分數傅立葉變換

在數學中，分數傅立葉變換（Fractional Fourier transform，縮寫：FRFT）指的就是傅立葉變換（Fourier Transform）的廣義化。近幾年來，分數傅立葉變換除了在訊號處理領域有相當廣泛的應用，其也在數學上被單獨地研究，而定義出如分數迴旋積分（Fractional Convolution）、分數相關（Fractional Correlation）等許多相關的數學運算。

分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 次，其中 不一定要為整數；而做了分數傅立葉變換之後，訊號或輸入函式便會出現在介於時域與頻域之間的分數域（Fractional Domain）。

若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至線性標準變換。

由來

對訊號 做一次傅立葉變換的結果為 ，做兩次傅立葉變換的結果為 ，表示成 ，而當做了 次的傅立葉變換可以寫成一般式 。至此，都以 為整數做考量，當令 即 時，將 的分數傅立葉變換定義為 ，其中 可以不必為整數。

歷史

分數傅立葉變換這個概念，其實最早在西元 1929 年，N.Wiener 就已提出，但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫 50 年，V.Namias在西元 1980 年重新提出（稱之為重發明）這個概念，但是一直到西元 1994 年，才有人真正把分數傅立葉變換用在訊號處理上，此人為L. B. Almeida。詳細歷史：1937 年提出分數傅立葉變換的概念雛形；1980 年 Namias 較明確地提出分數傅立葉變換的數學表示式，並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解 1987 年 Bride & Kerr給出嚴格的數學定義以及性質 1993 年由德國的學者羅曼，土耳其的 Ozaktas 和以色列的 Mendlovic 等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程；Mendlovic＆Ozaktas：漸變折射率 GRIN 介質中光傳播。 A. W. Lohmann:維格納分佈函式和以及透鏡實現，自由空間的光衍射。 1993 年 Ozaktas，羅曼，Mendlovic 等人在光學中全面引入分數傅立葉變換；1995 年 Shih 提出了另外一種分數傅立葉變換的形式；1997 年劉樹田等人根據 Shih 的定義給出了廣義分數傅立葉變換，1999 年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於影像加密研究中；2001 年 Ozaktas 等人出版 “分數傅立葉變換及其在光學和訊號處理中應用” 一書。

定義

第一種定義:

第二種定義:

, 為實數。

當 時 (亦即)，分數傅立葉變換就成了傅立葉變換。

表示法

，則可推廣為；依此類推，表示的次逆變換。

而分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的，且為實數，表示為

，

當是一個整數時則代表傅立葉轉換做次。

例如:

時相當於做一次傅立葉變換，如果在時頻分析 (Time-Frequency Analysis) 圖上，則是對訊號順時針轉 90 度

時相當於做兩次傅立葉變換，如果在時頻分析 (Time-Frequency Analysis) 圖上，則是對訊號順時針轉 180 度，時相當於做三次傅立葉變換，如果在時頻分析 (Time-Frequency Analysis) 圖上，則是對訊號順時針轉 270 度

時相當於做四次傅立葉變換，如果在時頻分析 (Time-Frequency Analysis) 圖上，則是對訊號順時針轉 360 度，## 5 性質

對於任一實數，一個對函式做角度分數傅立葉變換定義為

並且具備以下特性

加法性 (Additivity)。

線性 (Linearity)
整數傅立葉性質 (Integer Orders)

若，其中為一整數則相當於做次傅立葉轉換；

當時，這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義 ，

當時，它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。

若為的整數倍，則餘切函式和餘割函式不會收斂。

有一方法可解決此問題，就是取 limit 讓以上定義變成有一個狄拉克 δ 函式被積分的情況，使得

反轉性質 (Inverse)
交換性 (Commutativity)
結合律 (Associativity)
帕塞瓦爾定理 (Parseval Theorem)

若從時頻分析圖上來看，代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆

定理

的分數傅立葉轉換 的時頻分佈，等同於 的時頻分佈 (維格納分佈，加伯轉換) 順時針旋轉角度 ，用數學式子表示如下:

6.1 維格納分佈 (Wigner distribution function)

假設

(a) 是 的維格納分佈

(b) 是 的維格納分佈

(c) 是 的分數傅立葉轉換

，則

6.2 加伯轉換 (Gabor transform)

假設

(a) 是 的加伯轉換

(b) 是 的加伯轉換

(c) 是 的分數傅立葉轉換

，則

例子一:

對一個加伯轉換後的餘弦函式做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖

例子二:

對一個加伯轉換後的矩形函式做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖

應用

可用分解訊號和濾除雜訊；一般來說分為兩種，一種是在時域 (Time domain) 上，一種是在頻域 (Frequency domain) 上，

這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。

7.1 (一) 時域

假設現在是由兩個訊號組成:

，

和 用數學表示分別如下:

由式子可以很明顯地看出，兩訊號是方波。

若要將這兩個訊號分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個訊號在時域上毫無重疊，便可以直接在時域上將這兩個訊號分開。

則 乘上 時，這個訊號會被保留，這個訊號就被濾掉了。

此作法可成功將這兩個訊號分開。

7.1.1 限制

此種方法的限制為欲分解的訊號必須在時域不能重疊，否則無法成功分解。

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7.2 (二) 頻域

，

，。

可以很明顯地看出和 在時域上完全重疊，因此很難在時域分解這兩個訊號。

此時，可以妥善利用傅立葉轉換將訊號轉到頻域，其在頻域的表示式如下所示:

由可以很明顯地看出，若要將這兩個訊號在頻域上分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個訊號經過傅立葉轉換後，在頻域上完全沒有重疊。

7.2.1 例子

假設 為一個低通濾波器 (Low-pass Filter)

則 乘上 時， 會被保留， 就被濾掉了。

反之，若要保留 而濾掉 ，則可以使用高通濾波器 (High-pass Filter)。

這種把欲處理訊號先轉換到頻域，再做分解的動作，是濾波器設計的常見方法之一。

7.2.2 限制

欲分解的訊號必須在頻域不能重疊，否則無法成功分解。

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7.3 (三) 時頻域分解

 (啁啾雜訊) + 三角波訊號。

三角波訊號 (藍色) 是我們要的訊號，將前面的啁啾 (綠色) 視為雜訊，由圖中可以發現到，

不論在時域或是頻域，皆無法直接將噪音項去除，這是因為和三角波訊號在時域和頻域皆重疊 (如下圖左上、右上)。

因此，對於兩個在時、頻域皆重疊的訊號來說，很難在一維的時域和頻域中將其分解。

但若使用二維的時頻分析，則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的訊號分解。

這是因為兩個在時、頻域皆重疊的訊號其時頻分佈並不一定會重疊。因此，只要這兩個訊號的時頻分佈沒有互相重疊，就可以善用分數傅立葉變換將其成功分解 (如下圖左下、右下)。

比較使用分數傅立葉變換與傅立葉變換濾掉雜訊的效果

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7.3.1 例子一

假設有噪音幹擾，所以接收到的訊號除了原始訊號以外，還包含了雜訊。

用時頻分析方法來處理接收到的訊號，黑色為原始訊號 (signal) 的時頻分佈，而綠色為噪音 (noise) 的時頻分佈，如下圖。

261x261 畫素

現在想把雜訊濾掉，以下探討 3 種方法來還原原始訊號。

方法 1 : 使用垂直的 Cutoff line

若在時頻分佈圖中使用垂直的 Cutoff line ，就相當於在一維時域中，要把訊號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法 1 無法完美重建原始訊號，而會有扭曲的情形發生。

259x259 畫素

方法 2 : 使用水平的 Cutoff line

若在時頻分佈圖中使用水平的 Cutoff line ，就相當於在一維頻域中，要把訊號和噪音分離。

但是由下圖可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。

因此方法 2 也無法完美重建原始訊號，而會有扭曲的情形發生。

270x270 畫素

方法 3 : 使用斜的 Cutoff line

若在時頻分佈圖中使用斜的 Cutoff line ，則可以完美分離訊號和噪音。如下圖。

Cutoff line 的引數包含了 和 ， 是 cutoff line 和縱軸 f-axis 的夾角，而 則是 cutoff line 距離原點的距離。

241x241 畫素

以下示範如何使用分數傅立葉轉換和 Cutoff line 來將噪音濾除:

步驟 (1) 首先決定 cutoff line 和縱軸 f-axis 的夾角

步驟 (2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分佈旋轉 ，使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。

步驟 (3) 算出 後，再利用低通遮罩 (Low pass Mask) 將噪音濾掉。

步驟 (4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 ，將時頻分佈旋轉回原來的位置。

令接收到的訊號為 ，最後得到的訊號為 ，可將以上步驟用數學式子表示如下:

例子二:

假設發射一訊號 s (t)，中間受到雜訊幹擾，最後收到的訊號為 f (t)=s (t)+noise

(a) 發射訊號的時域圖

(b) 接收訊號的時域圖

(c) 發射訊號的韋格納分佈

(d) 接收訊號的韋格納分佈，有由此可見 cross-term 已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分佈更是無法清楚地將訊號分離開來

(e) 發射訊號的加伯轉換

(f) 接收訊號的加伯轉換

(g) 接收訊號的加伯 - 維格納轉換

(h) 濾波器的設計，這邊總共有四條 cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由 cutoff lines 來去除雜訊

(i) 濾波器的設計，這邊總共有四條 cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由 cutoff lines 來去除雜訊

(j) 對 (i) 做分數傅立葉轉換

(k) 利用高通濾波器濾波，把兩條 cutoff lines 設定在低頻

(l) 經過 (k) 濾波器以後

(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號

(n) 發射訊號 (藍色) 和還原訊號 (綠色) 的比較，兩者的 MSE 僅有 0.1128%

由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號

例子三:

一樣假設接收訊號受到了雜訊幹擾

(a) 發射訊號

(b) 接收訊號

(c) 接收訊號的韋格納分

(d) 接收訊號的加伯轉換

(e) 接收訊號的加伯 - 維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條 cutoff lines (藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。

(f) 還原訊號，MSE 僅 0.3013%

比較傅立葉轉換和分數傅立葉轉換

傅立葉轉換

優點：運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演演算法。

缺點：僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。

分數傅立葉轉換

優點：運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度（時域）來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。

缺點：運算複雜度較高。