莫爾斯理論

在微分拓撲中，莫爾斯理論使人們能透過流形上的可微函式分析流形的拓撲。根據馬斯頓・莫爾斯的基本見解，流形上的可微函式在典型的情況下，直接反映了該流形的拓撲。莫爾斯理論允許人們在流形上找到 CW 結構和柄分解，並得到關於它們的同調的資訊。

在莫爾斯之前，阿瑟・凱萊和麥克斯韋在測繪學中發展了莫爾斯理論中的一些思想。莫爾斯最初將他的理論用於測地線（路徑的能量泛函的臨界點）。這些技術被拉烏爾・博特用於他的著名的博特週期性定理的證明中。

莫爾斯理論在複流形中的類似理論是皮卡第–萊夫謝茨理論。

基本概念

鞍點

考慮山地地表表面 M（或流形）。若函式 f 給出當點海拔，則中一點的原像就是一條等高線（或水平集）。等高線的連通組分或者是點，或者是簡單閉合曲線，或者是有二重點的閉合曲線。等高線也可能有更高階的點（三重點等等），但不穩定，可能因地形的輕微變化而消失。等高線中的二重點出現在鞍點或通路。

鞍點附近的等高線

想象用水淹沒等高線下的地形。水位達到 a 時，水下的表面是，海拔不高於 a 的點。想象一下隨著水位上升，這個面的拓撲結構將如何變化。除了當 a 經過臨界點的海拔時，f 的梯度都為 0（更一般地，作為切空間之間線性對映的雅可比矩陣不具有最大秩）。也就是說，除非 (1) 水流注入盆地，(2) 覆蓋鞍點（山道），或 (3) 淹沒山頂，否則的拓撲不變。

環面

盆地、山路、山頂（即最小點、鞍點、最大點）這三類臨界點，一般與指標（index）有關，即 f 從該點遞減的獨立方向數。或者說，f 的非退化臨界點 p 的指標是 M 在 p 處切空間的最大子空間的維度，其中 f 的黑塞矩陣是負定的。盆地、山路、山頂的指標分別是。

考慮更一般的面，令 M 是方向如圖所示的環面，f 還是點到平面的距離。可以再次分析水下面的拓撲結構如何隨水位 a 上升而變化。

時，由形成的圓柱體（右上）與附著於圓盤的 1 - 胞腔（左下）同倫等價。

時，由形成的去圓盤環面（右上）與附著於圓柱的 1 - 胞腔（左下）同倫等價。

從環面底部開始，令分別是指標為的臨界點，對應最小值、兩個鞍點、最大值。時，是空集；a 經過 p 的海拔之後有，則是圓盤，它同倫等價於 “附著” 到空集的一個點（0 - 胞腔）。接著，a 越過 q 的海拔時有，則是圓柱，同倫等價於附著了 1 - 胞腔的圓盤（左圖）。a 越過 r 的海拔時有，則是去圓盤的環面，同倫等價於附著了 1 - 胞腔的圓柱（右圖）。最後，a 高於 s 的海拔後，便是環面了，即去掉一個圓盤（2 - 胞腔）並重新附著的環面。

這說明了以下規則：除非 a 越過臨界點，否則的拓撲不變；遇到臨界點時，一個 - 胞腔會被附著到，其中是點的指標。這沒有說明兩個臨界點位於同一高度時會發生什麼，可以透過擾動 f 來解決。若是嵌入歐氏空間的景觀或流形，這種擾動可能只是稍微傾斜、旋轉座標系。

必須注意不能使臨界點退化。設想退化會造成什麼問題：令、。則 0 是 f 的一個臨界點，但 a 經過 0 時的拓撲並不改變。這是因為 f 在 0 的二階導，也就是 f 的黑塞矩陣為 0，臨界點退化。這種情形是不穩定的，因為將 f 擾動為，則退化的臨界點或者被移除或者分解為兩個非退化臨界點。

形式發展

對於微分流形 M 上的實值光滑函式，f 的微分為 0 的點稱作 f 的臨界點，在 f 下的像稱作臨界值。若臨界點 p 處，二階偏導數矩陣（黑塞矩陣）非奇異，則 p 稱作非退化臨界點；若黑塞矩陣是奇異的，則 p 稱作退化臨界點。

函式：

時，原點是 f 的一個臨界點。若，則此臨界點是非退化的（即 f 具有形式）；若，則此臨界點是退化的（即 f 具有形式）。退化臨界點的一個不太平凡的例子是猴鞍面的原點。

f 的非退化臨界點 p 的指標（index）是 M 在 p 處的切空間中黑塞矩陣為負定陣的最大子空間的維數。這與指標是 f 遞減的方向個數的概念直觀對應。臨界點的退化性和指標同所用的區域性座標系無關，如西爾維斯特慣性定理所示。

2.1 莫爾斯引理

令 p 為的非退化臨界點。則，在 p 的鄰域 U 中存在卡，使得且在整個 U 中

其中等於 f 在 p 處的指標。作為莫爾斯引理的推論，可以看到非退化臨界點是孤點（關於複數域的擴張，可見覆莫爾斯引理。關於推廣，見莫爾斯–帕萊引理）。

2.2 基本定理

流形 M 上的光滑實值函式若無退化臨界點，則稱作莫爾斯函式。莫爾斯理論的基本結果表明，幾乎所有函式都是莫爾斯函式。技術上，莫爾斯函式形成了拓撲中所有光滑函式的一個開稠密子集，這有時表述為 “典型的函式是莫爾斯的” 或 “通有的函式是莫爾斯的”。

如上述，我們感興趣的是的拓撲何時會隨著 a 的變化而變化。下面的定理給出了這個問題的一半答案。

定理。設 f 是 M 上的光滑實值函式，，且是緊的，且 a、b 間無臨界值。則微分同胚於，形變收縮到上。

我們還有興趣知道，a 經過臨界點時的拓撲會怎樣變化。下面的定理回答了這個問題。

定理。設 f 是 M 上的光滑實值函式，p 是指標為的 f 的非退化臨界點，。設是緊的，且除了 q 以外不包含臨界點。則同倫等價於，並附加了一個 - 胞腔。

這些結果是對上一節所述 “規則” 的推廣與形式化。

用前面兩個結果以及微分流形上存在莫爾斯函式的事實，可以證明微分流形是 CW 復形，指標為 n 的臨界點都附加了 n - 胞腔。可在臨界水平面上安排一個臨界點來證明，通常透過類梯度向量場重排臨界點來實現。

2.3 莫爾斯不等式

莫爾斯理論可用於證明流形同調的一些有力結果。函式的指標為的臨界點數量等於 “爬升” f 得到的 M 上 CW 結構中 - 胞腔的數量。利用拓撲空間同調群的秩的交替和等於鏈群（計算同調用）的秩的交替和，用胞腔鏈群（見胞腔同調），很明顯尤拉示性數等於

其中是指標為的臨界點數量。同樣根據胞腔同調，CW 復形 M 的第 n 同調群的秩不大於 M 中 n - 胞腔的數量。於是，第同調群的秩、即貝蒂數不大於 M 上莫爾斯函式的指標為的臨界點數量。強化這些事實可得到莫爾斯不等式：

特別地

都有

這給出了研究流形拓撲的有力工具。假設在閉流形上存在莫爾斯函式，恰有 k 個臨界點，則 f 的存在以何種方式限制了 M？Georges Reeb (1952) 研究了情形，里布球面定理指出，M 同胚於球面。情形只可能出現於少數低維情形，M 同胚於伊爾斯–柯伊伯流形。

愛德華・威滕 (1982) 考慮擾動運算元的德拉姆復形，提出了莫爾斯不等式的解析方法。

2.4 用於閉 2 - 流形的分類

莫爾斯理論可用於對閉 2 - 流形在微分同胚意義上進行分類。若 M 有向，則 M 依其虧格 g 分類，且與具有 g 柄的球面微分同胚：若，則 M 微分同胚於 2 - 球面；若，則 M 微分同胚於 g 2 - 環面的連通和。若 N 無向，則 M 依正數 g 分類，微分同胚於 g 個實射影空間的連通和。特別地，當且僅當兩閉 2 - 流形微分同胚時，它們同胚。

2.5 莫爾斯同調

莫爾斯同調是理解光滑流形的同調一種很簡單的方法。莫爾斯同調使用莫爾斯函式和黎曼度量的一般選擇來定義，基本定理是：所得的同調是流形的不變數（即與函式和度量無關），同構於流形的奇異同調；這意味著莫爾斯和奇異貝蒂數一致，並給出了莫爾斯不等式的直接證明。莫爾斯同調在辛幾何中的類似物是弗洛爾同調。

莫爾斯–博特理論

莫爾斯函式的概念可以推廣到以非退化流形作為臨界點的函式。莫爾斯–博特函式是流形上的光滑函式，其臨界集是閉子流形，它的黑塞矩陣在法向上非退化（等價地，臨界點處的黑塞矩陣核等於對臨界子流形的切空間）。莫爾斯函式是臨界流形為 0 維時的特例（於是臨界點處的黑塞矩陣在每個方向上非退化，即無核）。

指標可被自然地認為是一對

其中是不穩定流形在臨界流形給定點上的維度，臨界流形維度。若莫爾斯–博特函式在臨界軌跡（locus）上被小函式擾動，則在未擾動函式的臨界流形上，擾動函式所有臨界點的指標將介於、之間。

莫爾斯–博特函式非常有用，因為一般的摩爾斯函式不易處理。能直觀看到、可輕鬆計算的函式通常具有對稱性。拉烏爾・博特在最初證明博特週期性定理時使用了莫爾斯–博特理論。

圓形函式是莫爾斯–博特函式的例子，其中臨界集是圓（的不交併）。

莫爾斯同調也可用於莫爾斯–博特函式；莫爾斯–博特同調中的微分是由譜序列算得。Frederic Bourgeois 在研究莫爾斯–博特版本的辛場論時勾勒出一種方法，但由於分析上的巨大困難，這項工作從未發表。

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