Problem:
Problem D: Tunnel

Problem

横軸$x$、縦軸$y$の$xy$平面上に$n$個の長方形がある。$i$番目の長方形は、高さ$h_i$、幅$1$であり、頂点は点$(i-1, 0)$、点$(i-1, h_i)$、点$(i, h_i)$、点$(i, 0)$である。

あなたは$n$個の正の整数$y_1, y_2, ... y_n$を選び、以下の$n$回の操作を行う。

(1) 1回目の操作では、点$(0, 1)$と点$(1, y_1)$を結ぶ線分を引く。

(2) $i$回目$(2 \le i \le n)$の操作では、点$(i-1, y_{i-1})$と点$(i, y_i)$を結ぶ線分を引く。

$i$回目の操作に対し、$S_i$を以下のように定める。

$i$回目の操作で引いた線分の$x$座標が小さい方の端点をA、$x$座標が大きい方の端点をBとする。

また、点$(i-1, 0)$をC、点$(i-1, h_i)$をD、点$(i, h_i)$をE 、点$(i, 0)$をFとする。

台形ABFCと長方形DEFCの非共通部分の面積を$S_i$とする。

以下に５つの例を示す。

それぞれの例における$S_i$は星マークを含む領域の面積の合計である。

$S = S_1 + S_2 + … + S_n$を最小化するような$y_1, y_2, ... y_n$を求め、$S$の最小値を出力せよ。

Input

入力は以下の形式で与えられる。

$n$
$h_1$ $h_2$ $...$ $h_n$

入力はすべて整数で与えられる。

Constraints

入力は以下の条件を満たす。

$2 \leq n \leq 150 $

$1 \leq h_i \leq 150 $

Output

$S$の最小値を1行に出力せよ。

ただし、$10^{−5}$ までの絶対誤差または相対誤差は許容される。

Sample Input 1

2
5 3

Sample Output 1

2.83333333

Sample Input 2

3
6 1 4

Sample Output 2

6.25000000

Sample Input 3

7
3 1 9 2 2 5 1

Sample Output 3

12.37500000

Solution in C++14 (judge verdict: Accepted)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(){

    auto S = [](long a, long b, long h){
        a -= h;
        b -= h;
        if(a * b >= 0){
            return abs(a + b) / static_cast<long double>(2);
        }else{
            return (a * a + b * b) / static_cast<long double>(2 * (abs(a) + abs(b)));
        }
    };

    long n;
    cin >> n;

    vector<long> h(n);
    for(auto& i : h)cin >> i;

    constexpr int mx = 300;

    vector<vector<long double>> dp(n + 1, vector<long double>(mx, numeric_limits<long double>::max() / 100));

    dp[0][1] = 0;

    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = 1; j < mx; ++j){
            for(int k = 1; k < mx; ++k){
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i - 1][k] + S(j, k, h[i - 1]));
            }
        }
    }

    cout << setprecision(20) << *min_element(dp[n].begin(), dp[n].end()) << endl;

    return 0;
}