Tetrasyon

Matematikte, tetrasyon (hiper-4 olarak da bilinir), üslü sayıdan sonra gelen ilk aşırı işlecin tekrarlı üssüdür. Tetrasyonun İngilizce karşılığı olan tetration kelimesi ilk kez matematikçi Reuben Louis Goodstein tarafından, tetra- (dört) ve iteration (tekrar)dan türetilerek kullanılmaya başlandı. Tetrasyon çok büyük sayıların gösterimi için kullanıldı. Fakat birkaç pratik uygulaması vardır. Bu yüzden sadece saf matematik incelenir.

buradaki her bir işlem, bir öncekinin tekrarı şeklinde tanımlanır. Tetrasyonunu bu işlemlerden ayıran özellik, ilk üçü, (toplama, çarpma ve üs alma) n nin karmaşık değerler ile genelleşmesiyken, tetrasyonun henüz keşfedilen düzenli bir genelleştirilmesi yoktur ve tetrasyon, bir temel fonksiyon olarak nitelendirilmez.

Toplama (a + n), en temel işlemdir. Çarpma (an) da temel fonksiyondur. Tetrasyon (), n nin a tane kuvvetini içeren bir dizi olarak düşünülebilir. a değişkeni ilerleyen bölümlerde temel değişken olarak adlandırılırken n değişkeni de yükseklik değişkeni olarak adlandırılacak (integral ilk yaklaşımdır, fakat kesirli olarak genelleştirilebilir, gerçel ve karmaşık yükseklik gibi).

Tetrasyon için birçok terim ve her birinin kullanımı için mantıksal düşünceler vardır. Fakat bazıları, birçok nedenden dolayı yaygınlık kazanamadı. Burada birkaçından bahsedilecektir.

İlk iki ifadede a, tabandır. Kez (kere) sayısı olan diğer a, yükseklikdir. Üçüncü ifadede n, yüksekliktir, fakat her birinin tabanı farklıdır.

Aşağıdaki tablodaki çoğu değerler, bilimsel gösterimde yazmak çok zordur. Bundan dolayı tekrarlı üstel gösterim onları 10 tabanında ifade etti. Değerlerdeki ondalık nokta yaklaşıktır.

Bundan dolayı doğal tetrasyondaki lineer yaklaşımı, sadece eşitliğinin çözümüdür ve , 'de yakınsaktır. Diğer tüm uygun türevlenebilir çözümlerin (-1, 0) aralığında bir büküm noktası olması gerekir.

Burada, genişleme tetrasyonunun genel problemlerinin çözümü için 'nin reel veya karmaşık değerlerinde, yaygın olarak kullanılan kabul edilmiş bir çözüm yoktur. Çeşitli yaklaşımlar aşağıdaki gösteriliyor.

Dördüncü koşul kişiden kişiye ve yaklaşımlara göre değişirr. Tetrasyonunu gerçel yüksekliklere genişletmek için iki ana yaklaşım vardır. Birincisi uygunluk koşulu, diğeri de türevlenebilirlik koşuludur. Bu iki yaklaşım, birbirleriyle tutarsız sonuçlar üretmesi, onların çok farklı olduğunu gösterdi.

Neyse ki, bir uzunluğun içindekilerden biri, tüm pozitif reel sayılar için genişletilebilir. Bir içsel uzunluk için tanımlıysa, tam fonksiyon tüm için geçerlidir.

Şöyle bir konjektür vardır: eşitliğinin çözümü için eşsiz bir F fonksiyonu vardır ve ek F(0)=1 ve F(z) yaklaşımlarını sağlar. Bu fonksiyon sağdaki şekilde görülüyor.

Her n > tam sayıları için nx şeklinde fonksiyon vardır ve bu fonksiyon x ≥ için artarak 1=n1 = eşitliği elde edilir. Böylece x in n. süper kökü x ≥ 1 için elde edilir.

Yine de, eğer yukarıdaki lineer yaklaşım kullanılır ve -1≤y≤0 şart sağlanırsa, 1= yx = y + 1 olur. Böylece 1=ysroot(y + 1) elde edilemez.

Süper kök, tetrasyonun iki ters fonksiyonundan biridir. Sadece, kökler ve logaritma üstel olarak iki ters fonksiyonken, keza tetrasyonunda iki ters fonksiyonu vardır: süper kök ve süper logaritma. Süper kök, tetrasyonun tabanını ifade eden ters fonksiyonudur: eğer ise y de x in n. süper kökü olur.

Diğer süper kökler, normal kökle kullanılan aynı tabanda ifade edilebilir: süper küp kökler, olduğunda y üreten fonksiyon, olarak ifade edilebilir. 4. süper kök, olarak ifade edilebilir ve bundan dolayı, n. süper kök, 'dir denilebilir.

Bu tanımın sadece tam sayılar verebileceğine ve sadece tam sayı üretebilecek sayıları kabul edebileceğine dikkat edin. Bu tanımın kabul edeceği sayılar vb. formdadır.

Genellikle özel fonksiyonlar, argüman(lar)ın reel değerleri için değil, karmaşık düzlem, diferansiyel ve integral ifadeleri içinde tanımlanır. Slag fonksiyonu için mevcut ifadeler olmadığı için, basit yaklaşımlar şöyle öneriliyor.

Verilen bir Abel fonksiyonunun diğer çözümü herhangi sabit eklenerek elde edilebilir. Verilen bu süper logaritma olarak tanımlanır ve üçüncü özelliği üstel fonksiyonun Abel fonksiyonu, eşsiz olarak tanımlanabilmesidir.

Tetrasyon olarak , analitik fonksiyon olması husunuda şüphelidir. En azından 'nin bazı değerleri için slogb=sexpb−1 ters fonksiyonu analitik olabilir. Karmaşık z düzlemindeki 'nin davranışı, yukarıdaki şekilde, durumu için çizilmiştir. slog fonksiyonunun sanal kısmının reel ve tam sayı değerlerinin dereceleri kalın çizgilerle gösteriliyor.