星期的計算

星期的計算是能夠計算出某一指定日期是在一週中的哪一天的一類演算法。多種數學演算法均可計算出過去或未來某一指定日期，是屬於一週中的星期幾，包括判決日法則（Doomsday Rule），Babwani 公式等，但其實這些演算法皆基於類似的機制相互變化而來，只是透過不同規則取得相同結果。

演算法的典型應用，是計算某人的出生日期或某重大事件的發生日期，是在一週中的哪一天。

簡介

差不多所有星期演算法的基礎皆可歸納如下：

從一個已知的日子作為起始日，一般採用世紀的第一天，透過同餘 7 計算共過去了多少天。如將一週日子由 0 至 6 計算，結果將為一餘數，如使用 1 至 7 計算，則 7 將代替 0。
查表或使用已知規則計算上面的起始日，即該世紀開始的星期數。
查表或使用已知規則計算該年份開始的星期數。
計算該月份開始的星期數。
從該月份開始的計算該日的星期數。

由以上可得知，使用同餘 7 表示在計算中可剔除 7 的倍數，如此可把 7 當作 0、8 當作 1、9 當作 2、18 當作 4，如此類推。如果把星期日當作第 0 日，7 日後（第 7 日）亦是星期日，而第 18 日則會與第 4 日相同，為星期日後的 4 天，即星期四。一些演算法把所有加數先行計算，然後把 7 的倍數剔除，而其他演算法則在每一步皆剔除 7 的倍數。兩種做法皆可取，第一種做法較適用於計算機及電腦演算法中，其他則較適用於心算。熟悉這些計算方法之後，可在腦內計算出來。

1.1 簡單的方法

把四個數加起來然後同餘 7 就是所求的星期數。這四個數分別是：

C：2 (3-(c mod4))（格里曆）、(4-c) mod7（儒略曆）或查世紀星期表

Y：(y mod28+y mod28/4) mod7（閏年 1、2 月份 Y-1）或查年份星期表

M：((3.4+(m-3) mod12×2.6) mod7（1、2 月份 M-1）或查月份星期表

D：d mod7、或查日期星期表

就是說 ——W=(C+Y+M+D) mod7

舉例
舉例說明 1：2008 年 12 月 10 日

(6+3+5+3) mod7=3，即該日是星期三，其中 c=20、y=8、m=12、d=10
舉例說明 2：2008 年 2 月 10 日

(6+2+3+3) mod7=0，即該日是星期日，其中 c=20、y=8、m=2、d=10
舉例說明 3：1842 年 8 月 29 日

(2+3+2+1) mod7=1，即該日是星期一，其中 c=18、y=42、m=8、d=29

有用的概念

2.1 同周月

同周月是指那些第一天的星期數相同的月份。例如 9 月與 12 月是同周月，因為 9 月 1 日是星期幾 12 月 1 日也必定是星期幾。顯然，只有兩個月份之間相隔整數週，或恰好相隔 7 的倍數天時，這兩個月才是同周月。比如在平年時，2 月正好有 28 天，即 2 月與 3 月是同周月；而在閏年時，2 月變成了 29 天，那麼 2 月與 3 月就不是同周月了。下面是同周月的列表：

平年：
1 月、10 月同
2 月、3 月、11 月同
4 月、7 月同
5 月、6 月、8 月不相同
9 月、12 月同
閏年：
1 月、4 月、7 月同
2 月、8 月同
3 月、11 月同
5 月、6 月、10 月不相同
9 月、12 月總相同

注意，5 月與 6 月，不管是平年還是閏年，與其它任何月份都不是同周月。另外，在下面的月份查詢表中，同周月由於開始於一週中的同一天，所以它們的數字（星期數）是相同的。

2.2 同週年

同週年類似於同周月，是指那些第一天的星期數相同的年份。每一年的第一天都有星期一到星期日 7 種可能，而閏年的 2 月 29 日會改變其後日期的星期數。所以，每一年的星期構成共有 14 種可能。（教會用於計算復活節日期的主日字母即共有 14 種表示法）

例如 2023 年是以星期日開始的平年，與 2017 年、2006 年及 1995 年為同週年，而 2027 年是以星期五開始的平年，與 2021 年、2010 年及 1999 年為同週年。

2020 年是以星期三開始的閏年，與 2014 年同樣開始於星期三，但與 2015 年同樣結束於星期四；2024 年是以星期一開始的閏年，與 2018 年同樣開始於星期一，但與 2019 年同樣結束於星期二；而 2032 年是以星期四開始的閏年，與 2026 年同樣開始於星期四，但與 2027 年同樣結束於星期五。

演算法

以下演算法適用於公曆。需要注意的是，演算法中世紀、年、月的星期數都是指的該世紀、年、月第 0 天為星期幾，這樣的好處是在計算時只要直接將天數加上就可以了，而不必再減 1。例如，1900 年的第 0 天（即 1899 年 12 月 31 日）是星期天，還要加上 1 才是 1900 年第 1 天（即 1 月 1 日）的星期數，即星期一。

另一個需要注意的是，演算法中每一步得到的數字，都是參照特定日期得到的相對星期數，即與特定參照日相差幾個星期數。只有把所有這些數字相加，再根據已知的參照日才得到實際的星期數。

演算法的基本步驟如下：

計算世紀的相對星期數，一種辦法是在下方表格中直接查詢；另一種辦法是依以下規則計算：將世紀數除以 4，用 3 減去所得的餘數，再將所得數字乘以 2。需要注意的是這裡的世紀數是實際年數的前兩位，而不是十九、二十世紀。
例如對於 1800－1899 年，我們取世紀數為 18（而不是 19 世紀），18/4 餘 2，然後用 3 減 2 得 1，最後 1 乘以 2 得到 2。即 1800 年第 0 日為星期二。如果世紀年是閏年的話（如 2000 年），世紀的相對星期數不是世紀年的第 0 天而是第 1 天。
計算該年的相對星期數，即所要計算的該年第 0 天與該世紀第 0 天相差多少。每一平年有 365 天，即 52 個星期加 1 天，也就是說下一年的起始星期數是當前年起始星期數加 1；如果是閏年那麼還要額外加 1 天。這樣我們如果知道該世紀開始的星期數，那麼只要每過一年起始星期數加 1，如果是閏年就再額外加 1，這樣就可以得出該世紀中任何一年的相對星期數。
例如 1978 年，參照 1900 年過去了 78 年，那麼對於每一個平年都要加 1，而這 78 年間共有 78/4=19 個閏年（這裡的餘數可以忽略，因為餘出的兩年絕不會是閏年），還要再加 19。那麼 1978 年的起始星期數就是：1900 年的起始星期數 0+78+19=97，再取同餘 7 之後，相當於 6。
另一種計算方法是把上面的 78 年除以 12，先將所得的商數與餘數相加；然後用餘數再除以 4，所得商數也加入剛才的結果。也就是 78/12 得到商數為 6，餘數為 6，兩者相加得 12；然後剛才的餘數 6/4 得到商數 1，那麼最後的結果就是 12+1=13，取同餘 7 之後，相當於 6。
計算該月的相對星期數，即所要計算的月份的第 0 天與該年第 0 天相差多少。我們參照下面的月份表可以得到每個月起始日的相對星期數。顯然 1 月的星期數為 0，因為 1 月的第 0 天也是作為參照日的該年的第 0 天。下面的表格同時列出了閏年時的特殊情況，有些演算法把閏年放到最後一步再考慮，即如果所要計算的日期是閏年的 1 月或 2 月，將所得數字減 1。兩種方法都可以，只要不重複計算即可。
計算該日的星期數，即所要計算的日期與該月第 0 天相差多少。顯然這個數字就是該日的日期數，如 1 月 22 日相對於 1 月第 0 天過去了 22 天，得到 22，取同餘 7 之後，相當於 1。

將上面所有步驟的相對星期數相加，再取同餘 7 就是實際的星期數了。

3.1 例子

如我們要計算 1982 年 4 月 24 日是星期幾：

在世紀表格中查到 1900 所在世紀對應數字：0
該年數為：82（即 82 個平年）
82 除以 4，82/4=20.5，取整數部分：20（即有 20 個閏年）
在月份表格中查到 4 月對應數字：6
將上面所得數字與日期數 24 相加：0+82+20+6+24=132
對 132 取同餘 7，即 132/7=18 餘 6
在日期表中得到：6 即星期六

又一個例子，1783 年 9 月 18 日是星期幾：

在世紀表格中查到 1700 所在世紀對應數字：4
該年數為：83（即 83 個平年）
83 除以 4，83/4=20.75，取整數部分：20（即有 20 個閏年）
在月份表格中查到 9 月對應數字：5
將上面所得數字與日期數 18 相加：4+83+20+5+18=130
對 130 取同餘 7，即 130/7=18 餘 4
在日期表中得到：4 即星期四

再一個例子，2054 年 6 月 19 日是星期幾：

在世紀表格中查到 2000 所在世紀為：6
該年數為：54（即 54 個平年）
54 除以 4，54/4=13.5，取整數部分：13（即有 13 個閏年）
在月份表格中查到 6 月對應數字：4
將上面所得數字與日期數 19 相加：6+54+13+4+19=96
對 96 取同餘 7，即 96/7=13 餘 5
在日期表中得到：5 即星期五

3.2 世紀星期表

格里曆

1752-1799 4 c mod4=1

1800-1899 2 c mod4=2

1900-1999 0 c mod4=3

2000-2099 6 c mod4=0

2100-2199 4

儒略曆

0800-0899 3 c mod7=1

0900-0999 2 c mod7=2

1000-1099 1 c mod7=3

1100-1199 0 c mod7=4

1200-1299 6 c mod7=5

1300-1399 5 c mod7=6

1400-1499 4 c mod7=0

1500-1582 3

3.3 年份星期表

01 07 12 18 24 1

02 08 13 19 24 2

03 08 14 20 25 3

04 09 15 20 26 4

04 10 16 21 27 5

05 11 16 22 00 6

06 12 17 23 00 0

閏年 1、2 月份年份 y 用斜體

3.4 月份星期表

01 月 0

02 月 3

03 月 3

04 月 6

05 月 1

06 月 4

07 月 6

08 月 2

09 月 5

10 月 0

11 月 3

12 月 5

3.5 日期星期表

星期一 1 01 08 15 22 29

星期二 2 02 09 16 23 30

星期三 3 03 10 17 24 31

星期四 4 04 11 18 25

星期五 5 05 12 19 26

星期六 6 06 13 20 27

星期天 0 07 14 21 28

表格法

查星期：先找日和月的交叉數，然後在年（閏年 1、2 月份用斜體數字）行找到該數，對應到世紀行的數就是所求星期數。

查 2000 年 1 月 1 日的星期：1 月 1 日的交叉數是 “一”，00 年斜體行的 “一” 往上對應到 0（2000）世紀行的是 “六”，所以這一天是星期六。
查 2000 年 12 月 31 日的星期：12 月 31 日的交叉數也是 “一”，00 年非斜體行的 “一” 往上對應到世紀行的是 “日”，所以這一天是星期天。
查 1855 年 2 月 23 日的星期：2 月 23 日的交叉數是 “五”，27（55 mod 28）年行和 2（18 mod 4）世紀行同行，所以這一天是星期五。

查主日字母：世紀行 “日” 所在的列為主日字母世紀列，年份行對應到該列的數字就是該年的主日字母，一為 A、二為 B、三為 C、四為 D、五為 E、六為 F、日為 G。

查 2013 年的主日字母：本世紀（20 或 0）為第一行（上），所對應的世紀列為最後一列（右），13 年對應到該列的 “六”，所以主日字母是 F。
查 1893 年的主日字母：本世紀行的 “日” 在第四列，93 mod 28 = 9 年對應該列的 “一”，所以主日字母是 A。

查判決日（Doomsday）星期數：年份行的 “三” 對應到世紀行的數就是 Doomsday。

查 2013 年的 Doomsday：13 年的 “三” 對應到世紀行（20 或 0）的數是 “四”，所以 Doomsday 是星期四。
查 1809 年的 Doomsday：9 年的 “三” 對應到世紀行的數是 “二”，所以 Doomsday 是星期二。

此外，主日字母（DL）和判決日（DD）存在著這樣的關係：DL + DD = C（3）。如 2013 年的主日字母是 F，那判決日的星期數 DD = 3（C）- 6（F）mod 7 = 4（星期四）。

心演算法

心算時為方便記憶，一個簡單的方法就是把一年的起始日想象成 3 月 1 日而不是 1 月 1 日（就像古羅馬歷一樣），這樣閏年的 2 月 29 日就變成了每年的最後一天，而不是在一年的中間。這樣，計算星期時的標準第 0 日就變成了 2 月的最後一天。下面就會看到，這樣計算時很方便記憶。

5.1 判決日

4 月 4 日，6 月 6 日，8 月 8 日，10 月 10 日，12 月 12 日都與第 0 日（2 月最後一天）的星期數相同。
5 月 9 日，9 月 5 日也與第 0 日相同。（為方便記憶，這些日子稱為「朝九晚五」）。
7 月 11 日，11 月 7 日也與第 0 日相同。 （為方便記憶，這些日子稱為「便利商店 7-11」） 。

這些日子在判決日法則中被稱作判決日，與心算的過程類似，可幫助計算。

另一好處是 1 月和 2 月的計算也相對簡單了，只要記住 1 月 9 日（或 1 月 16 日）和 2 月 6 日與上一年的判決日（2 月最後一天）星期數相同就可以了。下面列出了每個月中便於記憶的判決日：

月 +5 月 -5 月 +10 月

4 月 4 日 9 月 5 日 2 月 6 日

6 月 6 日 11 月 7 日

8 月 8 日 1 月 9 日 3 月 7 日

10 月 10 日 5 月 9 日

12 月 12 日 7 月 11 日

所以只要確定每一年的第 0 日（2 月最後一天）是星期幾，參照上方列出的具有相同星期數的判決日，即可快速推算某天是星期幾。

5.2 年數的計算

確定每一年的第 0 日是星期幾很簡單：

首先記住 2000 年第 0 日（2 月最後一天）是星期二。每 100 年的第 0 日的星期數按下面規律變化：星期二（Tuesday），星期日（Sunday），星期五（Friday），星期三（Wednesday），星期二（Tuesday），星期日（Sunday），星期五（Friday），星期三（Wednesday）…… 如此迴圈往復。（一個幫助記憶的方法就是取英文字的首字母（T.S.F.W），將它們組成一句話：Too Sunny For Walk）按此規律，2100 年第 0 日是星期日，1900 年是星期三。
此外，每過一個平年，第 0 日的星期數加 1，每過一個閏年，第 0 日的星期數加 2。這樣每過 12 年，第 0 日的星期數就加 1。比如 2000 年是星期二，2012 年就是星期三，2024 年就是星期四。另外一個值得記住的是，每相隔 28 年，只要相隔的兩年在一個世紀內，或者跨過 2000 年，那麼它們的第 0 日都在一個星期。（比如 1972 年與 2028 年是一樣的。）

5.3 例子

比如我們要計算 2017 年 6 月 3 日是星期幾。首先想到 2000 年第 0 日是星期二，那麼 12 年後的 2012 年是星期三，2013 年是星期四，2014 年是星期五，2015 年是星期六，2016 年是星期一（因為是閏年），2017 年第 0 日就是星期二。然後想到 6 月的判決日 6 月 6 日也是星期二，那麼 3 天前的 6 月 3 日就是星期六。

高斯公式

格里曆：

儒略曆：

d = 日期

m = 月數 - 2（1 月為 11 月，2 月為 12 月）

y = 年數後 2 位（1、2 月份 y - 1）

c = 世紀數 - 1

6.1 例子

計算 2000 年 1 月 1 日的星期，這一日期應視為 1999 年的 11 月 1 日。

d = 1

2.6 x 11 - 0.2 = 28 mod 7 = 0

5 (99 mod 4) = 5 x 3 = 15 mod 7 = 1

3 x 99 mod 7 = 3 x 1 = 3

5 (19 mod 4) = 5 x 3 = 15 mod 7 = 1

w = 1 + 0 + 1 + 3 + 1 = 6 = 星期六

計算 2000 年 12 月 31 日的星期，這一日期應視為該年的 10 月 31 日。

d = 31 mod 7 = 3

2.6 x 10 - 0.2 = 26 mod 7 = 4

5 (0 mod 4) = 5 x 0 = 0

3 x 0 = 0

5 (20 mod 4) = 5 x 0 = 0

w = 3 + 4 = 7 mod 7 = 0 星期日

計算 1777 年 4 月 30 日的星期，這一日期應視為該年的 2 月 30 日。

d = 30 mod 7 = 2

2.6 × 2 - 0.2 = 5

5 (77 mod 4) = 5 × 1 = 5

3 × 77 mod 7 = 3 × 0 = 0

5 (17 mod 4) = 5 × 1 = 5

w = 2 + 5 + 5 + 0 + 5 = 17 mod 7 = 3 = 星期三

計算 1582 年 10 月 4 日的星期，這一日期應視為該年的 8 月 4 日。

d = 4

2.6 × 8 – 2.2 = 4

5 (82 mod 4) = 5 × 2 mod 7 = 3

3 × 82 mod 7 = 3 × 5 mod 7 = 1

6 (15 mod 7) = 6 × 1 = 6

w = 4 + 4 + 3 + 1 + 6 mod 7 = 4 = 星期四

計算 BC1（0）年 1 月 1 日的星期，這一日期應視為前一年的 11 月 1 日。

d = 1

2.6 × 11 – 2.2 = 5

5 (0-1 mod 4) = 5 × 3 mod 7 = 1

3 × (0-1) = -3 mod 7 = 4

6 (0 mod 7) = 6 × 0 = 0

w = 1 + 5 + 1 + 4 + 0 mod 7 = 4 = 星期四

Babwani 公式

2004 年 11 月，巴布瓦尼（Babwani）在倫敦數學學報（Mathematical Gazette）上發表了一種新的星期計算法。他的這種新方法相對於其它方法更簡單，而且不僅可用於計算星期數，更可以在星期、日期、月份、年份中已知任意三者時，計算剩下的未知者。

公式：w = (⌊5y/4⌋ + m + d - 2 (c mod 4) + 7) mod 7

其中 w=1 = 星期日

c、y、和 d = 其它演算法

m = 月份星期表

⌊5y/4⌋= 其它公式的 y+⌊y/4⌋

-2 (c mod 4)+7=1+6-2 (c mod 4)=1 + 其它演算法的 2 (3-(c mod 4)，所以 1 代表的不是星期一而是星期日。

蔡勒公式

在蔡勒演算法中，每一年被假設從 3 月開始，月份標號從 3（3 月）到 14（二月），即 1995 年 1 月被認為是 1994 年 13 月。具體的演算法是這樣的：

其中 w 代表星期

c 代表世紀數減 1 (年份前兩位數)

y 代表年（兩位數）

m 代表月（m 大於等於 3，小於等於 14，即在蔡勒公式中，某年的 1、2 月要看作上一年的 13、14 月來計算，比如 2003 年 1 月 1 日要看作 2002 年的 13 月 1 日來計算）

d 代表日

稱作高斯符號，代表取整，即只要整數部份。

mod 代表同餘（這裡代表括號裡除以 7 後的餘數）