伽羅瓦連線

在數學中，特別是在序理論中，伽羅瓦連線是在兩個偏序集（"poset"）之間的特殊的對應。伽羅瓦連線一般化了伽羅瓦理論中在子群和子域之間的對應。它們用於各種數學理論和程式設計理論中。

伽羅瓦連線要弱於在涉及到的兩個偏序集之間的同構，但是所有的伽羅瓦連線都引發特定在兩個子偏序集之間的同構。

定義

假定 (A, ≤) 和 (B, ∗和 f ∗是很方便的。注意在函式符號之上放置星號表示下伴隨。使用這種表示重寫上述定義，伽羅瓦連線是 f =(f ∗, f ∗)，使得對於所有的 A 中的 a 和 B 中的 b，我們有

f ∗(a) ∗(b)。

1.1 可供選擇的定義

上述定義常用於很多今天的應用中，特別是在格理論和域理論中。最初從伽羅瓦理論中引出的是一個稍微不同的概念。在這個可供選擇的定義中，伽羅瓦連線是在兩個偏序集合 A 和 B 之間的一對反序（就是說次序倒轉）函式 F:A→B 和 G:B→A，使得

b ≤ F (a) 當且僅當 a ≤ G (b)。

伽羅瓦連線的這兩個概念都存在於文獻中。在這裡，術語（單調）伽羅瓦連線將總是稱謂前者意義的伽羅瓦連線。在應用這個可供選擇的定義，則使用術語反序伽羅瓦連線或次序倒轉伽羅瓦連線。

兩個定義的蘊涵在事實上是非常類似的，因為在 A 和 B 之間的反序伽羅瓦連線就是在 A 和 B 的序對偶 Bop 之間的單調伽羅瓦連線。在後面關於伽羅瓦連線的陳述都可以輕易的轉換成關於反序伽羅瓦連線的稱述。

但是要注意對於反序伽羅瓦連線，談論下伴隨和上伴隨是沒有意義的：情況是完全對稱的。

例子

2.1 伽羅瓦理論

激發伽羅瓦連線的例子來自伽羅瓦理論：假設 L /K 是域擴張。設 A 是 L 的包含 K 的所有子域的集合，並按包含排序。如果 E 是這樣一個子域，把保持 E 固定的 L 的域自同構的群寫為 Gal (L /E)。設 B 是 Gal (L /K) 的子群的集合，並按包含排序。對於這樣的一個子群 G，定義 Fix (G) 為由被 G 的所有元素保持固定的所有的 L 元素組成的域。則對映 E Gal (L /E) 和 G Fix (G) 形成了反序伽羅瓦連線。

2.2 序理論

2.2.1 冪集

給出序理論的一個例子，設 U 是某個集合，並設 A 和 B 是按包含排序的 U 的冪集。選出 U 的一個固定子集 L。則對映 F 和 G，這裡的 F (M) 是 L 和 M 的交集，而 G (N) 是 N 和差集 (U \ L) 的並集，形成了一個單調伽羅瓦連線，帶有 F 是下伴隨。在任何 Heyting 代數中能找到其下伴隨由交（下確界）運算給出的類似的伽羅瓦連線。特別是，它存在於任何布林代數中，這裡的兩個對映可以描述為 F (x) =(a x) 和 G (y) =(y a) =(a y)。用邏輯術語說：“蘊涵是合取的上伴隨”。

2.2.2 格

更有趣的伽羅瓦連線例子是在完備性性質文章中描述的伽羅瓦連線。它展示了平常的函式和是在兩個合適的伽羅瓦連線中的伴隨。對於從一個元素集合中指出一個偏序下的最小元素和最大元素的對映同樣如此。進一步的說，甚至完全格可以用存在合適的伴隨作為其特徵。這些思考給出了伽羅瓦連線在序理論中無處不在的印象。

2.2.3 二元關係和零化子

假設 X 和 Y 是任意集合並給出在 X 和 Y 之上的二元關係 R。對於任何 X 的子集 M，我們定義 F (M) = {yY : mRy 對於所有 mM}。類似的，對於任何 Y 的子集 N，我們定義 G (N) = {xX : xRn 對於所有 nN}。則 F 和 G 生成在 X 和 Y 的冪集之間的一個反序伽羅瓦連線，這兩個集合都用集合包含來排序。

線上性代數中的一個重要的特殊情況是零化子（annihilator），它包括了正交補作為特殊情況。

2.3 像和逆像

如果 f : X → Y 是個函式，則對於任何 X 的子集 M 我們可以形成 F (M) = f (M) = {f (m) : mM}，和對於任何 Y 的子集 N 我們可以形成逆像 G (N) = f-1 (N) = {xX : f (x) N}。則 F 和 G 形成了在 X 的冪集和 Y 的冪集之間的單調伽羅瓦連線，二者都用集合包含來排序。在這種情況可有一個進一步的伴隨對：對於 X 的一個子集 M，定義 H (M) = {yY : f-1 ({y}) M}。則 G 和 H 形成了在 Y 的冪集和 X 的冪集之間的單調伽羅瓦連線。在第一個伽羅瓦連線中，G 是上伴隨，而在第二個伽羅瓦連線中它是下伴隨。

在代數物件（比如群）之間的商對映的情況下，這種連線叫做格定理：G 的子群連線到 G/N 的子群，並且在 G 的子群上閉包運算給出為。

2.4 擴張和閉包

選取某個有底層集合的數學物件 X，比如群、環、向量空間等。對於任何 X 的子集 S，設 F (S) 是 X 的包含 S 的最小子物件，就是說 S 所生成的子群、子環或子空間。對於任何 X 的子物件 U，設 G (U) 是 U 的底層集合。（我們甚至可以採用 X 為拓撲空間，設 F (S) 是 S 的閉包，並採用 “X 的子物件” 為 X 的閉合子集。）現在 F 和 G 形成單調伽羅瓦連線，如果集合和子物件按包含來排序。F 是下伴隨。

2.5 覆疊空間

代數拓撲學中，一個路徑連通的空間 X 若有路徑連通的覆疊空間 U，則 U 的基本群會是 X 的基本群的子群。因此由 X 的所有覆疊空間所形成的偏序集，與 X 的基本群的所有子群形成的偏序集之間，形成了反序伽羅瓦連線。更進一步的，對於 X 的萬有覆疊空間，其基本群必為。

性質

下面我們考慮（單調）伽羅瓦連線連線 f =(f ∗, f ∗)，這裡的 f ∗: A → B 是上面介紹的下伴隨。可以立即得出一些有用處和有指導性的性質。透過伽羅瓦連線的定義性質，f ∗(x)≤ f ∗(x) 等價於 x ≤ f ∗(f ∗(x))，對於所有 A 中的 x。透過類似的推理（或簡單的應用序理論的對偶性原理），可以得到 f ∗(f ∗(y)) ≤ y，對於所有 B 中的 y。這些性質可以描述為複合的 f ∗f ∗是 “緊縮” 的，而 f ∗f ∗是 “膨脹” 的（或 “擴張” 的）。

現在如果考慮 A 的任何元素 x 和 y 使得 x ≤ y，則可以明確的上述性質來得到

x ≤ f ∗(f ∗(y))。應用伽羅瓦連線的基本性質，可以推論出 f ∗(x)≤ f ∗(y)。但是這隻證明了 f ∗保持了任何兩個元素的次序，就是說它是單調的。還有，類似的推理產生了 f ∗的單調性。所以單調性不必須明確的包含在定義中。但是提及單調性有助於避免混淆伽羅瓦連線的兩個可選擇的定義。

伽羅瓦連線的另一個基本形式是 f ∗(f ∗(f ∗(x))) = f ∗(x)，對於所有 B 中的 x。我們明顯的可發現

f ∗(f ∗(f ∗(x))) ≥ f ∗(x)

因為 f ∗f ∗是膨脹的。類似的，因為 f ∗f ∗是緊縮的，可以發現

f ∗ f ∗ f ∗ f ∗(x) ≤ f ∗ f ∗(x)≤ x,

它等價於

f ∗(f ∗(f ∗(x))) ≤ f ∗(x)。

這證明了想要的相等性。進一步的，我們使用這個性質推論出

f ∗(f ∗(f ∗(f ∗(x)))) = f ∗(f ∗(x)),

就是說 f ∗f ∗是冪等的。

閉包運算元和伽羅瓦連線

上述發現可總結如下：對於伽羅瓦連線，複合的 f ∗f ∗是單調的（因為是單調函式的複合），膨脹的，和冪等的。這聲稱了 f ∗f ∗事實上是 A 上的閉包運算元。對偶的說，f ∗f ∗是單調的，緊縮的，和冪等的。這種對映有時叫做核心運算元。在 frames 和 locales 的上下文中，複合的 f ∗f ∗叫做 f 誘發的核子。核子誘發 frame 同態；locale 的子集叫做 sublocale 如果它給出自一個核子。

反過來說，在某個偏序集合 A 上的任何閉包運算元 c 都引發一個伽羅瓦連線，其下伴隨為 f ∗，它就是 c 對 c 的像的陪限制（corestriction，就是說作為滿射對映閉包系統 c (A)）。上伴隨 f ∗給出自包含 c (A) 到 A 之中，它對映每個閉合元素到自身，被當作 A 的一個元素。在這種方式下，閉包運算元和伽羅瓦連線被看作是密切關聯的，每個都指定另一個的例項。類似的結論對於核心運算元也成立。

上述思考還證明了 A 的閉合元素（元素 x 帶有 f ∗(f ∗(x)) = x）被對映到在核心運算元 f ∗ f ∗值域內的一個元素，反之亦然。

伽羅瓦連線的存在性和唯一性

伽羅瓦連線的另一個重要性質是下伴隨保持在它們的定義域記憶體在的所有上確界。對偶的說，上伴隨保持所有存在的下確界。從這些性質，我們可立即推論出伴隨的單調性。伴隨函子定理聲稱在特定情況下反蘊涵也是有效的：特別是，在完全格之間的任何保持所有上確界的對映都是伽羅瓦連線的下伴隨。

在這種情況下，伽羅瓦連線的一個重要特徵就是一個伴隨唯一的確定另一個。因此我們可以強化上述陳述來保證在完全格之間的任何保持上確界的對映都是一個唯一的伽羅瓦連線的下伴隨。匯出這個唯一性的主要性質為如下：對於所有 A 中 x，f ∗(x) 是 B 中最小的元素 y 使得 x ≤ f ∗(y)。對偶的說，對於所有 B 中的 y，f ∗(y) 是 A 中最大的元素 x 使得 f ∗(x)≤ y。特定伽羅瓦連線的存在升年個現在分別蘊涵了最小和最大元素的存在性，不管對應的偏序集合是否滿足任何完備性性質。因此，在給出一個伽羅瓦連線的一個伴隨，另一個可以透過這個性質來定義。換句話說，某個任意函式 f 是下伴隨，當且僅當形如 {x ∈ A | f (x)≤ b, b ∈ B} 的每個集合都包含最大元素。還有，這可對偶化到上伴隨。

在程式設計理論中的應用

伽羅瓦連線在程式語言的抽象釋義理論中可被用於描述多種形式的抽象。