$$ \begin{aligned}&=\mathrm{Var}(\Sigma\mathrm{m}^{\mathrm{i}}\mathrm{r}_{\_}\mathrm{C}^{\mathrm{i}}_{\mathrm{t}})+\mathrm{Var}(\Sigma\mathrm{m}^{\mathrm{i}}\mathrm{r}_{\_}\mathrm{I}^{\mathrm{i}}_{\mathrm{t}})\\&=\Sigma(\mathrm{m}^{\mathrm{i}})^{2}(\mathrm{Var}(\mathrm{r}_{\_}\mathrm{C}^{\mathrm{i}}_{\mathrm{t}})+\mathrm{Var}(\mathrm{r}_{\_}\mathrm{I}^{\mathrm{i}}_{\mathrm{t}}))\\&=\Sigma(\mathrm{m}^{\mathrm{i}})^{2}(\sigma^{\mathrm{i}})^{2}\\&=\Sigma(\mathrm{m}^{\mathrm{i}})^{2}[(\sigma_{\_}\mathrm{C}^{\mathrm{i}})^{2}+(\sigma_{\_}\mathrm{I}^{\mathrm{i}})^{2}]\\ \end{aligned} $$

ここで、小項目の標準分散を $ \mathrm{V}_{\mathrm{i}} = \left( \mathrm{m}^{\mathrm{i}} \right)^{2} \left( \left( \sigma_{\mathrm{C}^{\mathrm{i}}} \right)^{2} + \left( \sigma_{\mathrm{I}^{\mathrm{i}}} \right)^{2} \right) $ とする $ ^{29} $ と大項目の標準分散Vを以下のように定義できる：

$$ \begin{aligned}\mathrm{V}&=\mathrm{Var}(\mathrm{R}_{\mathrm{t}})\\&=\Sigma(\mathrm{m}^{\mathrm{i}})^{2}((\sigma_{-}\mathrm{C}^{\mathrm{i}})^{2}+(\sigma_{-}\mathrm{I}^{\mathrm{i}})^{2})\\&=\Sigma\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\end{aligned} $$

目標とする $ w^{i} $ については、(1)集計ウェートであること、(2)1-5式(標準分散)を最小化するウェートであることから、これを求める。 $ R^{*}_{t} $ を集計ウェート $ w^{i} $ を用いて集計した大項目の伸率とし、両条件を式で表せば、

$$ \begin{aligned}&\mathrm{R^{*}_{t}}=\Sigma[\mathrm{w^{i}m^{i}(R^{i}_{t}-E(R^{i}_{t}))}]+\mathrm{E(R_{t})}\quad\because\Sigma\mathrm{w^{k}}=1.0\\&\mathrm{V^{*}}=\Sigma(\mathrm{w^{i}})^{2}\mathrm{V_{i}}\rightarrow\text{minimum( 最小分散 )}\\ \end{aligned} $$

1-7 式で表されるウェート $ w^{i} $ が分散に与える効果を見る。全ての交差項が 0 であるとすると 1-7 式はウェートを含め全ての項が正值の 2 次形式となっており各変数について対称性があること、ウェートについても同様であることから、最小値は各変数 $ \left(\mathrm{w}^{\mathrm{i}}\right)^{2}\mathrm{V}_{\mathrm{i}} $ と $ \left(\mathrm{w}^{\mathrm{j}}\right)^{2}\mathrm{V}_{\mathrm{j}} $ 、 $ \left(\mathrm{i}\neq\mathrm{j}\right) $ の値が同値になることで得られる。つまり

$$ \begin{aligned}&(\mathbf{w}^{\mathrm{i}})^{2}\mathbf{V}_{\mathrm{i}}=(\mathbf{w}^{\mathrm{j}})^{2}\mathbf{V}_{\mathrm{j}}\quad&:\mathbf{i}\neq\mathbf{j}\\&\mathbf{w}^{\mathrm{j}}=\mathbf{w}^{\mathrm{i}}\sqrt{(\mathbf{V}_{\mathrm{i}}/\mathbf{V}_{\mathrm{j}})}\end{aligned} $$

1-9 式の関係を 1-6 式に代入すると $ w^{i} $ の値は、

$$ \mathrm{w}^{\mathrm{i}}\sqrt{[\mathrm{V}_{\mathrm{i}}\Sigma(1/\mathrm{V}_{\mathrm{k}})]}=1.0 $$

更に、\Sigma[1/V_{k}]=\Phi とすると、1-10 式から求める w^{i} は、以下のように表せる、

$$ w^{i} = 1/\sqrt{(\Phi V_{i})} $$

以上の検討結果と $ (\mathrm{R}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}}-\mathrm{E}(\mathrm{R}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}}))=\mathrm{R}^{\mathrm{i}\mathrm{~t}} $ を用いて、1-6 式、1-7 式の期待値、標準分散をそれぞれ計算する $ ^{30} $ と $ \mathrm{E}[\mathrm{R}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}}-\mathrm{E}(\mathrm{R}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}})]=\mathrm{E}(\mathrm{R}^{\mathrm{i}\mathrm{~t}})=0 $ であることから

$$ \begin{aligned}\mathrm{R}_{\mathrm{t}}^{*}=&\Sigma[\mathrm{w}^{\mathrm{i}}\mathrm{m}^{\mathrm{i}}(\mathrm{R}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}}-\mathrm{E}(\mathrm{R}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}}))]+\mathrm{E}(\mathrm{R}_{\mathrm{t}})\\=&\Sigma[\mathrm{w}^{\mathrm{i}}\mathrm{m}^{\mathrm{i}}(\mathrm{R}^{\mathrm{i}\wedge}_{\mathrm{t}})]+\mathrm{E}(\mathrm{R}_{\mathrm{t}}^{\mathrm{i}})\\=&\left[1/\sqrt{(\Phi)}\right]\Sigma\{\left[1/\sqrt{(\mathrm{V}_{\mathrm{i}})}\right]\mathrm{m}^{\mathrm{i}}\mathrm{R}^{\mathrm{i}\wedge}_{\mathrm{t}}\}+\mathrm{E}(\mathrm{R}_{\mathrm{t}})\end{aligned} $$