Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
## 2 アフィン型金利の期間構造モデル

### 2.1 債券価格とアフィン・プロセス

リスク中立確率測度 Q の下での、t 期における満期 n である債券価格 $ p_{t}^{(n)} $ の無裁定条件は、次式のように示すことができる。

$$ p_{t}^{(n)}\;=\;E_{t}^{\mathbb{Q}}(\mathcal{M}_{t+1}\;\times\;p_{t+1}^{(n-1)}) $$

ここで、 $ M_{t} $ は pricing kernel である $ ^{1} $ 。いま、この pricing kernel を因子 $ X_{t} $ の関数 $ \mathcal{M}(X_{t},t) $ と仮定し、かつ 2.3 節で示される 2 つの仮定を満たすならば、債券価格 $ p_{t}^{(n)} $ は次の (2.1) 式で示すことができる (Duffie and Kan, 1996)。

$$ p_{t}^{(n)}=\exp(A_{n}+B_{n}^{\prime}\;X_{t}) $$

ここで因子 $ X_{t} $ は因子数を N とすると $ N \times 1 $ のベクトルである。 $ A_{n} $ と $ B_{n} $ は満期 n における債券価格を決定する係数 (ファクターローディング) であり、それぞれスカラーと $ N \times 1 $ のベクトルである。またこの式の右辺がアフィンプロセスである $ ^{2} $ 。

$ ^{1} $ リスク中立確率測度 Q の下では、Pricing Kernel: $ M_{t} $ は無リスク金利: $ r_{t} $ のみで表現できて、

$$ \mathcal{M}_{t+1}=\exp\left(-\int_{t}^{t+1}r_{s}d s\right) $$

となる。現実確率測度 P の下での $ M_{t} $ の動学モデルは、無リスク金利のほかにリスクの市場価格: $ \Lambda_{t} $ が加わり、これを利用して

$$ \frac{d\mathcal{M}_{t}}{\mathcal{M}_{t}}=-r_{t}d t-\Lambda_{t}^{\prime}d W $$

と表すことができる。したがって、$\mathbb{P}$ の下での $\mathcal{M}_{t}$ は、伊藤の公式から、

$$ \mathcal{M}_{t+1}=\exp\left[-\int_{t}^{t+1}r_{s}ds-\frac{1}{2}\int_{t}^{t+1}\Lambda_{s}^{\prime}\Lambda_{s}ds-\int_{t}^{t+1}\Lambda_{s}^{\prime}dW\right] $$

となる。また、この Q から P へ測度変換は、Radon-Nikodym 微分: $ \frac{dP}{dQ} $ ，を使うと

$$ E_{\mathbb{P}}\big(\mathcal{M}_{t}\big)=E_{\mathbb{Q}}\bigg(\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{Q}}\mathcal{M}_{t}\bigg),\qquad E_{\mathbb{P}}\big(X_{t}\big)=E_{\mathbb{Q}}\bigg(\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{Q}}X_{t}\bigg) $$

と表せる。なお、この Radon-Nikodym 微分は

$$ \left(\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{Q}}\right)_{T,t}=\exp\left[-\frac{1}{2}\int_{t}^{T}\Lambda_{s}^{\prime}\Lambda_{s}d s-\int_{t}^{T}\Lambda_{s}^{\prime}d W\right] $$

である。なお、リスクの市場価格 $ \Lambda_{t} $ とリスク中立確率 Q、現実確率 P の関係については 2.3 節で説明する。 $ ^{2} $ アフィンプロセスの解説およびこの債券価格への適用についてのテキストとして Singleton(2006) がある。また、アフィン型金利期間構造モデルのサーベイ論文としては Piazzeki(2009) および紅林 (2008) がある。
式(2.1)より、満期nにおけるイールド $ y_{t}^{(n)} $ は以下の式(2.2)のように示せる。

$$ y_{t}^{(n)}\;=\;-\frac{\log p_{t}^{(n)}}{n}\;=\;\frac{A_{n}}{n}+\frac{B_{n}}{n}\;X_{t}\;=\;a_{n}+b_{n}\;X_{t} $$

したがって、債券価格を式(2.1)のようにアフィンプロセスで表せると仮定するならば、満期nのイールド $ y_{t}^{(n)} $ は、式(2.2)のように因子 $ X_{t} $ と線形の関係をもつことになる。このモデルをアフィン型の金利の期間構造モデルと呼んでいる。なお、アフィン型の金利の期間構造モデルは、Duffie and Kan(1996)により提案され、Duffee(2002)により拡張されたが、これらの詳細については2.3節で解説する。

### 2.2 マクロ・ファイナンスモデル

前節でみたアフィン型の金利の期間構造モデルは、イールド $ y_{t}^{(n)} $ を因子 $ X_{t} $ の線形が表現できるので非常に使い勝手がよい。従来の金利の期間構造モデルでは Vasicek モデルや CIR モデルなどが利用されてきたが、これらは因子の数が 2 つと限定されている上に、この 2 つの因子にもモデル固有の意味づけが与えられていた。他方で、本稿が扱うアフィン型の金利の期間構造モデルでは、因子の数が限定されないという点であり、さらに因子そのものにもモデル固有の意味づけが与えられていない点である。この特徴を生かして、アフィンモデルの因子としてマクロ経済変数を採用しようというものがマクロ-ファイナンスモデルであり、Ang, and Piazzesi (2003) によって提案された。彼らは VAR モデルにアフィンモデルを融合したものであったが、さらに、VAR モデルの代わりにマクロ経済の構造モデルを導入することで、よりいっそうの経済モデルの一般化あるいは拡張性が図れるだろう。たとえば、Bekaert, Cho and Moreno (2010) は、ニューケインジアンモデルをアフィン型金利の期間構造モデルに取り込んでいる。

マクロ-ファイナンスモデルの概念をより簡略的に捉えようとすれば、以下の2つのタイプに分類できて、本稿のとるアプローチは後者に属することになる。

(1). アフィン型期間構造モデルの因子 $ X_{t} $ にマクロ変数を加えることにより

「マクロ経済変数 (原因) → イールド $ y_{t}^{(n)} $ (結果)」の関係を捉えるタイプ (Ang, Piazzesi, 2003)

(2). アフィン型期間構造モデルから、「イールド $ y_{t}^{(n)} $ (原因) → マクロ経済変数 (結果)」の関係を捉えるタイプ。(Ang, Piazzesi, and Wei, 2006)
### 2.3 アフィン型の金利の期間構造モデル

2.1 節では、アフィン型モデルがイールドと因子の関係において線形関係をもつモデルであると述べたが、本節では、このアフィン型金利の期間構造モデルについて、さらに詳細に見ていくことにする。

Duffie and Kan (1996) は、「ある正則条件の下で、債券価格 $ p_{t}^{(n)} $ が、（式 (2.1) の右辺のような）アフィンプロセスとして表されることと、リスク中立確率測度 Q の下で因子 $ X_{t} $ のドリフト、ボラティリティの 2 乗および無リスク金利が因子 $ X_{t} $ の線形関数になることが同値である。」ことを示した。(木島・田中 (2007), p123) すなわち、「リスク中立確率 Q の下で因子 $ X_{t} $ が動学モデル (2.3) 式として表現でき (仮定 1)、かつ無リスク金利 $ r_{t} $ を (2.4) 式として記述できる (仮定 2) のであれば、債券価格 $ p_{t}^{(n)} $ の決定式が (2.1) 式として表現できる。また、この逆も同様である。」(Piazzeci, 2009, p703-709) また、この (2.1) 式の係数 $ A_{n}, B_{n} $ は、以下のような連立微分方程式に従う。

$$ \begin{aligned}&\frac{d A(n)}{d n}=-\delta_{0}+B(n)^{\prime}\kappa^{\mathbb{Q}}X_{t}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\Big[\left.B(n)^{\prime}\Sigma\right]_{i}^{2}\sigma_{0i}\\ &\\ &\frac{d B(n)}{d n}=-\delta_{X}-\kappa^{\mathbb{Q}^{\prime}}B(n)+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\Big[\left.B(n)^{\prime}\Sigma\right]_{i}^{2}\sigma_{X i}\\ \end{aligned} $$

ただし、満期 $n=0$ のとき、$A(0)=0, B(0)=0$ である。また、$N$ は因数 $X_{t}$ の数であり $i$ 番目の因子 $X_{it}$ の拡散過程を $\sigma_{it}=\sqrt{\sigma_{0i}+\sigma_{Xi}^{\prime}X_{t}}$ とおいた。この連立微分方程式を離散化したものが (2.6) 式と (2.7) 式である。(なお、(2.6) および (2.7) 式の導出において、本モデルの拡散過程が正規分布に従うとする仮定より、$\sigma_{0i}=1, \sigma_{Xi}=0$ とおいた。)$^{3}$

$$ \begin{align*}\frac{dp(n,t)}{p(n,t)}\quad&=\quad B(n)^{\prime}dX_{t}+\frac{1}{2}|B(n)^{\prime}\Sigma_{t}|^{2}dt-(\partial A(n)+\partial B(n)X_{t})dt\\&=\quad\big(B(n)^{\prime}\kappa^{\mathbb{Q}}(\mu^{\mathbb{Q}}-X_{t})+\frac{1}{2}|B(n)^{\prime}\Sigma_{t}|^{2}-\partial A(n)-\partial B(n)^{\prime}X_{t}\big)dt+B(n)^{\prime}\Sigma_{t} dW_{t}^{\mathbb{Q}}\end{align*} $$

$$ B(n)^{\prime}\kappa^{\mathbb{Q}}(\mu^{\mathbb{Q}}-X_{t})+\frac{1}{2}|B(n)^{\prime}\Sigma_{t}|^{2}-\partial A(n)-\partial B(n)^{\prime}X_{t}=\delta_{0}+\delta_{X}X_{t} $$

となり、この式はすべての $t$ と $X_{t}$ で成立しなくてはならない。この式を $X_{t}$ の項で整理すると

$$ \left(-\partial B(n)-\delta_{X}-\kappa^{\mathbb{Q}^{\prime}}B(n)+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left[B(n)^{\prime}\Sigma\right]_{i}^{2}\sigma_{X i}\right)^{\prime}X_{t}+\left(-\partial A(n)-\delta_{0}+B(n)^{\prime}\kappa^{\mathbb{Q}}X_{t}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}\left[B(n)^{\prime}\Sigma\right]_{i}^{2}\sigma_{0i}\right)=0 $$
このアフィン型モデルを考察するにあたって、以下、リスク中立確率測度Qと現実確率測度Pに分類して整理していこう。まず、リスク中立確率測度の下における期間構造モデルから見ていこう。

## (1) リスク中立確率測度 (Q) における因子動学 (VAR(1)) モデル

N 個の因子 $ X_{t} $ は、離散モデルでは以下の式 (2.3) のように 1 次の次数をもつ VAR モデルにしたがって運動していると仮定する。

$$ X_{t+1}=\mu_{t}^{\mathbb{Q}}+\Sigma\;\varepsilon_{t+1}^{\mathbb{Q}},\quad\varepsilon_{t}^{\mathbb{Q}}\sim N(0,1) $$

ここで、 $ X_{t} $ は $ N \times 1 $ ベクトルをもつ因子である。 $ \mu_{t}^{P} $ は $ N \times 1 $ ベクトルのドリフトであり $ X_{t} $ の線形関数、 $ \mu_{t}^{\mathbb{Q}} = X_{t} + \kappa^{\mathbb{Q}} \left( \theta^{\mathbb{Q}} - X_{t} \right) $ である。 $ \Sigma $ は $ N \times N $ の下三角行列のボラティリティである。なお、本モデルのボラティリティ $ \Sigma $ は一定の分散をもつ正規分布に従うように仮定している。一般のアフィン型モデルでは確率的変動ボラティリティ $ \Sigma(X_{t}, t) $ は $ X_{t} $ の線形関数として可変であることに留意すべきである。

## (2) イールドと因子の関係式 (Q の下での無裁定条件)

2.1 節でみたように、リスク中立確率測度の下では債券価格 $ p_{t}^{(n)} $ は無裁定条件 (2.1) を満たすことから、イールドと因子の関係は式 (2.2) となる。これを書き直すと、次のとおりとなる。なお、(2.5) 式は (2.2) 式の再掲になっている。

## (i) 短期金利 $ (n = 1) $ の関係式

$$ r_{t}=\delta_{0}+\delta_{X}\;X_{t}, $$

(ii) 各満期 $ n = 2, \cdots, N $ におけるイールド $ y_{t}^{(n)} $ の関係式

$$ y_{t}^{(n)}\;=\;a_{n}+b_{n}^{\prime}\;X_{t}\;=\;\frac{A_{n}}{n}+\frac{B_{n}^{\prime}}{n}\;X_{t}, $$

## (3) $ A_{n} $ と $ B_{n} $ の関係式

式(2.5)にある係数 $ A_{n} $ と $ B_{n} $ の導出式は以下の式(2.6)および(2.7)のとおりである。なお、この値は連続関数であるアフィン型モデルの偏微分方程式を解いて、その解を離散の変数へ近似した式である。このアフィンモデルの解法についてはDuffie and Kan (1996)を参照のこと。

が導かれる。
$$ A_{n+1}=\delta_{0}+(\kappa^{\mathbb{Q}}\theta^{\mathbb{Q}})^{\prime}B_{n}-\frac{1}{2}B_{n}^{\prime}\Sigma\Sigma^{\prime}B_{n}+A_{n}, $$

$$ B_{n+1}=\delta_{X}+B_{n}-\kappa^{\mathbb{Q}}B_{n}, $$

ここで、 $ A_{0}=0, B_{0}=0 $ 。また $ A_{1}=\delta_{0}, B_{1}=\delta_{Y} $ と設定する。

次に、現実確率測度の下における因子の運動モデルについて説明する。

## (4) 現実確率測度 (P) での因子動学モデル

$$ X_{t+1}=\mu_{t}^{\mathbb{P}}+\Sigma\varepsilon_{t+1}^{\mathbb{P}},\quad\varepsilon_{t}^{\mathbb{P}}\sim\mathbf{i i d}N(0,1) $$

この動学モデル (2.8) のドリフトは $ X_{t} $ の線形関数、 $ \mu_{t}^{\mathbb{P}} = X_{t} + \kappa^{\mathbb{P}}\left(\theta^{\mathbb{P}} - X_{t}\right) $ となるので、上でみたりスク中立確率測度 Q の下における因子動学モデル (2.3) と同様に、離散変数を用いると 1 次の次数の VAR モデルで推定することができる。また、ボラティリティ $ \Sigma $ の大きさはリスク中立確率測度のモデル (2.3) と同じ値 $ \Sigma $ であるが、ドリフト項 $ \mu_{t}^{\mathbb{P}} $ は (2.3) 式の $ \mu_{t}^{\mathbb{Q}} $ と異なる値をもつことに留意すべきである。

## (5) 現実確率 (P)、リスク中立確率 (Q) とリスクの市場価格 $ \Lambda_{t} $ の関係

式(2.8)の現実確率測度のドリフト項 $ \mu_{t}^{P} $ と式(2.3)のリスク中立確率測度のドリフト項 $ \mu_{t}^{Q} $ の関係は、リスクの市場価格 $ \Lambda_{t} $ によって表すことができる。

$$ \mu_{t}^{\mathbb{Q}}\;=\;\mu_{t}^{\mathbb{P}}\;+\;\Sigma\;\Lambda_{t}. $$

ここで、$\Lambda_{t}$ は $N\times1$ ベクトルの「リスクの市場価格 (market prices of risks)」である。この式 (2.9) の意味するところは、現実確率測度の下のドリフト項とボラティリティが推定されて、リスクの市場価格が特定されれば、リスク中立確率測度の下でのドリフト項が自動的に確定するということであり、または反対に、リスク中立確率測度の下でのドリフト項が特定されればリスクの市場価格が自動的に確定するということである。このように現実確率測度のドリフト項 $\mu_{t}^{\mathbb{P}}$ とリスク中立確率測度のドリフト項 $\mu_{t}^{\mathbb{Q}}$ の関係は互いに拘束しあう関係である。
最後に、このリスクの市場価格 $ \Lambda_{t} $ の観点から、以下の 2 つのタイプのアフィン型期間構造モデルがあることを示しておく。

## (6) コンプリートリー・アフィンモデル (Duffie and Kan, 1996)

これは Duffie and Kan (1996) によって提案されたモデルである。

$$ \Lambda_{t}\;=\;\Sigma^{-1}\;\lambda_{0} $$

ここで、$\lambda_{0}$ は定数である。式(2.10)のように Duffie and Kan (1996) のモデルでは、リスクの市場価格 $\Lambda_{t}$ の変動は、ボラティリティ $\Sigma_{t}$ の変動のみによって依存していたが本モデルではボラティリティ $\Sigma_{t}$ は固定と仮定しているので、もしコンプリートリー・アフィンモデルを採用するとリスクの市場価格 $\Lambda_{t}$ は定数となる。

## (7) エッセンシャリー・アフィン・モデル (Duffee, 2002)

これは Duffee, (2002) によって提案されたモデルである。

$$ \Lambda_{t}=\Sigma^{-1}\left(\lambda_{0}+\lambda_{X}X_{t}\right) $$

ここで、$\lambda_{0}$ と $\lambda_{X}$ は定数である。式 (2.11) のように Duffee (2002) のモデルでは、リスクの市場価格 $\Lambda_{t}$ の変動は、ボラティリティ $\Sigma_{t}$ と因子 $X_{t}$ のそれぞれの変動によって依存している。したがって、本モデルではボラティリティ $\Sigma_{t}$ は固定と仮定しているが、もしエッセンシャリー・アフィン・モデルを採用すると、因子 $x_{t}$ の変動にあわせてリスクの市場価格 $\Lambda_{t}$ は可変となる。

### 2.4 日本のエッセンシャリー・アフィン型金利の期間構造モデルの推定

本節では、エッセンシャリー・アフィン型モデルを使って、日本の国債の金利の期間構造を推定した。推定期間は1995年1月から2010年5月であり、データとして採用したイールドは、満期が0.5年、1年、2年、5年、10年の計5系列の月次データである。なお、各満期のイールドの値は、Vasicek and Fong (1982)に基づき国債をゼロクーポンとして計算したものである。(Vasicek and Fong (1982)の手法については7節の補論に記した。)これらの時系列は図4(a)にある。図4(a)の緑の影の部分は景気後退期をあらわしている。

因子 $ X_{t} $ の因子数を 3 つ $ (N = 3) $ とした。これは主成分分析によると因子数を 3 つとすることで、金利の期間構造の変動の 99% をカバーすることが指摘されているか
らである。(Litterman and Scheikman, 1991) この3つの因子として、イールドの水準: level = $ y_{t}^{(0.5)} $ ，イールドの勾配: slope = $ y_{t}^{(10)} - y_{t}^{(0.5)} $ ，景気一致指数の水準: $ CI_{t} $ を採用した。前者の2系列は図4(b)に描いた。景気一致指数 $ CI_{t} $ は図1にある。なお、これら3つの変数を標準化、すなわち平均0、分散1（ $ N(0,1) $ ）へ変換した系列を因子 $ X_{t} $ として利用した。

また、このモデルの推定方法としては、Ang, Piazzesi and Wei (2006)が提案した2段階推定を利用する。この推定方法の利点は、推定量の頑健性、一致性が担保されながら、推定手法の簡便さと最適な推定値の探索速度(収束速度)の高速化が図れる点である。アフィンモデルの2段階推定法は、以下のとおりである。

第1ステップ (現実確率測度 P の下での動学モデル (2.8) 式の推定)

OLS で VAR(1) モデル $ X_{t} = \kappa^{\mathbb{P}}\theta^{\mathbb{P}} + (1 - \kappa^{\mathbb{P}})X_{t-1} + \Sigma\varepsilon_{t}^{\mathbb{P}} $ を推定し、ボラティリティのパラメータ $ \Sigma $ の推定値を得る。

第2ステップ（リスク中立確率測度 Q の下でのアフィンモデル (2.5) 式とリスクの市場価格 (2.11) 式の推定）(2.5) 式に誤差項 $ e_{t} $ を付加し、 $ y_{t}^{(n)} = a_{n} + b_{n}^{\prime} X_{t} + e_{t} $ を最尤法から推定して、パラメータ $ \kappa^{Q}, \theta^{Q} $ および $ \delta_{0}, \delta_{Y} $ の推定値を算出する。このとき、第1ステップで推定した $ \Sigma $ を与件としてファクターローディング $ a_{n}, b_{n} $ は (2.6) 式と (2.7) 式から算定するものとする。最後に、(2.9) 式と (2.11) 式からリスクの市場価格のパラメータ $ \lambda_{0} $ と $ \lambda_{X} $ を導出する。

各パラメータの推定結果は、表1にある。さらに、このパラメータの推定値から式(2.6)と式(2.7)に基づいて算定したファクターローデイング $ a_{n}(=A_{n}/n) $ と $ b_{n}(=B_{n}/n) $ は図5に記されている。この図にある $ a_{n} $ の値は、因子 $ X_{t} $ は標準化されて平均が0なので、ちょうど各満期における平均イールドとなっている。 $ b_{n} $ は各因子の係数であり、勾配(Slope)の因子の係数が満期が大きくなるにつれて大きく変化していることがわかる。他方で、一致指数(CI)の係数はほぼ0の近辺にあり、景気一致指数がイールドカーブには影響を与えていないのがわかる。図6は実際のイールドの実測値とアフィンモデルから推定した推定値を2つ描いたグラフであるが、極めて高いフィットで各満期のイールドを推定していることがこの図からうかがえる。(表1には、各イールド5系列の決定係数 $ R^{2} $ が記してあるが、すべてのイールドで0.913から0.999という高い値をしめしている。)

[ 表 1 ]

[図 4 — 図 6]
## 3 マクロ・ファイナンス-VAR(1)型予測モデル

### 3.1 Ang, Piazzesi and Wei (2006) の予測モデル

Ang, Piazzesi, and Wei (2006) は、金利の期間構造が将来の実質 GDP の成長率に対してどの程度の予測力を有するのかについて、2 節で述べたアフィン型モデルから推定した。彼らの手法について以下解説する。

### Step 1. アフィン型金利の期間構造モデルの推定

アフィン型金利の期間構造モデルは、以下の式 (3.1) と式 (3.2) である。これについては 2 節のモデルと同様であり、式 (3.2) で利用されるファクターローディング, $ a_{n}(=A_{n}/n) $ , $ b_{n}(=B_{n}/n) $ , は式 (2.6), (2.7) により導出される。

$$ X_{t}=\delta+\Phi^{\mathbb{P}}X_{t-1}+\Sigma\;\varepsilon_{t}, $$

$$ y_{t}^{(n)}=a_{n}+b_{n}\;X_{t}=\frac{A_{n}}{n}+\frac{B_{n}}{n}X_{t}, $$

ここで、式(3.1)は現実確率測度Pの下での動学方程式なので係数Φに添え字にPを付した。Ang, Piazzesi and Wei (2006)は、因子 $ X_{t} $ として3変数 $ X_{t}=[y_{t}^{(1)},y_{t}^{(10)}-y_{t}^{(1)},g_{t}]' $ 、すなわち、イールドの水準： $ y_{t}^{(1)} $ ，勾配： $ (y_{t}^{(10)}-y_{t}^{(1)}) $ ，実質GDPの成長率： $ g_{t}=\log(GDP_{t})-\log(GDP_{t-1}) $ ，を採用している。

推定方法ついては、2.4節で述べた2段階推定法を利用している。すなわち、まず第1段階として現実確率測度Pの下で式(3.1)を推定し、次に第2段階として式(3.1)で得たパラメータの推定値を利用してリスク中立確率測度Qの下で式(3.2)を推定するというものである。

### Step 2. GDP の予測式の推定法

Ang, Piazzesi and Wei (2006) は実質 GDP の成長率の予測式として、式 (3.3) を設定した。

$$ g_{t\rightarrow t+k}\;=\;\alpha_{k}^{(n)}+\beta_{k,1}^{(n)}\;y_{t}^{(1)}+\beta_{k,2}^{(n)}\;(y_{t}^{(n)}-y^{(1)})+\beta_{k,3}^{(n)}\;g_{t}+\varepsilon_{t+k,k}^{(n)}, $$

ここで、 $ g_{t\rightarrow t+k}=\frac{1}{k}\left[\log(GDP_{t+k})-\log(GDP_{t})\right] $ であり k 期先までの四半期ベースの平均成長率を示している。t 期における k 期先までの GDP の平均成長率を予測の対
象としている。係数 $ \beta_{k,1}^{(n)} $ は、満期が n のイールド $ y_{t}^{(n)} $ に対応した k 期先の予測値の係数である。

Step 3. k 期先予測モデル (3.3) の説明変数 $ (y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(n)} - y_{t}^{(1)}, g_{t}) $ の係数 $ \beta_{k}^{(n)} $ の導出法実質 GDP 成長率の k 期先予測モデル (3.3) の説明変数 $ (y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(n)} - y_{t}^{(1)}, g_{t}) $ に対する各係数 $ \beta_{k}^{(n)} $ の推定には、以下の式 (3.4) にアフィン型期間構造モデル、式 (3.1), (3.2)、のパラメータの推定値を代入して算定する。

$$ \beta_{k}^{(n)}=\left(B\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime}B^{\prime}\right)^{-1}\left[B\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime}\tilde{\Phi}_{k}^{\prime}\Phi^{\prime}e_{3}\right], $$

ここで、$\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime}$ は因子$X_{t}$ の分散共分散行列であり、$vec(\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime})=(I-\Phi\otimes\Phi)^{-1}vec(\Sigma\Sigma^{\prime})$ から算出した。また、$B=[e_{1},b_{n}-b_{1},e_{3}]^{\prime},\quad e_{1}=[1\ 0\ 0]^{\prime},\quad e_{3}=[0\ 0\ 1]^{\prime}$ であり。$\tilde{\Phi}_{k}=\frac{1}{k}=\sum_{j=0}^{k-1}\Phi^{j}=\frac{1}{k}(I-\Phi)^{-1}(I-\Phi^{k})$ である。なお、導出方法についてはAng, Piazzesi and Wei (2006)を参照されたい。

この手法をアメリカに適用した推定結果は、Ang, Piazzesi and Wei (2006) によると OLS のケースでは、長短スプレッドの係数の値は非常に大きい。また、短期金利のみで予測した場合の係数の値と3変数で予測した場合の短期金利の係数の値は大きく食い違う。他方で、マクロファイナンスモデルで推定した場合、長短スプレッドの係数の値は比較的小さい。また、短期金利のみで予測した場合の係数と3変数で予測した場合の短期金利の係数は大変に近い値をとることが、彼らによって指摘されている。

### 3.2 日本の景気一致指数（一致 CI）の応用

本節では、Ang, Piazzesi, and Wei (2006) の手法に従い、金利の期間構造が将来の景気一致指数 (一致 CI) に対してどの程度の予測力を有するのかについて、アフィン型モデルから以下の手順で推定する。

### Step 1. アフィン型金利の期間構造モデルの推定

本節で利用するアフィン型モデルは、Ang, Piazzesi, and Wei (2006) と同様である。したがって、以下の式 (3.5) は現実確率測度 P の下での因子 $ X_{t} $ の動学モデルである。(2.4 節と同じモデルである。)

$$ X_{t}=\delta+\Phi^{\mathbb{P}}X_{t-1}+\Sigma\;\varepsilon_{t}, $$

$$ y_{t}^{(n)}=a_{n}+b_{n}\;X_{t}, $$
$$ A_{n+1}=\delta_{0}+(\kappa^{\mathbb{Q}}\theta^{\mathbb{Q}})^{\prime}B_{n}-\frac{1}{2}B_{n}^{\prime}\Sigma\Sigma^{\prime}B_{n}+A_{n}, $$

$$ B_{n+1}=\delta_{Y}+B_{n}-\kappa^{\mathbb{Q}}B_{n}, $$

ここで、因子 $ X_{t} $ として 3 変数 $ X_{t} = [y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(h)} - y_{t}^{(1)}, CI_{t}]' $ 、すなわち、イールドの水準: $ y_{t}^{(1)} $ ，勾配: $ (y_{t}^{(h)} - y_{t}^{(1)}) $ ，景気一致指数の水準データ $ CI_{t} $ ，を選択した。なお、本研究では長期のイールドの満期を $ h = 10(\text{年}) $ とし短期のイールドの満期を 0.5 年として長短スプレッドの因子は $ y_{t}^{(10)} - y_{t}^{(0.5)} $ を利用している。また、ベクトル $ b_{n} = [b_{n1} \ b_{n2} \ b_{n3}] $ であり、 $ b_{ni} $ は各因子 $ X_{it} $ に対応するファクターローディング (係数) である。これらの推定結果は 2.4 節と同様に、表 1 にはパラメータの推定値を、また図 5 にはファクターローディングを記した。

### Step 2. 一致 CI の k 期先予測モデル

k 期先の景気一致指数 $ CI_{t+k} $ の予測モデルとして、以下の式 (3.9) を利用する。

$$ \hat{C I}_{t+k}\;=\;\alpha_{k}^{(n)}+\beta_{k,1}^{(n)}\;y_{t}^{(1)}+\beta_{k,2}^{(n)}\;(y_{t}^{(n)}-y_{t}^{(1)})+\beta_{k,3}^{(n)}\;C I_{t}+\varepsilon_{t+k,k}^{(n)}, $$

予測式 (2.5) における Ang, Piazzesi, and Wei (2006) の研究との相違点は、彼らが時系列の「成長率」(換言すると「変化率」) を予測対象としていたのに対して、本研究では時系列の「水準」そのものを予測対象としていることにある。本研究が水準データを採用する理由は、「実質 GDP」においてはその成長率が景気循環に対応しているのに対して、「景気一致指数」においてはその水準が景気循環に対応しているからである。また、予測対象を「水準」とすることで以下の予測式の係数や決定係数の計算が簡便化されるのが特徴である。

#### Step 3. CI の k 期先予測モデル (3.9) の説明変数 $ (y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(n)} - y_{t}^{(1)}, CI_{t}) $ の係数 $ \beta_{k}^{(n)} $ の推定

一致 CI の k 期先の予測モデル (3.9) の説明変数 $ (y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(n)} - y_{t}^{(1)}, CI_{t}) $ に対する各係数 $ \beta_{k}^{(n)} $ の推定には、以下の式 (3.10) にアフィン型期間構造モデル、式 (3.5), (3.6)、のパラメータの推定値を代入して算定する。

$$ \beta_{k}^{(n)}=(B\;\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime}\;B^{\prime})^{-1}\;[B\;\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime}\;(\Phi^{k})^{\prime}\;e_{3}\;, $$

ここで $ \Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime} $ は、因子 $ X_{t} $ の分散共分散行列であり、 $ vec(\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime})=(I-\Phi\otimes\Phi)^{-1}vec(\Sigma\Sigma^{\prime}) $ から算定している。また、 $ B=\left[e_{1}\left(b_{n}-b_{1}\right)^{\prime}e_{3}\right]^{\prime},\quad e_{1}=\left[1\ 0\ 0\right]^{\prime},\quad e_{3}=\left[0\ 0\ 1\right]^{\prime} $
および $ b_{n}-b_{1}=\left[b_{n1}-b_{11}\quad b_{n2}-b_{12}\quad b_{n3}-b_{13}\right] $ である。ここで用いるファクターローディング $ b_{n}, b_{1} $ は図5のものである。

この式 (3.10) の導出法であるが、予測式 (3.9) は、 $ Z = [y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(n)} - y_{t}^{(1)}, CI_{t}], Y = E_{t}(CI_{t;k}) $ とすると回帰モデル $ Y = Z\beta $ として表せて、最小2乗法からその係数の推定値は $ \hat{\beta} = (Z'Z)^{-1}Z'Y $ と書ける。また、式 (3.5) の因子の動学モデルから k 期先の $ \hat{CI}_{t+k} (= Y) $ は $ \hat{CI}_{t+k} = e_{3}' \Phi^{k} X_{t} $ と表せ、さらに式 (3.6) から長短スプレッドは $ y_{t}^{(n)} - y_{t}^{(1)} = (b_{n} - b_{1})X_{t} $ とあらわせることから、因子 $ X_{t} $ で予測式 (3.9) は表現できて $ Y = Z\beta = XB'\beta $ となる。この式を $ \hat{\beta} = (Z'Z)^{-1}Z'Y $ に代入すると (3.10) が導出できる。

#### Step 4. CI の k 期先予測モデル (2.5) の決定係数 $ R^{2} $ の算出

上の予測式 (3.9) の決定係数 $ R^{2} $ は以下の式 (3.11) から計算できる。

$$ \begin{array}{r}{R^{2}\;=\;\frac{\beta_{k}^{\left(n\right)^{\prime}}\;B\left(\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime}\right)\;B^{\prime}\;\beta_{k}^{\left(n\right)}}{e_{3}^{\prime}\;\Phi^{k}\left(\Sigma_{X}\Sigma_{X}^{\prime}\right)\;\Phi^{k^{\prime}}\;e_{3}\;+\;e_{3}^{\prime}\;(\;\sum_{i=1}^{k}\;\Phi^{k-i}(\Sigma\Sigma^{\prime})\Phi^{k-i^{\prime}}\;)\;e_{3}},}\end{array} $$

なお、決定係数 $ R^{2} $ とは一般に $ R^{2}=\sum(\hat{Y}-\bar{Y})^{2}/\sum(Y-\bar{Y})^{2} $ から計算している。この式の $ \hat{Y} $ は予測値であり、Y は実際の観測値である。実測値は予測値と誤差項に分解できるので $ Y=\hat{Y}+\varepsilon $ と表現できる。したがって、式 (3.11) の分子は予測値の分散を表し、分母は予測値と誤差項の分散の和であるので、この比率が決定係数を示していることがわかる。

以上、4つのステップから景気一致指数の予測を行った。この推定結果については5節で論じることとする。

## 4 マクロ・ファイナンス-多変量バンドパス型予測モデル

### 4.1 多変量バンドパスフィルタ

Valle e Azevedo, Koopman and Rua (2006) は、Runstler(2004) の位相偏移モデルを、1節でふれた Harvey and Trimbur (2003) の単変量の一般化バターワースフィルタに組み込み、多変量バンドパスフィルタモデルを開発した。この多変量バンドパスフィルタモデル
ルは、次数 $ (m,l) $ をもつ多変量構造時系列モデルであり、以下の式 $ (4.1) $ ， $ (4.2) $ ， $ (4.3) $ から構成される。

## (1) 観測方程式

$$ \left[\begin{array}{c}{{{y_{1t}}}} \\{{{y_{2t}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{y_{S t}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{{{\tau_{1t}^{(m)}}}} \\{{{\tau_{2t}^{(m)}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\tau_{S t}^{(m)}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c c}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{\delta_{2}\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\delta_{S}\cos(\xi_{S}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{S}\sin(\xi_{S}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{{c_{t}^{(l)}}}} \\{{{c_{t}^{*(l)}}}} \\\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{{{\varepsilon_{1t}}}} \\{{{\varepsilon_{2t}}}} \\{{{\vdots}}} \\{{{\varepsilon_{S t}}}}\end{array}\right] $$

(2) m 次の確率トレンドモデル (ローパス・フィルタに該当)

$$ \tau_{st}^{(1)}=\tau_{st-1}^{(1)}+\eta_{st},\quad\tau_{st}^{(i)}=\tau_{st-1}^{(i)}+\tau_{st-1}^{(i-1)},\quad\eta_{st}\sim N(0,\sigma_{\eta_{s}}^{2}),\quad i=1,2,\cdots,m,\quad s=1,2,\cdots,S $$

(3) l 次の確率サイクルモデル (バンドパス・フィルタに該当)

$$ \left[\begin{array}{c}c_{t}^{(1)}\\ c_{t}^{*(1)}\end{array}\right]=\rho\left[\begin{array}{c c}\cos\lambda_{c}&\sin\lambda_{c}\\ -\sin\lambda_{c}&\cos\lambda_{c}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c_{t-1}^{(1)}\\ c_{t-1}^{*(1)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}\kappa_{t}\\ \kappa_{t}^{*}\end{array}\right],\quad\kappa_{t},\kappa_{t}^{*}\sim N(0,\sigma_{\kappa}^{2}) $$

$$ \left[\begin{array}{c}c_{t}^{(j)}\\ c_{t}^{*(j)}\end{array}\right]=\rho\left[\begin{array}{c c}\cos\lambda_{c}&\sin\lambda_{c}\\ -\sin\lambda_{c}&\cos\lambda_{c}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c_{t-1}^{(j)}\\ c_{t-1}^{*(j)}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}c_{t-1}^{(j-1)}\\ c_{t-1}^{*(j-1)}\end{array}\right],\quad j=1,2,\cdots,l, $$

ここで、 $ y_{st} $ は S 個の観測されるマクロ経済変数の時系列データである。 $ \tau_{st}^{(m)} $ , $ c_{t}^{(l)} $ , $ c_{t}^{*(l)} $ は潜在変数であり、 $ \tau_{st}^{(m)} $ は m 次のトレンドであり S 個ある。 $ c_{t}^{(l)} $ は l 次のサイクル成分であり、 $ c_{t}^{*(l)} $ はそのペアとなるサイクル成分である。また $ \lambda_{c} $ は景気循環の周波数、 $ \xi_{i} $ は位相偏移 (Phase shift) (単位は月数) を表す。位相偏移 $ \xi_{st} $ とは $ y_{1t} $ と $ y_{st} $ の変数間の先行 (lead) と遅行 (lag) の大きさを表す尺度であり、もし $ \xi_{i} > 0 $ ならば先行であり、 $ \xi_{i} < 0 $ ならば遅行である。この位相偏移 $ \xi_{it} $ と変数間の先行・遅行の大きさ、循環図との対応関係は図 7 にまとめた。この図から見られるように、パラメータ $ \xi_{i} $ の範囲は $ -1/2\pi < \xi_{i}\lambda_{c} < 1/2\pi $ である。もし $ \xi_{i} $ がこれを超えた範囲でも、たとえば $ 1/2\pi < \xi_{i}\lambda_{c} < \pi $ では、係数 $ \delta_{i} $ の正負の符号が反対になるだけで係数 $ \cos(\xi_{i}\lambda) $ の絶対値は同じとなり、上の範囲に収まるように変換できる。すなわち、コサイン関数 (cos) が $ \xi_{i}\lambda $ まで偏移したならば、この関数の値は符号は変わるものの $ \pi - \xi_{i}\lambda $ まで偏移したコサイン関数の絶対値と等しくなる $ (\cos(\xi_{i}\lambda) = -\cos(\pi - \xi_{i}\lambda)) $ という性質を生かすと上の範囲で十分に先行・遅行関係を表現することができる。なお、 $ \rho $ は振幅の減衰速度、 $ 2\pi/\lambda_{c} $ は周期である。なお、サイクルが収まるように変動することで、 $ (\cos(\xi_{i}\lambda) = -\cos(\pi - \xi_{i}\lambda)) $ という性質を生かすと上の範囲で十分に先行・遅行関係を表現することができる。
クル因子 $ c_{t}^{l} $ の大きさを特定するため、(4.1) 式では、 $ y_{1t} $ をベンチマークとおき、この変数のパラメータを $ \xi_{1}=0 $ 、 $ \delta_{1}=1 $ とおいている。

## [図7]

ここで、(4.1)式を2変数モデルである(4.4)式に変換して、この多変量バンドパスフィルタを利用して、景気一致指数と長短スプレッドの位相偏移を推定する。

$$ \left[\begin{array}{c}{{{y_{t}^{(n)}-y_{t}^{(1)}}}} \\{{{CI_{t}}}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{{{\tau_{y\;t}^{(m)}}}} \\{{{\tau_{CI\;t}^{(m)}}}} \\\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{{{1}}}&{{{0}}} \\{{{\delta_{2}\;\cos(\xi_{2}\lambda_{c})}}}&{{{\delta_{2}\sin(\xi_{2}\lambda_{c})}}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{{{c_{t}^{(l)}}}} \\{{{c_{t}^{*(l)}}}}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{{{\varepsilon_{y\;t}}}} \\{{{\varepsilon_{CI\;t}}}}\end{array}\right], $$

ただし、 $ y_{t}^{(n)} - y_{t}^{(1)} $ は長短スプレッドであり、 $ CI_{t} $ は景気一致指数である。

ここでは、トレンドとサイクルの次数をそれぞれ m=2, l=2 とおいたケース (次数 (2,2)) と m=2, l=4 とおいたケース (次数 (2,4)) の2つのケースを推定した。推定にあたって、2つのパラメータの値を $ \lambda_{c}=0.065 $ および $ \rho=0.95 $ と固定した。これらの値は景気一致指数の単変量バンドパスフィルタ (1.2), (1.3), (1.4) から推定した値であり、 $ \lambda_{c}=0.065 $ は景気循環の周期が8年 (=96ヶ月) $ (2\pi/0.065=96) $ であることを意味する。推定期間は1995年1月から2010年5月までである。推定結果は表2と図8に記してある。表2から、次数が(2,2)の場合、長短スプレッドと比較して一致CIは約24.3ヶ月 ( $ \xi_{2}=-24.3 $ ) の遅行性をもつ周期であり、次数が(2,4)の場合、長短スプレッドと比較して一致CIは約28.3ヶ月 ( $ \xi_{2}=-28.3 $ ) の遅れがあることがわかる。また $ \delta_{2} $ の値が正であることから長短スプレッドは景気に対して正のサイクルである。図8は次数が(2,2)のモデルでの2変数のサイクルとトレンドが、また図1には次数が(2,4)のものが描いてある。

[ 表 2 ]

[図8]
### 4.2 多変量バンドパス型予測モデル

4.1 節の多変量バンドパスフィルタを予測モデルに組み込むことで、k 期先の景気一致指数の予測は、以下のように 4 つの手順から実行することができる。

### Step 1. アフィン型金利の期間構造モデルの推定

3.2 節と同様のモデルであり、因子のベクトルを $ X_{t} = [y_{t}^{(0.5)}, y_{t}^{(10)} - y_{t}^{(0.5)}, CI_{t}]' $ とおき、現実確率測度 P の下での因子 $ X_{t} $ の動学モデルは式 (4.5) となる。

$$ X_{t}=\delta+\Phi^{\mathbb{P}}X_{t-1}+\Sigma\;\varepsilon_{t}, $$

$$ y_{t}^{(n)}=a_{n}+b_{n}X_{t}\quad\Big(\begin{array}{c}={\frac{A_{n}}{n}}+{\frac{B_{n}}{n}}X_{t}\end{array}\Big), $$

$$ A_{n+1}=\delta_{0}+\left(\kappa^{\mathbb{Q}}\theta^{\mathbb{Q}}\right)^{\prime}B_{n}-\frac{1}{2}B_{n}^{\prime}\Sigma\Sigma^{\prime}B_{n}+A_{n}, $$

$$ B_{n+1}=\delta_{Y}+B_{n}-\kappa^{\mathbb{Q}}B_{n}, $$

ここで、 $ y_{t}^{(n)} $ は満期 n のイールド、 $ CI_{t} $ は景気一致指数であり、それぞれ観測されるマクロ・金融の経済変数である。これも 2 段階推定法から推定する。推定結果は 3.2 節と同様に、パラメータの推定値は表 1 に、ローディングファクターは図 5 に記されている。

### Step 2. 一致 CI の k 期先予測モデルの設定

k 期先の景気一致指数 $ CI_{t+k} $ の予測モデルとして、以下の式 (4.9) を利用する。

$$ \hat{C I}_{t+k}-\tau_{C I,t}=\alpha_{k}^{(n)}+\beta_{k,1}^{(n)}y_{t}^{(1)}+\beta_{k,2}^{(n)}(y_{t}^{(n)}-y_{t}^{(1)})+\beta_{k,3}^{(n)}(C I_{t}-\tau_{C I,t})+\varepsilon_{t+k,k}^{(n)}, $$

ここで、右辺の第3項は $ CI_{t}-\tau_{CI,t} $ というトレンドから差になっている点が式(3.9)との相違点である。あるいは、この式を書き換えると

$$ \hat{C I}_{t+k}\;=\;\alpha_{k}^{\prime}\;^{(n)}+\beta_{k,1}^{(n)}\;y_{t}^{(1)}+\beta_{k,2}^{(n)}\;(y_{t}^{(n)}-y_{t}^{(1)})+\beta_{k,3}^{(n)}\;C I_{t}+\varepsilon_{t+k,k}^{(n)}, $$

ここで、 $ \alpha_{k}^{\prime(n)}=\alpha_{k}^{(n)}+(1-\beta_{k}^{(n)})\tau_{CIt} $ である。この予測式(4.9')は予測式(3.9)と同じ説明変数となり、係数 $ \beta_{k,3}^{(n)} $ の値は(4.9)式と(4.9)'式ともに変わりない。

Step 3. CI の k 期先予測モデル (4.9) の説明変数 $ (y_{t}^{(1)}, y_{t}^{(n)} - y_{t}^{(1)}, CI_{t}) $ の係数 $ \beta_{k}^{(n)} $ の推定

3.2 節の Step 3 では一致 CI の k 期先の期待値を $ E_{t}(CI_{t+k})=\Phi^{k}X_{t} $ と表していたが、