Geometrik dağılım

Bütün tam sayılar setine, yani {1, 2 ,3 , ....} üzerine, bağlı olarak ilk başarıyı elde etmeden Y = X − 1 başarısızlık sayısı olasılık dağılımı.

İstatistikçiler aynı varsayımlara bağlı olarak geometrik dağılım için iki değişik şekilde açıklama ortaya çıkartmışlardır. Bunlar mantıken eşit olmakla beraber iki açıklamanın birbiri ile mutlak karıştırılmaması gerekir. Bunlardan ikinci açıklamaya kaydırılmış geometrik dağılımı adı verilmektedir. Bunlardan hangisinin geometrik dağılım olarak kabul edilip kullanılacağı elverişlilik ve matematiksel göreneklere göre değişir.

Dikkat edilirse burada iki değişik açıklama için değişik rassal değişken, X ve Y, kullanılmıştır. Her iki açıklamada da olasılık serileri bir geometrik seri olarak elde edilir.

Bir örnek olarak bir kusursuz zar atma deneyine bakılsın ve bir zar arka arkaya ilk defa 6 gelmesine kadar atılsın. İstenen bir sonucu elde etmek için gereken zar atılma sayısı için bir sonsuz sonuç seti (1, 2, 3, ... ) bulunur ve her bir deneme için yani her zar atışı için 6 gelmesi olasılığı p olur. Eğer 6 gelmeden önce atılması gereken zar sayısının olasılığı ilgi konusu ise bu birinci tip bir geometrik dağılımdır; eğer ilk 6 atmadan yapılan başarısız zar atması sayısı olasılığı ilgi konusu ise bu ikinci tip (kaydırılmış) geometrik dağılımdır.

Geometrik dağılımın her iki alternatif şekli için p değerinin tahmini, dağılımın beklenen değerinin örnekleme ortalamasına eşit varsayımının kabulu suretiyle yapılabilir. Bu tahmin tipi istatistik kuramında tahmin için momentler yöntemi adı ile anılır. Geometrik dağılım için p değerinin bu yönteme göre tahmin edilmesi bir maksimum olabilirlilik tahmini ortaya çıkarır.

Geometrik dağılım, sürekli olasılık dağılım analogu olan üstel dağılım gibi, belleksiz olma özelliği gösterir. Bu demektir ki eğer bir deneyi ilk başarıyı elde edinceye kadar tekrarlarsak, birinci başarı daha ortaya çıkmadığı için, daha fazla sayıda yapılması gerek deneme sayısı için koşullu olasılık dağılımı o zamana kadar gözlemi yapılmış olan başarısızlık sayısına bağlı değildir. Deneme arka arkaya atılan zar veya havaya atılan ve tutulan madeni para ile yapılmakta ise, her deneme için önceki başarısızlıklar hakkında bilgi bulmak, sonuç bulmak için hiç yarar sağlamaz; yani deneme belleksizdir. Geometrik dağılım gerçekte tek belleksiz olan aralıklı olasılık dağılımıdır.

Bütün tam sayılar seti, yani (1, 2, 3, ...), üzerinde desteklenen ve değeri verilmiş bir μ beklenen değeri bulunan, bütün aralıklı olasılık dağılımlar arasında, X rassal değişkeni için p = 1/μ parametreli geometrik dağılım en büyük entropi gösterenidir.

İlk başarıdan önce başarısızlık sayısı olan Y rassal değeri için geometrik dağılım, sonsuz bölünebilirlilik özelliği gösterir. Bu demektir ki herhangi bir pozitif tam sayı olan n için, bağımsız ve birbiri ile aynı dağılım gösteren Y1, ..., Yn rassal değişkenleri vardır ve bunların toplamı Y ile aynı dağılım gösterir. Yalnızca n=1 hariç, bunlar geometrik dağılım göstermezler, bunların dağılımı negatif binom dağılımı ile temsil edilir.

gösteren rassal değişken değerleri tabandan yukarıya doğru, tavana en yakın tam sayıya yuvarlanırlarsa bu tam sayı halindeki rassal değişken de geometrik dağılım gösterir.