法拉第弔詭

法拉第弔詭，或法拉第悖論（Faraday paradox）是一個關於法拉第感應定律的物理實驗。1831 年，物理學家麥可・法拉第推斷出法拉第感應定律（簡稱「法拉第定律」），但是，在應用這定律來解釋法拉第弔詭的過程中，他遇到了很多困難。這在本文會有詳細相關敘述。

實驗組態

圖 1，法拉第的圓盤形發電機。圓盤形導體（淺藍色）以角速率 旋轉於由一塊圓柱形永久磁鐵（未繪出）產生的磁場 （以棕褐色箭矢表示）。勞侖茲力的磁部分 趨動徑向電流，從圓盤中心，流過圓盤，抵達邊緣（天藍色），然後透過底端金屬刷（五角形）、支撐架（深藍色）、轉軸，返回圓盤中心，形成完整迴路。只要轉動圓盤，就可以從機械運動產生電流（金黃色）。

如右圖所示，法拉第弔詭實驗只需要一些簡單器件：圓柱形永久磁鐵、圓盤形導體、金屬刷、轉軸導體、支撐架導體，檢流計。圓柱形永久磁鐵與圓盤形導體分別安裝於各自的轉軸，可以各自自由旋轉。將安裝於支撐架一端的金屬刷與圓盤邊緣相接觸，又將與圓盤相連線的轉軸安裝於支撐架另一端，就可以形成完整閉合電路。在這閉合電路中，串聯一個檢流計來測量電流。

實驗程式

這實驗的進行有三個步驟：

假設磁鐵為固定不動，不能旋轉，只讓圓盤旋轉，則檢流計會測量到直流。這實驗裝置的功能類似發電機，因此稱為「法拉第發電機」、法拉第圓盤、或。
假設圓盤為固定不動，不能旋轉，只讓磁鐵旋轉，則檢流計不會測量到直流。
假設讓圓盤與磁鐵以同角速度旋轉，則檢流計會測量到直流，如同第一步驟得到的結果。

為什麼弔詭？

有些物理學者稱這實驗為弔詭，因為，猛然一看，這實驗似乎違背了法拉第定律，不論是甚麼部分在旋轉，穿過圓盤的磁通量好像都一樣，所以，從磁通量觀點來看，對於這三個案例，電動勢都應該預測為零。這觀點錯誤地選擇了用來計算磁通量的曲面，對於這論點，稍後會有更詳細解釋。

從磁場線觀點來看，這弔詭又有不同的理論結果。在法拉第的電磁感應模型裡，磁場是由想像的磁場線組成。若將條狀磁鐵放在白紙下面，鋪灑一堆鐵粉在白紙上面，這些鐵粉會依著磁場線的方向排列，形成一條條的曲線，在曲線的每一點顯示出磁場線的方向。假若電動勢與磁場線被電路切割的速率呈正比，則從磁鐵的參考系觀測，磁場線為固定不動。所以，相對於磁鐵，將圓盤旋轉，或相對於圓盤，將磁鐵旋轉，這兩種動作應該都會生成電動勢，但是若將磁鐵與圓盤一同旋轉，則電動勢為零。

法拉第的解釋

在法拉第的「電磁感應模型」裡，當閉合電路切割過磁場線時，會有感應電流生成於這閉合電路。按照這模型，當圓盤旋轉或磁鐵旋轉時，應該會有感應電流流動於法拉第圓盤，而當磁鐵與圓盤一同旋轉時，應該不會出現感應電流。然而，這結果與實驗結果迥然不同。法拉第試圖解釋這差異，他假定當磁鐵旋轉時，磁鐵的整個磁場於其伴隨的磁場線固定不動（注意到這是一個完全正確的繪景，雖然也許不太容易從電磁感應模型推理出來）。換句話說，磁場線的參考系與磁鐵的參考系不同。在下一個段落，會有詳細論述，現代物理學（自從發現電子之後）不需要電磁感應模型，就能夠完全解釋這弔詭。

現代解釋

5.1 電子與勞侖茲力

自從約瑟夫・湯姆森於 1897 年發現電子之後，物理學者獲得了微觀解析這弔詭的能力。注意到移動於磁場 的電子會感受到勞侖茲力 ；其中， 是電子所帶電荷量， 是電子移動速度。如圖 1 所示，呈旋轉運動中的圓盤導體，其內部自由電子會感受到勞侖茲力。這勞侖茲力垂直於電子的速度 ，也垂直於磁場 ，而磁場 又垂直於圓盤。所以，按照右手定則，這勞侖茲力的方向（對於電子）是反徑向，即朝著轉軸的方向；對於正價粒子，勞侖茲力的方向是徑向，即朝著圓盤邊緣的方向。

當然，這徑向力會生成動生電動勢，造成電流流動於整個電路，因為它造成了電子的反徑向移動。這電子的反徑向運動又會生成另一股勞侖茲力，反抗隨著圓盤旋轉的電子圓周運動，這趨向於使圓盤旋轉變慢。因此，只有倚賴不斷地施加外力，圓盤才能持續旋轉。由於圓盤持續旋轉，電流也持續地流動於整個電路。這機制與實驗觀測相符合：每當圓盤旋轉，就會生成電流，不論磁場的屬性為何。

應用勞侖茲力定律可以解釋法拉第弔詭，但這也在學術界引起極大的爭論──到底磁場是否隨著磁鐵旋轉？按照勞侖茲力定律，磁場與導體之間的相對運動，直接地與作用於電荷的勞侖茲力有關，物理學者猜測，對於磁鐵與圓盤共同旋轉而電動勢不為零的案例，磁場應該不會與磁鐵共同旋轉，否則，磁場就無法與圓盤呈相對運動。

5.2 數學分析

對於從金屬刷，經過支撐架與轉軸，到圓盤中心這一段路徑，由於磁場與這路徑的包含平面之間互相平行，而不是互相正交，不論是甚麼器件在旋轉，路徑積分獲得的電動勢永遠為零。因此，只需要專注於從圓盤中心到金屬刷這一段路徑。

法拉第定律表明，

以方程式表示，

 ；

其中， 是電動勢， 是磁通量， 是磁場， 是以閉合電路為邊緣的任意積分曲面， 是微小面元素。

圖 2，用來計算電動勢的兩條可行迴路。在圓盤區域，金色的幾何簡單迴路比較容易使用，但另外一條黃色迴路會給出同樣結果。在選擇這兩條迴路時，並不存在想要模仿任何實際電流路徑的意圖。

怎樣才能應用這定律於法拉第圓盤發電機？一種方法是定義「磁通切割率」，首先繪一條假想線於圓盤，從金屬刷到轉動軸，然後，計算這條假想線切割過多少磁通量每單位時間。如圖 2 所示，假定圓盤半徑為 ，則其圓心角為 的扇形部分的面積 為

 ，

這假想線的磁通切割率為

 ；

其中， 為圓盤旋轉的角速率。

將法拉第定律內的磁通量變化率更改為磁通切割率，其它內容不變。根據這更改的法拉第定律，電動勢為

 。

注意到在思考電動勢（或電流）的方向時，需要基於冷次定律，運動所生成的電動勢必會抗拒由於運動而產生的磁通量。例如，在圖 2 中的金色迴路，其處於圓盤的徑向線段（假想線），所切割過的扇面，假設這扇面向量與磁場相向，則磁通量為正值，並且隨著時間演進而增加。根據冷次定律，感應的電動勢（因此電流）趨向於削減磁通量。按照右手定則，假想線內的電動勢（或電流）的方向為徑向。

這從計算切割磁通量所得到的電動勢結果，可以與從假想線移動於磁場所感應出的動生電動勢相比較：

 ；

其中， 是勞侖茲力。

兩個答案相同。處於假想線的正電荷，所感受到的勞侖茲力的方向為 的方向，即徑向。

對於這計算電路所切割的磁通量的方法，若要嚴格地以法拉第定律做形式化處理，必需正確地計算被閉合電路圍入的曲面 。當然，假若積分的區域與時間有關，則取這積分的時間微分並不能簡單地只取其被積函式的時間微分，這一點時常會被忽略。詳細計算方法，請參閱萊布尼茨積分定則（Leibniz integral rule）與勞侖茲力定律。

在選擇曲面 時，有兩個限制：

這曲面必需被閉合迴路圍入，而這閉合迴路是想要計算電動勢之處。
這曲面必需捕獲到電路的所有移動部分的相對運動。

再度強調一次，閉合迴路不需要對應於實際電流的流動路徑。電磁感應倚賴的是相對運動，閉合迴路必需捕獲所有相對運動。對於圖 1 所示案例，因為電流流動迴路的一部分分佈於空間的某區域，有很多條可能迴路可以選來計算趨動電流的電動勢。圖 2 展示出兩條可能迴路。所有的可能迴路必需包括回程路徑，但是在圓盤區域，展示出兩條可能路徑：一條是幾何簡單路徑，另一條是迂迴曲折路徑。選擇哪一條路徑乃見仁見智之舉。但是，一旦做出選擇，就不能在計算中更改路徑，必需使用固定於圓盤的同樣路徑，跟著圓盤一同旋轉，計算切割過的磁通量。

圖 3，法拉第圓盤被對映為滑動的長方形導體。圓盤被視為圓環，沿著半徑切開，然後彎開為長方塊。

對於這案例，所有這些迴路獲得的磁通切割率都相同，因而電動勢也相同。為了幫助理解這路徑獨立的點子，如圖 3 所示，法拉第圓盤被展開為長方塊，使得這問題看起來好似滑動的長方塊問題。對於滑動的長方塊案例，很明顯地，在長方塊內部，電流流動的圖樣與時間無關，因此也與電路的磁通切割率無關。所以，不需要思考電流怎樣流過長方塊（或圓盤）。任意連結長方形頂部軌道與底部軌道（從轉軸經過圓盤到金屬刷）的路徑選擇，其隨著長方塊的移動（隨著圓盤的旋轉）會掃出同樣的磁通切割率，也會計算出同樣的電動勢。

更多觀察

磁鐵到底是否在旋轉，這事實對於本分析無關緊要，因為相關資料並沒有出現於法拉第感應定律。實際而言，假設磁鐵具有圓柱對稱性，則旋轉磁鐵絕不會改變電磁場。同樣地，將磁鐵與圓盤一起旋轉，或將圓盤旋轉而固定磁鐵不動，兩種方式得到的結果相同。關鍵是在於圓盤與回程導體之間的相對運動，而不是圓盤與磁鐵之間的相對運動。

為了清楚解釋這論點，將法拉第圓盤修改，將回程導體改為另外一個圓盤，也就是說，將兩個圓盤導體安裝於同一個轉軸，讓這兩個圓盤在轉軸與週邊都擁有電接觸點。則電流會與兩個圓盤的相對旋轉運動成正比，與磁鐵的任意旋轉無關。

法拉第感應定律不適用案例

光電導體長方塊（淡藍色）沿著兩條平行導線滑行。在某狹窄固定區域（深藍色），照射強烈光波，施加強烈磁場。當長方塊行經這狹窄固定區域時，被照射到的材料會出現導電性質。由於勞侖茲力定律，整個電路會出現電動勢與電流（金黃色）。

如圖 4 所示，光電導體長方塊平移於兩條平行導線。在某狹窄固定區域，照射強烈光波，施加強烈磁場。當長方塊行經這狹窄固定區域時，被照射到的光電導體會出現導電性質。由於勞侖茲力定律，會有電流從頂方導線，經過這狹窄固定區域的光電導體，流動到底方導線，然後經過連線電路，回到頂方導線。對於這案例，電路固定不動，穿過電路的磁通量不變，所以，應用法拉第定律計算出來的電流為零。但是，勞侖茲力定律建議，電流實際存在。

這案例是根據物理大師理查・費曼想出來的點子，凸顯法拉第定律（即連結電動勢與磁通量之間的關係的版本，費曼稱為「通量定則」）不適用於某些狀況的事實。費曼這樣說：

費曼應用勞侖茲定律來解釋為何會出現這種現象。重點是通量定則只適用於某些狀況，雖然這些是非常實用的狀況。

7.1 狹義相對論的解釋

假若應用狹義相對論，就不會遭遇任何弔詭或困擾。思考狹窄固定區域的參考系 ，對於處於這參考系 的觀測者而言，光電導長方塊以速度 移動。恰巧處於狹窄固定區域的光電導物質，由於被強烈光波照射，會變得具有導電性質，其載有電量 的載電粒子會感受到勞侖茲力 。

換到光電導長方塊的參考系 。對於處於參考系 的觀測者而言，光電導長方塊是固定不動，狹窄光波照射區域是以速度 移動，磁場為 ，電場為 ；其中， 是勞侖茲因子。所以，其載有電量 的載電粒子會感受到勞侖茲力 。

注意到從參考系 變換到參考系 ，勞侖茲的變換為

 。

這與分別在參考系 與 推匯出來的勞侖茲力表示式相符合。

倜立實驗

通量定則不適用於倜立實驗。圖 5 展示「倜立實驗」。在這由物理學者唐納德・倜立（Donald Tilley）設計出的實驗裡，整個電路是由兩個迴路或網目組成。在右手邊迴路串聯了一具檢流計。在左手邊迴路中心置放了一塊磁鐵，其產生的磁場為 。兩個迴路共同享有一個轉閘開關。首先設定轉閘開關與端點 1 相接觸，左手邊迴路為開路，右手邊迴路為閉路。然後旋轉轉閘開關，改與端點 2 相接觸，使得右手邊迴路成為開路，左手邊迴路仍舊為開路，但整個電路成為閉路。注意到磁場並沒有改變，但是穿過的面積變大，因此，磁通量也會改變。可是，檢流計的量針並沒有偏動（假定可以忽略轉閘開關旋轉時的效應），這意味著檢流計並沒有檢測到任何感應電動勢。所以，法拉第定律不適用於這案例。

有些物理學者認為，在法拉第實驗裡，感應電壓的出現，是因為電路切割了磁場線，而不是因為實際磁通量有所變化。這可以從倜立實驗觀察得知，因為，雖然穿過電路的磁通量有所變化，並沒有任何磁場線移動經過電路，所以不會有任何感應電流。

物理學者艾倫・納斯邦（Allen Nussbaum）建議，只有在磁通量改變的時候，同時也給出機械功，法拉第定律才適用。思考處於磁場 、載有電流 的載流導線，其所感受到的作用力可以表達為

 ；

其中， 是載流導線所感受到的微小作用力， 是載流導線的微小線元素。

假設微小線元素 的位移為 ，則所做的機械功 為

 。

微小線元素 因為位移而遮蓋的面積 為

 ，

所做的機械功為

 ；

其中， 是磁通量。

這機械功等於電勢為 的電荷 的電勢能：

 。

這樣，可以得到法拉第定律的方程式：

 。

注意到，法拉第定律的方程式為正確無誤，若且唯若，機械功 不等於零。換句話說，只有倚賴做機械功來改變磁通量，法拉第定律才正確無誤。

回到倜立實驗。由於磁通量的改變並沒有做出機械功（假定扭轉轉閘開關所做的機械功為零），所以，法拉第定律不適用，不會出現任何電動勢或電流。

參閱

移動中的磁鐵與導體問題
經典電磁學與狹義相對論