Silviase/jgov_v1.4_full_ann huggingface dataset:
sighm = 0.3;
alphaG = 0.1;
alphaTR = 0.85;
sdC = 0.125;
sdI = 0.045;
sdQ = 0.3;
sdpi = 0.33;
sdw = 0.25;
sda = 0.202;
sdR = 0.015;
sdG = 0.01;
sdTR = 0.5;

// Model
model (linear);

C = (h/(1+h))*C(-1) + (1/(1+h))*C(+1) - (1-h)/(1+h)*sigC)*(R - pi(+1)) + eC;
I = (1/(1+beta))*I(-1) + (beta/(1+beta))*I(+1) + psi/(1+beta)*Q + eI;
Q = -(R - pi(+1)) + (1-tau)/(1-tau+rbarK)*Q(+1) + rbarK/(1-tau+rbarK)*rk + eQ;
K = (1-tau)*K(-1) + tau*I;
pi = gammaP/(1+beta*gammaP)*pi(-1) + beta/(1+beta*gammaP)*pi(+1) + sigpi*(alpha*rk + (1-alpha)*w - ea + epi);
w = (1/(1+beta))*w(-1) + (beta/(1+beta))*w(+1) + (gammaW/(1+beta))*pi(-1) - ((1+beta*gammaW)/(1+beta))*pi + (beta/(1+beta))*pi(+1) - sigW*(w - sigL*L - (sigC/(1-h))*((C-h*C(-1)) - ew);
L = -w + (1+phi)*rk + K(-1);
Y = lambda*(1-tau*ky-gy)*C + tau*ky*I + rbarK*ky*phi*rk + (1-lambda)*(1-tau*ky-gy)*Chm + gy*G;
Y = phi*alpha*K(-1) + phi*alpha*phi*rk + phi*((1-alpha)*L + phi*ea);
G+rhoTR*TR+rhob*(R + b(-1) - pi)=sigb*b;
Chm = rhohm*(w + L) + sighm*TR;
G = alphaG*G(-1) + eG;
TR = alphaTR*TR(-1) + eTR;
R = rhom*R(-1) + (1-rhom)*(phil*(pi-target) + phi2*Y) + eR;

end;

// Initial conditions
initial;
Y = 0;
C = 0;
I = 0;
Q = 0;
K = 0;
pi = 0;
w = 0;
L = 0;
rk = 0;
R = 0;
b = 0;
G = 0;
TR = 0;
Chm = 0;
end;

// Shocks

shocks;
var eC = sdC^2;
var eI = sdI^2;
var eQ = sdQ^2;
var epi = sdpi^2;
var ew = sdw^2;
var ea = sda^2;
var eR = sdR^2;
var eG = sdG^2;
var eTR = sdTR^2;
end;

// Simulation

check;
stoch_simul(irf=50, LINEAR) R Y C pi w I G Chm;

## 5 まとめ

本論文では DYNARE を用いた動学的確率的一般均衡モデルのシミュレーションを紹介した。はじめに Gali (2002) などに代表される New Keynesian モデル (New IS-LM) によるシミュレーションを解説し、続いて Christiano et al. (2005), Smets and Wouters (2003) で提唱された New Keynesian モデル (Hybrid New IS-LM) と Hybrid New IS-LM モデルに流動性制約下にある家計を導入したモデルのシミュレーションを解説した。

今後の課題としてはゼロ金利政策ならびに量的緩和政策を分析するため金利の非負制約（ゼロ金利制約）を考慮したモデルの構築が必要である $ ^{12} $ 。また今回のモデルは小規模なものに留まっているが、今後はより大規模なDSGEモデルを実現していく予定である。さらに、近年Dynareの機
能であるマルコフ連鎖モンテカルロ法（Markov Chain Monte Carlo）によるDSGEパラメータ一推定も盛んに行われるようになっている $ ^{13} $ 。今後はそれらの重要手法に対してさらに理解を深めるとともに筆者が提唱するモンテカルロフィルター（粒子フィルター）と自己組織化状態空間モデルを組み合わせてDSGEを推定する手法（Yano (2008)）も同時に推進して行く予定である $ ^{14} $ 。

## 付録 A プログラムファイル名

本論文で使用したプログラムは以下のサイトで配布する。

http://koitiyano.hp.infoseek.co.jp/dynare/

各モデルに対応するファイル名は以下の通り。

1. New IS-LM モデル: newislm.mod

2. Hybrid New IS-LM モデル: smets.mod

3. Hand-to-Mouth モデル: h2m.mod

4. Collard and Juillard (2001b) の例：example1.mod (DYNARE に付属で配布されているもの)

## 付錄 B Collard and Juillard (2001b) 全訳

本節では Real Business Cycles モデル（以下、RBC）を題材として DYNARE を解説する $ ^{15} $ 。RBC では無限期間の経済を考え、そこに多数で同質の家計と多数で同質の企業が完全競争市場下で活動していると想定する。企業は資本と労働を用いて同質な最終財を生産する。最終財は消費することも投資に使うこともできると仮定する。企業は資本を保有し、家計が提供する労働を雇用して生産を行う。この企業は家計に保有されていると想定する。各期には、消費財市場、労働市場、資本財市場の3つの完全競争市場が開催されると考える。家計の選好は以下の式で定式化される。

$$ E_{t}\sum_{\tau=t}^{\infty}\beta^{\star\tau-t}\left(\log(c_{t})-\theta\frac{h_{t}^{1+\psi}}{1+\psi}\right) $$

ここで $ 0 < \beta^{*} < 1 $ は割引因子、 $ c_{t} $ は t 期の消費、 $ h_{t} $ は t 期の労働、 $ \theta > 0 $ と $ \psi \geqslant 0 $ は定数である。さらに以下の制約条件の下で、経済全体を統制する中央計画者が存在し、家計の効用関数を最大化させるように消費、労働、資本蓄積を決定する。

$$ c_{t}+i_{t}=y_{t} $$

ここで $ i_{t} $ は投資、 $ y_{t} $ は産出である。投資は物的資本として以下の式で蓄積される。

$$ k_{t+1}=\exp(b_{t})i_{t}+(1-\delta)k_{t}\;\mathrm{w i t h}\;0<\delta<1 $$
δは資本減耗率であり、 $ b_{t} $ は投資を資本に変換する効率性を示すショックである（ $ b_{t} $ については後述）。

産出は資本と労働を用いて決定される。本節ではCobb-Douglas型生産関数を用いる $ ^{16} $ 。

$$ y_{t}=\exp(a_{t})k_{t}^{\alpha}h_{t}^{1-\alpha}\mathrm{w i t h}0<\alpha<1 $$

ここで $ a_{t} $ は技術に対するショック（もしくはSolow残差）を表す。先述したショック $ a_{t} $ と $ b_{t} $ は、それぞれ平均はゼロであるが、t期において相関するような関係にあると想定する。ショック $ a_{t} $ と $ b_{t} $ のプロセスは以下の通りである。

$$ \left(\begin{array}{l}a_{t}\\ b_{t}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l l}\rho&\tau\\ \tau&\rho\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}a_{t-1}\\ b_{t-1}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}\varepsilon_{t}\\ \nu_{t}\end{array}\right) $$

ここで定常性を満たすため $ \left|\rho+\tau\right|<1 $ と $ \left|\rho-\tau\right|<1 $ である必要がある。さらに以下の条件が必要である。

$$ \begin{aligned}E(\varepsilon_{t})\quad&=\quad0,\\E(\nu_{t})\quad&=\quad0,\\E(\varepsilon_{t}\varepsilon_{s})\quad&=\quad\left\{\begin{array}{ll}\sigma_{\varepsilon}^{2}\quad if\quad t=s\\0\quad if\quad t\neq s\end{array}\right.,\\E(\nu_{t}\nu_{s})\quad&=\quad\left\{\begin{array}{ll}\sigma_{\nu}^{2}\quad if\quad t=s\\0\quad if\quad t\neq s\end{array}\right.,\\E(\varepsilon_{t}\nu_{s})\quad&=\quad\left\{\begin{array}{ll}\varphi\sigma_{\varepsilon}\sigma_{\nu}\quad if\quad t=s\\0\quad if\quad t\neq s\end{array}\right..\end{aligned} $$

これまでの設定において問題の最適性を満たす1階の条件は以下のように得られる。

$$ \begin{aligned}&c_{t}\theta h_{t}^{1+\psi}=(1-\alpha)y_{t}\\&\beta E_{t}\left[\left(\frac{\exp(b_{t})c_{t}}{\exp(b_{t+1})c_{t+1}}\right)\left(\exp(b_{t+1})\alpha\frac{y_{t+1}}{k_{t+1}}+1-\delta\right)\right]=1\\&y_{t}=\exp(a_{t})k_{t}^{\alpha}h_{t}^{1-\alpha}\\&k_{t+1}=\exp(b_{t})(y_{t}-c_{t})+(1-\delta)k_{t}\\&a_{t}=\rho a_{t-1}+\tau b_{t-1}+\varepsilon_{t}\\&b_{t}=\tau a_{t-1}+\rho b_{t-1}+\nu_{t}\\ \end{aligned} $$

以上で RBC に関する説明は終了し、続いて DYNARE のコードの書式について述べる。

基本的には DYNARE のコードは (1) 内生変数や外生変数、パラメータについて設定する preamble、(2) モデルについて設定する model、(3) モデルを解き、シミュレーション（インパルス応答分析）を行う設定から構成される。以下、それぞれのステップについて一つずつ記述していく $ ^{17} $ 。
Preamble の記述 preamble では、モデルをシミュレートする期間や内生変数・外生変数を設定し、パラメーターの指定とそれに特定の値を付与するなどの記述を行う。

1. periods 20100; この部分はモデルの変数のモーメントを 20100 期以上に渡ってシミュレートすることを指定している

2. var y, c, k, h, a, b; モデルの内生変数を指定する。本節のモデルの場合、産出(y)、消費(c)、資本(k)、労働(h)、および二つのショック(a, b)である

3. varexo e, u; モデルの外生変数を指定する。本節のモデルの場合、 $ a_{t} $ に対するショック(e)と $ b_{t} $ に対するショック(u)である

4. parameters；モデルのパラメータを記述する。本節のモデルでは以下のようになる。

parameters beta, alpha, delta, theta, psi, rho, tau

それぞれのパラメータの意味は以下の通りである。

beta 割引因子
alpha 資本分配率
delta 減耗率
theta 労働不効用のパラメータ
psi 労働供給弾力性
rho persistence
tau cross-persistence

5. パラメーターに値を付与する。MATLAB での値の付与と同じく以下のように記述する

alpha = 0.36;
rho = 0.95;
tau = 0.025;
beta = 0.99;
delta = 0.025;
psi = 0;
theta = 2.95;

6. φはショックの条件付相関であり、厳密に言えばparametersに記載する必要はない。しかし、φをパラメータとして記述しておくと便利であると考えられるため、以下のように記述する。

phi = 0.1;

モデルの記述 次にモデルについて記述する。モデル（本節の場合、1階の条件）は model；という文字と end；という文字の間に記述する。ただし、その際に気をつけるべきルールがいくつかある。それについて変数 x を例に述べる。

• x が t 期における変数である場合、単に x と記述する

• x が t-1 期における変数である場合、 $ x(-1) $ と記述する（本節のモデルでは資本 $ k_{t-1} $ の場合）

• x が $ t+1 $ 期における変数である場合、 $ x(+1) $ と記述する（本節のモデルでは消費 $ c_{t+1} $ の場合）
以上のルールに留意しながら、本節でのモデルを記述すると以下の通りである。

model;
c*theta*h^(1+psi)=(1-alpha)*y;
k = beta*((exp(b)*c)/(exp(b(+1))*c(+1))) *
(exp(b(+1))*alpha*y(+1)+(1-delta)*k));
y = exp(a)*(k(-1)^alpha)*(h^(1-alpha));
k = exp(b)*(y-c)+(1-delta)*k(-1);
a = rho*a(-1)+tau*b(-1) + e;
b = tau*a(-1)+rho*b(-1) + u;
end;

もし、レベルではなく対数で Taylor 展開を行う必要がある場合はモデルを以下のように書き直す必要がある。

model;
exp(c) *theta *exp(h) ^ (1+psi) = (1-alpha) *exp(y);
exp(k) = beta * ((exp(b) *exp(c)) / (exp(b + 1)) *exp(c + 1))
* (exp(b + 1)) *alpha *exp(y + 1) + (1-delta) *exp(k));
exp(y) = exp(a) * (exp(k - 1)) ^ alpha * (exp(h) ^ (1-alpha));
exp(k) = exp(b) * (exp(y) - exp(c)) + (1-delta) *exp(k - 1);
a = rho * a (-1) + tau * b (-1) + e;
b = tau * a (-1) + rho * b (-1) + u;
end;

この場合、消費のレベルは $ \exp(c) $ で与えられる。

モデルを解く 次にモデルの合理的期待解を計算し、インパルス応答関数を算出するための設定を行う。

1. はじめに均衡を計算するための初期条件を数値的に与える。初期条件は文字列 initial; と end; の間に記述する。初期値を設定すべきなのは内生変数、外生変数である。さらに本節のモデルではショックがない場合の非確率的均衡を計算するためにショック e と u にも初期値を設定する。

initial;
y = 1.08068253095672;
c = 0.80359242014163;
h = 0.29175631001732;
k = 11.08360443260358;
a = 0;
b = 0;
e = 0;
u = 0;
end;
2. 次にイノベーション項（e と u）を特定するために分散共分散行列を設定する。この設定は Sigma_e コマンドで行うことができる。

Sigma_e = [ 0.000081, (phi*0.009*0.009); ...
0.000081];

ここでイノベーションの分散は両方とも0.000081に設定されている。Sigma_eでのショックはvarexoで記述された順番で並べる必要がある。なお、要素が記号である場合（ここではphi）その記号はそれより前に特定の値を与えておく必要がある。

Sigma_e を使わない方法としては shocks；と end；を使う方法がある。

shocks;
var e = 0.009^2;
var u = 0.009^2;
var e, u = phi*0.009*0.009;
end;

3. $ stoch\_simul; $ コマンドを書くことで、モデルが解かれ、シミュレーションが行われる。デフォルトでは近似された decision rules の係数とシミュレートした変数のモーメントが表示され、外生ショックに対するインパルス応答関数がプロットされる。さらに以下のオプションを使うことができる。

- DR_ALGO = [0, 1]: Decision rules の 2 次近似を行うアルゴリズムを設定する $ ^{18} $ 。[0]（デフォルト）の場合は Schmitt-Grohe and Uribe (2004) のアルゴリズムを使用し、[1] の場合は Collard and Juillard (2001a) のアルゴリズムを使用する

AR = 整数: 自己相関係数の次数の指定（デフォルトでは=5）

• NOCORR 相関行列を印刷しない（デフォルトでは印刷する）

- DROP = 整数: シミュレーションした変数の記述統計を計算する際に最初のいくつまでを捨てるか指定（デフォルトでは=100）

● IRF = 整数: インパルス応答関数の計算期間を設定する（デフォルトでは=40）

• NOFUNCTIONS 近似された解の係数をプリントしない

• LINEAR オリジナルのモデルが線形であることを示す

- NOMOMENTS 内生変数のモーメントをプリントしない

• ORDER = [1,2] Taylor 近似の次数（デフォルトでは=2）

- REPLIC = 整数: IRF(インパルス応答関数)を計算する際に使用するシミュレーションされた時系列の数を設定する(ORDER=1 の場合は REPLIC=1、それ以外では REPLIC=50)

シミュレートされた結果は変数名（var や varexo で使用した名前）の MATLAB のベクトルとして出力される（そのため MATLAB の予約語を変数名で使用しないように注意）。分散共分散行列を指定する時には政策関数が 2 次近似できるようなものを指定するように注意すること。さらに DYNARE はモーメントの計算をする時にはショックは正規分布に従うと仮定している。

本節のモデルでは単純に以下のように書けばよい。
stoch_simul;

Collard and Juillard (2001a) のアルゴリズムを使い、初期値を 200 捨てる場合には以下のように書けばよい。

simul_stoch(dr_algo=1, drop=200);

レベルで表記した場合の DYNARE のプログラム例

ここまで述べたレベルでモデルを表記した場合の DYNARE のコードをまとめる。

periods 20100;

var y, c, k, a, h, b;

varexo e, u;

parameters beta, rho, beta, alpha, delta, theta, psi, tau;

alpha = 0.36;
rho = 0.95;
tau = 0.025;
beta = 0.99;
delta = 0.025;
psi = 0;
theta = 2.95;
phi = 0.1;

model;
c*theta*h^(1+psi)=(1-alpha)*y;
k = beta*(((exp(b)*c)/(exp(b(+1))*c(+1))) * (exp(b(+1))*alpha*y(+1)+(1-delta)*k));
y = exp(a)*(k(-1)^alpha)*(h^(1-alpha));
k = exp(b)*(y-c)+(1-delta)*k(-1);
a = rho*a(-1)+tau*b(-1) + e;
b = tau*a(-1)+rho*b(-1) + u;
end;

initial;
y = 1.08068253095672;
c = 0.80359242014163;
h = 0.29175631001732;
k = 11.08360443260358;
a = 0;
b = 0;
$$ u=0; $$

図 6: RBC: Shock to e
図 7: RBC: Shock to u

対数で表記した場合の DYNARE のプログラム例

対数でモデルを表した場合のプログラム例を示す。この場合、initialはある程度適切に推測した値を入れておけばよい。また、steadyは非確率的な均衡の値を計算し、結果を表示することを指定している。また、二つのショックは相互に無相関であるとしている。

periods 20100;
var y, c, k, a, h, b;
varexo e, u;
parameters beta, rho, beta, alpha, delta, theta, psi, tau;
alpha = 0.36;
rho = 0.95;
tau = 0.025;
beta = 0.99;
delta = 0.025;
psi = 0;
theta = 2.95;

model;
exp(c) * theta * exp(h) ^ (1 + psi) = (1 - alpha) * exp(y);
exp(k) = beta * ((exp(b) * exp(c)) / (exp(b + 1) * exp(c + 1))) * (exp(b + 1) * alpha * exp(y + 1) + (1 - delta) * exp(k));
exp(y) = exp(a) * (exp(k - 1) ^ alpha) * (exp(h) ^ (1 - alpha));
exp(k) = exp(b) * (exp(y) - exp(c)) + (1 - delta) * exp(k - 1);
a = rho * a(-1) + tau * b(-1) + e;
b = tau * a(-1) + rho * b(-1) + u;
end;

initial;
y = 0.1;
c = -0.2;
h = -1.2;
k = 2.4;
a = 0;
b = 0;
e = 0;
u = 0;
end;

steady;

shocks;
var e = 0.009^2;
var u = 0.009^2;
end;

stoch_simul(dr_algo = 1, drop = 200);

## 付録 C New IS-LM の導出

本節では New Keynesian(ニューケインジアン) による金融政策分析モデルを取り上げる $ ^{19} $ 。このモデルは現代マクロ経済学における金融政策の分析の基礎となるモデルであり、現在、金融政策に関するほとんどの分析がこのモデルを出発点としている。

このモデルでは家計は労働を供給し、消費のために財を購入し、貨幣と債券を保有する。企業は労働者を雇用し、それぞれ特有の財を生産し、独占的競争市場でそれを売却する。企業は財の価格を設定することが出来るが、すべての企業が各期毎に価格を再設定するできるとは限らない。家計と企業ともに最適行動を取る（家計は期待効用を最大化し、企業は利益を最大化する）。中央銀行は名目利子率を制御するが、最適化行動は取らないものとする。

$ ^{19} $ 本節の記述は Walsh (2003) の第 5 章 4 節に基づき、原文よりさらに詳細に計算過程を示したものである。
家計の効用は以下の式で表される。

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}\Big[\frac{C_{t+i}^{1-\sigma}}{1-\sigma}+\frac{\gamma}{1-b}\Big(\frac{M_{t+i}}{P_{t+i}}\Big)^{1-b}-\chi\frac{N_{t+i}^{1+\eta}}{1+\eta}\Big] $$

ただし、ここで $ C_{t} $ は構成消費財（後述）、 $ M_{t}/P_{t} $ は実質貨幣残高、 $ N_{t} $ は労働を表す。構成消費財は異なる最終財から構成される。その最終財は独占的競争市場で売却される。企業は連続で1に正規化され、企業jは財 $ c_{j} $ を製造する。構成消費財は以下のような形で定義される。

$$ C_{t}=\left[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}d j\right]^{\frac{\theta}{\theta-1}}\quad\theta>1. $$

ここでθは各財に対する需要の価格弾力性を表している。

家計の意思決定は二段階に分けて行われる。(1)最初に $ C_{t} $ のレベルを考慮せずに構成財を購入する費用を最小にすることを考える。(2)次に $ C_{t} $ 、 $ N_{t} $ 、 $ M_{t} $ に関する最適化を考える。

ステップ(1)：最初に $ C_{t} $ を購入する費用を最小化することを考える。

$$ \min_{c_{j,t}}\int_{0}^{1}p_{j,t}c_{j,t}dj $$

制約条件を以下に示す。

$$ \left[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}d j\right]^{\frac{\theta}{\theta-1}}\geq C_{t} $$

ここで $ p_{j,t} $ は財 j の価格を表す。ラグランジュ乗数を $ \psi_{t} $ と表し Lagrangian を以下に示す。

$$ \mathcal{L}=\int_{0}^{1}p_{j,t}c_{j,t}d j+\psi_{t}\Big[C_{t}-\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}d j\Big]^{\frac{\theta}{\theta-1}}\Big] $$

$ c_{j,t} $ に関する1階の条件を計算する[ここでは $ C_{t} $ は単なる上限としてしか作用しないことに注意]。

$$ \begin{aligned}c_{j,t}:\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial c_{j,t}}=&0=p_{j,t}-\psi_{t}\frac{\partial}{\partial c_{j,t}}\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}dj\Big]^{\frac{\theta}{\theta-1}}\\0=&p_{j,t}-\psi_{t}\frac{\theta-1}{\theta}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}-1}\frac{\theta}{\theta-1}\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}dj\Big]^{\frac{\theta}{\theta-1}-1}\\0=&p_{j,t}-\psi_{t}c_{j,t}^{-\frac{1}{\theta}}\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}dj\Big]^{\frac{1}{\theta-1}}\\c_{j,t}^{\frac{1}{\theta}}=&\frac{\psi_{t}}{p_{j,t}}\Big[\int_{0}^{1}c_{j,t}^{\frac{\theta-1}{\theta}}dj\Big]^{\frac{1}{\theta-1}}\\c_{j,t}=&\Big(\frac{p_{j,t}}{\psi_{t}}\Big)^{-\theta}C_{t}\end{aligned} $$
構成財の定義と上の結果を利用して計算する。

$$ \begin{aligned}&C_{t}=\Big[\int_{0}^{1}\big[\big(\frac{p_{j,t}}{\psi_{t}}\big)^{-\theta}C_{t}\big]^{\frac{\theta-1}{\theta}}\Big]d j^{\frac{\theta}{\theta-1}}\\&C_{t}=\Big(\frac{1}{\psi_{t}}\Big)^{-\theta}\Big[\int_{0}^{1}p_{j,t}^{1-\theta}d j\Big]^{\frac{\theta}{\theta-1}}C_{t}\\&\psi_{t}=\Big[\int_{0}^{1}p_{j,t}^{1-\theta}d j\Big]^{\frac{1}{1-\theta}}\equiv P_{t}\\ \end{aligned} $$

Lagrange 乗数 $ \psi_{t} $ は物価水準 $ P_{t} $ を表す。結局 $ P_{t} $ を用いて財 j に対する需要 $ c_{j,t} $ は以下のように表されることが分かった。

$$ c_{j,t}=\left(\frac{p_{j,t}}{P_{t}}\right)^{-\theta}C_{t} $$

財 j に対する需要の価格弾力性は $ \theta $ に等しい。 $ \theta \rightarrow \infty $ とした時、ここの財は代替が容易になり、それぞれの企業は市場支配力を失ってしまう（つまり独占的競争から完全競争に移行する）。

ステップ(2): $ P_{t} $ の定義を前提として、家計の制約条件は以下のように表される。

$$ C_{t}+\frac{M_{t}}{P_{t}}+\frac{B_{t}}{P_{t}}=\Big(\frac{W_{t}}{P_{t}}\Big)N_{t}+\frac{M_{t-1}}{P_{t}}+(1+i_{t-1})\Big(\frac{B_{t-1}}{P_{t}}\Big)+\Pi_{t} $$

ここで $ M_{t} $ は貨幣保有量、 $ B_{t} $ は1期のみの債券、 $ W_{t} $ は賃金率、 $ i_{t} $ は名目利子率、 $ \Pi_{t} $ は企業から得られる実質利益である。1階の条件は以下の通りである。

$$ C_{t}^{-\sigma}=\beta(1+i_{t})E_{t}\Big(\frac{P_{t}}{P_{t+1}}\Big)C_{t+1}^{-\sigma} $$

$$ \frac{\gamma\Big(\frac{M_{t}}{P_{t}}\Big)^{-b}}{C_{t}^{-\sigma}}=\frac{i_{t}}{1+i_{t}} $$

$$ \frac{\chi N_{t}^{\eta}}{C_{t}^{-\sigma}}=\frac{W_{t}}{P_{t}} $$

企業は以下に示す3つの制約条件の下で利益を最大化する。以下、制約条件を列挙する。(1)第一の制約条件は利用可能な技術を集約して生産可能な量を関数として表す生産関数である。簡単化のためにここでは資本を無視して産出 $ c_{jt} $ を以下の形で表す $ ^{20} $ 。

$$ c_{j t}=Z_{t}N_{j t},\ E[Z_{t}]=1, $$

ただし、 $ Z_{t} $ は集約された生産性を表す確率変数、 $ N_{jt} $ は労働投入量である。ここでは規模に対して収穫一定を仮定している。(2) 第二の制約条件は企業が直面する需要曲線である。この条件は式(C13)で示されている。(3) 第三の制約条件は粘着価格を仮定することである。つまり、少なくとも企業の一部は価格調整がある期間に行えないと仮定する。ここでは Calvo (1983) の粘着価格モデルを使用する。

企業の価格決定について分析する前に費用を最小化する問題を考察しておく。これは $ c_{jt} = Z_{t}N_{jt} $
という制約条件の下で $ W_{t}N_{jt} $ を最小化する問題として表される。

$$ \min_{N_{t}}\Big(\frac{W_{t}}{P_{t}}N_{j,t}\Big)+\phi_{t}(c_{jt}-Z_{t}N_{jt}) $$

1階の条件は以下のとおり。

$$ \phi_{t}=\frac{W_{t}/P_{t}}{Z_{t}} $$

ここで $ \phi_{t} $ は企業の実質限界費用である。

企業の価格決定は以下の関数を最大化するものとする。

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[\Big(\frac{p_{jt}}{P_{t+i}}\Big)c_{jt+i}-\phi_{t+i}c_{jt+i}\Big] $$

ここで $ \omega $ は価格改定が行えない企業の比率（外生パラメータ一）であり、確率的割引因子 $ \Delta_{i,t+i} $ は $ \beta^{i}(C_{t+i}/C_{t})^{-\sigma} $ で与えられる。式 (C13) を用いて $ c_{jt} $ を削除する。

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[\Big(\frac{p_{j t}}{P_{t+i}}\Big)^{1-\theta}-\phi_{t+i}\Big(\frac{p_{j t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}\Big]C_{t+i} $$

それぞれの企業は違った製品を作っているが、企業はどれも同じ製造技術を有し、一定で等しい需要弾力性を持つ需要曲線に対応しなければならない。言い換えると、それぞれの企業は本質的に同一だが、Calvo (1983) モデルの仮定により現在の価格はそれぞれに企業で異なる可能性がある（過去もしくは現在に決定した価格を使っている）。しかし、価格調整の機会を与えられた企業は同じ価格を設定する。

1階の条件を計算する。

$$ \begin{aligned}&\frac{\partial}{\partial p_{j,t}}E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{1-\theta}-\phi_{t+i}\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}\Big]C_{t+i}=0\\&E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[(1-\theta)\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}\frac{1}{P_{t+i}}+\phi_{t+i}\theta\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta-1}\frac{1}{P_{t+i}}\Big]C_{t+i}=0\\&E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[(1-\theta)\frac{1}{P_{t+i}}+\phi_{t+i}\theta\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-1}\frac{1}{P_{t+i}}\Big]\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}C_{t+i}=0\\&E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[(1-\theta)\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)+\theta\phi_{t+i}\Big]\Big(\frac{1}{p_{j,t}}\Big)\Big(\frac{p_{j,t}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}C_{t+i}=0\end{aligned} $$

よって $ p_{t} $ の最適値 $ p_{t}^{*} $ は

$$ E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big[(1-\theta)\Big(\frac{p_{t}^{*}}{P_{t+i}}\Big)+\theta\phi_{t+i}\Big]\Big(\frac{1}{p_{t}^{*}}\Big)\Big(\frac{p_{t}^{*}}{P_{t+i}}\Big)^{-\theta}C_{t+i}=0 $$

$$ \begin{aligned}&E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}(\theta-1)\frac{1}{P_{t+i}}(p_{t}^{*})^{-\theta}P_{t+i}^{\theta}C_{t+i}=E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\theta\phi_{t+i}\frac{1}{p_{t}^{*}}(p_{t}^{*})^{-\theta}P_{t+i}^{\theta}C_{t+i}\\&\frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}(\theta-1)P_{t+i}^{\theta-1}P_{t}^{1-\theta}P_{t}^{\theta}C_{t+i}=E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\theta\phi_{t+i}P_{t+i}^{\theta}C_{t+i}\\ \end{aligned} $$
ここで $ \Delta_{i,t+i} $ は $ \beta^{i}(C_{t+i}/C_{t})^{-\sigma} $ で与えられることを利用して式を整理する。

$$ \begin{aligned}\frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}&=\Big(\frac{\theta}{\theta-1}\Big)\frac{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\phi_{t+i}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta}C_{t+i}}{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\Delta_{i,t+i}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta-1}C_{t+i}}\\ \frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}&=\Big(\frac{\theta}{\theta-1}\Big)\frac{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}{}^{1-\sigma}\phi_{t+i}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta}}{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}{}^{1-\sigma}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta-1}}\end{aligned} $$

ここからは式(C26)を用いて $ \omega=0 $ の時とそうでない時について考察する。まず、 $ \omega=0 $ の時、

$$ \frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}=\Big(\frac{\theta}{\theta-1}\Big)\phi_{t}=\mu\phi_{t} $$

それぞれの企業は価格 $ p_{t}^{*} $ を設定する。価格 $ p_{t}^{*} $ は名目限界費用 $ P_{t}\phi_{t} $ に markup $ \mu>1 $ を乗じた値になる。この結果は独占的競争モデルでは標準的な結果である。なぜなら、価格が限界費用を超えているから、産出が非効率的に低くなっている。価格が完全に柔軟に変更される場合（つまり今のように $ \omega=0 $ の時）には企業はどれも同じ価格をつける。この場合には $ p_{t}^{*}=P_{t} $ かつ $ \phi_{t}=1/\mu $ となる。実質限界費用の定義を使って

$$ \frac{W_{t}}{P_{t}}=\frac{Z_{t}}{\mu} $$

が伸縮価格での均衡になる。それに加えて余暇と消費の代替に関する限界率を加えて

$$ \frac{W_{t}}{P_{t}}=\frac{Z_{t}}{\mu}=\frac{\chi N_{t}^{\eta}}{C_{t}^{-\sigma}} $$

ここから $ \hat{x}_{t} $ を変数 $ X_{t} $ の定常状態からの乖離を表すとする。また添え字 f は伸縮価格での均衡を表すこととする。式 (C29) を定常状態近傍で近似して

$$ \eta\hat{n}_{t}^{f}+\sigma\hat{c}_{t}^{f}=\hat{z}_{t}^{f} $$

また生産関数

$$ \hat{y}_{t}^{f}=\hat{n}_{t}^{f}+\hat{z}_{t}^{f} $$

と合理的期待均衡

$$ \hat{y}_{t}^{f}=\hat{c}_{t}^{f} $$

を用いて

$$ \begin{aligned}\eta\hat{n}_{t}^{f}+\sigma\hat{c}_{t}^{f}&=\hat{z}_{t}^{f}\\\eta(\hat{y}_{t}^{f}-\hat{z}_{t}^{f})+\sigma\hat{y}_{t}^{f}&=\hat{z}_{t}^{f}\end{aligned} $$

よって

$$ \hat{y}_{t}^{f}=\left(\frac{1+\eta}{\sigma+\eta}\right)\hat{z}_{t} $$

これが伸縮価格の場合の均衡産出量である。
次に $ \omega > 0 $ である場合（つまり価格が粘着的である場合）を考える。

$$ P_{t}^{1-\theta}=(1-\omega)(p_{t}^{*})^{1-\theta}+\omega P_{t-1}^{1-\theta} $$

次に New Keynesian Phillips 曲線について述べるが、その導出は後述する。

$$ \pi_{t}=\beta E_{t}\pi_{t+1}+\tilde{\kappa}\hat{\phi}_{t} $$

ここで

$$ \tilde{\kappa}=\frac{(1-\omega)(1-\beta\omega)}{\omega} $$

式 (C36) を New Keynesian Phillips 曲線 (NKPC) という。従来の Phillips 曲線と異なり NKPC は forward-looking である。NKPC はエージェントの最適化から導き出されたものであり、ミクロ経済学的基礎を持つという点で、従来の Phillips 曲線とは異なっている。また、NKPC を書き直すと、

$$ \pi_{t}=\tilde{\kappa}\sum_{i=0}^{\infty}\beta^{i}E_{t}\hat{\phi}_{t+i} $$

ここまでの表記では NPKC は実質限界費用にしか依存しないように見えるがそうではない。企業の限界費用は以下の形で表されることはすでに見た。

$$ \phi_{t}=\frac{W_{t}/P_{t}}{Z_{t}} $$

これを定常状態からの変化率の式に直すと

$$ \hat{\phi}_{t}=\left(\hat{w}_{t}-\hat{p}_{t}\right)-\hat{z}_{t} $$

また、伸縮価格均衡においては、すべての企業はまったく同じ価格をつけるために式(C29)から

$$ \hat{w}_{t}-\hat{p}_{t}=\eta\hat{n}_{t}+\sigma\hat{y}_{t},\ \left(\hat{y}_{t}=\hat{c}_{t}\right) $$

また、$\hat{y}_{t}=\hat{n}_{t}+\hat{z}_{t}$ を用いて

$$ \begin{aligned}\hat{\phi}_{t}&=\big(\hat{w}_{t}-\hat{p}_{t}\big)-\hat{z}_{t}\\&=\big(\eta\hat{n}_{t}+\sigma\hat{y}_{t}\big)-\hat{z}_{t}\\&=\big(\eta(\hat{y}_{t}-\hat{z}_{t})+\sigma\hat{y}_{t}\big)-\hat{z}_{t}\\&=(\sigma+\eta)\hat{y}_{y}-(1+\eta)\hat{z}_{t}\\&=(\sigma+\eta)\Big[\hat{y}_{y}-\Big(\frac{1+\eta}{\sigma+\eta}\Big)\hat{z}_{t}\Big]\\&=\gamma(\hat{y}_{t}-\hat{y}_{t}^{f})\end{aligned} $$

ただし、$\gamma=\sigma+\eta$ である。またこの結果を使って NKPC を書き直すと

$$ \pi_{t}=\beta E_{t}\pi_{t+1}+\kappa x_{t} $$
ここで $ x_{t} = \hat{y}_{t} - \hat{y}_{t}^{f} $ は価格粘着性がある実世界の産出と伸縮価格での産出のギャップ (New Keynesian 型の産出ギャップ [GDP ギャップ]) である $ ^{21} $ 。ただし、 $ \gamma\kappa = \gamma(1 - \omega)(1 - \beta\omega)/\omega $

次に New Keynesian IS 曲線を導出する。表記を簡単にするため $ I_{t} = (1 + i_{t}) $ と記号を置き換え、式 (C15) と $ Y_{t} = C_{t} $ を用いて

$$ \begin{aligned}Y_{t}^{-\sigma}&=\beta(I_{t})E_{t}\pi_{t+1}^{-1}Y_{t+1}^{-\sigma},\ \left[\pi_{t+1}^{-1}=\frac{P_{t}}{P_{t+1}}\right]\\\left(Y e^{\hat{y}_{t}}\right)^{-\sigma}&=\beta I e^{\hat{i}_{t}}E_{t}\pi e^{\hat{\pi}_{t+1}}\left(Y e^{\hat{y}_{t+1}}\right)^{-\sigma}\\1-\sigma\hat{y}_{t}&=\beta I\pi(1+\hat{i}_{t})E_{t}(1-\hat{\pi}_{t+1})(1-\sigma\hat{y}_{t+1})\\&\left[\beta I\pi^{-1}=1\right]\\\hat{y}_{t}&=E_{t}\hat{y}_{t+1}-\frac{1}{\sigma}(\hat{i}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1})\\\hat{y}_{t}-\hat{y}_{t}^{f}&=\left(E_{t}\hat{y}_{t+1}-E_{t}\hat{y}_{t+1}^{f}\right)-\frac{1}{\sigma}(\hat{i}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1})+E_{t}\hat{y}_{t+1}^{f}-\hat{y}_{t}^{f}\\x_{t}&=E_{t}x_{t+1}-\frac{1}{\sigma}(\hat{i}_{t}-E_{t}\hat{\pi}_{t+1})+u_{t}\end{aligned} $$

ただし、ここで $ u_{t}=E_{t}\hat{y}_{t+1}^{f}-\hat{y}_{t}^{f} $ をあらわす。この式を New Keynesian IS 曲線（NKIS）という。NKPC と NIS が New Keynesian における金融分析の重要三要素のうちの二つである（三つ目の要素は名目金利を用いた政策ルールである）。NKPC は供給側の関係を表し、NKIS は需要側の関係を表している。

続いて NKPC の導出を行う。

$$ \frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}=\Big(\frac{\theta}{\theta-1}\Big)\frac{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}^{\phantom{i}1-\sigma}\phi_{t+i}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta}}{E_{t}\sum_{i=0}^{\infty}\omega^{i}\beta^{i}C_{t+i}^{\phantom{i}1-\sigma}\Big(\frac{P_{t+i}}{P_{t}}\Big)^{\theta-1}} $$

$$ P_{t}^{1-\theta}=(1-\omega)(p_{t}^{*})^{1-\theta}+\omega P_{t-1}^{1-\theta} $$

我々はインフレ率の定常状態をゼロとおき、そのゼロからはずれたインフレ率を表現することを考える。 $ Q_{t}=p_{t}^{*}/P_{t} $ を(価格調整の機会を得た)すべての企業が期間tに製品価格を調整した場合の製品価格と物価水準の相対価格を意味する。均衡での $ Q_{t} $ はQ=1である。また、 $ Q_{t} $ は各期にすべての企業が製品価格を調整できた場合に1となる。次に式を変形していく。

$$ \begin{aligned}&1=(1-\omega)\Big(\frac{p_{t}^{*}}{P_{t}}\Big)^{1-\theta}+\omega\Big(\frac{P_{t}}{P_{t-1}}\Big)^{-(1-\theta)}\\ &1=(1-\omega)Q_{t}{}^{1-\theta}+\omega\Big(\frac{P_{t}}{P_{t-1}}\Big)^{-(1-\theta)}\\ &1=(1-\omega)(Q^{SS})^{1-\theta}\big(1+(1-\theta)\hat{q}_{t}\big)+\omega(\pi^{SS})^{1-\theta}\big(1-(1-\theta)\pi_{t}\big)\\ \end{aligned} $$

また、均衡状態では

$$ 1=(1-\omega)(Q^{S S})^{1-\theta}+\omega(\pi^{S S})^{1-\theta} $$