Problem:
Problem F: １０歳の動的計画

ある日の夕方。いつものようにあなたが居間でテレビを見ていると、小学５年生の妹から相談を持ち
かけられた。話を聞いてみると、今日学校で出された算数の問題が難しくて理解できなかったので、
あなたに解き方を教えてほしいのだという。

妹を悩ませている問題は、「道が碁盤目状に通っている街において、家(0, 0) から学校(N, M) まで最短距離で進む方法は何通りあるか？」というものだった。もちろん、あなたにとっては赤子の手をひねるよりも簡単な問題である。すぐに上のような図を書いて「家(0, 0) から順番に足し算していけば解けるよ」と教えてあげた。

ところが、それを聞いてもまだ、妹はなにやら下を向いて考えこんでいる。あなたは、自分の説明の
仕方が悪かったのだろうかと思ったが、どうやらそうではないらしい。

たっぷり３分ほど悩んでいただろうか。妹は、おもむろに顔を上げると、あなたに向かってこう言っ
た。

「でも、わたしだったら、きっと学校に行く途中でK 回くらい寄り道しちゃうだろうな……。ねぇお
兄ちゃん、そうすると答えは何通りになるの？」

さあ大変だ。兄の威厳を保つため、なんとしてもこの問題に答えねば。

この問題を定式化すると、次のようになる。

点(0, 0) から点(N, M) まで、碁盤目状の道を通って進む方法は何通りあるか答えよ。

基本的には右か上に１マス進むが、途中で、ちょうどK 回だけ寄り道をする。

「寄り道をする」とは、左か下に１マス進むことである。

K 回の寄り道をすませていない場合、いったん点(N, M) に着いた後でも歩き続ける。途中で点(0, 0) に戻ってくる場合もある。

家はこの街の隅に建っているので、X 座標またはY 座標が負になるような点に入ることはできない。

しかし、X 座標がN より大きな点、または、Y 座標がM より大きな点には入ることができる。

Input

N M K

入力の１行目には、整数N（1 ≤ N ≤ 100,000）と整数M（1 ≤ M ≤ 100,000）と整数K（0 ≤ K ≤ 10,000）が、この順に空白区切りで書かれている。整数N は学校のX 座標を、整数M は学校のY座標を、整数K は寄り道の回数をあらわす。

Output

点(0, 0) から点(N, M) まで、K 回の寄り道をして進む方法。その総数を1,000,000,007 で割った余りを出力せよ。なお1,000,000,007 は素数である。

Sample Input 1

6 4 0

Sample Output 1

210

Sample Input 2

3 3 1

Sample Output 2

448

Sample Input 3

124 218 367

Sample Output 3

817857665

Solution in C++14 (judge verdict: Accepted)

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;
typedef long long ll;
ll MOD = 1000000007LL;
ll mod_pow(ll a, ll b) {
	if (b == 0) return 1;
	if (b % 2 == 0) {
		ll x = mod_pow(a, b / 2);
		return (x*x) % MOD;
	}
	return (a*mod_pow(a, b - 1)) % MOD;
}
ll fact[300001];
ll inv_fact[300001];
ll comb(ll n, ll k) {
	if (n < k) return 0;
	ll ret = fact[n];
	(ret *= inv_fact[k]) %= MOD;
	(ret *= inv_fact[n - k]) %= MOD;
	return ret;
}
int main() {
	fact[0] = inv_fact[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 300000; i++) {
		fact[i] = (fact[i - 1] * i) % MOD;
		inv_fact[i] = (inv_fact[i - 1] * mod_pow(i, MOD - 2)) % MOD;
	}
	int N, M, K;
	cin >> N >> M >> K;
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= K; i++) {
		ll sum = comb(N + M + 2 * K, N + 2 * i);
		ll X = comb(N + 2 * i, N + i);
		if (i > 0) (X += MOD - comb(N + 2 * i, i - 1)) %= MOD;
		ll Y = comb(M + 2 * (K - i), M + (K - i));
		if (K - i > 0) (Y += MOD - comb(M + 2 * (K - i), K - i - 1)) %= MOD;
		(sum *= X) %= MOD;
		(sum *= Y) %= MOD;
		(ans += sum) %= MOD;
	}
	cout << ans << endl;
}