夏爾・埃爾米特

夏爾・埃爾米特或譯作夏勒・厄密（Charles Hermite，，) 是一位傑出的法國數學家，因證明 是超越數而聞名。

研究領域還涉及數論、線性泛函分析（一種無窮維線性代數）、不變數理論、正交多項式、橢圓函式、代數學。埃爾米特多項式、埃爾米特規範形式、埃爾米特運算元（自伴運算元）、埃爾米特矩陣（自伴矩陣）、立方埃爾米特樣條插值法都以他命名。其中有關內積空間中自伴運算元（厄密算符）的趣味理論，意外地成為了半個世紀後興起的量子力學研究的基礎代數工具。“自伴運算元（埃爾米特運算元）可與實數類比，其特徵值一定是實數” 這個不太起眼的基礎性質，卻是量子力學必須引用自伴運算元來表達可觀測物理量的最大原因，而量子力學中的運算元運算，也為線性代數學中的對偶空間理論，提供了一個重要而奇妙的應用例項。

個人經歷

1.1 家庭與童年

1822 年 12 月 24 日，夏爾・埃爾米特出生於法國洛林摩澤爾河畔的迪耶於茲。他的父母一共有 7 個孩子，夏爾在其中排行第 6。他的父親菲迪納・埃爾米特（Ferdinand Hermite）以前曾是一家鹽業公司的首席（d'abord）工程師。菲迪納與妻子馬德雷妮・拉勒曼（Madeleine Lallemand）結婚後，便到岳父的布匹公司裡任職。菲迪納轉行的另一個原因，是因為他覺得自己並不是很喜歡當工程師。菲迪納是一個熱愛藝術的人，一直希望自己能有朝一日以藝術為職業。夏爾的媽媽則是一個女強人，掌控著從生意到丈夫的方方面面。父母所在公司的生意一直經營得很紅火，寬裕的經濟條件為他後來投入艱深的基礎研究免去了後顧之憂。1828 年，埃爾米特一家搬到了洛林南錫。這年夏天，夏爾・埃爾米特的右腳不幸致畸，這使得他走動時很不方便。但有的資料認為夏爾的畸形是從小就有的。父母很擔心他的殘疾會影響他的生活。

他的姓氏 “Hermite”（埃爾米特）在法文中可作名詞用。其名詞含義與英文 “hermit”(意為 “隱士”) 同源，皆出自古希臘文 “ἐρημίτης”(erēmítēs，意為 “在荒涼處居住者”)。不過 “Hermite” 作姓氏時的語源可能不同於其名詞語源。而其名字 “Charles”（夏爾 / 查爾斯）的含義是 “自由之人”。

1.2 教育與成長

埃爾米特先後在南錫皇家中學 (collège royal de Nancy)、巴黎亨利四世中學以及索邦路易大帝中學學習。在他還小的時候，他就已經讀過一些數學大師所寫過的作品，如拉格朗日有關數值方程求解的作品和高斯的數論作品。此外他還涉獵過尤拉的作品。他並不重視自己所在年齡段應該學好的知識，相反地，他與同樣畢業於路易大帝中學的伽羅瓦一樣，早已把注意力放到了 5 次方程的可解性問題上。中學就讀期間，他曾嘗試寫過論證 5 次方程不可能存在根式解的文章。

埃爾米特希望能進入頂級名校巴黎綜合理工學院學習。為透過較難的入學考試，他單獨準備了 1 年時間（尚需考證他這一年是在路易大帝中學讀大學預科班還是他自己單獨報補習班）。給他補習的老師是卡塔蘭。1842 年他以第 68 名的成績如願考入巴黎綜合理工學院，但又不幸在 1 年後因肢體殘疾被學校勸退。他的父母找學校交涉後，學校勉強同意讓他繼續就讀，但仍對他提了苛刻的要求。當時的巴黎綜理帶有軍事院校性質，以健康問題為由拒絕學生入學也無可厚非。但有說法指出學校刁難他，是因為有其他有權勢者想透過擠走夏爾，從而讓自己的小孩得到繼續在該校就學的機會。夏爾覺得自己無法接受學校的條件，放棄了回到學校的機會。次年，校方順理成章地將他正式除名。

在離開學校後的 5 年內，他一方面在為考取其它學校做著漫長的準備，另一方面則繼續鑽研與考試無關的數學問題。埃爾米特並未選擇閉門造車的方式研習數學，而是憑藉其獨特眼光設法結交當時的一流數學家。這段時間裡，他結識了約瑟夫・劉維爾、卡爾・雅可比、約瑟・伯特蘭等數位德才兼備的學界名人。埃爾米特經常登門拜訪伯特蘭，並就地取材地迎娶了伯特蘭的一個姐 / 妹（sister）路易斯・伯特蘭（Louise Bertrand），把學習與婚姻兩件大事同時辦好了。雖然他當時只是一個沒拿到文憑的本科輟學者，但經過一段時間積累後，已具備了直接從事前沿研究的能力，並得到了幾位前輩的認可。

1842 年，他在《新數學年刊》（Nouvelles Annales de Mathématiques）上發表了自己的第 1 篇原創論文，討論了阿貝爾關於 5 次方程代數不可解性的一個引理的簡化證明。1843 年至 1844 年，埃爾米特曾與當時正在研究橢圓函式的卡爾・雅可比多次通訊。在雅可比最後的成品中，收錄了 2 篇埃爾米特寫的文章。其中一篇的內容是如何對阿貝爾曾給出的有關阿貝爾函式的一個定理加以推廣，另一篇的內容則涉及橢圓函式的函式變換。埃爾米特曾獨立發現一些特殊微分方程的通解可用 Θ 函式表示，並利用傅立葉級數研究它們的性質。埃爾米特在 1843 年左右的一些想法還可能直接啟發劉維爾在 1 年後發現了 1 個劉維爾定理。

1.3 執教與後期

1847 年，他參加並通過了高中畢業生考試（examinations for the baccalauréat）。1848 年，埃爾米特被曾經將他勸退的巴黎綜合理工學院聘用，擔任教授和入學考試考官。這次他不再是以學生的身份回來，而是搖身一變，直接成為了學校教職員工。1856 年，他不幸得了天花，虔誠信教的前輩柯西給了他很大的鼓勵以熬過病痛的折磨。1856 年，受一位曾照顧他生活的修女和柯西的共同影響，病癒後的埃爾米特決定重拾宗教禮節（practice of his religion）。7 月 14 日，法國科學院因去世而多出了一個空缺，埃爾米特被選上從而補上了空缺。1869 年，他繼後也成為巴黎綜合理工的數學教授。埃爾米特在崗位上一直幹到了 1876 年，而巴黎科學院的職務則伴隨了他一生。1862 年至 1873 年間，他常會以演講者（lecturer，此處應該不是指職稱名稱）身份在高等師範學校辦講座。70 歲生日時，一家國際數學協會為其主辦了一場大型的慶祝活動。埃爾米特在活動中被人們選為法國榮譽軍團勳章之 “大軍官勳位”。他的才華受到廣泛認可，收穫了來自他人的眾多讚譽，而這並非是每個科研工作者在有生之年都能享受到的福氣。

埃爾米特推崇啟發式教學，曾上過他教授的高等分析與高等代數課程。與其學生湯姆斯・斯蒂爾吉斯的通訊也使他的教學嘗試受益良多。他在教學研究上下了很多功夫。他不喜歡在教學時和繁難的證明細節死磕，而是追求儘量簡明而優美的講法。他的研究成果多集中於橢圓函式論與數論領域。1858 年，他用橢圓函式給出了 5 次方程的一般解。1873 年，他證明了自然對數的底數 e 是超越數，並啟發林德曼於 1882 年給出了圓周率也是超越數的證明。

1901 年，埃爾米特去世，葬於巴黎蒙帕納斯公墓。晚年的他曾遭受氣喘病的煩擾。1903 年，他與學生斯蒂爾吉斯的往來書信對外公開。他的其它一部分工作後由其女婿埃米爾・皮卡整理並發表。

1.4 子女

埃爾米特有 2 個女兒，女婿分別是知名數學家埃米爾・皮卡與工程師。

研究工作

1858 年，他利用橢圓模函式，得出求解五次方程的一般方法。此前的 1824 年，尼爾斯・阿貝爾發表了一個重要證明，指出任意的 5 次代數方程不存在用含根號的代數式表達的一般解。而埃爾米特則成為第一個用非初等函式（即超越函式）表示出 5 次方程一般解的人。

在 1861 年魏爾斯特拉斯發現無處可微的連續曲線以後，埃爾米特有如下著名的評論：

1873 年，他第一個證明了 e，也就是自然對數的底，是一個超越數。約瑟夫・劉維爾在此前的 1844 年曾第一個證明了超越數是存在的，並於 1851 年給出了 1 個用無限位十進位制小數形式表示的超越數，即劉維爾數。而埃爾米特的方法後來被費爾迪南・馮・林德曼用於證明 π 的超越性。

其它工作可見於以下作品：

《巴黎綜合理工學院分析學教程》("Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique"), Paris, 1873.

《科學人員的事業道路》("Cours professé à la Faculté des Sciences"), edited by Andoyer, 4th ed., Paris, 1891.

《通訊錄》("Correspondance"), edited by Baillaud and Bourget, Paris, 1905, 2 vols.

《夏爾・埃爾米特的作品》("Oeuvres de Charles Hermite"), edited by Picard for the Academy of Sciences, 2 vols., Paris, 1905 and 1908.

評價

生平軼事

坊間關於埃爾米特生平經歷的文章，認為埃爾米特數學考試成績經常不及格，大學畢業後考不上好的研究所，且痛恨應試教育。臺灣網路的一篇類似內容的文章並以 E・T・貝爾的書《》作為參考資料。但 E・T・貝爾的書在介紹埃爾米特的第 24 章中雖然寫了埃爾米特鄙視學校考試，但並未提到一些與本文所引述的內容。科學網（中國科學院和中國工程院等共同主辦）在轉載時則例行慣例地在正文下方提醒了讀者需自己留心文章的真實性。由於歷史久遠，關於埃爾米特的生平史實資料又流傳不多，因此對於這位令人尊敬的數學家在數學專業外的生平，確實有難以精確考究的不確定性，這是對其生平有興趣者需要留意的地方。