圖論術語

圖論中有許多專有名詞，此處總結了一些名詞的一般意義和用法。

基本術語

一個圖（一般記作）由兩類元素構成，分別稱為 “頂點”（或節點、結點）和 “邊”。每條邊有兩個頂點作為其端點，我們稱這條邊 “連線” 了它的兩個端點。因此，邊可定義為由兩個頂點構成的集合（在有向圖中為有序對，見下文 “方向” 一節）。

圖也可以用其他模型來表示，如定義在頂點集合上的二元布林函式，或者方形 (0,1)- 矩陣。

頂點或邊上有標號的圖稱為有標號的，否則為無標號的。它們的區別在於，無標號的圖並沒有為頂點或邊指定一個特定的順序。

圖的標號一般指按某一規則為圖的頂點或邊指定一個標號。標號通常是自然數，且一般互不相同。

一個超邊是允許連線任意多個（可以多於兩個）頂點的 “邊”。含有超邊的 “圖” 稱為超圖。邊可視為恰連線兩個頂點的超邊，因此圖可視為一種特殊的超圖。

空圖或禿圖是沒有邊的圖。

如果一個圖有無窮多的頂點和 / 或邊，則稱其為無窮的，否則為有窮的。如果一個圖是無窮的，但每個頂點的度（見下）是有限的，則稱為區域性有窮的。一般假定 “圖” 指有窮圖。

兩個圖和，如果存在與之間的一一對應，使得圖中兩個頂點相連當且僅當它們在圖中的對應頂點相連，則稱圖和 同構，記作。類似地，如果僅僅是到的對映而不一定是一一對應，則稱此對映是到的同態。

1.1 彼得森圖

圖論中最有名圖之一。

1.2 邊

一條邊一般表示為連線其兩個端點的曲線。以兩個頂點、為端點的邊一般記作、或。一條邊連線兩個頂點 u、v 時，稱 u 與 v 相鄰。圖的邊集一般記作，當不發生混淆時可簡記為。

1.3 補圖

圖的補圖是這樣一的圖，它的點集與相同，而每條邊存在於中當且僅當它不存在於中。

1.4 頂點

一個頂點一般表示為一個點或小圓圈。一個圖的頂點集（點集）一般記作，當不發生混淆時可簡記為。圖的階為其頂點數目，亦即。

1.5 度

若兩個點之間有一條邊，則這兩個點相鄰。關聯一個點的邊的條數稱為是度數（degree）或價（valency）。特別的，若不是多重圖時，它等於這一點的鄰點個數。

一個頂點被稱作孤立頂點，當它的度數為。

的最小度記為

的最大度記為

的平均度記為

稱為 k - 正則的，當的所有頂點都有相同的頂點度 k。特別的，3 - 正則圖被稱作立方圖。

1.6 獨立集

一個圖的獨立集是圖中一些兩兩不相鄰的頂點所形成的集合。

1.7 二分圖

圖是二分圖當且僅當它的點集能被劃分成兩塊和，使得對於中的任意一條邊，它有一個端點屬於而另一個端點屬於。

1.8 哈密爾頓圖

1.9 環

看環（圖論）。

1.10 結

1.11 距離

距離是兩個頂點之間經過最短路徑的邊的數目，通常用表示。

頂點的偏心率（eccentricity），用來表示連線圖中的頂點到圖中其它頂點之間的最大距離，用符號表示。

圖的直徑（diameter），表示取遍圖的所有頂點，得到的偏心率的最大值，記作。相對於直徑的一個概念是圖的半徑（radius），表示圖的所有點的偏心率的最小值，記作。這兩者間的關係是：

1.12 柯尼斯堡七橋問題

圖論中著名的問題。

1.13 立方圖

1.14 連通圖／連通性

稱是連通的，如果非空圖的任意兩個頂點之間均有一條路相連。

稱是 k - 連通的，如果非空圖的任意兩個頂點之間都有條獨立路相連。k - 連通的的另外一個定義是：若，且對任意滿足的子集均有是連通的，則稱是 k - 連通的。由門格爾定理，易知這兩個定義是等價的。透過 k - 連通的概念，定義使得是 k - 連通的最大整數稱作的連通度。

類似的，還可以引入 k - 邊連通的概念：稱一個的圖是 k - 邊連通的，如果對任意一個滿足的邊的集合，均是連通的。同樣，的邊連通度是使得是 k - 邊連通的最大整數。

1.15 旅行推銷員問題

計算機科學中最有名的問題之一。

1.16 尤拉路徑

一筆畫問題、也看哈密爾頓環。

1.17 匹配

1.18 平面圖

庫拉托夫斯基定理描述了有點平面圖。有名的尤拉公式也說：V-E+F=2. 這是尤拉示性數。

1.19 嵌入

1.20 強連通分量

1.21 橋

1.22 路徑

路徑（walk），又譯作途徑。一個長度為的路徑是一個非空的頂點和邊的交錯序列，使得對於所有均有。特別的，當時，稱這個路徑是閉的（closed）；當路徑中的頂點互不相同，得到的一條路。

1.23 樹

連通無圈圖稱為樹，一般記為 T。其中，度數為 1 的頂點稱為葉子，否則稱為內點。有時我們會從樹中選出一個頂點作為特殊頂點，稱之為根以示區分，此時稱此樹為有根樹。有根樹常作為有向無環圖來處理。

樹 T 的連通子圖稱為 T 的子樹。

樹也是一個團的森林。

1.24 森林

無環（不一定連通）圖稱為森林，森林 F 的子圖稱為 F 的子森林。

如果圖 G 的一個生成子圖是樹，則稱該子圖為生成樹。

星是僅有一個頂點不是葉子的樹。星也可以表示為完全二分圖 K1,n。

1.25 縮圖

1.26 隨機圖

1.27 團

圖中的團是由圖中兩兩相鄰的頂點構成的集合。

1.28 Utility graph

1.29 完全圖

完全圖是所有頂點兩兩相鄰的圖。n 階完全圖，記作 Kn。如圖所示為 K5。n 階完全圖有 n (n-1)/2 條邊。

1.30 網路流

重要的計算機科學、最最佳化理論、與演算法學的題目。也看最大流最小割定理。

1.31 圍長

圍長定義為圖所包含的最短環長，也被稱為 "girth"。

1.32 線圖

1.33 相鄰

兩頂點相鄰，意思是之間有一條邊。

1.34 葉子

看以上的樹術語。

1.35 正則圖

1.36 自環

一個自環是兩個端點為同一頂點的邊。如果有多於一條邊連線同一對頂點，則它們均被稱為重邊。一個圖的重數是重複次數最多的邊的重複次數。如果一個圖不含自環或重邊，則稱為簡單圖。多數情況下，如無特殊說明，可以假定 “圖” 總是指簡單圖。

1.37 著色

圖著色問題包含四色定理，數學中最有名的問題之一。現代的證明用電腦、文章很長。

1.38 子圖

兩個圖 G 和 H，如果 V (H) 是 V (G) 的子集且 E (H) 是 E (G) 的子集（當然，E (H) 中只能包含將 V (H) 中的頂點相連的邊）則稱 H 是 G 的子圖。如果圖 G 和 H 不相等，即 V (H) 是 V (G) 的真子集或 E（H）是 E（G）的真子集，則稱 H 是 G 的真子圖。如果 H 是 G 的子圖或者存在一個 G 的子圖與 H 同構，則稱 G 包含 H。

如果圖 G 的子圖 H 滿足 V (H)=V (G)，即圖 H 包含圖 G 的所有頂點，則稱 H 是 G 的支撐子圖或生成子圖。

如果圖 G 的子圖 H 滿足邊 (u,v) 在圖 H 中當且僅當邊 (u,v) 在圖 G 中，即圖 H 包含了圖 G 中所有兩個端點都在 V (H) 中的邊，則稱 H 是 G 的匯出子圖。

對於圖的某個性質而言，如果圖 G 具有此性質而 G 的任一真子圖都不具有此性質，則稱 G 是具有該性質的極小圖。類似地，如果圖 G 具有此性質而任一以 G 為真子圖的圖都不具有此性質，則稱 G 是具有該性質的極大圖。

1.39 最短路問題

重要的計算機科學、與演算法學的題目。也看 Dijkstra 演算法、Kruskal 演算法、等。

定理術語

彼得森定理
布魯克斯定理
柯尼格引理
庫拉托夫斯基定理
拉姆齊定理（而且看拉姆齊理論）
門格爾定理（Menger's Theorem）
圖特定理
Vizing 定理
最大流最小割定理

圖的方向

3.1 有向無環圖

代數圖論

代數圖論

不變數

5.1 虧格（幾何、拓撲）

看以上的平面圖。

譜圖論