"少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号合成方法であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する3つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動、前記第2曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算過程と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算過程とを備えることを特徴とする楽音信号合成方法。前記第3運動方程式は、前記第1曲げ振動及び前記第2曲げ振動を用いて表されていることを特徴とする請求項1に記載の楽音信号合成方法。少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号合成方法であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算過程と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算過程とを備えることを特徴とする楽音信号合成方法。少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号合成方法であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記第2曲げ振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算過程と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算過程とを備えることを特徴とする楽音信号合成方法。コンピュータに、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成させるプログラムであって、前記コンピュータを、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する3つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動、前記第2曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段として機能させるためのプログラム。コンピュータに、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成させるプログラムであって、前記コンピュータを、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段として機能させるためのプログラム。コンピュータに、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成させるプログラムであって、前記コンピュータを、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記第2曲げ振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段として機能させるためのプログラム。少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号生成装置であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する3つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動、前記第2曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段とを具備することを特徴とする楽音信号生成装置。少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号生成装置であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段とを具備することを特徴とする楽音信号生成装置。少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号生成装置であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記第2曲げ振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段とを具備することを特徴とする楽音信号生成装置。ピアノの弦は、その一端が本体の一部であるフレーム上のベアリングで支持され、他の一端が本体の一部である響板上の駒で支持されている。鍵を押すと、対応する弦がダンパから解放されると同時に、ハンマに運動エネルギが与えられる。ハンマが弦を打つことによって弦の中に励起した波動のエネルギは、一部がこれらの支持端を介して本体に透過し、残りが支持端で反射されることによって弦の中に留まる。弦の中に生まれた波動が弦支持端間の往復を繰り返すことによって、振動が生まれる。弦の軸方向に直交する方向の振動、即ち、曲げ振動は、最初、ハンマによって打たれた方向に生じるが、3次元運動を行う駒の影響により、それと直交する方向にも生じる。弦は、上記2方向の曲げ振動の他に弦軸方向の振動、即ち、縦振動も行う。ダンパペダルを踏み込むことによって、全ての弦がダンパから解放されるとき、ハンマに打たれていない弦までもが、本体からエネルギをもらうことによって振動を始める。このように、ピアノの発音は、弦が本体を振動させるだけでなく、本体も弦を振動させる3次元連成振動機構によっている。そして、響板、フレーム、支柱、側板などから構成される複雑な3次元形状を有する本体の全表面から空気中に音響が放射されることによって、豊かで立体的なピアノ特有の楽音が生成される。ところで、標準的な88鍵ピアノのおよそ第40鍵より下の音域においては、リンリン、ヒンヒン、あるいはヒーン、キーンといった、鈴がなるような、あるいは金属的な非調和音以下、リンギングサウンドというが発生する場合がある。この特徴的なリンギングサウンドは、強打時ほど際立って発生し、そのレベルが大きすぎると不快に感じられることもあるが、逆にそれが全く聴こえないとするとピアノ音は単調でつまらないものとなってしまう。このピアノ特有のリンギングサウンドの発生には、弦の非線形有限振幅振動が寄与している。要するに、音階を生成する部品である弦と、弦を支持し、空気中に音響を放射する部品である本体とを有する3次元構造体であるピアノから発せられる楽音の特徴をリアルに表現するためには、弦と本体との3次元連成振動機構、本体の3次元音響放射機構、弦の非線形有限振幅振動機構の3点を考慮した上で高精度のシミュレーションを行う必要があるが、これを実現するための方法計算アルゴリズムは未だ提案されていない。ピアノでは、鍵の押し込み深さ、あるいは、ダンパペダルの踏み込み深さを時間軸上でコントロールすることによって、多彩な音楽的ニュアンスを表現することができる。例えば、打鍵後、押し込んだ鍵をゆっくり離すか急に離すかによって音の止まり方のニュアンスは全く異なったものになる。また、ピアノでは、ダンパペダルを全ストロークの途中まで踏み込むハーフペダルと呼ばれる奏法を用いることで、弦を最大限共鳴させるのではなく適度に共鳴させるといったことが可能となる。従来の電子音源では、上記のような多彩な止音および弦共鳴の効果を生成することはできない。一般的なグランドピアノには、シフトペダルと呼ばれるペダルが備わっている。このペダルを踏み込むことで全てのハンマの位置が高音側にシフトし、ハンマの普段弦にあたっていない相対的に柔らかい部分が弦にあたるようになる。更に、それを完全に踏み込むとき、例えば、1個の鍵に対応して3本の弦が備わっている音域では、ハンマは3本中2本の弦のみを打つようになり、残りの1本は共鳴弦として働くようになる。従来の電子音源では、シフトペダルの踏み込み加減によって得られるきめ細かな音楽的ニュアンスを表現することはできない。本発明は、上述の事情に鑑みてなされたものであり、弦および本体を有する3次元構造の楽器から発せられる音が有する特質をリアルに表現した疑似楽器音を生成することができる楽音信号合成方法、プログラムおよび楽音信号合成装置を提供することを目的とする。上述の課題を解決するため、本発明は、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号合成方法であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する3つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動、前記第2曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算過程と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算過程とを備えることを特徴とする楽音信号合成方法を提供する。また、別の好ましい態様において、前記第3運動方程式は、前記第1曲げ振動及び前記第2曲げ振動を用いて表されているを特徴とする。また、本発明は、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号合成方法であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算過程と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算過程とを備えることを特徴とする楽音信号合成方法を提供する。また、本発明は、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号合成方法であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記第2曲げ振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算過程と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算過程とを備えることを特徴とする楽音信号合成方法を提供する。また、本発明は、コンピュータに、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成させるプログラムであって、前記コンピュータを、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する3つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動、前記第2曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段として機能させるためのプログラムを提供する。また、本発明は、コンピュータに、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成させるプログラムであって、前記コンピュータを、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段として機能させるためのプログラムを提供する。また、本発明は、コンピュータに、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成させるプログラムであって、前記コンピュータを、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記第2曲げ振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段として機能させるためのプログラムを提供する。また、本発明は、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号生成装置であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する3つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動、前記第2曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段とを具備することを特徴とする楽音信号生成装置を提供する。また、本発明は、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号生成装置であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記弦の縦振動を表す第3運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記縦振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段とを具備することを特徴とする楽音信号生成装置を提供する。また、本発明は、少なくとも第1の方向から力を及ぼされて振動する弦と、前記弦を支持する弦支持端とを有する楽器から発せられる音の楽音信号を、入力される演奏情報に応じて生成する楽音信号生成装置であって、前記演奏情報に応じて算出される前記弦に及ぼす力を表す第1の情報を取得し、前記弦支持端を介した相互作用を有する2つの運動方程式であって、前記第1の情報を用いた前記第1の方向の前記弦の第1曲げ振動を表す第1運動方程式、および前記第1の方向とは異なる方向の前記弦の第2曲げ振動を表す第2運動方程式に基づいて、前記弦の第1曲げ振動および前記第2曲げ振動を示す第2の情報を算出する弦モデル計算手段と、前記第2の情報に基づいて、前記楽音信号を算出する楽音信号計算手段とを具備することを特徴とする楽音信号生成装置を提供する。本発明によれば、弦および本体を有する3次元構造の楽器から発せられる音が有する特質をリアルに表現した疑似楽器音を生成することができる楽音信号合成方法、プログラムおよび楽音信号合成装置を提供することができる。以下、本発明の一実施形態について説明する。<第1実施形態>図1は、本発明の第1実施形態に係る電子楽器1の構成を示すブロック図である。電子楽器1は、例えば、電子ピアノであり、制御部11、記憶部12、ユーザ操作部13、演奏操作部15および放音部17を有している。これらの各部は、バス18を介して互いに接続されている。制御部11は、CPUCentralProcessingUnit11a、DSP11b、他の図示しない周辺回路、ROMReadOnlyMemory11c、RAMRandomAccessMemory11d、信号インターフェイス11eおよび内部バス11fを有する。DMADirectMemoryAccessコントローラ、ビデオプロセッサは他の周辺回路として含まれていてもよい。CPU11aは、ROM11cに記憶されている制御プログラムを読み出して、RAM11dにロードして実行することにより、電子楽器1の各部について、バス18を介して制御し、後述する楽音信号合成処理を行う楽音信号合成部100などを実現する。また、RAM11dは、CPU11aが各データの加工などを行う際のワークエリアとして機能する。記憶部12は、例えば、ハードディスクなどの大容量記憶手段であって、MIDIMusicalInstrumentDigitalInterfaceデータなどの楽音制御データ、後述する楽音信号合成処理により生成した楽音信号などを記憶する。楽音制御データは、この例においては、鍵の押込量、ハンマ速度、ダンパペダル踏込量、シフトペダル踏込量の時刻の進行に応じた変化を示すデータを含んでいる。これらのデータは、情報記憶媒体DP例えば、コンパクトディスクからロードされたり、ネットワークを介してサーバからダウンロードされたりしたものであってもよい。ユーザ操作部13は、操作パネル13aおよび表示部14を有する。操作パネル13aには、例えば、マウス13b、操作スイッチ13c、キーボード13dなどである。ユーザがマウス13b、操作スイッチ13c、キーボード13dを操作するとその操作内容を表すデータが制御部11へ出力される。これにより、ユーザは電子楽器1に指示を行う。表示部14は、映像を画面に表示する液晶ディスプレイなどの表示デバイスであって、制御部11に制御され、メニュー画面などの各種画面を表示する。メニュー画面は、電子楽器1に電力が供給されると、自動的に表示されるようにしてもよい。演奏操作部15は、鍵盤部15aおよびペダル部16を有する。鍵盤部15aは、電子ピアノなどの鍵盤部分に相当するものであって、複数の鍵黒鍵15b、白鍵15cが並べられた鍵盤を有する。また、鍵盤部15aにおける各鍵15b、15cには、各鍵を押し込まれると、その鍵の押込量を表す情報を出力する鍵位置センサ15d、および押込速度を表す情報を出力する鍵速度センサ15eが設けられている。鍵盤部15aは、鍵の押込量を表す情報をアナログ形式からデジタル形式に変換した情報KSを出力し、また、押込速度を表す情報をアナログ形式からデジタル形式に変換した情報KVを、バス18を介して制御部11の信号インターフェイス11eまで定期的に出力する。鍵盤部15aは、これらの情報KS、KVを、押し込まれた鍵を表す情報KC例えば、鍵番号とともに出力する。このとき、ハンマ速度は、制御部11において、鍵盤部15aから出力される情報をもとに算出される。なお、押込速度については、鍵位置センサ15dから出力される鍵の押込量から算出されるようにして、鍵速度センサ15eについては設けられていなくてもよい。この場合には、鍵盤部15aに鍵の押込量から押込速度を算出する算出部を設けてもよい。また、制御部11のCPU11aにおいて、情報KSから押込速度を算出するようにしてもよい。ペダル部16は、ダンパペダル16aおよびシフトペダル16bに相当する複数のペダルを有する。また、ダンパペダル16aおよびシフトペダル16bには、ペダルが踏み込まれると、そのペダルの踏込量を表す情報を出力するペダル位置センサ16cが設けられている。ペダル部16は、ペダルの踏込量を表す情報をアナログ形式からデジタル形式に変換した情報PSを、バス18を介して制御部11の信号インターフェイス11eまで定期的に出力する。ペダル部16は、この情報PSを、踏込まれたペダルを表す情報PCとともに出力する。このように、鍵盤部15aおよびペダル部16は、その操作により、各演奏情報を出力する。放音部17は、デジタルアナログ変換器17a、図示しないアンプおよびスピーカ17bを有する。制御部11の制御により入力される楽音信号は、デジタルアナログ変換器17aにおいてデジタル形式からアナログ形式に変換され、アンプで増幅され、スピーカ17bから音として出力される。この楽音信号は、この例においては、後述する楽音信号合成処理の結果生成されるものである。以上が、電子楽器1の構成の説明である。次に、制御部11が制御プログラムを実行することによって実現される楽音信号合成部100について図2を用いて説明する。なお、以下に説明する楽音信号合成部100については、それぞれの各機能をハードウエアによって実現してもよい。図2は、楽音信号合成部100の構成を示すブロック図である。楽音信号合成部100は、以下で説明する複数モデルダンパモデル、ハンマモデル、弦モデル、本体モデル、空気モデルから構成される物理モデルにより、擬似ピアノ音を示す楽音信号を合成する。標準的なピアノは、鍵盤には88個の鍵が備わっており、各鍵に対応して、ハンマが1個、弦が1~3本、ダンパが0~複数個弦と複数点で接触することを意味する、備わっている。なお、弦の本数、ダンパの個数については、音域毎に異なるものとなっている。図3は、標準的なグランドピアノの構成を説明する図である。上記複数のモデルは、図3に示す標準的なグランドピアノアコースティックピアノ21を前提としている。グランドピアノ21は、88の鍵21aを含む鍵盤21b、アクション機構21dを介して鍵21aと接続されたハンマ21c、弦21e、および弦21eと接触可能なダンパ21fを有する。弦21eは、その一端で駒21eaと、他端でベアリング21ebと接続されている。鍵21a、ハンマ21c、アクション機構21d、弦21e、ダンパ21fは、大部分がキャビネット21h内に収められている。弦21eの数およびダンパ21fの接触点の数は、音域によって変化する。キャビネット21h、フレーム、木製フレーム、駒21ea、ベアリング21ebおよびピアノ音を放射する他の振動部分は、本体21jを構成する。以下の説明において、弦、ハンマ、ダンパおよび本体は、標準的なグランドピアノ21における構成を示し、電子楽器1に含まれている構成を示すものではない。図2に示す楽音信号合成部100は、比較部101、ダンパモデルを対応する弦毎に計算するダンパモデル計算部102-1、102-2、ハンマモデルを計算するハンマモデル計算部103、弦モデルを弦毎に計算する弦モデル計算部104-1、104-2、本体モデルを計算する本体モデル計算部105、および空気モデルを計算する空気モデル計算部106を有する。ダンパモデル計算部102-1、102-2は、ダンパモデルにより、ある弦21eの振動を計算する。弦モデル計算部104-1、104-2は、弦モデルにより、ある弦21eの振動を計算する。ハンマモデル計算部103、本体モデル計算部105および空気モデル計算部106は、それぞれハンマモデル、本体モデル、空気モデルにより、ある弦21eの振動を計算する。比較部101は、ダンパモデル計算部102-1、102-2に接続されている。ダンパモデル計算部102-1、102-2は、それぞれ、弦モデル計算部104-1、104-2に接続されている。ハンマモデル計算部103は、弦モデル計算部104-1,104-2の双方に接続されている。弦モデル計算部104-1、104-2は、本体モデル計算部105と接続されている。本体モデル計算部105は、空気モデル計算部106と接続されている。楽音信号は、空気モデル計算部106から出力される。楽音信号合成部100の楽音信号合成処理によって得られる楽音信号は、特定の鍵において、対応する弦が2本である場合の物理モデルによるものである。即ち、本体モデルを計算する本体モデル計算部105に対して、弦モデルを計算する弦モデル計算部104-1、104-2が並列に接続されている。ここで、弦が3本以上であれば、本体モデル計算部105に対して、並列に接続される弦モデル計算部104-iwiw=3,4,および弦モデルに接続されるダンパモデル計算部102-iwiw=3,4,を増やせばよい。また、鍵が複数存在する場合には、鍵の数に応じて、ダンパモデル計算部102、ハンマモデル計算部103および弦モデル計算部104の組を増やして、各鍵に対応する弦モデル計算部104を本体モデル計算部105に接続すればよい。したがって、図2に示す楽音信号合成部100は、一般性を有している。楽音信号合成部100における入力信号としては、制御部11によって生成される各信号であって、鍵盤部15aから出力される鍵の押込量を表す情報に応じて生成される信号以下、入力信号1eKnΔtという、鍵の押込速度および押込加速度を表す情報に応じて生成されるハンマ速度を表す信号以下、入力信号2VHnΔtという、ペダル部16から出力されるダンパペダルの踏込量を表す情報に応じて生成される信号以下、入力信号3ePnΔtという、シフトペダルの踏込量を表す情報に応じて生成される信号以下、入力信号4eSnΔtというの4信号である。これらの4信号はそれぞれ、離散時間軸t=nΔtn=0,1,2上の信号として、上述した情報KS、KV、PSに基づいて楽音信号合成部100に入力されるものとする。なお、これらの4信号は、制御部11が記憶部12に記憶されている楽音制御データを読み出すことによって生成されるものであってもよい。一方、楽音信号合成部100における出力信号としては、空気モデル計算部106から出力される空気中の観測点における音圧の波形を示す楽音信号以下、楽音信号PnΔtというである。まず、この例における楽音信号合成部100における楽音信号合成処理の物理モデルにおいては、以下に示す28の仮定がなされている。仮定1重力は無視する。仮定2軸力を受けて真っ直ぐに静止している状態以下、静的平衡状態というにある弦は細長い円柱形状であるものとする。仮定3弦の太さは不変であるものとする。即ち、はり理論を採用するものとする。仮定4弦の中心軸に垂直な断面は、変形後も平面を保ち、かつ中心軸に垂直であるものとする。即ち、ベルヌイオイラーの仮定を採用するものとする。仮定5弦の振幅は小さいが、必ずしも微小ではないものとする。仮定6弦は均質であるものとする。仮定7弦の応力は、ひずみに比例する成分とひずみ速度に比例する成分の和として与えられるものとする。即ち、弦には内部粘性減衰剛性比例粘性減衰ともいうが働くものとする。仮定8弦の軸方向には外部粘性減衰質量比例粘性減衰ともいうが働くものとする。仮定9弦の一端は本体の一部であるベアリング上の点で支持され、他の一端は本体の一部である駒上の点で支持されているものとする。弦は支持端において回転を拘束されないものとする。仮定10弦と空気との間の作用反作用は無視する。仮定11ハンマの弦に接触する部分以下、ハンマ先端というの形状は、円柱状であるものとし、その円柱の底面半径は無限小であるとし、その円柱の高さは他の弦と干渉しない程度であるものとする。仮定121個のハンマに対応する弦が複数本ある場合には、それらの弦の静的平衡状態における中心軸は、同一平面上にあるものとする。仮定131個のハンマに対応する弦が複数本ある場合には、その1個のハンマは、それらの弦の数と同じ数のハンマ先端を有するものとする。仮定14ハンマ先端円柱の中心軸の方向は、静的平衡状態にある弦円柱の中心軸の方向に直交するものとする。仮定15ハンマ重心は1つの直線上でのみ運動するものとする。仮定16ハンマ重心の運動方向は、ハンマ先端の中心軸の方向と静的平衡状態にある弦円柱の中心軸の方向の両方に直交するものとする。仮定17ハンマの変形する方向は、ハンマ重心の運動方向に一致しているものとする。仮定18ハンマの圧縮力圧縮量関係式は、指数を正の実数とするべき関数で与えられるものとする。仮定19ハンマ先端と弦表面との間には摩擦は無いものとする。仮定20ハンマと空気との間の作用反作用は無視する。仮定21ダンパが備わっている弦については、弦の曲げ振動を静止させようとするダンパによる抵抗力が、弦の中心軸上の点以下、止音点というに作用するものとする。仮定22ダンパの抵抗力速度関係式は、1次式で与えられるものとする。仮定23本体の振幅は微小であるものとする。仮定24本体は近似的に比例粘性減衰系として扱えるものとする。仮定25本体が空気から受ける反作用は無視する。仮定26空気は均質であるものとする。仮定27空気の圧力体積ひずみ関係式は、1次式で与えられるものとする。仮定28空気は渦無しであるとする。また、この例における弦の物体座標の表現には、右手系x,y,zを用いる。ここで、静的平衡状態にある弦の中心軸にx軸を一致させ、ベアリング側支持端を原点0,0,0とし、駒側支持端がx>0なる領域に含まれる様にx軸の方向を定め、ハンマ重心の打弦時運動方向をz軸の正方向と定める。また、本体および空気の物体座標の表現には、右手系X,Y,Zを用いる。時刻の進行時間変数はtで表す。以下、この例において説明する各パラメータを表す記号について説明する。以下の数1から数5については、各モデルの計算にあたって入力される情報である。数1は、時刻の進行に伴い変動するパラメータ時間変動パラメータである。一方、数2から数5は、時刻の進行に伴う変動が無いパラメータ時間不変パラメータであって、予め設定されるものである。以下の数1は、演奏に関するパラメータ、即ち、楽音信号合成部100における入力信号に相当するものを示している。鍵、弦、ハンマ、ダンパ、本体は、それぞれ、標準的なグランドピアノ21の構成要素21a、21e、21c、21f、21jを示す。以下の数2は、設計に関するパラメータである。以下の数3は、本体の設計および空気中観測点の位置に関するパラメータである。以下の数4は、調律に関するパラメータである。以下の数5は、数値計算に関するパラメータである。以下の数6は、各モデルの計算により出力される情報、即ち、楽音信号である。以下の数7、数8、数9は、各モデルの計算上必要なその他のパラメータである。ここで、1個のハンマに対応する弦が1本の場合には、ZB、XB、YB、およびθHが与えられると、βkk’は一意に定まる。1個のハンマに対応する弦が複数本ある場合には、ZB、XB、YBが与えられると、βkk’は一意に定まる。以下の数10は、上記各パラメータにおいて上付き文字として記載されているインデックスの説明である。以下、この例における楽音信号合成部100の各部の処理内容について、図2を用いて順に説明する。なお、以後の説明においては、インデックスを全て書くと式が煩雑になって読みづらくなるため、説明上不可欠な場合を除いて、省略することとする。また、変数eKt、ePt、eStには初期値t=0における値として1が設定されている。即ち、鍵黒鍵15b、白鍵15cの押し込み、ダンパペダル16a、シフトペダル16bの踏み込みはされていない状態として設定されている。また、その他の全てのtに関する変数には、初期値として0が設定されているものとする。比較部101は、入力される鍵押込量入力信号1eKnΔtおよびダンパペダル踏込量入力信号3ePnΔtを取得し、小さい方の値をeDnΔtとして出力する。これは、以下の式1で表される。ダンパモデル計算部102は、1番目の弦iw=1に対応するダンパについて計算するダンパモデル計算部102-1、2番目の弦iw=2に対応するダンパについて計算するダンパモデル計算部102-2を有する。以下の説明においては、弦のインデックスが異なるだけであるから、ダンパモデル計算部102として説明する。なお、弦が3本以上存在する場合には、上述したように、ダンパモデル計算部102-iwiw=3,4,を弦iw=3,4,に対応させて設ければよい。弦モデル計算部104は、1番目の弦iw=1について計算する弦モデル計算部104-1、2番目の弦iw=2について計算する弦モデル計算部104-2を有する。以下の説明においては、弦のインデックスが異なるだけであるから、弦モデル計算部104として説明する。なお、弦が3本以上存在する場合には、上述したように、弦モデル計算部104-iwiw=3,4,を、本体モデル105に対して並列に設ければよい。弦モデル計算部104の計算については、後述する。ダンパモデル計算部102は、比較部101から出力されるeDnΔt、および後述するようにして弦モデル計算部104から出力されるukxD,nΔtk=1,3を取得して、これらを用いて、以下に示す計算を行った結果得られるfDknΔtを弦モデル計算部104に出力する。以下、ダンパモデル計算部102における計算について説明する。初期状態におけるピアノの弦は、ダンパによって振動を抑制された状態にある。ピアノの鍵を押し込んでいくと、対応するダンパが対応する弦から徐々に離れ出し、やがて弦はダンパの抵抗から完全に解放され、ハンマによる打弦に備える。また、ピアノにおいては、鍵の押込量だけでなくダンパペダルの踏込量によってもダンパと弦との接触度合を変えることができ、音の止まり方や弦共鳴の度合をきめ細かく制御することができる。このようなピアノにおけるダンパのメカニズムは、以下の式2に示すダンパの抵抗力fDktとダンパ変形量ukxD,tとの関係式をもって簡潔に表現することができる。この例においては、比較部101から出力されるeDnΔtを式2に代入することで、ダンパの粘性係数に相当する量bDeDnΔtを離散時間軸t=nΔtn=0,1,2上で逐次変化させるというアイデアにより、自然楽器のピアノと同様な自然で連続的な止音および弦共鳴の制御を可能にしている。実際の計算において、式2は、後述する弦モデル計算部104における弦のモード毎の運動方程式式16、式18の中に組み込まれる。以上が、ダンパモデル計算部102の説明である。ハンマモデル計算部103は、入力信号2VHnΔtおよび入力信号4eSnΔtを取得し、また、後述するようにして弦モデル計算部104から出力されるu1xH,nΔtを取得し、これらを用いて、以下に示す計算を行った結果得られるfHnΔtを弦モデル計算部104に出力する。以下、ハンマモデル計算部103における計算について説明する。上述した物理モデルに関する仮定に、ニュートンの運動の法則を適用するとハンマの運動方程式は、式3のように書かれる。また、ハンマ先端が弦表面に及ぼす力とハンマ圧縮量の関係式は、式4のようになる。ただし、ハンマ先端が弦表面に接触しているときは式5、ハンマ先端が弦表面から離れているときは式6、7が適用される。いま、式3の右辺をft、dwHt/dtをvHtとそれぞれ書くことにすれば、変数tに関する2階常微分方程式式3は、次に示す前進オイラー公式と台形公式を用いることで、離散時間軸t=nΔtn=1,2,3,上で、式8に示すように数値的に解くことができる。即ち、0より大きいハンマ速度VHn-1Δtが与えられるとき、式8のvHn-1Δt、fn-1Δt、wHn-1Δtに、それぞれVHn-1Δt、0、WHを代入することにより、ハンマ重心変位wHnΔtが直ちに算出される。やがて、ハンマ接触の条件、即ち、式5が満たされるとき、式4より、弦モデルへの出力fHiwnΔtが算出される。さて、ピアノにおけるシフトペダルのメカニズムとは、それを踏み込むとハンマの位置が高音側へシフトし、ハンマの弦に接触する部分を変化させる、あるいは、ハンマと一部の弦との接触を不完全な状態にすることによって音色を制御するという機構であるが、この例においては、入力信号4eSiSnΔtを式4に代入することにより、ハンマの弾性係数に相当する量KHeSiSnΔtを離散時間軸t=nΔtn=0,1,2,上で逐次変化させるというアイデアにより、自然楽器のピアノと同様な自然で連続的な音色の制御を可能にしている。以上が、ハンマモデル計算部103の説明である。弦モデル計算部104は、弦に及ぼす力となる、ダンパモデル計算部102から出力されるfDknΔtk=1,3およびハンマモデル計算部103から出力されるfHnΔt、また、後述するようにして本体モデル計算部105から出力されるuBknΔtk=1,2,3をそれぞれ取得し、これらを用いて、以下に示す計算を行った結果得られるFBknΔtk=1,2,3を本体モデル計算部105に出力し、また、ukxD,nΔtk=1,3をダンパモデル計算部102に出力する。以下、弦モデル計算部104における計算について説明する。上述した物理モデルに関する仮定において、ニュートンの運動の法則を適用すると弦の運動方程式は、式9、10、11のように書かれる。ただし、式9および式11において、有限振幅に起因する非線形項は、それによる効果が小さいため省略してある。同様に、式10において、ハンマが弦軸方向に与える力についても、それによる効果が小さいため省略してある。なお、式9はハンマ重心の運動方向に対応する弦の曲げ振動に、式11はハンマ重心の運動方向とは直交する方向に対応する弦の曲げ振動に、式10は弦の縦振動に、それぞれ対応している。また、弦の境界条件は、式12、13のように書かれる。さて、従来より、両端を単純支持された弦の非定常振動問題を解くための方法として、弦の変位を任意の時間関数を係数とするフーリエ正弦級数で表すという方法が知られている個iK=1,2,,IKの並列化された2次IIRInfiniteImpulseResponseフィルタとして、それぞれ記述できるから、離散時間軸t=nΔtn=0,1,2上で、AkiKiWmknΔtiK=1,2,,IK;iW=1,2,,IWiK;mk=1,2,,MkiK;k=1,2,3の値を各モード毎に逐次算出することができる。ただし、各タイムステップにおいて、式16および式18の計算を式17の計算に先行させ、式17の右辺に含まれる非線形項AkmkAkmkk=1,3を外力項のように扱うようにする。弦が弦支持端に及ぼす力と支持端変位との関係式は、式28、29のように書かれる。更に、式28、29に式15を代入することによって、式30、31が導かれる。ただし、非線形項と回転慣性に関する項は省略した。式30、31を次に示す本体-弦物理座標変換式式32に代入することによって得られる式に、前述の方法で算出されたAkmknΔtmk=1,2,,Mk;k=1,2,3の値を代入すれば、弦が弦支持端に及ぼす力FBkiBnΔt、即ち、弦モデル計算部104から本体モデル計算部105への出力を算出することができる。また、打弦点および止音点の変位は、式15より得られる式33、34にAkmknΔtmk=1,2,,Mk;k=1,2,3の値を代入することによって算出される。ここで得られたu1iK=1,2,,IK;iW=1,2,,IWiK;iB=0,1;k=1,2,3を入力とする以下のようなモード毎の2階常微分方程式式35として記述することができる。ところで、ピアノの本体は、木材や金属などから構成されるが、このうち、木材は低周波成分に比べ高周波成分の振動減衰能が大きいという特徴を有しており、このことがピアノあるいは木材で本体を構成された楽器特有の耳に心地よく温かい響きの原因ともなっている。このような木材の音響的性質は、木材を弾性係数と構造減衰係数の両方に3次元直交異方性を有する材料としてモデル化することによって説明することができる例えば参考文献2:日本機械学会編先端複合材料,pp6870技報堂出版,1990。弾性係数と構造減衰係数の両方に3次元直交異方性を有する材料を含むように構成された本体モデルは、一般構造減衰系非比例構造減衰系、あるいは、一般ヒステリシス減衰系ともいうとなるため、実固有値解析によって減衰行列を対角化することができない参考文献3が、ここでは、減衰行列の非対角項を無視することによって、近似的に比例構造減衰系比例ヒステリシス減衰系ともいうとみなすことにする。参考文献3:長松昭男モード解析培風館,1985更に、比例構造減衰系を比例粘性減衰系で近似する、即ち、モード構造減衰係数/2でモード減衰比を表すこととする。このとき、式35に含まれる固有角振動数、モード減衰比、固有振動モードは、任意3次元形状の本体に対し、商用の有限要素法ソフトを用いた実固有値解析を行うことによって算出することができる。ここで、モード減衰比は、近似的モード減衰比というべきものであるが、ここでは、便宜上、単にモード減衰比ということとする。本体のモード毎の運動方程式式35も、弦と同様に、双一次sz変換を用いることによって、M個の並列化された2次IIRフィルタとして、それぞれ記述できるから、離散時間軸t=nΔtn=0,1,2上で、ACmnΔtm=1,2,,Mの値をモード毎に逐次算出することができ、空気モデル計算部106に出力される。弦支持端の変位は、上述の方法で算出されたACmnΔtm=1,2,,Mの値を、物理座標-モード座標変換式式36を介して、弦-物理座標変換式式37に代入することによって算出できる。ここで得られたuBkiBnΔtは、弦モデル計算部104へ出力され、式16、17、18および式30、31、33、34に再帰的に代入される。以上が、本体モデル計算部105の説明である。空気モデル計算部106は、本体モデル計算部105から出力されるACnΔtを取得し、これを用いて、以下に示す計算を行った結果得られるPnΔtを出力する。以下、空気モデル計算部106における計算について説明する。任意形状の3次元構造物から放射される空気中の任意の観測点における非定常音圧は、原理的には、次式に示すような方法、即ち、構造物の全表面を十分に細かい音響放射要素境界要素に分割した上で、構造物の各音響放射要素の速度と空気中の観測点における音圧との間のインパルス応答関数と構造物の各音響放射要素の速度との畳み込み積分を要素毎に行い、それらの総和を計算するという方法式38によって算出することができる。しかしながら、高品質な疑似ピアノ音を合成するために必要な本体の音響放射要素数IGは通常膨大な数になるため、式38の計算には膨大な時間を要してしまうことになる。そこで、式38に式39、40を代入して、固有振動モードM個の総和を計算する順番と音響放射要素数IG個の総和を計算する順番を入れ替える、即ち、式41のような計算を行うことにする。高品質な疑似ピアノ音を合成するために必要な本体の固有振動モード数Mは、音響放射要素数IGに比べ、普通は、はるかに小さいから、式38のかわりに式41を用いる、即ち、本体の各音響放射要素の速度と空気中の観測点における音圧との間のインパルス応答式40左辺においてtはnΔtn=0,1,NiP-1ではなく、本体の各固有振動モードのモード座標上での速度と空気中の観測点における音圧との間のインパルス応答式42左辺においてtはnΔtn=0,1,NiP-1を予め計算しておくことによって、疑似ピアノ音の合成に要する時間を飛躍的に短縮させることができる。式43に含まれるHiPiG、即ち、本体の各音響放射要素の速度と空気中の観測点における音圧との間の周波数応答関数は、任意3次元形状の本体に対し、商用の境界要素法ソフトを用いた周波数応答解析を離散周波数軸上で行うことによって算出することができる。また、式42は一般的なIFFTInverseFastFourierTransform演算によって計算することができる。式41に含まれる微分係数、即ち、本体の各固有振動モードのモード座標上での速度は、本体モデルより出力されるACmnΔtm=1,2,,M、即ち、本体の各固有振動モードのモード座標上での変位を数値的に微分することによって、式41に含まれる積分は一般的なFIRFiniteImpulseResponseフィルタの方法によって、計算することができる。かくして、式41より、空気モデルからの出力信号、即ち、離散時間軸t=nΔtn=0,1,2上における音圧PiPnΔtiP=1,2,,IPを逐次算出し、楽音信号として出力することができる。ここで、式41中の畳み込み演算を時間領域ではなく周波数領域で行う高速畳み込みと呼ばれている手法を用いることによって、更に飛躍的な高速化をはかることができる。以上が、楽音信号合成部100の構成の説明である。このように、楽音信号合成部100は、楽器全体が3次元的に振動することによって生み出される豊かで立体的な響き、中低音域の弦を強打したときに聴こえるリンギングサウンド、鍵押し込み深さやペダル踏み込み深さに連動した多彩な音楽的ニュアンスなど、自然楽器のピアノ音が有する特質をリアルに表現する擬似ピアノ音を生成することができる。また、それらの特質を自然楽器のピアノと同じように、制御することが可能となる。具体的には、以下のようなものがある。例えば、弦長=弦支持点間の距離あるいは打弦比=弦長/ベアリング側弦支持端と打弦点との距離などのパラメータを変更することにより、リンギングサウンドのレベルをコントロールすることが可能となる。以下では、特に、このリンギングサウンドについて、式17を用いて説明する。ただし、ここでは説明を理解しやすくするために、式17において、弦支持端の変位、弦y方向の変位および弦の内部粘性減衰係数を省略した式44に従って説明することとする。式44は、弦の縦振動第i2次固有振動の運動方程式であるが、右辺を周期的外力とみなすことにより、1自由度粘性減衰強制振動系の運動方程式として考えることができる。よく知られているように、この方程式の一般解は、減衰する自由振動解斉次方程式の一般解と持続する強制振動解非斉次方程式の特解の和によって構成されるが、強制振動解の性質とは、系が周期的外力の振動数で振動し、その振動数が系の固有振動数に近づくにつれ振幅が大きくなり、一致すると共振するというものである。いま、弦の曲げ振動に関する各固有振動が調和振動であると仮定する、即ち、式45のように書くことにする。このとき、式44の右辺{}内は、式46として導かれる。いま、i2を固定して、式46に含まれる項cos2πtがつくる系列に着目し、この系列の第次振動数f1m1f1m1i2の倍音系列周波数からのずれを計算すると、i2が小さいとき、その値が、曲げ振動第次固有振動数f12m1i2の倍音系列周波数からのずれの約1/4であることが確認できる。自然楽器のピアノ音を分析することによりピアノの部分音の系列には、倍音系列からの周波数のずれが主系列の約1/4である副系列が存在することが知られており、従って前記項がつくる系列こそが前記副系列にあてはまる。なお、i2が大きくなるにつれ、このずれ量は少しずつ大きくなる。また、式46に含まれる項cos2πtがつくる系列も上記副系列の形成に寄与していること、ただし、その寄与度は先の項よりも小さいことが理解できる。式44に式46を代入した式は、副系列の第次の振動数f1m1f1m1i2が弦の縦振動の第i2次固有振動数に一致したとき共振現象が起こることを表している。これは、自然楽器のピアノ音が有する特徴的な現象である、ピアノの部分音の系列には、倍音系列からの周波数のずれが主系列の約1/4である副系列が存在することに加えて、副系列の奇数次部分音の周波数が、弦の縦振動の奇数次固有振動数に一致するとき、又は、副系列の偶数次部分音の周波数が、弦の縦振動の偶数次固有振動数に一致するとき、副系列部分音のレベルが増大し、これがリンギングサウンドとなること、より分析的な表現に変えると弦の曲げ振動の奇数次固有振動数と偶数次固有振動数の和が、弦の縦振動の奇数次固有振動数に一致するとき、又は、弦の曲げ振動の1組の奇数次固有振動数の和、あるいは、1組の偶数次固有振動数の和が弦の縦振動の偶数次固有振動数に一致するとき、リンギングサウンドが生成されること参考文献4に対する、数学的な説明を与えるものである。参考文献4:JEllisLongitudinalmodelinpianostringsResultsofnewresearchPianoTechniciansjournalpp1623May1998更に、リンリン、ヒンヒンといった唸り現象については、例えば、副系列第15次と副系列第15次とでは、振動数が僅かに異なるために、その振動数差が唸りを生むとして説明することができる。なお、式44に含まれる項cos2πtおよびcos2πtは、曲げ振動の固有振動数よりも僅かに高い周波数を有する部分音の存在を示すものである。さて、弦の材料定数を固定して考えるとき、式20より、弦の縦振動固有振動数は、弦長にのみ依存する。なお、ピアノの低音域に通常使用される、巻弦鋼鉄の芯線に銅線が巻かれている弦については、この限りではない。標準的な88鍵ピアノのおよそ第30鍵からおよそ第40鍵までの音域においては、弦長の設定が原因となって、副系列第15次の振動数と弦の縦振動基本固有振動数が近接している場合がある。そのような場合でも、打弦比を7または8に設定することで、リンギングサウンドの過剰なレベル増大を回避することができる。なぜならば、副系列第15次は、曲げ振動の第7次固有振動と第8次固有振動による生成物であるが、打弦比を7または8に設定すると曲げ振動の第7次または第8次の固有振動は欠落してしまうため、副系列第15次は生成されないからである。この場合でも、依然として副系列第15次などは存在するが、これらが縦振動の基本固有振動と共振することは無い。なお、自然楽器のピアノ音の時間周波数分析を行うと、副系列と一致しない場合の縦振動の固有振動のピークこれは、式17において右辺を0とした場合の自由振動解に相当するは、急速に減衰してしまい、持続的なものとしては観測されない。この減衰の原因としては、弦支持部での摩擦による部分が大きいものと推測される。本発明の弦モデルにおいては、弦全体に分布する外部摩擦、即ち、式10における外部粘性減衰係数bを含む項で、弦支持部における局所的な外部摩擦を代用している。以上、リンギングサウンドの発生メカニズムとそのレベルを制御する設計因子弦長、打弦比について説明したが、弦の縦振動そのものは、空気中に音響を放射する能力をほとんど持ち合わせていないから、リンギングサウンドが音として聴こえるためには、いま説明した弦の非線形有限振幅振動機構に加え、弦と本体との3次元連成振動機構弦の本体に対する取り付け角度や駒の形状などの設計因子がこれに含まれるおよび本体の3次元音響放射機構駒の形状はこれにも含まれるの考慮が不可欠であることは言うまでもない。ところで、自然楽器のピアノの開発現場において、ピアノ音の改良とは、ピアノという複雑なシステムの全体最適解を求めることに他ならないが、従来行われてきた試行錯誤的方法による最適解の模索は、ピアノのような多くの設計因子と誤差因子天然材料の物性のばらつきや整音など人間による作業のばらつきなどを有する巨大な音響構造体にとっては、特に、効率が悪い。本発明は、ピアノの仕様原因と音結果との因果関係を定量的に明らかにするものであるから、設計シミュレータとしてピアノ開発効率の向上にも貢献するものである。上記に加え、物理モデルによる楽音合成方法の利点は、現実のシミュレーションを超えた超自然的効果例えば、現実には製作が困難な著しく大きなピアノなどを仮想的に生成できる点にある。<第2実施形態>図4は、本発明の第2実施形態に係る電子楽器1Aの構成を示すブロック図である。電子楽器1Aは、例えば、電子ピアノであり、制御部11A、記憶部12A、ユーザ操作部13A、演奏操作部15Aおよび放音部17Aを有している。これらの各部は、バス18Aを介して互いに接続されている。ユーザ操作部13A、放音部17Aおよびバス18Aは、第1実施形態に係る電子楽器1におけるユーザ操作部13、放音部17およびバス18と同様な機能を有するため、説明を省略する。演奏操作部15Aは、第1実施形態における演奏操作部15とは異なり、シフトペダル16bが取り除かれている。そのため、ペダル位置センサ16Acは、ダンパペダル16aの踏込量を検出する。演奏操作部15Aにおける他の構成は、第1実施形態における演奏操作部15と同様な機能を有するため、説明を省略する。記憶部12Aは、第1実施形態における記憶部12とは異なり、ハンマ先端が弦表面に及ぼす力fHtを記憶している。この値は、第1実施形態におけるシフトペダル16bが踏込まれていない状態レスト位置における値を示す。制御部11Aは、第1実施形態における制御部11とは異なり、制御プログラムを実行して実現される楽音信号合成部100のうち、ハンマモデル計算部103を用いない楽音信号合成部100Aを実現する。図5は、楽音信号合成部100Aの構成を示すブロック図である。図5に示すように、楽音信号合成部100Aには、ハンマモデル計算部103がない。弦モデル計算部104A-1、104A-2は、ハンマモデル計算部103から出力されるfHtを取得するのではなく、記憶部12Aに記憶されたfHtを取得する。楽音信号合成部100Aにおける他の構成については、第1実施形態における楽音信号合成部100と同様の機能を有するため、説明を省略する。上述のように、第2実施形態における電子楽器1Aは、ペダルとしてダンパペダル16aだけを備えている電子ピアノの場合を想定したものである。<第3実施形態>図6は、本発明の第3実施形態に係る電子楽器1Bの構成を示すブロック図である。電子楽器1Bは、例えば、電子ピアノであり、制御部11B、記憶部12B、ユーザ操作部13B、演奏操作部15Bおよび放音部17Bを有している。これらの各部は、バス18Bを介して互いに接続されている。ユーザ操作部13B、放音部17Bおよびバス18Bは、第1実施形態に係る電子楽器1におけるユーザ操作部13、放音部17およびバス18と同様な機能を有するため、説明を省略する。演奏操作部15Bは、第1実施形態における演奏操作部15とは異なり、ダンパペダル16aが取り除かれている。そのため、ペダル位置センサ16Bcは、シフトペダル16bの踏込量を検出する。演奏操作部15Bにおける他の構成は、第1実施形態における演奏操作部15と同様な機能を有するため、説明を省略する。記憶部12Bは、第1実施形態における記憶部12とは異なり、ダンパの抵抗力fDktを記憶している。この値は、第1実施形態におけるダンパペダル16aが踏込まれていない状態レスト位置における値を示す。制御部11Bは、第1実施形態における制御部11とは異なり、制御プログラムを実行して実現される楽音信号合成部100のうち、比較部101およびダンパモデル計算部102-1、102-2を用いない楽音信号合成部100Bを実現する。図7は、楽音信号合成部100Bの構成を示すブロック図である。図7に示すように、楽音信号合成部100Bには、比較部101およびダンパモデル計算部102-1、102-2がない。弦モデル計算部104B-1、104B-2は、ダンパモデル計算部102から出力されるfDktを取得するのではなく、記憶部12Bに記憶されたfDktを取得する。楽音信号合成部100Bにおける他の構成については、第1実施形態における楽音信号合成部100と同様の機能を有するため、説明を省略する。上述のように、第3実施形態における電子楽器1Bは、ペダルとしてシフトペダル16bだけを備えている電子ピアノの場合を想定したものである。<第4実施形態>図8は、本発明の第4実施形態に係る電子楽器1Cの構成を示すブロック図である。電子楽器1Cは、例えば、電子ピアノであり、制御部11C、記憶部12C、ユーザ操作部13C、演奏操作部15Cおよび放音部17Cを有している。これらの各部は、バス18Cを介して互いに接続されている。ユーザ操作部13C、放音部17Cおよびバス18Cは、第1実施形態に係る電子楽器1におけるユーザ操作部13、放音部17およびバス18と同様な機能を有するため、説明を省略する。演奏操作部15Cは、第1実施形態における演奏操作部15とは異なり、ペダル部16が取り除かれている。そのため、ペダル位置センサも存在しない。演奏操作部15Cにおける他の構成は、第1実施形態における演奏操作部15と同様な機能を有するため、説明を省略する。記憶部12Cは、第1実施形態における記憶部12とは異なり、ダンパの抵抗力fDkt、およびハンマ先端が弦表面に及ぼす力fHtを記憶している。これら値は、第1実施形態におけるダンパペダル16aおよびシフトペダル16bが踏込まれていない状態レスト位置における値を示す。制御部11Cは、第1実施形態における制御部11とは異なり、制御プログラムを実行して実現される楽音信号合成部100のうち、比較部101、ダンパモデル計算部102-1、102-2、およびハンマモデル計算部103を用いない楽音信号合成部100Cを実現する。図9は、楽音信号合成部100Cの構成を示すブロック図である。図9に示すように、楽音信号合成部100Cには、比較部101、ダンパモデル計算部102-1、102-2およびハンマモデル計算部103がない。弦モデル計算部104C-1、104C-2は、ダンパモデル計算部102から出力されるfDktおよびハンマモデル計算部103から出力されるfHtを取得するのではなく、記憶部12Cに記憶されたfDktおよびfHtを取得する。楽音信号合成部100Cにおける他の構成については、第1実施形態における楽音信号合成部100と同様の機能を有するため、説明を省略する。上述のように、第3実施形態における電子楽器1Cは、ダンパペダル16aおよびシフトペダル16bを備えていない電子ピアノの場合を想定したものである。以上、本発明の実施形態について説明したが、本発明は以下のように、さまざまな態様で実施可能である。<変形例1>上述した実施形態においては、例えば、鍵盤部15a、ペダル部16の操作に応じて発音させる電子楽器1として機能させるために、リアルタイムに楽音信号合成処理を行っていたが、楽音制御データに応じて発音させる場合などにおいては、非リアルタイム処理としてもよい。この場合には、例えば、1曲分の楽音制御データを用いて、楽器本体の各固有振動モードのモード座標上での速度の時間軸上変動データの算出を先に行っておき、そのデータと本体の各固有振動モードのモード座標上での速度と空気中の観測点における音圧との間のインパルス応答または周波数応答のデータとの畳み込み演算を後から行うということもできる。これは、観測点の位置のみ変更した場合の楽音合成が容易に行えることを意味する。<変形例2>上述した実施形態においては、楽音信号合成処理は、ピアノの音を模擬した楽音信号を合成処理するものであったが、ピアノに限らず、振動する弦と、弦を支持し、弦の振動が伝達されることによって空気中に音響を放射する本体とを有する3次元構造の楽器であれば、どのような楽器例えば、チェンバロ、琴、ギターなどであってもよい。なお、琴のように弦が張られた両端の間に柱ピアノの駒に相当が設けられるような場合には、弦支持端の一端は柱となる。<変形例3>上述した実施形態における制御プログラムは、磁気記録媒体磁気テープ、磁気ディスクなど、光記録媒体光ディスクなど、光磁気記録媒体、半導体メモリなどのコンピュータ読取り可能な記録媒体に記憶した状態で提供し得る。また、ネットワークと接続可能な通信部を設け、インターネットのようなネットワーク経由でダウンロードさせることも可能である。"