Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
## 調査の目的

全国都市交通特性調査は、交通の主体である人（パーソン）の動き（トリップ）を調査することにより、全国の都市及び町村で、どのような人がどのような目的、交通手段で動いたかについて、調査日1日のすべての動きを捉えるものです。

今回の調査は、全国の都市と町村の交通実態を捉えるとともに、過去の調査とあわせて、交通実態の変化を把握することを目的としています。

## 調査の対象

都市調査：平成22年の調査対象都市は70都市です。調査の対象者は、調査対象都市に居住する、各都市500世帯の5オ以上の人です。

○町村調査：調査対象町村は60町村です。調査の対象者は、調査対象町村に居住する、各町村50世帯の5歳以上の人です。

調査対象日は、平成22年の10月、11月の平日・休日の各1日です。調査をこの時期にしたのは、都市圏パーソントリップ調査同様、1年の中の平均的な交通特性を把握するためです。平日は火、水、木曜日のいずれか、休日は連休となっていない日曜日を対象としました。

## 調査の方法

都市調査・町村調査ともに、住民基本台帳から抽出した世帯に対して、調査票を郵送して調査を依頼し、郵送によって調査票を返送していただきました。なお、都市調査については、前回調査までは、住民基本台帳から抽出した世帯に対し、調査員が家庭を訪問して調査を依頼し、後日再訪問し調査票を回収する調査方法となっています。

## 用語の説明

## Oトリップ

人がある目的をもってある地点からある地点へ移動した単位をトリップといい、目的がかわるごとにトリップもかわります。1回の移動でいくつかの交通手段を乗り換えても1トリップと数えます。目的がかわると2番目のトリップとなります。

サンプル調査であることから、サンプルの特性に偏りがみられるため、個人属性等で加重平均をしています。

○1人あたりトリップ数

ある人が１日のうちで目的を持って動く回数。

・グロス集計

1人あたりトリップ数について調査対象者総数（外出者+非外出者）1人あたりでみたもの。

## データ処理について

・ネット集計

1人あたりトリップ数について外出者1人あたりでみたもの。

## ○1 トリップあたりの所要時間

1 トリップに要する所要時間の平均。

○1人あたりの総所要時間

1 日のトリップの所要時間の合計。

## 目的種類

人が移動するときの目的をさします。本冊子で用いている目的は次のような内容になっています。

通勤：自宅から勤務先へ

通学：自宅から通学先へ

業務：自宅から業務先へ

勤務先から業務先へ

業務先から勤務先へ

業務先から業務先へ

私事：買物等の上記以外の目的

帰宅：自宅へ

## ○代表交通手段

1つのトリップがいくつかの交通手段で成り立っているとき、このトリップで利用した主な交通手段を「代表交通手段」といいます。主な交通手段の集計上の優先順位は、鉄道→バス→自動車→二輪車→徒歩の順となっています。下図のトリップの例では、鉄道が代表交通手段となります。

本冊子での交通手段は「代表交通手段」をさします。鉄道は、JR、私鉄、地下鉄、路面電車、モノレール、新交通システムをさします。
## Ⅰ．都市調査の主な集計結果

### 1. 全国の都市における人の動きとその変化（5 時点・41 都市の集計）

☐ 全国の都市で、1人1日あたりトリップ数は、平日・休日ともに平成17年から増加しています。

☐ 平日の通勤目的と業務目的では、公共交通分担率が増加し、自動車分担率が減少しています。

私事目的の自動車分担率は、平日は増加傾向ですが、休日は平成17年から減少しています。

### 2. 都市圏規模別の人の動き（平成22年・70都市の集計）

○ 交通目的の構成割合は、都市圏規模別に大きな差異は見られません。

都市圈規模が大きいほど鉄道の利用率が高く、自動車の利用率が低い傾向があります。

### 3. 都市別の人の動き（平成22年・70都市の集計）

○ 平日の自動車分担率は、東京都市圏・京阪神都市圏の中心都市を除くほとんどの都市で 40%以上となっています。

☐ 休日の自動車分担率は、平日と比較すると、全ての都市で高くなっており、地方都市圏の多くの都市で70%以上となっています。

### 4. 個人属性別の人の動き（5 時点・41 都市の集計）

○ 1 人あたりトリップ数は、男性・女性ともに、平成 17 年まで減少傾向でしたが、平成 22 年では増加しています。

○ 男性・女性ともに、65歳以上の高齢者のトリップ数が顕著に増加しています。

### 5. 高齢者の動き（5 時点・41 都市の集計）

○ 自動車の１人あたりトリップ数は、三大都市圏・地方都市圏ともに、一貫して増加傾向です。

○ 高齢者の自動車分担率は、三大都市圏・地方都市圏ともに増加傾向にあります。

### 6. 都市特性と交通特性（3 時点・41 都市の集計）

○ 人口密度が高い都市ほど自動車の利用率が低く、三大都市圈や地方中枢都市圈の一部の都市では、自動車分担率が減少しています。

## Ⅱ．町村調査の主な集計結果

### 7. 全国の町村における人の動き（平成22年・60町村の集計）

○ 全国の町村の自動車分担率は、平日で7割以上、休日で8割以上で、全国や地方都市圏の都市よりも高くなっています。

☐ 全国の町村では、自動車を保有していない世帯の1人あたりトリップ数が、全国の都市の6割程度となっています。
### 1. 全国の都市における人の動きとその変化

## (1) 外出率、1人あたりトリップ数

全国の都市で、1日に外出する人の割合（外出率）の平均は、平日85.8%、休日71.3%です。また、1人1日に動く回数（トリップ数）の平均は、平日2.44、休日2.08です。

● 1 人 1 日あたりトリップ数（グロス）の全国平均は、平日・休日ともに平成 17 年から増加。ネットの全国平均は、平日は平成 17 年から増加、休日は平成 11 年から増加傾向。

● 外出率・トリップ数は、平成17年から増加しているが、特に高齢者の増加が顕著であり、活発に移動する高齢者が増えた等の要因が考えられる（「5．高齢者の動き」参照）。

1人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
全国の都市で、自動車利用の1人あたりトリップ数は増加傾向です。

一方、公共交通（鉄道・バス）利用のトリップ数は、平成17年まで減少傾向にありましたが、平成22年では増加しています。

● 三大都市圈では、自動車利用の1人あたりトリップ数は平日・休日ともに平成11年以降横ばい。公共交通利用は平成17年から増加。

● 地方都市圏では、自動車利用の1人あたりトリップ数は平日・休日ともに平成11年以降一貫して増加傾向。公共交通利用は減少傾向でしたが、平成17年から微増。

1人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
全国の都市で、自動車の分担率は増加傾向にありましたが、頭うちの傾向があります。

● 三大都市圈では、平日・休日ともに、公共交通分担率が平成17年から増加し、自動車分担率は微減。

● 地方都市圈では、平日の自動車分担率は増加傾向にありますが、増加の幅は減少。休日は微減。

代表交通手段分担率（%）

<地方都市圈> 平日

休日

平日

休日

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
## (4) 目的別の１人あたりトリップ数

全国の都市で、平日・休日ともに、私事目的のトリップ数が平成17年から増加しています。

● 私事目的のトリップ数は、三大都市圏・地方都市圏ともに平成17年から増加。

● 全国の都市で、平日の通勤目的・業務目的のトリップ数は横ばい、通学目的は減少傾向。

1人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

<三大都市圈> 平日

休日

<地方都市圈> 平日

休日

<全国> 平日

休日

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
## (5) 交通の目的構成

全国の都市で、平日の私事目的の交通構成割合は増加傾向にあります。

● 平日の私事目的の構成比は、三大都市圏・地方都市圏ともに増加傾向、通勤目的・通学目的は減少傾向。

休日

<地方都市圈> 平 日

休日

<全国> 平日

休日

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
平日の通勤目的と業務目的では、公共交通分担率が増加し、自動車分担率が減少しています。私事目的の自動車分担率は、平日は増加傾向ですが、休日は平成17年から減少しています。

● 平日の私事目的の自動車分担率は、一貫して増加傾向にあり、昭和62年から平成22年までに23.3ポイント増加。

● 休日の私事目的の自動車分担率は、昭和62年から平成17年までに17.7ポイント増加し、平成22年までに2.1ポイント減少。

代表交通手段分担率（%）

休日

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
### 2. 都市圈規模別の人の動き

## (1) 代表交通手段分担率

平日・休日ともに、都市圏規模が大きいほど鉄道利用率が高く、逆に都市圏規模が小さいほど自動車利用率が高い傾向となっています。

● 自動車分担率は、平日・休日ともに、各都市圏中心都市よりも周辺都市の方が高く、逆に二輪車分担率や徒歩分担率は中心都市の方が高い。

● 休日の自動車分担率は、三大都市圏中心都市・周辺都市1を除く全ての地域で60%以上を占める。

代表交通手段分担率（%）

70 都市の集計結果（H22 データの都市類型別の比較）
## (2) 目的構成

交通目的の構成割合は、都市圏規模による差異はみられません。

● 交通目的の構成割合は、各都市圏中心都市と周辺都市による差異もない。

70 都市の集計結果（H22 データの都市類型別の比較）
通勤目的は、都市圏規模が大きくなるほど、鉄道・バス分担率が高く、自動車分担率が低くなる傾向となっています。

業務目的では、三大都市圏中心都市を除く全ての地域で、自動車分担率が60%以上です。

● 通勤目的の自動車分担率は、各都市圏中心都市よりも周辺都市の方が高い。

● 地方中核都市圈と地方中心都市圈では、業務目的の自動車分担率が80%以上を占める。

代表交通手段分担率（%）

通勤（平日）

業務（平日）

70 都市の集計結果（H22 データの都市類型別の比較）
私事目的は、平日・休日ともに、都市圏規模が大きくなるほど、また、都市圏の中でも中心都市の方が、公共交通（鉄道・バス）分担率が高く、自動車分担率が低くなる傾向となっています。

● 私事目的の二輪分担率と徒歩分担率は、各都市圏中心都市の方が周辺都市よりも高くなる傾向。

● 休日の私事目的の自動車分担率は、三大都市圏中心都市・周辺都市1を除く全ての地域で、65%以上を占める。

代表交通手段分担率（%）

私事（平日）

私事（休日）

70 都市の集計結果（H22 データの都市類型別の比較）
## (4) 平均所要時間

全国の都市で、1 トリップあたりの所要時間は、平日 27.0 分、休日 28.5 分です。

● 1 トリップあたりの所要時間は、都市圏規模が大きいほど長くなる傾向。

● 平日と休日を比較すると、地方都市圏では、平日よりも休日の方が所要時間は長い。

1 トリップあたりの所要時間（分／トリップ）

70 都市の集計結果（H22 データの都市類型別の比較）
全国の都市で、自動車1トリップあたりの所要時間は、平日26.3分、休日29.9分です。

● 自動車1トリップあたりの所要時間は、都市圏周辺都市よりも中心都市の方が長くなる傾向。

● 所要時間が最も長いのは「三大都市圏中心都市」、最も短いのは「地方中心都市圏・その他の都市」。

自動車の1トリップあたりの所要時間（分／トリップ）

70 都市の集計結果（H22 データの都市類型別の比較）
全国の都市で、1人1日あたりの総所要時間は、平日65.1分、休日58.5分です。

都市圏規模が大きいほど、総所要時間は長くなる傾向。

● 総所要時間が最も長いのは「三大都市圏・中心都市」、最も短いのは「地方中心都市圏・その他の都市」。

1 日 1 人あたりの総所要時間（分／人・日）

平日

70 都市の集計結果（H22 データの都市類型別の比較）
### 3. 都市別の人の動き

## (1) 自動車分担率

平日の自動車分担率は、東京都市圏・京阪神都市圏の中心都市では40%未満です。それ以外の都市のほとんどが40%以上となっています。

● 中京都市圏の自動車分担率は、ほとんどの都市で50%以上となっており、東京都市圏や京阪神都市圏の都市よりも高い。

● 地方都市圏では、自動車分担率が70%以上の都市がある。

## 自動車利用率（平日）

70 都市の集計結果（H22 データの都市別の比較）
休日の自動車分担率は、東京区部・大阪市で30%未満ですが、地方都市圏の多くの都市は70%以上となっています。

● 休日は平日と比較すると、全ての都市で自動車分担率が高くなっている。

## 自動車利用率（休日）

70 都市の集計結果（H22 データの都市別の比較）
铁道利用率（平日）

## (2) 铁道分担率

平日の鉄道分担率は、東京都市圏・京阪神都市圏では、20%以上の都市が多くなっています。一方、地方都市圏では、ほとんどの都市が5%未満となっています。

● 平日の鉄道利用率は、三大都市圏と地方都市圏の差が大きく、三大都市圏の中でも、東京都市圏・京阪神都市圏・中京都市圏の順に高い。

● 札幌、仙台、福岡の地方中枢都市圏では、鉄道分担率が10%を超えているが、それ以外の地方都市圏のほとんどの都市は5%未満。

70 都市の集計結果（H22 データの都市別の比較）
休日の鉄道分担率は、平日と比較するとほとんどの都市で低くなっています。

● 休日の地方都市圏の鉄道分担率は、札幌・仙台・広島・福岡の地方中枢都市圏以外は、全て5%未満。

铁道利用率（休日）

70 都市の集計結果（H22 データの都市別の比較）
### 4. 個人属性別の人の動き

(1) 性别 1 人あたりトリップ数

全国の平日の男性の1人あたりトリップ数は2.52、女性は2.36です。

この１人あたりトリップ数は、平成１７年まで減少傾向でしたが、平成２２年では増加しています。

● 三大都市圏では、自動車トリップ数が男女ともに減少傾向。

● 地方都市圏では、女性の自動車トリップ数が一貫して増加傾向。

## 1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

<三大都市圈> 男性

女性

<地方都市圈> 男性

女性

女性

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
男性・女性ともに、65歳以上の高齢者のトリップ数が顕著に増加しています。

自動車トリップ数の増加は、特に、地方都市圏の45歳以上の女性で顕著となっています。

● 男性のトリップ数は、三大都市圏で25歳以上、地方都市圏で35歳以上の年齢階層で平成17年から増加。

● 地方都市圏の自動車トリップ数は、男性で65歳以上の年齢階層で増加傾向となっているのに対し、女性は45歳以上の年齢階層で増加傾向。

1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

<三大都市圈> 男性

女性

<地方都市圈> 男性

女性

男性

女性

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
## (3) 自動車の世帯保有台数別の1人あたりトリップ数

自動車保有台数が多い世帯の人ほど、自動車トリップ数が高くなる傾向にあります。

● 自動車を持っていない世帯（0台）と持っている世帯とでは、自動車トリップ数に大きな差がある。

1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
自分専用の自動車を所有している人は、自動車を所有していない人や家族で共用している人より、トリップ数が高く、自動車トリップ数も高くなっています。

● 自分専用の自動車を所有している人と、自動車を所有していない人や家族で共用している人の自動車トリップ数の差は、三大都市圏よりも地方都市圏の方が顕著。

## 1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

<平日> 三大都市圈

地方都市圈

<休日> 三大都市圈

地方都市圈

41 都市の集計結果（H4、H11、H17、H22 の 4 時点での比較）
## 1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

### 5. 高齢者の動き

(1) 1 人あたりトリップ数

高齢者の1人あたりトリップ数は、三大都市圏で増加傾向、地方都市圏では平成17年から増加となっています。

自動車の1人あたりトリップ数は、三大都市圏・地方都市圏ともに、一貫して増加傾向です。

● 高齢者の平日の自動車の1人トリップ数は、平成17年から平成22年にかけて、三大都市圏で1.1倍、地方都市圏で1.4倍に増加。

<65 歲以上> 三大都市圈（平日）

地方都市圈（平日）

地方都市圈（平日）

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
## (2) 性别の1人あたりトリップ数

自動車の１人あたりトリップ数は、男性・女性ともに、一貫して増加傾向にあります。

● 平日の１人あたりトリップ数および自動車の１人あたりトリップ数は、前期高齢者・後期高齢者ともに、増加傾向。

## 1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

男性・75歳以上

女性・65-74歳

女性・75歳以上

<休日> 男性·65-74歳

女性・65-74歳

男性・75歳以上

女性・75歳以上

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
## (3) 代表交通手段分担率

高齢者の自動車分担率は、三大都市圏・地方都市圏ともに増加傾向にあります。

● 高齢者の自動車分担率は、後期高齢者よりも前期高齢者の方が高く、地方都市圏では60%以上を占める。

● 徒歩分担率は、前期高齢者・後期高齢者ともに、一貫して減少傾向。

代表交通手段分担率（%）

地方都市圈（平日）

<65~74 歲> 三大都市圈（平日）

地方都市圈（平日）

<75 歲以上> 三大都市圈（平日）

地方都市圈（平日）

41 都市の集計結果（S62、H4、H11、H17、H22 の 5 時点での比較）
### 6. 都市特性と交通特性

人口密度が低い都市ほど、自動車の利用率が高く、経年的に高まっています。

● 人口密度の高い三大都市圏や地方中枢都市圏の一部の都市では、自動車分担率が減少傾向。

人口密度と自動車分担率

41 都市の集計結果（H11、H17、H22 の 3 時点での比較）
### 7. 全国の町村における人の動き

(1) 外出率、1人あたりトリップ数

全国の町村で、1日に外出する人の割合（外出率）の平均は、平日80.1%、休日64.3%です。また、1人1日に動く回数（トリップ数）の平均は、平日2.27、休日1.87です。

● 町村の外出率・1人1日あたりトリップ数（グロス、ネット）は、平日・休日ともに全国や地方都市圏の都市よりも低い。

外出率 (%)

1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

70 都市、60 町村の集計結果（H22 データでの比較）
全国の町村の自動車トリップ数は、全国や地方都市圏の都市よりも高くなっています。一方、徒歩・二輪トリップ数は、都市よりも町村の方が低くなっています。

● 全国の町村の公共交通（鉄道・バス）分担率は、地方都市圏の都市よりも低い。

1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

70 都市、60 町村の集計結果（H22 データでの比較）
## (3) 代表交通手段分担率

全国の町村の自動車分担率は、平日で 75.8%、休日で 84.8%で、全国や地方都市圏の都市よりも高くなっています。

● 中山間地域では、町村の全国平均よりも自動車分担率が高い。

代表交通手段分担率（%）

<休日>

70 都市、60 町村の集計結果（H22 データでの比較）
全国の町村では、65歳以上の高齢者の1人あたりトリップ数は、男女ともに、全国や地方都市圏の都市よりも低く、その差は女性の方が顕著となっています。

● 休日の１人あたりトリップ数は、男女ともに、全国や地方都市圏の都市よりも低い。

1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

70 都市、60 町村の集計結果（H22 データでの比較）
全国の町村では、自動車を保有していない世帯の1人あたりトリップ数が、全国の都市の6割程度となっています。

● 自動車保有台数が多いほど、1人あたりトリップ数（全手段、自動車）が高まる傾向であり、その差は全国の都市や地方都市圏よりも町村の方が顕著。

## 1 人あたりトリップ数（トリップ／人・日）

## <平日>

<休日>

70 都市、60 町村の集計結果（H22 データでの比較）
1	世帯票を回答した後に記入して下さい。世帯票で、あなたは何人目に記入しましたか。人目

※休日用の調査票は平日用と同じ形式

表1 目的	表2 交通手段	表3 駐車場所
1. 勤務先へ（婦社を含む）	2. 通学先へ（婦校を含む）	3. 自宅へ	1. 徒歩	6. 乗用車	12. モノルール・新交通	●道路上	●道路外
●私用目的	●業務目的	2. 自転車	7. 軽乗用車	13. 路面電車	●工程	●無料
4. 貿物へ	10. 販売・配権・仕入・購入先へ	3. 原動機付自転車（50cc以下）	8. 貿物自動車（ライトバンを含む）	14. 鉄道・地下鉄	3. 月樞	6. 自宅車庫
5. 食事・社交・隠塞へ（日常生活圈内）	11. 打合せ・会議・集会・住談へ	4. 自動二輪車（50cc超）	9. 軽賓物車	15. 船舶	4. 時間貸し	7. 勤務先・訪問先の敷地内
6. 観光・行業・レジボへ	12. 作業・修理へ	5. タクシー・ハイヤー	10. 自家用バス・貨切バス	16. 航空機	5. 店舗等の有料駐車場	8. 店舗等の駐車場
7. 針通	13. 財産急産作業へ	14. その他の業務へ	11. 路線バス（高速バスを含む）	17. その他	2. 無料	9. 駅前庁場
8. その他の私用へ（塾・習事など）	9. 送迎	14. その他の業務へ	11. 路線バス（高速バスを含む）	10. その他の空き地など
ESRI Discussion Paper Series No.224

Dealing with trends in DSGE models.

An application to the Japanese economy

by

Stéphane Adjemian

and

Michel Juillard

October 2009

Economic and Social Research Institute

Cabinet Office

Tokyo, Japan
# Dealing with trends in DSGE models. An application to the Japanese economy

Stéphane Adjemian and Michel Juillard, CEPREMAP

## Abstract

In this paper we present a methodology to deal with trends in DSGE models. This type of models have consequences for long run growth as well as for cyclical dynamics and it would be desirable to deal with both aspects in an unified frame-work. Two different problems need to be addressed. The first ones concerns a rigorous local approximation of a balanced growth model. This is solved by the usual practice of stationarizing the model first, and using trends directly in(log-)linear form.

The second issues deals with the estimation in the level of the data. When the data are not stationary, it is necessary to use a diffuse Kalman filter as the one proposed for example by Koopman and Durbin (2003). In this paper, we propose a modification of this filter in order to better deal with cointegrated variables.

As an illustration, we develop a medium size New Keynesian model with consumption habits, adjustment costs and nominal rigidities in the goods and labor markets. This model is estimated on Japanese data.

In order to take into account the zero nominal interest rate bound to which the Japanese monetary policy was confronted in the recent period, we experiment with modeling the log of the interest rate rather than the interest rate itself. This workaround is far from perfect, but it permits the use of local approximation without having a model generating negative values for the nominal interest rate.
# Dealing with trends in DSGE models: An application to the Japanese economy

Stéphane Adjemian and Michel Juillard $ ^{*} $

March 2009

## 1 Introduction

Depending on the questions that they ask, economists focus more on determinants of long run growth or, on the contrary, on the mechanisms of short run dynamics. However, it is obvious that a given model has usually implications both for fluctuations at business cycle frequencies and for the long run. This is even truer in Dynamic Stochastic General Equilibrium models (DSGE) that have explicit microeconomic foundations. Long term growth is generally induced by technical progress and demographic change.

Traditionally, the issue has been addressed in two ways, either the business cycle model is written without reference to the growth factors, but, then, the data to which the model is confronted must be detrended by means of a statistical method. Or, the original data are used and the model contains a growth mechanism. It can be argued that the first approach is less satisfactory, because the growth component that is removed by the statistical detrending procedure isn't consistent with the growth mechanism implicitly implied by the theoretical model. However, estimating DSGE models with growth trends raises additional methodological problems that must be carefully addressed.

The first problem concerns the solution method used to solve the DSGE models. While it isn't the only option, in practice, the solution involves a local approximation of the original, structural, model. Obviously, it wouldn't be very reasonable to compute the local approximation of
a model with growing variables around a given point: the quality of the local approximation would strongly deteriorate as one gets further from the point around which the local approximation is computed! The solution to this problem is to compute the local approximation around a stationarized version of the model. Such a version exists if the model is characterized by balanced growth.

In order to proceed with estimation, it is necessary to express the bridge between stationarized and original variables. It is then possible to estimate the model against original variables. Again, a choice opens: one can choose to estimate in growth rates or in levels of the original variables. The latter provides additional information on the co-integrating relationships of the model.

Finally, when growth dynamics take the form of non-stationary processes and one wants to estimate against data in levels of the variables, an additional issue arises with the initialization of the Kalman filter that is used to compute the likelihood of the model. A frequent recommendation is to use a diffuse filter.

As an illustration of this procedure, we present then a medium size New Keynesian model, inspired from $ \hat{?}^{1} $ . There is an explicit mechanism for exogenous growth of labor embodied technological change.

## 2 Dealing with trends in DSGE models

In a first sub-section, we discuss the process through which one can stationarized a balanced growth model and take-up in section 2 problems related to the use of the diffuse Kalman filter.

### 2.1 A stationary transformation

As already mentioned, there exists a specific problem with nonlinear growth models. Current estimation methods require a local (log-)linear approximation of the original model. In the case of stationary models, it is reasonable to take the local approximation around the deterministic steady state of the model. The deterministic steady state is the point of the state space where the model would converge in the absence of shocks. This method is legitimate as long as the shocks
aren't too large.

However, by definition, there is no steady state point for a growth model. Furthermore, if one was to take a local approximation of a growth model around any particular point, it is obvious that the quality of this local approximation would deteriorate as the economy moves further away of this particular point. This would be true as time goes by, but also as one would move further towards the past.

A similar preoccupation is in order in a framework wider than economic growth proper, when some variables of the model follow a non-stationary process. Even without drift, a unit root process can move very far from a given point. For example, most models with an inflation target rule will induce a stochastic trend in the price level, even if the inflation target is zero. When the inflation target is greater than zero, the price level will be characterized with both a pure stochastic trend and a deterministic one.

Intuitively, if a model possess a reference growth path, one would want to compute a local approximation around this path. This is what is done when one stationarize a model characterized by a balanced growth path. A model is characterized by balanced growth when, in the absence of shocks, each variable converges towards a path with a constant rate of growth. Of course, some variables can have a constant long run path with a null growth rate.

In this class of models, it is by definition always possible to define the relative distance to the trend:

$$ \begin{aligned}&\widehat{Y}_{t}=\frac{Y_{t}}{\bar{Y}_{t}}\\ &\\ &\bar{Y}_{t}=\left(1+g_{Y_{t}}\right)\bar{Y}_{t-1}\\ \end{aligned} $$

where $ Y_{t} $ is the original variable, $ \bar{Y}_{t} $ , the value of the trend at the same period, $ \hat{Y}_{t} $ , the relative distance to the trend or stationarized variable, and $ g_{Y_{t}} $ is the growth rate of the trend.

It is then possible to rewrite the model in terms of the stationarized variables. When replacing the original variables by stationarized ones, the following rules must be followed, depending on the relative time period at which the variable appears in the model:
1. variables appearing at the current period, $ Y_{t} $ , are replaced by their stationarized counterpart, $ \widehat{Y}_{t} $ .

2. variables appearing with a lag, $ Y_{t-k} $ , are replaced by their stationarized counterpart, divided by their growth factor elevated to the power of the number of lags, $ \frac{\widehat{Y}_{t}}{(1+g_{Y})^{k}} $ .

3. variables appearing with a lead, $ Y_{t+k} $ , are replaced by their stationarized counterpart, multiplied by their growth factor elevated to the power of the number of leads, $ (1 + g_{Y})^{k} \widehat{Y}_{t} $ .

Another feature of balanced growth models that is useful in this context is the following. If one replaces the original variables with its expression as the product of the stationarized variable and its trend, $ Y_{t} = \widehat{Y}_{t} \bar{Y}_{t} $ , it is then possible to eliminate the trend variables. In practice, it is a useful property that lets one verify that the model has indeed a balanced growth path.

When one estimates a model with non-stationary variables, a further problem arises with the initialization of the Kalman filter that is used in order to compute the likelihood of the model.

### 2.2 The diffuse filter

The estimation strategy is as follows. The first order approximated solution of the stationarized model described above provides an equation of the form

$$ \hat{y}_{t}=A\hat{y}_{t-1}^{s}+B u_{t} $$

where $ \hat{y}_{t}=y_{t}-\bar{y} $ is the vector of variables of the model in deviation to the steady state, $ y_{t}^{s} $ are the variables present in the state vector (all the variables appearing with a lag in the model), $ u_{t} $ are the shocks, and A and B are the coefficients of this reduced form.

Because only some of the variables present in the model are observed, we are dealing here with a statistical model of unobserved components. Its likelihood is computed by the Kalman filter and the model must be put in state space form.

The transition equation describes the dynamics of the state variables:

$$ \hat{y}_{t}^{(1)}=A^{(1)}\hat{y}_{t-1}^{(1)}+B^{(1)}u_{t} $$
where $ A^{(1)} $ and $ B^{(1)} $ are the appropriate sub-matrices of A and B, respectively. $ y_{t}^{(1)} $ is the union of the state variables $ y_{t}^{s} $ , including all necessary lags, and $ y_{t}^{\star} $ , the observed variables. Note that matrix $ A^{(1)} $ can have eigenvalues equal to one.

The measurement equation is written

$$ y_{t}^{\star}=\bar{y}+M\hat{y}_{t}^{(1)}+x_{t}+\epsilon_{t} $$

where M is the selection matrix that recovers $ \hat{y}_{t}^{\star} $ out of $ \hat{y}_{t}^{(1)} $ , $ x_{t} $ is a deterministic component $ ^{2} $ and $ \epsilon_{t} $ is a vector of measurement errors.

In addition, we have, the two following covariance matrices, for the structural shocks and for the measurement errors:

$$ \begin{array}{rcl}E\left(u_{t}u_{t}^{\prime}\right)&=&Q\\ &&\\ &E\left(\epsilon_{t}\epsilon_{t}^{\prime}\right)&=&H\end{array} $$

In what follows, it is simpler and computationally more efficient to remove directly the deterministic elements from the observations before applying the filter. The simplified measurement equation is then

$$ \tilde{y}_{t}^{\star}=M\hat{y}_{t}^{(1)}+\epsilon_{t} $$

with $ \tilde{y}_{t}^{\star}=y_{t}^{\star}-\bar{y}-x_{t} $

When the stochastic trends in the model contain a deterministic component, it is necessary to separate the pure random walk process that is represented in the transition equation from its deterministic component that is treated as an exogenous element in the measurement equation. The initialization of the Kalman filter remains an important issue. For stationary models, the state variables are initialized at their unconditional mean and the variance of the one-step ahead forecast errors in first period are set equal to the unconditional variance of the variables. This option isn't available in non-stationary models as the unconditional variance is infinite.

Durbin and Koopman (2004) propose a diffuse filter to handle this situation. The basic idea is
to compute the limit of the Kalman filter when initial variance tends toward infinity. Essentially, they analyze the filter when $ P_{0} $ , the initial variance of the one-step ahead forecast error is the following limit:

$$ P_{0}=\lim_{k\to\infty}kI $$

This approach is however problematic in the case of co-integration relationships, because the above limit for the variance matrix doesn’t take into account the relations between co-integrated variables.

For this reason, we propose to apply the diffuse filter to a transformed state space representation where the independent stochastic trends appear directly. This transformed system is obtained by a Schur decomposition of the transition matrix.

In the transition equation

$$ \hat{y}_{t}^{(1)}=A^{(1)}\hat{y}_{t-1}^{(1)}+B^{(1)}u_{t} $$

we propose to perform a reordered real Schur decomposition on transition matrix $ A^{(1)} $ :

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{A}^{(1)}=\boldsymbol{W}\begin{bmatrix}\\ &T_{11}&T_{12}\\&&\\&0&T_{22}\\ &\end{bmatrix}\boldsymbol{W}^{\prime}\\ \end{aligned} $$

where $ T_{11} $ and $ T_{22} $ and quasi upper-triangular matrices and W is an orthogonal matrix. The reordering is such that the absolute value of the eigenvalues of $ T_{11} $ are all equal to 1 while the eigenvalues of $ T_{22} $ are all smaller than 1 in modulus. When there are co-integrating relationships between the state variables, there are obviously less unit roots in the system than the number of non-stationary variables in the model. The dimension of $ T_{11} $ reflects this fact.

It is then natural to rewrite the transition equation in transformed variables as

$$ a_{t}=T a_{t-1}+R u_{t} $$

where $ a_{t}=W^{\prime}\hat{y}_{t}^{(1)} $ and $ R=W^{\prime}B $ . The measurement equation becomes

$$ \tilde{y}_{t}^{\star}=Z a_{t}+\epsilon_{t} $$