"形状の合成又は解析方法であって、a次式を解くようにプログラムされたコンピュータツールボックスを提供することと、ここで、b前記式を用いて、形状の合成又は解析を行うために、コンピュータツールボックスを用いることと、を含んでいる方法。更に、項の間の線形補間と共に、前記式を用いて、形状を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項1に記載の方法。更に、前記式を用いて、k型の曲線を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項1に記載の方法。更に、前記式を用いて、k型の面を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項1に記載の方法。更に、データベース内のデータをクラスタリングすることと、前記式を用いて、前記クラスタリングしたデータのデータマイニングを行うために、コンピュータツールボックスを用いることと、を含んでいる、請求項1に記載の方法。更に、前記式を利用する計算を行うために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項1に記載の方法。前記計算が、メッシュフリーモデリングを含んでいる、請求項6に記載の方法。前記計算が、製品の最適設計を含んでいる、請求項6に記載の方法。形状の合成又は解析を行うためのコンピュータツールボックスであって、a次の式を解くようにプログラムされたコンピュータと、ここで、b前記コンピュータが、前記式を用いて、形状の合成又は解析を行うように構成されていることと、を含んでいるコンピュータツールボックス。更に、項の間の線形補間と共に、前記式を用いて、形状を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項1に記載のコンピュータツールボックス。更に、前記式を用いて、k型の曲線を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項1に記載のコンピュータツールボックス。更に、前記式を用いて、k型の面を合成するために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項1に記載のコンピュータツールボックス。更に、データベース内のデータをクラスタリングすることと、前記式を用いて、前記クラスタリングしたデータのデータマイニングを行うために、コンピュータツールボックスを用いることと、を含んでいる、請求項1に記載のコンピュータツールボックス。更に、前記式を利用する計算を行うために、コンピュータツールボックスを用いることを含んでいる、請求項1に記載のコンピュータツールボックス。前記計算が、メッシュフリーモデリングを含んでいる、請求項6に記載のコンピュータツールボックス。前記計算が、製品の最適設計を含んでいる、請求項6に記載のコンピュータツールボックス。本発明は、多くの異なる形態で具現化されるが、本開示内容は、本発明の原理の例を提供するものとみなされ、このような例は、本明細書内で説明され、例示される好ましい実施形態に、本発明を限定するものではないと理解しながら、複数の実施例が本明細書で説明されている。1.普遍的自然形状:全ての幾何化に向けてGielis曲線、面及び部分多様体は、Lame曲線の一般化である。それらは、科学2,3,4及び技術5,6,7,8で多様な用途を備えた大量の自然形状1の独自の統一的記述を可能にする。これらの曲線及び面は、細胞、結晶、星雲、DNA分子及び花と同様の多様な形状を効率的にモデル化し、従って、それらは、普遍的自然形状9,10と呼ばれる。ここで、われわれは、単なる記述を越えて、これらの曲線、面及び部分多様体をどのように用いて、周囲の空間からの張力を最小化する物理的部分多様体として、自然形状を幾何学的に理解できるかを説明する。それらは、最も自然なEuclidean曲線及び面となることがわかっている。これは、本質的に一定の異方性平均曲率面11の発生によって示される。更に、これらの変換は、論理的デカルト曲面のメッシュ12に基づいて、又は準Fourier法13を用いて、偏微分方程式を解くための一般的計算法の開発を可能にする。2D及び3D内の任意の通常の極領域上でPDEを解くために、Fourier級数を用いることは、一般化Fourier級数及びk型の曲線を含むように、本明細書では拡張され、それによって、Lame及びFourier14の研究を組合せ、科学及び技術の全ての領域に適用可能にする。2.普遍的自然形状:自然の物体及び現象の統一的記述、及びこの記述の元となる対称性の定義が、幾何学の最終的目標である。対称性-μετριαの比例平均又は正しい均衡、及びσνμμετρεωは、物体を整合させる故意の行為であり、幾何学の基本を構成している。Gielis変換は、関数fθ式1及び関連の曲線、面及び部分多様体1,9上で操作する。それらは、植物の細胞、幹及び花、ヒトデ、結晶及び星雲と同じように多様な形状1を記述する独自の統一的方法を提供する。これらは全て、円錐断面の一つのステップの変換として、整合させることができる。式1普遍的自然形状の概念は、Gielis曲線ρθcosθ,ρθsinθ又は面超形状ρ1θcosθρ2φcosφ,ρ1θsinθρ2φcosφ,ρ2φsinφに到達するために、Lame曲線15式2-6、超楕円又はGielis変換による超楕円体の式上で行われる変形は、PythagorasのMinkowskian定理の変形と基本的に同様であるという事実によって動機付けされている。それらは、物理的に関連したFriedman-Lemaitre-Robertson-WalkerFLRW時空間モデル9,10のメトリクスをもたらす。自然の幾何化の発展において、長さ指標としての超楕円及び超形状に基づく、接線、接空間、及び曲率の研究は、Minkowski16及びRiemann-Finsler17の幾何学内の全ての曲率の幾何学的意味と、このようにモデル化される自然の過程9,18を明らかにできる。Berger19は、現在の幾何学モデルは、非常に多様であっても、様々な基本的な問題に答えることはできない例えば、生物の可能な全ての構成の中で、その経時的な軌跡生涯を記述する。と述べた。幾何学20内からの動機付けされた異方性を備えた、このような幾何学の発展は、それらを生成する力の性質とは無関係な、自然形状及びそれらの発展の幾何学的理論9,21の基盤に基本的に相当する。タンパク質から相対論的宇宙それ自体まで、自然の中で観察される形状を概ね決定する自然の原理の記述は、含まれる物理的部分多様体10の内因性及び外因性の曲率の項、及び内因性及び外因性の曲率の間の避けられない不均衡の中で行われる。このような幾何的に自然な曲率条件は、それらの最も簡単な形態では、平均曲率Hによって表される外因的曲率均一な表面張力を表している、又はEuclidean3D空間内の面Mに対するGauss曲率Kによって表される、内因的曲率等の曲率の不変性に関係し、従って、それらは、基本的対称性又は古典的変分最適9の実現例である。Eulerの不等式K≦H2は、二つの主要な曲率の幾何平均及び算術平均の二乗の間の古典的関係である。実際、Lame曲線は、全ての四つの円錐断面22式3-6を含んでいる。超楕円式2は、円及び楕円の一般化、及び冪関数であり、冪法則23,24は単に、放物線及び双曲線の一般化である。超楕円及び超円式2でA=Bの場合は、固定指数xn及びymまで上昇させた変数の算術平均に関連した加算を用いるが、冪法則は、乗算を用いるxnym=一定、又はx=ym/n。従って、自然は、領域及び円錐断面の応用理論の拡張として、純粋な数の幾何学的平均及び算術平均の間の不均衡に基づいて研究される。式2~6Lame及びGielis曲線及び超曲面は、緩やかな異方性を導入し、Euclidean幾何学の最も自然な曲線及び面25と呼ばれている。真の幾何学的観点から、自然科学の広範囲の形状は、このむしろ普遍的な方法で全て生成され、1一部のEuclidean幾何学的原理を課し、2これらの幾何学的原理から生じる形状に、一部のGielis変換ρθを加える25。これは、形状がどのように発展し成長するか、及びそれらが周囲空間内にどのように組み込まれているか、の正確な幾何学的意味を与える。二つの既知の例である円及び螺旋は、応力を取り扱う幾何学的原理によって特徴付けられる。自然形状及びそれらの発展の研究では、周囲空間によって形状の上に誘導される、応力を取り扱う二つの反対の方法がある10。第一の戦略は、流れに従うことである。ここでは、位置及び曲率ベクトルは平行であり、円が関連形状である。第二の戦略は、二つのベクトルが直交している張力と完全に対抗することであり、対数螺旋が、関連形状である心射方位の成長に関連している。Gielis変換を円及び螺旋に適用することは、ρθcosθ,ρθsinθで、各々fθ=一定、及びfθ=ekθk=一定の場合をもたらす。自然は我々に、非常に簡単なものから始まり無限に、最も美しくすばらしい形状及び形態が、どのように発展していくかの無限の例を提供する。3.一定の異方性の平均曲率面は、非平衡条件の平衡形状である。一定の平均曲率HH=0の場合は、平面及び懸垂面、H≠0の場合は、球、円柱、アンデュロイド及びノドイドのDelaunayの回転面は、変分最適の他の実現であり、様々な海洋生物の平衡形状26として役立つ。これらの形状は、できるだけ効率的に、常に表面張力を最小化している、Plateau問題、シャボン玉、及び極小曲面27に密に関連している。近年、一定の異方性の平均曲率CAMC面、懸垂面の異方性類似体及びDelaunay面28が、Wulff形状の例として、二つの平面のGielis曲線の球状生成物として定義される、Gielis面11を用いて研究された。Wulff形状は、固定体積のエネルギの最小解であることを意味する異方性エネルギの球11である。超懸垂面は、その十分に小さな要素が、同じ境界を備えている全ての面内で、Wulff形状によって定義された異方性エネルギを最小化する特性を備えている。アンデュロイド及びノドイドの十分に小さな要素は、同じ境界を備え、同じ三次元体積を取り囲んでいる全ての面内で、異方性エネルギを最小化する。物理的観点から、超懸垂面は、例えば、分子対称性の基となるものを考慮している最小面である。六角形の超懸垂面は、プリズム状、柱状又は蓋付きの柱状の雪片29内で観察される。石鹸膜内の懸垂面が、等方性エネルギの応力を完全に最小化するように、超懸垂面では、異方性エネルギによって定義される応力も局所的に最小化される。それから、超懸垂面は、雪片及びそれらの成長体用の平衡形状を提供する。非球状のD’ArcyThompsonの元の式は、定数Hを備えた面を既に一般化していた。彼は、重み係数として、面上で直交する張力T1,2を備えた二つの主曲率κ1とκ2の間の重み付き算術平均26,29を用いた。同じ異方性成長は、植物30,31,32でも近年明らかになっている。参考として、図2は、同じ境界11を備えた全ての面内でm,n1,n2,n3,M,M1,M2,M3=4;40;40;40;4;40;40;40である立方体によって定義された異方性エネルギを最小化する例示的な超懸垂面右側を示している上の参考文献11の文章を参照のこと。4.形状の直接記述用の一般化Fourier級数Gielis曲線及び面は現在、極めてコンパクトな方法で、自然形状及び17世紀のようにそれらの軌跡だけでなくの均一な記述を可能にしている。これは従来、無限級数を用いなければ対処できない問題であった。この点では、科学的な発展の二つの別個のラインを考慮することは有用である。最も重要なラインは、等方性に着目し、基本曲線として直線と円を用いて形状を記述しており、最も有名な代表的人物としてEuclid、Archimedes、Ptolomy、Newton、及びFourierが挙げられる。第二のラインは、独自の直接的記述に着目し、それによって、広範囲の形状が、均一な記述に従う。これは、円錐断面に関連付けられることが非常に多い。直接記述のこのラインでは、Apollonius、Kepler、Galilei、Lame及びMinkowskiの名前が関係している。自然形状を円錐断面に関連付けるGielis変換も、同様にこのラインに属している。それから、自然についての我々の理解の進歩は、このような均一性の一般化、及びGalilei及びKeplerが各々、円錐断面として発射体の軌跡及び惑星の軌道を記述したように、円を用いた計算方法に基づく、万有引力の法則への記述の統一化から生じている。Newtonの主なステップは実際、Oresme-Kepler-Huygens-Newtonの伝統の頂点である円を用いて、任意の平面の曲線の曲率を決定することであった。間接表現と直接表現のこの継続的な弁証法的処理は、有限論争と無限論争である。一例は、Chenの有限型の曲線33に対して、閉輪郭及び波形の記述用に科学技術で広く用いられるFourier級数に見られる。部分多様体理論では、k型の部分多様体は、最小部分多様体と同様の重要な種類を含んでいる。面内では、純粋に幾何科学的観点から、有限Fourier級数で表現される一つのそして一つのみの閉曲線があり、それは円自体である33,34。円は、有限型の、つまり1型1Tの平面上の唯一の閉曲線であるが、任意の他の曲線は必ず、無限型∞TのFourier展開を備えている。Fourier級数は、Euclidean円とその関連の三角関数を備えた等方性に基づいており、別の解釈では、楕円を含む、円以外の全ての曲線は、等しく複雑であり、いったんそれらのFourier展開が始まると、それは決して停止しない。Lame-Gielis曲線が、一般化Fourier級数内の単位円として用いられる場合、つまり、従来のFourier級数の任意の項上で、Gielis変換が作用可能な場合、任意のGielis曲線は、一つの項で直接的に符号化される。それらの展開は、いったん開始すると、即座に停止する。円を含む、全てのGielis曲線は、等しく簡単である。これは、それらが一つの式内で符号化され、少数のパラメータ内のみの円とは異なっていることに対応している。同様に、面一例として、ヒトデ、ピラミッド、円錐、花及び図3の非常に複雑な形状は、少数のパラメータ内のみの球とは異なっているので、これは球面調和関数に拡張できる。これは更に、整数kを備えたk型の構築曲線及び面用の開始点として用いられ、それら自体の座標系について、標準スペクトル分解の概念そのものをもたらす。符号化情報の観点から、形状の集まりの複雑さは劇的に低減される。図3は、非常に奇妙なストレンジアトラクタに似ている、全ての超形状、更に非常に複雑な形状の情報内容は、単一の式内に少数の数字と共に格納されることを示している。5.独自の有理科学物理的部分多様体の研究のために、幾何学的観点から、Laplacianは、平均曲率Hに直接関連付けられ、それは、形状が周囲空間から受け取る表面張力の測度38である。E3内の面M2の場合、平均曲率Hは、Beltramiの式Δνベクトル=-2Hベクトルに現れ、ここでνベクトルは、E3内のM2の位置ベクトル場であり、ΔはM2のLaplace演算子であり、Hベクトルは、E3内のM2の平均曲率ベクトルである。基本的に、k型の理論では、弧の長さに対する曲線のFourier展開は、そのLaplacianに対する曲線のスペクトル分解33にすぎない。抽象的形状及び自然形状の広範囲の統一化についての記述形態を越えて、現在の論文では、従って、代数学、解析学及び幾何学を組合せ、前者の二つは数学の基盤を提供し、後者はその核39となっている。この方法は、どちらもパリのEcolePolytechniqueの教授である、GabrielLame1795-1870とJosephFourier1768-1830の19世紀の最初の二十年からの概念と洞察を組み合わせている。1817年には、GabrielLameは、結晶学のモデルとして、超楕円式2でA=B及びn=1を提案している彼の素晴らしい書籍15を出版した。数理物理学の彼の以降の研究では、Lameは、数学的観点から、物理系を研究することは、所定の物理的状態を表す曲線座標系の研究になると予想していた。従って、曲線座標系の数学的世界は、物理系4の世界のモデルと見なされる。曲線座標系の適切なシステムに適応させた、物理的問題を研究するためには、適切な境界条件を備えた、曲線座標系内のPoisson方程式という、一つの式だけを解く必要があり、他の方程式及び法則は、特別な場合4に限定される。この解は現在では、Fourier法を用いて得られる。更に、Gielis曲線及び面は、Lameの独自の有理科学又は数理物理学を連想させる研究の下での系に適応させた、自然の曲線座標系を保持している。この独自の有理科学、普遍的自然形状及び形態形成の幾何学的理論は全て、世界の幾何学的状況を提供する同じラインに沿って共鳴している。幾何学的方法では、n立方体の体積内の保存則を表している一般化ピタゴラスの定理は、自然形状、物体及び現象を整合可能につまり対称にする。その形状に適応させた座標系の導入は、形状、大きなもの、小さなもの、及びその間の大部分の記述及び理解の両方を提供し、冪法則は、それらが成長及び発展可能な枠組みを提供する。更に、Lameが適用した同じ方法、ただし、つまり、代数方程式内の指数の調整を行い、確率分布を一般化できる。Gielis変換は、幾何学及び一般に科学内に十分に組み込まれ、我々の最新の経験は、自然では、数学的な単純さの理想が実現されるという感覚を確実にさせるというEinsteinの意見40と十分に共鳴している。6.計算方法等方性に基づく計算方法の概念に対する均一で直接的な記述の考えから戻って、Gielis変換は、境界値問題の解に対してFourier法を拡張するドアを開いた。二次元及び三次元の通常の極領域のほとんど全ては、Gielis曲線及び面によって記述され又は必要に応じて正確に少なくとも近似され、準Fourier法12,13,14,35,36を用いて、Dirichlet、Neumann又はRobin型の境界条件を備えた熱、波動、Laplace方程式、Poisson方程式、Helmholtz方程式を含むLaplacianを包含する偏微分方程式を解くための拡大極座標を用いて技術が発展した。単一の簡単な形状のこの方法の拡張として、我々は、本出願に固有のつまり、上記の‘527特許内に記述されたものを超える形状の例として、k型のGielis領域のLaplace方程式用に、内部及び外部Dirichlet問題の解析的な解を提示する。図4に示した3型のGielis曲線は、三つの項の合計であり、その項は各々、Gielis曲線1内に刻み込まれるバラ又はGrandi曲線26である。バラ曲線内では、花弁は、数字が奇数か偶数かに依存する。絶対値の使用はこれを避け、花弁の数が2mであるので、式1ではm/4の代わりに、m/2が用いられる。指数ni=2は、Euclidean円を生成するので、最初の項は、等方性空間内の三弁の花である。第二及び第三項は、指数n=1を備えた各々正方形及び五角形内に記される四弁及び五弁の花である。図4を参照すると、その図は、次式のk=3の例示的なk型のGielis曲線を示している。ここで、我々は、準Fourier技術図5A~Cを用いて、Laplace方程式用のDirichlet問題を解く。拡張極座標系内のLaplacianの技術、理論及び証明の全説明は、普遍的自然形状用の補足資料...以降のセクション8に見出される。正確さと収束速度についての技術性能を評価するために、相対的境界誤差は、式7を用いて評価され、ここで∥∥は、通常のL2ノルムを示し、UNは、Laplace方程式用のDirichlet問題の解を表すFourier的級数展開に関連した次数Nの部分和であり、Fは境界値を記述する関数である。式7この方法では、古典的なものと同様の特性を示す解の非常に正確な近似が得られる。正確な解とその近似値の間の違いであるL2ノルムは、通常小さい。解の点別収束特性は、LennartCarlesonによる級数展開上での理論的結果とよく一致しているようであるが、境界のカスプ及び準カスプ特異点によって形成される一組の測度ゼロだけが例外である。図5A~5Cを参照すると、図5Aは、図4で説明した領域のLaplace方程式用のDirichlet問題で、fx,y=xcosyが境界データを記述している場合の解を表す、次数N=7の部分和UNの空間分布を示しており、図5Bは、拡張次数N=7の部分和UNl,φの角度方向の挙動を示し、図5Cは、N=7の相対的境界誤差eNを示している。従って、任意のこのような領域用の閉じた形態の解を与える一つの一般的で一貫した方法は、有限差分及び有限要素の煩雑な計算方法を避ける様々な方法最小二乗法技術によるGreenの関数近似、等角写像又は反復法による境界積分方程式の解等の代わりとなる。Riemann面12等の多値関数又は自己交差有理Gielis曲線37に対しても、平面及び立体内の、広範囲の古典的微分問題の閉じた形態の解が可能である。前記方法は、Fourier記述子を用いて記述される形状に容易に拡張され、生物学の非常に複雑な形状を記述するために広く用いられる方法である。7.計算ツールボックスの構築上記の新しい計算方法ではN=7の場合解に向かって素早く収束することが観察されるが、古典的Fourier解析の古典的欠点がなお存在し、精度を増大させる必要がある場合、Gibbs現象が最も顕著になる。これは、記述内だけでなく、一般化Fourier解析内で座標関数を直接用いることによって避けられる。例えば、鋭い不連続性を備えた超波形を示している図6の例示的信号は、単一のステップk=1内の式1によって記述され、鋭い不連続性は、形状の記述に直接組み込まれている。一つだけ又は限られた数の項kは一般に小さいを用いることによって、Gibbs現象が避けられる。これは、円ではなく、凸又は凹形状に基づいて、連続的ではあるが滑らかではない曲線内に微分可能性及び曲率を導入できる。より一般的な方法では、多様体自体上及びその接空間内の両方で、境界が隅又は円錐状の特異点を備えている多様体の研究を可能にし、それによって、離散と連続の橋渡しを行う。この方法は、鋭い隅を備えた複合形状にも適用できる。これまで、このような形状は、多様体とみなすことはできなかった。この方式は、より低次、高次又は混合次元の偏微分方程式、球面調和関数及び例えば、ウェーブレットを含む他の変換L2の代わりのLP等にまで及ぶことは明らかである。とりわけ、本明細書の実施形態は、半導体物理、流体力学、電磁気学、通信、量子論、信号解析、化学、生物学、経済学及び会計等の、様々な用途及び実施形態に適用できる。好ましくは、この新しく非常に一般的な方法は、例えば、直接的な方法で、最も広い意味で、形状及び/又はそれらの展開の記述及び/又は計算を行う等の、本発明の方法を実行するように構成したソフトウェアを実行するように構成されるプログラムコンピュータ等のコンピュータツールボックスの構成を可能にする。いくつかの実施形態によると、例えば、形状等の合成及び/又は解析の目的のために、本明細書で説明される新しい数学的原理に基づいて、一つ以上の演算関数を提供するように構成される処理ツールつまり、本明細書ではツールボックスと呼ばれるを生成するように構成したソフトウェア、ハードウェア及び/又はファームウェアを備えたコンピュータ又は他の処理装置をプログラムすることを含むシステム及び/又は方法が提供される。好ましい実施形態では、このようなツールボックスは、例えば、本明細書で述べられた処理を行うようにプログラムされたコンピュータを用いる等、コンピュータを介して実装される。一例として、いくつかの実施形態では、コンピュータは、以降で述べられ、図7に示されている機能を含むことができる。特に、以降の図面に示されているように、例示的コンピュータ又は制御ユニットを用いて、例えば、コンピュータデスクトップコンピュータ、ラップトップコンピュータ、携帯情報端末、サーバコンピュータ、及び/又は任意の他の現在又は近未来のコンピュータ装置等の装置によって実行されるコンピュータ化された処理ステップを実装できる。いくつかの実施形態では、コンピュータ又は制御ユニットは、中央処理ユニットCPU322を含み、CPU322は、バス326を介して、一組の入出力I/O装置324と通信できる。I/O装置324は、例えば、キーボード、モニタ、及び/又は他の装置を含むことができる。CPU322は、バス326を介して、コンピュータ読み取り可能な媒体328例えば、既存の揮発性又は不揮発性データ格納装置これ以降はメモリ328と通信できる。CPU322、I/O装置324、バス326、及びメモリ328の間のやり取りは、既知のものと同様であってもよい。メモリ328は、例えば、データ330を含むことができる。メモリ328は、ソフトウェア338を格納することもできる。ソフトウェア338は、処理ステップを実装するための複数のモジュール340を含むことができる。既存のプログラミング技術を用いて、これらのモジュールを実装することができる。メモリ328は、上記の及び/又は他のデータファイルを格納することもできる。いくつかの実施形態では、本明細書内で説明した様々な方法は、コンピュータシステムと共に用いるためのコンピュータプログラム製品を介して実装される。本実装は、例えば、コンピュータ読み取り可能な媒体例えば、ディスク、CD-ROM、ROM等上に固定されるか、又はモデム等のインタフェース装置を介して、コンピュータシステムに送信可能な、一連のコンピュータ命令を含んでいてもよい。通信媒体は、実質的に有形例えば、通信ラインであっても、及び/又は実質的に無形例えば、マイクロ波、光、赤外線等を用いる無線媒体であってもよい。コンピュータ命令は、様々なプログラミング言語内に書き込むことも、及び/又は半導体装置例えば、チップ又は回路、磁気装置、光学装置、及び/又は他のメモリ装置等のメモリ装置内に格納することもできる。様々な実施形態では、送信は、任意の適切な通信技術を用いてもよい。8.普遍的自然形状用の補足資料:Gielis領域内のLaplace方程式のDirichlet問題Gielis領域内のLaplace方程式用の内部及び外部Dirichlet問題は、適切なFourier的技術[例えば、以降の参考1を参照]を用いることによって解析的に対処される。コンピュータ代数システムMathematica商標に基づく専用の数値的手続が、提案された方式を検証するために開発されている。この方法では、古典的なものと同様の性質を特徴付ける解の高精度の近似が得られる。計算結果は、L.Carlesonによって提示されたFourier級数展開上での理論的結果とよく一致していることが見出されている[例えば、下記の参考3参照]。a.拡張された極座標内のLaplacianx、y平面内で通常の極座標系式1.1及び∂Dの極方程式式1.2を考る。ここで、Rθは[0,2π]内のC2関数である。我々は、領域Dが次式を満足し、式1.3従って、mR=minθ∈[0,2π]Rθ>0と仮定する。更に、MR=maxθ∈[0,2π]<1を仮定する。我々は、次式のように、拡張半径σ以降ではρとしても示されるを導入し、式1.4x、y面内の以降の曲線座標系σ、θは、次式となる。式1.5従って、Dは、不等式0≦θ≦2π、0≦σ≦1によって記述される。我々は、C2D関数νx,y=νρcosθ,ρsinθ=uρ,θ及び極座標系内のLaplace演算子を考える。式1.6新しい拡張座標系σ、θでこの演算子を表そう。次式を設定すると、式1.7次式が容易に見出される。式1.8式1.9式1.10式1.11従って、式1.6内で式1.8~式1.11を置換すると、次式が得られる。式1.12σ=ρ、Rθ≡1の場合、通常の極座標系内のLaplacianが復元される。b.Laplace方程式用のDirichlet問題星状領域D内のLaplace方程式用の内部Dirichlet問題を考えると、その境界は、極方程式ρ=Rθによって記述される。式2.1次の理論を証明する。理論2.1式2.2ここで、式2.3は、Neumann符号である。それから、Laplace方程式の式2.1用の内部境界値問題は、古典的解を許容し、式2.4次のFourier的級数展開は、次式を保持する。式2.5式2.5内の係数Am、Bmは、次の無限線形システムを解くことによって決定される。式2.6ここで、式2.7式2.8ここで、m,n∈N0。証明-x、y面内の拡張座標系内で、領域Dは、単位円に変換され、通常の固有関数法例えば、以下の参考2参照及び変数ρ、θに対して変数分離を用いて、式2.1を解くことができる。結果として、その問題の基本解は、次の形態で探索できる。式2.9Laplace方程式に置換すると、関数P、Θは、次の常微分方程式を各々満足しなければならないことが容易に分かる。式2.10式2.11パラメータμは、分離定数であり、その選択は、面内の任意の固定点において、スカラ場uρ,θが、単一値でなければならないという物理的要件によって決定される。従って、次式を設定することによって、式2.12次式がわかる。式2.13ここで、am,bm∈Rは、任意定数を示している。式2.11を満足する動径関数Pは、次式のように容易に表現できる。式2.14通常、解の有界性のために、dm=0と仮定しなければならない。従って、内部Dirichlet問題式2.1の一般解は、次式の形態で探索できる。式2.15最終的に、次式の境界条件を課し、式2.16Fourierの射影法を用いると、式2.6~式2.8は容易に分かる。意見1-式2.2によって与えられる境界値Fθを備えた単位円上のLaplace方程式用の関連の内部Dirichlet問題を考える。このような問題の解は、次式のように容易に表される。式2.17最大原理のおかげで、仮定0<mR≦Rθ≦MR<1は、問題式2.1の解が、式2.17によって支配されることを意味する。従って、式2.18演算子の線形性を用いることによって、次式が分かる。式2.19ここで、m∈N0。Lebesgueの理論によって、m→∞のとき、Fourier係数αm、βmはゼロに向かい、ゼロへの収束レベルは、境界値Fθの滑らかさと共に増大する。Rθは有界であるので、不等式式2.19に従って、係数Am、Bmも無限小である。これは、システム式2.6によって定義されるベクトル演算子がコンパクトであることを意味する。実際、我々は、この演算子を二つの部分の合計に分割でき、前者は、有限次元になり、後者は、必要に応じて小さい最大又はL2ノルムを特徴付ける。同様に、式2.21の無限においてゼロ条件に従う外部Dirichlet問題式2.20に対処できる。式2.20式2.21特に、次の理論が容易に証明される。理論2.2-前の理論の仮定の下で、Laplace方程式式2.20~式2.21用の外部境界値問題は、次の古典的な解を許容し、式2.22以降のFourier的級数展開は、次式を保持する。式2.23式2.23内の係数Am、Bmは、次式の有限線形システムの解である。式2.24ここで、式2.25式2.26ここで、m,n∈N。意見2-なお、上記の式は、関数Rθが区分的連続関数であり、境界データが、二乗可積分関数によって記述され、必ずしも連続ではなく、式2.3内の関連のFourier係数αm、βmが有限量であるという仮定の下でなお保持している。c.数値例開発された方法は、その境界が、一般的なk型のGielis曲線によって記述されている二次元領域D内の微分問題の解に容易に適用できる。式3.1ここで、式3.2は、滑らかな関数γθによって調整される通常のGielis極方程式を示している。一例として、理論2.1を用いることによって、Laplace方程式用の内部Dirichlet問題は、境界値が、fx,y=xcosyによって与えられる仮定の下で、次数k=3のk型のGielis領域内で解かれている。式3.3d.参考文献次の別の背景の参考文献は、全体として参照によって本明細書に組み込まれる。[参考文献1]P.Natalini,R.Patrizi,P.E.Ricci,TheDirichletproblemfortheLaplaceequationinastarlikedomainofaRiemannsurface.Numer.Algor.,492008,299-313.[参考文献2]G.P.Tolstov,Fourierseries,Transl.fromRussianbyR.A.Silverman,DoverPubl.Inc.,NewYork,1962.[参考文献3]L.Carleson,OnconvergenceandgrowthofpartialsumsofFourierseries.ActaMath.,1161966,135-157.[参考文献4]F.Riesz,Lessystemesd’ ́equationslin ́eairesauneinfinit ́ed’inconnues,GauthierVillars,Paris,1952.9.新規な調整型Gielis公式好ましい実施形態によると、次の新しい一般式が、例えば、本明細書内で記述されるコンピュータツールボックス等の、コンピュータ装置内に実質的に好ましい用途及び実装を備えるように示される。ここで、式1いくつかの例では、パラメータは、同じ重心又は平行移動を備えていることを意味せず、面又は空間内の他の場所にあることを意味するオフセットを含むことができる。参考のために、この新しい式は、セクション8式3.1で議論され、下の式は、上のセクション2つまり、式1及びセクション8つまり、式3.2で議論された。この式は、上で議論した‘527特許内で説明したものを超える実質的な利点をもたらす。更に、この式は、本明細書内で説明される一般化Fourier級数、及びk型曲線を含む好ましい特別な場合も備えている。とりわけ、この新しい式では、例えば、任意の所望の精度レベルで任意の平面の曲線又は面を記述できる。この新しい式は、滑らかな関数γθによって調整される新規な調整型Gielis公式を提供する。式1は、次の一般的形態の部分和である。式3非常に顕著に、この新しい調整型Gielis公式は、任意の所望の精度で、任意の曲線の非常に正確な記述を可能にする。この理由は、Fourier級数式4が三角関数を用い、古典的Gielis部が定数に等しく、半径an又はbnを備えた円又は等方性空間を表している式の特別な場合であるためである。一般的な場合、これらの定数は関数である。Fourier級数の点別の収束特性は、境界のカスプ及び準カスプ特異点によって形成されるゼロ測度の組を除いて、LennartCarlesonによって示されている。なお、カスプ及び準カスプは、Gielis曲線又は式1によって適切に提示できる。10.例示的な用途及び実装a.拡張された合成用途例えば、画像、部材等の作成この方式は、単純さを変えることなく例えば、様々な画像、部材等の複雑な形状を構成する可能性を著しく拡張する。i.項の間の線形補間元のGielis公式‘527特許で述べた超公式としても知られるは、変換として理解でき、そこでは、拘束関数CFが、発展可能な関数DF=fθ上に作用する。これらの曲線は、発展可能な関数DF円、螺旋...が、好ましくは方向及び距離を備えたCF≠1の場合異方性的に発展可能な拘束幾何形状を課している。超円及び超楕円の座標関数は、fθがコサイン又はサイン関数であるときに得られる。同時に、このような関数は、Grandi-flower又はバラ曲線の範囲を非常に拡大可能な一般化三角関数である。Grandi曲線を用いる場合、Grandi曲線に必要な絶対値のために、要素m/2で元の式をやや修正する。これは、例えば、‘527特許で述べた花の形状をもたらす。いくつかの好ましい実施形態によると、花内の融合を記述するために、式1つまり、新しい調整型Gielis公式を用いることができ、二つの項のみを備え、一方の項は発展可能な関数として機能し、他方の項は拘束関数として機能する。融合は、0≦α≦1の重みパラメータαによって定義される二つの関数CFとDFの重み付き加算を用いて実現される。式5図8は、Huerniaflower、及びCarallumafrerei同意:Frereaindica、右側の例を式6下記を用いて構成した具体例である。図8を参照すると、DF及びCFの重み付き加算を用いて、発展可能な関数DF青で示した図8の左側又は拘束関数CF緑の右に示した超多角形の影響を調整できる。パラメータは、指数n=1を備えた五角形m=5として選択される。α用の値は、0.5~1の範囲にできる。それから、得られる花は、赤のrtot=αr11-αr2となる。変数は、nとαである。これは、五つの花弁を備えたほぼ五量体の花であるが、対称性のために、r1とr2内で変数mに変更することもできる。式6この方法では、合成演算、重み付き合計、又はそれらの組合せとして、自然の中の大部分の花を容易に記述できる。下記の表では、様々な例示的な可能性が示されている。DFとCFの間の乗算及び/又は重み付き加算を用いることで、三つの簡単な戦略S1~3を定義し、多対称な及び線対称な花を含む図9参照様々な花を記述できる。第一戦略S1は、CF又はDFのいずれかで操作を行う。第二及び第三戦略S2とS3は、乗算と加算を各々用いて、多弁の及び合弁の花の記述を可能にする。特に、外接多角形は、低い回転対称性を備えることもでき、それは左右対称性をもたらす例えば、図9のS2の右の例を参照。次の論理ステップは、戦略の組合せを調べている例えば、図10参照。空間の拘束-DF上へのCFの作用-それによって異方性を導入することは、例えば、萼片、花弁、雄しべ内の花の器官の等距離の位置決め及び間隔、及び超多角形の隅の雌ずい群の発展に多くの好影響を備えている。図9は、花における三つの基本的な戦略を示す図表であり、図10は、花における三つの基本的な戦略の組合せを示す図表である。とりわけ、この方式は、‘527特許の元のGielis超公式を備えたこの形態では対処できない問題を解く。融合は、花の発展における最も重要な駆動部の一つである。更に、これは、花の別の図形的表現であるように、波形を備えた所定の現象を記述するために用いることもできる。それは、二つの理由で、級数を用いる最も簡単な例である。第一に、それは、戦略に依存して、二つ又は三つの項のみを含んでいる。第二に、それは、式1内の二つの関数又は二つの項の間の線形補間に関する。式1の項の間では、導関数及び勾配を含む複数の線形補間が可能である。このセクションでは、花に関する用途を議論しているが、本発明は、任意の形状、波動等の記述又は解析に適用できることは、本開示内容に基づいて理解されるべきである。ii.k型の曲線ここで、式1から得られる形状は、k型の曲線と呼ばれる。関数fθが三角関数であるとき、定数ではなくan及びbn関数を用いて、一般化Fourier級数が得られる。一般化Fourier級数では、つまり、Lame-Gielis変換が作用可能な、古典的Fourier級数の任意の項上で、一つの項のみで、任意のLame-Gielis曲線が直接符号化される。これは、もちろん、それらが、一つの方程式で符号化され、少数のパラメータのみの円とは異なるという事実の直接的結果である。同様に、面いくつかの例として、ヒトデ、ピラミッド、円錐及び花又は非常に複雑な形状等は、少数のパラメータ内のみの球とは異なっているので、これは球面調和関数に拡張できる。更に、これは、合計として曲線及び面を構築するための開始点として用いることができる。それから、部分和は、整数kを備えた有限のk型と呼ばれる。三つの項を備えた3型の一つの具体例は、上で議論した図4で復元された形状である。その図では、指数ni=2がEuclidean円をもたらすので、第一項は、等方性の空間内の三弁の花である。第二及び第三項は、指数n=1を各々備えた、正方形及び五角形内に記される四弁及び五弁の花である。飛ぶ鳥の外形では、様々な対称性を実際に観察できる。所定のパラメータは、図に対する説明文内に示されている。具体的には、図4は、次式のk=3を備えた例示的なk型のGielis曲線を示している。iii.k型の面三次元の場合、Gielis面の群は、任意の複雑性及び形状の断面を含むように無限に拡張できる。3D超公式のパラメータ表現は、二つの垂直断面ρ1θとρ2θに基づいている。式7ここで、ρはその十分な一般性の中で式1によって定義されている。これは、様々な方法でn次元まで更に拡張できる。その方法は、2D曲線の場合と同じである。ここでの例は、面又は空間内の表現曲線に関するが、関数空間内では、各形状は単一点によって表現されることが理解されるべきである。b.改善された解析用途例えば、画像、部材等の解析i.問題これまで、Gielis曲線及び面は、所定の対称性を示し、自己交差形状を解析するための方法は新規であるが比較的簡単である。より複雑な形状は、c点技術を用いて提案されているがつまり、本発明者JohanGielisの前の米国特許番号2005/0140678A1参照。その全ての開示内容は、参照によって本明細書に組み込まれる、それはアルゴリズム的解である。科学的及び技術的用途のために、直接的表現が必要である。ii.解一般に、上記の曲線及び面では、超形状は0~2π又は有理Gielis曲線RGCの場合は2kπ-RGCでは、mは、自己交差曲線をもたらす有理数であるで定義される。しかし、形状は、従来の区分的線形近似三角化を含むと同様に、区分的超形状によって定義される。このような区分的方式は、例えば、式1及び式2等の、従って、一般化Fourier級数、三角級数を含む拡張によって、又はc点曲線として行われる例えば、米国特許番号2005/0140678A1内の上で議論した。iii.処理及びステップいくつかの実施例では、例えば、コンピュータソフトウェアを用いて実装される処理ステップは、次のものを含むことができる。非常に複雑な形状は、式1を用いて超公式のパラメータに変換される。これは、多くの方法でも行うことができる。一例は、Fourier級数の方法の後に構成された三角関数及びそれらの合計を用いることである。一般化Fourier級数では、つまり、Lame-Gielis変換が作用可能な、古典的Fourier級数の任意の項上で、一つの項のみで、任意のLame-Gielis曲線が直接符号化される。これは、もちろん、それらが、一つの方程式で符号化され、少数のパラメータのみの円とは異なるという事実の直接的結果である。同様に、面ヒトデ、ピラミッド、円錐及び花又は非常に複雑な形状等は、少数のパラメータ内のみの球とは異なっているので、これは球面調和関数に拡張できる。更に、これは、合計として曲線及び面を構築するための開始点として用いることができる。それから、部分和は、整数kを備えた有限のk型と呼ばれる。いくつかの実施形態では、ソフトウェアは、超形状自体に基づいて、新規な種類の導関数及び微分の使用を含むこともできる。古典的導関数は、有理数k用の次数kの導関数を含むように例えば、γ関数、Eulerによって拡張された。これらは、非整数の次数の導関数の補間を実現する。コンピュータツールボックスのいくつかの実施形態では、導関数の概念は、Gielis公式又は超形状に基づく微分の概念の一般化を含んでいる。この場合、点pの曲線の曲率は、円に基づいて、古典的な幾何学のようにではなく、超形状自体に基づいている。局所的操作である古典的方式では、各点は、円によって近似され、接触円の半径は、その点における曲線の曲率の逆数であり、この円も完全に接触し、その円自体である一つの曲線だけが存在している。超形状によって曲線を近似することによって、これらの近似からのデータは、曲線に関連した単位円として用いられその形状に適応させた座標のLameの概念、新しい曲率関数が即座に導かれる。異方性の単位円は、古典的Fourier級数が適切に処理できない形態で、望みどおりの数のカスプ又は特異点を備えることができる。純粋な形状の記述に基づく解析は、このような特異点を事前に組み込んでいる。最終的なステップでは、これは、非常に複雑な2D及び3D形状を超形状のデータセットに変換するために用いられる。とりわけ、これは、いくつかの具体例では、マップ形成及び医療画像化及び/又は他の用途等の、様々な解析用途で用いられる。c.拡張された最適化用途例えば、形状、部材等の最適化1.データマイニングデータマイニングは、データからパターンを抽出する処理を含むコンピュータ科学及び人工知能の分野である。データマイニングは、情報的利点を与える知識形態に大量のデータを変換するために、ますます重要なツールになっている。データマイニングは、データベースにおける知識発見KDDとして知られる、より大きな処理内のステップとも考えられる。i.Gielis公式を用いるための背景及び論拠データマイニングでは、未解決の問題は、より高次元の空間内の領域を定義することである。超形状を用いて、より高次の空間内に異方性領域が存在することを明らかにし、Gielis公式を用いて、発展的アルゴリズムを用いることによって、そのパラメータを決定できることが、Kuri-Moralesなどによって示された。現在の技術では、基礎となる仮定として等方性を用いている。当然の結果として、より高次元の空間内に異方性領域が存在すると仮定すれば、現在の方法は、適切な理論的基盤を欠くことになる。残念ながら、次元の問題点の一例として、3D内で実行される実験を多次元にすると、必要される計算時間は増大する。ii.Kuri-Moralesの参考文献ここで、Kuri-MoralesA.andAldana-BobadillaE.2011、TheSearchforIrregularlyShapedClustersinDataMiningatChapter17ofNewFundamentalTechnologiesinDataMiningEditedbyKimotoFunatsuandKiyoshiHasegawa,InTechOpenAccess,Rijeka,Croatia,pp223~254を参照する。データマイニングの主要な目標の一つは、データベース内のどの対象が、興味ある特性を共有しているかを決定する教師なしの処理であることである。この処理は、知識発見の名前でも知られている。このような新しい知識は、新しい処理又は製品をもたらす可能性があり、それによって、会社は、新しい必要性及び顧客群に対処できる。世界的に、会社及び組織の一つ内のこの知識は、コンピュータデータベース又はデータウェアハウス上に格納された拡大する数のデータを蓄積する。これらのデータは、製品、処理、市場及び販売だけでなく、メタデータにも関連付けられる。データマイニング又は知識発見は、データ又はデータ群内の隠れたパターンを明らかにすることを目的としている。このような新規な情報を発見する解析ツールは、クラスタリング又はデータベース内の組の識別に関している。クラスタリングは、厳密には定義されていないが、それは、群内のデータ又は対象を組織化する処理に関し、この群の構成要素は、所定の類似性を共有している。従来の方式は、高次元空間内のクラスタの形状に基本的な拘束を課し、超平面によって超球又は部分をほとんど処理していたが、このような方式は、不規則なクラスタを見出せないので、明らかに可能性を制限しているKuri-Morales,2008。他の距離関数及びメトリクスを用いることは、より複雑で不規則な形状のクラスタを見出すことを可能にする。簡単に言うと、不規則なクラスタが存在する場合、一般的な方法ではこれらを見出すことはできない。しかし、当然の結果は更に重要であり、それらが存在し、見つけられない場合、これは、超球及び異方性空間又は部分空間に基づく現在の技術基盤が、確実ではないことを意味する。実際、元のGielis公式つまり、‘527特許の超公式は、このような作業に使用できることが示されているKuri-Morales,2008参照。それは、ヒトデ、分子及び時空間モデル等の、多様な自然形状の数学的記述の統合を提供する。その結果、異方性空間は、例外ではなく、自然の規則であることは明らかである。超公式は元々、2D及び3Dで開発されたが、任意の次元に拡張できる。しかし、これは、著しく複雑性を増大させ、超形状の領域を見出すことは非自明な作業であり、次元の数が大きくなるほど取り扱いは困難になる。従来のGielis曲線及び面は、唯一の可能な解ではない。任意の妥当な方式では、カーネル関数を表現する。選択されるカーネルにかかわらず、不規則な形状のクラスタを探索する主要な問題の一つは、クラスタリング処理が、多くの次元で、極めて非線形で非凸の最適化問題となることである。KuriMorales2008,2011では、実験は、10000のデータ点を3D空間内の4クラスタに分散させ、各クラスタ内が2500になる方法を記述している。正確なクラスタにデータ点を再割当てするために、探索方法論内の多くのアルゴリズムで一般的に用いられるいくつかの教師あり及び教師なしの方法が用いられた。結果は、K-平均法、Kohonenマップ及びFuzzyC-平均法が、遺伝的アルゴリズムを用いるために、パラメータを探索するGielis面よりずっと効率的ではないことを示していた。これらの結果は予備的であったが、従来のクラスタリング技術がうまく機能しない合成データに対して、妥当なクラスタリングが実現された。前記方法は、測定上考慮すべきことが厳密には含まれない唯一のものであるという意味で、独特であると考えられる。従って、それは、データセットCに対応するもの等の、問題に対する許容可能な解決策を見出すために、原理的に補償される唯一のものである。しかし、前記方法が、実際上の一般性を実現するには、いくつかの問題では注意が必要である。それらの中で、適応度関数を改良しなければならない。簡単な戦略が、適切かどうかは明らかではない。第二に、進化アルゴリズムは、計算集約的であるので、計算効率を改善する必要がある。実際に重要な問題は、巨大な計算コストをもたらすクラスタ数、つまり次元がいつ増大するかということである。EAは並列化可能であるので、並列化アルゴリズム及び並列処理が解決策となる可能性がある。更に、ハードウェアの発展によって、計算性能の向上は制限的ではなくなっている。しかし、これらの初期実験から得られる知識は、概念的拘束のために、簡単な他のものでは間に合わない場所で、この方法が適切に機能することである。更に、正当性が、このようなクラスタ内にあるベクトルの組を最大化するものであるので、クラスタの良好性のこのような検証等の、特別な正当性測定は不要であるKuri-Morales2011。iii.問題の記述軌跡の可能な形態の選択に絶対的自由は含まれていないので、元のGielis公式には、いくつかの制限がある。カーネルを生成するための別の選択は、有理関数、つまり放射基底関数であってもよい。基本カーネルの選択と、メンバシップ関数が、クラスタリングに対してより大きな約束を保持するという事実にもかかわらず、その挑戦は非自明である。これらは、増大する次元に関連した計算コストと、多くの次元の系統的な一般化に着目する。カーネルとしてGielis公式を用いる主要な問題は、n次元の空間に一般化することは極めて困難と考えられることである。より高次元の空間は非常に一般的であり、数千以上の次元になるので、これは問題が多い。iv.処理いくつかの実施例では、次の処理ステップが実装される。ステップ1:このステップは、知識発見このデータは、例えば、航空会社からのデータ航空輸送等、病院、保険会社、銀行又は任意の種類のデータウェアハウス等、様々な分野及び用途からのものであってもよい用に解析される必要があるデータのコンピュータ内の入力を含んでいる。ステップ2:このステップは、最初の推測が、より高次元の空間内の異方性領域から構成される確率論的方法例えば、進化アルゴリズムを用いることを含んでいる。これは、対象認識用にまとめられた方法を用いて行われ、次元の各増大と共に、複雑さが増倍するという事実を考慮しているが、2D超形状自体が既に、より高次元の空間の表現であるということも知られるべきである。超形状の最も簡単な場合として、Lame曲線x^ny^n=R^nは、三つのn次元立方体の間の等しさを示している。ステップ3:このステップは、前の群からの級数展開を用いることによる領域記述の改良を含んでいる。出力は、2D又は3Dグラフを表現可能な、空間の最適分割に関するデータであり、様々な用途ほんの一例として、航空輸送、銀行及び保険の問題、及び様々な他の用途等での効率を増大させ、最適化するために役立つ新しい知識を生成する。特に、これは、任意の他の既存の方法よりずっと高速に行われる。v.例示的なデータマイニングの実装いくつかの実施例では、データマイニングは、例えば、保険会社、又はその顧客、製品、販売及び/又は販売の詳細について、全てのデータを長年の間集積し、この情報をデジタル的に格納している他の会社内に適用できる。いくつかの実施形態では、クラスタリングは、様々な方法で用いられ、1製品推奨用の顧客層を見つけること、又は2新しい保険商品をもたらすことができる知識発見、又は3所定の顧客又は顧客群が、自動車事故を起こす可能性を予測すること、等を行うことができる。いくつかの実施形態では、多くのデータ入力を備えた表を含む例えば、年齢、地域、性別、職業等に関連した情報を含むデータウェアハウスが実装される。前処理ステップ後、データウェアハウスが生成され、そこから、クラスタリング作業を実行できる。例えば、製品推奨用に、新しいクライアントのデータがアプリケーションサーバに送られる。データ前処理後、データウェアハウスが生成され、例えば、クラスタリングを用いて、その顧客用の最善の可能な製品の組合せを予測できる。クラスタリング結果は、最善の可能な結果を提供するために評価される。更に、前記結果は、ユーザ指定のパラメータに従う閾値及びフィルタを用いることによって改良でき、それは、データマイニングから得られるパラメータの特定の部分を生成できる。これらの結果又はパターンは、グラフィック表示部上に可視化される。最終的に、推奨は、販売員又はウェブベースのツール上に送られる。データマイニング及びクラスタリングの技術は、知識発見用に用いられ、そこには、保険会社の完全なデータウェアハウスが含まれる。目的は、新しい、未開拓の及び意外なクラスタを発見し、地理的な場所、年齢、時期等に関連した共通パターンを明らかにすることである。クラスタリングアルゴリズムは、不規則なクラスタ、又は所定の異方性を備えたクラスタ例えば、星状の、又は五角形及び/又はその他に配置されたクラスタ等を探索する。本発明の式1の一つの大きな利点は、そうでない場合、超球に基づく、従来のクラスタリングアルゴリズムを用いては発見しそこなう、任意の種類の不規則な領域が検出されることである。クラスタリングの良好性は、このようなクラスタ内にあるベクトルの組の最大化に関連した規則によって定義される。次のステップは、従来のアルゴリズムとの結果の比較を含み、手順は、不規則なクラスタを用いることから得られる利得を決定する。次のステップでは、クラスタリングは、製品開発及びマーケティング専門家に送られ、彼らは新しい製品例えば、保険商品を開発する。いくつかの他の実施例では、予測モデルを用いて、所定の地域、所定の時間に所定の自動車事故が発生する可能性を予測する。この具体例では、例えば、個人データ、過去の事故の記録、保証される車の具体的な特性等の、データが再びデータウェアハウス内に配置される。これは、地震が起こりがちな地域内の家を保証することから、保険会社の職員の能力及びその製品の品質制御等まで、多くの方法に適用される。いくつかの実施形態では、同じツール例えば、コンピュータは、本明細書で述べられた数学的原理を実装しているソフトウェアツールを用いてプログラムでき、前記原理は、様々な状況に適用できるを用いて、例えば、挙動例えば、財務上の支出及び貯蓄等、投資の失敗率及び/又は成功率、及び/又は新しい会社の失敗率及び/又は成功率、及び/又は他の用途のパターンの探索に関するデータマイニング処理を改善できる。いくつかの他の実施形態では、データマイニング法と同様に、これらの方法を用いて、履歴データに基づいて予測できる。好ましい実施形態では、アルゴリズムは、既存のソフトウェア及びデータマイニングのワークフロー内に組み込まれ、主要な目的は、データマイニング及び関連の処理の結果を最適化することである。本発明には様々な用途があり、これらはいくつかの具体例にすぎないことは理解されるべきである。2.最適な幾何学的生成器いくつかの実施形態では、この点では、本発明は、新しい設計戦略を可能にし、そこでは、Gielis面及びモデル等の方式及び最適化は、多次元探索及び変動空間内で一般化される。このような戦略は、遺伝的アルゴリズムGA等の特定の方式を含む必要がある。近年、形状の最適化に対して遺伝的アルゴリズムを使用することに対する興味が増大している。我々は、次の多目的形状最適化を考える。に従ってを最小化する。ここで、aは設計変数であり、Uadは許容可能な設計の組である。いくつかの状態変数u1=u1a,...,un=unaが最適化される。それらは、いくつかの原則に対応する状態方程式の組を満足する。主要な利点は、GAが、並列又は分散計算環境に容易に実装できることである。d.拡張された計算方法i.問題の記述数理物理学及び電磁気学で生じる多くの境界値問題BVPは、Laplacian演算子に関連付けられる。それらの中で、Laplace及びPoisson方程式、波動及びHelmholtz方程式、並びにSchrodinger方程式に関連するものに言及することは価値がある。しかし、言及した微分問題の大部分は、特定の形状又は対称性を備えた正準領域内でのみ明示的な方法で解くことができる。この制限を克服するために、境界層技術、積分方程式法、等角写像、及び最小二乗手順に基づく異なる方式が、科学文献で提案されている。この問題は、2D及び3D内の複雑な領域及び複合領域では軽減される。ii.解従来のFourier投射法に戻りながら、元の解析的方式を開発できる。これらの方法は、星状領域とも呼ばれる単純に接続された領域内で開発されている。これらの方法を、式1によって与えられる複雑な領域及び複合領域に拡張することは新規である。iii.処理及び方法一例として、境界が、k型のGielis方程式によって記述される複雑な二次元領域内で、Laplace方程式用のDirichlet問題を解くために、解を展開する。この理論は、弱い仮説を仮定することによって容易に拡張されるが、境界値に対して正則関数を考える。例えば、本明細書の上の、普遍的自然形状用の補足資料...の見出しのセクション8を参照のこと。具体例では、関連の技術を評価するために、コンピュータ支援代数ツールMathematica商標に基づく適切な数値手順が開発されている。考慮される領域Dの極方程式は、次のとおりである。式1Gielis領域のLaplace方程式に関連したDirichlet問題を解くために開発されたFourierベースの方法論を用いて、∂D上の境界値が、関数fx,y=xcosyによって記述されるという仮定の下で、次の数値結果が集められている。式1によって記述されるk型のGielis領域内のLaplace方程式用のDirichlet問題の解を表すFourier的な部分和の拡張次数Nの関数として、相対的境界誤差eNを示す上で議論した図5Cを参照のこと。更に、式1によって記述されるk型のGielis領域内のLaplace方程式用のDirichlet問題の解を表す拡張次数N=7を備えたFourier的な部分和UNl,θの角度挙動を示す上で議論した図5Bを参照のこと。更に、式1によって記述されるk型のGielis領域内のLaplace方程式用のDirichlet問題の解を表す次数N=7のFourier的な部分和の空間分布を示す上で議論した図5Aを参照のこと。iv.例:メッシュフリーモデリングいくつかの例では、星状領域を単位円に低減する拡張座標系の使用によって、従来のFourier法の適用を、複雑な二次元の通常の極領域内の微分問題の幅広い組に適用可能にする。この方法では、閉形態の解が、適切な直交規則を用いることによって得られ、有限差分又は有限要素法等の煩雑な数値手法を避けることができる。現在では、二次元又は三次元内の任意の領域上に、任意の次元の導関数を用いて、BVPを計算できるので、従来用いられていた広範囲の技術の代わりとなる。応用分野は、電磁気学、アンテナ及びマイクロ波導波路技術、建築及びCAD/CAEを含んでいる。Fourier的な部分和に必要な限られた数の項は、効率及び誤差項の急速な減少を証明する。更に、Fourier的な部分和に必要な限られた数の項は、効率及び誤差項の急速な減少を証明し、式1による直接表現は、特定の蓄積形式のデータの簡単で正確な符号化を保証する。いくつかの実施例によると、メッシュフリーモデリング処理ステップは、次のことを含むことができる。第一ステップでは、モデルは、方程式を直接用いるCAD又は他の設計ソフトウェア内で直接作成されるか、又はデータは、解析ステップによって式1のデータに変換される。第二ステップでは、任意の微分又は差分方程式は、簡単な又は組み合わせられた全ての形状上で直接計算されるので、もはやメッシュ作成問題が多いが、業界では広く用いられているを行う必要はない。例えば、図5Aに示したものと同様の形状の鳥状の板の上の振動又は熱分布を研究できる。その結果に従って、必要に応じて、板のモデルを変更し、強度の改善、より多くの又は異なる材料の追加、色又は材料の他の特性の改善を行うことができ、及び/又は、建築又はCADに用いられる従来の方法、又は3D印刷又は添加剤製造等の新規な処理によって、全てのモデルを効率的に製造できる生産の問題に関連させることができる。モデルは、明確に定義され、数千の形状が組合せられ、計算されるので、製品データ管理又は製品ライフサイクル解析に関連した全ての情報を、任意のワークフロー内に継ぎ目なく統合できる。理由の一つは、メッシュありモデルに比べて、ファイルサイズが、現在用いられているファイルより一般に三桁小さいので、これらのモデルからメモリを節約できることである。これは、建築、機械学、電磁気学等の分野での、より効率的で誤差の少ないワークフロー、及び改善された製品データ管理の決定的な効果を備えている。最終ステップでは、この情報を用いて、機械、印刷機、または他の装置を操作し、所望の出力を提供できる。v.例:所定の製品の最適設計例えば、アンテナ、マイクロ波導波路、ダイヤモンド切断機等反転法は、周囲空間に適応させた最善の可能な形状を選択することである。特定の部屋用の特定のアンテナ、又は航空機及び衛星内のマイクロ波導波路を考えてもよい。更なる詳細は、例えば、上記の最適な幾何学計算も参照のこと。一般に、形状の合成及び最適化は、作製、使用される材料、価格等の所定の制限を備えた設計哲学から始まる。例えば、機械設計では、製品特性及びその装置の設計に関連した体積制限を備えたバッテリを製造する。この新しい方法では、逆経路をとることができる。例えば、部屋、建物、航空機、空洞等の所定の周囲を与えて、装置の最適形状を計算できる。具体例として、電磁気学の分野では例えば、アンテナ、マイクロ波導波路、レーダー等を含むこのような装置は、所定の環境で性能を最適化するように開発される。処理ステップは、一実施例では、まず、所定の家具及び部材を備えている部屋を走査することを含むことができるつまり、部屋の画像を描くデータセットが得られる。次に、アンテナ又はアンテナ配列の最適形状が、ツールボックスから得られるつまり、前記データセットに対して本明細書の数学的原理を適用するように構成されるコンピュータ内に、コンピュータプログラムが設けられている。最終ステップでは、アンテナが構成されつまり、所定の用途に合わせて作製される、例えば、計算したデータ結果を用いて、切断器具、2D又は3D印刷機、又は単一物製造用の他の装置等の、機械を操作できる。代替的に、出力データは、例えば、衣類、印刷基板、航空機及び衛星に関連する組込みアプリケーション又は装置の製造用の他のデータと一体化される。別の具体例として、ダイヤモンド切断の分野では、視覚技術、X線トモグラフィー、又は他の技術を用いる装置によって、第一ステップの天然ダイヤモンドを走査する。一般に、ダイヤモンド業界では、この天然ダイヤモンドから、最も損失の少ない、最良の石を切り出す最善の可能な方法を計算する処理が工夫されている。本ツールボックスつまり、ソフトウェアツールが実装されたコンピュータでは、天然ダイヤモンドから最大の収量を保証する特定の形状を計算できる。このような形状は、例えば、従来のダイヤモンド切断より一般的であってもよい。最終ステップでは、これらの最適データを用いて、レーザ切断機を操作し、ダイヤモンドを切断できる。広範囲の発明本明細書では、本発明の実施例が示され説明されているが、本発明は、本明細書で説明した様々な好ましい実施形態には限定されず、本開示内容に基づいて、当業者に理解されるように、等価な要素、修正、省略、例えば、様々な実施形態にわたる観点の組合せ、適応及び/又は代替を備えた任意の及び全ての実施形態を含んでいる。請求項例えば、後で追加される物を含むの限定は、請求項内で用いられる用語に基づいて広く解釈され、本明細書内又は出願の審査中に記述される例には限定されず、その例は非排他的なものとして解釈される。例えば、本開示内容では、用語好ましくはは非排他的であり、好ましいが、限定されないを意味する。本開示内容及び本出願の審査中、所定の請求項の限定に対して、a~用の手段又は~用のステップが明示的に記載されている、b対応する機能が、明示的に記載されている、及びc構造、材料、又はその構造を支持する機能が記載されていない、という条件の全てが、そういう限定で存在している場合のみ、手段機能、又はステップ機能の限定が用いられる。本開示内容及び本出願の審査中、用語本発明又は発明は、本開示内容内の一つ以上の形態を参照するものとして用いられる。本発明又は発明という用語は、重要性の識別として不適切に解釈されるべきではなく、全ての観点又は実施形態にわたって適用するものとして不適切に解釈されるべきではなくつまり、本発明は、複数の観点及び実施形態を備えていると理解されるべきである、出願又は請求項の範囲を限定するものとして不適切に解釈されるべきではない。本開示内容及び本出願の審査中、用語実施形態は、任意の観点、特徴、処理又はステップ、それらの任意の組合せ、及び/又はそれらの任意の部分等を記述するために用いられる。いくつかの例では、様々な実施形態は、重複する特徴を含んでいてもよい。本開示内容では、次の短縮用語e.g.は例えばを意味するものとして用いられる。"