魔群

魔群（Monster group）或怪獸群，或友善巨人（the Friendly Giant）或費雪─格里斯怪獸（Fischer-Griess Monster），是一個有限單群，是 26 個散在群的其中之一，一般常將之記作 M 或 F1。

怪獸群的階是 26 個散在群中最大的，其階為

有限單群的分類已完成 (見有限單群分類一文)。每個有限單群都屬於當中有的 18 類可數無限族中，或不包含於那些可系統化模式的 18 類可數無限族中，那 26 個的「散單群」中。而怪獸群是那 26 個散單群中階數最大的群。而二十六個散單群除了六個，其餘的散單群均是怪獸群的子集合。羅伯特・格里斯 (Robert Griess) 將那六個不為魔群子集的群稱為「低群」(pariahs)，並以「快樂大家族」(the happy family) 一詞稱呼其他的散單群。

或許對怪獸群最好的定義方式，就是將之定義為同時包含康威群 (Conway group) 和的有限單群中階最小者（怪獸群雖為散在群中階最大的，但這不表示它是所有有限單群中階最大的，其他類的有限單群中有階比其更大者存在）。

存在性與唯一性

怪獸群的存在性最早在 1973 年為貝恩德・費雪 (Bernd Fischer，他未出版相關想法) 與羅伯特・格里斯所預測，他們當時認為存在一個單群，該單群包含子怪獸群中做為某個對合的中心化子的某個雙覆蓋。數月後，M 的階被格里斯以湯普森階公式 (Thompson order formula) 計算出，而費雪 (Fischer)、康威 (Conway)、諾頓 (Norton) 與湯普森 (Thompson) 等人則發現此群包含了其他的群做為其子商，被包含的群包括了許多已知的散單群，此外他們還發現了兩個新的單群：湯普森群和原田 - 諾頓群。格里斯將怪獸群建構為格里斯代數 (一個 196884 維的交換非結合代數) 的自同構群。約翰・康威 (John Horton Conway) 和雅魁・提次 (Jacques Tits) 隨後簡化了其建構。

格里斯的建構證明瞭怪獸群的存在。約翰・湯普森 (John G. Thompson) 則說明瞭其做為階為此數的單群的唯一性可由一個 196883 維忠實表示法的存在得出。該表示法的存在性在 1982 年為西蒙・諾頓 (Simon P. Norton) 提出，然而他從未發表此證明的細節。第一個關於怪獸群唯一性的證明則由格里斯、麥爾法蘭肯菲爾德 (Meierfrankenfeld) 和塞格夫 (Segev) 給出。

月光猜想

怪獸群是康威 (Conway) 和諾頓 (Norton) 所提出的怪獸月光理論的兩個主要成份之一。此猜想與離散和非離散數學相關，並在 1992 年為理查・伯切德斯 (Richard Borcherds) 所證明。

在此設定下，怪獸群可由怪獸群模組的自同構群示現：亦即由一作用在怪獸李代數上，屬廣義 Kac–Moody 代數，且包含 Griess 代數的無窮維代數的頂點運算元代數示現而出。

表示與維度

一個忠實的複數表示的最小度數是 196,883，它是怪獸群階數可分得 3 個因子乘積的分割。當中怪獸群的最小忠實排列表示是

24・37・53・74・11・132・29・41・59・71 (約 1020) 點。他可被視為有理數上的一個伽羅瓦群而實現，並視為一個胡爾維茲群 (Hurwitz group)。

怪獸群在單群中並不平常，因並沒有已知的簡單規則或方法可表示他的元素，而這並非起因於他大小的表示因素。例如，單群 "A"100 和 SL20（2）相對是大，但容易計算，因為它們是具已知的置換或線性表示；交錯群具有與之的大小相較下的置換表示，且所有有限單李型式群有線性表示。除了怪物群之外的所有散單群體也具有足夠小的線性表示，以至於它們易於在計算機上工作（而難度僅次於怪物群的，為可分割成維度 4370 的小怪獸群 (baby Monster) 表示）。

麥凱的 E8 觀察

怪獸群和擴張登金圖 (Dynkin diagram) 亦存在著關係，其關聯在圖結點與怪獸群同餘類之間表現得更明顯，此關聯又被稱作「麥凱的 E8 觀察」(McKay's E8 observation)

子群結構

Sporadic Finite Groups Showing (Sporadic) Subgroups

怪獸群包含了至少 44 個共軛類的極大子群。六十數種同構型別的非交換單群，亦包含在怪獸群中，做為怪獸群的子群或子群的商群。

怪獸群的子群包括了 26 個散在群中的多數，但非全部的散在群都是它的子群。一旁所示之圖是基於馬克・羅南 (Mark Ronan) 所撰的書《Symmetry and the Monster》的，表明這些散在單群是如何與彼此產生關係的。線段表示下方的群被其上的群所包含，並為其上的群的子商。圈起來的符號，表示該符號所代表的群不被包含於其他更大的散在單群中。為了清楚表明，多餘的包含關係在此圖中未表示。

2.B 對合 (involution) 的中心化子 (Centralizer); 包含一 Sylow 47 - 子群的正規化子 (normalizer) (47:23) × 2 。
21+24.Co1 對合的中心化子。
3.Fi24 階數 3 子群的正規化子；包含一 Sylow 29 - 子群的正規化子 ((29:14) × 3).2。
22.2E6 (22):S3 一 Klein 4 - 群的正規化子。
210+16.O10+(2)
22+11+22.(M24 × S3) 一 Klein 4 - 群的正規化子；含一 Sylow 23 - 子群的正規化子 (23:11) × S4。
31+12.2Suz.2 階數 3 子群的正規化子。
25+10+20.(S3 × L5 (2))
S3 × Th 階數 3 子群的正規化子；含一 Sylow 31 - 子群的正規化子 (31:15) × S3 。
23+6+12+18.(L3 (2) × 3S6)
38.O8−(3).23
(D10 × HN).2 階數 5 子群的正規化子。
(32:2 × O8+(3)).S4
32+5+10.(M11 × 2S4)
33+2+6+6:(L3 (3) × SD16)
51+6:2J2:4 階數 5 子群的正規化子。
(7:3 × He):2 階數 7 子群的正規化子。
(A5 × A12):2
53+3.(2 × L3 (5))
(A6 × A6 × A6).(2 × S4)
(A5 × U3 (8):31):2 含一 Sylow 19 - 子群的正規化子 ((19:9) × A5):2 。
52+2+4:(S3 × GL2 (5))
(L3 (2) × S4 (4):2).2 含一 Sylow 17 - 子群的正規化子 ((17:8) × L3 (2)).2 。
71+4:(3 × 2S7) 階數 7 子群的正規化子。
(52:4.22 × U3 (5)).S3
(L2 (11) × M12):2 包含階數 11 子群的正規化子 (11:5 × M12):2 。
(A7 × (A5 × A5):22):2
54:(3 × 2L2 (25)):22
72+1+2:GL2 (7)
M11 × A6.22
(S5 × S5 × S5):S3
(L2 (11) × L2 (11)):4
132:2L2 (13).4
(72:(3 × 2A4) × L2 (7)):2
(13:6 × L3 (3)).2 階數 13 子群的正規化子。
131+2:(3 × 4S4) 階數 13 子群的正規化子；一 Sylow 13 - 子群的正規化子。
L2 (71) 含一 Sylow 71 - 子群的正規化子 71:35。
L2 (59) 含一 Sylow 59 - 子群的正規化子 59:29。
112:(5 × 2A5) Sylow 11 - 子群的正規化子。
L2 (41) 找到此形式的極大子群；此是由於 Zavarnitsine 指出一些先前的沒有這樣的極大子群存在。
L2 (29):2
72:SL2 (7) 一些過去 7 - 區域性子群的表中此被意外地忽略了。
L2 (19):2
41:40 一 Sylow 41 - 子群的正規化子。

參照

約翰・何頓・康威 and , Monstrous Moonshine, Bull. London Math. Soc. 11 (1979), no. 3, 308–339.

約翰・何頓・康威；Curtis, R. T.; ; ; and : Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Oxford, England 1985.

| location=Boston, MA | isbn = 978-0-12-633650-4 | mr=0399248 | year=1976 | chapter=The structure of the monster simple group | pages=113–118}}
| issn=0020-9910 | volume=69 | issue=1 | pages=1–102}}
P. E. Holmes and , A computer construction of the Monster using 2-local subgroups, J. London Math. Soc. 67 (2003), 346–364.

S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh and R. A. Wilson, Computer construction of the Monster, J. Group Theory 1 (1998), 307–337.

, The uniqueness of the Fischer-Griess Monster, Finite groups—coming of age (Montreal, Que., 1982), 271–285, Contemp. Math., 45, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.

, Symmetry and the Monster, Oxford University Press, 2006, ISBN 0-19-280722-6 (concise introduction for the lay reader).

馬庫斯・杜・索托伊，Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader; published in the US by HarperCollins as Symmetry, ISBN 978-0-06-078940-4).