代數基本定理

代數基本定理（fundamental theorem of algebra）說明，任何一個一元複係數多項式方程都至少有一個複數根。也就是說，複數域是代數封閉的。

有時這個定理表述為：任何一個非零的一元 n 次複係數多項式，都正好有 n 個複數根（重根視為多個根）。這似乎是一個更強的命題，但實際上是 “至少有一個根” 的直接結果，因為不斷把多項式除以它的線性因子，即可從有一個根推出有 n 個根。也就是說，任何一個 n 次多項式，都可以因式分解為 n 個復係數一次多項式的乘積。

儘管這個定理被命名為 “代數基本定理”，但它還沒有純粹的代數證明，許多數學家都相信這種證明不存在。另外，它也不是最基本的代數定理；因為在那個時候，代數基本上就是關於解實係數或複係數多項式方程，所以才被命名為代數基本定理。

高斯一生總共對這個定理給出了四個證明，其中第一個是在他 22 歲時（1799 年）的博士論文中給出的。高斯給出的證明既有幾何的，也有函式的，還有積分的方法。高斯關於這一命題的證明方法是去證明其根的存在性，開創了關於研究存在性命題的新途徑。

同時，高次代數方程的求解仍然是一大難題。伽羅瓦理論指出，對於一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代數解。

證明

所有的證明都包含了一些數學分析，至少是實數或複數函式的連續性概念。有些證明也用到了可微函式，甚至是解析函式。

定理的某些證明僅僅證明了任何實係數多項式都有複數根。這足以推出定理的一般形式，這是因為，給定複係數多項式 p (z)，以下的多項式

就是一個實係數多項式，如果 z 是 q (z) 的根，那麼 z 或它的共軛複數就是 p (z) 的根。

許多非代數證明都用到了 “增長引理”：當 | z | 足夠大時，首係數為 1 的 n 次多項式函式 p (z) 的表現如同 zn。一個更確切的表述是：存在某個正實數 R，使得當 | z|>R 時，就有：

1.1 複分析證明

1.1.1 證明一

尋找一箇中心為原點，半徑為 r 的閉圓盤 D，使得當 | z|≥r 時，就有 | p (z)|>|p (0)|。因此，|p (z)| 在 D 內的最小值（一定存在，因為 D 是緊緻的），是在 D 的內部的某個點 z0 取得，但不能在邊界上取得。於是，根據最大模原理，p (z0)=0。也就是說，z0 是 p (z) 的一個零點（根）。

1.1.2 證明二

由於在 D 之外，有 | p (z)|>|p (0)|，因此在整個複平面上，|p (z)| 的最小值在 z0 取得。如果 | p (z0)|>0，那麼 1/p 在整個複平面上是有界的全純函式，這是因為對於每一個複數 z，都有 | 1/p (z)|≤|1/p (z0)|。利用劉維爾定理（有界的整函式一定是常數），可知 1/p 是常數，因此 p 是常數。於是得出矛盾，所以 p (z0)=0。

1.1.3 證明三

這個證明用到了輻角原理。設 R 為足夠大的正實數，使得 p (z) 的每一個根的絕對值都小於 R；這個數一定存在，因為 n 次多項式函式最多有 n 個根。對於每一個 r>R，考慮以下的數：

其中 c (r) 是中心為 0，半徑為 r 的逆時針方向的圓；於是輻角原理表明，這個數是 p (z) 在中心為 0、半徑為 r 的開圓盤內的零點的數目 N，由於 r>R，所以它也是 p (z) 的零點的總數目。另一方面，n/z 沿著 c (r) 的積分除以 2πi，等於 n。但這兩個數的差為：

被積分的有理表示式中的分子，次數最多是 n−1，而分母的次數是 n+1。因此，當 r 趨於 +∞時，以上的數趨於 0。但這個數也等於 N−n，因此有 N=n。

1.1.4 證明四

這個證明結合了線性代數和柯西積分定理。為了證明每一個 n>0 次複係數多項式都有一個根，只需證明每一個方塊矩陣都有一個複數特徵值。證明用到了反證法。

設 A 為大小 n>0 的方塊矩陣，並設 In 為相同大小的單位矩陣。假設 A 沒有特徵值。考慮預解函式

它在複平面上是亞純函式，它的值位於矩陣的向量空間內。A 的特徵值正好是 R (z) 的極點。根據假設，A 沒有特徵值，因此函式 R (z) 是整函式，根據柯西積分定理可知：

另一方面，把 R (z) 展開為幾何級數，可得：

這個公式在半徑為

A

的閉圓盤的外部（A 的運算元範數）成立。設 r>

A。

那麼：

（僅當 k=0 時，積分才不等於零）。於是得出矛盾，因此 A 一定有一個特徵值。

1.2 拓撲學證明

設 z0∈C 為使 | p (z)| 在 z0 取得最小值的數；從用到劉維爾定理的證明中，可以看到這樣一個數一定存在。我們可以把 p (z) 寫成 z−z0 的多項式：存在某個自然數 k 和一些複數 ck、ck+1、…、cn，使得 ck≠0，以及：

.

可推出如果 a 是 (p (z)-p (z0))/ck 的一個 k 重根，且 t 是足夠小的正數，那麼 | p (z0+ta)|0)|，這是不可能的，因為 | p (z0)| 是 | p | 在 D 內的最小值。

對於另外一個用到反證法的拓撲學證明，假設 p (z) 沒有根。選擇一個足夠大的正數 R，使得對於 | z|=R，p (z) 的第一項 zn 大於所有其它的項的和；也就是說，|z|n>|an−1zn−1+・・・+a0|。當 z 依逆時針方向繞過方程為 | z|=R 的圓一次時，p (z)，像 zn 那樣，依逆時針方向繞過零 n 次。在另外一個極端，|z|=0 時，“曲線” p (z) 僅僅是一個（非零的）點 p (0)，它的卷繞數顯然是 0。如果 z 所經過的迴路在這兩個極端中被連續變形，那麼 p (z) 的路徑也連續變形。我們可以把這個變形記為，其中 t 大於或等於 0，而小於或等於 1。如果我們把變數 t 視為時間，那麼在時間為零時，曲線為 p (z)，時間為 1 時，曲線為 p (0)。顯然在每一個點 t，根據原先的假設 p (z) 都不能是零，因此在變形的過程中，曲線一直都沒有經過零。因此曲線關於 0 的繞數應該不變。然而，由於繞數在一開始是 n，結束時是 0，因此得出矛盾。所以，p (z) 至少有一個根。

1.3 代數證明

這個證明需要依賴實數集的如下事實：正實數在上有實平方根，以及任何奇次多項式在上有一個根（這可以用介值定理證明）。

首先。經過簡單的計算可以證明在開平方運算下是封閉的（利用事實 1）。結合。得出不存在二階擴張。

由於，於是任何的擴張都是可分的，從而任何的代數擴張都可以被包含在一個伽羅瓦擴張內。假設、都是伽羅瓦擴張。考慮伽羅瓦群的西羅 2 - 子群 H。那麼是奇數。由本原元定理得出，KH 存在本原元，它的極小多項式是奇次的。但是利用實數集的事實 2，任何奇次數多項式在實數上有一個根，不存在奇數次且次數 > 1 的不可分多項式。於是是 2 的冪次。

假設並且 r>0，再次利用西羅定理，G 存在一個階為 2r-1 的子群 N。這時。這和先前不存在二階擴張矛盾。因此的任何代數擴張都是本身，代數基本定理得證。

推論

由於代數基本定理可以視為複數域是代數封閉的，可推出任何關於代數封閉域的定理在複數域都是適用的。這個定理有一些推論，要麼是關於實數域的，要麼是關於實數域與複數域之間的關係的：

複數域是實數域的代數閉包。
每一個一元實係數多項式都可以表示為常數、x+a 形式的多項式（a 為實數），以及 x2+ax+b 形式的多項式（a 和 b 為實數，a2−4bn 形式的有理函式（其中 n 是自然數，a 和 b 是實數），與 (ax+b)/(x2+cx+d) n 形式的有理函式（其中 n 是自然數，a、b、c 和 d 是實數，c2−4d<0）的和。由此可以推出，任何一個一元實係數有理函式都有一個初等的原函式。
實數域的任何一個代數擴張要麼與實數域同構，要麼與複數域同構。

韋達公式

韋達公式把多項式的係數與它的根的和與積聯絡起來。

這可以直接從以下等式的展開式推出：