Problem:
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [["$","$"], ["\\(","\\)"]], processEscapes: true }});

凸？

平面上の異なる 4 点　$A (x_a, y_a)$, $B (x_b, y_b)$, $C (x_c, y_c)$, $D(x_d, y_d)$ の座標を読み込んで、それら 4 点を頂点とした四角形 $ABCD$ に凹みがなければ YES、凹みがあれば NO と出力するプログラムを作成してください。

凹みのある四角形とは図 1 のような四角形です。

Input

複数のデータセットが与えられます。各データセットの形式は以下のとおりです。

$x_a$,$y_a$,$x_b$,$y_b$,$x_c$,$y_c$,$x_d$,$y_d$

$x_a$, $y_a$, $x_b$, $y_b$, $x_c$, $y_c$, $x_d$, $y_d$ はそれぞれ -100 以上 100 以下であり、実数で与えられます。

1 直線上に 3 つ以上点が並ぶことはないものとします。また、入力順に点を結んでいけば、四角形になる順番に点の座標が入力されるものとします。（つまり、図 2 のような形になる順番で点が与えられることはありません。)

データセットの数は 100 を超えません。

Output

各データセットごとに、YES または NO を１行に出力します。

Sample Input

0.0,0.0,1.0,0.0,1.0,1.0,0.0,1.0
0.0,0.0,3.0,0.0,1.0,1.0,1.0,3.0

Output for the Sample Input

YES
NO

Solution in Ruby (judge verdict: Wrong Answer)

class Vector
  attr_accessor :x, :y

  def initialize(x, y)
    self.x = x
    self.y = y
  end

  def reversed()
    return Vector.new(-x, -y)
  end

  def length()
    return (self.x**2 + self.y**2)**0.5
  end

  def product(v)
    return self.x*v.x + self.y*v.y
  end

  def degree(v)
    return Math.acos(self.product(v) / (self.length * v.length)) * 180 / Math::PI
  end
end

$<.each_line do |line|
  xa, ya, xb, yb, xc, yc, xd, yd = line.split(",").map(&:to_f)

  v1 = Vector.new(xa-xb, ya-yb)
  v2 = Vector.new(xb-xc, yb-yc)
  v3 = Vector.new(xc-xd, yc-yd)
  v4 = Vector.new(xd-xa, yd-ya)

  d1 = v1.degree(v2)
  d2 = v2.degree(v3.reversed)
  d3 = v3.degree(v4.reversed)
  d4 = v4.degree(v1.reversed)

  has_convex = [d1, d2, d3, d4].any?{|d| d > 90}
  puts has_convex ? "NO" : "YES"
end