自然数

数学中，自然数指用于计数（如「桌子上有三个苹果」）和定序（如「国内第三大城市」）的数字。用于计数时称之为基数，用于定序时称之为序数。

自然数的定义不一，可以指正整数 formula_1，亦可以指非负整数 formula_2。前者多在数论中使用，后者多在集合论和计算机科学中使用，也是 ISO 80000-2 标准中所采用的定义。

数学家一般以formula_3代表以自然数组成的集合。自然数集是一个可数的，无上界的无穷集合。

自然数由数数而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯主义更视之为宇宙之基本。其它古文明也对其研究作出极大贡献，尤其以印度对0的接受，为人称道。

零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。玛雅人于公元200年将零视为数字，但未与其它文明有所交流。现代的观念由印度学者婆罗摩笈多于公元628年提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲人一开始仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个“自然”数。

19世纪末，集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集）包括于自然数内更为方便。逻辑论者及计算机科学家，接受集合论者的定义。而其他一些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。

在全球范围内，目前针对0是否属于自然数的争论依旧存在。

在中国大陆，2000年左右之前的中小学教材一般不将0列入自然数之内，或称其属于“扩大的自然数列”。在2000年左右之后的新版中小学教材中，普遍将0列入自然数。

认为自然数不包含零的其中一个理由是自然数所指为自然界中存在的数，例如一棵大树、两条鱼、十亿个细胞等等，而鲜少有人说零个物品。

国际标准《量和单位 第十一部分：物理科学和技术中使用的数学标志与符号》（已被取代）中，从集合论角度规定：符号 formula_3 所表示的自然数集是包括正整数和0。

中国于1993年制定的强制性国家标准《物理科学和技术中使用的数学符号》(GB 3102.11-93)参照国际标准ISO 31-11规定：formula_3表示“非负整数集；自然数集”，formula_6。

数学家们使用formula_7或formula_3来表示所有自然数的集合。较早的教科书也有使用formula_9来表示这一集合的情况。

为了消除是否包含 0 的歧义，有时也会通过下标（或者上标）「0」表示集合中包含 0，通过上标「formula_10」「formula_11」或者下标「formula_12」「formula_13」表示集合中不包含 0：

为了给出自然数的严格定义，朱塞佩·皮亚诺采用序数理论提出自然数的5条公理，被称为皮亚诺公理。这五条公理用非形式化的方法叙述如下：

那么formula_26。（公理5保证了数学归纳法的正确性，从而被称为归纳法原理）

若将0也视作自然数，则公理中的1要换成0。

在基数理论中，集合论的一般做法是首先把0定义为空集，然后把一非零自然数看作是所有比该数小的自然数组成的集合，即

透过无穷公理，可以得到只包含全体自然数的自然数集formula_3。

另外，在此定义下，在集合formula_16内就有formula_16个元素；而若formula_16小于formula_32，则formula_16会是 '

自然数加法可经formula_34及formula_35递归定义而成。因而得出交换幺半群formula_36，是由formula_37生出的自由幺半群，其中幺元为formula_38。此幺半群服从消去律，可嵌入一群内：最小的是整数群。 

同理，自然数乘法formula_39可经formula_40及formula_41 得出。而formula_42亦是交换幺半群；formula_39和formula_44符合分配律：

我们说formula_46当且仅当有自然数formula_47使得formula_48。formula_49是一个良序集，即每个非空子集都有一个最小的自然数。此序也和加法及乘法兼容，即若formula_50，formula_51和formula_47都是自然数且formula_46，则formula_54及formula_55。

给定两个自然数formula_50和formula_51，其中formula_58，可找到唯一的两个自然数formula_59及formula_60使得

formula_59称为“商数”而formula_60称为“余数”。 若formula_64，则称formula_50可被formula_51整除，记为formula_67。

相关概念有可除性、辗转相除、质数及其它数论概念。

自然数有两种推广：序数用作排列，而基数用于判定集合的大小。

对于有限序列或有限集合，序数及基数皆与自然数同。