基 (線性代數)

線上性代數中，基（basis，又稱基底）是向量空間裡某一群特殊的向量（稱為基向量），使得向量空間中的任意向量，都可以唯一地表示成基向量的線性組合（或線性組合的極限）。

透過基底可以直接地描述向量空間 上定義的線性對映 ，詳請參見線性對映 #矩陣一節。

定義

1.1 Hamel 基

上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條：

等價性來自於線性無關：

若有第二組相異 基向量和第二組標量 也滿足 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 ，其他不重複的部分，第一組的記為 ；而第二組的記為 ；然後設 於原來第一組對應的標量係數是 ；原第二組則是對應 。另外 對應的標量係數則為 ； 對應的標量係數則為 ； 這樣把 的第一組線性組合表示式減去第二組會有

這樣依據線性無關，就有

這就確保任意 的線性組合表示式都是用同一組的基向量，且其標量係數也是唯一的。

1.2 Schauder 基

除了上小節單以線性組合定義的 Hamel 基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：

第二項條件通常會簡寫為

 對每個 ，都存在唯一組標量，使

甚至寫為

1.3 例子

在傅立葉級數的研究中，函式是所有的在區間 0, 2π 上為平方可積分的（實數或複數值）的函式的（實數或複數）向量空間的 “正交基”，這種函式滿足

函式族是線性無關的，所有在 0, 2π 上平方可積分的函式是它們的 “無限線性組合”，在如下意義上

對於適合的（實數或複數）係數 ak, bk。但是多數平方可積分函式不能表達為這些基函式的有限線性組合，因為它們不構成 Hamel 基。這個空間的所有 Hamel 基都大於這個函式的只可數無限集合。此類空間的 Hamel 基沒有什麼價值，而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。

維度

如果基中元素個數有限，就稱向量空間為有限維向量空間，並將元素的個數稱作向量空間的維度。如果原本的基底為：

那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列 來間接代表。

事實上，不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱為無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。在現代集合論中，如果承認選擇公理，就可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組，但同一個空間的兩組不同的基，它們的元素個數或勢（當元素個數是無限的時候）會是相等的。一組基裡面的任意一部分向量都是線性無關的；反之，如果向量空間擁有一組基，那麼在向量空間中取一組線性無關的向量，一定能得到一組基。特別地，在內積向量空間中，可以定義正交的概念。透過特別的方法，可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基。

性質

設是向量空間的子集。則是基，當且僅當滿足了下列任一條件：

是的極小生成集，就是說只有能生成，而它的任何真子集都不能生成全部的向量空間。
是中線性無關向量的極大集合，就是說在中是線性無關 (線性獨立) 集合，而且中沒有其他線性無關 (線性獨立) 集合包含它作為真子集。
中所有的向量都可以按唯一的方式表達為中向量的線性組合。如果基是有序的，則在這個線性組合中的係數提供了這個向量關於這個基的座標。

如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物，那麼作為推論，可以證明任何的向量空間都擁有一組基。（證明：良序排序這個向量空間的元素。建立不線性依賴於前面元素的所有元素的子集。它就是基）。反過來也是真的。一個向量空間的所有基都擁有同樣的勢（元素個數），叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理，它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理。

3.1 例子

考慮所有座標 (a, b) 的向量空間 R2，這裡的 a 和 b 都是實數。則非常自然和簡單的基就是向量 e1 = (1,0) 和 e2 = (0,1): 假設 v = (a, b) 是 R2 中的向量，則 v = a (1,0) + b (0,1)。而任何兩個線性無關向量如 (1,1) 和 (−1,2)，也形成 R2 的一個基。
更一般的說，給定自然數 n。n 個線性無關的向量 e1, e2, ..., en 可以在實數域上生成 Rn。因此，它們也是的一個基而 Rn 的維度是 n。這個基叫做 Rn 的標準基。
設 V 是由函式 et 和 e2t 生成的實數向量空間。這兩個函式是線性無關的，所有它們形成了 V 的基。
設 Rx 指示所有實數多項式的向量空間；則 (1, x, x2, ...) 是 Rx 的基。Rx 的維度的勢因此等於.

標準基

在行向量空間中有單位行向量

那麼在該空間中，任意向量，都可以唯一表示成。然後我們可以看出，可以由它的向量子空間構成

.

同樣的，單位列向量就可以表達為.

線性無關的單位行向量生成。那麼是的基，稱這個基為標準基.

基的擴張

如上所述，一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合，同時也是極小的生成集合。可以證明，如果向量空間擁有一組基，那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基（也稱為基的擴充定理），每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地，在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來說：如果是在向量空間中的一個線性無關集合而集合是一個包含而且能夠生成的集合，則存在的一組基，它包含了而且是的子集：。

以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度，證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的，而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度（有限維），那麼這個集合的元素個數必須等於維數，才可能是它的基。在兩者相等時，只需要證明這個集合線性無關，或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基；而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數，需要新增的元素是 0 個。這說明原集合就是一組基。同理，能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集；但假如這個子集是真子集，那麼元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數，也就是基的元素個數，這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。

有序基和座標

基底是作為向量空間的子集定義的，其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論，通常會將基向量進行排列。比如說將：寫成有序向量組：。這樣的有序向量組稱為有序基。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中，都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用確定的陣列表示，稱為向量的座標。例如，在使用向量的座標表示的時候習慣談論 “第一個” 或 “第二個” 座標，這隻在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下，有序基可以看作是向量空間的座標架。

設是在域上的 n 維向量空間。在上確定一個有序基等價於確定一個從座標空間到的一個選定線性同構。

證明：這個證明利用了的標準基是有序基的事實。

首先假設

是線性同構。可以定義的一組有序基如下：

其中的是的標準基。

反過來說，給定一個有序基，考慮如下定義的對映

 φ(x) = x1v1 + x2v2 + ... + xnvn,

這裡的 x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen 是 Fn 的一個元素。不難檢查出 φ 是線性同構。

這兩個構造明顯互逆。所以 V 的有序基一一對應於線性同構 Fn → V。

確定自有序基 {vi} 線性對映 φ 的逆對映為 V 裝備了座標：如果對於向量 v ∈ V, φ-1 (v) = (a1, a2,...,an) ∈ Fn，則 aj = aj (v) 的分量是 v 的座標，在 v = a1 (v) v1 + a2 (v) v2 + ... + an (v) vn 的意義上。

從向量 v 到分量 aj (v) 的對映是從 V 到 F 的線性對映，因為 φ-1 是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成 V 的對偶空間的基，叫做對偶基。