C*- 代數

泛函分析中，C*- 代數（或讀作 “C 星代數”）是配備了滿足伴隨性質的對合的巴拿赫代數。典型例子是滿足以下兩個性質的複希爾伯特空間上連續線性運算元的複代數 A：

A 是運算元範數拓撲中的拓撲閉集。
A 是運算元伴隨運算下的閉集。

另一類非常重要的 C*- 代數包括 X 上的復值連續函式代數，其中 X 是區域性緊豪斯多夫空間。

一般認為 C- 代數主要是應用在量子力學中可觀察量的模型代數中。這方面的研究始於 1933 年左右維爾納・海森堡創立的矩陣力學以及帕斯庫爾・約當研究的更接近數學的形式。之後馮・諾依曼在他的一系列關於運算元環的論文中嘗試建立更廣泛的架構。這些論文可看做是一類特殊的 C- 代數，現在稱為馮諾依曼代數。

1943 年前後，伊斯拉埃爾・蓋爾範德和馬克・奈馬克對 C*- 代數建立了不依賴於希爾伯特空間運算元的抽象刻畫。

在當代數學研究中，C- 代數是區域性緊群的酉表示理論的重要工具，在量子力學的代數架構中也有應用。另一個活躍的研究領域是對可分單核 C- 代數的分類以及確定分類的詳細可能性。

抽象刻畫

此處給出蓋爾範德和奈馬克 1943 年給出的定義。

C- 代數 A 是複數域上的巴拿赫代數以及對映的組合。A 中元素 x 關於對映 的像記作 x*。對映擁有下列性質

，是對合：

:

:

:

對任意複數以及：

:

：

:

備註 前四條等式表示 A 是 - 代數。最後一條叫做 C 恆等式，等價於

有時也稱作 B- 恆等式。這是很強的約束，舉例來說，結合譜半徑公式可以推出 C–範數由以下代數結構唯一確定：

: 不可逆

給定的從 C- 代數 A 到 B 的有界線性運算元 被稱為 - 同態，如果

：

:

：

:

在 C- 代數的情形中，任何 - 同態都是壓縮，即範數 ≤ 1 而有界。此外，C- 代數之間的單射 - 同態都等距。這些都來自 C * 恆等式。

雙射 - 同態 π 稱作 C- 同構，其中稱 A、B 同構。

歷史：B- 代數與 C- 代數

B- 代數由 C. E. Rickart 於 1946 年引入，用於描述滿足以下條件的巴拿赫 - 代數：

對給定 B- 代數中所有 x：（B- 條件）

這條件意味著 - 對合等距，即。於是，，B- 代數也是 C- 代數。反過來看，C- 條件能推出 B- 條件。這不是平凡的，但無需用即可證明。於是，B- 代數在目前術語已很少使用，取而代之是 C*- 代數。

C- 代數由 I. E. Segal 於 1947 年引入，用於描述的在範數拓撲下閉的子代數，即某希爾伯特空間 H 上有界運算元的空間。C 代表封閉（Closed）。Segal 在論文中將 C- 代數定義為 “希爾伯特空間上有界運算元的一致閉自伴代數”。

C*- 代數的結構

C- 代數有大量技術上很方便的性質，其中一些可透過連續泛函微積分或還原為交換 C- 代數來建立。後者時，我們可以利用其結構由蓋爾範德同構決定這一事實。

3.1 自伴元

自伴元是滿足的元素。形式為的 C*- 代數 A 的元素集形成閉凸錐，與形式元素相同。錐的元素被稱作非負元（或正元素，與ℝ中元素的術語相沖突）。

C*- 代數 A 的自伴元集自然具有偏序向量空間結構，通常用表示。其中，自伴元素，當且僅當 x 的譜非負，當且僅當，有，能滿足。兩自伴元若滿足，則。

這個偏序子空間允許在 C- 代數上定義正線性泛函，進而定義 C- 代數的態，進而利用 GNS 構造，構造 C*- 代數的譜。

3.2 商與近似單位

C*- 代數 A 都有近似單位。A 有自伴元有向族使得

:

:

 A 若可分，則有序列近似單位（sequential approximate identity）。更一般地，當且僅當 A 包含嚴格正元，即正元素 h 使在 A 中稠密，A 才有序列近似單位。

運用近似單位，可證明 C- 代數對具有自然範數的閉緊合雙側理想的代數商仍是 C- 代數。

同樣，C- 代數的閉雙側理想也是 C- 代數。

譜

C- 代數 A 的譜記作，是 A 的不可還原 - 表示。A 在希爾伯特空間 H 上的 *- 表示，當且僅當 H 與之外沒有閉子集 K（即非平凡閉子集）能在下不變時，稱是不可還原的。我們隱式地假定，不可還原表示指非空的不可還原表示，從而排除了 1 維空間上的平凡表示（恆為 0）。如下所述，譜自然也是拓撲空間，這與環的譜類似。

這概念最重要的應用之一是為區域性緊群提供對偶物件的概念。這種對偶物件適用於為 I 型么模可分區域性緊群應用傅立葉變換和普朗歇爾定理，以及為 I 型可分區域性緊群的任意表示提出分解定理。然而由此產生的區域性緊群對偶理論比緊拓撲群的淡中–克萊因對偶性或區域性緊阿貝爾群的龐特里亞金對偶性更弱，後兩者都是完全不變數。由於任何有限維全矩陣代數的對偶都由一個點組成，因此對偶不是完全不變數也就不難理解了。

4.1 主譜

的拓撲可有多種等價的定義方式。首先用主譜定義。

A 的主譜是 A 的主理想集，主理想指非零不可還原 *- 表示的核。主理想集是具有殼 - 核拓撲（hull-kernel topology，或雅各布森拓撲）的拓撲空間，定義如下：若 X 是主理想集，其殼 - 核閉包是

很容易證明殼 - 核閉包是一種冪等運算，即

可以證明其滿足庫拉托夫斯基閉包公理，因此可以證明上有唯一的拓撲，使得關於的集合 X 的閉包與 X 的殼 - 核閉包完全相同。

由於么正等價表示具有相同的核，所以對映透過滿射

分解。我們用 k 來定義的拓撲：

定義。的開集是的開子集 U 的逆像。這便是拓撲。

殼 - 核拓撲是交換環的扎里斯基拓撲在非交換環上的類似物。殼 - 核拓撲誘導的上的拓撲還可用 'A 的態描述。

4.2 例子

4.2.1 交換 C*- 代數

交換 C*- 代數 A 的譜與 A 的蓋爾範德對偶（注意不要與巴拿赫空間 A 的對偶 A 混淆）重合。具體來說，設 X 是緊豪斯多夫空間，則有自然同胚

此對映的定義是

其中是中的閉最大理想，也是主理想。對交換 C*- 代數，

4.2.2 有界運算元的 C*- 代數

令 H 維可分無窮維希爾伯特空間。有兩個對範封閉的 *- 理想：與緊運算元的。因此作為集合，。現在

是的閉子集。
的閉包是。

因此是非豪斯多夫空間。

另一方面，的譜要大得多。有很多核為或的不等價不可還原表示。

4.2.3 有限維 C*- 代數

設 A 是有限維 C*- 代數。已知 A 同構於全矩陣代數的有限直和：

其中是 A 的最小中心投影。A 的譜與在離散拓撲上規範同構。對有限維 C*- 代數，也有同構

4.3 譜的其他特徵

殼 - 核拓撲很容易抽象表述，但實際上，對與區域性緊拓撲群相關聯的 C*- 代數，需要用正定函式描述譜上拓撲的其他特徵。實際上，上的拓撲與表示的弱包含密切相關，如下：

定理。令。則對不可還原表示，下列條件等價：

在中的等價類位於 S 的閉包中；
與相關的每個態，即形式為

::

: 且，是與 S 中的表示相關聯的態的弱極限。

第二個條件意味著弱包含於 S 中。

GNS 構造將 C*- 代數 A 的態與 A 的表示相關聯。據與 GNS 構造相關的基本定理之一，對態 f，當且僅當相關表示不可約，f 才是純的。此外，由定義的對映是滿射。

根據前面的定理，很容易證明下面的內容：

定理 GNS 構造給出的對映

:

是連續開對映。

4.3.1 空間

上的拓撲還有一種描述，即將表示空間視作具有具有適當點收斂拓撲的拓撲空間。詳細點說，令 n 是基數，令是 n 維規範希爾伯特空間。

是 A 在中的不可約 *- 表示空間，具有點弱拓撲。就網的收斂性而言，此拓撲的定義是；當且僅當

事實證明，上的這種拓撲，結構與點強拓撲相同，即當且僅當

有。

定理。令為的子集，由底希爾伯特空間是 n 維的的表示的等價類組成。規範對映是連續開的。特別是，可視作在么正等價下的商拓撲空間。

備註。將不同的拼湊在一起可能相當複雜。

4.4 麥基–博雷爾結構

是拓撲空間，因此也可視作博雷爾空間。喬治・麥基（G. Mackey）提出了一個著名猜想：當且僅當博雷爾空間是標準的，即（在博雷爾空間範疇中）與完全可分度量空間的底博雷爾空間同構時，稱可分區域性緊群是 I 型的。麥基稱具有這一性質的博雷爾空間為光滑空間。詹姆斯・格利姆在 1961 年證明了此猜想。

定義。可分 C- 代數 A 的非退化 - 表示，當且僅當生成的馮諾依曼代數中心是 1 維時，稱其是因子表示（factor representation）。當且僅當 C*- 代數 A 的任意可分因子表示是不可還原因子表示的有限倍或可數倍時，稱其屬於 I 型。

為 I 型的可分區域性緊群 G 的例子如連通（實）冪零李群和連通實半單李群。因此，海森堡群都是 I 型的。緊群和阿貝爾群也都是 I 型的。

定理。若 A 可分，則當且僅當 A 是 I 型時，光滑。

這個結果對可分 I 型 C*- 代數及相應的可分 I 型區域性緊群的表示結構進行了意義深遠的概括。

4.5 代數主譜

由於 C- 代數 A 是環，所以也可考慮 A 的主理想集。對一個環，當且僅當理想是單模的零化子時，此理想才是主理想。對 C- 代數 A，當且僅當一個理想是上述定義意義上的主理想時，它才是代數上的主理想。

定理。令 A 是 C- 代數。A 在復向量空間上的不可還原表示，在代數上等價在希爾伯特空間的拓撲上不可還原的 - 表示。當且僅當它們么正等價時，希爾伯特空間上的拓撲不可還原 *- 表示在代數上同構。

若 G 是區域性緊群，則 G 的群 C*- 代數的對偶空間上的拓撲稱作費爾拓撲，得名於 J. M. G. Fell。

例子

5.1 有限維 C*- 代數

上 n 階方陣的代數，若將方陣看做歐氏空間上的運算元，並在方陣上使用運算元範數

・

，則就變成了 C- 代數；對合由共軛轉置給出。更一般地，可以考慮矩陣代數的有限直和。事實上，所有作為向量空間有限維的 C- 代數在同構的意義上都是這種形式。自伴要求意味著有限維 C*- 代數是半單代數，由此可推出下面的阿廷 - 韋德伯恩定理：

定理 有限維 C*- 代數 A 規範地同構於有限直和

其中 min A 是 A 的最小非零自伴中心投影集。

C- 代數 Ae 與全矩陣代數同構（非規範）。給出的 minA 上的有限族索引稱作 A 的維向量，唯一確定了有限維 C- 代數的同構類。用運算元 K 理論的話說，這向量是 A 的群的正錐。

†- 代數（更確切地說，†- 封閉代數）是物理學中偶爾使用的名稱，指有限維 C- 代數。劍標†在物理學中常用於表示埃爾米特伴隨，且通常不關注與無窮維相關的微妙問題。數學中通常用星號 表示埃爾米特伴隨。†- 代數在量子力學，特別是量子資訊科學中有重要地位。

有限維 C- 代數的一個直接推廣是近似有限維 C- 代數。

5.2 運算元的 C*- 代數

C- 代數的典型例子是定義在復希爾伯特空間 H 上的有界（等價於連續）線性運算元的代數，其中 x 表示運算元的伴隨運算元。事實上，對合適的希爾伯特空間 H，所有 C- 代數 A 都 - 同構於的閉範伴隨閉子代數，這就是蓋爾範德 - 奈馬克定理。

5.3 緊運算元的 C*- 代數

設 H 為可分無窮維希爾伯特空間，則 H 上緊運算元代數是的閉範子代數。它在對合下也封閉，因此是 C*- 代數。

緊運算元的具體 C- 代數具有類似於 Wedderburn 有限維 C- 代數定理的特徵：

定理 設 A 是的 C*- 子代數，則存在希爾伯特空間，使

其中（C*-）直和包含笛卡兒積的元素。

雖然沒有么元，但可以為建立一個序列近似單位，具體來說 H 同構於平方可和序列空間；不妨令。對每個自然數 n，令為項時為零的序列的子空間，令為到的正交投影。則，序列是的近似單位。

是的雙側閉理想。對可分希爾伯特空間，是唯一理想。商稱作卡爾金代數。

5.4 交換 C*- 代數

令 X 為區域性緊豪斯多夫空間，其上在無窮遠處為零的復值連續函式空間在逐點乘與加法下形成交換 C- 代數。對合是逐點共軛。當且僅當 X 緊時，有乘法單位元。與其他 C- 代數一樣，有近似單位；對這是直接的：考慮 X 的緊子集直和，對每個緊 K，令為緊支撐函式， 且在 K 上等於 1。根據適用於區域性緊豪斯多夫空間的蒂策擴張定理，這樣的函式是存在的。這樣的函式序列都是近似單位。

蓋爾範德表示指出，交換 C- 代數 - 同構於代數，其中 X 是具備弱 拓撲的特徵標空間。此外，若同構於 C- 代數，則 X、Y 同胚。這一特徵是非交換拓撲與非交換幾何綱領的動機之一。

5.5 C*- 包絡代數

給定巴拿赫 - 代數 A，具有近似單位，則有（在 C- 同構意義上）唯一的 C- 代數與萬有的 - 態射，即其他連續 - 態射因子都唯一地透過 π。代數稱作巴拿赫 - 代數 A 的 C*- 包絡代數。

區域性緊群 G 的 C- 代數尤為重要，定義為 G 的群代數的包絡 C- 代數。G 的 C- 代數提供了非阿貝爾情形下的一般調和分析，特別是，區域性緊群的對偶定義為群 C- 代數的主理想空間。

5.6 馮諾依曼代數

馮諾依曼代數在 1960 年代以前稱作 W- 代數，是一類特殊的 C- 代數。它們需要在弱運算元拓撲下封閉，這比範數拓撲更弱。

謝爾曼–武田定理表明，C- 代數都有泛包絡 W- 代數，使到 W*- 代數的任意同態都透過它。

C*- 代數的種類

令 A 為 C*- 代數。A 是 I 類，當且僅當對 A 的所有非退化表示 π，（即的雙交換子）是 I 類馮諾依曼代數。實際上，只需考慮因子表示，即是因子的表示。

區域性緊群屬於 I 類，當且僅當其群 C*- 代數是 I 類。

不過，若 C- 代數具有非 I 類表示，則根據詹姆斯・格利姆的結果，它也有 II 類、III 類的表示。因此，對 C- 代數和區域性緊群，只有 I 類和非 I 類的說法才有意義。

C*- 代數與量子場論

量子力學中，通常用有單位元的 C*- 代數 A 描述物理系統；A 的自伴元被視為系統的可觀測值。系統狀態定義為 A 上的正泛函（線性對映），使得。若系統處於 φ 狀態，則可觀測值 x 的期望值為 φ(x)。

區域性量子場論的 Haag-Kastler 公理化使用了這 C- 代數方法，閔可夫斯基時空的開集都與一個 C- 代數相關聯。