動力系統

動力系統（dynamical system），是數學中用函式描述環繞空間中某點隨時間的變化情況的系統，例如描述鐘擺晃動、管道中水的流動，或者湖中每年春季魚類的數量，凡此等等的數學模型都是動力系統。對時空測量的不同選擇中，最一般的定義統一了數學中的數個概念，如常微分方程和遍歷理論。時間可用整數、實數或複數甚至更一般的代數物件來度量；空間可以是流形，也可以是集合，無需在其上定義光滑的時空結構。

在動力系統中有所謂「狀態」的概念，是一組可確定的實數。這組實數也是一種流形的幾何空間座標。動力系統的演化規則是一組函式的固定規律，描述了當前狀態會如何產生未來狀態。這種規則是確定的，即對於給定的時間間隔內，從現在的狀態只能演化出一個未來的狀態。不過也有隨機的系統，因為隨機事件也會影響狀態變數的演化。

若只是在一系列不連續的時間點考察系統的狀態，則這個動力系統為離散動力系統；若時間連續，就得到一個連續動力系統。如果系統以一種連續可微的方式依賴於時間，我們就稱它為一個光滑動力系統。

物理學中的動力系統被描述為 “狀態隨時間變化，並因此服從涉及時間導數的微分方程的粒子（群）”。要預測系統未來的行為，需要透過計算機模擬實現這些方程式的分析求解或隨時間積分。

對動力系統的研究是動力系統理論的重點，其在數學、物理學、生物學、化學、工程學、經濟學、歷史學和醫學等眾多領域都有應用。動力系統是混沌理論、邏輯斯諦對映動力學、分岔理論、自組裝和自組織過程與混沌邊緣概念的基本組成。

概覽

動力系統的概念源於牛頓力學。與其他自然科學和工程學科一樣，動力系統的演化規則是一種蘊含關係，只給出系統在未來很短時間內的狀態（這關係可能是微分方程、遞推方程或其他時標微積分）。要確定未來所有時刻的狀態，就要多次迭代這關係，每次前進一小步。迭代過程稱為 “求解系統” 或 “積分系統”。若系統可解，則給定初點，便可能確定未來所有時刻的位置，其集合稱作軌跡（trajectory）或軌道（orbit）。

在計算機發明之前，尋找軌道需要複雜的數學技術，且只能針對一小類動力系統。電子計算機上實現的數值方法大大簡化了確定軌跡的過程。

對簡單動力系統來說，有軌跡就夠用了。但大多數動力系統都過於複雜，無法用單個軌跡求解。出現困難的原因主要有：

系統只有近似值 — 系統引數可能不精確，方程中可能缺項。使用的近似值會影響數值解的有效性或相關性。解決方法是引入了穩定性，如李雅普諾夫穩定性或結構穩定性。動力系統的穩定意味著有一類模型或初始條件的軌跡是等效的，比較軌跡確定等價關係的操作隨著穩定性概念的不同而變化。
軌跡型別可能位元定的某條軌跡更重要。有些軌跡可能是週期性的，另一些可能會經歷系統的許多不同狀態。在應用中，往往要列舉這些類別或將系統限制在一個類別中。分類所有軌跡有助於對動力系統進行定性研究，即研究在座標變化時不變的特性。線性動力系統和有兩個數字描述狀態的系統是動力系統的例子。
軌跡作為引數函式的行為可能是應用所需的。隨著引數變化，動力系統可能出現分岔點，動力系統的定性行為會在點上發生變化。例如，可能從週期性運動變為明顯的不規則行為，如流體向湍流的過渡。
系統軌跡可能表現得不穩定，如同隨機。這時可能需要很長的軌跡或許多不同軌跡，再計算均值。遍系統的均值十分明確，而對於雙曲系統，已有了更詳細的理解。對動力系統機率方面的理解有助於建立統計力學和混沌理論的基礎。

歷史

許多人視法國數學家及物理學家龐加萊為動態系統的創始者。他發行了兩份現在被譽為經典的專著：天體力學的新方法《天體力學的新方法》（New Methods of Celestial Mechanics，1892–1899）、《天體力學講義》（Lectures on Celestial Mechanics，1905–1910）。專著中，他成功將研究結果應用在三體問題，並詳細研究其狀態（頻率，穩定性等）。作品中也包含龐加萊復現定理（Poincaré recurrence theorem），該定理指出某些系統在經過足夠長但有限的時間之後，將返回到非常接近初始狀態的狀態。

俄羅斯數學家李亞普諾夫發展許多重要的近似方法。他在 1899 年發展出的方法，使得定義常微分方程組的穩定性是可行的。 他也創造了動態系統穩定性的現代理論。

美國數學家伯克霍夫在 1913 年證明瞭龐加萊的（Last Geometric Theorem），一個三體問題的特殊形況。在 1927 年，他則發行了《動態系統》（Dynamical Systems）。在 1931 年，伯克霍夫發現了最使他名留青史的結果，現在稱作遍歷定理。

美國數學家斯梅爾也對動態系統作出重大貢獻。他的貢獻馬蹄對映推動了動態系統重要研究，此外他還勾劃出研究計劃，讓很多研究者實行。

烏克蘭數學家在 1964 年給出關於離散動力系統的，此定理的一個含義是，如果實數軸上的離散動態系統具有週期為 3 的週期點，那麼它必定具有任意週期的週期點。

正式定義

在最一般的意義上，動力系統是多元組 (T, X, Φ)，其中 T 是么半群，X 是非空集，Φ 是函式

其中

（是第二射影對映）

令，、。

特別地，若，則：，因此 Φ 定義了 T 在 X 上的么半群作用。

Φ(t,x) 是動力系統的演化函式，將集合 X 中的點 x 與唯一的像聯絡起來，取決於變數 t，即演化引數。X 稱作相空間或狀態空間，而變數 x 則代表系統的初始狀態。

一般記

兩個變數之一往往取常數。函式

稱為過 x 的流，其圖形稱為過 x 的軌跡。集合

稱為過 x 的軌道。

注意，過 x 的軌道是過 x 的流的像。

若：

則狀態空間 X 的子集 S 稱為 Φ- 不變數，特別地，若 S 是 Φ- 不變數，那麼。也就是說，對 S 中每個元素，過 x 的流必須在所有時刻都有定義。

更常見的動力系統定義有兩類：一種受常微分方程啟發，具有幾何性質；另一種受遍歷理論啟發，具有測度論性質。

3.1 幾何定義

幾何定義中，動力系統是多元組。是時域 —— 有很多選擇，一般是實數或複數，可能限制為非負。的連續情形是流形，即區域性為巴拿赫空間或歐氏空間，離散情形是圖。f 是演化規則 t→ft，使 ft 是流形到自身的微分同胚。所以，f 是時域到流形到自身的微分同胚空間的 “光滑” 對映。換句話說，對時域內的每一時刻 t，f (t) 都是微分同胚。

3.1.1 實動力系統

實動力系統、即時動力系統、連續時間動力系統或流是多元組 (T, M, Φ)，其中是開區間，M 是區域性微分同胚於巴拿赫空間的流形，Φ 是連續函式。若 Φ 還可微，則稱系統是可微動力系統。若流形 M 區域性微分同胚於 Rn，則稱系統有限維；否則稱系統無限維。注意，這並不假定存在辛結構。T 取實數時，系統稱為流；若 T 還限制為非負，則系統是半流（semi-flow）。

3.1.2 離散動力系統

離散動力系統、離散時間動力系統是多元組 (T, M, Φ)，其中 M 是區域性微分同胚於巴拿赫空間的流形，Φ 是函式。T 取整數時，系統稱為級（cascade）或對映（map）；若 T 還限制為非負，則系統是半級（semi-cascade）。

3.1.3 元胞自動機

元胞自動機是多元組 (T, M, Φ)，其中 T 是格子，如整數或更高維的整格；M 是從整格到有限集的函式；Φ 是（區域性定義的）演化函式。這樣，元胞自動機也是動力系統。M 中的格子代表 “空間” 格，T 中的格子代表 “時間” 格。

3.1.4 多維推廣

動力系統通常定義在時間這一單一自變數上。更普遍的一類系統定義在多個自變數上，稱為多維繫統，適用於建模，例如數字影像處理。

3.1.5 動力系統的緊化

給定區域性緊豪斯多夫拓撲空間 X 上的全域性動力系統 (R, X, Φ)，研究 Φ 到 X 的單點緊化 X 的連續擴張 Φ 通常是有用的。雖然失去了原系統的微分結構，但現在我們可以利用緊性來分析新系統 (R, X, Φ)。

在緊動力系統中，任何軌道的極限集都是非空單連通緊空間。

3.2 測度論定義

動力系統可正式定義為一個測度空間的保測變換，即三元組 (T, (X, Σ, μ), Φ)。其中 T 是么半群（往往是非負整數），X 是集合，(X, Σ, μ) 是機率空間，即 Σ 是 X 上的 σ- 代數，μ 是 (X, Σ) 上的有限測度。現有對映 Φ: X → X，當且僅當都有，稱 Φ 是 Σ- 可測函式。當且僅當都有，稱對映 Φ 保測。綜上所述，對映 Φ 是 X 的保測變換，若它是 X 到自身的 Σ- 可測、保測變換。三元組 (T, (X, Σ, μ), Φ) 中的 Φ 有這樣的性質時，形成了動力系統。

對映 Φ 體現了動力系統隨時間的演化。因此，離散動力系統研究了每個整數 n 的迭代函式；連續動力系統的對映 Φ 被理解為有限時間演化對映，構造更為複雜。

3.2.1 與幾何定義的關係

測度論定義假定存在保測變換。任一演化規則可能都關聯於許多不同的不變測度。若動力系統由微分方程給出，則必須確定適當的測度，這使得由微分方程出發發展遍歷理論變得困難。因此，在遍歷理論中給出以動力系統為動機的定義就變得很方便，這可以避開選擇測度，假定測度已選好。簡單的構造（有時稱為克雷洛夫–博戈柳博夫定理）表明，對一大類系統來說，總可以構造出一類測，使動力系統的演化規則成為保測變換。在構造中，狀態空間的給定測度是軌跡所有未來點的總和，從而確保了不變性。

部分系統有自然測度，如哈密頓系統中的劉維爾定理，是在其他不變測度（如哈密頓系統週期軌道支援的測度）的基礎上選出的。對於混沌耗散系統，不變測度的選擇在技術上更有挑戰性：測度需在吸引子上得到支援，但吸引子的勒貝格測度為 0，因此不變測度必須是關於勒貝格測度的奇異測度。這意味著，在演化過程中，相空間的小片區域會收縮。

對於雙曲動力系統，西奈–呂埃勒–鮑恩測度似乎是自然的選擇。它們建立在動力系統穩定流形與不穩定流形的幾何結構上；在微擾下具有物理行為；可以解釋許多觀察到的雙曲系統統計量。

動力系統的構建

正如前幾節所述，“隨時間演化” 的思想是動力系統理論的核心，因為理論的初始動機來自經典力學系統的時間行為研究。但常微分方程系統在成為動力系統之前要先求解，例如，考慮以下初值問題：

其中

表示材料點 x 的速度
M 是有限維流形
v: T × M → TM 是 Rn 或 Cn 中的向量場，且表示相空間 M 中作用於給定材料點的已知力引起的速度變化。這種變化不是相空間 M，而是切空間 TM 中的向量。

方程中不需要高階導數，也不需要 v (t,x) 中的引數 t，因為它們都可透過考慮更高維的系統來消除。

根據這一向量場的特性，動力系統可稱為

自治的，有 v (t, x) = v (x)
同類的，對所有 t 有 v (t, 0) = 0

解可用標準常微分方程技術求得，並表為上述演化函式

則動力系統就是 (T, M, Φ)。

對上述微分方程系進行一些形式化處理，可得到動力系統必須滿足的更一般的方程形式

其中是從演化函式集到複數域的函式。

這個方程在模擬具有複雜約束條件的機械系統時非常好用。

動力系統中的許多概念都可擴充套件到無限維流形（即區域性巴拿赫空間），這時微分方程就是偏微分方程。

例子

阿諾德貓圖
貝克爾圖是混沌分段線性對映的例子
檯球動力學
彈球模型
復二次多項式
雙擺
二值變換
厄農對映
無理旋轉
卡普蘭–約爾克對映
混沌對映列表
洛倫茨吸引子
若斯叻吸引子
擺動阿特伍德機
帳篷對映

線性動力系統

線性動力系統可用簡單的函式求解，也可對所有軌道的行為進行分類。線性系統的相空間是 N 維歐氏空間，所以相空間中的點都可用由 N 個數組成的向量來表示。線性系統的分析之所以可行，是因為它們滿足疊加原理：若 u (t)、w (t) 滿足向量場的微分方程（但不一定滿足初始條件），那麼 u (t)+w (t) 也將如此。

6.1 流

對一個流，向量場 v (x) 是相空間中位置的仿射函式，即

其中 A 是矩陣，b 是數字向量，x 是位置向量。系統的解可透過疊加原理（線性）找到。

b≠0、A=0 的情形只是沿 b 方向的直線：

b=0、A≠0 時，原點是流的平衡點（或奇異點），即若 x0=0，則軌道將保持在附近。

對其他初始條件，運動方程由矩陣指數給出：對於初點 x0，

b = 0 時，A 的特徵值決定了系那個空間的結構。根據 A 的特徵值和特徵向量可以確定初點向原點的平衡點的斂散性。

A≠0 時，不同初始條件間的距離在大多數時候呈指數變化，或以指數速度收斂到某點，或以指數速度發散。發散時，線性系統表現出對初始條件的依賴。對非線性系統，這是混沌行為的（必要但非充分）條件之一。

6.2 對映

離散時間仿射動力系統有矩陣差分方程形式：

其中 A 是矩陣，b 是向量。與連續情形一樣，座標系變換 x→x+(1−A)–1b 可以去除方程中的 b 項。新座標系的原點是對映的定點，解是線性系統 Anx0 的解。

對映的解不再是曲線，而是在相空間中跳躍的點。軌道由曲線或纖維組成，是在對映作用下對映到自身的點集。

與連續情形一樣，A 的特徵值和特徵向量決定了相空間的結構。例如，若 u1 是 A 的一個特徵向量，且實特徵值小於 1，則沿 αu1 (α∈R) 的點構成的直線就是對映的一條不變曲線，直線上的點都會進入定點。

還有許多其他離散動力系統。

區域性動力系統

動力系統的定性特性在座標的平滑變化下不變（有時這就是定性的定義）：向量場的奇異點（v (x)=0）在光滑變換下仍是奇異點；週期軌道在相空間和相空間的平滑變形中都是環。在奇異點和週期軌道附近，可以很好理解動力系統相空間的結構。動力系統定性研究的方法是證明存在座標變化（通常未指定，但可計算），使動力系統儘可能簡單。

7.1 整流

相空間大部分小塊區域的流可以變得非常簡單。若 y 是使向量場 v (y)≠0 的點，就可以對 y 附近的座標進行變換，使向量場變成一系列相同的平行向量。這就是所謂整流定理。

整流定理表明，遠離奇點的小區域中，點的動力特性是直線。小區域可以拼接以擴大，應用於整個相空間 M 時，稱動力系統可積。小區域一般不能擴充套件到整個相空間，向量場中可能存在奇點（滿足 v (x)=0 的點）；或當接近某點時，區域會變小。更微妙的原因是全域性約束，軌跡始於一個區域，途經其他區域後回到原區域。若下次的軌跡以不同方式環繞相空間，就不可能整流整個區域系中的向量場。

7.2 近週期軌道

一般來說，週期軌道附近無法應用整流定理。龐加萊提出了一種方法，將週期軌道附近的分析轉化為對對映的分析：擇軌道 γ 中一點 x0，考慮相空間鄰域中垂直於 v (x0) 的點，它們就是軌道的龐加萊截面 S (γ,x0)。現在，流定義了龐加萊對映 F:S→S。不是所有點都以相同時間返回，不過時間將接近 x0 所需時間。

週期軌道和龐加萊截面的交點是龐加萊對映 F 的定點。由平移，可假設該點位於 x=0 處。對映的泰勒級數是 F (x)=J・x+O (x2)，因此改變座標 h 只能將 F 簡化為線性部分

即所謂共軛方程。尋找方程成立的條件是動力系統研究的主要任務之一。龐加萊首先假設，所有函式都是解析的，並在過程中發現了非共振條件。若 λ1,...,λν 是 J 的特徵值，且其中 1 個是其他特徵值的整值線性組合，那麼將是共振的。由於 λi – Σ（其他特徵值的倍數）形式的項出現在函式 h 項的分母中，因此非共振條件也被稱為小除數問題 （small divisor problem）。

7.3 共軛結果

共軛方程解的存在性結果取決於 J 的特徵值和 h 要求的平滑度。由於 J 不需要任何特殊對稱性，其特徵值通常是複數。J 的特徵值不在單位圓上時，F 的定點 x0 附近的動力稱為雙曲的；特徵值在單位圓上時，動力稱為橢圓的。

前一種情形下，哈德曼–格羅布曼定理給出了存在連續函式的條件，其將對映的定點鄰域對映為線性對映 J・x，因此是結構穩定的。向量場的微小變化只會導致龐加萊對映的微小變化，將反映在 J 的特徵值在複平面的微小位置變化上，意味著龐加萊對映仍是雙曲的。

KAM 理論給出了橢點附近的行為。

分岔理論

演化對映 Φt（或由其匯出的向量場）取決於引數 μ 時，相空間結構也將取決於該引數。達到特殊值 μ0 之後，微小變化可能使相空間發生定性變化，稱動力系統發生了分岔。

分岔理論考慮相空間中的結構（通常是定點、週期軌道或定環面），研究其作為引數 μ 的行為。結構的穩定性可能在分岔點發生變化，分裂為新的結構，或與其他結構合併。用泰勒級數近似對映、理解座標變換可能消除的差異，可以對動力系統的分岔點進行編目。

系統族 Fμ 的雙曲不動點 x0 的分岔可用在分岔點計算的系統一階導數 DFμ(x0) 的特徵值來表徵。對對映而言，當單位圓上存在 DFμ 的特徵值時，就會出現分岔。對流而言，當虛軸上存在更多特徵值時，就會出現分岔。詳見分岔理論條目。

有些分岔會導致相空間出現非常複雜的結構。例如，Ruelle–Takens 情形描述了週期軌道如何分岔為環面，環面如何分岔為奇異吸引子。又如，費根鮑姆倍週期描述了穩定的週期軌道如何經歷一系列倍週期分叉。

遍歷系統

許多動力系統中，可以選擇合適系統座標，使相空間中的體積（實際上是 ν 維體積）不變。只要座標是位置和動量，體積以（位置）×（動量）為單位，牛頓定律衍生的機械系統就會出現這種情況。流將子集 A 的點代入 Φt (A)，則相空間的不變性意味著

在哈密頓力學中，給定座標就有可能推匯出適當的（廣義）動量，使相關的體積保留在流中。可以說，體積是透過劉維爾測度計算出來的。

哈密頓系統中，並非所有可能的位置和動量構型都能從初始條件得到。由於能量守恆，只有與初始能量相同的狀態才能得到。能量相同的狀態形成一個能殼 Ω，是相空間的子流形，體積用劉維爾測度計算，在演化過程中不變。

對於流可保積的系統，龐加萊提出了龐加萊復現定理：假定相空間具有有限的劉維爾體積，並令 F 為相空間的保積對映，A 為相空間的子集。那麼 A 的幾乎每個點都將無數次返回 A。龐加萊復現定理被恩斯特・策梅洛用來反對路德維希・玻爾茲曼對原子碰撞動力系統中熵增的推導。

玻爾茲曼的研究提出的問題之一是時間平均值和空間平均值之間可能存在的等價關係，他稱之為遍歷假說：典型軌跡在區域 A 中耗費的時長為 vol (A)/vol (Ω)。

結果表明，遍歷假說不是統計力學發展多許的基本性質，於是又引入了一系列類遍歷的性質，以捕捉物理系統的相關方面。Koopman 利用泛函分析研究遍歷系統。可觀測值 a 是函式，將相空間的點與數字（如瞬時壓力或平均高度）聯絡起來。利用演化函式 φt 可計算另一時刻的觀測值，這就引入了轉移運算元 Ut：

研究西那行運算元 U 的譜性質，可對 Φt 的遍歷性進行分類。用 Koopman 方法考慮流對可測函式的作用時，涉及 Φt 的有限維非線性問題便被對映為涉及 U 的無限維線形問題。

限制在能殼 Ω 上的劉維爾測度是平衡統計力學中計算平均值的基礎。沿軌跡的時間平均值等同於用玻爾茲曼因子 exp (−βH) 計算的空間平均值，西奈、呂埃勒和鮑恩（SRB）將這一思想推廣到耗散系統等更大一類動力系統。SRB 測度取代了玻爾茲曼因子，是在混沌系統的吸引子上定義的。

9.1 非線性動力系統與混沌

簡單非線性動力系統，甚至分段線性系統都可能表現出完全不可預測（雖然根本上是確定的，但可能表現得隨機）的行為，這種看似不可預測的行為，稱為混沌。雙曲系統是一種定義精確的動力系統，具有混沌系統的特性，垂直於軌跡的切空間可很好地分為兩部分：一部分的點向軌道靠攏（穩定流行），另一部分則偏離（不穩定流形）。

這一數學分支研究動力系統的長期定性行為，重點不是尋找動力系統方程的精確解（一般找不到），而是回答 “系統是否會長期穩定，如果是，有哪些可能的吸引子？” 或 “系統的長期行為是否取決於初始條件？” 等問題。

注意複雜系統的混沌行為也不是問題的關鍵 —— 氣象學涉及複雜甚至混沌行為已有多年。混沌理論之所以如此令人驚訝，是因為在幾乎最平凡的系統中也能發現混沌：邏輯斯諦對映只是二次多項式，馬蹄對映只是分段線性函式。

9.2 有限時間解

對於非線性自治常微分方程，某些條件下有可能形成有限時間解，這意味著從其自身動力來看，系統將在某時刻達到零值，並永遠保持零值。這種有限持續時間的解不可能是整個實線上的解析函式，由於它們在結束時間是非利普希茨函式，因此不是利普希茨微分方程的唯一解。

例如，方程：

接受有限時間解：