發散級數

發散級數（Divergent Series）是指（按柯西意義下）不收斂的級數。如級數和 ，也就是說該級數的部分和全部序列沒有一個有窮極限。

如果一個級數是收斂的，這個級數的項一定會趨於零。因此，任何一個項不趨於零的級數都是發散的。不過，收斂是比這更強的要求：不是每個項趨於零的級數都收斂。其中一個反例是調和級數

調和級數的發散性被中世紀數學家奧里斯姆所證明。

可和法

在實際的數學研究以及物理、天文等其它學科的應用中，經常會自然地涉及各種發散級數，所以數學家們便試圖給這類發散級數客觀地指派一個實或復的值，定義為相應級數的和，並在這種意義之下研究所涉及的發散級數。每一種定義都被稱為一個可和法（Summability method），也被理解為一類級數到實數或複數的一個對映，通常也是一個線性泛函，例如阿貝爾可和法、切薩羅可和法與波萊爾可和法等。

可和法通常保持收斂級數的收斂值，而對某些發散級數，這種可和法和能額外定義出相應級數的和。例如切薩羅可和法將格蘭迪級數

可和到 1/2。大部分可和法與相應冪級數的解析延拓相關，每個適當的可和法試圖描述的是序列趨於無窮時的平均表現，這種意義下也可以理解為無窮序列的均值。

歷史

19 世紀前，尤拉以及其他數學家廣泛地應用發散級數，但經常引出令人困惑與矛盾的結果。其中，主要的問題是尤拉的思想，即每個發散級數都應有一個自然的和，而無需事先定義發散級數的和的含義。柯西最終給出了（收斂）級數的和的嚴格定義，從這過後的一段時間，發散級數基本被排除在數學之外了。直到 1886 年，它們才在龐加萊關於漸進級數的工作中再次出現。在 1890 年，切薩羅意識到可以對一類發散級數的和給出嚴格定義，從而定義了切薩羅和。（這並不是第一次應用到切薩羅和，弗羅貝尼烏斯在 1880 年曾經使用過；切薩羅關鍵的貢獻並不是發現了這個可和法，而是由於他認為「應當給出發散級數和的精確定義」的思想。）在切薩羅的論文發表的後一年，其他的一些數學家陸續給出了發散級數和的其他定義，不過這些定義並不總是相容的：不同的定義可能對相同的發散級數給出不同的和。所以，當提及發散級數的和時，需要具體指明所使用的是哪個可和法，儘管大部分常用的可和法某種意義上是彼此相容的。

關於發散級數求和的可和法定理

收斂級數對映到它的和的函式是線性的，從而根據哈恩 - 巴拿赫定理可以推出，這個函式能擴張成可和任意部分和有界的級數的可和法，這個事實一般並不怎麼有用，因為這樣的擴張許多都是互不相容的，並且也由於這種運算元的存在性證明訴諸於選擇公理或它的等價形式，例如佐恩引理，所以它們還都是非構造的。

發散級數這一分支，作為分析學的領域，本質上關心的是明確而且自然的技巧，例如阿貝爾可和法、切薩羅可和法、波萊爾可和法以及相關物件。維納陶伯型定理的出現標誌著這一分支步入了新的階段，它引出了傅立葉分析中巴拿赫代數與可和法間出乎意料的聯絡。

發散級數的求和作為數值技巧也與插值法和序列變換相關，這類技巧的例子有：帕德近似、Levin 類序列變換以及與量子力學中高階微擾論的重整化技巧相關的依序對映。

可和法的基本性質

可和法通常關心的是級數的部分和序列。有時這個序列並不收斂，但經常能發現，從序列首項起，逐個取越來越多的項的平均，得到的均值列可以是收斂的，可以用這個均值列的極限取代原本的概念，用以表示相應級數的和。所以通常為了得到級數 的和，會從序列 s 出發考慮，其中，，其中在收斂的情形下，序列 s 趨於某個極限 a。每個可和法也能被理解為一類級數的部分和序列到實數或複數的一個對映，在這種理解下，可以透過考慮將相應級數對映到相同的值的對映，將其化為級數可和法 AΣ，反之亦然。這些可和法通常需要遵循或者擁有一類自然的性質，使得它們在應用上如同極限的概念一樣，更容易推出一般性的結論。

正則性。稱可和法 A 為正則的，是指對每個收斂到 x 的序列 s，有。等價地說，相應的級數可和法總會給出。
線性。稱可和法 A 為線性的，是指它作為 (部分和) 序列上的函式是一個線性泛函，因此對序列 r、s 與實或復的標量 k 有。 由於級數 a 的項是一族關於序列 s 的線性泛函，反之亦然，所以這也等價於說 AΣ 是作用在級數的項序列上的線性泛函。
穩定性 (也被稱為可移性). 若 s 是從 s0 開始的序列，並且 s′是透過刪去 s 的首項並在餘下每一項減去 s0 得到的序列，也就是，則 A (s) 有定義當且僅當 A (s′) 有定義，並且。 等價地說，只要對每個 n 有，那麼。對此的另一種表述是，在這個可和法下可和的級數都滿足移位法則。

有許多可和法都滿足比正則性更強的全正則性，例如切薩羅和。

這種性質是將正則性與廣義實數結合考慮後所自然產生的，換句話說，並不將通常意義下的發散到正無窮的級數視作沒有極限的，而是視作以正無窮為 “極限”。例如一個可和法將可和到，那麼它一定不是全正則的。類似的，也可以在納入廣義實數考慮的情形下，藉助廣義實數間的運演算法則定義出類似意義下的線性。

第三個性質不那麼重要，對一些重要的可和法而言，例如波萊爾可和法，可能會沒有這種性質。應該注意到的是，這裡並沒有希望所考慮的可和法定義在每個實序列或者有界實序列上，這是因為大部分有力的可和法也無法滿足這種性質。倘若希望討論額外滿足這種性質的可和法，例如巴拿赫極限，需要證明這種可和法的存在性，這將會涉及哈恩 - 巴拿赫定理。

還可以給出比穩定性稍弱一點的條件。

對每個 i 成立，還存在使得對每個 i>N 都有，則 。(換句話說，a′和 a 只要重排有限項後便是同一個級數。) 注意到這是比穩定性要弱的條件，因為每個遵循穩定性的可和法也會遵循有限可重排性，但反過來並不正確。}}

對於兩個不同的可和法 A 和 B，會希望它們能享有相容性：稱 A 和 B 為相容的，是指對兩個可和法下都可和的序列 s 而言，有。如果兩個可和法是相容的，並且其中一個能可和的級數多於另一個，便把能可和得更多的那個稱為更強的。

有一些有力的數值可和法既不正則也不線性，例如一些非線性的序列變換，像是 Levin 類序列變換和帕德近似，以及基於重整化技巧中微擾級數的依序對映。

倘若將正則性、線性和穩定性視作公理，那麼透過基本的代數操作便能對許多發散級數求和。這部分地解釋了不同的可和法對一類級數總給出同一個值的原因。

例如，對於公比的幾何級數，假定在某個符合以上三條的可和法下都是可和的，便可得到

值得一提的是，這裡所滿足的方程，在時也可理解為以為另一個解，所以在這種意義下便不能斷言是唯一的解。更嚴格地說，每個遵循這些性質，並且將相應幾何級數可和到有限值的可和法，一定將其可和到這個值。進一步的，當 r 是大於 1 的實數時，部分和遞增且無界，從而在之前所說的平均法下，以正無窮為和。

傳統意義下的可和法

常規收斂和絕對收斂是級數在傳統意義下的兩個可和法，這裡只是出於完整性的考慮才加以討論；嚴格來說，它們並不算是發散級數的可和法，這是因為只有當這些可和法失效時，才說一個級數發散。大部分發散級數的可和法都是這兩個可和法在更大一類序列上的延拓。

5.1 級數的和

柯西對級數的和的經典定義為部分和序列的極限。透過兩個實數之間加法運算的定義，再依據數學歸納法，不難自然地定義出有限個實數間的加法。但是有限個實數間的加法有定義並不意味著能直接地匯出級數的和的定義，因為此時並沒有定義無限項相加的概念，只有藉助極限進行額外定義才能明確級數的和的概念。

5.2 絕對收斂

給定收斂到 s 的收斂級數 a，倘若任意置換級數 a 的項得到級數 a′後，a′收斂也總是收斂到 s，則稱級數 a 是絕對收斂的。在這個定義之下可以證明，一個級數收斂當且僅當取它每一項絕對值後得到的新級數在經典意義下收斂。有些地方會將後者作為絕對收斂的定義，但由於不涉及絕對值的概念，所以前者的定義更有一般性。

Nørlund 平均

取從 p0 起的正項序列 pn，並且滿足

用序列 p 變換序列 s，給出加權平均，也就是取

當 m 趨於無窮時，tm 的極限倘若存在，則稱其為 s 的 Nørlund 平均或者 Nørlund 和 Np (s)，相應的可和法稱為 Nørlund 可和法。

Nørlund 可和法是全正則、線性、穩定的。令人驚訝的是，任意兩個 Nørlund 可和法都是相容的。

6.1 切薩羅可和法

最特別的 Nørlund 可和法是切薩羅可和法。

考慮級數，記為它的部分和，再記。如果，則稱這個級數的切薩羅和為。這顯然是一個 Nørlund 可和法。

作為推廣，取 pk 為

定義為切薩羅和，k 不必總為整數。當時，切薩羅和也是 Nørlund 和，從而是全正則、線性、穩定並且兩兩相容的。其中 C0 是常規的和，C1 是經典的切薩羅和。進一步的，若，則 Ch 強於 Ck。

阿貝爾型可和法

假定} 是嚴格遞增趨於無窮的序列，並且。倘若

對每個實數 x>0 收斂，則定義其阿貝爾型平均 / 阿貝爾型可和法 Aλ 為

更一般地說，如果級數 f 只對大的 x 收斂，但能解析延拓到每個正的實 x 上，那麼依舊能以上述方式定義出相應的可和法。

這類級數也被稱為廣義狄利克雷級數；在物理應用中，這被稱為熱核正則化方法。

阿貝爾型可和法是正則、線性的，但不穩定，並且兩個不同的阿貝爾型可和法也不總是相容的。不過，其中一些可和法是非常重要的。

7.1 阿貝爾可和法

如果取，便得到了阿貝爾可和法。並且

其中 z=exp (−x)。因此當 x 右趨於 0 時，f (x) 的極限恰為 z 左趨於 1 時，冪級數 f (z) 的極限。所以阿貝爾和 A (s) 也可以定義為

阿貝爾可和法某種意義上非常有趣，因為它和每個切薩羅可和法相容且更有力，即總有，只要後者有定義。阿貝爾和是正則、線性、穩定的，並且與切薩羅可和法相容。

7.2 林德勒夫可和法

如果取，便得到了林德勒夫可和法（指標從 1 算起），有

於是 L (s) 或者說林德勒夫和 ，是 x 右趨於 0 時 f (x) 的極限。林德勒夫和是非常有力的可和法，倘若應用在有正收斂半徑的冪級數上，那麼在這個冪級數的米塔 - 列夫勒星形域上處處都是可和的。

準確的說，如果 g (z) 是在原點解析的解析函式，從而有相應正收斂半徑的麥克勞林級數，並且在其米塔 - 列夫勒星形域上總有。進一步的，在這個星形域的每個緊集上一致收斂到 g (z)。

解析延拓

有一些可和法涉及了對相關函式的解析延拓的討論。

8.1 冪級數的解析延拓

如果 Σanxn 對小的復 x 收斂，並且能沿著某條路徑從 x=0 延拓到 x=1，則可以把級數的和定義為延拓後的函式在 x=1 處的值。這個值可能會依賴於路徑的選取。

8.2 尤拉可和法

尤拉可和法本質上是解析延拓的精確形式。如果一個冪級數對小的復 z 收斂，並且能從半徑為的圓解析地延拓到半徑為 1 的圓上，而且在 z=1 處連續，則此處的值被稱為級數 a0+.... 的尤拉和或是 (E,q) 和。尤拉在解析延拓被定義前普遍地應用這個概念，並且給出了冪級數解析延拓的精確形式。

尤拉變換的操作能被重複上好幾次，它本質上等價於考慮冪級數在 z=1 處的解析延拓。

8.3 狄利克雷級數的解析延拓

考慮狄利克雷級數

解析延拓到 s=0 處的值，如果存在便是唯一的，將其定義為相應級數的和便給出了一個可和法。這個可和法有時會被混同於 zeta 函式的正則化。

8.4 zeta 函式的正則化

如果級數

(對於正的 an) 對大的實 s 收斂，並且能沿著實線解析地延拓到 s=−1，則它在 s=−1 處的值被稱為級數 a1+a2+... 的 zeta 正則和，這種廣義和是非線性的。在應用中，ai 有時會是有緊分解的自伴運算元 A 的特徵值，從而 f (s) 是 A−s 的跡。例如，若 A 有特徵值 1, 2, 3, ... 則 f (s) 是黎曼 zeta 函式， ζ(s) 在 s=−1 處的值是−，這為發散級數 1 + 2 + 3 + 4 + … 指派了相應的和。其它的 s 處的值，也能以此被理解為定義了相應的廣義和，像是}}、。一般而言，

其中 Bk 是伯努利數.

基於整函式的可和法

如果 J (x)=Σpnxn 是一個整函式，並且下述極限存在，則級數 a0+... 的 J 和被定義為

在一個變體下，J 相應的級數有有限收斂半徑 r 並且在 x=r 處發散。在這種情形下也可以用如上方式定義相應的可和法，不過要將 x 趨於無窮大替換為 x（左）趨於 r。

9.1 波萊爾可和法

J (x)=ex 這個特殊情形給出了 (弱) 波萊爾可和法。

9.2 Valiron 可和法

Valiron 可和法是波萊爾可和法在一類更一般的整函式 J 上的推廣。Valiron 展示了在一定條件下，它等價於將級數的和定義為

其中 H 是 G 的二階導數，並且 c (n)=e−G (n)。

矩可和法

dμ 是實數上的測度，並使得每個矩

有限。若級數 a0+a1+... 使得

對每個 x 收斂，那麼級數的 (dμ) 和被定義為積分

的值，只要這個積分有定義。（注意到如果 μn 增速過快，則它們並不能唯一決定測度 μ。）

10.1 波萊爾可和法

例如若對正的 x，dμ=e−xdx，而對負的 x 為 0，則 μn=n!。這個給出了一種形式的波萊爾可和法，其中級數的和為

可以對此推廣出依賴於參量 α 的可和法，稱為 (B′,α) 和，其中級數 a0+... 的和被定義為

只要這個積分存在。更進一步的推廣將被積函式替換為從小的t 起的解析開拓。

各類可和法

11.1 豪斯多夫變換

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11.2 赫爾德可和法

11.3 Hutton 可和法

Hutton 於 1812 年，引入了一種發散級數的可和法，它從部分和序列出發，反覆執行將序列s0,s1,... 替換為平均序列，,... 的操作，再取其極限。

11.4 英厄姆可和法

稱級數 a1+... 英厄姆可和到 s，指的是

英厄姆證明了如果取定 δ 為某個正數，則 (C,−δ) (切薩羅) 可和性可以推出英厄姆可和性，並且英厄姆可和性還能推出 (C,δ) 可和性。

11.5 朗伯可和法

稱級數 a1+... 朗伯可和到 s，指的是

如果級數對某個 k 是 (C,k) (切薩羅) 可和的，則它也朗伯可和到相同的值。若級數是朗伯可和的，則它也阿貝爾可和到相同的值。

11.6 Le Roy 可和法

稱級數 a0+... Le Roy 可和到 s，指的是

11.7 米塔 - 列夫勒可和法

稱級數 a0+... 米塔 - 列夫勒 (M) 可和到 s，指的是

11.8 拉馬努金可和法

拉馬努金可和法是拉馬努金基於尤拉 - 麥克勞林求和公式給出的發散級數可和法。級數 f (0) + f (1) + ... 的拉馬努金和不僅依賴於 f 在整數上的取值，也依賴於 f 在其它非整數上的取值，所以它並不是在通常意義下的可和法。

如果指數母函式的收斂區域非空，且它可以解析延拓為複平面上的亞純函式，它的洛朗級數的零次係數就等於級數的拉馬努金和。

例如，有以下級數的拉馬努金和：

11.9 黎曼可和法

稱級數 a1+... (R,k)(或黎曼) 可和到 s，指的是

稱級數 a1+... R2 可和到 s，指的是

11.10 里斯可和法

若 λn 組成遞增的實數列，並且

則將級數 a0+... 的里斯和 (R,λ,κ) 定義為

11.11 Vallée-Poussin 可和法

稱級數 a1+... VP (或 Vallée-Poussin) 可和到 s，指的是

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