Türev

Türev, diğer sayı kümeleri üzerindeki fonksiyonlar için de genellenmiş olmasına rağmen öncelikle reel değerli, yani reel sayılardan reel sayılara giden tek değişkenli fonksiyonlar için tanımlanmış, herhangi bir teğetin herhangi bir eğriye x ekseniyle yaptığı pozitif yönlü açının tanjant değeridir.

limiti olarak tanımlanır. Bu limit eğer var ise, yani bir reel sayıysa, f fonksiyonu a noktasında türevlenebilirdir denir. Limitin sonsuz olması veya var olmaması durumunda, f'ye a noktasında türevlenemez denir. Bu limitin temsil ettiği oran yukarıdaki grafikte gösterilmiştir. Limiti alınan oran, yani oranı, Newtonsal oran olarak adlandırılır.

noktasında türevlenebilen bir fonksiyon, civarında sürekli olmak zorundadır. Fakat bunun tersi doğru değildir. Başka bir ifadeyle civarında sürekli olan fakat türevlenemeyen fonksiyon bulmak mümkündür. Örnek olarak Weierstrass fonksiyonu reel sayılar kümesinin her noktasında sürekli olmasına karşın hiçbir noktasında türevlenebilir değildir.

Yukarıdaki limit a civarında doğrudur. Başka bir deyişle h sayısı 0 civarında 0'a yaklaştıkça a + h sayısı a civarında a'ya yaklaşır. Bu sebepten dolayı eğer uç noktalarda türev alınacaksa, limit sembolü soldan limit veya sağdan limit olarak yazılmalıdır. Analiz kitapları, genellikle sürekli fonksiyonları kapalı aralıklarda, türevlenebilir fonksiyonları ise açık aralıklarda tanımladıklarından sol ve sağ limit tanımlamazlar.

Eğer f bir Rn üzerinde gerçek değerli fonksiyon ise koordinat eksenlerinin yönü içinde f in kısmî türevi içinde çeşitli ölçmeler ise (mesela f bir x ve y fonksiyonunun x yönü ve y yönü içinde f 'nin kısmî türevinde çeşitli ölçmeler ise) buna yönlü türev denir.

Bu u sırasıyla fin yönlü türevi için λ zaman içinde farklı katsayısıdır. Dahası sıfıra yönelen k olarak alınan limit olarak aynı h ve k için herhangi diğerinin çarpımıdır. Bunun için . Bu nedenle yeniden ölçeklendirme özelliği, yönlü türevler sık sık sadece birim vektörler için kabul edilir.

demektir. Aynı tanım, ayrıca f olduğunda Rm içindeki değerleri ile bir fonksiyondur. Yukardaki tanım, vektörlerin her bir bileşeni için uygulanır. Bu durum içinde yönlü türev Rm içinde bir vektördür.

Kısmî türev Kısmî türev, çok değişkenli bir fonksiyonun sadece ilgili değişkeni sabit değilken alınan türevdir. Bu tarz türevleri içeren denklemlere kısmî diferansiyel denklem denir.

formülü, f'nin türevlenebildiği her 'te bu durumu ifade etmek için kullanılır. Burada f' bir fonksiyon olduğundan f' 'nün tanım kümesi, f'nin türevlenebildiği noktaların kümesidir.

Türev alma operasyonunu birden çok kez uygulamak mümkündür. Eğer f' , f fonksiyonunun türeviyse ve de f", f' fonksiyonunun türeviyse o zaman f" fonksiyonuna f fonksiyonunun ikinci türevi denir. Daha yüksek dereceden türevler de benzer şekilde tanımlanır.

Türevi alınan f fonksiyonunun reel değerli olması şart değildir. Mesela f kompleks sayılar veya p-sel sayılar üzerinde tanımlı bir fonksiyon olabileceği gibi aldığı değerleri de reel sayılar dışındaki uygun bir kümeden (kompleks sayılar kümesi gibi) alıyor olabilir.

Tek değişkenli olmayan fonksiyonların da türevlerinden bahsetmek mümkündür. Ancak önce yukardaki limitli tanımı ve teğet doğrusu argümanını bu duruma uyarlamak gereklidir. Bu konu, kısmî türev maddesinde bulunur.

f fonksiyonunun a noktasında türevi, f'nin grafiğine a noktasında çizilen teğetin eğimini verdiğinden bir fonksiyonun birinci ve ikinci türevlerine bakarak o fonksiyonun grafiğinin davranışları hakkında grafiği kaba taslak çizmemize yetecek kadar bilgi edinmemiz mümkündür.

Taylor açılımları, bir fonksiyonun bir noktadaki ilk birkaç dereceden türevini kullanarak o fonksiyona yakın bir polinom ifadeli fonksiyon bulmamıza yararlar. Çoğu zaman polinom ifadeli olmayan bir fonksiyonun bir noktadaki tam değerini bulmak sonsuz sayıda işlem gerektirdiğinden buna karşılık polinom değerli fonksiyonların değerini hesaplamak sonlu bir işlem olduğundan bu açılımlar ve türev kavramı vazgeçilmezdir.

Yaygın doğa felsefesi görüşüne göre, doğada gerçekleşen fiziksel olayların tümü sürekli yumuşak geçişlidir. Tıpkı buzluktan çıkardığımız bir buzun aniden değil de yavaş yavaş erimesinde olduğu gibi. Dolayısıyla fiziksel olayları tarif etmekte kullanılan fonksiyonların hemen hepsinin türevlenebilir olması beklenir. Matematiğin diferansiyel denklemler dalı, doğada gözlenen verilerden bu tür fonksiyonlar çıkartma yöntemleri bulmak amacıyla geliştirilmiştir.