模糊數學

模糊數學，亦稱弗晰數學或模糊性數學。1965 年以後，在模糊集合、模糊邏輯的基礎上發展起來的模糊拓撲、模糊測度論等數學領域的統稱。是研究現實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數學工具。在模式識別、人工智慧等方面有廣泛的應用。

模糊集

1.1 定義和表示

給定一個論域 U ，那麼從 U 到單位區間 0,1 的一個對映

稱為 U 上的一個模糊集 或 U 的一個模糊子集

，

記為 A 。

對映（函式） μA (・) 或簡記為 A (・) 叫做模糊集 A 的隸屬函式。

對於每個 x ∈ U ， μA (x) 叫做元素 x 對模糊集 A 的隸屬度。

模糊集的常用表示法有下述幾種：

解析法，也即給出隸屬函式的具體表達式。
Zadeh 記法，例如。分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為 0，該項可以忽略不寫。
序偶法，例如，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

1.2 一些相關概念

模糊集 A 的承集或支集記為 。
模糊集 A 的核記為 。
模糊集 A 的高度記為 。
模糊集 A 的深度記為 。

1.3 模糊度

一個模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：

設對映 D : F (U) → 0,1 滿足下述 5 條性質：

清晰性：D (A) = 0 當且僅當 A ∈ P (U)。（經典集的模糊度恆為 0。）
模糊性：D (A) = 1 當且僅當 ∀ u ∈ U 有 A (u) = 0.5。（隸屬度都為 0.5 的模糊集最模糊。）
單調性：∀ u ∈ U，若 A (u) ≤ B (u) ≤ 0.5，或者 A (u) ≥ B (u) ≥ 0.5，則 D (A) ≤ D (B)。
對稱性：∀ A ∈ F (U)，有 D (Ac) = D (A)。（補集的模糊度相等。）
可加性：D (A∪B) + D (A∩B)=D (A) + D (B)。

則稱 D 是定義在 F (U) 上的模糊度函式，而 D (A) 為模糊集 A 的模糊度。

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的，一個常用的公式（分別針對有限和無限論域）就是

其中 p > 0 是引數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當 p = 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當 p = 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。

模糊集的運算

2.1 各種運算元

Zadeh 運算元，max 即為並，min 即為交
代數運算元（機率和、代數積）
有界運算元
Einstein 運算元
Hamacher 運算元，其中 ν ∈ 0,+∞) 是引數，等於 1 時轉化為代數運算元，等於 2 時轉化為 Einstein 運算元
Yager 運算元，其中 p 是引數，等於 1 時轉化為有界運算元，趨於無窮時轉化為 Zadeh 運算元
λ-γ 運算元，其中 λ,γ ∈ 0,1 是引數
Dobois-Prade 運算元，其中 λ ∈ 0,1 是引數

2.2 運算元的性質

模糊集與經典集的關係

3.1 截集與截積

設 ，任取 ，則

 ，

稱 Aλ 為 A 的 λ 截集，而 λ 稱為閾值或置信水平。將上式中的 ≥ 替換為 >，記為 ASλ，稱為強截集。

截集和強截集都是經典集合。此外，顯然 A1 為 A 的核，即 kerA；如果 kerA ≠ ø，則稱 A 為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積：

設 λ ∈ 0,1，A ∈ F (U)，則 ∀ u∈U，λ 與 A 的截積（或稱為 λ 截集的數乘，記為 λA）定義為：

根據定義，截積仍是 U 上的模糊集合。

3.2 分解定理與表現定理

分解定理：

設 A∈F (U)，則

即任一模糊集 A 都可以表達為一族簡單模糊集 {λAλ} 的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而 “拼成”。

表現定理：

設 H 為 U 上的任何一個集合套，則

是 U 上的一個模糊集，且 ∀ λ ∈ 0,1，有

（1） ASλ = ∪α>λ H (α)

（2） Aλ = ∩α H (α)

即任一集合套都能拼成一個模糊集。

模糊集之間的距離

4.1 使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集 F (U) 上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即對映到 0,1 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離：

4.2 貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - 距離（這裡的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到 “度” 的概念的直覺反映 —— 距離越近，貼近的程度顯然越 “高”，因此它恰為距離的反數。

除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。

; 最大最小貼近度

; 算術平均最小貼近度

; 幾何平均最小貼近度

; 指數貼近度

模糊關係

模糊關係是建立在模糊集上的關係，此外，它也有一些特別的性質和應用。

5.1 定義

設 U 和 V 是論域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡爾直積，則每個模糊子集 R ∈ U × V 都稱為從 U 到 V 的一個模糊關係。若 U = V，則稱 R 是 U 中的模糊關係。如果 R (x,y) = α，則稱 x 與 y 具有關係 R 的程度為 α。特別地：

若 ∀ (x,y) ∈ U × U，當 x = y 時 R = 1，當 x ≠ y 時 R = 0，則稱 R 為 U 上的恆等關係，記為 I
若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R (x,y) = 0，則稱 R 為從 U 到 V 的零關係，記為 0
若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R (x,y) = 1，則稱 R 為從 U 到 V 的全稱關係，記為 E

模糊關係的並、交、補、包含、相等、λ 截和截積運算，實質上就是模糊集的相應運算（採用 Zadeh 運算元）。但模糊關係還有一個特殊的運算轉置，定義為

 RT (x,y) = R (y,x)

易知轉置運算滿足復原律、交換律和單調性等。

5.2 關係以及關係的合成的矩陣表達

關係的合成：

對於從 U x-m 到 V y-p 的關係 R，以及從 V y-p 到 W z-n 的關係 S，那麼從 U 到 W 的模糊複合關係 R・S 為

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 運算元）。由此可知，模糊複合關係的運算，就是兩個模糊關係的矩陣的乘法運算，只是要將矩陣乘法中的乘法改為 ∧，而加法改為 ∨ 即可。

例子：設 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：

那麼這些模糊關係可以寫成如下矩陣表達（注意行列位置）：

5.3 模糊關係與分類

模糊等價關係定義：

設 U 中的模糊關係 R 滿足
自反性 : ∀ x ∈ U, R (x , x) = 1
對稱性 : ∀ x, y ∈ U, R (x , y) = R (y , x)
傳遞性 : ∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ 0,1, 當 R (x , y) ≥ λ 且 R (y , z) ≥ λ 時，R (x , z) ≥ λ

則稱 R 為 U 中的一個模糊等價關係。易知，對於一個固定的 λ ∈ 0,1 來說，傳遞性條件刻畫了模糊關係 R 具有 λ 水平上的傳遞性。

下述定理指出了模糊等價關係與普通等價關係的關係：U 中的模糊關係 R 是模糊等價關係的充要條件是，對於每個 λ ∈ 0,1，R 的 λ 截關係 Rλ 是 U 中的普通等價關係。

只滿足自反性和對稱性，不滿足傳遞性的模糊關係稱為模糊相似關係。而將等價關係與相似關係聯絡在一起的是下述定理：U 中的模糊關係 R 是模糊傳遞關係的充要條件是 R2 ⊆ R。

分類：

如果模糊關係是等價關係，取某一水平的 λ 截集，即可得到這個水平上的分類。
如果模糊關係是相似關係，計算 R ≡ R2^k = R2^(k+1)，則 R 可被證明是等價關係。

模糊推理