亨利・龐加萊

龐加萊不等式 龐加萊度量提出術語貝蒂數分岔理論混沌理論相空間布勞威爾不動點定理龐加萊－本迪克松定理龐加萊－林德斯泰特方法龐加萊復現定理龐加萊圓盤模型

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influences = 伊曼努爾・康德

influenced = 喬治・戴維・伯克霍夫

awards = 英國皇家天文學會金質獎章（1900）西爾維斯特獎章（1901）馬泰烏奇獎章（1905）鮑耶獎（1905）布魯斯獎（1911）

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footnotes = 他是的舅舅。

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朱爾・亨利・龐加萊}}（Jules Henri Poincaré，），法國數學家、理論物理學家、科學哲學家與工程師，被譽為 “現代數學的高斯” 、“數學界的最後一位全才” 。

他對數學、數學物理和天體力學做出了很多創造性與基礎性的貢獻。他提出的龐加萊猜想是數學中最著名的問題之一，這個猜想隨著時間的推移成為數學中著名的千禧難題之一，直到 2002 年至 2003 年由佩雷爾曼解決。在他對三體問題的研究中，龐加萊成了第一個發現混沌確定系統的人並為現代的混沌理論打下了基礎。龐加萊比愛因斯坦的工作更早一步，並起草了一個狹義相對論的簡略版。龐加萊群以他命名，他也是公認的代數拓撲創始人之一。

生平

龐加萊生於 1854 年 4 月 29 日在法國南錫的 Cité Ducale 附近的一個有影響力的家庭。其父里昂・龐加萊（1828-1892）是的醫學教授。他的妹妹 Aline 嫁給了精神哲學家。龐加萊家庭的另一個著名成員是他的堂弟雷蒙・普恩加萊，1913 年至 1920 年的法國總統，與亨利一樣是法蘭西學院院士。

1.1 早年

童年時期，他曾有一段時間受支氣管炎折磨，於是接受了他有天賦的母親 Eugénie Launois（1830-1897）的特別教導。他擅長書面作文。

1862 年，龐加萊進入南錫中學。他在南錫中學待了 11 年，每門功課都是優秀生。他的數學老師將他描述為 "數學怪獸"，他在法國學校的頂級中學生中舉行的競賽中贏得了幾次一等獎。他最差的功課是音樂和體育，那些功課上他被稱為「最多中等」；但是，視力不佳和經常心不在焉可以解釋這些困難。1871 年他從學校畢業拿到理科學位。

1873 年，龐加萊以第一名考入巴黎綜合理工學院。他在那裡學習數學，師從夏爾・埃爾米特，成績依然優秀，並於 1874 年發表了第一篇論文《曲面因子特性的新展示》（Démonstration nouvelle des propriétés de l'indicatrice d'une surface）。他畢業於 1875 年或 1876 年，之後繼續在國立巴黎高等礦業學校學習礦業工程課程，同時仍然學習數學，並於 1879 年取得普通工程師學位。

作為巴黎礦業學校的畢業生，他成為了一名礦業公務員（Corps des Mines），出任法國東北的沃蘇勒地區的一名審查員。1879 年 8 月馬尼萊瑞塞礦難發生時他在場，當時 18 名礦工死亡。他以富有他的特點的全面和人道的方式對事故進行了正式調查。

雖然這份吃皇糧的礦業職務受人羨慕，但龐加萊當時只是抱著從大流的思想入行，自己其實不怎麼喜歡專門從事這類範圍過於狹隘的純應用型研究工作，他在這方面也無突出才華。因此，龐加萊也在埃爾米特的指導下準備他的數學理科博士學位，希望重回高校學術圈。他的博士論文屬於微分方程領域。龐加萊設計了一種研究這些函式屬性的新方法。他不僅面對決定這些方程的積分的問題，也是第一個研究它們的普遍幾何屬性的人。他意識到它們可以用於太陽系內自由運動的多體的行為的建模。龐加萊於同年（1879 年）從巴黎大學畢業。

1.2 事業早期

不久（1879 年），他得到了理學院數學初級講師的職位的邀請。

從 1881 年開始並終其一生，他在巴黎大學（索邦大學）任教。他最初被任命為 “分析學指引教師”（maître de conférences d'analyse，數學分析課的教授）。最後，他是物理和實驗力學，數學物理和機率論，以及天體力學和天文學的主席。

同年，龐加萊和寶萊恩・丹德西（Poulain d'Andecy）小姐成婚。他們共有 4 個孩子：Jeanne（生於 1887 年），Yvonne（生於 1889 年），Henriette（生於 1891 年），以及 Léon（生於 1893 年）。

但是他從未為了數學完全放棄他的礦業職業。他在 1881 至 1885 年間作為工程師在公共事業部工作，負責北方鐵路的發展。他最終於 1893 年成為礦業軍團首席工程師，並在 1910 年成為總監。

1.3 三體問題

在 1887 年，瑞典國王奧斯卡二世贊助了一項現金獎勵的競賽以祝賀 60 歲壽誕，目的在徵求太陽系的穩定性問題的解答，這是三體問題的一個變種。龐加萊簡化了問題，提出了 “限制性三體問題”，即三體中其中兩體的質量是如此之大，以至於第三體的質量完全不能對其造成任何擾動。面對這個問題，龐加萊運用了他發明的相圖理論，並且最終發現了混沌理論。雖然龐加萊沒有成功給出一個完整的解答，他的工作令人印象深刻，以至於他還是在 1888 年贏得了獎金。龐加萊發現這個系統的演變經常是渾沌的，意思是說如果初始狀態有一個小的擾動，例如一個體的初始位置有一個小的變動，則後來的狀態可能會有極大的不同。如果該小變動不能被我們的測量儀器所探測，則我們不能預測最終狀態為何。裁判之一，著名的卡爾・魏爾施特拉斯說：“這個工作不能真正視為對所求的問題的完善解答，但是它的重要性使得它的出版將標誌著天體力學的一個新時代的誕生。”

魏爾施特拉斯並不知道他自己的預測有多準確。在龐加萊的論文中，他描述了例如同宿點（homoclinic points）之類的新思想。這個備忘錄會在《數學期刊》（Acta Mathematica）中出版，編輯找到一個錯誤。該錯誤實際上導致了龐加萊一些進一步的發現，它們現在被視為混沌理論的開端。該備忘錄出版於 1890 年晚些時候。

還是在 1887 年，年僅 32 歲的龐加萊當選為法國科學院院士。他在 1906 年成為科學院院長，並於 1909 年入選法蘭西學術院。

1.4 相對論方面的工作

1893 年龐加萊加入法國經度局，參與統整全世界時間的計畫。在 1897 年，他提出將弧度測量改為十進位制、進而把時間和經度十進位制化，該提議最終未被採納，卻促使他開始考慮高速移動的鐘如何互相同步的問題。1898 年，在「時間的測量」一書中，他闡述了相對論原理，沒有機械或電磁試驗能區分物體是處於勻速運動的狀態、亦或是靜止的狀態。

在和荷蘭數學家洛倫茲的合作中，他把時間的物理推向極限來解釋快速運動的電子的行為。1905 年，龐加萊發表了他第一篇關於相對論的論文「論電子動力學」，幷包括關於洛倫茲變換證明的更正。在「論電子動力學」約一個月後，阿爾伯特・愛因斯坦首次推出了成功的相對性模型，此前龐加萊與愛因斯坦並未曾合作。愛因斯坦在 1921 年的題為《幾何與經驗》（「Geometrie und Erfahrung」）的演講稿中，提及了龐加萊並且承認他在相對論上的貢獻：

1.5 事業後期

約 1900 年，龐加萊給出了數學上最著名猜想之一，七大數學世紀難題之一的龐加萊猜想（任何一個封閉的，並能柔軟延展的三維空間裡面所有的封閉曲線如果都可以收縮成一點，則該空間一定能被吹漲成一個三維圓球），於 2006 年 6 月被證實。

在 1899 年和 1904 年，他先後介入了德雷富斯事件的審判。德雷弗斯是法國軍隊的猶太裔官員，被反猶太人聯盟指控叛國。龐加萊批評了虛假的、所謂提供不利於德雷弗斯的證據的科學聲稱。

在 1912 年龐加萊接受了前列腺問題的手術治療，然後因栓塞於 1912 年 7 月 17 日去世。

性格特點

龐加萊的工作習慣被比作從一朵花飛到另一朵花的蜜蜂。龐加萊對他自己的意識工作的方式感興趣；他研究了他的習慣並在 1908 年在巴黎一般心理學學院關於他的觀察給了一個報告。他把他的思考方式和他如何作了幾個發現聯絡起來。

數學家達布宣稱他是 “un intuitif”（直覺的），論證說這可以從他經常用視覺表示來工作顯示出來。他不關心嚴格性，且不喜歡邏輯。他相信邏輯不是發明之道，而是一個結構化想法的方法，而且邏輯限制思想。

2.1 圖盧茲所歸納的特點

巴黎高等學校心理學實驗室的心理學家對研究龐加萊很有興趣。1910 年，圖盧茲寫了一本名為《亨利・龐加萊》(Enquête Médico-Psychologique Sur La Supériorité Intellectuelle. Tome II. Henri Poincaré) 的書。他在書中談及了龐加萊的時間安排和習慣：

他在每天按照同樣時間工作，分成短的時間段。他每天花 4 小時從事數學研究，分別是在上午 10 點到中午之間，以及在下午 5 點到 7 點之間。他在晚上晚些時候讀期刊裡的文章。
他有出眾的記憶力，並能記起他所讀過的文字中任意一項的頁和行。他也能夠記起耳朵聽到的準確詞句。他一生保有這些能力。
他的通常工作習慣是在頭腦裡完全解決一個問題，然後把完成的問題交付紙上。
他左右手都靈活，近視。
他能夠將他所聽到的東西在腦海中以影像化呈現。這個能力在他參加講座時非常有幫助，因為他的視力差到無法看清演講者在黑板上所寫的東西。

但是這些能力被他的一些缺點所平衡了一些：

他體格上笨拙，藝術上無能。
他總是急匆匆的，不喜歡返回來作改變或更正。
他從不在一個問題上花太多時間，因為他相信在研究另一個新的問題時，他的潛意識會同時幫助他繼續整理以前想過的問題。

另外，圖盧茲說許多數學家從前人已經建立的基礎之上工作，而龐加萊是每次從基本原理重新開始的那種。

他的思考方式可以很好地總結如下：。

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科學成就

他做出過貢獻的特定課題包括:

代數拓撲
多復變數解析函式論
交換函式論
代數幾何
數論
三體問題
丟番圖方程的理論
電磁學理論
狹義相對論
在一篇 1894 年的論文中，他引入了基本群的概念。
在微分方程領域，龐加萊給出許多微分方程的定性理論的許多結果，例如龐加萊球面和龐加萊對映。

龐加萊對於應用數學的不同領域做出了許多貢獻，例如：天體力學，流體力學，光學，電學，電報，毛細現象，彈性理論，熱動力學，勢理論，量子理論，相對論和宇宙學。

龐加萊對於代數拓撲的主要貢獻在於《位相分析》（Analysis situs，1895 年），它是第一個對拓撲真正系統的檢視。

科學哲學

龐加萊有著與伯特蘭・羅素和戈特洛布・弗雷格截然不同的哲學思想。羅素和弗雷格相信數學是邏輯的一個分支，龐加萊對此強烈反對。他認為直覺（intuition）才是數學的生命。龐加萊在他的書《科學與假設》（ La Science et l'Hypothèse）中提出了一個有趣的觀點：

龐加萊相信算術是一個綜合科學。他認為皮亞諾公理不能非迴圈的用歸納法證明，所以得出結論說算術是先驗的、綜合的，而不是演繹的。龐加萊進一步說明，因為數學不是演繹的，因此它不能從邏輯中推匯出來。他的觀點和康德的一致。但是龐加萊不是和康德在哲學和數學的所有分支中觀點相同。例如龐加萊認為，在幾何中，非歐幾何的結構可以解析（演繹）的得到。

著作

5.1 科學

他出版了兩本重要著作，使得天體力學建立在嚴格的數學基礎之上：

《天體力學新方法》ISBN 1-56396-117-2（Les méthodes nouvelles de la méchanique céleste，3 卷，1892-99；英語譯本，1967 年）
《普通天文學》(Cours d'astronomie générale，1907 年)
《天體力學課程》（Leçons de mécanique céleste，3 卷，1905-10 年）

他也是數學和物理的通俗作家，並寫了多本給一般大眾的書。

5.2 科學哲學

在通俗寫作中，他透過如下作品幫助建立了對科學最基本的流行定義和看法：

《科學和假設》（La Science et l'Hypothèse，1902 年）
《科學的價值》（La Valeur de la Science，1905 年）
《科學和方法》（Science et Méthode，1908 年）
《最後的想法》（Dernières pensées，Ernest Flammarion 版，巴黎，1913 年）

評價

德國領袖數學家菲利克斯・克萊因曾是龐加萊在複分析領域（尤其是自守函式論方向）的競爭對手。前者評價後者說：“... 龐加萊成了法國數學家的公認的主要代表，得到廣泛的承認和尊崇，成為祖國的光榮... 我試著來刻畫作為數學家的龐加萊。他的多產與多方面的才能是非同尋常的，使人想到柯西。甚至他的晚年，他掌握來自精確科學的不論哪個部門的問題，都是輕而易舉，而且創造性地變換它們，處處都指出新的途徑。毫無疑問，他的多方面的才能，部分地應該歸功於他受到了鞏固地精巧配合起來的法國教育系統的徹底的教育。在這種教育之下，要求從早年起就從各個方面來掌握整個數學的各個部門 —— 這與我們在德國的情況頗為不同... 在個人關係上，龐加萊沒有架子，善於與人共事，但是接納別人的多，與人交流的少。龐加萊屬於真正天才的那種人，處處都能一眼看中要害。對於他，幾何和分析是同樣得到發展的，發現的才能和證明的才能是均衡的。他只是忽略了數學的真正的應用，這一點與阿基米德、牛頓和高斯這樣的研究者恰成對照。後幾位還能同時處理實驗和量度，所以我認為他們的成就比龐加萊更高。自然，龐加萊也有不足之處。像柯西一樣，他發表東西很快，因此對形式不甚關心。說真的，在他第一批來勢如疾風驟雨的文章中，就不乏急就章，甚至有許多錯誤與誇大之處。但是，另一方面，他又逐漸地發展起來一種才氣橫溢而且流暢的風格，再加上充溢了豐富的深刻思想，使得他的著名的數學 - 哲學著作大獲成功。”

榮譽

職位

1908 年當選法蘭西學院院士（第 24 席）

獎項

英國皇家天文學會金質獎章（1900 年）
布魯斯獎（Bruce Medal）（1911 年）

以他命名

月球上的龐加萊火山口
小行星：小行星 2021（龐加萊星）
大學：龐加萊大學