拓撲空間

拓撲空間（Topological space）是一種賦予「一點附近」這個概念的抽象數學結構；拓撲空間也是一個集合，其元素稱為點，由此可以定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。

定義動機

拓撲結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函式極限。

對於度量空間 內的任一點 ，可定義中心為 ，半徑為 的開球

然後把開球視為點 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 ，都會有一個夠小的開球 完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 的開子集 為滿足如下條件的子集合

這樣定義的開集有一些有趣的性質：

(1) 任二開集的交集也是開集

任取兩個 的開子集 ，若 ，根據定義存在 使得

這樣若取 ，則會有：

也就是說， 也是個開集。

(2) 任意個開集的並集也會是開集

若 是一群開集所構成的集合，也就是說

如果取

換句話說：

這樣的話，顯然有

所以 也會是一個開集。

以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。

正式定義

等若干概念。可以從這些概念出發，給出若干種等價結構，但大部分書籍都以開集系為準。

2.1 開集系

根據定義動機一節可以作如下的定義：

  的子集族 若滿足以下開集公理

則稱 為  的開集系（其中的元素稱為開集）或拓撲， 則被稱為一拓撲空間， 內的元素  則稱為拓撲空間  的點。

開集系的代號 是字母「O」的德文尖角體，取名自德語形容詞「」（開的）。

從開集系出發定義其它概念：（ 為 的子集）

閉集：若 是開集，則稱 是閉集。
鄰域：若存在開集 使得 ，則稱 是點 的鄰域。
開核： 的開核（或內部） 定義為 內所有開集之並，也就是

2.2 閉集系

的子集族 若滿足如下閉集公理：

則稱 為 的閉集系（其中的元素稱為閉集）。

開集系的代號 是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法語動詞「」（關閉）的過去分詞「」（封閉的）。

根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族

為開集系，類似地，對於開集系 ，以下的子集族

為閉集系，所以閉集系跟拓撲是等價的結構。

從閉集系出發定義其它概念：（ 為 的子集）

開集： 是閉集，則稱 是開集。
閉包： 的閉包 定義為包含 A 的所有閉集之交，也就是

2.3 鄰域系

函式 （ 指 的冪集的冪集，也就是由所有子集族所構成的集合）若對任意 滿足如下鄰域公理：

這樣任意 被稱為 的鄰域系， 裡的元素 則稱為 的鄰域。

換句話說，函式 將 的每個點 對映至 ，而 則是所有 的鄰域所構成的集族。

鄰域系的代號 是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德語動詞「 」（環繞）的名詞化「」（周圍、環境）。

若取以下的子集族

因為 包含任意鄰域， 本身顯然為任意 的領域，故 ；另外空集合 沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，。

若取 ，根據鄰域公理的第二項有 ；若取 ，且 ，那換句話說

這樣的話有

那這樣根據鄰域公理第三項，，所以 的確是個開集合系。

類似地對於開集系 ，若對任意 取

那 也會符合上面四款鄰域系公理（注意到第四項取 ），所以對所有 定義了鄰域系等同於定義了一個拓撲。

從鄰域系出發定義其它概念：（ 為 的子集）

開集：對任意 ，有 ，則稱 是開集。（開集本身是它所有點的鄰域）
開核：（開核裡的每一點，都有一個包含於 的領域。）
閉包：。（閉包裡每一點的領域，都跟 有交集。）

2.4 閉包公理

的冪集上的一元運算（即將的子集 A 對映為的子集）稱為閉包運算（像稱為原像的閉包）。當且僅當運算滿足下述的閉包公理：

A1：；
A2：；
A3：；
A4：。

集合的閉包通常記為。

從閉包出發定義其它概念：

從閉包定義閉集：的子集是閉集，當且僅當。
從閉包定義開核：的子集的開核。
從閉包定義鄰域：的子集是點的鄰域，當且僅當。

2.5 開核公理

的冪集上的一元運算（即將的子集 A 對映為的子集）稱為開核運算（像稱為原像的開核或內部）。當且僅當運算滿足如下開核公理：

I1：；
I2：；
I3：；
I4：。

集合的開核通常記為。

（顯然，開核運算是閉包運算的對偶概念）。

從開核出發定義其它概念：

從開核定義開集：的子集是開集，當且僅當。
從開核定義鄰域：的子集是點的鄰域，當且僅當。
從開核定義閉包：的子集的閉包。

2.6 導集公理

的冪集上的一元運算（即將的子集對映為的子集）稱為導集運算（像稱為原像的導集），當且僅當滿足以下導集公理：

D1：；
D2：；
D3：；
D4：

從導集出發定義其它概念：

從導集定義閉集：的子集是閉集，當且僅當。

拓撲之間的關係

同一個全集可以擁有不同的拓撲，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲的每一個開集都是拓撲的開集時，稱拓撲比拓撲更細，或稱拓撲比拓撲更粗。

僅依賴於特定開集的存在而成立的結論，在更細的拓撲上依然成立；類似的，僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論，在更粗的拓撲上也依然成立。

最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲，最細的拓撲是離散拓撲，這兩個拓撲都是平庸的。

在有些文獻中，我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。

連續對映與同胚

類似定義拓撲空間，連續對映也有基於開集，閉集，開核，閉包和鄰域等概念的等價定義。

4.1 性質

對任何閉集的原像是閉集。
對點的任一鄰域，都存在點的一個鄰域，使得，則稱在點連續，而連續對映即點點連續的對映。
對任一集合，成立。

拓撲空間範疇

拓撲空間作為物件，連續對映作為態射，構成了拓撲空間範疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖透過不變數來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和 K - 理論。

相關概念

6.1 基本概念

給定拓撲空間，A 是 X 的子集，有以下概念（繼續使用上面的符號）：

內部，內點

A 的開核 o (A) 又稱為 A 的內部，其元素稱為 A 的內點。

外部，外點

X - c (A) 稱為 A 的外部，其元素稱為 A 的外點。

邊界，邊界點

c (A)∩c (X-A) 稱為 A 的邊界，其元素稱為 A 的邊界點。

觸點

A 的閉包 c (A) 中的點稱為 A 的觸點。

稠密性，稠密集

稱 A 在 X 中是稠密的（或稱稠密集），當且僅當 c (A) = X。

邊緣集

稱 A 是 X 的邊緣集，當且僅當 X-A 在 X 中是稠密的。

疏性，疏集

稱 A 在 X 中是疏的（或稱疏集），當且僅當 c (A) 是 X 中的邊緣集。

第一範疇集，第二範疇集

稱 A 是 X 中的第一範疇集，當且僅當 A 可以表示為可數個疏集的並。稱 A 是 X 中的第二範疇集，當且僅當 A 不是 X 中的第一範疇集。

聚點，導集

X 中的點 x 稱為 A 的聚點，當且僅當 x ∈ c (A - {x})（或者等價地，x 的任意鄰域至少包含 x 以外的 A 的一個點）。A 的所有聚點組成的集合稱為 A 的導集。

孤立點

A 中的點 x 稱為 A 的孤立點，當且僅當它不是 A 的聚點。

孤點集，離散集

稱 A 為孤點集或離散集，當且僅當 A 中所有的點都是 A 的孤立點。

自密集

稱 A 為自密集，當且僅當 A 中的點都是 A 的聚點（等價地，A 中沒有 A 的孤立點）。

完備集

稱 A 為完備集，當且僅當 A 等於其導集。

自密核

A 的最大自密子集稱為 A 的自密核。

無核集

稱 A 是無核集，當且僅當 A 的自密核是∅（或等價地，A 的任意非空子集都含有孤立點）。

6.2 網

網的目的在推廣序列及極限，網的收性稱作 Moore-Smith 收斂。其關鍵在於以有向集合代替自然數集。

空間上的一個網是從有向集合映至的對映。

若存在，使得對每個的鄰域都存在，使得，則稱網收斂至。

幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性，請參閱主條目網

拓撲空間的例子

實數集 R 構成一個拓撲空間：全體開區間構成其上的一組拓撲基，其上的拓撲就由這組基來生成。這意味著實數集 R 上的開集是一組開區間的並（開區間的數量可以是無窮多個，但進一步可以證明，所有的開集可以表示為可數個互不相交的開區間的並）。從許多方面來說，實數集都是最基本的拓撲空間，並且它也指導著我們獲得對拓撲空間的許多直觀理解；但是也存在許多 “奇怪” 的拓撲空間，它們有悖於我們從實數集獲得的直觀理解。
更一般的，n 維歐幾里得空間 Rn 構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。
任何度量空間都可構成一個拓撲空間，如果其上的開集由開球來生成。這中情況包括了許多非常有用的無窮維空間，如泛函分析領域中的 Banach 空間和希爾伯特空間。
任何區域性域都自然地擁有一個拓撲，並且這個拓撲可以擴張成為這個域上的向量空間。
除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲 — 下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成 — 空集、全集和由全體半開區間 a, b) 生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，當且僅當，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
流形都是一個拓撲空間。
每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在 0、1、2 和 3 維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
每一個單純復形都是一個拓撲空間。一個單純復形由許多單形構成。許多幾何體都可以透過單純復形 — 來建立模型，參見多胞形（Polytope）。
扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對 Rn 或者 Cn 來說，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程的解集合構成。
線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函式序列收斂於零函式。
任何集合都可以賦予離散拓撲。在離散拓撲中任何一個子集都是開集。在這種拓撲空間中，只有常數列或者網是收斂的。
任何集合都可以賦予平庸拓撲。在平庸拓撲中只有空集和全集是開集。在這種拓撲空間中，任和一個序列或者網都收斂於任何一個點。這個例子告訴我們，在某些極端情況下，一個序列或者網可能不會收斂於唯一的一個點。
有限補拓撲。設 X 是一個集合。X 的所有有限子集的補集加上空集，構成 X 上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的 T1 拓撲。
可數補拓撲。設 X 是一個集合。X 的所有可數子集的補集加上空集，構成 X 上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
如果 Γ 是一個序數，則集合 0, Γ 是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間 (a, b 生成，此處 a 和 b 是 Γ 的元素。

7.1 例子

= {1,2,3,4} 和  內兩個子集組成的集族  , X}} 會形成一個平庸拓撲。
= {1,2,3,4} 和  內六個子集組成的集族  = ,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 會形成另一個拓撲。
= （整數集合）及集族  等於所有的有限整數子集加上  自身不是一個拓撲，因為（例如）所有不包含零的有限集合的聯集是無限的，但不是  的全部，因此不在  內。
1 個元素的集上總拓撲數顯然只有 1 個。
2 個元素的集上總拓撲數顯然只有 4 個。
3 個元素的集上總拓撲數只有 29 個。
4 個元素的集上總拓撲數只有 355 個。
n 個元素的集上總拓撲數規律還在研究中，不過已取得些成果。參見 OEIS-A000798 說明

3 點集 X={a,b,c} 的拓撲總共有 29 個，可分為九類，具體如下：

{∅, X}
{∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
{∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
{∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
{∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
{∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
{∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓撲空間的構造

拓撲空間的任何一個子集都可以被賦予一個子空間拓撲，子空間拓撲中的開集是全空間上的開集和子空間的交。
對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來說，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
商拓撲可以被如下地定義出來：若 X 是一個拓撲空間，Y 是一個集合，如果 f : X → Y 是一個滿射，那麼 Y 獲得一個拓撲；該拓撲的開集可如此定義，一個集合是開的，當且僅當它的逆像也是開的。可以利用 f 自然投影確定下 X 上的等價類，從而給出拓撲空間 X 上的一個等價關係。
Vietoris 拓撲

拓撲空間的分類

依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。

以下假設 X 為一個拓撲空間。

9.1 分離公理

詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。

拓撲不可區分性

X 中兩個點 x，y 稱為拓撲不可區分的，當且僅當如下結論之一成立：

對 X 中每個開集 U，或者 U 同時包含 x，y 兩者，或者同時不包含它們。
x 的鄰域系和 y 的鄰域系相同。
，且。

9.2 可數公理

可分的

X 稱為可分的，當且僅當它擁有一個可數的稠密子集。

第一可數

X 稱為第一可數的，當且僅當其任何一個點都有一個可數的區域性基。

第二可數

X 稱為第二可數的，當且僅當其擁有一個可數的基。

9.3 連通性

連通

X 稱為連通的，當且僅當它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。

區域性連通

X 稱為區域性連通的，當且僅當它的每個點都存在一個特殊的區域性基，這個區域性基由連通集構成。

完全不連通

X 稱為完全不連通的，當且僅當不存在多於一個點的連通子集。

道路連通

X 稱為道路連通的，當且僅當其任意兩點 x 和 y，存在從 x 到 y 的道路 p，也即，存在一個連續對映 p:0,1→X，滿足 p（0）= x 且 p（1）= y。道路連通的空間總是連通的。

區域性道路連通

X 稱為區域性道路連通的，當且僅當其每個點都有一個特殊的區域性基，這個區域性基由道路連通集構成。一個區域性道路連通空間是連通的，當且僅當它是道路連通的。

單連通

X 稱為單連通的，當且僅當它是道路連通且每個連續對映都與常數對映同倫。

可縮

X 稱為可縮的，當且僅當它同倫等價到一點。

超連通

X 稱為超連通的，當且僅當任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。

極連通

X 稱為極連通的，當且僅當任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含道路連通。

平庸的

X 稱為平庸的，當且僅當其開集只有本身與空集。

9.4 緊性

（詳細資料請參照緊集）

緊性

X 稱為緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。

林德洛夫性質

X 稱為擁有林德洛夫性質，當且僅當其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。

仿緊

X 稱為仿緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有區域性有限開覆蓋的加細。

可數緊

X 稱為可數緊的，當且僅當其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。

列緊

X 稱為可數緊的，當且僅當其任意點列都包含收斂子列。

偽緊

X 稱為偽緊的，當且僅當其上的任意實值連續函式都有界。

9.5 可度量化

可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是 Urysohn 度量化定理：一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可匯出任何第二可數的流形皆可度量化。

擁有代數結構的拓撲空間

對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，並要求相關的代數運算是連續對映。例如，一個拓撲群乃是一個拓撲空間配上連續對映（群乘法）及（反元素），使之具備群結構。

同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續對映，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。

結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的區域性域（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的 Krull 拓撲（一種特別的拓撲群），以及定義形式概形所不可少的 I - 進拓撲（一種拓撲環）等等。

擁有序結構的拓撲空間

拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：

譜空間（spectral space）上的序結構。
特殊化預序：定義。常見於計算機科學。