Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
摩擦が導入されている．本稿ではDSGEモデルとしてこのモデルを用いるので，本節でこのモデルについて簡単に説明する．

### 3.1 家計

#### 3.1.1 選好と予算制約

家計は連続的に存在すると仮定し, 各家計のインデックスを $ h \in (0,1) $ とする. また, 各家計は消費と余暇に対して同一の選好を持つものとし, 家計 h は次の効用関数を最大化するものと仮定する.

$$ E_{0}\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\left[\frac{\left(c_{t}(h)-H_{t}\right)^{1-\sigma_{c}}}{1-\sigma_{c}}-\frac{l_{t}(h)^{1+\sigma_{L}}}{1+\sigma_{L}}\right] $$

ここで, $ c_{t}(h) $ は実質総消費, $ H_{t} $ は外生的な消費の習慣形成, $ l_{t}(h) $ は労働供給を表す. 各家計は差別化された労働を供給する, すなわち, 労働市場で独占的に労働供給量を決められるものと仮定する. パラメータ $ \beta $ は割引率, $ \sigma_{c} $ は長期の異時点間の代替の弾力性, $ \sigma_{L} $ は労働供給の弾力性を表す. 簡単化のため, $ c_{t}(h) $ と $ l_{t}(h) $ は互いに加法分離的 (additive-separable) であると仮定する.

家計 h の予算制約式は以下の通りである.

$$ \begin{aligned}&B_{t}(h)+P_{t}\left[c_{t}(h)+i n v_{t}(h)+a(u_{t}(h))K_{t}(h)\right]\\&=R_{t-1}B_{t-1}(h)+W_{t}(h)l_{t}(h)+R_{t}^{k}\tilde{K}_{t}(h)+D i v_{t}(h)\\ \end{aligned} $$

ここで， $ B_{t}(h) $ は名目債券保有量， $ P_{t} $ は実質総消費財の価格指数（すべての家計に共通）， $ inv_{t}(h) $ は物理的な投資， $ R_{t-1} $ は t-1 期から t 期までの粗名目利子率， $ W_{t}(h) $ は家計 h の差別化された労働供給に対して支払われる名目賃金率， $ Div_{t}(h) $ は家計 h が所有する企業からの名目配当収入を表す．この配当収入は企業の利潤最大化によって既に決まっているため，家計の効用最大化問題では外生変数となる．

家計は消費者および労働供給者として行動するだけでなく，投資家としても行動する．言い換えると，家計 h は資本 $ K_{t}(h) $ を企業に対して貸し，その内の稼動資本 $ \tilde{K}_{t}(h) $ からレンタル料 $ R_{t}^{k} $ を受け取る．稼動資本は，以下のように，実際の資本量に資本稼働率を掛けたものとして定義する．

$$ \tilde{K}_{t}(h)=u_{t}(h)K_{t}(h) $$

家計は資本稼働率を上げることによりレンタル料収入を増やすことができるが，そうすることにより， $ a(u_{t}(h))K_{t}(h) $ の資本稼動費用を支払う必要があると仮定する．資本稼動費用関数 $ a(u_{t}(h)) $ は増加関数であり，下に凸の関数である $ (a^{\prime}(u)>0,a^{\prime\prime}(u)>0) $ と仮定する．さらに，資本稼働率が定常状態 $ u^{ss}=1 $ にあるとき，資本稼動費用は0であると仮定する $ (a(1)=0) $ .
予算制約式（19）の左辺は家計 h の t 期の総支出（債券投資, 消費支出, 物理的投資, 資本稼動費用の和）を表し, 右辺は総収入（t-1 期から保有している債券とその利子収入, 労働収入, レンタル料収入, 配当収入の和）を表す.

予算制約式（19）は名目であり，それを実質化すると以下のように表せる.

$$ \begin{aligned}&b_{t}(h)+c_{t}(h)+i n v_{t}(h)+a(u_{t}(h))K_{t}(h)\\&=\frac{R_{t-1}}{\Pi_{t}}b_{t-1}(h)+w_{t}(h)l_{t}(h)+r_{t}^{k}u_{t}(h)K_{t}(h)+d i v_{t}(h)\\ \end{aligned} $$

ここで, $ b_{t}(h) = B_{t}(h)/P_{t} $ は実質債券所有, $ P_{t} = P_{t}/P_{t-1} $ は t-1 期から t 期までのインフレ率, $ w_{t}(h) = W_{t}(h)/P_{t} $ は実質賃金, $ r_{t}^{k} = R_{t}^{k}/P_{t} $ は実質レンタル率, $ div_{t}(h) = Div_{t}(h)/P_{t} $ は実質配当を表す.

#### 3.1.2 資本蓄積と資本調整コスト

家計は次の式に従って資本を蓄積する。

$$ K_{t+1}(h)=(1-\delta)K_{t}(h)+\left[1-S\Big(\frac{i n v_{t}(h)}{i n v_{t-1}(h)}\Big)\right]i n v_{t}(h) $$

ここで, δ は資本減耗率, $ S(\cdot) $ は資本調整コストを表す. 資本調整コストには以下のような 2 次関数を仮定する.

$$ S\left(\frac{inv_{t}(h)}{inv_{t-1}(h)}\right)=\frac{1}{2\varphi}\left(\frac{inv_{t}(h)}{inv_{t-1}(h)}-1\right)^{2} $$

この定式化からわかるように, 現在の物理的投資と1期前の物理的投資の乖離が大きくなればなるほど, 調整コストも大きくなる. この調整コストが存在するために, 家計は物理的投資を時間を通じて平滑化しようとする. 定常状態では, 調整コストは0, すなわち, $ S(1)=0 $ , $ S'(1)=0 $ . さらに, 定常状態では, $ \varphi=1/S''(1) $ である.

#### 3.1.3 家計のオイラー方程式

各家計の初期条件は同一であり，商品市場は完備であると仮定する．したがって，以下では，賃金と労働供給以外，家計のインデックスhは省略する．予算制約式(21)と資本蓄積の式(22)を制約とする家計hの動学的最適化問題は以下のように表せる．

$$ \begin{aligned}L&=E_{0}\sum_{t=0}^{\infty}\beta^{t}\Bigg\{\left[\frac{\left(c_{t}-H_{t}\right)^{1-\sigma_{c}}}{1-\sigma_{c}}-\frac{l_{t}(h)^{1+\sigma_{L}}}{1+\sigma_{L}}\right]\\&+\lambda_{t}\left[\frac{R_{t-1}}{\Pi_{t}}b_{t-1}+w_{t}(h)l_{t}(h)+r_{t}^{k}u_{t}K_{t}+div_{t}-b_{t}-c_{t}-inv_{t}-a(u_{t})K_{t}\right]\\&+q_{t}\left[(1-\tau)K_{t}+\left[1-S\left(\frac{inv_{t}}{inv_{t-1}}\right)\right]inv_{t}-K_{t+1}\right]\Bigg\}\\ \end{aligned} $$
ここで, $ \lambda_{t} $ は t 期の予算制約式のラグランジュ乗数, $ q_{t} $ は資本蓄積式のラグランジュ乗数を表す. 家計 h は効用を最大化するように現在の消費, 債券保有量, 資本稼働率, 物理的投資額, 資本保有量を選択する. 労働供給量の選択については, 独占的競争の仮定から, 特殊な取り扱いが必要なので, これらとは別に分析する必要がある.

すべての家計について, $ c_{t} $ , $ b_{t} $ , $ u_{t} $ , $ inv_{t} $ , $ K_{t} $ に関して以下の1階の条件が成り立つ.

$$ 消費：\lambda_{t}=(c_{t}-H_{t})^{-\sigma_{c}} $$

$$ 債劵保有：\lambda_{t}=\beta E_{t}\left[\frac{R_{t}}{\Pi_{t+1}}\lambda_{t+1}\right] $$

$$ 資本稼働率：r_{t}^{k}=a^{\prime}(u_{t}) $$

$$ \lambda_{t}=q_{t}\left[1-S\left(\frac{inv_{t}}{inv_{t-1}}\right)-S^{\prime}\left(\frac{inv_{t}}{inv_{t-1}}\right)\frac{inv_{t}}{inv_{t-1}}\right] $$

$$ +\beta E_{t}q_{t+1}\left[S^{\prime}\left(\frac{inv_{t+1}}{inv_{t}}\right)\left(\frac{inv_{t+1}}{inv_{t}}\right)^{2}\right] $$

$$ 資本保有：q_{t}=\beta E_{t}\left[q_{t+1}(1-\tau)+\lambda_{t+1}\left(r_{t+1}^{k}u_{t+1}-a(u_{t+1})\right)\right] $$

#### 3.1.4 賃金設定と労働供給

ここでは, 家計は差別化された労働サービス $ (l_{t}(h), h \in (0,1)) $ を独占的に供給すると仮定している. 家計はこのサービスを代表的な競争企業に売り, 企業はそれを以下の Dixit-Stiglitz 型関数によって総労働投入 $ l_{t} $ に変換する.

$$ l_{t}=\left[\int_{0}^{1}l_{t}(h)^{1/(1+\lambda_{w})}dh\right]^{1+\lambda_{w}} $$

ここで, $ \lambda_{w} $ は賃金マークアップとして解釈できる.

$ l_{t}(h) $ に対する需要曲線は以下のように与えられる.

$$ l_{t}(h)=\Big(\frac{W_{t}(h)}{W_{t}}\Big)^{-(1+\lambda_{w})/\lambda_{w}}l_{t},\quad f o r\;1\leq\lambda_{w}<\infty $$

ここで, $ W_{t} $ は総名目賃金率, すなわち, $ l_{t} $ の名目価格である. また, $ W_{t} $ と $ W_{t}(h) $ との間に以下の関係があることを容易に示すことができる.

$$ W_{t}=\left[\int_{0}^{1}W_{t}(h)^{-1/\lambda_{w}}\ d h\right]^{-\lambda_{w}} $$

家計は $ l_{t} $ と $ W_{t} $ を所与とし, 企業による価格設定と同様のメカニズムに従って自らの賃金率を設定する. 各期において, 家計の一定の割合 $ 1 - \xi_{w} $ だけが賃金を最適化できると仮定す
る．賃金を最適化できるかどうかは家計や期とは独立であるとする．t期においてある家計が賃金を最適化できない場合，その家計は以下の式に従って賃金 $ W_{t}(h) $ を改定する．

$$ W_{t}(h)=\left(\frac{P_{t-1}}{P_{t-2}}\right)^{\gamma_{w}}W_{t-1}(h) $$

ここで, $ \gamma_{w} $ は賃金の過去のインフレ率に対する連動の度合いを表す．賃金が最適化されい場合, $ \gamma_{w}=0 $ であれば, 過去のインフレ率には連動せず, $ \gamma_{w}=1 $ であれば, 過去のインフレ率に完全に連動する．

最後に, 総賃金指数の定義から, その変動は以下のように表せる.

$$ W_{t}^{-1/\lambda_{w}}=\xi_{w}\left[W_{t-1}\left(\frac{W_{t-1}}{W_{t-2}}\right)^{\gamma_{w}}\right]^{-1/\lambda_{w}}+(1-\xi_{w})\tilde{w}_{t}^{-1/\lambda_{w}} $$

ここで, $ \tilde{w} $ は最適化問題によって改定された以下の賃金を表す.

$$ \frac{\tilde{w}_{t}}{P_{t}}E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}\xi_{w}^{i}\Big(\frac{(P_{t}/P_{t-1})^{\gamma_{w}}}{P_{t+i}/P_{t+i-1}}\Big)\frac{l_{t+i}(h)U_{t+i}^{c}}{1+\lambda_{w}}=E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}\xi_{w}^{i}l_{t+i}(h)U_{t+i}^{l} $$

ただし, $ U_{t+i}^{l} $ は労働の限界不効用, $ U_{t+i}^{c} $ は消費の限界効用を表す.

### 3.2 企業

#### 3.2.1 生產技術と費用最小化

CEE モデルでは, 企業行動のモデル化は Calvo (1983) に基づいている. n 個の独占的競争企業はそれぞれ差別化された製品 $ y_{j,t} $ を生産し, 中間財市場でそれを売る. 各独占的企業の生産関数は同一であり, 以下の式で定義される.

$$ 生產関数：y_{j,t}=A_{t}\tilde{K}_{j,t}^{\alpha}l_{j,t}^{1-\alpha}-\Phi $$

ここで, $ A_{t} $ はすべての企業の生産性に影響を与える経済全体の技術ショック, $ \tilde{K}_{j,t} $ は企業 j の資本借り入れの中の稼動資本, $ l_{j,t} $ は t 期に企業 j に雇用されている労働力, $ \Phi $ は固定費用を表す. 生産関数 (36) の中に固定費用が存在するために, 企業の生産技術は収穫一定ではなく, 収穫遞増になっている.

資本レンタル市場の完全競争の仮定と企業が労働市場で価格受容者 (price-taker) なので, 企業 j はレンタル料 $ r_{t}^{k} $ と実質賃金指数 $ w_{t} $ を所与とする. 目標生産水準 $ y_{j,t} $ が与えられると, 企業 j の費用最小化問題は以下のように表せる.

$$ 費用関数：\min_{\tilde{K}_{j,t},l_{j,t}}w_{t}l_{j,t}+r_{t}^{k}\tilde{K}_{j,t}+mc_{j,t}\left(y_{j,t}-A_{t}\tilde{K}_{j,t}^{\alpha}l_{j,t}^{1-\alpha}+\Phi\right) $$
ここで, ラグランジュ乗数 $ mc_{j,t} $ は, 生産 $ y_{j,t} $ の限界費用であると解釈できる. この費用最小化問題の1階の条件は次の通りである.

$$ \frac{w_{t}}{r_{t}^{k}}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\frac{\tilde{K}_{j,t}}{l_{j,t}} $$

ここで, (38) 式の左辺は資本投入と労働投入の間の機会費用を表し, 右辺はそれら 2 つの生産要素の間の技術的限界代替率を表す. さらに, 企業 j の限界費用は以下のように表せる.

$$ 限界費用：mc_{j,t}=\frac{1}{A_{t}}\left(\alpha^{-\alpha}(1-\alpha)^{-(1-\alpha)}\right)w_{t}^{1-\alpha}(r_{t}^{k})^{\alpha} $$

(39) 式からわかるように, 限界費用は添字 j に依存しない. このことは, 限界費用は企業間で同一であることを意味している. これは, 生産関数の定式化および資本市場と労働市場で企業が価格受容者であることによる. 限界費用が企業間で同一なので、以下では添字 j を省略する.

#### 3.2.2 粘着価格の下での最適価格設定ルール

次に, 中間財 $ y_{j,t} $ の市場で独占的に行動する企業 j の最適価格設定行動について説明する。そのためには, まず中間財 $ y_{j,t} $ の需要関数を定式化する必要がある。CEE モデルでは, 先行研究に従い, 以下のような標準的な定式化を行っている。

$$ 中間財需要 関数 y_{j,t}\colon y_{j,t}=\left(\frac{P_{j,t}}{P_{t}}\right)^{-(1+\lambda_{p})/\lambda_{p}}y_{t} $$

ここで, $ y_{t} $ は最終財, $ P_{t} $ は最終財 $ y_{t} $ の価格指数を表す. $ \lambda_{p} $ は需要の価格弾力性を決めるパラメータである. Calvo (1983) 型粘着価格モデルでは, 各期 t において, 全体の $ \xi_{p} $ の割合の企業が自らの価格 $ p_{j,t} $ を改訂することができず, 残りの $ (1-\xi_{p}) $ の割合の企業が価格を改定できると仮定する. 価格 $ p_{j,t} $ を改定できる企業は, 以下の利潤最大化問題を解く.

$$ 利潤関数：\max_{P_{j,t}}E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}\xi_{p}^{i}\left[\left(\frac{P_{j,t}}{P_{t+i}}\right)^{-1/\lambda_{p}}-mc_{t+i}\left(\frac{P_{j,t}}{P_{t+i}}\right)^{-(1+\lambda_{p})/\lambda_{p}}\right]y_{t+i} $$

この利潤最大化の1階の条件は以下の通りである。

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}\xi_{p}^{i}y_{j,t+i}\left[\frac{P_{j,t}}{P_{t+i}}-\left(1+\lambda_{p}\right)m c_{t+i}\right]=0 $$

この式から企業 j の最適価格設定ルールが以下のように得られる.

$$ \frac{P_{j,t}}{P_{t}}=(1+\lambda_{p})E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}f_{t+i}mc_{t+i} $$
ここで,

$$ f_{t+i}=\frac{\beta^{i}\xi_{p}^{i}(P_{t+i}/P_{t})^{(1+\lambda_{p})/\lambda_{p}}y_{j,t+i}}{\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}\xi_{p}^{i}(P_{t+i}/P_{t})^{1/\lambda_{p}}y_{j,t+i}} $$

(43) 式からわかるように, 企業は価格を将来の限界費用の流列の加重平均にマークアップ率 $ (1 + \lambda_{p}) $ を掛けたものに等しくなるよう設定する.

CEE モデルでは, 価格を最適化しない企業は以下のように自らの価格を部分的に過去のインフレ率に連動させると仮定する.

$$ 価格のインフレ率への連動:~\tilde{p}_{j,t}=\left(\frac{P_{t-1}}{P_{t-2}}\right)^{\gamma_{p}}\tilde{p}_{j,t-1} $$

ここで, パラメータ $ \gamma_{p} $ は過去のインフレ率に対する連動の度合いを表す. この仮定の下では, 最適価格設定ルールは以下のように修正される.

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}\xi_{p}^{i}y_{j,t+i}\left[\frac{\tilde{p}_{j,t}}{P_{t+i}}\left(\frac{P_{t-1+i}}{P_{t-1}}\right)^{\gamma_{p}}-\left(1+\lambda_{p}\right)m c_{t+i}\right]=0, $$

ここで, $ \tilde{p}_{j,t} $ は t 期に価格を最適に改訂できた企業の最適価格を表す.

最後に, 総物価指数の定義から, 総物価指数の変動は以下の式で表せる.

$$ P_{t}^{-1/\lambda_{p}}=\xi_{p}\left[P_{t-1}\left(\frac{P_{t-1}}{P_{t-2}}\right)^{\gamma_{p}}\right]^{-1/\lambda_{p}}+(1-\xi_{p})\tilde{p}_{j,t}^{-1/\lambda_{p}} $$

### 3.3 市場の均衡条件

最終財市場の均衡のためには, 最終財市場の供給と最終財の消費, 投資, 稼動資本, 政府支出としての総需要が等しくなる必要がある. したがって, 均衡条件は以下の式で表せる.

$$ y_{t}=c_{t}+i n v_{t}+a(u_{t})K_{t-1}+g_{t} $$

### 3.4 モデルの対数線形化

合理的期待均衡を解析的に導出するために，上記モデルを定常状態の周りで対数線形化する．以下， $ x^{ss} $ を変数xの定常状態での値，また $ \hat{x}=\ln x-\ln x^{ss} $ と定義する．

#### 3.4.1 家計の均衡条件

(1) 消費のオイラー方程式:

$$ \hat{c}_{t}=\frac{h}{1+h}\hat{c}_{t-1}+\frac{1}{1+h}E_{t}\hat{c}_{t+1}-\frac{1-h}{(1+h)\sigma_{c}}(\hat{R}_{t}-E_{t}\hat{\Pi}_{t+1})+\frac{1-h}{(1+h)\sigma_{c}}(u_{t}^{c}-E_{t}u_{t+1}^{c}) $$
ここで, 追加的な仮定として, 外生的な習慣形成 $ H_{t} $ は $ H_{t} = h c_{t-1} $ として過去の総消費に比例するものとする. ただし, h は習慣の持続の度合いを表すパラメータである. 消費のショック $ u_{t}^{c} $ は定数項 0, 係数 $ \rho^{c} $ の AR(1) モデルに従うものと仮定する. したがって, 期待値 $ E_{t}u_{t+1}^{c} $ は $ \rho^{c}u_{t}^{c} $ となる.

(2) 投資のオイラー方程式

$$ \widehat{i n v}_{t}=\frac{1}{1+\beta}\widehat{i n v}_{t-1}+\frac{\beta}{1+\beta}\widehat{E_{t}i n v}_{t+1}+\frac{\varphi}{1+\beta}\hat{q}_{t}+\frac{\beta}{1+\beta}(E_{t}u_{t+1}^{i n v}-u_{t}^{i n v}) $$

ここで, $\varphi = 1 / \bar{S}^{\prime\prime}$ と定義すると, その逆数 $1 / \varphi$ は投資の資本価格に対する弾力性を表す. 投資のショック $u_{t}^{inv}$ は定数項 0, 係数 $\rho^{inv}$ の AR(1) モデルに従うものと仮定する. したがって, 期待値 $E_{t} u_{t+1}^{inv}$ は $\rho^{inv} u_{t}^{inv}$ となる.

(3) 資産価格のオイラー方程式:

$$ \hat{q}_{t}=-(\hat{R}_{t}-E_{t}\hat{\Pi}_{t+1})+\frac{1-\tau}{1-\tau+\overline{r}^{k}}E_{t}\hat{q}_{t+1}+\frac{\overline{r}^{k}}{1-\tau+\overline{r}^{k}}E_{t}\hat{r}_{t+1}^{k}+\varepsilon_{t}^{q} $$

ここで, $\beta=1/(1-\tau-\bar{r}_{k})$, $\tau$ は減耗率, $\bar{r}_{k}$ は定常状態のレンタル料を表す. $\varepsilon_{t}^{q}$ は債券投資に要求されるリターンのショックであり, これは外生的なプレミアムの変動に対する資本コストの変化を表している. $\varepsilon_{t}^{q}$ はホワイト・ノイズであると仮定する.

(4) 実質賃金の変動:

$$ \begin{aligned}\hat{w}_{t}&=\frac{\beta}{1+\beta}E_{t}\hat{w}_{t+1}+\frac{1}{1+\beta}\hat{w}_{t-1}+\frac{\beta}{1+\beta}E_{t}\hat{\Pi}_{t+1}-\frac{1+\beta\gamma_{w}}{1+\beta}\hat{\Pi}_{t}+\frac{\gamma_{w}}{1+\beta}\hat{\Pi}_{t-1}\\&-\frac{\lambda_{w}(1-\beta\xi_{w})(1-\xi_{w})}{(1+\beta)(\lambda_{w}+(1+\lambda_{w})\sigma_{L})\xi_{w}}\left[\hat{w}_{t}-\sigma_{L}\hat{l}_{t}-\frac{\sigma_{c}}{1-h}(\hat{c}_{t}-h\hat{c}_{t-1})-u_{t}^{L}-\varepsilon_{t}^{w}\right]\end{aligned} $$

実質賃金 $ \hat{w}_{t} $ は期待賃金と過去の賃金，期待，現在，過去のインフレ率の関数であり，そのウェイトは最適な賃金に改定されない場合のインデクゼイションの度合い $ \gamma_{w} $ に依存する。 $ \gamma_{w}=0 $ の場合には，実質賃金は過去のインフレ率に依存しない．最後の項は，実際の実質賃金が賃金が伸縮的な場合の実質賃金から乖離することの負の効果を表す．この効果は，賃金の硬直性，労働需要の弾力性，労働供給の弾力性の逆数 $ \sigma_{L} $ が低いほど，大きくなる．労働供給のショック $ \boldsymbol{u}_{t}^{L} $ は $ \mathrm{AR}(1) $ モデルに従い，実質賃金のショック $ \varepsilon_{t}^{w} $ はホワイト・ノイズであると仮定する．

(5) 資本蓄積:

$$ \hat{K}_{t}=(1-\tau)\hat{K}_{t-1}+\widehat{\tau i n v_{t-1}} $$
資本 $ K_{t} $ は資本減耗によって減少し, 投資によって増加する. $ \tau $ には 2 つの意味がある. 一つは資本の減耗率, もう一つは投資・資本比率であり, 右辺第 1 項は前者, 右辺第 2 項は後者である.

#### 3.4.2 企業の均衡条件

(6) 費用最小化条件:

$$ \hat{l}_{t}=-\hat{w}_{t}+(1+\psi)\hat{r}_{t}^{k}+\hat{K}_{t-1} $$

ここで, $ \psi = \psi'(1)/\psi''(1) $ は資本稼動費用関数の弾力性の逆数を表す．資本ストックを所与とすると, 労働需要は実質賃金 $ \hat{w}_{t} $ と負の関係になり, 資本のレンタル料 $ \hat{r}_{t}^{k} $ と正の関係になる．

(7) 生產関数:

$$ \hat{y}_{t}=\phi\hat{u}_{t}^{a}+\phi\alpha\hat{K}_{t-1}+\phi\alpha\psi\hat{r}_{t}^{k}+\phi(1-\alpha)\hat{l}_{t} $$

ここで, φ は生産における固定費用の比率に 1 を加えたものであり, $ \hat{u}_{t}^{a} $ は生産性のショックである. この式は生産関数 (13) 式から導かれる.

(8) インフレ率:

$$ \hat{\Pi}_{t}=\frac{\beta}{1+\beta\gamma_{p}}E_{t}\hat{\Pi}_{t+1}+\frac{\gamma_{p}}{1+\beta\gamma_{p}}\hat{\Pi}_{t-1}+\frac{(1-\beta\xi_{p})(1-\xi_{p})}{(1+\beta\gamma_{p})\xi_{p}}\left[\alpha\hat{r}_{t}^{k}+(1-\alpha)\hat{w}_{t}-u_{t}^{a}+\varepsilon_{t}^{p}\right] $$

インフレ率 $ \hat{\Pi}_{t} $ は, 過去のインフレ率と将来の期待インフレ率, 資本レンタル料 $ \hat{r}_{t} $ の関数である現在の限界費用, 実質賃金 $ \hat{w}_{t} $ , 生産性ショック $ u_{t}^{a} $ の関数である. $ \gamma_{p}=0 $ の場合, この式は通常の forward-looking なフィリップス曲線になる. 言い換えると, インデクゼーションの度合い $ \gamma_{p} $ はインフレ率が backward-looking である度合いを表す. 限界費用の変化に対するインフレ率の弾力性 $ \left[\alpha\hat{r}_{t}^{k}+(1-\alpha)\hat{w}_{t}-u_{t}^{a}+\varepsilon_{t}^{p}\right] $ は, 主に価格の硬直性の度合いに依存する. すべての価格が伸縮的 ( $ \xi_{p}=0 $ ) で価格マークアップショック $ \varepsilon_{t}^{p} $ が 0 の場合, この式は, 価格が伸縮的な場合に実質限界費用が 1 に等しくなるという通常の条件になる.

(9) 雇用:

$$ \hat{e}_{t}=\beta\hat{e}_{t+1}+\frac{(1-\beta\xi_{e})(1-\xi_{e})}{\xi_{e}}(\hat{l}_{t}-\hat{e}_{t}) $$
ここで, $ e_{t} $ は雇用, $ l_{t} $ は労働投入量, $ \xi_{e} $ は企業が雇用を望ましい総労働投入量に調整できる確率（一定）を表す. この式は雇用が労働投入よりもゆっくり反応するという事実を反映している.

#### 3.4.3 その他の式

(10) 市場の均衡条件:

$$ \hat{y}_{t}=(1-\tau k_{y}-g_{y})\hat{c}_{t}+\tau k_{y}\widehat{i n v_{t}}+\overline{r}_{t}^{k}\psi k_{y}\hat{r}_{t}^{k}+g_{y}u_{t}^{g} $$

ここで, $ k_{y} $ は定常状態での資本・生産比率, $ g_{y} $ は定常状態での政府支出・生産比率を表す.

政府支出は AR(1) モデル $ u_{t}^{g} = \rho^{g} u_{t-1}^{g} + \varepsilon_{t}^{g} $ に従うと仮定する.

(11) 金融政策ルール:

$$ \hat{R}_{t}=\rho_{m}\hat{R}_{t-1}+\left(1-\rho_{m}\right)\left[\mu_{\pi}\hat{\Pi}_{t-1}+\mu_{y}\hat{y}_{t}\right]+\varepsilon_{t}^{m} $$

金融当局はテイラー・ルールに従うものと仮定する。すなわち，金利 $ \hat{R}_{t} $ を過去のインフレ率（ここでは目標インフレ率は0％とする），過去の生産ギャップ $ \hat{y}_{t} $ に依存させて徐々に調整する。パラメータ $ \rho_{m} $ は，インフレ率の平滑化の度合いを表す。金融政策のショック $ \varepsilon_{t}^{m} $ はホワイト・ノイズであると仮定する。

#### 3.4.4 持続的なショックと予測誤差

これまでの式に現れる5つのショックは, 以下のように, 誤差項の分布が正規分布の AR(1) モデルに従うものとする.

(12) 選好ショック:

$$ u_{t}^{c}=\rho^{c}u_{t-1}^{c}+\varepsilon_{t}^{c} $$

(13) 投資ショック:

$$ u_{t}^{inv}=\rho^{inv}u_{t-1}^{inv}+\varepsilon_{t}^{inv} $$

(14) 労働ショック:

$$ u_{t}^{L}=\rho^{L}u_{t-1}^{L}+\varepsilon_{t}^{L} $$

(15) 生産性ショック:

$$ u_{t}^{a}=\rho^{z}u_{t-1}^{a}+\varepsilon_{t}^{a} $$
(16) 政府支出ショック:

$$ u_{t}^{g}=\rho^{g}u_{t-1}^{g}+\varepsilon_{t}^{g} $$

さらに, 以下のように 6 つの予測誤差を考える.

(17) インフレ予測誤差:

$$ \eta_{t}^{\pi}=\hat{\pi}_{t}-E_{t-1}\hat{\pi}_{t} $$

(18) 実質賃金予測誤差:

$$ \eta_{t}^{w}=\hat{w}_{t}-E_{t-1}\hat{w}_{t} $$

(19) 債券プレミアム予測誤差:

$$ \eta_{t}^{q}=\hat{q}_{t}-E_{t-1}\hat{q}_{t} $$

(20) 投資予測誤差:

$$ \eta_{t}^{inv}=\widehat{inv_{t}}-E_{t-1}\widehat{inv_{t}} $$

(21) 消費予測誤差:

$$ \eta_{t}^{c}=\hat{c}_{t}-E_{t-1}\hat{c}_{t} $$

(22) レンタル料予測誤差:

$$ \eta_{t}^{r k}=\hat{r}_{t}^{k}-E_{t-1}\hat{r}_{t}^{k} $$

#### 3.4.5 対数線形モデル

定常状態の周りで対数線形化したモデルは以下のようにまとめることができる.

$$ \Gamma_{0}s_{t}=\Gamma_{1}s_{t-1}+\Psi\varepsilon_{t}+\Pi\eta_{t} $$

ここで, $ s_{t} $ は内生変数ベクトル:

$$ \begin{aligned}\boldsymbol{s}_{\boldsymbol{t}}\ =&\left[\begin{array}{ll}y_{t},\pi_{t},w_{t},k_{t},inv_{t},c_{t},R_{t},r_{t}^{k},L_{t},E_{t}\pi_{t+1},E_{t}w_{t+1},E_{t}q_{t+1},E_{t}inv_{t+1},E_{t}c_{t+1},E_{t}r_{t+1}^{k},\\ u_{t}^{c},u_{t}^{inv},u_{t}^{L},u_{t}^{a},u_{t}^{g}]^{\prime}\end{array}\right.\end{aligned} $$

$ \varepsilon_{t} $ は外生変数ベクトル:

$$ \boldsymbol{\varepsilon}_{t}=[\varepsilon_{t}^{c},\varepsilon_{t}^{i n v},\varepsilon_{t}^{q},\varepsilon_{t}^{L},\varepsilon_{t}^{w},\varepsilon_{t}^{a},\varepsilon_{t}^{p},\varepsilon_{t}^{g},\varepsilon_{t}^{m}]^{\prime} $$

$ \eta_{t} $ は予測誤差ベクトル:

$$ \boldsymbol{\eta}_{t}=[\eta_{t}^{\pi},\eta_{t}^{w},\eta_{t}^{q},\eta_{t}^{i n v},\eta_{t}^{c},\eta_{t}^{r k}]^{\prime} $$

Γ₀, Γ₁, Ψ, Π はパラメータ行列. これらの行列について詳しくは補論 B を参照されたい.
### 3.5 状態空間表現

ここで, Sims (2002) の方法を用いると, (60) 式は次のように解くことができる.

$$ s_{t}=\Theta_{1}s_{t-1}+\Theta_{0}\varepsilon_{t} $$

(詳細は補論 C を参照されたい). また, 観測される変数ベクトル $ y_{t} $ については次のように表すことができる.

$$ \boldsymbol{y}_{t}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{s}_{t} $$

ここで, A は観測変数 $ y_{t} $ と観測されない変数 $ s_{t} $ の関係を表す $ n \times k $ の行列である.

(61) 式と (62) 式は線形ガウシアン状態空間モデルを構成する. DSGE モデルのパラメータ $ \theta $ を所与とすると, (15) 式の中の母集団モーメント $ \Gamma_{yy}^{*}(\theta)=E_{\theta}[y_{t}y_{t}^{\prime}], \Gamma_{xy}^{*}(\theta)=E_{\theta}[x_{t}y_{t}^{\prime}], \Gamma_{yx}^{*}(\theta)=E_{\theta}[y_{t}x_{t}^{\prime}] $ を以下の式により計算できる.

$$ \begin{array}{r c l}{E_{\pmb{\theta}}[\pmb{y}_{t}\pmb{y}_{t}^{^{\prime}}]}&{=}&{\pmb{Z}(\pmb{\theta})\pmb{\Omega}_{s s}\pmb{Z}^{^{\prime}}(\pmb{\theta})}\\ \end{array} $$

$$ \begin{array}{r c l}{E_{\pmb{\theta}}[\pmb{y}_{t}\pmb{y}_{t-h}^{^{\prime}}]}&{=}&{\pmb{Z}(\pmb{\theta})\pmb{\Theta_{1}}^{h}\pmb{\Omega}_{s s}\pmb{Z}^{^{\prime}}}\end{array} $$

ここで, $ \Omega_{ss}=E_{\theta}[s_{t}s_{t}^{'}] $ であり, それは次の式から計算できる.

$$ \mathrm{vec}(\boldsymbol{\Omega}_{ss})=[\boldsymbol{I}-\boldsymbol{\Theta}_{1}\otimes\boldsymbol{\Theta}_{1}]^{-1}\mathrm{vec}\left(\boldsymbol{\Theta}_{0}\boldsymbol{\Theta}_{0}^{\prime}\right) $$

## 4 データ

以下では, CEE モデルを DSGE モデルとした DSGE-VAR モデルを日本のマクロデータに応用することにより, CEE モデルの日本のマクロデータに対する当てはまりの良さを評価する. 日本のマクロデータとして用いたデータは, 生産, 消費, 投資, 労働投入, 実質賃金, インフレ率, 名目利子率の7つの四半期データである. 日本では, 1991年第I四半期以降はゼロ金利の期間なので, その時期ははずして, 標本期間は1970年第I四半期から1998年第IV四半期までとした.

7つのマクロ変数の詳細は以下の通りである．まず，生産，消費，投資には，それぞれ，労働人口1人当たりの実質GDP，実質消費，実質投資の季節調整値を用いた．労働投入には，労働時間指数×総雇用者数を労働人口で割ったものを用いた．実質賃金には，名目賃金指数をGDPデフレータで割ったものを用いた．これら5つの変数はそれぞれ対数化し，Hodrick and Prescott (HP) フィルタによってトレンドを除去した．インフレ率と名目利子率には，それぞれGDPデフレータの変化率とを用いた．これら2つの変数は，対数化しないでHPフィルタを適用しトレンドを除去した．以上のデータからさらに平均を除去した．インフレ
率の平均の除去では, 70 年代, 80 年代, 90 年代ではそれぞれインフレ目標が異なるものと仮定し, 70 年代と 80 年代の 2 つのダミー変数を用いて平均を除去した. コール・レートに関しても同様の方法で平均を除去した. 資本ストックと資本のレンタル料については, Smets and Wouters (2003) に従い, 観測されない変数として扱っている.

Smets and Wouters (2003), Onatski and Williams (2004), Levin, Onatski, Williams and Williams (2005) 等の先行研究に従い, CEE モデルのいくつかのパラメータは推定せず, 尤らしい値に固定した. 具体的には, まず, 割引率 β は 0.99, 資本減耗率 τ は 0.25, 資本シェア α は 0.3 に固定した. また, 定常状態における政府支出・総生産比率 $ g_{y} $ を 0.2, 資本・生産比率 $ k_{y} $ を 2.2 に固定した. さらに, 賃金設定のマークアップ率を表すパラメータ $ \lambda_{w} $ の値が必要であるが, このパラメータは識別されないので, 0.05 に固定した. これらの値の多くは, Hayashi and Prescott (2002) に従っている. 定常状態における資本のレンタル料については, $ \bar{r}^{k} = \frac{1}{\beta} - (1 - \tau) $ として計算した.

推定を行う他の27個のパラメータについては, 表1のように事前分布を設定した. ショックの分散の事前分布については, すべて標準偏差を2と大きめにした逆ガンマ分布を用いている. 5つの持続的なショックのAR(1)係数の事前分布には, 平均0.85, 標準偏差0.1のベータ分布を用いている. ベータ分布は(0,1)の間の値しかとらないので, ベータ分布を用いることで定常性の制約を課すことができる. また, 平均を0.85と高めにし, 標準偏差を0.1と小さくすることで, ショックの持続性を事前分布に反映できる. 技術, 効用, 価格設定のパラメータの事前分布には正規分布, もしくは(0,1)の制約が必要な場合にはベータ分布を用いた.

[表 1 挿入]

補論 B に CEE モデルの設定についてまとめてある。

## 5 DSGE-VAR モデルによる CEE モデルの評価

VAR モデルのラグ字数は4とした．事前分布がproperでなければ,周辺光度を計算できないことに注意が必要である．$\lambda\geq(k+n)/T$ であれば,事前分布はproperになる．そこで,$\lambda$ の値を0.31(事前分布がproperになるための最小の値)，0.5,0.75,1,1.25,1.5,2,5,∞と変えて,それぞれ周辺光度を計算した．各$\lambda$ の値で,MCMCによるシミュレーションを150,000回行い,最初の50,000回をburn-inとして捨て,残りの100,000回のサンプルを用いて周辺光度を計算した．

図1はλの異なるDSGE-VARモデルの周辺光度の対数値を図示したものである。横軸は，$\lambda$ではなく，$x=\lambda/(1+\lambda)$となっていることに注意されたい。対数周辺光度は逆U字型をしており，$\lambda$が(0.31,0.75)の間は$\lambda$と共に増加しているが，$\lambda$が0.75を超えると，逆に減少
している．このことは, CEE モデルには定式化の誤りがあるものの, CEE モデルは VAR の推定にある程度有益な情報を与えてくれることを意味している．

[図 1 挿入]

次に, $ \theta = 0 $ , すなわち, 消費の習慣形成がないものとして, 同様の分析を行った. 結果は図2にまとめられている. $ \lambda $ の値に関係なく, 周辺尤度の値は習慣形成を考慮したモデルの方が考慮しないモデルよりも高いので, このことから, 日本経済において消費の習慣形成が重要であることがわかる.

[図 2 挿入]

## 6 結論

本稿では, DSGE および DSGE-VAR モデルについて解説を行うと共に, 欧米のマクロ経済データに当てはまりが良いとされる CEE モデルを DSGE モデルとした DSGE-VAR モデルを日本のマクロ経済データに応用した. ゼロ金利の期間を除いた 1970 年第 I 四半期から 1998 年第 IV 四半期までの日本の主要なマクロデータを用いて分析を行った結果, CEE モデルには定式化の誤りは見られるものの, CEE モデルからの情報は日本経済でもある程度有用であることが明らかになった.

本稿は DSGE-VAR モデルを日本のマクロデータに初めて応用したという意味で意義があるが，今後に向けてまだ拡張の余地がある．まず，各ショックに対するインパルス応答関数を DSGE モデルと DSGE-VAR モデルから計算し，比較を行うことは重要である．また，DSGE-VAR モデルを用いることにより各マクロ変数の予測パフォーマンスが改善するかどうかも興味深い．

## 補論 A: 周辺尤度の修正調和平均推定量

MCMC を用いた周辺の証拠はいくつかの方法が提案されているが, 本稿では, DSGE や DSGE-VAR モデルの先行研究に従い, Geweke (1999) によって提案された修正調和平均推定量を用いている. 以下では, 条件である $ M_{i} $ や $ M_{j} $ を省略して, 周辺の度を $ f(\mathbf{Y}) $ と表すことにする. まず, $ g(\theta) $ を何らかの確率密度関数であるとする. そうすると, 以下の式が
成り立つ.

$$ \begin{aligned}E\left[\frac{g(\boldsymbol{\theta})}{f(\boldsymbol{Y}|\boldsymbol{\theta})f(\boldsymbol{\theta})}\right]&=&\int\frac{g(\boldsymbol{\theta})}{f(\boldsymbol{Y}|\boldsymbol{\theta})f(\boldsymbol{\theta})}f(\boldsymbol{\theta}|\boldsymbol{Y})d\boldsymbol{\theta}\\&=&\int\frac{g(\boldsymbol{\theta})}{f(\boldsymbol{Y}|\boldsymbol{\theta})f(\boldsymbol{\theta})}\frac{f(\boldsymbol{Y}|\boldsymbol{\theta})f(\boldsymbol{\theta})}{f(\boldsymbol{Y})}d\boldsymbol{\theta}\\&=&\int\frac{g(\boldsymbol{\theta})}{f(\boldsymbol{Y})}d\boldsymbol{\theta}\\&=&\frac{1}{f(\boldsymbol{Y})}\int g(\boldsymbol{\theta})d\boldsymbol{\theta}\\&=&\frac{1}{f(\boldsymbol{Y})}\end{aligned} $$

したがって, 周辺尤度は以下のように推定できる.

$$ f(\boldsymbol{Y})=\frac{1}{E\left[\frac{g(\boldsymbol{\theta})}{f(\boldsymbol{Y}|\boldsymbol{\theta})f(\boldsymbol{\theta})}\right]}\approx\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{g(\boldsymbol{\theta}_{i})}{f(\boldsymbol{Y}|\boldsymbol{\theta}_{i})f(\boldsymbol{\theta}_{i})}\right]^{-1} $$

Newton and Raftray (1994) は, $ g(\theta) = f(\theta) $ とすることを提案している. そうすると, (A2) 式は以下のように簡単になる.

$$ f(\boldsymbol{Y})\approx\left[\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{f(\boldsymbol{Y}|\boldsymbol{\theta}_{i})}\right]^{-1} $$

これは, 周辺尤度の調和平均推定量と呼ばれる. しかし, $ f(Y|\theta_{i}) $ が 0 に近くなることがあるので, そうすると値が不安定になる.

この問題を解消するために, Geweke（1999）は $ g(\theta) $ を以下の切断正規分布にした修正調和平均推定量を提案している.

$$ \begin{align*}g(\boldsymbol{\theta})\ =&\ \tau^{-1}(2\pi)^{-k/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2}\exp\left[-\frac{1}{2}(\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\mu})^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\mu})\right]\\&\times I\left[(\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\mu})^{\prime}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\theta}-\boldsymbol{\mu})\leq F_{\chi_{k}^{2}}^{-1}(\tau)\right]\end{align*} $$

ここで, k は $ \theta $ の次元, $ F_{\chi_{k}^{2}}^{-1}(\tau) $ は自由度 k の $ \chi^{2} $ 分布の cdf の逆関数である. Geweke (1999) では, $ \mu $ と $ \Sigma $ を, それぞれ MCMC により事後分布からサンプリングされた $ \theta $ の標本平均と標本分散共分散行列にしている. $ I[\cdot] $ は括弧の中の不等式が満たされれば 1, 満たされなければ 0 となる指示関数である.

この修正調和平均推定量では, θ の値として極端な値がサンプリングされた場合に, (A2) 式の $ g(\theta_{i}) / [f(Y|\theta_{i}) f(\theta_{i})] $ が 0 になるため, 周辺尤度の値が不安定になるのを防ぐことができる. 本稿では, τ = 0.95 とした.
## 補論 B: CEE モデルのまとめ

線形対数化したモデル

家計の均衡条件

1. 消費のオイラー方程式:

$$ \hat{c}_{t}=\frac{\theta}{1+\theta}\hat{c}_{t-1}+\frac{1}{1+\theta}E_{t}\hat{c}_{t+1}-\frac{1-\theta}{(1+\theta)\sigma_{c}}(\hat{R}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1})+\frac{1-\theta}{(1+\theta)\sigma_{c}}(1-\rho^{c})u_{t}^{c} $$

$$ \begin{aligned} ここで ,E_{t}u_{t+1}^{c}=\rho^{c}u_{t}^{c}.\end{aligned} $$

2. 投資のオイラー方程式:

$$ \widehat{i n v}_{t}=\frac{1}{1+\beta}\widehat{i n v}_{t-1}+\frac{\beta}{1+\beta}E_{t}\widehat{i n v}_{t+1}+\frac{\varphi}{1+\beta}\hat{q}_{t}+\frac{\beta}{1+\beta}(1-\rho^{i n v})u_{t}^{i n v} $$

ここで, $ E_{t}u_{t+1}^{inv}=\rho^{inv}u_{t}^{inv} $

3. 資産価格のオイラー方程式:

$$ \hat{q}_{t}=-(\hat{R}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1})+\frac{1-\tau}{1-\tau+\bar{r}^{k}}E_{t}\hat{q}_{t+1}+\frac{\bar{r}^{k}}{1-\tau+\bar{r}^{k}}E_{t}\hat{r}_{t+1}^{k}+\varepsilon_{t}^{q} $$

4. 賃金設定式:

$$ \begin{aligned}\hat{w}_{t}&=\frac{\beta}{1+\beta}E_{t}\hat{w}_{t+1}+\frac{1}{1+\beta}\hat{w}_{t-1}+\frac{\beta}{1+\beta}E_{t}\hat{\pi}_{t+1}-\frac{1+\beta\gamma_{w}}{1+\beta}\hat{\pi}_{t}+\frac{\gamma_{w}}{1+\beta}\hat{\pi}_{t-1}\\&-\frac{1}{1+\beta}\Psi_{w}\left[\hat{w}_{t}-\sigma_{L}\hat{L}_{t}-\frac{\sigma_{c}}{1-\theta}\left(\hat{c}_{t}-\theta\hat{c}_{t-1}\right)-u_{t}^{L}-\varepsilon_{t}^{w}\right]\end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} ここで ,\Psi_{w}=\frac{\left(1-\beta\xi_{w}\right)\left(1-\xi_{w}\right)}{\left(1+\frac{\left(1+\lambda_{w}\right)\sigma_{L}}{\lambda_{w}}\right)\xi_{w}}\end{aligned} $$

## 企業の均衡条件

1. 生產関数:

$$ \hat{y}_{t}=\phi u_{t}^{a}+\phi\alpha\hat{k}_{t-1}+\phi\alpha\psi\hat{r}_{t}^{k}+\phi(1-\alpha)\hat{L}_{t} $$

2. 労働需要:

$$ \hat{L}_{t}=-\hat{w}_{t}+(1+\psi)\hat{r}_{t}^{k}+\hat{k}_{t-1} $$

3. Price setting equation.:

$$ \hat{\pi}_{t}=\frac{\beta}{1+\beta\gamma_{p}}E_{t}\hat{\pi}_{t+1}+\frac{\gamma_{p}}{1+\beta\gamma_{p}}\hat{\pi}_{t-1}+\frac{1}{1+\beta\gamma_{p}}\Psi_{p}\left[\alpha\hat{r}_{t}^{k}+(1-\alpha)\hat{w}_{t}-u_{t}^{a}+\varepsilon_{t}^{p}\right] $$

$$ \begin{aligned} ここで ,\Psi_{p}=\frac{(1-\beta\xi_{p})(1-\xi_{p})}{\xi_{p}}\end{aligned} $$