面积

面积是一个用作表示一个曲面或平面图形所占范围的量，可看成是长度（一维度量）及体积（三维度量）的二维类比。对三维立体图形而言，图形的边界的面积称为表面积。

计算各基本平面图形面积及基本立体图形的表面积公式早已为古希腊及古中国人所熟知。

面积在近代数学中占相当重要的角色。面积除与几何学及微积分有关外，亦与线性代数中的行列式有关。在分析学中，平面的面积通常以勒贝格测度（Lebesgue measure）定义。

我们可以利用公理，将面积定义为一个由平面图形的集合映射至实数的函数。

最基本的面积公式是长方形的公式。当"l"是长，"w"是宽时，其公式为：

formula_1

当其图形是一个正方形时，formula_2，因此正方形的公式为：

formula_3

长方形的面积计算方法需要证明。
引理：两个长方形面积之比等于其长宽之积之比

如图，根据《几何原本》第六卷命题一 ——等高之平行四边形的面积比与其底之比等同，我们得到

B:Y=a:c

Y:G=b:d

B:G=ab:cd （第五卷命题二十三）

（引理证毕）

定理：长方形的面积等于其长宽之积
根据引理，
A:R=lw:(1x1)

定义单位正方形的面积为一平方单位。由于R是单位正方形，因此面积是一平方单位。将一平方单位代入R，得到：A:1=lw:1

（定理证毕）

有些简单的公式可以切割的方式得出。

例如平行四边形，可以切割成一个梯形和一个直角三角形，如同右图。如果三角形移到平行四边形的另一边，就可以变成一个长方形。因此，平行四边形的面积公式有点像长方形的：

formula_5

至于同样的平行四边形可以分割为两个全等三角形。因此三角形的公式为：

formula_6

圆形面积公式是基于基本的面积公式，假设有一个半径为r的圆形，分成很多扇形，那一个扇形的面积就会很接近三角形，就像上图一样。如果分得够细小，就可以看到半径为r的圆形面积相等于一个高为r，底为πr的平行四边形。

我们也可以用积分得到更肯定的答案。

计算不规则之图形面积，可用填补法或切割法来计算之。

一些基本的立体表面积公式：

面积的测量单位主要包括：

市制：

台制：

香港：

其中一个定义面积的方法是利用公理定义。面积可以定义为一个由所有（可测）平面图形组成的集合"M"映射至实数的函数"a"，并满足以下条件：
可以证明，满足上述条件的函数存在。