哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）是數論中存在最久的未解問題之一。這個猜想最早出現在 1742 年普魯士數學家克里斯蒂安・哥德巴赫與瑞士數學家萊昂哈德・尤拉的通訊中。用現代的數學語言，哥德巴赫猜想可以陳述為：

這個猜想與當時歐洲數論學家討論的整數分拆問題有一定聯絡。整數分拆問題是一類討論 “是否能將整數分拆為某些擁有特定性質的數的和” 的問題，比如能否將所有整數都分拆為若干個完全平方數之和，或者若干個完全立方數的和等。而將一個給定的偶數分拆成兩個質數之和，則被稱之為此數的哥德巴赫分拆。例如，

 4 = 2 + 2

 6 = 3 + 3

 8 = 3 + 5

 10 = 3 + 7 = 5 + 5

 12 = 5 + 7

 14 = 3 + 11 = 7 + 7

 16 = 3 + 13 = 5 + 11

 …

換句話說，哥德巴赫猜想主張每個大於等於 4 的偶數都是哥德巴赫數 —— 可表示成兩個質數之和的數。哥德巴赫猜想也是二十世紀初希爾伯特第八問題中的一個子問題。

其實，也有一部分奇數可以用兩個質數的和表示，大多數的奇數無法用兩個質數的和表示，例如：15=2+13、19=2+17，而 23、35 等數則無法用兩質數的和表示。

哥德巴赫猜想在提出後的很長一段時間內毫無進展，直到二十世紀二十年代，數學家從組合數學與解析數論兩方面分別提出瞭解決的思路，並在其後的半個世紀裡取得了一系列突破。目前最好的結果是中國數學家陳景潤在 1973 年發表的陳氏定理（也被稱為 “1+2”）。

哥德巴赫猜想另一個較弱的版本（也稱為弱哥德巴赫猜想）是猜想大於 5 的奇數都可以表示成 3 個質數之和。這個猜想可以從哥德巴赫猜想推出。1937 年，蘇聯數學家伊萬・維諾格拉多夫證明了每個的奇數都可以表示成 3 個質數之和；2013 年，秘魯數學家哈洛德・賀歐夫各特完全證明了弱哥德巴赫猜想。

起源

1742 年 6 月 7 日，普魯士數學家克里斯蒂安・哥德巴赫在寫給瑞士數學家萊昂哈德・尤拉的通訊中，提出了以下的猜想：

任一大於 2 的整數都可以寫成三個質數之和。

上述與現今的陳述有所出入，原因是當時的哥德巴赫遵照的是 “1 也是素數” 的約定。現今數學界已經不使用這個約定了。哥德巴赫原初猜想的現代陳述為：

 任一大於 5 的整數都可寫成三個質數之和。

尤拉在 6 月 30 日的回信中註明此一猜想可以有另一個等價的版本：

 任一大於 2 的偶數都可寫成兩個質數之和。

並將此一猜想視為一定理，但他卻無法證明。今日常見的猜想陳述為尤拉的版本，亦稱為 “強哥德巴赫猜想” 或 “關於偶數的哥德巴赫猜想”。

從關於偶數的哥德巴赫猜想，可推出：

 任一大於 5 的奇數都可寫成三個質數之和

的猜想。後者稱為 “弱哥德巴赫猜想” 或 “關於奇數的哥德巴赫猜想”。若關於偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關於奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。1937 年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和，也稱為 “哥德巴赫 - 維諾格拉多夫定理” 或 “三素數定理”。2013 年，秘魯數學家哈洛德・賀歐夫各特等人將維諾格拉多夫的結論進一步加強，並驗證了較小的奇質數的情況，宣稱完全證明了弱哥德巴赫猜想。

進展

2.1 一百六十餘年的沉寂

證明哥德巴赫猜想相當困難。直至今日，數學家對於哥德巴赫猜想的完整證明沒有任何頭緒。事實上，從 1742 年這個猜想正式出現，到二十世紀初期，在超過 160 年的時間裡，儘管許多數學家對這個猜想進行了研究，但沒有取得任何實質性的進展，也沒有獲得任何有效的研究方法。二十世紀以前對哥德巴赫猜想的研究，僅限於做一些數值上的驗證工作，提出一些等價的關係式，或對之做一些進一步的猜測。1900 年，希爾伯特在第二屆國際數學家大會上提出的著名的二十三個希爾伯特問題之中的第八個問題，就包括了哥德巴赫猜想和與它類似的孿生素數猜想。希爾伯特的問題引發了數學家的極大興趣，但對於哥德巴赫猜想的研究仍舊毫無進展。1912 年第五屆國際數際數學家大會上，德國數論專家愛德蒙・朗道曾經說過，即使要證明每個偶數能夠表示成 K 個質數的和，不管 K 是多少，都是數學家力所不及的。1921 年，英國數學家戈弗雷・哈羅德・哈代曾經在哥本哈根數學會議的一次演講中聲稱：“哥德巴赫猜想的困難程度可以與任何一個已知的數學難題相比”。

2.2 第一次重大突破

哈代和朗道做出以上的看法時，對哥德巴赫猜想的研究已經踏在了突破的門檻上。關於哥德巴赫猜想的第一次重大突破正是出現在二十世紀 20 年代。這次突破與十九世紀至二十世紀初歐洲數學家們在數論與函式論方面取得的輝煌成就是分不開的。尤拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿達馬等人的成果為後來的研究提供了強有力的工具和深厚的積累，打下了牢固的基礎。1920 年左右，英國數學家哈代和約翰・伊登斯爾・利特爾伍德極大地發展瞭解析數論，建立起了 “圓法” 等研究數論問題的有力工具。他們在 1923 年合作發表的論文中使用 “圓法” 證明了：在假設廣義黎曼猜想成立的前提下，每個充分大的奇數都能表示為三個質數的和以及幾乎每一個充分大的偶數都能表示成兩個質數的和。當然，“幾乎每一個” 與 “每一個” 之間仍然有巨大的技術鴻溝。

大約於此同時，挪威數學家布朗提供了另外一種證明的思路。1919 年，他使用推廣後的 “篩法” 證明了：所有充分大的偶數都能表示成兩個數之和，並且兩個數的質因數個數都不超過 9 個。這個方法的思路是：如果能將其中的 “9 個” 縮減到 “1 個”，就證明了哥德巴赫猜想。布朗證明的命題可以被記作 “9+9”，以此類推，哥德巴赫猜想就是 “1+1”。

2.2.1 圓法

注意：以下數學公式中的符號等都表示質數。

從 1920 年開始，哈代和利特爾伍德合作陸續發表了七篇總標題為《“整數拆分” 的幾個問題》的論文，系統地發展出了堆壘數論中一個新的分析方法。這個新方法的思想在 1918 年哈代與印度數學家拉馬努金合寫的論文《組合分析的漸進公式》中就有表現。應用到哥德巴赫猜想上的話，圓法的思想是：對於非零整數，沿著單位圓為路徑的環路積分

當且只當整數的時候，上面的積分才等於 1。因此，如果考慮積分式：

其中，那麼這個積分式實際上等於：

上式中第二項等於 0，所以

方程 “” 的解的個數。

所以，關於偶數的哥德巴赫猜想其實等於是說對於所有大於等於 6 的偶數，單位圓上的環路積分式。同理，關於奇數的哥德巴赫猜想等價於環路積分式：

因此，研究哥德巴赫猜想可以歸結為研究積分式 和 中以質數為變數的三角多項式。哈代和利特爾伍德猜測，當變數接近於分母 “比較小” 的既約分數時，的值會 “比較大”，而當接近於分母 “比較大” 的既約分數時，的值會 “比較小”。也就是說，積分的主要部分其實是單位圓上分母 “比較小” 的那些既約分數附近的積分，其它的部分上積分則沒那麼重要，可以忽略掉了。因此，可以將整個單位圓分成兩個部分：一部分是單位圓上分母 “比較小” 的那些既約分數附近包括的一些區間，哈代和利特爾伍德稱其為 “優弧”（major arc，與平面幾何中的 “優弧” 不同），其餘的部分則稱為 “劣弧”（minor arc）。將整個積分 分成優弧上的積分 與劣弧上積分 之和，然後證明 相比起 可以忽略，而 ，這就是圓法的主要思想。哈代和利特爾伍德在 1923 年的論文中證明了，如果存在正數，使得所有的狄利克雷 L 函式的全體零點都在半平面上，那麼充分大的奇數一定滿足，也就是說能夠表示成三個素數的和。他們還給出了的漸進式：在趨於無窮大的時候，

其中

他們還證明了，在假設廣義黎曼猜想成立的情況下，如果用表示以內無法寫成兩個質數之和的偶數的個數，那麼對任意的正數，都有

這說明了，不能寫成兩個質數之和的偶數佔所有偶數的比例是可以忽略的。

2.2.2 篩法與布朗方法

布朗使用的 “篩法”，其原型為埃拉託斯特尼篩法，早在公元前 250 年就出現在古希臘。原始的篩法可以用來尋找一定範圍內（比如說 2 到 100）的質數：先將第一個數 2 留下，將它的倍數全部劃掉；再將剩餘數中最小的 3 留下，將它的倍數全部劃掉；繼續將剩餘數中最小的 5 留下，將它的倍數全部劃掉…… 以此直至劃無可劃為止。這個過程就好像一遍又一遍的篩掉不需要的數字，故名篩法。布朗用到的推廣篩法也是基於同樣的理念：給定一個需要篩選的集合，一個用來作為篩選標準的 “篩孔”，即一系列質數的集合，以及一個範圍。記

那麼可以定義篩函式：

表示集合裡所有與互質的數的個數，也就是篩去了內小於的質數的所有倍數之後還剩下的數字的個數。

布朗的方法是弱化哥德巴赫猜想中 “質數” 的要求，將它改為所謂的 “殆質數”，即 “由不太多的質因數相乘得到的合數”，布朗在 1919 年證明了，每個充分大的偶數都可以寫成兩個數之和，並且這兩個數每個都是不超過九個質因數的乘積。這個命題可以轉變為用篩函式來表達。假設有充分大的偶數，令集合為，為所有素數的集合，，那麼篩函式就是滿足

的數對的個數。其中的和都與互質，也就是說它們的質因數都要大於等於，因此它們的質因數個數至多有 個。所以對於來說篩函式大於 0，等價於命題 “a+a” 成立。如果能證明的時候篩函式大於 0，就等於證明了關於偶數的哥德巴赫猜想。

2.3 弱哥德巴赫猜想的解決

這兩種思路都在二十世紀中得到了極大的發展。1933 年，蘇聯數學家同樣基於篩法證明了：存在某個整數，使得每個偶數能夠表示成個質數的和，彌補了朗道的遺憾。史尼爾曼給出的的上限是，不久後羅曼諾夫證明了這個不會超過。1936 年，朗道和把結果改進到，一年後義大利數學家又將結果改良為。1956 年，Sharpio 證明了不超過，1956 年尹文霖證明了不超過。1976 年，英國數學家證明了小於等於。

1937 年是弱哥德巴赫猜想的研究取得重大突破的一年。首先，T・艾斯特曼證明了：每個充分大的奇數都可以表示成兩個奇質數和一個不超過兩個質數的乘積的數的和：

 或

同一年，維諾格拉多夫在使用圓法的基礎上，去掉了哈代和利特爾伍德的成果中對於黎曼猜想的依賴。也就是說，維諾格拉多夫證明了：每個充分大的奇數都能表示為三個質數的和，以及幾乎每一個充分大的偶數都能表示成兩個質數的和。維諾格拉多夫的證明使用到了他獨創的方法來對以質數為變數的指數和 做出更細緻的估計，也就是說更好地劃分優弧和劣弧並直接估計出劣弧上的積分可以忽略，而不用到廣義黎曼猜想。唯一的不足是：維諾格拉多夫並沒有給出 “足夠大” 的下限。後來波羅斯特金在 1956 年給出了一個可計算的下限：，也就是說大於的整數都可以寫成三個質數的和。1946 年，蘇聯數學家沿著哈代和利特爾伍德的道路前進，使用函式論的方法同樣證明了維諾格拉多夫的結果。然而，維諾格拉多夫的定理中的下限對於實際應用來說仍然太大了。寫出來有位數字，要驗證之前的偶數都能寫成兩個質數的和，計算量仍然太大。1989 年陳景潤與王元將這個下限減低到，2001 年廖明哲及王天澤進一步將下限降至，但仍然與實際驗證過的範圍有很大距離。而如果假設廣義黎曼猜想正確的話，等人在 1998 年證明了：每個大於等於的奇數都可以寫成三個質數的和（即弱哥德巴赫猜想在廣義黎曼猜想正確的假設下的完全證明）。

1938 年，華羅庚證明了弱哥德巴赫猜想的一個推廣：任意給定一個整數，每個充分大的奇數都可以表示的形式。當 = 的時候，就是弱哥德巴赫猜想。

由於維諾格拉多夫估計 時使用的方法本質上是篩法，所以數學家也希望用類似圓法的分析方法取代它。1945 年，林尼克發展出估計狄利克雷 L 函式零點密度的方法，並用其證明了劣弧上的積分可以忽略，從而用純粹的分析方法證明了弱哥德巴赫猜想。這個證明十分複雜，此後幾位數學家各自提出了更簡化的證明，1975 年沃恩提出了首個不依賴估計 L 函式零點密度的方法，1977 年潘承洞得到了僅利用 L 函式初等性質的簡易證明。

2013 年 5 月 13 日，法國國家科學研究院和巴黎高等師範學院的數論領域的研究員哈洛德・賀歐夫各特，線上發表了論文《論哥德巴赫定理的優弧》（Major arcs for Goldbach's theorem）宣佈徹底證明了弱哥德巴赫猜想。賀歐夫各特生於 1977 年，秘魯籍，2003 年獲得普林斯頓大學博士學位。2010 年開始擔任法國國家科學研究院和巴黎高等師範學院的研究員。2012 年 5 月，賀歐夫各特發表論文《論哥德巴赫問題的劣弧》（Minor arcs for Goldbach's problem）中給出了劣弧積分估計的一個更優上界。在這個更優估計的基礎上，賀歐夫各特在 2013 年的論文中將優弧估計的條件放寬，把維諾格拉多夫定理中的下限降低到了左右，賀歐夫各特和同事 David Platt 用計算機驗證在此之下的所有奇數都符合猜想，從而完成了弱哥德巴赫猜想的全部證明。

2.4 強哥德巴赫猜想：布朗方法與陳氏定理

弱哥德巴赫猜想已經基本得到解決，對於偶數的哥德巴赫猜想，數學家們則主要將希望放在布朗的方法上。而二十世紀中葉，數學家們沿著布朗的思路，得到了不少改進後的成果。1924 年證明了 “7+7”，1932 年艾斯特曼證明了 “6+6”，蘇聯數學家布赫希塔布在 1938 年和 1940 年分別證明了

“5+5” 與 “4+4”。孔恩在 1941 年提出了 “加權篩法” 的概念，能在同樣的篩函式上界和下界條件下取得更好的結果，他在 1954 年證明了 “a+b”（a+b1, p2)，滿足

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相關文化

1978 年，散文家、詩人徐遲應《人民文學》月刊雜誌邀請寫作了以陳景潤證明 “1+2” 命題為主題的報告文學《哥德巴赫猜想》。文章在《人民文學》上發表後，產生了很大反響，也令中國大陸普通民眾對哥德巴赫猜想留下印象。哥德巴赫猜想是中國民間科學愛好者熱衷研究的數學問題之一。在徐遲的報告文學影響下，不少民間科學愛好者對哥德巴赫猜想產生興趣，許多人自稱在此問題上取得了進展，甚至自稱證明了哥德巴赫猜想。中國科學院每年都收到 “幾麻袋” 的討論或聲稱證明了哥德巴赫猜想的來信來稿。不少報章也刊登過哥德巴赫猜想被民間科學愛好者證明的訊息。許多數學家都認為，缺乏專業的學科知識和系統的訓練的人，是無法在哥德巴赫猜想上做出進展的，甚至不可能理解此方面的研究。數學家建議，相關愛好者在研究哥德巴赫猜想之前至少應當 “系統掌握相應的數學知識，以免走不必要的彎路”。中國科學院數學與系統科學研究院研究員陸柱家稱「業餘研究者是無法證明這個猜想（哥德巴赫猜想）的，除非世界一流的數學家，否則無法求證」、「哥德巴赫猜想是一個艱深的數論難題，證明它所需要的數學能力和突出的思維能力，都並非普通數學愛好者所能企及」。中國科學院已宣告不會審理來自科學共同體之外的任何自稱證明了哥德巴赫猜想的文章。
希臘作家阿波斯托洛斯・佐克西亞季斯的小說《彼得羅斯大叔和哥德巴赫猜想》於 2000 年出版。其中講述了一個年輕人和他的叔叔，一個致力於研究哥德巴赫猜想的數學研究者的故事。英國費伯出版社和美國布盧姆斯伯裡出版社在出版這本小說時懸賞一百萬美元，獎勵能在小說出版後兩年之內能夠證明哥德巴赫猜想的人。然而獎金無人獲得。

相關書籍

徐遲介紹陳景潤的報告文學《哥德巴赫猜想》（《人民文學》1978 年第 1 期）