Problem:
Problem D: Tunnel

Problem

横軸$x$、縦軸$y$の$xy$平面上に$n$個の長方形がある。$i$番目の長方形は、高さ$h_i$、幅$1$であり、頂点は点$(i-1, 0)$、点$(i-1, h_i)$、点$(i, h_i)$、点$(i, 0)$である。

あなたは$n$個の正の整数$y_1, y_2, ... y_n$を選び、以下の$n$回の操作を行う。

(1) 1回目の操作では、点$(0, 1)$と点$(1, y_1)$を結ぶ線分を引く。

(2) $i$回目$(2 \le i \le n)$の操作では、点$(i-1, y_{i-1})$と点$(i, y_i)$を結ぶ線分を引く。

$i$回目の操作に対し、$S_i$を以下のように定める。

$i$回目の操作で引いた線分の$x$座標が小さい方の端点をA、$x$座標が大きい方の端点をBとする。

また、点$(i-1, 0)$をC、点$(i-1, h_i)$をD、点$(i, h_i)$をE 、点$(i, 0)$をFとする。

台形ABFCと長方形DEFCの非共通部分の面積を$S_i$とする。

以下に５つの例を示す。

それぞれの例における$S_i$は星マークを含む領域の面積の合計である。

$S = S_1 + S_2 + … + S_n$を最小化するような$y_1, y_2, ... y_n$を求め、$S$の最小値を出力せよ。

Input

入力は以下の形式で与えられる。

$n$
$h_1$ $h_2$ $...$ $h_n$

入力はすべて整数で与えられる。

Constraints

入力は以下の条件を満たす。

$2 \leq n \leq 150 $

$1 \leq h_i \leq 150 $

Output

$S$の最小値を1行に出力せよ。

ただし、$10^{−5}$ までの絶対誤差または相対誤差は許容される。

Sample Input 1

2
5 3

Sample Output 1

2.83333333

Sample Input 2

3
6 1 4

Sample Output 2

6.25000000

Sample Input 3

7
3 1 9 2 2 5 1

Sample Output 3

12.37500000

Solution in Rust (judge verdict: Accepted)

#[allow(unused_imports)]
use std::cmp::*;
#[allow(unused_imports)]
use std::collections::*;
use std::io::{Write, BufWriter};
// https://qiita.com/tanakh/items/0ba42c7ca36cd29d0ac8
macro_rules! input {
    ($($r:tt)*) => {
        let stdin = std::io::stdin();
        let mut bytes = std::io::Read::bytes(std::io::BufReader::new(stdin.lock()));
        let mut next = move || -> String{
            bytes
                .by_ref()
                .map(|r|r.unwrap() as char)
                .skip_while(|c|c.is_whitespace())
                .take_while(|c|!c.is_whitespace())
                .collect()
        };
        input_inner!{next, $($r)*}
    };
}

macro_rules! input_inner {
    ($next:expr) => {};
    ($next:expr, ) => {};

    ($next:expr, $var:ident : $t:tt $($r:tt)*) => {
        let $var = read_value!($next, $t);
        input_inner!{$next $($r)*}
    };
}

macro_rules! read_value {
    ($next:expr, ( $($t:tt),* )) => {
        ( $(read_value!($next, $t)),* )
    };

    ($next:expr, [ $t:tt ; $len:expr ]) => {
        (0..$len).map(|_| read_value!($next, $t)).collect::<Vec<_>>()
    };

    ($next:expr, chars) => {
        read_value!($next, String).chars().collect::<Vec<char>>()
    };

    ($next:expr, usize1) => {
        read_value!($next, usize) - 1
    };

    ($next:expr, [ $t:tt ]) => {{
        let len = read_value!($next, usize);
        (0..len).map(|_| read_value!($next, $t)).collect::<Vec<_>>()
    }};

    ($next:expr, $t:ty) => {
        $next().parse::<$t>().expect("Parse error")
    };
}

fn solve() {
    let out = std::io::stdout();
    let mut out = BufWriter::new(out.lock());
    macro_rules! puts {
        ($($format:tt)*) => (write!(out,$($format)*).unwrap());
    }
    input! {
        n: usize,
        h: [usize; n],
    }
    const W: usize = 700;
    const INF: f64 = 1e18;
    let mut dp = vec![vec![INF; W]; n + 1];
    dp[0][1] = 0.0;
    for i in 0..n {
        for j in 1..W {
            for k in 1..W {
                let u = j as f64 - h[i] as f64;
                let v = k as f64 - h[i] as f64;
                let cost;
                if u == 0.0 && v == 0.0 {
                    cost = 0.0;
                } else if u * v > 0.0 {
                    cost = (u + v).abs() / 2.0;
                } else {
                    cost = (u * u + v * v) / (u - v).abs() / 2.0;
                }
                let val = dp[i][j] + cost;
                if dp[i + 1][k] > val {
                    dp[i + 1][k] = val;
                }
            }
        }
    }
    let mut mi = INF;
    for i in 1..W {
        if mi > dp[n][i] {
            mi = dp[n][i];
        }
    }
    puts!("{}\n", mi);
}

fn main() {
    // In order to avoid potential stack overflow, spawn a new thread.
    let stack_size = 104_857_600; // 100 MB
    let thd = std::thread::Builder::new().stack_size(stack_size);
    thd.spawn(|| solve()).unwrap().join().unwrap();
}