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New ESRI Working Paper No.22

# 観測誤差を伴う DSGE モデルの推定における

# 複合 MCMC 法およびシミュレーションスムーザの適用

松前 龍宜、飯星 博邦、難波 了一、西山 慎一

June 2011

内閣府経済社会総合研究所

Economic and Social Research Institute

Cabinet Office

Tokyo, Japan

New ESRI Working Paper は、すべて研究者個人の責任で執筆されており、内閣府経済社会総合研究所の見解を示すものではありません。研究試論という性格上今後の修正が予定されるものであるため、当研究所及び著者からの事前の許可なく論文を引用・転載することを禁止いたします。
# 観測誤差を伴う DSGE モデルの推定における 複合 MCMC 法およびシミュレーションスムーザの適用 $ ^{*} $

松前龍宜 $ ^{†} $ ，飯星博邦 $ ^{‡} $ ，

難波了一 $ ^{§} $ ，西山慎一 $ ^{¶} $

# An Application of Hybrid MCMC and Simulation Smoother in Estimating a DSGE Model with Measurement Errors

Tatsuyoshi Matsumae $ ^{\dagger} $ , Hirokuni Iiboshi $ ^{\ddagger} $ , Ryoichi Namba $ ^{\S} $ and Shin-Ichi Nishiyama $ ^{\P} $

観測誤差を持つ DSGE モデルの推定法として，Boivin and Giannoni (2006) や Kryshko (2010) は Carter and Kohn (1994) による平滑法を採用した複合 MCMC 法を提案したが，彼らの手法は一律に全ての DSGE モデルに適用できるわけではなく，モデル毎にアドホックな修正が必要となることが欠点であった。それに対し本稿は，de Jong and Shephard (1995) および Durbin and Koopman (2002) が提案したシミュレーションスムーザによる平滑法を有する複合 MCMC 法を利用し，観測誤差を持つ DSGE モデルの汎用的な推定法を提示する．日本のマクロデータを利用して，観測誤差を持つ DSGE モデルの複合 MCMC 法による推定結果と，観測誤差が無い DSGE モデルの従来の MH アルゴリズムによる推定結果を比較した結果，両者の間には構造パラメータや構造ショックの推定結果，ならびに歴史分解の結果において無視し難い差異が生じることを示した．

In estimating a DSGE model with measurement errors, Boivin and Giannoni (2006) and Kryshko (2010) proposed a hybrid MCMC based on Carter and Kohn's (1994) smoothing method. However, their approach cannot be applied to general class of DSGE models with measurement errors, but needs to be customized for each model in an ad-hoc manner. In this paper, we adopt a hybrid MCMC based on the simulation smoother method proposed by de Jong and Shephard (1995) and Durbin and Koopman (2002) which is applicable to general class of DSGE models with measurement errors. We then estimate a DSGE model with measurement errors using Japanese macro data and compare its empirical results with those from the same model but without measurement error. It turns out that the estimation results of structural parameters, structural shocks, and historical decompositions to be considerably different between the model with measurement errors and without measurement error.

キーワード：DSGE モデル，観測誤差，複合 MCMC 法，シミュレーションスムーザ
## 1 はじめに

### 1.1 DSGE モデルとは

近年のマクロ経済学の有力な分析フレームワークとして，確率的動学一般均衡モデル（Dynamic Stochastic General Equilibrium model. 以下，DSGEモデル）がある．DSGEモデルは，家計や企業といった経済主体の動学的最適化行動を明示的に考慮するミクロ経済学的基礎を持つモデルであり，モデルの様々な外生ショックが景気循環あるいは物価変動をもたらす要因であると捉えているのが特徴である．さらに，DSGEモデルはこの景気循環あるいは物価変動をもたらす外生ショックを容易に識別できるという利点がある．それゆえ，景気循環の要因分析，あるいは政策シミュレーションのツールとして，各国の中央銀行ならびに政府機関においてDSGEモデルの活用が急速に進展している．

また DSGE モデルは, 定常状態近傍で対数線形近似して合理的期待均衡を求めると, 線形の状態空間モデルとして表すことができる. すなわち, 各経済主体の動学的最適化条件式ならびに制約条件式を連立差分方程式として定式化し, モデルの先決変数を状態変数と見做すことで状態空間モデルの遷移方程式として捉え, これに観測変数と状態変数の対応関係を規定した観測方程式を加えることで, DSGE モデルの状態空間表現が可能となる. それゆえ近年では, DSGE モデルの推定にあたり, マルコフ連鎖モンテカルロ (Markov Chain Monte Calro; MCMC) 法を利用したベイズ推定が盛んに行われている. $ ^{1)} $

DSGE モデルのベイズ推定を行った研究の嚆矢として，Smets and Wouters (2003, 2007) が挙げられる．彼らは，欧州および米国のデータを利用して DSGE モデルをベイズ推定し，データに対する DSGE のモデルフィットは，モデルに対する制約の緩いベクトル自己回帰（vector autoregressive; VAR）モデルに比しても遜色がないことを示した．これを受けて，現在では多くの国々のマクロデータをもとに DSGE モデルの実証研究が行われている． $ ^{2)} $

### 1.2 観測誤差の必要性

DSGE モデルの標準モデルとも呼ぶべき Smets and Wouters (2003, 2007) では, インフレ率や実質賃金といったデータの変動を, すべてモデルの構造ショックに起因するものとして捉えている. しかしながら, インフレ率や実質賃金といったデータの変動は, 近年, 慣性 (persistence) が失われてノイズのようなボラタイルな動きをますます示しており, 予
測が困難となっていることが Stock and Watson (2007), Cogley et al. (2010), Edge and Gürkaynak (2010) などによって指摘されている。 $ ^{3)} $

Smets and Wouters (2003, 2007) や Sugo and Ueda (2008) をはじめとする従来の DSGE モデルのベイズ推定では, インフレ率や実質賃金といった短期的にボラタイルな動きを示す傾向にあるデータを観測変数として取り扱う場合でも, 観測誤差を想定せずに推定が行われてきた. その結果, DSGE モデルの状態変数の変動, とりわけインフレ率の変動は, 価格のマークアップショックといった構造ショックのボラタイルな変動によってもたらされたと解釈されている. 例えば, Smets and Wouters (2007) の長短期の分散分解の推定結果によれば, インフレ率の変動の大部分は, 価格のマークアップショックの変動によって説明されると報告している. しかし, 価格や賃金のマークアップショックは, 中間財需要関数および労働需要関数のシフトパラメータに関わるショックであり, 先行研究が指摘するようなボラタイルなショックとして捉えることは, 経済学的な解釈の観点から困難が伴う $ ^{4)} $

他方で, インフレ率や実質賃金のデータに見られるボラタイルな変動をモデルの構造ショックとして捉えるのではなく, 単にデータの観測誤差として捉えるアプローチも, 近年徐々に試みられている. 例えば, Justiniano and Primiceri (2008), Yano (2009), Fueki et al (2010) は, インフレ率や賃金データの短期的にボラタイルな変動を観測誤差として捉えてモデル化を試みている. しかし, これらの先行研究の主眼は観測誤差導入の是非を問うことにあったわけではなく, あくまで副次的な試みの域を出ないものであった.

本稿では, DSGE モデル推定における観測誤差の役割について分析することを主眼とし, インフレ率や実質賃金以外のデータについても観測誤差の可能性を考慮する. さらに, 従来においてはマークアップショック等の構造ショックとして捉えてきたインフレ率や実質賃金の変動を観測誤差に起因するものと理解して, Smets and Wouters 型の DSGE モデルに観測誤差を導入し推定を行う.

### 1.3 新しい推定法の提案

従来の DSGE モデルの MCMC 法としてメトロポリス-ヘイスティングズ (Metropolis-Hastings; MH) アルゴリズムが用いられてきたが，これは DSGE モデルの構造パラメータの推定に焦点が当てられ，観測されるデータ $ X_{t} $ とマクロ経済の内生変数である状態変
数 $ S_{t} $ が確定的に結びついている $ \left(\boldsymbol{X}_{t}=\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{S}_{t}\right) $ と仮定しており，状態変数の推定については考慮されてこなかった。 $ ^{5)} $ しかし，本稿のモデルでは，観測誤差を導入したことにより，状態変数 $ S_{t} $ とデータ $ X_{t} $ とは確定的な関係にはないので $ \left(\boldsymbol{X}_{t}=\boldsymbol{\Lambda}\boldsymbol{S}_{t}+\boldsymbol{e}_{t}\right) $ ，構造パラメータと併せて状態変数と観測誤差を推定しなくてはならない。この推定法として Boivin and Giannoni (2006) ならびに Kryshko (2010) は，AR(1) 過程をもつ観測誤差を想定した DSGE モデルに対して，複合 MCMC (hybrid MCMC) 法を提案し，状態変数の平滑法として Carter and Kohn (1994) の手法を採用した。

しかし, Carter and Kohn (1994) は, Chib (2001, p.3614) でも指摘があるように, 状態変数の分散共分散行列のサンプリング中に非正定値行列が発生することでサンプリングが中断してしまうという問題が生じる. そのため, 先行研究ではアドホックに状態変数の分散共分散行列を設定し推定を行っている. 本稿でも, Boivin and Giannoni (2006) と Kryshko (2010) に倣い, AR(1) 過程の観測誤差を伴う DSGE モデルを対象に, 複合 MCMC (hybrid MCMC) 法を採用した. しかし, 本稿では状態変数の平滑法として, de Jong and Shephard (1995) および Durbin and Koopman (2002) が提案したシミュレーションスムーザを採用することにより, 非正定値行列の問題を克服した. 観測誤差を伴う DSGE モデルの推定において, アドホックな分散共分散行列を置くことなく状態変数の推定を可能にしたことは, 本稿の大きな貢献であろう.

最後に本稿では, 上記推定法をもとに, 日本のマクロ経済データを利用して, 観測誤差を伴う DSGE モデルの推定を行い, その推定結果を観測誤差が無い DSGE モデルの推定結果と比較した. 本論で後程示すように, 観測誤差を伴う本稿の DSGE モデルと観測誤差を伴わない従来の DSGE モデルとでは, 構造パラメータや構造ショック, ならびに歴史分解の結果において無視し難い差異が生じることがわかった. これは, 実質賃金やインフレ率といったデータの短期的にボラタイルな動きを, モデルの構造ショックとして捉えるか, あるいは観測誤差として捉えるかという本質的なアプローチの違いから生じた推定結果の差であると理解できる. 近年, インフレ率がよりノイズに近い動きを示して予測が困難となっていることが先行研究によって報告されていることから, 今後の DSGE モデルの推定にあたっては観測誤差の導入を考慮すべきであり, そしてその推定の際にはシミュレーションスムーザによる平滑法を有する複合 MCMC 法が有用であるものと考える.

本稿の構成は以下の通りである。2 節では本稿で推定する DSGE モデルを提示する。3 節において複合 MCMC 法による DGSE モデルの推定手法，とりわけ観測誤差を導入した状態空間モデルと状態変数の平滑化の手法であるシミュレーションスムーザについて説明する。4 節では利用したデータとその加工方法およびパラメータの事前分布の設定について説明する。5 節で推定結果を示し，6 節は結語である。
## 2 ニューケインジアン型DSGEモデル

本稿で推定する状態空間モデルは，Smets and Wouters (2003, 2007) および Christiano et al. (2005) で提案されたニューケインジアン型 DSGE モデルである．このモデルは，価格と賃金の名目硬直性というニューケインジアンの仮定に加え，投資の調整費用と消費の習慣形成といった実質硬直性を導入しており，各方程式は家計および企業の最適化行動から導かれるミクロ経済学的基礎をもつモデルである．

構造パラメータのベイズ推定を行うため，家計および企業の最適化の一階条件を定常状態近傍で対数線型化し，Sims (2002) の方法を利用して連立差分方程式の解（合理的期待均衡解）をもとめ，線型の状態空間モデルで表現する．以下では，Smets and Wouters (2003, 2007) で示された，家計および企業の最適化の一階条件を定常状態近傍で対数線型化した差分方程式をまとめる．なお以下の式において，ハット付きの変数は定常状態からの乖離 (%単位) をあらわすものとする．

### 2.1 家計の最適化行動

(1) 消費のオイラー方程式 :

$$ \hat{c}_{t}=\frac{h}{1+h}\hat{c}_{t-1}+\frac{1}{1+h}E_{t}\hat{c}_{t+1}-\frac{1-h}{(1+h)\sigma_{c}}(\hat{R}_{t}-E_{t}\hat{\Pi}_{t+1})+\frac{1-h}{(1+h)\sigma_{c}}(u_{t}^{c}-E_{t}u_{t+1}^{c}) $$

ここで，$\hat{c}_{t}$ は消費，$\hat{R}_{t}$ は名目利子率，$\hat{\Pi}_{t}$ はインフレ率，$u_{t}^{c}$ は$\mathrm{AR}(1)$ ショック，$E_{t}$ は期待値オペレーターである．また，$\sigma_{c}$ は異時点間消費の代替弾力性の逆数，$h\in[0,1]$ は習慣形成の程度を表すパラメータである．$h\neq0$ の場合，現在の最適な消費は，来期の消費のみならず，消費の習慣形成から過去の消費にも依存し，$h$ は前期と来期の消費のウェイトを表している．さらに消費は事前の実質利子率の減少関数であるが，その程度は，消費の異時点間代替の弾力性のみならず習慣形成パラメータにも依存することとなる．$u_{t}^{c}$ は，$u_{t}^{c}=\rho^{c}u_{t-1}^{c}+\varepsilon_{t}^{c}$ の$\mathrm{AR}(1)$ 過程にしたがうものとし，$\varepsilon_{t}^{c}$ は選好ショック，$\rho^{c}$ はその慣性をあらわす．

(2) 投資のオイラー方程式 :

$$ \widehat{i n v}_{t}=\frac{1}{1+\beta}\widehat{i n v}_{t-1}+\frac{\beta}{1+\beta}E_{t}\widehat{i n v}_{t+1}+\frac{\varphi}{1+\beta}\hat{q}_{t}+\frac{\beta}{1+\beta}(E_{t}u_{t+1}^{i n v}-u_{t}^{i n v}) $$

ここで, $ \widehat{inv}_{t} $ は投資, $ \hat{q}_{t} $ は資本財のシャドウプライス, $ u_{t}^{inv} $ は AR(1) ショック, β は主観的割引因子, $ 1/\varphi $ は投資の調整費用に関わるパラメータである. 投資の調整費用のために, 現在の最適な投資量は, 来期の投資量のみならず過去の投資量にも依存することとなる. $ u_{t}^{inv} $ は $ u_{t}^{inv} = \rho^{inv} u_{t-1}^{inv} + \varepsilon_{t}^{inv} $ の AR(1) ショックであり, $ \varepsilon_{t}^{inv} $ は投資財固有の生産性ショック, $ \rho^{inv} $ はその慣性である.

(3) 資産価格の決定式：

$$ \hat{q}_{t}=-(\hat{R}_{t}-E_{t}\hat{\Pi}_{t+1})+\frac{1-\tau}{1-\tau+\overline{r}^{k}}E_{t}\hat{q}_{t+1}+\frac{\overline{r}^{k}}{1-\tau+\overline{r}^{k}}E_{t}\hat{r}_{t+1}^{k}+\varepsilon_{t}^{q} $$
ここで，$\hat{r}_{t}^{k}$ は資本の実質収益率，$\varepsilon_{t}^{q}$ はエクイティプレミアムショック，τは資本減耗率，$\bar{r}_{k}$ は資本の実質レンタル率の定常値をあらわす．資産のシャドウプライスである$\hat{q}_{t}$ は，事前の実質利子率の減少関数であり，一期先の資本の実質収益率および資産価格の期待値の増加関数となる．このモデルでは，エクイティプレミアムショック，$\varepsilon_{t}^{q}$ を導入することで投資収益率が変化し，それに応じて家計が保有する資産価格も変化することとなる．なお，エクイティプレミアムショックに慣性は無く，iid ショックと仮定する．

(4) 労働供給式：

$$ \begin{aligned}\hat{w}_{t}&=\frac{\beta}{1+\beta}E_{t}\hat{w}_{t+1}+\frac{1}{1+\beta}\hat{w}_{t-1}+\frac{\beta}{1+\beta}E_{t}\hat{\Pi}_{t+1}-\frac{1+\beta\gamma_{w}}{1+\beta}\hat{\Pi}_{t}+\frac{\gamma_{w}}{1+\beta}\hat{\Pi}_{t-1}\\&-\frac{\lambda_{w}(1-\beta\xi_{w})(1-\xi_{w})}{(1+\beta)(\lambda_{w}+(1+\lambda_{w})\sigma_{L})\xi_{w}}\left[\hat{w}_{t}-\sigma_{L}\hat{l}_{t}-\frac{\sigma_{c}}{1-h}(\hat{c}_{t}-h\hat{c}_{t-1})-u_{t}^{L}-\varepsilon_{t}^{w}\right]\end{aligned} $$

ここで，$\hat{w}_{t}$ は実質賃金，$\hat{l}_{t}$ は労働供給，$u_{t}^{L}$ は労働供給の$\mathrm{AR}(1)$ ショック，$\varepsilon_{t}^{w}$ は賃金のマークアップショックをあらわす．また，$\xi_{w}$ は賃金を改定できない確率（賃金のカルボパラメータ），$\lambda_{w}$ は労働需要の賃金弾力性に関するパラメータ（賃金のマークアップ率のパラメータ），$\sigma_{L}$ は労働供給の賃金弾力性，$\gamma_{w}$ は名目賃金のインフレ率との連動の程度をあらわすパラメータ（賃金のインデクセーションパラメータ）である．現在の実質賃金$\hat{w}_{t}$ が前期の実質賃金に依存する理由は，家計が最適に賃金を設定できない場合，自らの賃金を前期のインフレ率に連動させる契約を企業と結んでいると仮定しているためである．最後の項の括弧内は，実質賃金と余暇・消費の限界代替率の乖離を表している．全ての家計が伸縮的に賃金を設定できる場合，この限界代替率と賃金が等しくなるように労働供給を最適に決定する．しかしここでは名目賃金を伸縮的に改訂できない家計がいるために，実質賃金と限界代替率に乖離が生じることとなる．$u_{t}^{L}$ は，$u_{t}^{L}=\rho^{L}u_{t-1}^{L}+\varepsilon_{t}^{L}$ の$\mathrm{AR}(1)$ ショックであり，$\varepsilon_{t}^{L}$ は労働供給ショック，$\rho^{L}$ はその慣性である．

(5) 資本の遷移式:

$$ \hat{K}_{t}=(1-\tau)\hat{K}_{t-1}+\widehat{\tau i n v_{t-1}} $$

ここで, $ \hat{K}_{t} $ は資本をあらわす. ここで資本減耗率 $ \tau $ は, 投資・資本比率 $ \overline{I/K} $ の定常値と等しくなることに注意されたい.

### 2.2 企業の最適化行動

(6) 费用最小化条件:

$$ \hat{l}_{t}=-\hat{w}_{t}+(1+\psi)\hat{r}_{t}^{k}+\hat{K}_{t-1} $$

ここで，ψは資本稼働率の費用に関するパラメータである．資本を所与とすると，労働需要は実質賃金の減少関数であり，資本のレンタル率の増加関数となる．

(7) 生產関数:

$$ \hat{y}_{t}=\phi\hat{u}_{t}^{a}+\phi\alpha\hat{K}_{t-1}+\phi\alpha\psi\hat{r}_{t}^{k}+\phi(1-\alpha)\hat{l}_{t} $$
ここで，$\hat{y}_{t}$ は産出，$\alpha$ は資本分配率，$\phi-1$ は生産の固定費用のシェア，$\hat{u}_{t}^{a}$ は TFP ショックをあらわす.

(8) ニューケインジアン・フィリップス曲線:

$$ \hat{\Pi}_{t}=\frac{\beta}{1+\beta\gamma_{p}}E_{t}\hat{\Pi}_{t+1}+\frac{\gamma_{p}}{1+\beta\gamma_{p}}\hat{\Pi}_{t-1}+\frac{(1-\beta\xi_{p})(1-\xi_{p})}{(1+\beta\gamma_{p})\xi_{p}}\left[\alpha\hat{r}_{t}^{k}+(1-\alpha)\hat{w}_{t}-u_{t}^{a}+\varepsilon_{t}^{p}\right] $$

ここで，$\hat{\Pi}_{t}$ はインフレ率，$\varepsilon_{t}^{p}$ は価格のマークアップショック，$\xi_{p}$ は価格を改定できない確率（価格のカルボパラメータ），$\gamma_{p}$ は価格をインフレ率に連動させる程度をあらわすパラメータ（価格のインデクセーションパラメータ）をあらわす．現在のインフレ率は，前期，来期のインフレ率と現在の限界費用に依存して決まる．最後の項の括弧内は生産の限界費用をあらわし，限界費用は資本の実質レンタル率，実質賃金およびTFPショックに依存して決まる．また，現在のインフレ率が過去のインフレ率に依存する理由は，実質賃金と同様，価格を最適に改定できない企業が，予めインフレ率と連動させる契約を結んでいるためである．$\gamma_{p}=0$ の場合，標準的なフォワードルッキングなフィリップス曲線に帰着する．換言すれば，$\gamma_{p}$ はどれほどインフレの慣性が高いかをあらわすパラメータと言える．限界費用に対するインフレ率の弾力性は，カルボパラメータ，$\xi_{p}$ に依存する．

### 2.3 その他の均衡条件

(9) 財市場の均衡条件:

$$ \hat{y}_{t}=(1-\tau k_{y}-g_{y})\hat{c}_{t}+\tau k_{y}\widehat{i n v_{t}}+\overline{r}_{t}^{k}\psi k_{y}\hat{r}_{t}^{k}+g_{y}u_{t}^{g} $$

ここで，$\hat{g}_{t}$ は財政支出，$u_{t}^{g}$ は財政支出の$\mathrm{AR}(1)$ ショックであり，$k_{y}$ は資本・産出比率の定常値，$g_{y}$ は財政支出・産出比率の定常値をあらわす．$u_{t}^{g}$ は$u_{t}^{g}=\rho^{g}u_{t-1}^{g}+\varepsilon_{t}^{g}$ の$\mathrm{AR}$ 過程にしたがい，$\varepsilon_{t}^{g}$ は財政支出ショック，$\rho^{g}$ はその慣性をあらわす．

(10) 金融政策ルール:

$$ \hat{R}_{t}=\rho_{m}\hat{R}_{t-1}+\left(1-\rho_{m}\right)\left[\mu_{\pi}\hat{\Pi}_{t-1}+\mu_{y}\hat{y}_{t}\right]+\varepsilon_{t}^{m} $$

ここで，$\varepsilon_{t}^{m}$ は金融政策ショック，$\mu_{\pi}$，$\mu_{y}$ はそれぞれインフレ率および産出ギャップに対応するテイラールールのパラメータ，そして $\rho_{m}$ は利子率の平滑化の程度をあらわすパラメータである．金融当局は上記の標準的なテイラールールにしたがい，名目利子率をコントロールするものとする．また，金融政策ショック，$\varepsilon_{t}^{m}$ は iid ショックとする．

### 2.4 AR ショックと予測誤差

前節の連立差分方程式に導入された5種類のショックは，それぞれ iid-normal な構造ショックを伴う以下の AR(1) 過程にしたがうものと仮定する.

$$ \begin{array}{r c l}{u_{t}^{c}}&{=}&{\rho^{c}u_{t-1}^{c}+\varepsilon_{t}^{c},~u_{t}^{i n v}=\rho^{i n v}u_{t-1}^{i n v}+\varepsilon_{t}^{i n v},~u_{t}^{L}=\rho^{L}u_{t-1}^{L}+\varepsilon_{t}^{L},}\\ {u_{t}^{a}}&{=}&{\rho^{z}u_{t-1}^{a}+\varepsilon_{t}^{a},~u_{t}^{g}=\rho^{g}u_{t-1}^{g}+\varepsilon_{t}^{g}.}\\ \end{array} $$
ここで，(11) $ \varepsilon_{t}^{c} $ ：選好ショック，(12) $ \varepsilon_{t}^{inv} $ ：投資財固有の生産性ショック，(13) $ \varepsilon_{t}^{L} $ ：労働供給ショック，(14) $ \varepsilon_{t}^{a} $ ：TFPショック，(15) $ \varepsilon_{t}^{g} $ ：財政支出ショック，である．加えて，6種類の予測誤差が存在する．

$$ \begin{align*}\eta_{t}^{\pi}\quad=\quad&\hat{\pi}_{t}-E_{t-1}\hat{\pi}_{t},\eta_{t}^{w}=\hat{w}_{t}-E_{t-1}\hat{w}_{t},\eta_{t}^{q}=\hat{q}_{t}-E_{t-1}\hat{q}_{t},\\\eta_{t}^{inv}\quad=\quad&\widehat{inv}_{t}-E_{t-1}\widehat{inv}_{t},\eta_{t}^{c}=\hat{c}_{t}-E_{t-1}\hat{c}_{t},\eta_{t}^{rk}=\hat{r}_{t}^{k}-E_{t-1}\hat{r}_{t}^{k}.\end{align*} $$

ここで，(16) $ \eta_{t}^{\pi} $ ：インフレ率の予測誤差，(17) $ \eta_{t}^{w} $ ：実質賃金の予測誤差，(18) $ \eta_{t}^{q} $ ：エクイティプレミアムの予測誤差，(19) $ \eta_{t}^{inv} $ ：投資財固有の生産性の予測誤差，(20) $ \eta_{t}^{c} $ ：消費の予測誤差，(21) $ \eta_{t}^{rk} $ ：実質レンタル率の予測誤差，である。

### 2.5 構造型表現

各経済主体の動学的最適化条件式ならびに制約条件式を定常状態近傍で対数線形化した連立差分方程式は，以下のような構造型で表現できる.

$$ A S_{t}=B S_{t-1}+C\varepsilon_{t}+D\eta_{t}, $$

ここで， $ S_{t} $ は状態変数ベクトル： $ \boldsymbol{S}_{t}=[\hat{y}_{t},\hat{\pi}_{t},\hat{w}_{t},\hat{k}_{t},\widehat{inv}_{t},\hat{c}_{t},\hat{R}_{t},\hat{r}_{t}^{k},\hat{L}_{t},E_{t}\hat{\pi}_{t+1}E_{t}\hat{w}_{t+1},E_{t}\hat{w}_{t+1},E_{t}\hat{q}_{t+1},E_{t}\widehat{inv}_{t+1},E_{t}\hat{c}_{t+1},E_{t}\hat{r}_{t+1}^{k},u_{t}^{c},u_{t}^{inv},u_{t}^{L},u_{t}^{a},u_{t}^{g}]^{\prime},\varepsilon_{t} $ は構造ショックベクトル： $ \varepsilon_{t}=[\varepsilon_{t}^{c},\varepsilon_{t}^{inv},\varepsilon_{t}^{q},\varepsilon_{t}^{L},\varepsilon_{t}^{w},\varepsilon_{t}^{a},\varepsilon_{t}^{p},\varepsilon_{t}^{g},\varepsilon_{t}^{m}]^{\prime},\eta_{t} $ は予測誤差ベクトル： $ \eta_{t}=[\eta_{t}^{\pi},\eta_{t}^{w},\eta_{t}^{q},\eta_{t}^{inv},\eta_{t}^{c},\eta_{t}^{rk}]^{\prime} $ である．また，A,B,C,およびDは，構造パラメータであらわされる行列である．

## 3 推定法

本節では観測誤差を導入した状態空間モデルの推定手法について考察する。以下では構造パラメータをθとおき、同様に状態変数$S_{t}$を$J\times1$ベクトル、構造ショック$\varepsilon_{t}$を$M\times1$ベクトル、観測変数$X_{t}$を$N\times1$ベクトルとおき、また$S^{T}=\{\boldsymbol{S}_{i}\}_{i=1}^{T},\boldsymbol{X}^{T}=\{\boldsymbol{X}_{j}\}_{j=1}^{T}$と表記する。ただし本稿では状態変数と観測変数の関係が$J\geq N$となるケースに限定する。⁶)

### 3.1 状態空間表現

前節の構造型であらわされた DSGE モデルを, Sims (2002) の方法を用いて合理的期待均衡をもとめ，誘導型に変換する。 $ ^{7)} $ この観測誤差をもつ DSGE モデルの誘導型は次のような状態変数 $ S_{t} $ による自己回帰モデルである遷移方程式と観測変数 $ X_{t} $ を状態変数によって説明する観測方程式の 2 式から成る状態空間モデルとして表現される。

$$ \begin{array}{r l r}{{\pmb S}_{t}}&{=}&{{\pmb G}(\pmb\theta){\pmb S}_{t-1}+{\pmb H}(\pmb\theta)\pmb\varepsilon_{t},\qquad\pmb\varepsilon_{t}\sim N({\pmb0},{\pmb Q}(\pmb\theta)),}\end{array} $$

$$ \begin{array}{r l r}{\pmb{X}_{t}}&{=}&{\pmb{\Lambda}\pmb{S}_{t}+\pmb{e}_{t},}\end{array} $$

$$ \begin{array}{r l r}{\pmb{e}_{t}}&{=}&{\pmb{\Psi}\pmb{e}_{t-1}+\pmb{\nu}_{t},\qquad\pmb{\nu}_{t}\sim N(\pmb{0},\pmb{R}),}\end{array} $$
ここで，(3.1) は状態空間モデルの遷移方程式であり，これが DSGE モデルの合理的期待均衡から導出された誘導型である．(3.2) は観測方程式であり，観測誤差 $ e_{t} $ は $ N \times 1 $ ベクトルである．これは (3.3) に示されるように AR(1) 過程にしたがうものとする．なお，主成分分析では，(3.2) 式において， $ \Lambda S_{t} $ の部分を共通成分 (common component) といい，観測誤差 $ e_{t} $ を独自成分 (idiosyncratic component) と呼んでいる．共通成分は，各内生変数間の相互相関関係 (inter-correlation) による変動をあらわし (すなわち構造ショックにより，共通に変動 (co-movement) する部分をあらわし)，独自成分は，他の変数とは独立に変動する成分である． $ ^{8)} $ 本稿ではこの $ e_{t} $ に対して観測誤差という表現をつかうが，主成分分析の解釈にならい，構造ショックの変動によらずに各変数が独自に変動する成分を意味するものとする．また，このモデルではすべての状態変数が観測されているわけではなく，一部のみ観測誤差をもつ観測変数として観察されると想定しているので，

$$ X_{it}=S_{it}+e_{it},\quad i=1,2,\cdots,N $$

として定式化され, したがって, $ \Lambda $ は

$$ \mathbf{\Lambda}\;=\;\left[\begin{array}{l l}{\mathbf{\Lambda}\;}&{\mathbf{\Lambda}}\end{array}\right] $$

となる．ただし，ＩはＮ×Ｎの単位行列であり，ＯはＮ×(Ｊ－Ｎ)のゼロベクトルである．構造ショックｅｔはｅｔ～iidＮ(Ｏ,Ｑ(ｅ))にしたがい，また観測誤差ｅｔの攪乱項ｖはｖｔ～iidＮ(Ｏ,Ｒ)にしたがい，それぞれの分散共分散行列Ｑ，Ｒは正定値かつ対角行列である．(3.3)の係数Ψも対角行列であるとする．したがって観測誤差は横断面的制約では無相関であり，時系列的制約はではＡＲ(1)の自己相関をもつと仮定している．また，Ｇ(ｅ)，Ｈ(ｅ)および構造ショックの分散共分散行列Ｑ(ｅ)は，構造パラメータｅの関数である．

(3.2) 式に (3.3) 式を代入することで, 観測方程式は次式として与えられる.

$$ (\boldsymbol{I}-\boldsymbol{\Psi}L)\boldsymbol{X}_{t}=(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{\Psi}L)\boldsymbol{\Lambda}(\boldsymbol{\theta})\boldsymbol{S}_{t}+\boldsymbol{\nu}_{t},\qquad\boldsymbol{\nu}_{t}\sim N(\mathbf{0},\boldsymbol{R}) $$

ここで, L はラグオペレータである. さらにこの式は, $ \tilde{X}_{t} = X_{t} - \Psi X_{t-1}, \tilde{S}_{t} = [S_{t}' S_{t-1}'] $ の表記を利用することで, 以下のように変形できる.

$$ \tilde{\boldsymbol{X}}_{t}=\underbrace{\left[\begin{array}{c c}{\boldsymbol{\Lambda}}&{-\boldsymbol{\Psi}\boldsymbol{\Lambda}}\end{array}\right]}_{\tilde{\boldsymbol{\Lambda}}}\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{S}_{t}}\\ {\boldsymbol{S}_{t-1}}\end{array}\right]}_{\tilde{\boldsymbol{S}}_{t}}+\boldsymbol{\nu}_{t},\qquad\boldsymbol{\nu}_{t}\sim N(\mathbf{0},\boldsymbol{R}), $$

同様に (3.1) 式の遷移方程式も次のように書き換えことができる.

$$ \underbrace{\left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{S}_{t}}\\ {\boldsymbol{S}_{t-1}}\end{array}\right]}_{\tilde{\boldsymbol{S}}_{t}}=\underbrace{\left[\begin{array}{c c}{\boldsymbol{G}(\boldsymbol{\theta})}&{\mathbf{0}}\\ {\boldsymbol{I}}&{\mathbf{0}}\end{array}\right]}_{\tilde{\boldsymbol{G}}}\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{S}_{t-1}}\\ {\boldsymbol{S}_{t-2}}\end{array}\right]}_{\tilde{\boldsymbol{S}}_{t-1}}+\underbrace{\left[\begin{array}{c}{\boldsymbol{H}(\boldsymbol{\theta})}\\ {\mathbf{0}}\end{array}\right]}_{\tilde{\boldsymbol{H}}}\boldsymbol{\varepsilon}_{t},\qquad\boldsymbol{\varepsilon}_{t}\sim N(\mathbf{0},\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{\theta})), $$

$ ^{8)} $ モデルの特定化の誤り，およびモデルの状態変数に適切なデータを対応させていない，といった影響は観測誤差が吸収することになる．例えば本研究は閉鎖経済モデルであるが，為替レートの影響によるデータの変動分は，観測誤差と捉えることになる．
ただし, $\pmb{I}$ は $J\times J$ の単位行列である．以下で示す推定法では, これら (3.4), (3.5) の状態空間モデルに基づいて説明する．また, 説明の便宜上, $\pmb{\Gamma}$ を $\pmb{\Gamma}=\{\pmb{\Psi},\pmb{R}\}$ とおき観測方程式のパラメータをあらわすこととする．

### 3.2 ベイズ推定法

本稿では観測誤差を導入した状態空間モデルのベイズ推定として, Boivin and Giannoni (2006) および Kryshko (2010) にしがたい, 複合 MCMC (hybrid MCMC) 法, (あるいは ギブス内メトロポリス (Metropolis-within-Gibbs) 法とも呼ばれる) を採用する。 $ ^{9)} $ ただし, 3.3 節で説明するシミュレーションスムーザの適用が先行研究との相違点であり 本稿の提案でもある.

DSGE モデルの推定法として複合 MCMC 法を採用する利点は，状態変数をサンプリングしてこの事後分布が作成できるだけでなく，構造ショックの事後分布を作成できる点である．さらに，この事後分布を利用することで歴史分解などの政策シミュレーションにおける事後分布の作成にも適用できる点が重要である．他方で，従来の推定法である MH アルゴリズムでは，構造ショックの事後分布が作成できないので政策シミュレーションの推定値の信用区間が得られず，政策分析においては大きな欠点となるだろう．

本稿の状態空間モデルにおいて推定する対象は，構造パラメータθ,観測方程式のパラメータΓ,およびモデルの状態変数STである．なお,遷移方程式のG(θ),H(θ),Q(θ)は構造パラメータθの関数であることに留意すれば,これら3つのパラメータと状態変数のθ,Γ,S^{T}を推定すれば足りることがわかる．

パラメータ $ \theta,\Gamma $ のベイズ推定は, 以下の手続きに則って実行される.

ステップ 1. パラメータ $ \theta, \Gamma $ の事前分布 $ p(\theta, \Gamma) $ を設定する．ただし， $ p(\theta, \Gamma) = p(\theta | \Gamma) p(\Gamma) $ である．

ステップ 2. ベイズの定理を利用して，事前分布 $ p(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\Gamma}) $ と尤度関数 $ p(\boldsymbol{X}^{T} | \boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\Gamma}) $ に基づき事後分布 $ p(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\Gamma} | \boldsymbol{X}^{T}) $ を算出する.

$$ p(\boldsymbol{\theta},\mathbf{\Gamma}|\mathbf{X}^{T})=\frac{p(\mathbf{X}^{T}|\boldsymbol{\theta},\mathbf{\Gamma})p(\boldsymbol{\theta},\mathbf{\Gamma})}{\int p(\mathbf{X}^{T}|\boldsymbol{\theta},\mathbf{\Gamma})p(\boldsymbol{\theta},\mathbf{\Gamma})d\boldsymbol{\theta}d\mathbf{\Gamma}}. $$

ステップ3. 事後分布 $ p(\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{\Gamma} | \boldsymbol{X}^{T}) $ からパラメータ $ \theta, \Gamma $ の統計的代表値を取得する.

しかしながら，ステップ2において，状態空間モデル(3.4)，(3.5)では，結合事後分布 $ p(\boldsymbol{\theta},\mathbf{\Gamma}|\mathbf{X}^{T}) $ から，同時にパラメータ $ \theta,\Gamma $ をサンプルするのは困難であり，以下のように構造パラメータ $ \theta $ と観測方程式のパラメータ $ \Gamma $ の2つの条件付事後分布からギブスサンプリングを行い，結合分布 $ p(\boldsymbol{\theta},\mathbf{\Gamma}|\mathbf{X}^{T}) $ をもとめることにする。

$$ p(\boldsymbol{\theta}|\mathbf{\Gamma},\mathbf{X}^{T}),\qquad p(\mathbf{\Gamma}|\boldsymbol{\theta},\mathbf{X}^{T}), $$
さらに条件付事後分布 $ p(\mathbf{\Gamma}|\boldsymbol{\theta}, \mathbf{X}^{T}) $ をもとめるためには, 以下で示されるアルゴリズムのステップ3でみるように, これを2つの条件付事後分布 $ p(\mathbf{S}^{T}|\mathbf{\Gamma}, \boldsymbol{\theta}, \mathbf{X}^{T}) $ , $ p(\mathbf{\Gamma}|\mathbf{S}^{T}, \boldsymbol{\theta}, \mathbf{X}^{T}) $ に分離しなくてはならない. 条件付事後分布 $ p(\mathbf{S}^{T}|\mathbf{\Gamma}, \boldsymbol{\theta}, \mathbf{X}^{T}) $ からの状態変数のサンプリングにはデータ拡大法としてシミュレーションスムーザを, 条件付事後分布 $ p(\mathbf{\Gamma}|\mathbf{S}^{T}, \boldsymbol{\theta}, \mathbf{X}^{T}) $ からのサンプリングにはギブスサンプリングを, 条件付事後分布 $ p(\boldsymbol{\theta}|\mathbf{\Gamma}, \mathbf{X}^{T}) $ からのサンプリングではMHアルゴリズムを, それぞれ使う. このようにパラメータに応じて異なるアルゴリズムを採用するのが複合MCMC法である.

観測誤差を導入した状態空間モデルにおける複合 MCMC 法は次のような 5 つのステップとして示される.

ステップ1. パラメータの初期値 $ \boldsymbol{\theta}^{(0)} $ および $ \boldsymbol{\Gamma}^{(0)} $ を特定化し, 繰り返し計算の計算回数のインデックスを g=1 とセットする.

ステップ2. 構造パラメータ $ \boldsymbol{\theta}^{(g-1)} $ の下で Sims (2002) の方法を利用して DSGE モデルの合理的期待均衡を計算し, $ \boldsymbol{G}(\boldsymbol{\theta}^{(g-1)}) $ , $ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{\theta}^{(g-1)}) $ および $ \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{\theta}^{(g-1)}) $ を得る.

ステップ3. $\mathbf{\Gamma}^{(g)}$ を $p(\mathbf{\Gamma}|\boldsymbol{\theta}^{(g-1)},\mathbf{X}^{T})$ からサンプリングする.

(3.1) 未知の状態変数 $ \pmb{S}_{t}^{(g)} $ を, de Jong and Shephard (1995) および Durbin and Koopman (2002) によるシミュレーションスムーザを利用して $ p(\pmb{S}^{T}|\pmb{\Gamma}^{(g-1)},\pmb{\theta}^{(g-1)},\pmb{X}^{T}) $ からサンプリングする. (詳細は 3.3 節で説明する.)

(3.2) サンプリングされた状態変数 $ \mathbf{S}^{T(g)} $ を使って, $ p(\mathbf{\Gamma}|\mathbf{S}^{T(g)},\boldsymbol{\theta}^{(g-1)},\mathbf{X}^{T}) $ から観測方程式のパラメータ $ \mathbf{\Gamma}^{(g)} $ をサンプリングする. (詳細は3.4節で説明する.)

ステップ4. $ p(\boldsymbol{\theta}|\boldsymbol{\Gamma}^{(g)}, \boldsymbol{X}^{T}) $ から, 構造パラメータ $ \boldsymbol{\theta}^{(g)} $ を以下の MH アルゴリズムでサンプリングする $ ^{10)} $

(4.1) 提案密度 $ p(\boldsymbol{\theta}|\boldsymbol{\theta}^{(g-1)}) $ からサンプリングされた構造パラメータ $ \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{(proposal)}} $ を使って, 採択確率 q を以下のように計算する. $ ^{11)} $

$$ q=\min\left[\frac{p(\pmb{\theta}^{(\mathrm{p r o p o s a l})}|\pmb{\Gamma}^{(g)},\pmb{X}^{T})p(\pmb{\theta}^{(g-1)}|\pmb{\theta}^{(\mathrm{p r o p o s a l})})}{p(\pmb{\theta}^{(g-1)}|\pmb{\Gamma}^{(g)},\pmb{X}^{T})p(\pmb{\theta}^{(\mathrm{p r o p o s a l})}|\pmb{\theta}^{(g-1)})},1\right]. $$

(4.2) 提案された構造パラメータ $ \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{(proposal)}} $ を確率 q で採択, 確率 1 - q で棄却する. 採択された場合, $ \boldsymbol{\theta}^{(g)} = \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{(proposal)}} $ とし, 棄却された場合, $ \boldsymbol{\theta}^{(g)} = \boldsymbol{\theta}^{(g-1)} $ とセットする.

ステップ5. 繰り返し計算のインデックスを $ g = g + 1 $ とセットし, ステップ2に戻る. この手続きを g = G まで繰り返す. なお, G は繰り返し計算の計算回数をあらわす. $ ^{12)} $