これを以下のように書き換える。まず、(4.4)式に $ y_{t}^{(1)} $ を付加して、以下のように変形する。

$$ \left[\begin{array}{c}{{{y_{t}^{(1)}}}} \\{{{y_{t}^{(n)}-y_{t}^{(1)}}}} \\{{{C I_{t}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{{{\bar{y}^{(1)}}}} \\{{{0}}} \\{{{\tau_{C I t-1}^{(2)}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c c c}{{{\gamma_{1}}}}&{{{\gamma_{2}}}}&{{{\gamma_{3}}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{\delta_{2}\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{{\tau_{C I t}^{(1)}}}} \\{{{c_{t}^{(l)}}}} \\{{{c_{t}^{*(l)}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{{{\varepsilon_{0t}}}} \\{{{\varepsilon_{y t}}}} \\{{{\varepsilon_{C I t}}}}\end{array}\right], $$

ここで、 $ \bar{y}^{(1)} $ は満期が1期のイールドの平均であり、長短スプレッド： $ y_{t}^{(n)} - y_{t}^{(1)} $ のトレンドは $ \tau_{yt}^{(2)} = 0 $ と設定した。これらの推定値 $ \tau_{CI t}^{(j)} $ ， $ c_{t}^{(i)} $ ， $ c_{t}^{*(i)} $ は、4.1 節で説明したモデルと同様にカルマンフィルタと最尤法を利用して推定する。パラメータの推定値は表2のとおりである。

k 期先の $ CI_{t} $ の期待値は、3 因子を説明変数とした以下の式として表せる。

$$ \begin{align*}E_{t}[CI_{t+k}]-\tau_{CI t}^{(2)}\quad&=\quad k\tau_{CI t}^{(1)}+\left[\begin{array}{ccc}{{{\delta_{2}\cos\left(\left(k+\xi_{2}\right)\lambda_{c}\right)}}}&{{{\delta_{2}\sin\left(\left(k+\xi_{2}\right)\lambda_{c}\right)}}} \\\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{{c_{t}^{(l)}}}} \\{{{c_{t}^{*(l)}}}}\end{array}\right]\\&=\quad\left[\begin{array}{ccc}{{{k\tau_{CI t}^{(1)}}}}&{{{\delta_{2}\cos\left(\left(k+\xi_{2}\right)\lambda_{c}\right)}}}&{{{\delta_{2}\sin\left(\left(k+\xi_{2}\right)\lambda_{c}\right)}}} \\\end{array}\right]\\&\times\quad\left[\begin{array}{ccc}{{{\gamma_{1}}}}&{{{\gamma_{2}}}}&{{{\gamma_{3}}}} \\{{{0}}}&{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{1}}}&{{{\delta_{2}\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c}{{{y_{t}^{(1)}-\bar{y}_{t}^{(1)}}}} \\{{{y_{t}^{(n)}-y_{t}^{(1)}}}} \\{{{CI_{t}-\tau_{CI t}^{(2)}}}}\end{array}\right]\\&=\quad\Psi_{(k)}X_{t},\end{align*} $$

この(4.11)式は、まず位相偏移(phase shift)の関係を表した式(4.4)の下段の式を利用して、k期先の $ CI_{t} $ を $ c_{t}^{(l)} $ , $ c_{t}^{*(l)} $ , $ \tau_{CI_{t}}^{(2)} $ であらわして、これに式(4.10)を代入することで導出できる。したがって、一致CIのk期先の予測モデル(4.9)の3つの説明変数 $ (y_{t}^{(0.5)},y_{t}^{(10)}-y_{t}^{(0.5)},CI_{t}) $ に対する各係数 $ \beta_{k}^{(n)} $ の値は、アフィン型期間構造モデル（式(4.5)および(4.6)）のパラメータの推定値 $ \Phi,\Sigma $ および(4.11)式の係数 $ \Psi^{(k)} $ を以下の式(4.12)に代入することにより算出できる。

$$ \beta_{k}^{(n)}=(\boldsymbol{B}\boldsymbol{\Sigma}_{X}\boldsymbol{\Sigma}_{X}^{\prime}\boldsymbol{B}^{\prime})^{-1}[\boldsymbol{B}\boldsymbol{\Sigma}_{X}\boldsymbol{\Sigma}_{X}^{\prime}\boldsymbol{\Psi}_{(k)\prime}], $$

ここで $ \Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime} $ は、因子 $ X_{t} $ の分散共分散行列であり、 $ \mathrm{vec}(\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime}) = (I - \Phi \otimes \Phi)^{-1} \mathrm{vec}(\Sigma\Sigma^{\prime}) $ から算定している。また、 $ B = \left[ \begin{array}{cc} e_{1} & (b_{n} - b_{1})^{\prime} \quad e_{3} \end{array} \right]^{\prime} $ ， $ e_{1} = \left[ 1 \ 0 \ 0 \right]^{\prime} $ ， $ e_{3} = \left[ 0 \ 0 \ 1 \right]^{\prime} $ および $ b_{n} - b_{1} = \left[ b_{n1} - b_{11} \quad b_{n2} - b_{12} \quad b_{n3} - b_{13} \right] $ である。

#### Step 4. $ CI_{t} $ の k 期先予測モデル (4.9) の決定係数 $ R^{2} $ の導出

上の予測式 (4.9) の決定係数 $ R^{2} $ は以下の式 (4.13) から計算できる。