分佈 (數學分析)

數學分析中，分佈（distribution）是廣義函式的一種，由法國數學家洛朗・施瓦茨首先於二十世紀五十年代引入，因此又稱施瓦茲分佈（Schwartz distribution）、施瓦茲廣義函式（Schwartz generalized function）。分佈推廣了普通意義上的函式概念：對於普通意義上不可導甚至不連續的函式，可以具備分佈意義上的導數。事實上，任意區域性可積的函式都有分佈意義上的弱導數。在偏微分方程的研究中，常常使用分佈來表示方程的廣義解函式，因為很多時候傳統意義上的解函式不存在或難以求出。分佈理論在物理學和工程學中都十分有用，因為在應用中常會出現解或初始條件是分佈的微分方程，例如初始條件可能是一個狄拉克 δ 分佈。

廣義函式的概念最早由謝爾蓋・索伯列夫在 1935 年提出。1940 年代末，施瓦茨等人開始建立分佈理論，首次提出了一個系統清晰的廣義函數理論。

基本理念

很多時候，函式是描述某個物件的性質的手段。傳統的函式是將輸入值和輸出值建立對應關係的對映，是從本質上描述物件性質的方法。分佈的概念則源自物理學的發展。二十世紀初發展起來的量子力學理論，特別是不確定性原理的發現，使物理學家拋棄了從本質上確定地表述物件的想法，而是將物件的性質視作它在一定的測量手段下的表現。我們能夠獲得 “某個粒子的位置” 的資訊，是因為使用了某種測量的工具。物件的性質透過測量才得以表現。分佈理論發展了這種概念，透過觀察某個函式與其它函式的 “相互作用” 來刻畫這個函式。具體來說，我們觀察和一群 “測量函式” 之乘積的積分：。之所以使用積分作為 “觀察” 的方式，一方面是因為在積分和求導兩種數學分析的基本概念之間，（區域性）可積分的函式比（區域性）可導的函式要 “多得多”；另一方面，則可以用物理上的測量方式解釋。測量某個物理量的時候，我們往往不要求（也無法做到）知道此物理量在某個精確時刻或某個精確位置上的值，而只能透過多次測量，知道它在某一小段時間段或某個小區域內的平均測量值。從實際的角度，這種平均值才是測量和使用函式的最常見方式。而積分則是這種 “平均值” 的數學表現形式。

分佈理論的目的在於建立一種比一般的函式更廣泛的 “廣義函式”，稱為分佈，並能將微積分的常用結論運用到這類廣義函式上去。也就是說，分佈理論建立的分佈應當滿足幾個基本的要求：

連續的函式屬於分佈；
可微、可積的函式對應的分佈應該也能進行微分 / 求原函式操作，而且結果應該也是分佈，並且應該對應於原函式的微分 / 原函式；
基本的微積分法則適用於分佈；
存在適當的收斂定理，可以對分佈進行極限操作。

對每一個實數值的 “測試函式”，將它對映到積分，就定義了一個線性泛函。這個線性泛函稱為對應的分佈。積分的存在性取決於函式與的乘積，所以對要求越高，就能對越多的定義對應的分佈。分佈理論中選取的 “測試函式” 的集合是緊支撐的函式空間 D (R)，也就是滿足以下兩個條件的 R 射到 R 函式的集合：

擁有任意階的導函式，並且導函式連續，
除了在某一個緊緻集合（一般可以簡化為一個有限區間）以外，函式的取值都是 0.

一般來說，一個分佈就定義為 D (R) 射到 R 的連續線性泛函。一個分佈（作用在 “測試函式” 上）的值一般使用類似內積的符號記為。當 “測試函式” 空間選為 D (R) 的時候，只要 區域性可積，就能定義它對應的分佈。一個函式對應的分佈通常記為，以和 區分，而它的值就是：

對於機率分佈函式，也可以將它定義為分佈。對給定的一個測試函式，可以定義分佈作用在上的值是： 這樣定義下的是線性的泛函，所以滿足分佈的定義。

除了對普通的函式可以定義分佈，對一些普通意義上無法定義的 “函式” 也能定義出相應的分佈。例如 0 點上的狄拉克 δ 函式就能用分佈方式定義為：

也就是說它對每一個函式的 “效果” 是取其 0 點上的值。

嚴格定義

接下來，我們定義 Rn 中開集 U 上的實值分佈。在細微的調整之後，我們可以定義相應的復值分佈，也可以將 Rn 替換為任何（仿緊）光滑流形。

首先需要定義 U 上的檢驗函式空間 D (U) （即所謂的 “測試函式”），定義其上的拓撲和極限。D (U) 上的所有連續線性泛函構成的空間就是分佈空間。

2.1 檢驗函式空間

函式: U → R 具有緊支撐集，當且僅當存在 U 的緊子集 K，使得對任意 U\K 中的元素，都有。

定義 D (U) 為所有在某個緊支撐集上無窮可微的函式（也就是所謂的隆起函式）的集合，則這個集合是一個實向量空間。這個空間中的拓撲可以透過定義序列的極限而定義。具體如下：

一列函式收斂到某個，當且僅當其滿足以下兩條性質：

存在緊集包含所有的支撐集：
:
對任意多重指標，偏微分序列都一致收斂到

在如此定義下的拓撲中，D (U) 是一個完備、區域性凸的拓撲向量空間，且滿足海涅－博雷爾定理，但不是可度量的空間（不同胚於任何的度量空間）。而 D (U) 上的泛函連續，當且僅當對任意收斂到零的，都有

2.2 分佈

U 上的分佈定義為 D (U) 上的連續線性泛函。也就是說，如果一個實線性泛函（或複線性泛函）滿足連續性，即對 D (U) 中任意的收斂函式列，都有

那麼就稱此泛函為 U 上的一個分佈。

另一個更具可操作性的定義是，如果 D (U) 上的一個實線性泛函（或複線性泛函）滿足以下的條件：

對任意的緊子集，都存在和，使得對任意支撐集在的檢驗函式，都有

就稱之為 U 上的一個分佈。如果存在的正整數使得對任意的，都有，那麼最小的這樣的稱為這個分佈的階數（order），稱為一個階分佈。

U 上的分佈集合記為 D'(U)，是 D (U) 的拓撲對偶空間。D'(U) 中的元素和 D (U) 中的元素之間的對偶關係可以用尖括號表示：

在弱＊拓撲下，D'(U) 為一個區域性凸的拓撲向量空間。其中，弱＊收斂的定義為：D'(U) 中序列弱＊收斂到當且僅當對於任意的檢驗函式，有

2.3 函式對應的分佈

一個區域性可積函式是指在 U 的任意緊子集上都勒貝格可積的函式。區域性可積函式包括了所有的連續函式和所有的 Lp 可積函式。在以上定義的 D (U) 的拓撲中，每個區域性可積的函式都對應著一個 D (U) 上的連續線性泛函，也就是 D'(U) 中的一個元素，記作。線性泛函作用在 D (U) 中任一個檢驗函式上的取值是：

一般約定，在不至於引起混淆的時候，可以將和等同起來。比如說以上的取值等式也可以記作：

可以證明，兩個區域性可積函式和對應的分佈相同，當且僅當它們幾乎處處相等。與函式的分佈類似，U 上的每個 Radon 測度都有一個對應的分佈，定義為：

與函式的對應分佈一樣，測度對應的分佈在不至於混淆的時候也可以和測度等同起來，比如將上式寫成。

可以注意到，檢驗函式也是區域性可積的，所以也有對應的分佈。這些分佈在 D'(U) 上是稠密的（對於以上定義的拓撲來說）。也就是說，任意一個分佈都是某個檢驗函式（分佈）序列收斂的極限。對任意的檢驗函式，都有：

拓展閱讀

M. J. Lighthill (1959). Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09128-4 (requires very little knowledge of analysis; defines distributions as limits of sequences of functions under integrals)
H. Kleinert, Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006)(also available online here). See Chapter 11 for defining products of distributions from the physical requirement of coordinate invariance.

V.S. Vladimirov (2002). Methods of the theory of generalized functions. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0
.

.

.

.

.