"本願明細書に記載のn乗根のアルゴリズムを計算機やコンピュータ等の電子機械に組み込んで、正の実数のn乗根に関する問題を任意の所望精度で解くこと。ただし、所与の数のn乗根を開平するための直接解析法は存在しない。n乗根を求めるアルゴリズムの開発は、依然として興味深く、挑戦的な課題である。既存方法の欠点を抑えるには、効率的な新しい方法を開発する必要が大いにある。このような背景において、本発明は、3つの関数Ui、Vi、およびTiを導入し、これらの関係を構築することによって、所与の正の実数に関して正の実数のn乗根を任意の所望精度で一桁ごとに決定する計算が簡単な数値アルゴリズムに焦点を当てている。2.累乗法による桁数まず、当該アルゴリズムの基本結果が必要である。NおよびWをそれぞれ、自然数および整数の集合とする。また、αをk桁の所与の正の整数とする。ここで、αをn乗する際の桁数について考える。定理1mをαnの桁数とすると、以下が成立する。証明ケースiまず、n=2について考える。k=1の場合は、以下が成立する。k>1の場合は、以下が成立する。また、2k-1≦m≦2kである。但し、数式2.2、2.3、および2.4は、数式2.1がn=2の場合に有効であることを意味する。ケースii次に、n>2とする。k=1の場合は、α<10またはαn<10nである。これは、αnが最大n桁であることを意味する。したがって、以下が成立する。k桁k>1の数αについて考える。この場合は、10k-1≦α<10kが成立する。よって、10k-1n≦αn<10knとなる。これは、以下を意味する。よって、数式2.5および2.6は、数式2.1がn>2の場合に有効であることを意味する。このように、上記定理は、n、k∈Nのすべての値に関して有効である。3.数値アルゴリズム所与の正の整数Mのn乗根を求めるものとする。まず、Mが正の整数のちょうどn乗である場合の方法を示す。一般的な場合については、第5項にて後述する。ステップ1Mの一の位から開始して、それぞれサイズnの可能最大数のブロックにMの各桁を分割する。この過程で、Mの左端の桁が残った場合は、これらの桁で別のブロックを形成する。Mの各桁でこのように形成したブロックの総数をkとする。この場合、定理1によって、Mの正の実数のn乗根は、k桁から成り、たとえば一の位から順にa1、a2、、akとなる。MをMk,nとすると、以下のように表される。ここで、Mk,nの右側から各ブロックをB1、B2、、Bkとする。Biのサイズを|Bi|とすると、以下のように表される。また、ak∈Nの可能最大値を以下のように決定する。ここで、k=1の場合は、RkがMk,nの求めるべき正の実数のn乗根である。k≠1の場合は、ステップ2に進む。ステップ2次のブロックを形成する。Mk-1を以下のように定義する。ここで、かつとする。Mk-1の一の位から開始して、それぞれサイズnのk-2個のブロックにMk-1の各桁を分割するとともに、残ったMk-1の左端の桁で別のブロックを形成する。また、Mk-1の左端のブロックをBk-1Mk-1とする。この場合は、以下が成立する。ここで、DkBk-1は、DkとBk-1の連結で表すと定義される。また、と見なす。Vk-1∈Wの最大値を以下のように決定する。ここで、また、は、n個から一度にr個を選ぶ場合の組み合わせ数を表す。ここで、とする。Rk-1=RkoVk-1と定義すると、以下が成立する。k=2の場合は、Rk-1が求めるべき根である。k≠2の場合は、ステップ3に進む。ステップ3と定義する。ステップ2の過程を繰り返す。ここで、Mk-2は、k-2個のブロックから成る。数式3.11および3.12と同様の手順をそれぞれ行って、Uk-2およびVk-2を求める。また、同様に、ak-2=Vk-2としたり、Rk-2を定義したりする。そして、kが1になるまでこの過程を繰り返す。ここで、R1=10k-1ak10k-2ak-1a1がMのn乗根である。4.方法の証明数学的帰納法の原理により、第3項に示した方法を検証する。補助定理11≦ak≦9証明数式3.3および3.4から、akn≦Bk<10nが得られる。よって、ak<10となる。また、Bk≠0であることから、ak≧1となる。これらにより、1≦ak≦9が得られる。補助定理20≦ai≦9、i=1、2、、k-1証明数式3.6から、10nDk=10nBk-10naknが得られる。これは、10nakn10nDkBk-1=10nBkBk-1と表せる。また、数式3.8および3.10から、10nUknBk-1Mk-1=BkBk-1が得られる。数式3.12により、この関係は、10nUknVk-1Tk-1≦BkoBk-1と表される。数式3.2および3.3を考慮すると、|10nUknVk-1Tk-1|≦2nが得られる。これは、数式3.9および3.11により、|Uk-1nVk-1Tk-1|≦2nと表される。そして、二項定理を用いると、|Uk-1Vk-1n|≦2nが得られる。したがって、|10UkVk-1n|≦2nとなる。Uk=ak≠0およびakの最大選択を考慮すると、定理1によって、上記は0≦Vk-1≦9と表せる。そして、数式3.14から、0≦ak-1≦9が得られる。同様に、0≦ai≦9、i=1、2、、k-2についても証明可能である。Mk,nが正の整数たとえば、λのちょうどn乗であるものとすると、となる。ここで、数式3.1から、λ=10k-1ak10k-2ak-1a1である。数式3.11および3.14、ならびにアルゴリズムのステップ3から、上記は以下のように表せる。また、数式3.13ならびにアルゴリズムのステップ3により、以下のように表される。さらに、数式3.8、3.9、および3.11、ならびにアルゴリズムのステップ3から、以下が分かる。i=1、2、、k-2の場合は、ステップ3ならびに数式3.7および3.16により、以下のように表される。そして、数式3.5および3.15、ならびにステップ3から、以下が得られる。i=1、2、、k-1の場合、関係式4.4は、と表される。よって、数式3.8、3.9、および3.11、ならびにアルゴリズムのステップ3から、Ui=10Ri1、i=1、2、、k-1が得られる。i=1、2、、k-2の場合は、ステップ3ならびに数式3.7および3.16により、以下のように表される。Mi=そして、数式3.5および3.15、ならびにステップ3から、以下が得られる。i=1、2、、k-1の場合、関係式4.4は、と表される。よって、Ui=10Ri1、i=1、2、、k-1となる。定理2n∈Nを所与とすると、Uii=1、2、、k、Vii=1、2、、k、およびTii=1、2、、k-1は、すべてのk∈Nに対して、以下の関係を満足する。証明数式3.1から、関係式4.5がk=1の場合に有効であることが分かる。関係式4.5がk∈Nの場合に有効であると仮定する。そして、Mk1,nについて考えると、関係式3.8、3.9、4.2、および4.3は、kを1だけ増やした場合にも有効である。ここで、Uii=2、3、、k1、Vii=2、3、、k1、およびTii=2、3、、kの帰納的仮定を用いると、となる。よって、となる。k1の場合にも適用可能な関係式4.5を用いると、数式4.6の右辺は、となる。これは、二項定理を用いると10kak110k-1ak10a2a1nとなって、Mk1,nが得られる。よって、当該定理は、kに関する帰納により示される。5.一般的な場合のn乗根一般的には、正の実数のちょうどn乗またはn乗根ではない正の整数のn乗根を求めたい場合がある。この場合は、第3項に示したアルゴリズムを以下のように修正した上で採用する必要がある。Mを正の実数とすると、整数部分および小数部分から成る場合がある。ここで、小数点以下第h位まで根を求めるものとする。この場合、所与の数Mに10hnを乗じ、[10hnM]に関して第3項のアルゴリズムに従うと、R1が10hnMのn乗根の整数部分となる。ここで、であることから、R1を10hで除することにより、小数点以下第h位までMのn乗根を求める。以下に例をいくつか示す。5.1Mがちょうどn乗である場合例1.3√16457616482180544を求める。ステップ1M=16457616482180544とする。n=3であることから、第3項に記載の通りにMの各桁を分割すると、以下が得られる。ここで、k=6である。a63≦16となるには、a6=2が最大値である必要がある。これより、R6=a6=2であることが分かる。K≠1であるため、ステップ2に進む。ステップ2ブロックD6=B6-a63=8を形成する。そして、M5=M-1053a63=8457616482180544と定義する。U6=a6=2およびV6=0とする。B5M5=D6B5=8457であることが分かる。M5の各桁を以下のように分割する。U5=10U6V6=20と見なす。値0、1、2、3、4、5、および6をV5に割り当てると、それぞれV5T5=0、1261、2648、4167、5824、7625、および9576が得られる。ここで、である。よって、V5T5≦8457となるには、V5∈Wの最大値が5である。ここで、T5=1525である。a5=V5=5およびR5=10a6a5=25とする。以降のステップについては、結果を下表に示す。ステップ3よって、R1=105a6104a5103a4102a310a2a1=254364がMの立方根である。また、であることが分かる。所与の問題について、上記の段階的な手順を踏むことはできる。ただし、より簡単な表現として、以下の例に示すような別の手順が有用と考えられる。例2.4√16192865729296を求める。よって、2006が求めるべき根である。5.2Mがちょうどn乗でない場合例3.6√175を小数点以下第2位まで正しく求める。例4.3√35.66を小数点以下第3位まで正しく求める。6.結論上記の解析法では、所与の正の実数に関してn乗根の一桁ごとの開平を直接実行することができる。n乗根の決定にニュートン法を用いる場合は、初期解を割り出した後に、微分法を適用する必要がある。一方、上記の方法では、簡単な算術演算しか用いず、初期解も不要である。この方法は、コンピュータで実現可能であるため、電子機器に組み込んで、メモリー空間を増やすことなく所与の正の実数のn乗根を決定するようにしてもよい。"