Problem:
素数の性質

4 で割ると 3 あまる素数 n (11、19、23 など) には、面白い性質があります。1 以上 n 未満の自然数 (1, 2,... , n - 1) を 2 乗したものを n で割ったあまりを計算した結果を並べると、同じ数になるものがあるため、互いに異なった数の個数は、(n - 1)/2 になります。

この様にして得られた数の集合には、特別な性質があります。得られた数の集合から、互いに異なる 2 つ a と b を選んでその差を計算します。差が負になったときは、その差に n を足します。さらに結果が (n - 1)/2 より大きいときは、その差を n から引きます。

例えば、n = 11 のとき 1 と 9 の差は、1 − 9 = −8 → −8 + n = −8 + 11 = 3 になります。9 と 1 の差も 9 −1 = 8 → n − 8 = 11 − 8 = 3 で、同じ値 3 になります。この差は、円周上に 0, 1, ・・・, n - 1 を書いて、二つの数字の間の短い方の円弧を考えるとわかりやすくなります。(下図参照)

こうして得られた数の「差」は、1, 2, . . ., (n - 1)/2 のいずれかであり、同じ回数出現します。

【例】 n = 11 の時は、以下のようになります。

1 から n-1 までの数を 2 乗したものを n で割った余りを計算します。

12 = 1 → 1
22 = 4 → 4
32 = 9 → 9
42 = 16 → 5
52 = 25 → 3
62 = 36 → 3
72 = 49 → 5
82 = 64 → 9
92 = 81 → 4
102 = 100 → 1

a, b の「差」の計算

1 で得られた 1, 3, 4, 5, 9 について異なる数同士の差を計算します。

計算結果が負の場合、n = 11 を加算します。

さらに、計算結果が (n-1)/2 = 5 より大きい場合 n = 11 から減算します。

出現回数を求める

計算結果 1, 2, 3, 4, 5 の出現回数をそれぞれ数え上げます。

これらの計算結果から 1, 2, 3, 4, 5 の出現回数が 4 回であることがわかります。この性質は 4 で割ると 3 あまる素数特有の性質であり 4 で割ると 1 あまる素数ではこのようなことはおきません。このことを確認するため、10000 以下の奇数 n を入力とし、例題にあるような計算 (n で割ったあまりの 2 乗の差の頻度を求める)を実行し、その出現回数を出力するプログラムを作成してください。

Input

複数のデータセットが与えられます。各データセットとして１つの整数 n　(n ≤ 10000) が１行に与えられます。入力は 0 を１つ含む行でおわります。

Output

各データセットについて、出現頻度を以下の形式で出力してください。

剰余の平方の差が 1 である(a, b)の出現個数(整数)
剰余の平方の差が 2 である(a, b)の出現個数(整数)
:
:
剰余の平方の差が (n-1)/2 である(a, b)の出現個数(整数)

Sample Input

11
15
0

Output for the Sample Input

4
4
4
4
4
2
2
4
2
4
4
2

Solution in C (judge verdict: Time Limit Exceeded)

// Aizu Vol-1 0142: Nature of Prime Numbers
// 2017.8.16 bal4u@uu
// 4m+3????´???°?????§???

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAX  10000
#define SQRT 100     // sqrt(MAX)
#define HALF 5000
int sqr[HALF + 5];
int a[HALF + 5];
int d[HALF + 5];
char f[MAX + 5];

char prime[MAX + 5], *p, *q, *pmax;

int main()
{
	int n;
	int i, j, k, b, m;

	pmax = prime + MAX;
	for (k = 3, p = prime + 3; k <= SQRT; k += 2, p += 2) {
		if (!*p) {
			for (q = p + k; q <= pmax; q += k) *q = 1;
		}
	}
	for (i = 1; i <= 5000; i++) sqr[i] = i*i;

	while (1) {
		scanf("%d", &n); if (!n) break;
		if (n == 1 || !(n & 1)) while (1);		// Panic!

		// 4m+3????´???°
		if (!prime[n] && n % 4 == 3) {	
			char buf[10];
			k = n >> 1;
			sprintf(buf, "%d", k - 1);
			for (i = 1; i <= k; i++) puts(buf);
			continue;
		}

		// ???????\???°????????????????????????????¨????
		k = n >> 1;
		memset(d, 0, sizeof(d[0])*(k+2));
		memset(f, 0, sizeof(f[0])*(n+2));
		m = 0;
		for (i = 1; i <= k; i++) {
			b = sqr[i] % n;
			if (!f[b]) f[b] = 1, a[m++] = b;
		}

		for (i = 0; i < m; i++) {
			for (j = 0; j < m; j++) {
				if (b = a[i] - a[j]) {
					if (b < 0) b += n;
					if (b > k) b = n - b;
					d[b]++;
				}
			}
		}
		for (i = 1; i <= k; i++) printf("%d\n", d[i]);
	}
	return 0;
}