Problem:
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Problem Statement

Find the number of integers between 1 and N (inclusive) that contains exactly K non-zero digits when written in base ten.

Constraints

1 \leq N < 10^{100}

1 \leq K \leq 3

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

N
K

Output

Print the count.

Sample Input 1

100
1

Sample Output 1

19

The following 19 integers satisfy the condition:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100

Sample Input 2

25
2

Sample Output 2

14

The following 14 integers satisfy the condition:

11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,23,24,25

Sample Input 3

314159
2

Sample Output 3

937

Sample Input 4

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
3

Sample Output 4

117879300

Solution in Rust (1.42.0) (judge verdict: Accepted)

#![allow(non_snake_case)]
use proconio::input;
// use std::collections::HashMap;

// 90分取り組んでできなかったので解説を見て実装した。
fn main() {
    input! {
        N: String,
        K: usize,
    }

    // 左で0埋めすることにより、桁数はNの桁数(L)としてよい。
    let L: usize = N.len();

    // dp0[i][j] 上からi桁目まで決めて、0でない桁がj個あり、その後に何を選んでもNより小さいことが確定している数の個数
    let mut dp0: Vec<Vec<usize>> = vec![vec![0; K + 1]; L + 1];

    // dp1[i][j] 上からi桁目まで決めて、0でない桁がj個あり、その後に何を選んでもNより小さいことが確定しているというわけではない数の個数
    let mut dp1: Vec<Vec<usize>> = vec![vec![0; K + 1]; L + 1];

    // https://drken1215.hatenablog.com/entry/2020/02/09/225300
    // たとえば、S = 314159 のときは
    // 000000 〜 099999
    // 100000 〜 299999
    // 300000 〜 314159
    // に場合分けして考える

    // 000000-099999
    dp0[0][0] = 1;

    // 100000-299999
    let n0: usize = N[0..=0].parse().unwrap();
    dp0[0][1] = n0 - 1;

    // 300000-314159
    dp1[0][1] = 1;

    for i in 1..L {
        let n_i: usize = N[i..=i].parse().unwrap();

        // k == 0
        {
            let dp0_dp0 = dp0[i - 1][0];
            let dp1_dp0 = if n_i >= 1 { dp1[i - 1][0] } else { 0 };
            dp0[i][0] = dp0_dp0 + dp1_dp0;

            let dp0_dp1 = 0;
            let dp1_dp1 = if n_i == 0 { dp1[i - 1][0] } else { 0 };
            dp1[i][0] = dp0_dp1 + dp1_dp1;
        }

        for k in 1..=K {
            //// まずdp0 ////

            // dp0[i-1]に対して、0を選んだ場合 + 1~9を選んだ場合
            let dp0_dp0 = dp0[i - 1][k] + dp0[i - 1][k - 1] * 9;

            // dp1[i-1]に対して、0を選んだ場合 + 1~(n_i - 1)を選んだ場合
            let dp1_dp0 = match n_i {
                0 => 0,
                1 => dp1[i - 1][k],
                _ => dp1[i - 1][k] + dp1[i - 1][k - 1] * (n_i - 1),
            };

            dp0[i][k] = dp0_dp0 + dp1_dp0;
            //// ここまでdp0 ////

            //// ここからdp1 ////

            let dp0_dp1: usize = 0;
            let dp1_dp1: usize = if n_i == 0 {
                dp1[i - 1][k]
            } else {
                dp1[i - 1][k - 1] * 1
            };
            dp1[i][k] = dp0_dp1 + dp1_dp1;

            //// ここまでdp1 ////
        }
    }

    let ans = dp0[L - 1][K] + dp1[L - 1][K];
    println!("{}", ans);
}