菱形十二面體

Index_references =

Rotation_group = O, 4,3+, (432)

Dihedral_angle = 120°

Properties = 凸、面可遞、等面、等邊、平行體

3d_image = Rhombic Dodecahedron Before Cutting.svg

vfigimage =

dual_image = Cuboctahedron.png

netimage = Rhombicdodecahedronnet.svg

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在幾何學中，菱形十二面體（Rhombic dodecahedron）是一個由菱形構成的十二面體，由 12 個全等的菱形組成，具有 24 條邊和 14 個頂點，其對偶多面體為截半立方體，是 13 種卡塔蘭立體之一。

其具有面可遞的性質，這意味著這個幾何形狀的對稱性可在各個面上遞移。菱形十二面體是一種可以獨立堆砌並無空隙且不重疊地填滿三維空間的立體，因此是一種空間填充多面體，這種堆砌結構可以對應到化學中的體心立方晶格；此外，在礦物學中，菱形十二面體也是部分礦物的晶體慣態。由於菱形十二面體每個面全等，且十分均勻，因此有時會被拿來做成骰子或被設計成魔術方塊。菱形十二面體有數種拓樸同構體，即幾何上不同，但面的數量與每個面的邊數相同、頂點間連線方式也相同的立體，例如鳶形十二面體。菱形十二面體也可以。星形化後的菱形十二面體為星形菱形十二面體，當中較知名的形狀是艾雪立體。

性質

菱形十二面體是一個卡塔蘭立體，有 12 個面、24 條邊和 14 個頂點，其中 12 面為 12 個全等的個菱形，且具有 180 度旋轉對稱性和點對稱性，因此是一個環帶多面體，其對偶多面體為截半立方體。

菱形十二面體能獨立密鋪三維空間，因此是一種空間填充多面體，其所形成的堆砌體稱為菱形十二面體堆砌，可以視為是面心立方晶格的沃羅諾伊鑲嵌。這種堆砌體是體心立方晶格（bcc）的布里元區，部分礦物可以形成於菱形十二面體的晶體慣態，如石榴石。蜜蜂築巢時也是使用菱形十二面體空間填充的幾何結構來築巢，其每個蜂房皆是以半個菱形十二面體為上蓋之六角柱的空間填充構成。菱形十二面體也出現在鑽石和金剛石的單位晶格中，但實際上少了 4 個頂點，而化學鍵位於剩餘的稜上。

菱形十二面體可以從中心分割成 4 個三方偏方面體，若將菱形十二面體空間填充的每一個菱形十二面體都分割成三方偏方面體則可以形成三方偏方面體的空間填充，這意味著三方偏方面體也可以獨立密鋪三維空間。這種切割就好像將正六邊形鑲嵌的六邊形切割成 3 個菱形而形成菱形鑲嵌。

1.1 對稱性

菱形十二面體的對偶多面體 —— 截半立方體是一個阿基米德立體，具有點可遞的性質，因此菱形十二面體具有面可遞的性質，這意味著這個幾何形狀的對稱群可在各個面上傳遞，換句話說，這立體上的任意兩個面 A 和 B，若透過旋轉或鏡射這個立體，使 A 移動到 B 原來的位置時，而兩個面仍然佔據了相同的空間區域。

同理，菱形十二面體具有邊可遞的特性，這意味著，這立體上的任意兩條稜 A 和 B，透過旋轉或鏡射這個立體，使 A 移動到 B 原來的位置時，其稜以及其二面角仍然佔據了相同的空間區域。菱形十二面體是 9 個邊可遞的凸多面體之一，其他 8 個分別是五個柏拉圖立體、截半立方體、截半二十面體和菱形三十面體。

1.2 面的組成

菱形十二面體由 12 個全等的菱形組成，這個菱形的長對角線都是短對角線的倍，其中鋭角的角度則為 arccos 約為 70.53°，鈍角的角度則為 109.47°，兩條對角線長度與一邊長的比為 。

1.3 尺寸

若菱形十二面體的邊長為，則其內切球半徑為：，則內切球半徑為 | group = 註}}

邊心距為：，則邊心距為 | group = 註}}

外接球半徑為：

1.4 體積和表面積

若菱形十二面體的邊長為，則其表面積及體積為：，則體積為 | group = 註}}

若令其對偶多面體 —— 截半立方體邊長為單位長，則菱形十二面體的邊長為，則其體積 V 為：

1.5 頂點坐標

三個菱形之公共頂點（共 8 個）其頂點坐標為：

(±1, ±1, ±1)

另外 6 個頂點為四個菱形之公共頂點，其頂點坐標為：

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0) 和 (0, 0, ±2)

菱形十二面體可以是為五角十二面體的退化限制，其頂點坐標可表示為與，其中 h=1。

正交投影

菱形十二面體有 4 個特殊的正交投影，分別為於四個菱形的公共頂點投影、於三個菱形的公共頂點投影、於稜上投影和於面上投影，其中「於稜上投影」以及「於面上投影」其對稱性對應於 B2 和 A2 的考克斯特平面。

使用

由於菱形十二面體每個面全等，且十分均勻，因此有時會被拿來做成骰子（但大多數都會使用正十二面體作為骰子）。亦有部分的魔術方塊是設計成菱形十二面體的形狀。

相關多面體與鑲嵌

菱形十二面體可以經由立方體透過會合變換構造，即將立方體每個面貼上角錐，並用適當的錐高，使角錐側面與鄰近面上貼的角錐之測面共面來獲得。其他也是由立方體透過康威變換得到的多面體有：

菱形十二面體可以切割成截半立方體。在切割過程可以得到一些不同的多面體，例如：

菱形十二面體與小斜方截半四面體（等價於截半立方體）的對偶多面體等價，其他與正四面體相關的多面體為：

菱形十二面體可以視為由菱形組成的球面鑲嵌圖，一般菱形鑲嵌的菱形銳角頂點是 3 個菱形的公共頂點，有這種性質的相關多面體與鑲嵌包括：

另一種菱形鑲嵌的菱形銳角頂點是 4 個菱形的公共頂點，而菱形十二面體也屬於這類鑲嵌。有這種性質的相關多面體與鑲嵌包括：

此外，菱形十二面體也可以對應到面佈局為 V3.2n.3.2n 的鑲嵌圖系列中。這個系列的第一種形狀時平面鑲嵌，其餘皆為雙曲鑲嵌：

5.1 拓樸同構的多面體

部分多面體與菱形十二面體拓樸同構，例如平行十二面體，亦有一些非菱形組成的十二面體與菱形十二面體拓樸同構，例如鳶形十二面體。

5.1.1 鳶形十二面體

鳶形十二面體是一種由 12 個全等的鳶形組成的十二面體，具有面可遞的性質，並具 24 階四面體群對稱性。

鳶形十二面體可以視為將菱形十二面體的菱形面變形成鳶形的結果。形變的方式是透過調整菱形十二面體的 8 個頂點，另外四個頂點保持正四面體的佈局位置。其形變數可透過一個陣列 (a,b) 來表示，當 a 和 b 皆為 1 時則為菱形十二面體，a 表示保持著正四面體的佈局位置的頂點，可以逐漸向趨近，向趨近的意義表示其頂點逐漸移向幾何中心；而 b 的值取決於 a，需要使移動時能夠成平面的鳶形而非扭歪多邊形，其值會向正無窮大逼近。這種情形下，其頂點坐標可以表示為：

(±2, 0, 0), (0, ±2, 0), (0, 0, ±2)

(a, a, a), (−a, −a, a), (−a, a, −a), (a, −a, −a)

(−b, −b, −b), (−b, b, b), (b, −b, b), (b, b, −b)

下表列出部分陣列 (a,b) 所形成的鳶形十二面體影像：

5.2 星形化體

如同其他的凸多面體，菱形十二面體也可以透過延伸面或邊，直到它們相遇形成新的多面體來進行星形化。多爾曼・露可（Dorman Luke）在他的論文中描述了一些菱形十二面體的星形化體。較廣為人知的是他提出的第一種多面體，其名稱可以簡略地稱為「第一種星形菱形十二面體」。這種多面體可以視為將適當錐高的菱形錐（底面為菱形的四角錐）疊在菱形十二面體的每一個菱形面上，並且讓錐高高於鄰近的面來構造：

5.3 對偶複合體

對偶複合體是由一個多面體與其對偶多面體組合成的複合圖形。菱形十二面體與其對偶的複合體為複合截半立方體菱形十二面體。其共有 26 個面、48 條邊和 26 個頂點，其尤拉示性數為 4，虧格為 - 1。

5.4 截角菱形十二面體

截去所有頂點後的菱形十二面體稱為截角菱形十二面體。

若將菱形十二面體的六個發出四條稜的頂點截去可以獲得倒角立方體。

另外若將菱形十二面體的八個發出三條稜的頂點截去可以獲得倒角八面體。

5.5 菱形十二面體堆砌

菱形十二面體可以獨立填滿三維空間，其所形成的幾何結構稱為菱形十二面體堆砌。

菱形十二面體圖

在圖論的數學領域中，與菱形十二面體相關的圖為菱形十二面體圖，是菱形十二面體之，是一個非哈密頓圖。

6.1 性質

菱形十二面體圖有 24 條邊和 14 個頂點，其中度為 3 的頂點有 8 個；度為 4 的頂點有 6 個。

菱形十二面體圖的特徵多項式為：
:
色多項式為
:(x-1) x (x12-23 x11+253 x10-1759 x9+8615 x8-31361 x7+87205 x6-187127 x5+308232 x4-380364 x3+333138 x2-184963 x+48831)