波動方程

波動方程或稱波方程（wave equation）是一種二階線性偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動現象 — 正如它們出現在經典物理學中 — 例如機械波，包括聲波、光波、引力波、無線電波、水波、和地震波。波動方程抽象自聲學、波動光學、電磁學、電動力學、流體力學、廣義相對論等領域。

歷史上許多科學家，如達朗貝爾、尤拉、丹尼爾・伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動問題時，都對波動方程理論作出過重要貢獻。 1746 年，達朗貝爾發現了一維波動方程，尤拉在其後 10 年之內發現了三維波動方程。

簡介

波動方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，其最簡形式可表示為：關於位置 x 和時間 t 的標量函式 u（代表各點偏離平衡位置的距離）滿足：

這裡 v 通常是一個固定常數，代表波的傳播速率。在常壓、20°C 的空氣中 v 為 343 米 / 秒（參見音速）。在弦振動問題中，v 依不同弦的密度大小和軸向張力不同可能相差非常大。而在半環螺旋彈簧（一種玩具，英文商標為 Slinky）上，波速可以慢到 1 米 / 秒。

標量形式的一維波動方程

2.1 波動方程的推導

一維波動方程可用如下的方式推導：一列質量為 m 的小質點，相鄰質點間用長度 h 的彈簧連線。彈簧的彈性係數（又稱 “倔強係數”）為 k：

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其中 u (x) 表示位於 x 的質點偏離平衡位置的距離。施加在位於 x+h 處的質點 m 上的力為：

其中代表根據牛頓第二定律計算的質點慣性力，代表根據胡克定律計算的彈簧作用力。所以根據分析力學中的達朗貝爾原理，位於 x+h 處質點的運動方程為：

式中已註明 u (x) 是時間 t 的顯函式。

若 N 個質點間隔均勻地固定在長度 L = N h 的彈簧鏈上，總質量 M = N m，鏈的總體勁度係數為 K = k/N，我們可以將上面的方程寫為：

取極限 N , h 就得到這個系統的波動方程：

在這個例子中，波速。

2.2 一般解

2.2.1 代數方法

一維標量形式波動方程的一般解是由達朗貝爾給出的。原方程可以寫成如下的運算元作用形式：

從上面的形式可以看出，若 F 和 G 為任意函式，那麼它們以下形式的組合

必然滿足原方程。上面兩項分別對應兩列行波 ——F 表示經過該點（x 點）的右行波，G 表示經過該點的左行波。為完全確定 F 和 G 的最終形式還需考慮如下初始條件：

經帶入運算，就得到了波動方程著名的達朗貝爾行波解，又稱達朗貝爾公式：

在經典的意義下，如果並且則。但是，行波函式 F 和 G 也可以是廣義函式，比如狄拉克 δ 函式。在這種情況下，行波解應被視作左行或右行的一個脈衝。

基本波動方程是一個線性微分方程，並且將會遵循疊加原理，也就是說同時受到兩列波作用的點的振幅就是兩列波振幅的相加。這意味著可以透過把一列波分解成它的許求解中很有效。此外，可以透過將波分離出各個分量來分析，例如傅立葉變換可以把波分解成正弦分量。

標量形式的三維波動方程

三維波動方程初值問題的解可以透過求解球面波波動方程得到。求解結果可用於推導二維情況的解。

3.1 球面波

球面波方程的形式不隨空間座標系統的轉動而變化，所以可以將它寫成僅與距源點距離 r 相關的函式。方程的三維形式為：

將方程變形為：

此時，因變數 ru 滿足一維波動方程，於是可以利用達朗貝爾行波法將解寫成：

其中 F 和 G 為任意函式，可以理解為以速度 c 從中心向外傳播的波和從外面向中心傳播的波。這類從點源傳出的波強度隨距點源距離 r 衰減，並且屬於無後效波，可以清晰地搭載訊號。這種波僅在奇數維空間中存在（原因將在下一小節中詳細解釋）。幸運的是，我們生活的空間是三維的，所以我們可以清晰地透過聲波和電磁波（都屬於球面波）來互相交流。

3.1.1 時間箭頭的討論

上面方程的解裡面，分成了兩部分，一部分表示向外傳播的波，一部分則是向內。很明顯，只要將 t 換成 - t，就可以在這兩部分之間轉換。這體現了原始方程對於時間是對稱的，任意的一個解在時間軸上倒過來看仍然是一個解。

然而，我們所觀察到的實際的波，都是屬於向外傳播的。除非精心地加以調整，我們無法在自然界觀察到向內的波，儘管它們也是波動方程的合法的解。

關於這個現象，引起了不少討論。有人認為，實際上它們即使存在，也無法加以觀察。想想如果四周的光向一個物體集中，則因為沒有光到達我們的眼睛，我們不可能看見這個物體或者發現這個現象（見波動方程 #參考文獻 | 參考文獻 2 ）。

3.2 廣義初值問題的解

波動方程中 u 是線性函式，並且不隨時間和空間座標的平移而改變。所以我們可以透過平移與疊加球面波獲得方程各種型別的解。令 φ(ξ,η,ζ) 為任意具有三個自變數的函式，球面波形 F 為狄拉克 δ 函式（數學語言是：F 是一個在全空間積分等於 1 且非零區間收縮至原點的連續函式的弱極限）。設 (ξ,η,ζ) 位一族球面波的源點，r 為距源點的徑向距離，即：

可定義

稱為三維波動方程的影響函式，其意義為 (ξ,η,ζ) 點在 t=0 時刻受到短促脈衝 δ 函式作用後向空間中傳出的波的影響，係數分母 4πc 是為方便後續處理而加上的。

若 u 是這一族波函式的加權疊加，且權函式為 φ，則

從 δ 函式的定義可知，u 還能寫成

式中 α、β 和 γ 是單位球面 S 上點的座標，dω 為 S 上的面積微元。該結果的意義為：u (t,x,y,z) 是以 (x,y,z) 為圓心，ct 為半徑的球面上 φ 的平均值的 t 倍：

從上式易得

平均值是關於 t 的偶函式，所以若

那麼

以上得出的便是波動方程初值問題的解。從中可以看出，任意點 P 在 t 時刻受到的波擾動只來自以 P 為圓心，ct 為半徑的球面上，而這個球的內部點在這一時刻對 P 點的狀態完全沒有影響（因為它們的影響之前就已經傳過 P 點了）。因此球面內是解的彼得羅夫斯基空白部份。換一個角度分析，假設三維空間中任意點 P' 在 t=0 時刻受到一個脈衝擾動 δ，那麼由此發出的球面波在傳過空間中的任意其它點 Q 後，便再也不會對 Q 的運動狀態產生影響，這就是在物理學中也非常著名的惠更斯原理（Huygens' principle），也稱為無後效現象，表示傳過的球面波不會留下任何後續效應。

下面我們便可以解釋上一小節中留下的問題了。事實上，前面所得到的球面波解僅在奇數維空間中存在。偶數維空間中波動方程的解是彌散的，也就是說波陣面掠過區域仍然會受其影響。以下面的二維波動方程（極座標形式，注意和上一小節三維形式的差別）為例：

可以從三維形式的解透過降維法得到二維波動方程的影響函式：

其中

設點 M (x,y) 到點 (ξ,η) 距離為 d，那麼從影響函式中可以看出，當 t >d /c 即初始擾動已傳過 M 點後，M 仍在受到它的影響。二維球面波（柱面波）的這一性質決定了它不能作為傳遞訊號的工具，因為這種波（事實上包括所有偶數維空間中的球面波）經過的點受到的是交織在一起的各個不同時刻的擾動。

標量形式的二維波動方程

二維波動方程的直角座標形式為：

如前所述，我們可以從三維波動方程的解中將 u 視為與其中一個自變數無關（降維法）來得到二維形式的解。將初始條件改寫為

則三維形式的解就變成

其中 α 和 β 是單位球面上點的頭兩個座標分量，dω 是球面上的面積微元。此積分可變換為在 (x,y) 為中心，ct 為半徑的圓域 D 上的積分：

從這個結果也能得到上一小節最後的結論。

二維波動方程解的一個例子是緊繃的鼓面的運動。

邊值問題

5.1 一維情形

一根自身繃緊，兩端分別固定於 x=0 和 x=L 的彈性弦在 t>0 時刻，0 t 滿足平方可積條件的解可以透過適當選取 u 和 ut 三角級數展開來求得。

5.2 多維情形

一維初始值 - 邊值理論可以拓展至任意維空間中。考慮 m 維空間（座標簡寫為 x）中的域 D，B 為 D 的邊界。當 0 縱波和橫波:

式中：

和被稱為彈性體的拉梅常數（也叫 “拉梅模量”，英文 Lamé constants 或 Lamé moduli），是描述各向同性固體彈性性質的引數；
表示密度；
是源函式（即外界施加的激振力）；
表示位移；

注意在上述方程中，激振力和位移都是向量，所以該方程也被稱為向量形式的波動方程。