Problem:
Problem F: １０歳の動的計画

ある日の夕方。いつものようにあなたが居間でテレビを見ていると、小学５年生の妹から相談を持ち
かけられた。話を聞いてみると、今日学校で出された算数の問題が難しくて理解できなかったので、
あなたに解き方を教えてほしいのだという。

妹を悩ませている問題は、「道が碁盤目状に通っている街において、家(0, 0) から学校(N, M) まで最短距離で進む方法は何通りあるか？」というものだった。もちろん、あなたにとっては赤子の手をひねるよりも簡単な問題である。すぐに上のような図を書いて「家(0, 0) から順番に足し算していけば解けるよ」と教えてあげた。

ところが、それを聞いてもまだ、妹はなにやら下を向いて考えこんでいる。あなたは、自分の説明の
仕方が悪かったのだろうかと思ったが、どうやらそうではないらしい。

たっぷり３分ほど悩んでいただろうか。妹は、おもむろに顔を上げると、あなたに向かってこう言っ
た。

「でも、わたしだったら、きっと学校に行く途中でK 回くらい寄り道しちゃうだろうな……。ねぇお
兄ちゃん、そうすると答えは何通りになるの？」

さあ大変だ。兄の威厳を保つため、なんとしてもこの問題に答えねば。

この問題を定式化すると、次のようになる。

点(0, 0) から点(N, M) まで、碁盤目状の道を通って進む方法は何通りあるか答えよ。

基本的には右か上に１マス進むが、途中で、ちょうどK 回だけ寄り道をする。

「寄り道をする」とは、左か下に１マス進むことである。

K 回の寄り道をすませていない場合、いったん点(N, M) に着いた後でも歩き続ける。途中で点(0, 0) に戻ってくる場合もある。

家はこの街の隅に建っているので、X 座標またはY 座標が負になるような点に入ることはできない。

しかし、X 座標がN より大きな点、または、Y 座標がM より大きな点には入ることができる。

Input

N M K

入力の１行目には、整数N（1 ≤ N ≤ 100,000）と整数M（1 ≤ M ≤ 100,000）と整数K（0 ≤ K ≤ 10,000）が、この順に空白区切りで書かれている。整数N は学校のX 座標を、整数M は学校のY座標を、整数K は寄り道の回数をあらわす。

Output

点(0, 0) から点(N, M) まで、K 回の寄り道をして進む方法。その総数を1,000,000,007 で割った余りを出力せよ。なお1,000,000,007 は素数である。

Sample Input 1

6 4 0

Sample Output 1

210

Sample Input 2

3 3 1

Sample Output 2

448

Sample Input 3

124 218 367

Sample Output 3

817857665

Solution in Ruby (judge verdict: Accepted)

MOD = 1_000_000_007

$fact = [1]
(1..220000).each do |i|
  $fact << $fact[-1] * i % MOD
end

def exp(n, k)
  x = 1
  while k > 0
    x = x * n % MOD if k & 1 == 1
    n = n * n % MOD
    k >>= 1
  end
  x
end

$inv = (0..220000).map {|i| exp($fact[i], MOD - 2) }

def comb(n, k)
  ($fact[n] * $inv[k] % MOD) * $inv[n-k] % MOD
end

n, m, k = gets.split.map(&:to_i)

answer = 0
(0..k).each do |ke|
  east  = ke == 0 ? 1 : (comb(n + ke * 2, ke) - comb(n + ke * 2, ke - 1)) % MOD
  kn = k - ke
  north = kn == 0 ? 1 : (comb(m + kn * 2, kn) - comb(m + kn * 2, kn - 1)) % MOD
  answer = (answer + east * north * comb(n + m + k * 2, n + ke * 2)) % MOD
end
p answer