嘉當聯絡

在數學上，微分幾何的結構嘉當聯絡（Cartan connection）是聯絡概念的一個推廣，由 Élie Cartan 提出。該方法的一些應用請參見活動標架法，嘉當聯絡的應用和愛因斯坦 - 嘉當理論。

理論的概念方面

它由埃裡・嘉當提出，作為他的活動標架法的一部分（和一種表述方法）。它可作用於微分形式，所以帶有計算的特徵，但也有兩個其它重要的方面，兩個都更偏幾何。嘉當重新表述了偽黎曼幾何的微分幾何；並不僅僅是（度量）流形，還有任意流形的理論，包括李群。這是用活動標架（repère mobile）的術語來表述的，特別是作為廣義相對論的另一種表述。

主要的想法是用正交標架建立聯絡形式和曲率的表示式。

嘉當形式化是協變導數和曲率的一種可選表示法，它採用微分形式和標架。雖然它最基本的形式是座標相關的，它非常適合計算。它也可以用標架叢的術語來理解，並且有像旋量叢（spinor bundle）這樣的推廣。

1.1 標架的一般理論

理論的第一個方面指向主叢的理論（也可以成為標架的一般理論）。對於李群 G 的主叢上的聯絡的想法比較容易表述，因為在 “豎直方向”，可以看到所需的資料可以透過把所有切向量平移回單位元（回到李代數）給出，而聯絡的定義只是簡單的加上一個相容的 ' 水平 ' 分量。若 G 是對於另一個李群 H 的一種仿射群 - 也就是 G 是 H 和一個 H 作用在其上的向量平移群 T 的半直積，則一個 H 叢可以透過關聯叢（associated bundle）構造變成一個 G 叢。也有一個關聯的 T 叢：一個向量叢，H 以自同胚作用於其上，該自同胚在 G 上成為內自同胚。

這種設定下的第一類定義是 H 的一個嘉當聯絡是一個特定型別的主 G - 聯絡。

1.2 認同切叢

第二種定義直接檢視以光滑流形 M 為基空間的切叢 TM。這裡，資料是 TM 的一種特定的認同，作為一個叢，作為上面提到的 T 叢中的豎直切向量（其中，M 自然的認同為 0 截面）。這稱為焊接（soldering, 有時寫作 welding）: 我們現在把 TM 放在了更豐富的設定中，它由 H 值的變換資料表達。這裡的一個要點是，和前面的討論一樣，它不假設 H 忠實地作用在 T 上。這直接使得旋量叢可以在理論中取代它們的位置，只要把 H 變成一個旋量群而不只是一個正交群。

使用形式化屬於的一般理論

在根源上，幾何由空間的不同物體間的 "相似性" 的概念組成。在 19 世紀晚期，相似性的概念通常由李群在空間上的作用給出。李群的作用通常是非常剛性的，所以嘉當幾何是這種相似概念的一個推廣使得曲率得以出現。當然，一個平坦的嘉當幾何是沒有曲率的幾何。從平坦的情況開始，我們用一般性的形式化數學術語描述嘉當幾何是什麼意思。

2.1 平坦的情況

2.1.1 問題的引入

愛爾蘭根綱領主要處理拓撲群的齊性空間的研究，特別的，多數有用的幾何（至少在 19 世紀和 20 世紀初）剛好就是同胚於李群的李子群的商空間的齊次微分流形。正是繼承自李群的微分結構給了這些齊次空間比一般的齊次空間更多的（微分型別的）結構。

2.1.2 數學細節

嘉當的一般方法是從一個李群 G 和一個李子群 H 開始，它們的李代數分別為和。有一個 H 的右作用在標準同態

的纖維上，由給出。一個向量場是豎直的若。任何可以透過右作用的微分給出一個標準的豎直向量場。所以，譬如若 h (t) 是若 h (t) 是一個單引數子群，其在么元的切向量為 h'(e)=X, 則其垂直向量場為

G 的 Maurer-Cartan form w 可以用齊次空間上的主叢的術語公理化的解釋為：

w 是一個 G 上的 g 值 1 - 形式，它是 G 的切空間的線性同構。
對所有 H 中的 h.

對所有中的 X.

（結構方程）

反過來講，可以表明，給定一個流形和一個 M 上的主 H 叢，若叢上給出一個形式 w 滿足這些條件，則該主叢局域同構於一個主齊次叢的 H 叢.Maurer-Cartan 形式的第四個屬性等價於建立這種同構的可積性條件。一個嘉當幾何是這個意義下的可積性條件的一種破壞，使得曲率得以出現。

2.2 彎曲的情況

從上述的齊次空間的基本資料開始，我們現在準備定義一個嘉當幾何為這個結構的一個特定變形，使得曲率能夠出現。

2.2.1 引例

黎曼幾何可以看作是歐氏幾何的 "變形", 偽黎曼流形是閔可夫斯基空間的變形，配置了共形結構的微分流形（Weyl 流形）可以視為共形幾何的變形，一個配置了仿射聯絡的微分流形（但沒有黎曼度量）可以視為仿射幾何的變形，等等。

還有很多其它例子。特別的有，G 可以不是 H 上的仿射群。物理中的例子有，若 M 為一四維流形而 H 為旋子洛倫茲群 Spin (3,1)，則 G 可以是

R4Spin (3,1）,

或 Spin (4,1) 或 Spin (3,2)。這分別對應於選擇閔可夫斯基空間，de Sitter 空間和反 de Sitter 空間。這些結構的彎曲對應物在廣義相對論中很重要。（選擇哪個群取決於宇宙常數的符號）

另一個例子，G 可以是 SO (n+1,1)，作用於 n+2 維閔可夫斯基空間，而 H 可以是透過原點的射線的等距群。這樣得到的幾何結構和 n 球的共形運動群同構。這些資料的彎曲對應和流形的共形結構的表述相關。

2.2.2 數學細節

嘉當幾何有下列部分組成。一個光滑 n 維流形 M，一個 r 維李群 H, 其李代數為，一個 M 上的主 H 叢 P，一個 n+r 維李群 G，其李代數為，H 為 G 子群。嘉當聯絡是 P 上的 - 值的 1 - 形式滿足

w 是 P 的切空間的線性同構
對所有 H 中的 h
對所有中的 X

嘉當聯絡的曲率為 - 值的 2 - 形式

若 M 配備了一個嘉當幾何，其切空間有一個標準的 H 表示。實際上，投影有微分

. 的核（kernel）由垂直向量的子叢組成，嘉當聯絡平凡化為。這樣 M 的切叢同構於纖維積

這裡被 H 的伴隨表示作用於其上。

嘉當聯絡的規範

進行嘉當聯絡的實際計算時，傳統上要在一個特定的規範中進行。M 上的一個規範就是 M 的（一個開子集上的）- 值 1 - 形式，使得商對映

是向量空間的同構。

用聯絡 w 的術語來講，一個規範可以透過選擇一個截面，並置來決定。這樣一個叢的截面稱為一個活動標架。若一對截面 s 和 t 給定，則他們透過 H - 作用相聯，所以，其中 k 一個 M 上的 H - 值函式。所匯出的規範和有下列方程關聯

其中是 H 的 Maurer-Cartan 形式。

基本 D 運算元

令 V 為 H 的實或復表示，H 的作用記作。令為 P 上的等變 V 值函式，使得

對所有.

或者說

.

令為 P 上的等變 V 值 q - 形式的空間。在有嘉當聯絡的情況，有一個標準的同構

由下式給出

de Rham 運算元保持等變性，所以退化為一階微分運算元

.

基本 D 運算元就是如下複合運算元

.

作用於中的函式，得到

共變微分

共變微分是一種一階微分運算元，可以定義在一大類嘉當幾何上。同上節一樣，令資料給定一個嘉當幾何，並令為 H 的一個表示，並在 M 上形成向量叢。共變導數是一個一階微分運算元

對每個滿足通常的公理：若 v 和 w 是的截面，k 是 M 上的函式，而 X 和 Y 是 TM 的截面，則

:

要構造共變微分，令 v 為任一截面。注意 v 可以看作 H - 等變對映。這是我們要採用的觀點。令 X 為 M 的切叢的一個截面。取任意到 P 的切叢上的右不變提升。定義

.

要證明有所需屬性，它必須：（1）和所選的提升無關，（2）等變，所以它下降為的一個截面。

對於（1），選擇 X 的一個右不變的提升的模糊性是形式的變換，其中是一個從匯出的右不變豎直向量場。所以，在新的提升下計算共變導數，就得到

因為，這隻要取等變屬性的微分就可以看到。

對於（2），因為是右不變的，

進一步的有

所以，和我們所要的一樣。

參看：黎曼幾何，廣義相對論

進一步的閱讀

M. Nakahara, "Geometry, Topology and Physics", ISBN 0750306068（2nd ed, paperback）