Samantha912/NLP_A2_WTH huggingface dataset:
戴克斯特拉演算法

戴克斯特拉演算法（Dijkstra's algorithm），又稱迪傑斯特拉演算法、Dijkstra 演算法，是由荷蘭計算機科學家艾茲赫爾・戴克斯特拉在 1956 年發現的演算法，並於 3 年後在期刊上發表。戴克斯特拉演算法使用類似廣度優先搜尋的方法解決賦權圖的單源最短路徑問題。

該演算法存在很多變體：戴克斯特拉的原始版本僅適用於找到兩個頂點之間的最短路徑，後來更常見的變體固定了一個頂點作為源結點然後找到該頂點到圖中所有其它結點的最短路徑，產生一個最短路徑樹。

該演算法解決了圖 上帶權的單源最短路徑問題。具體來說，戴克斯特拉演算法設定了一頂點集合，在集合中所有的頂點與源點之間的最終最短路徑權值均已確定。演算法反覆選擇最短路徑估計最小的點並將加入中。該演算法常用於路由演算法或者作為其他圖演算法的一個子模組。舉例來說，如果圖中的頂點表示城市，而邊上的權重表示城市間開車行經的距離，該演演算法可以用來找到兩個城市之間的最短路徑。

應當注意，絕大多數的戴克斯特拉演算法不能有效處理帶有負權邊的圖。

戴克斯特拉演算法在計算機科學的人工智慧等領域也被稱為均一開銷搜尋，並被認為是的一個特例。

描述

上圖為戴克斯特拉演演算法應用示意圖。起點以左下角的紅點，目標是右上角的綠點，中間灰色的倒 L 型為障礙物。藍色空圈表示 "暫定"，用以搜尋下一步；已經填充顏色的表示探訪過，圖中顏色以紅到綠，越綠表示離起點越遠。所有節點都被均勻探索。

戴克斯特拉演算法透過保留目前為止所找到的每個頂點從到的最短路徑來工作。初始時，原點的路徑權重被賦為 0 （即原點的實際最短路徑 = 0）。同時把所有其他頂點的路徑長度設為無窮大，即表示我們不知道任何通向這些頂點的路徑。當演算法結束時， 中儲存的便是從到的最短路徑，或者如果路徑不存在的話是無窮大。

鬆弛操作是戴克斯特拉演算法的基礎操作：如果存在一條從到的邊，那麼從到的一條新路徑是將邊新增到從到的路徑尾部來拓展一條從到的路徑。這條路徑的長度是。如果這個值比目前已知的的值要小，那麼可以用這個值來替代當前中的值。鬆弛邊的操作一直執行到所有的都代表從到的最短路徑的長度值。

演算法維護兩個頂點集合和。集合保留所有已知實際最短路徑值的頂點，而集合則保留其他所有頂點。集合初始狀態為空，而後每一步都有一個頂點從移動到。這個被選擇的頂點是中擁有最小的值的頂點。當一個頂點從中轉移到了中，演算法對的每條外接邊進行鬆弛。

《演算法導論》中給出了以下虛擬碼：該虛擬碼計算並保留圖中原點到每一頂點的最短距離。其中，函式將頂點集合中有最小值的頂點從中刪除並返回。

1 function Dijkstra (G, w, s)

2 INITIALIZE-SINGLE-SOURCE (G, s) // 實際上的操作是將每個除原點外的頂點的置為無窮大，

3

4 // 是頂點的一個優先佇列，以頂點的最短路徑估計排序

5 while

6 do // 選取為中最短路徑估計最小的頂點

7

8 for each vertex v

9 do RELAX (u, v, w) // 鬆弛成功的結點會被加入到佇列中

如果我們只對在和之間尋找一條最短路徑的話，我們可以在第 5 或第 6 行新增條件如果滿足的話終止程式。

在肯尼・羅森所著的《離散數學及其應用》中給出瞭如下的另一份虛擬碼：

1 procedure Dijkstra (G：邊全為正權的圖）

2 {G 帶有頂點和若干邊}

3 for to n

4

5

6

7 while

8 begin

9 不屬於的最小的一個頂點

10

11 for 所有不屬於的頂點

12 if then

13 end {從 a 到 z 的最短路長度}

在該 演算法演示頁面 ，可以自定義節點，邊的權重等資訊，然後觀察演算法每一步的執行過程。

時間複雜度

我們可以用大 O 符號將該演算法的執行時間表示為邊數和頂點數的函式。

對於任何基於頂點集的實現，演算法的執行時間是，其中和分別表示完成鍵的降序排列時間和從中提取最小鍵值的時間。

對於沒有任何最佳化的戴克斯特拉演算法，實際上等價於每次遍歷了整個圖的所有結點來找到 Q 中滿足條件的元素（即尋找最小的頂點是的），此外實際上還需要遍歷所有的邊一遍，因此演算法的複雜度是。

對於邊數少於的稀疏圖來說，可以用鄰接表來更有效的實現該演算法。

可以使用一個二叉堆或者斐波納契堆用作優先佇列來尋找最小的頂點以最佳化演算法。當用到二叉堆的時候，演算法所需的時間為，斐波納契堆能提高一些效能，讓演算法執行時間達到。然而，使用斐波納契堆進行程式設計，有時會由於演算法常數過大而導致速度沒有顯著提高。

下面是一些戴克斯特拉演算法經典實現的複雜度比較：

正確性證明

戴克斯特拉本人在他的論文中給出了一份簡單的證明。

《演算法導論》使用迴圈不變式（數學歸納法）給出瞭如下的一份證明：

已知一帶權圖，其加權函式的值非負，源點為。對該圖執行戴克斯特拉演算法，對所有有。其中表示 u 點的最短路徑估計，表示到點的最短路徑。

證明：證明如下的迴圈不變式成立即可：在每次執行 EXTRACT-MIN 時，對每個頂點，有成立即可。由於上界性質，在加入了之後，一旦有，則在後面的每次迴圈中都不會改變這個性質。

初始化：第一次迴圈前，，因此迴圈不變式顯然成立。

保持：實際上要證明每一輪迴圈中加入到中的結點滿足。利用反證法，假設是第一個不滿足此條件的結點，考慮迴圈開始前的狀況，首先一定不等於，這是顯然的。其次一定有到的路徑，否則路徑為無窮大。那麼假設在進入時，有最短路徑，假設該路徑上存在兩個點，。、，且 x 是 y 的前驅，路徑可以分解為（此處表示經過這條路徑，後同），其中路徑和路徑可以為空。由於是第一個不滿足的，又因為是滿足該條件的，而且一定已經被鬆弛過了，所以是滿足該條件的。

現在只需要推出矛盾，即可證明 u 不存在：在之前出現，而且圖中所有權值非負，因此有，所以：，但是由於和同時在中，因此，因此必有，也就證明了點不可能不滿足該條件，上述假設為假，原命題得證。

終止：終止時，，由於，因此，因此對所有有。

起源與歷史

戴克斯特拉 1956 年在荷蘭數學和計算機科學研究學會擔任程式設計師時為了展示新型計算機 ARMAC 的功能曾思考過最短路徑問題的解法。他的目標是讓不去實際計算的人也能理解這個問題和解決的方法，於是他在發現了這個演算法之後在 ARMAC 上做了簡單實驗。1959 年，他正式將此演算法發表在期刊上，該演算法也成為了戴克斯特拉成名的基石之一。

相關應用

中需要計算最短路時常常要用到該演算法，該演算法在開放最短路徑優先和中間系統到中間系統協議中的相關應用是其在網路路由中的典型實現。

戴克斯特拉演算法及其改進演算法應用廣泛，尤其是在尋路、交通、規劃中。

如果有已知資訊可用來估計某一點到目標點的距離，則可改用 A 搜尋演算法，以減小最短路徑的搜尋範圍，戴克斯特拉演算法本身也可以看作是 A 搜尋演算法的一個特例。

戴克斯特拉演算法本身採用了與 Prim 演算法類似的貪心策略。快速行進演算法與戴克斯特拉演算法同樣有相似之處。
周太王

周太王，姬姓，周氏，名亶，又稱古公亶父、或古公亶甫，是周部落首領，周朝之先祖。因廣施仁政，令不少部落歸附。周滅商朝後，認為 “王氣” 始於亶父，故追尊為太王。

根據《史記・周本紀》記載，古公亶父繼承了后稷、公劉的事業，積德行義，得到民眾的愛戴。薰育和戎狄進攻周部落，想要奪取財物，亶父就給了他們。後又來攻，要取得周部落的土地和人口。民眾非常憤怒，想要抵抗。古公說道：“民眾擁立君主，是為了讓君主為民眾謀利。如今戎狄來攻，是為了我的土地和臣民，而臣民歸我還是歸他，又有什麼區別呢？你們要為我而戰，要殺死很多人的父子，透過這種辦法讓我當國君，我不忍心做。” 於是亶父帶著家人和親隨離開了豳，渡過漆水和沮水，經過樑山，到岐山之下安頓了下來。豳地的人全都扶老攜弱，復歸古公到旗下。其他國家的人聽說古公仁德，也多歸附。於是古公改革戎狄的風俗，營造城郭房舍，讓人們分別居住，並設定五官，各司其責。人民安居樂業，都歌頌周太王的功德。孟子曾經讚揚太王專愛他的妃子太姜、不娶其它妻妾，故而 “內無怨女，外無曠夫”。

後代

長子：泰伯（吳國開國國君）
次子：仲雍
少子：王季（周文王之父）
科學引文索引

科學引文索引（Science Citation Index、縮寫：SCI）是由美國科學資訊研究所（Institute for Scientific Information，簡稱 ISI）於 1957 年上線投入使用的一部期刊文獻檢索工具，其出版形式包括印刷版期刊和光碟版及聯機資料庫。科學引文索引由科睿唯安公司（Clarivate Analytics）運營，可以透過 Web of Science 資料庫（Web of Knowledge 資料庫之一）提供線上閱讀和下載服務，讓研究者能夠清楚知道哪些新進文章曾引用某篇文獻、或曾引用某位作者的文章以及哪些文章最常被引用。

較大的版本（Science Citation Index Expanded）囊括了從 1900 年至今的 9,200 多種著名和重要期刊，共橫跨 178 個科學領域。

由於這些期刊採用嚴格的篩選過程，因此被公認譽為世界最權威的頂尖科學技術類期刊，能夠提供科學領域當中最重要的研究成果，在人類文明發展程序中有著相當大的貢獻和影響力。

世界各國上，SCI 期刊除了評比一所大學或學術機構的研究能力，也被列為研究人員是否能夠獲得升遷以及錄取的一項重要評分專案。

影響

科學引文索引以布拉德福（S. C. Bradford）的文獻離散律理論與的引文分析理論為主要基礎，透過論文的被引用頻次等的統計，對學術期刊和科研成果進行多方位的評價研究，從而評判出一個國家或地區、科研單位、個人的科研產出績效，來反映其在國際上的學術水平。

科學引文索引以其獨特的引證途徑和綜合全面的科學資料，透過大量的引文進行統計，然後得出某期刊某論文在某學科內的影響因子、被引頻次、即時指數等量化指標來對期刊、論文等進行排行，被引頻次高，說明該論文在它所研究的領域裡產生了巨大的影響、被國際同行重視、學術水準高。由於 SCI 收錄的論文主要是自然科學的基礎研究領域，所以 SCI 指標主要適用於評價基礎研究的成果。而基礎研究的主要成果的表現形式是學術論文，所以，如何評價基礎研究成果也就常常簡化為如何評價論文所承載的內容對科學知識進展的影響。

SCI 報道內容

農業
生物學
環境科學
工程技術
應用科學
醫學與生命科學
物理學
化學
經濟學
王肅

王肅可指：

王肅 (東漢)：東漢時期人物，王莽三叔平阿安侯王譚的曾孫。
王肅 (三國)：三國時期人物，王朗之子，曹魏的官員。
王肅 (南北朝)：南北朝時期人物，北魏的將領。
王肅 (洪武進士)：明朝洪武十八年進士。
13

13（十三）是 12 與 14 之間的自然數。

數學

六角星數
在以 14 或以上的數為基數的記數法中（例如十六進位制等），13 以拉丁字母 D 標示
第 4 個快樂數
第 3 個原始數
阿基米德立體的數目
卡塔蘭立體的數目

1.1 基本運算

文化

十三經
十三恐懼症
13 號星期五
北美十三州
考古遺址十三行遺址

科學、天文學

鋁的原子序數
1997 年，英國有學者重提加上蛇夫座之黃道 13 星座（把天文學界定的黃道劃分方法引入星相學），曾引起過討論的漣漪。
2012 年 12 月 21 日為馬雅曆第 13 個伯克盾的結束。
1 季有 13 周。
農曆如果該年有閏月，一年有 13 個月份

其它領域

骷髏 13: 日本漫畫。
芳齡十三：美國電影。
13 點：香港少女漫畫。
香港島專線小巴 13 線。
13 駭人遊戲：泰國電影。
iPhone 13: 智慧型手機。
南海十三郎：著名編劇家。
失落的十三年：英國迷你劇。
十三姨：黃飛鴻電影系列中的人物。
十三點：吳語中形容一個人愚笨的詞語。
中國中央電視臺新聞頻道（CCTV-13）。
十三翼之戰：成吉思汗一生中唯一戰敗的戰役。
十三張：撲克牌中每種花色的牌數與撲克牌遊戲。
十三太保：唐朝末年之節度使李克用的 13 位義子。
13 號特工」雪倫・卡特（Sharon Carter): 漫威漫畫角色。
回車鍵的 ASCII 及 Unicode 碼。
滿清十三皇朝，清朝實際上有 13 位皇帝，並非 12 位。
清朝努爾哈赤靠祖先遺下的 13 副裝甲起兵，取得勝利。
精神病醫生楊永信對其自行定義的 “網癮患者” 在 13 號室實施電擊。
麻將中「廣東牌」、「香港牌」、「北京牌」、「南昌牌」、「日本牌」、「美國牌」等「十三張麻將」中每方的牌數。
迄今為止單屆世界盃足球賽個人進球數的最高紀錄，由法國球員朱斯特・方丹在 1958 年瑞典世界盃上創造。由於現代足球愈加重視防守，該紀錄已經很難被打破。
14

14（十四）是 13 與 15 之間的自然數。

數學性質

14 為卡塔蘭數。
第 6 個開放曲流數。
在以 10 以上的數為底的進位制中，14 表示為 E。
四角錐數：。
第 1 個的基思數。
庫拉托夫斯基十四集問題。
布拉維晶格有 14 種。
使得尤拉函式無解的最小偶數，即無解，換句話說沒有一個整數能使尤拉函式值為 14。

1.1 基本運算

在科學中

矽的原子序數
軒轅十四，獅子座的主星
碳十四定年法

在人類文化中

在南美洲國家表示吉祥的數。
有部分中國人把 14 理解成一切順利的意思，也有一生一世在一起（5201314）的意思；亦有部分中國人（尤其是廣東人）視 14 為最不祥的數字（音近「實死」，即「必死」的意思）
十四字真言，是新納粹主義的口號，「我們應該保護我們民族的存亡以及給白人孩子的未來」("We must secure the existence of our people and a future for white children")。
香港的公共小巴在 1969 年至 1988 年間的最客數高可載乘客數量為 14 人，因此「14 座」當時便成為香港小巴的代名詞（一首 1974 年尹光唱的歌曲亦名為《14 座》，歌詞描述當時小巴司機的心聲）。

在其它領域中

14 號線
十四行詩
共和曆 14 年
F-14 雄貓式戰鬥機
法國國王路易十四
智慧型手機型號 iPhone 14
日劇 14 歲的媽媽，志田未來主演
十四鄉，香港大埔區十四條鄉村的統稱
臺灣新北市大坪林地區地名十四張
最後 14 堂星期二的課，米奇・艾爾邦著作
十四，中國配音演員，音熊聯萌工作室和 V17 組合成員
在英語中，14 天（2 星期）可以 fortnight 來表示。
15

15（十五）是 14 與 16 之間的自然數。

數學性質

不尋常數 =* 第 4 個不尋常合數、，大於平方根的質因數為。

半質數 =*} 是第} 個}，前一個為}、下一個為}。
連續 2 個質數的乘積：。前一個為 6、下一個為 35。}}
15 是第四個貝爾數。連續四個素數之間必定包著一個 15 的倍數，這個情況只有兩個特例；15 自身則被（11, 13, 17, 19）包著。
5

=15

，它是第 4 個梅森數。
在以比 10 更大的數為底的進位制裡，15 表示為 F。
15 是 3 階幻方的每行、每列以及兩條對角線的和：
:
第六個幸運數
和 16 組成了一對魯斯・阿倫數對。
15 是有形數
第 5 個三角形數
第 3 個六邊形數
第 2 個七角星數
第 3 個梯形數
第 2 個中心十四邊形數

1.1 趣味數學

相反數 - 15 為殭屍數，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數，即。前一個為 - 16，後一個為 - 9。
有一種遊戲是兩人各輪流在 1 到 9 中選一個數，看誰選到三個加起來恰為 15 的數就贏了，由於上面的幻方，它便與井字遊戲同構，例如：甲選 9，乙選 8，甲選 2，乙選 4，甲選 3，乙選 6，甲選 5，乙選 1，所以乙獲勝，如果甲、乙兩人都找不到其中三個數加起來可以等於 15，將得和局，例如：甲選 1、2、3、4、5，乙選 6、7、8、9，發現甲乙兩人找不到三個加起來等於 15，所以這一局是和局。

1.2 基本運算
譚江柏

譚江柏，清宣統三年（1911 年）生於廣州府，是 1930 年代中華民國國家足球代表隊成員、香港球壇名宿，外號「譚銅頭」。譚曾先後效力南華、星島、九巴等香港甲組足球聯賽球隊。乃香港歌手譚詠麟的父親。於 2006 年 3 月 16 日早上七時許，因身體器官功能衰竭在香港養和醫院病逝。

球員生涯

1927 年，時年 16 歲的譚江柏加盟香港甲組足球聯賽著名球隊南華青年軍，初司前鋒。翌季 1928-29 年度球季，於香港會球場舉行對皇后陸軍的一場甲組聯賽，由於南華左輔劉茂缺陣，譚臨時頂上，首次在甲組亮相即射入兩球，協助南華以 2－1 勝出，賽後有英文報張大讚他是「新李惠堂」。

1930 年應南華隊友葉北華邀請，返回出生地廣州，加盟廣州警察隊，司職交通督察。他與葉北華、、李天生四名南華球員加盟，令廣州警察隊實力大增，由原本是魚腩部隊變成勁旅，於是四人被稱為 “廣州四騎士”，他並且改踢左後衛。翌年，返港重投母會南華成為正選左後衛。

譚江柏身高 5 尺 10 吋，身材標準，獨頸部特別粗大，跳得高又頂得遠，頭球技術為當時全國第一，故有「譚銅頭」外號。球王李惠堂曾稱讚他：「能衛能鋒，陷陣則敵方辟易，防衛則一夫當關，渾身解數，件件皆能。」。

1934 年 5 月，第十屆遠東運動會在菲律賓首都馬尼拉舉行，譚江柏有份入選中華民國足球隊，並且在決賽與球王李惠堂各入兩球，以 4－3 擊敗日本隊，完成九連霸。

1936 年，代表中華民國前往德國首都柏林參加奧運足球賽，獲當時納粹德國元首希特勒頒授過一隻懷錶。

1937 年 5 月 2 日舉行第五屆督憲盃足球賽，西聯隊以 4－2 擊敗華聯隊的比賽中，完場前 10 分鐘，譚江柏從後踢中西聯隊中鋒布力克，導致布力克嚴重受傷，被立即紅牌趕出場。由於譚江柏之前在 1935-36 年度球季，曾因惡意犯規被香港足球總會判停賽兩個月，並且警告再犯將會重罰，故今次被重判停賽 1 年。

由於要坐球監，加上中日戰爭緣故，譚江柏返回中國大陸，在滇緬公路協助運輸抗日物資，直至第二次世界大戰結束，譚方才再回港定居。1946 年，加盟星島，一年後轉投九巴。1948 年夏天，年屆 37 歲的譚江柏宣告結束球員生涯。

家庭生活

譚江柏曾經兩次結婚，原配夫人是朱偉勳，第二任妻子陳珍妮是香港著名歌星譚詠麟生母。譚江柏育有五女一子，譚詠麟是他的獨子。

1985 年 1 月，譚江柏以頒獎嘉賓身份在 1984 年度十大勁歌金曲頒獎典禮上，將最受歡迎男歌星獎座頒給兒子譚詠麟。

個人榮譽

2003 年第 26 屆香港最佳足球明星選舉獲頒「球壇榮譽大獎」
16

16（十六）是 15 與 17 之間的自然數。

數學性質

唯一一個整數可以表示成和（當、為相異整數），=。因為，它才有此特性。它亦等於。
第 3 個中心五邊形數。
和 15 組成了一對魯斯・阿倫數對。
十六進位制常用於電腦系統中。
巴都萬數列的第 12 項。
相反數 - 16 為殭屍數，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數，即。前一個為 - 17，後一個為 - 15。

1.1 基本運算

在科學中

硫的原子序數

在歷史中

五胡十六國時期
燕雲十六州

在人類文化中

國際象棋、中國象棋每方的棋子數目為 16 隻
香港的公共小巴在 2017 年 8 月前的可載乘客數量為 16 人
麥紹棠

麥紹棠（Clement Mak Shiu Tong，），香港商人，中建電訊集團有限公司，以及中建電訊國際有限公司董事會主席、執行長，以及常務董事，人稱「兇悍股王」，精通於將一些仙股上市再融資圈錢。近年曾因涉嫌操縱二級市場股價而被香港廉政公署立案調查，後來因為證據不足而撤銷控罪。

2002 年他曾與藝人劉德華因天幕製作有限公司合約問題而發生法律糾紛。

麥紹棠的長子麥浚翹開設唱片公司，次子麥浚龍則為歌手。
麥浚翹

麥浚翹（Peter Mak，），乳名大寶，又稱阿寶、TK 氏，身兼香港多元化品牌 Silly Thing 及雜誌《Milk》、《Cream》、《Tea》及《Milk X》的創辦人。是香港著名的潮流領導之一。他的父親是香港富商麥紹棠，而弟弟則是歌手麥浚龍。

麥浚翹曾開了《Overhead》時裝店，現於柴灣開設了 Comme des Garcons guerrilla-store、Undercover 及其創立品牌 Silly Thing 的唱片公司和商店。

Silly Thing

1.1 旗下藝人

麥浚龍

1.1.1 已約滿

吳日言
葉佩雯
郭偉亮
Bliss (蕭潤邦)
I Love You Boyz
Krusty
森美移動

1.2 唱片
杜鳳楊

蔡杜氏，本名杜鳳楊，又名杜鳳英，因嫁蔡廷棟，故稱蔡杜氏。是中國清朝鹹豐同治年間雲南回變起義軍的青年女將，在十九歲時已統領數十萬大軍，力破清軍，以後被叛將出賣被擒，被囚年餘，始終不屈，最後被極刑處死。

出身

杜鳳楊是雲南回變起義軍統帥杜文秀的長女。父親杜文秀是雲南迴人，於鹹豐六年（1856 年）在雲南組織領導回民叛亂，先佔大理，以後攻下很多城鎮。在同治六年（1867 年）派大軍進攻昆明。杜鳳楊就在這時脫穎而出。

徵昆

杜鳳楊從小跟隨父親徵戰，智勇雙全，謀略過人。她奉命至徵昆軍中任監軍當時她在軍中地位有兩重，一是「杜文秀以其女為帥，稱帥小姐，率部下…… 兵四十萬，分三路攻省」是徵昆軍全軍總統帥。此外，從以後徵戰情況看，她本人長期在東路軍，因此東路軍是在她直接指揮下作戰的。在杜鳳楊統率下的這支徵昆軍軍容極盛，「戈矛耀日，旌旗蔽空，其聲之盛，不亞於曹操伐吳」。當時她才十九歲，己擔此重任，在歷史上是極為罕見的。

徵昆軍直逼昆明，清軍死守，一時不能攻下。不久，清援軍大集，雲貴總督劉嶽昭和雲南巡撫岑毓英兩路夾擊，主攻方向是昆明之東的尋甸州。當時形勢險惡，杜鳳楊果斷地率軍從尋甸州出擊，她騎匹青馬，賓士在各個戰場指揮，經過激戰，將清軍各個擊破，到同冶七年十二月十六日 (1868 年)，清軍全面敗退，連最精銳的湘軍果後全軍也被她擊潰，義軍轉危為安，劉嶽昭也被革職。尋甸之戰後二十歲的杜鳳楊威名大振。清軍稱她「狡詐百出」，但也承認她是 “知兵善戰，為賊所推服” 的女將帥。

被俘

杜鳳楊乘勝派東路主力再攻昆明，但兵力不足，在清軍大軍雲集的攻擊下，至同治八年，全軍覆沒。清軍乘機圍攻尋甸州和嵩明州。杜鳳楊在嵩明州，兵少糧盡，苦戰至同治八年（1869 年）五月，城陷，杜鳳楊與其丈夫蔡廷棟一起被擒。杜鳳楊的被擒經過，在羅爾綱的「太平天國史」中只說是力竭城陷，其它記載有說是被擒的或投降的。清軍攻城主將楊玉科的記述中講得較清楚，是「賊知無路可逃，乃將蔡杜氏捆獻乞降」。可知是她是被城內叛徒出賣，城內叛徒將她繩捆索綁，獻給清軍，作為投降的一份重禮。杜鳳楊是被清軍押解至昆明獻俘。當時對她的處置有兩種不同意見，雲南巡撫岑毓英要將她毒刑拷打，嚴加審訊，然後極刑處死。但雲南提督馬如龍不同意，要留著她作為招降杜文秀和徵昆軍之用。因此將她和蔡扣在自己府內，威脅利誘，但她「意志堅定，不為馬如龍所左右」。

遇害

經過一年多的監管，蔡廷棟和杜鳳楊雙雙乘機逃脫（同治九年八月，1870 年）。蔡逃出昆明。杜鳳楊未能出城，僅能逃至城內民家躲藏，最後被馬如龍在昆明豆菜巷民家搜出，再次被擒。馬如龍要她招出蔡的下落，用酷刑逼供，她抵死不招。不久，蔡回到義軍，發兵來攻。清軍對杜鳳楊失去信心，就將她用極刑處死，並將她「懸首省城示眾」。杜鳳楊死時年僅 23 歲。由於她是義軍最著名的女將帥，因此在杜鳳楊被押赴刑場受刑時，「路人觀看如堵」，盛況空前。一說懾於這位她的威名和民眾對她的好感，原來應押至較遠的城西北角刑場處決的，儘管她在押出時己是在重兵簇擁下，又被五花大綁，鐐銬加身，為了怕出意外，還是破例就在最近的城內白鶴橋將她處死了。徵昆軍在杜鳳楊兵敗被擒後很快全軍複沒，杜文秀也在同冶十一年（1872 年）兵敗自殺。
17

17（十七）是 16 與 18 之間的自然數。

數學性質

連續四次方之和：。
唯一一個形式如的質數，其中也是質數：。
面對稱群的數目。
17 以內的素數的平方和等於 666。
相反數 - 17 為殭屍數，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數，即。前一個為 - 18，後一個為 - 16。

1.1 基本運算

在科學中

氯的原子序數

在人類文化中

17 可意謂 17 年歲，或特定日期。義大利習俗視 17 號的星期五為不祥的日子

3.1 圖文出版

17 (美國雜誌)，1944 年赫斯特國際集團初次發行。
Seventeen (日本雜誌)，集英社出版、1968 年首發。
寂寞的十七歲 (小說)，1961 年刊於《現代文學》第十一期。
寂寞的十七歲 (小說集)，1976 年初版，副標題「白先勇早期短篇小說集」。

3.2 歌曲作品或人物

〈At Seventeen〉 ，珍妮斯・艾恩的歌
〈十七歲〉，劉德華的歌曲
十七 (單曲)，紀念 S.H.E 出道 17 週年，收錄於 S.H.E《十七》專輯
，日本音樂組合 YOASOBI 的單曲
at17，前香港一隊女子音樂組合，成員為盧凱彤（Ellen）及林二汶（Eman）。
Seventeen (樂隊)：印尼搖滾樂隊
Seventeen (組合)：南韓 13 人男子歌唱組合

3.3 影視

寂寞的十七歲 (電影)，柯俊雄、唐寶雲等主演，1968 年臺灣上映。內容和白先勇的小說無關係。
十七 (電影)，主角陳沖在 2008 年第 11 屆上海國際電影節傳媒大獎獲獎為最受關注女演員。
Seventeen (電影)：南韓青春劇情片，於 1998 年 7 月 17 日上映

3.4 流媒體服務

17LIVE，英語發音定為「one seven live」，2015 年創辦的現場直播影音串流平臺，提供在日本、臺灣等地使用者服務。
18

18（十八）是 17 與 19 之間的自然數。

數學性質

第 3 個五角錐數、第 3 個七邊形數
在十進位制中，唯一一個組成數字之和是自身的一半的數。
在 8×8 的棋盤，質數皇后攻擊問題的解答
相反數 - 18 為殭屍數，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數，即。前一個為 - 19，後一個為 - 17。

1.1 基本運算

在科學中

氬的原子序數
18 電子規則

在人類文化中

新納粹的暗號，表示阿道夫・希特勒（A=1，H=8）。
絕大多數地方的成年法定年齡為 18 歲。
粵語諧音為「實發」或「十發」（一定發財）。
官話的北方方言中，諧音為「么發」，即「要發」。
閩南語稱骰子為「十八仔」。
十八羅漢是釋迦牟尼佛的得道弟子。
道教認為地獄有十八層。
香港區議會劃分為 18 個分割槽。
馬來西亞黑社會組織屬華記派系。
日本及臺灣棒球象徵球隊王牌投手的背號。

在其它領域中

《18...》是香港歌手鄧紫棋的音樂專輯。
隋唐十八好漢。
降龍十八掌，金庸武俠小說的著名武功。
劉巖

劉巖可以指：

劉龑，南漢高祖
劉巖 (舞蹈家)，中國青年舞蹈家
劉巖 (導演)，中國導演
劉巖 (科學家)，中國南極研究科學家
劉巖 (音樂劇演員)，中國音樂劇男演員
劉巖 (1954 年)，山東百大商貿股份有限公司主管會計，第十屆全國人大代表
劉巖 (政治人物)，河南省南陽市西峽縣市場監督管理局黨組書記、局長
19

19（十九）是 18 與 20 之間的自然數。

數學性質

第 4 個中心三角形數、第 3 個中心六邊形數、第 3 個八面體數
第 7 個梅森質數的指數
迴圈單位 1111111111111111111（連續 19 個 1，其中 19 是質數）是質數。
（19 的倒數的迴圈節長 18 個位）
每個正整數是最多 19 個 4 次方之和（華林問題）
第 2 個基思數
第 5 個快樂數
相反數 - 19 為殭屍數，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數，即。前一個為 - 28，後一個為 - 18。

1.1 基本運算

在科學中

鉀的原子序數

在人類文化中

西元 19 年
在伊斯蘭教教義中，管理火獄的天神（天使）有 19 名（《古蘭經》74:30 至 31）。

3.1 在音樂中

《》是一首由（Paul Hardcastle）在 1985 年時創作發行的流行榜冠軍單曲，這首歌詞內蘊含大量反戰意識的電子音樂單曲之所以如此得名，是因為根據統計美國在越戰期間投入戰場的官兵平均年齡，正好是 19 歲。
《19》英國歌手愛黛兒的專輯。
《19》臺灣歌手蔡旻佑的專輯。
19，臺灣演唱團體，成員為陳珊妮和陳建騏。

在其它領域中

（Renault 19）：又常稱為「雷諾 19 號」，法國雷諾車廠在 1988 年至 1997 年之間曾生產過的一個小型家庭用車系列。
一般的圍棋比賽都使用縱橫各十九路的棋盤。
史蒂芬金所著的長篇奇幻小說《黑塔》中，19 是個神秘且重要的數字。
19 次回歸年約等於 235 個朔望月。
粵語粗言「濕鳩」的諧音。
現時香港的公共小巴的最高可載乘客數量
《古詩十九首》，漢代一組五言詩的合稱。
《問劉十九》，白居易的詩。
今本《爾雅》（中國最早的詞典）共有十九篇。
嚴重特殊傳染性肺炎的縮寫「COVID-19」。因其第一個個案在 2019 年 12 月 1 日而得名。
20

20（二十）是 19 與 21 之間的自然數。

數學性質

其真因數都為虧數。是第 1 個本原過剩數。後一個是 70。
首 4 個三角形數之和，故它為四面體數。
6 個頂點的有根樹的數目。
正二十面體是面數最多的正多面體。

1.1 基本運算

時間與曆法

現代國際通用的西曆，將 1 年分成 12 個月。12 個月每月長度不一，但都有 20 日，分別為 1 月 20 日、2 月 20 日、3 月 20 日、4 月 20 日、5 月 20 日、6 月 20 日、7 月 20 日、8 月 20 日、9 月 20 日、10 月 20 日、11 月 20 日和 12 月 20 日。
在歷史方面，人類對公元前 20 年、公元 20 年，公元前 20 世紀及公元 20 世紀均有傳說和記載。

在科學中

鈣的原子序數
任意組合的魔方都可以在 20 步內還原，現在上帝的數字正式定為 20。
人類耳朵能夠聽到的最低聲音訊率是 20 赫茲。

在人類文化中

貨幣中常用的面額，如 20 元、20 鎊。香港二十元紙幣是發行量最多的香港鈔票之一（以鈔票編號計算）。
21

21（二十一）是 20 與 22 之間的自然數。

數學性質

外觀數列的第 3 項
第 6 個三角形數、第 3 個八邊形數
默慈金數
最小的完美正方形由 21 個小正方形組成

1.1 基本運算

在科學中

鈧的原子序數

在人類文化中

廿一點是一種牌類遊戲。
俗語「三七二十一」指不顧一切。
在 Key 公司的美少女遊戲 Little Busters! 中，其角色棗恭介曾經提到「(21)」若快寫的話，就會變成「ロリ」（ロリ即日語的蘿莉）之事。
在美國某些地方，21 歲以上才能賭博。
啤酒瓶蓋的鋸齒數量。
在臺灣，21 可以借指因成績不及格而被大學退學。
英國歌手 Adele 的專輯：21 (專輯)。
馬來西亞黑社會組織屬洪門支派
22

22（二十二）是 21 與 23 之間的自然數。

數學性質

迴文數
五邊形數、中心七邊形數
22 的階乘有 22 個位數

1.1 基本運算

在科學中

鈦的原子序數
SSH 的預設埠號
引號（在 URL 中顯示為 %22）

在其它領域中

V-22 魚鷹式傾斜旋翼機，可傾斜旋翼機的代表作品。
F-22 猛禽戰鬥機，洛克希德馬丁所開發匿蹤戰鬥機。
22 型護衛艦，英國皇家海軍建造的一級巡防艦。
022 型導彈艇，中國人民解放軍的新型導彈快艇。
中國鐵路 22 型客車，中國鐵路第二代主型鐵路客車。
22 (歌曲)，英國女歌手莉莉・艾倫在 2009 年釋出的一支單曲。
22 (歌曲)，美國女歌手泰勒・斯威夫特在 2012 年釋出的一支單曲。
二十二 (2017 年電影)，2017 年上映描寫在華慰安婦生活現狀的紀錄片。
城巴 22 線
二十二史劄記，趙翼著
22 世紀殺人網路電影系列
23

23（二十三）是 22 與 24 之間的自然數。

數學性質

由 1 構成的迴圈單位中，23 個位的數是素數（即 11,111,111,111,111,111,111,111 是素數）。
23 不可以表達成 8 個或以下的立方數之和。另一個這樣的整數為 239。
在機率論中，只要有 23 人，這群人裡有兩人同一天生日的機率就會大於 50％（生日悖論）。
23、233、2333、23333 都是質數，但是 233333 不是質數。

1.1 基本運算

在科學中

釩的原子序數
人類細胞核的染色體數量
地球的地軸傾斜 23.4 度，90-23.4=66.6。

在人類文化中

聖殿騎士團最後一位，第 23 任團長雅克・德・莫萊。
13 號星期五的由來，聖殿騎士團在 1307 年 10 月 13 星期五被處死，10+13=23。
，歷史上的重大事件跟 23 都有某種關係。
香港基本法第 23 條的立法一度在 2003 年 7 月 1 日在香港釀成數以十萬人的示威遊行，稱為香港七一遊行。由於 23 條已經成為特區政府剝削民眾權利的代名詞，因此衍生出「網路 23 條」稱呼版權條例，而「教育 23 條」稱呼德育及國民教育科。
邁克爾・喬丹最常用的球衣號碼。
尤利烏斯・凱撒被刺中 23 刀。
陸軍軍官學校在成都時期的最後一期畢業班為 23 期。
在香港運輸署駕駛考試中心進行路試前，需要讀出一個約 23 米外的車牌號碼，未能透過此視力測試的考生將不獲準進行路試，其駕駛考試表格也會隨之失效。

娛樂影視

金凱瑞主演，(詹姆士王版) 聖經第 32 章 23 節「Be sure your sin will find you out.」。
鋼之鍊金術師中霍恩海姆的角色原為 23 號奴隸。
自《死神來了 2》開始，該系列電影中危險的數之一
24

24（二十四）是 23 與 25 之間的自然數，是一個合數，質因數有 2 和 3。常見文化中有許多事物與 24 有關，例如一日有 24 小時、一年有 24 節氣。

數學性質

高合成數：24 共有 8 個因數，任何比 24 小的自然數之因數數量均少於 8 個，因此 24 是一個高合成數，是第 6 個擁有此性質的數字，前一個是 12，下一個是 36 。
半完全數：24 的因數中，前 6 個因數的和為本身，除了 4 和 8 以及本身之外的其他因數的和也是本身，因此 24 是一個半完全數，是第五個擁有此性質的數字，前一個是 20，下一個是 28 。
相容數：24 存在一個因數 4 使得其餘不含本身的因數之和減去 4 等於 28，而 28 也存在一個因數 2，使得其餘不含本身的因數之和減去 2 等於 24，因此 24 和 28 是一對相容數，是第一組有此種性質的數對，下一對是 (30, 40)。
每個因子減一（包括本身，不包括 1，2）得到的數都是素數：24 是第 6 個具有此性質的數字，也是具有這樣的性質的最大的數，前一個是 12。而其餘具有此性質的數字正好都是 24 的因數。
高過剩數：24 的真因數和是 36，真因數和數列為 (24, 36, 55, 17, 1, 0)。由於 24 的真因數和也是過剩數因此 24 是一種高過剩數。24 是第一個有此性質的數，下一個是 30。
24 是 4 的階乘，這代表了 4 個相異的物品任意排列共有 24 種不同的排列方法。例如序列 (1,2,3,4)，這 24 種可能的排列為： (1,2,3,4), (1,2,4,3), (1,3,2,4), (1,3,4,2), (1,4,2,3), (1,4,3,2), (2,1,3,4), (2,1,4,3), (2,3,1,4), (2,3,4,1), (2,4,1,3), (2,4,3,1), (3,1,2,4), (3,1,4,2), (3,2,1,4), (3,2,4,1), (3,4,1,2), (3,4,2,1), (4,1,2,3), (4,1,3,2), (4,2,1,3), (4,2,3,1), (4,3,1,2), (4,3,2,1)。
24 的真因數和為 36，其真因數和序列為 (24, 36, 55, 17, 1, 0). 24 是最小的真因數和也是過剩數的過剩數。
只有一個整數的真因數和是 24，即 529 = 232。
φ(x) = 24 有 10 個解，分別為 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84 和 90。其數量比所有小於 24 的整數還多，因此 24 是一個高尤拉商數，前一個是 12，下一個是 48。
24 是一個九邊形數，前一個是 9，下一個是 46。
24 是一對孿生質數的和，該對孿生質數為 (11, 13)。前一個是 12，為 (5, 7) 的和；下一個是 36，為 (17, 19) 的和。
24 是一個哈沙德數，前一個是 21，下一個是 27。
24 是一個半曲流數，前一個是 10，下一個是 66。
24 是一個，前一個是 13，下一個是 44。
24 是一個邪惡數，前一個是 23，下一個是 27。
任何連續 4 個整數的乘積都可以被 24 整除。因為其中會包含 2 個偶數，其中一個偶數會是 4 的倍數，且至少會包含一個三的倍數。
24 是唯一的非平凡解（nontrivial solution），12 + 22 + 32 + … + 242 是完全平方數（702）（炮彈問題的平凡解為 12 = 12）。
魏爾斯特拉斯橢圓函式的模判別式 Δ 是戴德金 η 函式的 24 次方： η: Δ = (2) 12η(τ) 24.

24 是唯一所有因數 n 在 Z/nZ 交換環中，其反元素皆為 1 的平方根的數。因此，乘法群 (Z/24Z)× = {±1, ±5, ±7, ±11} 與加法群 (Z/2Z) 3 是同構的。這是因為怪獸月光理論的緣故。
: 因此，任何與 24 互質的數字 n，特別是任何大於 3 的質數 n，都會具有 n2 – 1 可以被 24 整除的性質。
:* 例如：23 與 24 互質，。
24 是第二個，前一個是 6，下一個是 28。
24 是可被不大於其平方根的所有自然數整除的最大整數，前一個有這種性質的數是 12。
24 是第 6 個威佐夫 AB 數，前一個是 21，下一個是 29。

1.1 幾何

24 條邊的多邊形稱為二十四邊形。
24 個面的多面體稱為二十四面體。
24 個胞的多胞體稱為二十四胞體，特別地，在四維空間中，有一種正圖形是二十四胞體，即正二十四胞體，由 24 個正八面體組成，具有 24 個頂點，是個自身對偶的多胞體，且這種形狀不存在其他維度的類比。
超立方體有 24 個正方形面
24 維空間中有 24 個正偶數稱為。
異相雙四角臺塔柱和偽大斜方截半立方體是有 24 個頂點的偽均勻多面體。
24 是四維空間的：若將四維超球內切入這個正二十四胞體堆砌的每個超胞，則產生的結果將會是四維空間中可能的正超球體填充中最緊密的一種排佈。
24 是 K3 曲面的尤拉示性數。

1.2 基本運算

在科學中

鉻的原子序數。
二十四烷的碳原子數量。

在聖經

二十四個座位，啟示錄 4 章
二十四位長老，啟示錄 4, 5, 11 及 19 章

在人類文化中

作家郭居敬所編錄的詩選，稱為二十四孝
為中國古代各朝撰寫的二十四部史書的總稱，稱為二十四史
在中國傳統紀年方式中，一年中有 24 個特殊的日子，稱為 24 節氣。
在大部分曆法中，一日有 24 小時。
美國反恐與諜戰電視劇《24》的標題名。
清涼油

清涼油，是一種膏狀藥物。萬金油最早由著名商人胡文虎與其弟胡文豹創制，並註冊為專利名稱，後又稱為 “虎標萬金油”。

成分

根據新聞報道，清涼油由薄荷腦、薄荷油、樟腦油、樟腦、桉油、丁香油等組成。

根據中國國家衛生計生委標準，清涼油的主要成分為薄荷腦、薄荷油、樟腦油、樟腦、桉油、丁香油、桂皮油和氨水，另取適量石蠟、地蠟、凡士林熔融配製而成。

功能主治

清涼散熱，醒腦提神，止癢止痛。用於感冒頭痛，中暑，暈車，蚊蟲蜇咬等。
利蘭泰坦 B15

被賣往利物浦市的利蘭泰坦 B15 巴士

利蘭泰坦 B15 巴士（Leyland Titan B15）是英國利蘭車廠生產的後置引擎雙層巴士，屬於較早推出的第二代後置引擎巴士。相比起第一代後置引擎巴士，第二代後置引擎巴士把散熱水箱，從空間有限的車尾移到較易散熱的車頭或車身側面，大幅改善早期後置引擎巴士，因為散熱不良而容易出現故障的缺點。

背景

利蘭早於 1973 年開始代號 B15 的雙層巴士開發計劃，之後命名為泰坦 B15。利蘭收購丹拿及 Bristol 兩家車廠之後，利蘭當時同時生產三款後置引擎雙層巴士，包括利蘭自家開發的 Atlantean，收購丹拿車廠而得的珍寶，以及 Bristol 車廠設計的 VRT，除了前置散熱水箱的 Bristol VRT 外，其餘兩款英國第一代後置引擎巴士都受到引擎散熱不良的影響，造成操作上的困擾。利蘭車廠開發泰坦 B15，正是為了取代以上三款第一代後置引擎巴士。

利蘭車廠在 1970 年代是英國主要的商用車輛生產商，當利蘭車廠收購多家巴士製造商後在英國接近一廠獨大。在巴士製造領域，利蘭車廠具有全車製造的能力，除了設計底盤外，還能設計利蘭自家品牌的引擎及波箱，甚至能為利蘭巴士底盤打造車身，在 1977 年推出的泰坦 B15 正是利蘭車廠一手包辦的產品。

設計

泰坦 B15 主要是在舊有的利蘭亞特蘭大和丹拿珍寶的基礎上進行改良，再引入同廠 National 單層巴士的模組化概念，研製成一款地臺較低的後置引擎雙層巴士。泰坦 B15 跟 AEC Routemaster 一樣採用相似的鋁合金車身結構、前置獨立懸掛系統及一體化車身設計，而引擎散熱系統的重新佈局是此款巴士與之前車型最大的改變。

英國的第 1 代後置引擎巴士，散熱水箱都被放在空間有限的車尾引擎室，由於橫置的引擎已經佔去引擎室的大部分位置，散熱水箱只能使用餘下的狹小空間，導致引擎過熱而容易故障。利蘭收購 Bristol 而取得 VRT 巴士的生產線，雖然 Bristol 設計 VRT 巴士時，嘗試把散熱水箱移到車頭，可是由於設計不良，仍然未能解決引擎散熱不良的問題。泰坦 B15 是英國第 2 代後置引擎巴士的設計，它的引擎冷卻系統，不像早期的後置引擎巴士般直接設定於引擎的側邊，而是位於車尾引擎室的右上方位置，散熱系統的空間較為充裕，而引擎室的左上方也設有喉管用來排出熱氣。這種把引擎與散熱系統分開放置的設計，能夠改善英國上一代後置引擎巴士散熱不良的缺點。

泰坦 B15 全長 9.56 米，只有兩軸版本。泰坦 B15 車尾的大部分空間已被整套動力系統佔去，車尾引擎室右上方又須要裝設散熱系統，所以泰坦 B15 的下層車尾，只能於中央靠左的位置設定一個接近正方形的車窗。這種獨特的車尾設計，成為泰坦 B15 在外觀上與其他雙層巴士的最大分別。

最初泰坦 B15 主要是配用利蘭自家開發的 500 系列柴油引擎，但利蘭自產的引擎效能及可靠性都不理想，所以其後依照買家的反映，後期生產型都改用吉拿 6LXB/6LXC 引擎，而利蘭 TL11 引擎也在選配之列。另外，泰坦 B15 採用了利蘭自家生產的全自動 Hydracyclic 變速箱，取代往日廣泛採使用的半自動波箱。

英國

泰坦 B15 於 1977 年開始量產，但因當時利蘭旗下工場（包括負責建造泰坦 B15 車身的 Park Royal）發生工潮造成生產力低下，交貨日期嚴重延遲，使多數買家放棄訂單而改為購入 MCW Metrobus，當中只有倫敦運輸局於 1978 年起購入了 1125 部成為最大買家，至 1984 年才不再訂購。

利蘭泰坦 B15 早期都是在倫敦行走，當時，倫敦運輸局寄望這些巴士可以取代前置引擎的 AEC Routemaster，全面在倫敦推行「一人控制」巴士模式。可惜事與願違，泰坦 B15 未能如預期般成功，最後跟倫敦寶一樣陸續被淘汰出倫敦市中心。隨著當地實行巴士服務私營化，這些從倫敦運輸局退下來的利蘭泰坦 B15 都被賣給多間巴士公司。這些巴士公司都把轉手過來的利蘭泰坦 B15 調去英國其他地方行走，令這款巴士不只局於倫敦出現。

由於車齡日高，加上英國在 1999 年推行巴士低地臺計劃，利蘭泰坦巴士皆相繼退下火線，至 2003 年 6 月 19 日，倫敦常規巴士線中已不再見利蘭泰坦 B15 行走，只見於私人合約巴士公司。

B15 的後繼產品是利蘭奧林匹克雙層巴士，其計劃代號為 B45。

香港

當利蘭車廠研發 B15 時，中華巴士已對這款巴士感興趣，便向利蘭訂購 2 部，其中一部為加長版本。首部車於 1980 年投入服務，編號 TC1（車牌 CD1213），配備 Park Royal 車身，車箱採用豪華巴士的規格，載客量為 73 人，行走 260 號路線。第二部加長版本因 Park Royal 方面遇到重大技術困難而遲遲未能交貨，中巴乃取消了該部加長版本的 B15 訂單，改購 2 輛利蘭勝利二型巴士。TC1 是唯一出廠後就離開英國的泰坦 B15，早期除了行走南區線 260 外，亦曾於 1989 年開辦的過海線 182 短時間服役。1992 年以後被編為後備車，只在繁忙時間接載乘客，直至 1995 年因中巴削減 14 條路線予城巴引致車源過剩而退役。

後繼車型

泰坦 B15 基本上仍是前一代利蘭亞特蘭大改進而來的產品，於 1977 年推出後不久，對手都城嘉慕及丹尼士車廠分別推出了全新設計的都城嘉慕都城型及丹尼士統治者型雙層巴士，整體效能及可擴充性都比改良出來的泰坦 B15 優勝，於是利蘭展開代號 B45 的新車型設計，即是兩年後於 1979 年面世的利蘭奧林比安。
25

25（二十五）是 24 與 26 之間的自然數。

數學性質

最小可以寫成兩個平方數之和的平方數：，所以 5 是最小的勾股陣列中的弦。
卡倫數
在十進位制中，可以透過觀察整數最後兩個位是否 25, 50, 75 或 00 之一以判定 25 能否整除它。
自守數，即以 25 為結尾的數相乘，尾數仍是 25。如：。 。
最小符合的偽素數。
除法速算為乘 4，再除以 100（乘法正好相反）
中心八邊形數

1.1 基本運算

在科學中

錳的原子序數

在人類文化中

結婚 25 週年為「銀婚」（亦適用於機構成立 25 週年，但稱「銀禧」）
日本聲優、歌手花澤香菜的錄音室專輯：《25》
英國歌手 Adele 的專輯：《25》。

在電腦遊戲中

25 to Life，俠盜人生的英文名字
26

26（二十六）是 25 與 27 之間的自然數。

數學性質

第 3 個七角錐數。
第 2 對相親數之差：
第 2 個非尤拉商數及第 2 個非互補尤拉商數，沒有任何一個整數，小於此整數而且與它互質的數字恰好有 26 個，也沒有任何一個整數，小於此整數而且與它不互質的數字恰好有 26 個。
第 1 個同時是非尤拉商數及非互補尤拉商數的數。

1.1 在趣味數學

唯一一個剛好和平方數及立方數相差 1，夾在它們之間的數：
將自身立方得出的數的組成數字之和又等於數本身：，。
十進位中最小的非迴文數，其平方等於迴文數：
26 是最小的數可以在以素數為底的進位制中，用 3 個質數數字來表示：三進制中的 222。將 26 的數字顛倒，會得出第 2 個這樣的數：62 = 五進位制的 222。

1.2 基本運算

在科學

鐵的原子序數

在人類文化中

英文字母的數目
拉丁字母的數目
半副撲克牌的數目（黑色牌或紅色牌的數目）
27

27（二十七）是 26 與 28 之間的自然數。

數學性質

第 3 個十邊形數
37 的倒數迴圈節為 027，即 1/37=|6}}...。
黑塞二十七面體是一種位於複希爾伯特空間的正多面體。

1.1 基本運算

在科學

鈷的原子序數

在人類文化中

愛好黑七星的男人由一名愛抽黑七星的林姓少年所拍攝的微電影
新約聖經的卷
27 俱樂部，指由一群過世時全為 27 歲的偉大搖滾與藍調音樂家所組成的「俱樂部」
雙性戀恐懼

雙性戀恐懼是指對雙性戀的恐懼、歧視或憎恨。雙性戀恐懼症者可能是同性戀也可能是異性戀等單性戀者，但未必和恐同症或恐異症有關，有些刻板印象僅針對雙性戀。

刻板印象

雙性戀恐怖症者通常反感多性戀、多偶制、群交、群婚。有些時候，雙性戀還被控將性病傳入異性戀或女同性戀社群。還有一種普遍的刻板印象是雙性戀會跟任何人上床，這給雙性戀者招來很多無謂的困擾。通常，同性戀和異性戀人士對於雙性戀的印象，會各自再加上自己對異性戀和同性戀的恐懼。恐懼同性戀者會認為雙性戀者混亂性別。恐懼異性戀者會認為雙性戀是為了維持自己的特權而和恐同者共犯。另外，認為世界上只有同性戀和異性戀（都是單性戀）而沒有真正的雙性戀，也是一種刻板印象。

女同性戀者對雙性戀女性常有一種負面態度，那就是雙性戀女性終究會為了男人離開女人。異性戀男性被視為因為普遍的性別歧視與恐同症而佔有不平等的優勢。有些女同性戀女性主義者認為雙性戀女性是屈服於父權的女性。

雙性戀者可能被恐同人士打壓，因為恐同人士認為只有異性戀才是好性向。雙性戀者也可能被恐異人士打壓，男的雙性戀者特別容易遇到。

許多反雙性戀人士相信雙性戀只是一種趕流行的行為，一方面可能是青少年受到雙性戀偶像的影響、或者基於好奇兩者性向都予以嘗試；也有一些女性會以雙性戀行為實踐她們所認定的「性自由」、「性自主」。
江長川

江長川，男，上海人，世居上海老西門，衛理公會在中國最早按立的一批華人會督之一。

生平

江長川是東吳大學第五屆畢業生。1912 年，江長川畢業於東吳大學神學院，次年成為監理會上海慕爾堂（當時在漢口路雲南路口）牧師。1918 年至 1920 年在湖州擔任牧師。他在衣裳街創辦了三餘學社，其專修部屬於補習夜校性質，即今湖州一中前身。

1920 年至 1923 年擔任蘇州聖約翰堂牧師。1923 年至 1931 年任上海崑山路景林堂牧師。景林堂工程始於 1922 年，1924 年元旦，江長川牧師主持該堂獻堂典禮。1922 年，召開基督教全國大會，成立中華全國基督教協進會，江長川當選為副會長。會址設在上海。1927 年，受到北伐戰爭的影響，東吳大學中國學生熱烈地投入 “收回教育權運動”，美籍校長辭職。7 月，組成以江長川為會長的董事會，向國立第四中山大學（即中央大學）呈請註冊立案（當時仿效法國實行大學區制）。1927 年 12 月 1 日，蔣介石和宋美齡舉行婚禮，但是由於江長川的拒絕，他們的婚禮未能在教堂內舉行。1930 年 10 月 23 日，江長川在西摩路宋家為蔣介石施行洗禮，蔣介石正式加入監理會，列在景林堂信徒名冊中。

1934 年，江長川之子江守道在蘇州東吳大學讀書期間，宣佈脫離監理會，轉入地方教會，當時曾經引起軒然大波。1939 年，美以美會、監理會和美普會在美國堪薩斯城舉行合一大會。江長川作為中國代表也前往參加。1941 年，在華的美以美會、監理會、美普會也在上海舉行合一後的第一屆中央議會，中文名稱為 “中華基督教衛理公會”，轄十個年議會，首次選出華人江長川、陳文淵擔任會督。江長川負責主持張家口臨時年議會。

江長川擔任衛理公會華北年議會第一任華人會督。1951 年參加控訴運動，控訴同會的美籍會督黃安素、安迪生和中國籍會督陳文淵；並去上海主持中華衛理公會全國教務。同年 6 月 21 日，在《天風週刊》上發表《控訴美蔣利用衛理公會侵略中國的罪行》。1954 年中國基督教三自愛國運動委員會成立時，江長川任副主席。1958 年在上海病逝。
28

28（二十八）是 27 與 29 之間的自然數。

數學性質

第 7 個三角形數，亦是第四個六邊形數。
首 5 個質數的和：2+3+5+7+11=28。
第 3 箇中心九邊形數。
第 7 個快樂數。
第 3 個基思數
相反數 - 28 為殭屍數，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數，即。前一個為 - 29，後一個為 - 19。

1.1 基本運算

在科學中

鎳的原子序數為 28。
矽的原子量。
一個正常人有 28 顆牙齒（不計算智齒在內）。
平年的 2 月為 28 天。
一年 12 個月中，每個月最少都有 28 天。

在人類文化中

中國古代將天空的星星分為二十八宿。

在電影中

28 天，由珊卓・布拉克在 2000 年時主演的電影。
28 天毀滅倒數，由丹尼・波爾於 2002 年執導的英國影片，描述頡油淹沒世界。
28 週毀滅倒數：全球封閉，28 天毀滅倒數的續集。
西征夢

《西征夢》是一箇中國相聲的段子，郭德綱的版本講的是夢到被美國總統布什請去剿滅恐怖分子的故事。

歷史傳承

最初版本創作於清朝末年，叫《堆兒兵做夢》，當時的藝人說的是做夢去見西太后，請了一道聖旨領軍去打太平天國。民國時代，又被藝人們就改成做夢去見袁大總統，帶著兵去打軍閥。如張壽臣的《打白朗》。

郭德綱將把前人的老段子老做法重新傳承和改革，改變了調侃的物件，段子的框架和樑子沒有大的變動。

故事梗概（郭德綱版本）

故事的主人公夢想成為一個軍事家。由於找不到合適的軍事工作，以門衛職業為生。一日，美國總統布什高薪聘請他到美國去為對抗恐怖分子出謀劃策。在和美國外交人員見面面談之後，決定出發。他乘坐一輛簡陋的直升飛機經過數月到了美國。美國總統布什操河南話迎接他並在食堂招待他吃小龍蝦。這時恐怖分子襲擊，他在戰鬥中夢醒了。
29

29（二十九）是 28 與 30 之間的自然數。

數學性質

它亦是三個連續正方形數的和：。
十二進位制的水仙花數。
相反數 - 29 為殭屍數，即位數和（首位含負號）的平方與自身的和大於零的負數，即。前一個為 - 159，後一個為 - 28。

1.1 基本運算

在其它領域中

公曆閏年中 2 月的日數
銅的原子序數
農曆中小月的天數
農曆中年二十九晚是除夕（農曆十二月是大月的年份則在三十）
農曆 12 個月當中，包含閏月最少都有 29 日。
30

30（三十）是 29 與 31 之間的自然數。

數學性質

一對相容數之一（30、40）
屬於有形數
首 4 個平方數的和
第 4 個正方錐數
正十二面體和正二十面體都有 30 條稜
最大的數使得與它互質且比其小之自然數除了 1 均為素數
第 3 個十一邊形數

在科學中

鋅的原子序數

在人類文化中

陽曆其中 4 個月的日數為 30 日，分別為 4 月、6 月、9 月及 11 月
農曆中大月的天數
論語中記載孔子自稱「三十而立」, 故此三十歲可稱作而立之年
農曆中年三十晚是除夕（農曆十二月是小月的年份則在二十九）
飢餓三十
NBA、NHL、MLB 各有 30 支球隊。

在其它領域中

30 (阿黛爾專輯)，英國創作歌手阿黛爾第四張錄音室專輯，於 2021 年發行。
八叉樹

八叉樹（Octree）是一種樹形資料結構，每個內部節點都正好有八個子節點。八叉樹常用於分割三維空間，將其遞迴細分為八個卦限。八叉樹是四叉樹在三維空間中的對應，在三維圖形、三維遊戲引擎等領域有很多應用。

表示空間

八叉樹的每個節點都可以代表一個空間，對應的八個子節點則將這個空間細分為八個卦限。點域（point region，簡稱 PR）八叉樹的節點中都儲存著一個三維點，即該節點對應區域的「中心」，也是八個子節點對應區域中的一個角落。矩陣（matrix based，簡稱 MX）八叉樹中，節點只記錄區域範圍，對應的中心點座標需要從區域範圍推算。因此，PR 八叉樹的根節點可以表示無限大的空間；而 MX 八叉樹的根節點只能表示有限空間，這樣才可以得到隱含的中心點。

歷史

八叉樹在三維計算機圖形領域的應用可以追溯到 1980 年倫斯勒理工學院唐納德・馬爾（Donald Meagher）的報告《八叉樹編碼：使用計算機表示、操作、顯示任意三維物件的新技術》（Octree Encoding: A New Technique for the Representation, Manipulation and Display of Arbitrary 3-D Objects by Computer）。

主要用途

三維計算機圖形學中的細節層次渲染
最鄰近搜尋
三維空間中的高效碰撞檢測
狀態估計
31

31（三十一）是 30 與 32 之間的自然數。

數學性質

第 8 個梅森素數的指數。
第 31 個素數 127 亦是梅森素數
中心三角形數、中心五邊形數、中心十邊形數
五角星數
在十進位制中，唯一一個素數的 7 次方的各位數字之和是自己：，
31, 331, 3331, , , 和 都是質數。 有一段時間，人們認為 3w1 形式的每個數字（也就是 1 前面有 w 個 3）都是質數。 不過，這個數列接下來的 9 個數都是合數，它們的因式分解如下：
= 17 ×
= 673 ×
= 307 ×
= 19 × 83 ×
= 523 × 3049 ×
= 607 × 1511 × 1997 ×
= 181 ×
= 199 × 以及
= 31 × 1499 × 。
為最接近圓周率立方的整數（圓周率的立方約為）。

1.1 基本運算

在科學中

鎵的原子序數
陽曆中 1 月、3 月、5 月、7 月、8 月、10 月和 12 月的日的數目。

在人類文化中

荷蘭的國際電話區號