Problem:
JOI 国のお祭り事情(Festivals in JOI Kingdom)

JOI 国にはN 個の街があり，それらの間はM 本の双方向に通行可能な道路で結ばれている．国民は道路を通ってそれらの街を移動する．

JOI 国の国民には，お祭りが好きな人が多く，現在，K 個の街でお祭りが開催されており，非常に賑わっている．一方で，一部の国民はお祭りを騒がしいとして嫌い，お祭りにできるだけ近づきたくないと思っている．

そこで国王は，優秀なプログラマーであるあなたに，そのようなお祭りを嫌う国民のため，ある街からある街に移動するために，お祭りが開催されている街にどれだけ近づかずに移動することができるかを高速に調べることのできるプログラムの作成を依頼した．

課題

道路の情報とお祭りが開催されている街の情報，およびQ 個のクエリ（出発する街Si と行きたい街Tiの組）が与えられる．各クエリi に対し，街Si から街Ti へのすべての経路のうち，お祭りまでの距離が最大となる経路の，お祭りまでの距離を求めるプログラムを作成せよ．ただし，ある経路のお祭りまでの距離とは，経路上の街からお祭りが開催されている街までの移動距離の最小値のことである．

制限

2 ≤ N ≤ 100000 (= 105)     JOI 国の街の個数

1 ≤ M ≤ 200000 (= 2 × 105)     JOI 国の道路の本数

1 ≤ K ≤ N     お祭りが開催されている街の個数

1 ≤ Q ≤ 100000 (= 105)     クエリの個数

1 ≤ Li ≤ 1000     i 番目の道路の長さ

入力

標準入力から以下のデータを読み込め．

1 行目には整数N, M, K, Q が空白を区切りとして書かれている．N はJOI 国の街の個数を，M はJOI国の道路の本数を，K はお祭りが開催されている街の個数を，Q はクエリの個数をそれぞれ表す．街には1, 2, ... , N の番号がつけられている．

続くM 行は道路の情報を表す．i + 1 行目(1 ≤ i ≤ M) には整数Ai, Bi, Li (1 ≤ Ai ≤ N, 1 ≤ Bi ≤ N) が空白を区切りとして書かれている．これは，i 番目の道路が街Ai と街Bi を結んでおり，長さがLi であることを表す．道路の両端が同じ街であることはない．また，任意の2 つの街p, q に対し，p とqを結ぶ道路は2 本以上存在しない．どの街からどの街へもいくつかの道路をたどって行くことができる．

続くK 行はお祭りが開催されている街の情報を表す．i + M + 1 行目(1 ≤ i ≤ K) には1 つの整数Fi(1 ≤ Fi ≤ N) が書かれている．これは街Fi でお祭りが開催されていることを表す．F1, ..., FK の中に同じ値が2 回以上現れることはない．

続くQ 行はクエリを表す．i + M + K + 1 行目(1 ≤ i ≤ Q) には2 つの整数Si, Ti (1 ≤ Si ≤ N, 1 ≤ Ti ≤ N, Si ≠ Ti) が空白を区切りとして書かれている．これはi 番目のクエリの出発する街がSi であり行きたい街がTi であることを表す．

出力

標準出力に，全クエリへの答えをQ 行で出力せよ．すなわち，i 行目に，街Si から街Ti へのすべての経路のうち，お祭りまでの距離が最大となる経路の，お祭りまでの距離を表す整数を出力せよ．

採点基準

採点用データのうち，

配点の10% 分については，Q = 1 を満たす．

配点の20% 分については，N ≤ 5000, Q ≤ 5000 を満たす．

配点の30% 分については，これら2 つの条件の少なくとも一方を満たす．また，これら2 つの条件の両方を満たすような採点用データはない．

入出力例

入力例 1

6 6 2 3
1 2 5
2 3 4
2 4 6
3 5 9
4 5 3
5 6 7
1
6
3 4
5 2
1 4

出力例 1

7
5
0

6 つの街が6 本の道路で結ばれており，お祭りは街1, 6 の2 つの街で開催されている．クエリは以下の3 つである．

1 つ目のクエリは街3 から街4 へ行くというものである．街2 を経由する経路ではお祭りまでの距離は5，街5 を経由する経路ではお祭りまでの距離は7 となるため，答えは7 である．

2 つ目のクエリは街5 から街2 へ行くというものである．街3 と街4 のどちらを経由しても，街2 でお祭りまでの距離が最小となり，答えは5 である．

3 つ目のクエリは街1 から街4 へ行くというものである．街1 はお祭りが開催されている街であるため，答えは0 となる．

図1: 入力例1

入力例 2

12 17 2 5
1 3 6
1 6 7
2 3 8
2 4 4
2 8 11
2 12 2
3 6 3
3 7 8
3 11 2
4 12 2
5 10 3
6 10 5
8 9 6
8 12 7
9 10 6
11 9 10
12 9 5
8
7
2 6
5 2
1 10
8 9
9 4

出力例 2

8
8
11
0
6

図1: 入力例2

問題文と自動審判に使われるデータは、情報オリンピック日本委員会が作成し公開している問題文と採点用テストデータです。

Solution in Ruby (judge verdict: Memory Limit Exceeded)

class Heap
	require 'forwardable'
	extend Forwardable

	def initialize
		@array = []
		@index = {}
	end

	def add(obj, key)
		@array << [obj, key]
		@index[obj] = @array.size - 1
		lift_up(@array.size - 1)
	end

	def swap(i, j)
		u = @array[i]
		v = @array[j]
		@index[u[0]], @index[v[0]] = j, i
		@array[i], @array[j] = v, u
	end

	def lift_up(i)
		return if i == 0
		j = (i - 1) / 2
		if (@array[i][1] <=> @array[j][1]) < 0
			swap(i, j)
			lift_up(j)
		end
	end

	def del_min
		raise "heap is empty!" if empty?
		min = @array[0]
		if size > 1
			swap(0, @array.size-1)
			@array.pop
			lift_down(0)
		else
			@array.pop
		end
		@index.delete(min[0])
		min
	end

	def inc_key(obj, diff)
		i = @index[obj]
		@array[i][1] += diff
		lift_down(i)
	end

	def dec_key(obj, diff)
		i = @index[obj]
		@array[i][1] -= diff
		lift_up(i)
	end

	def update_key(obj, new_key)
		i = @index[obj]
		return unless i
		return if (new_key <=> @array[i][1]) >= 0
		@array[i][1] = new_key
		lift_up(i)
	end

	def min_obj
		@array[0][0]
	end

	def min_key
		@array[0][1]
	end

	def lift_down(i)
		j = 2 * i + 1
		k = j + 1
		if k >= size
			return if j >= size
			if (@array[i][1] <=> @array[j][1]) > 0
				swap(i, j)
				lift_down(j)
			end
		else
			l = ((@array[j][1] <=> @array[k][1]) < 0 ? j : k)
			if (@array[i][1] <=> @array[l][1]) > 0
				swap(i, l)
				lift_down(l)
			end
		end
	end

	def_delegators :@array, :empty?, :size
end

module Graphical
	require 'set'

	def get_path_by_bfs(s, t)
		prev_node = {}
		reached = Set[s]
		queue = [s]
		while !queue.empty? 
			u = queue.shift
			each_out_connection_of(u){|v, _|
				next if reached.include?(v)	
				reached << v
				queue << v
				prev_node[v] = u

				if v == t
					path = [v]
					while v = prev_node[v]
						path.unshift v
					end
					return path
				end
			}
		end	
		return nil
	end

	def get_path_by_dfs(s, t, reached = Set.new)
		reached << s
		return [s] if s == t
		each_out_connection_of(s){|v|
			next if reached.include?(v)
			path = get_path_by_dfs(v, t, reached) 
			return [s] + path if path
		}
		nil
	end

	def reachable_from(s, max_depth = nil)
		reached = Set[s]
		queue = [s]
		depth = 0
		loop {
			break if max_depth && depth >= max_depth
			next_queue = []
			until queue.empty?
				u = queue.shift
				each_out_connection_of(u){|v, _|
					next if reached.include?(v)
					reached << v
					next_queue << v
				}
			end
			break if next_queue.empty?
			queue = next_queue
			depth += 1
		}
		return reached
	end

	def bfs(start)
		raise "start must be Enumerable" if !start.kind_of?(Enumerable)
		reached = Set[*start.to_a]
		queue = []
		start.each{|s| queue << s}
		dist = {}
		loop.with_index {|_, depth|
			next_queue = []
			until queue.empty?
				u = queue.shift
				return depth if block_given? && yield(u, depth)
				dist[u] = depth
				each_out_connection_of(u){|v, _|
					next if reached.include?(v)
					reached << v
					next_queue << v
				}
			end
			break if next_queue.empty?
			queue = next_queue
		}
		block_given? ? nil : dist
	end

	def dijkstra(start)
		raise "start must be Enumerable" if !start.kind_of?(Enumerable)
		h = Heap.new
		reached = Set[*start.to_a]
		start.each{|s| h.add(s, 0)}

		dist = {}
		until h.empty?
			u, key = h.del_min
			return key if block_given? && yield(u, key)
			dist[u] = key
			each_out_connection_of(u){|v, l|
				d = dist[u] + l
				if reached.include?(v)
					h.update_key(v, d)
				else
					h.add(v, d)
					reached << v
				end
			}
		end
		block_given? ? nil : dist
	end

	def bidir_dijkstra(s, t)
		f_dist = {}
		b_dist = {}

		f_heap = Heap.new
		b_heap = Heap.new

		f_heap.add(s, 0)
		b_heap.add(t, 0)

		f_reached = Set[s]
		b_reached = Set[t]

		f_current_dist = b_current_dist = 0
		best = Float::INFINITY

		loop {
			if !f_heap.empty?
				u, key = f_heap.del_min
				f_dist[u] = key
				f_current_dist = key
				each_out_connection_of(u){|v, l|
					d = f_dist[u] + l
					if b_dist[v]
						path_len = d + b_dist[v]
						best = path_len if path_len < best
					end
					if f_reached.include?(v)
						f_heap.update_key(v, d)
					else
						f_heap.add(v, d)
						f_reached << v
					end
				}
			end

			if !b_heap.empty?
				u, key = b_heap.del_min
				b_dist[u] = key
				b_current_dist = key
				each_in_connection_of(u){|v, l|
					d = b_dist[u] + l
					if f_dist[v]
						path_len = d + f_dist[v]
						best = path_len if path_len < best
					end
					if b_reached.include?(v)
						b_heap.update_key(v, d)
					else
						b_heap.add(v, d)
						b_reached << v
					end
				}
			end

			return best if f_current_dist + b_current_dist >= best
			return nil if f_heap.empty? && b_heap.empty?
		}
	end

	def a_star(start)
		raise "a_star need termination condition" unless block_given?
		h = Heap.new
		reached = Set[start]
		h.add(start, [a_star_heuristic(start), 0])

		dist = {}
		until h.empty?
			u, (e, d) = h.del_min
			return d if yield(u, dist)
			dist[u] = d
			each_out_connection_of(u){|v, l|
				d = dist[u] + l
				e = d + a_star_heuristic(v)
				if reached.include?(v)
					h.update_key(v, [e, d])
				else
					h.add(v, [e, d])
					reached << v
				end
			}
		end
		block_given? ? nil : dist
	end

	#make_variations :bidir_dijkstra

	def prim(start)
		h = Heap.new
		h.add(start, 0)
		reached = Set[start]
		tree_len = 0

		until h.empty?
			u, key = h.del_min
			tree_len += key

			each_out_connection_of(u){|v, d|
				if reached.include?(v)
					h.update_key(v, d)
				else
					h.add(v, d)
					reached << v
				end
			}
		end
		tree_len
	end

	def each_layer_from(start)
		raise "start must be Enumerable" if !start.kind_of?(Enumerable)
		return enum_for(__method__, start) unless block_given?
		reached = Set[*start]
		current_layer = start

		loop {
			yield current_layer
			next_layer = []
			current_layer.each{|u|
				each_out_connection_of(u){|v|
					next if reached.include?(v)
					reached << v
					next_layer << v
				}
			}	

			return if next_layer.empty?
			current_layer = next_layer
		}
	end
end

class Graph
	include Graphical

	def initialize(*options)
		@options = Set[*options]
	end

	def add_node(property = {})
		Node.new(property)
	end

	def add_edge(u, v, property = {})
		e = Edge.new(u, v, property)
		u.add_edge(e)
		v.add_edge(e)
		e
	end
	
	def del_edge(e)
		u, v = e.opposite.keys
		u.del_edge(e)
		v.del_edge(e)
		e
	end

	class Node
		def initialize(property)
			@property = property
			@edges = Set.new
		end

		def add_edge(e)
			@edges << e
		end

		def del_edge(e)
			@edges.delete(e)
		end

		def to_s
			@property[:name] || super
		end

		def each_edge
			@edges.each{|e| 
				yield e
			}
		end

		attr_reader :property
	end

	class Edge
		def initialize(u, v, property)
			@opposite = {u => v, v => u}
			@property = property
		end
		attr_reader :opposite, :property

		def to_s
			@property[:name] || super
		end

		def length
			@property[:length] || 1
		end
	end

	def each_out_connection_of(u)
		u.each_edge{|e|
			yield(e.opposite[u], e.length)
		}
	end

	alias :each_in_connection_of :each_out_connection_of
end

class Digraph < Graph
	def add_node(property = {})
		Node.new(property)
	end

	def add_edge(u, v, property = {})
		e = Edge.new(u, v, property)
		u.add_out_edge(e)
		v.add_in_edge(e)
		e
	end
	
	def del_edge(e)
		u, v = e.from, e.to
		u.out_edges.delete(e)
		v.in_edges.delete(e)
		e
	end

	class Node < Graph::Node
		def initialize(property)
			@property = property
			@out_edges = Set.new
			@in_edges = Set.new
		end

		def add_out_edge(e)
			@out_edges << e
		end

		def del_out_edge(e)
			@out_edges.delete(e)
		end

		def add_in_edge(e)
			@in_edges << e
		end

		def del_in_edge(e)
			@in_edges.delete(e)
		end

		attr_reader :in_edges, :out_edges
	end

	class Edge < Graph::Edge
		def initialize(u, v, property)
			@from = u	
			@to = v
			@property = property
		end

		attr_reader :from, :to
	end

	def each_out_connection_of(u)
		u.out_edges.each{|e|
			yield [e.to, e.length]
		}
	end

	def each_in_connection_of(v)
		v.in_edges.each{|e|
			yield [e.from, e.length]
		}
	end

#----------------------------------------------------------

	def get_path_bfs(s, t)
		path_edge = {}
		reached = Set[s]
		queue = [s]
		while !queue.empty? 
			u = queue.shift
			u.outgoings.each{|e|
				v = e.to
				next if reached.include?(v)	
				reached << v
				queue << v
				path_edge[v] = e

				if v == t
					path = []
					while e = path_edge[v]
						path.unshift e
						v = e.from
					end
					return path
				end
			}
		end	
		return nil
	end

	def get_path_dfs(s, t, reached = Set.new)
		reached << s	
		s.outgoings.each{|e|
			v = e.to
			next if reached.include?(v)
			return [e] if v == t
			
			path = get_path_dfs(v, t, reached) 
			return [e] + path if path
		}
		nil
	end

end

class UnionFind
	def initialize
		@obj_to_node = {}
	end

	def add(obj)
		@obj_to_node[obj] ||= Node.new(obj)
	end

	def size(x = nil)
		x ? @obj_to_node[x].root.size : @obj_to_node.size
	end

	class Node
		def initialize(obj)
			@obj = obj
			@parent = self
			@size = 1
			@rank = 0
		end

		def root
			return self if @parent == self
			@parent = @parent.root
		end	

		attr_accessor :parent, :size, :rank
	end

	def union(x, y)
		u = (@obj_to_node[x] ||= Node.new(x)).root
		v = (@obj_to_node[y] ||= Node.new(y)).root
		return if u == v
		if u.rank > v.rank
			v.parent = u
			u.size += v.size
		elsif v.rank > u.rank
			u.parent = v
			v.size += u.size
		else
			u.parent = v
			v.rank += 1
			v.size += u.size
		end
	end

	def same?(x, y)
		return false unless u = @obj_to_node[x]
		return false unless v = @obj_to_node[y]
		u.root == v.root
	end
end

n, m, k, q = gets.split.map &:to_i

g = Digraph.new
nodes = (0..n).map{|index| g.add_node({:name => index})}
edges = []

m.times{
	i, j, l = gets.split.map &:to_i
	edges << g.add_edge(nodes[i], nodes[j], {:length => l})
	edges << g.add_edge(nodes[j], nodes[i], {:length => l})
}

festival = (1..k).map{ nodes[gets.to_i] }

query = (0..q-1).map{ gets.split.map(&:to_i) }

dist_from_fest = g.dijkstra(festival)

nodes.shift
nodes.sort_by!{|v| dist_from_fest[v]}

uf = Digraph.new
uf_nodes = (0..n).map{|k| uf.add_node({:name => k})}

def root(u)
	until u.out_edges.empty?
		u = u.out_edges.to_a[0].to 
	end
	u
end

scanned = {}
until nodes.empty?
	u = nodes.pop
	u.out_edges.each{|e|
		v = e.to
		if scanned[v]
			a, b = root(uf_nodes[u.property[:name]]), root(uf_nodes[v.property[:name]])
			next if a == b
			if a.property[:name] < b.property[:name]
				uf.add_edge(a, b, {:merged_when => dist_from_fest[u]})
			else
				uf.add_edge(b, a, {:merged_when => dist_from_fest[u]})
			end
		end
	}
	scanned[u] = 0
end

query.each{|i, j|
	u = uf_nodes[i]
	v = uf_nodes[j]
	min = Float::INFINITY
	until i == j
		if i < j
			e = u.out_edges.to_a[0]
			u = e.to
			i = u.property[:name]
			d = e.property[:merged_when]
			min = d if d < min
		else
			e = v.out_edges.to_a[0]
			v = e.to
			j = v.property[:name]
			d = e.property[:merged_when]
			min = d if d < min
		end
	end
	p min
}