"単振り子、高速度カメラ、計測器本体より構成され、単振り子の運動状態を高速度カメラで撮像し、その画像データを高速度カメラのメモリから計測器本体のメモリに取り込み、取り込んだ画像を解析して、振り子の1周期毎の振幅と周期を得、その周期を振幅のデータにより重力の加速度を計算するような重力の加速度の計測装置。単振り子、高速度カメラ、計測器本体より構成され、単振り子の運動状態を高速度カメラで撮像し、その画像データを高速度カメラのメモリから計測器本体のメモリに取り込み、取り込んだ画像を解析して、振り子の1周期毎の振幅と周期を得、その周期を振幅のデータにより重力の加速度を計算するような重力の加速度の計測方法。重力の加速度の計測には、1バネを使用したもの,2KATERの可逆振り子、3投げ上げ式等があるが、ここでは、第6図に示すような単振り子による重力の加速度の計測方法について考える。この場合、単振り子の腕の長さをL,重りの質量をm、鉛直線と腕の角度をθとすると単振り子の運動方程式は次式で表せる。gsinθ-Ld2θ/dt2=017上式は、sinθ≒θと置くと、微分方程式の解は容易に解けて、次式に示す周期をもつ周期関数であることがわかっている。この式を使えば、周期τを計測すれば、腕の長さLは既知であるから重力の加速度gは容易に得られる。しかし、問題は、近似式を含むために、必然的に、結果に誤差を含むことである。近似式を使用する限り問題は残る。そこで、近似式によらない単振り子の運動方程式を以下第6図により検討する。振り子の重りの質量をm、振り子の腕の長さをLとする。A点は最下点、C点は角速度dθ/dtが0となる位置で、重りの最上位点とし、そのときの角をα最大振れ角とする。B点は、A点とC点間の途中の任意の位置で、その時の振れ角をθとする。振り子の重りの運動方向の力の釣り合いを考えると次式が成立するmLd2θ/dt2=-mgsinθ19運動方向に垂直な方向の力の釣り合いを考えるとN-mgcosθ-mLdθ/dt2=020ここに、N:腕にかかる張力左辺第2項は、重りの重力の分力左辺第3項は遠心力と書ける。19式の両辺にLdθ/dtを乗じ左辺に集めると、mL2d2θ/dt2dθ/dtmgLdθ/dtsinθ=0tについて積分すればmL2dθ/dt2/2-mgLcosθ=E21Eは積分定数で、21式は、振り子の重りについての力学的エネルギー保存則を表している。Eは、全エネルギーである。今、最低位置Aにおける重りの速さをVとすれば、Ldθ/dtθ=0=vθ=0=Vであるから21式において、θ=0とおけばE=mV2/2-mgLとなる。この値を用いると21式はL2dθ/dt2=V2-2gL1-cosθ22と書き換えられる。20式と22式とからdθ/dtを消去すればN=mV2/Lmg3cosθ-223振り子による重力の加速度計測においては、α≦π/2という条件である。ここで、最大振れ角αと最下点での振り子の速度Vの関係を求めておく。位置のエネルギーと運動のエネルギーの関係からmgL1-cosα=mV2/2が得られ、これを変形するとcosα=2gL-V2/2gL24が得られる。24式を用いて22式を書き換える。2=2g/L25を得る。重りが、点Aから点Cの方へ上昇しているとき、dtdθ>0であるから重りが点Aを出発した瞬間を原点とすれば、上式よりこの積分をsinsinsin30とおいてψについての積分に改める。cosdθ=sincosψdψ31からここに、k2=sin233また、29式に32式と34式を代入して点Cに達するまでの所要時間は、振り子の周期τの14、また、C点では、θ=αであるから、30式からψ=π2よって、周期τは次式で表せる。ここで、とすると一方、の関係から上式の級数の各項に下記公式を適用するとKπ212k22k42k642ここに、k=sinα243を得る。従ってαが微小角の場合には、42式の無限級数部は、第2項以降を無視してもよく、第1項のみで計算すると、周期の計算式である44式は、τ=2πSQRTLgとなり、近似式による周期の計算式である18式と一致する。44式は、無限多項式であり、打切り誤差を生じる。しかし、要求される精度に打ち切る項を調整可能であり精度上の問題は解決できると考えてよい。ここで、周期の計算に最大振れ角αが表れている点に注目する必要がある。打切り誤差については図15に示す。近似による誤差を含まない周期の計算式は得られたが、単振り子で周期を計測するには、精度を高めるために、何回か振り子を振らせて、平均値をとるのが一般の計測方法である。しかし、計測途中に、空気抵抗により振幅が減少するという問題がある。誤差をほとんど考慮する必要のない44式を使用したとしても、最大振れ角αは、一回振れるごとに違った値となるので、一周期毎に正確な振幅を計測することが必要となる。振り子による場合、振幅と周期を毎回正確に計測しない限り重力の加速度を精度よく計測でないという課題があった。力学1、国井修二郎他共著、丸善、P223-232インターネット、httpwwwkagakuinfogravity990510第1図に単振り子による重力の加速度の計測装置の構成図を示す。本方法では、振り子の運動を高速度カメラで撮影し、その画像を解析して一往復毎にその時の周期と振幅を正確に計測できるようになっている。n往復の振幅と周期を正確に計測できたとすると次式のように正確な重力の加速度が得られる。1周期毎のデータから但し、Ki=π21122ki213242ki4ki=sinαi45式の格式左辺と右辺をそれぞれ足し合わせる上式を変形するとただし、Ki=π21122ki213242ki4,ki=sinαi2一往復ごとのτiとαiが正確に求められた場合には、上式から正確な重力の加速度が得られることが理解されよう。精度を上げたいときには、無限数列の計算する項を上げればよい。その目安を第15図に示す。例えば、αが10°の場合には、、第3項まで計算すると第4項目が誤差で、4.2710-8である。第4項目まで計算に入れると、誤差は第5項目で2.4810-10である。第1図に本発明の実施例を示す。1は計測器本体で高速度カメラ6からの画像を取り込み画像処理で振り子の振幅や周期を計測できるように仕組んである。2は振り子の支点、3は振り子の腕糸、4は振り子の重り、5は振り子の位置を読み取るための目盛板で半透明の材質でつくられており表面に目盛を描画してある。裏側には照明7第2図参照が設置されており重りや目盛をカメラ画像上認識しやすくしてある。6は高速度カメラである。このような構成であるから、振り子の運動状態は高速度カメラでディジタル画像として取得できる。高速度カメラのディジタル画像データは計測器本体1に取り込み画像解析により振り子の振幅や一周期毎の所要時間周期を正確に取得できるようになっている。第2図は、装置を側面から見たものである。半透明の目盛板5の後方には照明7が設置してあり高速度カメラで振り子の重りや目盛を認識しやすくしてある。高速度カメラは、なるべく遠くに設定し、望遠レンズで撮影する。このようにしてもカメラからの振り子の重りまでの距離と目盛板までの距離の差があるので誤差を生じる恐れがある。そのため、画像処理の際に次式により誤差補正を行うものとする。補正後振幅中央からの距離=補正前の振幅中央からの距離A/ABただし、Aをカメラと重り間距離Bを重りと目盛板表面間距離とする。このようにすることにより、振り子の重りと目盛板が同一面でないために生じる誤差の発生を防止した。第7図は計測器本体の詳細を示す。8は中央処理装置CPU、10は主メモリ、16は画像処理専用プロセッサー、14は表示機構、9はシステムバスである。その他、13はキーボード、15は外部メモリ、11はUSBインターフェースである。高速度カメラ6からUSBインターフェース11を介してディジタル画像データを取り込み外部メモリ15に取り込むように仕組んである。第8図は、本測定処理のメインプログラムの処理フローを示す。ボックスA10は、振り子の腕の長さL、高速度カメラのフレームレートFPSなどの初期データを取り込むための処理である。処理開始を待って、キーボード13より指示があれば、次処理に移行するボックスA20。ボックスA30は、高速カメラからディタル画像データを取り込む処理である。ボックスA40は取り込んだディジタル画像を1画面づつ取り込み解析し、振幅や周期を計算する処理である。ボックスA50は、振幅、周期計算処理である。ボックスA60は、上述の処理結果を利用して、重力の加速度を計算する処理である。第9図は、ボックスA30の詳細処理をフローで示す。カメラ画像を取り込みボックスB10、画像データを記憶メモリに書き込むボックスB20。第10図は、ボックスA40の詳細処理を示す。カメラ画像解析処理プログラムの処理フローである。カメラ画像を一画面づつ取り込みボックスC30、振り子の重りが最左端を通過時は、重りの座標を計算し記憶するボックスC30。次に、重りが中央を通過時は、画像のフレーム番号を記録するボックスC70、更に、最右端を振り子の重りが通過したときは、その重りの座標を記録するボックスC90。次に中央線通過の場合には、中央通過時のファイル番号を記録するボックスC110。処理結果は第11図に示すようなテーブル20に書き込む。座標値と共に、画像のフレーム番号FNOやデータコード左端、右端、中心の区分を示すL,R、C等のコードをテーブル20に書き込む。更に、座標値は、目盛面と重りの移動面が異なることによる補正をする。すなわち、補正座標値=補正前座標値A/AB41ここで、Aをカメラと重り間距離、Bを重りと目盛板表面間距離とする。第12図はボックスA50の詳細処理を示す。振幅、周期計算処理プログラムのフローである。画像解析結果格納テーブル20から一往復分のデータを取り込みボックスD20、振幅、周期を計算するボックスD30。結果を振幅周期格納テーブル22に書き込むボックスD40。第13図に振幅周期格納テーブル22の内容を示す。ここで、周期は、フレーム番号FNOとフレームレートから計算する。高速度カメラのフレームレートは、300、1200などを選択できる。フレームレート300を選択した場合には、フレーム差が、242の場合には、その区間の時間差は、242300=0.800秒である。第14図は、ボックスA60の詳細処理を示す。重力の加速度の計算処理のフローである。ボックスF10では、式47の分母の中の時間の集計Στiの計算を行っている。ボックスF20では、式47の分子の中の級数の部分の集計の計算を行っている。ボックスF30では、上述の計算結果を使用して重力の加速度の計算を行い、ボックスF40では結果を出力する。本発明の重力の加速度の計測器は、高精度に且つ自動的に重力の加速度を計測することを目的としている。1振り子の振幅による周期誤差を補正しており正確な周期を計算式に使用でき重力の加速度の計測精度がよい。2単振り子のディジタル画像を高速度カメラで撮影し、それを画像処理するので、作業が容易である。3単振り子、高速度カメラ、パソコンという簡単な構成で高精度の計測ができる。"