秩 (線性代數)

線上性代數中，一個矩陣 的列秩是列向量生成的最大線性無關組的向量個數。類似地，行秩是矩陣 的線性無關的橫行的個數。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣 的秩（Rank）。通常表示為 ， 或。

可替代定義

1.1 用行列式定義

設 為 矩陣。若 至少有一個 階非零子式，而其所有 階子式全為零，即矩陣的最高階非零子式的階數為 r。則稱 為 的秩。

1.2 用向量組的秩定義

對於 維線性空間 中的一個向量組 ，若

中的 個向量線性無關，且若 ，， 中 個向量都線性相關，則稱 為 的極大線性無關組， 為 的秩。可以證明 的秩等於向量組 生成的子空間的維數。

矩陣 的列秩定義為 的列向量組的秩，也即矩陣的列空間的維數。類似地，矩陣的行秩定義為 的行向量組的秩，即矩陣的行空間的維數。

1.3 用線性對映定義

考慮線性對映：

對於每個矩陣 ， 都是一個線性對映，同時，對每個 的

線性對映 ，都存在矩陣 。也就是說，對映

是一個同構對映。所以一個矩陣 的秩還可定義為 的像的維度（像與核的討論參見線性對映）。矩陣 稱為 的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性對映而不需要指定矩陣，因為每個線性對映有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 的核的維度；秩 - 零化度定理證明它等於 的像的維度。

行秩列秩相等性

矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分。其基本證明思路是，矩陣可以看作線性對映的變換矩陣，列秩為像空間的維度，行秩為非零原像空間的維度，因此列秩與行秩相等，即像空間的維度與非零原像空間的維度相等（這裡的非零原像空間是指約去了零空間後的商空間：原像空間）。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。

給出這一結果的兩種證明。第一個證明是簡短的，僅用到向量的線性組合的基本性質。第二個證明利用了正交性。第一個證明利用了列空間的基，第二個證明利用了行向量空間的基。第一個證明適用於定義在標量域上的矩陣，第二個證明適用於內積空間。二者都適用於實或復的歐氏空間，也都易於修改去證明當 A 是線性變換的情形.

2.1 證明一

令 是一個 的矩陣，其列秩為。因此矩陣 的列空間的維度是。令 是 的列空間的一組基，構成 矩陣 的列向量 ，並使得 的每個列向量是 的 個列向量的線性組合。由矩陣乘法的定義，存在一個 矩陣，使得 . (的 元素是 與 的第 個行向量的點積.)

現在，由於，的每個行向量是 的行向量的線性組合，這意味著 的行向量空間被包含於 的行向量空間之中。因此 的行秩 ≤ 的行秩。但僅有行，所以的行秩 ≤ = 的列秩。這就證明了的行秩 ≤ 的列秩.

把上述證明過程中的 “行” 與 “列” 交換，利用對偶性質同樣可證的列秩 ≤ 的行秩。更簡單的方法是考慮的轉置矩陣，則的列秩 = 的行秩 ≤ 的列秩 = 的行秩。這證明了的列秩等於的行秩。證畢.

2.2 證明二

令是矩陣，其行秩是。因此的行向量空間的維度是，設是的行向量空間的一組基。如果把這組基當作原像列向量看待，則向量集是線性獨立的。 這是因為對一組標量係數，如果:

其中。則可以推出有兩個事實: (a) 是行向量空間的線性組合，即屬於的行向量空間；(b) 由於 = 0, 正交於的所有行向量，從而正交於的行向量空間的所有向量。事實 (a) 與 (b) 結合起來，則正交於自身，這意味著 = 0. 由的定義:

再由是的行向量空間的一組線性獨立的基，可知。因而是線性獨立的.

是的列空間中的向量。因此是的列空間中個線性獨立的向量。所以的列向量空間的維數 (的列秩) 必然不小於。這證明了的行秩 r ≤ 的列秩。把這一結果應用於的轉置矩陣可以得到：的列秩 = 的行秩 ≤ 列秩 = 的行秩。這證明了的列秩等於的行秩，證畢.

最後，還可以證明 rk (A) = rk (A), 其中 A 是 A 的共軛轉置或稱施密特轉置。當 A 的元素都是實數，這一結果變為 rk (A) = rk (AT). 然而對於復係數矩陣，rk (A) = rk (A*) 並不等價於行秩等於列秩，需要用到上述兩個證明.

2.3 證明三

令 A 是一個 m×n 矩陣。定義 rk (A) 為 A 的列秩，A 為 A 的共軛轉置或稱施密特轉置。首先可知 AAx = 0 當且僅當 Ax = 0.

 AAx = 0 ⇒ xAAx = 0 ⇒ (Ax)(Ax) = 0 ⇒ ‖Ax‖2 = 0 ⇒ Ax = 0,

其中‖・‖是歐氏範數。這說明 A 的零空間與 AA 的零空間相同。由秩－零化度定理，可得 rk (A) = rk (AA). AA 的每一個列向量是 A 的列向量的線性組合。所以 AA 的列空間是 A 的列空間的子空間。從而 rk (AA) ≤ rk (A). 即: rk (A) = rk (AA) ≤ rk (A). 應用這一結果於 A 可獲得不等式：由於 (A) = A, 可寫作 rk (A) ≤ rk ((A)) = rk (A). 這證明了 rk (A) = rk (A*). 證畢.

性質

我們假定 A 是在域 F 上的 m × n 矩陣並描述了上述線性對映。

m × n 矩陣的秩不大於 m 且不大於 n 的一個非負整數，表示為 rk (A) ≤ min (m, n)。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足（或稱為 “欠秩”）的。
只有零矩陣有秩 0
A 的秩最大為 min (m,n)
f 是單射，當且僅當 A 有秩 n（在這種情況下，我們稱 A 有 “列滿秩”）。
f 是滿射，當且僅當 A 有秩 m（在這種情況下，我們稱 A 有 “行滿秩”）。
在方塊矩陣 A (就是 m = n) 的情況下，則 A 是可逆的，當且僅當 A 有秩 n（也就是 A 有滿秩）。
如果 B 是任何 n × k 矩陣，則 AB 的秩最大為 A 的秩和 B 的秩的小者。即：
::
: 推廣到若干個矩陣的情況，就是：
::
: 證明：
:: 考慮矩陣的秩的線性對映的定義，令 A、B 對應的線性對映分別為 f 和 g，則 AB 表示複合對映 f・g，它的象 Im f・g 是 g 的像 Im g 在對映 f 作用下的象。然而 Im g 是整個空間的一部分，因此它在對映 f 作用下的象也是整個空間在對映 f 作用下的象的一部分。也就是說對映 Im f・g 是 Im f 的一部分。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（A）。
:: 對於另一個不等式：秩（AB）≤秩（B），考慮 Im g 的一組基：（e1，e2，...，en），容易證明（f (e1)，f (e2)，...，f (en)）生成了空間 Im f・g，於是 Im f・g 的維度小於等於 Im g 的維度。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（B）。
:: 因此有：秩（AB）≤min (秩（A），秩（B））。若干個矩陣的情況證明類似。
: 作為 "r 指示 r × r 單位矩陣。
: 證明可以透過高斯消去法構造性地給出。
西爾維斯特不等式：如果 A 是一個 m × n 的矩陣且 B 是 n × k 的，則
::
: 這是下一個不等式的特例.

這個不等式是由 Frobenius 提出的：如果 AB, ABC 和 BC 有定義，則
:
子加性：當矩陣和的形狀相同時，有。因此，一個秩為 k 的矩陣能夠表示成 k 個秩為 1 的矩陣的加和，但不能是 k-1 個或更少。
矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（這就是秩 - 零化度定理）。
如果 A 是實數上的矩陣，那麼 A 的秩和它對應格拉姆矩陣的秩相等。於是，對於實矩陣
::.

: 該性質可以透過它們的零空間證明。格拉姆矩陣的零空間由所有滿足 的向量組成。如果上式成立，那麼下式也成立： ，於是，，即與的零空間相同.

如果 A 是複數上的矩陣且 A* 表示 A 的共軛轉置 (i.e., A 的伴隨), 則
:

3.1 向量組的線性相關性

將個維列向量排列成的矩陣 A，這個對應矩陣的秩即為原向量組的秩。

原向量組線性相關的充分必要條件為：

如果

則向量組線性無關。另外，不存在

特殊的，若向量的個數大於向量的維數，則根據：

這個向量組必然線性相關。

計算

計算矩陣 A 的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯形矩陣，由於矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，因此 A 的行階梯形矩陣有同 A 一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。

例如考慮 4 × 4 矩陣

我們看到第 2 縱列是第 1 縱列的兩倍，而第 4 縱列等於第 1 和第 3 縱列的總和。第 1 和第 3 縱列是線性無關的，所以 A 的秩是 2。這可以用高斯演算法驗證。它生成下列 A 的行階梯形矩陣:

它有兩個非零的橫行。

在應用在計算機上的浮點數的時候，基本高斯消去（LU 分解）可能是不穩定的，應當使用秩啟示（revealing）分解。一個有效的替代者是奇異值分解（SVD），但還有更少代價的選擇，比如有支點（pivoting）的 QR 分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自 SVD 的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和應用二者。

應用

計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，則該方程組有解。在這種情況下，如果它的秩等於方程的數目那麼該方程組有唯一的一個精確解。如果增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩，則方程組是不一致（Inconsistent）的。

在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的，或可觀察的。