Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
$ \boldsymbol{\beta}=(\alpha\ \beta\ \gamma)^{\prime},\ \mathbf{y}=(\mathbf{y}_{1}^{\prime},\ldots,\mathbf{y}_{N}^{\prime})^{\prime},\ \mathbf{X}_{-1}=(\mathbf{X}_{1,-1}^{\prime},\ldots,\mathbf{X}_{N,-1}^{\prime})^{\prime},\ \mathbf{u}=(\mathbf{u}_{1}^{\prime},\ldots,\mathbf{u}_{N}^{\prime})^{\prime} $ である。本稿のモデルでは Blundell and Bond (1998) と異なり説明変数（乖離率）に先決変数が含まれているため、 $ x_{it} $ の操作変数として $ x_{it-1}(1 $ 期ラグ $ ) $ 、 $ x_{it-2}(2 $ 期ラグ $ ) $ を用いる。そのため、システム GMM 推定の操作変数行列は、次のようになる $ ^{18} $ ：

$$ \begin{aligned}&\mathbf{Z}_{i}^{+}=\\ &\begin{pmatrix}{{{(y_{i1},x_{i1},x_{1i1})}}}&{{{0}}}&{{{\cdots}}}&{{{0}}}&{{{\mathbf{0}}}} \\{{{0}}}&{{{(y_{i1},y_{i2},x_{i1},x_{i2},x_{1i2})}}}&{{{\cdots}}}&{{{0}}} \\{{{\vdots}}}&{{{\vdots}}}&{{{\ddots}}}&{{{\vdots}}} \\{{{0}}}&{{{0}}}&{{{\cdots}}}&{{{(y_{i1},\cdots,y_{iT-2},x_{iT-2},x_{iT-1},x_{1iT-2})}}} \\{{{\Delta y_{i2}}}}&{{{\cdots}}}&{{{0}}} \\{{{\vdots}}}&{{{\ddots}}}&{{{0}}} \\{{{0}}}&{{{\cdots}}}&{{{\Delta y_{iT-1}}}}\end{pmatrix}\\ &\mathbf{0}\\ \end{aligned} $$

したがって、このモーメント条件を用いたシステムによる2段階 GMM 推定量は

$$ \hat{\boldsymbol{\beta}}=(\mathbf{X}_{-1}^{+}{}^{\prime}\mathbf{P}_{z^{+}}\hat{\mathbf{V}}^{-1}\mathbf{P}_{z^{+}}\mathbf{X}_{-1}^{+})^{-1}(\mathbf{X}_{-1}^{+}{}^{\prime}\mathbf{P}_{z^{+}}\hat{\mathbf{V}}^{-1}\mathbf{P}_{z^{+}}\mathbf{y}^{+}) $$

となる。ただし、$\mathbf{y}^{+}=(\Delta\mathbf{y}_{1}^{\prime},\ldots,\Delta\mathbf{y}_{N}^{\prime},\mathbf{y}_{1}^{\prime},\ldots,\mathbf{y}_{N}^{\prime})^{\prime}$、$\mathbf{X}_{-1}^{+}=(\Delta\mathbf{X}_{1,-1}^{\prime},\ldots,\Delta\mathbf{X}_{N,-1}^{\prime},\mathbf{X}_{1,-1}^{\prime},\ldots,\mathbf{X}_{N,-1}^{\prime})^{\prime}$、$\mathbf{P}_{Z^{+}}=\mathbf{Z}^{+}(\mathbf{Z}^{+\prime}\mathbf{Z}^{+})^{-1}\mathbf{Z}^{+\prime}$、$\mathbf{Z}^{+}=\mathrm{diag}(\mathbf{Z}_{1}^{+},\ldots,\mathbf{Z}_{N}^{+})$、$\hat{V}=E(\mathbf{Z}_{i}^{+\prime}u_{i}^{+}u_{i}^{+\prime}\mathbf{Z}_{i}^{+})$、$\mathbf{V}=\mathrm{diag}(\hat{\mathbf{V}}_{1},\ldots,\hat{\mathbf{V}}_{N})$である。

## パネル単位根検定

システム GMM 推定では、他のダイナミックパネル分析と比べて自己相関の係数 $ \alpha $ が 1 に近くてもバイアスは小さいが、一致性のある推定は難しい。そこで、パネルデータによる単位根検定を行い、単位根があるという結果が得られたモデルでは単位根を考慮した推定を行う $ ^{19} $ 。何種類かの単位根検定が提案されているが、それぞれの検定で想定する仮定が異なるため、本稿では代表的な LLC 検定 (Levin et al., 2002)、IPS 検定 (Im et al., 2003) の 2 種類の検定を行う。LLC 検定では、すべての個人について同じ単位根を仮定しているが、すべての個人で同じ単位根を仮定するのは現実的には厳しい。一方で、IPS 検定ではすべての個人が同じ単位根ではないケースも考慮している。LLC 検定と IPS 検定の詳しい導出方法は付録を参照されたい。

## パネル単位根推定

推定式の従属変数と説明変数に単位根がある場合、共和分が疑われるが、本稿では従属変数である補正係数にしか単位根の可能性がなかった。多くの時系列分析で、従属変数のみに単位根があるモデルでは、1階差分を従属変数として推定することから(山本(1988))
などを参照されたい)、(2)式を参考に次のように定式化する：

$$ \Delta\log c_{it}=\beta\left(\frac{E_{it-1}-c_{1it-1}}{c_{1it-1}}\right)+\gamma x_{1it}+\tau_{t}+\eta_{i}+v_{it} $$

説明変数 $ \frac{E_{it-1}-c_{1it-1}}{c_{1it-1}} $ は誤差項 $ v_{it-1} $ と相関を持つと考えられ、strict exogeneity 条件が満たされないため、固定効果推定や 1 階差分推定では推定量にバイアスが生じる。そのため、説明変数の 1 期ラグ $ x_{it-1} $ 、2 期ラグ $ x_{it-2} $ を操作変数とした 1 階差分操作変数推定を行う。

### 4.2 データ

表 4. 記述統計量を挿入。

表4が、年次別項目別の基準財政需要、目的別歳出、測定単位の記述統計量である。警察費、小学校費の基準財政需要の平均は1985年から2000年にかけて年々上昇しているが、衛生費は制度変更があった関係で95年に減少している $ ^{20} $ 。目的別歳出も警察費と小学校費は平均が単調増加を示しているが、衛生費では2000年に減少に転じている。変動係数を考察すると、警察費では基準財政需要が約0.92、目的別歳出が0.9、測定単位が0.94で、基準財政需要と測定単位で変動係数がほとんど変わらないことから、補正係数による都道府県間格差への影響は小さいと考えられる。また、小学校費の基準財政需要と目的別歳出の変動係数は、目的別歳出の方が0.05ほど高いがほぼ同じになる。基準財政需要における衛生費の変動係数は85年の0.46から2000年の0.58へ単調増加を示しているが、測定単位の変動係数が常に0.8以上であることから、補正係数による変動係数の減少、つまり補正係数によって都道府県間格差が是正されている可能性がある。

図1. 費目別基準財政需要：2000年の経常経費を挿入。

図1は、基準財政需要の経常経費全体に占める各費目の比率である。警察費と小学校費のシェアは高く、衛生費は経常経費全体に占めるシェアは低いものの、社会福祉費や65歳以上人口の高齢者保健福祉費とほぼ同じ額である。このように警察費と小学校費のシェアが高く、衛生費は高齢者保健福祉費が創設される前には額が大きかったため、本稿では分析対象とした。

## 5 推定結果

### 5.1 パネルデータ推定

表 5. システム GMM 推定 を 挿入。

システム GMM 推定
表 5 は、前期の補正係数と今期の補正係数が相関することを考慮したダイナミック・パネル分析の結果である。分析方法は、自己相関係数 $ \alpha $ が 1 に近くても推定量のバイアスが小さい、Blundell and Bond (1998) によって提案されたシステム GMM 推定である。(1) - (3) より、警察費、小学校費、衛生費では補正係数の 1 期ラグの係数が 1 に近く、単位根の可能性がある。警察費と衛生費の乖離率の 1 期ラグの係数は有意にならないが、前期における費用と基準財政需要の乖離は補正係数に影響を与えない。小学校費では乖離率の 1 期ラグの係数は正で、1% 水準で有意となる。

本データの分析期間は約15年と長く、期間中に乖離率の1期ラグの係数が変化する、つまり基準財政需要からの費用の乖離が補正係数に及ぼす影響が異なる可能性がある。そこで、衛生費の基準財政需要が93年と94年で大きく変化していることと、ダイナミック・パネルデータ分析に必要な期間を考慮して、乖離率と85年から93年で1をとるダミー変数の交差項、及び乖離率と94年から2000年（警察費は1999年）に1をとるダミー変数の交差項からなる2つの乖離率の変数（乖離率A、乖離率B）を作成して推定する。表5(4) - (6)の推定結果より、警察費では乖離率Aの1期ラグは正で有意となるが、乖離率Bの係数は有意とならない。一方、小学校費と衛生費では補正係数の1期ラグが有意、また乖離率を分割していない推定と異なり、衛生費の乖離率Aの係数は正で有意という結果が得られている。しかし、バイアスは小さいものの、システムGMM推定では1期ラグの係数が1に近いときにはラグの係数だけでなく、外生変数の係数にもバイアスが生じることが知られている。

## パネル単位根検定と推定

### 表 6 . パネル単位根検定 を挿入。

次に、補正係数の変数及び、乖離率に単位根があるのかを検定し、単位根がある場合には適切な推定方法で再び推定する。パネルデータの単位根検定にはいくつかの方法が提案されているが、本稿では Levin-Lin-Chu (LLC) 検定と Im-Pesaran-Shin (IPS) 検定を実施する。LLC 検定ではすべてのグループの1期ラグの係数が同じと仮定しているが、IPS 検定ではグループごとに従属変数の1期ラグの係数が異なることを許容している。ただ、どちらの検定でも、検出力が弱いことが問題とされている。また、LLC 検定では Levin et al. (2002) が提案するモデルのうち、モデル1 (定数項とタイムトレンドを含まない都道府県別 ADF 回帰) とモデル2 (定数項のみを含む都道府県別 ADF 回帰) で検定を行う。ADF 回帰のラグ次数の選択は、Levin et al (2002) が提案しているように Campbell and Perron (1991) の方法に従う。IPS 検定では、定数項のみを含むモデルで推定し、都道府県別 ADF 回帰のラグ次数の平均が0に近いことから、ラグを0として検定を行っている。

単位根検定の結果は表6で、LLC検定ではどの変数も「単位根が存在する」という帰無仮説を棄却する。一方、IPS検定では小学校費と衛生費の補正係数だけが「単位根が存在する」という帰無仮説を棄却できない。その他の変数については単位根の可能性は示されておらず、各行政項目の補正係数と乖離率が共和分関係にある可能性もない。従って、小学校費と衛生費について、補正係数だけに単位根が存在することを前提とした推定を行う。

### 表 7.1 階差分操作变数推定 を挿入。
推定は、補正係数の1階差分を従属変数とし、従属変数を乖離率の1期ラグに回帰する。乖離率が誤差項と相関することを考慮して、操作変数1階差分推定を行う。表7の(1)、(2)より、小学校費と衛生費において単位根を仮定した下で乖離率の1期ラグが補正係数に正の影響を与えることが分かった。小学校費では前期において実現した費用が基準財政需要から乖離している割合が0.1（10%）増加すると今期と前期の補正係数の比は0.0015（0.15%）上昇する。表7(3)、(4)は、乖離率を1985年から93年（乖離率A）と94年から2000年 $ ^{21} $ （乖離率B）に分割した推定の結果である。小学校費では乖離率Aの係数は正で有意水準1％で有意となり、衛生費では乖離率Bが5％水準で有意となる。前半と後半に分離すると有意にならないケースもあるが係数はすべて正であり、小学校費と衛生費では目的別歳出が基準財政需要から乖離している割合が大きいほど、割り増す形で補正係数を変更していたと考えられる。

### 5.2 補正係数の改正と都道府県間格差

## 図２．補正係数の年度別変動係数を挿入。

パネルデータを用いた推定から、前期の小学校費、衛生費の乖離率が大きいと今期の補正係数も大きいことが示されたが、このような補正係数の調整と補正係数のばらつきについて考察する。図2は各行政項目の補正係数の変動係数を、年度別に計算したものである。衛生費の変動係数は小学校費と警察費の約6倍で、衛生費は最も補正係数のばらつきが大きい。小学校費は、1985年の変動係数が0.054だったのが2001年には0.017と3分の1以上も減少しており、全体的に変動係数が減少傾向にある。制度変更により基準財政需要が大きく減少する1993年から94年にかけて、衛生費の補正係数の変動係数は、0.026から0.31と約18%上昇する。表7より、小学校費と衛生費で乖離率の1期ラグと補正係数に相関があり、特に小学校費のサンプル期間の前半、及び衛生費の後半で有意に影響しているという結果が得られている。そのため、補正係数の都道府県間格差が大きい場合に、乖離率が大きい都道府県に有利な補正係数の改正が行われている可能性がある $ ^{22} $ 。

## 6 結論

地方交付税には地方の税収確保努力、歳出削減努力を弱める効果があることが、制度面と実証研究で指摘されている。山下他 (2002)、赤井他 (2003) は事業費補正、「財源対策債」や「臨時財政対策債」の測定単位への参入といった価格効果及び、補正係数の恣意的な操作や単位費用による財源難の自治体の救済といった soft budget constraints (SBCs) により、制度上財政改善努力が弱められる可能性があると指摘している。池上 (1998、2003) は、密度補正による操作の余地と地方からの要望が採択される基準が曖昧な点を指摘している。

本稿では、経常費における補正係数の調整が、費用の基準財政需要からの乖離が大きい団体に有利となっているのかを分析する。特に、前期の費用と基準財政需要の乖離率がそ
の費目の補正係数に与える影響を分析しており、項目別基準財政需要を用いることによって制度的な関連性を考慮している。

1985 年から 2002 年までの都道府県データを用いた推定から、次の結果が得られた。第1に、小学校費と衛生費では、前期の乖離率が高い自治体に対して、今期の補正係数が高くなる傾向にある。第2に、補正係数による財源調整が強い場合、補正係数は前期の乖離率が高い都道府県で高くなる傾向にある。これらの結果から、補正係数で調整が行われているとき、前期に予定より多くの費用が必要となった自治体で、結果的に補正係数が高くなることが示唆された。

ただし、本稿には分析上の限界がある。各費目の一般財源所要額は総額から国庫支出金や手数料・使用料を減じて計算されるし、補正計数の改正には各省庁からの参入基準の見直しの要請が影響するため、特定財源との関連を吟味する必要がある。しかし、本稿ではこうした特定財源の影響を考慮していない。また、本稿では事後的に費用が高い団体で補正係数が高くなるというソフトな予算制約の存在を検証したが、ソフトな予算の制約問題は、本稿の文脈では予算がソフトになることを見越して地方が歳出削減努力を怠り、非効率になることにあるという考え方もある（Kornai、2003；赤井、2005）。一方で本稿の分析のように、事後的に予算がソフトになることをソフトな予算制約というケースもある（Maskin,1999）。本稿では後者の意味でのソフトな予算制約の存在を検証しており、事前における過小努力までは検討できていない。この点については今後の課題としたい。

## A 付録

### A.1 地方交付税の決定過程

地方交付税額の決定方式は、複雑で分かりにくいという批判がある。本節では、赤井他(2003)、岡本(2002)を参考にして、交付税総額、各地方自治体の交付税額の決定方法を述べたい。交付税は、最初に交付税総額（マクロ）決定され、次に各市町村への配分（ミクロ）が決まる。

まず、マクロの交付税総額は、次のように決定される。基本的に国税5税（所得税、酒税、法人税、消費税、たばこ税）の一定割合として地方交付税総額が法定され、地方財源は総額として保障されている。一方、地方が必要とする財源は、国が策定する地方財政計画で歳出、歳入が決定され、歳出と歳入の差から交付税総額も計算される。しかし、マクロの交付税総額とミクロの交付税総額（地方財政計画から積み上げられた額）が一致するとは限らない。双方のギャップを埋めるための財源を調達する機能として「地方財政対策(地財対策)」があり、基本的に地方が標準的な行政水準を確保できるように算定された地方財政計画に沿う形で財源がファイナンスされる $ ^{23} $ 。

こうして確保された交付税総額は、次のようにして地方公共団体に配分される。各自治体の基準財政需要は基本的に単位費用と測定単位から積み上げて計算されるが、積み上げられた総額とマクロの交付税総額には大きな違いはない。地方財政計画の算定方法と、基準財政需要の算定方法がほとんど同じで、しかも単位費用は各行政項目別に必要総額を測定単位で除して求められるため、合計がマクロの総額と一致するようになっている。また、
単位費用で考慮されない人口、面積や気象条件など地域の実情は、測定単位を割り増し・割り落としする補正係数で調整される。

### A.2 パネル単位根検定 $ ^{24} $ ：LLC 検定と IPS 検定

## (1) LLC 檢定

LLC 検定では、次の仮定を設ける。第 1 に、誤差項 $ u_{it} $ が個人間で独立に分布し、定常反転可能な ARMA 仮定に従う： $ u_{it} = \sum_{i=1}^{\infty} \theta_{it} + \varepsilon_{it} $ 。また、誤差項について

$$ \begin{aligned}E(u_{it}^{4})&<\infty\\E(\varepsilon_{it}^{2})&\geq B_{\varepsilon}>0\quad\forall i,t\\E(u_{it}^{2})+2\sum_{j=1}^{\infty}E(u_{it}u_{it-1})&
モデル 2 について LLC 検定統計量を考える。個体別の ADF に基づいた OLS 回帰から、$\sigma_{i}^{2}$ を計算する：

$$ \sigma_{i}^{2}=\frac{1}{T-p_{i}-1}\left(\mathbf{M}_{Q_{i}}\Delta\mathbf{y}_{i}-\hat{\rho}_{i}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1}\right)^{\prime}\left(\mathbf{M}_{Q_{i}}\Delta\mathbf{y}_{i}-\hat{\rho}_{i}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1}\right) $$

ただし、$\mathbf{M}_{Q_{i}}=\mathbf{I}-\mathbf{Q}_{i}\left(\mathbf{Q}_{i}^{\prime}\mathbf{Q}_{i}\right)^{-1}\mathbf{Q}_{i}^{\prime}$、$\hat{\rho}_{i}=\left(\mathbf{y}_{i,-1}^{\prime}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1}\right)^{-1}\left(\mathbf{y}_{i,-1}^{\prime}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i}\right)$である。このとき、Pooled OLS 推定量は

$$ \begin{align*}\hat{\rho}&=\left(\sum_{i=1}^{N}\mathbf{y}_{i,-1}^{\prime}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1}/\hat{\sigma}_{i}^{2}\right)^{-1}\left(\sum_{i=1}^{N}\mathbf{y}_{i,-1}^{\prime}\mathbf{M}_{Q_{i}}\Delta\mathbf{y}_{i}/\hat{\sigma}_{i}^{2}\right)\\\hat{\sigma}_{N T}^{2}&=\frac{1}{N(T-\overline{p}-1)}\sum_{i=1}^{N}\left(\mathbf{M}_{Q_{i}}\Delta\mathbf{y}_{i}-\hat{\rho}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1}\right)^{\prime}\left(\mathbf{M}_{Q_{i}}\Delta\mathbf{y}_{i}-\hat{\rho}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1}\right)/\hat{\sigma}_{i}^{2}\\\overline{p}&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}p_{i}\end{align*} $$

になる。また自己相関係数 $ \rho $ の分散は $ Var(\hat{\rho}) = \hat{\sigma}^{2} \left( \sum_{i=1}^{N} y_{i,-1}^{\prime} M_{Q_{i}} y_{i,-1} / \hat{\sigma}_{i}^{2} \right)^{-1} $ である。したがって、自己相関係数 $ \rho $ の t 検定統計量は

$$ t_{N T}=\frac{\hat{\rho}}{\hat{\sigma}_{N T}^{2}\left(\sum_{i=1}^{N}\mathbf{y}_{i,-1}^{\prime}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1}/\hat{\sigma}_{i}^{2}\right)^{-1}} $$

次に、t 検定統計量の漸近的特性を考察する。Philips and Perron (1988) などから $ T \rightarrow \infty $ のとき

$$ t_{N T}\Leftrightarrow\frac{\sum_{i=1}^{N}s_{i}\int_{0}^{1}\overline{W}_{i}(r)d W_{i}(r)}{\sqrt{\hat{\sigma}_{N}^{2}\sum_{i=1}^{N}s_{i}^{2}\int_{0}^{1}\overline{W}_{i}^{2}(r)d r}} $$

となる。 $ W_{i}(r) $ は標準ブラウン運動、 $ \hat{\sigma}_{N}^{2} $ は $ T \rightarrow \infty $ のときの $ \hat{\sigma}_{NT}^{2} $ の弱極限を表しており、 $ s_{i} = \sigma_{li}/\sigma_{i} $ である。また、 $ \Delta y_{it} $ の長期標準偏差は

$$ \begin{align*}\sigma_{li}&=\frac{1}{T-1}\sum_{t=2}^{T}(\Delta y_{it}-\Delta\overline{y}_{i})^{2}+2\sum_{L=1}^{p_{i}}W_{\overline{p}L}\left[\frac{1}{T-1}\sum_{t=1}^{T}(\Delta y_{it}-\Delta\overline{y}_{i})(\Delta y_{it-L}-\Delta\overline{y}_{i})\right]\\\overline{w}_{\overline{p}L}&=1-\frac{1}{\overline{p}+1}\end{align*} $$

ただし、$\Delta\overline{y}_{i}$ は $y_{it}$ の $i$ に関する平均で、$\overline{w}_{\overline{p}L}$ はカーネルを表す。また、$t_{NT}$ についての漸近的特性を考えると、$E(\int_{0}^{1}\overline{W}_{i}(r)dW_{i}(r)) = 1/2$ 及び $E(\int_{0}^{1}\overline{W}_{i}^{2}(r)dr) = 1/6$ なので、$N \to \infty$ のとき

$$ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}s_{i}\int_{0}^{1}\overline{W}_{i}(r)d W_{i}(r)\xrightarrow{p}\lim_{N\rightarrow\infty}(-\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^{N}s_{i}) $$

$$ \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}s_{i}^{2}\int_{0}^{1}\overline{W}_{i}(r)dr\xrightarrow{p}\lim_{N\rightarrow\infty}(-\frac{1}{6N}\sum_{i=1}^{N}s_{i}) $$
となる。したがって、t 検定統計量は確率極限において負の無限大に発散する。Levin et al. (2002) では、次のような pooled t 検定の修正を提案している：

$$ t^{*}=\frac{t_{NT}}{\sigma^{*}}-\frac{\mu^{*}T\sum_{i=1}^{N}\hat{s}_{i}}{\sigma^{*}\sqrt{\sqrt{_{NT}^{2}}}\sum_{i=1}^{N}\mathbf{y}_{i,-1}^{\prime}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1}/\hat{\sigma}_{i}^{2}} $$

ただし、 $ \mu^{*} $ は平均修正要素、 $ \sigma^{*} $ は分散修正要素である。 $ t^{*} $ は極限で、標準正規分布に従う。

## (2) IPS 檢定

IPS 検定は、誤差項に系列相関がある (系列相関のパターンはグループ間で異なっても良い) 場合にも検定が可能である。LLC 検定と同じように、T と N は十分に大きいと仮定する。ADF 回帰式は

$$ \begin{aligned}\Delta y_{it}&=\rho_{i}y_{it-1}+\sum_{j=1}^{p_{i}}\psi_{ij}\Delta y_{it-j}+\mu_{i}+u_{it}\quad i=1,\cdots,N,\;t=1,\cdots,T\\\rightarrow\Delta y_{i}&=\rho_{i}y_{it-1}+\mathbf{Q}_{i}\gamma_{i}+u_{i}\end{aligned} $$

である $ ^{25} $ 。ただし、 $ \mathbf{Q}_{i}=(\mathbf{i}_{\mathbf{T}},\Delta\mathbf{y}_{\mathbf{i},-\mathbf{1}},\ldots,\Delta\mathbf{y}_{\mathbf{i},-\mathbf{p}_{\mathbf{i}}})、\gamma_{i}=(\mu_{i},\psi_{i1},\ldots,\psi_{ip_{i}})^{\prime} $ 。個別のt検定統計量は

$$ \begin{aligned}t_{i}&=\frac{\hat{\rho}_{i}}{\sqrt{(\hat{\sigma}_{i}^{2}(\mathbf{y}_{i,-1}^{\prime}\mathbf{M}_{Q_{i}})\mathbf{y}_{i,-1})^{-1}}}\\ \hat{\sigma}_{i}^{2}&=\frac{1}{T-p_{i}-1}(\Delta\mathbf{y}_{i}^{\prime}\mathbf{M}_{X_{i}}\Delta\mathbf{y}_{i})\\ &=\frac{1}{T-p_{i}-1}(\mathbf{M}_{Q_{i}}\Delta\mathbf{y}_{i}-\hat{\rho}_{i}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1})^{\prime}(\mathbf{M}_{Q_{i}}\Delta\mathbf{y}_{i}-\hat{\rho}_{i}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1})\end{aligned} $$

である。ここで、$\hat{\rho}_{i}=(\mathbf{y}_{i,-1}^{\prime}\mathbf{M}_{Q_{i}}\mathbf{y}_{i,-1})^{-1}(\mathbf{y}_{i,-1}^{\prime}\mathbf{M}_{Q_{i}}\Delta\mathbf{y}_{i})$、$\mathbf{X}_{i}=(\mathbf{y}_{i,-1},\mathbf{Q}_{i})$。このとき、IPS t-bar 統計量は、次のように定義される：

$$ \overline{t}_{N T}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}t_{i} $$

$ N \rightarrow \infty $ のとき $ \bar{t}_{NT} $ の収束先は

$$ \overline{t}_{N T}\Leftrightarrow\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{\int_{0}^{1}\overline{W}_{i}(r)d W_{i}(r)}{\sqrt{\int_{0}^{1}\overline{W}_{i}^{2}(r)d r}}\stackrel{p}{\rightarrow}c o n s t $$

で、 $ N \rightarrow \infty $ のとき t-bar 統計量は定数となり、分布が無くなる。そこで、Im et al. (2003)が提案した修正済み平均 t 統計量は

$$ \tilde{t}=\frac{\sqrt{N}(\overline{t}_{NT}-\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}E(t_{i}(p_{i},0)|p_{i}=0))}{\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Var(t_{i}(p_{i},0|\rho_{i}=0))}} $$
ただし、 $ t_{i}(p_{i},0|\rho_{i}=0) $ は AR の次数が $ p_{i} $ 、 $ \psi_{i1}=\cdots=\psi_{ip_{i}}=0 $ と $ \rho=0 $ を制約とする t-bar 統計量である。この統計量は

$$ \tilde{t}\Leftrightarrow N(0,1)\text{as}T\rightarrow\infty\text{and}N\rightarrow\infty $$

であることを示せる。

### A.3 出典

人口：総務省統計局『住民基本台帳人口要覧』各年版

15 歲未滿人口、65 歲以上人口：総務省統計局『推計人口調査』各年版

小学校教員数：文部科学省生涯学習政策局『学校基本調査報告書』各年版

警察官数：総務省自治行政局公務員部『地方公共団体定員管理調査』各年版

目的別歲出額：総務省自治財政局『都道府県別決算状況調』各年版

行政項目別基準財政需要額：総務省自治財政局『地方交付税関係計数資料』各年版

## 参考文献

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表1.行政費目ごとの補正適用一覧表 (道府県分)

費目	区分	測定单位	種別	段階	密度	普通	經常	投資	事業	給与差	寒冷	数值急減	數值急減	法の13①補正
警察費	警察費	經常	警察職員数	○	○	○	○
土木費	道路橋りふ鑽	經常	道路の面積	○	○	○	○	○	○
河川費	投資	道路の延長	○	○	○	○
港湾費	經常	河川の延長	○	○
(漁港を含む)	投資	河川の延長	○	○
その他の土木費	投資	外部施設の延長	○	○
经常	人口	○	○
投資	人口	○	○
教育費	小学校費	經常	教職員数	○	○	○
中学校費	经常	教職員数	○	○	○
高等学校費	经常	教職員数	○	○	○
特殊教育諸学校費	投資	生徒数	○	○	○
经常	生徒数	○	○	○
经常	教職員数	○
经常	兒童及び生徒数	○
经常	学級数	○
投資	学級数	○
经常	人口	○
经常	高等専門学校及び大学の学生数	○
经常	私立の学校の幼児、兒童及び生徒の数
厚生労働費	生活保護費	經常	町村部人口	○	○	○	○
社会福祉費	经常	人口	○	○	○
衛生費	投資	人口
高齢者保健福祉費	经常	人口	○	○	○
经常	65歳以上人口	○	○	○
投資	70歳以上人口
经常	65歳以上人口
産業経済費	農業行政費	经常	農家数	○	○	○
林野行政費	投資	耕地の面積
经常	公有以外の林野の面積	○
投資	公有林野の面積	○
水産行政費	投資	林野の面積
经常	水産業者数
投資	水産業者数
经常	人口
その他行政費	企画振興費	经常	人口	○	○	○
微稅費	投資	人口
恩給費	经常	世帯数	○	○
经常	恩給受給権者数
その他の諸費	经常	人口
投資	人口
公債費	災害復旧費	元利償還金
補正予算債償還費	元利償還金
(平成10年度以前許可債にかかるもの)	地方債の額
補正予算債償還費	地方債の額
(平成11年度以前許可債にかかるもの)	地方債の額
地方稅減収補でん債償還費	地方債の額
地域財政特例対策債償還費	地方債の額
臨時財政特例債償還費	地方債の額
公共事業等臨時特例債償還費	地方債の額
財源対策債償還費	地方債の額
減稅補でん債償還費	地方債の額
地域改善対策特定事業債等償還費	地方債の額
公害防止事業債償還費	地方債の額
石油コンピナー債償還費	地方債の額
地震対策緊急整備事業債償還費	地方債の額
被災者生活再建債償還費	地方債の額
災害復興等債利子支払費	地方債の額
農山漁村地域活性化対策費	地方債の額
第一次産業就業者数

注.※ は世帯数急増補正である。

資料.平成12年度地方交付税制度解說(補正係数·基準財政収入額篇)
表2.補正係数の連乗加算の方法 (道府県分)

費目	測定单位	補正係数の連乗又は加算の方法
警察費	經常經費	警察職員数	段階補正× 普通態容補正 + (經常態容補正-1)× 寒冷補正
小学校費	經常經費	教職員数	普通態容補正 + (經常態容補正-1)× 寒冷補正
衛生費	經常經費	人口	段階補正× 密度補正 I× 普通態容補正× 寒冷補正 + (密度補正Ⅱ-1) + (密度補正Ⅲ-1)× 0.944 + 密度補正IV× 0.056

資料.平成12年度地方交付税制度解說(補正係数·基準財政収入額篇)
表3.小学校費 (道府県分)における普通態容補正の計算

種地	共通係数: A	A× 0.944: B	種地ごとの補正率 B + 0.056
Ⅰ - 10a	1.098	1.037	1.093
10b	1.082	1.021	1.077
9a	1.080	1.020	1.076
9b	1.048	0.989	1.045
8a	1.046	0.987	1.043
8b	1.022	0.965	1.021
7	1.012	0.955	1.011
6 ~ 1	1.000	0.944	1.000
Ⅱ - 10	1.044	0.986	1.042
9	1.027	0.969	1.025
8	1.005	0.949	1.005
7 ~ 1	1.000	0.944	1.000

資料.平成12年度地方交付税制度解說 (補正係数·基準財政収入額篇)
1985年	觀測值数	平均	標準偏差	变動係数	最小值	最大值
警察費	46	27,052	25,108	0.928	7,777	126,580
基準財政需要	小学校費	46	30,006	20,868	0.695	8,933
衛生費	46	9,977	4,620	0.463	5,257
目的別歲出	警察費	46	35,570	32,345	0.909	10,333
小学校費	46	56,757	43,002	0.758	15,714
衛生費	46	19,992	12,705	0.636	7,372
測定单位	警察官數	46	3,822	3,607	0.944	1,078
小学校教員數	46	5,696	4,414	0.775	1,430
人口	46	2,374,348	1,926,519	0.811	616,000
1990年
基準財政需要	警察費	46	33,803	31,096	0.92	9,992
小学校費	46	35,164	24,870	0.707	10,487
衛生費	46	15,269	8,137	0.533	7,302
目的別歲出	警察費	46	46,017	42,381	0.921	13,260
小学校費	46	67,504	51,530	0.763	18,510
衛生費	46	25,634	18,441	0.719	7,535
測定单位	警察官數	46	3,907	3,670	0.939	1,103
小学校教員數	46	5,760	4,224	0.733	1,517
人口	46	2,429,478	2,017,269	0.830	616,000
1995年
基準財政需要	警察費	46	39,472	36,367	0.921	11,750
小学校費	46	44,147	31,192	0.707	13,276
衛生費	46	11,964	6,684	0.559	6,318
目的別歲出	警察費	46	58,002	52,042	0.897	17,360
小学校費	46	77,706	58,830	0.757	21,827
衛生費	46	33,432	21,376	0.639	10,215
測定单位	警察官數	46	3,968	3,750	0.945	1,117
小学校教員數	46	5,467	3,857	0.706	1,499
人口	46	2,473,848	2,073,232	0.838	615,000
2000年
基準財政需要	警察費(99年)	46	42,179	38,876	0.922	12,419
小学校費	46	45,536	31,698	0.696	14,525
衛生費	46	13,389	7,741	0.578	6,952
目的別歲出	警察費(99年)	46	61,005	54,653	0.896	18,778
小学校費	46	78,934	58,010	0.735	23,626
衛生費	46	30,853	18,579	0.602	10,747
測定单位	警察官數(99年)	46	4,091	3,863	0.944	1,128
小学校教員數	46	5,199	3,579	0.688	1,508
人口	46	2,497,000	2,117,696	0.848	613,000

注.基準財政需要及び、目的別歳出の単位は百万円、測定単位の警察官数、小学校教員数、人口の単位は人。2000年の警察費、及び警察官数は1999年の値。
表5.システムGMM推定

警察費(1)	小学校費(2)	衛生費(3)	警察費(4)	小学校費(5)	衛生費(6)
補正係数の1期ラグ	0.944***	0.859***	1.003***	0.914***	0.783***	1.012***
(0.044)	(0.024)	(0.013)	(0.071)	(0.019)	(0.024)
乖離率の1期ラグ	0.012	0.039***	0.003
(0.010)	(0.008)	(0.003)
乖離率Aの1期ラグ	0.047**	0.046***	0.017***
(0.019)	(0.007)	(0.005)
乖離率Bの1期ラグ	0.013	0.050***	0.001
(0.013)	(0.009)	(0.004)
15歳未満人口比率	-0.101***	-0.090*
(0.031)	(0.052)
65歳未満人口比率	-0.084	-0.134
(0.101)	(0.178)
観測値数	506	690	690	552	690	690
個体数	46	46	46	46	46	46

注．従属変数は各費目の補正係数の対数、説明変数は各費目の補正係数の1期ラグと乖離率。乖離率の内生性を考慮した、Blundel and Bond（1998）のシステムGMMC推定。乖離率の1期ラグ、2期ラグを操作変数とする。*、**、***はそれぞれ、10% 5% 1%水準で有意。警察費の推定期間は1985-99年、小学校費、衛生費の観測期間は1985-2002年。時間効果の係数は省略。警察費は、1期ラグと2期ラグを操作変数とすると操作変数と誤差項の相関が強いので、1期と3期ラグをIVとした。
表6.パネル単位根検定

補正係数	乖離率(1期ラグ)
警察費	小学校費	衛生費	警察費	小学校費	衛生費
Levin-Lin-Chu (LLC) 檢定	Model 1	t- star	-3.972	-10.532	-1.748	-8.343	-6.846	-6.092
P值	(0.000)	(0.000)	(0.040)	(0.000)	(0.000)	(0.000)
Model 2	t- star	-7.888	-6.531	-2.246	-9.135	-6.447	-6.389
P值	(0.000)	(0.000)	(0.012)	(0.000)	(0.000)	(0.000)
Im-Pesaran-Shin (IPS) 檢定	Model2	t- bar	-2.242	-1.713	-1.241	-2.524	-1.880	-2.297
W(t- bar)	-5.139	-1.407	2.067	-7.365	-2.634	-5.701
P值	(0.000)	(0.080)	(0.981)	(0.000)	(0.004)	(0.000)
ラグ次数の平均	0.500	0.478	0.435	0.152	0.391	0.043

注：LLC検定では、都道府県別のADF回帰のラグ次数はCampbell and Perron (1991)の提案した方法で選択している。LLC検定のModel1は、定数項とタイムトレントを含まず、Model2は個別効果を考慮して定数項のみを含む。IPS検定における都道府県別のADF回帰のラグ次数は、それぞれの費目のラグ次数の平均を考慮して、0としている。