狄拉克 δ 函式

狄拉克函式是以零為中心的正態分佈隨的（分佈意義上的）極限。

在科學和數學中，狄拉克函式或簡稱函式（譯名德爾塔函式、得耳他函式）是在實數線上定義的一個廣義函式或分佈。它在除零以外的點上都等於零，且其在整個定義域上的積分等於 1。函式有時可看作是在原點處無限高、無限細，但是總面積為 1 的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或點電荷的密度。

從純數學的觀點來看，狄拉克函式並非嚴格意義上的函式，因為任何在擴充套件實數線上定義的函式，如果在一個點以外的地方都等於零，其總積分必須為零。函式只有在出現在積分以內的時候才有實質的意義。根據這一點，函式一般可以當做普通函式一樣使用。

狄拉克函式得名自物理學家保羅・狄拉克，其形式上所遵守的規則屬於的一部分，是物理學和工程學的標準工具。包括函式在內的運算微積分方法，在 20 世紀初受到數學家的質疑，直到 1950 年代洛朗・施瓦茨才發展出一套令人滿意的嚴謹理論。嚴謹地來說，函式必須定義為一個分佈，對應於支撐集為原點的機率測度。

在許多應用中，均將視為由在原點處有尖峰的函式所組成的序列的極限，而序列中的函式則可作為對函式的近似。在訊號處理上，函式常稱為單位脈衝符號或單位脈衝函式。克羅內克函式是對應於狄拉克函式的離散函式，其定義域為離散集，值域可以是 0 或者 1。

概述

δ 函式的圖形通常可以視為整條 x 軸和正 y 軸。雖然稱為函式，但 δ 函式並非真正的函式，至少它的值域不在實數以內。例如，和這兩個數學物件除了在以外都有相同的值，但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論，若 f 和 g 為函式，使得幾乎處處成立，則 f 可積當且僅當 g 可積且 f 和 g 的積分相同。要嚴謹處理 δ 函式，須用到測度論或分佈。

δ 函式可以代表一個既高又窄的尖峰函式（脈衝），用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學問題，可以用 δ 函式描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿傳遞的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球傳遞能量的複雜具體情況。

在應用數學中，δ 函式往往能看作是某函式序列的極限（弱極限），該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、方差趨向零的高斯分佈序列。

歷史

約瑟夫・傅利葉在他的《熱分析理論》（Théorie analytique de la chaleur）中呈現了以下的方程式，今天稱為傅裡葉積分定理：

這相當於以這種方式引入了 δ 函式：

之後，奧古斯丁・路易・柯西用指數函式表達了這一定理：

柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。

分佈理論允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅裡葉的方程式：

其中 δ 函式可表達為：

在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函式 f 所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題：

經典傅裡葉變換的最大缺點在於，能夠有效計算的只有很狹窄的一類函式。這些函式必須（在無限的鄰域內）足夠快地降至零，才能保證傅裡葉積分值的存在。例如，連多項式這種如此簡單的函式，也不存在經典意義上的傅裡葉變換。經典傅裡葉變換擴充套件至分佈，大大增加了能夠進行變換的函式型別，移除了諸多障礙。

之後，米歇爾・普朗歇爾（Michel Plancherel）開創性的 L2 理論（1910 年）、諾伯特・維納和（Salomon Bochner）的貢獻（1930 年前後）以及最後洛朗・施瓦茨歸納這一切的分佈理論（1945 年）進一步推廣了傅裡葉積分，並建立了狄拉克 δ 函式的嚴格定義。

1827 年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函式（柯西分佈的無限小版本）。西莫恩・德尼・帕松和古斯塔夫・基爾霍夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函式。基爾霍夫與赫爾曼・馮・亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19 世紀末，奧利弗・黑維塞利用形式上的傅裡葉級數對單位脈衝進行操作。。}} 1930 年，保羅・狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了 δ 函式作為一種「方便的記號」，故此該函式今天以他命名。

定義

籠統地來說，δ 函式是在實數線上的一個函式，在原點上無限，在所有其他點上為零，

並同時滿足以下條件

這只是一個概略的表述：δ 函式並不是一個嚴格意義上的函式，沒有任何定義在實數線上的函式能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，δ 函式可以定義為分佈或測度。

3.1 測度

測度是其中一種嚴謹定義 δ 函式的方法。作為一個測度，δ 函式取一個實線 R 的子集 A，當時輸出，否則。如果把 δ 函式想象成位於 0 的一個理想化的質點，則 δ(A) 代表集合 A 所包含的質量。一個函式相對於 δ 的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函式 f，這一積分滿足：

測度 δ 相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個。因此，它並不具有拉東 - 尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函式 δ：

雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的（黎曼或勒貝格）積分。

作為 R 上的機率測度，狄拉克測度可以透過它的累積分佈函式──單位階躍函式──來定義：及呈現另一種解釋。不同慣例會對黑維塞階躍函式在 0 指定不同的值，其中某些慣例與本文不符。}}

換句話說，H (x) 是積累指示函式相對於測度 δ 的積分：

δ 函式相對於一個連續函式的積分可以透過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：

δ 函式的所有更高矩都是零。其特徵函式和矩母函式都等於 1。

3.2 分佈

在分佈理論中，一個廣義函式並不像普通函式一樣直接定義，而是在它相對其他函式積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義 δ 函式相對某個足夠「良好」的測試函式的「積分」就足夠了。如果 δ 函式已經定義為測度，則這種積分可以是測試函式相對於這 δ 測度的勒貝格積分。

測試函式空間一般可包括所有上的緊支撐光滑函式。作為一個分佈，δ 函式是在測試函式空間上的線性泛函，定義為

}}

若要使 δ 成為一個正式的分佈，它必須要在測試函式空間上相對某個合適拓撲為連續的。在測試函式空間上的線性泛函要能夠良好定義一個分佈，其必要和充分條件是，對於每個正整數，有整數和常數，使得對每個測試函式，以下不等式都成立：

當就是 δ 分佈時，對所有的取，就能滿足這條不等式。因此，δ 是級數為零的分佈。它也是一個緊支撐分佈，其支撐集是。

δ 分佈有幾種等價的定義。例如，它是黑維塞階躍函式的分佈導數，也就是說，對於任何測試函式，

直觀而言，如果允許分部積分法，以上的積分就會簡化為

而利用黎曼－斯蒂爾傑斯積分的分部積分法可以得到

在測度論中，狄拉克測度透過積分產生分佈。相反，公式 在所有緊支撐連續函式空間上定義了一個，且根據里斯表示定理，該積分可以表示為相對於某拉東測度的勒貝格積分。

當講到「狄拉克 δ 函式」時，一般指的是分佈，而不是測度。因此一些文獻也會稱之為「狄拉克 δ 分佈」。測度論中相對應的概念則稱為。

3.3 推廣

在 n 維歐幾裡得空間 Rn 中，狄拉克 δ 函式可以定義為一個測度，使得對於所有緊支撐連續函式 f，滿足

作為一個測度，n 維 δ 函式是每個獨立變數的 1 維 δ 函式的積測度。也就是說，若，則

}}

上文的 1 維 δ 分佈也存在 n 維推廣。儘管在物理學和工程學中應用廣泛，公式 還是必須小心使用，因為多個分佈的積只有在較狹窄的條件下才有良好的定義。

狄拉克測度這個概念可以定義在任何集合上。設 X 是集合，，Σ 為 X 子集上的任何 σ- 代數，則對每個集合可以定義測度：

這就是單位質量集中在 x0 處的狄拉克測度。

δ 函式也可以推廣至微分流形，由於具有微分結構，因此能保留它作為分佈的一些性質。流形 M 上以為中心的 δ 函式可定義為以下分佈：

}}

對於所有 M 上的緊支撐光滑實數值函式 φ。一個常見的特殊情況是，M 是歐幾裡得空間 Rn 中的一個開集。

在區域性緊豪斯多夫空間 X 中，集中在點 x 的狄拉克測度是對應於對緊支撐連續函式 φ 的 Daniell 積分 的拉東測度。推廣到這一層次，已經無法進行普通的微積分，不過仍然可以使用抽象分析中的許多工具。例如，對映是把 X 嵌入到包含所有在 X 上的有限拉東測度的空間（具有淡拓撲）的一個連續函式。而且，X 在這一嵌入下的值域的凸包，在在 X 上的機率測度空間中是一個稠密集。

性質

4.1 縮放與對稱

對非零純量，δ 函式有以下縮放性質：

所以

}}

δ 函式是一個偶分佈，也就是說

因此 δ 函式屬於−1 階齊次函式。

4.2 代數性質

δ 和的分佈積等於零：

相反，若，其中和為分佈，則存在常數使得

4.3 平移

延時 δ 函式的積分為：

因此 δ 函式有「篩選」或「取樣」的功能──可以篩選出函式在的值。

可以推論，函式與延時 δ 函式卷積後會受到延時：

這必須在是緩增分佈的前提下才會成立（見下文關於傅裡葉變換的討論）。以一個特殊情況為例，有恆等式如下（把 δ 視為分佈）

4.4 與函式的復合

更一般地來說，δ 分佈可以和光滑函式復合，使得熟悉的變數更換公式成立：

條件是為連續可微函式且處處非零。換言之，作為一個分佈具有唯一的定義，使得這條恆等式對於一切緊支撐測試函式 f 都成立。因此，定義域必須切割開來，排除這一點。如果處處非零，那麼此分佈滿足；否則如果在處有一個實數根，則

很自然地，對連續可微函式，可以把「定義」為

其中求和跑遍的所有根，這些根都假設為單根。比如，

δ 分佈的廣義縮放特性，用積分寫出：

4.5 在 n 維中的性質

δ 分佈在維空間中的縮放性質如下：

從而 δ 是一個階齊次分佈。δ 分佈在任何鏡射和旋轉下不變：

和單變數時一樣，可以唯一地定義 δ 與雙利普希茨函式的復合，使得恆等式

對於所有緊支撐函式成立。

利用幾何測度論中的餘面積公式，可以定義 δ 函式與從一個歐幾裡得空間到另一個不同維度的空間的浸沒的復合，所產生的結果是一種流。在連續可微函式滿足的梯度處處非零的特殊情況下，以下恆等式成立：

其中右邊的積分範圍是，即所定義的一個維曲面（依閔可夫斯基容度）。這叫做單層（simple layer）積分。

更一般地來說，若是中的光滑超曲面，則可以把聯絡到在上對任何緊支撐光滑函式積分的分佈：

其中是聯絡到的超曲面測度。這種推廣與上的單層位勢的位勢論相關。設是中具有光滑邊緣的區域，則等於的指示函式的（分佈意義上的）法向導數：

其中是向外法線。

傅裡葉變換

δ 函式屬於緩增函式，所以擁有良好定義的傅裡葉變換。正式地說，（在一些傅裡葉變換慣例下）有

一個分佈的傅裡葉變換的定義是，在緩增分佈與速降函式的對偶配對下，要求傅裡葉變換是自伴的。從而，定義為滿足以下條件的唯一緩增分佈：

對於一切速降函式 φ。從此可推導，的確。

這條恆等式意味著，δ 函式與任何其他緩增分佈 S 的卷積即等於 S：

這意味著，δ 是緩增分佈上的卷積的單位元。而且，在卷積下的緊支撐分佈空間是一個以 δ 函式為單位元的結合代數。這在訊號處理應用中尤其重要，因為與緩增分佈的卷積屬於線性非時變系統，而基於 δ 函式的線性非時變系統可以測量該緩增分佈的脈衝響應。只要對 δ 作適當的近似，就可以以任意要求的程度算出脈衝響應。一旦知道脈衝響應，就能完全描述整個系統的特徵。詳見線性非時變系統理論：脈衝響應和卷積。

緩增函式 f (ξ) = 1 的反傅裡葉變換等於 δ 函式。更正式地表達，

更嚴謹地來說，有

對於一切速降函式 f。

這樣，δ 函式暗示著在 R 上的傅裡葉核的正交性，即：

換句話說，緩增分佈

的傅裡葉變換是

這同樣可以透過對傅裡葉變換要求自伴性而得出。

利用傅裡葉變換的解析延拓，可以得出 δ 函式的拉普拉斯變換：

分佈導數

狄拉克 δ 分佈的分佈導數是一個分佈 δ′，它對於所有緊支撐光滑測試函式 φ 定義為

此處第一個等號類似於分部積分，因為若 δ 是個真正的函式，則

δ 的 k 階導數的定義大同小異，對任何測試函式 φ，

從而 δ 是個無限可微分佈。

δ 函式的一階微分是差商

的分佈極限。更準確地說，有

其中 τh 是平移運算元，對於函式的定義是，而對於分佈 S 的定義是

在電磁學中，δ 函式的一階導數代表一個位於原點的點磁偶極，因此也稱為「偶極」或偶函式。

δ 函式的導數滿足一些基本性質，包括：

這些性質都可以透過對測試函式積分，並運用分部積分法推導而出。

另外，δ′與緊支撐光滑測試函式 f 的卷積為

這來自卷積的分佈導數的性質。

6.1 更高維度

更一般地說，在 n 維歐幾裡得空間 Rn 中的開集 U 上，以點為中心的狄拉克 δ 分佈定義為

對於一切，其中 S (U) 是所有 U 上的緊支撐光滑函式的空間。若是任何多重指標，而∂α 表示相關的混合偏導數運算元，則 δa 的 α 階導數∂αδa 是

對於一切。也就是說，δa 的 α 階導數是個分佈，它在任何測試函式 φ 的值等於 φ 在點 a 的 α 階導數（加上合適的正負號）。

δ 函式的一階偏導數可以視為沿著坐標平面的雙層。更一般地來講，支撐在一個曲面上的單層的法向導數是在該曲面上的雙層，並表示一個層磁單極。δ 函式的更高階導數，在物理學裡稱為多極。

高階導數很自然地能夠建構具有單元素支撐集的分佈的完整結構。若 S 是任何在 U 上、支撐集為一個點 {a} 的分佈，那麼存在整數 m 和一組係數 cα，使得

是拉普拉斯方程在上半平面中的基本解。它代表了一個半無限平板在邊緣的電勢固定為 δ 函式時的電勢。帕松核也和柯西分佈有緊密的聯絡。半群根據以下方程演變：

其中的運算元嚴謹地定義為傅裡葉乘數

6.2 震蕩積分

在波動力學等物理範疇中，須要解不少雙曲型偏微分方程，而這些方程有更多的奇異解。因此，從相關的柯西問題的基本解所產生的初生 δ 函式，一般都是震蕩積分。例如，從穿音速氣體動力學的尤拉 - 特里科米方程的解，取得歸一化艾裡函式

雖然用的是傅裡葉變換，但是不難看到，這從某種意義上產生了一個半群，只不過由於它不是絕對可積的，所以無法從上文更強的意義來定義半群。許多用振蕩積分來建構的初生 δ 函式，只能從分佈意義上收斂（見下文的例子狄利克雷核），而不能從測度意義上收斂。

另一個例子是 R1+1 中的波動方程式的柯西問題：

解 u 代表了一條具有無限彈性的弦，一開始在原點處受到擾動後，距離平衡的位移程度。

6.3 平面波分解

要對線性偏微分方程

求解，其中 L 是 Rn 上的一個微分運算元，可以先取得基本解，即對以下方程求解：

當 L 相對簡單的時候，通常直接利用傅裡葉變換就可以求解（如上文提到的帕松核和熱核）。如果運算元比較複雜，可以先考慮更簡單的方程

其中 h 是一個平面波函式，意思是對於某向量 ξ，有

這樣的方程可以用求解（如果 L 的係數是解析函式），或者用求積法求解（如果 L 的係數是常數）。所以，如果 δ 函式能夠分解成平面波的話，理論上就能取得線性偏微分方程的解。

對 δ 函式進行平面波分解的方法，最早是約翰・拉東（Johann Radon）所發展的一套通用技巧之一，之後由弗瑞茲・約翰進一步發展至這種形式（1955）。}} 選擇 k，使得是一個偶整數；對於實數 s，定義

要取得 δ，對相對球體測度 dω 積分，再對積分施用拉普拉斯運算元的冪，其中 ξ 屬於單位球面 Sn−1：

此處的拉普拉斯運算元理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函式 φ，

這一結果來自牛頓位勢公式（牛頓位勢是帕松方程的基本解）。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從 φ(x) 在超曲面上的積分取回 φ(x) 的值。例如，若 n 是奇數，而，則右邊的積分等於

其中是 φ 的拉東變換：

平面波分解的另一個等價表示式是

對於偶數 n，且

對於奇數 n。

6.4 傅裡葉核

在對傅裡葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函式相關的傅裡葉級數是否收斂到該函式，以及從何種意義上收斂。週期為 2π 的函式 f 的傅裡葉級數的第 n 部分和，定義是與狄利克雷核在區間−π,π 上的卷積：

因此

其中

傅裡葉級數的一個基礎結果說明，當，狄利克雷核趨向於 δ 函式的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即

對於一切緊支撐光滑函式 f。從而，在區間−π,π 上有

儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函式成立，換言之，DN 從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅裡葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核

費耶核從一種更強的意義向 δ 函式收斂：的方法表達，費耶核是一種狄拉克序列，而狄利克雷核則不是。}}

對於一切緊支撐連續函式 f。結果是，所有連續函式的傅裡葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函式的值。

6.5 希爾伯特空間理論

狄拉克 δ 分佈是在包含所有平方可積函式的希爾伯特空間 L2 上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函式在 L2 中是一個稠密集，且 δ 分佈對於緊支撐光滑函式有良好定義。在許多應用中，可以對 L2 的某個子空間賦予更強的拓撲，使得 δ 函式能夠定義一個有界線性運算元。

索伯列夫空間

應用在實數線 R 上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函式 f，只要滿足

就必定是連續的，而且滿足

從而 δ 是一個在索伯列夫空間 H1 上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，δ 是 H1 的連續對偶空間 H−1 的元素。更一般地說，在 n 維中，有，條件是。

6.5.1 全純函式空間

在複分析中，δ 函式出現在柯西積分公式中，公式說明，若 D 是複數平面上一個具有光滑邊緣的域，則

對於一切在 D 的閉包內連續的全純函式。從而，對於此類全純函式，δ 函式 δz 可以以柯西積分表示：

更一般地來說，設 H2 (∂D) 是一個哈代空間，它是所有在 D 中直到 D 的邊緣都是連續的全純函式，在 L2 (∂D) 中的凸包。H2 (∂D) 中的函式可以唯一地延續成 D 上的全純函式，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於，δ 函式 δz 是一個 H2 (∂D) 上的連續線性泛函。這是多複數變數函式中的特殊情況：對於光滑域 D，代替了柯西積分的角色。

6.5.2 單位分解

在可分希爾伯特空間中，給定一個由函式 {φn} 組成的標準正交基（如一個緊自伴運算元的歸一化特徵向量），那麼任何向量 f 都可以表達成：

係數 {αn} 可以如下得出：

也可以寫為

這是狄拉克符號的一種。}} 在這種寫法下，f 以並矢方式展開：

設 I 是該希爾伯特空間上的恆等運算元，則表示式

稱為單位分解。當希爾伯特空間是 L2 (D)，包含所有在域 D 上的平方可積函式，那麼

就是一個積分運算元，而 f 可以重新表達為：

右邊的級數是在 L2 當中向 f 收斂。就算 f 是連續函式，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫

如此來表示 δ 函式：

在適當的中，其中包含所有緊支撐光滑函式，視乎基 φn 的性質，上方的級數有可能在 Φ* 中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分運算元，這時候級數會從分佈的意義上收斂。

6.6 無限小 δ 函式

1827 年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函式時，用到了一個無限小數 α，使得函式 δα 滿足}}

他（以及拉扎爾・卡諾）把無限小數定義為一個趨向於零的序列。

非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克 δ 函式可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見論文所列出的相關書目。這樣定義的 δ 函式是真正意義上的函式，使得對於每個實函式 F，都有

結果與傅裡葉和柯西用別的語言所表達的一樣。

狄拉克梳子

狄拉克梳子是無限個相距 T 的 δ 函式

由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做，亦以西里爾字母Ш相形稱為Ш分佈，是一個取樣函式，常用在數碼訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個 δ 函式的無限和，和的極限是分佈意義上的極限：

這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。

狄拉克梳子是其自身的傅裡葉變換（或乘以某個歸一常數）。其重要性在於，若 f 是速降函式，則 f 在週期化後的結果以以下卷積表示：

特別有，

這正是帕松求和公式。

索霍茨基 - 魏爾斯特拉斯定理

索霍茨基 - 魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理，它把 δ 函式和分佈 p.v.1/x 聯絡起來，後者是函式 1/x 的柯西主值，定義是

索霍茨基公式說明，

此處的極限是分佈意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函式 f，

與克羅內克 δ 函式的關係

克羅內克 δ 函式 δij 的定義是，

對於所有整數 i、j。它滿足以下的篩選性質：若是一個兩頭無限的序列，則

這和狄拉克 δ 函式的篩選性質十分相似：對於任何 R 上的實函式或複函式 f，有

也就是說，克羅內克 δ 函式可以看作是與狄拉克 δ 函式對應的離散函式。

應用

10.1 機率論

在機率論和統計學中，狄拉克函式往往以機率密度函式的身份，來代表一個離散分佈或部分離散、部分連續的分佈（機率密度函式一般只用作描述完全連續分佈）。例如，設一組點 x = {x1, ..., xn}，對應機率為 p1, ..., pn；由這些點所組成的離散分佈的機率密度函式可以寫作

又舉一例，設一個分佈，其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈，而十分之四的情況下輸出單個數值 3.5，這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函式是

也可以以完全不同的方法，用 δ 函式表示擴散過程（如布朗運動）中的。一個隨機過程的區域性時的表示式為

這代表了該過程在某特定區間內，在點 x 所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成

其中是區間的指示函式。

10.2 量子力學

以下舉一個例子，展示 δ 函式如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函式所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函式假定屬於希爾伯特空間 L2（平方可積函式空間），且粒子在某空間範圍內出現的總機率，等於波函式的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函式 {φn} 叫做標準正交，如果

其中 δ 指的是克羅內克 δ 函式，而不是狄拉克 δ 函式。一組標準正交波函式叫做在平方可積函式空間中完備，如果任何波函式 ψ 都可以表達為一些 φn 的線性組合：

其中。量子力學中的哈密頓算符量度的是（束縛態的）能級，而算符的所有本徵函式正正就組成了波函式完備標準正交系統，每個本徵函式所對應的特徵值等於能量值。這組能量值叫做這個哈密爾頓算符的光譜。利用狄拉克符號（如上），上式所表達的就是單位分解：

此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的，就如位置算符。位置（在一維當中）的光譜是整條實數線，所以稱作連續光譜。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函式。為瞭解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函式，從普通的函式到所有分佈。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的取代。這樣一來，位置算符就有了一套完備的本徵分佈，對應於實數線上的每個點 y：

位置的本徵函式（分佈）用狄拉克符號記作，亦稱為位置本徵態。

這種處理方法同樣可以應用於動量算符，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界運算元 P，前提是 P 具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集 Ω（即運算元的光譜）和一組分佈 φy，對應於 Ω 的每個元素 y，使得

也就是說，φy 是 P 的特徵向量（本徵分佈）。如果這些特徵向量（作為分佈）都滿足歸一化條件：

那麼對於一切測試函式 ψ，就有

其中

此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處：

其中以運算元為值的積分同樣理解為弱積分。若 P 的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。

δ 函式在量子力學中還有眾多特殊應用，例如 δ 位勢阱。

10.3 結構力學

在結構力學中，δ 函式可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在 t=0 時突然受到衝量為 I 的力的衝擊，其演變可以如下描述：

其中 m 是質量，ξ 是撓度，而 k 是彈簧常數。

根據尤拉﹣伯努力理論，一條細長的樑的靜力負荷撓度是

其中 EI 是樑的彎曲剛度，w 是撓度，x 是空間坐標，而 q (x) 則是負荷分佈。如果棟樑在 x = x0 處受到點力 F 的負荷，那麼負荷分佈可以寫作

由於 δ 函式的積分是黑維塞階躍函式，因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式來表示。

δ 函式還可以描述作用在一條樑上的點。設兩個相距 d 的相反方向的點力 F，它們在棟樑上所產生的彎矩為 M = Fd。在保持 M 不變的情況下，使 d 趨向於零。假設所產生的彎矩位於 x = 0，方向是順時針，那麼對棟樑的負荷分佈就是

因此點彎矩可以用 δ 函式的導數來描述。對棟樑方程積分，得出的撓度一樣是分段多項式。