Problem:
MathJax.Hub.Config({ tex2jax: { inlineMath: [["$","$"], ["\\(","\\)"]], processEscapes: true }});

凸？

平面上の異なる 4 点　$A (x_a, y_a)$, $B (x_b, y_b)$, $C (x_c, y_c)$, $D(x_d, y_d)$ の座標を読み込んで、それら 4 点を頂点とした四角形 $ABCD$ に凹みがなければ YES、凹みがあれば NO と出力するプログラムを作成してください。

凹みのある四角形とは図 1 のような四角形です。

Input

複数のデータセットが与えられます。各データセットの形式は以下のとおりです。

$x_a$,$y_a$,$x_b$,$y_b$,$x_c$,$y_c$,$x_d$,$y_d$

$x_a$, $y_a$, $x_b$, $y_b$, $x_c$, $y_c$, $x_d$, $y_d$ はそれぞれ -100 以上 100 以下であり、実数で与えられます。

1 直線上に 3 つ以上点が並ぶことはないものとします。また、入力順に点を結んでいけば、四角形になる順番に点の座標が入力されるものとします。（つまり、図 2 のような形になる順番で点が与えられることはありません。)

データセットの数は 100 を超えません。

Output

各データセットごとに、YES または NO を１行に出力します。

Sample Input

0.0,0.0,1.0,0.0,1.0,1.0,0.0,1.0
0.0,0.0,3.0,0.0,1.0,1.0,1.0,3.0

Output for the Sample Input

YES
NO

Solution in Ruby (judge verdict: Accepted)

# AOJ 0035 Is it Convex?

require "matrix"

while line = gets
  dat = line.split(",").map(&:to_f)

  ra = Vector[dat[0], dat[1]]
  rb = Vector[dat[2], dat[3]]
  rc = Vector[dat[4], dat[5]]
  rd = Vector[dat[6], dat[7]]

  points = [ra, rb, rc, rd]

  convex = true
  points.each_with_index do |r, i|
    # r の隣接点が、r と他の 2 点で作られる三角形の内部にあれば
    # 凹んでいる
    r_next = points[(i + 1) % 4] - r
    r1 = points[i - 1] - r
    r2 = points[(i + 2) % 4] - r

    st = Matrix[r1, r2].transpose.inv * r_next
    s, t = st[0], st[1]
    if 0 < s + t && s + t < 1 && 0 < s && s < 1 && 0 < t && t < 1
      convex = false
      break
    end
  end

  puts convex ? "YES" : "NO"
end