"プロセッサと、プログラムが格納された記憶手段とを備え、該プログラムは該プロセッサに対し、色属性を持つ第1図形の上層に、色属性として透明度を持つ第2図形が重畳し、該第1図形と該第2図形とがそれぞれベクターオブジェクトで記述された印刷データについて、a該第1図形及び該第2図形を、相互に重畳する部分と、相互に重畳しない部分とに分割させ、b重畳部分の色属性を少なくとも両図形の色属性に基づいて決定させ、c該重畳部分とそれ以外の部分のそれぞれをビットマップ展開させて画像を形成させる、画像形成装置において、該第1図形及び該第2図形のそれぞれの境界線が3次ベジエ曲線又は直線で表され、該プログラムは該プロセッサに対しさらにステップaで、3次ベジエ曲線上に交点が存在すれば、該3次ベジエ曲線を、その各端点及び該交点での位置で分割させ、分割された各線分をパラメータの区域が[0,1]である3次ベジエ曲線で近似させ、該分割された部分の閉曲線の線分が該分割された3次ベジエ曲線であればこれを該近似した3次ベジエ曲線で記述させる、ことを特徴とする画像形成装置。該プログラムは該プロセッサに対しステップaにおいてさらに、該分割されたベジエ曲線のパラメータ値が0及び1の位置のそれぞれで該位置、該位置でのx-y直交座標系におけるyに対するxの1回微分値及び2回微分値が、分割前のベジエ曲線の対応する点でのそれらと一致するように、該分割されたベジエ曲の、該分割前のベジエ曲線に対する近似式を定めさせる、ことを特徴とする請求項1に記載の画像形成装置。該プログラムは該プロセッサに対しステップaにおいてさらに、該分割されたベジエ曲線のパラメータ値が0、0.5及び1の位置のそれぞれで該位置、該位置でのx-y直交座標系におけるyに対するxの1回微分値が、分割前のベジエ曲線の対応する点でのそれらと一致するように、該分割されたベジエ曲の、該分割前のベジエ曲線に対する近似式を定めさせる、ことを特徴とする請求項1に記載の画像形成装置。該プログラムは該プロセッサに対しステップaにおいてさらに、a1該第1図形及び該第2図形のそれぞれについて、境界線上を一方向に回るように境界線に方向情報を付加させておき、a2該交点で境界線の線分を分割した際に、分割後の線分の方向情報を、分割前の線分の方向情報と一致させ、a3交点毎に、該交点を始点とし該一方向が該始端から離れる方向である方向情報を持つ線分を1つ選択させ、移動方向を該一方向と決定させ、a4該線分上を論理的に次の交点まで該決定した方向へ移動させ、a5移動後の交点が該始点でなければ、該交点で他方の図形の対応する点に移らせ、移動方向をステップa4での方向と逆方向に決定させ、次いでステップa4へ戻らさせ、該始点であれば、一巡した閉曲線を該相互に重畳しない部分の閉曲線と決定させる、ことを特徴とする請求項1乃至3のいずれか1つに記載の画像形成装置。該プログラムは該プロセッサに対しステップaにおいて、1つの交点及び一方向に関し、a6該交点を始点とする該一方向の線分を1つ選択させ、a7該線分上を論理的に次の交点まで該一方向へ移動させ、a8移動後の交点が該始点でなければ、該交点で他方の図形の対応する点に移らせ、次いでステップa7へ戻らさせ、該始点であれば、一巡した閉曲線を保存させ、ステップa6~a8の処理により保存された閉曲線が1つであればステップa6に戻らさせ、2つであれば両閉曲線の一方に包含される他方の閉曲線を該相互に重畳する部分の閉曲線と決定させ、該一方向は、線分の方向情報が示す方向又はこれと逆方向のいずれか一方であることを特徴とする請求項1乃至4のいずれか1つに記載の画像形成装置。しかしながら、上記特許文献1で例示されている図形は矩形であり、ベジエ曲線を用いて表される図形が重なり合っている場合において、図形分割後の数式による図形表現については開示されていない。曲線図形は一般に3次ベジエ曲線で表されるが、分割の前後で同一のベジエ曲線を用いると、そのパラメータの区域がベジエ曲線毎に異なるので、ラスタライズ処理を今までと同様に統一的に行うことができず、既存のラスタライズ処理を利用できなくなり、これを変更するとラスタライズ処理が複雑になる。本発明の目的は、このような問題点に鑑み、ベジエ曲線を含む図形が重畳する場合、分割前後で図形表現を統一することにより、既存のラスタライズ処理を変更する必要がない画像形成装置を提供することにある。本発明による画像形成装置の第1態様では、プロセッサと、プログラムが格納された記憶手段とを備え、該プログラムは該プロセッサに対し、色属性を持つ第1図形の上層に、色属性として透明度を持つ第2図形が重畳し、該第1図形と該第2図形とがそれぞれベクターオブジェクトで記述された印刷データについて、a該第1図形及び該第2図形を、相互に重畳する部分と、相互に重畳しない部分とに分割させ、b重畳部分の色属性を少なくとも両図形の色属性に基づいて決定させ、c該重畳部分とそれ以外の部分のそれぞれをビットマップ展開させて画像を形成させる、画像形成装置において、該第1図形及び該第2図形のそれぞれの境界線が3次ベジエ曲線又は直線で表され、該プログラムは該プロセッサに対しさらにステップaで、3次ベジエ曲線上に交点が存在すれば、該3次ベジエ曲線を、その各端点及び該交点での位置で分割させ、分割された各線分をパラメータの区域が[0,1]である3次ベジエ曲線で近似させ、該分割された部分の閉曲線の線分が該分割された3次ベジエ曲線であればこれを該近似した3次ベジエ曲線で記述させる。本発明による画像形成装置の第2態様では、第1態様において、該プログラムは該プロセッサに対しステップaでさらに、該分割されたベジエ曲線のパラメータ値が0及び1の位置のそれぞれで該位置、該位置でのx-y直交座標系におけるyに対するxの1回微分値及び2回微分値が、分割前のベジエ曲線の対応する点でのそれらと一致するように、該分割されたベジエ曲の、該分割前のベジエ曲線に対する近似式を定めさせる。本発明による画像形成装置の第3態様では、第1態様において、該プログラムは該プロセッサに対しステップaでさらに、該分割されたベジエ曲線のパラメータ値が0、0.5及び1の位置のそれぞれで該位置、該位置でのx-y直交座標系におけるyに対するxの1回微分値が、分割前のベジエ曲線の対応する点でのそれらと一致するように、該分割されたベジエ曲の、該分割前のベジエ曲線に対する近似式を定めさせる。本発明による画像形成装置の第4態様では、第1乃至3態様のいずれか1つにおいて、該プログラムは該プロセッサに対しステップaでさらに、a1該第1図形及び該第2図形のそれぞれについて、境界線上を一方向に回るように境界線に方向情報を付加させておき、a2該交点で境界線の線分を分割した際に、分割後の線分の方向情報を、分割前の線分の方向情報と一致させ、a3交点毎に、該交点を始点とし該一方向が該始端から離れる方向である方向情報を持つ線分を1つ選択させ、移動方向を該一方向と決定させ、a4該線分上を論理的に次の交点まで該決定した方向へ移動させ、a5移動後の交点が該始点でなければ、該交点で他方の図形の対応する点に移らせ、移動方向をステップa4での方向と逆方向に決定させ、次いでステップa4へ戻らさせ、該始点であれば、一巡した閉曲線を該相互に重畳しない部分の閉曲線と決定させる。本発明による画像形成装置の第5態様では、第1乃至4態様のいずれか1つにおいて、該プログラムは該プロセッサに対しステップaで、1つの交点及び一方向に関し、a6該交点を始点とする該一方向の線分を1つ選択させ、a7該線分上を論理的に次の交点まで該一方向へ移動させ、a8移動後の交点が該始点でなければ、該交点で他方の図形の対応する点に移らせ、次いでステップa7へ戻らさせ、該始点であれば、一巡した閉曲線を保存させ、ステップa6~a8の処理により保存された閉曲線が1つであればステップa6に戻らさせ、2つであれば両閉曲線の一方に包含される他方の閉曲線を該相互に重畳する部分の閉曲線と決定させ、該一方向は、線分の方向情報が示す方向又はこれと逆方向のいずれか一方である。上記第1態様の構成によれば、2図形の境界線の一部である3次ベジエ曲線上に交点が存在するとき、該3次ベジエ曲線を、その各端点及び該交点での位置で分割し、分割された各線分をパラメータの区域が[0,1]である3次ベジエ曲線で近似し、これを用いて、2図形の分割された部分の閉曲線を記述するので、分割前後で図形表現が統一されて、既存のラスタライズ処理を変更せずに用いることができるという効果を奏する。上記第2態様の構成によれば、該分割されたベジエ曲線のパラメータ値が0及び1の位置のそれぞれで該位置、該位置でのx-y直交座標系におけるyに対するxの1回微分値及び2回微分値が、分割前のベジエ曲線の対応する点でのそれらと一致するように、該分割されたベジエ曲の、該分割前のベジエ曲線に対する近似式を定めるので、分割されたベジエ曲線の式を効率よく求めることができるという効果を奏する。上記第3態様の構成によれば、該分割されたベジエ曲線のパラメータ値が0、0.5及び1の位置のそれぞれで該位置、該位置でのx-y直交座標系におけるyに対するxの1回微分値が、分割前のベジエ曲線の対応する点でのそれらと一致するように、該分割されたベジエ曲の、該分割前のベジエ曲線に対する近似式を定めるので、前記同様に、分割されたベジエ曲線の式を効率よく求めることができるという効果を奏する。上記第4態様の構成によれば、図形の境界線の方向付けを行ってから、上記簡単な処理で、相互に重畳しない図形の部分を求めることができるという効果を奏する。上記第5態様の構成によれば、図形の境界線の方向付けを行ってから、上記簡単な処理で、相互に重畳する図形の部分を求めることができるという効果を奏する。本発明の他の目的、特徴的な構成及び効果は、以下の説明を特許請求の範囲及び図面の記載と関係づけて読むことにより明らかになる。図1は、本発明が適用された実施例1に係る画像形成システムの概略図である。このシステムでは、画像形成装置10とPCPersonalComputer20とがネットワーク30で結合されている。ユーザが、PC20でアプリケーションを起動させて文書を作成し、印刷開始の指示を与えと、このアプリケーションは、プリンタドライバを介して文書をPDLPageDescriptionLanguageデータに変換し、これを、OSOperatingSystemのスプーラ機能及び通信機能を介してプリンタに送信する。図2は、主に画像形成装置10のハードウェア構成を示す概略ブロック図である。この画像形成装置10では、CPU11がインターフェイス12を介してPROM13、DRAM14、補助記憶装置15、ネットワークインターフェイス16、操作パネル17、スキャナ18、プリンタ19及びファックスモデム1Aに結合されている。図5では、簡単化の為に、複数種のインターフェイスを1つのブロック12で表している。PROM13は、例えばフラッシュメモリであり、BIOSBasicInputOutputSystem、OS、各種ドライバ、及び、画像形成装置として機能させるための各種アプリケーションが格納されている。このアプリケーションには、PDLデータをラスタライズしてDRAM14上のビットマップデータに変換し、プリンタ19に供給することにより画像を用紙上に転移する印刷処理プログラムが含まれる。DRAM14は、主記憶装置として用いられる。補助記憶装置15には、印刷用データ、スキャナ18で読み取った画像データ及びファクシミリ受信データが保存される。ネットワークインターフェイス16は、ネットワーク30に結合され、PDLデータの送信等に用いられる。操作パネル17は、入力部及び表示部を供えている。スキャナ18は、画像ファイル生成のために用いられ、このファイルは印刷、ファクシミリ送信又はファイル送信のために用いられる。プリンタ19は、プリントエンジン並びに用紙の給紙部、搬送部及び排紙部を備え、DRAM14に生成されたビットマップデータが供給され、このデータに基づいて感光ドラムに静電潜像を形成し、この像をトナーで現像し、トナー像を用紙に転移し定着させ、排紙する。図3は、上記印刷処理プログラムにおいて、印刷データとしてのPDLデータに含まれるベクターオブジェクトをラスタライズする前の重畳図形分割処理を示す概略フローチャートである。以下、括弧内は図中のステップ識別符号である。S0後で閉曲線のトレース方向を利用するので、ここで各図形境界線の一方向回り、例えば時計回りの方向付けを行う。例えば図4Aに示すような直線P1P2と曲線P2P1とを境界線とする図形40について、X-Y直交座標系の定義域と値域とから定まる外接矩形R1を求め、座標原点Oを矩形R1の定義域の中点,矩形R1の値域の中点とする。接点の1つ、例えば点P1から図形40上を一方向へ回り、順に通過する接点列P1、P2、P8、P7の象限値第1~4象限の値1~4を記述していくと、3,2,4,4となり、これが時計回りのパターンであると判定できる。この場合、直線P1P2は直線の端点P1から端点P2への方向が時計回りであり、曲線P2P1は曲線の端点P2から端点P1への方向が時計回りであると、境界線の線分を方向付ける。象限値順のパターンから反時計回りであると判定した場合には、その逆方向で線分を方向付ける。この方向付けは、図4Bのようにして行ってもよい。すなわち、図形40上の同一直線上に無い3点、例えば点P1、P2、P9の三角形P1P2P9が内接する矩形R2について、上記同様に、X-Y直交座標系の座標原点Oを矩形R2の定義域の中点,矩形R2の値域の中点とする。三角形P1P2P9の1つ、例えば点P1から図形40上を一方向へ回り、順に通過する点P1、P2、P9の象限値を記述していくと、3,2,1となり、これが時計回りのパターンであると判定でき、上記同様に線分を方向付ける。S1一方の図形と他方の図形との交点処理を行う。図5は、この交点処理の詳細フローチャートである。交点処理には、交点座標を求める処理と、線分を交点で分割して分割後の各線分を表す式を求める処理とがあり、前者は以下のステップS31~S37で行われ、後者は以下のステップS39~S44で行われる。上記方向付けの結果は、後者のステップS42、S43で考慮する。線分は、3次ベジエ曲線又は直線であるとする。S30交点カウンタNcpに初期値0を代入する。一方の図形の線分毎に、以下のステップS31からステップS37までの処理を行う。例えば図6において、図形40を一方の図形とすると、図形40の線分である直線P1P2及び曲線P2P1のそれぞれについて、以下の処理を行う。S31該一方の図形の1つの線分を選択する。他方の図形の線分毎に、以下のステップS32~S36の処理を行う。例えば図6の図形41の直線P3P4及び曲線P4P3のそれぞれについて、以下の処理を行う。S32該他方の図形の1つの線分を選択する。S33ステップS31とステップS32で選択した線分間に交点が存在すればステップS34へ進み、そうでなければステップS36へ進む。図6の場合、直線P1P2と、直線P3P4及び曲線P4P3のそれぞれとの間には交点が存在しないので、ステップS33で否定判定され、曲線P2P1と、直線P3P4及び曲線P4P3とのそれぞれの間には交点が存在するので、ステップS34へ進む。S34選択されている線分間の交点の座標を、例えば2分法で方程式を解くことにより求める。S35交点カウンタNcpを1だけインクリメントする。S36該他方の図形について、未選択の線分が有ればステップS32へ戻り、無ければステップS37へ進む。S37該一方の図形について、未選択の線分が有ればステップS31へ戻り、無ければステップS38へ進む。S38交点カウンタNcpが正であればステップS39へ進み、そうでなければ図5の処理を終了する。以下、各図形の線分毎、ステップS39~S44の処理を行う。S391つの線分を選択する。S40この線分上に、ステップS34で求めた交点座標が存在すればステップS41へ進み、そうでなければステップS44へ進む。S41この線分がベジエ曲線であればステップS42へ進み、直線であればステップS43へ進む。S42ベジエ曲線を交点で分割し、分割された各ベジエ曲線の近似式を求める。例えば図6の曲線P2P1については、交点P5、P6が存在するので、パラメータtの区域が[0,1]のベジエ曲線P2P5の式と、パラメータtの区域が[0,1]のベジエ曲線P5P6の式と、パラメータtの区域が[0,1]のベジエ曲線P6P1の式とを求める。より具体的には、x-y直交座標系での曲線P2P1上の任意の点の座標をft,gt、曲線P2P1の制御点Qiの座標をxi,yi、iを1~4の範囲の整数とすると、ft=1-t3x131-t2tx231-tt2x3t3x41gt=1-t3y131-t2ty231-tt2y3t3y42と表される。ここにパラメータtの区域は[0,1]であり、t=0で始点P2=Q1=x1,y1、t=1で終点P1=Q5=x4,y4となる。交点P5のtの値をt1と表す。パラメータtの区域が[0,1]のベジエ曲線P2P5上の任意の点の座標ut,vtのu及びvを、ut=a1t3b1t2c1td13vt=a2t3b2t2c2td24と表し、8つの未知数a1、b1、c1、d1、a2、b2、c2、d2を以下の8つの条件式である連立方程式の解として求めることで、ベジエ曲線P2P5の式を決定する。a始点P2及び交点P5の座標が両曲線で等しいことから、f0,g0=u0,v0ft1,gt1=u1,v1という4つの条件式が得られる。b始点P2及び交点P5での傾きが両曲線で等しいという条件を与える。’をtでの微分記号とすると、この条件は、t=0でのft/gtの値と、t=0でのut/vtの値とが互いに等しくなり、t=t1でのft/gtの値と、t=1でのut/vtの値とが互いに等しくなるという式で表され、さらに2つの条件式が得られる。cまた、始点P2及び交点P5での傾きの変化率が両曲線で等しいという条件を与える。この条件は、t=0での/gtの値と、t=0でのut/vt/vtの値とが互いに等しくなり、t=t1でのft/gt/gtの値と、t=1でのut/vt/vtの値とが互いに等しくなるという式で表され、さらに2つの条件式が得られる。上記8つの未知数は、以上の8つの条件式により定まる。このような処理により、分割後のベジエ曲線の制御点を決定することなく該ベジエ曲線を求めることができるので、分割されたベジエ曲線の式を効率よく求めることができるという効果を奏する。条件cの替わりに、次のような条件を与えて近似してもよい。すなわち、ベジエ曲線P2P1がベジエ曲線P2P5上のパラメータ中点t=0.5での座標u0.5,v0.5を通るように定める。すなわち、ft2=u0.5、gt2=v0.5という拘束条件を与える。新たな未知数t2を導入したので、この座標での両傾きが互いに等しいという条件を与える。すなわち、t=t2での/gtの値と、t=0.5でのut/vt/vtの値とが互いに等しくなるという条件を与える。この場合も、上記同様の効果を奏する。なお、上式3、4を式1、2のように変形して制御点で表すことにより、制御点の座標列でベジエ曲線を表して、ラスタライザに受け渡すようにしてもよい。次に、交点で分割されたそれぞれのベジエ曲線を、図7に示すように分割前のベジエ曲線P2P1と同じ方向時計回り方向に方向付ける。この方向付けは、線分に方向情報を付加することにより行う。例えば、パラメータtが0から1に変化するとき座標が時計回り方向へ移動するようにした場合、この方向情報はパラメータtに付加されていることになる。パラメータtが0から1に変化するとき座標が反時計回り方向へ移動する場合には、パラメータを1次変換することにより、パラメータtが0から1に変化するとき座標が時計回り方向へ移動するようにする。方向情報は、パラメータtが0から1又は1から0のどちらに変化するときに座標が時計回り方向へ移動するかを示すフラグであってもよい。次にステップS44へ進む。S33直線を交点で分割し、分割されたそれぞれの定義域を求め、それぞれの直線の式は分割前のものと同一にする。また、それぞれの直線を、図7に示すように分割前の直線と同じ方向に方向付ける。図6の直線P3P4については、交点P5が存在するので、直線P3P4を、線分P3P5と線分P5P4とに分割し、それぞれの定義域を求め、また、それぞれの線分を図7に示すように、分割前の直線P3P4と同じ時計回り方向に方向付ける。なお、直線についてもパラメータtを用いて表し、いずれの直線もtの区域が[01]となるようにして、ベジエ曲線の場合と同様に表現することにより、その後のラスタライザでの処理を統一して行えるようにしてもよい。S34全図形について、未選択の線分が有ればステップS39へ戻り、無ければ図3のステップS2へ進む。S2交点カウンタNcpが正であればステップS3へ進み、そうでなければステップS19へ進む。以下、ステップS1で求めた交点毎に、ステップS3~S9の、重畳しない部分の図形分割登録処理を行う。S3交点の1つを選択する。S4この交点を始点とする時計回り方向の線分を1つ選択し、移動方向を時計回り方向と決める。S5この線分上を、決められた方向へ移動し、次の交点まで移動する。移動は、線分の端点のみを追っていけばよい以下同様。図7において、例えばステップS3で交点P5が選択され、ステップS4で線分P5P4が選択された場合、点P4から曲線P4P6の点P6まで移動する。S6この交点が始点でなければステップS7へ進み、始点であればステップS8へ進む。S7この交点から、他方の図形の同一点へ移る。移動方向は、移る前と逆方向と決め、ステップS5へ戻る。前記の場合、図形41の曲線P4P6の点P6から図形40の曲線P5P6の点P6へ移り、移動方向を反時計回りと決定する。次にステップS5では、曲線P5P6の交点P6から交点P5へ移動し、ステップS6で交点P5が始点であると判定されてステップS8へ進む。S8始点まで戻った閉曲線を、分割閉曲線として登録する。この分割閉曲線の色属性は、図形重畳部分ではないので、該分割閉曲線を含む分割前の図形の色属性と同じにする。S9未選択の交点が有ればステップS3へ戻り、無ければステップS10へ進む。ステップS3で図7の交点P6を選択し、ステップS4で曲線P6P1を選択した場合には、ステップS5で点P1からP2、P5と移動し、ステップS6で否定判定されてステップS7へ進み、図形40の交点P5から図形41の点P5、P3、P6と移動し、ステップS6で肯定判定されてステップS8で閉曲線P6P1P2P5P3P6を登録し、その色属性を上記同様にして定める。以下のステップS10~S17は、図形論理積と図形論理和とを見つけて一端登録しておき、いずれが図形論理和であるかを判定してこれを削除することにより、図形論理積を重畳部分の分割図形として求める処理である。S10交点の1つを選択する。S11この交点を始点とする時計回り方向の線分を1つ選択し、移動方向を時計回り方向と決める。S12この線分上を、該方向へ移動し、次の交点まで移動する。図7において、例えばステップS10で交点P5が選択され、ステップS11で曲線P5P6が選択された場合、交点P5から曲線P5P6の交点P6まで移動する。S13この交点が始点でなければステップS14へ進み、始点であればステップS15へ進む。S14この交点から、他方の図形の時計回り方向の線分の同一点へ移り、移動方向を前回と同じ時計回り方向と決め、ステップS12へ戻る。前記の場合、図形40の曲線P5P6の交点P6から図形41の曲線P6P3の交点P6へ移る。次にステップS12では、交点P6から点P3、交点P5へと移動し、ステップS13で交点P5が始点であると判定されてステップS15へ進む。S15始点まで戻った閉曲線を分割閉曲線として登録する。S16始点で未選択の時計回り線分があればステップS11へ戻り、無ければステップS17へ進む。ステップS11で図7の曲線P5P4を選択した場合には、ステップS12で交点P5から点P4、P6と移動し、ステップS13で否定判定されてステップS14へ進み、図形41の交点P6から図形40の交点P6、点P1、P2、P5と移動し、ステップS13で肯定判定されてステップS15で閉曲線P5P4P6P1P2P5を登録する。S17ステップS15で登録された2つの閉曲線のうち、大きい方図形論理和の閉曲線を削除する。どちらが大きいかは、例えば図8に点線矩形で示すように、2つの閉曲線のそれぞれについて、定義域と値域とから定まる外接矩形R3、R4を求め、包含関係に基づいて決定する。S18ステップS15で登録された2つの閉曲線のうち、小さい方図形論理積の閉曲線が分割前の2図形の重畳部分であり、その色属性を、該2図形のそれぞれの色属性及び予め設定されたブレンドモードに基づいて決定する。例えば図8において図形40の上に図形41が重なり、図形41の色属性が透明度を持っている場合、閉曲線P5P6P3P5について、図形40の色属性である塗り色と、図形41の色属性である塗り色及び透明度と、既定値又はユーザが設定したブレンドモードとに基づいて、ブレンドカラーを決定する。この透明度が0不透明であれば、図形41の色属性である塗り色を該閉曲線の色属性と決定する。以上で図3の処理を終了する。S19図9Aに示すように、図形40と図形41Aとの関係が包含関係、即ち一方の図形に他方の図形が含まれているという関係がある場合には、ステップS20へ進み、そうでなければステップS22へ進む。包含関係があるか否かは、図形41A内の任意の点、例えば点P3を通る任意の直線、例えば横方向の直線が、点P3の両側のそれぞれについて図形40と交差するか否かで判定することができる。S20内側の閉曲線と、内側を刳り抜いた外側の閉曲線とに分割して、それぞれを分割閉曲線として登録する。S21内側の閉曲線についてはステップS18と同様にしてブレンドカラーを決定し、図3の処理を終了する。S22それぞれの閉曲線40、41を登録し、図3の処理を終了する。なお、図9Bに示すように図形41Bの一辺が図形40の辺と重なり交点交差点を有しない場合や、図9Cに示すように図形41Cの1点P4が図形41の辺上に存在し交点を有しない場合は、図8に関し述べたことと同様にして包含関係を決定し、図9Aの場合と同様に処理する。図10は、図形40と図形41とが重なって交点を4個有する場合を示す。この場合、図5の処理により図11に示すような方向付線分が得られる。また、図3のステップS3~S9の繰り返し処理により、重畳しない閉曲線P5P4P6P5、閉曲線P6P7P6、閉曲線P7P8P7及び閉曲線P8P1P2P5P3P8が得られる。また、図3のステップS10~S16の処理により、図形論理和の閉曲線P5P4P6P7P8P1P2P5及び図形論理積の閉曲線P5P6P7P8P3P5が得られる。本実施例1によれば、2図形40、41の境界線の一部である3次ベジエ曲線上に交点が存在するとき、この3次ベジエ曲線を、その各端点及び該交点での位置で分割し、分割された各線分をパラメータの区域が[0,1]である3次ベジエ曲線で近似し、これを用いて、2図形40、41の分割された部分の閉曲線を記述するので、分割前後で図形表現が統一されて、既存のラスタライズ処理を変更せずに用いることができるという効果を奏する。また、図3のステップS0で図形境界線の方向付けを行ってから、ステップS3~S9の簡単な処理で、相互に重畳しない図形の部分を求めることができるという効果を奏する。さらに、この方向付けを行ってから、ステップS10~S18の簡単な処理で、相互に重畳する図形の部分を求めることができるという効果を奏する。以上において、本発明の好適な実施例を説明したが、本発明には他にも種々の変形例が含まれ、上記実施例で述べた各構成要素の機能を実現する他の構成を用いたもの、当業者であればこれらの構成又は機能から想到するであろう他の構成も、本発明に含まれる。例えば、図3のステップS11及びS14での一方向は、方向情報が示す方向と逆の方向であってもよい。また、ステップS42において、分割された各ベジエ曲線のt=0.5で分割前のベジエ曲線の対応する点x座標が両者で同一の点での近似誤差両者のy座標の差の絶対値がしきい値、例えば1画素以上であれば、この点でさらにベジエ曲線を同様に分割することにより、近似精度を向上させてもよい。この2分割処理は、誤差がしきい値未満になるまで、分割点の両側のそれぞれについて続けてもよい。さらに、3図形以上の場合には、レイヤーが下の方からまず2図形を取り出して上記実施例で述べた処理を行い、ついで3図形目を取り出して、これと、登録されている分割図形の各々について順に、上記実施例で述べた処理を行い、その後4図形目以降も同様に処理するようにしてもよい。本発明は、少なくとも2図形について適用することにより、上記効果が得られる。"