Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
ステップ 3 の詳細な計算方法については, 3.3 節および 3.4 節で述べることにする. ここではステップ 1 と 4 におけるアルゴリズムについて, それぞれ補足することとする.

まず，ステップ1の初期値に設定方法であるが，一般に，MCMCアルゴリズムは任意の初期値でもいずれは収束することは知られている．しかし，パラメータの数が相当数にのぼる場合ではその収束には相当の計算回数が要求されることが予想される．そこで本稿では効率的なサンプルを行うために，先行研究に倣い，次のように初期値を設定した．構造パラメータの初期値$\boldsymbol{\theta}^{(0)}$ の設定について，まず観測誤差を考慮しない通常のDSGEモデルの構造パラメータの事後密度のモードを数値計算でもとめ，これを初期値$\boldsymbol{\theta}^{(0)}$ として設定する．次に$\boldsymbol{\theta}^{(0)}$ の下でシミュレーションスムーザにより平滑化した状態変数を初期値$\boldsymbol{S}_{t}^{(0)}$ とする．最後に$\boldsymbol{S}_{t}^{(0)}$ と$\boldsymbol{X}^{T}$ を使って観測方程式のパラメータの初期値$\boldsymbol{\Gamma}^{(0)}$ を計算することとする．

次に，ステップ４の（4.1）における提案密度からのパラメータの発生法については，本稿では先行研究にしたがいランダムウォーク MH アルゴリズムを採用した．提案関数 $ \theta^{\mathrm{(proposal)}} $ は以下の式となる．

$$ \mathbf{\theta}^{(proposal)}=\mathbf{\theta}^{(g-1)}+\mathbf{u}_{t},\quad\mathbf{u}_{t}\sim N(\mathbf{0},c\mathbf{\Sigma}), $$

ここで, ∑ はランダムウォーク過程の分散共分散行列, c はその調整係数である. ∑ として, 初期値 $ \boldsymbol{\theta}^{(0)} $ を得るときに計算された対数事後分布 $ (l(\boldsymbol{\theta}) = \ln p(\boldsymbol{\theta} | \boldsymbol{\Gamma}, \boldsymbol{X}^{T})) $ のヘシアン $ (-l^{\prime\prime-1}(\hat{\boldsymbol{\theta}})) $ を設定した. さらに, ランダムウォーク MH でサンプリングする場合,

$$ p(\pmb{\theta}^{(g-1)}|\pmb{\theta}^{(\mathrm{p r o p o s a l})})=p(\pmb{\theta}^{(\mathrm{p r o p o s a l})}|\pmb{\theta}^{(g-1)}) $$

が成立するため, 採択確率 q は以下の式に帰着する.

$$ q=\min\left[\frac{f(\pmb{\theta}^{(\mathrm{p r o p o s a l})})}{f(\pmb{\theta}^{(g-1)})},1\right], $$

この式が示すように, 採択確率は提案密度 $ p(\boldsymbol{\theta} | \boldsymbol{\theta}^{(g-1)}) $ に依存しない. その結果, 事後密度と近似した形状をもつ提案密度を選択する必要が無くなる点がランダムウォーク MH の利点である. しかしながら, サンプルの候補となる値 $ \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{(proposal)}} $ は前回のサンプル $ \boldsymbol{\theta}^{(g-1)} $ の値に対してそれほど乖離しないようにすべきである. これは両者の乖離が大きい場合には採択確率 q が小さくなり MCMC の効率性が落ちるからである. q の低下を防止するためには調整係数 c の値を小さくとればよいのであるが, c が小さすぎると $ \boldsymbol{\theta}^{\mathrm{(proposal)}} $ のサンプリングの範囲が狭量になってしまう. Roberts et al. (1997) および Neal and Roberts (2008) はランダムウォーク MH における最適な採択確率 q は約 25% であることを報告している. したがって本稿においては, 採択確率が 25% の近い値になるように調整係数 c を設定している.

### 3.3 シミュレーションスムーザによる状態変数と構造ショックの推定法

3.2 節のステップ 3 の (3.1) で述べた状態変数の条件付事後分布 $ p(\boldsymbol{S}^{T}|\boldsymbol{\Gamma}^{(g-1)},\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{X}^{T}) $ によるサンプルは de Jong and Shephard (1995), Durbin and Koopman (2002) が提案した
ここで発生させた構造ショック $ \hat{\varepsilon}_{t} $ は状態変数の推定だけでなく, 5 節で説明する歴史分解 (Historical Decomposition) にも利用される. $ ^{13)} $ また, シミュレーションスムーザによる状態変数の推定値は, 次のように前向きに算出される.

$$ \tilde{\boldsymbol{S}}_{t+1|T}=\tilde{\boldsymbol{G}}\tilde{\boldsymbol{S}}_{t}+\boldsymbol{H}\hat{\boldsymbol{\varepsilon}}_{t|T},\qquad t=1,2,\cdots,T, $$

ただし初期値は $ \tilde{\pmb{S}}_{1|T} = \tilde{\pmb{S}}_{1|1} + \tilde{\pmb{P}}_{1|1}\pmb{r}_{0} $ により与えられる。ここで発生された $ \tilde{\pmb{S}}_{t}(t = 1,2,\cdots,T) $ が, 条件付事後分布 $ p(\pmb{S}^{T}|\pmb{\Gamma}^{(g-1)},\pmb{\theta},\pmb{X}^{T}) $ からのサンプリングとなる。

### 3.4 観測方程式のパラメータの推定法

3.2 節のステップ 3 の (3.2) で述べた条件付事後分布 $ p(\mathbf{\Gamma}|\mathbf{S}^{T(g)},\boldsymbol{\theta}^{(g-1)},\mathbf{X}^{T}) $ からの観測方程式のパラメータ $ \Gamma=\{R,\Psi\} $ のサンプリングは Chib and Greenberg (1994) が提案した $ \operatorname{AR}(1) $ の攪乱項をもつ回帰モデルの推定法を援用する.

R, Ψ のそれぞれを対角化行列と仮定しているので, モデルの状態変数 $ S^{T} $ を所与とすれば, k 本目の観測方程式から観測誤差は $ e_{k,t} = X_{k,t} - \Lambda_{k} S_{t} $ と計算できる. ここで, $ \Lambda_{k} $ は $ 1 \times J $ ベクトルであり, 行列 $ \Lambda $ の k 行目である. また, 観測誤差は $ e_{k,t} = \Psi_{kk} e_{k,t-1} + \nu_{k,t} $ , $ \nu_{k,t} \sim iid N(0, R_{kk}) $ の $ \mathrm{AR}(1) $ 過程にしたがう. ここで $ R_{kk} $ および $ \Psi_{kk} $ は, それぞれ R および $ \Psi $ の第 k 対角成分である. したがって, $ k = 1, \ldots, N $ の各観測方程式において, 観測誤差のパラメータ $ \Gamma $ のサンプリングは, $ R_{kk}, \Psi_{kk} $ 単位で独立に行うことができる. この 2 つのパラメータ $ R_{kk}, \Psi_{kk} $ の事後分布のサンプリングは, 以下に示す 2 つのステップを使って, 条件付事後分布: $ p(R_{kk} | \Psi_{kk}, S^{T}, \theta, X^{T}) $ , $ p(\Psi_{kk} | R_{kk}, S^{T}, \theta, X^{T}) $ から交互にギブスサンプリングを採用しておこなう. 以下では表現の簡便化を図るため, 観測方程式の k 本目の方程式に焦点を当てて考察する.

まず, 各 $ (R_{kk}, \Psi_{kk}) $ に対して, 次のような正規-逆ガンマ分布となる共役事前分布を設定する.

$$ \begin{align*}p(R_{kk},\Psi_{kk})\quad&=\quad p(R_{kk})p(\Psi_{kk})\\&=\quad IG(R_{kk}|s_{0},\nu_{0})\times N(\Psi_{kk}|\Psi_{0},\sigma^{2}_{\Psi_{0}})\mathbf{1}_{\{|\Psi_{kk}|<1\}}\end{align*} $$

ここで IG は逆ガンマ分布を示し, 1 は $ \{\cdot\} $ の内が真ならば 1, 偽ならば 0 となる指標関数である. 事前分布のパラメータは, Kryshko (2010) にしたがい, $ s_{0} = 0.001 $ , $ \nu_{0} = 3 $ , $ \Psi_{0} = 0 $ , $ \sigma_{\Psi_{0}}^{2} = 1 $ と設定する.

ステップ1. 条件付事後分布： $ p(R_{kk} \mid \Psi_{kk}, S^{T}, \theta, X^{T}) $ から $ R_{kk} $ のサンプリング

$ R_{kk} $ の条件付事後分布が, 逆ガンマ分布に比例し

$$ \begin{array}{r l}{p(R_{k k}|\Psi_{k k},\pmb{S}^{T},\pmb{X}^{T})}&{\propto\quad p(\pmb{X}^{T}|\pmb{S}^{T},R_{k k},\Psi_{k k},\pmb{\theta})p(R_{k k}).}\\ {}&{\propto\quad(R_{k k})^{-(\nu_{0}+T)/2-1}\exp\left(-\frac{s_{0}+\pmb{\nu}_{k}^{\prime}\pmb{\nu}_{k}}{2R_{k k}}\right)}\\ \end{array} $$
と書くことができることを以下に示そう．(3.12) 式の右辺にある事前分布 $ p(R_{kk}) $ は逆ガンマ分布として特定化しているので,

$$ \begin{align*}p(R_{kk})&=\frac{(s_{0}/2)^{\nu_{0}/2}}{\Gamma(\nu_{0}/2)}\left(R_{kk}\right)^{-\nu_{0}/2-1}\exp\bigg(-\frac{s_{0}}{2R_{kk}}\bigg)\\&\propto(R_{kk})^{-\nu_{0}/2-1}\exp\bigg(-\frac{s_{0}}{2R_{kk}}\bigg),\end{align*} $$

となる．ここで $ \nu_{0} $ と $ s_{0} $ は事前分布のパラメータである．次に，(3.12) 式の右辺の条件付尤度関数 $ p(\boldsymbol{X}^{T}|\boldsymbol{S}^{T}, R_{kk}, \Psi_{kk}, \boldsymbol{\theta}) $ をもとめよう．まず，

$$ X_{k,t}^{*}=X_{k,t}-\Psi_{k k}X_{k,t-1},\qquad\boldsymbol{S}_{t}^{*}=\boldsymbol{S}_{t}-\Psi_{k k}\boldsymbol{S}_{t-1} $$

とおき, $ X_{k}^{*} $ を $ T \times 1 $ ベクトルである $ X_{k}^{*} = [X_{k,1}^{*}, \ldots, X_{k,T}^{*}]' $ とし, $ S^{*} $ を $ T \times J $ 行列である $ S^{*} = [S_{1}^{*\prime}, \ldots, S_{T}^{*\prime}]' $ とする. 3.1 節で述べたように $ \Lambda_{k} $ が既知であり, $ X_{k}^{*} $ , $ S^{*} $ が所与であるので, 観測誤差の iid ショック $ \nu_{k} $ は以下のように導出できる.

$$ \boldsymbol{X}_{k}^{*}=\boldsymbol{S}^{*}\boldsymbol{\Lambda}_{k}^{\prime}+\boldsymbol{\nu}_{k}\Longleftrightarrow\boldsymbol{\nu}_{k}=\boldsymbol{X}_{k}^{*}-\boldsymbol{S}^{*}\boldsymbol{\Lambda}_{k}^{\prime}. $$

したがって, 条件付尤度関数 $ p(\boldsymbol{X}^{T}|\boldsymbol{S}^{T}, R_{kk}, \Psi_{kk}, \boldsymbol{\theta}) $ は,

$$ \begin{align*}p(\boldsymbol{X}^{T}|\boldsymbol{S}^{T},R_{kk},\Psi_{kk},\boldsymbol{\theta})\ &=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi R_{kk}}}\right)^{n}\exp\left\{-\frac{1}{2R_{kk}}\sum_{t=1}^{T}(X_{k,t}^{*}-\boldsymbol{S}_{t}^{*}\boldsymbol{\Lambda}_{k}^{\prime})^{2}\right\}\\&\propto\left(R_{kk}\right)^{-T/2}\exp\left(-\frac{\boldsymbol{\nu}_{k}^{\prime}\boldsymbol{\nu}_{k}}{2R_{kk}}\right)\end{align*} $$

となる．ここで，$\nu_{k}^{\prime}\nu_{k}=\sum_{t=1}^{T}(X_{k,t}^{*}-S_{t}^{*}\Lambda_{k}^{\prime})^{2}$ である．

以上により， $ R_{kk} $ の条件付事後分布が逆ガンマ分布に比例することがわかった。したがって，次のような逆ガンマ分布である $ R_{kk} $ の条件付事後分布から，観測誤差の分散 $ R_{kk} $ をサンプリングできる。

$$ \begin{aligned}R_{kk}|\Psi_{kk},\boldsymbol{S}^{T},\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{X}^{T}&\sim IG(\bar{s},\bar{\nu}),\\ ただし \quad\bar{s}&=s_{0}+\boldsymbol{\nu}_{k}^{\prime}\boldsymbol{\nu}_{k},\\\bar{\nu}&=\nu_{0}+T.\end{aligned} $$

ステップ 2. 条件付事後分布: $ p(\Psi_{kk} | R_{kk}, S^{T}, \theta, X^{T}) $ から $ \Psi_{kk} $ のサンプリング

$ \Psi_{kk} $ の条件付事後分布は,

$$ p(\Psi_{k k}|R_{k k},\boldsymbol{S}^{T},\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{X}^{T})\propto p(\boldsymbol{X}_{k}^{T}|\boldsymbol{S}^{T},R_{k k},\Psi_{k k},\boldsymbol{\theta})p(\Psi_{k k}), $$

と書くことができるが, この式の右辺の尤度関数 $ p(\boldsymbol{X}_{k}^{T} | \boldsymbol{S}^{T}, R_{kk}, \Psi_{kk}, \boldsymbol{\theta}) $ における観測誤差 $ e_{k,t} $ は,

$$ e_{k,t}=X_{k,t}-\mathbf{\Lambda}_{k}\boldsymbol{S}_{t}, $$
となり，いま $ e_{k}=[e_{k,2},\ldots,e_{k,T}]^{\prime},e_{k,-1}=[e_{k,1},\ldots,e_{k,T-1}]^{\prime} $ とおくと，

$$ \boldsymbol{e}_{k}=\boldsymbol{e}_{k,-1}\boldsymbol{\Psi}_{k k}+\boldsymbol{\nu}_{k}, $$

と書くことができる．このとき尤度関数は，$\hat{\Psi}_{kk}=(\boldsymbol{e}_{k,-1}^{\prime}\boldsymbol{e}_{k,-1})^{-1}\boldsymbol{e}_{k,-1}^{\prime}\boldsymbol{e}_{k}$ を利用すると，

$$ p(\boldsymbol{X}_{k}^{T}|\boldsymbol{S}^{T},R_{kk},\Psi_{kk},\boldsymbol{\theta})\propto\exp\left[-\frac{1}{2R_{kk}}(\Psi_{kk}-\hat{\Psi_{kk}})^{\prime}\boldsymbol{e}_{k,-1}^{\prime}\boldsymbol{e}_{k,-1}(\Psi_{kk}-\hat{\Psi}_{kk})\right], $$

となる．$\Psi_{kk}$ の事前分布は，$\Psi_{0}$ の平均，$\sigma_{\Psi,0}^{2}$ の分散をもつ切断された正規分布であり，

$$ p(\Psi_{k k})\quad\propto\quad\exp\left[-\frac{1}{2\sigma_{\Psi,0}^{2}}(\Psi_{k k}-\Psi_{0})^{2}\right]\times\mathbf{1}_{|\Psi_{k k}|<1}, $$

と示せるので, 条件付事後分布は,

$$ \begin{align*}p(\Psi_{kk}|R_{kk},\boldsymbol{S}^{T},\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{X}^{T})\quad&\propto\quad\exp\left[-\frac{1}{2R_{kk}}(\Psi_{kk}-\hat{\Psi_{kk}}^{\prime})\boldsymbol{e}_{k,-1}^{\prime}\boldsymbol{e}_{k,-1}(\Psi_{kk}-\hat{\Psi}_{kk})\right]\\&\times\quad\exp\left[-\frac{1}{2\sigma_{\Psi,0}^{2}}(\Psi_{kk}-\Psi_{0})^{2}\right]\times\mathbf{1}_{|\Psi_{kk}|<1},\end{align*} $$

である．すなわち，$\Psi_{kk}$ の条件付事後密度は2つの正規分布の密度関数の積に比例することがわかる．したがって，観測誤差の係数パラメータ$\Psi_{kk}$ は以下の切断された正規分布からサンプリングを行う．14）

$$ \begin{aligned}&\Psi_{kk}|R_{kk},\boldsymbol{S}^{T},\boldsymbol{\theta},\boldsymbol{X}^{T}\sim N(\bar{\Psi}_{kk},\bar{V}_{\Psi_{kk}})\times\mathbf{1}_{\{|\Psi_{kk}|<1\}},\\ ただし \quad&\bar{V}_{\Psi_{kk}}=\left[(R_{kk}(\boldsymbol{e}^{\prime}_{k,-1}\boldsymbol{e}_{k,-1})^{-1})^{-1}+(\sigma^{2}_{\Psi,0})^{-1}\right]^{-1},\\&\bar{\Psi}_{kk}=\bar{V}_{kk}\left[(R_{kk}(\boldsymbol{e}^{\prime}_{k,-1}\boldsymbol{e}_{k,-1})^{-1})^{-1}\hat{\Psi}_{kk}+(\sigma^{2}_{\Psi,0})^{-1}\Psi_{0}\right].\end{aligned} $$

## 4 パラメータの設定とデータ

### 4.1 観測変数と観測誤差

推定にあたっては, 観測変数 $ X_{t} $ として, Smets and Wouters (2003, 2007) および Christiano et al. (2005) と同様に, (1) 産出: $ y_{t} $ , (2) 消費: $ c_{t} $ , (3) 投資: $ i_{t} $ , (4) 労働供給: $ l_{t} $ , (5) 実質賃金: $ w_{t} $ , (6) インフレ率: $ \pi_{t} $ , (7) 名目利子率: $ R_{t} $ の7変数を選択する. これらの7つの観測変数は7つの状態変数と1対1対応の関係をもち, 従来のDSGEモデルではデータの観測誤差 $ e_{it} $ の存在を考慮せずに, 観測変数 $ X_{it} $ と状態変数 $ S_{it} $ は同一のものとしていた $ (X_{it} = S_{it}) $ . 他方で, 本稿のモデルではデータの観測誤差の存在を仮定し, 観測変数と状態変数の関係を $ X_{it} = S_{it} + e_{it} $ とおいている. ただし, 観測変数のうち, 名目利子率は金
融政策を通じて中央銀行が直接コントロールすることが可能であり, 観測誤差が発生する要因が無いと思われるため, 名目利子率における観測誤差を除くこととし, $ e_{t}^{R}=0 $ と設定する. したがって, 名目利子率を除いた6つの観測変数に観測誤差を導入する.

また, 賃金および価格のマークアップショックという2つの構造ショック $ \varepsilon_{t}^{w} $ および $ \varepsilon_{t}^{p} $ は, 観測誤差と識別することが困難であるため, 観測誤差を導入して推定を行う際には, (2.4) 式, (2.8) 式から除外するものとする。したがって, 本稿では, Smets and Wouters (2003, 2007) および Christiano et al. (2005) のモデルとは違い, 賃金やインフレ率といった DSGE モデルの状態変数の変動は, マークアップショックを除く構造ショックの変動および観測誤差に起因するものと仮定する。この点は, 従来の DSGE モデルとは異なる点である。本稿と同じくマークアップショックを観測誤差に置き換えたモデルに Justinian and Primiceri (2008) や Fueki et al. (2010) がある。ただし, 彼らが MH アルゴリズムを採用しているのに対して, われわれの推定法はシミュレーションスムーザを平滑法としてもつ複合 MCMC 法を採用している点が異なる。

1 節でも述べたように, 本稿の動機のひとつは, 観測誤差を導入することによる状態変数と構造パラメータの推定値への影響を考察することにあるので, 「観測誤差なしのケース」と「観測誤差ありのケース」の2つのケースの推定と比較を行う. 「観測誤差なしのケース」では, Smets and Wouters (2003, 2007) と同様に観測誤差を付加しない通常のDSGEモデルを推定する. 他方で, 「観測誤差ありのケース」では, 観測誤差を導入したDSGEモデルを推定する. なお, 「観測誤差なしのケース」では構造ショックとして賃金と価格のマークアップショックを含めるのに対し, 「観測誤差ありのケース」ではその2つの構造ショックを除いている点に留意されたい.

### 4.2 パラメータのカリブレーションと事前分布

本モデルにおける景気循環の要因である7つの構造ショックは互いに独立であると仮定する。また、エクイティプレミアムショック $ \varepsilon_{t}^{q} $ と金融政策ショック $ \varepsilon_{t}^{m} $ の2つの構造ショックはiidショックであり、選好ショック $ \varepsilon_{t}^{c} $ ，TFPショック $ \varepsilon_{t}^{z} $ ，投資財固有の生産性ショック $ \varepsilon_{t}^{inv} $ ，労働供給ショック $ \varepsilon_{t}^{L} $ ，財政支出ショック $ \varepsilon_{t}^{g} $ といった残りの5つの構造ショックには慣性があるとし、AR(1)過程にしたがうと仮定する。そこで表1の示すように、AR項の係数パラメータ $ \rho $ の事前分布として、定常条件 $ \rho \in (0,1) $ を満たすようにベータ分布に特定化し、平均0.85，標準誤差0.10という比較的強い事前分布を想定している。また、iidショック $ \varepsilon_{t} $ の分散は正值であるため、その事前分布は逆ガンマ分布に特定化した。

Smets and Wouters (2003, 2007), Levin et al. (2005) および Onatski and Williams (2010) と同様に, いくつかの構造パラメータは事前にカリブレートする必要がある. 日本のデータを利用した DSGE モデルのベイズ推定の先行研究は Sugo and Ueda (2008) などに限られているため, 本稿では上述の日本や米国や欧州に対する先行研究にしたがって, パラメータをカリブレートすることとする.

まず, 主観的割引因子 $ \beta $ は 0.99 と設定した. これによって実質利子率の定常値が年率で 4% と想定したことになる. 資本減耗率 $ \tau $ は四半期当たりで 0.025 とし, 年率で換算すると 10% の資本減耗を想定することになる. 以上の設定から, 資本の実質レンタル率の定常
値も $ \bar{r}^{k} = \frac{1}{\beta} - (1 - \tau) $ と計算できる．資本分配率 $ \alpha $ は 0.30 とし，労働の所得分配率の定常値が 70% であると想定した．財政支出・産出比率の定常値 $ g_{y} $ は 0.1 とし，資本・産出比率 $ k_{y} $ （資本係数）の定常値を 1.5 と設定した．加えて，識別が困難であるため，Onatski and Williams (2010) にしたがい，賃金のマークアップ率のパラメータ $ \lambda_{w} $ も 0.05 と設定した．

残りの構造パラメータに関しては, 表1のように, Smets and Wouters (2003) にしたがって事前分布を特定化した. 事前分布の平均は, 主として Smets and Wouters (2003) にしたがって設定しており, その標準誤差はパラメータの値がリーズナブルな範囲をカバーするように設定している. 例えば, 価格と賃金のカルボパラメータ $ \xi_{p} $ と $ \xi_{w} $ の平均は価格および賃金の平均契約期間が1年であるという Galí et al. (2001) の推定結果に概ね沿うように0.75に設定し, 一方でその標準偏差は, 契約期間が3四半期から2年まで変動しうるように0.15に設定している. 同様に, 消費の異時点間の代替弾力性 $ \sigma_{c} $ の平均は1と設定した. 資本稼働率の費用関数の弾力性 $ \psi $ の平均は0.2とし, King and Rebelo (1999) が報告している値である0.1まで変動しうる標準偏差を設定している. 生産の固定費用のシェア $ \phi $ の平均は1.45とし, これはChristiano et al. (2005) に近い値に設定している. 労働供給の賃金弾力性 $ \sigma_{L} $ の平均は2と設定しているが, ミクロデータに基づく研究で報告されている低い弾性値からDSGEモデルの推定結果で報告されている比較的高い値まで広い範囲の値を取りうる標準偏差を設定している. 最後に, 金融政策のパラメータの平均については, 合理的期待均衡の一意性を保証すべく, インフレ率にかかるパラメータ $ \mu_{\pi} $ を1.7, 利子率平準化のパラメータ $ \rho_{m} $ の平均として0.8, GDPギャップにかかる係数 $ \mu_{y} $ として0.5と設定した.

## [表1]

### 4.3 データ

推定には日本のマクロ経済の四半期データを利用するが, 本稿の推定期間は Sugo and Ueda (2008) に倣い, 第2次石油ショックとゼロ金利政策の期間を除く 1981:Q1 から 1995:Q4 の 15 年間である. この期間に限定した理由は, 金融政策のテイラールールおよび DSGE モデルが線形モデルであることに拠る.

7つの観測変数 $ X_{t} $ に該当するデータとして, (1) 産出 $ y_{t} $ として一人当たりの実質 GDP (単位は 100 万円, 基準年は 1990 年, 季節調整済み), (2) 消費 $ c_{t} $ として名目民間最終消費支出を GDP デフレータと労働人口で除した一人当たりの実質消費 (単位その他は GDP と同様), (3) 投資 $ i_{t} $ として名目民間企業設備投資を GDP デフレータと労働人口で除した一人当たりの実質投資 (単位その他は GDP と同様), (4) 労働供給量 $ l_{t} $ として労働時間指数と総雇用量の積を労働人口で除した系列, (5) 実質賃金 $ w_{t} $ として名目賃金指数を GDP デフレータで除した実質賃金指数, (6) インフレ率 $ \pi_{t} $ として GDP デフレータの変化率の年率換算値, (7) 名目利子率 $ R_{t} $ として無担保コールレートを利用し年率換算したもの, を採用する. 他方で, 資本ストック $ K_{t} $ や資本財のシャドウプライス $ q_{t} $ は, Smets and Wouters (2003) と同様, 観測不可能な状態変数とした.

産出 $ y_{t} $ ，消費 $ c_{t} $ ，投資 $ i_{t} $ ，労働供給 $ l_{t} $ ，実質賃金 $ w_{t} $ の 5 つの実質系列のトレンド除去
の方法は, 自然対数化した後, Hodrick-Prescott フィルタでトレンドを除去する. さらに, この系列を 100 倍することで定常値からの乖離を % 表示に変換した系列として利用する. 他方で, 名目利子率 $ R_{t} $ とインフレ率 $ \pi_{t} $ の 2 系列は % 表示である値から Hodrick-Prescott フィルタでトレンドを除去する. $ ^{15)} $ そして推定に際しては, 全てのデータを demean したものを利用した. これらのデータ処理した値は観測変数 $ X_{t} $ として図 1 の実線として示されている.

[図1]

## 5 推定結果

本節では、本稿において提案した複合 MCMC 法による DSGE モデルの推定結果を報告するとともに、その推定結果を従来の DSGE モデルの推定結果と比較する。具体的には、観測誤差が無いケース（MH アルゴリズムを用いて推定）と観測誤差が有るケース（複合 MCMC 法を用いて推定）の 2 つのケースでモデルを推定し、パラメータの推定結果、平滑化した状態変数、ならびにインフレ率と実質賃金の歴史分解の結果について報告する。

なお，パラメータおよび状態変数，歴史分解等の事後分布の推定にあたっては，MH アルゴリズムおよび複合 MCMC 法両方において 300,000 回の計算を行い，このうち最初の 100,000 回を burn-in として標本を捨て，burn-in 以降の 200,000 回から事後分布の統計量を作成した．ただし，MCMC からサンプリングされた値は自己相関があるので，この影響を取り除くために thinning を 10 とし（すなわち，発生させた値から 9 個飛ばしで 10 個目の値をサンプリングする），標本は 20,000 個である．統計量として標本平均，標本の標準偏差，標本の 90% 信用区間，さらに標本平均の標準誤差を計算した． $ ^{16)} $

### 5.1 パラメータの推定結果

まず, 観測誤差が有るケースと無いケースにおける構造パラメータの事後分布の平均, 標準誤差, 標準偏差, ならびに90%信用区間の推定結果について報告する. 表2において報
告されている通り，観測誤差が無いケースと有るケースの間で事後分布の推定結果に違いが見られる．特に価格のインデクセーション $ (\gamma_{p}) $ ，賃金のカルボパラメータ $ (\xi_{w}) $ ，TFP ショックの標準偏差 $ (\varepsilon_{z}) $ ，労働供給ショックの標準偏差 $ (\varepsilon_{L}) $ ，財政支出ショックの標準偏差 $ (\varepsilon_{g}) $ の観測誤差が有るケースでの事後平均は，無いケースにおける事後分布の90%信用区間の外にあり，パラメータの事後分布に明白な差異が認められる．価格のインデクセーションならびに賃金のカルボパラメータについては，価格や賃金データの短期的にボラタイルな変動をマークアップショックという構造ショックとして捉えるか，あるいは観測誤差として捉えるかの差が両ケースにおける推定結果に顕著な影響を及ぼしたものと考えられる（5.2において後述）．一方で，比較的安定的な変動を示す産出，消費，投資，ならびに労働のデータは，観測誤差の影響が軽微であったため，これらのデータに係る構造パラメータ $ (h,\gamma_{c},\gamma_{L},1/\varphi,\phi,\psi) $ については，両ケースの間で事後分布の推定結果に大きな違いが発生しなかったものと思われる．構造ショックの標準偏差については，観測されたデータの変動を全て構造ショックとして捉えるケースと観測誤差の存在を容認するケースとでは，構造ショックの標準偏差の推定に差が生じることは当然と言え，この差がTFPショック，労働供給ショック，あるいは財政支出ショックの標準偏差の推定の差に現れたものと思われる．

また, パラメータの推定結果に差異を生じさせるもう一つの可能性として, 林（1986）によって指摘された, 観測誤差に起因する推定バイアスが挙げられる. 観測誤差が現に存在するケースにおいて, その存在を無視してモデルの構造パラメータを推定した場合, 推定値にバイアスが生じることを林（1986）は指摘している. 林（1986）の指摘はベイズ統計学の枠組みにおける指摘ではないものの, 本稿において観測誤差が有るケースと無いケースの間でパラメータの事後分布に差異が生じた背景に, このようなバイアスの可能性があることも考慮に入れる必要があるであろう.

## [表2]

### 5.2 平滑化した状態変数

次に, 観測誤差が有るケースにおける状態変数の平滑化の結果について報告する．なお, 観測誤差が無いケースでは, 観測変数とモデルの状態変数が確定的に結びついているため, 状態変数を平滑化することができない点に注意されたい．

$$ \begin{aligned}&\hat{\gamma}(i)=\frac{1}{M}\sum_{k=i+1}^{M}(\theta^{(k)}-\bar{\theta})(\theta^{(k-1)}-\bar{\theta}),\\&K(z)=\left\{\begin{array}{ll}1-6z^{2}+6z^{3},&z\in[0,\frac{1}{2}]\\&\\&2(1-z)^{3},\qquad z\in[\frac{1}{2},1]\end{array}\right.\\ \end{aligned} $$
図1において,産出,消費,投資,労働,実質賃金,インフレ率の各経済変数を平滑化した結果を示している. $ ^{17)} $ 図1から分かるとおり,産出,消費,投資,ならびに労働においては,観察されたデータと平滑化された状態変数の間にそれほど顕著な差は認められないものの,実質賃金とインフレ率との間では,その差が顕著にあらわれている.つまりこれは,産出,消費,投資,ならびに労働においては,観測誤差の影響が比較的小さく,実質賃金とインフレ率において,観測誤差の影響が比較的大きいことを意味している.

Smets and Wouters (2003, 2007) や Sugo and Ueda (2008) 等のように観測誤差が無いケースでは, 実質賃金とインフレ率データのボラタイルな動きを価格や賃金のマークアップショック—つまりモデルの構造ショック—として捕捉していた. 本稿のように観測誤差を考慮に入れるケースでは, これらのボラタイルな動きの大部分は, 構造ショックとしてではなく観測誤差として捉えられており, モデルの状態変数としての実質賃金ならびにインフレ率は著しく平滑化されている. この結果は, 実質賃金とインフレ率をボラタイルな状態変数として捉えてきた従来の DSGE モデルとは対照的である.

さらに, 実質賃金とインフレ率を滑らかな状態変数と捉えるか, あるいはボラタイルな状態変数と捉えるかでは, 価格ならびに賃金に係る構造パラメータの推定に当然影響を及ぼすものと考えられ, 前段でも指摘した通り, 価格のインデクセーションと賃金のカルボパラメータの両ケースの間での事後分布の推定結果の差として現れたものと思われる. 現に, 観測誤差が無いケースでは, 価格のインデクセーションの事後平均が 0.329 だった一方で, 観測誤差が有るケースでは事後平均が 0.789 となっており, インフレ率はより粘着的な状態変数として捉えられている. 賃金のカルボパラメータに関しても, 観測誤差が有るケースでの事後平均は 0.701 で, 無しのケースよりも高い値であり, 賃金がより硬直的な状態変数として捉えられている. このことから, 観測誤差が有るケースにおける実質賃金とインフレ率の平滑結果は, 表 2 で報告されたパラメータの推定結果と整合的であると言える.

### 5.3 歷史分解

最後に, 観測誤差が無いケースと有るケースでの歴史分解の結果について報告する．歴史分解とは, ある観察されたデータついて各構造ショックの寄与度を計算し, データの過去の動きを構造ショックによって説明する試みである．歴史分解は Smets and Wouters (2003, 2007) や Sugo and Ueda (2008) でも為されており, 本稿もそれに倣うものである．本稿では, 観測誤差の影響が比較的大きかったインフレ率と実質賃金のデータに焦点を当てて歴史分解の結果について報告する． $ ^{18)} $

図２において，上段に観測誤差が無いケースでのインフレ率の歴史分解を示し，下段に
観測誤差が有るケースでのインフレ率の歴史分解を示している．ここで,観測誤差が無いケースでの歴史分解（図2上段）では,便宜上,価格と賃金に関するマークアップショックの寄与度については除去してあり,観測誤差が有るケースの歴史分解（図2下段）では,観測誤差の寄与度について除去してある．これは,両ケース共通である7つの構造ショック $ ^{19)} $ による寄与度の比較を容易にするためである．なお,図2における赤い破線は,観測誤差が無いケースでは価格と賃金のマークアップショックの寄与度を除いた7つの構造ショックの寄与度の和を示しており,観測誤差が有るケースでは観測誤差の寄与度を除いた7つの構造ショックの寄与度（つまり,平滑化したインフレ率）を示している．

まず, 両ケースにおける赤い破線に着目すると, 観測誤差が無いケースでは80年代後半にインフレ率が高く, 90年代初頭に低くなっているが, 一方で, 観測誤差が有るケースでは80年代後半では低く, 90年代初頭に比較的高い値を取っている. これは, インフレ率の基調的な動きの説明に両ケースで差があることを示唆している. この説明の差がどこから発生したかについて詳しく見ると, 主に労働供給ショックとTFPショックの寄与度の違いにその原因を求めることができる. 観測誤差が有るケースでは, 80年代後半に労働供給ショックがインフレ率に対して負の方向に寄与し, 90年代初頭には正の方向に寄与している. しかし, 観測誤差が無いケースでは, そもそも労働供給ショック自体がインフレ率の動きに対してほとんど寄与していない. 逆にTFPショックについて見ると, 観測誤差が無いケースでは80年代後半にインフレ率に対する正の方向での寄与が認められるが, 観測誤差が有るケースではそもそもTFPショックのインフレ率に対する寄与を確認することが困難であるほどに小さい.

次に図3において, 実質賃金の歴史分解の結果を報告する. 図の読み方は, 図2と同じ要領である. まず確認できることは, 両ケースにおいて7つの構造ショックによる実質賃金の説明力が弱い点である. つまり, 観測誤差が無いケースでは, 実質賃金の説明をほぼマークアップショックに依存しており, 観測誤差が有るケースでは, ほぼ観測誤差に依存している. 両ケースにおける赤い破線の動向を比較すると, 定性的には比較的同様の推移となっているものの, 観測誤差が有るケースでは, 無いケースと比べて, 90年代初頭に若干高い値となっている. この違いは, 両ケースの間での労働供給ショックの寄与度の違いに主な原因があり, 観測誤差が無いケースでは労働供給ショックの寄与がほとんど見られないものの, 観測誤差が有るケースでは労働供給ショックの寄与が割と大きく出ているのが図3から確認できる.

[図2]

[図3]
## 6 結語

本稿は，シミュレーションスムーザによる平滑法を有する複合 MCMC 法を利用して，観測誤差を持つ DSGE モデルの汎用的な推定法を提案した．Boivin and Giannoni (2006) および Kryshko (2010) は, AR(1) 過程をもつ観測誤差を想定した DSGE モデルに対して複合 MCMC 法を提案し，状態変数の平滑法に際して Carter and Kohn (1994) の手法を採用した．しかし，Carter and Kohn の手法は，状態変数の分散共分散行列のサンプリング中に非正定値行列が発生することでサンプリングが中断してしまうという問題が生じる．そこで本稿では状態変数の平滑法として，de Jong and Shephard (1995) および Durbin and Koopman (2002) が提案したシミュレーションスムーザを採用することによりこの問題を克服した．

本稿ではまた，日本のマクロデータを利用して，観測誤差の有るDSGEモデルの推定結果（複合MCMC法を用いた推定）と，観測誤差が無いDSGEモデルの推定結果（MHアルゴリズムを用いた推定）との比較を行った．観測誤差が無い従来のケースと観測誤差が有る本稿のケースとでは，構造パラメータや構造ショックの推定結果，ならびに歴史分解の結果において無視し難い差異が生じることを示した．従来のDSGEモデルのように，インフレ率や実質賃金データに見られるボラタイルな動きをマークアップショックとして捉えるアプローチは，これらをモデルの構造ショックとして扱うことを意味しており，ボラタイルな動きを観測誤差（つまり非構造ショック）として扱う本稿のアプローチとは本質的に異なる．そのため，両ケースの間で推定結果に無視し難い差異が生じたものと推察される．インフレ率や実質賃金のボラタイルな動きを構造ショックと見るか，あるいは観測誤差と見るかは，研究者の嗜好・主観にも依存するが，Stock and Watson (2007)，Cogley et al. (2010)，Edge and Gürkaynak (2010)等によって報告されているように，近年インフレ率がノイズのような举動を示すためその予測が困難となりつつある現状を鑑みれば，インフレ率や実質賃金のボラタイルな動きは，モデルの構造ショックとしてではなく，観測誤差として取り扱う方がより現実的と思われる．そして，観測誤差を伴うDSGEモデルの推定の際には，シミュレーションスムーザによる平滑法を有する複合MCMC法が有用であるものと考える．
## 参考文献

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