Ramsey teorisi

Ramsey Kuramı, 20. yüzyılın ilk yarısında yaşamış olan İngiliz matematikçi ve filozof Frank Ramsey, adını taşıyan ve "bir yapıda belirlenmiş bir özelliğin var olması için en az kaç eleman kullanılması yeterlidir" sorusunu temel alan bir teori. Ramsey kuramının sorularından biri; bir odadaki sonsuz tane insanın ya hepsinin birbirini tanıması ya da hiçbirinin birbirini tanımamasıdır.

n sayıda renk ve sonsuz sayıda noktamız olsun. Her iki nokta, bu n renkten birine boyanmış bir kenarla birleştirilmiş olsun. O zaman, bütün noktaları aynı renk kenarla birleştirilmiş sonsuz tane noktadan oluşan bir küme vardır.

Her insan bir nokta olarak gösterilsin. Eğer iki insan birbirini tanıyorsa, bu iki insanı birbirine kırmızı bir çizgiyle bağlayalım. Eğer iki insan birbirini tanımıyorsa, bu iki insanı da mavi bir çizgiyle bağlayalım. Her ikisi kırmızı ya da mavi çizgiyle birleştirilmiş sonsuz tane nokta elde edilir. Bu noktalar arasından, hep aynı renkle (ya hep kırmızıyla ya hep maviyle) birleştirilmiş sonsuz tane nokta bulunabilir.

Kanıt, iki aşamada gerçekleşir. Birinci aşamada, sonsuz tane noktası alınır, her kendisinden sonra gelen noktalarıyla aynı renk çizgiyle (ya hep kırmızı, ya hep mavi çizgiyle) bağlanmıştır.

noktası, (kişileri simgeleyen) öbür noktalarla ya kırmızı ya da mavi bir çizgiyle bağlanmıştır. Sonsuz tane nokta olduğundan ve yalnızca iki tane bağlantı rengi olduğundan, ’ın aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır. ’ın hep aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz bir nokta kümesi alalım. Bu kümeye diyelim. Demek ki, , ’ın noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.

’den herhangi bir noktası alalım. Yukarıda yapılanları ve için yapalım. ’nin içinde, öyle bir sonsuz kümesi bulalım ki, , ’ün her noktasıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmış olsun. Bunu böylece sonsuza kadar sürdürebiliriz. Demek ki, öyle noktaları bulunur ki, her nokta kendisinden sonra gelen noktalarla aynı renk çizgiyle bağlanmış olur.

Seçilen noktalarının her birine bir renk verilir. Eğer bir nokta kendisinden sonra gelen noktalarla hep kırmızı çizgiyle bağlanmışsa, o noktaya kırmızı nokta diyelim. Yoksa, o noktaya mavi nokta diyelim. Örneğin, eğer noktası, kendisinden sonra gelen noktalarıyla hep kırmızı bir çizgiyle bağlanmışsa, noktası kırmızı noktadır. Eğer noktası kendisinden sonra gelen noktalarıyla hep mavi çizgiyle bağlanmışsa, noktası mavi noktadır.

Sonsuz sayıda nokta olduğundan ve yalnızca iki renk olduğundan, noktalarından sonsuz tanesi aynı renk noktadır. Bir başka deyişle, ya kırmızı noktalar kümesi ya da mavi noktalar kümesi sonsuzdur. Matematiksel olarak, ya {: kırmızı bir nokta} ya da {: mavi bir nokta} kümesi sonsuzdur. İki küme birden de sonsuz olabilir, ama en azından birinin sonsuz olduğunu biliyoruz. İki kümeden sonsuz olanını alalım. Öbür noktaları atalım. Noktaları yeniden adlandırarak, her noktanın aynı renk olduğunu varsayalım, hepsi kırmızı olsun. Demek ki, noktalarının her birinin kırmızı olduğunu varsaydık. Bu kümeden iki nokta alalım: ve . i, j’den daha küçük. , kırmızı bir nokta olsun. noktası noktasıyla kırmızı bir çizgiyle bağlanır. Demek ki yukarıdaki sonsuz nokta birbirleriyle aynı renk çizgiyle (kırmızıyla) bağlanmıştır. Ramsey’in teoremi kanıtlanmış oldu.

Teorem: a ve b herhangi iki doğal sayı olsun. Öyle bir N vardır ki, eğer n ≥ N ise, kenarları A ve B renklerine boyanmış tam çizgesinde ya tamamen A renkli bir ya da tamamen B renkli bir vardır.

Tanım: Eğer bir çizgenin bütün köşe noktaları birbiri ile yalnız ve ancak bir bağ yapıyorsa bunlara tam çizgeler denir ve köşe noktası sayısına göre adlandırılır. Örneğin n köşesi olan tam çizgenin gösterimi için kullanılır. çizgesi bir üçgen belirtir. Tanıma göre 6 kenarlı ve iki renkli bir düzenli tam çizge çizilirse iki renkten birinde mutlaka bir bulunur.

Bazı r(a, b) sayılarını bulmak kolay ; r(1, b)=1 r(2, b)=b Ramsey sayıları için genel bir formül bilinmiyor. Ramsey sayılarının bulunması çizge kuramının sorularından biridir.

Teorem: a≥2 ve b≥2 iki tam sayıysa, r(a, b) ≤ r(a, b-1)+r(a-1, b-a*1) Eğer r(a, b-1) ve r(a-1, b) sayılarının ikisi de çiftse r(a, b) < r(a, b-1)+r(a-1, b).