代数数域

代数数域是数学中代数数论的基本概念，数域的一类，有时也被简称为数域，指有理数域formula_1的有限扩张形成的扩域。任何代数数域都可以视作formula_1上的有限维向量空间。

对代数数域的研究，或者更一般地说，对有理数域的代数扩张的研究，是代数数论的中心主题。

代数数域是域的一类。域是装备了两个二元运算（通常称之为“加法”、“乘法”）的代数系统。这两种运算各自满足结合律与交换律，完全可逆，同时乘法对加法满足分配律（详细定义参见域）。域的一个重要的例子是有理数域formula_1。

域的扩张研究各类域之间的关系，最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域中加入不属于此域的元素（一般以集合纪录），规定相互间的运算法则后，“最小的”将它们都包含在内的域称为“（添加中元素得到）的扩域”。称是的子域。一般将“到的域扩张”记作⊂或/。

另一个基础概念是向量空间。向量空间，特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广（具体定义参见向量空间条目）。以某个域为系数域的向量空间（通常称作上的向量空间或向量空间），其中的向量除了可以相加减，还可以乘以中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件，称为空间的基。选定了空间的基以后，空间里的任何向量都可以表达为以中元素组成的有序数组：formula_4。其中的是基中向量的个数，也称为空间的维数。

设是域的一个扩域。将中的元素看作向量，以作为系数域，可以证明是一个向量空间。如果这个向量空间是有限维的，就称是的有限扩张。作为向量空间的维数，称为扩张的次数，记作 : 。

若域是有理数域formula_1的有限扩张，则称之为代数数域。

最小最基本的代数数域是有理数域formula_1。因为formula_1自身是formula_1向量空间，维数是1。因此formula_1是formula_1自身的域扩张，formula_11

高斯有理数formula_12（为虚数单位）是数学家发现的第一个非平凡代数数域的例子，它是所有形同：
的数构成的集合。可以证明，formula_12是域，而且是formula_1向量空间，以formula_16为基，空间维数是2。所以formula_12是formula_1的二次扩张，formula_19

给定不是完全平方数的正整数或相反数不是完全平方数的负整数，二次域formula_20在formula_1中添加的平方根而得的扩域。与高斯有理数域类似，可以证明formula_20是formula_1向量空间，以formula_24为基，空间维数是2，即formula_25

考虑多项式方程formula_26的个复根formula_27，它们被称做次单位根，具体可以写作：
在formula_1中添加formula_27得到的扩域称为次分圆域，记作formula_31。可以证明formula_31是有限维formula_1向量空间，维数为formula_34（formula_35是数论中的欧拉函数），即formula_36

实数域formula_37、复数域formula_38和进数域formula_39都不是formula_1的有限扩张，因此都不是代数数域。任何有限域都不是formula_1的扩域，因此也不是代数数域。

全体规矩数构成的域formula_42和全体代数数构成的域formula_43（有时也被简称为代数数域，与本文主题同名，但不是同一个概念）不是formula_1的有限扩张，因此都不是代数数域。

代数数是指能够成为某个有理数系数多项式（不是零多项式）的根的数。显然所有的有理数都是代数数。给定一个代数数域，依定义，域扩张formula_45是有限扩张。设其次数为正整数。将看作是维formula_1向量空间，在中任意选一个不属于formula_1的数，它可以被看作是维formula_1向量空间中的一个（非零）向量。考虑以下的 + 1个向量：
它们都属于。根据向量空间的性质，它们是线性相关的。即存在不全为零的 + 1个有理数：formula_50，使得：
考虑非零多项式formula_52，formula_53，即是多项式formula_54的根。所以是代数数。由上可知，任一代数数域的元素都是代数数。

代数整数是指能够成为某个首一整数系数多项式的根的数。显然代数整数是一种代数数。任何整数都是一次整系数多项式的根，因此是代数整数。给定代数数域，中所有代数整数构成一个环，称作中的（代数）整数环，也称为整数环，记作formula_55。例如formula_1上的代数整数环就是formula_57，因此在代数数域研究中formula_57也被称作“有理整数”（有理数域中的整数），以区别于其余的代数整数。

代数数域中的整数环formula_55与formula_57有不同的代数性质。formula_55不一定是唯一分解整环。举例来说，设formula_62，中的整数环是formula_63。formula_64都是formula_55中的“素数”。正整数6，作为formula_55中的元素，它的素因数分解有两种方式：
有理整数的唯一分解性质在不少代数数域的整数环中失效。这个事实说明了拉梅对费马大定理的证明是错误的。为此库默尔等引进了理想数来作为弥补，由此发展出理想理论。代数数论中一个重要的事实是：formula_55的每个理想都可以唯一表示为素理想的乘积，即为戴德金整环。这种“理想的唯一素分解”可部分弥补“代数整数一般不能唯一素因子分解”的不足，在历史上使代数数论发展起来。

设为次代数数域，的整数基是任一由个整数组成的集合：
使得任一个整数都能唯一地表示为这个整数的整线性组合，即：
换句话说，整数基是formula_55作为自由formula_57模的基。给定的一组整数基，可以证明，所有中元素都可以唯一地表示为其中元素的有理线性组合，即：
这说明是作为维formula_1向量空间的一组基。而且由于中元素都是整数，故名为整数基。此外可以证明，是整数当且仅当所有formula_77都是有理整数。

设为次代数数域。作为维formula_1向量空间，包含如下形式的基：
其中每个元素都是某个特定的数的乘幂。根据域扩张理论中的本原元定理，这样的一定存在，称为域扩张formula_80的本原元。如果不仅是本原元，还是整数，那么这时也是整数基，称作乘幂整数基，称为单衍域（）。