路德維希・施萊夫利

路德維希・施萊夫利（Ludwig Schläfli，）是瑞士數學家，工作包括幾何和複分析（當時稱為為函式論）。他是發展高維空間概念的重要人物，多維概念後來成為物理學的關鍵。或因他的觀念已普遍接納，很少人記得他，即使數學家亦然。

生平和事業

1.1 少年和教育

施萊夫利生命大部分時間都在瑞士。他在母親的家鄉 Graßwyl（現為塞貝格的一部分）出生，然後搬家到附近的布格多夫，父親在那裡當技工。父親希望子從父業，但施萊夫利不適合幹實活。

相對地，施萊夫利憑著數學天賦，在 1829 年得以入讀伯爾尼的一所文理中學，那時他已從 1761 年出版的 Mathematische Anfangsgründe der Analysis des Unendlichen 學微分學。在 1831 年他轉到伯爾尼學院深造；1834 年該學院成為了新的伯爾尼大學，他在那開始學習神學。

1.2 教書

1836 年畢業後，他被任命為圖恩一所中學的教師。他在那一直待到 1847 年，並於空餘時間學習數學和植物學，而且每週去伯爾尼大學一趟。

1843 年，施萊夫利的人生出現了轉機，他本來打算到柏林結識當地的數學社群，特別是知名的瑞士數學家，但想不到施泰納會到伯爾尼；他們見了面，施泰納不僅對施萊夫利的數學知識印象深刻，也對他流利的義大利語和法語感興趣。

施泰納建議讓施萊夫利當他和他的柏林同事卡爾・雅可比、約翰・彼得・古斯塔夫・勒熱納・狄利克雷和在下一次義大利之旅的翻譯。施泰納如下向他的朋友提議，顯示出施萊夫利對日常事務比較笨拙：

... während er den Berliner Freunden den neugeworbenen Reisegefaehrten durch die Worte anpreis, der sei ein ländlicher Mathematiker bei Bern, für die Welt ein Esel, aber Sprachen lerne er wie ein Kinderspiel, den wollten sie als Dolmetscher mit sich nehmen. ADB

譯文：

…… 那時候他（施泰納）向他的柏林朋友們稱頌這個新結識的旅伴，說他（施萊夫利）是一名鄉下的數學家，在伯爾尼附近工作，像驢一樣對世界（一竅不通、不太實際），但他學語言如玩探囊取物，他們應把他帶在身邊當翻譯。

施萊夫利伴隨他們到義大利，旅程中收穫頗豐；他們待了超過六個月，施萊夫利在這段時間還把其他人的數學著作翻譯為義大利文。

1.3 後期

施萊夫利和施泰納一直到 1856 年都持續有書信往來，他受擺在前面的機會鼓勵，在 1847 年向伯爾尼大學申請職位成功。他在那一直待到 1891 年退休，在餘下的時間學習梵文，翻譯印度教典籍梨俱吠陀為德文，直到 1895 年他在伯爾尼逝世。

高維空間

施萊夫利是多維幾何的奠基者之一，另兩位是凱萊及黎曼。大約在 1850 年時，歐幾裡得空間的一般概念尚未發展完全，但是多元線性方程已被清楚認識。在 1840 年左右，哈密頓發現了四元數，John Thomas Graves 與凱萊則發現了八元數，這兩個系統分別由四個元素及八個元素組成，提供了三維空間笛卡兒坐標系一個新的詮釋。

在 1850 年至 1852 年間，施萊夫利正著力於他的鉅著「Theorie der vielfachen Kontinuität（多重連續體理論）」，開始了多維空間線性幾何的研究，他同時也定義了多維球且計算了其體積。施萊夫利將手稿寄至維也納的 Akademie 想將其付梓，但因份量過多而被拒絕，他又把稿件寄至柏林，也因同樣理由被拒；在經過一段官僚導致的停滯後，施萊夫利於 1854 年被要求寫一個較短的版本，但可想而知地他拒絕了。施泰納嘗試幫施萊夫利將結果發表在 Crelle's journal，卻也沒有成功，確切的原因不明。1860 年，部分成果被凱萊以英文發表；1901 年，全部手稿在施萊夫利死後第一次出版，Pieter Hendrik Schoute 隨後在 1904 年於數學期刊 Nieuw Archief voor de Wiskunde 寫下了評論。

而在 1854 年，黎曼舉辦了他的著名資格演講「Habilitationsvortrag Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen（論作為幾何基礎的假設）」，引入了多維流形的概念，高維空間的概念也開始蓬勃發展。

以下節錄自「Theorie der vielfachen Kontinuität（多重連續體理論）」的序：

Anzeige einer Abhandlung über die Theorie der vielfachen Kontinuität

Die Abhandlung, die ich hier der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften vorzulegen die Ehre habe, enthält einen Versuch, einen neuen Zweig der Analysis zu begründen und zu bearbeiten, welcher, gleichsam eine analytische Geometrie von Dimensionen, diejenigen der Ebene und des Raumes als spezielle Fälle fuer in sich enthielte. Ich nenne denselben Theorie der vielfachen Kontinuität überhaupt in demselben Sinne, wie man zum Beispiel die Geometrie des Raumes eine Theorie der dreifachen Kontinuität nennen kann. Wie in dieser eine Gruppe von Werten der drei Koordinaten einen Punkt bestimmt, so soll in jener eine Gruppe gegebener Werte der Variabeln eine Lösung bestimmen. Ich gebrauche diesen Ausdruck, weil man bei einer oder mehreren Gleichungen mit vielen Variabeln jede genügende Gruppe von Werten auch so nennt; das Ungewöhnliche der Benennung liegt nur darin, daß ich sie auch noch beibehalte, wenn gar keine Gleichung zwischen den Variabeln gegeben ist. In diesem Falle nenne ich die Gesamtheit aller Lösungen die -fache Totalität; sind hingegen Gleichungen gegeben, so heißt bzw. die Gesamtheit ihrer Lösungen -faches, -faches, -faches, ... Kontinuum. Aus der Vorstellung der allseitigen Kontinuität der in einer Totalität enthaltenen Lösungen entwickelt sich diejenige der Unabhängigkeit ihrer gegenseitigen Lage von dem System der gebrauchten Variabeln, insofern durch Transformation neue Variabeln an ihre Stelle treten können. Diese Unabhängigkeit spricht sich aus in der Unveränderlichkeit dessen, was ich den Abstand zweier gegebener Lösungen , nenne und im einfachsten Fall durch

definiere, indem ich gleichzeitig das System der Variabeln ein orthogonales heiße, ...

我們可以看到施萊夫利仍然將多維空間裡的點看成是線性方程的解，以及他是如何考慮一個沒有任何方程的系統，以現在的說法就是隻看所有在的點。他在 1850 及 1860 年間裡發表的文章裡宣傳這個概念，這個概念很快地成熟茁壯起來；在 1867 年他以「我們考慮 n 元組點組成的空間...」做為文章的開頭，表示他已有了深刻的理解，而讀者也不再需要冗長的解釋。