射流 (數學)

射流，也稱節（Jet）在數學中是指取一個可微函式 f 並在其定義域的每一點產生一個多項式，也就是 f 的截尾泰勒多項式的操作。雖然這是一個射流的定義，射流理論將這些多項式作為抽象多項式而不是多項式函式。

歐氏空間之間的函式的射流

在給出一個射流的嚴格定義之前，有必要檢視一些特殊情況。

1.1 例：一維情況

設是實值函式，在點的領域 U 有至少 k+1 階導數。那麼根據泰勒定理，

其中

那麼 f 在點的 k - 射流定義為多項式

射流通常視為變數 z 的抽象多項式，而不是一個該變數實際的多項式函式。換言之，z 是一個不定變數，這使得我們可以在射流上施行各種代數操作。實際上，射流是從基點得到它們的函式依賴關係。這樣，透過變換基點，一個射流在每一點產生了一個 k 次多項式。這標誌著射流和截尾泰勒級數的概念上的區別：通常泰勒級數被視為函式式地依賴於它的變數，而非其基點。另一方面，射流將泰勒級數的代數屬性和它們的函式屬性分離開來。我們將在本條目後面討論該區別的原因和應用。

1.2 例：從歐氏空間到另一個歐氏空間的對映

假設是從一個歐氏空間到另一個的一個函式，有至少 (k+1) 階導數。本例中，推廣的泰勒定理斷言

這個情況下，f 的 k - 射流定義為多項式

1.3 例：射流的代數屬性

射流可以加上兩種基本的代數結構。第一個是乘積結構，雖然這最後是最不重要的。第二個是射流的複合結構。

若是一對實值函式，則我們可以定義它們的射流的積為

.

這裡，我們略去了不定變數 z，因為可以將射流理解為形式化多項式。這個乘積就是 z 上的普通多項式的乘積，以為模。換言之，它是在環上的乘積，其中是由次數≥ k+1 的齊次多項式生成的理想。

現在討論射流的複合。為避免不必要的技術細節，我們考慮從原點對映到原點的函式的射流。若和滿足 f (0)=0 和 g (0)=0，則。射流的複合定義為

它可以用鏈式法則直接證明構成一個原點的射流空間上的非交換操作。

實際上，k - 射流的複合不過就是多項式的複合，以次數的齊次多項式為模。

例:

在一維，令而。則

且

歐氏空間一點的射流：嚴格定義

本節集中描述在一點的一個函式的射流的兩種不同的嚴格定義，之後討論泰勒定理。這些定義在給出在兩個流形之間的射流的內蘊定義中是很有用的。

2.1 解析定義

如下的定義採用了數學分析中定義射流和射流空間的思想。它可以推廣到巴拿赫空間之間的光滑函式、實或復域之間的解析函式、p 進分析、或是其它的分析領域。

令為光滑函式的向量空間。令 k 為非負整數，並令 p 為的一點。我們在該空間定義一個等價關係，也就是令兩個函式 f 和 g 等價如果 f 和 g 在 p 有相同的值，並且所有它們的偏導數等價到 k 階，若 f 和 g 在 p 數值相同，並且它們直到 p 階的偏導數全部相同。

k 階射流空間在點 p 定義為的等價類集合，並記為。

光滑函式的 k 階射流定義為 f 在中所屬的等價類。

2.2 代數幾何定義

如下定義採用代數幾何和交換代數中的思想來建立射流和射流空間的概念。雖然這個定義不太適合代數幾何本身，因為它屬於光滑範疇，但也很容易修改為適合代數幾何的使用的形式。

令為光滑函式在中的點 p 的芽的向量空間。令為在 p 為零的函式的理想。(這是區域性環 的極大理想。) 則理想由所有在點 p 直到 k 階導數全部為零的函式的芽組成。現在我們可以定義 p 點的射流空間為

若為光滑函式，我們可以定義 f 在 p 的 k 階射流為的如下元素

2.3 泰勒定理

不管怎樣定義，泰勒定理建立了向量空間和之間的標準同構。所以，在歐氏空間的範圍中，射流通常可以和它們的多項式表示在這個同構下等同起來。

2.4 從一點到一點的射流空間

我們定義了位於一點的射流的空間由所有 f (p)=q 的函式 f 的射流組成的子空間記為

兩個流形間的函式的射流

若 M 和 N 是兩個光滑流形，我們如何定義函式的射流？也許可以透過 M 和 N 上的區域性座標來定義。這個方法的缺點是流形不能在這種方式下以等變的形式來定義。射流不像張量那樣變換。實際上，兩個流形間的函式的射流屬於一個射流叢。

本節先引入從實直線到流形的函式的射流的概念。然後，證明這樣的射流構成一個纖維叢，和切叢類似，它也是一個射流叢的一個伴隨叢。接下來，討論定義兩個光滑流形間的函式的射流的問題。在整節中，我們全部採用分析方法。雖然代數幾何方法在很多應用中更合適，因其過於微妙不便於在此係統論述。細節請參看射流 (代數幾何)。

3.1 從實直線到流形的函式的射流

假設 M 為一個光滑流形，p 為其中一點。我們來定義穿過 p 的曲線的射流，我們所指的曲線也即使得 f (0)=p 的光滑函式。定義一個等價關係如下。令 f 和 g 為一對穿過 p 的曲線。我們稱 f 和 g 在 p 為 k 階等價，如果存在 p 的某個鄰域 U，使得對於每個光滑函式，。注意，這些射流是定義良好的，因為複合函式和只是從實直線到自身的對映而已。該等價關係有時稱為在點 p 的曲線的 k 階相切。

現在我們定義 k 階射流空間為在關係下穿過 p 的曲線構成的等價類。曲線 f 穿過 p 的 k 階射流定義為 f 所屬的等價類，記為 or 。

這構成了一個實向量空間。隨著 p 在 M 中變化，構成了 M 上的一個纖維叢:k 階切叢，經常記為 TkM （雖然這個記號有時會導致混淆）。在 k=1 時，一階切叢就是通常的切叢：T1M=TM。

要證明 TkM 實際上構成一個纖維叢，我們需要檢視一下在區域性座標中的屬性。令 (xi)= (x1,...,xn) 為 M 在 p 的鄰域 U 中的一個區域性座標系。稍微濫用記號一下，我們可以視 (xi) 為一個區域性微分同胚。

斷言：穿過 p 的兩條曲線 f 和 g 以為模等價，當且僅當在 p 的某個鄰域上成立。

顯然，僅當這部分很清楚，因為這 n 的函式 x1,...,xn 的每一個都是從 M 到的光滑函式。所以按照等價關係的定義，兩個等價曲線必須滿足。

反過來，假設 φ 是一個 M 上在 p 的一個鄰域內的光滑實值函式。因為每個光滑函式有一個區域性座標表示式，我們可以將 φ 表達為座標的函式。精確地講，假設 Q 是 M 中接近 p 的一點，則

:

對於某個 n 個實變數的光滑實值函式 ψ 成立。因此，對於穿過 p 的曲線 f 和 g，我們有

:

:

從鏈式法則即可得到斷言中當的部分。例如，若 f 和 g 是實變數 t 的函式，則

:

這和同樣的表示式中用 g 代替 f 計算有相同的值，因為 f (0)=g (0)=p 並且 f 和 g 在座標系 (xi) 中 k 階相切。

因此，這個表面上的纖維叢 TkM 確實有每個座標鄰域中的區域性平凡化。至此，要證明這個表面上的纖維叢是真正的纖維叢，只需證明它在座標變換下有非奇異的變換函式。令為一個不同的座標系，並令為相伴隨的從歐氏空間到自身的座標變換微分同胚。透過的仿射變換，我們可以不失一般性地假設 ρ(0)=0。在該假設下，只要證明是射流複合下的可逆變換即可。（參看射流群。）但是由於 ρ 是微分同胚，也是光滑對映。因而，

這表明是非奇異的。而且，它是光滑的，雖然我們這裡並不需要利用這一點。

直觀的來講，這意味著我們可以用 M 上的區域性座標中的泰勒級數來表達一個曲線的射流。

區域性座標中的例子：

如前所示，透過 p 的一條曲線的 1 階射流就是一個切向量。在 p 的一個切向量就是一個一階微分運算元，它作用於 p 點的光滑實值函式。在區域性座標中，每個切向量有如下形式

:

給定這樣的一個切向量 v，令 f 為在座標系 xi 中用給定的曲線。若 φ 是 p 的一個鄰域中的光滑函式，且 φ(p)=0，則

:

是一個光滑實值單變數函式，其 1 階射流如下

:.

這表明，可以自然地將切向量和過該點的曲線的 1 階射流等同起來。

過一點的曲線的二階射流。

在以點 p 為中心的區域性座標系 xi 中，我們可以將曲線 f (t) 的二階泰勒多項式表達如下

:

所以在這個 x 座標系中，過 p 的曲線的 2 階射流可以等同為一個實數的列表。和且向量（曲線的 1 階射流）一樣，2 階射流在座標變換函式作用下的某種變化法則。

令 (yi) 為另一座標系。按鏈式法則，

:

:

因此，變換透過在 t=0 計算如下兩個表示式給出。

:

:

注意，二階射流的變化法則在座標變換函式中是二階的。

3.2 從流形到流形的函式的射流

現在可以定義從流形到流形的函式的射流了。

設 M 和 N 為兩個光滑流形。令 p 為 M 一點。考慮由定義在 p 的某個鄰域中的光滑對映組成的空間。在上定義一個等價關係如下。兩個對映 f 和 g 稱為等價的，若對於每條穿過 p 的曲線 γ（按此處常規，這表示一個使得的對映，）我們在 p 的某個領域上有。

的射流空間則定義為以等價關係為模的等價類的集合。注意，因為目標空間 N 不需要有代數結構，也可以沒有這樣的結構。也就是說，這和歐氏空間的情形實際上形成鮮明的對比。

若是定義在 p 附近的光滑函式，則我們定義 f 在 p 的 k 階射流為 f 以為模所屬的等價類。

截面的射流

本節討論向量叢的區域性截面的射流的概念。所有本節的內容可以在做適當的改動後推廣到纖維叢、巴拿赫流形上的巴拿赫叢、纖維化流形、或者概形上的準一致層的區域性截面的情況。而且，這些例子只是可以作的推廣的一部分而已。

設 E 為流形 M 上的有限維光滑向量叢，其投影為。則 E 的截面為滿足為 M 上的恆等自同構的光滑函式。截面 s 在 p 的一個鄰域上的射流就是從 M 到 E 的光滑函式在點 p 的射流。

這些在點 p 的射流的空間記為。雖然這個記法可能會和更一般的兩個流形間的函式的射流空間造成混淆，上下文通常可以消除這種歧義。

和從流形到另一流形的函式的射流不同，在 p 的截面的射流有繼承自截面本身的向量空間結構的向量空間結構。隨著 p 在 M 上變化，射流空間形成一個 M 上的叢，也就是 E 的 k 階射流叢，記為 Jk (E)。

例：切叢的一階射流叢。

我們採用一點的區域性座標。考慮一個向量場

:

在 M 中點 p 的一個鄰域。v 的一階射流可以透過取向量場的係數的一階泰勒多項式得到：

:

在這個 x 座標中，在一點的 1 階射流可以和實數的列表等同起來。這和將一點的切向量和列表 (vi) 等同起來是一樣的。在特定的座標變換的變換法則之下，我們必須知道該變換如何影響這個列表。

因此我們考慮變換到另一個座標系 yi 時所需的變化。令 wk 為向量場 v 在 y 座標中的表示。則在 y 座標系中，v 的一階射流是新的實數列表。因為

:

我們有

:

所以

:

用泰勒級數展開，我們有

:

:

注意變換法則在座標變換函式中也是二階的。

4.1 向量叢之間的微分運算元

參看微分運算元 #座標無關表述。