Problem:
Problem F: １０歳の動的計画

ある日の夕方。いつものようにあなたが居間でテレビを見ていると、小学５年生の妹から相談を持ち
かけられた。話を聞いてみると、今日学校で出された算数の問題が難しくて理解できなかったので、
あなたに解き方を教えてほしいのだという。

妹を悩ませている問題は、「道が碁盤目状に通っている街において、家(0, 0) から学校(N, M) まで最短距離で進む方法は何通りあるか？」というものだった。もちろん、あなたにとっては赤子の手をひねるよりも簡単な問題である。すぐに上のような図を書いて「家(0, 0) から順番に足し算していけば解けるよ」と教えてあげた。

ところが、それを聞いてもまだ、妹はなにやら下を向いて考えこんでいる。あなたは、自分の説明の
仕方が悪かったのだろうかと思ったが、どうやらそうではないらしい。

たっぷり３分ほど悩んでいただろうか。妹は、おもむろに顔を上げると、あなたに向かってこう言っ
た。

「でも、わたしだったら、きっと学校に行く途中でK 回くらい寄り道しちゃうだろうな……。ねぇお
兄ちゃん、そうすると答えは何通りになるの？」

さあ大変だ。兄の威厳を保つため、なんとしてもこの問題に答えねば。

この問題を定式化すると、次のようになる。

点(0, 0) から点(N, M) まで、碁盤目状の道を通って進む方法は何通りあるか答えよ。

基本的には右か上に１マス進むが、途中で、ちょうどK 回だけ寄り道をする。

「寄り道をする」とは、左か下に１マス進むことである。

K 回の寄り道をすませていない場合、いったん点(N, M) に着いた後でも歩き続ける。途中で点(0, 0) に戻ってくる場合もある。

家はこの街の隅に建っているので、X 座標またはY 座標が負になるような点に入ることはできない。

しかし、X 座標がN より大きな点、または、Y 座標がM より大きな点には入ることができる。

Input

N M K

入力の１行目には、整数N（1 ≤ N ≤ 100,000）と整数M（1 ≤ M ≤ 100,000）と整数K（0 ≤ K ≤ 10,000）が、この順に空白区切りで書かれている。整数N は学校のX 座標を、整数M は学校のY座標を、整数K は寄り道の回数をあらわす。

Output

点(0, 0) から点(N, M) まで、K 回の寄り道をして進む方法。その総数を1,000,000,007 で割った余りを出力せよ。なお1,000,000,007 は素数である。

Sample Input 1

6 4 0

Sample Output 1

210

Sample Input 2

3 3 1

Sample Output 2

448

Sample Input 3

124 218 367

Sample Output 3

817857665

Solution in C (judge verdict: Accepted)

// AOJ 2335: 10-Year-Old Dynamic Programming
// 2017.11.27 bal4u@uu

#include <stdio.h>

#define M 1000000007

int fact[2020001];

int extended_gcd(int a, int b, int *x, int *y)
{
	int d;

	if (b == 0) { *x = 1; *y = 0; return a; }
	d = extended_gcd(b, a % b, y, x);
	*y -= a / b * (*x);
	return d;
}

int inverse(int a)
{
    int x, y;
    if (extended_gcd(a, M, &x, &y) == 1) return (x + M) % M;
    return 0;
}

int comb(int n, int k)
{
    if (n < 0 || k < 0 || n < k) return 0;
	if (k == 0) return 1;
    return (long long)fact[n] * inverse(((long long)fact[k]*fact[n-k]) % M) % M;
}

int main()
{
	int n, m, k, i, j, ii, jj, kk;
	int ans, r, c;

	for (fact[0] = 1, i = 1; i < 2020001; i++) fact[i] = ((long long)fact[i-1]*i) % M;

	scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);

    ans = 0; kk = n + m + (k << 1);
    for (i = 0; i <= k; i++){
        j = k-i, ii = n + (i << 1), jj = m + (j << 1);
        r = (comb(ii, i) - comb(ii, i-1) + M) % M;
        c = (comb(jj, j) - comb(jj, j-1) + M) % M;
        ans = (ans + ((long long)r*c) % M * (long long)comb(kk, ii)) % M;
    }
    printf("%d\n", ans);
}