数论

数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。被誉为「最纯」的数学领域。

正整数按乘法性质划分，可以分成质数，合数，1，质数产生了很多一般人能理解却又悬而未解的问题，如哥德巴赫猜想，孪生质数猜想等。即，很多问题虽然形式上十分初等，事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展，催生了大量的新思想和新方法。数论除了研究整数及质数外，也研究一些由整数衍生的数（如有理数）或是一些广义的整数（如代数整数）。

整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。

数论早期称为算术。到20世纪初，才开始使用数论的名称，而算术一词则表示「基本运算」，不过在20世纪的后半，有部份数学家仍会用「算术」一词来表示数论。1952年时数学家Harold Davenport仍用「高等算术」一词来表示数论，戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特在1938年写《数论介绍》简介时曾提到「我们曾考虑过将书名改为《算术介绍》，某方面而言是更合适的书名，但也容易让读者误会其中的内容」。

卡尔·弗里德里希·高斯曾说：「数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。」

数论早期铺垫有三大内容：


以上工作成为现代数论的基本框架。

在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。

数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。

皮埃尔·德·费马（1601–1665）没有著作出版，他在数论上的贡献几乎都在他写给其他数学家的信上，以及书旁的空白处。费马的贡献几乎没有数论上的证明，不过费马重复的使用数学归纳法，并引入无穷递降法。

费马最早的兴趣是在完全数及相亲数，因此开始研究整数因数，这也开始1636年之后的数学研究，也接触到当时的数学社群。他已在1643年研读过版本的丢番图著作，他的兴趣开始转向丢番图方程和平方数的和。

费马在数论上的贡献有：
，若formula_1不是质数formula_2的倍数，则formula_3

费马在1637年声称（费马最后定理）证明了对于大于2的任意整数formula_10，不存在
formula_11的非寻常的正整数解（目前已知唯一的证明是由数学家安德鲁·怀尔斯及其学生理查·泰勒证明，远远的超过他的时代），但只在一本丢番图著作的旁边写到，而且他没有向别人宣称他已有了证明。

欧拉(1707–1783)对数论的兴趣最早是由他的朋友哥德巴赫所引发，让他开始专注在费马的一些研究上，在费马没有使当代的数学家注意此一主题后，欧拉的出现称为「现代数论的重生」。欧拉数论的贡献包括以下几项：