Matematiğin dalları

Tarih boyunca matematiğin konu çeşitliliği ve derinliği artmaktadır, matematiği kavrama, birçok konuyu matematiğin daha genel alanlarına göre sınıflandırma ve düzenleme için bir sistem gerektirir. Bir dizi farklı sınıflandırma şeması ortaya çıkmıştır ve bazı benzerlikleri paylaşsalar da, kısmen hizmet ettikleri farklı amaçlara bağlı olarak farklılıkları vardır. Ek olarak, matematik geliştirilmeye devam ettikçe, bu sınıflandırma şemaları da yeni oluşturulan alanları veya farklı alanlar arasında yeni keşfedilen bağlantıları dikkate alacak şekilde değişmelidir. Farklı alanlar arasındaki sınırı aşan, genellikle en aktif olan bazı konuların sınıflandırılması daha zor hale gelir.

Matematiğin geleneksel alanlarından biri, matematiğin içsel ilgisi için çalışılan saf matematik ve gerçek dünya problemlerine doğrudan uygulanabilen uygulamalı matematik'tir. Bu ayrım her zaman net değildir ve daha sonra beklenmedik uygulamaları bulmak için birçok konu saf matematik olarak geliştirilmiştir. Ayrık matematik ve hesaplamalı matematik gibi geniş bölümler daha yakın zamanlarda ortaya çıkmıştır.

İdeal bir sınıflandırma sistemi, önceki bilgilerin organizasyonuna yeni alanlar eklemeye ve şaşırtıcı keşifleri ve beklenmedik etkileşimleri ana hatlara uydurmaya izin verir. Örneğin, Langlands programı önceden bağlantısız olduğu düşünülen alanlar, en azından Galois grupları, Riemann yüzeyleri ve sayı teorisi arasında beklenmedik bağlantılar ortaya çıkarmıştır.

Matematik Konu Sınıflandırması (MSC), inceleme veritabanları Mathematical Reviews ve Zentralblatt MATH personeli tarafından üretilmiştir. Birçok matematik dergisi, yazarlardan makalelerini MSC konu kodlarıyla etiketlemelerini ister. MSC, matematiği her alanda daha fazla alt bölümle 60'tan fazla alana böler.

Kongre Kütüphanesi Sınıflandırmasında, matematiğe Q sınıfı (Bilim) içindeki birçok alt sınıf QA atanır. LCC, geniş bölümleri tanımlar ve bireysel konulara belirli sayısal değerler atanır.

Dewey Ondalık Sınıflandırması, cebir ve sayı teorisi, Aritmetik, Topoloji, Analiz, Geometri, Sayısal analiz ve Olasılık ve uygulamalı matematik için alt bölümlerle birlikte matematik için 510 bölüm belirler.

IMU (Uluslararası Matematikçiler Birliği), program yapısını dört yıllık ICM (Uluslararası Matematikçiler Kongresi)'de dersleri düzenlemek için kullanır. MSC'nin sahip olmadığı üst düzey bir bölüm Lie teorisidir.

Springer (alt disiplinler ), Cambridge (Matematik ve istatistiklere göz atın ) ve AMS (konu alanı ) gibi matematik kitabı yayıncıları, müşterilerinin kitaplara göz atmasını veya matematiksel biyoloji ve matematiksel finans gibi üst düzey başlıklar içeren konular da dahil olmak üzere alt disiplinlere göre aramaları filtrelemesini sağlamak için web sitelerinde kendi konu listelerini kullanır.

Matematikçiler her zaman mantık ve sembollerle çalıştılar, ancak yüzyıllar boyunca mantığın altında yatan yasalar kanıksandı ve asla sembolik olarak ifade edilmedi. Sembolik mantık olarak da bilinen matematiksel mantık, insanlar sonunda matematiğin araçlarının mantığın yapısını incelemek için kullanılabileceğini fark ettiğinde geliştirildi. Bu alandaki araştırma alanları hızla genişlemiştir ve genellikle birkaç farklı alt alana bölünmüştür.

İspat teorisi ya da "Meta matematik", David Hilbert'in matematikteki tüm ispatları resmileştirmeye yönelik iddialı programından doğdu. Alandaki en ünlü sonuç Gödel'in eksiklik teoremlerinde özetlenmiştir. Yakından ilişkili ve şimdi oldukça popüler olan bir kavram, Turing makineleri fikridir. Oluşturmacılık, Brouwer'ın mantığın kendi doğasına ilişkin alışılmışın dışında görüşünün bir sonucudur; Yapısal olarak konuşursak, matematikçiler gerçekten bir daire olduğu ortaya konana ve yuvarlaklığı ölçene kadar "Bir daire yuvarlaktır ya da değildir" diyemezler.

Bir küme, bazı ortak özelliklerle birleştirilen farklı şeylerin bir koleksiyonu olarak düşünülebilir. Küme teorisi üç ana alana bölünmüştür. Naif küme teorisi, matematikçiler tarafından 19. yüzyılın sonunda geliştirilen orijinal küme teorisidir. Aksiyomatik küme teorisi, saf küme teorisindeki ciddi kusurların (Russell paradoksu gibi) keşfine yanıt olarak geliştirilen titiz bir aksiyomatik teoridir. Kümeleri "aksiyomları karşılayan her şey" olarak ele alır ve nesnelerin toplanması kavramı, aksiyomlar için yalnızca motivasyon işlevi görür. İç küme teorisi, gerçek sayılar içerisinde illimited (muazzam büyük) ve infinitesimal (düşlenemeyecek kadar küçük) ögeleri tanımlayan mantıksal tutarlılığı destekleyen küme kuramının aksiyomatik bir uzantısıdır. Ayrıca bkz. Küme teorisi konularının listesi.

Matematik tarihi, ayrılmaz bir biçimde konunun kendisiyle iç içe geçmiştir. Bu tamamen doğaldır: matematiğin, daha önce gelenlerden yeni teoremler türeten dahili bir organik yapısı vardır. Her yeni nesil matematikçi, kendi çalışmalarını atalarının başarıları üzerine inşa ettikçe, konunun kendisi de bir soğan gibi yeni katmanlarla büyüyor da büyüyor.

Sihirli karelerden Mandelbrot kümesine kadar sayılar, çağlar boyunca milyonlarca insan için bir eğlence ve keyif kaynağı olmuştur. "Ciddi" matematiğin birçok önemli dalının kökleri bir zamanlar sadece bir bulmaca ve/veya oyun olan şeylere dayanmaktadır.

Sayılar teorisi, sayıların ve aralarındaki işlemlerin özelliklerinin incelenmesine dayanan matematik alanıdır. Sayılar teorisi, geleneksel olarak tam sayıların özellikleriyle ilgilenir, ancak son zamanlarda, tam sayıların incelenmesinden doğal olarak ortaya çıkan daha geniş problem sınıflarıyla da ilgilenmeye başlamıştır.

Sayı teorisinin temel olarak doğal sayılar, tam sayılar, kesirler ve ondalık sayıların yanı sıra bunlarla ilgili toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi geleneksel işlemlerin özelliklerine odaklanan temel bir parçasıdır. 19. yüzyıla kadar, aritmetik ve sayı teorisi eş anlamlıydı, ancak alanın evrimi ve büyümesi, yalnızca sayı teorisinin temel dalına atıfta bulunan aritmetik kavramı ile sonuçlandı.

Yapı çalışması sayılarla, önce bilinen doğal sayılar ve tam sayılar ile bunların temel cebire kaydedilen aritmetik işlemleriyle başlar. Bu sayıların daha derin özellikleri sayı teorisinde incelenmiştir. Denklemleri çözme yöntemlerinin araştırılması, diğer şeylerin yanı sıra halkaları ve cisimleri, günlük sayıların sahip olduğu özellikleri genelleştiren yapıları inceleyen soyut cebir alanına götürür. Pergel ve düz kenarlı cetvel ile yapılabilen çizimler hakkında uzun süredir devam eden sorular sonunda Galois teorisiyle çözüldü. Vektör uzaylarına genelleştirilmiş fiziksel olarak önemli vektör kavramı doğrusal cebirde incelenmiştir. Her tür cebirsel yapı için ortak olan temalar evrensel cebirde incelenir.

Herhangi iki farklı gerçek sayı için biri diğerinden büyük olmalıdır. Sıra teorisi, bu fikri genel olarak kümelere genişletir. Kafesler ve sıralı cebirsel yapılar gibi kavramları içerir. Ayrıca sıra teorisi sözlüğüne ve sıra konularının listesine bakın.

Bir küme verildiğinde, bu kümenin üyelerini birleştirmenin veya ilişkilendirmenin farklı yolları tanımlanabilir. Bunlar belirli kurallara uyarlarsa, belirli bir cebirsel yapı oluşur. Evrensel cebir, bu yapıların ve sistemlerin daha resmi bir çalışmasıdır.

Alan teorisi, cisimlerin özelliklerini inceler. Alan, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin iyi tanımlandığı matematiksel bir varlıktır. Polinom, sabitlerin ve değişkenlerin yalnızca toplama, çıkarma ve çarpma kullanılarak birleştirildiği bir ifadedir.

Halka teorisinde, soyut cebrin bir dalı olan değişmeli bir halka, çarpma işleminin değişme yasasına uyduğu bir halkadır. Bu, a ve b halkanın herhangi bir elemanıysa, a×b = b×a olduğu anlamına gelir. Değişmeli cebir, değişmeli halkalar ve idealleri, modülleri ve cebirlerinin çalışma alanıdır. Hem cebirsel geometri hem de cebirsel sayı teorisi için temeldir. Değişmeli halkaların en belirgin örnekleri, polinom halkalarıdır.

Kombinatorik, belirli kriterleri karşılayan sonlu veya ayrık nesne koleksiyonlarının incelenmesidir. Özellikle, bu koleksiyonlardaki nesneleri "sayma" ile (sayı saymalı kombinatorikler) ve belirli "optimal" nesnelerin var olup olmadığına (aşırı kombinatorikler) karar vermekle ilgilidir. Birbirine bağlı nesneleri tanımlamak için kullanılan graf (çizge) teorisini içerir (bu anlamda bir graf, bir ağ veya bağlantılı noktalar topluluğudur). Ayrıca kombinatorik konularının listesine, grafik teorisi konularının listesine ve grafik teorisi sözlüğüne bakın. Problem çözmenin birçok bölümünde kombinasyonel bir lezzeti mevcuttur.

Geometri, temel nitelikleri veya aksiyomları kullanarak uzamsal ilişkilerle ilgilenir. Bu tür aksiyomlar, mantıksal sonuçlar çıkarmak için noktalar, doğrular, eğriler, yüzeyler ve katılar için matematiksel tanımlarla birlikte kullanılabilir. Ayrıca bkz. Geometri konularının listesi.

Doğaları veya sunuşları gereği ayrık veya kombinatoryal geometrik nesnelerin ve özelliklerin incelenmesidir. Platonik katılar ve mozaikleme kavramı gibi şekillerin incelenmesini içerir.

Matematik kullanarak geometri çalışmasıdır. Diferansiyel topoloji ile çok yakından ilgilidir. Riemann geometrisi, eğriliği ve eğrilerin diferansiyel geometrisi gibi alanları kapsar. Ayrıca diferansiyel geometri ve topoloji sözlüğüne bakın.

İki gerçek değişkenin polinomu verildiğinde, bu fonksiyonun sıfır olduğu düzlemdeki noktalar bir eğri oluşturacaktır. Bir cebirsel eğri, bu kavramı belirli sayıda değişkendeki bir cisim üzerinde polinomlara genişletir. Cebirsel geometri, bu eğrilerin incelenmesi olarak görülebilir. Ayrıca cebirsel geometri konularının listesine ve cebirsel yüzeylerin listesine bakın.

Rasyonel sayılar alanı, sayı alanları, sonlu alanlar, fonksiyon alanları ve p -adik alanlar gibi cebirsel olarak kapalı olmayan ve Cebirsel sayı teorisinde ortaya çıkan cisimlerdeki koordinatlara sahip cebirsel çeşitlerin noktalarının gerçek sayıları içermeyecek şekilde incelenmesidir.

Şekil sürekli deforme olduğunda bir şeklin değişmeyen özelliklerini ele alır. Ana alanlar, aşağıda tanımlanan nokta kümeli topoloji (veya genel topoloji), cebirsel topoloji ve manifoldların topolojisidir.

Ayrıca nokta küme topolojisi olarak da adlandırılır. Topolojik uzayların özellikleri, açık ve kapalı kümeler, tıkız uzaylar, sürekli fonksiyonlar, yakınsama, ayırma aksiyomları, metrik uzaylar, boyut teorisi gibi kavramları içerir. Ayrıca genel topoloji sözlüğüne ve genel topoloji konularının listesine bakın.

Bir topolojik uzay ile ilişkili cebirsel nesnelerin özellikleri ve bu cebirsel nesnelerin bu tür uzayların özelliklerini nasıl yakaladığı (Bu cebirsel nesnelerin bazıları, Funktör örnekleridir.) Homoloji teorisi, kohomoloji teorisi, homotopi teorisi ve homolojik cebir gibi alanları içerir. Homotopi, homotopi grupları (temel grup dahil) ve basit kompleksler ve CW kompleksleri (hücre kompleksleri olarak da adlandırılır) ile ilgilenir. Cebirsel topoloji konularının listesine de bakın.

Matematik dünyasında analiz, değişime odaklanan daldır: değişim oranları, birikmiş değişim ve birbirine göre (veya birbirlerinden bağımsız olarak) değişen çok sayıda şey ile ilgilenir.

Modern analiz, disiplinin hemen hemen tüm diğer alt bölümlerine dokunan, sayı teorisi, kriptografi ve soyut cebir gibi çok çeşitli konularda doğrudan ve dolaylı uygulamalar bulan geniş ve hızla genişleyen bir matematik dalıdır. Aynı zamanda bilimin kendi dilidir ve Astrofizikten X ışını kristalografisine kadar kimya, biyoloji ve fizikte kullanılır.

Olasılık teorisi: Rastgele olayların matematiksel teorisidir. Olasılık teorisi, deterministik olmayan olayların veya ölçülen büyüklüklerin matematiksel soyutlamaları olan rastgele değişkenleri ve olayları inceler. Ayrıca Kategori: olasılık teorisine ve olasılık konularının listesine bakın.

Stokastik süreçler: Zaman serileri veya uzamsal süreçler gibi rastgele değişkenlerin koleksiyonlarını inceleyen olasılık teorisinin bir uzantısıdır. Ayrıca bkz. Stokastik süreç konuları listesi ve :Kategori: Stokastik süreçler.

İstatistik: Deneylerden veya birey popülasyonlarından elde edilen sayısal verileri etkili bir şekilde kullanma bilimidir. İstatistikler, sadece bu tür verilerin toplanması, analizi ve yorumlanmasını değil, aynı zamanda anket ve deneylerin tasarımı açısından veri toplama planını da içerir. Ayrıca istatistiksel konuların listesine bakın.

Matematikteki birçok problem, genelde tam olarak çözülemez. Sayısal analiz, problemleri yaklaşık olarak belirli bir hata sınırında çözmek için yinelemeli yöntemlerin ve algoritmaların incelenmesidir. Sayısal farklılaştırma, sayısal entegrasyon ve sayısal yöntemleri içerir; bilimsel hesaplama ile kıyaslayın. Ayrıca bkz. Sayısal analiz konularının listesi.

Bu alan aynı zamanda sembolik hesaplama veya cebirsel hesaplama olarak da adlandırılır. Örneğin gelişigüzel büyüklükteki tam sayılar, polinomlar veya sonlu alanların elemanları gibi kesin hesaplama ile ilgilenir. Ayrıca polinom idealler veya seriler gibi sayısal olmayan matematiksel nesnelerle hesaplamayı da içerir.

Mermilerden makinenin parçalarına kadar makroskopik nesnelerin ve uzay aracı, gezegenler, yıldızlar ve galaksiler gibi astronomik nesnelerin hareketini ele alır ve açıklar.

Yapıların mekaniği, bir kirişin kıvrılması, bir kolonun burulması, bir şaftın bükülmesi, ince bir kabuğun eğilmesi ve bir köprünün titreşimi gibi mekanik yükler altındaki yapıların davranışını araştıran, uygulamalı mekanik içinde bir çalışma alanıdır.

Gerçek dünyadaki nesnelerin çoğu, nokta benzeri veya tamamen katı değildir. Daha da önemlisi, nesneler kuvvetlere maruz kaldığında şekil değiştirir. Bu konu, kesintisiz madde ile ilgili olan süreklilik mekaniği ile çok güçlü bir örtüşmeye sahiptir. Stres, gerinim ve esneklik gibi kavramlarla ilgilenir.

Akışkanlar, bu anlamda sadece sıvıları içermez, ancak akışkan gazlar ve hatta belirli koşullar altında katıları da içerir. (Örneğin, kuru kum bir sıvı gibi davranabilir). Viskozite, türbülanslı akış ve laminer akış (tersi) gibi kavramları içerir.

Matematikte bir parçacık, nokta benzeri, tamamen sabit, katı bir nesnedir. Parçacık mekaniği, parçacıkların kuvvetlere maruz bırakılmasının sonuçlarıyla ilgilenir. Göksel mekaniği, gök cisimlerinin hareketinin incelenmesi, içerir.

Operasyonel araştırma olarak da bilinen yöneylem araştırması (YA), karmaşık sorunlara optimal veya neredeyse optimal çözümler sağlar. YA matematiksel modelleme, istatistiksel analiz ve matematiksel optimizasyon kullanır.

Matematiksel programlama (veya matematiksel optimizasyon), genellikle değişkenler üzerindeki kısıtlamalarla belirtilen bir alan üzerinde gerçek değerli bir işlevi minimize (veya maksimize) eder. Matematiksel programlama bu sorunları inceler ve çözümleri için yinelemeli yöntemler ve algoritmalar geliştirir.