Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
ここで， $ x^{ij} $ は，地域 i における多様財企業の，一企業あたりの地域 j での販売量である．また， $ \Omega^{ij} $ と $ \Omega^{ij} $ （ $ i \neq j $ ）．はそれぞれ $ \Omega^{ii} \equiv n^{i}(p^{ii})^{1-\varepsilon}/(P^{i})^{1-\varepsilon} $ および $ \Omega^{ij} \equiv n^{i}(p^{ij})^{1-\varepsilon}/(P^{A}P^{B})^{1-\varepsilon} $ （ $ i \neq j $ ）として定義される指数である．先に見たように， $ P^{i} $ （i = A, B）および $ p^{ij} $ （i, j = A, B）は， $ G^{i} $ や $ n^{i} $ （i = A, B）の関数として表すことができ，また， $ n^{i} $ が $ n^{i}/(n^{A} + n^{B}) $ および $ G^{i} $ 一定のまま，成長率 g で増大した時，それぞれ $ \{1/(1 - a)(1 - \varepsilon)\} $ g および $ \{a/(1 - a)(1 - \varepsilon)\} $ g の率で低下していくことになる．したがって， $ \Omega^{ii} $ と $ \Omega^{ij} $ は， $ G^{i} $ および $ n^{i}/(n^{A} + n^{B}) $ の関数として表されることとなる．なお，以下では，経済全体の多様財企業のうち，地域 A に立地しているものの割合を， $ \theta \equiv n^{A}/(n^{A} + n^{B}) $ と表すことにする．

地域 $i$ の多様財産業の雇用量 $l_{x}^{i}$ と，一企業あたり利潤 $\pi^{i}$ はそれぞれ以下のようになる．

$$ l_{X}^{A}=(1-a)\gamma\alpha\left[\frac{\{\Omega_{A A}-a\gamma(\Omega_{A A}\Omega_{B B}-\Omega_{A B}\Omega_{B A})\}E^{A}L+\Omega_{A B}E^{B}(1-L)}{1-a\gamma(\Omega_{A A}+\Omega_{B B})-(a\gamma)^{2}(\Omega_{A B}\Omega_{B A}-\Omega_{A A}\Omega_{B B})}\right], $$

$$ l_{X}^{B}=\left\{\frac{(1-a)\gamma\alpha}{w^{B}}\right\}\left[\frac{\Omega_{B A}E^{A}L+\{\Omega_{B B}-a\gamma(\Omega_{A A}\Omega_{B B}-\Omega_{A B}\Omega_{B A})\}E^{B}\left(1-L\right)}{1-a\gamma(\Omega_{A A}+\Omega_{B B})-\left(a\gamma\right)^{2}(\Omega_{A B}\Omega_{B A}-\Omega_{A A}\Omega_{B B})}\right]. $$

$$ \pi^{^{A}}=\left\{\frac{(1-\gamma)\alpha}{n^{^{A}}}\right\}\left[\frac{\{\Omega_{_{A A}}-a\gamma(\Omega_{_{A A}}\Omega_{_{B B}}-\Omega_{_{A B}}\Omega_{_{B A}})\}E^{^{A}}L+\Omega_{_{A B}}E^{^{B}}(1-L)}{1-a\gamma(\Omega_{_{A A}}+\Omega_{_{B B}})-(a\gamma)^{^{2}}(\Omega_{_{A B}}\Omega_{_{B A}}-\Omega_{_{A A}}\Omega_{_{B B}})}\right], $$

$$ \pi^{B}=\left\{\frac{(1-\gamma)\alpha}{n^{B}}\right\}\left[\frac{\Omega_{_{BA}}E^{A}L+\{\Omega_{_{BB}}-a\gamma(\Omega_{_{AA}}\Omega_{_{BB}}-\Omega_{_{AB}}\Omega_{_{BA}})\}E^{B}(1-L)}{1-a\gamma(\Omega_{_{AA}}+\Omega_{_{BB}})-(a\gamma)^{2}(\Omega_{_{AB}}\Omega_{_{BA}}-\Omega_{_{AA}}\Omega_{_{BB}})}\right]. $$

（12）および（13）の導出については補論Aでまとめられている。

### 2.4 伝統財産業および公共インフラ部門

次に伝統財産業について考察する．伝統財一単位の生産には，一単位の労働が必要であるとする．また，先にも述べたように，伝統財の輸送にも輸送費用が必要であるとする．伝統財は完全代替であり，完全競争市場で供給されるため，その価格は，限界費用を反映して設定されることとなる．一つの地域の中で生産され，販売される伝統財の価格は以下のようになる．

$$ p_{_{Y}}^{^{i i}}=\frac{w^{^{i}}}{{(G^{^{i}})^{\eta}}}\quad, $$

一方，地域 i で生産され，別の地域 j で販売される伝統財の価格は以下のようになる．

$$ p_{Y}^{i j}=\frac{w^{i}}{(G^{A}G^{B})^{\eta}}\quad, $$

伝統財産業が両地域に立地している場合には，以下のような条件が満たされねばならない．

$$ (G^{A})^{\eta}\leq\left(\frac{w^{A}}{w^{B}}\right)\leq\left(\frac{1}{G^{B}}\right)^{\eta} $$
右側の不等号が等号で成立する場合には，地域 B の生産者が地域 A の生産者とともに，地域 A の市場をシェアしあうこととなる．一方，地域 B の市場は地域 B の生産者のみにシェアされる．また，左側の不等号が等号で成立する場合には，地域 A の生産者が地域 B の生産者とともに，地域 B の市場をシェアしあうこととなる．ただし，地域 A の市場は，地域 A の生産者のみにシェアされることとなる．（17）が不等号で成立する場合には，両方の地域で伝統財が自給自足されることとなる $ ^{3} $ ．

このことを理解するために，例えば，地域 B に立地する伝統財生産者が，地域 A に立地する伝統財生産者とともに地域 A の市場に伝統財を供給しているようなケースを考えてみる．

地域 A の市場における地域 B からの伝統財の価格は，その生産コスト，地域 B から地域 A の境界までの輸送費用および地域 A 内部での輸送費用の3つの要因によって決まってくる．一方，地域 A の生産者によって供給される伝統財の価格は，その生産コストと地域 A 内部での輸送費用の2つの要因によって決まってくる．これらの要因のうち，地域 A 内部での輸送費用は両方の伝統財に共通した要因である．したがって，これらの伝統財が競合するためには，地域 B の伝統財の生産コストと地域 B から地域 A の境界までの輸送費用を合わせたものと，地域 A の伝統財の生産コストが等しくなければならない．つまり，地域 B における伝統財の生産コストが，販売コスト上の不利をちょうど補う程度まで低くなければならない．そして，そのためには，生産要素の価格である賃金 $ w^{B} $ が，(17)の右側の不等号を等号で成立させる程度にまで，つまり，

$$ {w}^{B}=(G^{B})^{\eta} $$

の水準まで低くなければならない．この水準の賃金のもとで，地域 B の伝統財のコスト上の有利不利がちょうど相殺しあうこととなり，地域 B の生産者が地域 A の生産者とともに，地域 A の市場をシェアしあうこととなる．

一方，地域 A の伝統財生産者は，地域 B の市場において，地域 B の生産者と競合することはできない．地域 A の伝統財生産者は，伝統財を地域 B の境界まで運ぶのにかかる輸送費用の分だけ，販売コスト上不利となる．それに加えて，地域 B の賃金水準が（18）を満たし，地域 A の賃金がそれよりも高くなっているような場合には，生産コストの上でも不利となる．したがって，地域 A から地域 B へ伝統財が輸出されることはなく，地域 B の伝統財需要は地域 B の伝統財産業によって完全に満たされることとなる．

また，地域 B で生産され，地域 A で販売されている伝統財の価格（地域 A の中で生産され販売されている伝統財の価格もこれに等しい）は，地域 B で生産され，地域 B の中で販売さ
れている伝統財の価格よりも，地域 A 内部で必要となる輸送費用 $ (1/G^{A})^{\eta} $ の分だけ割高となっている．

ここで例としてとりあげたような，地域 A が地域 B から伝統財を輸入しているケースについて，各地域における伝統財の価格と，伝統財産業に従事している労働を求めてみると，以下のようになる．

$$ p_{_{Y}}^{^{B B}}=\frac{w^{^{B}}}{{(G^{^{B}})^{\eta}}}=1\quad, $$

$$ p_{_{Y}}^{^{A A}}=p_{_{Y}}^{^{B A}}=\frac{1}{(G^{^{A}})^{\eta}}\quad, $$

$$ l_{Y}^{^{A}}=(1-\alpha)s L E^{^{A}}, $$

$$ l_{_{Y}}^{^{B}}=(1-\alpha)\Biggl\{\frac{(1-s)L E^{^{A}}+(1-L)E^{^{B}}}{w^{^{B}}}\Biggr\}\quad, $$

$ s\left(0\leq s\leq1\right) $ は地域 A の伝統財の市場に占める地域 A の伝統財産業のシェアをあらわす.

最後に，これら多様財や伝統財の輸送費用を決定する公共インフラの供給について考える．公共インフラを一単位生産するためには，一単位の労働が必要であるとする．また，その地域の公共インフラはその地域に居住する労働を用いてしか生産できないものとする（非貿易財）．各地域の公共インフラ $ G^{i} $ は，この経済における政府が，一括固定税Tを財源として，各地域内でそこで成立している賃金で労働を雇うことにより整備されるものとする．一括税Tが $ \tau:1-\tau $ （ $ 0\leq\tau\leq1 $ ）の割合で地域Aと地域Bに公共インフラ整備のために支出されるなら，各地域の公共インフラ財の生産量＝公共財セクターの雇用量は以下のようになる．

$$ G^{A}=\tau T, $$

$$ G^{B}=\frac{(1-\tau)T}{w^{B}}. $$

## 3 ．都市の発生と安定性

### 3.1 多様財企業と家計のロケーションの決定

ここではまず，多様財がどのように創出され，そしてそれが，地域 A と B にどのように立地するのかを考察する．

多様財企業は,自らが生産する多様財が発明された地域のみで生産活動を行うことができるものとする。つまり,もう一方の地域に生産拠点を移すことは出来ないものとする。したがって,地域間での多様財企業の分布は,新規に行われた多様財の発明および参入（R&D 活動）の水準に,地域間で差がある場合のみ,変動していくことになる。

$ v^{i} $ を地域 i における多様財企業の株価とすると，これは（14）で与えられる $ \pi^{i} $ のもと，以
下の条件を満たしていなければならない。

$$ r=\frac{\dot{v}^{i}+\pi^{i}}{v^{i}}\quad,\quad i=A,B, $$

多様財の種類数は，この $ v^{i} $ の獲得を目的としたR&D活動によって増大していく．新たに発明される多様財の数は，次のような式で示されるものとする．

$$ d n^{i}=(n^{i}+\lambda n^{j})l_{R\&D}^{i},\ i=A,B,\ i\neq j, $$

ここで $ l_{R\&D}^{i} $ は地域 i において R&D 活動に携わる労働を示している．ここでは，過去の R&D 活動の蓄積が大きいほど現在の R&D 効率が高まるという，動学的な外部効果が想定されている．また， $ \lambda\left(0\leq\lambda\leq1\right) $ はそうした外部効果の地理的な波及領域を示している． $ \lambda=1 $ は，外部効果が地域を越えて経済全体に同等に及ぶケースを， $ \lambda=0 $ は，地域を超えての外部効果はないケースを示している．ここでは，地域を越えた外部効果が，部分的に認められるようなケースを想定する $ ^{4} $ ．

R&D 活動が有限にとどまるためには, R&D によってもたらされる便益 $ v^{i} $ が, R&D のコスト $ w^{i}/(n^{i} + \lambda n^{j}) $ と同じか, それ以下でなければならない. つまり,

$$ M A X\Biggl[v^{A}-\frac{w^{A}}{n^{A}+\lambda n^{B}},v^{B}-\frac{w^{B}}{\lambda n^{A}+n^{B}}\Biggr]\leq0 $$

が成立していなければならない．これは自由参入条件と呼ばれる条件式であり，R&D活動が行われている地域でのみ等号で成立することとなる．R&D活動は，将来にわたって，もう一方の地域よりも大きい独占的競争利潤$\pi^{i}$が得られることが期待されているために，利潤の割引現在価値$v^{i}$が大きくなっている地域において，より活発に行われることとなる．また，現時点でより多くの多様財企業が立地しているために，開発費用がより低くなっている$(w^{i}/(n^{i}+\lambda n^{j})$が小さくなっている）地域において，より活発に行われることとなる．

（23）が地域 A のみで等号で成立している場合には，多様財の種類の成長率 $ g^{i} \equiv dn^{i} / n^{i} $ は以下のように求められる．

$$ \frac{\theta g^{^{A}}}{\theta+\lambda(1-\theta)}=(n^{^{A}}+\lambda n^{^{B}})\pi^{^{A}}-r\;. $$

また，(23)が地域 B で等号で成立している場合には，以下が成立する．

$$ \frac{(1-\theta)g^{^{B}}}{\lambda\theta+(1-\theta)}=\left(\frac{\lambda n^{^{A}}+n^{^{B}}}{w^{^{B}}}\right)\pi^{^{B}}-r+\left(\frac{\dot{w}^{^{B}}}{w^{^{B}}}\right). $$

一方，（23）が等号で成立していない地域では，R&D 活動は行われず，
$$ g^{i}=0. $$

となる.（23）が両地域において等号で成立する場合には，R&D 活動は両方の地域で行われる．この場合， $ g^{A} $ と $ g^{B} $ は以下の2つの式を満たすような水準に決まってくることとなる．

$$ \frac{\theta g^{^{A}}+\lambda(1-\theta)g^{^{B}}}{\theta+\lambda(1-\theta)}=(n^{^{A}}+\lambda n^{^{B}})\pi^{^{A}}-r\cdot $$

$$ \frac{\lambda\theta g^{^{A}}+(1-\theta)g^{^{B}}}{\lambda\theta+(1-\theta)}=\left(\frac{\lambda n^{^{A}}+n^{^{B}}}{w^{^{B}}}\right)\pi^{^{B}}-r+\left(\frac{\dot{w}^{^{B}}}{w^{^{B}}}\right). $$

そして，以上のように決まってくる $ g^{A} $ と $ g^{B} $ のもと，多様財の分布θは，その定義より，以下のように変化していくこととなる．

$$ \dot{\boldsymbol{\theta}}=\boldsymbol{\theta}(1-\boldsymbol{\theta}){\left(g^{A}-g^{B}\right)}. $$

なお，多様財企業の株式は，家計によって，資産の蓄積手段として保有されるものとする．したがって，以下が成立する．

$$ A_{t}=n^{A}\nu^{A}+n^{B}\nu^{B}, $$

次に，家計が地域間にどのように分布するのかを考察する．

家計は地域間を自由に移動できるため，均衡では地域間の効用格差はなくなる．以下では，各地域の効用水準がどのように規定されるかを考察し，そして，それをもとに，地域間の効用格差がない状態を定式化する．

各地域において,各最終財から得られる効用水準および土地から得られる効用水準はそれぞれ以下のようになる。

$$ U^{^{A}}(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\tau},T,L)=\ln E^{^{A}}-\alpha\ln P^{^{A}}-(1-\alpha)\ln p_{_{Y}}^{^{AA}}+\beta(\ln N-\ln L) $$

$$ U^{B}\left(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\uptau},T,L\right)=\ln E^{B}-\boldsymbol{\upalpha}\ln P^{B}-\left(1-\boldsymbol{\upalpha}\right)\ln p_{Y}^{B B}+\beta\left(\ln N-\ln(1-L)\right) $$

（29）の初めの3つの項は，多様財と伝統財の消費から得られる効用水準を示している．これは，そこで実現できる所得・消費支出水準 $ E^{i} $ が大きいほど，そして，そこでの多様財の価格指数 $ P^{i} $ や伝統財の価格 $ p^{ii} $ が小さいほど，大きくなる．（11）で見たように， $ n^{i} $ が大きい地域ほど，多様財をより安価に消費することができる．つまり， $ P^{i} $ は小さくなる．したがって，θが大きいほど， $ P^{A} $ は小さくなり， $ P^{B} $ は大きくなる．これら消費財から得られる効用水準に，地域間で格差がある場合家計は少しでも高い効用が得られる方の地域に移動しようとする．これにより，その地域の人口密度が大きくなり，右辺第4項目で示される土地から得られる効用水準が低下していく．最終的に，以下の式を満たすような，いずれの地域に居住しても効用水準が等しくなるような人口配分 $ L(\theta,\tau,T) $ が達成されることになる．

$$ U^{^{A}}(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\uptau},T,L(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\uptau},T))=U^{^{B}}(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\uptau},T,L(\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{\uptau},T)) $$

### 3.2 均衡動学経路

以上までの枠組みをもとに,以下では,この経済の均衡動学経路を定式化し,それをもとに,
どのような条件のもと ,多様財産業や人口が一方の地域に集積していく都市化のプロセスが観察されるのかについて考察する．

(13)(19)(20)(22)より，労働市場の均衡条件が以下のように導かれる。

$$ \begin{aligned}\left\{\frac{\theta}{\theta+\lambda(1-\theta)}\right\}g^{^{A}}+(1-a)\gamma\alpha\left[\frac{\{\Omega_{AA}-\alpha\gamma(\Omega_{AA}\Omega_{BB}-\Omega_{AB}\Omega_{BA})\}E^{A}L+\Omega_{AB}E^{B}(1-L)}{1-\alpha\gamma(\Omega_{AA}+\Omega_{BB})-(a\gamma)^{2}(\Omega_{AB}\Omega_{BA}-\Omega_{AA}\Omega_{BB})}\right],\\+(1-\alpha)s L E^{A}+\tau T=L\\\left\{\frac{1-\theta}{\lambda\theta+(1-\theta)}\right\}g^{^{B}}+\left\{\frac{(1-a)\gamma\alpha}{w^{^{B}}}\right\}\left[\frac{\Omega_{BA}E^{A}L+\{\Omega_{BB}-\alpha\gamma(\Omega_{AA}\Omega_{BB}-\Omega_{AB}\Omega_{BA})\}E^{B}(1-L)}{1-\alpha\gamma(\Omega_{AA}+\Omega_{BB})-(a\gamma)^{2}(\Omega_{AB}\Omega_{BA}-\Omega_{AA}\Omega_{BB})}\right].\\+(1-\alpha)\left\{\frac{(1-s)E^{A}L+E^{B}(1-L)}{w^{^{B}}}\right\}+\left\{\frac{(1-\tau)T}{w^{^{B}}}\right\}=1-L\end{aligned} $$

これらの式において， $ g^{i} $ を含む左辺第1項は，R&D活動に携わっている労働を示している．先に見たように，R&D活動は，将来にわたって得られる利潤の割引現在価値と，現在必要とされるR&D活動のコストを勘案し，これらのバランスが達成される地域でのみ行われる．つまり，(23)が等号で成立している地域でのみ， $ g^{i} $ は(24)のような正の値をとる．一方，等号で成立してない地域では， $ g^{i} $ は(25)で示されるようにゼロとなる．また，(23)が両地域において等号で成立しているなら， $ g^{i} $ は(26)をみたす正の値をとることになる．また，(31)の左辺第2項と第3項は，それぞれ多様財と伝統財の生産に従事している労働を，第4項は，インフラ整備に携わっている労働をあらわしている．sは地域Aの伝統財の需要を，地域Aの伝統財産業がどれだけシェアしているかを示しており，地域Aが地域Bから多様財を輸入している場合には0
と（27）にしたがって， $ E^{i} $ およびθの動きを規定することとなる $ ^{6} $ .

以上でこの経済の動学体系が記述された．しかしながら，この動学体系を直接分析するのは非常に困難である．したがって，以降では，この体系の定常状態を分析し，そして，複数の定常状態が存在する場合，いずれの定常状態が成立しやすいかを分析する．

### 3.3 中心・周辺定常均衡の存在

動学を規定する式である（6）および（27）より，利子率が時間選好率に等しく，

$$ r=\uprho $$

が成立しており,さらに$\theta=1,\theta=0$ もしくは$g^{A}=g^{B}$ のいずれかが成立しておれば,経済は,各地域の消費支出や賃金,多様財や人口の地域間配分が一定で,多様財の数が一定率で増加していく定常状態にあることが分かる.

以下では,まず,多様財産業が,R&D部門も含めて一方の地域のみに偏る均衡,つまりθ=1, $ g^{A}>0 $ かつ $ g^{B}=0 $ が成立している場合,もしくはθ=0, $ g^{A}=0 $ かつ $ g^{B}>0 $ が成立している場合について,消費支出水準,賃金水準,人口および成長率がどのようになっているかを考察する.そして,その後で, $ g^{A}=g^{B} $ が成立しており,θがθ∈(0,1)の範囲内で一定に保たれているような場合について考察する.こうした定常状態が安定的な均衡としてサポートされるのか否かについては,次節で考察する.

まず,多様財産業が一方の地域だけに偏る定常状態( $ \theta=1 $ もしくは $ \theta=0 $ )について考える.以下ではこのような定常状態を,「中心・周辺定常均衡」と呼ぶこととし,多様財産業が集中している方の地域を「中心地域」と呼ぶこととする.ここでは,地域Aが中心地域となっている場合( $ \theta=1 $ )について考察していくが,地域Bが中心地域となっている場合( $ \theta=0 $ )についても同様の分析が可能である.

まず，このような場合の，多様財と伝統財の価格水準を考える．

多様財の価格指数 $ P^{i} $ は（11）より以下のように計算される．

$$ P^{A}=\left(\frac{1}{\gamma}\right)^{1-a}n^{\frac{1}{(1-a)(1-\varepsilon)}}\left(\frac{1}{G^{A}}\right)^{\frac{\eta}{1-a}}, $$

$$ P^{B}=\left(\frac{1}{\gamma}\right)^{1-a}n^{\frac{1}{(1-a)(1-\varepsilon)}}\left(\frac{1}{G^{A}}\right)^{\frac{\eta}{1-a}}\left(\frac{1}{G^{B}}\right)^{\eta} $$

多様財が集中している地域 A の方が, 多様財を地域 A から輸入している地域 B より, 輸送費
用 $ \left(1/G^{B}\right)^{\eta} $ を節約できる分だけ，多様財価格指数は小さくなっている．また，(14a)より， $ \pi^{A} $ が以下のように計算される．

$$ \pi^{^{A}}=\left\{\frac{(1-\gamma)\alpha}{n^{^{A}}}\right\}\{L E^{^{A}}+(1-L)E^{^{B}}\}, $$

多様財産業が地域 A に偏る場合，伝統財の大半はもう一方の地域 B で生産され，そしてその一部は地域 A に輸出されることになるだろう。つまり，2.3 節で例示したような， $ w^{B} $ が（32）を満たすように決まり，各地域における伝統財の価格水準が（15）（16）を満たすように決まってくるようなケースが実際に成立すると考えて問題ないであろう $ ^{7} $ 。この場合，同じく2.3 節で述べたような理由により，地域 B の方が，地域 A よりも，地域 A 内部の輸送費用に相当する分 $ (1/G^{A})^{\eta} $ だけ，伝統財の価格は小さくなる。

成長率を既定する式（24a）および労働市場の均衡条件（31a）（31b）は，$\theta=1$，(33)および（35）を代入することで，以下のようになる．

$$ g^{^{A}}=(1-\gamma)\alpha\left\{L E^{^{A}}+(1-L)E^{^{B}}\right\}-\mathsf{\rho}. $$

$$ g^{^{A}}+\gamma\alpha\left\{LE^{^{A}}+(1-L)E^{^{B}}\right\}+s(1-\alpha)LE^{^{A}}+\tau T=L, $$

$$ (1-\alpha)\Biggl\{\frac{(1-s)L E^{A}+(1-L)E^{B}}{w^{B}}\Biggr\}+\Biggl\{\frac{(1-\tau)T}{w^{B}}\Biggr\}=1-L. $$

次に，両地域で効用が等しくなるための条件（29）（30）を考える．θ=1および伝統財の価格水準（15）'（16）'，多様財の価格水準（34a）（34b）を代入していくと，効用が等しくなるための条件は以下のようになる．

$$ \left(\frac{E^{^{A}}}{E^{^{B}}}\right)=\left(G^{^{A}}\right)^{(\alpha-1)\eta}\left(G^{^{B}}\right)^{\alpha\eta}\left(\frac{L}{1-L}\right)^{\beta}. $$

両地域間の多様財の価格比率 $ \left(1/G^{B}\right)^{\eta} $ ，伝統財の価格比率 $ \left(1/G^{A}\right)^{\eta} $ ，人口密度の比率と，所得の比率を反映する消費支出水準の比率などの，地域間の効用格差をもたらす諸要因が，均衡においてバランスし合っていることが示されている。なお消費支出水準は（23）（28）よりA=1となること，および（33）と家計の予算制約式（2）より，以下のように計算される。

$$ \begin{aligned}&\boldsymbol{E}^{A}=1-T+\mathsf{\rho}\;.\quad\\ &\boldsymbol{E}^{B}=w^{B}-T+\mathsf{\rho}\;.\quad\\ \end{aligned} $$

なお，地域 B における公共インフラの水準 $ G^{B} $ は，(20b)と地域 B の賃金水準（18）（もしくは（32））より，以下の水準だけ供給されることが分かる．

$$ G^{B}=\{(1-\tau)T\}^{\frac{1}{1+\eta}} $$

これら（36）～（39）の6つの式に，(32)(20a)(40)であらわされる$w^{B}$，$G^{A}$，$G^{B}$を
代入して解くと，中心，周辺定常均衡における $ E^{A} $ ， $ E^{B} $ ， $ g^{A} $ ，s および L が求められる．

また，この経済では，こうした中心・周辺均衡とともに， $ g^{A}=g^{B} $ が成立しており，θがθ∈(0,1)の範囲内で一定に保たれているような定常状態も存在する．こうした均衡を「対称定常均衡」と呼ぶこととする．補論Bでは，τ=0.5の場合，θ=0.5となり，また，両地域で賃金が等しくなるような対称均衡が存在することが示されている $ ^{8} $ ．

### 3.4 中心・周辺定常均衡の安定性

次に，こうした中心・周辺定常均衡と，対称定常均衡のうち，いずれが成立することになるのかを考察する．つまり，都市化が生じるのか，生じるとすれば，それはどのような要因によるものなのかを検討する．

そうした分析のためには，自由参入条件（23）内の，R&Dの便益＝利潤の割引現在価値である株価 $ v^{i} $ と，R&Dコスト $ w^{i}/(n^{i}+\lambda n^{j}) $ の大小関係に着目しなければならない．しかし，ここでは，主に，前者のR&D便益の地域間の大小が何によって決まってくるのかを分析する．そのために，利潤の比率がどのような要因で決まってくるのかを考察する．これは，新しい経済地理モデルで観察される「金銭的外部効果」がどのくらい顕著に作用するかによって決定づけられる．一方，後者のR&Dコストについては，「技術的外部効果」が地理的にみてどこまで波及するかによって決まってくるが，これについては一旦分析対象から外す．また，ここでは，公共インフラの規模Tや配分τは固定して分析を行う．これらが変動した場合，中心・周辺定常均衡の安定性は保たれるか，また，保たれるとすれば，中心地域と周辺地域の差異，つまり都市化の度合いがどのように変化するか等の議論については第4節で行われる．

中心・周辺定常均衡における中心地域と周辺地域の利潤の比率は，(15)より以下のように表される $ ^{9} $ .

$$ \frac{\pi^{A}}{\pi^{B}}=\frac{(G^{B})^{\eta(\varepsilon-1)}\{E^{A}L+E^{B}(1-L)\}}{(G^{B})^{\eta(2a-1)(\varepsilon-1)}[(G^{A}G^{B})^{\eta(\varepsilon-1)}E^{A}L+[1-a\gamma\{1-(G^{A}G^{B})^{\eta(\varepsilon-1)}\}]E^{B}(1-L)]}}\quad, $$

ここでのＬは,(38)を満たすＬである．一方，τ=0.5のもとで対称均衡が成立するなら，先に見たように，利潤の格差は生じない．

この（41）を直接分析するのは困難であるため，（a）生産コスト上の優位性，（b）市場規模およびどの程度競争的か，といった，利潤の大きさを規定する要因ごとに，その大小関係を把握することにする．
多様財は，労働と，多様財それ自身を中間財として投入することで生産されている．したがって，多様財の生産コストは，その地域において，中間財がどのくらい安価に調達できるか（ $ P^{i} $ が小さいか），および賃金水準 $ w^{j} $ がいかなる水準にあるのかによって決まってくる．地域Aにおける多様財生産のコストが，地域Bのそれに比べてどれだけ優位か（低いか）について（18）および（34a）（34b）を用いて計算してみると，以下のようになる．

$$ \frac{\left(P^{A}\right)^{a}\left(w^{A}\right)^{1-a}}{\left(P^{B}\right)^{a}\left(w^{B}\right)^{1-a}}=\left(G^{B}\right)^{\eta(2a-1)}=\left(w^{B}\right)^{2a-1}\leq(>)1,\quad a\geq(<)0.5, $$

先に見たように，多様財が地域 A に集中するなら，もう一方の伝統財は，その多くがもう一方の地域 B において生産され，そしてそこから地域 A へ輸出されることになる．また，その場合には，（18）で示されるように，地域 A の賃金水準は，地域 B のそれよりも高くなる．このことは，地域 A で多様財生産を行う際のコストを，地域 B で多様財生産を行う際のコストよりも割高にする要因として作用する．地域 A が多様財生産でコスト上優位に立てるのか否かは，このような割高な労働と，割安な中間財のいずれをより集約的に用いるのかに依存することとなる．

（42）より，aがプラスであっても0.5以下であれば，地域Aにおける多様財の生産コストは，地域Bにおけるそれよりも割高となる．しかしながら，地域Aにおける伝統財の生産コストは，地域Bのそれよりも一層不利であるため，地域Aは多様財の生産に比較優位を持つこととなる $ ^{10} $ ．しかし，（41）が1以上，つまり集積が起きている地域の方が，利潤が大きくなるためには，後の（b）で見るように，地域Aに十分な規模の市場があることが必要となる

一方 ,a が 0.5 以上であれば 地域 A は多様財の生産に絶対優位を持つこととなる .そして ,集積の起きている地域の方が ,利潤が大きくなるという傾向が強められる $ ^{11} $ .

## （b）各地域の市場規模および競争の激しさ

地域 A では，多様財企業が集中しているために，競争が激しくなっている．このことは，
企業あたりの利潤を低下させる要因として作用する。

しかし，家計は，多様財が安価に消費できる地域 A にまとまって居住しようとするため，地域 A では最終財の市場規模が大きくなっている．このことは，一企業あたりの利潤を上昇させる要因として作用する．地域 A の人口 L は，そこで多様財が安価に消費できるという利点と，人口密度が高くなり，土地から得られる効用が低くなるという不利益とちょうどバランスするような，（38）を満たす水準に決まってくる．そして，多様財の選好が高く（αが大きく），また，混雑をさほど気にしないような場合（βが小さい場合）ほど，より多くの人口が，多様財企業の集中している地域 A に集中することとなる．こうした理由により，αが大きくβが小さいような経済では，一つの地域に多様財企業が集中していくと，そこでの利潤はむしろ大きくなっていくこともあり得るのである．

さらに，多様財は中間財としても需要されることに注意しなければならない．中間財の市場は，すべて地域Aに偏っている．最終財の市場規模に加え，中間財の市場規模も考え合わせると，地域Aの多様財の市場規模は，地域Bと比較してより一層大きくなっている．そして，この市場規模の格差は，多様財の生産に，中間財がより集約的に使われる場合ほど（aが大きい場合ほど），より一層顕著となる．こうした理由により，（41）は，aが大きいほど大きくなっていく．そして，多様財が集中している地域の方が，利潤はむしろ大きくなる可能性も出てくることとなる．

以上の（a）と（b）の議論をまとめると，家計が多様財をより選好し（αが大きく），また，混雑をさほど気にしない（βが小さい）場合ほど，また，多様財企業が多様財を中間財としてより集約的に使う（aが大きい）場合ほど，より多くの家計とより多くの多様財企業が，それぞれ効用最大化と費用最小化の目的のために，多様財企業がより多く集中していて取引費用がより節約できる方の地域に引き付けられていく．これにより，その地域で，競争圧力の増大による利潤の低下を補って余りあるほどに，市場規模が拡大し，そこでの利潤がむしろ上昇するのであれば，利潤最大化の目的のもとで行動する多様財企業はさらにその地域に集中していき，都市化が観察されることが分かる．つまり，「金銭的外部効果」がより顕著に作用することとなる．しかし，パラメターのαやβおよびaが，具体的にどのような条件を満たすなら，（41）が1以上になるのかについて，明示的に求めることは難しい．

Kondo（2003）では，多様財の輸送のみに輸送費用がかかり，また，多様財が中間財としては用いられないようなモデルのもとでは，多様財の選好が高く（αが大きく），また，混雑をさほど気にせず（βが小さく），以下のような条件が満たされる場合，

$$ \alpha>\beta\left(\varepsilon-1\right) $$

多様財企業が集中している地域において，利潤が大きくなることが示されている．

これに対して，この論文では，伝統財にも輸送費用を取り入れた．この場合，伝統財を中心地域に輸出している周辺地域では（19）で示されているように，輸送費用に対応する分だけ，
賃金水準が低くなる．したがって，中心地域で多様財を生産する際の単位コストは，周辺地域よりも割高となってしまう．このことは，地域 A における多様財企業の操業を不利とし，中心・周辺均衡を不安定にする要因として働く．

また，その一方で，この論文では，多様財が中間財として需要されると考えた．この場合，まず（a）で見たように，地域Aに立地する多様財企業は，より安価に多様財を購入することができることにより，費用面で優位に立てる可能性が出てくる．また，（b）で見たように，最終財市場以上に，中間財市場がよりそこに偏った形で現れるため，より利潤が高められる可能性がでてくる．そして，これらの可能性は，多様財が中間財としてより集約的に投入される場合ほど（aが大きい場合ほど）大きくなっていく．

以上をまとめると，多様財に輸送費用を入れたこと，そして多様財が中間財としても需要されるとしたことが，それぞれ（41）に反対の方向に作用するため，多様財産業が集中している地域において利潤が高くなるのか否かについて，確定的なことが言えなくなっている．表1はいくつかの数値例のもと，中心・周辺定常均衡下における中心地域の相対的な利潤の大きさを見たものである．（41）が1以上になるか否かの決定要因として，（43）が満たされているか否かは，依然重要な決定要因となっている．しかし，aの大きさも，重要な決定要因となっていることが分かる．つまり，（43）が満たされていても，aが小さいと，（41）は1以下となる．逆に，（43）が満たされていても，aが大きいと，（41）は1以上となり得る．

以上で，自由参入条件を構成する，R&Dの便益とコストのうち，前者を考察する上で有用となる地域間の利潤の大小の決定要因，つまり「金銭的外部効果」が現れるための諸条件について考察できた．本節の残りの部分では，R&Dコストの比率およびそれを左右することになる「技術的外部効果」の地理的な波及領域を再び考慮にいれ，株価の動きとR&Dコストの動きを考察し，都市化が起こるのか否かを検討する．

（41）が1以上となる場合には，地域Aが中心地域となる中心・周辺定常均衡と，地域Bが中心地域となる中心・周辺定常均衡のうち，長期的にいずれが成立するかは，歴史的な要因のみならず，期待にも依存することとなる.（41）が1以上で成立する場合には，集積が進めば進むほど，その地域の多様財企業の利潤が，もう一方のそれと比較して，より大きくなっていく．したがって，皆が将来集積が進んでいくと期待する地域において，多様財企業の株価が高くなる．そして，実際に，その地域でR&D活動が行われ，期待が自己実現されることになる．現在，集積が進んでいない地域でも，将来に対する期待次第では，R&Dコストの不利を上回るだけの株価の上昇が生じ，そして実際にR&D活動が行われ，もう一方の地域を多様財企業の立地数について追い抜くということも起こり得るのである．

（41）が1以下であっても，技術的外部効果が地域に限定されたものであるなら，集積が起きている地域のR&Dコストがもう一方の地域よりも低くなり，中心・周辺均衡が安定的となり得る．表1では，（41）が1以下になる場合，外部効果がどの程度ローカルなものであるなら（入がどの程度小さければ）中心・周辺定常均衡が安定的となり得るかについて示してい
る.（41）が1以下の場合，集積が進むにつれて，そこでの利潤は低下していくことになる．しかしながら，技術的外部効果が地域内に限定されたものであるような場合には，集積によって，利潤の低下よりも急速に，開発費用が低下していくこととなり，したがって，集積が起こりやすくなるのである $ ^{12} $ ．ただし，（41）が1以上の場合とは異なり，いずれの地域が中心となるかについては歴史的な要因のみに左右され期待による逆転は観察されないこととなる．

本論文では，従来の新しい経済地理モデルよりも「金銭的外部効果」がより顕著に働くため，相対的にみて都市化が非常に起こりやすくなっている．また，従来の新しい経済地理モデルほど輸送費用の大きさは都市化が起こるか否かの決定要因としては重要ではなくなっている．実際，「金銭的外部効果」が作用するためのパラメターの大きさを議論する際に基とした条件式（43）には，輸送費用については含まれないし，「技術的外部効果」の波及領域の大きさにも，輸送費用の大きさは無関係である．しかしながら，次節以降でみるように，輸送費用は，都市化のスピードや，行き着く先の都市化の度合を決定する上で重要な役割を果たしている．したがって輸送費用の大きさを決定付ける公共インフラの規模や地域間配分を考えることが重要となってくる．

## 4 ．公共インフラの最適規模と地域間配分

以上までの分析で，本論文のモデルでは，従来の新しい経済地理モデルよりも都市化が起こりやすくなっていること，また，輸送費用の大きさは，都市化が起こるか否かの決定要因としては重要ではなくなってくることが分かった．しかしながら，輸送費用は，どの程度まで顕著に都市化を進めればよいのかといった，望ましい都市化の度合についての議論に重要な役割を果たす．したがって，輸送費用の大きさを決定付ける公共インフラの規模や地域間配分を考えることが重要となってくる．本節では，最適な都市化の程度を実現するような，つまり，各人の効用水準を最大にするような，最適な公共インフラ支出の規模Tとその地域間配分とについて考察する．

中心・周辺定常均衡下において，各地域で得られる効用水準は，瞬時的効用関数 $ (29) $ に $ \theta = 1 $ を代入し，無限先まで主観的割引率で割り引いて足し合わせることで，以下のように求められる．

$$ V^{A}(\tau,T,L)=\left(\frac{1}{\rho}\right)U^{A}(1,\tau,T,L)+\left(\frac{1}{\rho}\right)^{2}\left(\frac{\alpha}{1-a}\right)\left(\frac{1-\gamma}{\gamma}\right)g(\tau,T,L) $$
$$ V^{B}(\tau,T,L)=\left(\frac{1}{\rho}\right)U^{B}\left(1,\tau,T,L\right)+\left(\frac{1}{\rho}\right)^{2}\left(\frac{\alpha}{1-a}\right)\left(\frac{1-\gamma}{\gamma}\right)g(\tau,T,L) $$

$ U^{i}(1,\tau,T,L) $ は，(29)に，θ=1の場合の多様財価格指数である(34a)(34b)，伝統財の価格（15）'（16）'，および（39a）（39b）のように計算される各地域の消費支出水準を代入することで求められるが，これらの価格水準や消費支出水準に含まれる， $ G^{i} $ や $ w^{B} $ 等は，(32)や（20a）（40）から分かるように，τとTの関数として表すことができる．このことから，多様財の価格指数や伝統財の価格をτとTの関数として表すと，以下のようになる．

$$ P^{A}=\left(\frac{1}{\gamma}\right)^{1-a}n^{\frac{1}{(1-a)(1-\varepsilon)}}\left(\frac{1}{\tau T}\right)^{\frac{\eta}{1-a}}, $$

$$ P^{B}=\left(\frac{1}{\gamma}\right)^{1-a}n^{\frac{1}{(1-a)(1-\varepsilon)}}\left(\frac{1}{\tau T}\right)^{\frac{\eta}{1-a}}\left(\frac{1}{(1-\tau)T}\right)^{\frac{\eta}{1+\eta}} $$

$$ p_{_{Y}}^{^{A A}}=\frac{1}{(\tau T)^{^{\eta}}}, $$

また， $ g(\tau,T,L) $ は，ある L のもと，(36)(37)(39) を解くことで求められる多様財の種類の成長率である．中心・周辺定常均衡における中心地域の人口 $ L(\tau,T) $ は，以下を満たすように決まってくる．

$$ U^{^{A}}(1,\tau,T,L(\tau,T))=U^{^{B}}(1,\tau,T,L(\tau,T)) $$

そして，均等化された両地域の効用水準を，

$$ V(\tau,T)\equiv V^{A}(\tau,T,L(\tau,T))=V^{B}(\tau,T,L(\tau,T)) $$

と置く．図4はこの $ V(\tau,T) $ を図示したものである．また，図5と図6はそれぞれTを固定した上で， $ L(\tau,T) $ および $ V(\tau,T) $ を， $ \tau $ の関数として図示したものである．

まず，τが変化した時，地域Aの人口 $ L(\tau,T) $ がどのように変化するか，つまり，中心地域への公共インフラの配分を増やした場合，そこの人口がどのようになるのかを考察する。（48）より，

$$ \begin{aligned}\frac{\partial L(\tau,T)}{\partial\tau}=&\left[\frac{\partial U^{A}(\tau,T,L)}{\partial\tau}-\frac{\partial U^{B}(\tau,T,L)}{\partial\tau}\right]\Bigg/\left[\frac{\partial U^{B}(\tau,T,L)}{\partial L}-\frac{\partial U^{A}(\tau,T,L)}{\partial L}\right]\\=&\left[\frac{\partial U^{A}(\tau,T,L)}{\partial\tau}-\frac{\partial U^{B}(\tau,T,L)}{\partial\tau}\right]\Bigg/\beta\Bigg[\frac{1}{1-L}+\frac{1}{L}\Bigg]\end{aligned} $$

となる．この式において，分母はプラス，また，分子もプラスとなる．したがって，中心地域への公共インフラの配分が増えた場合には，中心地域の人口は増大する．また，この式の分子
は，aからは独立となる．つまり，中心地域の人口 $ L(\tau,T) $ は，公共インフラ規模Tや，αやβなどのパラメタ一次第で変わってくるものの，aからは独立となる．以上の計算の詳細については補論Cにまとめられているが，この結果を直感的に理解するため， $ U^{i} $ の構成要素である多様財の価格（46）や伝統財の価格（47），および賃金水準（32）等が，公共インフラ政策の変化によってどのように変化するのかを考察する．

図7は，τを変化させた時，これら多様財の価格（46），伝統財の価格（47）および賃金水準（32）がどのように変動するのかを示したものである．

まず，中心地域の多様財価格指数（46a）がどのように変化するかを考える．中心地域への公共インフラの配分とが増えると，中心地域における財の輸送効率が改善される．これにより，中心地域に集中している多様財産業部門内において，多様財を中間財として取引する際のコストが引き下げられるため，中心地域の多様財価格指数が低下することとなる．そして，中間財の集約度aが大きいほど，多様財価格指数の低下はより一層顕著となる．

周辺地域の多様財価格指数（46b）が低下するか否かは，中心地域における多様財の生産効率の上昇と，周辺地域内における，輸送効率の低下のいずれが顕著かによって決まってくる．初期の公共インフラ配分が中心地域に偏ったものであれば，それ以上中心地域へ公共インフラを重点的に配分しても，中心地域における多様財部門の生産効率の上昇幅は，周辺地域における輸送効率の低下を補うほどには大きくはなり得ず，したがって周辺地域の多様財価格は上昇してしまう．しかしながら，aが非常に大きければ，初期の公共インフラの中心地域への配分が大きくとも，中心地域における多様財の生産効率の上昇幅は大きくなるため，周辺地域の多様財の価格指数は低下し得る．

以上から， $ \tau $ が上昇することによってもたらされる多様財生産効率上昇の便益は，両地域に等しく行き渡るものの，周辺地域では，それに当該地域の輸送効率が低下するという不利益が追加されるため，そこでも多様財価格水準が低下するか否かは不確定となること，しかしながら，a が大きければ，多様財生産効率上昇の便益がより大きくなるため，周辺地域の多様財価格指数も低下しうることが分かった．

しかしながら，人口移動は，各地域の絶対的な効用水準の変動ではなく，地域間の効用格差の変動に反応して起こる．したがって，τの上昇による人口移動を考える場合には，両地域にともに享受できるような多様財の生産効率上昇の便益は関係なく，周辺地域の輸送効率の低下といった，一方の地域のみに観察される効果に着目しなければならない．aの大きさは，両地域が享受することになる多様財の生産効率の上昇幅を規定するものの，周辺地域のみが被り，したがって人口移動の誘引となる，そこでの輸送効率の低下の幅は規定しない．したがって，人口水準は，aからは独立となるのである．

また，図7から分かるように，中心地域の輸送効率が改善することにより，中心地域の家計にとっては，多様財だけでなく，伝統財の価格（47）も小さくなる（周辺地域のそれに近づ