柯里化

在計算機科學中，柯里化（Currying），又譯為卡瑞化或加里化，是把接受多個引數的函式變換成接受一個單一引數（最初函式的第一個引數）的函式，並且返回接受餘下的引數而且返回結果的新函式的技術。這個技術由克里斯托弗・斯特雷奇以邏輯學家哈斯凱爾・加里命名的，儘管它是 Moses Schönfinkel 和戈特洛布・弗雷格發明的。

在直覺上，柯里化聲稱「如果你固定某些引數，你將得到接受餘下引數的一個函式」。所以對於有兩個變數的函式，如果固定了，則得到有一個變數的函式。

在理論計算機科學中，柯里化提供了在簡單的理論模型中，比如：只接受一個單一引數的 lambda 演算中，研究帶有多個引數的函式的方式。

函式柯里化的對偶是 Uncurrying，一種使用匿名單引數函式來實現多引數函式的方法。例如：

var foo = function (a) {return function (b) {return a a + b b;}

}

這樣呼叫上述函式：(foo (3))(4)，或直接 foo (3)(4)。

動機

柯里化是一種處理函式中附有多個引數的方法，並在只允許單一引數的框架中使用這些函式。例如，一些分析技術只能用於具有單一引數的函式。現實中的函式往往有更多的引數。弗雷格表明，為單一引數情況提供解決方案已經足夠了，因為可以將具有多個引數的函式轉換為一個單引數的函式鏈。這種轉變是現在被稱為 “柯里化” 的過程。

在數學分析或計算機程式設計中，所有可能遇到的 “普通” 函式都可以被使用。但是，有些類別不可能使用柯里化；確實允許柯里化的最普通的類別是閉合的 monoidal 類別。一些程式語言幾乎總是使用 curried 函式來實現多個引數；值得注意的例子是 ML 和 Haskell，在這兩種情況下，所有函式都只有一個引數。這個屬性是從 lambda 演算繼承而來的，其中多引數的函式通常以柯里形式表示。

柯里化與部份求值是相關的，但不完全相同。在實作中，閉包的程式設計技術可以用來執行部份求值和一種捲曲，透過將引數隱藏在使用柯里化函式的環境中。

1.1 部份求值

柯里化有如倣效接受多個引數的函式評估過程，若以紙筆手工作業，要週密地寫出評估過程中的所有步驟。

例如，給定某一函式 :

要評估 時，首先以 代入

因為結果會是函式 的輸出，所以可定義為一個新函式 為

接下來將 引數以 替換，產生了

在紙上使用傳統符號，上述過程通常是一次代入兩個引數 的值就完成了。

而每個引數其實是依次序替換，在每一步替換的中介函式只能接受單一個引數。

以上範例有點缺陷，雖然應用上類似函式的部份求值。對柯里化的過程來說，但並非完全相同（見下文）。

1.2 示例

柯里化（Currying）是產生一系列連鎖函式的一種方法，其中每個函式只有一個引數。藉由另一個柯里化之後的新函式，傳回其它剩餘引數的功能，將原本以多個引數應用的函式 “隱藏” 起來，如下所述。

給定帶有 x 和 y 兩個引數的函式 f，也就是，

然後可以構造一個與原來的 f 相關的新函式 hx。這個函式的形式只有單一引數 y，並給定該引數，則 hx 返回 f (x,y)。也就是，

.

在這裡應該瞭解 h 上的下標 x 是當成隱藏作用的符號設施，或者說把一個引數放在一邊，使原函式變成只帶一個引數。柯里化（Currying）提供了符號標記上的技巧，將函式因而抽象化。

這個技巧要利用 map 或函式構造子。符號 用於表示抽象化的實際行為。

例如以 這樣子來表示：某個函式將一個引數 y 對映到結果 z。

然後考慮從 hx 記號中刪掉下標 x，就得到了一個 柯里化表示的代表符 h；

而成為另一個給予 x 能把其 “值” 傳回的不同函式 hx；它恰好是一個函式構造，其對映過程

可以用 語句來表達，或者描述為一個將引數 y 對映到結果 z 的函式。也就是，

,

用不同代表符號（但意義相同）來看，

函式 h 本身現在可用 hx 相似的表示，並寫成

能夠負責並處理對開頭涉及的函式引數。鑑於上述情況，柯里化的行為可被理解為一函式，給予某些任意的 f，即涉及相關的 h 函式可以產生 h 的所述功能；論及 f。也就是，

或相當於

這說明瞭柯里化的基本性質：它是引數重新定位的機制，將原函式中的每一個引數繫結到不同的新函式，而返回另一個相關的函式。也就是給定函式 f 原本傳回一個 “值”，則柯里化 “構造” 了一個新函式 h 而傳回的是涉及 f 的函式。另一種理解柯里化的不同方式，則意識到它只是一個代數遊戲，符號的句法重新排列。人們不會問這些符號的 “含義” 是什麼；一個人只同意他們的重新排列規則。 要看出這一點，注意原來的函式 f 本身可能寫成

與上面的函式 h 互相比較，可以看出這兩種形式都重新排列了括號，以及將逗號轉換為箭頭。回到前面的例子，

然後有，

作為上例柯里化的相等物。 新增一個引數到 g 然後給出

以及

剝除引數的方法或許更容易地理解，例如有四個引數的函式：

經過上述操作，匯出為形式

這應用到三元組之上可得到

.

然後適當地寫成柯里化形式

一直繼續玩著重新安排符號的代數遊戲，最終導出了完全的柯里化形式

對箭頭運算子一般理解是右結合的，所以上面大部份的括號是多餘的，在意義不變的情況下可以刪除掉。因此，寫成了很常見的

也就是函式 f 完全的柯里化形式。

定義

從非形式的一般定義開始，柯里化是最容易理解的，然後再塑造它以適應許多不同的領域。

首先說明一些符號的標記法。

表示從 對映到 的函式。

表示從 到 的所有函式。

這裡， 和 可以是集合、或者是型別，或者它們可以是其它型別的物件，如下所述。

令 表示有序對，即笛卡爾乘積。

給定型別為 的函式，柯里化即構造或建立一個新的函式：

也就是說，取一個型別為 的引數，並返回一個型別為 的函式。Uncurrying 則相反。

2.1 集合論

數理領域的集合論中，符號 用於表示從 集合對映到 集合的函式。柯里化是指從 對映到 的 函式，和從 之中對映，由 到的 函式，這些組合的自然變換。事實上是這種自然變換關係，闡述了出現在集合論中的指數符號。在集合的範疇論中 被稱為指數物件。

2.2 函式空間

在函式空間理論中，如泛函分析或拓撲的同倫，人們通常對拓撲空間之間的連續函式感興趣。從 到 所有的函式集，寫成 （Hom 函子）並使用 來表示連續函式的子集。在這裡的 是一一對應的

而 uncurrying 是反向的對映。如果從 到 的 集合為連續函式

給出了緊緻開拓撲緊緻開拓撲，而且如果 空間是區域性豪斯多夫緊緻的，那麼 是一個連續函式，也是同胚。儘管可能有更多情況，當 ，和 是緊生成的時候，情況都是相同的。

這結果發展成了指數表示法

有時稱為指數法則。 而有用的推論是，一個函式若且唯若其柯里化形式是連續時，它才是連續的。另一個重要的結果是應用程式對映（在這種情況通常稱為 “評估”）是連續的（注意 eval 在電腦科學中的概念與此嚴格不同）。也就是說，

當 是緊緻開放的，而且 區域性緊緻的豪斯多夫時，那上述式子是連續的。這兩個結果對於確立同倫的連續性非常重要，亦即當 是單位區間 ，所以 能想成

就是從 到的兩個函式的同倫，或者等價地，是 中的單個（連續）路徑。

2.3 代數拓撲

2.4 域理論

在序理論對於偏序集合的格，當格是給定的 Scott 拓撲時，則 會是一個連續函式。為了提供 lambda 演算的語義學，要先研究 Scott 連續函式（因為普通集合理論不適合這樣做）。更一般地說，現在研究 Scott 連續函式的域理論中，含括了計算機演算法的指稱語義學。

請注意，Scott 拓撲結構與拓撲空間範疇中可能遇到的許多常見拓撲結構完全不同；Scott 拓撲通常更為精巧，而不是很嚴審的。連續性的概念使它出現在同倫型別理論中，粗略地說，兩個計算機程式可以被認為是同倫的，如果他們可以 “連續” 地從一個重構到另一個，即計算得出相同的結果。

2.5 Lambda 演算

2.6 型別理論

在型別理論中，對於電腦科學型別系統的一般概念，被形式化為一個具體的代數型別。例如寫為 時，

意指那個 和 是一種型別，而 箭頭符號代表是型別建構函式，特別是指函式型別或箭頭型別。類似地，型別的笛卡爾積是由 建構函式，而建構出的複合結構型別。

型別理論方法可以用 ML 程式語言表達，而受啟發衍生出的語言有：CaML，Haskell 和 F＃。

2.7 邏輯

在 Curry-Howard 下，柯里化和對偶柯里化的存在相當於邏輯定理，因為多元組（型別積，product type）對應於邏輯中的且連線，而函式型別對應於蘊涵。

2.8 範疇論

歷史

「科裡化」一詞由克里斯托弗・斯特雷奇創造，以邏輯學家哈斯凱爾・加里命名。另外一個名詞 "Schönfinkelisation" 則以 Moses Schönfinkel 命名。在數學歷史中，這個原理可以追溯到 1893 年戈特洛布・弗雷格的工作。