么半群

在抽象代數中，么半群，又稱為單群、亞群、獨異點、具么半群或四分之三群（Monoid）是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。

麼半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，么半群捉取了函式複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的么半群是個帶有一個物件的範疇。么半群也常被用來當做電腦科學的堅固代數基礎；在此，變換么半群和語法么半群被用來描述有限狀態自動機，而和則是做為程序演算和平行計算的基礎。么半群的研究中一些較重要的結論有克羅恩 - 羅德斯定理和。

定義

么半群是一個帶有二元運算 *: M × M → M 的集合 M ，其符合下列公理：

結合律：對任何在 M 內的 a、b、c ， (ab)c = a(bc) 。
單位元：存在一在 M 內的元素 e，使得任一於 M 內的 a 都會符合 ae = ea = a 。

通常也會多加上另一個公理：

封閉性：對任何在 M 內的 a 、 b ， a*b 也會在 M 內。

但這不是必要的，因為在二元運算中即內含了此一公理。

另外，么半群也可以說是帶有單位元的半群。

么半群除了沒有逆元素之外，滿足其他所有群的公理。因此，一個帶有逆元素的么半群和群是一樣的。

1.1 生成元和子么半群

么半群 M 的 子么半群是指一個在 M 內包含著單位元且具封閉性（即若 x,y∈N ，則 xy∈N ）的子集 N。很明顯地， N 自身會是個么半群，在導自 M 的二元運算之下。等價地說，子么半群是一個子集 N ，其中 N=N ，且上標 為克萊尼星號。對任一於 M 內的子集 N 而言，子么半群 N 會是包含著 N 的最小么半群。

子集 N 被稱之為 M 的生成元，若且唯若 M=N*。若 N 是有限的， M 即被稱為是有限生成的。

1.2 可交換么半群

運算為可交換的么半群稱之為可交換么半群（或稱為阿貝爾么半群）。可交換么半群經常會將運算寫成加號。每個可交換么半群都自然會有一個它自身的代數預序 ≤ ，定義為下： x ≤ y 若且唯若存在 z 使得 x+z=y 。可交換么半群 M 的序單位是一個在 M 內的元素 u ，其中對任一在 M 內的元素 x 而言，總會存在一個正整數 n 使得 x ≤ nu。這經常用在 M 是偏序阿貝爾群 G 的正錐體的情況，在這種情況下我們稱 u 是 G 的序 - 單位。有接受任何交換么半群，並把它變成全資格阿貝爾群的代數構造；這個構造叫做格羅滕迪克群。

1.3 部分可交換么半群

運算只對某些元素而不是所有元素是交換性的的么半群是跡么半群；跡么半群通常出現在併發計算理論中。

例子

每一個單元素集合 {x} 都可給出一個單元素 (當然) 么半群。對定固的 x，其么半群是唯一的，當其么半群公理在此例子必須滿足 x*x=x 時。
每一個群都是么半群，且每一個阿貝爾群都是可交換么半群。
每一半格都是等冪可交換么半群。
任一個半群 S 都可以變成么半群，簡單地加上一不在 S 內的元素 e，並定義 ee=e 和對任一在 S 內的 s，es=s=se。
自然數 N 是加法及乘法上的可交換么半群。
以加法或乘法為運算，任何單作環的元素
以加法或乘法為運算的整數、有理數、實數及複數
以矩陣加法或矩陣乘法為運算，所有於一環內 n×n 矩陣所組成的集合

某些固定字母 Σ 的有限字元串所組成的集合，會是個以字元串串接為運算的么半群。空字元串當成單位元。這個么半群標記為 Σ*，並稱為在 Σ 內的自由么半群。

給定一么半群 M，並考慮包含其所有子集的冪集 P (M)。這些子集的二元運算可以定義成 S T = {s t : s 在 S 內且 t 在 T 內}。這使得 P (M) 變成了具有單位元 {e} 的么半群。依同樣的方法，一個群的冪集是一在群子集的乘積下的么半群。
設 S 為一集合。由所有函式 S → S 所組成的集合會是在複合函式下的么半群。其單位元為恆等函式。若 S 為有限的且有 n 個元素，其么半群也會是有限的，且有 nn 個元素。
廣義化上述的例子，設 C 為一範疇且 X 為 C 內的一物件。由 X 所有自同態組成的集合，標記為 EndC (X)，是一在態射複合下的么半群。更多有關範疇論和么半群的關係請見下述。
在連通和下的閉流形同態類所組成的集合，其單位元為一般二維球面類。此外，當 a 標記為環面類且 b 標記為射影平面類，此一么半群的每一個元素 c 都會有一唯一的表示式 c=na+mb，其中 n 是大於等於零的整數，m 為 0、1 或 2，且會有 3b=a+b。
設是一個數為 n 的迴圈么半群，亦即。然後，，其中。事實上，不同的 k 會給出不同的么半群，且每個么半群都會和另一個同構。

此外，f 也可以想成在點上的函式，給定如下

或等價地表示成

元素間的乘法即由複合函式給定。

注意當時，函式 f 是的置換，並給出個數為 n 的唯一迴圈群。

性質

在一么半群內，可以定義一元素 x 的正整數冪：x1=x 及 xn=x...x (乘上 n 次)，其中 n>1。冪的規則 xn+p=xn*xp 則是很明顯的。

由定義可以證明其單位元 e 是唯一的。然後，對任一 x，可以設 x0 為 e，則其冪的規則在非負冪中依然會是成立的。

逆元素：一元素 x 稱為可逆，若存在一元素 y，使得 xy = e 且 yx = e。此一元素 y 便稱做 x 的逆元素。結合律使得其逆元素 (若存在) 是唯一的。

若 y 是 x 的逆元素，則可以定義 x 的負冪，以 x−1=y 及 x−n=y...y (乘上 n 次)，其中 n>1。如此冪的規則在所有整數就都成立了，這也是為什麼 x 的逆元素通常會寫做 x−1。所有在么半群 M 內的可逆元素，和其自身的運算可組成一個群。在這意思之下，每個么半群都含有一個群。

但並不是每個么半群都包含在一個群內的。例如，絕對可能有一個么半群，其兩個元素 a 和 b 會有 a*b=a 的關係，即使 b 不是單位元。如此的么半群是不可能包含於一個群內的，

因為在群裡，兩邊一同乘 a 的逆元素，就會得到 b = e 的結果，但這不是真的。一個么半群 (M,) 若具有消去性，即表示對任何在 M 內的 a、b、c，ab = ac 永遠意指 b = c 且 ba = c*a 也永遠意指 b = c。一具有消去性的可交換么半群總是可以包含於一個群內。這是為什麼整數 (加法運算下的群) 可以由自然數 (具有消去性的加法運算下的可交換么半群) 建立。但一具有消去性的不可交換么半群則一定不可能包含於一個群之中。

若一么半群有消去性且是有限的，它會是一個群。

一可逆么半群為一么半群，其任一在 M 內的 a，總存在一唯一在 M 內的 a-1，使得 a=aa-1a 且 a-1=a-1aa-1。

一么半群 G 的子么半群是 G 的子集 H，其包含有單位元，且若 x、y 屬於 H，則 xy 屬於 H。很清楚地，H 本身也是個么半群，在 G 的二元運算之下。

作用和運算元么半群

運算元么半群是一作用在集合 X 上的么半群 M。亦即，存在一運算 $ : M × X → X 符合么半群的運算。

對任一在 X 內的 x：e$x=x。
對任何在 M 內的 a、b 及在 X 內的 x：a $ (b $ x) = (a b) $ x。) = (a b)・x.

運運算元么半群也叫做作用 (因為它們類似於群作用), 轉移系統，半自動機或變換半群。

么半群同態

兩個么半群 (M, *) 和 (M′, @) 之間的同態是一個函式 f : M → M′，會有如下兩個性質：

f (x*y) = f (x)@f (y) 對所有在 M 內的 x 和 y
f (e) = e′

其中 e 和 e′分別是 M 和 M′的單位元。

不是每一個群胚同態都會是個么半群同態，因為它不一定會維持單位元。和上述不同，群同態的情況則會成立：群論的公理確保每一兩群之間的群胚同態都會維持住單位元。對於么半群，這不是永遠成立的，而必須有另外的要求。

雙射么半群同態稱做么半群同構。

么半群同餘和商么半群

么半群同餘是相容於么半群乘積的等價關係。就是說它是子集

使得它是自反的、對稱的和傳遞的 (如同所有等價關係必須的那樣)，還要有如果 且 對於所有 M 中的 和 ，則有 的性質。

么半群同餘引發同餘類

而么半群運算 * 引發在同餘類上的二元運算 :

它是么半群同態。它明顯的也是結合的，所以所有同餘類的集合也是么半群。這個么半群叫做商么半群，可以寫為

一些額外的符號是公用的。給定子集 ，寫

對於引發自 L 的同餘類的集合。在這個表示法中，明顯的 。但是一般的說， 不是么半群。走相反的方向，如果 是商么半群的子集，寫

當然這只是 X 的成員的並集。一般的說， 不是么半群。

明顯的有 且 。

和範疇論的關係

么半群可視之為一類特殊的範疇。么半群運算滿足的公理同於範疇中從一個物件到自身的態射。換言之：

 么半群實質上是隻有單個物件的範疇。

精確地說，給定一個么半群 (M,)，可構造一個只有單個物件的小範疇，使得其態射由 M 的元素給出，而其合成則由 么半群的運算 給出。

同理，么半群之間的同態不外是這些範疇間的函子。就此意義來說，範疇論可視為是么半群概念的延伸。許多關於么半群的定義及定理皆可推廣至小範疇。

么半群一如其它代數結構，本身也形成一個範疇，記作 Mon，其物件是么半群而態射是么半群的同態。

範疇論中也有麼半物件的概念，它抽象地定義了何謂一個範疇中的么半群。