Problem:
Problem F: １０歳の動的計画

ある日の夕方。いつものようにあなたが居間でテレビを見ていると、小学５年生の妹から相談を持ち
かけられた。話を聞いてみると、今日学校で出された算数の問題が難しくて理解できなかったので、
あなたに解き方を教えてほしいのだという。

妹を悩ませている問題は、「道が碁盤目状に通っている街において、家(0, 0) から学校(N, M) まで最短距離で進む方法は何通りあるか？」というものだった。もちろん、あなたにとっては赤子の手をひねるよりも簡単な問題である。すぐに上のような図を書いて「家(0, 0) から順番に足し算していけば解けるよ」と教えてあげた。

ところが、それを聞いてもまだ、妹はなにやら下を向いて考えこんでいる。あなたは、自分の説明の
仕方が悪かったのだろうかと思ったが、どうやらそうではないらしい。

たっぷり３分ほど悩んでいただろうか。妹は、おもむろに顔を上げると、あなたに向かってこう言っ
た。

「でも、わたしだったら、きっと学校に行く途中でK 回くらい寄り道しちゃうだろうな……。ねぇお
兄ちゃん、そうすると答えは何通りになるの？」

さあ大変だ。兄の威厳を保つため、なんとしてもこの問題に答えねば。

この問題を定式化すると、次のようになる。

点(0, 0) から点(N, M) まで、碁盤目状の道を通って進む方法は何通りあるか答えよ。

基本的には右か上に１マス進むが、途中で、ちょうどK 回だけ寄り道をする。

「寄り道をする」とは、左か下に１マス進むことである。

K 回の寄り道をすませていない場合、いったん点(N, M) に着いた後でも歩き続ける。途中で点(0, 0) に戻ってくる場合もある。

家はこの街の隅に建っているので、X 座標またはY 座標が負になるような点に入ることはできない。

しかし、X 座標がN より大きな点、または、Y 座標がM より大きな点には入ることができる。

Input

N M K

入力の１行目には、整数N（1 ≤ N ≤ 100,000）と整数M（1 ≤ M ≤ 100,000）と整数K（0 ≤ K ≤ 10,000）が、この順に空白区切りで書かれている。整数N は学校のX 座標を、整数M は学校のY座標を、整数K は寄り道の回数をあらわす。

Output

点(0, 0) から点(N, M) まで、K 回の寄り道をして進む方法。その総数を1,000,000,007 で割った余りを出力せよ。なお1,000,000,007 は素数である。

Sample Input 1

6 4 0

Sample Output 1

210

Sample Input 2

3 3 1

Sample Output 2

448

Sample Input 3

124 218 367

Sample Output 3

817857665

Solution in C++14 (judge verdict: Time Limit Exceeded)

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long int;
using namespace std;
const i64 MOD = 1000000007;

inline i64 addmod(i64 a,i64 b){
  return (a + b) % MOD;
}

inline i64 mulmod(i64 a,i64 b){
  return a * b % MOD;
}

inline i64 submod(i64 a,i64 b){
  return (a + MOD - b) % MOD;
}

inline i64 powermod(i64 a,i64 b){
  if(b==0)return 1;
  else if(b==1)return a;
  else{
    i64 r = powermod(a,b/2);
    return b % 2 ? r * r % MOD * a % MOD : r * r % MOD;
  }
}

inline i64 divmod(i64 a,i64 b){
  return a * powermod(b,MOD-2) % MOD;
}

i64 nCr(i64 n,i64 r){
  if(r < 0) return 0;
  i64 res = 1LL;
  r = min(n-r,r);
  for(i64 i = 1LL; i <= r ; i++ ){
    res = mulmod(res,n-i+1);
    res = divmod(res,i);
  }
  return res;
}

i64 A(i64 a,i64 b){
  i64 r = divmod(mulmod(nCr(a,b),(a - 2*b + 1)),(a-b+1));
  return r;
}

int main() {
  i64 N,M,K;
  cin >> N >> M >> K;
  i64 res = 0LL;
  for(i64 i = 0LL; i <= K; i++ ){
    i64 sub = nCr(N+M+K+K,N+i*2) * A(N+i*2,i) % MOD * A(M+(K-i)*2,K-i) % MOD;
    res = addmod(res,sub);
  }
  cout << res << endl;
}