直言三段論

直言三段論是所有前提都是直言命題的演繹推理。前兩個命題被分別稱為大前提和小前提。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蘊涵了最後的命題，它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯絡之上：中項在前提中必須周延（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂詞之間的連線。例如：

所有生物都會死。

所有人都是生物。

所以，所有人都會死。

這裡的中項 “生物” 在大前提中周延，大項 “會死者” 在大前提和結論中都不周延，小項 “人” 在小前提和結論中周延；這個三段論符合周延規則：中項至少在一個前提中周延。一些直言三段論不是有效的，例如：

所有鳥都有翅膀。

所有人都不是鳥。

所以，沒有人有翅膀。

即使此例子的兩個前提和結論都是正確的，中項 “鳥” 在大前提和小前提中周延，大項 “有翅膀” 在結論中周延，小項 “人” 在小前提和結論中周延；此三段論卻是一種大項不當謬誤，將結論 “沒有人有翅膀” 理解為同樣表達的 “所有人沒有翅膀” 如此一來方便了解其中的謬誤；此三段論不有效的原因是它不符合另一個周延規則：在結論中周延的詞項，在前提中也必須周延。在該三段論中大項 “有翅膀” 在結論被否定了，也就是說表達了人沒有 “有翅膀”，大項在此周延，但在大前提中未周延，因為在大前提中 “有翅膀” 並沒有涉及該項的所有個體。

語氣和格式

三段論有如下典型形式：

大前提：所有 M 是 P。

小前提：所有 S 是 M。

結論：所有 S 是 P。

其中 S 代表結論的主詞（Subject），P 代表結論的謂詞（Predicate），M 代表中詞（Middle）。

三段論的命題可分為全稱（universal）、特稱（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類語氣（Mood）：

三段論中，結論中的謂詞稱作大詞（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作大前提；結論中的主詞稱作小詞（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作小前提；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作中詞（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種格（Figure）：

將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為 A、E、I、O 型命題之一，又可分為 4 格，故總共有 256 種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有 512 種，但邏輯上是相同的）。

三段論依語氣與格的分類縮寫，例如 AAA-1（也可以寫成 1-AAA）代表「大前提為 A 型，小前提為 A 型，結論為 A 型，第 1 格」的三段論。

此外，三段論的四種格之間可相互轉換：

第 1 格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第 2 格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第 3 格。
第 2 格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第 1 格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第 4 格。
第 3 格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第 4 格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第 1 格。
第 4 格：對換大前提的主詞和謂詞的位置就變成第 3 格，對換小前提的主詞和謂詞的位置就變成第 2 格。

E 和 I 命題對換主詞和謂詞的位置而保持同原命題等價。A 命題和 O 命題不能對換主詞和謂詞的位置，但是可以採用直接推理中的 “對置法”。A 命題還可以在確實主詞有元素存在的前提下，轉換成弱於原命題的 I 命題後再對換主詞和謂詞的位置。

有效性

考慮各種直言三段論的有效性將是非常冗長耗時的。前人想出了三個可供選擇的方法來找出有效性。方法之一是記住下一章節中列出的所有論式。

還可以透過構造文氏圖的方法得到有效形式。因為有三種項，文氏圖需要三個交疊的圓圈來表示每一個類。首先，為小項構造一個圓圈。臨近小項的圓圈的是同小項有著交疊的大項的圓圈。在這兩個圓圈之上是中項的圓圈。它應當在三個位置有著交疊：大項，小項和大項與小項交疊的地方。一個三段論是有效的，其必然條件是透過圖解兩個前提得出結論的真實性。永不圖解結論，因為結論必須從前提推匯出來。總是首先圖解全稱命題。這是透過對一個類在另一個類中沒有成員的區域加黑影來實現的。所以在前面例子的 AAA-1 形式中大前提 “所有 M 是 P” 中，對 M 不與 P 交疊的所有區域加黑影，包括 M 與 S 交疊的部分。接著對小前提重複同樣的過程。從這兩個前提中可推匯出在類 S 中所有成員也是類 P 的成員。但是，不能推出類 P 的所有成員都是類 S 的成員。

作為文氏圖方法的另一個例子，考慮形式 EIO-1 的三段論。它的大前提是 “沒有 M 是 P”，它的小前提是 “有些 S 是 M”，它的結論是 “有些 S 不是 P”。這個三段論的大項是 P，它的小項是 S，它的中項是 M。大前提在圖中透過對交集 M ∩ P 加陰影表示。小前提不能透過對任何區域加黑影表示。轉而，我們可以在交集 S ∩ M 的非黑影部分使用 x 符號來表示 “有些 S 是 M”。（注意：黑影區域和存在量化區域是互斥的）。接著因為存在符號位於 S 內但在 P 外，所以結論 “存在一些 S 不是 P” 是正確的。

本文最後一節列出了所有 24 個有效論式的文氏圖。

最後一種方法是記住下面非形式表述的幾條規則以避免謬論。儘管文氏圖對於詮釋目的是好工具，有人更喜歡用這些規則來檢驗有效性。

基本規則：

結論中周延的詞必須在前提中周延（謬誤：大詞不當、小詞不當）。
中詞必須周延至少一次（謬誤：中詞不周延）。
結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等：
# 二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：肯定前提推得否定結論）。
# 一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：否定前提推得肯定結論）。
# 二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：排它前提謬誤）。
結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等：
# 二前提皆全稱，則結論必須為全稱。
# 一前提是特稱，則結論必須為特稱。
# 二前提皆特稱，則三段論必無效。

若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。

2.1 有效三段論式

唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了 A、E、I、O 全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（E 或 O），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（I 或 O），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（E、I 或 O）。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。

在全部 256 種三段論式中，有 24 種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有 15 種有效。

2.2 常犯的無效三段論式

1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO

2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO

3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO

4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO

三段論式列表

總共有 19 個有效的論式，算結論弱化（全稱弱化為特稱）的 5 個論式則為 24 個有效論式，其中每一格剛好各有 6 個有效論式。為便於記憶，中世紀的學者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的加了下劃線的母音即是對應的語氣：

3.1 經典三段論式

下面列出的是亞里士多德的《前分析篇》中關於前 3 個格的 14 個三段論式。

3.1.1 第 1 格

AAA（Barbara）

所有 M 是 P。

所有 S 是 M。

∴所有 S 是 P。

EAE（Celarent）

沒有 M 是 P。

所有 S 是 M。

∴沒有 S 是 P。

AII（Darii）

所有 M 是 P。

有些 S 是 M。

∴有些 S 是 P。

EIO（Ferio）

沒有 M 是 P。

有些 S 是 M。

∴有些 S 不是 P。

3.1.2 第 2 格

AEE（Camestres）

所有 P 是 M。

沒有 S 是 M。

∴沒有 S 是 P。

（AEE-2 是 AEE-4 的等價形式。這種形式還有其他推導方法。）

EAE（Cesare）

沒有 P 是 M。

所有 S 是 M。

∴沒有 S 是 P。

（EAE-2 是 EAE-1 的等價形式。）

AOO（Baroco）

所有 P 是 M。

有些 S 不是 M。

∴有些 S 不是 P。

（這種形式還有其他推導方法。）

EIO（Festino）

沒有 P 是 M。

有些 S 是 M。

∴有些 S 不是 P。

（EIO-2 是 EIO-1 的等價形式。）

3.1.3 第 3 格

AAI（Darapti）

所有 M 是 P。

所有 M 是 S。

∴有些 S 是 P。

（這種形式需要假定有些 M 確實存在。）

EAO（Felapton）

沒有 M 是 P。

所有 M 是 S。

∴有些 S 不是 P。

（這種形式需要假定有些 M 確實存在。）

AII（Datisi）

所有 M 是 P。

有些 M 是 S。

∴有些 S 是 P。

（AII-3 是 AII-1 的等價形式。）

EIO（Ferison）

沒有 M 是 P。

有些 M 是 S。

∴有些 S 不是 P。

（EIO-3 是 EIO-1 的等價形式。）

IAI（Disamis）

有些 M 是 P。

所有 M 是 S。

∴有些 S 是 P。

（IAI-3 是 IAI-4 的等價形式。）

OAO（Bocardo）

有些 M 不是 P。

所有 M 是 S。

∴有些 S 不是 P。

（這種形式還有其他推導方法。）

3.2 增補的論式

第 4 格由亞裡士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。

3.2.1 第 4 格

AAI（Bamalip）

所有 P 是 M。

所有 M 是 S。

∴有些 S 是 P。

（這種形式需要假定有些 P 確實存在。）

EAO（Fesapo）

沒有 P 是 M。

所有 M 是 S。

∴有些 S 不是 P。

（這種形式需要假定有些 M 確實存在。）

（EAO-4 是 EAO-3 的等價形式。）

AEE（Calemes）

所有 P 是 M。

沒有 M 是 S。

∴沒有 S 是 P。

EIO（Fresison）

沒有 P 是 M。

有些 M 是 S。

∴有些 S 不是 P。

（EIO-4 是 EIO-1 的等價形式。）

IAI（Dimaris）

有些 P 是 M。

所有 M 是 S。

∴有些 S 是 P。

3.2.2 結論弱化的論式

歷史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4 的拉丁語名字中有字母 “p”，用來指示出這些論式透過引入了某個詞項確實有元素存在的前提，將一個 A 命題弱化成了 I 命題。後人認為它們不是直言的即不是無條件的，這個問題被稱為存在性引入問題。

在假定結論的主詞確定有成員存在的前提下，可將論式中的結論 A 弱化為結論 I，結論 E 弱化為結論 O，它們也可以被增補為有效論式，從而得到所有可能的 24 有效論式。結論弱化論式有 5 個：AAI-1（Barbari），即弱化的 AAA-1；EAO-1（Celaront），即弱化的 EAE-1；AEO-2（Camestros），即弱化的 AEE-2；EAO-2（Cesaro），即弱化的 EAE-2；AEO-4（Calemos），即弱化的 AEE-4。AAI-1 的結論同於 AII-1 的結論，EAO-1、EAO-2 的結論同於 EIO-1 的結論，AEO-2、AEO-4 的結論同於 AOO-2 的結論，需要注意結論弱化論式原來的結論依然成立。

3.3 謂詞演算公式的註解

按照布林邏輯和集合代數的觀點，三段論可以解釋為：集合（類）和集合有某種二元關係，並且集合和集合有某種二元關係，從而推論出集合和集合是否存在進而為何種可確定的二元關係。兩個集合之間的二元關係用直言命題可確定的有四種：

A（全稱肯定）命題：所有的元素是的元素，確定了 “包含於” 的關係，是的子集，是的超集，這是一種偏序關係，包含於，並且包含於，則包含於。A 命題允許兩個推理方向，從元素屬於推出它屬於，從元素不屬於推出它不屬於。A 命題確定了減的差集是空集。
E（全稱否定）命題：所有的元素不是的元素，確定了和是 “無交集” 的關係，這是一種對稱關係，無交集於，同於無交集於。E 命題允許兩個推理方向，從元素屬於推出它不屬於，從元素屬於推出它不屬於。E 命題確定了與的交集是空集。
I（特稱肯定）命題：有些的元素是的元素，確定了和是 “有交集” 的關係，這是一種對稱關係，有交集於，同於有交集於。I 命題確定了與的交集不是空集。
O（特稱否定）命題：有些的元素不是的元素，確定了 “不包含於” 的關係。O 命題確定了減的差集不是空集。

兩個全稱命題可以推出一個新的全稱命題，一個全稱命題和一個特稱命題可以推出一個新的特稱命題，兩個特稱命題無法推理。A 命題可以和所有四種命題組合。E 命題還可以和 I 命題組合，兩個否定命題和 IE 組合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在 AA、AE、EA、AI、IA、AO、OA、EI 這 8 種組合乘以 4 種格，共 32 種情況中找出。

AA 組合中 AAA-1 是直接推出的；第 4 格 AA 組合推論出謂詞包含於主詞的關係，這不是四種命題之一，只能在謂詞確實有元素存在的前提下弱化為 AAI-4。AE 組合中 AEE-4 是直接推出的，EA 組合中 EAE-1 是直接推出的。第 3 格 AA 組合和 EA 組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成 AAI-3 和 EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3 沒有等價者。透過對換其前提 E 命題中主詞和謂詞的位置，從 AEE-4 得出其等價者 AEE-2，從 EAE-1 的得出其等價者 EAE-2，從 EAO-3 得出其等價者 EAO-4。

AII-1、IAI-4 是直接推出的，透過對換其前提 I 命題中主詞和謂詞的位置，從 AII-1 得出其等價者 AII-3，從 IAI-4 得出其等價者 IAI-3。AOO-2 和 OAO-3 在歷史上採用了反證法，這裡採用了直接推理中的 “對置法”，AOO-2、OAO-3 沒有等價者。EIO-1 是直接推出的，透過對換其前提 E 命題 I 命題中主詞和謂詞的位置，從 EIO-1 得出其等價者 EIO-2、EIO-3、EIO-4。

24 論式圖示

下表以文氏圖展示 24 個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。