Binom dağılımı

Bu şekilde başarı/başarısızlık sonucu veren her bir deneme Bernoulli denemesi olarak da anılır. Eğer n=1 olursa, bu binom dağılım, yani B(1, p), gerçekte bir Bernoulli dağılımı ile aynıdır. Binom dağılımı çıkarımsal istatistik analiz ve pratik problem çözüm çabaları içinde çok popüler olan kullanılan binom testi için temel teoriyi ortaya çıkarır.

Binom dağılımı için en basit örnek bir zarın 10 defa atılıp kaç tane 6 elde edildiğinin sayılmasıdır. Bu rassal sayının (yani 10 deneyde kaç tane 6 elde edilmesi) dağılımı, n=10 ve p=1/6 parametreleri olan bir binom dağılımdır.

Diğer bir örnek, çok büyük bir halk kitlesinin içinde yeşil gözlü olanların incelenmesinden ortaya çıkar. Araştırmamız yeşil gözlüler hakkında olduğu için başarı kategorisi yeşil gözlü kişi gözlemi için kullanılır ve başarısızlık kategorisi yeşil gözlü olmayan kişi gözlemi karşılığı olarak ele alınır. Bu halk kitlesi içindeki yeşil gözlüler oranının, (yani başarı olasılığının) %5 olduğu bilinsin. 100 kişiyi kapsayan bir basit rastgele örneklem seçelim ve örneklem içinde bulunan her bir kişinin göz rengini gözleyelim. Bu işlemin binom dağılım açıklamasına göre karşılığı 100 tane bağımsız deneme yapılmasıdır yani n=100 dur. Bu örnekte içinde gözlemi yapılan yeşil gözlü kişi sayısı, 0 ile 100 arasında değerler alabilen, X rassal değişken olarak kabul edilsin. X için olasılık n=100 ve p=0.05 parametreleri olan bir binom dağılım ile bulunur.

olarak verilebilir. Böylece dağılımın adının nereden ortaya çıkartıldığı görülmektedir. Bu formülün biraz daha detaylı açıklanması şöyle yapılabilir. k sayıda başarı (pk) ve n - k sayıda başarısızlık (1 - p)n - k istemekteyiz. Ancak, k sayıda başarı n sayıda denemenin belirli olmayan her bir tarafında ortaya çıkabilir. n deneme sayısı içinde k başarı sayısı C(n,k) değişik şekilde yerleştirilebilir.

bulunur. Böylece aranan olasılık değeri (binom genellikle simetrik olmadığı için) tablolarda gösterilen değişik değerde k ve değişik değerde p kullanarak bulunur.

ifadesi tanımlanır ve X in (n + 1)p değerinden daha eksik değerde veya ayni değerde en büyük tam sayı olduğu bilinir. Böylece hem m - 1 hem de m iki ayrı mod değeri oluştururlar.

Burada dikkat edilmesi gereken bir gerçek de binom dağılımının çift mod göstermesine rağmen her çift mod gösteren dağılımın bir binom dağılımı olmadığıdır.

Binom dağılım için ortalama ve varyans değerleri açıkça ilk tanımsal prensipler kullanılarak elde edilebilirler. Bu iki değerin ortaya çıkartılması için şu toplamlar kullanılır. Bu toplamlardaki terimlerin yerleri değiştirilerek binom [[Binom Dağılım#Olasılık kütle fonksiyonu]|olasılık kütle fonksiyonu]]nun tümünde toplamın her zaman 1'e eşit olmasını sağlarız.

Bu seride k=0 indeksli birinci terimin değeri 0 'a eşittir; çünkü birinci faktör k sıfırdır. Bunu bertaraf edersek alt limiti k=1 'e indirgenmiş olunur.

Süreklilik doğrulaması operasyonunun kullanışı şu örnek ile gösterilebilir. Bir binom rassal değişken X için olasılığı, yani Pr(X ≤ 8) değerini, bulmak istediği kabul edilsin. Eğer Y rassal değişkeninin normal yaklaşım ile verilen bir dağılımı varsa Pr(X ≤ 8) değeri Pr(Y ≤ 8.5) ifadesi ile yaklaşık olarak bulunabilir. Burada ikinci terime 0.5 eklenmesi (yani 8 yerine 8.5 kullanılması) süreklilik doğrulaması operasyonudur; eğer bu kullanılmasaydı, doğrulama yapılmamış normal yaklaşık değer daha az dakik sonuçlar vereceği bilinmektedir.

Büyük değerde n için doğru binom formülü kullanarak hesap yapılması çok büyük emek gerektirmekte olduğu için, özellikle bilgisayarların hemen el altında olmadığı günlerde, bu yaklaşım çok büyük zaman ve emek tasarrufu sağlamaktaydı. Normal dağılım ile yaklaşım ilk olarak 1733de Abraham de Moivre tarafından Şanslar için Doktrin adlı kitabında ortaya atılmıştır. Sonradan bu yaklaşımın kullanışı, B(n,p) n sayıda bağımsız ve tıpatıp ayni şekilde dağılım gösteren 0-1 değerli gösterge değişkeni olduğu için, merkezsel limit teoreminin bir sonucu olarak görülmektedir.

olan bir normal dağılım ile yaklaşım sağlanabilecektir. Örnek büyüklüğü olan n in büyük olma halinde yaklaşım sonucu iyi olacaktır, çünkü beklenen değerlerin bir oranı küçüldükçe bilinmeyen p parametresini yaklaşım değeri daha dakik olmasını sağlamaktadır.

n değeri ∞'ye yaklaşırken ve p 0'a yaklaşırken, eğer np değeri değişmeden λ > 0 olarak kalırsa veya asgari olarak np λ > 0 değerine yaklaşırsa, o zaman (n, p) parametreli Binom dağılımı, λ beklenen değeri olan bir Poisson dağılımına yaklaşır.