考拉茲猜想

考拉茲猜想（Collatz conjecture），又稱為奇偶歸一猜想、3n+1 猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、烏拉姆猜想或敘拉古猜想，是指對於每一個正整數，如果它是奇數，則對它乘 3 再加 1，如果它是偶數，則對它除以 2，如此迴圈，最終都能夠得到 1。

埃爾德什・帕爾在談到考拉茲猜想時說：“數學還沒準備好應對這樣的問題。” 指出，考拉茲猜想 “是個異常困難的問題，完全超出了當今數學的範圍”。

問題表述

對任意正整數進行以下運算；

若為偶數，則除以 2；
若為奇數，則將其 ×3 再加 1。

這可以定義為模算術函式：

現重複執行該運算，形成一個序列，從任意正整數開始，把每步的結果作為下一步的輸入。可記作：

（即：是遞迴次應用於的值； fi (n)}}）。

考拉茲猜想是：所有正整數最終都會到達 1，即存在 i 使得 fi (n) 1}}。

若猜想為假，表示存在某個初值產生一個不含 1 的迴圈數列，或朝無窮大發散的數列，目前尚未發現這樣的數列。

最小的使的稱為的停止時間，相似地，使 1}} 的最小的稱為的總停止時間。若索引或的其中一個不存在，就稱停止時間或總停止時間分別不存在。

考拉茲猜想認為，所有的總停止時間都是有限的，即所有都有有限的停止時間。

只要是奇數，就是偶數，所以可以使用考拉茲函式的 “快捷” 形式：

這個定義可在過程整體動態不變的前提下，獲得較小的停止時間和總停止時間值。

經驗資料

取一個正整數：

如 = 6，根據上述數式，得出序列 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。（步驟中最高的數是 16，共有 8 個步驟）
如 = 11，根據上述數式，得出序列 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。（步驟中最高的數是 52，共有 14 個步驟）
如 = 27，根據上述數式，得出序列 {27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1}（步驟中最高的數是 9232，共有 111 個步驟）

奇偶歸一猜想稱，任何正整數，經過上述計算步驟後，最終都會得到 1。

數目少於 1 萬的，有著最高步驟數的是 6171，共有 261 個步驟；數目少於 10 萬的，有著最高步驟數的是 77031，共有 350 個步驟；數目少於 100 萬的，有著最高步驟數的是 837799，共有 524 個步驟；數目少於 1 億的，有著最高步驟數的是 63728127，共有 949 個步驟；數目少於 10 億的，有著最高步驟數的是 670617279，共有 986 個步驟。

總停止時間長於任何較小起始值的數字構成如下序列：

1, 2, 3, 6, 7, 9, 18, 25, 27, 54, 73, 97, 129, 171, 231, 313, 327, 649, 703, 871, 1161, 2223, 2463, 2919, 3711, 6171, ...

最大軌跡點大於任何較小起始值的起始值構成如下序列

1, 2, 3, 7, 15, 27, 255, 447, 639, 703, 1819, 4255, 4591, 9663, 20895, 26623, 31911, 60975, 77671, 113383, 138367, 159487, 270271, 665215, 704511, ...

達到 1 的步數為

0, 1, 7, 2, 5, 8, 16, 3, 19, 6, 14, 9, 9, 17, 17, 4, 12, 20, 20, 7, 7, 15, 15, 10, 23, 10, 111, 18, 18, 18, 106, 5, 26, 13, 13, 21, 21, 21, 34, 8, 109, 8, 29, 16, 16, 16, 104, 11, 24, 24, ...

總停止時間最長，且

小於 10 的是 9，經歷 19 步；

小於 100 的是 97，經歷 118 步；

小於 1000 的是 871，經歷 178 步；

小於 104 的是 6171，經歷 261 步；

小於 105 的是，經歷 350 步；

小於 106 的是，經歷 524 步；

小於 107 的是，經歷 685 步；

小於 108 的是，經歷 949 步；

小於 109 的是，經歷 986 步；

小於 1010 的是，經歷 1132 步；

小於 1011 的是，經歷 1228 步；

小於 1012 的是，經歷 1348 步；……

這些數字也是具有指定步數的最低數字，但不一定是唯一的，例如經歷 1132 步的有，還有。

與位數（以 2 為基）相關的總停止時間最小的起始值是 2 的冪，因為經歷次減半才達到 1，且永遠不會增加。

視覺化

支援論據

雖然猜想尚未得到證實，但大多數數學家都認為它是真的，因為實驗證據和啟發式論證都支援這一猜想。

4.1 實驗證據

截至 2020 年，已經用計算機驗證了 268 ≈ 之前的所有初始值，最終都以週期為 3 的迴圈作結。

顯然，這不能證明猜想對所有初始值都正確，因為非常大的正整數可能會出現反例，例如希爾伯特－波利亞猜想的反例。不過，這種驗證可能會產生其他影響，例如我們可以推匯出關於非平凡週期和結構形式的額外約束。

4.2 機率啟發式

若只考慮考拉茲過程產生序列中的奇數，那麼每個奇數平均都是前一個的。（更準確地說，結果的幾何均值是。）這就產生了啟發式論證：每個考拉茲序列從長期來看都傾向於減小，雖然這不能證明不存在其他的週期。這個論證不是證明，因為它假定考拉茲序列是由不相關的機率事件組合而成的。（確實嚴格證明了考拉茲過程的 2 進數推廣在幾乎所有初始值的每個乘法步驟都對應兩個除法步驟）

4.3 停止時間

正如 Riho Terras 證明，幾乎每個正整數都有有限的停止時間。換句話說，幾乎每個考拉茲序列都會到達嚴格低於其初值的點。該證明基於奇偶向量的分佈，並利用了中心極限定理。

2019 年，陶哲軒利用機率密度函式改進了這一結果，證明幾乎所有（對數密度意義上的）考拉茲軌道都在起點的任意發散函式之下。《量子雜誌》在回應這項工作時寫道，陶哲軒 “獲得了幾十年來關於考拉茲猜想的最重要成果之一”。

4.4 下界

Krasikov & Lagarias 在一份計算機輔助證明中證明，對所有足夠大的，區間中最終達到 1 的整數個數至少等於。

迴圈

在這一節中，考慮考拉茲函式的快捷形式

迴圈是由不同正整陣列成的序列，其中 a1}}, a2}}, ..., a0}}。

唯一已知的迴圈是週期為 2 的，稱作平凡迴圈。

5.1 週期長度

非平凡週期的長度至少為。若能證明對所有小於的正整數，考拉茲序列都收斂到 1，則這個下界就會提高到。實際上，Eliahou (1993) 證明了任何非平凡迴圈的週期的形式為

其中、、為非負整數，，。這個結果是基於}} 的連分數展開。

5.2 迴圈

迴圈是可分為段連續子列的迴圈，每個子列由奇數的遞增序列和偶數的遞減序列組成。例如，若迴圈由 1 個奇數的遞增序列和偶數的遞減序列組成，則稱為 1 迴圈。

Steiner (1977) 證明，除平凡迴圈外不存在其他 1 迴圈。Simons (2005) 用 Steiner 的方法證明沒有 2 迴圈。 Simons & de Weger (2005) 將這一證明推廣到 68 迴圈，即 68}} 以下不存在迴圈。Hercher 進一步推廣了這一方法，證明不存在的 k 迴圈。隨著計算機窮舉搜尋的繼續，可能會排除更大的值。

推廣

7.1 在所有整數上迭代

考拉茲猜想的擴充套件是包含所有整數，而不僅僅是正整數。撇開無法從外部進入的 0→0 迴圈，已知迴圈共有 4 個，所有非零整數似乎都會在的迭代下陷入其中：

奇數值用大粗體表示，每個迴圈以其絕對值最小的成員（總是奇數）為先列出。

推廣的考拉茲猜想：在的迭代下，所有整數最終都會落入上述 4 個迴圈或 0→0 迴圈中的一個。

7.2 奇分母有理數的迭代

考拉茲對映可擴充套件到奇分母的有理數。根據分子的奇偶，可將有理數分奇偶，然後對映公式與域為整數時完全相同：偶有理數除以 2，奇有理數乘以 3 再加 1。一個密切相關的事實是，考拉茲猜想可推廣到 2 進整數，其中包含作為子環的奇分母有理數環。

運用 “快捷” 函式時，已知任何週期的奇偶性序列都恰好由一個有理數生成。相反，有人猜想，每個奇分母有理數都有最終迴圈的奇偶性序列（週期性猜想)）。

若奇偶迴圈長為，且在處包含了次奇數，那麼立即週期性地產生奇偶迴圈的唯一有理數：

}{2^n - 3^m}.

例如，奇偶迴圈長度為 7，4 個奇數項分別位於 0、2、3、6 處。它由分數

因為後者可產生有理迴圈

的任何迴圈排列都與上述分數之一相關。例如，迴圈可由下面的分數產生

為實現一一對應，奇偶迴圈應是不可還原的，即無法分割成相同的子迴圈。例如，奇偶迴圈及其子迴圈在化為最小項時與相同的分數相關。

這時，假設考拉茲猜想成立，就意味著、是唯一由正整數（1、2）產生的奇偶性迴圈。

若有理數的奇分母不是 3 的倍數，則所有迭代數都將有相同的分母，透過應用考拉茲函式的推廣，可得考拉茲函式

7.3 2 進數推廣

函式

在 2 進整環上有精確定義，是連續的，且關於 2 進度量是保測的。另外，已知其動態是遍歷的。

定義作用於的奇偶向量函式：

函式是 2 進等距同構。因此，每個無限奇偶性序列都恰好出現一惡搞 2 進整數，所以幾乎所有軌跡在中都是非迴圈的。

考拉茲猜想的等價表述是

7.4 在實數、複數上的迭代

為整偶數時、為整奇數時或（“快捷” 版本）的函式，可將考拉茲對映推廣到實數，這就是所謂的插值函式。一個簡單方法是選取兩個函式、，其中

並將它們作為我們所需值的開關：

.

其中一個選擇是、。這對映的迭代產生了動力系統，Marc Chamberland 對其進行了進一步研究。他證明這個猜想對於正實數不成立，因為存在無窮多個不動點與無窮多單調發散到無窮的軌道。函式有 2 個週期為的吸引子迴圈：、。此外，我們猜想無界軌道集的勒貝格測度為。

Letherman、Schleicher 和 Wood 將研究推廣到複平面，用張伯倫函式求解復正餘弦，並添加了額外項

，其中是任意整函式。由於該式對整實數求值為零，所以推廣函式

是考拉茲對映到複平面的插值。新增額外項將所有整數都變為的臨界點，於是可證明沒有一個整數位於 Baker 域中，意味著任何整數或者是週期性的，或者屬於遊蕩域。他們猜想後者不成立，也就可以匯出，所有整數軌都是有限的。

大部分點的軌道發散，根據發散速度為其著色，便產生左邊的影像。內部黑色區域和外部是法圖元素，之間的邊界是的朱利亞集，有時稱為 “考拉茲分形”。

還有許多方法可以定義復插值函式，如用復指數而非正餘弦：

,

它呈現出不同的動態。例如若，則。對應的朱利亞集（如右圖）由不可數多的曲線組成，稱為 “毛” 或 “線”。

最佳化

8.1 時空權衡

作為奇偶序列一節給出了加快序列模擬的方法。要在每次迭代中向前跳轉步，可將當前數字分成兩部分：（個最小有效位，解釋為整數）和（剩餘位，解釋為整數）。向前跳轉步的演算法是

 3c (b, k) a + d (b, k)}}.

（或更好的）、的值可針對所有可能的位數預先計算，其中是對應用次函式的結果，是迭代過程中遇到的奇數個數。例如，若 5}}，那麼每次迭代都可以向前跳 5 步，方法是分理出數字的 5 個最小有效位，並使用

 (0...31, 5) = {0, 3, 2, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 4, 1, 3, 2, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 3, 1, 1, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 4, 5},

 (0...31, 5) = {0, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 20, 1, 26, 1, 10, 4, 4, 13, 40, 2, 5, 17, 17, 2, 2, 20, 20, 8, 22, 8, 71, 26, 26, 80, 242}.

這需要的預計算和儲存，以將計算速度提高倍，是時空權衡。

8.2 模限制

對於尋找考拉茲猜想反例，這種預計算帶來了更重要的加速。Tomás Oliveira e Silva 在計算證實考拉茲猜想時，使用了這種加速，直到很大的值。對給定的、，若不等式

 3c (b) a + d (b) ka + b}}

對所有都成立，那麼第一個反例（若存在）不是模。例如，第一個反例一定是奇數，因為 n}} 小於；且一定是 3 mod 4，因為 3n + 1}}，小於。對每個不是考拉茲猜想反例的初值，都存在使不等式成立的，因此檢查起始值的考拉茲猜想，相當於檢查整個同餘類。隨著增加，只需搜尋沒有被較小的消除的殘差，將只剩極少數。例如，32 模的殘差只有 7、15、27、31。

錫拉丘茲函式

若為奇整數，則是偶數，所以 2ak}}，}} 是奇數且。錫拉丘茲函式是從正整奇數集指向自身的函式，其中 k}} 。

錫拉丘茲函式的性質有：

對所有，f (k)}}（因為 12k + 4 4 (3k + 1)}}。）
更通俗地說：對所有和奇數， 2 × 3p − 1h − 1}}。（其中是函式迭代記號。）
對所有奇數，}}

考拉茲猜想等價於：對中所有，存在整數使 1}}。

不可判定的推廣

1972 年，約翰・康威證明了考拉茲猜想的一個自然推廣在演算法上是不可判定的。

具體來說，他考慮了以下形式的函式

其中是有理數，其選擇使總是整數。標準考拉茲函式為 2}}、 }}、 0}}, 3}}、 1}}。康威證明

 給定、，迭代序列是否能抵達？

是不可判定的，可以轉化為停機問題。

與考拉茲猜想更接近的是下面這個普遍量化問題：

 給定，迭代序列對所有是否都能抵達？

以這種方式修改條件，可以使問題變得更難或更易解決（直觀地說，正面答案更難證明，但反面答案可能更容易）。Kurtz & Simon 證明，普遍量化問題事實上是不可判定的，在算術階層中甚至更高；具體地說，它是}} 完全的。即使將模數限制在 6840 以限制函式的類別，這難度結果也成立。

這種形式的簡化迭代（所有都為零）在一種名為 FFRACTRAN 的程式語言中得到了正式化。

研究歷史

在 1930 年代，德國漢堡大學的學生洛薩・考拉茲曾經研究過這個猜想。在 1960 年，也研究過這個猜想。但這猜想到目前，仍沒有任何進展。

保羅・艾狄胥就曾稱，數學上尚未為此類問題提供答案。他並稱會替找出答案的人獎賞 500 元。

目前已經有分散式計算在進行驗證。到 2020 年，已驗證正整數到，也仍未有找到例外的情況。但是這並不能夠證明對於任何大小的數，這猜想都能成立。

有的數學家認為，該猜想任何程度的解決都是現代數學的一大進步，將開闢全新的領域。目前也有部分數學家和數學愛好者，在進行關於 “負數的”、“”、“” 等種種考拉茲猜想的變化形命題的研究。

2019 年 12 月，陶哲軒證明只要是一個趨於正無窮的實數列，那麼幾乎對所有的正整數（在對數密度意義下） ，有。

閱讀更多

The Ultimate Challenge: The + 1 }} Problem, 由美國數學學會於 2010 年出版，Jeffrey Lagarias 編輯，是關於考拉茲猜想、處理方法和一般化思想的資料彙編。其中包含兩篇編者所撰的調查論文和 5 篇與其他作者撰寫的論文，內容涉及問題的歷史、一般化、統計方法與計算理論的結果。它還包含有關主題的早期論文的重印本，如洛薩・考拉茲的論文。