磁矩

磁矩是磁鐵的一種物理性質。處於外磁場的磁鐵，會感受到力矩，促使其磁矩沿外磁場的磁場線方向排列。磁矩可以用向量表示。磁鐵的磁矩方向是從磁鐵的指南極指向指北極，磁矩的大小取決於磁鐵的磁性與量值。不只是磁鐵具有磁矩，載流迴路、電子、分子或行星等等，都具有磁矩。

科學家至今尚未發現宇宙中存在有磁單極子。一般磁性物質的磁場，其泰勒展開的多極展開式，由於磁單極子專案恆等於零，第一個專案是磁偶極子項、第二個專案是磁四極子（quadrupole）項，以此類推。磁矩也分為磁偶極矩、磁四極矩等等部分。從磁矩的磁偶極矩、磁四極矩等等，可以分別計算出磁場的磁偶極子專案、磁四極子專案等等。隨著距離的增遠，磁偶極矩部分會變得越加重要，成為主要專案，因此，磁矩這術語時常用來指稱磁偶極矩。有些教科書內，磁矩的定義與磁偶極矩的定義相同。

概述

一個載流迴圈的磁偶極矩是其所載電流乘以迴路面積：

；

其中，為磁偶極矩，為電流，為面積向量。磁偶極矩、面積向量的方向是由右手定則決定。

處於外磁場的載流迴圈，其感受到的力矩和其勢能與磁偶極矩的關係為：

、

；

其中，為力矩，為磁場，為勢能。

許多基本粒子，例如電子，都具有內稟磁矩。這種內稟磁矩是許多巨觀磁場力的來源，許多物理現象也和此有關。這種磁矩和古典物理的磁矩不同，而是和粒子的自旋有關，必須用量子力學來解釋。這些內稟磁矩是量子化的，最小的基本單位，常常稱為「磁子」（magneton）。例如，電子自旋的磁矩與波耳磁子的關係式為：

；

其中，為電子自旋的磁矩，電子自旋 g 因子是一項比例常數，為波耳磁子，為電子的自旋，是約化普朗克常數。

單位

採用國際單位制，磁偶極矩的因次是面積 × 電流。磁偶極矩的單位有兩種等價的表示法：

1 安培・公尺 2 = 1 焦耳／特斯拉。

CGS 單位制又可細分為幾種亞單位制：靜電單位制（electrostatic units），電磁單位制（electromagnetic units）、高斯單位制。

磁偶極矩在電磁單位制與在靜電單位制的比例正好等於單位為公分／秒的光速。

在這篇文章內，所有的方程式都採用國際單位制。

兩種磁源

在任何物理系統裡，磁矩最基本的源頭有兩種：

電荷的運動，像電流，會產生磁矩。只要知道物理系統內全部的電流密度分佈（或者所有的電荷的位置和速度），理論上就可以計算出磁矩。
像電子、質子一類的基本粒子會因自旋而產生磁矩。每一種基本粒子的內稟磁矩的大小都是常數，可以用理論推匯出來，得到的結果也已經透過做實驗核對至高準確度。例如，電子磁矩的測量值是−9.284764×10−24 焦耳／特斯拉。磁矩的方向完全決定於粒子的自旋方向（電子磁矩的測量值是負值，這意味著電子的磁矩與自旋呈相反方向）。

整個物理系統的淨磁矩是所有磁矩的向量和。例如，氫原子的磁場是以下幾種磁矩的向量和：

電子的自旋。
電子環繞著質子的軌域運動。
質子的自旋。

再舉個例子，構成條形磁鐵的物質，其未配對電子的內稟磁矩和軌域磁矩的向量和，是條形磁鐵的磁矩。

計算磁矩的方程式

4.1 平面迴圈

對於最簡單的案例，平面載流迴圈的磁偶極矩是

；

其中，是迴圈所載有的恆定電流，是平面迴圈的面積向量。

面積向量和磁偶極矩的方向是由右手定則給出：令四隻手指朝著電流方向彎曲，伸直大拇指，則大拇指所指的方向即是面積向量的方向，也是磁偶極矩的方向。

這有限面積的載流迴圈還有更高階的磁矩，像磁四極矩，磁八極矩等等。假設載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持不變，則所有更高階的磁矩會趨向於零，這真實的載流迴圈趨向於理想磁偶極子，或純磁偶極子。

4.2 任意迴路

對於任意迴路案例，假設迴路載有恆定電流，則其磁偶極矩為

；

其中，是積分曲面，是邊緣的閉合迴路，是微小面積元素，是微小線元素，是的位置。

引用向量恆等式

，

即可得到磁偶極矩的路徑積分方程式。

4.3 任意電流分佈

對於最廣義的任意電流分佈案例，磁偶極矩為

；

其中，是積分體積，是源電流位置，是電流密度，是微小體積元素。

任意一群移動電荷，像旋轉的帶電固體，都可以用這方程式計算出其磁偶極矩。

4.4 基本粒子

在原子物理學和核子物理學裡，磁矩的大小標記為，通常測量單位為波耳磁子或核磁子（nuclear magneton）。磁矩關係到粒子的自旋，和／或粒子在系統內的軌域運動。以下列表展示出一些粒子的內稟磁矩：

欲知道更多有關於磁矩與磁化強度之間的物理關係，請參閱條目磁化強度。

載流迴路產生的磁場

載流迴路會在周圍產生磁場。這磁場包括偶極磁場與更高次的多極專案。但是，隨著距離的增遠，這些多極專案會更快速地減小，因此，在遠距離位置，只有偶極專案是磁場的顯要專案。

思考一個載有恆定電流的任意局域迴路，其磁矢勢為

；

其中，是檢驗位置，是源頭位置，是微小線元素的位置，是磁常數。

假設檢驗位置足夠遠，，則表示式可以泰勒展開為

；

其中，是勒讓德多項式，是與之間的夾角。

所以，磁矢勢展開為。

思考專案，也就是磁單極子專案：。

由於閉合迴路的向量線積分等於零，磁單極子專案恆等於零。

再思考專案，也就是磁偶極子專案：。

注意到磁偶極矩為，偶極磁矢勢可以寫為。

偶極磁場為。

由於磁偶極子的向量勢有一個奇點在它所處的位置（原點），必須特別小心地計算，才能得到正確答案。更仔細地推導，可以得到磁場為

；

其中，是狄拉克 δ 函式。

偶極磁場的狄拉克 δ 函式專案造成了原子能級分裂，因而形成了超精細結構（hyperfine structure）。在天文學裡，氫原子的超精細結構給出了 21 公分譜線，在電磁輻射的無線電波範圍，是除了 3K 背景輻射以外，宇宙彌漫最廣闊的電磁輻射。從復合紀元（recombination）至再電離紀元（reionization）之間的天文學研究，只能依靠觀測 21 公分譜線無線電波。

給予幾個磁偶極矩，則按照疊加原理，其總磁場是每一個磁偶極矩的磁場的總向量和。

處於外磁場的磁偶極子

6.1 磁偶極子感受到的磁力矩

如圖右，假設載有電流的一個方形迴圈處於外磁場。方形迴圈四個邊的邊長為，其中兩個與平行的邊垂直於外磁場，另外兩個邊與磁場之間的夾角角弧為。

垂直於外磁場的兩個邊所感受的磁力矩為。

另外兩個邊所感受的磁力矩互相抵消。注意到這迴圈的磁偶極矩為 。所以，這迴圈感受到的磁力矩為。

令載流迴圈的面積趨向於零、電流趨向於無窮大，同時保持不變，則這載流迴圈趨向於理想磁偶極子。所以，處於外磁場的磁偶極子所感受到的磁力矩也可以用上述方程式表示。

當磁偶極矩垂直於磁場時，磁力矩的大小是最大值；當磁偶極矩與磁場平行時，磁力矩等於零。

6.2 磁偶極子的勢能

將載流迴圈從角弧扭轉到角弧，磁場所做的機械功為。

注意到磁力矩的扭轉方向是反時針方向，而是朝著順時針方向遞增，所以必須新增一個負號。設定，則 。

對抗這磁場的磁力矩，將載流迴圈從角弧扭轉到角弧，所做的機械功為。

定義載流迴圈的勢能等於這機械功，以方程式表示為。

與前段所述同理，磁偶極子的勢能也可以用這方程式表示。當磁偶極矩垂直於磁場時，勢能等於零；當磁偶極矩與磁場呈相同方向時，勢能是最小值；當磁偶極矩與磁場呈相反方向時，勢能是最大值。

6.3 非均勻磁場

假設外磁場為均勻磁場，則作用於載流迴路的磁場力等於零：。

假設外磁場為非均勻的，則會有一股磁場力，作用於磁偶極子。依照磁矩模型的不同，求得的磁場力也會不同。採用常見的「電流模型」，則一個磁偶極子所感受到的磁場力為。

另外一種採用「磁荷模型」。這類似電偶極矩的模型，計算出的磁場力為。

兩者之間的差別為。

假設，電流等於零，電場不含時間，則根據馬克士威 - 安培方程式，

，

兩種模型計算出來的磁場力相等。可是，假設電流不等於零，或電場為含時電場，則兩種模型計算出來的磁場力不相等。1951 年，兩個不同的實驗，研究中子的散射於鐵磁性物質，分別得到的結果與電流模型預估的結果相符合。

範例

7.1 圓形載流迴圈的磁偶極矩

一個載流迴圈的磁偶極矩與其面積和所載電流有關。例如，載有 1 安培電流，半徑為 0.05 公尺的單匝圓形載流迴圈，其磁偶極矩為：。

磁偶極矩垂直於載流迴圈的平面。載流迴圈的磁矩，可以用來建立以下幾點論據：

假設場位置的距離超遠於迴圈半徑，則磁場會呈反立方減弱：

: 沿著迴圈的中心軸，磁矩與場位置平行：

::。

: 在包含迴圈的平面的任意位置，磁矩垂直於場位置：

::。

: 負號表示平面任意位置案例與中心軸案例，這兩個案例的磁場呈相反方向。

假設在地球的某地方，地磁場的數值大約為 0.5 高斯（5×10−5 特斯拉），而且迴圈磁矩垂直於地磁場，則此迴圈所感受到的力矩為

:。

應用力矩的觀念，可以製造出羅盤。假設這羅盤的磁針，由於力矩的作用，從磁針的磁矩垂直於地磁場，旋轉至磁針的磁矩與地磁場呈相同方向，則這羅盤 - 地球系統釋放出的能量為

: 。

由於羅盤懸浮系統的摩擦機制，這能量是以熱量的形式耗散淨盡。

7.2 螺線管的磁矩

一個多匝線圈（或螺線管）的磁矩是其每個單匝線圈的磁矩的向量和。對於全同匝（單層捲繞），只需將單匝線圈的磁矩乘以匝數，就可得到總磁矩。然後，這總磁矩可以用來計算磁場，力矩，和儲存能量，方法與使用單匝線圈計算的方法相同。

假設螺線管的匝數為，每一匝線圈面積為，透過電流為，則其磁矩為。

7.3 載電粒子圓周運動的磁矩

假設，一個點電荷以等速繞著 z - 軸，移動於半徑為的平面圓形路徑，則其電流為 	 。

其磁矩為。

其角動量為。

其中，是載電粒子的質量。

所以，磁矩與角動量的經典關係為。

對於電子，這經典關係為

；

其中，是電子的質量，是電子的絕對電量。

假設，這點電荷是個束縛於氫原子內部的電子。由於離心力等於庫侖吸引力，

；

其中，是電常數。

現在施加外磁場於此氫原子，則會有額外的勞侖茲力作用於電子。假設軌道半徑不變（這只是一個粗略計算），只有電子的速度改變為，則。

所以，。

假設，兩個速度的差別超小，則。

所以，由於施加外磁場，磁矩的變化為。

注意到與呈相反方向，因而減弱了磁場。這是抗磁性的經典解釋。可是，抗磁性是一種量子現像，經典解釋並不正確。

為了簡略計算，使用半經典方法，可以求出磁矩的變化為

；

其中，是半徑平方的期望值。

7.4 電子的磁矩

電子和許多其它種類的粒子都具有內稟磁矩。這是一種量子屬性，涉及到量子力學。詳盡細節，請參閱條目電子磁偶極矩（electron magnetic dipole moment）。微觀的內稟磁矩集聚起來，形成了巨觀的磁效應和其它物理現象，例如電子自旋共振。

電子的磁矩是

；

其中，是電子的朗德 g 因子，是波耳磁子，是電子的自旋角動量。

按照前面計算的經典結果，；但是，在狄拉克力學裡，；更準確地，由於量子電動力學效應，它的實際値稍微大些，。

請注意，由於這方程式內的負號，電子磁矩與自旋呈相反方向。對於這物理行為，經典電磁學的解釋為：假想自旋角動量是由電子繞著某旋轉軸而產生的。因為電子帶有負電荷，這旋轉所產生的電流的方向是相反的方向，這種載流迴路產生的磁矩與自旋呈相反方向。同樣的推理，帶有正電荷的正子（電子的反粒子），其磁矩與自旋呈相同方向。

7.5 原子的磁矩

在原子內部，可能會有很多個電子。多電子原子的總角動量計算，必須先將每一個電子的自旋總和，得到總自旋，再將每一個電子的軌角動量總和，得到總軌角動量，最後用角動量耦合（angular momentum coupling）方法將總自旋和總軌角動量總和，即可得到原子的總角動量。原子的磁矩與總角動量的關係為

；

其中，是原子獨特的朗德 g 因子。

磁矩對於磁場方向的分量是

；

其中，是總角動量對於磁場方向的分量，是磁量子數，可以取 2J+1 個整數値，-J、 -J+1、…、J-1、J，之中的任意一個整數值。

因為電子帶有負電荷，所以是負值。

處於磁場的磁偶極子的動力學，不同於處於電場的電偶極子的動力學。磁場會施加力矩於磁偶極子，迫使它依著磁場線排列。但是，力矩是角動量對於時間的導數。所以，會產生自旋進動，也就是說，自旋方向會改變。這物理行為以方程式表達為

；

其中，是迴轉磁比率（gyromagnetic ratio） ，是磁場。

注意到這方程式的左手邊專案是角動量對於時間的導數，而右手邊專案是力矩。磁場又可分為兩部分：

；

其中，是有效磁場（外磁場加上任何自身場），是阻尼係數。

這樣，可以得到蘭道 - 李佛西茲 - 吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert equation）：。

方程式右邊第一個專案描述磁偶極子繞著有效磁場的進動，第二個專案是阻尼專案，會使得進動漸漸減弱，最後消失。蘭道 - 李佛西茲 - 吉爾伯特方程式是研究磁化動力學最基本的方程式之一。

7.6 原子核的磁矩

核子系統是一種由核子（質子和中子）組成的精密物理系統。自旋是核子的量子性質之一。由於原子核的磁矩與其核子成員有關，從核磁矩的測量資料，更明確地，從核磁偶極矩的測量資料，可以研究這些量子性質。

雖然有些同位素原子核的激發態的衰變期超長，大多數常見的原子核的自然存在狀態是基態。每一個同位素原子核的能態都有一個獨特的、明顯的核磁偶極矩，其大小是一個常數，透過細心設計的實驗，可以測量至非常高的精確度。這數值對於原子核內每一個核子的獨自貢獻非常敏感。若能夠測量或預測出這數值，就可以揭示核子波函式的內涵。現今，有很多理論模型能夠預測核磁偶極矩的數值，也有很多種實驗技術能夠進行原子核測試。

7.7 分子的磁矩

任何分子都具有明確的磁矩。這磁矩可能會跟分子的能態有關。通常而言，一個分子的磁矩是下列貢獻的總和，按照典型強度從大至小列出：

假若有未配對電子，則是其自旋所產生的磁矩（順磁性貢獻）
電子的軌域運動，處於基態時，所產生常與外磁場成正比的磁矩（抗磁性貢獻）
依照核自旋組態，核自旋所產生的總磁矩。

7.7.1 分子磁性範例

氧分子，O2，由於其最外面的兩個未配對電子的自旋，具有強順磁性。
二氧化碳分子，CO2，由於電子軌域運動而產生的，與外磁場成正比的，很微弱的磁矩。在某些稀有狀況下，假若這分子是由具磁性的同位素組成，像 13C 或 17O，則此同位素原子核也會將其核磁性貢獻給分子的磁矩。
氫分子，H2，處於一個弱磁場（或零磁場），會顯示出核磁性。氫分子的兩種自旋異構體，正氫或仲氫，都具有這種物理性質。

參閱

電偶極矩
磁化強度
磁化率
球多極矩
絕熱不變數
磁偶極間互動作用（Magnetic dipole-dipole interaction）