葉狀結構

里布葉狀結構的 2 維截面

里布葉狀結構的 3 維模型

微分幾何中，葉狀結構（foliation）是 n - 流形上的等價關係，等價類是連通單射浸入子流形，都具有相同維度 p，以實座標空間的分解為標準嵌入子空間的陪集為模型。等價類稱作葉狀結構的葉（leaf）。若要求流形和 / 或子流形具有（類的）分段線性、微分或解析結構，就可分別定義分段線性、微分、解析葉狀結構。在最重要的類微分葉狀結構中，通常 r ≥ 1（否則就是拓撲葉狀結構）。p（葉的維度）稱作葉狀結構的維度，稱作其餘維數。

在數學物理學家關於廣義相對論的一些論文中，“葉狀結構” 用於描述：相關的洛倫茲流形（(p+1) 維時空）分解為 p 維超平面，指定為梯度處處不為零的實值光滑函式（標量場）的水平集；這光滑函式通常被假定為時間函式，梯度處處類時間，因此其水平集都是類空間超平面。為與標準數學術語保持一致，這些超平面通常稱作葉狀結構的葉。注意，雖然這情形確實構成標準數學意義上的餘維 - 1 葉狀結構，但這類例子是全域性平凡的。雖然（數學）餘維 - 1 葉狀結構的葉區域性上總是函式的水平集，但一般不能在全域性這樣表達，因為葉可能無限多次透過區域性平凡化座標圖，葉周圍的完整也可能阻礙葉的全域性一致定義函式的存在。例如，雖然 3 - 球面有一個由里布發現的餘維 1 - 葉狀結構，但閉流形的餘維 - 1 葉狀結構不能由光滑函式的水平集給出，因為閉流形上的光滑函式必然在最值點有臨界點。

葉狀結構好比是一種給流形穿的條紋織物的衣服。在流形的每個足夠小的片上，這些條紋給了流形一個區域性乘積結構，不需在區域性區域之外一致（不用有良定義的整體結構）：沿著一個條紋走足夠遠，可能回到不同的鄰近的條紋。

葉狀圖與圖冊

為給葉狀結構下精確定義，需先定義一些輔助元素。

3 維葉狀圖（foliated chart），n = 3、q = 1。斑（plaque）是 2 維的，橫截（transversal）是 1 維的。

中的矩鄰域是形式為的開子集，其中是第 i 個座標軸上（可能無界）的相對開區間。若具有形式，則稱 B 具有邊界

在下面的定義中，座標圖（coordinate chart）被認為是在，允許流形具有邊界和（凸）角的可能。

n - 流形 M 上餘維為 q 的葉狀圖（foliated chart）是，其中是開集，是微分同胚，是中的矩鄰域，是中的矩鄰域。集合，其中稱作這葉狀圖的斑（plaque）。，集合稱作葉狀圖的橫截（transversal）。集合稱作 U 的切邊界（tangential boundary），稱作 U 的橫截邊界（transverse boundary）。

葉狀圖是所有葉狀結構的基本模型，斑就是葉。表示 “B - 切”，表示 “B - 截”。還有多種可能。若都有空邊界，則葉狀圖就建模了無界 n - 流形的餘維 - q 葉狀結構。若其中一個矩鄰域有界，則葉狀圖建模了有界無角 n - 流形的葉狀結構的各種可能性。具體來說，若，則是斑之並，斑表示的葉狀結構切於邊界。若，則是橫截之並，葉狀結構橫截於邊界。最後，若，則建模了葉狀流形（foliated manifold），角分開了切邊界與橫截邊界。

(a) 與邊界相切的葉狀結構； (b) 與邊界相截的葉狀結構； (c) 角將切邊界與橫截邊界隔開的葉狀結構。

n - 流形 M 上餘維為 q 的類葉狀圖冊（foliated atlas）是餘維為 q 的葉狀圖的 - 圖冊，只要 P、Q 在的不同圖中都是斑，P ∩ Q 在 P、Q 中都是開的，它們就是相干葉狀結構（coherently foliated）。

重新表述相干葉狀圖的有效方法是將寫作：

常寫作，其中

在上，座標公式可改寫為

的每個斑都會遇到的 2 個斑。

是相干葉狀結構這一條件意味著，若是斑，則的連通分量位於的（可能不同的）斑中。等價地，由於的斑分別是橫座標的水平集，都有鄰域，其中公式

與無關。

葉狀圖冊的主要用處是將重疊的斑連線起來，形成葉狀結構；上述一般定義顯得有點笨拙，一個問題是，的斑可以與多個的斑相遇。甚至可能出現，一個圖的斑與另一圖的無窮多個斑相遇。不過，如下所示，假設情形更規則，也不失一般性。

若是葉狀圖冊，則 M 上兩具有相同餘維和光滑度的類葉狀圖冊是相干的：。葉狀圖冊的相干是等價關係。

規則葉狀圖冊中的圖。

上面定義的開集上的斑與橫截也是開的。不過，我們也可以談論閉的斑與橫截：若都是葉狀圖，使得（U 的閉包）是 W 的子集，；則，若可知，寫作，將微分同胚地帶到

符合以下條件的葉狀圖冊稱作規則的（regular）：

是葉狀圖的緊子集，且；
覆蓋是區域性有限的；
若都是葉狀圖冊的元素，則每個閉斑的內部與最多與中的 1 個斑相遇。

根據性質 (1)，座標延伸到上的座標，可以寫成性質 (3) 等價於要求：若，橫座標變化獨立於即

有公式

類似論斷也適於開圖（無覆蓋線）。橫座標對映可視作浸沒

公式可視作微分同胚

它們滿足上迴圈條件，即，在上，

尤其是，

用上述關於相干性和規則性的定義，可證明每個葉狀圖冊都有規則的相干細化。

葉狀結構的定義

根據實現葉狀結構的方式，有幾種不同的定義。最常見方式是透過流形分解，得到

透過座標函式分解

定義 n 維流形 M 的 p - 維類葉狀結構是將 M 分解為不交連通子流形的並，稱作葉狀結構的葉（leaf），具有如下性質：M 的點都有鄰域 U 和區域性類座標系，使得對每片葉，的組分都由方程組描述。則，葉狀結構記作

葉的概念可以讓我們直觀地思考葉狀結構。若用稍微幾何化的定義，n 維流形 M 的 p 維葉狀結構也許可簡單視作 M 的逐對不交、連通浸沒的 p 維子流形（葉狀結構的葉）的集合，使得對點，都有圖，其中 U 同胚於，包含的 x 使得對每片葉，與 U 相遇或為空集或為子空間的可數集，其在中的像下是前 n-p 個座標為常數的 p 維仿射子空間。

葉狀結構區域性上都是浸沒，允許下列定義

定義 令 M、Q 是 n 維流形，q≤n，並令是浸沒，即假設函式微分矩陣（雅可比矩陣）的秩為 q，則據隱函式定理，ƒ在 M 上誘導了餘維為 q 的葉狀結構，其中的葉定義為

這定義描述了 n 維流形 M 的 p 維葉狀結構，是由圖（chart）與下列對映覆蓋的：

這樣，對重疊對，轉移函式定義為

形式為

其中 x 表示前個座標，y 表示後 p 個座標（co-ordinates），即

將轉移函式拆分為，作為浸沒的一部分完全類似於將拆分為，作為規則葉狀圖冊定義的一部分。這使得可以用規則葉狀圖冊定義葉狀結構成為可能。為此，必須首先證明，餘維度為 q 的規則葉狀圖冊都與唯一的餘維度為 q 的葉狀結構相關聯。

正如證明所示，葉狀結構的葉是長度 ≤ p 的斑鏈的等價類，也是拓撲浸入豪斯多夫 p 維子流形。接著，我們將證明葉上斑的等價關係可用相干葉狀圖冊的等價來表示，即它們與葉狀結構的聯絡。更具體地說，若是 M 上的葉狀圖冊、且若與葉狀結構相關聯，則當且僅當也與相關聯時，相干。

現在很明顯，M 上的葉狀結構與葉狀圖冊間的關聯關係產生了 M 的葉狀結構集同葉狀圖冊的相干類集之間的一一對應，換句話說，M 上餘維為 q 的類葉狀結構是餘維為 q 的類葉狀圖冊的相干類。據佐恩引理，葉狀圖冊相干類顯然包含唯一的最大葉狀圖冊。於是，

定義 M 上餘維為 q 的類葉狀結構是 M 上餘維為 q 的最大葉狀 - 圖冊。

實踐中，通常用較小的葉狀圖冊表示葉狀結構，通常還要求是規則的。

在圖中，條紋與別的圖上的條相匹配。這些子流形在圖之間拼接成最大連通單射浸入子流形，就是葉狀結構的葉（leaf）。

若縮小圖，可以寫成，其中與斑同構，的點引數化了中的斑。若擇，則是的子流形，與每個斑恰交一次，這叫做葉狀結構的區域性橫截面。注意，由於單值性的原因，全域性橫截面可能不存在。

r = 0 的情形比較特殊。實踐中出現的葉狀結構通常是 “光滑葉”。更確切地說，是以下意義的類：

定義 若葉狀圖冊的相應相干類包含規則葉狀圖冊，使得座標變換式

屬於類，但在座標中是類，其階數≤r、與的混合偏導數在座標中是類，則稱葉狀結構屬於類。

上述定義是所謂 “葉狀空間” 的更一般概念。我們可以放寬橫截的條件為的相對緊開子集，允許橫座標在更一般的拓撲空間 Z 中取值。斑仍是的相對緊開子集，橫座標公式的變化是連續的，在座標中屬於類，其階數 ≤r 、與的混合偏導數在座標中連續。一般要求 M、Z 為區域性緊可測第二可數空間。這似乎是很狂野的推廣，但在一些情形下很有用。

完整性

令是葉狀流形（foliated manifold）。設 L 是的葉，s 是 L 中的路徑，我們感興趣的是 M 中 s 的鄰域中葉狀結構的行為。直觀地說，在葉上可以沿路徑 s 行走，同時關注附近所有葉。在他（以下寫作 s (t)）行走時，一些葉可能會 “掉落”、變得不可見；另一些可能會突然進入可視範圍，漸漸接近 L；還有些可能會以接近平行的方式跟隨 L，或垂直地打轉之類。若 s 是環路，則隨著 t 增大，s (t) 會反覆回到同一個點 s (t0)，每次都會有更多葉螺旋狀地進入或離開視野。這種行為經過適當的形式化，叫做葉狀結構的完整性（holonomy）。

完整性在葉狀流形上有多種具體實現方式：葉狀叢（foliated bundle）的總完整群、一般葉狀流形的完整偽群、一般葉狀流形的虧格完整廣群、葉的虧格完整群、葉的無窮小完整群。

3.1 葉狀叢

最容易理解的完整性是葉狀叢的總完整性，這是龐加萊對映概念的推廣。

橫截面（cross section）N 與第一回歸對映（first return map）f，其中

“第一回歸對映” 來自動力系統理論。令是緊 n - 流形上的非奇異流。應用中，可以想象 M 是個迴旋加速器或流體的閉合迴路。若 M 有界，則假定流與界相切。流生成了 1 維葉狀結構。若知道流的正方向，但不知道其他引數（軌跡形狀、速度等），則稱底葉狀結構（underlying foliation）有向。假設流有全域性橫截面 N，即 N 是 M 的 n-1 維緊正合嵌入的子流形，葉狀結構垂直於 N，每條流線都與 N 相遇。由於 N 的維度與葉的維度是互補的，橫截性條件是

令，考慮 M 中所有序列的所有堆積點的 ω- 極限集合 ω(y)，其中為無窮大。可以證明，ω(y) 是緊非空的，是流線的並。若則有值使得，由此可得

由於 N 是緊的，橫截於 N，因此集合是單調遞增序列，併發散。

當變化，令，這樣定義一個正函式（第一回歸時間），使得

定義這是對映。若流反向，則完全相同的構造會得到逆的；所以。這個微分同胚是第一回歸對映，τ 稱作第一回歸時間。雖然第一回歸時間取決於流的引數化，但 f 顯然只取決於有向葉狀結構。可以將流重引數化，使其保持非奇異、是類，且方向不翻轉，從而使

流有橫截面 N 的假設是很受限的，意味著 M 是上纖維叢的總空間。事實上在上，可將定義為以下條件生成的等價關係：

等價地，這是加法群 Z 在上的作用的軌等價，定義如下

f 的對映圓柱定義為流形

由第一回歸對映 f 的定義與第一回歸時間的假設，可立即得出對映

流的定義可誘導一個規範微分同胚

若記，則到 R 的投影誘導了對映

使 M 變為圓上纖維叢的總空間。這只是到的投影。葉狀結構橫截於這叢的纖維，限制到每片葉 L 的叢投影 π 是覆蓋對映，這就是葉狀叢（foliated bundle）。

以的等價類為基點，就是原橫截面 N。對上以為基點的每個環路 s，同倫類的唯一特徵是。環路 s 提升到每條流線中的一條路徑，很明顯提升始於、終於。微分同胚也用表示，稱作環路 s 的總整體性。由於只取決於 s，因此定義了同胚

稱作葉狀叢的總整體同胚。

更直觀地運用纖維叢，令是餘維為 q 的葉狀 n - 流形，令是纖維叢，具有 q 維纖維 F 與連通基空間 B。假設所有這些結構都屬於類，若 r = 0，B 支援一個結構。由於 B 上的最大圖冊都包含子圖冊，因此假設 B 如所期望那般光滑並不失一般性。最後，，假設 x 有連通開鄰域，和區域性平凡化

其中 φ 是微分同胚（若 r = 0 則是同胚），將帶到積葉狀結構。其中，是葉為的連通組分的葉狀結構，L 是的葉。這是類 “葉狀叢”（foliated bundle）的一般定義。

垂直於 π 的纖維（可以說是垂直於纖維的），π 到的每片葉 L 的限制是覆蓋對映。特別是，每條纖維都與的每片葉相遇。纖維是的橫截，與流的橫截完全類似。

葉狀結構橫截於纖維不能保證葉是 B 的覆蓋空間。這個問題的一個簡單版本是的一個葉狀結構橫截於纖維

但有無限多葉缺失了 y 軸。在相應的影像中，“有箭頭的” 葉以及它們上面所有的葉都漸進於 x = 0 軸。一般稱這種葉狀結構為相對於纖維是不完備的，即當引數接近某個，一些葉 “奔向無窮大”。更確切地說，可能有葉 L，和一條連續路徑使得，但在 L 的流形拓撲中不存在。這類似於不完備流，某些流線會在有限時間內發散。雖然這樣的葉 L 可能在別處與相遇，但不能均勻覆蓋的鄰域，因此不可能是 B 在 π 下的的覆蓋空間。F 是緊的時，對纖維的橫截性確實保證了完備性，於是是葉狀叢。

B 上有圖冊，包含開連通座標圖，以及平凡化，將帶到積葉狀結構。置，並記，其中（濫用符號）表示是將與規範投影組合而得的浸沒。

圖冊的作用類似葉狀圖冊。的斑是的水平集，這一族斑透過，與 F 相同。由於預設了 B 支援某個結構，據懷特黑德定理，可在 B 上固定一個黎曼度量，擇圖冊為測地凸的。於是，總是連通的。若這個交非空，則的每個斑都正好與的一個斑相遇。然後，透過設下式，可定義一個完整上迴圈（holonomy cocycle） by setting

例子

4.1 平坦空間

考慮 n 維空間，是由前 n-p 個座標為常數的點組成的子空間之積。這可以用一張圖（chart）表示，其基本原理是，葉或斑由列舉。置 n = 3、p = 2，可以類比三維空間：書的 2 維葉由（1 維）頁碼列舉。

4.2 叢

較平凡的葉狀結構例子是積，葉（M 的另一個葉狀結構由給出）。

對流形 F 而言，的平坦 G - 叢是更一般的一類。給定表示，具有單值 ρ 的平坦 - 叢由給出，其中透過甲板變換作用於萬有覆蓋，透過表示 ρ 作用於 F。

平坦叢符合纖維叢的框架。若有流形 F 使得，都有開鄰域 U 使得有同胚（其中 p1 是到第一個因子的投影），則流形之間的對映是纖維叢。纖維叢產生了由纖維組成的葉狀結構，其葉空間 L 與 B 同構，前者是豪斯多夫流形。

4.3 覆蓋

若是流形間的覆蓋對映，F 是 N 上的葉狀結構，則其拉回到 M 上的葉狀結構。更一般地，若對映只是分歧覆蓋（分歧軌跡橫截於葉狀結構），則葉狀結構就可以被拉回。

4.4 浸沒

若是流形的浸沒，則據反函式定理，浸沒的纖維的連通組分定義了 M 的餘維為 q 的葉狀結構。纖維叢是這種型別的一個例子。

不是纖維叢的浸沒的一個例子是

這種浸沒產生了的葉狀結構，在下列作用下是不變的：

其中。的誘導葉狀結構稱作（環空的）2 維里布葉狀結構，或（莫比烏斯帶的）2 維無向里布葉狀結構。它們的葉空間都不是豪斯多夫的。

4.5 里布葉狀結構

定義一個潛沒

其中是 n 維圓盤上的圓柱座標。這浸沒產生了的葉狀結構，在如下 Z 作用下是不變的：

的誘導葉狀結構被稱作 n 維里布葉狀結構，其葉空間不是豪斯多夫的。

對於 n = 2，這給出了實心環面的葉狀結構，可由沿邊界粘合兩個實心環面，來定義 3 - 球的里布葉狀結構。奇數維球的葉狀結構也是明確已知的。

4.6 李群

若 G 是李群、H 是李子群，則 G 就會被 H 的陪集葉化。若 H 在 G 中閉合，則商空間是光滑（豪斯多夫）流形，將 G 轉化為纖維叢，纖維 H、基為。這個纖維叢實際上是主的，具有結構群 H。

4.7 李群作用

令 G 是光滑作用於流形 M 的李群。若作用是區域性自由作用或自由作用，則 G 的軌道定義了 M 的一個葉狀結構。

4.8 線性葉狀結構與克羅內克葉狀結構

若是非奇異（即無處為零）的向量場，則定義的區域性流拼湊在一起，就定義了維度為 1 的葉狀結構。事實上，給定任一點，由於是非奇異的，所以可找到一個關於 x 的座標鄰域，使得

從幾何角度來看，的流線就是水平集

其中所有的由慣例，流形是第二可數的，因此類似 “長線” 這樣的葉異常現象會被 M 本身的第二可數性排除。要求是完全域（例如 M 是緊的），從而要求每片葉都是流線，就可以避開這個難題。

上的線性葉狀結構傳遞到上的葉狀結構。 a) 斜率是有理的（線性葉狀結構）； b) 斜率是無理的（克羅內克葉狀結構）。

2 - 環面上的無理旋轉

環面上的一類重要 1 維葉狀結構來自投影於其上的恆向量場。上的恆向量場

對中所有平移都不變，因此當投影到環面時傳遞到良定義向量場 X。假定 a ≠ 0。產生的上的葉狀結構的葉具有斜率為的平行線，這葉狀結構在平移下也是不變的，並傳遞到 X 產生的上的葉狀結構。

每片葉的形式是

若斜率是有理的，則所有葉都是與圓同胚的閉合曲線。這時，可取。對固定的，中與的值對應的點都投影到的同一點，於是對應的葉 L 是中的嵌入圓。由於 L 是任意的，所以是對圓的葉狀結構。由此很容易得出，這個葉狀結構實際上就是纖維叢，這就是所謂線性葉狀結構。

若斜率是無理的，則葉是非緊的，同胚於非緊實線，在環面中稠密（參無理旋轉）。每個點的軌跡永遠不會回到同一點，而是在環面上產生 “處處稠密” 的環繞，會任意接近任何給定的點。於是，軌跡的閉包是整個 2 維環面。這種情形稱作克羅內克葉狀結構，得名於利奧波德・克羅內克與

克羅內克稠密性定理 若實數 θ 不等於 π 的所有有理倍數，則集合在單位圓內稠密。

用平行線對進行葉狀結構的類似構造，可得與環面上的線性流相關的 n - 環面的 1 維葉狀結構。

4.9 緯懸葉狀結構

平坦叢不僅有對纖維的線性結構，還有橫截於纖維的葉狀結構，其葉為

其中是規範投影。這個葉狀結構稱作表示的緯懸。

具體地說，若，是 F 的同胚，則的緯懸葉狀結構定義為表示的緯懸葉狀結構，由給出。其葉空間是，其中只要對某個。

緯懸葉狀結構最簡單的例子是 q 維流形 X。令是雙射。將緯懸定義為對等價關係的商。

則，M 自動攜帶兩個葉狀結構：包含形式的集合；包含形式的集合，其中軌道定義為

其中指數指的是函式 f 與自身複合的次數。注意，對也同樣。理解葉狀結構等效於理解對映 f 的動力學。若流形 X 已經葉化，則只要 f 是葉間對映，就可以利用這構造增加葉狀結構的餘維數。

2 - 環面的克羅內克葉狀結構是旋轉（角度為）的緯懸葉狀結構。

切割重粘後，2 - 洞環面的緯懸。 a) 帶待切割截面的雙洞環面； b) 切割後帶有 4 個面的幾何圖形。

更具體地說，若是 2 洞環面，是兩個嵌入圓，則是葉的 3 - 流形的積葉狀結構。注意是嵌入環，橫截於。令表示的保向微分同胚群，並擇。將 M 沿切開，表示它們的副本。這時，流形有 4 個邊界分量葉狀結構橫截邊界的葉狀結構，葉的形式為。

這片葉在 4 個圓中與相遇。若，則中的對應點記作，透過下列標識，“回到”：

由於是的保向微分同胚，因此與恆同（identity）同痕，由這操作得到的流形同胚於 M。的葉則重新組合，產生 M 新的葉狀結構。若的葉 L 包含一片，則

其中是由生成的子群。這些 Σ' 的副本透過標識彼此相連：

其中 g 在 G 上取值。葉完全由的 G - 軌道決定，可以很簡單也可以很複雜。例如若相應的 G - 軌道有限，則葉就是緊的。舉個極端的例子，若 G 是平凡的，則。若軌道在中是稠密的，則對應的葉在 M 中也稠密。例如，若是 2π 的有理獨立倍的旋轉，則每片葉都是稠密的。其他例子中，某些葉 L 的閉包與每個因子在康托爾集中相遇。在上也可做類似構造，其中 I 是緊非退化區間。這裡，取，由於透過所有保向微分同胚逐點固定了，所以可得一個以的兩分量為葉的葉狀結構。若在這情形下形成 M' ，就會得到有角葉狀流形。無論哪種情形，這種構造都被稱作微分同胚對的緯懸，提供了餘維為 1 的葉狀結構的有趣例子。

葉狀結構與可積性

假設一切都光滑，那麼向量場之間有一種密切關係：給定 M 上不為零的向量場 X，其積分曲線將給出 1 維葉狀結構（即餘維為 n-1 的葉狀結構）。

這觀察可推廣為弗羅貝尼烏斯定理，即分佈（流形切叢的 n − p 維子叢）與葉狀結構的葉相切的充分必要條件是，與分佈相切的向量場集對李括號閉合。這也可以解釋為，將切叢的結構群從約化為可約群。

弗羅貝尼烏斯定理中的條件作為可積條件出現，並斷言若滿足條件，就能約化，因為具有所需塊結構的區域性轉移函式存在。例如，對某（非規範）（即非零餘向量場），餘維為 1 時可定義葉狀結構的切叢為。若處處都有，則給定的 α 可積。

由於存在拓撲約束，因此存在全域性葉狀結構理論。例如，曲面情形中，處處非零向量場只能存在於環面的有向緊曲面上。這是龐加萊 - 霍普夫定理的結果，指出尤拉示性數需為 0。其與切觸幾何有很多深層聯絡，專門研究不可積情形。

葉狀結構的存在

給出連通非緊流形上的分佈與可積分佈同倫的充分必要條件。證明，任意有分佈的緊流形都有同維度的葉狀結構。