Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
人だけではなくて機械設備についても融通し合うことが行われている。こういう機械設備等についての資本ストックが正確に図られているかというと、内閣府の中でSNAを担当しているESRIの皆さんがやろうと思っても、なかなかリソースがないためにできていない部分です。

さらには、資本ストックの中には公的資本ストックがありまして、これについては佐藤先生、澤田先生が言及されたように、地方に配置されているインフラについては地公体、さらに地公体の中でも3セクあるいは公営企業に所属しているものがある。地公体も相当公会計を取り入れてきましたが、ストック部分については、民間企業の企業会計が導入されるようなものにはまだ至っていません。そのために資本ストックが生み出す本来の付加価値、あるいはレート・オブ・リターンが特に公的資本ストックについては測られていないのが、我が国の経済統計の最大の課題だと思います。

公的部分について、佐藤先生、あるいは澤田先生がどのように資本ストック統計の整備に期待をかけていらっしゃるか、お尋ねしたいと思います。

○質問者(5) 厚生労働省の統計作成の担当者です。皆さんに3つ申し上げたいと思います。

先ず、統計の今後の正確性ですが、調査ができないということもありますが、母集団の名簿が実態と乖離してしまったという事情があります。国勢調査を2010年に行っていますし、経済センサスも少し前にやりましたが、両方とも地震の前でしたから、その後大きな狂いが発生しています。次回の国勢調査は2015年、経済センサスは来年の2月ですが、全部やれるか、やり切れるかどうかという問題がありまして、当分の間、母集団の名簿が実態と乖離するために統計はある程度狂い続けるだろうと思います。

2 番目ですが、そこで経済学者の皆さんにお願いですが、正確な統計に基づいてという議論を学者の方がされるのはよく分かりますが、実態としてはできないわけです。ですから、余り正確ではないが、かなり正確な統計に基づいて適切な政策提言ができるような能力を養っていただきたいです。

3 番目ですが、弁明をさせていただきたいのですが、行政官をずっとやっていまして、阪神・淡路のときも行政にいましたが、今回の政府の行動が遅れていることはないと思います。阪神・淡路のときに比べて圧倒的に早いスピードで災害対応をやっていますが、今回の問題が非常に広域にわたる地震であったことと、大きな津波が来たことと原子力の関係で政府にかかる負荷が圧倒的に大きくなってしまっていることがあります。結果としては、対策は遅れているかもしれませんが、政府が何かサボっているとか、能力が低いとか、そういうことではなくて、能力に対しての負荷が大きいせいがあることをご理解いただきたいと思います。
○モデレーター（樋口） ありがとうございました。

パネルディスカッションに参加していただいた方がいいようなご意見も多かったかと思いますが、時間の制約もありますので、全部のご質問にはお答えできないかもしれませんが、それぞれの先生で今のご指摘あるいはご質問にお答えいただけますでしょうか。

☐ 荒井 今回は桁違いの大きな災害があったわけですが、カタストロフのときはすごく頑張っても、正確な統計はとれなくなります。それをどうしのぐかについて、いろいろな工夫をしている事例が海外にもあります。正確な情報がとれない中で、どう真実に近づくかも経済学に課せられた1つの責務だという感じはしています。

○佐藤 私たちは研究者としてこれから恐らく今回の風評被害がどれくらいGDPやそれぞれの地域経済、あるいはそれぞれの産業に影響を与えたのかについての研究をこれから進めていくと思います。ただ、進んで終わったころには何年も経っていて多分遅過ぎるという議論になるのだと思います。ただ風評被害の場合、なかなか難しいと思うのは、すべてが風評被害なわけではなく、例えば今回外国からの観光客が減りました。最初減ったのは恐らく風評被害ですが、多分しばらくの間は円高だろうということになると思います。複合的な要因がありますので、先程途中で申し上げましたが、震災だからはすべての理由にならないということです。そこは峻別しないと危ない気がしています。

私も地方財政やっている関係で地方の資本ストックの話には関心がありますし、自分の学生でも地方の資本ストックの生産性の研究している学生たちもいます。一般的に資本ストックが毀損したらイコール直接被害と言っちゃうのは本当かなと思います。多分誰も使っていない道路は壊れても多分誰も迷惑しないわけですし、逆に皆さんが使っている道路は安くできていたとしてもとんでもない被害なわけですから、やはりそこは収益性でもって評価するのが今後の課題として残るのかなと思います。

それから、私たちももちろん情報別に完全な情報に基づいて政策提言しなくてはいけないと言っているわけではありません。情報は使うものであっても頼るものであってはいけないということだと思いますので、私たちがやるべき政策提言はある程度の情報の粗さに対しても耐えられるようなものでなければならないことだと思います。

澤田　2点申し上げたいと思いますが、1つは調査の回答率が下がることに対し、どうしたら回答率を上げるインセンティブ付けになるかというと、やや抽象的ですが「調査結果を何に使うのか」を理解していただく、あるいは理解していただけるような調査をきちんとやることだと思います。分かりやすい例でいいますと、今回の震災でも医療関係の方が入られて健康調
査、栄養調査をされましたが、これは目的が非常にはっきりしています。健康面でのハイリスクグループを識別し、問題がある場合にはいろいろな治療等の手当てをするためでした。一方、経済学者や社会学者が実施する調査だと、そこまではっきり理解していただくことは難しいかもしれませんが、やはり何に使うのかをきちんと明確にし、それに沿ってかなり短く回答しやすい調査をデザインすることだと思います。

2点目ですが、多様な統計の需要があって、被災地では調査疲れのようなものも起きていることは私たちも十分認識しています。本日は非常に定点的で限られた地域での細かい調査をご紹介させていただきましたが、研究者のチームができるのは恐らくこれぐらいだと思います。やはり広範な地域全体をバランスよく把握するということは公的統計が担う非常に重要な責務だと思っています。とはいえ、私たちとしてもこういうのが欲しいという情報の需要みたいなものはありますので、先程申し上げた「緊急災害統計情報メカニズム」のような、被災地に負荷がかからない形で支援にも必要な情報が集められるシステムを作っておいてできるだけ共有してゆく必要があるのではないか。例えば、被災台帳を各自治体が作って、被災認定の結果、義援金の配分、支援金の配分等をまとめています。また、支援物資については、一例ですが、岩手県の大槌町のホームページですと、今週うちの町ではこういうものが必要ですとして、例えば「殺虫剤500本至急」等と書いてあります。聞くと、毎週毎週どういうものが必要ですかという1枚紙のアンケートを住民の皆さんに配って、それを回収して集計した結果をウェブに載せて、情報を共有しているわけです。同じようなことを別々の調査で繰り返し聞いてゆくのではなくて、もう少しきちんと全体として重要な情報がまとめられるような仕組みを作っておいて、さらにそうした情報がタイムリーに共有されるという仕組みを作る可能性があると思います。

寺崎 答える側の反感等もあるので、使う方は自制心を持ってという点について確かに肝に銘じなければいけないところだと思いました。私たちもいろいろなアンケート調査を企業に行うことがありますが、今回についても果たして行っていいのかどうか、被災地に送るべきなのかどうか、あるいは督促をしていいのかどうかについて随分と中で議論を行いました。こういう調査を行うときには、やはり調査の意義あるいは使い道をよく理解していただけるように工夫しなければいけないと強く感じました。ご指摘のところはそのとおりですので、本当に肝に銘じたいと思います。

○モデレーター（樋口） ありがとうございました。

本日の自由討議は以上で終了したいと思います。各先生から統計を利用した震災被害推計の
事例や課題、また今後の復興対策策定、いろいろ具体的な統計の利活用方法についてご意見をいただきました。

私が個人的に感じたのは、やはりエビデンスベースドポリシーと言いますか、客観的事実に基づいた政策の転換が何よりも重要だろうと思います。このため、統計調査の制約が非常に増している中においても、調査は続けていくことが重要ではないかと思います。

調査員の方々を初め、統計担当者、公的統計担当者、一生懸命やっておられます。本当にリソースの限られた中において、そばでみていても涙が出るぐらい一生懸命やっておられることも事実でして、そうして作っている統計である以上、有効に活用していくことも研究者並びに行政の仕事ではないかと思っています。

どこまでを公的統計でやるのか、どこまでを研究者あるいはシンクタンクでやっていくのかについては、いろいろご意見があるかと思います。ただ言えることは、それぞれが調査をばらばらに実施しますと、コストの面以上に、調査される方々に非常なご迷惑が及ぶことがあります。何らかの形で皆さんまとまって調査をやっていくことが必要ではないかと思います。

例えば、研究者でやる場合についても、学会で音頭を取ってまとまってやっていくのも必要ではないかと思いますし、今回の経済センサス、ビジネスレジスターの考え方も個別の省庁から個別の調査が各企業に行った場合に、非常に多くの苦労をおかけしていることもありますので、むしろそれをリンクすることによって、共通の有効な情報を得ることができるのだと思います。こうしたところについても調査方法も含み、また調査の活用の仕方につきましても、今後まだ改善していく余地は多々あると感じました。

その上で、震災の問題を考えますと、今回の震災の大きさをやはり痛感しています。被災地の方々に対して非常に大きな被害が及んでいることで胸を痛めるわけですが、同時にこの教訓を今後の日本社会の、あるいは世界の復興のために生かしていくのが私たちの責務ではないかと思っていますので、そうした点についても是非ご協力をいただきながら、皆さんで力を合わせて進めていきたいと思います。

最後に統計委員長として総理に何とかというお話をいただきました。微力でなかなかそうしたこともできませんが、官邸にはこの話は持っていきたいと思っていますので、またご協力の程どうぞよろしくお願いいたします。

どうも本日はありがとうございました。（拍手）

○司会（勝見） 以上をもちまして本日予定していましたプログラムはすべて終了いたしました。基調講演をお願いしました 澤田先生、寺崎様、どうもありがとうございました。パネルデ
イスカッションに参加していただきました樋口先生、荒井先生、佐藤先生、永瀬先生、ありがとうございました。それから、本日お集まりいただいた会場からもいくつか貴重なご意見をいただきまして、誠にありがとうございます。

最後に、本日の先生方に皆さんからもう一度盛大な拍手をお願いできればと思います。どうもありがとうございました。（拍手）

あと事務局から1点お願いがあります。本日入口でお渡ししましたアンケート用紙にご記入いただいて、お帰りに受付のところにある回収箱に入れていただくか、担当職員に渡していただければ幸いです。どうぞお気をつけてお帰りくださいませ。ありがとうございました。

了
ESRI Discussion Paper Series No.249

GDP 速報の推定法の改善について

国友直人、佐藤整尚

September 2010

內閣府経済社会総合研究所

Economic and Social Research Institute

Cabinet Office

Tokyo, Japan
# GDP 速報の推定法の改善について $ ^{*} $

国友直人 $ ^{\dagger} $

&

佐藤整尚 $ ^{\dagger} $

## 要約

内閣府が定期的に公表している GDP 速報の推定法における改善可能性について議論する。特に GDP 公表の 1 次速報・2 次速報において用いられている設備投資系列、在庫投資系列および季節調整を巡る扱いについて考察し、統計学的立場より若干の改善方法を提案する。

## 鍵言葉

GDP 速報, 1 次速報, 2 次速報, 季節調整, X-12-ARIMA, 設備投資と在庫投資, 法人企業統計季報, Decomp, 状態空間表現.
# On Improving the Estimation Method of Japanese Quarterly GDP

Naoto Kunitomo

(Graduate School of Economics, University of Tokyo)

$$ \& $$

Seisho Sato

(Institute of Statistical Mathematics)

## Summary

We shall discuss the possibility of improving the current estimation method of Japanese Quarterly GDP. We re-consider the current estimation method of Fixed Investment and Inventory Investments, and the current seasonal adjustment practice. We shall propose some statistical ways in the view of optimal prediction to improve the quality of the first and second preliminary estimates.

## Key Words

Quarterly GDP, Preliminary and Second Preliminary Estimates, Seasonal Adjustment, X-12-ARIMA, Fixed Investment and Inventory Investments, Decomp, State Space Representation.
### 1. はじめに

近年の日本経済では多くのマクロ経済時系列が激しく変動していることが観察される。GDP系列をはじめとする主要なマクロ系列では、2005年頃から景気の回復基調から2008年-2009年にかけての大きな落ち込み、そこから若干の回復基調が続いていることについては、政府当局が公表しているマクロ経済指標の解釈とともに、エコノミストの間において大きく意見が分かれている。

こうした日本のマクロ経済を取り巻く経済変動を背景にして、特に内閣府が作成・公表しているGDP統計、特に四半期GDP速報の数値については幾つかの根強い批判がある。第一には公表される四半期データのGDP伸び率は刻々とかなりの変動を示しており、時にはゼロ付近においてプラスとマイナスが入れ替わりうるなど、GDP速報値による景気判断を困難なものにしている。この問題はGDP速報値にもとづく景気の現況を判断しているエコノミスト、あるいは経済政策を立案する政府関係者などにとり見過ごせない問題となっている。第二にはGDPの1次速報値が発表され、しばらくあとになり2次速報値として改訂、さらにかなり時間が経過したのちに確報値が公表されている。こうした同一時期のGDPについて発表される数値が変更され、速報値、速報値の改訂値、さらにしばらく後に発表される確報値の間のギャップがしばしばかなりの大きさとなる、と指摘されることがある。特に近年での経験から、米国や欧州主要国など先進諸国と比べてもGDP統計をめぐるこうした改訂幅が相対的に大きいので、速報値の信頼性が十分でないことが指摘されている $ ^{1} $ 。こうした指摘が的を得ているとすると、特に日本政府の統計当局者にとっては公表している統計数値の信頼性の基盤を揺るがしかねないだけにとどまら
ず、マクロ経済の動向の把握、経済政策の立案にかかわることもあり、関係者にとって十分に検討すべき緊急の課題となっている。ここで重要な鍵となる統計的問題は、エコノミストや経済学者の多くは原系列ではなく、GDPとその基本的な構成要素の季節調整済系列の変化率・伸び率に関して議論していることである。

本稿ではこうした日本のGDP速報をめぐる最近の問題の中でも特に設備投資系列と在庫投資系列の推計方法および季節性の処理について考察する。GDP速報に関して議論されていることは、時系列データ解析に関する統計学から見ても自明でないことがとりわけ重要である。実は1次速報と2次速報における設備投資系列と在庫投資系列に関して生じる扱いは時系列分析における観測誤差(measurement errors)をめぐる基本的でかつ重要な幾つかの問題と関わっている。したがって統計的時系列分析(statistical time series analysis)と呼ばれている統計学的議論なしには当面の問題の根本的な解決策をほどこすことは容易ではないと考えられる。他方、統計的時系列分析自体はこの問題飛躍的に進歩しているので、しばらく前までは困難と考えられていたデータ分析なども今では容易に実行できる。そこで、本稿では時系列分析に関するこの問題における統計学の展開を踏まえた立場から、GDP統計における課題について一定の改善案を提示できることを指摘したい。

以下では第2節でマクロ経済時系列の変動分析の枠組みを説明する。続いて第3節では設備投資系列の問題、第4節で在庫投資系列の問題をそれぞれ扱う。第5節では季節調整に関して気のついた論点へのコメントを述べ、第6節では本稿で取りあげた問題のより一般的定式化について説明する。最後に第7節で当面の結論を述べる。いくつかの参考図を付録とした。

### 2. 変動分析の枠組み

时刻 i に観察される変数 Y の原系列 $ Y_{i}(i=1,\cdots,n) $ に変数変換 $ g(\cdot)^{2} $ をほどこした
系列 $ X_{i}\left(X_{i}=g(Y_{i})\right) $ とする。経済時系列分析では伝統的に時系列 $ \left\{X_{i}\right\} $ の時間的変動を分析するために、幾つかの時系列成分からなる加法モデル

$$ X_{i}=T_{i}+C_{i}+S_{i}+TD_{i}+I_{i} $$

を用いて理解することが標準的である。ここで $ T_{i} $ はトレンド成分、 $ C_{i} $ は循環成分, $ S_{i} $ は季節成分、 $ TD_{i} $ は曜日効果成分、 $ I_{i} $ は不規則変動成分を表している。政府統計では重要な季節調整では $ T_{i} $ と $ C_{i} $ を同時に $ TC_{i} $ と表して分析することがしばしば行われている。例えば各国政府統計当局でよく利用されている（米国センサス局時系列グループが開発した）X-12-ARIMA プログラムは原系列の対数値に対して Reg-ARIMA モデルを利用して、X-11 プログラムにより移動平均演算を繰り返し計算し、時系列成分を分解し、時系列 $ \{X_{i}\} $ より季節成分 $ \{S_{i}\} $ を取り除く方法と理解される $ ^{3} $ 。さらにここでは曜日効果成分を無視し、複数の経済時系列 $ X_{ji} $ ( $ i=1,\cdots,n;j=1,\cdots,p $ ) に対し加法モデル

$$ X_{ji}=T_{ji}+C_{ji}+S_{ji}+I_{ji} $$

を仮定し、トレンド成分、循環成分、季節成分、不規則成分をそれぞれ $ T_{ji}, C_{ji}, S_{ji}, I_{ji} $ としよう。季節調整の実務ではしばしばトレンド成分と循環成分の区別を無視するので、その場合にはトレンド・循環成分 $ TC_{ji}=T_{ji}+C_{ji} $ とすると、

$$ X_{ji}=TC_{ji}+S_{ji}+I_{ji} $$

と表現できる。ここではとりあえず季節成分 $S_{ji}$ はほぼ適切にあらかじめ推定されていることを仮定しよう$^{4}$。このとき真の季節調整系列を $X_{ji}^{(a)} = X_{ji} - S_{ji}$ とすると

$$ X_{ji}^{(a)}=TC_{ji}+I_{ji} $$

のときにはゼロ最適予測は $ \mathbf{E}[e^{X}]=e^{(1/2)\sigma^{2}} $ に対応する。現在の GDP 推計における季節調整の運用では在庫投資系列を除き対数変換を利用した乗法モデルを用いている。

$ ^{4} $ 内閣府 DGP 統計では X-12-ARIMA を利用しているので X-12-ARIMA の運用についてのコメントは 5 節で述べる。このことは X-12-ARIMA についての妥当性について問題がないということを意味しない。季節調整法を巡る基本的問題については例えば国友 (2006)，国友・高岡 (2010) などを参照されたい。
と表現される。

この間、政府当局者や多くのエコノミストは原系列よりむしろ変化率の時系列の動向に関心がある。ここで

$$ \begin{aligned}\Delta X_{ji}^{(a)}\ &=\ X_{ji}^{(a)}-X_{j,i-1}^{(a)}\\&=\left(TC_{ji}-TC_{j,i-1}\right)+\left(I_{ji}-I_{j,i-1}\right)\\&=\Delta TC_{ji}+\Delta I_{ji}\end{aligned} $$

と云う表現が得られる。(ただし $ \Delta X_{ji} (= X_{ji} - X_{j,i-1}) $ は 1 次階差系列とした $ ^{5} $ 。)

ここで経済時系列の変動を解釈する場合には水準系列 $ \{X_{ji}\} $ を考察するか階差系列 $ \{\Delta X_{ji}\} $ を考察するかにより相違点は小さくないことを強調しておこう。例えばトレンド成分にランダム・ウオーク (random walk) 要素が含まれる場合には、階差操作によりランダム・ウオーク成分は取り除かれるが、循環成分 $ \{C_{ji}\} $ が定常的であれば階差により循環成分 $ \{C_{ji} - C_{j,i-1}\} $ には MA 单位根が混入するが定常性は維持される。したがって、二つの成分を合計したトレンド・循環成分では仮に原系列におけるランダム・ウオーク成分の階差系列が互いに無相関な確率変数列であったとしても、時系列 $ \{\Delta TC_{ji}\} $ の自己相関関数 $ ^{6} $ はゼロではない。不規則成分は元々の系列 $ \{I_{ji}\} $ が互いに独立な確率変数列であっても階差系列 $ \{\Delta I_{ji}\} $ には 1 次自己相関が-1/2となる 1 次移動平均過程 (MA(1)) となり、系列相関が生じ、分散は 2 倍になる。

## 1 次速報モデルと 2 次速報モデル

現行の GDP 速報における一つの問題は 1 次速報における情報と 2 次速報における情報が異なることである。1 次速報の公表時には投資データの推定上では一部の直近のデータ（法人企業統計季報）は利用可能ではなく統計的には欠損値（missing）とすると初期値問題 $ X_{j,0} $ が存在する。本稿では単純化の為に階差系列 $ \Delta X_{ji} (i=1,\cdots,n; j=1,\cdots,p) $ として議論をすすめる。
observation)問題が生じる。GDP速報では供給側と需要側の設備投資系列を統合して設備投資系列を作成するが、1次速報では需要側の直近の設備投資系列を予測する必要がある。また在庫投資に関する4系列の内2系列は法人企業統計季報を利用しているので1次速報の公表時にはその変化分を予測する必要がある。

ここで通常の統計学における欠損値問題と異なる側面としては、推定・予測する対象が時系列データであるので時間的変動、変動成分間の関係、異なる系列間の関係を無視することは適切でないことである。また欠損値である設備投資系列と在庫投資系列は変動が激しく予測が困難であることが知られている。したがってこれらの投資系列の推計はGDP速報の改善にとって重要な問題である。

### 3. 設備投資系列

ここで $p=2$ として、需要側から得られるデータ $X_{di}$，供給側から得られるデータを $X_{si}$ とする。需要側の系列から得られる季節性と供給側の系列から得られる季節性は経験的な知見としては、観測上の理由からかなり異なっている$^{7}$。他方、GDP マニュアルで仮定しているように真の(トレンド・循環)成分は同一と考えられるので $TC_{di}=TC_{si}=TC_{i}$ とする。このとき需要側と供給側の設備投資系列は

$$ \Delta X_{di}^{(a)}=\Delta T C_{i}+\Delta I_{di},\Delta X_{si}^{(a)}=\Delta T C_{i}+\Delta I_{si}, $$

と表現される。

観測データとして $ \Delta X_{di}^{(a)}, \Delta X_{si}^{(a)} \ (i = 1, \cdots, n - 1) $ および $ \Delta X_{sn}^{(a)} $ が利用可能な状況を考えよう。このとき需要側の直近の増加分 $ \Delta X_{dn}^{(a)} $ を予測する必要が生じる。予測誤差を最小化する $ ^{8} $ という標準的な規準からは最適予測は条件付期待値

$$ Y_{n}=\mathbf{E}[\Delta X_{d n}^{(a)}|I_{n-1}] $$
で与えられる。ここで $ I_{n-1} $ は n-1 時点における情報集合を表現しているが、条件付期待値は情報 $ I_{n-1} $ が与えられた時の期待値を意味する。ここで議論する予測問題が通常の統計的予測と異なる側面は $ \Delta X_{sn}^{(a)} \in I_{n-1} $ となっていることである。

変数誤差 (errors-in-variables) モデル (3.1) を考察する。ここで任意の $ i, j (i, j = 1, \cdots, n) $ について

(i) トレンド・循環成分 $ \Delta TC_{j} $ と不規則成分 $ I_{di}, I_{si} $ が独立,

(ii) トレンド・循環成分 $ \Delta TC_{j} $ と不規則成分 $ I_{di}, I_{si} $ （期待値はゼロ）が正規分布にしたがう,

ことを仮定しよう。すなわち $ i = 2, \cdots, n $ に対して

$$ \left[\begin{array}{c}{{{\Delta T C_{i}}}} \\{{{I_{d i}}}} \\{{{I_{s i}}}}\end{array}\right]\sim N\left(\left[\begin{array}{c}{{{\xi_{i}}}} \\{{{0}}} \\{{{0}}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c c c}{{{\sigma_{\xi\xi}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\sigma_{d d}}}}&{{{\sigma_{d s}}}} \\{{{0}}}&{{{\sigma_{s d}}}}&{{{\sigma_{s s}}}}\end{array}\right]\right) $$

と表現する。ここで $ \xi_{i} $ は（トレンド・循環）成分の階差系列 $ \Delta TC_{i} $ の期待値（期待成長率）を意味するが $ \xi_{i} = \xi $ （一定）とするのがもっとも単純な設定であろう。 $ \sigma_{\xi\xi} $ は $ \Delta TC_{i} $ の分散、 $ \sigma_{dd}, \sigma_{ss}, \sigma_{ds} $ は需要側・供給側の不規則変動の分散と共分散を表している。

こうした仮定の下で直近に観察される情報 $ \Delta X_{sn}^{(a)} $ の値を使ってまだ観測できない $ \Delta X_{dn}^{(a)} $ の値を予測する時には最適予測量は

$$ \begin{align*}(3.4\mathbf{E}[\Delta X_{dn}^{(a)}|\Delta X_{sn}^{(a)}]\ =\ \mathbf{E}[\Delta X_{dn}^{(a)}]+\frac{Cov(\Delta X_{dn}^{(a)},\Delta X_{sn}^{(a)})}{V(\Delta X_{sn}^{(a)})}\left(\Delta X_{sn}^{(a)}-\mathbf{E}[\Delta X_{sn}^{(a)}]\right)\\=\ \left(\frac{\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{ds}}{\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{ss}}\right)\Delta X_{sn}^{(a)}+\left(1-\frac{\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{ds}}{\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{ss}}\right)\xi_{n}\end{align*} $$

により構成できる。このときの予測の平均二乗誤差は

$$ \begin{align*}MSE_{1}\ =&\ \mathbf{E}\left[(Y_{n}-\Delta X_{dn}^{(a)})^{2}\right]\\=&\ \left(\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{dd}\right)[1-\frac{(\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{ds})^{2}}{(\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{ss})(\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{dd})}]\\=&\ \left[2\sigma_{ss}+2\sigma_{dd}-4\sigma_{ds}\right]-4\frac{(\sigma_{ss}-\sigma_{ds})^{2}}{(\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{ss})}.\end{align*} $$

で与えられる。
予測を巡る注意事項1：

(i) 実際の予測では $ \xi_{n} $ を構成する必要がある。例えば階差についての定常性の仮定の下では過去の平均値を利用することが可能である。

(ii) ただしレンド・循環成分において構造変化まで考慮すると長い過去の平均値を利用することには弊害も生じうる。

次に同時点の供給側の推定値 $ \Delta X_{sn}^{(a)} $ を予測量として利用すると $ ^{9} $ 、その予測の平均二乗誤差は

$$ M S E_{1}^{^{\prime}}=2\sigma_{s s}+2\sigma_{d d}-4\sigma_{d s} $$

となる。この予測量は一般に最適予測ではないので $ MSE_{1}^{\prime} $ は $ MSE_{1} $ よりも小さくなり得ない。

また直近の$\Delta TC_{n}$ を情報として利用することが可能であれば$\Delta X_{dn}$ を予測する最適予測量は

$$ \begin{aligned}\mathbf{E}[\Delta X_{dn}^{(a)}|\Delta T C_{n}]&=\xi_{n}+\frac{Cov(\Delta X_{dn}^{(a)},\Delta T C_{n})}{V(\Delta T C_{n})}(\Delta T C_{n}-\xi_{n})\\&=\xi_{n}+(\Delta T C_{n}-\xi_{n})\\&=\Delta T C_{n}\end{aligned} $$

となる。このときの予測の平均二乗誤差は

$$ MSE_{2}=(\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{dd})[1-\frac{(\sigma_{\xi\xi})^{2}}{\sigma_{\xi\xi}(\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{dd})}]=2\sigma_{dd} $$

で与えられる。したがって

$$ MSE_{1}-MSE_{2}=\frac{2}{(\sigma_{\xi\xi}+2\sigma_{ss})}[\sigma_{\xi\xi}\sigma_{s,s}-2\sigma_{ds}(\sigma_{ds}+\sigma_{\xi\xi})] $$

すなわち例えば不規則変動の共分散 $ \sigma_{ds} $ が小さければ $ MSE_{1}^{\prime} > MSE_{2}, MSE_{1} > MSE_{2} $ となる。直観的には供給側系列の不規則変動の影響を取り除くことにより、より良い予測が可能になることを意味する。
さらに一般的に直近の $ \Delta TC_{n} $ および過去の $ \Delta TC_{j}\ (j \leq n - 1) $ を情報として利用することを考えよう。例えば j = 1 として変数誤差モデル

$$ \left[\begin{array}{c}{{{\Delta T C_{i}}}} \\{{{\Delta T C_{i-1}}}} \\{{{I_{d i}}}} \\{{{I_{s i}}}}\end{array}\right]\sim N\left(\left[\begin{array}{c}{{{\xi_{i}}}} \\{{{\xi_{i-1}}}} \\{{{0}}} \\{{{0}}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c c c c}{{{\sigma_{\xi_{i},\xi_{i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{i},\xi_{i-1}}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{\sigma_{\xi_{i-1},\xi_{i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{i-1},\xi_{i-1}}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\sigma_{d d}}}}&{{{\sigma_{d s}}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\sigma_{s d}}}}&{{{\sigma_{s s}}}}\end{array}\right]\right) $$

という表現を利用して考察する。ここで $ \sigma_{\xi_{i},\xi_{i}} $ は $ \Delta TC_{i} $ の分散、 $ \sigma_{\xi_{i},\xi_{i-1}} $ は $ \Delta TC_{i} $ と $ \Delta TC_{i-1} $ の共分散を表すものとする $ ^{10} $ 。

一般には情報 $ \Delta TC_{j}\ (j \leq n) $ が与えられた下での $ \Delta TC_{n} $ の最適予測量は $ \Delta TC_{j}\ (j \leq n) $ の線形関数で与えられる。変数誤差モデル (3.1) では一般に次のことが成立することを示せる。

定理 1：変数誤差モデル (3.1) において条件 (i), 条件 (ii) を仮定する。現在・過去のトレンド・循環成分に基づく予測の平均二乗誤差を最小にする予測量は

$$ \mathbf{E}[\Delta X_{dn}^{(a)}|\Delta TC_{n},\Delta TC_{j}\ (j\leq n-1)]=\Delta TC_{n} $$

で与えられ、予測の平均二乗誤差は $ MSE_{2}^{*} = 2\sigma_{dd} $ となる。

証明の概略：任意のラグ数 q (>1) をとり確率変数ベクトル $ (1 \times (q + 1)) $

$$ \mathbf{Y}_{n}=(\Delta T C_{n},\Delta T C_{n-1},\cdots,\Delta T C_{n-q}) $$

とする。確率変数ベクトル $ (\Delta X_{dn}^{(a)}, \mathbf{Y}_n) $ の分散共分散行列 $ ((q+1) \times (q+1))\Sigma $ ，確率変数 $ \Delta X_{dn}^{(a)} $ と確率変数ベクトル $ Y_n $ の共分散ベクトル

$$ \boldsymbol{\sigma}=\mathbf{Cov}[\Delta X_{dn}^{(a)},(\Delta TC_{n},\Delta TC_{n-1},\cdots,\Delta TC_{n-q})] $$

とすると等号

$$ \boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}=(1,0,\cdots,0) $$

$ ^{10} $ 一般に循環成分には自己相関 (autocorrelation) が存在するが確率過程について定常性 (stationarity) が仮定できれば自己相関は時間差のみに依存する。
が成り立つ。したがって最適予測量は $ (3.11) $ で与えられる。Q.E.D.

さらに予測に利用する情報として供給側の不規則変動成分 $ I_{sn} $ （あるいは $ \Delta X_{sn}^{(a)} $ ）を利用することも考えられる。このとき次のことが成り立つ。

系1：変数誤差モデル (3.1) において条件 (i), 条件 (ii) に加えて条件 (iii) $ \sigma_{ds} = 0 $ を仮定する。現在・過去のトレンド・循環成分および不規則成分に基づく予測の平均二乗誤差を最小にする予測量は

$$ \mathbf{E}[\Delta X_{dn}^{(a)}|\Delta TC_{n},I_{s,n},\Delta TC_{j}\ (j\leq n-1)]=\Delta TC_{n} $$

で与えられ、予測の平均二乗誤差は $ MSE_{2}^{*} = 2\sigma_{dd} $ となる。

予測を巡る注意事項2：

(i) 実際に推定される $ \sigma_{ds} $ は小さいので予測に取り込んでも改善幅は小さい。逆に (ii) で述べるようにノイズを混入させる可能性がある。

(ii) ここで説明した最適予測の方法はあくまで同時点のトレンド・循環成分が既知という仮定の下での最適性である。X-12-ARIMA をはじめ実際には現在・過去のデータより $ TC_{n} $ を推定する必要があり、推定誤差が発生する。例えば経済の循環変動 $ \{C_{i}\} $ の存在などを考慮すると、原理的にはより良い予測方式が得られる可能性がある。より具体的には季節性、トレンド、循環成分など時系列の状態を観察される時系列より推定する必要がある $ ^{11} $ 。なお、より正確な状態の推定には6節で説明するように制約条件 $ TC_{1i} = TC_{2i} = TC_{i} $ を課して状態を推定する必要がある $ ^{12} $ 。

(iii) さらにここでは真の季節性を除去できていることが仮定されていることを注意する必要があろう。X-12-ARIMA の運用を前提とすると全体として整合的に季節調整を行うことはそれほど容易なことではない。例えば現行の方法は季節性と割り戻して推定系列を計算し、最後に別の X-12-ARIMA モデルにより季節調整を行っている、ことなどについては改善可能性がある。
## 設備投資系列の分析結果

ここで分析に用いたデータは 1994 年 Q1～2009 年 Q4 間の民間企業設備投資系列、1994 年 Q1～2009 年 Q4 間の民間企業設備の供給側・需要側補助系列 (名目値) である。まず Decomp を利用して変動要因を分解し、さらに抽出した成分を利用して分析した。

(i) 公表系列である民間企業設備系列はこの間、かなり激しく変動している。季節成分は明確に観察されているが、ここ2年程度の変動は2006年頃までにトレンド成分・循環成分として観察されている変動とはかなり異なっている。他方、変化点分析を行うにはなおデータが十分に蓄積されているとは判断できない。

(ii) 需要側と供給側から推定した不規則変動間の相関はあまり大きくないのに対して、二つのトレンド・循環成分 $ \Delta TC_{i} $ の相関はかなり大きい。したがって供給側から推計したの $ \Delta TC_{n} $ による予測法はかなりの妥当性があると思われる。

(iii) 同時点のトレンド・循環成分に加えて過去の情報 $ \Delta TC_{n-j}, j \geq 1 $ を用いる予測法も検討した。供給側から推計した $ \Delta TC_{n} $ による予測法に比べてより複雑な予測法になる半面、予測誤差から判断する限り (i) に比べて明確な優位性までは確認できなかった。

(iv) 時系列の統計的予測法として考えられる幾つかの方法と (i) で述べた予測法の予測力の比較に関して検討した結果の一例を付録の参考図 5.1 として示しておく。その図では 1 次速報・2 次速報、および TC 成分による予測、TCI 成分による予測、国友・佐藤 (2010) が提案している平均予測法 $ (k = h = 1) $ を原水準と前期比について比較した $ ^{13} $ 。図 5.1 に需要側・供給側系列の双方から合成した設備投資系列の (事前的な意味での) 予測力を比較した結果を示しておく。今回我々が行ったデータ分析によれば TC 系列による予測量について、予測の平均二乗誤差 (MSE) を小さくするという意味での有効性が確認できた $ ^{14} $ 。
### 4. 在庫投資系列

ここで記号の簡単化の為に $p=2$ として、系列 1 として得られるデータ $X_{1i}^{(a)}$，系列 2 として得られるデータを $X_{2i}^{(a)}$ とする。系列 1 と系列 2 について得られる季節性については経験的な知見として観測上の理由からかなり異なっている$^{15}$。このとき二つの系列の合成として在庫投資系列は構成されるが各系列は

$$ \Delta X_{1i}^{(a)}=\Delta T C_{1i}+\Delta I_{1i},\Delta X_{2i}^{(a)}=\Delta T C_{2i}+\Delta I_{2i}, $$

と表現される。このとき合計系列 $ X_{i}^{(a)} = X_{1i}^{(a)} + X_{2i}^{(a)} $ の系列はトレンド・循環成分 $ TC_{i} = TC_{1i} + TC_{2i} $ ，不規則変動成分 $ I_{i} = I_{1i} + I_{2i} $ により

$$ X_{i}^{(a)}=T C_{i}+I_{i} $$

と表される。

観測データとして $ \Delta X_{1i}^{(a)}, \Delta X_{2i}^{(a)} \ (i = 1, \cdots, n - 1) $ および同時点における第1系列 $ \Delta X_{1n}^{(a)} $ が利用可能な状況を考えよう。このとき在庫系列を推定するには系列2の直近の増加分 $ \Delta X_{2n}^{(a)} $ を予測する必要が生じる。予測誤差を最小化するという標準的な規準からは最適予測は条件付期待値

$$ Y_{n}=\mathbf{E}[\Delta X_{2n}^{(a)}|I_{n-1}] $$

で与えられるが、通常の統計的予測と異なる側面は$\Delta X_{1n}^{(a)}\in I_{n-1}$ となっていることである。

変数誤差 (errors-in-variables) モデル (4.1) を考察する。ここで任意の $ i, j (i, j = 1, \cdots, n) $ に対し、

いたのはできる限り各公表時点において利用可能であったデータおよびその次の時点に公表されたデータであり、実データに基づいてなるべくフェアに予測力を比較した。
(i) トレンド・循環成分 $ \Delta TC_{1j}, \Delta TC_{2j} $ と不規則成分 $ I_{1i}, I_{2i} $ が独立,

(ii) トレンド・循環成分 $ \Delta TC_{1j}, \Delta TC_{2j} $ と不規則成分 $ I_{1i}, I_{2i} $ （期待値はゼロ）が正規分布にしたがう,

ことを仮定する。例えば $ i = 2, \cdots, n $ に対して

$$ \left[\begin{array}{c}{{{\Delta T C_{1i}}}} \\{{{\Delta T C_{2i}}}} \\{{{\Delta T C_{1,i-1}}}} \\{{{\Delta T C_{2,i-1}}}} \\{{{I_{1i}}}} \\{{{I_{2i}}}}\end{array}\right]\sim N\left(\left[\begin{array}{c}{{{\xi_{1,i}}}} \\{{{\xi_{2,i}}}} \\{{{\xi_{1,i-1}}}} \\{{{\xi_{2,i-1}}}} \\{{{0}}} \\{{{0}}}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c c c c c}{{{\sigma_{\xi_{1,i}\xi_{1,i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{1,i}\xi_{2,i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{1,i}\xi_{1,i-1}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{2,i-1}}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{\sigma_{\xi_{2,i}\xi_{1,i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{2,i}\xi_{2,i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{2,i}\xi_{1,i-1}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{2,i}\xi_{2,i-1}}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{\sigma_{\xi_{1,i-1}\xi_{1,i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{1,i-1}\xi_{2,i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{1,i-1}\xi_{1,i-1}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{1,i-1}\xi_{2,i-1}}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{\sigma_{\xi_{2,i-1}\xi_{1,i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{2,i-1}\xi_{2,i}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{2,i-1}\xi_{1,i-1}}}}}&{{{\sigma_{\xi_{2,i-1}\xi_{2,i-1}}}}}&{{{0}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\sigma_{11}}}}&{{{\sigma_{12}}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\sigma_{21}}}}&{{{\sigma_{22}}}}\end{array}\right]\right) $$

(4.4)

と表現しよう。ここで $ \xi_{1,i}, \xi_{2,i} $ は二つの系列の各（トレンド・循環）成分の階差系列 $ \Delta TC_{1i}, \Delta TC_{2i} $ ，の期待値（期待成長率）を意味する。 $ \sigma_{\xi_{1,i}\xi_{1,j}}, \sigma_{\xi_{2,i}\xi_{2,j}}, \sigma_{\xi_{1,i}\xi_{2,j}} $ は $ \Delta TC_{1i}, \Delta TC_{2j} $ の分散と共分散、 $ \sigma_{11}, \sigma_{22}, \sigma_{12} $ は二つの不規則変動の分散と共分散をそれぞれ表している。

こうした仮定の下で予測問題を考察する。まず $ \Delta X_{2,n-1}^{(a)} $ を利用して $ \Delta X_{2n}^{(a)} $ の予測量を構成すると

(4.5)

$$ \begin{aligned}&\mathbf{E}[\Delta X_{2n}^{(a)}|\Delta X_{2,n-1}^{(a)}]\\=&\mathbf{E}[\Delta X_{2n}^{(a)}]+\frac{Cov(\Delta X_{2n}^{(a)},\Delta X_{2,n-1}^{(a)})}{V(\Delta X_{2,n-1}^{(a)})}\left(\Delta X_{2,n-1}^{(a)}-\mathbf{E}[\Delta X_{2,n-1}^{(a)}]\right)\\=&\left(\frac{\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n-1}}-\sigma_{22}}{\sigma_{\xi_{2,n-1}\xi_{2,n-1}}+2\sigma_{22}}\right)\Delta X_{2,n-1}^{(a)}+\left(1-\frac{\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n-1}}-\sigma_{22}}{\sigma_{\xi_{2,n-1}\xi_{2,n-1}}+2\sigma_{22}}\right)\xi_{2,n-1}\end{aligned} $$

とある。このときの予測の平均二乗誤差は

$$ MSE_{3}=(\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n}}+2\sigma_{22})[1-\frac{(\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n-1}}-\sigma_{22})^{2}}{(\sigma_{\xi_{2,n-1}\xi_{2,n-1}}+2\sigma_{22})(\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n}}+2\sigma_{22})}] $$

で与えられるが、この予測方法は一次元の季節 ARIMA モデルを AIC 最小化の原理で探索する現行の方法に近いと考えられる。次に直近の $ \Delta X_{1n}^{(a)} $ が観測可能なことを
考慮して $ \Delta X_{2n}^{(a)} $ の予測量を構成すると

$$ \begin{aligned}&\mathbf{E}[\Delta X_{2n}^{(a)}|\Delta X_{1n}^{(a)}]\\=&\mathbf{E}[\Delta X_{2n}^{(a)}]+\frac{Cov(\Delta X_{2n}^{(a)},\Delta X_{1n}^{(a)})}{V(\Delta X_{1n}^{(a)})}\left(\Delta X_{1n}^{(a)}-\mathbf{E}[\Delta X_{1n}^{(a)}]\right)\\=&\left(\frac{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{2,n}}+2\sigma_{12}}{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{1,n}}+2\sigma_{11}}\right)\Delta X_{1,n}^{(a)}+\left(1-\frac{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{2,n}}+2\sigma_{12}}{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{1,n}}+2\sigma_{11}}\right)\xi_{1,n}\end{aligned} $$

である。このときの予測の平均二乗誤差は

$$ MSE_{3}^{^{\prime}}=(\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n}}+2\sigma_{22})[1-\frac{(\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{2,n}}+2\sigma_{12})^{2}}{(\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{1,n}}+2\sigma_{11})(\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n}}+2\sigma_{22})}] $$

で与えられる。

これに対して直近の $ \Delta TC_{jn} $ の一部分を利用することが可能であれば $ \Delta X_{2n} $ を予測するには

$$ \begin{align*}\mathbf{E}[\Delta X_{2n}^{(a)}|\Delta T C_{1n}]&=\xi_{2n}+\frac{Cov(\Delta X_{2n}^{(a)},\Delta T D_{1n}^{(a)})}{V(\Delta T D_{1,n})}(\Delta T C_{1n}-\xi_{1,n})\\&=\xi_{2n}+\frac{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{2,n}}}{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{1,n}}}(\Delta T C_{1n}-\xi_{1,n})\end{align*} $$

となる。このときの予測の平均二乗誤差は

$$ \begin{aligned}MSE_{4}\ =&\ (\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n}}+2\sigma_{22})[1-\frac{(\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{2,n}})^{2}}{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{1,n}}(\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n}}+2\sigma_{22})}]\\ =&\ 2\sigma_{22}+\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n}}\left[1-\left(\frac{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{2,n}}}{\sqrt{\sigma_{\xi_{1,n}\xi_{1,n}}\sigma_{\xi_{2,n}\xi_{2,n}}}}\right)^{2}\right]\end{aligned} $$

で与えられる。ここで特に\Delta TC_{1n}=\Delta TC_{2n}=\Delta TC_{n} とすると、変数誤差モデル(4.1)は変数誤差モデル(3.1)と同一になる。このとき最適予測(4.9)は(3.7)に一致し、予測の平均二乗誤差は(4.10)の第2項がゼロとなる場合となっている $ ^{16} $ 。

さらに、より一般的に直近の$\Delta TC_{1,n}$ および$\Delta TC_{1,n-j},\Delta TC_{2,n-j}\left(j=1,\cdots,q\right)$ の情報を利用することで$\Delta X_{2n}$ のよい予測量を構成することが可能であろう。この場合には変数ベクトル$\mathbf{Z}_{n}=\left(\Delta TC_{1n},\Delta TC_{1,n-1},\Delta TC_{2,n-1},\cdots,\Delta TC_{1,n-q},\Delta TC_{2,n-q}\right)$