Schrödinger denklemi

Schrödinger denklemi, bir kuantum sistemi hakkında bize her bilgiyi veren araç dalga fonksiyonu adında bir fonksiyondur. Dalga fonksiyonunun uzaya ve zamana bağlı değişimini gösteren denklemi ilk bulan Erwin Schrödinger’dir. Bu yüzden denklem Schrödinger denklemi adıyla anılır. 1900 yılında Max Planck'ın ortaya attığı "kuantum varsayımları"nın ardından, 1924'te ortaya atılan de Broglie varsayımı ve 1927'de ortaya atılan Heisenberg belirsizlik ilkesi bilim dünyasında yeni ufukların doğmasına sebep olmuştur. Bu gelişmeler Max Planck'ın kuantum varsayımları ve Schrödinger'in dalga mekaniği ile birleştirilerek kuantum mekaniğini ortaya çıkarmıştır.

Burada H, Hamiltonyen' i temsil eder. Hamiltonyen, parçacığın toplam enerjisini veren bir operatördür ve şeklinde ifade edilir. İlk terim kinetik enerjiyi, ikinci terim ise potansiyel enerjiyi temsil eder.

Bu zamana bağlı Schrödinger denklemidir. Denklemin sağ tarafının sıfıra eşit olması durumunda zamandan bağımsız Schrödinger denklemi karşımıza çıkar. Burada değerinde Planck sabiti, m; parçacığın kütlesi, V; potansiyel enerji, ; parçacığa eşlik eden dalga fonksiyonudur. Parçacığın kinetik enerjisinin hareket etmezken sahip olduğu iç enerjisinden oldukça büyük olması durumunda enerjisi göreli olarak ifade edileceğinden şeklinde olur. Bu sayede elde edilen Schrödinger denklemine, Relativistik (göreli) Schrödinger Denklemi denir ve olmak üzere şu formda yazılır.

V'nin sıfır olması durumunda serbest parçacık durumu incelenir. Sıfırdan farklı durumlarda parçacığın enerjisinin uygulanan potansiyelden büyük veya küçük olması koşullarına göre değişen çözümler bulunur. Parçacığın enerjinisinin uygulanan potansiyelden küçük olması ancak belirli bir genişlikten sonra bu potansiyel engelin kaldırılması durumunda Tünel Etkisi gözlemlenir. Akım yoğunluğu hesaplanarak geçme ve yansıma katsayıları bulunur.

Değişen potansiyellere örnek; basit harmonik titreştirici ve Coulomb potansiyelleridir. Bunlar bir katıdaki atomların titreşimi ve atomdaki çekirdeğe bağlı elektronların hareketini kapsar.

Burada i sanal birimdir, ħ 2π ile Planck sabitinin oranıdır, "∂/∂t" sembolü bir t zamana gore kısmi türev ile ayırır, Ψ kuantum sistemin dalga fonksiyonudur ve Hamiltonyen işlemcidir (herhangi bir dalga fonksiyonu toplam enerjiyi karakterize eder ve duruma bağlı olarak farklı biçimler alır).

burada m parçacığın kütlesidir, V potansiyel enerjidir, ∇2 Laplasyendir ve Ψ dalga fonksiyonudur (bu bağlamda daha kesin bir ifadeyle, "konum uzay-dalga fonksiyonu" olarak adlandırılır). Bu daha net bir ifadeyle, "toplam enerji kinetik enerji artı potansiyel enerjiye eşittir", ama şartlar aşağıda açıklanan sebeplerden ötürü bilmediğiniz formlar haline gelir.

Verilen bu bir doğrusal kısmi diferansiyel denklem özel diferansiyel işlemciler içerir. Bu ayrıca bir difüzyon denklemidir, ama aksine ısı denklemi, bu tek ayrıca verilen bir dalga denklemi sanal birim geçici terim içinde mevcuttur.

"Schrödinger denklemi" terimine hem genel denkleminin (ilk yukarıda kutu), hem de belirli bir göreli olmayan sürümün (ikinci yukarıda ve bunun varyasyonları kutu) de başvurabilirsiniz. kuantum mekaniği boyunca kullanılan,genel denklem her şey için, Hamiltoniyen'den çeşitli karmaşık ifadeler takarak Dirac denklemi'nden kuantum alan teorisi'ne kadar gerçekten oldukça geneldir. Özel relativistik sürümü basitleştirilmiş birçok durumda gerçekliğe oldukça doğru yaklaşım, ama diğerleri de çok yanlıştır. (ayrıca görelilik kuantum mekaniği ve görelilik kuantum alan teorisi).

Schrödinger denklemini uygulamak için, Hamilton operatörü daha sonra Schrödinger denklemine yerleştirilir sistemi oluşturan taneciklerin kinetik ve potansiyel enerji için muhasebe sistemi için ayarlanır. Oluşan kısmi diferansiyel denklem sistemi ile ilgili bilgi içeren dalga fonksiyonu, için çözülmüştür.

Belli bir Ψ dalga fonksiyonu üzerinde Hamiltonian operatör hareketleri ise,ve sonuç aynı Ψ dalga fonksiyonuna orantılı , ise Ψ bir durağan durumdur, ve sabit orantılılıktır, E, Ψ durumunun enerjisidir.