珠算

珠算，指的是用算盤進行計算，一般特指用中式算盤進行計算。珠算領域對四則運算統整出了一套系統的計算規則，統稱珠演算法則。其源於中國籌算，在東漢徐嶽所著《數術記遺》記載上古十四種演算法，珠算為其一。不過，當時尚無現在的算盤，是把算珠放於以凹槽為檔的板上作為算盤。

2013 年，聯合國教科文組織將其列入人類非物質文化遺產代表作名錄。

術語

珠算已發展成一系統，亦衍生出許多相關術語，為便於說明，參考國珠聯的《珠算統一用語表》略簡述之：

算盤術語
框
樑
上珠
下珠
運珠相關
算術術語
加算：即加法計算。
被加數： a
加數： b
和： 的 c
減算：即減法計算
被減數： a
減數： b
差： 的 c
乘算：即乘法計算
實、被乘數： a
法、乘數： b
積： 的 c
除算：即除法計算
實、被除數： a
法、除數： b
商： 的 c
餘： 的 d

運珠

有兩種方式：

雙手撥珠，以中國為主，另有俄羅斯、哈薩克、南非、烏茲別克、土耳其、摩洛哥及中東的伊朗、沙烏地阿拉伯、阿聯酋、約旦、黎巴嫩等。
單手運珠，以臺灣、日本、韓國為主，另有馬來西亞、新加坡、泰國、香港、美國、加拿大、巴西、澳洲等。

 二五珠算盤

一般只用拇指、食指和中指撥珠（亦有極少數非常熟練的人五指全用），三個手指的基本分工是：

拇指撥下珠向上靠梁。
食指撥下珠向下離梁。
中指撥上珠靠梁和離梁。

 一四珠算盤

（或一五珠算盤）：兩個手指的基本分工是：

食指撥上珠向下靠梁。
食指撥上珠向上離梁。
拇指撥下珠向上靠梁。
食指撥下珠向下離梁。

 一五珠算盤

兩個手指的基本分工是：

食指撥上珠向下靠梁。
食指撥上珠向上離梁。應該是拇指
拇指撥下珠向上靠梁。
食指撥下珠向下離梁。

演算法

3.1 布數

布數是指表現數字的算珠擺放方式。

3.2 加算

方法為同位值相加，逢十進一，計算時由又高位檔向低位檔依次相加。

（例）1937+284

 口訣

可輔助學習，熟練後亦可不用。

以 +3 為例:

「三上三」是指「（若下珠夠加）直接上撥三顆」(=+3)。
「三下五去二」是指「（若下珠不夠加，且沒有上珠），則撥下一顆上珠，去掉兩夥下珠」（=+5-2）。
「三去七進一」是指「（若下珠不夠加，且有上珠），則去掉七，再高一位進一」（=+10-7）。

其中，「三下五去二」亦是成語中「三下五除二」的由來。

3.3 減算

方法為同位值相減，不夠借位，計算時由高位檔向低位檔依次相減。

（例）2756-957

 口訣

可輔助學習，熟練後亦可不用。

以 -3 為例:

「三去三」是指「（若下珠夠減）直接撥去三顆」(=-3)。

「三上二去五」是指「（若下珠不夠減，且有上珠），則撥去上珠，並加上二顆下珠」（=-5＋2）。

「三退一還七」是指「（若下珠不夠減，且沒有上珠），則更高一位減一，並加上七」（=-10+7）。

 負數

遇到小數減大數時，可以用到一種技巧叫作懸珠來代表負數。懸珠是指將算珠移到不靠樑，也不靠框。其觀念同計算機中的二補數。

3.4 乘算

基本原則就是，將乘數分解為每分數，分別乘上被乘數後相加。如：要計算 32×97

:

:

更進一步分解，

:

:

計算時，不用考慮位值，則只需計算一位 × 一位，如：30×90 ，只需計算 3×9 ，再加至百位即可。如此，可以先將每個一位 × 一位的結果先計算出來，此即為乘法口訣 —— 九九歌。

而使用珠算計算時，因為數字都在盤面上，所以要考慮是否要將實（被乘數）、法（乘數）放置盤面上，放的位置（因計算結果會愈來愈長，可能會與原本被乘數、乘數放置的地方重疊而影響）、計算順序、如何定位等。而根據計算方法，主要有兩大類：

看頭乘法，被乘數、乘數放置盤面上。
看頭乘法，又稱見乘法，乘法速演算法。
破頭乘法，被乘數、乘數不放置盤面上。
破頭乘法，又稱頭乘法
破頭乘法別法，又稱新頭乘法，或稱隔位乘法。

此外，另有一種技巧 湊倍乘法，古稱金蟬脫殻，又稱迭皮乘、加減乘法、變積乘法、倍數乘法、加乘法。可將乘法轉為加減算，從而不需要九九乘法。

其基本想法為：「因為將每個乘數分解成多個一位數，最多隻有 9 種可能（0 不用計算）」，而這 9 種可能，都可以改為「×1、×2、×5 的某種組合」如：被乘數 ×8 相當於 被乘數 x (10-2)。而「×1、×2、×5」這三種運算是容易心算的。

 看頭乘法

 破頭乘法

 新頭乘法

（例）32×97

湊倍乘法

3.5 除算

方法跟長除法類似，即逐位（由高位向低位）來決定適合的商。計算方式主要分兩步驟估商（或試商）和減積。

計算方法有：商除法、歸除法、湊倍除法。

3.5.1 商除法

以約率為例。為簡單起見，先以兩個算盤（一個記錄商，一個記錄餘）說明之。

（例）

第一位
第二位
第三位

得到 。

而實際在計算時，會使用一個算盤同時放置商數和餘數，就是分割槽放。要如何有效利用有限的檔位，又不影響計算，其規律就是夠除，隔位置商；不夠除，挨位置商。

以密率為例，說明完整的商除法。

以 為例

第一位
第二位
第三位
第四位
第五位
第六位。注意，這位是不夠除，挨位置商。
第七位。

得

 修正商

計算過程中，若發現所估的商過大，則要退商；若估商太小，則要補商。

3.5.2 歸除法

其基本想法是，將一些可能的除算先計算出結果，並將商與除數化作口訣，來加速計算除法。

除數為一位的稱為單歸法，除數為多位的，則為歸除法。

3.5.2.1 九歸訣

目前可知最早的記載為朱世傑所撰《算學啟蒙》捲上《歸除歌訣》：「

一歸如一進、見一進成十；

二一添作五、逢二進成十、四進二十、六進三十、八進四十；

三一三十一、三二六十二、逢三進成十、六進二十、九進三十；

四一二十二、四二添作五、四三七十二、逢四進成十、八進二十；

五歸添一倍、逢五進成十；

六一下加四、六二三十二、六三添作五、六四六十四、六五八十二、逢六進成十；

七一下加三、七二下加六、七三四十二、七四五十五、七五七十一、七六八十四、逢七進成十；

八一下加二、八二下加四、八三下加六、八四添作五、八五六十二、八六七十四、八七八十六、逢八進成十；

九歸隨身下、逢九進成十

」

整個歌訣的作用為，「羅列所有被除數及除數的首數的可能，得出商數和餘數」。

以三一三十一為例，第一個數字為三，是除數的首數為三，第二個數字為一，是被除數首數為一，數字雖為 1，但計算的是 。

而三十一意指商為 3 ，餘為 1。同樣的，三二六十二是指。逢三進成十是指。

有些語句是用下加幾來表示，是指商數不變（與被除數首數相同），餘數則為那個幾。以七二下加六為例，。

五歸添一倍是指「用 5 去除一個數，相當於此數加倍」（如：）

其中，部分口訣，也成了成語。如二一添作五意味兩者平分，三一三十一意味三者平分。

 其他版本

也有幾種不同的版本，如簡化版：「

一歸如一進，見一進成十；

二一添作五，逢二進成十；

三一三十一，三二六十二，逢三進成十；

四一二十二，四二添作五，四三七十二，逢四進成十；

五歸添一倍，逢五進成十；

六一下加四，六二三十二，六三添作五，六四六十四，六五八十二，逢六進成十；

七一下加三，七二下加六，七三四十二，七四五十五，七五七十一，七六八十四，逢七進成十；

八一下加二，八二下加四，八三下加六，八四添作五，八五六十二，八六七十四，八七八十六，逢八進成十；

九歸隨身下，逢九進成十。

」

或者，改為更易理解的語句，如將「三一三十一」改為「三一三餘一」，「逢三進成十」改為「逢三進一」。如：「

一歸：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。

二歸：逢二進一，逢四進二，逢六進三，逢八進四，二一添作五。

三歸：逢三進一，逢六進二，逢九進三，三一三餘一，三二六餘二。

四歸：逢四進一，逢八進二，四二添作五，四一二餘二，四三七餘二。

五歸：逢五進一，五一倍作二，五二倍作四，五三倍作六，五四倍作八。

六歸：逢六進一，逢十二進二，六三添作五，六一下加四，六二三餘二，六四六餘四，六五八餘二。

七歸：逢七進一，逢十四進二，七一下加三，七二下加六，七三四餘二，七四五餘五，七五七餘一，七六八餘四。

八歸：逢八進一，八四添作五，八一下加二，八二下加四，八三下加六，八五六餘二，八六七餘四，八七八餘六。

九歸：逢九進一，九一下加一，九二下加二，九三下加三，九四下加四，九五下加五，九六下加六，九七下加七，九八下加八。

」

3.5.2.2 單歸法（除數為一位）

以約率為例。

（例）

得

3.5.2.3 歸除法（除數為多位）

跟單歸法類似，也是藉助九歸歌。可以理解成使用九歸歌來估商。

以 為例，可以先用 300 來估商，因此使用口訣中的三歸口訣。口訣已完成了 300 的減積（如「三一三餘一」中，餘一的部分已加入下一檔）。但 21 的部分仍未減積。因此歸除法區分兩個觀念：除數的首數稱為歸，除數的首數以外的數稱為除。除數為 321 的話，稱作 3 歸 21 除，意味著用 3 歸求商及其減積，再以 21 來完成乘下的減積。

減積後，有可能發現的估商需要調整。若過小，需要增商，這部分口訣中已包含「逢 n 進為十」；若過大，則需退商，則有退商口訣：

一歸：無除起一下還一
二歸：無除起一下還二
三歸：無除起一下還三
四歸：無除起一下還四
五歸：無除起一下還五
六歸：無除起一下還六
七歸：無除起一下還七
八歸：無除起一下還八
九歸：無除起一下還九

這口訣有明顯規律：「無除起（也有作「退」）一下還 n」，無需特別記憶。

另外，也有可能發現在某些情況（即除數、被除數差不多大，卻又不夠除時）下，無法估商，則使用撞歸口訣：

一歸：見一無除撞九一
二歸：見二無除撞九二
三歸：見三無除撞九三
四歸：見四無除撞九四
五歸：見五無除撞九五
六歸：見六無除撞九六
七歸：見七無除撞九七
八歸：見八無除撞九八
九歸：見九無除撞九九

這口訣也有明顯規律：「見 n 無除撞（也有作「作」）九 n」，無需特別記憶。它的意思是，在「除數、被除數的首數同為 n，卻又不夠除，直接估商為 9，下一檔要 +n」時。當首數相同，卻又無法進 1 （代表 10），則估商就從 9 開始。減積後，需要在下一檔 +n 。

以密率為例，因為除數為 ，故稱之為「一歸十三除」，相關口訣如下：

九歸口訣：逢一進一，逢二進二，逢三進三，逢四進四，逢五進五，逢六進六，逢七進七，逢八進八，逢九進九。
退商口訣：無除起一下還一。
撞歸口訣：見一無除撞九一。

（例）

第一位
第二位
第三位
第四位
第五位
第六位
第七位

得 。

3.5.3 湊倍除法

或稱累減除法、大扒皮，首見於《九章詳註比類演算法大全》，是一種不用九九乘法而用累減的計算方式。

3.6 開平方

開平方必須至少三副都是至少十三檔算盤，一副是根，一副是廉，一副是隅

驗算

還原驗演算法

一、交換律

加法算式：被加數 + 加數 = 和數

驗算公式：加數 + 被加數 = 和數

減法算式：被減數 - 減數 = 差數

驗算公式：被減數 - 差數 = 減數

乘法算式：被乘數 * 乘數 = 積

驗算公式：乘數 * 被乘數 = 積

二、逆運算

加法算式：被加數 + 加數 = 和數

驗算公式：和數 - 加數 = 被加數 或 和數 - 被加數 = 加數

減法算式：被減數 - 減數 = 差數

驗算公式：差數 + 減數 = 被減數

乘法算式：被乘數 * 乘數 = 積

驗算公式：積 / 被乘數 = 乘數

除法算式：被除數 / 除數 = 商 (及餘數)

驗算公式：(除數 * 商)+ 餘數 = 被除數

三、尾錯復尾

只再計算最後幾位數一次

九餘數法

只能驗加法，減法，乘法和乘冪

範例一、 123+456=599

123=1+2+3=6 (mod 9)

456=4+5+6=6 (mod 9)

599=5+9+9=5 (mod 9)

因 6+6=3 (mod 9) 不等於 5 (mod 9), 所以計算錯誤，正確答案是 579

範例二、 123*456=68934

123=1+2+3=6 (mod 9)

456=4+5+6=6 (mod 9)

68934=6+8+9+3+4=3 (mod 9)

因 6*6=0 (mod 9) 不等於 3 (mod 9), 所以計算錯誤，正確答案是 56088

範例三、 226853=369780

22=4 (mod 9)

68=5 (mod 9)

53=8 (mod 9)

369780=3+6+9+7+8+0=6 (mod 9)

因 458=7 (mod 9) 不等於 6 (mod 9), 所以計算錯誤，正確答案是 79288

範例四、 23^4=367981

23^4=(-4)^4=4 (mod 9)

367981=34=7 (mod 9)

因 4 (mod 9) 不等於 7 (mod 9), 所以計算錯誤，正確答案是 279841

九餘數法不能查到答案是換位錯誤 (error of transposition) 的問題，例如計算岀 567, 但正確答案是 576 便會顯示正確。勿過度倚賴九餘數法。

九除法

十一除法

二除法

珠算競技

珠算競技可分為珠算競技和心算競技兩大類，心算競技是運用珠算式心算技巧。