Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
Table 1 A Comparison: Shinkin Banks and Credit Cooperatives vs. Banks

Shinkin Banks and Credit Cooperatives	Banks
Purpose	To facilitate smooth financing for small and medium-sized businesses and individuals in a specified location.	Provision of financial services to a range of corporate entities and individuals without restriction on location
Structure	A nonprofit, cooperative association with members. In principle, operates it on the basis of one vote per member. The focus is on generating benefits for members and the local community.	A stock company with the business focused on generating profits for the stock holders.
Geographical location of business and branches	Restricted to a geographical area; the development of branches has occurred to maximize effectiveness within the region.	In principle, no restriction on geographical location and branches are established to enhance efficiency. In general, the location of branches is focused on major cities.
Customers	Companies (subject to certain size restrictions) and individuals who live or work with the specified region. In principle, lending is restricted to members but loans may be approved to non-members within certain fixed criteria.	Companies and individuals in general, with a focus on larger corporations and financially strong institutions. There are no restrictions on who can place deposits.
Area of business	Deposits, loans, foreign exchange, and related transactions.	Deposits, loans, foreign exchange, and related transactions.
Regulator	Financial Supervisory Agency (Prefectures for Credit Cooperatives until March 2000).	Financial Supervisory Agency.
# of institutions as of March 2002	596 (Shinkin 349, Credit Cooperative 247)	164
Depostis per institutions as of March 2002	¥199 billion (Shinkin ¥292, Credit Cooperative ¥67)	¥2,915 billion
Share of deposits by individuals as of March 2001	76.3% (Shinkin 76.3%, Credit Cooperative 79.5%)	62.3%
Table 2 Chronology of Events

Year	Month	Events	Month	Laws, Measures, and Policies	# of failed institutions for each fiscal year
Bank	Shinkin bank	Credit cooperative
71	Jul.	Deposit insurance corporation established.
86	Apr.	MOF introduces the new standard that the capital ratio of financial institutions should be 4% or higher for domestically operating banks and 6% or higher for internationally operating banks (For shinkin banks and credit cooperatives the ratio was set to be applied from FY1990).
88	Jul.	Basel Accord
91	1
92	Mar.	MOF announces that the capital ratio of financial institutions that operate overseas should be 8%
93	1
94	Dec.	Resolution of Tokyo Kyowa Credit and Anzen credit cooperatives announced.
95	Jun. Jul. Aug.	MOF announced that the estimated outstanding of NPLs of the deposit-taking financial institutions in March 1995 was about 40 trillion yen. Cosmo Credit Cooperative ordered to suspend operations. Kizu Credit Cooperative ordered to suspend operations. Resolution of Hyogo Bank announced.	Dec.	Financial system research council releases final report on measures for the maintenance of financial system stability. (Introduction of special treatment of blanket guarantee of deposit insurance for the next five years was recommended.)
96	Jun.	Three bills, including the amended Deposit insurance law, were passed (special treatment of blanket guarantee of deposit insurance introduced until the end of March 2001).
97	Nov.	Financial system reform (Japanese version of the big bang) announced. Hanwa Bank ordered to suspend operations.	Jun.	Government published a detailed plan of Japan's version of the big bang.
98	Dec.	A bill to amend the Deposit insurance law passed (financial assistance to specified merger).
Apr.	Prompt corrective action (PCA) introduced.
Jun.	Four bills implementing the big bang (financial reform law, SPC law, revision of 13 laws to comply with SPC law, and the obligation netting law) passed.
5

Note: Prepared by the author using the information published by the Financial services agency, Deposit insurance corporation and Financial Book Consultants Ltd.
Table 3 Basic Statistics (FY1992-FY2002)

3-1 All Samples

Variable	Obs	Mean	Std. Dev.	Min	Max
Total Assets	7,400	1,057,800	5,105,986	3,098	81,900,000
Total Deposits	7,400	797,959	3,276,355	2,782	45,300,000
Capital	7,400	41,792	183,183	-8,791	3,046,448
Operational Profits	7,248	6,264	29,862	-8,457	559,154
Growth Rate of Deposits	7,400	0.017	0.036	-0.328	0.323
Deposit Interest Rate	7,400	0.015	0.014	0.000	0.063
Capital to Asset Ratios (t-1)	7,400	0.050	0.018	-0.049	0.147
Profits to Asset Ratio (t-1)	7,248	0.006	0.004	-0.079	0.105
$ \ln $ (Total Assets) (t-1)	7,400	12.114	1.580	8.039	18.222
Lending Rate by Prefecture (t-1)	7,400	0.035	0.012	0.019	0.064

3-2 International Operation Banks

Variable	Obs	Mean	Std. Dev.	Min	Max
Total Assets	508	10,400,000	16,700,000	458,074	81,900,000
Total Deposits	508	7,225,433	10,300,000	403,291	45,300,000
Capital	508	383,773	588,356	12,537	3,046,448
Operational Profits	508	58,865	96,935	1,286	559,154
Growth Rate of Deposits	508	0.007	0.041	-0.293	0.139
Deposit Interest Rate	508	0.022	0.013	0.001	0.052
Capital to Asset Ratios (t-1)	508	0.041	0.008	0.020	0.073
Profits to Asset Ratio (t-1)	508	0.006	0.002	0.000	0.015
$ \ln $ (Total Assets) (t-1)	508	15.350	1.124	13.035	18.222
Lending Rate by Prefecture (t-1)	508	0.039	0.012	0.019	0.064

3-3 Domestic Operation Banks

Variable	Obs	Mean	Std. Dev.	Min	Max
Total Assets	868	1,537,538	1,788,327	135,246	30,300,000
Total Deposits	868	1,334,052	1,401,096	122,358	20,400,000
Capital	868	61,429	81,702	2,710	1,359,495
Operational Profits	868	9,270	11,572	-2,848	166,757
Growth Rate of Deposits	868	0.011	0.037	-0.269	0.214
Deposit Interest Rate	868	0.012	0.013	0.001	0.048
Capital to Asset Ratios (t-1)	868	0.038	0.010	0.001	0.072
Profits to Asset Ratio (t-1)	868	0.006	0.002	-0.005	0.017
$ \ln $ (Total Assets) (t-1)	868	13.878	0.834	11.815	17.225
Lending Rate by Prefecture (t-1)	868	0.032	0.011	0.019	0.064

3-4 Cooperatives (Shinkin Banks and Credit Cooperatives)

Variable	Obs	Mean	Std. Dev.	Min	Max
Total Assets	6,024	202,245	303,628	3,098	3,282,097
Total Deposits	6,024	178,688	272,712	2,782	3,035,546
Capital	6,024	10,123	14,128	-8,791	145,440
Operational Profits	5,872	1,269	1,947	-8,457	22,946
Growth Rate of Deposits	6,024	0.019	0.035	-0.328	0.323
Deposit Interest Rate	6,024	0.015	0.014	0.000	0.063
Capital to Asset Ratios (t-1)	6,024	0.052	0.019	-0.049	0.147
Profits to Asset Ratio (t-1)	5,872	0.006	0.005	-0.079	0.105
$ \ln $ (Total Assets) (t-1)	6,024	11.587	1.119	8.039	15.004
Lending Rate by Prefecture (t-1)	6,024	0.035	0.012	0.019	0.064
Tabel 4 Response of Growth of Deposits and the Interest Rates Paid on Deposits to Bank Fundamentals (Panel Regressions, FY1992-FY2002)

Capital Asset Ratio[1] Growth Rate of Deposits	Operational Profits/Total Assets[3] Growth Rate of Deposits	[4] Deposit Rate	Capital Asset Ratio[5] Growth Rate of Deposits	[6] Deposit Rate	Operational Profits/Total Assets[7] Growth Rate of Deposits	[8] Deposit Rate
Bank Fundamentals (t-1)	0.7549 ***	-0.0220 ***	0.7109 ***	-0.0440 ***	0.5319 ***	0.0030	-0.0888
(0.0500)	(0.0028)	(0.1015)	(0.0057)	(0.0705)	(0.0039)	(0.1851)
x FY1995 Shift Dummy	0.1505 ***	-0.0319 ***	0.5029 **
(0.0508)	(0.0028)	(0.2306)
x FY1999 Shift Dummy	0.1406 ***	0.0082 ***	0.7123 ***
(0.0528)	(0.0029)	(0.2615)
x FY2001 Shift Dummy	0.1992 ***	0.0049	1.8161 ***
(0.0751)	(0.0042)	(0.4169)
x FY2002 Shift Dummy	-0.5269 ***	0.0016	-1.8302 ***
(0.0913)	(0.0051)	(0.4318)
ln (Total Assets) (t-1)	-0.0369 ***	-0.0016 ***	-0.0330 ***	-0.0016 ***	-0.0395 ***	-0.0013 ***	-0.0352 ***
(0.0042)	(0.0002)	(0.0043)	(0.0002)	(0.0042)	(0.0002)	(0.0043)
Lending Rate by Prefecture (t-1)	1.8581 ***	0.2342 ***	1.5785 ***	0.2421 ***	1.8937 ***	0.2302 ***	1.5034 ***
(0.2755)	(0.0154)	(0.2743)	(0.0155)	(0.2754)	(0.0153)	(0.2736)
dln (Postal Savings by Prefecture)	-0.0002	0.0001	0.0009	0.00003	-0.0039	0.0001	0.0003
(0.0057)	(0.0003)	(0.0056)	(0.0003)	(0.0057)	(0.0003)	(0.0056)
P-value of F-test: Coeff. on all dummies =0	-	-	-	-	0.000	0.000	0.0000
R-sq:	0.2037	0.9878	0.1863	0.9879	0.2108	0.9880	0.1946
Number of Observations	7400	7400	7248	7248	7400	7400	7248

Notes: Standard errors are in parentheses. $ *\*\* $ , $ *\* $ , and $ * $ indicate statistical significance at 1, 5 and 10 percent, respectively. Estimated coefficients for fixed effects and year dummies are not reported in the table.
Tabel 5 Response of Growth of Deposits and the Interest Rates Paid on Deposits to Bank Fundamentals by Bank Type

Capital Asset Ratio[1] Growth Rate ofDeposits	Operational Profits/Total Assets[3] Growth Rate ofDeposits	[4] Deposit Rate	Capital Asset Ratio[5] Growth Rate ofDeposits	[6] Deposit Rate	Operational Profits/Total Assets[7] Growth Rate ofDeposits	[8] Deposit Rate
BankFundamentals (t-1)	0.8924 ***	-0.0276 ***	1.0714 **	0.0342	0.5350 ***	0.0164	0.5867
(0.1337)	(0.0075)	(0.4619)	(0.0260)	(0.2023)	(0.0109)	(0.8244)
x International Operation Dummy	1.3259 ***	0.0027	1.3396	0.2268 ***	0.6786 **	-0.0786 ***	0.1419
(0.2469)	(0.0138)	(0.9295)	(0.0523)	(0.3250)	(0.0176)	(1.3153)
x Cooperative Dummy	-0.2249	0.0063	-0.4003	-0.0843 ***	-0.1783	-0.0156	-0.7243
(0.1428)	(0.0080)	(0.4674)	(0.0263)	(0.1979)	(0.0107)	(0.8135)
x FY1995 Shift Dummy	0.2193 *	-0.0075	-0.0957
(0.1141)	(0.0062)	(0.6054)
x FY1995 Shift x Intnl Op Dummy	0.1959 *	0.0700 ***	1.2287 *
(0.1083)	(0.0059)	(0.7385)
x FY1995 Shift x Cooperative Dummy	-0.0168	-0.0145 ***	0.5828
(0.0887)	(0.0048)	(0.5634)
x FY1999 Shift Dummy	-0.0012	-0.0175 ***	-0.0635
(0.1048)	(0.0057)	(0.5197)
x FY1999 Shift x Intnl Op Dummy	0.4212 ***	-0.0151 **	5.7313 ***
(0.1385)	(0.0075)	(0.9316)
x FY1999 Shift x Cooperative Dummy	0.1558 **	0.0194 ***	0.8017 *
(0.0786)	(0.0042)	(0.4613)
x FY2001 Shift Dummy	0.6788 ***	-0.0024	4.1067 ***
(0.1224)	(0.0066)	(0.7250)
x FY2001 Shift x Intnl Op Dummy	-0.0196	-0.0056	3.6372 **
(0.1869)	(0.0101)	(1.6576)
x FY2001 Shift x Cooperative Dummy	-0.4271 ***	0.0066	-2.6579 ***
(0.0866)	(0.0047)	(0.6544)
x FY2002 Shift Dummy	-0.8408 ***	-0.0039	-2.6473 ***
(0.1473)	(0.0080)	(0.7870)
x FY2002 Shift x Intnl Op Dummy	-0.4729 *	-0.0055	-7.2184 ***
(0.2576)	(0.0139)	(2.2291)
x FY2002 Shift x Cooperative Dummy	0.2865 ***	0.0040	1.0876
(0.1017)	(0.0055)	(0.7513)
ln (Total Assets) (t-1)	-0.0339 ***	-0.0016 ***	-0.0311 ***	-0.0015 ***	-0.0350 ***	-0.0012 ***	-0.0297 ***
(0.0042)	(0.0002)	(0.0043)	(0.0002)	(0.0042)	(0.0002)	(0.0043)
Lending Rate by Prefecture (t-1)	1.8980 ***	0.2343 ***	1.5751 ***	0.2392 ***	1.9324 ***	0.2335 ***	1.5514 ***
(0.2747)	(0.0154)	(0.2742)	(0.0154)	(0.2736)	(0.0148)	(0.2717)
dln (Postal Savings by Prefecture)	0.0008	0.0001	0.0010	0.00004	-0.0037	0.0001	0.0016
(0.0057)	(0.0003)	(0.0056)	(0.0003)	(0.0057)	(0.0003)	(0.0056)
International Operation Dummy	-0.0608 ***	-0.0004	-0.0158 ***	-0.0016 ***	-0.0404 ***	0.0014 **	-0.0140 **
(0.0104)	(0.0006)	(0.0059)	(0.0003)	(0.0125)	(0.0007)	(0.0065)
P-value of F-test: Coeff. on all dummies =0	0.0000	0.7259	0.0954	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
R-sq:	0.2104	0.9878	0.1883	0.988	0.2256	0.9889	0.2100
Number of Observations	7400	7400	7248	7248	7400	7400	7248

Notes: Standard errors are in parentheses. $ ^{***} $ , $ ^{**} $ , and $ ^{*} $ indicate statistical significance at 1, 5 and 10 percent, respectively. Estimated coefficients for fixed effects and year dummies are not reported in the table.
Table 6 Indirect Estimates of the Structural Coefficients on Bank Fundamentals Variables in the Demand Equation (2).

Bank Fundamental Variable	C/A (Capital to Asset Ratio)	Operational Profits/Total Assets
[1]	Bank Fundamentals (t-1)	FY92-FY03	FY92-FY03
(cf) Interest Elasticity (b1)	0.929	0.998
7.933	6.520
[2]	Bank Fundamentals (t-1)	FY92-FY95	FY96-FY99	FY00-FY01	FY02	FY03	FY92-FY95	FY96-FY99	FY00-FY01	FY02
0.507	0.920	0.994	1.152	0.612	0.444	0.806	1.157	3.138
(cf) Interest Elasticity (b1)	8.226	6.206
[3]	Bank Fundamentals (t-1)	FY92-FY03	FY92-FY03
Interannational	2.420	0.692
Domestic	1.116	0.846
Cooperatives	0.840	1.001
(cf) Interest Elasticity (b1)	8.103	6.585
[4]	Bank Fundamentals (t-1)	FY92-FY95	FY96-FY99	FY00-FY01	FY02	FY03	FY92-FY95	FY96-FY99	FY00-FY01	FY02
Interannational	1.728	1.626	2.315	3.041	1.805	4.843	1.600	8.450	17.461
Domestic	0.399	0.681	0.753	1.522	0.714	1.665	0.376	0.416	5.297
Cooperatives	0.350	0.734	0.872	1.089	0.534	0.353	0.714	1.098	2.655
(cf) Interest Elasticity (b1)	8.276	6.447

Notes: Structural Coefficients above are calculated based on the reduced form coefficient estimates that are reported in Table 4 and 5.
ESRI Discussion Paper Series No.257

景気循環の周期と位相偏移の推定

-単变量および多变量バンドパスフィルタによる接近-

飯星 博邦

December 2010

內閣府経済社会総合研究所

Economic and Social Research Institute

Cabinet Office

Tokyo, Japan
# 景気循環の周期と位相偏移の推定

単変量および多変量バンドパスフィルタによる接近 $ *^{\dagger} $

首都大学東京 大学院 社会科学研究科

飯星 博邦

## 概要

本稿の目的は、モデルベースである単変量および多変量バンドパスフィルタの日本の時系列データへの適用可能性を検証することにある。まず、本稿は Harvey and Trimbur (2003) に従い一般化バターワースーフィルタ (Generalized Butterworth Filter) と呼ばれるカルマンフィルタを利用した Unobservable Component (UC) モデルにより景気一致指数や鉱工業生産指数などの月次データのバンドバスフィルタをおこないサイクル成分の抽出をおこなった。この手法の特長は従来の HP フィルタや BK フィルタの手法と異なり、各データに応じた最適なパラメータを推定することにある。さらに、本稿では Valle e Azevedo, Koopman and Rua (2006) によりこの単変量バンドパスフィルタが多変量に拡張された UC モデルを利用して、位相偏移 (先行・遅行の大きさ) の観点から在庫循環図の分析、および景気動向指数を構成する個別の 29 系列について景気一致指数と比較した位相偏移の推定を行った。また、景気一致系列 11 系列から共通サイクルの抽出とこれらの個別系列間の位相偏移の推定も行った。本手法の利点は、従来の手法では扱えなかった多変量のバンドパスフィルタが行えることである。
# Estimating Periodic Length and Phase Shifts of Business Cycles; An Approach from Model-based Uni- and Multi-variate Bandpass Filter

Hirokuni Iiboshi

Graduate School of Social Science, Tokyo Metropolitan University

## Abstract

This paper verified possible application of model-based univariate and multivariate Bandpass filter for Japanese time series data. Firstly, we extracted cycle components and estimated periodic length of monthly univariate time series such as coincident index (CCI) and the index of industrial production (IIP) using Generalized Butterworth Filter, a kind of unobservable component models, following Harvey and Trimbur (2003). The feature of the method is to estimate the parameters of models from actual data, unlike HP filter and Baxter-King Filter. Secondly, we turned to estimate phase shifts of multivariate time series such as inventory-production diagram and leading, coincident and lagged series using Multivariate Bandpass filter following Valla e Azevedo, Koopman and Rua (2006). The advantage of the method is to extract common cycle component from multivariate series even with phase shifts among them, whereas earlier methods can do it for only univariate series.
## 1 はじめに

マクロ経済変数のトレンドとサイクルの分離法として、一般的に Hodrick Prescott (HP) フィルタやバンドパスフィルタの 1 種である Baxter King (BK) フィルタや Christiano Fitzgerald フィルタが利用されている。それは EViews などの汎用の計量ソフトウェアで簡易に計算できることも理由の一つであろう。特に、後者のバンドパスフィルタは、時系列データからある特定の範囲の周期 (あるいは周波数) をもつ循環成分を景気循環の周期として抽出する手法であり、週次、月次、四半期、年次などのデータの頻度に関わらずに循環成分を抽出できる点が特徴である。他方で前者の HP フィルタは四半期データには多用されるが週次や月次データにはあまり利用されていないようである。これは週次や月次データに対して利用されるスムージングパラメータの値にはコンセンサスが与えられていないからであろう。

このように、バンドパスフィルタはデータの頻度に関わらずに利用できることが大きな特徴であるが、これらの従来の手法は単変量のみしか扱えず、多変量からの共通のサイクル成分が抽出できなかった。景気変動とはマクロ経済時系列データの共通変動であるので、多変量における共通変動のバンドパスフィルタは景気分析を行う上で意義のあるものである。さらに、この共通変動は常に一致した循環をしているわけではなく、景気変動より先行した循環変動をする系列や遅行した系列も多数観察される。しかしながら、個々の系列がどの程度の先行性や遅行性を持っているのかを測るのは容易ではない。たとえば、よく利用される手法としては、個別系列における循環の山(ピーク)や谷の転換点の時差を先行・遅行の尺度とするものであろう。しかし、これは循環成分の全期間から計測したものではない。

本稿は、これらの問題意識に対して、経済構造に則した時系列モデルの観点から考察していこうというものである。そのために、まず、Harvey and Trimbur (2003) による単変量のモデルベースによるバンドパスフィルタを、次に Valle e Azevedo, Koopman and Rua (2006) によりこれを多変量に拡張したモデルを利用して、日本のマクロ経済変数へ適用して多変量バンドパスフィルタの実用可能性を探っていくこととする。多変量バンドパスフィルタを利用することで、多数のマクロ時系列データからある特定の周期をもつ共通サイクルが抽出でき、また、各系列のサイクル成分が共通サイクルと比較してどの程度の期間の先行性あるいは遅行性を有するのか、尺度として位相偏移 (位相のズレ) を利用することで、各系列の転換点という一部のし時期ではなく全推定期間から推定することができる。

本稿では、まず Harvey and Trimbur (2003) に従い、カルマンフィルタを利用した
Unobservable component (UC) model により、景気一致指数や鉱工業生産指数などの月次マクロ経済変数に対してバンドパスフィルタをかけてサイクル成分の抽出をおこなう。このモデルは一般化バターワースフィルタ (Generalized Butterworth Filter) と呼ばれるモデルベースのフィルタリングの手法である。このフィルタの利点として、以下の2点が (Harvey and Trimbur,(2003, p251) によってあげられている。

(1) カルマンフィルタを使い構造時系列モデルから推定しているので、最適かつ一致性をもったサイクル成分とトレンド成分に分離できる。さらに、データの始端と終端の部分もフィルタリングが可能である。(バンドパスフィルタの Baxter King フィルタはデータの始端と終端の部分は分離できない。)

(2) モデルベースのフィルタなので、個々のデータに応じた最適かつ一致性をもつパラメータが推定でき、これからサイクルとトレンドにフィルタリングできる。(HP フィルタは推定ではなく予め固定したスムージングパラメータを設定する。)

次に、Valle e Azevedo, Koopman and Rua (2006) により、この単変量バンドパスフィルタを多変量に拡張した UC モデルを利用して、位相偏移 (先行・遅行の大きさ) の観点から在庫循環図の分析、および景気動向指数を構成する個別の 29 系列について、景気一致指数と比較してどの程度の先行性または遅行性を持っているのか、位相偏移の推定を行う。また、景気一致系列 11 系列から共通サイクルの抽出とこれらの個別系列間の位相偏移の推定も行う。

これらの単変量および多変量バンドパスフィルタのモデルを検証したところ、次の2点が確認された。

(1) サイクルの次数 n を n=2 から n=5 まで推定したところ、その分離されたサイクルの形状は大きくは変化しない。しかし景気循環の周波数 $ \lambda_{c} $ あるいは周期 $ 2\pi/\lambda_{c} $ の推定値は大きく変化する。特に次数 n=4 より大きくなると推定された周期 $ 2\pi/\lambda_{c} $ の値は景気循環の一般的にコンセンサスを得ている値から大きく乖離してしまう。

(2) サイクルの次数 n が大きくなるにつれて、このサイクルのショック $ \kappa_{t} $ の分散 $ \sigma_{\kappa}^{2} $ の値は急激に小さくなるので、これを最尤法で推定するのは難しい。さらに、この分散の値によってサイクル成分の形状も大きく変化してしまう。安定的に推定するにはサイクルの次数は n=2 が良いようである。

本稿の構成は以下のとおりである。2節は一般化バターワースフィルタとバンドパスフィルタについて扱い、この単変量モデルから景気一致指数と鉱工業生産指数Ⅰの景気循環成分の抽出と景気循環の周期の推定をおこなう。3節は、2変数の先行、遅行の大きさを測る尺度である位相偏移(Phase Shifts)の説明を行う。その応用例として在庫循環図の分析をおこなう。4節では多変量のモデルベースのバンドパスフィルタを扱う。
このモデルを利用して景気先行系列、景気一致系列、景気遅行系列の計29系列の個別系列について景気一致指数に対する位相偏移を推定する。さらに景気先行・一致・遅行の各3指数の位相偏移の推定および景気一致系列の11系列の共通サイクル成分の抽出をおこなう。5節は本研究の結論と課題である。

## 2 一般化バターワースフィルタとバンドパスフィルタ

### 2.1 一般化バターワースフィルタとは何か?

バターワースフィルタ (Butterworth Filter) とは、電気工学で広く利用されているローパス (Lowpass) フィルタ、すなわち、高周波数を遮断して低い周波数を通過させるフィルタ、の1種であり、バターワースフィルタは通過帯域が数学的に可能な限り平坦な周波数特性となるように設計されたローパスフィルタである。このバターワース・ローパスフィルタの利得関数 (Gain Function) を表すと、以下のようになる。

$$ G(x)=\frac{1}{1+\left(\frac{\sin(x/2)}{\sin(x_{c}/2)}\right)^{2d}}, $$

ここで、この利得関数には設定すべき2つのパラメータ： $ x_{c}, d $ があり、 $ x_{c} $ は周波数、次数dはフィルタの形状をあらわすパラメータである。また、sin関数に限定する必要はなく、tan関数で置き換えたフィルタもある。

Gomez(2001)は、このバターワースフィルタを経済時系列データに適用しHodrick-Prescott (HP) フィルタがバターワースフィルタの1種であることを示した。この研究(Gomez, 2001, p365)では、マクロ経済変数を景気循環とトレンドに分離する手法として頻繁に利用されるHPフィルタには以下の3つの問題点があることを指摘した。

(1) トレンドが非定常の場合は、見せかけのサイクルを推定してしまう。(Harvey and Jaeger, 1993)

(2) 新しいデータを更新してフィルタをかけるたびに、トレンドとサイクルへの分離した推定結果が大きく変わること。

(3) サイクルのノイズが大きく、景気転換点の判定が難しい。

そして彼はバターワースフィルタを利用することで、これらの問題点に対してよい成果を得ることができることを示した。しかしながら、この Gomez(2001) の手法は経済分析
者にはなじみが薄いアプローチであり、この手法の経済時系列データへの実用化はなお障壁があるように思われる。

この手法をさらに一般化しモデルベースにして扱いやすくしたものが、Harvey and Trimbur(2003)の一般化バターワースフィルタである。これは、Gomez(2001)のバーターワースフィルタの利点を生かした上で、経済分析者の馴染み深い計量経済学的手法、すなわち、カルマンフィルターと最尤法を採用した Unobservable Component (UC) モデルであり、Harvey and Jaeger (1993)が研究したトレンドとサイクルの分離法のモデルを拡張することにより、経済時系列データのトレンド成分とサイクル成分への分離を時系列分析の観点から解釈可能にしたモデルベースのフィルタである。

この一般化バターワースフィルタは、 $ (m,n) $ の次数をもつ単変量の構造時系列 (Structural Time Series) モデルであり、以下のように (2.2) 式の観測方程式, および (2.3) 式の確率トレンドモデル、(2.4) 式の確率サイクルモデルの3本の式から構成される。

## (1) 单変量の観測方程式

$$ y_{t}=\tau_{t}^{(m)}+c_{t}^{(n)}+\varepsilon_{t},\quad\varepsilon_{t}\sim N(0,\sigma_{\varepsilon}^{2}), $$

(2) m 次の確率トレンドモデル (Lowpass Filter)

$$ \tau_{t}^{(1)}=\tau_{t-1}^{(1)}+\zeta_{t},\quad\tau_{t}^{(i)}=\tau_{t-1}^{(i)}+\tau_{t}^{(i-1)},\quad\zeta_{t}\sim N(0,\sigma_{\zeta}^{2}),\qquad i=2,\cdots,m. $$

(3) n 次の確率サイクルモデル (Bandpass Filter)

$$ \left[\begin{array}{c}c_{t}^{(1)}\\ c_{t}^{*(1)}\end{array}\right]=\rho\left[\begin{array}{c c}\cos\lambda_{c}&\sin\lambda_{c}\\ -\sin\lambda_{c}&\cos\lambda_{c}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c_{t-1}^{(1)}\\ c_{t-1}^{*(1)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\kappa_{t}\\ \kappa_{t}^{*}\end{array}\right],\quad\kappa_{t}\sim N(0,\sigma_{\kappa}^{2}) $$

$$ \left[\begin{array}{c}c_{t}^{(j)}\\ c_{t}^{*(j)}\end{array}\right]=\rho\left[\begin{array}{c c}\cos\lambda_{c}&\sin\lambda_{c}\\ -\sin\lambda_{c}&\cos\lambda_{c}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c_{t-1}^{(j-1)}\\ c_{t-1}^{*(j-1)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}c_{t}^{(j-1)}\\ c_{t}^{*(j-1)}\end{array}\right],\ j=2,\cdots,n. $$

ここで、(2.2)式の $ y_{t} $ は観測されるマクロ経済変数の時系列データであり、非観測変数であるトレンド成分 $ \tau_{t}^{(m)} $ とサイクル成分 $ c_{t}^{(n)} $ から構成される。(2.3)式にあるトレンド $ \tau_{t}^{(i)} $ は、次数iをもつトレンド成分であり、これが累積して次数mのトレンドになることを(2.3)式は示している。また、(2.4)式の $ c_{t}^{(j)} $ は次数jのサイクル成分であり、 $ c_{t}^{*(j)} $ はこの $ c_{t}^{(j)} $ と対をなすサイクル成分である。すなわち、この $ c_{t}^{*(j)} $ は $ c_{t}^{(j)} $ と同じ周期と振幅を持っているが、位相はズレ(偏移し)ていて $ c_{t} $ と比較して $ \pi/2 $ ラジアン(90度)の大きさで先行している。この式では $ \rho $ は振幅の減衰速度、 $ \lambda_{c} $ は周波数、 $ 2\pi/\lambda_{c} $ は周期
をあらわし、この1対のサイクル成分 $ c_{t}^{*(j)} $ と $ c_{t}^{(j)} $ が1次からn次まで1つずつ重なっていくことでn次のサイクル成分が構成されていることがわかる。 $ ^{1} $

このモデルから非観測変数であるトレンド成分 $ \tau_{t}^{(m)} $ とサイクル成分 $ c_{t}^{(n)} $ とパラメータ $ \rho $ 、 $ \lambda_{c} $ 、 $ \sigma_{\varepsilon} $ 、 $ \sigma_{\zeta} $ 、 $ \sigma_{\kappa} $ を推定する。推定手法としてカルマンフィルタを用いた最尤法を採用する。なお、後で見るように (2.3) 式の確率トレンドモデルは低周波数のみ通過させるローパスフィルタに該当し、(2.4) 式の確率サイクルモデルは中間帯域のみを通過させるバンドパスフィルタに該当する。

以下では、このモデルについての留意点を２点ほどあげておこう。

### (i) 確率トレンドモデル (2.3) について

式(2.3)のトレンドの次数が$m=2$ の場合は、次数1のトレンド成分$\tau_{t}^{(1)}$ は、以下の式のドリフト項(またはトレンドのスロープ)$\beta_{t}$ に該当し、このドリフト項$\beta_{t}$ はランダムウォーク型のトレンドの平均成長率を表すことになる。

$$ \tau_{t}=\tau_{t-1}+\beta_{t} $$

$$ \beta_{t}=\beta_{t-1}+\zeta_{t},\quad\zeta_{t}\sim N(0,\sigma_{\zeta}^{2}), $$

この式のトレンド $ \tau_{t} $ は、式(2.3)の次数2のトレンド成分 $ \tau_{t}^{(2)} $ を表しており、平均成長率 $ \beta_{t} $ が確率変動することでトレンド $ \tau_{t} $ の傾きに影響を与えている。後でみるように、トレンドの次数としては一般的に m=2 が利用されており、さらにこれで十分である。

### (ii) 確率サイクルモデル (2.4) について

1 対のサイクル成分 $ c_{t} $ と $ c_{t}^{*} $ の挙動をあらわす式 (2.4) と同様に、1 対のサイクル成分から循環的挙動を表現するモデルには以下のようなものがある。これらを見ても、循環を数式的に表現する上で位相が偏移している 2 つのサイクル成分から構成することは極めて自然である。
(a) ロトカ-ボルテラ方程式 – 被捕食者と捕食者の数を微分方程式で表現したモデル。

$$ dx/dt\;=\;x\;(a-by) $$

$$ d y/d t\;=\;y\left(-c+d x\right) $$

ここで x は被捕食者（うさぎ）の数であり、y 捕食者（おおかみ）の数をあらわす。また、それぞれの係数は a, b, c, d > 0 の制約をもつ。この式から x が y より先行している循環図が描ける。

## (b) 信用循環 (Credit Cycle) モデル (Kiyotaki and Moore, 1997)

信用循環モデルは、ロトカ-ボルテラ方程式を差分方程式に置き換えたモデルであり、これは以下のような式である。このモデルでは負債 $ B_{t} $ が生産規模 $ K_{t} $ に対して遅れをもつ。

$$ \left[\begin{array}{l}K_{t}-K^{*}\\ B_{t}-B^{*}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l l}+&-\\ &+\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}K_{t-1}-K^{*}\\ B_{t-1}-B^{*}\end{array}\right] $$

生産規模 $ K_{t} $ はうさぎに該当し、負債 $ B_{t} $ はおおかみに該当する。なお、 $ K^{*} $ と $ B^{*} $ はそれぞれ均衡状態の値である。(2.4) 式の確率サイクルモデルは、この信用循環モデルに確率変数が付加された形式になっており、周波数 $ \lambda_{c} $ が $ 0 < \lambda_{c} < \pi/2 $ の場合には、式 (2.4) の係数を符号を使ってあらわすと、信用循環モデルと同様に、

$$ \left[\begin{array}{l}{c_{t}^{*}}\\ {c_{t}}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}{+}\\ {+}\\ \end{array}\right.\left.\begin{array}{l}{-}\\ {+}\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}{c_{t-1}^{*}}\\ {c_{t-1}}\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}{\kappa_{t}}\\ {\kappa_{t}^{*}}\\ \end{array}\right], $$

となり、サイクル因子 $ c_{t}^{*} $ が $ c_{t} $ より先行していることがわかる。

### 2.2 一般化バターワースフィルタの特性と利点

それでは次に、このフィルタの利得関数 (Gain Function) を利用して、どのようにトレンドとサイクルが分離できるかを説明する。前節で見た一般化バターワースフィルタ, (2.3), (2.4), (2.5) から導出されたローパスフィルタ (Lowpass Filter) の利得関数 (Gain Function) は

$$ G B_{m,n}^{l p}(\lambda)=\frac{q_{\zeta}\left[\frac{1}{2-2\cos\lambda}\right]^{m}}{q_{\zeta}\left[\frac{1}{2-2\cos\lambda}\right]^{m}+\ q_{\kappa}\left[g_{\phi}(\lambda;\rho,\lambda_{c})\right]^{n}+1}, $$

としてあらわせ、またこのバンドパスフィルタ (Bandpass Filter) の利得関数は

$$ G B_{m,n}^{b p}(\lambda)=\frac{q_{\kappa}\left[g_{\phi}(\lambda;\rho,\lambda_{c})^{n}\right]}{q_{\zeta}\left[\frac{1}{2-2\cos\lambda}\right]^{m}+q_{\kappa}\left[g_{\phi}(\lambda;\rho,\lambda_{c})\right]^{n}+1}, $$