Fraksiyonel fourier dönüşümü

Matematikte, harmonik analiz alanında, kesirli Fourier dönüşümü (FRFT) Fourier dönüşümüne genelleştirilecek doğrusal dönüşümlerin bir ailesidir. Bu nedenle, -zaman ve frekans- arasında bir ara etki alanı için bir işlev dönüştürebilir - Fourier dönüşünde n'in bir tam sayı olması gerekmez n'inci kuvvet dönüşümü olarak da düşünülebilir. Onun uygulamaları faz geri alma ve örüntü tanıma için,filtre tasarımı ve sinyal analizi arasında değişir.

Bağımsız birkaç araştırma grubu tarafından 1993 civarında yeniden icat edilene kadar ancak yaygın olarak kabul edilmemiştir. O zamandan beri,fraksiyonel fourier boyutunda sınırlı bant kabul edilen sinyalleri için,Shannon örnekleme teoremine olan ilgide büyük bir artış olmuştur.

unutmadan, bu tam olarak sürekli bir Fourier dönüşümü tanımı haline gelir ve bunun tersi sürekli bir Fourier dönüşümü tanımına dikkat edilmelidir.

Fourier dönüşümü aslında bozonik'tir;çünkü bu üstüstelik kuralları ve ilişkili girişim desenleri ile çalışır,ayrıca bir fermiyonik Fourier dönüşümüdür. Burada bir süpersimetrik FRFT içinde genelleştirme ve bir süpersimetrik Radon dönüşümü,ayrıca bir fraksiyonel Radon dönüşümü, bir simplektik FRFT ve bir simplektik dalgacık dönüşümüdür. Çünkü kuantum devreleri birim işlemci üzerinde temellidir,ayrıca ikinci olarak integral dönüşümlerini hesaplamak için kullanılan bir fonksiyon uzayı üzerinde birim işlemcidir. Bir kuantum devresi FRFT uygulamak için tasarlanmıştır.

Fourier dönüşümünün herzamanki kullanılan şekli bir zaman domeni sinyalinin bir frekans domeni sinyaline dönüşümüdür.Diğer taraftan, ters Fourier dönüşümü ise frekans domeni sinyalini zaman domeni sinyaline dönüştürür.Görünen o ki,Kesirli Fourier dönüşümü bir sinyale (ya zaman ya da frekans domeni) sürekli zaman ve frekans domenine dönüştürülebilir,zaman-frekans domeni içinde bu bir döngüdür. Lineer kanonik dönüşüm tarafından genelleştirilen bir bakış açısıdır, bu kesirli Fourier dönüşümü genelleştirilerek dönme dışındada frekans-zaman domeni,doğrusal dönüşümlerini sağlar.

Bir örnek olarak aşağıda Şekil alalım:sinyal zaman domeninde dörtgen ise(aşağıda),frekans domeni içinde bir sinc fonksiyon alınacak. Ancak kesirli Fourier dikdörtgen sinyaline dönüştürme uygularsanız, dönüşüm çıkış zaman ve frekans arasındaki bir domen olacaktır.

Aslında, kesirli Fourier dönüşümü zaman frekans dağılımı üzerine bir dönme işlemdir.Yukarıdaki tanımından α = 0 için, burada kesirli Fourier Dönüşümü uyguladıktan sonra herhangi bir değişiklik olmayacak ve bir Fourier dönüşümüne α = π/2 için, kesirli Fourier dönüşümü alınıyor. Buradaki zaman frekans dağılımını  π/2 ile döndürülür. α için diğer değer,α nın zaman frekans dağılımına göre kesirli Fourier dönüşümünün döngüsüdür.Aşağıdaki resim  αnın değişik değerleri ile birlikte kesirli Fourier'e dönüştüren sonuçları gösterir.

Fraksiyonel Fourier dönüşümü zaman frekans analizi ve DSP'de kullanılabilir. Bu gürültüyü filtrelemek için yararlıdır, ama zaman-frekans domeninde istenen sinyalin örtüşmemesi koşulu ile.Aşağıdaki örneği inceleyelim.Gürültüyü ortadan kaldırmak için doğrudan bir filtre uygulayamayız,ancak kesirli Fourier dönüşümü yardımıyla, öncelikle (istenilen sinyal ve gürültü dahil) sinyal döndürebiliriz. O halde sadece istenilen sinyali geçmesine izin verecek özel bir filtre uygulayabiliriz. Böylece gürültü tamamen kaldırılır. Sonra biz geri sinyale döndürmek için tekrar kesirli Fourier dönüşümünü kullanıyoruz ve istenilen sinyal alabiliyoruz.

Böylece, sadece zaman alanında kesilme kullanılarak, veya eşdeğeri frekans domenindeki alçak geçiren filtre'lerle, herhangi bir konveks küme zaman-frekans alanını kesebilirsiniz;kesirli Fourier kullanılarak zaman domeni veya frekans domeninde yöntemleri kullanılarak sadece eksene paralel dikdörtgenler dışındaki kesimin dönüşümüne izin verir.