愛因斯坦求和約定

在數學裡，特別是將線性代數套用到物理時，愛因斯坦求和約定（Einstein summation convention）是一種標記的約定，又稱為愛因斯坦標記法（Einstein notation），在處理關於坐標的方程式時非常有用。這約定是由阿爾伯特・愛因斯坦於 1916 年提出的。後來，愛因斯坦與友人半開玩笑地說：「這是數學史上的一大發現，若不信的話，可以試著返回那不使用這方法的古板日子。」

按照愛因斯坦求和約定，當一個單獨專案內有標號變數出現兩次，一次是上標，一次是下標時，則必須總和所有這單獨專案的可能值。通常而言，標號的標值為 1、2、3（代表維度為三的歐幾裡得空間），或 0、1、2、3（代表維度為四的時空或閔可夫斯基時空）。但是，標值可以有任意值域，甚至（在某些應用案例裡）無限集合。這樣，在三維空間裡，

的意思是。

請特別注意，上標並不是指數，而是標記不同坐標。例如，在直角坐標系裡，、、分別表示坐標、坐標、坐標，而不是、的平方、的立方。

簡介

愛因斯坦標記法的基本點子是餘向量與向量可以形成純量：。

通常會將這寫為求和公式形式：。

在基底變換之下，純量保持不變。當基底改變時，一個向量的線性變換可以用矩陣來描述，而餘向量的線性變換則需用其逆矩陣來描述。這樣的設計為的是要保證，不論基底為何，伴隨餘向量的線性函式（即上述總和）保持不變。由於只有總和不變，而總和所涉及的每一個專案都有可能會改變，所以，愛因斯坦提出了這標記法，重複標號表示總和，不需要用到求和符號：

採用愛因斯坦標記法，餘向量都是以下標來標記，而向量都是以上標來標記。標號的位置具有特別意義。請不要將上標與指數混淆在一起，大多數涉及的方程式都是線性，不超過變數的一次方。在方程式裡，單獨專案內的標號變數最多隻會出現兩次，假若多於兩次，或出現任何其它例外，則都必須特別加以說明，才不會造成含意混淆不清。

向量的表示

線上性代數裡，採用愛因斯坦標記法，可以很容易的分辨向量和餘向量（又稱為 1 - 形式）。向量的分量是用上標來標明，例如，。給予一個維向量空間和其任意基底（可能不是標準正交基），那麼，向量表示為。

餘向量的分量是用下標來標明，例如，。給予的對偶空間和其任意基底（可能不是標準正交基），那麼，餘向量表示為。

採用向量的共變和反變術語，上標表示反變向量（向量）。對於基底的改變，從改變為，反變向量會變換為

；

其中，是改變基底後的向量的分量，是改變基底後的坐標，是原先的坐標，

下標表示共變向量（餘向量）。對於基底的改變，從改變為，共變向量會會變換為。

一般運算

矩陣的第橫排，第 豎排的元素，以前標記為；現在改標記為。各種一般運算都可以用愛因斯坦標記法來表示如下：

3.1 內積

給予向量和餘向量，其向量和餘向量的內積為純量：。

3.2 向量乘以矩陣

給予矩陣和向量，它們的乘積是向量：。

類似地，矩陣的轉置矩陣，其與餘向量的乘積是餘向量：。

3.3 矩陣乘法

矩陣乘法表示為。

這公式等價於較冗長的普通標記法：。

3.4 跡

給予一個方塊矩陣，總和所有上標與下標相同的元素，可以得到這矩陣的跡：。

3.5 外積

M 維向量和 N 維餘向量的外積是一個 M×N 矩陣：。

採用愛因斯坦標記式，上述方程式可以表示為

由於和代表兩個不同的標號，在這案例，值域分別為 M 和 N，外積不會除去這兩個標號，而使這兩個標號變成了新矩陣的標號。

向量的內積

一般力學及工程學會用互相標準正交基的基底向量、及來描述三維空間的向量。。

把直角坐標系的基底向量、及寫成、及，所以一個向量可以寫成：。

根據愛因斯坦求和約定，若單項中有標號出現兩次且分別位於上標及下標，則此項代表著所有可能值之總和：。

由於基底是標準正交基，的每一個分量，所以，。

兩個向量與的內積是。

由於基底是標準正交基，基底向量相互正交歸一：

；

其中，就是克羅內克函式。當時，則，否則。

邏輯上，在方程式內的任意專案，若遇到了克羅內克函式，就可以把方程式中的標號轉為或者把標號轉為。所以，。

向量的叉積

採用同樣的標準正交基、及，兩個向量與的叉積，以方程式表示為

:。

注意到

；

其中，張量是列維 - 奇維塔符號，定義為

所以，。

設定，那麼，。

所以，。

向量的共變分量和反變分量

在歐幾裡得空間裡，共變向量和反變向量之間的區分很小。這是因為能夠使用內積運算從向量求得餘向量；對於所有向量，透過下述方程式，向量唯一地確定了餘向量：。

逆過來，透過上述方程式，每一個餘向量唯一地確定了向量。由於這向量與餘向量的相互辨認，我們可以提到向量的共變分量和反變分量；也就是說，它們只是同樣向量對於基底和其對偶基底的不同表現。

給予的一個基底，則必存在一個唯一的對偶基底，滿足

；

其中，張量是克羅內克函式。

以這兩種基底，任意向量可以寫為兩種形式

 ；

其中，是向量對於基底的反變分量，是向量對於基底的共變分量，

6.1 歐幾裡得空間

在歐幾裡得空間裡，使用內積運算，能夠從向量求得餘向量。給予一個可能不是標準正交基的基底，其基底向量為、、，就可以計算其對偶基底的基底向量：

；

其中，是基底向量、、共同形成的平行六面體的體積。

反過來計算，

；

其中，是基底向量、、共同形成的平行六面體的體積。

雖然與並不相互標準正交，它們相互對偶：。

雖然與並不相互標準正交，它們相互對偶：。

這樣，任意向量的反變分量為。

類似地，共變分量為。

這樣，可以表示為

，

或者，。

綜合上述關係式，。

向量的共變分量為

；

其中，是度規張量。

向量的反變分量為

 ;

其中，是共軛度規張量。

共變分量的標號是下標，反變分量的標號是上標。假若共變基底向量組成的基底是標準正交基，或反變基底向量組成的基底是標準正交基，則共變基底與反變基底相互等價。那麼，就沒有必要分辨共變分量和反變分量，所有的標號都可以用下標來標記。

抽象定義

思考維度為的向量空間。給予一個可能不是標準正交基的基底。那麼，在內的向量，對於這基底，其分量為、、...。以方程式表示，

 。

在這方程式右手邊，標號在同一專案出現了兩次，一次是上標，一次是下標，因此，從等於到，這專案的每一個可能值都必須總和在一起。

愛因斯坦約定的優點是，它可以應用於從用張量積和對偶性建立的向量空間。例如，，與自己的張量積，擁有由形式為的張量組成的基底。任意在內的張量可以寫為。

向量空間的對偶空間擁有基底，遵守規則

；

其中，是克羅內克函式。

範例

為了更明確地解釋愛因斯坦求和約定，在這裡給出幾個簡單的例子。

思考四維時空，標號的值是從 0 到 3。兩個張量，經過張量縮併（tensor contraction）運算後，變為一個純量：。

方程式的右手邊有兩個專案：。

由於運算結果與標號和無關，可以被其它標號隨意更換，所以，和稱為傀標號。

自由標號是沒有被總和的標號。自由標號應該出現於方程式的每一個專案裡，而且在每一個專案裡只出現一次。在上述方程式裡，是自由標號，每一個專案都必須有同樣的自由標號。注意到在專案裡，標號出現了兩次，一次是上標，一次是下標，所以，這專案的所有可能值都必須總和在一起。稱為求和標號。

思考在黎曼空間的弧線元素長度：

:。請將這兩種標號跟自由變數和約束變數相比較。

進一步擴充套件，

:

::

::

::。

注意到是乘以，是，而不是坐標的微小元素。當有疑慮時，可以用括號來分歧義。

參閱

狄拉克標記
抽象指標記號
潘洛斯圖形標記法（Penrose graphical notation）