控制理論

控制理論是工程學與數學的跨領域分支，主要處理在有輸入訊號的動力系統的行為。系統的外部輸入稱為「參考值」，系統中的一個或多個變數需隨著參考值變化，控制器處理系統的輸入，使系統輸出得到預期的效果。

控制理論一般的目的是藉由控制器的動作讓系統穩定，也就是系統維持在設定值，而且不會在設定值附近晃動。設定值一般維持不變的控制稱為調節，設定值快速變化，要求跟蹤速度加速度等的控制稱為伺服。

連續系統一般會用微分方程來表示。若微分方程是線性常係數，可以將微分方程取拉普拉斯轉換，將其輸入和輸出之間的關係用傳遞函式表示。若微分方程為非線性，已找到其解，可以將非線性方程在此解附近進行線性化。若所得的線性化微分方程是常係數的，也可以用拉普拉斯轉換得到傳遞函式。對於不能線性化的非線性（如繼電器）可以使用相平面法求解系統響應，也可使用描述函式法近似求解極限環的頻率與振幅。

傳遞函式也稱為系統函式或網路函式，是一個數學表示法，用時間或是空間的頻率來表示一個線性常係數系統中，輸入和輸出之間的關係。

控制理論中常用方塊圖來說明控制理論的內容。

簡介

控制理論是

一個研究如何調整動態系統特性的理論。
科學中跨學科的領域，起源於工程及數學，逐漸的應用在許多社會科學中，例如心理學、社會學（社會學中的控制理論）、犯罪學及金融系統。

控制系統可以視為具有四種機能的系統：量測、比較、計算及修正。這四個機能可以用五種元素來實現：感測器、換能器、傳送器、控制器及最終控制元件。量測機能是由感測器、換能器及傳送器執行，在實務應用上，這三個元素會整合在一個單體內，像是電阻溫度計。比較和計算的機能是由控制器執行，可能是電子式的比例控制（P 控制）、PI 控制、PID 控制、雙穩態的遲滯控制，也可能是可程式設計邏輯控制器（PLC）。早期的控制器也可能是機械式的，像是離心式調速器或是化油器。修正機能是由最終控制元件執行，最終控制元件改變系統的輸出，因此影響操縱或控制的變數。

1.1 範例

車輛的巡航定速系統是讓車輛維持在由駕駛者設定的固定參考速度。此時控制器為巡航定速系統，車輛為受控體（plant），而系統是由控制器和車輛所組成，而控制變數是引擎節流閥的位置．會決定引擎可以產生的功率。

一種最單純的作法是當駕駛者啟動巡航定速系統時，固定引擎節流閥的位置。但是若駕駛者在平坦的路面啟動巡航定速系統，車輛在上坡時速度會較慢，車輛在下坡時速度又會較快。這種的控制器稱為開迴路控制器，因為沒有去量測系統輸出（車輛速度）並且影響控制變數（節流閥位置），因此此係統無法去針對車輛遇到的變化（像路面坡度的變動）去進行調整。

在閉迴路控制系統中，利用感測器量測系統輸出（車輛速度），並將資料送入控制器中，控制器依資料調整控制變數（節流閥位置），來達到維持理想系統輸出（使車輛速度和駕駛者設定的參考速度一致）。此時若車輛在上坡時，感測器會量到車輛的速度變慢，因此會調整節流閥位置，加大引擎輸出功率，使馬達加速。因為有量測車輛速度的回授，因此控制器可以配合車輛速度的變化進行動態調整。因此產生了控制系統中的「迴路」正規化：控制變數影響系統輸出，而再根據量測到的系統輸出去調整控制變數。

歷史

雖然許多控制系統在古代時就有了，但此領域較正式的分析是從離心式調速器的動態分析開始的，物理學家詹姆斯・馬克士威在 1868 年為此撰寫了論文《論調速器》（On Governors） ，其中描述了自激振盪的現象－由於系統時間延遲，使得系統過度補償及不穩定的情形。因此也使得得許多科學家對此議題產生興趣，其中馬克士威的同學將馬克士威的研究結果抽象化，應用在一般的線性系統中，阿道夫・霍維茨在 1877 年也獨立均分析微分方程的穩定性，其結果即為今日的。

動態系統控制的顯著成就是載人的飛行，人類首次成功的載人飛行是由萊特兄弟在 1903 年 12 月 17 日達成的，其卓越之處不只是可以使機翼產生升力（這對當時的研究者是已知的），而是在於可以長時間控制其飛行。若要使飛行時間超過幾秒鐘，對飛機連續、可靠的控制是重要條件之一。

在二次大戰時，控制系統是火控系統、及相關電子裝置的重要組成之一。

有時會用機械的方式來增加系統的穩定性．例如就是安裝在船舶吃水線以下．橫向張開的鰭片。現在的船舶有用陀螺儀控制的活動鰭片，可以調整攻角，抵抗風或浪作用在船上產生的橫搖。

AIM-9 響尾蛇飛彈在飛彈後方有一個小的控制表面，其外面是一個旋轉的圓盤，稱為或滾轉安定翼。圓盤後的氣流會以高速旋轉，若飛彈開始橫搖，圓盤的陀螺力會使控制表面對正氣流，減少橫搖的影響。因此響尾蛇飛彈用一個簡單的機械元件代替一個可能非常複雜的控制系統。

太空競賽也和精準的航天控制有關，而許多領域也越來越常用到控制理論，例如經濟學。

對控制理論有重要貢獻的科學家

許多科學家對控制理論有重要貢獻，包括以下這幾位：

皮埃爾 - 西蒙・拉普拉斯（1749-1827）在他有關機率論的著作中，發明瞭 Z 轉換，現在 Z 轉換用來處理離散控制系統的問題，Z 轉換是拉普拉斯變換的離散等效版本。
亞歷山大・李亞普諾夫（1857–1918）在 1890 年代開始了穩定性理論的研究。
哈羅德・史蒂芬・布萊克（1898–1983）在 1927 年提出了負反饋放大器的概念，在 1930 年代開發了穩定的負反饋放大器。
哈里・奈奎斯特（1889–1976）在 1930 年代發展了針對回授系統的奈奎斯特穩定判據。
理查德・貝爾曼（1920–1984）在 1940 年代發展動態規劃。
安德雷・柯爾莫哥洛夫（1903–1987）在 1941 年共同發展維納–柯爾莫哥洛夫濾波 (1941).

諾伯特・維納（1894–1964）共同發展維納–柯爾莫哥洛夫濾波，並在 1940 年代提出模控學一詞。
（1912–1988）在 1950 年代提出數位控制，並在控制理論中應用加入 Z 轉換。
列夫・龐特里亞金（1908–1988）提出了龐特里亞金最小值定理及起停式控制。

目標和任務

控制的目的是有目標的改變系統行為，使之達到預想的特性。這些特性可能是各種各樣的，如：

公稱值控制：控制系統的輸出值準確的符合公稱值。這是透過定值控制實現的，而公稱值是會改變的。公稱值必須保持不變。
軌跡結果：輸出值遵循一定的動態公稱值軌跡，這可以透過某些用於特定訊號的控制器解決。
干擾排除：輸出值應該排除干擾因素的影響。
活力：就算實際情況不能滿足模型，以上三條也必須存在，這叫做系統的活力。

根據不同的目標，決定控制器是需要不同的方法的。控制的任務已經超出了控制的範疇之外。常見的有：

不穩定系統的穩定化
定值調節
帶有或不帶有動態傳遞的軌跡結果
干擾反饋，用以排除干擾
裝置監測，用以防止和排除故障

為了解決這些問題，數學中的系統理論是必需的。這些方法有可分為，控制器，補償器，和檢測裝置的設計，以及控制環節及整個系統的分析。

自動控制理論的基礎 - 數學

控制系統的研究非常需要依賴應用數學的使用，在理論分析過程中，數學扮演了一個相當重要的角色。實際上在自動控制系統在發展過程中，必須先作理論的分析與研究，然後才作最後的設計，如此才能夠獲得合理的預期及可靠的結果。因此，在學習自動控制系統之前，必須需要具備相當的數學基礎，方能獲得學習上的突破。

在控制系統的研究中，所需具備的數學基礎包括有微分方程式、線性代數、拉普拉斯變換、複變函式、z 變換等等。另一方面，由過去的單一輸入單一輸出（SISO）簡單系統，發展至多輸入多輸出（MIMO）複雜系統，因此，現代控制的發展則需要更精深的數學基礎，除了上述的數學外，現代控制理論是建立在矩陣理論、集合理論等等的高等數學基礎之上。

系統模型

在控制系統的分析與設計中，建立模型是首要的步驟。模型可以是一個物理模型，也可以是一個數學模型，或是一個圖示模型。

通常一般只有在工程實務系統中才可能使用物理模型，例如，風動實驗室中的縮小比率之汽車或飛機模型均屬於靜態物理模型，而飛行模擬實驗室中的六自由度飛行模擬器則屬於動態物理模型。至於數學模型或是圖示模型則是建立於系統的理論基礎上，以方便系統的分析與設計。

線性常微分方程是時域內的基礎的連續模型。透過引入一些變數，我們可以得到狀態空間模型（只含有一階求導），狀態空間模型描述了系統的所有動力學特性，包括其內部無法測得，而且也不是輸出值的量。

對開始的常微分方程和狀態空間模型進行拉普拉斯變換，我們可以得到傳遞函式。這是一個頻域內的表述，只給出了輸出和輸入的關係，但沒有描述系統內部的量。透過拉普拉斯變換，我們有了處理系統的一般方法，這比解微分方程要容易。在自動控制中傳遞函式通常用 G (s) 表示。在多值系統中它是一個矩陣。

開環系統的傳遞函式有所有器件的傳遞函式組成（區間 G (s)，控制器 K (s)）。

導向傳遞函式來自於輸出透過測量器對控制器的反饋。

若我們考察小頻率時的，這時存在控制差。如果，則控制差為零。

伯德圖可使傳遞函式顯而易見。

控制迴路效果分析

穩定性：控制環路的穩定性是系統的一項重要特性，因為非穩定性常常導致系統的損傷（比如飛機的墜毀和鍋爐的爆炸）。穩定性理論方面的重要貢獻者有馬克士威，赫爾維茨等。有很多概念和分析方法來評判控制環路的穩定性，這些構成了穩定性理論的基礎。
標稱值：可以透過傳遞函式來檢驗。當頻率為零時，放大值應該為一。

控制方法

以下的內容是介紹一些可以實現上面控制要求的控制方法：

線性控制設計：所謂的設計方法，一個重要的特性是對於可達到的質量的保證（在 LTI 系統中）。這些在實踐中只是區域性有效的，因為線性系統只是一種抽象和簡化，實際的系統與之多少有些偏差。在擾動模型當中，模型和實際系統的特性頗為一致，前提是偏差離工作點不太大。
線性時不變控制器的統一設計方法：即無論何種控制方法或結構，LTI 系統都能根據所需效能指標和被控物件模型，應用計算機智慧一次性設計。
時間連續性控制
數字控制
非線性控制設計
自動控制系統的計算機自動設計

經典控制理論

經典控制理論從系統的輸入輸出入手，建立二者之間的微分方程關係，再借由拉普拉斯變換將微分方程轉化為代數方程進行分析。經典理論將系統看作黑箱的做法使得它的控制效果受到限制。為了滿足控制要求常常要引入校正模組。

為了克服開迴路控制器的限制，在控制理論中匯入了回饋。閉迴路的控制器利用迴授來控制動態系統的狀態或輸出。其名稱來自系統中的訊息路徑：程式輸入（例如馬達的電壓）影響程式輸出（例如馬達的電流或轉矩），利用感測器量測輸出，再將量測資料送到控制器中處理，結果送回控制器作為輸入訊號之一，因此成為一閉迴路。

相對於開迴路控制器，閉迴路控制器有以下的優點：

干擾抑制能力（像巡航定速中的路面坡度）。
即使在數學模型有一些不確定性的情形下（如模型結構和實際系統不是完全符合，或是模型引數和實際數值不是完全一致），仍有一定程度的效能。
可以穩定不穩定的系統
減少對於引數變動的靈敏度
提昇命令追隨（命令變化時，系統配合命令變化）的效能

有些系統中，同時出現開迴路及閉迴路的控制，此時的開迴路會稱為前饋，目的是為了提昇命令追隨的效能。

PID 控制器是常見的閉迴路控制器架構。

9.1 閉迴路傳遞函式

系統的輸出 y (t) 藉由感測器 F 量測後，和參考值 r (t) 相減，控制器 C 根據參考值和輸出值的誤差 e 調整受控體 P 的輸入 u，如圖所示，這類的控制器稱為閉迴路控制器。

由於只有一個輸入和輸出，此係統會稱為 SISO（單一輸入單一輸出）控制系統。MIMO（多重輸入多重輸出）控制系統是指輸入或輸出不只一個，在實際應用上也很常見，其輸入變數和輸出變數會用表示，而不是單一數值的純量。在分佈參量系統中，向量可能是無限維的，即一般的函式。

若假設控制器 C、受控體 P 及感測器 F 都是線性及非時變的（各模組輸入和輸出的關係不隨時間改變），可以將上述系統用拉普拉斯轉換來分析，因此可以得到以下的關係：

其中為拉普拉斯轉換中的複變數，若要求解 Y (s) 用 R (s) 表示，可得：

表示式即為系統的閉迴路傳遞函式，分子是從 r 到 y 的前饋（開迴路）增益，分母是 1 加上經過回饋迴路的增益．即閉迴路增益，若 ，也就是說在各 s 下，其範數都很大，且，則 Y (s) 近似於 R (s)，此時輸出會緊密的追隨參考輸入。

9.2 PID 控制器

PID 控制器可能是最常用到的控制器，PID 的三個字母分別代表比例、積分和微分三個由誤差值產生控制訊號的方式。若 u (t) 為控制訊號，y (t) 為量測到的輸出，r (t) 為參考輸入，誤差為，則 PID 控制器可以表示為以下的形式：

可以用調整，及 三個引數的方式，來達到較理想的控制器特性，調整引數的過程一般是用試誤法，不太需要對於系統架構的瞭解。一般只用比例可以讓系統穩定，積分項可以抑制步階擾動（常常是程式控制的重要規格），也可以修正穩態誤差，微分項一般是用來調整系統的阻尼係數。PID 控制器是最廣為人知的控制方式，但不適用在一些太過於複雜的系統，尤其是 MIMO 的系統。

將 PID 控制器的方程式進行拉普拉斯轉換，可得：

因此 PID 控制器的傳遞函式如下：

需注意在實務上，PID 控制器中不會使用純微分器，一方面在實務上不可行，而且會放大高頻雜訊，容易造成共振。一般會用相位超前的補償器，或是有低通的微分器。

現代控制理論

經典控制理論以頻域分析為主，而現代控制理論利用時域的狀態空間表示法，將系統中的輸入、輸出及狀態變數之間的關係用一階的微分方程表示。為了抽象化輸入、輸出及狀態變數的數量，這些變數一般會用向量來表示，而微分方程或代數方程（當系統是線性時）則會以矩陣形式表示。狀態空間表示法也稱為時域分析，提供一個方便且簡潔的方式針對多重輸入及輸出的系統建模及分析，在有輸入和輸出時，也可以利用拉氏轉換，將系統所有的資料包括在其中。現代控制理論不同於頻域分析，可以分析非線性或不是零初始條件的系統。狀態空間就是指座標軸為狀態變數的空間，系統的狀態可以表示為狀態空間中的一個向量。

控制理論主題

11.1 穩定性

在控制理論中的穩定性是指控制系統的狀態在特定條件下，可以維持在一定的範圍內，不會發散，而在什麼範圍內才算是穩定則依系統種類而不同。

沒有輸入訊號的動力系統，其穩定性是用李雅普諾夫穩定性來描述，也就是任何初始條件在 附近的軌跡均能維持在 附近
有輸入訊號的線性系統，其穩定性是用有界輸入有界輸出穩定性（BIBO 穩定性）來描述，針對任何有界的輸入訊號，其輸出也是有界。
有輸入訊號的非線性系統，其穩定性是用輸入 - 狀態穩定性（input-to-state stability），結合了李雅普諾夫穩定性及類似有界輸入有界輸出穩定性的表示方式。

為了簡單起見，以下的說明是針對連續時間及離散時間的線性非時變系統。

在數學上，一個因果性的系統若要穩定．其傳遞函式的所有極點的實部都要為負值。考量不同的控制系統，穩定的條件是極點滿足以下的條件：

若是連續時間系統，使用拉普拉斯轉換來求得傳遞函式，極點都要在複數平面的左半平面。
若是離散時間系統，使用 Z 轉換來求得傳遞函式，極點都要在單位圓內。

兩者的差異是因為拉普拉斯轉換的左半平面，在共形對映後會對應單位圓內的區域。

若滿足上述的條件，一系統即為漸近穩定的系統：漸近穩定控制系統中的變數會由其初值開始，持續的趨近於 0，而且不會有一直持續的振盪。一直持續的振盪會出現在極點在虛軸上（連續時間系統）或是其極點大小為 1（離散時間系統）。若一個簡單的穩定系統，其響應不會遞減也不是隨時間變大，也不會震盪，此為臨界穩定：系統的傳遞函式在複數平面原點處有不重複的極點。若傳遞函式中，實部為零的極點，其虛部不為零，表示系統在震盪，也是臨界穩定。

若一離散系統的衝激響應為

則其 Z 轉換後的傳遞函式為

在處有一個極點．因為極點在單位圓內，系統為 BIBO（漸近）穩定。

若其衝激響應為

則其 Z 轉換後的傳遞函式為

在處有一個極點．因為極點在單位圓外，因此係統沒有 BIBO 穩定性。

許多數學工具可以分析系統的極點，其中也有一些是配合圖表分析，像根軌跡、波德圖及奈奎斯特圖。

機械上的調整可以提昇裝置（及控制系統）的穩定性。水手會加入壓艙水來提昇船的穩定性，郵輪會加入防側傾的鰭，從船舷往外延伸 10 公尺，而持續的繞著其中心軸旋轉，產生一個和側傾相反的力。

11.2 可控制性及可觀測性

可控制性和可觀測性分別是輸入和狀態，輸出和狀態之間的性質。是在分析控制系統，決定控制策略或判斷是否可以使系統穩定時所需要的重要性質。

可控制性是指是可以用適當的控制訊號作為輸入，使特定狀態變數的數值變成０，可控性與利用輸入訊號控制狀態向量的能力有關，若一個狀態變數是不可控制的，表示沒有輸入可以調整這一個狀態，若一系統中所有不可控制的狀態向量，其動態特性都是穩定的，則此係統稱為可穩定的（stabilizable）。可觀測性是指可以用輸出的量測及計算得到狀態變數的值，若一個狀態變數是不可觀測的，表示無法確認此一狀態是否穩定，也就無法用此狀態來穩定整個系統。若一系統中所有不可控制的觀測變數都是穩定的，則此係統稱為可檢測的（detectable）。

若以幾何觀點來看，若要控制系統中所有的狀態，那些「不好」的狀態都需是可控制且可觀測的，才能確保閉迴路系統的良好特性。若系統中有一個狀態不是可控制且可觀測的，無法在閉迴路系統中調整其動態特性。若此狀態的動態特性是不穩定的，此特性也會出現在閉迴路系統中，因此整個系統也是不穩定的。在狀態空間轉換到傳遞函式時，不可觀測的極點不會出現在傳遞函式中，因此在一些動力系統分析時，會選擇使用狀態空間表示法。

不可控制或不可觀察的系統，可以用加入致動器或感測器的方式改善。

11.3 控制規格

在控制原理的基礎下，已發展出許多不同的控制策略，從非常通用的（PID 控制器），到針對特殊系統的控制，尤其是機器人或是航空器的巡航定速控制。

一個控制問題會有許多的規格，其中穩定性是必要條件的，不論系統開迴路穩定性如何，控制器需確保在閉迴路下是穩定的。效能不佳或是調整不當的控制器可能使系統變的不穩定，甚至可能比開迴路還要不穩定，這是應盡量要避免的。

有時會希望在閉迴路下有較快的動態特性，若是線性時不變系統，其穩定性及動態特性可以用傳遞函式極點的位置來表示，極點的實部越小，表示有更快的動態特性，一個穩定系統，其極點會符合的條件，但再加上動態特性的需求時，系統極點會符合的條件，其中為一個大於零的定值。

另一個常見的規格是對步階擾動的抑制能力，在受控系統前加入積分器即可達到此一需求，其他種類擾動的抑制能力也可以透過其他的子系統才能達成。

11.4 模型識別及強健性

控制系統一定會有一定程度的強健性。控制器一般是依照一個假設的受控系統模組再進行設計，強健性是指一控制器配合的受控系統和原來假設的系統有一點不同，控制器的特性不會有太大的變化。這個規格在實際的控制器中相當重要，因為很少實際系統會完全符合描述它的微分方程，在選擇系統數學模型時，一般會進行簡化，否則數學模型會非常複雜，甚至無法求得一個完整的模型。

系統識別

確認受控系統的程式稱為系統識別。系統識別可以在離線（off-line）時進行，也就是在不是一般運作的情形下進行，例如可以執行一系列的量測程式，計算系統近似數學模型的引數，一般會是系統的傳遞函式或是矩陣。系統識別是利用系統的輸入和輸出進行，因此無法考慮沒有觀測性的系統動態。有時數學模型會直接由已知的物理方程式開始，例如針對有質量、彈簧及阻尼的系統，其數學方程為。不過即使在設計控制器時已經使用受控系統完整的數學模型，其中用到的引數（稱為標稱引數）也無法絕對的精確，因此當受控系統的引數和標稱引數有少許變化時，控制系統也需動作正常。

有些先進的控制技術會有線上（on-line）的系統識別，也就是在一般運作，控制器正常運作的條件下去計算系統模型的引數，當系統引數發生較大的變化（如機械人手臂釋放一重物，負載變輕），控制器可以自動調整，仍然有正常的效能。

強健性分析

有關 SISO（單一輸入單一輸出）系統的強健性分析，可以利用頻域分析，考慮系統的傳遞函式，利用奈奎斯特圖及波德圖來達到，相關主題包括增益裕度及相位裕度及幅值裕度（amplitudemargin）。但針對 MIMO（多重輸入多重輸出）系統及較複雜的控制系統．需考慮由各控制策略可得到的理論結果，若是需要某一種特別的強健性性質，需考慮可以具有此性筫的控制技術。

限制

在強健性需求中有一個較特別的，就是要求在輸入變數及輸出變數均有限制的情形下，控制系統可以正常運作。在真實世界中的訊號都是有限的．但有可能控制系統送出的訊號超過實際系統的限制，例如要使一個閥以超過其極限速度的速度旋轉，這可能會讓閉迴路系統出現不想要的特性，甚至會使致動器或感測器受損或毀壞。有些特殊的控制技術可以解決此問題，像模型預測控制及反終結（anti-windupsystem），後者包括一個特殊的控制方塊，可以確保控制訊號不會超過限制值，以避免積分終結的情形。

系統分類

12.1 線性系統控制

針對 MIMO 的系統，極點的指定可以用開迴路系統的狀態空間，再將極點放在指定位置，計算對應的回授矩陣。若在複雜的系統中，上述的程式需要用電腦輔助計算才能達到，而且不保證其強健性。而且一般而言無法量到所有的系統狀態，在極點指定的設計時需加入觀測器（observer）的設計。

12.2 非線性系統控制