唯一素數

唯一素數（Unique prime）是指一個不為 2、5（在十進位時），且有以下性質的質數 p：不存在其他質數 q，其倒數 1 /q 的迴圈節長度和 1 /p 的迴圈節長度相等。唯一素數是在 1980 年代由 Samuel Yates 所提出。

可以證明素數 p 其倒數的迴圈節長度為 n 若且唯若存在一自然數 c 使得下式成立（下面內容僅限於十進位制範疇）：

其中 Φn (x) 為 n 次的分圓多項式。至 2010 年為止，已經找到逾 50 個唯一素數或者有此性質的可能質數，但是小於 10100 的唯一素數只有 23 個。以下是這些唯一素數及其迴圈節位數：

倒數迴圈節長度素數

13

211

337

4101

109,091

129,901

9333,667

14909,091

2499,990,001

36999,999,000,001

489,999,999,900,000,001

38909,090,909,090,909,091

191,111,111,111,111,111,111

2311,111,111,111,111,111,111,111

39900,900,900,900,990,990,990,991

62909,090,909,090,909,090,909,090,909,091

120100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001

15010,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001

1069,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091

93900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991

134909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091

294142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143

196999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001

倒數迴圈節長度 294 位的唯一素數類似 7 的倒數（0.142857142857142857...）。

接續上表的第 24 個唯一素數有 128 位，倒數迴圈節長度為 320 位，可以寫成 (932032) 2+1，其中下標 n 表示前面的一個數字或一組數字會重覆出現 n 次。

所有迴圈單位素數都是唯一素數。依照迴圈單位素數及迴圈單位可能素數出現的頻率來看，唯一素數非常的少見，不過數學家們仍強烈推論有無窮多個唯一素數。

至 2010 年為止，迴圈單位 (10270343-1)/9 是已知最大的可能唯一素數。

至 1996 年為止，確定是質數的最大唯一素數是 (101132 + 1)/10001，若用前文中的表示法，可以表示為 (99990000) 141+ 1，其倒數迴圈節長度為為 2264 位，後來陸續證明更大的唯一素數，至 2010 年為止，確定是質數的最大唯一素數有 10081 位數。

二進制中的唯一質數

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 41, 43, 73, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 683, ...... ：

其迴圈節長度分別為：

2, 4, 3, 10, 12, 8, 18, 5, 20, 14, 9, 7, 15, 24, 16, 30, 21, 22, ......：

這當中包含了所有費馬質數 (迴圈節長度為 2 的乘方)，梅森質數 (迴圈節長度為質數) 及瓦格斯塔夫質數 (迴圈節長度為奇質數的兩倍)

以下為不超過 264 之二進位制唯一質數列表：

倒數迴圈節長度素數二進位表示法

2311

45101

37111

10111011

12131101

8171 0001

18191 0011

5311 1111

204110 1001

144310 1011

973100 1001

7127111 1111

151511001 0111

242411111 0001

162571 0000 0001

303311 0100 1011

213371 0101 0001

2268310 1010 1011

262,7311010 1010 1011

425,4191 0101 0010 1011

138,1911 1111 1111 1111

3443,6911010 1010 1010 1011

4061,6811111 0000 1111 0001

3265,5371 0000 0000 0000 0001

5487,2111 0101 0100 1010 1011

17131,0711 1111 1111 1111 1111

38174,76310 1010 1010 1010 1011

27262,657100 0000 0010 0000 0001

19524,287111 1111 1111 1111 1111

33599,4791001 0010 0101 1011 0111

462,796,20310 1010 1010 1010 1010 1011

5615,790,3211111 0000 1111 0000 1111 0001

9018,837,0011 0001 1111 0110 1110 0000 1001

7822,366,8911 0101 0101 0100 1010 1010 1011

62715,827,88310 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011

312,147,483,647111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

804,278,255,3611111 1111 0000 0000 1111 1111 0000 0001

1204,562,284,5611 0000 1111 1110 1110 1111 0000 0001 0001

12677,158,673,9291 0001 1111 0111 0000 0011 1110 1110 0000 1001

1501,133,836,730,4011 0000 0111 1111 1101 1110 1111 1000 0000 0010 0001

862,932,031,007,40310 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011

984,363,953,127,29711 1111 1000 0000 1111 1110 0000 0011 1111 1000 0001

494,432,676,798,593100 0000 1000 0001 0000 0010 0000 0100 0000 1000 0001

6910,052,678,938,0391001 0010 0100 1001 0010 0101 1011 0110 1101 1011 0111

65145,295,143,558,1111000 0100 0010 0101 0010 1001 0110 1011 0101 1011 1101 1111

17496,076,791,871,613,6111 0101 0101 0101 0101 0101 0101 0100 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011

77581,283,643,249,112,9591000 0001 0001 0010 0010 0110 0100 1100 1101 1001 1011 1011 0111 0111 1111

93658,812,288,653,553,0791001 0010 0100 1001 0010 0100 1001 0011 0110 1101 1011 0110 1101 1011 0111

122768,614,336,404,564,6511010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1011

612,305,843,009,213,693,9511 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111

859,520,972,806,333,758,4311000 0100 0010 0001 0100 1010 0101 0010 1011 0101 1010 1101 0111 1011 1101 1111

19218,446,744,069,414,584,3211111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001