外代數

外代數（Exterior algebra）也稱為格拉斯曼代數（Grassmann algebra），以紀念數學家赫爾曼・格拉斯曼。

數學上，向量空間的外代數是一個特定有單位的結合代數，其包含了為其中一個子空間。它記為或。而它的乘法，稱為楔積或外積，記為。楔積是結合的和雙線性的；其基本性質是它在上是交錯的，也就是：

，對於所有向量

這表示

，對於所有向量，以及

，當 線性相關時。

值得注意的是，以上三性質只對中向量成立，不是對代數中所有向量成立。

外代數事實上是 “最一般的” 滿足這些屬性的代數。這意味著所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示，請參看下文。

形式為的元素，其中在中，稱為 - 向量。所有 - 向量生成的的子空間稱為的 - 階外冪，記為。外代數可以寫作每個階冪的直和：

該外積有一個重要性質，就是 - 向量和 - 向量的積是一個 - 向量。這樣外代數成為一個分次代數，其中分級由給出。這些 - 向量有幾何上的解釋：2 - 向量代表以和為邊的帶方向的平行四邊形，而 3 - 向量代表帶方向的平行六面體，其邊為，, 和。

外冪的主要應用在於微分幾何，其中他們用來定義微分形式。因而，微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。

定義及運算律

外代數有很多種等價的定義，下面的定義是最簡潔的一個。

定義：設 是域 上的一個向量空間，讓則定義

:

令 為 的張量代數的理想（即雙邊理想），該理想是由所有形如的張量生成的（其中任意），則將上的外代數定義為商代數，即

:

並且把的等價類 記為，其中 。設 稱

:

為的 - 階外冪（th exterior power of ），稱中的元素為 - 向量（-multivector）。

注：

，當且僅當時才有，因此，可以把等同於，並且把記為；基於類似的原因，可以把等同於，而且把記為。這一點是前面所講的能夠把記為 的特例和前提。
當時，- 向量並不僅限於形如的元素，例如，也是 2 - 向量，其中.

理想中的元素並不僅限於形如的張量，例如，
#, 必定有 和.

# , 由於和以及，顯然有，這就有一個推論：所有的二階對稱張量都在理想中。
# 由於上面的兩個結論，，我們有，這是因為等式右邊的每一項都在中。對張量的階數作數學歸納法，則可以證明：, ，總有。
設，則，作為等價類含有唯一的一個完全反對稱的代表元，可以把這個 - 階的完全反對稱張量等同於，詳見後面的 “反對稱運算元和外冪” 一節。在有些文獻中，- 向量就是以這種方式定義的。

運算律 將上面的注中的內容用寫出，則分別給出

(1) ,

證明如下： 作為等價類，我們從中任意挑選一個代表元，則而且。根據商代數的定義，

:

類似地，可以證明

(2) 根據注 3.1 中的內容，顯然有.

(3) 根據注 3.2 中的內容，對任意成立著

:

注：即使的特徵為 2，這個公式也是對的，只不過此時有而已。

(4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質，運算滿足結合律和分配律：

:

:

:

其中都是任意的。

以前兩條性質為例，其證明如下：設張量分別是中的代表元，即，, , 則

:

:

(5) 根據上面的 (3) 和 (4)，用數學歸納法可以證明：

:

證明從略。

基底和維數

若的維數是而是的基，則集合

是階外冪的一個基。理由如下：給定任何如下形式的楔積

則每個向量可以記為基向量的一個線性組合；利用楔積的雙線性性質，這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為 0；任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序，在交換任何兩個基向量的時候變換符號。一般來講，最後基 - 向量前的係數可以用透過積來描述的矩陣的子式來計算。

數一下基元素，我們可以看到的維數是 n 取 k。特別的有，

對於.

外代數是一個分級代數，是如下直和

其維數等於二項式係數之和，也就是.

例子：歐氏三維空間的外代數

考慮空間，其基為。一對向量

的楔積為

其中是三維空間的基底。

再加一個向量

,

這三個向量的楔積是

其中是一維空間的基底。

空間是，而空間是。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間，這是八維向量空間

.

那麼，給定一對 8 維向量和，其中如上給出，而

,

和的楔積如下 (用列向量表達),

.

容易驗證 8 維楔積以向量為乘法么元。也可以驗證該代數的楔積是結合的 (也是雙線性的):

所以該代數是有單位且結合的。

叉乘的實質，贗向量與贗標量

對三維歐幾里得空間可以建立一個線性同構如下：任取的右手的標準正交基，，，規定把，，分別對映為，，，則的定義與右手的標準正交基如何選取無關。

不難看出，對任意向量和，這個線性同構把對映為。這就是叉乘（向量積）的實質。例如，中平行四邊形的面積向量可以表示為。經過推廣之後，高維黎曼流形中的緊的二維曲面的面積則可以用

來計算（其中是度規張量場在上的誘導度規

的座標分量），由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。

在物理學中，向量（極向量）與贗向量（軸向量）兩個概念經常需要加以區分。從根本上說，向量是中的元素，所以在空間反演變換下不會改變方向；而贗向量其實是中的元素，故在空間反演變換下會改變方向。

類似地，藉助於右手的標準正交基，可以把中的元素對映為 “標量 "。但是，在空間反演變換下它就會原形畢露，所以稱它為贗標量。真正的標量在空間反演下是不變的，而贗標量在空間反演下會改變符號。

把 2 - 向量對映為向量以及把 3 - 向量對映為一個實數的對映實際上是一個叫做霍奇對偶的線性對映。

泛性質及構造

令為一個域（在多數應用中，也就是實數域）上的向量空間。是 “最一般” 的包含的並有一個交替乘法在上由單位的結合 - 代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達：

任給一個有單位的結合 - 代數和一個 - 線性對映使得對於每個屬於成立，則存在恰好一個由單位的代數同態使得所有屬於成立。

要構造最一般的包含的代數，而且其乘法是在上交替的，很自然可以從包含的最一般的代數開始，也就是張量代數，然後透過合適的商來強制交替的性質。這樣我們取中由所有形為的元素生成的雙邊理想，其中屬於，並定義為商

（並且使用為中的乘法的代號）。然後可以直接證明包含並且滿足上述泛性質。

如果不是先定義然後把外冪等同為特定的子空間，我們也可以先定義空間然後把它們合併成為一個代數。這個方法在微分集合中常常用到，並在下節中有描述。

反對稱運算元和外冪

給定兩個向量空間和，一個從到的反對稱運算元是一個多線性對映

使得只要是中線性相關的向量，則

.

最著名的例子是行列式值，從到的反對稱線形運算元。

對映

它關聯中的個向量到他們的楔積，也就是它們相應的 - 向量，這也是反對稱的。事實上，這個對映是定義在上的 “最一般” 的反對稱運算元：給定任何其它反對稱運算元，存在一個唯一的線性對映。這個泛性質表述了空間並且可以作為它的定義。

所有從到基域的反對稱對映組成一個向量空間，因為兩個這樣的對映的和、或者這樣一個對映和一個標量的乘積也是反對稱的。若是有限維的，維數，則該空間可以認同為，其中表示的對偶空間。特別的有，從到的反對稱對映的空間是取維的。

在這個等同關係下，若基域是或者，楔積有一個具體的形式：它從兩個給定的反對稱對映得到一個新的反對稱對映。設和為兩個反對稱對映。和在多線性對映的張量積的情況一樣，楔積的變數數是每個對映的變數數之和。它定義如下：

其中多線性對映的交替定義為其變數的所有排列的帶符號平均：

注意： 有一些書中楔積定義為

指標記法

在主要由物理學家使用的指標記法中有：

微分形式

令為一個微分流形。一個微分 k - 形式是（的餘切叢的階外冪）的一個截面。等價的有：是的光滑函式，對於的每個點給定一個的元素。大致來講，微分形式是餘切向量的全域性版本。微分形式是微分幾何的重要工具，其中，它們被用於定義德拉姆上同調和亞歷山大 - 斯潘尼爾上同調。

推廣

給定一個交換環和一個 - 模，我們可以定義和上文一樣的外代數，它是張量代數適當的商。它會滿足類似的泛性質。

物理應用

格拉斯曼代數在物理中有重要應用，它們被用於建模和費米子和超對稱性相關的各種概念。

參看：超空間，超代數，超群

相關課題

多線性代數
張量代數
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克利福德代數