Vektör alanı

Yöney alan (vektör alanı), Öklid uzayının seçilen bir alt kümesinin her bir noktasında yöneyin belirlenmesidir. Düzlemdeki bir yöney alanı, her biri düzlemdeki bir noktaya ilişik, yönü ve büyüklüğü olan oklar topluluğu olarak düşünülebilir.

Yöney alanları genellikle modellemede kullanılır. Buna örnek olarak hareket eden bir akışkanın uzaydaki hızı ve yönü ya da manyetik kuvvet veya yer çekimi kuvveti gibi farklı noktalarda değişen kuvvetlerin gücü ve yönü verilebilir.

Yöney alanı bir kuvveti gösterdiğinde, bu alanın tümlev çizgisi bir çizgi doğrultusunda ilerleyen kuvvetin yaptığı işi gösterir ve bu yoruma dayanarak enerjinin korumu hesaplamanın esas kuramı'nın özel bir vakası olarak karşımıza çıkar.

Yöney alanları boşlukta hareket eden bir akış hızını temsil eden düşünülebilir ve bu fiziksel sezgi bizi uzaklaşma(akış hacminin değişim oranını temsil eden) gibi kıvrılma(akış dönüşünü temsil eder) gibi sapma kavramlarına götürür.

Koordinatlarda,n-boyutlu bir Öklid uzayında tanımlanmış bir Yöney alanı olarak düşünülebilir ve de bu alan alanın her noktasına reel sayıların n-tuple ile ilişkilendirilen bir Yöney değerli işlev olarak değerlendirilebilir.

Bu Yöney alanlarının koordinat sistemindeki gösterimi koordinat sistemine göre değişir ve bir koordinat sisteminden diğerine geçişlerde çok önemli bir değişim kanunu vardır.

Yöney alanları öklit uzayının açık alt kümeleri olarak tartışılır ancak aynı zamanda yüzeyler gibi (her noktasında yüzeye teğeti bir ok gibi düşünebiliriz yukarıdaki resim gibi) başka alt kümelerde anlam kazanır.

Daha genel olarak, Yöney alanları türevlenebilir manifoldlar(küçük ölçeklerde Öklid uzayına benzer ama büyük ölçeklerde daha komplike yapılar olan uzaylar) olarak tanımlanabilir. Bu ortamda, bir Yöney alanı manifoldun her noktasında teğet Yöneyi bize verir. Yöney alanları bir nevi gergi (gergi) alanlarıdır.

V: S → Rn standart kartezyen koordinatlarda(x1, x2, ..., xn). Eğer V nin her bir değişkeni sürekliyse, V devamlı bir Yöney alanıdır.

Yöneylerin dönüşüm özellikleri göz önünde bulundurularak, basit bir sayıl listesinden farklı olarak, geometrik ifadelerle veya bir koyöney (kovektör) yardımıyla Yöneylerin ayırt edilmesi mümkündür.

Böyle bir değişim kanunu contravariant olarak isimlendirilir. Buna benzer bir değişim kanunu fizikteki Yöney alanlarını karakterize eder. Yöney alanları farklı koordinat sistemlerine göre değişen değiştirme kanununa bağlı kalan n işlevlarını belirtir.

Yöney alanları sayıl alanlarla ve basit sayıl alanları listesiyle çelirler. Sayıl alanlar uzaydaki her bir noktaya bir sayı ya da sayıl olarak ilişkilendirirler. Basit sayıl alanlar listesi koordinat değişiklikleriyle değişmezler.

Bütün pürüzsüz Yöney alanlarının pürüzsüz manifoldda yan yana dizilimi Γ(TM), (a fraktur "X") ya da C∞(M,TM)olarak ifade edilir (özellikle Yöney alanlarını parça parça düşündüğümüzde).

Dünyadaki havanın hareketinin Yöney alanı Dünya yüzeyindeki noktalardaki bütün rüzgar hızı ve yönü olan Yöneylerle bağlantılıdır. Bu rüzgarı temsil eden oklar kullanılarak çizilebilir. Okun uzunluğu(büyüklüğü) rüzgarın hızını gösterir. Hava yüksek basınçlı alanlardan alçak basınçlı alanlara gitmeye meyilli olduğu için barometrik basınç haritasında ‘yüksek’ kaynak olarak rol oynar . Yüksel kaynak (barometrik basınç olarak) kaynak gibi davranır (oklar kaynaktan dışarısını gösterir) ve alçak kaynak (barometrik basınç bakımından) batmayı simgeler.

Ortogonal dönüşümler aslında döndürme ve yansıtma işlemleri olduğundan, değişmezlik koşulları, merkezi alan Yöneyleri her zaman için ya merkezi ya da merkezden dışarıyı (0 noktasını veya 0 noktasından dışarıyı) gösterir anlamına gelir.

olarak rastgele boyutlara belirgin genelleme şeklinde tanımlanır. Bir noktadaki uzaklaşma, kaynak noktası etrafındakı küçük hacimli Yöney akışının derecesini temsil eder ve bu sonuç uzaklaşma teoremi (divergence theorem) uyumludur.

0'ın yakınlarında ufak bir küre alın. Böylece başka 0'lar dahil olmamış olacaktır. Bu küreden birim küreye bir harita düşünürsek boyutları n-1 olacaktır ve de her bir Yöneyü kendi uzunluğuna bölerek birim Yöney haline getirmekle haritalama mümkün olabilecektir.

Bu noktada Yöney alanının indeksi bu haritanın derecesi olacaktır. Yöney alanının toplam indeksi her bir 0 için endekslerin toplanması ile bulunacaktır.

3 boyutlu uzayda sıradan bir küre için herhangi bir Yöney alanının indeksi iki olmalıdır bu da bizi tüylü top kuramına (hairy ball theorem) götürüyor. Bu kuram bize bu tip bütün Yöney alanlarının 0 olması gerektiğini söylüyor. Bu kuram Euler uzay karakteristiği ile alakalı olan Poincaré - Hopf kuramını genelleştiriyor.

Uzayın bir bölümünde bir sıvı akışı düşünün. Herhangi verilern bir zamanda, sıvının herhangi bir noktasının hızı olmalıdır bu nedenle bütün akışlarda bir Yöney alanı mevcuttur.

yx eğrileri V Yöney alanının S de tanımlı akış eğrileri olarak adlandırılır. Her zaman aralığı (−ε, +ε) ye genişletmek mümkün değildir (bütün reel sayılara).

Yöney alan eğrileri her zaman için var olan bir akış içerisinde ise Yöney alanı tamamlanmış sayılır. Özellikle bir manifold üzerinde kompakt olarak desteklenen Yöney alanları tamamlanmıştır.

Eğer X M üzerinde tanımlanmış tam bir Yöney alanı ise, bir-parametre grubunun diffeomorphism'leri Xin sonsuza dek var olmasıyla beraber akışla oluşturulur.

Sayıl ve Yöney alanı arasındaki fark sadece sayılin bir sayı olması, Yöneyün ise birkaç bileşenden oluşması değildir. Fark ikisinin de koordinatlarının koordinat değişimine nasıl tepki verdiklerine nasıl değiştiklerine bağlıdır. Bir sayıl koordinattır Yöney gibi koordinatlarla ifade edilebilir ancak Yöney gibi 2 veya daha fazla koordinatın birleşimi değildir.

Bu sefer 1 boyutlu Öklid uzayını düşünelim (R) standart olarak sadece x koordinatımız var. Elimizde bir sayıl alan bir de Yöneyel alanımız var olduğunu düşünerek ikisinde de verilen x koordinatı sabit bir işlevdur ve de 1'e eşittir.

Böylece elimizde bir sklaer alanımız var ve bunun değeri her yerde 1 ayrıca Yöney alanımız da var bu alan x yönünde ve her x değeri için 1 büyüklüğe sahip.