Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
として表せる。ただし、 $ q_{\zeta}=\sigma_{\zeta}^{2}/\sigma_{\varepsilon}^{2} $ ， $ q_{\kappa}=\sigma_{\kappa}^{2}/\sigma_{\varepsilon}^{2} $ ，

$$ g_{\phi}(\lambda;\rho,\lambda_{c})=\frac{1+\rho^{2}\cos^{2}\lambda_{c}-2\rho\cos\lambda_{c}\cos\lambda}{1+\rho^{4}+4\rho^{2}\cos^{2}\lambda_{c}-4(\rho+\rho^{3})\times\cos\lambda_{c}\cos\lambda+2\rho^{2}cos2\lambda} $$

である $ ^{2} $ 。これらの利得関数を表したものが図1である。図1の(a)はローパスフィルタとバンドパスフィルタの通過する周波数の利得の違いをあらわしている。この図ではトレンドの次数をm=2とサイクルの次数をn=2と固定して計算した。図の横軸は通過する周波数をしめしており、0に近いほどトレンドなどの低い周波数(長い周期)をあらわし、右へ行くほど高い周波数(短い周波数)をあらわす。この図から、赤色で示されたローパスフィルタはλが0.5より小さい低い周波数(周期が $ 2\pi/0.5=12.56 $ より長い周期)をもつ成分を通過させてそれより高い周波数は遮断することがわかる。青色のバンドバスはλが0.7から1.3程度の週波数を通過させているようである。また、図1の(b)と(c)はバンドパスフィルタの通過域が次数によってどのように変化するのかを表している。図1(b)ではサイクルの次数nを2に固定してトレンドの次数mを0、2、5と変えることでバンドパスフィルタの通過する周波数域がどのように変化するかを表している。この図よりトレンドの次数が大きくなるにつれてバンドパスフィルタの通過域は高周波数へ移行するのがわかる。図1の(c)では、トレンドの次数mを2に固定してサイクルの次数nを2、5、10と変えることでバンドパスフィルタの通過する周波数域がどのように変化するかを表している。この図よりサイクルの次数が大きくなるにつれてバンドパスフィルタの通過する周波数域が広くなることがわかる。

$$ \left[\begin{array}{c}c_{t}^{(j)}\\ c_{t}^{*(j)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c}1-\rho\cos\lambda_{c}L&-\rho\sin\lambda_{c}L\\ \rho\sin\lambda_{c}L&1-\rho\cos\lambda_{c}L\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c}c_{t}^{(j-1)}\\ c_{t}^{*(j-1)}\end{array}\right],j=2,\cdots,n. $$
## [図 1]

Harvey and Trimbur (2003, p251) は、一般化バターワースフィルタの利点を以下のようにあげている。

(a) カルマンフィルタを使って構造時系列モデル (2.3), (2.4), (2.5) 式を推定しているので、最適かつ一致性をもったサイクル成分とトレンド成分を抽出できる。さらに、時系列データの中心部だけでなく始端の部分と終端の部分も分離可能である。他方で、バンドパスフィルタの中で最も頻繁に利用されている Baxter=King フィルタは両サイドフィルタ (Two side Filter) であり、移動平均からサイクル成分を抽出しているので両端の部分の分離ができない。

(b) 各データに応じた一般化バターワースフィルタの最適なパラメータの値を推定しているので、それぞれの時系列データ固有の性質と整合性がもてるフィルタリングが可能である。他方で、HP フィルタや Baxter=King フィルタでは、データの個性にかかわらず、あらかじめ固定した値をパラメータとして入れている。

### 2.3 景気一致指数と鉱工業生産指数の推定

この一般化バターワースフィルタを使い、景気一致指数と鉱工業生産指数の推定をおこなった。推定期間は、景気一致指数では1980年1月から2009年11月である。この全期間の推定とは別に、3つの期間にわけた80年代、90年代、2000年代についてもそれぞれ推定した。また、鉱工業生産指数については、推定期間は1975年1月から2008年10月である。これも全期間以外に3つの期間に分けて(1)1975年から1989年、(2)90年代、(3)2000年代についても推定した。

2 系列のそれぞれの推定結果は表 1 と 2 および図 2 と 3 にある。トレンドの次数 m は、Harvey and Trimbur (2003) に倣い m = 2 に固定した。他方でサイクルの次数 n は 1 から 5 までの値をそれぞれ試している。表 1 の景気一致指数の推定結果および表 2 の鉱工業生産指数の推定結果を見ると、トレンドの次数が n = 1 から n = 5 の 5 つのモデルの中で、対数応数から判断すると、概ね次数 n = 2 のモデルのパフォーマンスが良いように思われる。また n = 2 の場合は推定した景気循環の周波数 $ (\lambda_{c}) $ から計算した周期 $ (2\pi/\lambda_{c}) $ についても比較的に安定した値であるように思われる。他方で、景気一致指
数における n = 4, 5 の場合は景気循環の周期 $ (2\pi/\lambda_{c}) $ の推定値は著しく長い (2170 年や 115 年) ので、これをもって推定値とはできない。したがって、サイクルの次数を n = 2 とみなすと、この表 1 と 2 の次数 2 の結果から、景気循環の周期は推定期間の全期間 (1980 年から 2009 年) の 29 年間で約 7.5 年～8.4 年であり、80 年代では 9.1 年～11.5 年、90 年台では 5.6 年～8.3 年、2000 年代では 4.4 年～5.2 年と年代が上がるにつれて景気循環の周期が短くなっているようである。 $ ^{3} $

図２と図３は、それぞれ景気一致指数と鉱工業生産指数のトレンドおよびサイクルが描いてある。パネル(a)から(e)まで次数nが１から５まで順次あがっているが、この図からは次数n＝２でサイクルにおける高周波数のノイズが除去されており、次数n＝５のサイクルと大差ないようである。これらの図２と３からも上の２系列データにおいてはサイクルの次数はn＝２で十分であるように思われる。

[ 表 1 — 表 2 ]

[図 2 — 図 3 ]

## 3 位相偏移 (Phase Shifts)

### 3.1 位相偏移モデル

Runstler (2004) は、Harvey and Koopman (1997) の多変量構造時系列モデルを応用して、各系列間でどの程度の先行・遅行があるのかを測る尺度である位相偏移 (Phase Shift) の識別法 (推定法) を開発した。さらに、次節で触れるように、Valle e Azevedo, Koopman and Rua (2006) はこの位相偏移モデルを、前節で説明した Harvey and Trimbur (2003) の単変量の一般化バターワースフィルタに組み込み、多変量バンドパスフィルタモデルを開発した。

$ ^{3} $ 表1にあるように、景気一致指数の次数4と5の周期 $ (2\pi/\lambda_{c}) $ の推定値が、次数4では2170年、次数5では114.9年という周期とは思えない長い値となっている。これは景気一致指数のトレンドがほぼ水平のために、図1でみたバンドパスフィルタの利得関数が次数が上がるにつれて0の方向へバンドを広げたものと思われる。以上のように、各系列のトレンドの特性も考慮して、サイクルの次数nを決定しなくてはいけないことが、今回の検証結果から判明した。
本節では、次節の多変量バンドパスフィルタモデルに進む前に、まず位相偏移モデルについて解説する。位相偏移モデルは、以下の(3.1)式のように表すことができる。この式では $ y_{1t} $ はベンチマーク(基準)となる時系列データ(変数)とすると、パラメータ $ \xi_{2}\lambda_{c} $ は変数 $ y_{2t} $ の変数 $ y_{1t} $ からの位相のずれ幅(Phase Shift)を表すことになる。

$$ \left[\begin{array}{l}{{{y_{1t}}}} \\{{{y_{2t}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{{{\tau_{1t}}}} \\ \\{{{\tau_{2t}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c c}{{{1}}}&{{{0}}} \\ \\{{{\delta_{2}\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{{{c_{t}}}} \\ \\{{{c_{t}^{*}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}{{{\varepsilon_{1t}}}} \\ \\{{{\varepsilon_{2t}}}}\end{array}\right], $$

ただし、 $ c_{t} $ と $ c_{t}^{*} $ は前節の一般化バターワースフィルタで見た1対のサイクル成分であり、 $ \lambda_{c} $ は景気循環の周波数、 $ \xi_{i} $ は位相偏移(単位は月数)を表す。 $ \xi_{i}>0 $ ならば $ y_{2t} $ は先行(リード)系列であり、 $ \xi_{i}<0 $ ならば遅行(ラグ)系列を意味する。係数が $ \delta_{i}<0 $ ならば $ y_{2t} $ は $ y_{1t} $ に対して逆サイクルである。また $ \cos(\xi_{i}\lambda_{c})=-\cos(\pi-\xi_{i}\lambda_{c}) $ である特性を生かすと、 $ \xi_{i} $ の範囲は $ -\frac{1}{2}<\xi_{i}\lambda_{c}<\frac{1}{2}\pi $ の中で十分であることがわかる。これについては図4を使いながら以下説明することにしよう。

2つの変数 $ y_{1t} $ と $ y_{2t} $ の位相偏移の関係と循環図 (散布図) は図4に示されている。図4の(a)の図は、位相偏移がない状態、すなわち $ \xi_{i}\lambda_{c}=0 $ のケースであり、変数 $ y_{2t} $ は $ y_{1t} $ と一致している。このとき循環図も右上がりの線として描ける。(b) は位相偏移が $ \xi_{i}\lambda_{c}=\pi/4 $ であり、 $ y_{2t} $ が先行している。この場合の循環図は、 $ y_{1} $ を横軸にとり $ y_{2} $ を縦軸にとると右回り (時計周り) となる。(c) も (d) も (b) と同様である。ただ位相偏移 $ \xi_{i}\lambda_{c} $ の大きさが大きくなっているだけである。(e) は位相偏移が $ \xi_{i}\lambda_{c}=-\pi $ となって $ y_{2t} $ が $ y_{1t} $ に対して逆サイクルとなっている。循環図を見ると右下がりになっている。(f) は位相偏移が $ \xi_{i}\lambda_{c}=-\pi/4 $ であり、 $ y_{2t} $ が遅行している。この場合の循環図は、 $ y_{1} $ を横軸にとり $ y_{2} $ を縦軸にとると左回り (反時計周り) となる。(g) も (h) も (b) と同様である。ただ位相偏移 $ \xi_{i}\lambda_{c} $ の大きさが大きくなっているだけである。

ここで、図４の(d)と(f)を見比べてもらうとわかるように、２つの図の $ y_{2t} $ の位相偏移は同じであり、相違点はサイクルか逆サイクルかである。これから、先行の大きさが $ \pi/2<\xi_{i}\lambda_{c}<\pi $ の範囲にあると $ y_{2} $ が遅れをもつ逆サイクルと同じ形状となり、係数δが負の値であり位相偏移が $ -\pi/2<\xi_{i}\lambda_{c}<0 $ の範囲のケースと同じであることがわかる。同様に、図４の(h)と(b)についても２つの図の $ y_{2t} $ の位相偏移は同じであり、相違点はサイクルか逆サイクルかである。これから、遅行の大きさが $ -\pi<\xi_{i}\lambda_{c}<-\pi/2 $ の範囲にあると $ y_{2} $ が先行をもつ逆サイクルと同じ形状となり、係数δが負の値であり位相偏移が $ 0<\xi_{i}\lambda_{c}<\pi/2 $ の範囲のケースと同じであることがわかる。したがって、前述したように $ \delta_{i} $ の値が正と負もとれるすると $ \xi_{i} $ の範囲が $ -\frac{1}{2}<\xi_{i}\lambda_{c}<\frac{1}{2}\pi $ であればすべての先行、遅行の位相偏移のケースを示すことができる。
## [図 4]

### 3.2 在庫循環への応用

#### 3.2.1 在庫循環図と時系列データ

図5には、在庫水準と生産水準を表す2変数による在庫循環図が描かれている。図5(a)および(b)のように、在庫循環図は反時計回りをしていて左側に傾いているので、図4の(h)のケース（あるいは図4の(b)で $ y_{2} $ の値を反転させたケース）に該当する。すなわち、在庫水準は生産水準より遅行している正サイクル（あるいは先行している逆サイクル）である。これは位相偏移が $ 0<\xi_{i}\lambda_{c}<\pi/2 $ の範囲にあり、係数 $ \delta_{i} $ が負であることを意味している。

図 5(c) は、この 2 変数の在庫循環の関係を時系列で表したイメージであり、在庫水準は生産水準より $ \xi\lambda_{c} $ が $ +\pi/2 $ ラジアン (+90 度) の位相偏移した (すなわち先行した) 逆サイクルとして描いてある。図 5(d) はこの生産指数と在庫率指数の 2 系列の実際のデータをグラフとして表したものであるが、この実際データが図 4(c) の位相偏移のイメージ図と非常に近いことがわかる。

## [図 5]

#### 3.2.2 位相偏移モデルによる在庫循環の推定

この在庫率指数と生産指数の2変数間の位相のズレ幅(偏移)を、以下の式(3.2)のような位相偏移(Phase Shifts)モデルを使って推定しよう。推定モデルはValle e Azevedo, Koopman and Rua (2006)のモデルを採用し、次数はトレンドをm=2としサイクルはn=2またはn=4の2つのケースを扱う。なお、このモデルの詳細については次の4節で説明する。

$$ \left[\begin{array}{l}{{{y_{1t}}}} \\{{{y_{2t}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{{{\tau_{1t}}}} \\ \\{{{\tau_{2t}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c c}{{{1}}}&{{{0}}} \\ \\{{{\delta_{2}\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{{{c_{t}}}} \\ \\{{{c_{t}^{*}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}{{{\varepsilon_{1t}}}} \\ \\{{{\varepsilon_{2t}}}}\end{array}\right], $$
ここで $ y_{1t} $ は鉱工業生産指数であり、 $ y_{2t} $ は在庫率指数である。係数 $ \xi_{2} $ は在庫率指数 $ y_{2} $ の鉱工業生産指数 $ y_{1} $ に対する位相のズレ幅 (Phase Shift) である。推定期間は 1975 年 1 月～2008 年 10 月までの約 34 年間である。またこの推定期間を 3 つに分けた (1) 1975 年 1 月～1989 年 12 月、(2) 1990 年 1 月～1999 年 12 月、(3) 2000 年 1 月～2008 年 10 月についても推定をおこなった。なお、推定にあたってパラメータ $ \rho = 0.95, \lambda_{c} = 0.065 $ (周期 $ 2\pi / \lambda_{c} = 9.6 $ ヶ月) を固定して、 $ \xi_{2} $ と $ \delta_{2} $ を推定した。これらの値は、2 節で推定した 1 変数モデルの推定結果に基づいている (表 1 および表 2)。

各推定期間における係数 $ \xi_{2} $ の推定値は、表 3 のとおりである。確率サイクルの次数を n=2 とした場合、推定期間が変わっても係数 $ \xi_{2} $ の値は安定している (9.6 ヶ月～13.3 ヶ月の先行)。他方で、次数が n=4 の場合は推定期間が変わると係数 $ \xi_{2} $ も大きく変わるのが分かる (1.9 ヶ月～9.1 ヶ月の先行)。すなわち、位相偏移 $ \xi_{2} $ の特定化は次数 n の値に大きく依存するので難しいようである。

つぎに、年代ごとに位相のズレ幅が変化するのか推定結果を見てみよう。推定期間を80年代、90年代、2000年代と分けて、次数n=2の係数ξ₂の推定値を見ると、在庫率指数は11.2ヶ月から9.6ヶ月までの先行という結果がしめされ、年代がかわっても2つの変数間の関係には大きな変化がないことが分かる。

図6の(a)は次数が(2,2)の場合の2変数のそれぞれの実データとトレンド、サイクルを、(b)は次数が(2,4)の場合のそれらを描いてある。サイクル次数が2と4と違っても、サイクル成分の形状は変わらないようである。また、(a)と(b)のどちらの図を見ても、在庫率指数のサイクル(赤線)が生産指数のサイクル(青線)に対して先行した逆サイクルであることが分かる。

[ 表 3 ]

[図6]
## 4 モデルベース型多変量バンドパスフィルタ

### 4.1 多変量構造時系列モデル

Valle e Azevedo, Koopman and Rua (2006) は、Runstler(2004) の位相偏移モデルを、2節で説明した Harvey and Trimbur (2003) の単変量の一般化バターワースフィルタに組み込み、多変量バンドパスフィルタモデルを開発した。この多変量バンドパスフィルタモデルは、(m, n) の次数をもつ多変量構造時系列モデルとして表現でき、以下の (4.1) 式とローパスフィルタとなる (4.2) 式、バンドパスフィルタとなる (4.3) 式の 3 本から構成される。

## (1) N 変量の観測方程式

$$ \left[\begin{array}{c}{{{y_{1t}}}} \\{{{y_{2t}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{y_{N t}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{{{\tau_{1t}^{(m)}}}} \\{{{\tau_{2t}^{(m)}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\tau_{N t}^{(m)}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c c}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{\delta_{2}\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\delta_{N}\cos(\xi_{N}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{N}\sin(\xi_{N}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{{c_{t}^{(n)}}}} \\{{{c_{t}^{*(n)}}}} \\\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{{{\varepsilon_{1t}}}} \\{{{\varepsilon_{2t}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\varepsilon_{N t}}}}\end{array}\right], $$

(2) m 次の確率トレンドモデル (Lowpass Filter)

$$ \tau_{t}^{(1)}=\tau_{t-1}^{(1)}+\zeta_{t},\quad\tau_{t}^{(i)}=\tau_{t-1}^{(i)}+\tau_{t}^{(i-1)},\quad\zeta_{t}\sim N(0,\sigma_{\zeta}^{2}),\quad i=1,2,\cdots,m, $$

(3) n 次の確率サイクルモデル (Bandpass Filter)

$$ \left[\begin{array}{c}c_{t}^{(1)}\\ c_{t}^{*(1)}\end{array}\right]=\rho\left[\begin{array}{c c}\cos\lambda_{c}&\sin\lambda_{c}\\ -\sin\lambda_{c}&\cos\lambda_{c}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c_{t-1}^{(1)}\\ c_{t-1}^{*(1)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\kappa_{t}\\ \kappa_{t}^{*}\end{array}\right],\quad\kappa_{t}\sim N(0,\sigma_{\kappa}^{2}) $$

$$ \left[\begin{array}{c}c_{t}^{(j)}\\ c_{t}^{*(j)}\end{array}\right]=\rho\left[\begin{array}{c c}\cos\lambda_{c}&\sin\lambda_{c}\\ -\sin\lambda_{c}&\cos\lambda_{c}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c_{t-1}^{(j)}\\ c_{t-1}^{*(j)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}c_{t-1}^{(j-1)}\\ c_{t-1}^{*(j-1)}\end{array}\right],\quad j=1,2,\cdots,n, $$

ただし、$\lambda_{c}$ は景気循環の周波数、$\xi_{i}$ は位相偏移 (単位は月数) を表す。$\xi_{k}>0$ ならば、$y_{kt}$ は $y_{1t}$ に対して先行 (リード) 系列であり、$\xi_{k}<0$ ならば遅行 (ラグ) 系列である。また、$\rho$ は振幅の減衰速度、$2\pi/\lambda_{c}$ は周期である。$^{4}$
### 4.2 先行・一致・遅行の個別系列と景気一致指数の2変数モデル

4.1 節の多変量バンドパスフィルタモデル (4.1), (4.2), (4.3) を使って、景気一致指数 (一致 CI) をベンチマーク $ y_{1t} $ として、12 先行系列、11 一致系列、6 遅行系列の計 29 の個別系列の位相のズレ幅 (偏移) を推定した。推定モデルは、式 (4.1) を 2 変数とした式 (4.4) に置き換えたモデルであり、次数はトレンドの次数を m=2、サイクルの次数を n=2 とした次数 (2,2) の多変量構造時系列モデルである。推定期間は、1980 年 1 月-2009 年 11 月である。

$$ \left[\begin{array}{l}{{{y_{1t}}}} \\{{{y_{2t}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{{{\tau_{1t}}}} \\ \\{{{\tau_{2t}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c c}{{{1}}}&{{{0}}} \\ \\{{{\delta_{2}\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{{{c_{t}}}} \\ \\{{{c_{t}^{*}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}{{{\varepsilon_{1t}}}} \\ \\{{{\varepsilon_{2t}}}}\end{array}\right], $$

ここで、 $ y_{1t} $ にベンチマークてせある景気一致指数をおき、 $ y_{2t} $ に29系列の各個別系列をそれぞれ置いて推定する。また、推定に際しては、係数 $ \rho = 0.95, \lambda_{c} = 0.065 $ （これは景気循環の周期が96ヶ月（8年） $ \left(=2\pi/\lambda_{c}\right) $ に相当する。）と設定した。 $ ^{5} $

この位相偏移 $ \xi_{2} $ の推定結果は、表4から表6にある。表4は景気一致系列の11系列の推定結果である。この表4によると、11系列のうち、9系列が景気一致指数より先行しており、特に労働関係の2変数、C11:有効求人倍率は $ \xi_{2}=+15.7 $ ヶ月の先行、C5:所定外労働時間の $ \xi_{2}=+9.7 $ ヶ月の先行という推定値であり、位相偏移 (ズレ幅) が際立っている。また、企業関係の変数では営業利益の11.5ヶ月の先行、卸売りの商業販売額の10ヶ月の先行も特筆すべきである。他方で、C6:投資財出荷指数の7.5ヶ月の遅行 ( $ \xi_{2}=-7.5 $ )、C10:中小企業売上高の5.4ヶ月の遅行 ( $ \xi_{2}=-5.4 $ ) にも注目すべきである。表6にある遅行系列のLG3:法人企業設備投資は21.7ヶ月の遅行を持っていることからも、投資関係の系列は一致系列とみなすよりも遅行系列と考えた方がよいかもしれない。また、C9:営業利益などの約1年の先行、C10:中小企業売上高の約半年の遅行という結果は、景気変動がまず大企業の業績改善が先導しそれが中小企業に伝播するというメカニズムを裏付けるものとなるだろう。

表 5 には景気先行系列の 12 系列の推定結果が記してある。実質機械受注 (3.9 ヶ月の遅行) 以外の系列は先行であった。ただし、L9:長短金利差は 27.5 ヶ月 (2.3 年) の先行と
して考えるよりも20.5ヶ月の遅行の逆サイクルとして見なす方が妥当であろう。なぜならば、サイクルの先行と遅行の位相偏移(ズレ幅)は周期の大きさ96ヶ月 $ (=2\pi/\lambda_{c}) $ の1/4の24ヶ月以内で表現できるので、本モデルの観点からこれを超えた値で表現すべきでないからである。図7には、L9:長短金利差とL10:東証株価指数の推定結果をグラフとした。図7の(a)から景気後退期には長短金利差はその乖離幅を小さくし拡張期には長短金利差は拡大する。他方で、図6の(c)(d)から株価の収益率は景気後退期にはマイナスをとり、拡大期にはプラスの値となる。これら2つの系列の循環図は図4の(c)に該当する。

表 6 には、景気遅行系列の 6 系列の推定結果が記してある。このうち 3 つの系列が景気一致指数より先行している。さらに、LG1: 第 3 次産業活動指数は 16.7 ヶ月の先行、LG2: 常用雇用指数は 22.1 ヶ月の先行と非常に大きな値である。他方で、LG3: 法人企業設備投資は 21.7 ヶ月の遅行、LG5: 法人税収入の 15.2 ヶ月の遅行、LG6: 完全失業率の 15.2 ヶ月の遅行はそれぞれ一年以上の遅行であることがわかった。これら 6 系列の推定結果は、図 8 に描いてある。

[ 表4 — 表6 ]

[図 7—8]

### 4.3 景気先行・一致・遅行の3指数の3変数モデル

次に、4.1節の多変量バンドパスフィルタモデル(4.1),(4.2),(4.3)を使って、景気一致指数をベンチマーク $ y_{1t} $ として、景気先行指数、景気遅行指数の3つの景気指数の位相偏移を推定した。推定モデルは、式(4.1)を3変数とした式(4.5)に置き換えたモデルであり、次数はトレンドの次数をm=2、サイクルの次数をn=2およびn=4とした次数(2,2)と(2,4)の2種類の多変量構造時系列モデルである。推定期間は、1980年1月-2009年11月とした。
$$ \left[\begin{array}{l}{{{y_{1t}}}} \\{{{y_{2t}}}} \\{{{y_{3t}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{{{\tau_{1t}}}} \\ \\{{{\tau_{2t}}}} \\ \\{{{\tau_{3t}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c c}{{{1}}}&{{{0}}} \\ \\{{{\delta_{2}\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}} \\ \\{{{\delta_{3}\cos(\xi_{3}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{3}\sin(\xi_{3}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{{{c_{t}}}} \\ \\{{{c_{t}^{*}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}{{{\varepsilon_{1t}}}} \\ \\{{{\varepsilon_{2t}}}} \\ \\{{{\varepsilon_{3t}}}}\end{array}\right], $$

ここで、 $ y_{1t} $ に景気一致指数、 $ y_{2t} $ に景気先行指数、 $ y_{3t} $ に景気遅行指数を置いて推定する。また、推定に際しては、係数 $ \rho = 0.95, \lambda_{c} = 0.065 $ （これは景気循環の周期が 96 ヶ月 (8 年) $ (=\frac{2\pi}{\lambda_{c}}) $ に相当する。）と設定した。

推定結果は表7のとおりであり、次数が(2.2)の場合では景気先行指数は景気一致指数より11.3ヶ月ほど先行しているが、景気遅行指数は1.6ヶ月ほど遅行である。しかし、次数が(2,4)の場合では先行指数は3.8ヶ月の先行となり、遅行指数は8.5ヶ月の遅行となる。これらの推定結果は図9にある。図9の(a)は次数(2,2)であり、(b)は次数(2,4)の場合である。(a)の図から一致指数と遅行指数のサイクルは位相偏移は-1.6ヶ月であるがその形状はほぼ一致しているのが見て取れる。他方で(b)の図から遅行指数が一致指数より遅れを持っているのがわかる。

[ 表 7 ]

[図9]

### 4.4 景気動向指数 (一致 11 系列) の 11 変数モデル

最後に、4.1節の多変量バンドパスフィルタモデル(4.1),(4.2),(4.3)を使って、鉱工業生産指数をベンチマーク $ y_{1t} $ として、景気一致系列の11系列のそれぞれの位相偏移を推定した。推定モデルは、式(4.1)を3変数とした式(4.6)に置き換えたモデルであり、次数はトレンドの次数をm=2、サイクルの次数をn=2とした次数(2,2)の多変量構造時系列モデルである。推定期間は、1975年1月-2008年10月である。
$$ \left[\begin{array}{c}{{{y_{1t}}}} \\{{{y_{2t}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{y_{11,t}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{{{\tau_{1t}}}} \\{{{\tau_{2t}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\tau_{11,t}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c c c}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{\delta_{2}\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\delta_{11}\cos(\xi_{11}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{11}\sin(\xi_{11}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{{c_{t}}}} \\{{{c_{t}^{*}}}} \\{{{c_{t}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{{{\varepsilon_{1t}}}} \\{{{\varepsilon_{2t}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\varepsilon_{11,t}}}}\end{array}\right] $$

ここで、 $ y_{1t} $ に鉱工業生産指数、以下同様に $ y_{2t}\cdots y_{11,t} $ にその他の景気一致系列の 10 系列を置いて推定する。また、推定に際しては、係数 $ \rho=0.95,\lambda_{c}=0.065 $ （これは景気循環の周期が 96 ヶ月 (8 年) $ =(2\pi/\lambda_{c}) $ に相当する。）と設定した。

推定結果は表8にある。11系列のすべてが-0.3ヶ月(遅行)から0.4ヶ月(先行)に収まっているが、これは図10の(b)をみれば分かるように、推定したトレンドが共通サイクルに合わせて大きく可変した結果であると考えられるので、うまく位相偏移を推定しているとは言いがたい。つまり、個々の系列でサイクルの振幅の大きさも違えば周期も違うと考えられるので、ここから共通サイクル成分を抽出するのはいささか乱暴なのかもしれない。また、推定対象のデータを11系列まで拡張する場合には、(4.2)式のトレンドモデルをどのように設定するかという点もキーポイントになるだろう。すでに日本経済は幾たびの構造変化をトレンド成分でも起こしていると想定されるので、この構造変化をトレンドモデルへどのように組み込むかが日本のデータへ適用する際の課題となろう。

最後に図 10(a) には、これら 11 系列から推定した共通サイクル成分と景気一致指数の時系列が描いてある。これら 2 つの値はほぼ並列した動きをしているのがわかる。また、共通サイクル成分は一致指数と比較するとトレンド成分が除去されているので水準を維持しているのが見て取れる。

[ 表 8 ]

[図 10]
## 5 結論と課題

本稿の目的は、多変量バンドパスフィルタの日本のマクロ経済変数への適用可能性を検証することにあった。多変量バンドパスフィルタの特徴は、一つには多数のマクロ時系列データからある特定の周期をもつ共通サイクルを抽出することができる事であり、二つ目は、各系列データのサイクル成分が共通サイクルと比較してどの程度の期間の先行性あるいは遅行性を有するのか、この尺度である位相偏移の値を推定することができる事である。

本稿では、まず Harvey and Trimbur (2003) に従い、カルマンフィルターを利用した Unobservable component (UC) model により、景気一致指数や鉱工業生産指数などの月次マクロ経済変数に対してバンドパスフィルタをかけてサイクル成分の抽出をおこなった。このモデルは一般化バターワースフィルタ (Generalized Butterworth Filter) と呼ばれるモデルベースのフィルタリングの手法であった。このフィルタの利点として、以下の2点が (Harvey and Trimbur, (2003, p251) によってあげられている。

(1) カルマンフィルタを使い構造時系列モデルから推定しているので、最適かつ一致性をもったサイクル成分とトレンド成分に分離できる。さらに、データの始端と終端の部分もフィルタリングが可能である。(バンドパスフィルタの B=K フィルタはデータの始端と終端の部分は分離できない。)

(2) モデルベースのフィルタなので、個々のデータに応じた最適かつ一致性をもつパラメータが推定でき、これからサイクルとトレンドにフィルタリングできる。(HP フィルタは推定ではなく予め固定したスムージングパラメータを設定する。)

さらに、本稿では Valle e Azevedo, Koopman and Rua (2006) により、この単変量バンドパスフィルタを多変量に拡張した UC モデルを利用して、位相偏移 (先行・遅行の大きさ) の観点から在庫循環図の分析、および景気動向指数を構成する個別の 29 系列について景気一致指数と比較した位相偏移の推定を行った。また、景気一致系列 11 系列から共通サイクルの抽出とこれらの個別系列間の位相偏移の推定も行った。これらの検証結果から、トレンドが複数回の構造変化を経た日本のマクロ変数へ適用する場合は、トレンドの除去方法についての改良が必要であることが示唆された。

これらの単変量および多変量バンドパスフィルタのモデルを検証したところ、次の2点が確認された。

(1) サイクルの次数 n を n=2 から n=5 まで推定したところ、その分離されたサイクルの形状は大きくは変化しない。しかし景気循環の周波数 $ \lambda_{c} $ あるいは周期 $ 2\pi/\lambda_{c} $ の推定値は大きく変化する。特に n=4 より大きくなると推定された周期 $ 2\pi/\lambda_{c} $ の値は景
気循環の一般的にコンセンサスを得ている値から大きく乖離してしまう。

(2) サイクルの次数 n が大きくなるにつれて、このサイクルのショック $ \kappa_{t} $ の分散 $ \sigma_{\kappa}^{2} $ の値は急激に小さくなるので、これを最尤法で推定するのは難しい。さらに、この分散の値によってサイクル成分の形状も大きく変化してしまう。安定的に推定するにはサイクルの次数は n=2 が良いようである。

本モデルを日本経済へ適用するにあたり、以下の3点について今後の課題として考察する必要があると考える。

(1) 多変量の系列から共通サイクル (Common Cycles) を推定する場合には、個々の系列でばらばらにトレンドを特定化するのではなく、共通トレンド (Common Trends) (blanced growth または共和分をもつトレンド) の可能性についても考慮して推定してみる必要がある。これについては Carvalho, Harvey and Trimbur(2007) が検証しているが、日本のマクロ変数においてはトレンドに複数回の構造変化が生じて屈折している可能性があり、単純にかれらのモデルを日本へ適用するのは難しい。なお、トレンドへの構造変化を付加するモデルについての考察は、飯星 (2010) を参照のこと。

(2) 多変量の分離法を行う際には、共通サイクルと共通トレンド成分のベンチマークとして、主成分分析により抽出した因子を参考とすべきである。この分析手法と推定結果については、飯星 (2009) を参照のこと。

(3) マクロ変数の周期と位相偏移を考慮した本モデルを、DGE-VAR モデル (渡部, 内閣府 DP, 2009) および FA-VAR モデル (Stock and Watson) への適用可能性についても検証すべきである。なぜならば、景気循環とトレンド (経済成長成分) の分離方法には統計学的手法と経済学的手法の 2 種類があり、本稿で扱ったバンドパスフィルタのモデルは前者であった。DGE-VAR モデルおよび FA-VAR モデルはこの 2 種類のアプローチの折衷モデルであり、DGE モデルのようなマクロ経済学モデルを取り入れることで、景気循環とトレンドの成分の特定化に一層の寄与するのではないかと思われる。

## 6 参考文献

[1] Carvalho, Harvey and Trimbur (2007) "A Note on Common Cycles, Common Trends, and Convergence," Journal of Business and Economic Statistics, 25(1) 12-20.

[2] Gomez, V. (2001) "The Use of Butterworth Filters for Trend and Cycle Estimation in Economic Time Series," Journal of Business and Economic Statistics, 19(3) p365-
[3] Harvey and Jaeger (1993) "Detrending, Stylized Facts and the Business Cycle," Journal of Applied Econometrics, 8, 231-247.

[4] Harvey and Trimbur (2003) "General Model-Based Filters for Extracting Cycles and Trend in Economic Time Series," Reviews of Economics and Statistics, 85(2) 244-255.

[5] Runstler (2004) "Modelling Phase Shifts among Stochastic Cycles," Econometric Journal, 7, p232-248.

[6] Valle e Azevedo, Koopman, and Rua (2006) "Tracking the Business Cycle of the Euro Area: A Multivariate Model-Based Bandpass Filter," Journal of Business and Economic Statistics, 24(3) 278-290.

[7] 飯星博邦 (2009)『主成分分析によるマクロ経済パネルデータの共通ファクターの抽出とその利用』内閣府経済社会総合研究所ディスカッションペーパー No.219

[8] 飯星 博邦 (2010) 『マクロ経済変数のトレンドとサイクルの分離法の検証 - 日本の実質 GDP と失業率への応用』 内閣府経済社会総合研究所ディスカッションペーパー掲載予定

[9] 渡部 敏明 (2009)『DSGE-VAR モデルの日本のマクロデータへの応用』 内閣府経済社会総合研究所ディスカッションペーパー No.225
表 1. 一般化バターワースフィルタによる景気一致指数の推定結果

次数n	1980年1月～2009年11月	1980年1月～1989年12月	1990年1月～1999年12月	2000年2月～2009年11月
周期(2π/λc)	周期(2π/λc)	周期(2π/λc)	周期(2π/λc)
(月数)	年数	对数尤度	(月数)	年数	对数尤度	(月数)	年数	对数尤度	(月数)	年数	对数尤度
1	81.9	6.8	-443.9	95.2	7.9	-132.1	71.5	5.95	-145.6	50.4	4.2	-158.5
2	90	7.5	-405.2	109.6	9.1	-118.9	99.4	8.3	-131.5	52.7	4.4	-144.9
3	182.2	15.2	-413.1	233.8	19.5	-128	202.2	16.8	-130.6	84280	7023	-145.3
4	26050	2170	-414.8	13863.3	1155.3	-124.8	191.7	16	-142.6	226.2	18.8	-152.1
5	1379.6	114.9	-416.6	452.5	37.7	-129.5	2848.6	237	-146.99	158.5	13.2	-161.5

注）トレンドの次数 m=2 と固定して推定。

表2. 一般化バターワースフィルタによる鉱工業生産指数の推定結果

次数n	1975年1月～2008年10月	1975年1月～1989年12月	1990年1月～1999年12月	2000年2月～2008年10月
周期(2π/λc)	周期(2π/λc)	周期(2π/λc)	周期(2π/λc)
(月数)	年数	对数尤度	(月数)	年数	对数尤度	(月数)	年数	对数尤度	(月数)	年数	对数尤度
1	77	6.4	-624.6	52.5	4.4	-232.9	57.8	4.8	-188.8	81.3	6.8	-180.9
2	101.1	8.4	-605.7	138.5	11.5	-228.8	66.8	5.6	-185.9	61.9	5.2	-172.9
3	185.9	15.5	-604	202.6	16.9	-229.5	6334.9	527.9	-189.8	61.7	5.1	-170.6
4	316.3	26.4	-603.6	165	13.8	-229.7	25140.9	2095.1	-197.5	70.7	5.9	-172.9
5	224.8	18.7	-603.3	147.3	12.3	-229.7	371863	30988.6	-206.2	80.3	6.7	-177.4

注）トレンドの次数 m=2 と固定して推定。
表 3 在庫率指数の生産指数に対する位相偏移(Phase Shift)

次数n	1975年1月～2008年10月位相偏移（ξ）	1975年1月～1989年12月位相偏移（ξ）
（月数）	对数尤度	（月数）	对数尤度
2	13.3个月	先行	-1687.1	10.7个月 先行 -785.6
4	5.6个月	先行	-1890.6	8.9个月 先行 -865.8
次数n	1990年1月～1999年12月位相偏移（ξ）	2000年1月～2008年10月位相偏移（ξ）
（月数）	对数尤度	（月数）	对数尤度
2	11.2个月	先行	-465.3	9.6个月 先行 -427.9
4	1.9个月	先行	-548.7	9.1个月 先行 -437.2

注） $ \rho=0.95 $ ，周波数 $ \lambda=0.065 $ （周期 $ 2\pi/\lambda=96 $ 个月間）と固定して推定

表 4. 景気一致系列の一致 CI に対する位相偏移 （次数(2,2)のモデルの場合）

変数	1980年1月～2009年11月位相のずれ( $ \xi $ )(月数)
C1, 鉱工業生産指数	4.1	先行
C2: 生産財出荷指数	5.7	先行
C3: 大口電力使用量	1.2	先行
C4: 稼働率指数	0.7	先行
C5: 所定外労働時間	9.7	先行
C6: 投資財出荷指数	-7.5	遅行
C7: 商業販売額(小売業)	8.8	先行
C8: 商業販売額(卸売業)	10.1	先行
C9: 営業利益	11.5	先行
C10: 中小企業売上高	-5.4	遅行
C11: 有効求人倍率	15.7	先行

注）$\rho=0.95$, 周波数 $\lambda=0.065$ （周期 $2\pi/\lambda=96$ ヶ月間）と固定して推定

$- \pi/2 < \xi \lambda < \pi/2$ であるので、$-24 < \xi < 24$（ヶ月）
表 5. 景気先行系列の一致 CI に対する位相偏移 (次数 (2, 2) のモデルの場合 )

変数	1980年1月～2009年11月位相のずれ(ξ)
(月数)	サイクル
L1:最終需要財在庫率指数	10	先行	逆
L2:鉱工業生産財在庫率指数	8.1	先行	逆
L3:新規求人数	11.6	先行
L4:実質機械受注	-3.9	遅行
L5:新設住宅着工床面積	21.1	先行
L6:耐久消費財出荷指数	9.8	先行
L7:消費者態度指数	18.6	先行
L8:日経商品指数(42種)	14.1	先行
L9:長短金利差	-20.5(または27.5)	遅行(先行)	逆(正)
L10:東証株価指数	23.6	先行
L11:投資環境指数	16.9	先行
L12:中小企業売上(見通LDI)	10.8	先行

注）$\rho=0.95$, 周波数 $\lambda=0.065$ （周期 $2\pi/\lambda=96$ ヶ月間）と固定して推定

$- \pi/2 < \xi \lambda < \pi/2$ であるので、$-24 < \xi < 24$（ヶ月）

表 6. 景気遅行系列の一致 CI に対する位相偏移 (次数 (2, 2) のモデルの場合 )

変数	1980年1月～2009年11月位相のずれ( $ \xi $ )(月数)	サイクル
LG1: 第3次産業活動指数	16.7	先行
LG2: 常用雇用指数	22.1	先行
LG3: 実質法人企業設備投資	-21.7	遅行
LG4: 家計消費支出	1.5	先行
LG5: 法人税収入	-15.2	遅行
LG6: 完全失業率	-15.2	遅行 逆

注）$\rho=0.95$, 周波数 $\lambda=0.065$ （周期 $2\pi/\lambda=96$ ヶ月間）と固定して推定

$- \pi/2 < \xi \lambda < \pi/2$ であるので、$-24 < \xi < 24$（ヶ月）
表 7. 3 変数モデルによる景気動向 3 指数の推定結果

次数	变数	1980年1月～2009年11月位相偏移（ξ）（月数）
(2,2)(2,4)	景気先行指数	11.3先行3.8先行
(2,2)(2,4)	景気遅行指数	-1.6遅行-8.5遅行

注）$\rho=0.95$, 周波数 $\lambda=0.065$ （周期 $2\pi/\lambda=96$ ヶ月間）と固定して推定

$- \pi/2 < \xi \lambda < \pi/2$ であるので、$-24 < \xi < 24$（ヶ月）

表 8. 景気一致個別 11 系列モデルの推定結果，（次数（2,2）のケース）

变数	1975年1月～2008年10月位相偏移（ξ）(月数)
C1, 鉱工業生産指数	0 一致
C2: 生産財出荷指数	0 一致
C3: 大口電力使用量	0.2 先行
C4: 稼働率指数	0.2 先行
C5: 所定外労働時間	0.4 先行
C6: 投資財出荷指数	-0.1 遅行
C7: 商業販売額（小売業）	-0.2 遅行
C8: 商業販売額（卸売業）	-0.3 遅行
C9: 営業利益	0 一致
C10: 中小企業売上高	0 一致
C11: 有効求人倍率	0 一致

注）$\rho=0.95$, 周波数 $\lambda=0.065$ （周期 $2\pi/\lambda=96$ ヶ月間）と固定して推定 $-\pi/2<\xi\lambda<\pi/2$ であるので、$-24<\xi<24$（ヶ月）
図 1. 一般化バターワースフィルタの利得関数 (各パラメータについて qκ=qζ=1, ρ=0.9, λc=π/4 と設定して計算)

(a) 次数(2,2)のローパスフィルタとバンドパスフィルタの利得(Gain)

(b) 次数が m=0, 2, 5 で n=2 場合のバンドパスフィルタの利得 (Gain)

(c) 次数が m=2 で n=2, 5, 10 の場合のバンドパスフィルタの利得 (Gain)
図2. 一般化バターワースフィルタによる景気一致指数の推定結果

(a) 次数(2,1) の場合のトレンド成分とサイクル成分

(b) 次数(2,2) の場合のトレンド成分とサイクル成分
(c) 次数(2,3) の場合のトレンド成分とサイクル成分

(d) 次数(2,4) の場合のトレンド成分とサイクル成分
(e) 次数(2,5) の場合のトレンド成分とサイクル成分
図 3. 一般化バターワースフィルタによる鉱工業生産指数の推定結果

(a) 次数 r(2,1) の場合のトレンド成分とサイクル成分

(b) 次数(2,2) の場合のトレンド成分とサイクル成分
図 4. 2 変数の位相偏移と循環図の関係

(a)

(b)

$$ \mathsf{Y}_{2t} が $$

(c)

(d)

(e)

$$ \xi_{i}\lambda_{c}=\pi=-\pi $$

$$ Y_{2t} $$

(f)

$$ \xi_{\mathrm{~i~}}\lambda_{\mathrm{c}}=-\pi/4 $$

$$ Y_{2t} $$

(g)

$$ \xi_{i}\lambda_{c}=-\pi/2 $$

$$ Y_{2t} $$

(h)

$$ \dot{\xi}_{i}\lambda_{c}=-3\pi/4 $$

$$ Y_{2t} $$

循環図は

右上がりの

直線

循環図は

右回り

(時計回り)

循環図は

右回り

(時計回り)

循環図は

右回り

(時計回り)

循環図は

右下がりの

直線

循環図は

左回り

(反時計回り)

循環図は

左回り

(反時計回り)

循環図は

左回り

(反時計回り)
図 5. 在庫循環図

(a) イメージ

(b) 1999 年 2 月～2002 年 1 月までの在庫循環
(c) 生産と在庫の位相偏移(Phase Shift)

(d) 在庫率指数と鉱工業生産指数の実データと HP フィルタ処理によるサイクルデータ
図6. 鉱工業生産指数と在庫率指数の推定

(a) 次数(2,2) の場合のトレンド成分とサイクル成分
(b) 次数(2,4) の場合のトレンド成分とサイクル成分
図 7. 景気先行系列と一致CIの2変数の推定

(a) 長短金利差と一致 CI のトレンド成分とサイクル成分，（次数(2,4)の場合）

(b) 長短金利差と景気一致指数の位相偏移（イメージ）
(c) 東証株価指数と一致 CI のトレンド成分とサイクル成分，（次数（2,4）の場合）

(d) 株価の収益率と景気一致指数の位相偏移（イメージ）
図 8. 景気遅行指数と一致 CI の 2 変数モデルの推定結果

(a) 第3次産業活動指数と一致 CI のトレンド成分とサイクル成分，（次数(2,2)の場合）
(b) 常用雇用指数と一致 CI のトレンド成分とサイクル成分，（次数（2,2）の場合）
(c) 法人企業設備投資と一致 CI のトレンド成分とサイクル成分，（次数(2,2)の場合）
(d) 家計消費支出と一致 CI のトレンド成分とサイクル成分，（次数（2,2）の場合）
(e) 法人税収入と一致 CI のトレンド成分とサイクル成分，（次数(2,2)の場合）
(f) 完全失業率と一致 CI のトレンド成分とサイクル成分，（次数(2,2)の場合）
図 9. 3 変数モデルによる景気動向 3 指数の推定結果

(a) 次数(2,2) の場合のトレンド成分とサイクル成分
(b) 次数(2,4)の場合のトレンド成分とサイクル成分
図 10. 景気一致個別 11 系列モデルの推定結果，（次数（2,2）の場合）

(a) 共通サイクルと一致 CI

(b) 景気一致系列(C1～C11)とそのトレンド