	0.051	0.036	0.156
教育適当ダミー (基準)
教育過剰ダミー	-0.114	0.026	0.000
中学3年生時の成績
下の方ダミー	-0.016	0.059	0.779
やや下の方ダミー	0.063	0.048	0.192
真ん中あたりダミー (基準)
やや上の方ダミー	0.049	0.032	0.127
上の方ダミー	0.117	0.031	0.000
最高学歴
高校ダミー (基準)
1年制専門・専修学校ダミー	0.090	0.151	0.549
2年制専門・専修学校ダミー	0.215	0.066	0.001
2年制短期大学ダミー	0.176	0.080	0.028
高等専門学校ダミー	0.167	0.099	0.091
3年制専門・専修学校ダミー	0.221	0.082	0.007
3年制短期大学ダミー	0.342	0.167	0.04
4年制専門・専修学校ダミー	0.285	0.118	0.016
4年制大学ダミー	0.262	0.056	0.000
大学院修士課程ダミー	0.390	0.072	0.000
医歯薬学部ダミー	0.650	0.096	0.000
中退ダミー	-0.156	0.055	0.005
勤続	0.016	0.001	0.000
年齢	0.054	0.009	0.000
男性ダミー	0.074	0.022	0.001
結婚ダミー	0.085	0.048	0.075
子どもダミー	-0.008	0.068	0.907
自動車運転免許ダミー	0.061	0.035	0.085
有効求人倍率	0.096	0.061	0.115
定数項	3.258	0.198	0.000
Number of obs	4222
F(35, 4186)	53.49
Prob > F	0.000
Adj R-squared	0.303

出所：筆者作成。

注：説明変数には従業上の地位・職業ダミー・企業規模が含まれているが，紙幅の関係上省略している。
表9 教育過剰が賃金に与える影響(3)

Coef.	Std. Err.	P>|z|
教育過剰
教育過少ダミー	0.298	0.095	0.002
教育適当ダミー(基準)
教育過剰ダミー	-0.780	0.066	0.000
中学3年生時の成績
下の方ダミー	-0.109	0.153	0.476
やや下の方ダミー	0.110	0.126	0.382
真ん中あたりダミー(基準)
やや上の方ダミー	0.196	0.084	0.020
上の方ダミー	0.591	0.081	0.000
最高学歴
高校ダミー(基準)
1年制専門・専修学校ダミー	-0.071	0.372	0.85
2年制専門・専修学校ダミー	0.183	0.171	0.285
2年制短期大学ダミー	0.241	0.205	0.241
高等専門学校ダミー	0.571	0.260	0.028
3年制専門・専修学校ダミー	0.631	0.218	0.004
3年制短期大学ダミー	0.772	0.464	0.096
4年制専門・専修学校ダミー	0.779	0.312	0.012
4年制大学ダミー	0.926	0.151	0.000
大学院修士課程ダミー	1.826	0.191	0.000
医歯薬学部ダミー	2.591	0.261	0.000
中退ダミー	-1.034	0.142	0.000
勤続	0.054	0.003	0.000
年齢	0.120	0.024	0.000
男性ダミー	0.603	0.058	0.000
結婚ダミー	0.395	0.126	0.002
子どもダミー	0.027	0.187	0.886
自動車運転免許ダミー	0.329	0.093	0.000
有効求人倍率	0.557	0.160	0.001
Number of obs	4222
LR chi(24)	1748.32
Prob > chi2	0.000
Pseudo R2	0.098
Log likelihood	-8046.602

出所：筆者作成。
表10 教育過剰が賃金に与える影響(4)

Coef.	Std. Err.	P>|z|
教育過剰
教育過少ダミー	0.209	0.097	0.032
教育適当ダミー(基準)
教育過剰ダミー	-0.439	0.068	0.000
中学3年生時の成績
下の方ダミー	-0.087	0.155	0.577
やや下の方ダミー	0.167	0.126	0.187
真ん中あたりダミー(基準)
やや上の方ダミー	0.140	0.084	0.098
上の方ダミー	0.429	0.082	0.000
最高学歴
高校ダミー(基準)
1年制専門・専修学校ダミー	-0.203	0.373	0.586
2年制専門・専修学校ダミー	0.133	0.173	0.442
2年制短期大学ダミー	0.134	0.209	0.521
高等専門学校ダミー	0.179	0.268	0.503
3年制専門・専修学校ダミー	0.424	0.223	0.057
3年制短期大学ダミー	0.728	0.474	0.124
4年制専門・専修学校ダミー	0.491	0.317	0.121
4年制大学ダミー	0.458	0.154	0.003
大学院修士課程ダミー	1.016	0.197	0.000
医歯薬学部ダミー	2.060	0.265	0.000
中退ダミー	-0.425	0.144	0.003
勤続	0.043	0.003	0.000
年齢	0.198	0.025	0.000
男性ダミー	0.455	0.060	0.000
結婚ダミー	0.453	0.125	0.000
子どもダミー	-0.032	0.186	0.865
自動車運転免許ダミー	0.093	0.094	0.326
有効求人倍率	0.380	0.161	0.018
Number of obs	4222
LR chi(35)	2340.56
Prob > chi2	0.000
Pseudo R2	0.131
Log likelihood	-7768.484

出所：筆者作成。

注：説明変数には従業上の地位・職業ダミー・企業規模が含まれているが，紙幅の関係上省略している。
表11 学歷と教育過剰

教育過少	教育適当	教育過剩	合計
高校	19.8	65.4	14.8	100.0
1年制専門・専修学校	4.6	63.6	31.8	100.0
2年制専門・専修学校	16.5	62.1	21.4	100.0
2年制短期大学	7.3	67.0	25.7	100.0
高等専門学校	11.7	81.7	6.7	100.0
3年制専門・専修学校	16.4	69.1	14.6	100.0
3年制短期大学	16.7	77.8	5.6	100.0
4年制専門・専修学校	12.2	68.3	19.5	100.0
4年制大学	9.0	64.0	27.0	100.0
大学院修士課程	7.8	65.6	26.6	100.0
医歯薬学部	3.4	92.1	4.6	100.0
合計	9.9	65.4	24.7	100.0

出所：筆者作成。

注：中退者を含む。単位はパーセント。
表12 教育過剰の決定要因

Coef.	Std. Err.	P>|z|
中学3年生時の成績
下の方ダミー	-0.014	0.131	0.915
やや下の方ダミー	0.215	0.102	0.036
真ん中あたりダミー(基準)
やや上の方ダミー	0.057	0.071	0.426
上の方ダミー	0.191	0.068	0.005
最高学歴
高校ダミー(基準)
1年制専門・専修学校ダミー	0.565	0.298	0.058
2年制専門・専修学校ダミー	0.319	0.153	0.038
2年制短期大学ダミー	0.363	0.181	0.045
高等専門学校ダミー	-0.071	0.298	0.812
3年制専門・専修学校ダミー	0.341	0.199	0.086
3年制短期大学ダミー	-0.532	0.581	0.360
4年制専門・専修学校ダミー	0.429	0.278	0.122
4年制大学ダミー	0.691	0.131	0.000
大学院修士課程ダミー	0.995	0.163	0.000
医歯薬学部ダミー	-0.206	0.312	0.509
中退ダミー	-0.140	0.112	0.210
勤続	-0.003	0.002	0.141
年齢	0.043	0.020	0.029
男性ダミー	-0.053	0.049	0.278
結婚ダミー	0.084	0.103	0.417
子どもダミー	-0.153	0.156	0.327
自動車運転免許ダミー	-0.092	0.075	0.220
有効求人倍率	-0.153	0.133	0.248
2011年度賃金(対数)	-0.146	0.033	0.000
定数項	-1.905	0.446	0.000
Number of obs	4222
LR chi2(34)	616.92
Prob > chi2	0.000
Pseudo R2	0.131
Log likelihood	-2050.77

出所：筆者作成。

注：推定には従業上の地位・職業ダミー・企業規模が含まれているが，紙幅の関係上省略している。
ESRI Discussion Paper Series No.2

# ライフサイクル/恒常所得仮説と予備的貯蓄: 理論的合意と実証上の問題点

by

石原 秀彦 $ ^{*} $

專修大学・内閣府経済社会総合研究所

March 2001

Economic and Social Research Institute

Cabinet Office

Tokyo, Japan
## Abstract

How do people determine their levels of consumption? This question has attracted much attention; not only is it important in its own right, but it is also related to economic trends and macroeconomic policies. The life cycle/permanent income hypothesis has been regarded as the most important theory on consumption decisions. In this paper, the recent development of the theoretical studies on the life cycle/permanent income hypothesis is surveyed since the well-known article of Hall (1978). The survey focuses on the study about precautionary savings. The structure of this paper is as follows.

In Section 1, the outline and background of the permanent income hypothesis by Friedman (1956) are presented. Briefly explained is the difference between the studies before Hall (1978) and these after his.

In Section 2, the proper definition of the permanent income hypothesis, introduced by Flavin (1981), is presented. This definition is derived from the intertemporal budget constraint of an infinitely lived household. Some discussions are shown over that the definition is the mathematical formulation of Hicks (1946)'s definition of income, and that there are some difficulties to extend it to the case when future wages and interest rates are not certain. If a household determines his current level of consumption according to the permanent income hypothesis, consumption follows a random walk.

In Section 3, so-called “certainty equivalence model” is presented, where a rational household decides his current consumption equal to his permanent income. Some arguments about this model are shown over why the government debt become neutral, that the marginal propensity to consume is less than unity in case of the temporal income hike, and why people have precautionary motives for savings.

In Section 4, two empirical findings—“excess sensitivity” and “excess smoothness”—are discussed, both of which contradict the certainty equivalence model. In the framework of this model, since consumption follows a random walk, the following two conclusions can be reached: (1) no information available at period t except the current level of consumption, $ c_{t} $ , helps predict the future consumption, $ c_{t+1} $ .
and (2) the variance of consumption is equal to that of the permanent income. Flavin (1981) tested the former conclusion and found the fact that current income, $ x_{t} $ , is positively correlated with future consumption. This phenomenon is referred to as “excess sensitivity of consumption.” On the other hand, Deaton (1987) tested the latter conclusion and found another fact that the variance of consumption is strictly less than that of the permanent income. This phenomenon is known as “excess smoothness of consumption.”

In Section 5, some extensions of the certainty equivalence model are reviewed. These extensions are intended in order to relax the specific assumptions of the certainty equivalence model and to solve the two problems of excess sensitivity and excess smoothness. By introducing the extensions, such as (1) preference shock, (2) durables, (3) habit formation, (4) liquidity constraint, and (5) income fluctuation generated by multivariate process, significant changes are made in the stochastic process of consumption. Some extensions can explain either excess sensitivity or excess smoothness, but none can explain both.

Section 6 focuses on precautionary savings. In Section 6.1, the intuition of precautionary motives for saving is presented. A household has a precautionary motive of saving if the third derivative of his instantaneous utility function, $ u^{\prime\prime}(c) $ , is positive. In Section 6.2, the work of Kimball (1990) on “prudence” is reviewed, which measures the strength of the precautionary saving motive. His theory of precautionary savings is mathematically analogous to the Arrow-Pratt theory of risk aversion. Kimball measures the absolute prudence by $ u^{\prime\prime}(c)/u^{\prime}(c) $ , and shows that precautionary saving is larger as the value of absolute prudence is larger.

Sections 6.3 and 6.4 review Caballero (1990), which studies the optimal consumption-saving decision of an infinitely living household with constant absolute risk aversion (CARA) utility. In case of homoscedastic labor income, the stochastic process of consumption follows a martingale with drift. On the other hand, in case of the certainty equivalence model, the process of consumption follows a pure martingale process (without drift). The drift term is a result of precautionary motive for saving. If labor income is heteroscedastic, the current increase in uncertainty of the future labor income causes the
increase in future consumption. Thus, precautionary savings might explain either excess sensitivity or excess smoothness, if there is the correlation between labor income itself and its uncertainty.

In Section 6.5, the “incomplete adjustment” of consumption is introduced to Caballero (1990)’s model in order to approximate the behavior of households with non-separable preference such as durables and habits. The “incomplete adjustment” means that the actual consumption differs from the optimal one. Even if the consumption plan is adjusted incompletely, a positive correlation exists between the uncertainty of income and the difference between current and future consumption.

Section 6.6 reviews the “buffer stock” theory of saving, propounded by Carroll (1992, 1997). For simplicity, the constant relative risk aversion utility function is assumed. In this case, current consumption, $ c_{t} $ , becomes strict positive and concave function of the current non-human wealth, $ W_{t} $ . (it includes current labor income). As $ W_{t} $ converges to zero, $ c_{t} $ converges to zero. These properties of the consumption function is interpreted as follows; a household regards its non-human wealth as a “buffer” for labor income fluctuation and chooses consumption so as to keep his non-human wealth to an appropriate level. A linear approximation of this “buffer stock” model explains both excess sensitivity and excess smoothness at the same time, if the marginal propensity to consume toward the increase of human wealth is very small.

Section 6.7 surveys some empirical studies of precautionary savings and shows that many of them suffer serious misspecifications. In particular, Dynan (1993) derived her regression equation from a second-order approximation of the Euler equation, but this regression equation neglects the possibility that the variance of consumption is endogenous and correlated with non-human wealth. Such a misspecification creates a serious bias in the estimation.

Keywords: life cycle/permanent income hypothesis, precautionary saving, excess sensitivity, excess smoothness, buffer stock theory of saving.
## 1 ．ライフサイクル／恒常所得仮説の基本的な考え方

## １．１．ケインズ型消費関数の問題点

消費がどのような要因によって決定されるのか，という問題は，消費が国民所得を構成する総需要の大きな部分を占めることから，マクロ経済の動向や経済政策との関連においても，大きな関心を集めている．消費と所得との関係である消費関数（消費性向）は，ケインズのいわゆる乗数理論において非常に重要な位置を占めることから，理論的・実証的に多くの研究がなされてきた．ケインズ自身は「消費性向がかなり安定的な関数であり，」「社会の実質所得が増加した場合，社会はその消費をそれと等しい絶対額だけは増加させず，」「通常，実質所得が増加するにつれて，所得のより大きな割合が貯蓄される」と述べている．しかし消費に関する多くの実証研究は，必ずしも以上のケインズの主張を肯定するものではなかった．

確かに1時点における家計のクロスセクションデータでは，ケインズの主張する，限界消費性向が1および平均消費性向より小さく，それゆえ貯蓄される所得の割合は所得とともに増加する傾向がみられた．ところが長期の時系列データでは，総消費は基本的に総所得と比例的であり，計測される限界消費性向は，クロスセクションのそれと比べて明らかに大きかった．その他さまざまな実証結果より，フリードマンは「これらの経験が，消費ないし貯蓄をただ単に現在所得とだけ関係づける消費関数では不十分だということをドラマチックに強調したのである」²として，恒常所得仮説を提唱することとなった．

## １．２．家計行動の動学的な側面

現時点の消費量を決定する際，人々は将来時点での消費との代替関係を考慮する．そのため，ある時点における個人（家計）の消費は，将来の消費可能額に影響を与えるすべての要因に依存して決定されることになる．通常の用語法では，ある一定期間における所得とは，その期に実現した，保有資産のキャピタルゲインを含むすべての収入から費用をのぞいたものを指すが，そのような定義に従った場合，今期の消費は今期の所得のみによって決定されるのではなく，将来の所得の大きさにも依存することになる．すなわち，ある時点の所得が同じ場合でも，その時点における将来所得の見通しが異なる場合には，その時点の消費量も当然異なる．より正確に言うと，各期における消費財の相対価格を表す実質利子率を与件としたとき，ある個人の今期以降の全期間における各消費量は，今期以降の生涯にわたる所得全体の大きさに応じて，同時に決定されることとなる．よって，その個人の生涯にわたる所得全体の大きさを表すような指標が存在すれば，ある特定期間，たとえば今期の消費量がその指標の関数として表現できる可能性がある．

#### 1.3. 恒常所得饭說

フリードマンは，ある時点に保有する全ての非人的資産と，その個人の能力に基づく将来所得の（適当な割引因子による）割引現在価値の和として表される人的資産との合計を，その時点における個人の総資産Wと考え，その総資産Wを減少させることのない最大消費額，すなわちその総資産の年価値(annual value) iW（ただし i は実質利子率）を「恒常所得」 $ y_{p} $ と定義した（すなわち $ y_{p}=iW $ ）³．そして，限界代替率の同次性⁴の仮定の下で，消
費量 c が（他の条件を一定にすると）恒常所得の一定割合 $ k_{y^{p}} $ になることを示した．これがいわゆるフリードマンの「恒常所得仮説」である．その議論の要旨は，以下の通りである．現実に観察される所得 y が，理論上の恒常所得に対応する恒常成分 $ y^{p} $ と変動成分 $ y^{t} $ の和になっており $ (y = y^{p} + y^{t}) $ ，および $ y^{p} $ と $ y^{t} $ が互いに無相関である $ \left(\operatorname{Cov}(y^{p}, y^{t}) = 0\right) $ ことを仮定する．ここで，消費 c の所得 y への単回帰 $ c = \alpha + \beta y $ を考えると， $ \alpha $ および $ \beta $ の最小二乗推定値 a および b は，それぞれ

$$ \begin{aligned}&b=\frac{Cov(c,y)}{Var(y)},\\&a=c-by\\ \end{aligned} $$

と表される（ただし c および y はそれぞれ変数 c および y の平均値とする）.

この(1)(2)式に，恒常所得仮説 $ c = k y^{p} $ および $ y = y^{p} + y^{t} $ を代入すると，a および b は，

$$ \begin{aligned}&b=\frac{\mathrm{Cov}(c,y)}{\mathrm{Var}(y)}=\frac{\mathrm{Cov}(ky^{p},y^{p}+y^{t})}{\mathrm{Var}(y^{p}+y^{t})}=\frac{k\mathrm{Var}(y^{p})}{\mathrm{Var}(y^{p})+\mathrm{Var}(y^{t})}\\ &=kP_{y}\\ &a=c-by=ky^{2}-b(y^{2}+y^{t})\\ &=k(1-P_{y})y^{2}+kP_{y}y^{t}\\ \end{aligned} $$

となる．ここで $ P_{y} $ は，所得 y の全分散 $ \operatorname{Var}(y) $ のうち，恒常成分の分散 $ \operatorname{Var}(y^{p}) $ の占める割合である．この計算結果から，

(1) $ P_{y} $ が大きい，すなわち，所得の変動 $ \mathrm{Var}(y) $ のうち，恒常所得の変動 $ \mathrm{Var}(y^{p}) $ の占める割合が多いほど，（見かけ上の）限界消費性向bが大きくなる，

(2)所得 y に占める恒常所得 $ y^{p} $ の割合が大きいほど，平均消費性向 $ \frac{c}{y} = \frac{ky^{p}}{y^{p} + y^{p}} $ は大きくなる，

という次の二つの結論が得られる．この二つの理論的仮説は，フリードマン自身のものを含む，それまでの多くの実証研究と整合的であった．

まず家計のクロスセクションデータに比べて，時系列データの方が推計された限界消費性向が大きくなる傾向が存在するが，これは1時点における家計間の所得のばらつきの多くが，年齢の相違や短期的な失業など，一時的な要因によっているのに対して，時系列データにおける所得変動のほとんどすべてが技術進歩などその影響が恒久的に持続するショックを反映していると解釈できる．次に，農家の限界消費性向が非農家のそれに比べて小さいことについては，農家の所得変動に占める変動成分の寄与が非農家のそれに比べて大きいことで説明される．また同じ所得階層に属する白人家計と黒人家計を比較した場合，白人家計の平均消費性向が黒人家計のそれよりも大きくなることは，（恒常所得水準の違いを示す）両者の平均所得の違い（白人家計の方が多い）によって説明できる．

このように，ライフサイクル／恒常所得仮説はきわめて魅力的な仮説であるが，その初期の実証研究では，ケインズ型の消費関数における現在所得を恒常所得に置き換えただけの，1時点での消費と恒常所得との相関関係を調べようとしたために，「今期の貯蓄が増える（＝今期の消費が減る）と，保有資産の増加を通じて，来期以降の資産所得が増える」という所得の内生性の問題をうまく解決することができなかった．Hall（1978）は，消費に関する意思決定の動学的な側面に注目し，ライフサイクル／恒常所得仮説を1時点での（恒常）所得と消費との関係ではなく，「ライフサイクル／恒常所得仮説の下では，消費の時系列はランダム・ウォークする」という，消費の時系列データ上の特徴としてとらえ直すことで，全く新しい実証研究の方法を提示した．以下では，Hall（1978）の枠組みの中で発展した，ライフサイクル／恒常所得仮説に関するその後の理論研究で示された重要な論点について，特に「予備的貯蓄」との関連で解説する．

減しても，それぞれの財の間の限界代替率が変化しないことを意味し，図上では，すべての無差別曲線について，原点を通る同一直線との交点における傾きが同じになる．
## ２．恒常所得の定義

恒常所得仮説を数学モデルで分析する準備として，まず恒常所得の内容を適当な形で定義しなければならない．恒常所得仮説において，所得の一時的な変動と恒久的な変動の違いが強調されたことから，恒常所得に対して，「実現した所得から短期的な変動の影響を除いたもの」あるいは「将来所得の時間を通じた平均値」といった誤った理解がなされている場合もある．しかし，そのような定義では，財産所得の変動が保有資産の増減を通じて内生的に生み出される影響を無視することになり問題が生じる．以下で示す恒常所得の「正しい」定式化は，Flavin (1981)によって一般的に認知されることになった $ ^{5} $ ．

## ２．１．完全予見の場合

動学的な最適化を行う家計の，時間を通じた予算制約式は次の

$$ w_{t}+\sum_{s=0}^{\infty}\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)x_{t+s}\geq\sum_{s=0}^{\infty}\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)c_{t+s} $$

で与えられる．ただし，各変数はそれぞれ

$ x_{t} $ :(期末に支払われる)t期の労働(可処分)所得

$ c_{t}:t $ 期の消費

$ w_{t}:t $ 期初(実質)資産

$ r_{t+j}:t+j $ 期の実質利子率(割引率)

である．(3)の左辺は，家計が時点tにおいて保有する人的資産と非人的資産（＝物的資産＋金融資産）の合計，すなわち総資産を表し，右辺は，今期以降の全消費支出の割引現在価値を表している．将来の労働所得および消費支出の割引現在価値を求める際の割引因子としては，実質利子率が用いられている．

フリードマンの元々の定義である「総資産を減少させない最大の消費額」に従えば，恒常所得は(3)式の左辺に実質利子率をかけたものに等しくなる．しかし，各時点での実質利子率が異なると，同一の生涯消費計画に対応する全消費支出の割引現在価値額も実質利子率の違いによって変化するため，同額の総資産の下でも，ある時点ではその消費計画が予算制約内であるのに対して，別の時点では予算をオーバーしてしまう可能性がある．先の注3で述べたように，この問題はHicks(1946)における「所得第一号」の問題点であり，彼はこの問題を解決するために，「所得第二号」の定義を提案している．それによれば，恒常所得とは「個人が今週に費消し得て，しかもなおこれに続く各週に同じ額を費消しうることを期待できるような最高額」，すなわち，每期一定額の消費を続けたとして，その消費の系列が通時的予算制約式(3)を満たすような，消費の最大値となる．この定義において，恒常所得は，将来消費を犠牲にすることなく現在消費可能な最大限度，「持続可能な最大消費額」を表している．

以上の定義に従えば，t期の恒常所得 $ y_{t^{P}} $ は，t期以降の労働所得 $ x_{t+s} $ ，利子率 $ r_{t+s} $ およびt期初の資産保有額 $ w_{t} $ を用いて

$$ \begin{aligned}&\begin{aligned}\\ &w_{t}+\sum_{s=0}^{\infty}\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)x_{t+s}=\sum_{s=0}^{\infty}\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)y_{t^{p}}\\&\Rightarrow\quad y_{t^{p}}\equiv\frac{w_{t}+\sum_{s=0}^{\infty}\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)x_{t+s}}{\sum_{s=0}^{\infty}\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)}\\ &\end{aligned}\\ \end{aligned} $$
と表される．利子率が時間を通じて一定（ $ r_{t}=r $ for all t）の場合，(4)は

$$ y_{t^{p}}=r\left[w_{t}+\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}x_{t+s}\right] $$

と書き換えられる．ここで(4')の右辺かっこ内は，この家計がt期に保有する総資産であることから，(4')がフリードマンの元々の恒常所得の定義と同じものであり，よって(4)式がフリードマンの定義の自然な拡張になっていることがわかる．

(3)に「消費 = 恒常所得」 $ c_{t}=y_{t}^{p} $ および資産蓄積の遷移式

$$ w_{t+1}=(1+r_{t})w_{t}+x_{t}-c_{t} $$

を代入すると

$$ y_{t+1^{p}}=y_{t^{p}} $$

という関係が得られる．恒常所得に等しいだけの消費を行うと，来期の恒常所得が今期のそれと等しくなることは，恒常所得 $ y_{t}^{P} $ が動学的な経済における「所得」として正しく定義されていることを表している．

## ２．２．不確実性が存在する場合

労働所得 $ x_{t+s} $ や利子率 $ r_{t+s} $ に不確実性がある場合,完全予見の場合の(4)式に対応するものは,次の

$\Rightarrow$

$$ \begin{aligned}&w_{t}+\sum_{s=0}^{\infty}E_{t}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)x_{t+s}\right]=\sum_{s=0}^{\infty}E_{t}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)\right]y_{t^{p}}\\&y_{t^{p}}\equiv\frac{w_{t}+\sum_{s=0}^{\infty}E_{t}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)x_{t+s}\right]}{\sum_{s=0}^{\infty}E_{t}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)\right]}\\ \end{aligned} $$

である．資産の収益率が時間を通じて一定（ $ r_{t}=r $ for all t）な場合，(6)は

$$ y_{t^{p}}=r w_{t}+r\sum_{s=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+r}\right)^{s+1}E_{t}[x_{t+s}] $$

となる $ y_{t}^{p} $ とおいた場合，資産蓄積の遷移式(5)より， $ y_{t}^{p} $ は $ w_{t+1} $ を用いて，

$$ y_{t^{p}}=\frac{w_{t+1}+\sum_{s=0}^{\infty}E_{t}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j+1}}\right)x_{t+s+1}\right]}{\sum_{s=0}^{\infty}E_{t}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j+1}}\right)\right]} $$

と書き換えられる．他方 $ E_{t}y_{t+1^{p}} $ は，

$$ E_{t}y_{t+1^{p}}=E_{t}\left[\frac{w_{t+1}+\sum_{s=0}^{\infty}E_{t+1}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j+1}}\right)x_{t+s+1}\right]}{\sum_{s=0}^{\infty}E_{t+1}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j+1}}\right)\right]}\right] $$

となる． $ r_{t+s} $ （ $ s=1,2,\ldots $ ）がすべてのsについてt期の時点で既知の場合には，

$$ E_{t}\left[\frac{1}{1+r_{t+s}}\right]=\frac{1}{1+r_{t+s}}\qquad\text{for}\text{all}s=1,2,\ldots $$

となることから，

$$ E_{t}y_{t+1^{p}}=y_{t^{p}} $$

が成り立つ．つまり，利子率 $ r_{t} $ が時間を通じて一定である場合の恒常所得 $ y_{t}^{p} $ は，

「期待値の意味で持続可能な最大消費額」

という意味を持つことになる。

また $ c_{t}=y_{t}^{p} $ の仮定と(7)より，観察される所得および消費の時系列データに関して，

$$ y_{t+1^{p}}=y_{t^{p}}+\varepsilon_{t} $$

$$ c_{t+1}=c_{t}+\boldsymbol{\varepsilon}_{t} $$
が成り立つ．これは恒常所得と消費が共にランダム・ウォークすることを示している $ ^{8} $ ．

$ r_{t+1} $ に t 期の時点で不確実性が存在する場合には，

$$ E_{t}\left[\frac{1}{1+r_{t+1}}\right]\neq\frac{1}{1+E_{t}[r_{t+1}]} $$

より，一般に $ E_{t}y_{t+1}^{p}=y_{t}^{p} $ は成立しない．よって，物的資産の収益率に不確実性がある場合の恒常所得の概念は，不確実性がない場合の単純な延長として考えることはできない．

## 3 ．恒常所得仮説の標準的定式化

３．１．家計の効用最大化と恒常所得

家計の生涯効用関数 $ V_{t} $ を，時間加法性を仮定して

$$ V_{t}=u(c_{t})+\delta u(c_{t+1})+\delta^{2}u(c_{t+2})+\ldots,\quad u^{^{\prime}}>0,u^{^{\prime\prime}}<0 $$

とおくと，家計の期待効用最大化問題は

$$ \mathbf{s.t.}w_{t}+\sum_{s=0}^{\infty}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)x_{t+s}\right]\geq\sum_{s=0}^{\infty}\left[\prod_{j=0}^{s}\left(\frac{1}{1+r_{t+j}}\right)c_{t+s}\right] $$

と定式化される．簡単化のために，資産の収益率 $ r_{t+s} $ が時間を通じて一定 $ (r_{t+s}=r \text{ for all } s) $ であると仮定すれば，予算制約式の両辺の期待値をとって(6')を代入すると，

$$ \sum_{s=}^{^{\infty}}0\bigg(\frac{1}{1+r}\bigg)^{s+1}E_{t}[c_{t+s}]\leq\frac{y_{t^{P}}}{r} $$

という関係が得られる．よって，将来消費の確率分布の違いを無視するならば，最大化問題の予算制約式は(8)に置き換えることができる．

予算制約式が(8)である場合には，今期の消費：貯蓄行動（ $ =c_{t} $ の決定）は，たとえ今期の労働所得 $ x_{t} $ が変化したとしても，恒常所得 $ y_{t^{P}} $ が変化しない限り影響を受けないことがわかる．同様に，将来の労働所得 $ x_{t+s} $ の予期された変化，すなわち $ E_{t}x_{t+s} $ の変化も恒常所得 $ y_{t^{P}} $ の変化を通じてのみ今期の消費 $ c_{t} $ に影響を与えることがわかる．つまり，将来の不確実性の程度が変化しない限り，恒常所得を同じ大きさだけ変化させる2つの異なる時点の所得の変化は，今期の消費に対して全く同じ影響を持つのである $ ^{9} $ ．これは，静学的最大化において，労働所得や資産所得といった所得の発生源に関する違いが消費計画に何の影響も及ぼさないことと同じである $ ^{10} $ ．

予算制約式(8)に関する以上の議論より

「今期の公債発行は，公債償還に必要な増税が必ず課せられることで，将来時点における，今期の所得増加額と割引現在価値で同額の可処分所得の減少を伴うため，恒常所得の大きさおよび将来所得の不確実性を変化させないことから，公債発行でまかなわれた今期の所得増加は，今期の消費量を変化させない（全額貯蓄に回される）」

という，リカードの中立命題が導かれる $ ^{11} $ ．人々は，将来の税負担に備えて今期の所得増加分のすべてを貯蓄 $ s_{t}\equiv y_{t}-c_{t} $ の増加に充てることで，将来所得の減少による将来の消費機会の縮小を防ぐのである．このことは同時に，現在の貯蓄 $ s_{t} $ が資産蓄積 $ (w_{t+1} $ の増加）を通じて将来の恒常所得 $ y_{t+1^{P}} $ を変化させ，将来の消費 $ c_{t+1} $ に影響を及ぼすことを表している．つまり，人々は今期の貯蓄額を変化させることで，将来の恒常所得水準を調整しているの