Problem:
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Problem Statement

Find the smallest possible sum of the digits in the decimal notation of a positive multiple of K.

Constraints

2 \leq K \leq 10^5

K is an integer.

Input

Input is given from Standard Input in the following format:

K

Output

Print the smallest possible sum of the digits in the decimal notation of a positive multiple of K.

Sample Input 1

6

Sample Output 1

3

12=6×2 yields the smallest sum.

Sample Input 2

41

Sample Output 2

5

11111=41×271 yields the smallest sum.

Sample Input 3

79992

Sample Output 3

36

Solution in C# (Mono 4.6.2.0) (judge verdict: Accepted)

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Diagnostics;
using System.IO;
using System.Security.Cryptography;
using CompLib.Collections;

namespace CompLib.Collections
{

    #region Deque<T>
    /// <summary>
    /// 指定した同じ型のインスタンスの，先頭または末尾への要素の追加，削除が可能な可変サイズのコレクションを表します．
    /// </summary>
    /// <typeparam name="T"><see cref="Deque{T}"/> 内の要素の型を指定します．</typeparam>
    public class Deque<T>
    {
        int dx;
        T[] buf;
        int mask;

        /// <summary>
        ///<see cref="Deque{T}"/> に格納されている要素の数を取得します．
        /// </summary>
        /// <remarks>この操作は計算量 O(1) で実行されます．</remarks>
        public int Count { get; private set; }

        /// <summary>
        /// 空であって，既定の初期容量を備えた <see cref="Deque{T}"/> クラスの新しいインスタンスを初期化します．
        /// </summary>
        public Deque() : this(8) { }

        /// <summary>
        /// 空であって，指定の初期容量を備えた <see cref="Deque{T}"/> クラスの新しいインスタンスを初期化します．
        /// </summary>
        /// <param name="capacity">作成したインスタンスが格納できる要素数の初期値．2 べきの値にしてください．</param>
        public Deque(int capacity)
        {
            Debug.Assert(capacity == (capacity & -capacity));
            mask = capacity - 1;
            buf = new T[capacity];
        }

        /// <summary>
        /// 指定したインデックスにある要素を取得または設定します．
        /// </summary>
        /// <param name="index">取得または設定する要素の，0-inexed での番号．</param>
        /// <returns>指定したインデックス位置にある要素</returns>
        /// <remarks>この操作は計算量 O(1) で実行されます．</remarks>
        public T this[int index]
        {
            get
            {
                Debug.Assert(0 <= index && index < Count);
                return buf[(dx + index) & mask];
            }
            set
            {
                Debug.Assert(0 <= index && index < Count);
                buf[(dx + index) & mask] = value;
            }
        }

        /// <summary>
        /// <see cref="Deque{T}"/> の先頭に要素を追加します．
        /// </summary>
        /// <param name="item">追加する要素</param>
        /// <remarks>この操作はならし計算量 O(1) で実行されます．</remarks>
        public void PushFront(T item)
        {
            if (Count == buf.Length) extend();
            dx = (dx + buf.Length - 1) & mask;
            buf[dx] = item;
            Count++;
        }

        /// <summary>
        /// <see cref="Deque{T}"/> の先頭から要素を削除し，返します．
        /// </summary>
        /// <remarks>この操作は計算量 O(1) で実行されます．</remarks>
        public T PopFront()
        {
            Debug.Assert(Count > 0);
            var ret = buf[dx = (dx + 1) & mask];
            Count--;
            return ret;
        }

        /// <summary>
        /// <see cref="Deque{T}"/> の末尾に要素を追加します．
        /// </summary>
        /// <param name="item">追加する要素</param>
        /// <remarks>この操作はならし計算量 O(1) で実行されます．</remarks>
        public void PushBack(T item)
        {
            if (Count == buf.Length) extend();
            buf[(dx + Count++) & mask] = item;
        }

        /// <summary>
        /// <see cref="Deque{T}"/> の末尾から要素を削除し，返します．
        /// </summary>
        /// <remarks>この操作は計算量 O(1) で実行されます．</remarks>
        public T PopBack()
        {
            Debug.Assert(Count > 0);
            var ret = buf[(dx + --Count) & mask];
            return ret;
        }

        /// <summary>
        /// <see cref="Deque{T}"/> の末尾の要素を返します．
        /// </summary>
        /// <remarks>この操作は計算量 O(1) で実行されます．</remarks>
        public T Last()
        {
            Debug.Assert(Count > 0);
            return buf[(dx + Count - 1) & mask];
        }

        /// <summary>
        /// <see cref="Deque{T}"/> の先頭の要素を返します．
        /// </summary>
        /// <remarks>この操作は計算量 O(1) で実行されます．</remarks>
        public T First()
        {
            Debug.Assert(Count > 0);
            return buf[dx];
        }

        void extend()
        {
            var nbuf = new T[buf.Length * 2];
            for (int i = 0; i < buf.Length; i++)
                nbuf[i] = buf[(dx + i) & mask];
            mask = mask * 2 + 1;
            dx = 0;
            buf = nbuf;
        }

        /// <summary>
        /// デックを空にします．
        /// </summary>
        /// <remarks>この操作は O(1) で実行されます．</remarks>
        public void Clear() { Count = 0; }

        /// <summary>
        /// <see cref="Deque{T}"/> 内に要素が存在するかどうかを調べます．
        /// </summary>
        /// <returns>要素が存在するならば true，そうでなければ false</returns>
        /// <remarks>この操作は O(1) で実行されます．</remarks>
        public bool Any() { return Count != 0; }

        /// <summary>
        /// 指定した位置に要素を挿入します．
        /// </summary>
        /// <param name="item">追加したい要素</param>
        /// <param name="index">追加したい位置の 0-indexed での番号</param>
        /// <remarks>この操作は最悪計算量 O(N) で実行されます．</remarks>
        public void Insert(int index, T item)
        {
            Debug.Assert(0 <= index && index <= Count);
            PushFront(item);
            for (int i = 0; i < index; i++)
                this[i] = this[i + 1];
            this[index] = item;
        }

        /// <summary>
        /// 指定した位置にある要素を削除し，返します．
        /// </summary>
        /// <param name="index">削除したい位置の 0-indexed での番号</param>
        /// <remarks>この操作は最悪計算量 O(N) で実行されます．</remarks>
        public T RemoveAt(int index)
        {
            Debug.Assert(0 <= index && index < Count);
            var ret = this[index];
            for (int i = index; i > 0; i--)
                this[i] = this[i - 1];
            PopFront();
            return ret;
        }

        /// <summary>
        /// <see cref="Deque{T}"/> 内にある要素の一覧を返します．
        /// </summary>
        /// <returns><see cref="Deque{T}"/> 内にある要素の一覧</returns>
        /// <remarks>この操作は O(N) で実行されます．</remarks>
        public T[] Items
        {
            get
            {

                var ret = new T[Count];
                for (int i = 0; i < Count; i++)
                    ret[i] = this[i];
                return ret;
            }
        }
    }
    #endregion
}
namespace Contest
{
    struct S
    {
        public long Sum;
        public long N;

        public S(long n, long s)
        {
            N = n;
            Sum = s;
        }
    }
    class Program
    {
        /// <summary>
        /// mod K で ans[i]が各桁和最小
        /// </summary>
        private long[] ans;
        public void Solve()
        {
            var sc = new Scanner();
            long K = sc.NextInt();
            ans = new long[K];
            var d = new Deque<S>();
            d.PushBack(new S(1, 1));
            while (d.Count > 0)
            {
                var s = d.PopBack();
                if (ans[s.N] == 0)
                {
                    if (s.N == 0)
                    {
                        Console.WriteLine(s.Sum);
                        return;
                    }
                    ans[s.N] = s.Sum;
                    d.PushBack(new S((s.N * 10) % K, s.Sum));
                    d.PushFront(new S((s.N +1) % K, s.Sum+1));
                }

            }
        }

        private int Sum(int n)
        {
            return n < 10 ? n : Sum(n / 10) + n % 10;
        }

        static void Main() => new Program().Solve();
    }
}

class Scanner
{
    public Scanner()
    {
        _stream = new StreamReader(Console.OpenStandardInput());
        _pos = 0;
        _line = new string[0];
        _separator = ' ';
    }
    private char _separator;
    private StreamReader _stream;
    private int _pos;
    private string[] _line;
    #region get a element
    public string Next()
    {
        if (_pos >= _line.Length)
        {
            _line = _stream.ReadLine().Split(_separator);
            _pos = 0;
        }
        return _line[_pos++];
    }
    public int NextInt()
    {
        return int.Parse(Next());
    }
    public long NextLong()
    {
        return long.Parse(Next());
    }
    public double NextDouble()
    {
        return double.Parse(Next());
    }
    #endregion
    #region convert array
    private int[] ToIntArray(string[] array)
    {
        var result = new int[array.Length];
        for (int i = 0; i < array.Length; i++)
        {
            result[i] = int.Parse(array[i]);
        }

        return result;
    }
    private long[] ToLongArray(string[] array)
    {
        var result = new long[array.Length];
        for (int i = 0; i < array.Length; i++)
        {
            result[i] = long.Parse(array[i]);
        }

        return result;
    }
    private double[] ToDoubleArray(string[] array)
    {
        var result = new double[array.Length];
        for (int i = 0; i < array.Length; i++)
        {
            result[i] = double.Parse(array[i]);
        }

        return result;
    }
    #endregion
    #region get array
    public string[] Array()
    {
        if (_pos >= _line.Length)
            _line = _stream.ReadLine().Split(_separator);
        _pos = _line.Length;
        return _line;
    }
    public int[] IntArray()
    {
        return ToIntArray(Array());
    }
    public long[] LongArray()
    {
        return ToLongArray(Array());
    }
    public double[] DoubleArray()
    {
        return ToDoubleArray(Array());
    }
    #endregion
}