"通信装置及び記憶装置を有するコンピュータにおいて、市場において流通可能な資産のオプション取引に伴うオプション価格を決定するオプション価格決定方法であって、前記コンピュータが、所定期間ごとの前記資産の市場における価格データのリストをしかるべき情報ソースから受け、前記記憶装置に記憶するステップと、前記コンピュータが、前記資産のオプション価格を決定するように求める要求を受けたことに応答して、前記記憶装置に記憶された前記リストを用いてオプション価格を決定する価格決定ステップとを含み、前記要求は、資産価格S,権利行使価格K,所定期間あたりの非危険資産利子率r、オプションの残存期間t、及び連続複利計算された配当性向qを含み、前記価格決定ステップは、前記コンピュータが、前記リストに基づき、与えられた期間における収益率を算出する収益率算出ステップと、前記コンピュータが、前記収益率算出ステップにおいて算出された収益率のうち、符号が負のものの符号を逆転する符号逆転ステップと、前記コンピュータが、前記符号逆転ステップにおいて負の符号が逆転された収益率の分布をハーフノーマル曲線に適合させ、当該ハーフノーマル曲線のボラティリティvを算出するステップと、前記コンピュータが、前記ボラティリティv、前記資産価格S,権利行使価格K,非危険資産利子率r、オプションの残存期間t、及び配当性向qの関数を計算することにより、当該関数の値として前記資産のオプション価格を決定する関数計算ステップとを含む、オプション価格決定方法。請求項1に記載のオプション価格決定方法であって、前記ボラティリティvを算出するステップでは以下の式によりボラティリティvが算出され、ただし関数Erfzは以下の式で表される誤差関数であり、関数Variance[w]は分布wの分散を表し、HalfNormalDistribution[θ]はパラメータθのハーフノーマル分布を表し、前記関数計算ステップは、以下の式により前記資産のコールオプションの価格HalfBSCall[S,K,v,r,q,t]を決定するステップを含む、オプション価格決定方法。請求項1に記載のオプション価格決定方法であって、前記ボラティリティvを算出するステップでは以下の式によりボラティリティvが算出され、ただし関数Erfzは以下の式で表される誤差関数であり、ここで、関数Variance[w]は分布wの分散を表し、HalfNormalDistribution[θ]はパラメータθのハーフノーマル分布を表し、前記関数計算ステップは、以下の式により前記資産のプットオプションの価格HalfBSPut[S,K,v,r,q,t]を決定するステップを含む、オプション価格決定方法。前記資産は株式である、請求項1~請求項3のいずれかに記載のオプション価格決定方法。通信装置及び記憶装置を有するコンピュータに、市場において流通可能な資産のオプション取引に伴うオプション価格を決定するために、所定期間ごとの前記資産の市場における価格データのリストをしかるべき情報ソースから受け、前記記憶装置に記憶するステップと、前記資産のオプション価格を決定するように求める要求を受けたことに応答して、前記記憶装置に記憶された前記リストを用いてオプション価格を決定する価格決定ステップとを実行させるコンピュータプログラムであって、前記要求は、資産価格S,権利行使価格K,所定期間あたりの非危険資産利子率r、オプションの残存期間t、及び連続複利計算された配当性向qを含み、前記価格決定ステップでは、前記コンピュータプログラムは、前記コンピュータに、前記リストに基づき、与えられた期間における収益率を算出する収益率算出ステップと、前記収益率算出ステップにおいて算出された収益率のうち、符号が負のものの符号を逆転する符号逆転ステップと、前記符号逆転ステップにおいて負の符号が逆転された収益率の分布をハーフノーマル曲線に適合させ、当該ハーフノーマル曲線のボラティリティvを算出するステップと、前記ボラティリティv、前記資産価格S,権利行使価格K,非危険資産利子率r、オプションの残存期間t、及び配当性向qの関数を計算することにより、当該関数の値として前記資産のオプション価格を決定する関数計算ステップとを実行させる、オプション価格決定のためのコンピュータプログラム。現状では、価格決定の仕組みをブラックボックスに入れ、高等な理論に基づいてオプションを組成しているということで、オプションの価格プレミアム=Premiumとよばれる。が公表され、それに基づいて一般に取引が行われている。このような状況では、その理論の複雑さにより、取引をすべきか否かに関する正しい判断が非常にむずかしい商取引が多くなっている。PRDC債PowerReverseDualCurrency複数通貨による早期償還条項付債権又はFXターンTargetRedemptionNote目標設定型早期買戻し条項付外国債債等という商品については、余程情報を持っている人でないと、その仕組みを理解できない。このように、その名前を聞いただけでは殆ど意味不明の仕組み債が日本でも金融機関及び証券会社によって売出されている。日本の地方自治体でもそうした商品をかなり購入しているところがあるという。しかもそれらは、満期日が10年、20年ということになっているようである。元本が保証されているとは言っても、償還は10年先の為替相場で計算されるのであれば、元本が償還されてもそれだけではあまり意味がない。そのような問題を避けるためにも、こうした商品の価格について容易にその適不適が判断できることが望ましい。こうした問題は、投機理論を含めたオプション理論の一般化が、これまでの経済学では出来ていなかったことによると思われる。これに関して、従来の解説書は、オプション価格の計算のところでは高等数学を使って説明し、その難解な公式をパーソナルコンピュータ以下、説明を簡略にするためにパソコンと呼ぶ。に計算させるための手順のみを示すか、難しい説明を避けるために、オプション価格の計算方法はくわしく説明しないか、どちらかのパターンが多いようである。仮に理論と実際との双方について詳細に説明しても、このような問題を理解するのはむずかしいと思われるためであろう。しかし、だからこそ、オプションの理論を正確、かつ厳密に把握しておくことは非常に重要なことである。大多数の経済学者は、たとえば、市場は効率的である、という一種の信仰のようなものを持っているところがある。彼らのその信仰を支えているのは、市場分析においては、完全競争と完全情報の仮定は相即不離の関係にあって、そのことによって市場の効率性が保証されるという考えである。その当然の論理的帰結として、例えば、株価のような変動は、ランダムウォーク酔歩過程あるいはウィーナー過程又は拡散過程ブラウン運動に従う運動をすると考えられている。確かに株価変動をグラフ化すると、一見ランダムウォークとみられるところがある。しかし、それが実際にそうなのかを、データに即して検討する必要があるのではないか。これに関連して、金融工学者の誰も疑おうともしないブラック=ショールズ以下、記載を簡略化することを目的にブラック=ショールズをBSと呼ぶ。公式についても、そのまま受け入れることが妥当か否かを検討する必要がある。前述のPRDC債とかターン債とかいうような、いわゆる仕組み債といわれているものを適切に利用するためには、その基礎をなすBS公式を正確に理解し、もしも現実と整合しない点があれば改める必要があろう。特に、オプション価格については、現実のデータに即し、BS公式を改めることが必要なら改めなければならない。さもなければ、確たる根拠もなしに、ブラックボックスにも等しいBS公式を用いたオプション価格を用いた取引が拡大し、経済上に大きな混乱を招く危険性がある。さらに、そのような計算はできるだけ素早くする必要があることから、当然のことながらコンピュータにおいて直ちにオプション価格を決定することができるよう、コンピュータをプログラムすることが必要である。それゆえにこの発明の目的は、オプション価格を現実に即してより合理的に算出することができるオプション価格決定方法及びそのためのコンピュータプログラムを提供することである。本発明の第1の局面に係るオプション価格決定方法は、通信装置及び記憶装置を有するコンピュータにおいて、市場において流通可能な資産のオプション取引に伴うオプション価格を決定するオプション価格決定方法であって、コンピュータが、所定期間ごとの資産の市場における価格データのリストをしかるべき情報ソースから受け、記憶装置に記憶するステップと、コンピュータが、資産のオプション価格を決定するように求める要求を受けたことに応答して、記憶装置に記憶されたリストを用いてオプション価格を決定する価格決定ステップとを含む。要求は、資産価格S、権利行使価格K、所定期間あたりの非危険資産利子率r、オプションの残存期間t、及び連続複利計算された配当性向qを含む。価格決定ステップは、コンピュータが、リストに基づき、与えられた期間における収益率を算出する収益率算出ステップと、コンピュータが、収益率算出ステップにおいて算出された収益率のうち、符号が負のものの符号を逆転する符号逆転ステップと、コンピュータが、符号逆転ステップにおいて負の符号が逆転された収益率の分布をハーフノーマル曲線に適合させ、当該ハーフノーマル曲線のボラティリティvを算出するステップと、コンピュータが、ボラティリティv、資産価格S、権利行使価格K、非危険資産利子率r、オプションの残存期間t、及び配当性向qの関数を計算することにより、当該関数の値として資産のオプション価格を決定する関数計算ステップとを含む。好ましくは、ボラティリティvを算出するステップでは以下の式によりボラティリティvが算出される。ただし関数Erfzは以下の式で表される誤差関数である。関数Variance[w]は分布wの分散を表す。HalfNormalDistribution[θ]はパラメータθのハーフノーマル分布を表す。関数計算ステップは、以下の式により資産のコールオプションの価格HalfBSCall[S,K,v,r,q,t]を決定するステップを含む。より簡潔にいうと、ボラティリティvを算出するステップでは以下の式によりボラティリティvが算出される。ただし関数Erfzは以下の式で表される誤差関数である。ここで、関数Variance[w]は分布wの分散を表す。HalfNormalDistribution[θ]はパラメータθのハーフノーマル分布を表す。関数計算ステップは、以下の式により資産のプットオプションの価格HalfBSPut[S,K,v,r,q,t]を決定するステップを含む。簡単にいうと、資産は株式資産とする。本発明の第2の局面に係るコンピュータプログラムは、通信装置及び記憶装置を有するコンピュータに、市場において流通可能な資産のオプション取引に伴うオプション価格を決定するために、所定期間ごとの資産の市場における価格データのリストをしかるべき情報ソースから受け、記憶装置に記憶するステップと、資産のオプション価格を決定するという要請を受けて、記憶装置に記憶されたリストを用いてオプション価格を決定するステップを実行させる。その場合の与件としては、資産価格S、権利行使価格K、所定期間あたりの非危険資産利子率r、オプションの残存期間t、及び連続複利計算された配当性向qを含む。価格決定ステップでは、コンピュータプログラムは、コンピュータが、リストに基づき、与えられた期間における収益率を算出する収益率算出ステップと、収益率算出ステップにおいて算出された収益率のうち、符号が負のものの符号を逆転する符号逆転ステップと、符号逆転ステップにおいて負の符号が逆転された収益率の分布をハーフノーマル曲線に当てはめ、当該ハーフノーマル曲線のボラティリティvを算出するステップと、ボラティリティv、資産価格S、権利行使価格K、非危険資産利子率r、オプションの残存期間t、及び配当性向qの関数を計算することにより、当該関数の値として資産のオプション価格を決定する関数計算ステップとを実行させる。以下の説明及び図面では、同一の部品には同一の参照番号を付してある。したがって、それらについての詳細な説明は繰返さない。第1章市場原理主義にこだわる経済学者たち§1資本主義競争市場は本当に効率的なのか§1.1株式市場は本当に効率的なのか株式市場の効率性を保証するのは、それがランダム過程であるということである。この問題について詳しく論じているオックスフォード大キングスカレッジ教授のShawの著書からその手法を検討してみることにする。Shawは、株式市場のシミュレーションにマセマティカ登録商標と呼ばれる数値計算のプログラム群を用いている。Shawは、その書物非特許文献2の第2章マセマティカ概説でのAssignmentandRandomWalksという節で次のようなマセマティカプログラムによる、ランダムウォーク過程におけるデータを発生させる方法を詳説している。1addrandONExxRandomReal05052walkONENestListaddrandONE010003ListLinePlotwalkONEこの手続のうち、式1はaddrandONExという関数を定義している。定義を表す記号:=の右辺は、{-0.5,0.5}の範囲で一様乱数を次々に発生させて、xの値に加えることを示す。式2は、x=0から始めて、関数addrandONExを順次適用して得られた結果の値を1000個、walkONEという名称のリストの中に蓄積し、リスト形式で与えることを示す。リスト形式とは、{e1,e2,...,en}のようなデータの集まりを示す。式3のListLinePlotは内のデータに対応する点を座標空間上にプロットし、プロットされた点を直線で結んだグラフを描画する命令である。このプログラムを実行すると、図1に示すようなグラフが得られる。ただしこのグラフは、乱数を使用しているために、実行するたびに異なることに注意する必要がある。この図は一見したところ、確かに株価変動と非常によく似ており、株価変動はこのようなランダムウォーク過程によるもののように見える。しかし、実際には株価変動はこのようなランダムウォーク過程から得られるものではない。この図は株価の変動とは異なる変動を示すものである。株価のように非常に多数の株主が競合している市場では、そこに参加する人たちそれぞれが、いろいろな外的要因及び心理的要因によって、投票し合っているものと考えることが出来る。もしそうだとすれば、統計学のいわゆる中心極限定理によって、株主が想定する株価は近似的に正規分布をするものと見なすことが出来るであろう。したがって、ある時点の株価と次の時点での株価との間の変動は、式1のような一様乱数ではなくて、正規分布にしたがって発生される乱数にしたがうと考えるほうが適切である。このような条件によるものとすれば、上記した式1は次の式4に変更すべきである。4addrandONExxRandomNormalDistribution01以下、式1及び式4に従ってデータを作製し、いずれが妥当か検証してみる。式4及び式2に従ってデータを作製し、式3によりグラフ化してみると、図2のようになる。このグラフを作製するにあたり、式4及び2により得られたデータのヒストグラムは図3のようになった。乱数を使用しているので、実行毎に異なるヒストグラムが得られる点に注意が必要である。このデータの平均値及び分散を算出し、その値にしたがって正規分布のグラフを書くと図4のようになる。図3と図4とを重ねると図5のようになる。これに対して、Shawの乱数発生プロセスによって得られたデータ式1及び式2により得られたデータの場合には、そのヒストグラムと、データから得られた平均及び分散を使用して描いた正規分布曲線とを重ねると図6のようになる。当然、両者は一致しない。つまり、株価の変動量が正規分布にしたがっているとすれば、式4により実験データを作製してシミュレートを行なわなければならない。§1.2株価をシミュレートするSTをT時点オプションの満期日としてもよいでの株価、S0を現時点での株価とする。株価におけるBSモデルの前提は、lnが正規分布するということである。つまり、以下の式が成立する。logeloge~NTσ√T、又はLoge~NTσ√Tここでμは、年当りの期待収益率、σは、年当り株価のボラティリティである。BSの原論文では、ボラティリティは分散率varianceRateとなっている。標準偏差とみなしてよい。logeは自然対数であり、Nは、平均μ、分散vの標準正規分布を意味する。上で導かれた対数正規分布は、厳密には、次のような確率密度関数平均μ、分散σ2の分布である。以下、株価収益率について、株価が上記したように対数正規分布をするものとして、オプションについてのいわゆる、BSモデルの限界を明らかにする。§1.3いわゆる投機の理論について以後の理論的展開の予備的考察として、これまで経済学ではそれほど本格的に取り扱われていなかった、投機の問題を理論的に整理しておく。投資には明らかに投機的動機が強く働いているからである。マネーが取引される時に、とくに強く働くのは、この投機的動機である。いわゆる金融派生商品の取引の主たる動機として、投機的動機が強く働いていることもいうまでもない。日本では、投機という言葉はあまり良い意味では使われていない。しかし、対応する英語speculationの辞書による定義をみてみると、1思索、思弁、考察、推測;2投機、思惑、あてこみとなっている。したがって、少なくとも英語圏では、この単語が日本語のように悪い意味では使われていないことが分かる。よく考える人が投機を行なうはずであろうから、投機家の存在は経済の安定化のために必要なことであるかもしれない。このことは経済学者も古くから、理論的に十分に考慮してきた。唯、投資の理論を見てみると、それらの理論には投機が明示的には取り込まれていない。§1.4CAPMの再生にむけて本論にはいる前に、一時期持てはやされたモデルとして、いわゆる資産価格モデルといわれるものがあるが、それについて言及しておく。このモデルでは、分析対象の資産の数が非常に多い場合には市場ポートフォリオとの相対的な関係を示すβiのデータだけが分かればよい非特許文献3、p.58とされる。しかもこのベータは、投資家に大変重宝されているようで、例えば東京証券取引所のホームページでも、上場各企業のベータ値が公表されている。このベータがどのように計算されるのかを簡単にみておくことにする。§1.4.1有効フロンティアの考え方と投機理論の統合についてハリーマーコヴィッツがポートフォリオの理論を展開してから半世紀がたつ。この理論は数学的にはそれほど難しいものではないが、これを活用しているアナリストがいないことからみても、実用の面ではあまり評価されていないようである。実際、ポートフォリオ理論を解説している書物及び論文をみても、現実のデータを用いて分析していないのが大多数である。多数の危険資産に分散投資をする以上、それらを全て保有する場合には、その期待収益率とその標準偏差を軸とする平面上に描かれるいわゆる有効フロンティアそれぞれの全ての組み合わせを内部点として含む包絡線を意味しているを計算する必要がある。その計算は従来の考え方では、いわゆる2次計画法を解く問題と考えられるのであるが、かなり面倒である。しかもかなり多数の銘柄を保有する場合には、例えば証券市場直線標準偏差が0でその傾きが正の、確実性資産あるいは無危険資産の収益率から発する直線がこの包絡線と接する接点での危険資産保有比率が全て非負で0以上の値を与えることはほとんどない。そうした事情もこの理論を実用的なものにすることを阻んでいると考えられる。全ての危険資産が非ゼロ非負ではないがの保有比率である場合には、その包絡線は1つの双曲線となる。この双曲線と市場直線との接点では、殆どの場合、負の保有比率も存在することになることになるのは、数学的には当然である。従来の凸集合と考えられている包絡線は、その一部は双曲線いくつかの危険資産が含まれないではあるが、それがこの包絡線それも又双曲線であるに内接、又は内包され、連続したものであることを正確に認識しておく必要がある。もし全ての危険資産の保有比率が正かつ非ゼロであるようなポートフォリオがあるとして、そしてもしそれがかなり多くの数の危険資産から構成されているものであるならば、その場合にはその包絡線のほんの一部分にしか過ぎない可能性が大きい。このことが正しく理解されていないので、包絡線と市場直線との接点が負の保有比率を与える場合には、それはこの危険資産の空売り、すなわち売りもちShortPositionと考えるのが今日での通説である。しかしもしそのように負の保有比率を空売りと考え、その場合の包絡線が双曲線であることを認識すれば、当然それに接する市場直線の勾配と出発点標準偏差0なる点によっては、無限大に近い負の保有比率が生ずることになる。つまりもし証券市場直線が、この双曲線の漸近線に近づけば、異常に大きな負の保有比率を生じる可能性がある。無限に大きな、あるいは非常に大きな負の保有比率はしかし現実的ではない。しかもいわゆる投資の今期における期待収益率の計算では、たとえそれが負の値であっても、前の期に購入したものをその期に売るという投資行動を仮定するのが通例である。このような場合には投資家は期待される収益率の正負如何にかかわらず、前期に購入した資産を今期に売るという奇妙な行動をするものと仮定されているのである。そのような仮定の上で、ポートフォリオの有効フロンティアが描かれていることが問題であるといわねばならない。そこで以下、このような通説の立場を離れ、理にかなった投資行動のもとでの有効フロンティアの構築を考えることにする。つまり、もしこの期に収益率が負になることが予想されるのであれば、たとえ現物株を保有していなくても売りに回るつまり空売りと仮定するのである。したがってもしこの投資家の予想が正しくて、その予想通りに株価が下がれば、正の収益率を得るはずである。このような仮定の下での有効フロンティアの構築について以下検討する。§1.4.2有効フロンティアの考え方とデイ=トレーダー仮説最も簡単なケースとして、3つの会社の株価をコンピュータで発生させることによって、具体的にポートフォリオの有効フロンティアefficientfrontierを作ってみる。ポートフォリオの有効フロンティアを描くためには、従来ならば株式の保有比率がマイナスになる場合を単なる空売りと考えている。しかし、それは誤りである。従来、有効フロンティアを描く際には、投資収益率がマイナスであっても、それをそのままにしている。しかしそのような方法では、空売りによる成果を考えたポートフォリオが得られない。投資収益率がマイナスのままでは、空売りを行なうことにより利益を得るトレーダーいわゆるデイトレーダーに多い。が増加している今日では、その投資収益を正当に評価していないことになる。投資収益率がマイナスと予想されるのであれば、普通の投資家ならば空売り側に回る筈である。その予想が裏切られなかった段階で収益が生み出され、その値は、符号が逆で絶対値が等しいと考えるのが合理的である。そこで、有効フロンティアを描く際の計算では、投資収益率がマイナスであれば、それを単純にプラスとみなすという操作を加える。そうすることで、ポートフォリオの有効フロンティアを、通常通り標準偏差x軸と投資収益率y軸により定義される座標空間の第1象限に必ず描くことができる。そうすることで、後述のようにいわゆるベータ分析は見事に蘇るということを、東京ニューヨーク市場のデータで実際に確かめることができる。§1.4.3デイ=トレーダーの予想形成について空売りを行なう時に、デイトレーダーは、どのようにその予想形成を行なうと考えるべきであろうか。情報処理技術と通信技術との進展により、株価データでも為替取引のデータでも、インターネットを介して瞬時に自宅のパーソナルコンピュータ以下パソコンと呼ぶ。に取り込むことができる。インターネットを経由して、毎分ごとの株価データをパソコンに取り込むこともできる。そこでどのような推論が出来るかを、実際の株価データを使って、検討してみることにする。必要なデータはインターネット上のしかるべきサイトから容易に入手できる。ここでは、次のような2009/11/29:06時点から2009/11/1315:00時点までの分刻みのデータ分足データを取り込んでみた結果を見てみる。これらは、東京証券市場に上場されている某銀行グループの分刻みの株価情報である。そこに示されているのは、通常の株価情報と同じように、いわゆるローソク足と図示されているような、株価の生の数値そのものである。それらを用いて、それぞれの予想収益率後述の株価投資収益率の定義による。を計算し、それから得られる始値高値安値終値をそれぞれ別の株式のものと考えて、そのポートフォリオを作ってみる。つまりそれぞれが、ひとまず独立の株式からの投資収益率と考えることにする。これらの値が実際にはそれぞれ独立ではないことは、それらから得られる相関係数行列の値をみれば、明らかであろう。テーブル1及びテーブル2を参照して、1日間の毎分データとその日を含む後の1週間の相関係数行列の間にそれ程大きな違いはないことが分かる。つまり、長い目で見れば、投資家は傾向として、その投資行動で一日の初値から終値までをその投資行動の参考値として重要視しているといえる。そこで、現実の株式市場では、株価は常に不安定であり、不規則な変動を止めるということはなくて、実際の市場の振る舞いを素直に受け入れて、常に価格が変動し、不安定だということをそのまま受け入れる考え方をした方が合理的である。この後者の主張に従い、物理学でいう相移転の概念を用いて、それと同じように不安定な状態が、超過需要状態と超過供給状態の境目である自由市場の本来の姿であると考えることにする。つまりコンピュータ取引をしているデイトレーダーは、膨大な取引相手に対峙して、それまでの経験を元に、瞬間的に判断を下していると考えるのである。この問題の理論的な解決策として以下のような提案をしよう。以下の方法で得られる有効フロンティアを上記4種始値、高値、安値、終値から計算される期待予想収益率を持つような投資物件と考えることにする。これら4種証券の有効フロンティアの最適保有比率を計算してみると、次のテーブル3のようになった。この表の値から、分刻みで行動する投資家ならば、安値株と同等とみなせるならば、最も大量の空売りを行ない、その半分の量とはいえ、高値株とみなせるような値動きのものを空売りするというように推測されうる。つまり彼らは始値と終値を予測の基準として投資行動を行なっていると考えてもよい。以上がポートフォリオ分析から得られる理論的帰結である。第2章投機を考慮したオプション価格とBS公式の修正これまで述べてきたことと、いわゆるBSによるオプション価格の公式とをどのように関連付けるかが、次の課題となる。すでに述べたように、一時期大変に持てはやされていたCAPMは実証的に完全に葬り去られたと考えられた。しかし、各資産あるいは株式についてのポートフォリオを構築するにあたって、従来は、同じような収益率を期待するのではなくて、すべての投資家は、各資産の期待収益率と分散、及び資産間の相関について、同一の予測をするという前提が置かれている。そのような前提を設けるのであれば、ポートフォリオの有効フロンティアと証券市場直線との接点におけるマイナスの保有比率は、すべての投資家にとっても共通でなければならない筈である。つまり市場全体としてマイナスの保有比率が存在することになる。これは明らかに論理矛盾があることを意味している。それを排除するためには、CAPMについての前述の前提をおかずに、マイナスの保有比率を認めるという考え方に立って、空売りを理論のなかに導入する必要がある。そうでなければ、実際にしばしば生じている投機家が惹き起したとみられる株式市場の混乱を説明することが出来ない。こういった投機家筋の行動に共鳴する別の人たちが多数存在して、その人たちの行動が、大きな混乱を惹起させることになるのである。§2.1ベータは死なずあるいはその蘇り§2.1.1ハーフノーマル分布を用いることの理論的根拠とそのパラメータ推定論点の整理と総括1952年にマーコウィッツが論文PortfolioSelectionJournalofFinance7,March‘52を発表した。それ以来ほぼ60年間にわたっていわゆるポートフォリオ分析のツールとして、いわゆる有効フロンティア理論が重用されてきた。以下、現実分析のための手段としての有効フロンティア理論の有効性を問題とする。この理論が発表されて以来、ほとんど全ての研究者及び実務家は、その有効性について疑うことなく、いわば金科玉条のように扱ってきている。しかし、いわゆるヘッジファンドと称する金融取引業者が多数存在する現状での金融取引の理論的根拠としての有効フロンティア理論に疑念を呈すべきではないだろうか。以下、ポートフォリオ分析の有効性を高めるとともにその一般化を試みる。ポートフォリオ有効フロンティアの計算では、株式の空売りがその計算の過程で有機的に結合されていない。それにも拘わらず、このフロンティアと証券市場直線との接点で最適保有比率が求められる場合に、それがマイナスの値の時には、空売りを行なうべきであるという結論が下される。そのような運用には問題がある。このような運用をすると、長期の株式市場の低迷が続くときには、その期待投資収益率の平均値と標準偏差を軸とする座標軸では、本来は第1象限に描かれるはずの有効フロンティアが、第1象限及び第4象限に跨ってしまう可能性があることであろう。これは、この有効フロンティアの描き方に問題があるためである。このような理論的欠陥に基づいてのニューヨーク株式市場についての実証分析から、ベータは死んだという考え方が広まり、ひいては有効フロンティアの分析はその効力を失ってしまったというのが現状である。非特許文献7において、Foxは、この問題に関連する解説と分析とを展開している。Foxは、マーコウィッツのポートフォリオ選択の理論について以下のように述べている。すなわち、Foxは、ミルトンフリードマンの発言を引用して、そこに書かれていることはすべて正しい。これは経済学ではない。数学でもない。それは何か別のものだ[注:マーコウィッツの博士論文についてのフリードマンの評価]。これはファイナンス理論である。非特許文献7、p.71、原著p.55というのである。この記載により何が含意されているのかというのが、本発明物の根本的な疑問である。このマーコウィッツのポートフォリオの有効フロンティアは、数学的には正しいにしても、経済理論としては誤っているのではないだろうか。というのは、可能な3個以上の危険資産のσ標準偏差及びμ平均収益率を2軸にとった座標上では、危険資産を示す点は第1象限に位置するものと考えられ非特許文献8、p.69、凸集合をなすが、この集合の包絡線である図形が有効フロンティアであり、基本的には左上方に凸で、空売りが存在しない場合の実行可能feasible集合であってやはり凸集合であるような部分を内部に含み、それよりもやや広がった、空売りを含む実現可能集合として定義されるべきである。一般的なポートフォリオ理論ではさらに、このような想定で描かれた有効フロンティアを用いる投資収益率の計算では、この有効フロンティアと市場直線との接点を求め、その接点における投資収益率が負であれば空売りと見なす、というような単純な計算が行なわれている。そもそも有効フロンティアの作成においては、負の投資収益率これは実は、投機家又は裁定者にとっては正の投資収益率を表している筈であるにも関わらずは組み込まれていない。ところがこれがファイナンスの理論ではあまり意識されずにきたので、ポートフォリオの理論があまり実務的に利用されてこなかったのではないか。この点について非特許文献9の204ページ~209ページでは、空売りについての節が設けられているにもかかわらず、残念ながらその詳細な記述が見当たらない。ベニンガは少なくともこの点には気づいていたではなかろうかと思われる。一方、非特許文献10では空売りは明確な形で取り上げられてはいるが、その記述は不十分である。日本の株式市場では、空売りは信用取引という形で行なわれるが、その際に信用担保率を100と仮定することで、非特許文献10では残念ながら正しい形で問題を解決することができていない。最近のように巨大なヘッジファンドがその資金力に物を言わせて東京株式市場に参入してくるようになると、従来のやりかたでは、このような巨大ファンドによる影響を払拭できなくなっている。付言すれば、ここ20年にわたる株式市場の低迷から分かるように、特に最近のいわゆるリーマンショック後に特徴的に現れてきていることであるが、ファイナンス理論も経済理論も固定観念にとらわれすぎている。例えば、マーコウィッツの有効フロンティア理論が過大評価されたり、オプションの理論でのブラックショールズ公式が余りにも重用されすぎているという傾向があり、そうした傾向が株式市場における問題を助長していると思われる。そういう意味で、本実施の形態の基本的枠組みで実現しようとするシステムは、このような傾向に警鐘を鳴らすものであると言えよう。さらに敷衍するならば、ポートフォリオ作成を実際にしている実務家の不勉強を特に指摘しておかなければならない。さらに付言すると、特に日本で顕著に見られる傾向であるが、投機等の研究は、無視されたり、毛嫌いされたりする傾向がある。日本銀行は伝統的に先物市場等には不介入の立場を堅持し続けていて、研究者の間にも、そのような当局の意向を汲んでいるような傾向が見られる。欧米先進国では、先物市場への当局の介入は積極的に行なわれている。にもかかわらず日本の研究者の間ではそうした研究が目立たないのは、そのような研究者自身の自己規制ムードを反映したものではないだろうか。つまり最近の流行として、文部科学省又は財務省には好まれない題材として科学技術研究費等からの補助金が交付されないことが原因かもしれない。このような現状に対して、そもそも有効フロンティア作成前の資料の取り方に問題があるという主張が本実施の形態の基本的枠組みの背景をなす。この問題は、基本的には、期待投資収益率を計算する仕方の問題であるという意味で、非常に単純な問題である。つまり空売りを行なう投資家の期待投資収益率と、通常の投資家の期待投資収益率とを同じように計算してはいけないということである。これはある意味では当然のことである。今日のように誰でもが簡単にネット取引で、空売りを行なえるようになった段階でも、なお従来のような形で有効フロンティアを描こうとすることは、理論的には誤りであるといってもよい。ここで、本実施の形態の基本的枠組みの背景をなす考え方を明確にしておく。t時点での期待投資収益率rtは、t時点での証券価格をPtとし、t-1時点でのそれをPt-1とすれば、rtPt-1と表すことが出来るであろう。本実施の形態の基本的枠組みではこれを以って期待収益率の定義とする。この期待収益率を基本にしてポートフォリオの有効フロンティアを求めるのは従来と同じである。しかし、従来は空売りに関する収益は考慮していなかったのに対し、本実施の形態の基本的枠組みでは、有効フロンティアを求める際に空売りによる収益を考慮する。ただし、期待収益率は、あくまでも投資家の期待を意味しているのであるから、実際に彼らがそれだけの収益を実現できるかどうかは、事前には分からない。そこで、彼らの期待をどのように理論に取り入れるかを問題とする必要がある。投資家はあくまでもその期待によって行動する。したがって、彼らが事前にどのように期待するかを考えておく必要があることは言うまでもない。本実施の形態の基本的枠組みの前提として、そもそも投資家は、もし彼らの期待が一般の投資家と比較して、かなりの程度精度が高いと仮定することができるのではないか、と仮定する。投資家が、ある程度将来株価あるいは証券価格を正確に予測して行動しているとすれば、彼らの期待が実現される可能性は、かなり大きいと言うことができる。つまり、彼らが継続的に投資家として活動し続けているのは、その期待を実現し続けているからと考えることができる。だとすれば、彼らの得る投資収益率は、彼らの予想通りのものであったと考えてもそれ程大きな矛盾を齎さないであろう。従って、投資収益率がマイナスであると予想する投資家は、その証券又は株式を空売りして、その期待が実現すれば、プラスの収益を得ることになり、実際に期待に近い収益を得る確率が高いと考えることができる。このことの含意は重要である。即ち、このように投資家は、マイナスの収益率を予想する場合には、その証券ないしは株式を空売りすることにより、プラスの収益率を確保することができるということである。したがって、ポートフォリオの有効フロンティアを描くときには、そのような投資家の予想を反映して、マイナスの期待投資収益率をプラスに変換する必要があるというのが本実施の形態の基本的枠組みでの基本的な考え方である。すなわち、投資収益率rt<0のときすなわちrt<rt1のときには、rt=-rtという変換を行なう必要があるということである。§2.1.2ハーフノーマル分布を採用する理論的根拠以上を考慮すれば、投資家の得る投資収益率は、本質的にはプラスとならねばならない。このような考え方にうまく適合する分布としては、正規分布ではなくハーフノーマル分布を採用することが妥当である。ハーフノーマル分布は以下のような確率密度関数により表される。マセマティカの関数及び書式によって定義すると、変数xに関するハーフノーマル分布の確率密度関数fxθは以下の式により定義される。ただしθは確率密度関数の形状を定めるパラメータである。fxθPDFHalfNormalDistributionxθこれをマセマティカで実行すると直ちに次の式が得られる。fxθ2θπexp-θ2x2πまた、ハーフノーマル分布の累積確率分布関数gxθは以下により定義される。gxθCDFHalfNormalDistributionθこれをマセマティカで実行すると直ちに次の式が得られる。ここで関数Sqrtは、[]内の値の平方根を示し、Piは円周率πを示す。gθErfSqrtPiまたその標準偏差は次の式により得られる。StandardDeviationSqrt-1Pi2θなお、上の関数gの式で関数Erfは誤差関数と呼ばれ、ERFzは0からzまでのガウス分布の積分値を表す。すなわち、Erfzは以下の値を表す。上記確率密度関数fxθの平均は1θであることが分かっている。定義域は0≦x≦∞とされる。図7は、θを101041としたときのハーフノーマル分布確率密度関数fxθのグラフである。何故θをこの値にしたかは、後で明らかになる。ハーフノーマル分布は、平均0で分散σ2に従う正規分布をする確率変数の絶対値の確率分布である。この定義は、本実施の形態の基本的枠組みの前提とする株式投資収益率モデルに対応していることが分かる。つまり、株式市場における投資収益率が対数正規分布に従うことも分かっているので、この投資収益率の絶対値をとれば、それらはハーフノーマル分布に従うと言える。なお、ここでいう投資収益率の絶対値とは、後に詳述する期待投資収益率そのものである。以下、それを検証する。例えば日経平均株価から上記定義にしたがう投資収益率を計算してヒストグラムを作成すると、図8のようなグラフが得られる。標準偏差で元のデータを標準化して、θ101041;0744973としハーフノーマル分布を描きこのヒストグラムを重ね合わせると次の図9のようになる。図9において、破線の曲線がθ101041、0744973のものである。このθのそれぞれの値は別途、信頼区間として計算されたものである。実線の曲線は、θ087769のものであり、これら2つの値を平均したものである。それでは以下において、この区間がどのように計算され、どのような意味を持つかを検討する。§2.1.3区間推定法による推定上記日経データをマセマティカでNikkeiHeikinDailyDataという名でリスト化しておき、次を実行することにより、図10に示すようなヒストグラムが描かれる。histgramDailyNikkeiHistogramNikkeiHeikinDailyData11上のコマンドの11はヒストグラムの区間数を表す任意の値である。グラフの形を出来るだけ正確に表現するためには、それをいろいろ変えて検討する必要がある。§2.1.4ハーフノーマル分布の密度関数マセマティカによる表現この分布の平均mean1は00427825であり、標準偏差stdevは00366912であることが分かった。次にこの元のデータを次の式で標準化する。StandardizedNikkeiHeikinDailyDataNikkeiHeikinDailyDatastdevさらにnikkeiHeikinHistogramStandardizedNikkeiHeikinMonthlyData27によりグラフ化すれば、図11のヒストグラムが得られるこの分布は、2パラメーター族の正規分布とは異なり、1パラメーター族に属している。つまりθが分かれば、同時に分散ないし標準偏差が自動的に求められる。そこで、この分布の唯一のパラメータであるθに対する95信頼区間を推定する。上記データに対して得られた信頼区間は0.989701~1.34233である。この値を使って、必要とされるハーフノーマル分布の確率密度関数を作図すると図12に示すハーフノーマル分布曲線が得られる。この分布曲線と、先に得られた日経平均日次ヒストグラムとを重ね合わせると図13に示すようなグラフとなる。信頼区間にかなり幅があることから、図14に示すように、日経平均日次デタの信頼区間の両端におけるθの値の平均をとれば、かなり当てはまり具合が良くなる。Topix東京証券取引所平均株価指数についても同じような分析を行なうと以下の通りである。この場合のデータ数234である。95信頼区間は12393,138152である。これらの値からθ20806787を得る。これらの値を用いて、ヒストグラムと重ね合わせることによって、この場合の信頼区間の意味がよく理解出来る。図15で破線とその中間にある連続線とを見れば、この平均値の意味がよく分かるし、この分析がどの程度妥当なものかが理解される。以下、これらの分析では、ハーフノーマル分布と想定される投資家の期待投資収益率が、本当にランダムウォークの実現値であるかどうかを確認する。ランダムウォークの定義ランダムウォークは、例えば、石村石村の著書非特許文献4、p.119では次のように明確に定義されている。時点をt0<t1<...<tn、そのときのランダムウォークの時系列ZをZ,ZZ,...,Zとしたとき、時系列の変化量Z-Zは、平均0、分散の正規分布Nに従う。つまり、ΔZZ-ZΔttk-tk1とおくとΔZは、平均0、分散Δtの正規分布Nに従う。これを現実のデータと実験データによって確認する。以下のマセマティカの式を実行することにより、コンピュータ上で、前出の日経平均株価と同様、仮想の投資収益率のリストdiffaを得る。なおこの式でStockPriceiは、日経平均株価からなるリストStockPriceのうちのi番目の値を示し、{i,2,1000}は、iを2から1000まで変化させてテーブル化することを示す。diffaTablei21000このリストのデータのヒストグラムとそれに対応する正規分布曲線を求めると図16に示すようになる。このように、計算されたデータを基のデータから計算された標準偏差で除することによった標準化された投資収益率を計算することで、図17に示すようなヒストグラムを得ることが出来る。これと、別途計算されたハーフノーマル曲線とを一緒に描くと図18に示すようになる。§2.1.5ニューヨーク株式市場での実証値最近のニューヨーク株式市場でのデータを用いて、この問題を検証したが、やはり同じような結果を得た。図19は、ニューヨーク株式市場のDowIndustricalHistoricalDatafrom200828to2008521について、その日足データのベータ値分析を行なったグラフである。β値について、一般の投資家にも分かりやすく解説しておく。次に引用するのは日経新聞2008年6月19日日本経済新聞朝刊からの解説記事である。ベータβ値日経平均値や東証株価指数TOPIXなど、代表的な株価指数に対する個別銘柄の相関関係を示す指標。値動きが相場全体と完全に一致する場合を1とし、1より大きいほど値動きがより大きくなることを示す。βベータ値が日経平均に対し、1.5の場合、日経平均が10上昇すれば、理論上、株価は15上昇する計算だ。同一種類の株価指数と個別銘柄の騰落率を基に、一定の関数を使って算出する。各銘柄のβ値は日経グループの金融情報会社QUICKなどが情報提供しているが、個人でも表計算ソフトを使えば簡単にその値を計算できる。ベンチマークとなる株価指数の上昇局面では値の高い銘柄の運用を増やし、下落局面では値の低い銘柄を増やすなどの投資判断が考えられる。後略更に上の記事に関連して、東証1部時価総額10社のβ値の表が併記されている。このことからわかるように、β値に対する信頼の念はかなり堅いものである。§2.2基礎的データのヒストグラム前述の某銀行の株価の分足データの終値から得たデータのヒストグラムを描いてみることにする。0値を除くとその数は1191個であった。これらについて区間幅を1とすることによって図20のようなヒストグラムを得ることが出来た。このようなヒストグラムを実験的に作り出すことによって、理論的にどのような分布で近似出来るかどうかについて考えてみることにしよう。以下、このヒストグラムに適合する密度関数をどのように推測するかを明確にする。既に第1章において、株価の変動によく似たランダムウォーク過程からデータを発生させる手法を明らかにした。そのようにして得られたデータを使って株価投資収益率に類似したデータを発生させてみることにしよう。即ち、第1章2節において述べたように、Shawによる乱数発生を修正し、正規分布に基づく乱数を発生させて、それから投資収益率を作り出すという作業を行なう。§2.3BSの公式をどう修正するか正規分布に代わる確率分布としてハーフノーマル分布を用いることによって、ブラックジョールズオプション公式を作り直す必要があることを以下に示す。本実施の形態に開示されたような、ポートフォリオを作成するための投資収益率の考え方を、そのままマセマティカによって実験的に検討してみると、以下のようになる。まず、ここで利用するハーフノーマル分布について正確に説明しておく。fxθPDFHalfNormalDistributionθxと定義し、fxθと入力すると、その確率密度関数が次のように出力される。これが、θをパラメータとする、xに関するハーフノーマル分布の確率密度関数である。この関数により表される分布の平均は1θであり、その分散は-2π/2θ2となる。標準偏差は分散の平方根をとればよく、次式のとおりとなる。この関数のグラフは次のようなグラフとなる。θを06から13まで01刻みで変化させ、それらのグラフを重ねて描いたものを図21に示す。そこで、θの値をどの程度にすればよいかが問題となる。既に述べたように実験的に作り出したデータのヒストグラムに対してハーフノーマル分布を当てはめ、どのようなθが最もヒストグラムと合致するかについて、検討した。図22に、実験的に得た、標準化された実験値のヒストグラムを示す。このヒストグラムが、ハーフノーマル分布に当てはまることについては既に述べたとおりである。それに対応するようなθの値をいかほどの値にするかをチェックした。すなわち、図21と同様、図22のヒストグラムに適合するハーフノーマル分布のグラフを、θを06から0.1刻みで1.3まで変化させて描き、図22のヒストグラムに重ねて描く。得られた図から、θが大体0.8程度であればよいことが確認できる。θ=0.8のときのハーフノーマル分布曲線を図23に示し、図23の曲線を図22と重ねたものを図24に示す。図24から、ハーフノーマル分布曲線がヒストグラムに非常によく当てはまっていることが分かる。前々節で示した銀行株の株価の分足データについてのヒストグラムに、以上のようにして導き出したハーフノーマル分布θ=0.8を当てはめた結果を図25に示す。図25を参照して、ハーフノーマル分布が、現実の投資収益率にもかなりよく当てはまることが分かる。§2.4BS公式の問題点‐ハーフノーマルBS公式によるBS公式の欠点の是正‐以上の議論を踏まえ、BSのオプション公式がどのように修正されるべきであるかを論じる。まず、本実施の形態の基本的枠組みで提案する新しいオプション価格についての公式を定義する必要がある。そのような修正案が、旧来のBSモデルとどのような違いがあるかについても、比較しておく。以下の説明は、前述したとおり、ハーフノーマル分布がどういうものかを、明確に認識することから始める。§2.5BS修正公式とBS公式との比較コールオプション及びプットオプションのプレミアムについてのBSの公式は以下のようになる。すなわち、S株価、K権利行使価格、v原資産のボラティリティ年当たり、r非危険資産利子率年当たり、t又はτtime、qcontinuouslycompoundeddividendyieldDとし、tをオプション満期までの残存期間とする。BS公式はマセマティカの表現を用いて以下のように表される。NormalCdfx12doneSKvrqttLogSK2dtwoSKvrqttLogSK-2コールオプションBlackScholesCallSKvrqtSExp-qtNormalCdfdoneSKvrqt-KExp-rtNormalCdfdtwoSKvrqtプットオプションBlackScholesPutSKvrqt-SExp-qtNormalCdf-doneSKvrqtKExp-rtNormlCdf-dtwoSKvrqtこの公式は、ほとんど全てのオプション関連の文献でほとんど無批判に受入れられている。これと同じような記号を用いて、ハーフノーマル分布により修正したBSの公式は次のようになる。なお、以下の説明においてHalfBSはハーフノーマル分布によりBS公式を修正したものであることを示す。関数N[]は、[]内の式の値を数値で与える関数を示す。CNHalfDistxNErfSqrtPivSqrtVarianceHalfNormalDistributionθdoneSKvrqttLogSK2dtwoSKvrqttLogSK-2コールオプションHalfBSCallSKvrqtSExp-qtCNHalfDistdoneSKvrqt-KExp-rtCNHalfDistdtwoSKvrqtプットオプションHalfBSPutSKvrqtKExp-rtCNHalfDist-dtwoSKvrqt-SExp-qtCNHalfDist-doneSKvrqtここではボラティリティはBS公式とは違う定義にしたがう。これらの式を通常の表現に直すと以下のようになる。ここでBS公式と本実施の形態に係るハーフノーマルBS公式に用いられているdoned1及びdtwod2を説明する。そのためにはBS公式についての、いわゆる偏微分方程式を解くというかなり面倒な手続きについて説明する必要がある。しかし、この偏微分方程式の解法については確立された手法があり、かつその解説は石村石村による非特許文献4又はShaw[非特許文献2]のような、数学者による教科書的な専門書に記載されているので、ここではその詳細は述べない。ここでは、その結果だけを出来るだけ正確に述べる。そのためには、実例を用いてグラフ化するのが最も分かりやすい。すなわち、非特許文献4、p.186の例題によれば次の通りとなる。例題次のようなヨーロピァンコールオプションを求める。現在の株価S14500円;権利行使価格K14000円;オプションの残存期間t2か月;ボラティリティσ38;非危険利子率r6上のdone及びdtwoに当てはめればBS公式では以下のとおりとなる。done145001400003800602120368227dtwo145001400003800602120213093図26においてハッチングした部分がBS公式によるd1とd2とによりはさまれた部分の面積をあらわす。HalfBSCallのそれぞれの値は次のようになる。θ08とすれば、SqrtVarianceHalfNormalDistributionθ0944388done1301200944388002101120436028dtwo130120094438800201120163407図27において、ハッチングした部分がハーフノーマルBS公式によるd1とd2とによりはさまれた領域の面積を表す。ここでは標準的なオプションとして、PlainVanillaEuropeanOption基本的なユーロピァンオプションと称されているものを取り扱うことにする。このオプションの価格であるオプション価格についての基本的な知識を正確に述べる非特許文献5、p.186及びp.784以下参照。オプション価格は以下のように分類される。1アットザマネーオプションオプション行使価格がその原資産の価格と同じオプションをこのように称する。つまりKSプット、コールともに。2インザマネーオプションオプションの原資産価格がオプション行使価格よりも大きいようなコールオプションのことをこう証する。つまりS>Kコールの場合又は原資産価格がオプション行使価格よりも小さいプットオプションつまりS<Kプットの場合。3アウトオブザマネーオプション原資産価格がオプション行使価格よりも小さいコールオプション、つまりS<Kコールの場合又は原資産価格がオプションの行使価格よりも大きいプットオプション、つまりS>Kプットの場合のことをこのように称する。このように分類すると、取引費用がないと仮定すれば、明らかに、インザマネーオプションは常に満期日に権利行使されることになる。つまりそれ以外の場合には、オプションの保有者にとっては権利行使をする理由がないことになる。次に、それぞれの場合についての本実施の形態による定義とBSの定義によるオプションのプレミアムを実例によって計算して、それをグラフ化して比較する。まず、θの大きさによるハーフノーマル分布の累積分布の相違を図28に示す。原資産とボラティリティとが、1、2、3に応じてどのようなプレミアムの違いをもたらすかについて、簡単に検討する。ボラティリティ及びその他の条件がすべて同じと仮定して、原資産価格と権利行使価格に相違がある場合を考えるために、ボラティリティが変化する時にコールオプションのプレミアムがどのように変化するかを図示してみると、図29に示すようになる。一方、プットオプションのプレミアムは図30に示されるような変動をする。コールオプションのプレミアム曲線とプットオプションのプレミアム曲線との交点の座標は、図29と図30とを重ねることにより求められる図31を参照。つまりボラティリティが0.65のときにプットとコールのプレミアムの値が等しくなり、この値を超える時には、プットとコールの価格は逆転することが分かる。次に、原資産としての株価の変化がオプション価格にどのように影響するかを検討する。細かいパラメータを省略して表すと、株価の変化がコールとプットとのプレミアムに及ぼす影響は、前述のマセマティカでの表現でHalfBSCallS10002500501及びHalfBSPutS10002500501のグラフを描くことで調べることができる。グラフはマセマティカでの作図コマンドを用いて描くことができる。両者を重ねて描いたグラフとその交点を図32に示す。図32において、一点鎖線はコールの価格変化を示し、実線はプットを示している。つまり原資産としての株価が、92.1963を超えるとコールの価格の方がプットの価格よりも高くなる。このような逆転現象はいわゆるBS公式でも成り立つかどうかを次に確かめてみる。図32と同様の図を、BS公式にしたがって描くと図33のようになる。他の条件を図32と同じにしてある。交点での株価は95.1229であり、図32に示したハーフノーマルBS公式によるプットとコールの交点と比較すれば、若干大きめになっている。§2.6オプション価格の種類とポートフォリオとの感度分析次に先にオプション価格の種類として説明したアットザマネー、インザマネー、及びアウトオブザマネーという表現の意味を明確にする。非特許文献5p.372によれば、オプションの価格の感度分析としてのGammaに関連して定義すれば、非常に分かりやすい。この問題についてのShawの説明によれば、こういった感応度分析のツールとしては、それぞれBS公式についての諸変数による1次ないしは2次微分で定義できる。それらの主たるもののマセマティカでの表現を下に挙げる。BlackScholesCallDeltaskvrqtEvaluateDBlackScholesCallskvrqtsBlackScholesPutDeltaskvrqtEvaluateDBlackScholesPutskvrqtsBlackScholesCallGammaskvrqtEvaluateDBlackScholesCallskvrqts2BlackScholesPutGammaskvrqtEvaluateDBlackScholesPutskvrqts2BlackScholesCallThetaskvrqtEvaluateDBlackScholesCallskvrqttBlackScholesPutThetaskvrqtEvaluateDBlackScholesPutskvrqttBlackScholesCallRhoskvrqtEvaluateDBlackScholesCallskvrqtrBlackScholesPutRhoskvrqtEvaluateDBlackScholesPutskvrqtrBlackScholesCallVegaskvrqtEvaluateDBlackScholesCallskvrqtvBlackScholesPutVegaskvrqtEvaluateDBlackScholesPutskvrqtv。ここでそれぞれのEvaluate関数に付加されている記号Dは、それぞれの関数の最後に付加されている変数での微分を意味している。微分に用いられる変数は、それぞれの関数の最後に付加されており、その変数の後に出てくる数字2は、2回の微分2階微分を意味する。上の式のうち、BlackScholesという関数名をそれぞれHalfBSハーフノーマルBSモデルの略称として用いる。と変更することで、本実施の形態にしたがった修正公式による計算が出来る。Evaluateとは、マセマティカの説明によれば、引数の評価を行なわない属性をもつ関数で使用された時にも、強制的に評価を行なうものとされている。§2.7ヘッジの意味次に、ヘッジファンドの問題点を取り上げる。ヘッジファンドのヘッジという言葉の正確な意味は、売り又は買いつなぎ又は保険つなぎという意味である。したがってヘッジファンドとは、危険回避という意味合いをもつはずである。そこでオプションの売り手となる投資銀行の使命からすれば、オプションの売り手に回るような危険オプションの原資産である株式を購入しておく必要があるはずである。売り手の側からすると、その損失は青天井となる可能性があるためである。したがって、上述のオプションのデルタヘッジというような概念が必要になってくる。例えば、BSコールのデルタは、コールの対象となっている原資産としての株価と当該オプションのプレミアム関係を示している。つまり、株価を横軸にとり、縦軸にオプションのプレミアムをとれば、デルタは、描かれる曲線の接線の勾配を示している。ハルの例によれば、株価が100ドルの時に、オプションの価格が10ドルであるとすれば、20単位のコールオプションの売り手が、1210単位の株式この接線の勾配がデルタ06であるとすれば、06×20001200を買うことによって、この売り手のポジションがヘッジされるのである同書p.361。オプションの売り手であるヘッジファンドが、このような意味での正確なヘッジをしていないときには、金融に混乱が生じることになる。このデルタのほかにも、ベガ、シータ、ガンマなどという指標が用いられるが、これらはオプションの経過時間又は原資産の価格の変化に対応する、プレミアムの変化度合いを表す、いわば感度分析sensitivityの分析結果に相当する。こうした指標について正確に理解していないと、リスクヘッジ等は不可能である。こうした分析にもBSモデルが使用されてきた。BSモデルは必ずしも現実に即していない。にも関わらず、実証家たちはなぜBSモデルを使うのか。ひとつの理由はこのモデルが使いやすいことにあると考えられる。BSモデルでは、市場で直接把握できないパラメータはボラティリティしかない。実務家たちはオプション価格からボラティリティを、ボラティリティからオプション価格を明確な方法で推測する。これより複雑なモデルでは、把握しにくいパラメータを幾つか用いる必要があり、使いにくい。第3章コンピュータ実験と株式市場での検証結果コンピュータシミュレーションの結果以下はハーフノーマル分布のデータ適合性検討のための実験結果の集約である。実験1データ数1,000個による結果マセマティカの関数fθxを前述のように以下のように定義するfθxPDFHalfNormalDistributionθxこの関数fθxは、θをパラメータとする、xに関するハーフノーマル分布の確率密度関数である。この関数により表される分布の平均は1θであり、その分散は-2π/2θ2となる。仮にθ=0.8と設定する。すると、標準偏差=0.944388、分散=0.891869である。次に前に述べた一様乱数の系列walkONEを発生させる。発生した乱数の系列をグラフ化すると次のようなグラフを得る。このグラフは、一見すると株価変動を表したもののように見える。これらのデータのヒストグラムを描くと、図35に示すようなヒストグラム図35を得る。このデータの平均は41.7266で標準偏差は28.791である。このデータは明らかに正規分布には従わない。次にこれらのパラメータ平均及び標準偏差を持つ正規乱数の分布を求め、グラフに描くと図36のようになる。図35と図36とを重ね合わせると、結果は図37のようになり、確かに正規分布に従うとは言い難い。そこでこの同じ1000個のデータから本実施の形態に係る方法により株価収益率を計算してみると以下のようになる。最初に得られた実験データの系列の初期値は0であるから、それを取り除いて得られる系列データを既述のようにaRestwalkONEとし、リストaに代入した上で、StockPricea100により株価を定義し、それらを用いて次のように株価収益率を計算する。以下の式でdiffaは時刻iの株価の、時刻i-1における株価に対する比i=2~1000の値からなるリストである。Meandiffa1は、リストdiffaの各要素の値から1を減算したもののリストを示す。diffaTablei21000Meandiffa1として標準偏差SqrtVariancediffaを計算してみると0.00775131を得る。既に計算した999個のデータについてのその変動を次のマセマティカのコマンドにより描くと、図38のようになる。ListPlotdiffaPlotJoinedTrueリストdiffaのヒストグラムを0.002単位のビンで次のコマンドにより作成すると、図39を得ることができる。graph101histg1diffa0002そこで次のコマンドによりdiffaの平均値及び標準偏差を持つ正規分布を次のコマンドでグラフ化する。この例の場合、Meandiffa100027、SqrtVariancediffa000967278であった。これらの値を持つ正規分布曲線は以図40に示すようになる。図39と図40を同一画面に描くと、次の図41を得る。図41のグラフから明らかなように、もとのデータはランダムウォークデータである。仮にθ=0.8として、HalfNormalDistributionθに従う乱数の分布を描くことにしよう。そのためにはrandomHalfNormalHalfNormalDistributionθと定義してから、g4PlotPDFrandomHalfNormalxx0008PlotRange→Allとすれば、図42に示すグラフHalfNormalProbabilitydensity曲線が得られる。次に、既に作成した株価収益率データに基づき、本実施の形態にしたがい、空売り可能なケースを考慮したポートフォリオ作成に照応するような投資収益率を以下のように計算する。まず以下のコマンドにより、時刻iでの株価StockPriceiが時刻i-1のときの株価StockPricei1以上であれば投資収益率rateOfreturnを1i21000更にrateOfreturn1rateOfreturn-1と書き換える。このように変換されたデータの平均値、標準偏差はこの例ではそれぞれ以下のようになる。MeanrateOfreturn1000618134SqrtVariancerateOfreturn1000479005このデータのヒストグラムは次のように描ける。マセマティカでは、graph104histg1rateOfreturn10003と入力すればよい。stdDevSqrtVariancerateOfreturn-1StandardizedRateOfReturnstdDevg106PlotPDFrandomHalfNormalxx06PlotRange→AllStandardizedRateOfReturnstdDevそこでこのヒストグラムと図42とを重ね合わせると、図43が得られる。図43を参照して、上のようにして得られた投資収益率とハーフノーマル分布との適合度がかなり高いことが分かる。次に以下によりrateOfreturn1の平均averageと標準偏差stdDevとを計算し、その値を得る。この値は上記データに対するものである。averageAMeanrateOfreturn1000618134、stdDevSqrtVariancerateOfreturn1000479005これを用いて標準化の手続きを行ない、その結果をグラフ化すると、図44が得られる。このグラフからも、得られた投資収益率とハーフノーマル分布との適合度が高いことが分かる。実験2データ数5,000個による結果データ数5,000個の実験により得られた結果は以下のとおりである。以下の実験では、手続は第1の実験と同様であり、データの発生する個数が異なるだけである。したがって、実験の詳細については繰返さない。必要なときには随時その処理をするためのプログラムの構成について説明する。図45に、この実験で得られた、ランダムウォークと目される5,000個のデータの変動をグラフとして示す。図46はそのヒストグラムである。図47は図45に示すデータの平均値と分散とを用いて描いた正規確率密度関数のグラフである。図48は図46と図47とを重ねて示したものである。図49は、図45に示すデータから、実験1と同様にして発生させたデータのヒストグラムである。図50は、図49に示すデータの平均値と分散とを用いて描いた正規確率密度関数のグラフである。図51は、図49と図50とを重ねて示したものである。図52は、図51に示す正規確率密度関数に対応するハーフノーマル曲線のグラフである。図53は、図49に示すデータにつき、実験1のrateOfreturn1のヒストグラムを得たのと同様、データから1を指し引き、さらに負の符号のデータをプラスに折り返して得られたヒストグラムである。図54は図52の曲線と図53のヒストグラムとを重ねて示したものである。図55は、図44と同様、図49に示すデータrateOfreturn1の標準偏差を求め、この標準偏差を用いてデータを標準化したときのヒストグラムを描いたものである。図56は、図55のヒストグラムと図52のハーフノーマル曲線とを重ねて描いたグラフである。実験3データ数10,000個による結果図57は、実験1、2と同様の方法で発生した、10,000個の、ランダムウォークと目されるデータの変動を表すグラフである。図58は、このデータのヒストグラムである。図59は、図57に示すデータの平均値及び分散の値を持つ生起確率密度分布関数のグラフである。図60は図58と図59とを重ね合わせたものである。図61は、実験1、2における場合と同様の方法で図57のデータの差の分布をヒストグラムで表した図である。図62は、図61に示すデータの平均値と分散とを持つ正規確率密度関数のグラフである。図63は、図61のヒストグラムと図62のグラフとを重ね合わせたグラフである。図64は、図62に示す正規確率密度関数に対応するハーフノーマル曲線のグラフである。図65は、図44及び図55と同様、図61に示すデータを1を中心に折り返して得られたヒストグラムであり、図66は図64と図65とを重ね合わせたグラフである。実験4データ数50000個による結果実験4では、50000個のランダムウォークと目されるデータを用いた。その変動を図67に示す。図68はそのヒストグラムである。図69は、図68に示すデータの平均値及び分散を持つ正規確率密度関数のグラフである。図70は図68と図69とを重ね合わせたグラフである。図71は、図67に示すデータから第1~第3の実験で述べたdiffaのヒストグラムである。図72は、図71に示すデータの平均値及び分散を持つ正規確率密度関数のグラフである。図73は、図71と図72とを重ね合わせたものである。両者がよく一致していることが分かる。図74は、図72に示す正規確率密度関数に対応するハーフノーマル曲線のグラフである。図75は、図44、図55及び図65と同様、図70に示すデータに関して得られたdiffaのヒストグラムである。図76は、図74と図75とを重ね合わせたものである。両者がよく一致していることが分かる。実験5データ数50,000個による結果図77は、実験4と同様にして発生した、ランダムウォークと目される50,000個のデータの変動を示すグラフである。実験4とデータの個数は同様であるが、その値は異なっている。実験4と同様にしてハーフノーマル曲線とdiffaのヒストグラムとを重ね合わせると図78に示すものが得られる。実験4の図78と実験5の図76とを比較すると、実験5のほうがハーフノーマル分布に対するデータフィッティングは良いように見えるが、その違いはそれ程大きくはないことに注意されたい。以上の実験結果が意味することは重要である。つまり、株価収益率がランダムウォークに従うと仮定されれば、その値のうち、-符号を持つものの値をに変化させても、ランダムウォーク過程に従うという性質は保持される。これが何故そうなのかということの理論的な論証はこれから行われるべきであろう。しかし、発生されるデータの数がどのようなものでも、それらは平均値のハーフノーマル分布に従い、θの値はほぼ08である。本明細書でベータの蘇りと名づけた節で述べたように、ベータ分析は、過去には、実証的に葬り去られたかに見える。しかしここで得られた結果は、ベータ分析の現実の証券市場データニューヨーク市場及び東京市場に於けるの分析による結論と整合的である。そういう意味で、本明細書で定義した株価投資収益率を分析した時に得られた、ベータは死なずという結論との理論的整合性を示すものであると言えよう非特許文献6参照。ベータが死んだといわれているのは、一般の研究者及び実務家が次の文献の研究結果をそのまま信用しているからであり、それを誰かが実際にデータに基づいて追試検証した形跡がない。FamaEFandFrenchKRThecrosssectionofexpectedstockreturnsJournalofFinance47427465次に示すのは日経平均を用いての本実施の形態の基本的枠組みの投資収益率の実証的妥当性を保証するデータである。図79は、東証1部、2009/4/01から2010/7/02における日経平均による投資収益率マイナスの符号をプラスに変換したものの分布を示すヒストグラムである。符号を変換する前のデータの平均と分散とに基づく正規確率密度関数を考え、その正規確率密度関数に対応するハーフノーマル曲線をこのヒストグラムに重ねて描くと、図80に示すものが得られる。図79及び図80の分析は、日経平均日足の2009年4月1日から2010年7月2日までの306個のデータにより作成したものである。サンプルの数が少ないので、このヒストグラムは、必ずしも正しい意味でのランダムウォーク過程のものとは言えないかもしれない。しかし基本的には空売りを考慮した投資収益率の分布は、ハーフノーマル分布に従うという、本実施の形態の基本的枠組みが前提としている主張を十分に裏付けるものと考えられる。次に、上と同じ問題を日経平均月足データで検証してみる。月足データということになるとデータ数がかなり不足するのではないかという懸念がある。しかもデータ数を増やすと、月次データであるために対象期間が長期になる。その間の大きな構造変動に伴う株式市場での株価の変動が織り込まれることになることは言うまでもない。試みに2000年1月から2010年7月までの期間での日経平均の月次データをとり、図80と同じように投資収益率を計算してみた結果が図81に示すグラフである。データ数は126個であった。このグラフで見られるように、投資収益率マイナスをプラスに変換したものと、ハーフノーマル分布との当てはまりは上々である。データ数の関係から、区間間隔を1としたので、かなり荒いグラフになっているように見えるが、図80との差は歴然としている。次に日経平均週足データのグラフを描く。データの個数は516個である。また採られたデータは、1995年1月2日から2004年11月22日までのものであった。得られたグラフを図82に示す。図82のグラフからも、本実施の形態の基本的枠組みが前提とする、空売りを考慮した投資収益率の現実妥当性が十分に理解されるであろう。1991年1月から2010年7月までのTOPIXデータについての投資収益率のヒストグラムを図83に示すデータ数は234個。このデータに対して、既に説明した方法により得られたハーフノーマル曲線を重ねて示したのが図84である。図84から、このデータについてもヒストグラムとハーフノーマル曲線とがよく一致していることが分かる。以上から、株価収益率として通常の株価収益率のマイナスをプラスに変換したデータの分布は、ハーフノーマル曲線にしたがうことが確認できた。そこで、BS公式によるオプションのプレミアム計算式を、正規確率分布ではなくハーフノーマル分布にしたがって修正することにより、プレミアムの値をより正確なものにすることができる。コンピュータを用いた実現以上を踏まえ、図85以後に、本実施の形態の基本的枠組みに係るオプション価格の算出システムを実現するためのプログラムの制御構造をフローチャート形式で示す。このシステムは、大きく分けて2つのプログラムからなる。第1のプログラムは、しかるべきソースから株価の分足データを定期的に受信してハードディスクなどの不揮発性記憶媒体に記憶し、その時点で算出できる情報本実施の形態ではボラティリティについて算出しておくプログラムである。このプログラムの制御構造は図85に示してある。第2のプログラムは、オンラインで接続された端末からコールオプション又はプットオプションの価格参照要求に応答して、端末から与えられた条件にしたがい、予め記憶しておいた分足データ及びボラティリティを用いて、指定されたコールオプション又はプットオプションの値を算出して返信するためのプログラムである。そうしたプログラムの制御構造を図86に示す。図85を参照して、株価の分足データを受信するプログラムは、図示しないタイマにより定期的に起動される。起動されると、最初に予め設定されたソースオンラインで接続された株価情報サービスに接続し、予め選択されている、株の各種銘柄の各々について、分足データを読み出してハードディスクに記憶するステップ100を含む。このプログラムの実行が終了すると、本実施の形態に係るシステムは、ステップ100で読み込んだ分足データに基づき、選択された銘柄に関するオプション価格の算出を行なうことができるようになる。図85に示すプログラムが定期的に実行されるため、そのたびにデータの上書きがされ、以下に説明する方法により算出されるオプション価格の値は、他の条件が同一でも変動する。図86を参照して、他の端末からの要求に基づいてオプション価格を算出するプログラムは以下のような制御構造を有する。なお、他の端末からオプション価格の算出を要求するにあたり、オプションの種別コールかプットか、株式の銘柄、株価S、権利行使価格K、非危険資産利子率r年当たり、オプション満期までの残存期間t、及び連続複利計算された配当性向qの各々について、設定値が端末から本システムに送信されてくる。このプログラムは、要求に応答し、要求に付随して与えられたパラメータを用い、ステップ100でハードディスクに記憶された分足データに基づき、通常の定義による投資収益率を指定された銘柄について算出するステップ102と、ステップ102で算出された投資収益率のうち、負のものがあればその符号をプラスに逆転することにより投資収益率を変換するステップ104と、ステップ104で変換された後の投資収益率に前述の式A及びBを適用することによりボラティリティvを算出するステップ106と、ステップ106で算出されたボラティリティvを保存するステップ108とを含む。ここではθとして前述したとおり0.8を使用する。このプログラムはさらに、ボラティリティvを用い、式C及びDによってd1及びd2を算出し、一時記憶装置に記憶するステップ120と、ステップ120の後、要求がコールオプションのプレミアム価格の算出か否かを判定するステップ122と、ステップ122の判定が肯定の時に実行され、式EによりコールオプションのプレミアムをHalfBSCall[S,K,v,r,q,t]により算出するステップ124と、ステップ124で算出されたプレミアムを端末の表示装置上に表示するための画面データを生成するステップ126と、ステップ126で生成された画面データを端末に送信して処理を終了するステップ128とを含む。このプログラムはさらに、ステップ122の判定が否定の時に実行され、式FによりプットオプションのプレミアムをHalfBSPut[S,K,v,r,q,t]により算出するステップ130と、ステップ130で算出されたプレミアムを端末の表示装置上に表示するための画面データを生成するステップ132と、ステップ132で生成された画面データを端末に送信して処理を終了するステップ134とを含む。このシステムは以下のように動作する。まず、定期的に図85に制御構造を示すプログラムを実行する。システムは予め選択された情報ソースに接続可能であり、ステップ100ではそうしたソースにアクセスし、必要な情報を読み出して装置のハードディスクに保存する。オンラインで接続された端末からオプション価格の算出要求があると、指定された銘柄について指定された期間での投資収益率を通常の算出方法によりステップ102で算出する。さらに、算出された投資収益率のうち符号が負となるものがあればその符号を性に逆転させることにより、投資収益率の分布をハーフノーマル分布に当てはまるものに変換するステップ104。さらに式A及びBにより、指定された銘柄のボラティリティvを算出しステップ106、保存してステップ108、以後の計算に備える。さらに、ステップ120で、ボラティリティvを用い、式C及びDによってd1及びd2を算出し、一時記憶装置に記憶する。ステップ120の後、要求がコールオプションのプレミアムの算出か否かをステップ122で判定する。要求がコールオプションのプレミアム算出であれば、ステップ124で式EによりコールオプションのプレミアムをHalfBSCall[S,K,v,r,q,t]により算出する。算出されたプレミアムは、ステップ126及び128を経てユーザ端末の表示画面上に表示される。一方、ステップ122の判定が否定であれば、式FによりプットオプションのプレミアムがHalfBSPut[S,K,v,r,q,t]により算出される。コールオプションのときと同様、プレミアム価格がステップ132及び134を経て端末装置の表示画面上に表示される。既に述べたとおり、従来のBS公式で算出されたオプション価格が正しいか否かについては、検証されているとはいいがたい。それに対し、本実施の形態の基本的枠組みで提案したハーフノーマル分布に基づくオプション価格については、実験でもその正当性が確認され、さらに実際のデータを用いてもその妥当性についての検証を行なうことができた。このハーフノーマル分布に基づくオプション価格を幅広く用いることにより、よりリスクの少ない投資を実現することができる。[コンピュータによる実現]この実施の形態のシステムは、コンピュータハードウェアと、そのコンピュータハードウェアにより実行されるプログラムと、コンピュータハードウェアに格納されるデータとにより実現される。図87はこのコンピュータシステム330の外観を示し、図88はコンピュータシステム330の内部構成を示す。図87を参照して、このコンピュータシステム330は、メモリポート352及びDVDDigitalVersatileDiscドライブ350を有するコンピュータ340と、キーボード346と、マウス348と、モニタ342とを含む。図88を参照して、コンピュータ340は、メモリポート352及びDVDドライブ350に加えて、CPU中央処理装置356と、CPU356、メモリポート352及びDVDドライブ350に接続されたバス366と、ブートアッププログラム等を記憶する読出専用メモリROM358と、バス366に接続され、プログラム命令、システムプログラム、及び作業データ等を記憶するランダムアクセスメモリRAM360とを含む。コンピュータシステム330はさらに、プリンタ344と、他端末との通信を可能とするローカルエリアネットワークLAN370への接続を提供するネットワークインターフェイスカードNIC368とを含む。モニタ342、キーボード346及びマウス348等は、このコンピュータ340を操作するために必要となるものである。しかし、コンピュータ340が遠隔のコンピュータから操作可能な場合にはこれらは不要である。プリンタ344も必須というわけではない。上記した分足データはLAN370上の所定の情報ソースから、NIC368を介してコンピュータ340に与えられ、ハードディスク354に記憶される。上記したプレミアム計算のためのプログラムは通常はハードディスク354に記憶されているが、CPU356による実行が開始されると、その大部分がRAM360にロードされ、常駐する。コンピュータシステム330にオプション価格計算システムとしての動作を行なわせるためのコンピュータプログラムは、DVDドライブ350又はメモリポート352に装着されるDVD362又はリムーバブルメモリ364に記憶され、さらにハードディスク354に転送される。又は、プログラムはLAN370を通じてコンピュータ340に送信されハードディスク354に記憶されてもよい。プログラムは実行の際にRAM360にロードされる。DVD362から、リムーバブルメモリ364から、又はネットワークを介して、直接にRAM360にプログラムをロードしてもよい。このプログラムは、コンピュータ340にこの実施の形態のオプション価格計算システムとして動作を行なわせる複数の命令を含む。この動作を行なわせるのに必要な基本的機能のいくつかはコンピュータ340上で動作するオペレーティングシステムOS若しくはサードパーティのプログラム、又はコンピュータ340にインストールされる各種ツールキットのモジュールにより提供される。したがって、このプログラムはこの実施の形態のシステム及び方法を実現するのに必要な機能全てを必ずしも含まなくてよい。このプログラムは、命令のうち、所望の結果が得られるように制御されたやり方で適切な機能又はプログラミングツールキットを呼出すことにより、上記したオプション価格計算システムとしての動作を実行する命令のみを含んでいればよい。コンピュータシステム330の動作は周知であるので、ここでは繰返さない。[東京株式市場における実証的研究]米国のYahooサイトから、東京株式市場の以下の4銘柄トヨタ自動車、日本電産、野村ホールディングス、本田技研工業の株の値動きのデータをとり、それを用いて東京株式市場の株価の分散‐共分散行列と予想収益率をと上に説明した実施の形態の考え方にしたがって推定した。その結果は以下のとおりである。2010年4月7日から2010年9月1日までの期間において計算したこれら株価の分散‐共分散行列は以下のとおりである。上記実施の形態にしたがって計算した予想収益率は、以下のとおりである。図89に、それぞれこれら4つの銘柄のうちの3つの銘柄の組み合わせから得た4個の有効フロンティアと、これら4つの有効フロンティアの包絡線である、これら4つの銘柄に対する有効フロンティア双曲線とをまとめて描いてある。図90は、図89と証券市場直線とを重ね合わせたグラフである。図89と図90とを見ると、4本の双曲線とそれらが内接する包絡線との関係が良く分かる。図90において、4つの銘柄による有効フロンティアの双曲線と証券市場直線との接点が、リスクに対する利益が最大となる点である。図90に示す線分P1P2の長さが、このポートフォリオのリスクプレミアムであり、その値は0.00649265である。この場合の無危険利子率は0.008と想定されている。図90から計算される各銘柄の最適比率は以下のとおりである。一方、2011年3月11日から2011年4月21日のデータを用いて計算した結果は以下のとおりである。分散-共分散行列予想収益率は以下のとおりである。このデータを用い、2011年3月11日から2011年4月21日の間のこれらの銘柄の有効フロンティアを描くと図91に示すようになり、これら有効フロンティアと証券市場曲線とを重ねて描くと図92に示すようになる。この場合の最適保有比率は以下のとおりである。この計算結果によれば、トヨタと日本電産とはかなりの比率で空売りされることになる。対照的に、野村と本田はプラスになっている。トヨタと比較して、本田の比率がかなり高くなっていることに注目されたい。[考察]既に述べた理論的根拠と、上記した実証的研究結果とに基づき、本実施の形態の特徴とメリットとは、例えば以下のような点にあると考える。1有効フロンティアの導出マーコウィッツによる有効フロンティアの導出方法には、上記したように問題がある。つまり、マーコウィッツの導出方法には、マイナスの保有比率としての空売りの利益が総合的に一体化されていないという問題がある。このようにして導出された有効フロンティアの分析からは、空売りの利益を理論的に確定できない。しかも近時の日本経済のように株価が長期的に低迷している場合、データをそのまま用いると予想収益率がマイナスにならざるを得ない。そのため、本来ならばX-Y座標の第1象限に描かれるべき有効フロンティアが、それ以外の領域に描かれてしまうことになる。これが、最近の株価の変動の実証的分析を不可能にしている原因の1つであると考えられる。2検証の必要性上のような観点に立てば、実は、いわゆるベータが死んだ、というような、上記Famaらによる結論を検証もせずそのまま受入れているファイナンス研究者の姿勢には疑問を呈さざるを得ない。なお、ヤフーの米国株価データに実際にアクセスした結果、このデータには欠落が多く、非常に丁寧な処理を行わなければ追試は難しいように思われる。一方、日本で発表されているデータにはあまり欠落はなく、実証研究における使用に耐えるもののように思われる。ここで、学問上の大きな課題を確認しておく必要がある。つまり、いかなる学説上の命題も、厳密なる追試なしには正しいものとして確立し得ないということである。従来の経済理論ではこの点がなおざりにされてきたと思われる。この点が従来の経済理論の重大な問題であると思われる。たとえばノーベル賞を受賞した研究者の主張であっても、その権威に唯々諾々として従うべきではなく、まずその理論を検証することが学問上の最大の課題である。特に最近の株価の変動には、いわゆるデイトレーダブラックフィッシャーはかれらをノイズトレーダと呼んだ。の投資行動の影響が強く現れるようになっている。そのため、これらの人たちの投資行動をどのように分析するかが、金融経済理論、または経済理論の喫緊の課題となっている。このような問題と、裁定又は投機家の行動分析をするには、上記実施の形態で提案されたような有効フロンティア分析が今後の経済理論の重要な研究ツールになると思われる。4リスクプレミアム付言すると、図90及び図92に現れている線分P1P2は、このポートフォリオに対する投資家のリスクプレミアムを表している。[震災との関連の考証]上述のシミュレーション結果から以下のような知見を得た。東京株式市場では、東北地方の大震災後にはトヨタ株の保有比率が極端に落ち込み、マイナスになっていることが注目される。これは、東京市場に参加している投資家たちが、理論的に見て非常に正当な評価を下しているということである。ここには示さなかったが、いわゆるリーマンショックの前後において、ニューヨーク株式市場でのGMの保有比率の落ち込み方がそれほど極端ではなかったことと比較すると、東京市場はニューヨーク市場よりもはるかに合理的に動いているということができる。なお、上記実施の形態では、使用する株価のデータとして分足データを用いている。しかし本発明が分足データ以外のデータ例えば時足、日足データにも適用可能であることは明らかである。また、上記実施の形態は、オプション価格の算出において、計算の基礎となる投資収益率の負の符号を逆転することにより、その分布がハーフノーマル分布にしたがうものとして計算を行なっている。ハーフノーマル分布は、前述したとおり、1パラメーター族に属しており、既に述べたパラメータθのみでその形が定まる。上記実施の形態では、θ=0.8とした。θは前述したとおり実際のデータのヒストグラムとハーフノーマル曲線との一致を見て決められる値である。実験等によればθ=0.8程度が最も両者がよく一致していたため、この値を採用した。しかし、θが厳密にこの値と一致しなければならないわけではない。前述のとおり、θ=0.75程度及び1.01程度の間であれば、θとしてどのような値をとるべきかは実際のデータにしたがって変動し得ると考えられる。今回開示された実施の形態は単に例示であって、本発明が上記した実施の形態のみに制限されるわけではない。本発明の範囲は、発明の詳細な説明の記載を参酌した上で、特許請求の範囲の各請求項によって示され、そこに記載された文言と均等の意味及び範囲内での全ての変更を含む。"