邏輯斯諦函式

邏輯斯諦函式（logistic function）是一種常見的 S 型函式，其函式影像稱為邏輯斯諦曲線（logistic curve）。簡單的邏輯斯諦函式可用下式表示：

其中：

 為 S 形曲線中點的值；

 為曲線的最大值

 為邏輯斯諦增長率或曲線的陡度。

當趨向於正無窮時，的值逼近 L，而趨向於負無窮時，的值逼近 0。

邏輯斯諦函式應用領域廣泛，包括生物學（特別是生態學）、數理生物學、化學、人口學、經濟學、地球科學、數學心理學、機率、社會學、政治學、語言學、統計學和人工神經網路等。例如，可以模仿一些情況人口增長（P）的 S 形曲線。起初階段大致是指數增長；然後隨著開始變得飽和，增長變慢；最後，達到成熟時增長停止。

歷史

邏輯斯諦函式是於 1838 年至 1847 年間發表的三篇論文中提出的，他在阿道夫・凱特勒的指導下，透過調整指數增長模型，將其設計為人口增長模型。韋呂勒在 1830 年代中期設計了該函式，並在 1838 年發表了一個簡短的說明，然後在 1844 年進一步分析並命名了這個函式（發表於 1845 年）第三篇論文調整了比利時人口增長模型中的修正項。

增長的初始階段近似於指數增長（幾何級數）；然後，隨著增長逐漸飽和，曲線放緩至接近線性，在成熟階段，增長停止。原本選用 “邏輯斯諦”（logistique，logistic）一詞時，韋呂勒沒有解釋其原由，但這可能是為了區別於，並與算術和幾何進行對比。在提出該增長模型前，他討論了算術增長和幾何增長（他稱之為 “對數曲線”，其現代通稱是指數曲線），因此 “邏輯斯諦增長” 可能是透過類比命名的，“邏輯斯諦” 來自古希臘語 λογῐστῐκός（logistikós），是指古希臘數學的一個分支。指實務的計算與會計，而ἀριθμητική（arithmētikḗ）指對於數的理論或哲學研究。然而在英語中，表示算術的詞反而是源自ἀριθμητική 的 arithmetic。}}“邏輯斯諦函式” 中的 “邏輯” 與邏輯學（logic）和軍隊後勤 / 物流（logistics，自法語）均沒有關係。

數學特性

標準邏輯斯諦函式的引數設定為，, ，即

實際上，由於指數函式的特性，函式的取值很快會逼近極限，在很小的實數範圍內（例如−6,+6）的取值就足以計算標準邏輯斯諦函式的極限。

標準邏輯斯諦函式具有如下對稱性：

因此，是奇函式。

標準邏輯斯諦函式可視為雙曲正切函式的偏移和縮放：

或

推導過程如下：

2.1 導數

標準邏輯斯諦函式的導數稱為密度，公式如下：

邏輯斯諦分佈的均值為，方差為。

2.2 積分

標準邏輯斯諦函式的不定積分可用換元積分法求得，令，，去掉積分常數，得到其不定積分：

在人工神經網路中，它稱作線性整流函式，（縮放後）可視為平滑近似的斜坡函式，類似於邏輯斯諦函式（縮放後）是平滑近似的單位階躍函式。

2.3 邏輯斯諦微分方程

標準邏輯斯諦函式是簡單的一階非線性常微分方程的解：

邊界條件為。該方程是邏輯斯諦對映的連續版本。注意倒數邏輯斯諦函式是簡單的一階線性常微分方程的解。

2.4 邏輯斯諦差分方程

是混沌理論的一個模型。這個函式對初始值和引數的變化很敏感，往往微小的變化會引起混沌。如圖所示，當，引數從 0.1 變到 4 時，系統變化很大。

當由 0.1 變到 1 時，曲線很快趨向於 0
當繼續增加，曲線由 0.3 上升到 一個穩定值
繼續增加，曲線出現擺動，有 2 個穩定值。
繼續增加， 曲線相繼出現 4 個、8 個、16 個、32 個.... 穩定值
增加到一個臨界值，系統進入混沌狀態。
再增加，系統突然垮塌。

2.4.1 變化

應用

3.1 生態學：種群增長模型

邏輯斯諦方程的一個典型應用是種群（或人口）增長的通用模型（另見），最初由在 1838 年提出，其中繁殖率與現狀種群數量和可用資源量成正比，其他一切都條件均等。韋呂勒方程是他在閱讀馬爾薩斯的論文《An Essay on the Principle of Population 》後發表的，該論文描述了簡單（無約束條件）指數增長的馬爾薩斯模型。韋呂勒推匯出他的邏輯斯諦方程來描述生物種群的自限性增長。該方程於 1911 年被 A. G. McKendrick 用於描述肉湯中細菌的生長，他使用非線性引數估計的方法進行了實驗測試。在約翰斯・霍普金斯大學的 Raymond Pearl（1879–1940）和 Lowell Reed（1888–1966）於 1920 年使用該方程後，這一方程有時也稱為 Verhulst-Pearl 方程。另一位科學家阿弗雷德・洛特卡在 1925 年再次推匯出該方程，稱其為種群增長律（law of population growth）。

令為種群（人口）規模（生態學經常用代替），代表時間，該模型用以下微分方程表示：

其中常數為種群（人口）增長率，為環境承載力。

方程中，早期的幾乎無阻力的增長率來自。增長率代表種群（人口）數量在一個單位時間內的增長比例。後來，隨著人口的增長，第二項變得幾乎和第一項一樣大，種群內的個體之間開始爭奪某些關鍵資源（例如食物或生存空間）而相互干擾。這種對抗效應稱為 “瓶頸”，由引數代表。競爭會降低總合增長率，直到停止增長（種群 / 人口成熟）。方程的解（為初始種群 / 人口數量）為

其中：

可以說，是的極限值，即經過無限長時間後（或在有限時間內近似），種群（人口）規模所能達到的最大值。須注意，只要初始值，無論取值多少，種群數量都會漸近環境承載力的值，包括的情況下。

生態學中有時稱一個物種是策略或策略的，這是指它們在自然選擇過程形成的生物生命週期策略。選取變數的量綱，使代表以環境承載力單位計的種群數量，代表以的單位計量的時間，得出無量綱微分方程：

3.1.1 時變承載力

由於環境條件會影響環境承載力，因此它可能是隨時間變化的，，得出以下數學模型：

其中一種特別重要的情況是承載力隨時期以為週期變化的情況：

可見，只要初始值，無論具體取值為多少，會逼近一個週期為的週期解。

的典型取值為 1 年，在此情況下，可表示天氣條件的週期性變化。

另一個有趣的一般化情形是考慮承載能力作為關於較早時間的種群數量的函式，以表示種群改變其所處環境的延遲。這就構成了一個邏輯斯諦時滯方程，它具有非常豐富的行為，在某些引數範圍內呈現雙穩定，以及單調衰減至零、平滑指數增長、間斷無限增長（即多個 S 形）、間斷增長或交替到平穩水平、振盪接近穩定水平、持續振盪、有限時間奇異點以及有限時間死亡。

3.2 統計學和機器學習

邏輯斯諦函式在統計學中有多種應用。例如，它們是的累積分佈函式，它們可用於模擬國際象棋棋手在埃洛等級分系統下擊敗對手的機率。以下是一些更具體的案例。

3.2.1 邏輯迴歸

邏輯斯諦迴歸使用邏輯斯諦函式來模擬一個事件的機率如何可能會受到一個或多個解釋變數的影響：一個案例模型如下

其中為解釋變數，和為欲擬合的模型引數，為標準邏輯斯諦函式。

邏輯斯諦迴歸和其他也常用於機器學習。將邏輯斯諦函式推廣至多元輸入情景即為 Softmax 啟用函式，用於。

3.2.2 神經網路

3.3 醫學：腫瘤生長模型

在醫學上，邏輯斯諦微分方程可用於腫瘤生長的建模。這一用法可視為上述的生態學 / 人口學模型的延伸。以表示腫瘤在時間的大小，其變化動態遵循

屬於以下型別：

其中為腫瘤增殖率。

如果採用化療產生對數殺傷效果，則等式修改為

其中為治療引起的腫瘤死亡率。在理想化的極長的治療下，可模型化為週期為的週期函式或（在持續的輸液治療下）常數函式，有

即，如果平均治療引起的腫瘤死亡率大於基線增殖率，則疾病能被根除。當然，這是一個過於簡化的生長和治療模型（例如沒有考慮克隆抗性現象）。

3.4 醫學：傳染病模型

在人群中未被免疫的新型傳染性病原體，通常會在早期呈指數級傳播，有大量易感個體尚未被感染。例如 2020 年初，導致 2019 冠狀病毒病的 SARS-CoV-2 病毒在多國的感染過程中呈現出指數級增長。此後，易感宿主減少（持續感染直到超過群體免疫閾值）或透過社交距離措施減少潛在宿主的被傳染機率等因素，可能使呈指數增長的傳染曲線首先線性化，然後趨緩，達到最大值。

邏輯斯諦函式或相關的函式（例如）通常以描述性或現象學方的式使用，因為它們非常符合早期的指數上升，也符合隨著人群形成群體免疫而最終趨於平穩的趨勢。它與流行病的實際模型不同，後者試圖根據大流行的動態（例如接觸率、潛伏期、社交距離等）來描述感染狀態。不過，一些簡單的模型有邏輯斯諦解。

3.4.1 早期 COVID-19 病例數建模

（又稱 Richards 增長曲線）已應用於對 COVID-19 爆發的早期階段建模。研究者將廣義邏輯斯諦函式擬合到累計感染病例數（稱為傳染軌跡）。文獻中對廣義邏輯斯諦函式有不同的引數化。一種常用的形式是：

其中取實數，為正實數。曲線的靈活性由賦予：(i) 若，則曲線衰減為邏輯斯諦函式，(ii) 若收斂至 0，則曲線收斂至龔珀茲函式。在傳染病模型中，, 和分別代表傳染病最終的規模、感染率和滯後期。見右側的範例的傳染軌跡，其中設定為。

在流行病學建模中，使用類似廣義邏輯斯諦函式的增長函式的好處之一是它相對容易應用於多級模型框架，其中來自不同地理區域的資訊可以彙總在一起​​。

3.5 化學：反應模型

自催化反應中，反應物和產物的濃度遵循邏輯斯諦函式。例如燃料電池陰極中不含鉑族金屬（PGM-free）的氧還原反應催化劑的劣化遵循邏輯斯諦衰減函式，表明這是一種自催化分解機制。

3.6 物理：費米 - 狄拉克分佈

費米子在熱平衡系統的能量狀態上的統計分佈遵循邏輯斯諦函式。特別地，根據費米 - 狄拉克統計，它是每個可能的能級被一個費米子佔據的機率分佈。

3.7 語言學：語言變化

語言學中，邏輯斯諦函式可用於對語言變化進行建模：一種最初處於邊緣地位的新詞隨著時間的推移開始傳播得更快，然後傳播速度隨著其普及而減慢。

3.8 經濟學和社會學：創新擴散

邏輯斯諦函式可用於描繪一項發明創新在其生命週期內擴散的過程.