Cebirsel topoloji

Cebirsel topoloji, topolojik uzayları cebirsel gereç ve yöntemlerle inceleyen matematik dalı. Matematikte bir kümenin üzerine döşenecek yapı, yönelinen matematik dalını belirler. Bir kümeye bir ya da birkaç işlem konarak sayılar kuramı ya da cebir yapmaya başlanabilir. Kümenin üzerine bir topoloji koyaraksa topoloji ve, ayrıca uzunluk koyarsak, geometri yapmaya başlanır. Üzerine topoloji konmuş bir uzayı (örneğin herhangi boyutlu bir Öklit uzayı) incelemek için kimi cebirsel, aritmetik veya topolojik değişmezler tanımlanır; bunlar aracılığıyla topolojik uzayın özellikleri ayırdedilir. Örneğin tıkızlık, bağlantılılık, sayılabilirlik bu tür değişmezlerdir. Topolojik eşyapısal (birbirlerine homeomorfik) iki uzaydan biri bu değişmeze sahipse diğeri de buna sahip olmalıdır. Yani, eğer iki uzay için ayrı ayrı bakılan bir değişmez aynı değilse, bu iki uzay eşyapısal olmayacaktır. Yukarıda anılan en eski değişmezlerin hemen ardından inşa edilen klasik değişmezler cebirsel olanlardır.

Öncelikle, uzayında sürekli bir eğri, [0,1] kapalı aralığından 'e giden sürekli bir gönderimdir. ve iki eğri olsun. ile 'nin ucuca eklenmesiyle oluşan eğriyi olarak gösterelim. noktasından başlayan ve aynı noktada biten tüm eğrilerin kümesiniyse ile gösterelim. Eğer herhangi iki eğriyi anlatan gönderimler birbirlerine homotopikse bu iki eğriye denk eğriler diyeceğiz. Gösterilebilir ki bu ilişki üzerinde gerçekten bir denklik bağıntısıdır.

eğrileri de birbirine homotopiktir. Bu denklik sınıflarını eleman olarak ve ucuca eklemeyi de işlem olarak kabul eden cebirsel nesne, gösterilebilir ki bir gruptur.

Örneğin gerçel sayı doğrusunun () herhangi bir noktasındaki temel grubu tırışka (aşikar) gruptur; yani tek elemanlı gruptur. Oysa çemberin () herhangi bir noktasındaki temel grubu grubuna izomorfiktir. Dolayısıyla, ile birbirlerine topolojik eşyapısal olamazlar. Bunu daha önceden de biliyorduk; çünkü kompakt değildir ama kompakttır.

Yukarıdaki örneklerin aksine, genelde değişmeli bir grup değildir. Daha genel olarak, verilen her grup icin temel grubu o grup olan bir uzay inşa etmek mümkündür.

ifadesi i göstermektedir. Bu gönderimlerinin temel özelliği olmasıdır. Yani, sınır morfiması art arda iki kere uygulandığında 0 morfizmasını verir. Bu özelliğin bir sonucu olarak, bir morfizmanın imaj kümesi bir sonraki mozfizmanın 0 kümesinin, yani çekirdeğinin, içindedir. İmaj gruplarını ve çekirdekleri ile gösterirsek, grubu in e bölümü ile bulunur.

Yukarıda tanımlanan grupları, ˙gruplarının fonksiyonları olduklarından, değiştirildiğinde farklı grupları elde edilir. in inşasına göre, lere değişik isimler verilir. grubu, uzayının tekil fonksiyonları kullanılarak tanımlanmış ise, elde edilen homoloji teorisine tekil homoloji teori denir. Benzer şekilde basit homoloji, demet homolojisı gibi farklı homoloji teoreleri elde etmek mümkündür. Bu teorilerin birçoğu kategorisinde aynı sonucu verir. Bazı özel homoloji teorileri, mesela Borel-Moore homoloji teorisi, lokal tıkız uzaylar için dizayn edilmiştir.

Genel olarak, topolojik kategori üzerindeki homoloji teorisi, o topolojik kategori ile değişmeli bir kategori arasında bir izleç tir. ile objeleri olan ve okları sürekli gönderimler olan topolojik kategoriyi gösterelim. izleci her ikilisine bir basamaklı değişmeli grup ve her sürekli gönderim ye de bir morfizma atar. Ayrıca, ile arasında doğal geçiş izleçleri vardır. nin bir homoloji teorisi olması için, aşağıda listelenen beş koşulun sağlanması gerekir. Bu koşul listesine Eilenberg-Steenrod-Milnor koşulları denir.

Bazı homoloji teorileri yukarıda verilen bütün koşulları sağlamayabilir. Tekil homoloji bu koşulların hepsini sağlar ve homoloji gruplarının hesaplanabilirliği Kesme Koşulunun bir sonucudur. Tekil homolojinin, kesme koşulunu sağladığı gösterilirken altbölüm tekniği kullanılır.

Yukarıda anlatılan temel grup kısmında tanımlandı. Burada, noktası sabitlenmişti ve başlangıç bitiş noktaları olan eğrilerin homotopi sınıfları kullanılmıştı. Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan eğrilere döngü denir. Bu eğriler tipinde sürekli fonksiyonlardır. Homotopi kavramı, in teki döngülerinin sürekli değişimini izah etmek icin dizayn edilmiştir. yerine çok boyutlu kürelerini kullanırsak, "döngü" ler "çok boyutlu döngüler" e dönüşürler. Örnek olarak, çember (yani ) ve küre (yani ) yi düşününüz. Çemberin bir noktasından başlayan döngüler çemberin kendisidir veya tam katlarıdır. Kürenin bir noktasından başlayan döngüler çember şeklindedirler fakat küre nin yüzeyi üzeyinde ki her noktadan bir küre daha, yani çok boyutlu döngü, başlamaktadır. Benzer şekilde 3-boyutlu küre üzerindeki her nokta için 1-boyutlu döngülerin, 2-boyutlu kürelerin ve 3-boyutlu kürelerin homotopik değişimleri incelenebilir.

grubu 1-boyutlu döngülerin sürekli değişim(homotopi) sınıflarının grubu iken grubu boyutlu kürelerin sürekli değişim grubudur. k sayısı biren büyük ise değişmelidir. Örnek olarak, , , ve için verilebilir.

Bu tam-uzun zincirde kullanılan morfizması tarafından belirlenir. morfizması doku kümesini uzayına gömen tarafından belirlenir. ise bağlantı morfizmasıdır. için bir gruptur fakat bir grup değildir. Bundan dolayı, yukarıda verilen zincirin 0-ıncı basamağındaki "tam" lığı sadece tanım ve değer kümelerinin örtüşmesine denk gelir. Yandaki şekilde bir fibrasyon örneği izah edilmiştir. Resimde uzayı olarak alınmıştır. uzayı, dörtgensel uzayın, yani nin, içine çizilmiş siyah bölgedir.

Bu kısımda ikilisinin verildiğini kabul ediyoruz. ı hesaplamak için kullanılan en temel teorem, Seifert- Van Kampen teoremidir. Bu teoremin kullanılabilmesi için, uzayının kesişimleri boş olmayan iki açık kümenin birleşimi şeklinde yazılabiliyor olması gerekmektedir. Ayrıca, bu altuzayların ve kesişimlerinin temel gruplarının bilinmesi gereklidir.

Teorem : (Seifert-Van Kampen) , ve kümeleri içerisinde açık olsunlar. Ayrıca, ve kümeleri yol bağlantılı olsunlar. Bu durumda, ilaveli çarpım grubuyla grubu izomorfturlar.