庫利 - 圖基快速傅立葉變換演算法

庫利－圖基快速傅立葉變換演算法（Cooley–Tukey FFT algorithm）是最常見的快速傅裡葉變換演算法。這一方法以分治法為策略遞迴地將長度為 N = N1N2 的 DFT 分解為長度分別為 N1 和 N2 的兩個較短序列的 DFT，以及與旋轉因子的複數乘法。這種方法以及 FFT 的基本思路在 1965 年詹姆斯・庫利和約翰・圖基合作發表《An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series》之後開始為人所知。但後來發現，實際上這兩位作者只是重新發明瞭高斯在 1805 年就已經提出的演算法（此演算法在歷史上數次以各種形式被再次提出）。

庫利－圖基演算法最有名的應用，是將序列長為 N 的 DFT 分割為兩個長為 N/2 的子序列的 DFT，因此這一應用只適用於序列長度為 2 的冪的 DFT 計算，即基 2-FFT。實際上，如同高斯和庫利與圖基都指出的那樣，庫利－圖基演算法也可以用於序列長度 N 為任意因數分解形式的 DFT，即混合基 FFT，而且還可以應用於其他諸如分裂基 FFT 等變種。儘管庫利－圖基演算法的基本思路是採用遞迴的方法進行計算，大多數傳統的演算法實現都將顯示的遞迴演算法改寫為非遞迴的形式。另外，因為庫利－圖基演算法是將 DFT 分解為較小長度的多個 DFT，因此它可以同任一種其他的 DFT 演算法聯合使用。

複雜度

離散傅立葉變換的複雜度為（可參考大 O 符號）

快速傅立葉變換的複雜度為，分析可見下方架構圖部分，級數為而每一級的複雜度為，故複雜度為

蝶形結

在 FFT 演演算法中，使用到的蝶形結可以分為 Cooley-Tukey 和 Gentleman-Sande 兩種，而他們進行的運算互為對方的逆運算，同時對應了 DFT 和 IDFT 當中會使用到的運算單元。

在 Cooley-Tukey 蝶形結當中，上下兩列的輸出分別為：

而在 Gentleman–Sande 蝶形結當中，上下兩列的輸出分別為：

可以注意到在進行完一次 Cooley-Tukey 蝶形結和 Gentleman–Sande 蝶形結的運算之後，原先輸入的 (a, b) 會變成 (2a, 2b)，而這項常數倍的差異可以在所有的蝶形結運算結束後再處理，不需要直接改變這兩項蝶形結運算單元的常數。

以下是這兩種蝶形運算應用在快速傅立葉轉換中性質的比較。

2.1 Cooley-Tukey 蝶形運算:

組成：一個加法器、一個減法器、和一個乘法器。
輸入順序：以位元反轉順序 (bit-reversed order) 輸入資料。
輸出順序：產生以正常順序 (normal order) 輸出的結果，對應到分時快速傅立葉轉換 (Decimation-in-Time FFT)。
使用時機：由於輸入非按照正常順序，輸入端資料流控制較 DIF-FFT 更為複雜。

2.2 Gentleman-Sande 蝶形運算:

組成：一個加法器、一個減法器、和一個乘法器。
輸入順序：以正常順序 (normal order) 輸入資料。
輸出順序：產生以位元反轉順序 (bit-reversed order) 輸出的結果，對應到分頻快速傅立葉轉換 (Decimation-in-Frequency FFT)。
使用時機：由於輸入會按照正常順序，輸入端資料流控制較 DIT-FFT 更為簡單。

而 Utsav Banerjee 等人在 2019 年發表的〈An Energy-Efficient Configurable Lattice Cryptography Processor for the Quantum-Secure Internet of Things〉提出了一個整合式蝶形運算單元的架構，同時包含了 Cooley-Tukey 蝶形結和 Gentleman–Sande 蝶形結的運算，以滿足在硬體實作上同時兼顧兩者的需求。

2.3 整合式蝶形運算:

組成：兩個加法器、兩個減法器、一個乘法器、和四個資料多工器 (MUX)。
原理：藉由資料多工器 (MUX) 使得每次只有其中一個加法器和一個減法器的輸出會被使用，以此呈現原先 Cooley-Tukey 蝶形結和 Gentleman–Sande 蝶形結中的運算，在 Cooley-Tukey 蝶形結中會跳過前半部分的加法器和減法器，使得乘法器放置在有效的加法器和減法器之前，而 Gentleman–Sande 蝶形結則正好相反，跳過後半部分的加法器和減法器，使得乘法器放置在有效的加法器和減法器之後。而至於是要呈現哪一個運算單元的特性就可以根據當下輸入輸出等情況做選擇，藉此彌補硬體實作上和軟體設計相比缺乏彈性的問題，同時避免硬體資源的浪費。
優點：
節省資源：透過整合 Cooley-Tukey 和 Gentleman–Sande 的蝶形結構，減少硬體面積。
提升效能：避免處理位元反轉 (bit reversal) 等複雜操作，提升運算效率。
高度彈性：支援兩種變換型別以適用於多種不同應用情境。
缺點：
由於蝶形運算單元的組成變得複雜而使得其電路面積 (area) 和延遲 (latency) 增加，但文章中指出由於關鍵路徑不在該蝶形運算單元之內，因此並不會影響系統的整體表現，此外其造成的額外面積負擔在系統中也是微乎其微的。

時域 / 頻域抽取法

在 FFT 演演算法中，針對輸入做不同方式的分組會造成輸出順序上的不同。如果我們使用時域抽取（Decimation-in-time），那麼輸入的順序將會是位元反轉排列（bit-reversed order），輸出將會依序排列。但若我們採取的是頻域抽取（Decimation-in-frequency），那麼輸出與輸出順序的情況將會完全相反，變為依序排列的輸入與位元反轉排列的輸出。

3.1 時域抽取法

我們可以將 DFT 公式中的專案在時域上重新分組，這樣就叫做時域抽取（Decimation-in-time），在這裡將會被代換為旋轉因子（twiddle factor）。

在這邊我們要注意的是，我們所替換的 Gk 與 Hk 具有週期性：

還注意到係數具有對稱性：

上述的推導可以劃成下面的圖：

劃紅框處所示的點 DFT 架構如下圖所示：

劃紅框處所示的點 DFT 架構如下圖所示：

下圖是一個 8 點 DIT FFT 的完整架構圖。

3.2 頻域抽取法

我們可以將 DFT 公式中的專案在頻域上重新分組，這樣就叫做頻域抽取（Decimation-in-frequency）。

首先先觀察在頻域上偶數項的部分：

再觀察在頻域上奇數項的部分：

上述的推導可以畫成下面的圖：

更進一步的拆解 - point DFT 的架構

下圖為 8 點 FFT 下 - point DFT 的架構

總結上述架構，完整的 8 點 DIF FFT 架構圖為

單一基底

利用庫利－圖基演演算法進行離散傅立葉拆解時，能夠依需求而以 2, 4, 8… 等 2 的冪次方為單位進行拆解，不同的拆解方法會產生不同層數快速傅裡葉變換的架構，基底越大則層數越少，複數乘法器也越少，但是每級的蝴蝶形架構則會越複雜，因此常見的架構為 2 基底、4 基底與 8 基底這三種設計。

4.1 2 基底

2 基底 - 快速傅立葉演演算法（Radix-2 FFT）是最廣為人知的一種庫利－圖基快速傅立葉演演算法分支。此方法不斷地將 N 點的 FFT 拆解成兩個 'N/2' 點的 FFT，利用旋轉因子的對稱性藉此來降低 DFT 的計算複雜度，達到加速的功效。

而其實前述有關時域抽取或是頻域抽取的方法介紹，即為 2 基底的快速傅立葉轉換法。以下展示其他種 2 基底快速傅立葉演演算法的連線方法，此種不規則的連線方法可以讓輸出與輸入都為循序排列，但是連線的複雜度卻大大的增加。

4.2 4 基底

4 基底快速傅立葉變換演演算法則是承接 2 基底的概念，在此裡用時域抽取的技巧，將原本的 DFT 公式拆解為四個一組的形式：

在這裡再利用的特性來進行與 2 基數 FFT 類似的化減方法，以降低演演算法複雜度。

4.3 8 基底

在庫利－圖基演算法裡，使用的基底（radix）越大，複數的乘法與記憶體的存取就越少，所帶來的好處不言而喻。但是隨之而來的就是實數的乘法與實數的加法也會增加，尤其計算單元的設計也就越複雜，對於可應用 FFT 之點數限制也就越嚴格。在表中我們可以看到在不同基底下所需的計算成本。

在 DFT 的公式中，我們重新定義 x=x (0),x (1),…,x (N-1) T, X=X (0),X (1),…,X (N-1) T，則 DFT 可重寫為 X=FN・x。FN 是一個 N×N 的 DFT 矩陣，其元素定義為 FNij=WNij (i,j ∈ 0,N-1)，當 N=8 時，我們可以得到以下的 F8 矩陣並且進一步將其拆解。

在拆解成三個矩陣相乘之後，我們可以將複數運算的數量從 56 個降至 24 個複數的加法。底下是 8 基底的 SFG。要注意的是所有的輸出與輸入都是複數的形式，而輸出與輸入的排序也並非規律排列，此種排列方式是為了要達到接線的最佳化。

混合基底

5.1 2/8 基底

在 2/8 基底的演演算法中，我們可以看到我們對於偶數項的輸出會使用 2 基底的分解法，對於奇數項的輸出採用 8 基底的分解法。這個做法充分利用了 2 基底與 4 基底擁有最少乘法數與加法數的特性。當使用了 2 基底的分解法後，偶數項的輸出如下所示。

奇數項的輸出則交由 8 基底分解來處理，如下四式所述。

以上式子就是 2/8 基底的 FFT 快速演演算法。在架構圖上可化為 L 型的蝴蝶運算架構，如下圖所示。

而下圖表示的是一個 64 點的 FFT 使用 2/8 基底的架構圖。雖然 2/8 基底的演演算法縮減了的乘法量，但是這種演演算法最大的缺點是跟其他固定基底或是混合基底比較起來，他的架構較為不規則。所以在硬體上比 4 基底或是 2 基底更難實現。

5.2 2/4/8 基底

為了改進 Radix 2/8 在架構上的不規則性，我們在這裡做了一些修改，如下圖 4.。此修改可讓架構更加規則，且所使用的加法器與乘法器數量更加減少，如下表所示。

在這裡我們最小的運算單元稱為 PE（Process Element）,PE 內部包含了 2/8 基底、2/4 基底、2 基底的運算，簡化過的訊號處理流程與蝴蝶型架構圖可見下圖

5.3 22 基底

基底的選擇越大會造成蝴蝶形架構更加複雜，控制電路也會複雜化。因此 Shousheng He 和 Mats Torkelson 在 1996 提出了一個 2^2 基底的 FFT 演演算法，利用旋轉因子的特性：。而–j 的乘法基本上只需要將被乘數的實部虛部對調，然後將虛部加上負號即可，這樣的負數乘法被定義為 ' 簡單乘法 '，因此可以用很簡單的硬體架構來實現。利用上面的特性，22 基底 FFT 能用串接的方式將旋轉因子以 4 為單位對 DFT 公式進行拆解，將蝴蝶形架構層數降到 log4N，大幅減少複數乘法器的用量，而同時卻維持了 2 基底蝴蝶形架構的簡單性，在效能上獲得改進。22 基底 DIF FFT 演演算法的拆解方法如下列公式所述：

N 點 DFT 公式：

利用線性對映將 n 與 k 對映到三個維度上面

然後套用 Common Factor Algorithm（CFA）

而蝴蝶型架構會變成以下形式

利用旋轉因子的特性，可以觀察出

再將此公式帶入原式中可以得到

如上述公式所示，原本的 DFT 公式會被拆解成多個，而又可分為 BF2I 與 BF2II 兩個階層，分別會對應到之後所介紹的兩種硬體架構。

一個 16 點的 DFT 公式經過一次上面所述之拆解之後可得下面的 FFT 架構

可以看出上圖的架構保留了 2 基底的簡單架構，然而複數乘法卻降到每兩級才出現一次，也就是次。而 BF2I 以及 BF2II 所對應的硬體架構下圖：

其中 BF2II 硬體單元中左下角的交叉電路就是用來處理 - j 的乘法。

一個 256 點的 FFT 架構可以由下面的硬體來實現：

其中圖下方的為一 7 位元寬的計數器，而此架構的控制電路相當單純，只要將計數器的各個位元分別接上 BF2I 與 BF2II 單元即可。

下表將 2 基底、4 基底與 22 基底演演算法做一比較，可以發現 22 基底演演算法所需要的乘法氣數量為 2 基底的一半，加法棄用量是 4 基底的一半，並維持一樣的記憶體用量和控制電路的簡單性。

5.4 23 基底

如上所述，22 演演算法是將旋轉因子視為一個簡單乘法，進而由公式以及硬體上的化簡獲得硬體需求上的改進。而藉由相同的概念，Shousheng He 和 Mats Torkelson 進一步將旋轉因子的乘法化簡成一個簡單乘法，而化簡的方法將會在下面講解。

5.4.1 乘法化簡

在 2 基數 FFT 演演算法中的基本概念是利用旋轉因子的對稱性，4 基數演演算法則是利用

的特性。但是我們會發現在這些旋轉因子的對稱特性中─

─並沒有被利用到。主要是因為的乘法運算會讓整個 FFT 變得複雜，但是如果藉由近似的方法，我們便可以將此一運算化簡為 12 個加法。

我們可以從上式注意到，可以被近似為五個加法的結果，所以就可以被簡化為只有六個加法，再算入實部與虛部的計算，總共只需 12 個加法器就可以運用到此一簡化特性。

經由與 22 基底類似的推導，並用串接的方式將旋轉因子以 8 為單位對 DFT 公式進行拆解，23 基底 FFT 演演算法進一步將複數乘法器的用量縮減到 log8N，並同時維持硬體架構的簡單性。

推導的方法與 22 基底相當類似。藉由這樣的方法，23 基底能將乘法器的用量縮減到 2 基底的 1/3，並同時維持一樣的記憶體用量以及控制電路的簡單性。

一般性分解

除了常在應用中見到與相關基底的拆解法，對於更加一般性的點離散傅立葉變換問題，

我們也有辦法在理論上進行拆解，將問題化為數個與點離散傅立葉變換問題，並可對計算量進行估計。

而特別的是，透過互質在數論上的特性，對於與互質的情況，可以進一步節省一些運算，

在下面會特別分開討論。

6.1 非互質

為了避免之後的符號混淆，我們先將置換為，也就是說接著要將點離散傅立葉變換，

想辦法拆解為數個與點離散傅立葉變換問題。

接著定義要拆分的問題，要拆分的問題為點離散傅立葉變換，將轉換至：

直觀地說，這個點離散傅立葉變換，將由作為引數的函式，轉換成由作為引數的函式，

並且都有個可能的數值。

待定義好要拆分的問題，便可以開始討論如何進行拆分，基本概念是將有個可能的數值的，

分別化為個使用兩個引數進行描述的函式，並藉此將原問題化為二維度離散傅立葉變換，

便可使用數個較小的離散傅立葉變換問題描述整個過程。

而一種很直覺的轉換方式，便是透過將分別除以，

以商數與餘數來做為引數描述的值：

其中作為將除以的商數，與作為除以的餘數的相同，

具有個可能數值，同理與有個可能數值。

將上述的引數代換及帶入原式，可以得到：

將右式的指數部分乘開並分項化簡可以得到：

最後透過與，可以得到：

觀察上式，並加上括號輔助釐清運算順序我們可以得到：

最內層的運算可以視為將雙引數函式中的一個引數，透過離散傅立葉變換取代為由描述，

得到一個新函式 (這步因為對每個不同，都需要做一次將取代為的轉換，

共需要個點離散傅立葉變換)：

下一層的運算則可視為單純的乘法，將與相乘，得到

(這步需要的計算量視的特殊性而會有變化)：

最後的運算可以視為將函式中，透過離散傅立葉變換取代為由描述，

得到一個新函式 (這步因為對每個不同，都需要做一次將取代為的轉換，

共需要個點離散傅立葉變換)：

就成功僅使用與點離散傅立葉變換，描述了原先的點離散傅立葉變換。

而在這樣的分解下，我們使用了個點離散傅立葉變換與個點離散傅立葉變換與一些額外的乘法，

並且這些額外使用的複數乘法，

在電腦的運算架構中，如果是的倍數則不需要使用乘法，

如果是的倍數則僅需兩個實數乘法，

6.2 互質

在互質的情況下，仍是採取和上面相近的思路來將問題進行拆分，首先，為了避免之後的符號混淆，我們同樣將置換為。

接著同樣定義要拆分的問題：

接著就是和上面的演算法有最大差異的部分，在將化為個使用兩個引數進行描述的函式時，

最直覺的作法便是使用商數和餘數，但在互質的情況下，可以有一些其他更具技巧性的選擇。

當互質，對所有我們可以找到唯一且不重複的一組使得：

其中，代表取餘數的意思，是一個整數。

例如假設，則對應到的就是，

有。

並且對所有的組合 (有組)，都對應到一個特定不重複的。

同理我們可以把表示為的雙引數函式：

將上述的引數代換及帶入原式，可以得到：

接著透過一次的展開化簡及應用可得：

再將帶入並再透過一次的展開化簡及應用可得：

觀察上式，並加上括號輔助釐清運算順序我們可以得到：

內層的運算可以視為將雙引數函式中的一個引數，

透過離散傅立葉變換取代為由一個與有關的變數描述，

得到一個新函式 (這步因為對每個不同，都需要做一次將取代為的轉換，

共需要個點離散傅立葉變換)：

外層的運算可以視為將函式中的引數，

透過離散傅立葉變換取代為由一個與有關的變數描述，

得到一個新函式 (這步因為對每個不同，都需要做一次將取代為的轉換，

共需要個點離散傅立葉變換)：

最後透過與在不同時的點點數值對應關係，

就成功僅使用與點離散傅立葉變換，描述了原先的點離散傅立葉變換。

而這個方法透過聰明的選取表達的方式，使得拆解的過程中完全不需要多餘的乘法運算，

總運算量可以簡單表示為：

其中是傅立葉所需乘法數，是傅立葉所需乘法數。

雖然這個方法可以較上面的方法節省運算量，

但這個方法也牽涉較為複雜的與轉換，較為不直覺且不易理解，

也會遇到許多需要取餘數的運算，可能會需要較大的空間建表進行查表法。

最後關於實際上要如何求得與的轉換關係，

可以先透過輾轉相除法取得一對特定的使得：

然後我們可以知道對於任意整數有：

然後就可以得到：

滿足：