Problem:
素数の性質

4 で割ると 3 あまる素数 n (11、19、23 など) には、面白い性質があります。1 以上 n 未満の自然数 (1, 2,... , n - 1) を 2 乗したものを n で割ったあまりを計算した結果を並べると、同じ数になるものがあるため、互いに異なった数の個数は、(n - 1)/2 になります。

この様にして得られた数の集合には、特別な性質があります。得られた数の集合から、互いに異なる 2 つ a と b を選んでその差を計算します。差が負になったときは、その差に n を足します。さらに結果が (n - 1)/2 より大きいときは、その差を n から引きます。

例えば、n = 11 のとき 1 と 9 の差は、1 − 9 = −8 → −8 + n = −8 + 11 = 3 になります。9 と 1 の差も 9 −1 = 8 → n − 8 = 11 − 8 = 3 で、同じ値 3 になります。この差は、円周上に 0, 1, ・・・, n - 1 を書いて、二つの数字の間の短い方の円弧を考えるとわかりやすくなります。(下図参照)

こうして得られた数の「差」は、1, 2, . . ., (n - 1)/2 のいずれかであり、同じ回数出現します。

【例】 n = 11 の時は、以下のようになります。

1 から n-1 までの数を 2 乗したものを n で割った余りを計算します。

12 = 1 → 1
22 = 4 → 4
32 = 9 → 9
42 = 16 → 5
52 = 25 → 3
62 = 36 → 3
72 = 49 → 5
82 = 64 → 9
92 = 81 → 4
102 = 100 → 1

a, b の「差」の計算

1 で得られた 1, 3, 4, 5, 9 について異なる数同士の差を計算します。

計算結果が負の場合、n = 11 を加算します。

さらに、計算結果が (n-1)/2 = 5 より大きい場合 n = 11 から減算します。

出現回数を求める

計算結果 1, 2, 3, 4, 5 の出現回数をそれぞれ数え上げます。

これらの計算結果から 1, 2, 3, 4, 5 の出現回数が 4 回であることがわかります。この性質は 4 で割ると 3 あまる素数特有の性質であり 4 で割ると 1 あまる素数ではこのようなことはおきません。このことを確認するため、10000 以下の奇数 n を入力とし、例題にあるような計算 (n で割ったあまりの 2 乗の差の頻度を求める)を実行し、その出現回数を出力するプログラムを作成してください。

Input

複数のデータセットが与えられます。各データセットとして１つの整数 n　(n ≤ 10000) が１行に与えられます。入力は 0 を１つ含む行でおわります。

Output

各データセットについて、出現頻度を以下の形式で出力してください。

剰余の平方の差が 1 である(a, b)の出現個数(整数)
剰余の平方の差が 2 である(a, b)の出現個数(整数)
:
:
剰余の平方の差が (n-1)/2 である(a, b)の出現個数(整数)

Sample Input

11
15
0

Output for the Sample Input

4
4
4
4
4
2
2
4
2
4
4
2

Solution in C (judge verdict: Accepted)

// AOJ 0142: Nature of Prime Numbers
// 2017.8.16 bal4u@uu
// 2018.5.4

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#if 0
#define gc() getchar_unlocked()
#define pc(c) putchar_unlocked(c)
#else
#define gc() getchar()
#define pc(c) putchar(c)
#endif
int in()
{
	int n = 0, c = gc();
	do n = 10*n + (c & 0xf), c = gc(); while (c >= '0');
	return n;
}

char ob[20]; int w;
void out(int n)
{
	int i;
	w = 0;
	if (!n) ob[w++] = '0';
	else while (n) ob[w++] = n%10 + '0', n /= 10;
	i = w; while (i--) pc(ob[i]); 
}

#define MAX  10000
#define HALF 5000
int  sqr[HALF+5];
int  a[HALF+5];
int  d[HALF+5];
char f[MAX+5];

char prime[MAX+5];
int tbl[24] = {
  3,  5,  7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,
 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73,
 79, 83, 89, 97 };
int sqp[24] = {
  9,25,49,121,169,289,361,529,841,961,
1369,1681,1849,2209,2809,3481,3721,4489,5041,
5329,6241,6889,7921,9409 };

void init()
{
	int i, j, k;

	for (i = 0; i < 24; i++) {
		k = tbl[i];
		for (j = sqp[i]; j < MAX; j += k) prime[j] = 1;
	}
	for (sqr[1] = 1, j = 3, i = 2; i <= 5000; i++, j+=2) sqr[i] = sqr[i-1]+j; // sqr[i] = i^2
}

int main()
{
	int n, i, j, k, b, m;

	init();
	while (n = in()) {
		k = n >> 1;
		// 4m+3の素数
		if (!prime[n] && (n & 3) == 3) {
			out(k-1), pc('\n');
			while(--k) {
				i = w; while (i--) pc(ob[i]); pc('\n');
			}
			continue;
		}

		// 他の奇数についてはまじめに計算
		memset(d, 0, sizeof(d));
		memset(f, 0, sizeof(f));
		m = 0;
		for (i = 1; i <= k; i++) {
			b = sqr[i] % n;
			if (!f[b]) f[b] = 1, a[m++] = b;
		}
		for (i = 0; i < m; i++) {
			for (j = 0; j < i; j++) {
				if (b = a[i] - a[j]) {
					if (b < 0) b += n;
					if (b > k) b = n - b;
					d[b]++;
				}
			}
		}
		for (i = 1; i <= k; i++) out(d[i]<<1), pc('\n');
	}
	return 0;
}