Deste (topoloji)

Bu veriler daha küçük açık kümeler üzerine kısıtlanabilir ve bu veriler, kümeyi örten daha küçük açık altkümeler üzerinde tanımlı (uyumlu) verilerin bir koleksiyonuna eşittir. Örnek olarak her bir açık altküme üzerinde tanımlı sürekli (gerçel-değerli) fonksiyonların halkalarını düşünebiliriz. Desteler, tasarımları gereği oldukça genel ve soyut nesnelerdir ve tanımı biraz tekniktir. Açık kümelere ilişkin verinin tipine göre çeşitli destelerden bahsedebiliriz, örneğin küme desteleri, halka desteleri.

Bir desteden bir diğerine tanımlı göndermeler (ya da yapı dönüşümleri), bir kategoriden sabit bir topolojik uzay üzerine tanımlı yapı dönüşümleri ile verilen desteler (belli bir tipte, örneğin abel grupları destesi) vardır. Diğer taraftan, her sürekli göndermeye ilişkin dolaysız görüntü izleçi vardır, bu izleç, desteleri ve tanım kümesi üzerindeki yapı dönüşümlerini destelere ve görüntü kümesi üzerindeki yapı dönüşümlerine götürür.

Genel doğası ve çok yönlülüğü gereği destelerin topolojide, özellikle cebirsel ve türevli topolojide çeşitli uygulamaları vardır. İlk olarak, şema ya da türevlenir çok katlılar gibi birçok geometrik yapı, uzay üzerindeki halka desteleri cinsinden ifade edilebilirler. İkinci olarak desteler, genel eşbenzeti kuramı için bir çatı oluşturur. Bu kuram, sıradan topolojik eşbenzeti kuramlarını, örneğin tekil eşbenzeti kuramı, birleştirir. Özellikle cebirsel geometri ve karmaşık çok katlılar kuramında deste eşbenzeti kuramı, uzayın topolojik ve geometrik özellikleri arasında kuvvetli bir bağ kurar. Desteler ayrıca D-modülleri kuramı için de bir altyapı oluştururlar, bu kuram ise türevli denklemler kuramına yönelik uygulamaları olan bir kuramdır. Bunlara ek olarak topolojik uzaylar yerine daha genel haller için genelleştirilerek desteler matematiksel mantık ve sayılar kuramı için uygulama alanları sağlarlar.

Topoloji, türevli topoloji ve cebirsel geometride topolojik uzay üzerinde tanımlı çeşitli yapılar doğal olarak uzayın altkümeleri üzerine yerelleştirilebilir ya da kısıtlanabilirler: Tipik örnekler arasında sürekli, gerçel ya da karmaşık-değerli fonksiyonlar, n kere türevlenebilir (gerçel ya da karmaşık-değerli) fonksiyonlar, sınırlı gerçel-değerli fonksiyonlar, vektör alanları ve uzay üzerindeki herhangi bir vektör demetinin kesitleri sayılabilir.

Ön desteler yukarıdaki örneklerin ortak özelliklerini soyutlarlar: Bir topolojik uzayın üzerinde ön deste (küme ön destesi), her U açık altkümesine bir F(U) kümesi (U 'nun kesiti denir) ve U açık altkümesi tarafından kapsanan her V açık altkümesine U'''nun kesitlerinin V üzerine kısıtlamalarını veren bir F(U) → F(V'') göndermesi iliştiren bir yapıdır. Yukarıdaki örnekler, fonksiyon, vektör alanı ve vektör demetinin kesitlerinin kısıtlamaları ile ön deste tanımlarlar. Dahası, bu örneklerin her birinde kesitler ek cebirsel yapıya sahiptirler: Noktasal tanımlı işlemler bir abel grubu tanımlar, gerçel ve karmaşık-değerli fonksiyon örneklerinde kesitlerin kümesi bir halka yapısına sahiptir. Bunlara ek olarak, her bir örnekte kısıtlama gönderimleri, karşılık gelen cebirsel yapının benzer yapı dönüşümleridir. Bu gözlemler destelerin doğal bir tanımını ortaya koyar: Kesit kümeleri belli bir cebirsel yapıya sahip olmalı ve kısıtlama gönderimleri benzer yapı dönüşümü olmalılar. Bu nedenle örneğin bir topolojik uzay üzerinde gerçel-değerli fonksiyonlar, uzay üzerinde bir halka ön destesi oluştururlar.