三等分角

三等分角是古希臘平面幾何裡尺規作圖領域中的著名問題，與化圓為方及倍立方問題並列為尺規作圖三大難題。尺規作圖是古希臘人的數學研究課題之一，是對具體的直尺和圓規畫圖可能性的抽象化，研究是否能用規定的作圖法在有限步內達到給定的目標。三等分角問題的內容是：“能否僅用尺規作圖法將任意角度三等分？”

三等分角問題提出後，在漫長的兩千餘年中，曾有眾多的嘗試，但沒有人能夠給出嚴格的答案 。隨著十九世紀群論和域論的發展，法國數學家首先利用伽羅瓦理論證明，這個問題的答案是否定的：不存在僅用尺規作圖法將任意角度三等分的通法。具體來說，汪策爾研究了給定單位長度後，能夠用尺規作圖法所能達到的長度值。所有能夠經由尺規作圖達到的長度值被稱為規矩數，而汪策爾證明了，如果能夠三等分任意角度，那麼就能做出不屬於規矩數的長度，從而反證出透過尺規三等分任意角是不可能的。

如果不將手段侷限在尺規作圖法中，放寬限制或藉助更多的工具的話，三等分任意角是可能的。然而，作為數學問題本身，由於三等分角問題表述簡單，而證明困難，並用到了高等的數學方法，在已被證明不可能實現後，仍然有許多人嘗試給出肯定的證明。

背景簡介

1.1 尺規作圖法

在敘述三等分問題前，首先需要介紹尺規作圖的意思。尺規作圖問題是從現實中具體的 “直尺和圓規畫圖可能性” 問題抽象出來的數學問題，將現實中的直尺和圓規抽象為數學上的設定，研究的是能不能在若干個具體限制之下，在有限的步驟內作出給定的圖形、結構或其他目標的問題。在尺規作圖中，直尺和圓規的定義是：

直尺：一側為無窮長的直線，沒有刻度也無法標識刻度的工具。只可以讓筆摹下這個直線的全部或一部分。

圓規：由兩端點構成的工具。可以在保持兩個端點之間的距離不變的情況下，固定其中一個端點，讓另一個端點移動，作出圓弧或圓。兩個端點之間的距離只能取已經作出的兩點之間的距離，或者任意一個未知的距離。

定義了直尺和圓規的特性後，所有的作圖步驟都可以歸化為五種基本的步驟，稱為作圖公法：

透過兩個已知點，作一直線。
已知圓心和半徑，作一個圓。
若兩已知直線相交，確定其交點。
若已知直線和一已知圓相交，確定其交點。
若兩已知圓相交，確定其交點。

尺規作圖研究的，就是是否能夠透過以上五種步驟的有限次重複，達到給定的作圖目標。尺規作圖問題常見的形式是：“給定某某條件，能否用尺規作出某某物件？” 比如：“給定一個圓，能否用尺規作出這個圓的圓心？” 等等。

1.2 問題敘述

三等分角問題的完整敘述是：

關於這個敘述中的用詞和術語，需要一一作出定義。“角” 可以有兩種等價的定義：一個角可以是由一點和從它出發的兩條射線構成的集合，也可以是由三點和連線它們的兩條線段構成的集合。以下的敘述中採取第二個定義，用三個大寫英文字母或一個希臘字母表示一個角。角指的是由三點以及線段和構成的集合，也可以直接用一個希臘字母如表示。兩個角和相等，指的是以下條件：如果將線段沿點延長為射線，在上面作一點使得 ，同時將線段沿點延長為射線，在上面作一點使得 ，則 。

一個角等於另一個角的三分之一，指的是角等於角的三倍。而一個角等於角的倍（為自然數），指的是可以找到點等，使得個角都等於，並且點就是點。

1.3 二等分角問題

與三等分角問題相比，用尺規作圖將任意角二等分要容易得多。右圖具體說明了二等分一個角的步驟。依照類似的步驟，也能夠將任意角四等分、八等分…… 但直到十九世紀，隨著群論和伽羅瓦理論的出現，數學家們才認識到二等分角和三等分角本質上的不同。在現代數學語言中，更常用域擴張的理論來論述三等分角的問題。從證明三等分角的過程中可以知道，尺規作圖的方法不但不能三等分任意角，也不能將任意角五等分、七等分、九等分、十一等分。其理由涉及到直線和圓的解析性質。

不可能性的證明

1837 年，法國數學家汪策爾證明瞭，三等分角問題是沒有辦法完成的。

三等分角問題提出後，有許多基於平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出將任意角度三等分的確實做法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的做法一定不存在。直到十九世紀後，伽羅瓦和阿貝爾 (全名：尼爾斯・阿貝爾) 開創了以群論來討論有理係數多項式方程之解的方法，人們才認識到三等分角問題的本質。

2.1 尺規可作性和規矩數

在研究各種尺規作圖問題的時候，數學家們留意到，能否用尺規作出特定的圖形或目標，本質是能否作出符合的長度。引進直角座標系和解析幾何以後，又可以將長度解釋為座標。比如說，作出一個圓，實際上是作出圓心的位置（座標）和半徑的長度。作出特定的某個交點或某條直線，實際上是找出它們的座標、斜率和截距。為此，數學家引入了尺規可作性這一概念。假設平面上有兩個已知的點和，以為單位長度，射線為 - 軸正向可以為平面建立一個標準直角座標系，平面中的點可以用橫座標和縱座標表示，整個平面可以等價於。

設是的一個非空子集。如果某直線經過中不同的兩點，就說是 - 尺規可作的，簡稱 - 可作。同樣地，如果某個圓的圓心和圓上的某個點是中的元素，就說是 - 可作的。進一步地說，如果裡的某個點是某兩個 - 可作的直線或圓的交點（直線－直線、直線－圓以及圓－圓），就說點是 - 可作的。這樣的定義是基於五個基本步驟得來的，包括了尺規作圖中從已知條件得到新元素的五種基本方法。如果將所有 - 尺規可作的點的集合記作，那麼當中包含超過兩個點的時候，肯定是的真子集。從某個點集開始，經過一步能作出的點構成集合 ，經過兩步能作出的點就是 ，…… 以此類推，經過步能作出的點集就是 。而所有從能尺規作出的點集就是：。

另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設是從集合 {(0,0), (0,1)} 開始，尺規可作點的集合： ，那麼規矩數定義為中的點的橫座標和縱座標表示的數。

定義：實數和是規矩數當且僅當是中的一個點。

可以證明，有理數集是所有規矩數構成的集合的子集，而又是實數集的子集。另外，為了在複數集內討論問題，也會將平面看作複平面，同時定義一個複數是（復）規矩數當且僅當點是中的一個點。所有復規矩數構成的集合也包含作為子集，並且是複數集的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數，三等分角問題從幾何問題轉成了代數的問題。

2.2 域的擴張與最小多項式

以集合的觀念來說，與、之間是子集與包含的關係。以抽象代數的觀點來說，可以證明是有理數域的擴域，是實數域的子域。記作。域是抽象代數中的概念，是能夠進行 “加減乘除” 運算的集合。從單位長度出發，很容易得到任何有理數長度的線段，所以直線（也就是實數軸）上所有的有理數座標的點都是尺規可作點。如果平面上還有另一個尺規可作點（對應複數），那麼也能做出任意的點，甚至於任何形如：

:

的點（其中和是兩個多項式）。有理數域和所有因為而多出來的尺規可作點仍舊構成一個域，稱為關於的擴張，記作。然而，中的元素並沒有表面上那麼 “多”。一般來說，如果有一個多項式使得 = 0，那麼中的元素都可以寫成的形式，其中是的階數。這樣的情況稱為域的有限擴張，因為可以看成關於的有限維線性空間。為了確定這個線性空間的維數，需要為它找一個基底，也就是一個線性無關的最小生成集。為此，尋找使得 0 的多項式中階數最小的，並稱是最小多項式。在最小多項式確定後，便可確定是的一個基底，是一個維的 - 線性空間（是的階數）。這時候也稱是域擴張的階數，記作：

2.3 規矩擴張的階數

對任何一個尺規可作點，都可以考察它對應的域擴張的階數。由於每個尺規可作點都是透過五種作圖公法的有限次累加得到的，而其中生成新點（也就是新座標）的只有後三種。所以只需考察這三種步驟得到的新點對應的域擴張的階數。假設某個時刻，已知的所有尺規可作點構成的域是，那麼生成新點時的直線和圓的係數都在裡面。

直線的方程是：

圓的方程是：

無論是兩個 (1) 類方程，兩個 (2) 類方程，還是一個 (1) 類和一個 (2) 類方程聯立求解，得到的和值都會是形同

的數值。所以復規矩數 滿足一個二次方程：

其中的、以及都是中的元素。這意味著，域擴張的階數最多是 2（最小多項式的階數至多是 2）。這又說明，從開始，經過一系列（次）基本步驟得到的尺規可作點，代表了次域擴張：。

而每次域擴張的階數：都不超過 2。因此，如果從基本的有理數域出發的話，就能得到如下的定理：

其中的是某個小於的自然數（是已知所有有理數座標點時，作出對應的點要經過的基本步驟數目）。

2.4 三等分角的反證

上文已經說明，任何可以用尺規作圖作出的點，其座標對應一個復規矩數，它的最小多項式次數為。以下用反證法證明三等分任意角是不可能的。反設可以用尺規作圖將任意角三等分，代表對任意角度是的角，均可以由尺規作圖得到 角度為的角。這等價於說在已知單位長度和的時候能做出的長度。設是包含了和單位長度 1 的域。用尺規作圖可以得到，說明域擴張的階數是 2 的冪次：

然而根據三倍角公式：。

運用多項式的知識可以證明，在中的最小多項式的階數必定不大於 3，也就是說是 1，2 或者 3。比如說當角度時，就是三倍角公式變成：

，即是：

這個多項式不可約，所以這個方程的解不屬於有理數集，所以可以證明。然而 3 不是 2 的冪次，這和之前的結論矛盾。如此便說明，無法用尺規作圖將任意角三等分。

能夠尺規三等分的角度

以上的證明透過一個反例：說明了用尺規作圖將任意角三等分是不可能的。但用尺規作圖三等分某些特定的角（比如說直角）仍然是可行的。事實上，從證明中可以看出，尺規三等分某個角等價於說。要注意的是，這個條件與本身能否用尺規作圖作出並不相關。實際上，有的角度即便本身無法用尺規作圖法作出，但如果已知角作為條件，是能夠用尺規作圖將它三等分的。角度就是這樣一個例子。它本身無法用尺規作出，但如果給定一個的角，它的五倍角就是，等於將圓周繞過一圈後的，這正是的三分之一。可以證明，角度可以用尺規三等分，當且僅當自然數本身無法被三整除。

從證明中還可看出，只要自然數只含有 2 以外的質因子，根據倍角公式得到的階多項式就說明的最小多項式階數整除，所以不是 2 的冪次，從而無法用尺規作圖等分任意角。例如用尺規作圖五等分任意角、七等分任意角等等都是不可能的（可以五等分，當且僅當不是 5 的倍數；而不管是多少，都不能七等分，因為正七邊形本身就不能尺規作圖了）。

三等分角的方法

用尺規作圖的方法三等分角被證明是不可行的。如果放寬尺規作圖的限制，或允許使用另外的工具，那麼三等分任意角仍舊是可能的。

4.1 無限次步驟

尺規作圖要求在有限次步驟內將任意角三等分。如果我們允許使用無限次的步驟來構造三等分角的話，可以利用

這個無窮級數的和來實現。給定任意一的角度為的角。已知尺規二等分角是可行的，所以重複兩次就能夠四等分一個角，得到。同樣地，可以作出、等所有形同的角。將它們逐次相加，就能夠在無限次（可數次）操作後用尺規作圖得到。

4.2 二刻尺

如果允許使用有刻度的直尺（二刻尺），則三等分任意角是可行的。右圖為把角三等分的示意圖。這個想法最早由阿基米德提出。

首先，在直尺上有兩個刻度，相距。把角上的直線延長，並作一個半徑為的圓。

把直尺的一點固定在，並將直尺繞著點移動，直到其中一個刻度位於點，另一個刻度位於點，也就是說， 。這時，角就是角的三分之一。

要證明，我們需要利用直線上的鄰角 (adjacent angles on straight line)，三角形的內角和 (angle sum of triangle) 及等腰三角形底角 (base angle, isosceles triangle)。

證明：

。
兩式相減，得。
，因此，把上式代入，得。
，因此。

所以，，或。證畢。

或者，可以利用三角形的外角 (Exterior Angle of a Triangle) 作證明。

同樣也可證明。

4.3 藉助其他形狀或工具

尺規作圖的規定來自於古希臘的柏拉圖學派，他們認為僅有直線和圓是完美的形狀。事實上，如果允許在作圖中使用其他的曲線或形狀，那麼三等分任意角是可行的。例如：已知角，做其角平分線。以直線為準線，點為焦點，作一雙曲線；同時以為圓心，為半徑做圓。設該圓與雙曲線在角內側的交點為，那麼角等於角的三分之一。此外，麥克勞林、利馬松等人也曾經設計過可以輔助三等分角的曲線。阿基米德螺線（等角螺線）也是能夠直觀幫助三等分角的曲線。在極座標中，阿基米德螺線的方程是：

其中的是極徑（離原點的距離），是幅角。由於極徑和幅角成正比，所以要尋找等於給定角度三分之一的角度，只需要確定原角度對應的極徑長度，然後對比找出對應的角度即可。