連桿機構

連桿機構（mechanical linkage）是由許多構件組成，用來傳遞力及運動的機械結構。會假設各構件為剛體。可以用幾何學的方式分析構件的運動，構件和構件之間的連線可能是純移動、純轉動或是滑動，一般會稱為機械連線（joint）。若連桿是用剛性的構件以及理想的機械連線來模擬，會稱為是運動鏈。

連桿機構可以用開放鏈（其幾何形狀無法形成封閉曲線）、封閉鏈（其幾何形狀可形成封閉曲線）組成，也可以兩者都用。每一個構件都是透過機械連線連線到一個或是多個構件。因此運動鏈也可以繪成由邊和頂點組成的圖，其中的構件為邊，機械連線為頂點，稱為連桿圖（linkage graph）。

理想機械連線的運動會和歐氏位移群中的子群有關。子群的數量稱為是機械連線的自由度。連桿機構一般會設計將給定的輸入力以及位移轉換為想要的輸出力以及位移。輸出力和輸入力的比例稱為連桿機構的機械利益，而輸入速度和輸出速度的比例稱為速度比。理想連桿的機械利益會等於速度比。

運動鏈中若有一個構件是固定不動的，此運動鏈會稱為是機構（mechanism），若連桿機構是設計為固定不動的，會稱為是結構（structure）。

應用

槓桿應該是最簡單的連桿，槓桿的樞紐位在支點上，支點是在固定點（或地面）上。若槓桿受力旋轉，離支點較遠的點速度會比離支點較近的點要快。輸入旳功等於輸出的功，因此在離支點較遠的位置施較小的力，會等於在離支點較近的位置施較大的力。輸出力和輸入力的比例稱為機械利益。

若二個杆件分別有一端有樞紐，分別固定在固定點上，二杆件的另一端連線到同一杆件的兩端，此機構稱為四杆機構，二個有樞紐，接到固定點的桿件稱為曲柄，連線二曲柄的為結合桿（coupler）。

連桿是機器及工具中重要的零件，四連杆的例子有可以將力放大的斷線鉗、車輛中的懸吊系統、機器手臂以及行走機器人裡面的複雜連桿機構。內燃機使用滑塊 — 曲柄的四連杆，由活塞、及曲軸組成，可以將氣體膨脹及收縮產生的功轉換為旋轉的功。許多簡單的連桿可以進行複雜的功能。

歷史

阿基米德應用幾何學來研究連桿。在 1500 年代時，阿基米德及亞歷山大港的希羅的研究是機械理論的主要來源。列奧納多・達・芬奇則發明瞭許多的機器以及機構。

瓦特蒸汽機在 1700 年代中期有相當的重要性。詹姆斯・瓦特理解到若用不同的氣缸處理蒸氣的膨脹及凝結，其效率可以提昇。這讓他開始尋找可以將旋轉運動轉換為直線運動的機構，他發明的機構稱為。這開始瞭如何用連桿產生直線（或近似直線）的研究，也讓數學家詹姆斯・約瑟夫・西爾維斯特發明瞭波塞利耶 - 利普金機械，可以將旋轉運動轉換為真正的直線。

西爾維斯特的研究也影響了，他證明瞭可以在一系統中將加法及乘法結合，讓系統可以追蹤特定的代數曲線。Kempe 的設設計方式產生了電腦科學以及幾何學共同領域的研究。

1800 世紀末的、A. B. W. Kennedy、將連桿系統的分析及合成由畫法幾何來進行，而巴夫努提・列沃維奇・切比雪夫開創了研究以及發明連桿的解析技巧。

1900 年代中期的和 G. N. Sandor 用新開發的數位電腦來求解連桿的方程式，並針對特定功能的需求決定其尺寸，開始了連桿的電腦輔助設計。二十年後這些電腦技術是複雜機械繫統分析以及機器手臂控制分析中

不可或缺的一部份。

R. E. Kaufman 結合了電腦快計算多項式方式根的能力，以及圖形化介面，配合 Reuleaux 的幾何方法及，產生了 Freudenstein 技巧，並且形成了 KINSYN，是互動式連桿設計的電腦繪圖程式。

連桿的現代研究包括機器人、工具機中鉸接系統（articulated systems）的分析及設計，以及線纜驅動和張力系統的分析及設計。這些技術可以應用在生物系統中，甚至是蛋白質的研究。

可動性

由理想轉動副連線剛體連桿形成的系統，可以由一組的組態引數來定義其位置，例如在轉動副上連桿旋轉的角度，或是移動副上滑塊相對鄰近連桿的距離。由於連桿的幾何限制，只要有組態引數中的最小集，即可計算所有的組態引數。最小集即為「輸入引數」。輸入引數的個數稱為連桿系統的可動性（mobility）或自由度。

由 n 個剛體組成的系統，相對於固定架，會有 6n 個自由度。若將固定架也算在內，剛體個數 N=n+1，而可動性 M=6 (N−1)，可動性不受選擇哪一個剛體為固定架所影響。

連線剛體的連線會讓系統的自由度以及可動性減少。轉動副和移動副會增加五個限制條件，因此自由度會減 5，為了方便起見，可以將連線的限制條件數 c 用連線的自由度 f 來表示，c=6−f。若以轉動副和移動副的例子來看，其自由度為 1，f=1，因此 c=6−1=5。

因此，n 個可動連桿以及 j 的連線（其自由度分別為 fi, i=1, ..., j）的連桿系統，可動性可以計算如下

其中的 N 是包括固定桿件的數量。這稱為。

有二個重要的特例：簡單開放運動鍵（simple open chain）及簡單封閉運動鍵（simple closed chain）。

簡單開放運動鍵中包括 n 個可動件，各可動件的端點由ｊ個連線相連，其中一個連到固定桿，因此，N=j+1，可動性為

簡單封閉運動鍵中包括 n 個可動件，各可動件的端點由 n+1 個連線相連，有二個連線接到固定桿，形成一封閉迴路。此時，N=j，可動性為

簡單開放運動鍵的例子是串聯的機械手臂。機械手臂由許多連桿組成，有六個單一自由度的轉動副或移動副組成，因此係統有 6 個自由度。

簡單封閉運動鍵的例子是由二個轉動副（R）和二個移動副（S）組成的 RSSR 空間四連桿。三個連線的自由度總和為 8，因此連桿的自由度為 2

3.1 平面及球面上的運動

常見的連桿系統其運動會限制在互相平行平面上，因此這種連桿會稱為「平面連桿」。也有可能連桿系統其運動會限制在同球心的球面上，形成「球面連桿」。這二種連桿中，每一個桿件的自由度只有 3，因此每個連線的限制為 c=3−f.

可動性公式為

針對以下的特例：

平面或是球面的簡單開放運動鍵

:

平面或是球面的簡單封閉運動鍵

:

平面簡單封閉運動鍵的例子是平面的四連桿，是四連桿封閉迴路，有四個自由度為 1 的連線，因此可動性M=1.

連線

連桿機構最常見的連線是轉動副（旋轉接點，可以簡稱為 R）以及移動副（稜柱接點、滑塊，可以簡稱為 P）。其他空間連桿中常見連線都可以用轉動副及移動副的組合來表示，例如

圓柱副可以用 PR 或 RP 的串聯運動鏈表示，而轉動副的軸和移動副的軸是平行的。
萬向接頭包括 RR 的串聯運動鏈，二個轉動副的軸有 90 度的夾角。
包括 RRR 的串聯運動鏈，三個軸相交在同一點。
平面副可以用平面的 RRR、RPR、或 PPR 串聯運動鏈表示，有三個自由度。

連桿的分析及合成

分析連桿的主要數學工具是系統的動態方程式。是一連串的剛體變換，延著串聯的運動鏈，會讓浮動連桿相對固定座可以定位。可以找到一組方程式說明各連桿的位置，也滿足系統的引數。此方程式是非線性方程式，用系統的輸入引數來求得系統的所有組態引數。

Ferdinand Freudenstein 有發展一種方，用上述的方程式設計平面四連桿，來達到輸入引數以及連桿組態之間的特定關係。另一種設計平面四連桿的方式是由 Ludwig Burmester 所發明的，稱為。

平面單自由度連桿

可動性公式提供一種決定單自由度連桿的連桿數以及機械連線的方式。若需要讓平面連桿的自由度 M=1，而 fi=1，其結果為

或

由公式可知連桿數一定要是偶數，

N = 2, j = 1：這是二桿的連桿，稱為槓桿； N = 4, j = 4：這是平面四杆機構； N = 6, j = 7：這是。其中有二個連桿上面有三個機械連線，稱為三接頭桿（ternary links），依三接頭桿位置的不同，有二種組態，若二個三接頭桿是以一個機械連線相接，稱為 Watt 拓樸，，若二個三接頭桿是以一個連桿相接，稱為 Stephenson 拓樸。
N = 8, j = 10：八桿連桿有 16 種不同的拓樸
N = 10, j = 13：十桿連桿有 230 種不同的拓樸
N = 12, j = 16：十二桿連桿有 6856 種不同的拓樸。

平面四杆機構是最簡單及常見的連桿，也是單自由度系統。以下是一些平面四杆機構的例子

曲柄搖桿機構（crank-rocker），輸入桿可以整週旋轉（曲柄），輸出桿只能一定角度內的轉動（搖桿）。
雙曲柄搖桿機構（double crank），輸入桿及輸出桿都可以整週旋轉。（曲柄），輸出桿只能一定角度內的轉動（搖桿）。

旋轉對也可以變為移動對，即為曲柄滑塊機構。

圖輯