序數

數學集合論中，序數（ordinal number，ordinal）是自然數的一種擴充套件，與基數相對，著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。

超限序數是由數學家格奧爾格・康托爾於 1897 年引入，用來考慮無窮序列，並用來對具有序結構的無窮集進行分類。

序數對自然數的擴充套件

自然數可以用來做兩件事：描述一個集合的大小，或者描述序列中一個元素的位置。在有限的世界裡這兩個概念是一致的，當處理無限集合時人們不得不區分這兩者。從大小的概念可以引申出如康托爾描述的 “基數”，而位置的概念則被推廣到這裡將要說明的序數。

基數這一概念可以適用於沒有特殊結構的集合，而序數卻和同一種稱為良序集的特殊集合有著密切的關聯（這種關聯如此密切，以至於一些數學家不去區分這兩個概念）。簡單說來，一個良序集是一個全序集（任意給定兩個元素，可以定義一個大的、一個小的），不存在無窮降鏈（但可以有無窮升鏈），換言之有最小元素。序數可以用來標定任何給定的良序集的元素（最小的元素標定為 0，其後的標定為 1，再後的標定為 2，依此類推），同時也可以用來給出良序集的 “長度”— 沒有用來標定良序集的元素的最小序數就是這個良序集的長度。這個 “長度” 也稱為集合的序型別。

任何一個序數都是透過先於它的所有序數構成的集合來定義：實際上，序數最常見的定義就是把每個序數等同於先於它的所有序數構成的集合。比如，序數 42 就是比它小的序數的序型別，也即，我們把從 0（所有序數中最小的）到 41（42 的直接前驅）這些序陣列成集合 {0,1,2,…,41}，該集合就是序數 42。相反的，任何下閉的序數集合 — 意思是說，任何比該集合中一個序數小的序數都在該集合中 — 就是（或者等同於）一個序數。

目前為止，我們只考慮了有限的序數，即自然數。但無限的序數也是存在的：最小的無限序數是 ω，它是自然數（有限序數）的序型別，或者等同於自然數集（實際上，自然數集是良序的 — 正如所有的序數集合一樣 — 並且自然數集也是下閉的，所以它等同於一個序數，也就是我們定義的 ω）。

或許對序數更清晰的直覺可以透過檢視最初的幾個序數建立起來：如上所述，序數開始於自然數，0, 1, 2, 3, 4, 5, …；然後在所有的自然數之後是第一個無限序數，ω，緊接其後的是 ω+1, ω+2, ω+3，等等（加號的確切含義將會在後面給出，這裡把它看作標籤就可以了）。在這些之後就是 ω・2（也即 ω+ω）, ω・2+1, ω・2+2，等等，緊接著是 ω・3，然後是後來的 ω・4。我們透過這種方式形成的序數集合（形如 “ω・m+n” 的序數，這裡 m 和 n 是自然數），一定有一個序數等同於它：即 ω2。更進一步，我們可以得到 ω3，ω4，等等，以及 ωω 和其後的 ωω²，乃至其後很多的 ε0（這只是給出了幾個最小 — 可數 — 的序數）。我們可以按照如上方式無限的進行下去。

定義

2.1 良序集定義

檔案: Constructing The Natural Numbers.gif

良序集合是在其中所有非空子集都有一個最小元素的有序集合：這等價於（至少在假定依賴選擇公理下）說這個集合是全序的並且沒有無限遞減序列，這樣說可能較直觀。在實踐中，良序的重要性體現於超限歸納法的應用，大致上它是聲稱，若有一性質可從一個元素的前驅傳遞到這個元素自身，那麼該性質必定對（給定良序集合的）所有元素成立。如果一個計算（計算機程式或遊戲）的狀態可以被良序，即在每一個步驟都伴隨著 “更低” 的步驟的方式下，則這個計算必然會終止。

現在我們不想區分兩個良序集合，如果它們只是在 “它們元素的標記” 上不同，或者更加形式的說：如果我們可以把第一個集合的元素和第二個集合的元素配對起來，使得如果在第一個集合中一個元素小於另一個元素，則在第二個集合中第一個元素的配對者也小於第二個元素的配對者，反之亦然。這種一一對應叫做序同構（或嚴格的遞增函式），而這兩個有序集合被稱為序同構的，或相似的（明顯的這是一個等價關係）。假定在兩個有序集合之間存在一個序同構，這個序同構是唯一的：所以，把兩個集合視為本質上同一的，並尋求同構型別（類）的 “規範” 代表，就顯得很自然了。這就是序數所提供的作用，並且它還給任何良序集合的元素提供了規範的標記方式。

所以我們本質上希望定義序數為良序集合的同構類：就是說，作為 “是序同構” 這一等價關係的等價類。但是這涉及一個技術上的困難，事實上這個等價類實在太大了，所以在策梅洛 - 弗蘭克爾集合論中並不是一個集合。但是這不是個嚴重的困難。我們稱序數是在這個類中任何集合的序型別。

2.2 以等價類來定義序數

序數的最初定義，例如在《數學原理》中，把一個良序的序型別定義為，由類似（序同構）於這個良序的所有良序組成的集合。換句話說，序數是良序集合的等價類。這個定義在 ZF 和相關的公理化集合論中必須拋棄，因為這些等價類太大而不能是集合。但是這個定義，在型別論、蒯因的新基礎集合論和有關的系統中仍可使用（就最大序數的布拉利 - 福爾蒂悖論，在這裡它給出了頗令人驚訝的另一種解決方式）。

2.3 序數的馮・諾伊曼定義

與其定義序數為良序集合的等價類，我們可以嘗試定義它為（規範的）代表這個類的某個特定良序集合。因此我們希望把序數構造為特殊的良序集合，使得所有良序集合都同構於一個且只是一個序數。

馮・諾伊曼提議了巧妙的定義，現在被作為了標準：定義每個序數為特殊的良序集合，也就是在它之前的所有序數的集合。形式的說:

一個集合 S 是一個序數，當且僅當 S 中的元素在集合從屬關係下為全序集，並且 S 的任意元素也是 S 的子集。

自然地，這樣的一個集合 S 在集合包含關係下為良序集。這依賴於良基公理：所有非空集合 B 都有一個元素 b 不相交於 B。

按此定義，自然數也是序數。（參見自然數的集合論定義）例如，2 是 4 = {0, 1, 2, 3} 的一個元素，而 2 等於 {0, 1}，因而它是 {0, 1, 2, 3} 的子集。

可以透過超限歸納法證明，所有有限的良序集合都精確的同構於這樣構建的序數的其中一個。

進一步的，所有序數的元素也是序數自身。給定兩個序數 S 和 T，S 是 T 的一個元素，當且僅當 S 是 T 的真子集。此外，要麼 S 是 T 的一個元素，要麼 T 是 S 的一個元素，要麼它們是相等的。所以所有的序數集合都是全序集。事實上：所有的序數集合都是良序集。這個重要結果一般化了 “所有的自然數集合是良序集” 此一事實，並允許我們自由地透過序數使用超限歸納法。

另一個推論是所有序數 S 都是完全由小於 S 的序數作為元素的一個集合。這個陳述以其他序數完全確定了所有序數的內部結構。它被用於證明關於序數的很多其他有用的結果。其中的一個例子是在序數間的次序關係的重要性質：所有的序數集合都有一個上確界，這個序數是透過取在這個集合中的所有序數的並集而獲得的。另一個例子是所有序數的蒐集不是集合的事實。因為所有序數只會是包含其他序數，從而所有序數的蒐集的所有成員也是它的子集。所以，如果這個蒐集是個集合，透過定義它自身將必定是個序數；那麼它將是自身的成員，這跟正規公理矛盾。（請參見布拉利 - 福爾蒂悖論）。所有序數的類通常寫為 "Ord"、"ON" 或 "∞"。

一個序數是有限的，當且僅當它的反序也是良序的，即當且僅當它的所有子集都有最大元素。

假設良序定理，所有集合都可加上良序關係。利用超窮遞迴可證明所有良序集都與某序數同構（即存在雙射使得 a>b ⇔ f (a)>f (b)）。有限集合所有良序關係都是同構的，若有 n 個元素，對應序數就是 n。無限集合有無限的良序關係，如自然數集配以 0b ⇒ f（a）>f（b）。一個集合對應的最小序數，就是這集合的基數。

2.4 其他的定義方式

還有序數定義的其他現代公式化。這些定義在本質等價於上面給出的定義。下面給出其中的一個。一個類 S 被稱為傳遞性的，如果 S 的每個元素 x 是 S 的子集，也就是。序數接著被定義為其成員也是傳遞的傳遞集合。從它得出成員們自身也是序數。注意使用了正規公理（基礎公理）來證實這些序數透過包含（子集）是良序的。

超限歸納法

超限歸納法在任何良序集合中成立，但是它與序數的關係如此重要而值得在這裡重申。

若有一性質可從小於給定序數 α 的序數的集合傳遞到 α 自身，則此性質對所有序數都成立。

就是說，如果 “若 P (β) 對所有 βι) 是一個序數序列（由極限 γ 標定的族）的時候，並且如果我們假定 (αι) 是遞增的（αιι′只要 ιι} 的最小上界，就是說大於這個序列任何一項的最小序數（總是存在）。在這個意義上，極限序數是所有（由自身標定的）更小序數的極限。

因此，所有序數要麼是零，要麼是一個後繼者（有一個良好定義的前驅者），要麼是極限。這個區別是重要的，因為很多透過超限歸納的定義依賴於它。經常地，在透過超限歸納在所有序數上定義一個函式 F 的時候，你定義 F（0），和 F (α+1)（假定 F (α) 已定義了），並接著對極限序數 δ 定義 F (δ) 為對所有 β0 = ω 的勢為，它也是 ω² 或 ε0（都是可數序數）的勢。所以（假定選擇公理）我們把 ω 等同於，除了記號用在寫基數的時候，而 ω 用在寫序數的時候（這一點很重要，因為而）。還有，是最小的不可數序數（要看出其存在性，只需考慮由自然數的良序的等價類組成的集合：每個這樣的良序都定義了一個可數序數，然後是這個集合的序型別），是勢大於的最小序數，以此類推，而是對自然數 n 的極限（任何基數的極限是基數，所以這個極限實際上是在所有之後的第一個基數）。

3.1 共尾性

序數的共尾性是作為的共尾子集的序型別的最小序數。注意一些作者只對極限序數定義或使用共尾性。序數或任何其他良序集合的集合的共尾性是這個集合的序型別的共尾性。

因此對於極限序數，存在著一個極限為的 - 標定的嚴格遞增序列。例如，ω² 的共尾性是 ω，因為序列 ω・m（這裡的 m 在自然數上取值）趨向於 ω²；但是，更加一般的說，任何可數極限序數都有共尾性 ω。一個不可數的極限序數可以有要麼同一樣的共尾性 ω，要麼有不可數共尾性。

0 的共尾性是 0。任何後繼序數的共尾性是 1。任何極限序數的共尾性至少是。

等於其共尾性的序數叫做正規的，並且它總是初始序數。任何正規序數的極限都是初始序數的極限，因而也是初始的，即使它不是正規的（它通常不是）。如果有選擇公理，則對於每個 α，都是正規的。在這種情況下，序數 0, 1, , ，和都是正規的，而 2, 3, ，和 ωω・2 是非正規的初始序數。

任何序數 α 的共尾性都是正規序數，就是說 α 的共尾性的共尾性等同於 α 的共尾性。所以共尾性運算是等冪的。

某些 “大的” 可數序數

我們已經提及了（參見康托爾正規化）序數艾普塞朗數 ε0，它是滿足等式的最小序數，所以它是序列 0, 1, , , ，等的極限。很多序數可以用特定序數函式的不動點的方式定義（如果使得的第個序數叫做，則我們總可以繼續嘗試找到使得的第個序數，“以此類推”，但微妙在於 “以此類推”）。我們可以嘗試有系統的這麼做，而不管用什麼系統來定義和構造序數，總是有一個序數正好位於這個系統所構造的所有序數之上。也許以這種構造系統的方式限定的最重要的序數是邱奇 - 克萊尼序數（儘管名字中有，這個序數是可數的），它是不能以可計算函式表示的最小序數。不過，還是可以在之下定義相當大的序數，它們有的標誌著特定形式系統的 “證明論強度”（例如，標誌著皮亞諾算術的強度）。也可以在邱奇 - 克萊尼序數之上定義更大的序數，這些大序數會在邏輯的多個部分有研究價值。