Julia kümesi

Bir fonksiyonun Julia kümesi, o fonksiyonun dinamiğini incelemek için kullanılan kümedir. Karmaşık fonksiyonlar, karmaşık düzlemi (en genel durumda tıkız Riemann yüzeyini ) kendi dinamiklerine göre iki ayrık kümeye bölerler. Bu kümeler, Julia ve Fatou kümeleridir. Fonksiyon, Julia kümesi üzerinde kaotik davranış sergilerken, Fatau kümesinde normal davranış sergiler.

fonksiyonunun Julia kümesi genellikle ile, Fatau kümesi ile ve doldurulmuş Julia kümesi ile gösterilir. Bu kümeler, 20`nci yüzyılın başlarında Fransız matematikçiler Gaston Julia ve Pierre Fatou tarafından bulunmuşlardır. 20`nci yüzyılın sonlarında bilgisayar ve grafik biliminin keşfi ile, Julia kümelerinin kullanımları hızlanmıştır.

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Yani, bu polinomların Julia kümelerini tarif eden bir nevi kombinatorik atlasdır. Çok değişkenli polinomların veya rasyonel fonksiyonların parametre uzayları daha karmaşık yapıdadır.

, bir tıkız Riemann yüzeyi olsun. genellikle 2-boyutlu küre olarak seçilir. uzayı bir analitik çokkatlı olduğundan, üzerinde analitik yapı vardır. sabit olmayan fonksiyonunun, bu analitik yapıya göre, çözümlenebilir olduğunu kabul edelim. ile, nin kendisiyle kere birleşiminden oluşan fonksiyonu gösterelim. kümesi, ailesini normal aile yapan küme şeklinde tanımlanır. kümesi ise şeklinde tanımlanır.

Bu soyut tanımın anlamı şudur: Bir verildiğinde olacak şekilde komşuluğu vardır. bir çokkatlı olduğundan, ya sınırlandırılmış analitik yapı vardır. komşuluğu fonksiyonlarının tanım kümesinin bir altkümesi ise, analitik ailesi elde edilir. nin bir normal aile olması demek, nin kapanışının tıkız olması demektir. Burada, üzerinde iyi bilinen bir topoloji vardır. Mesela, durumunda Frechet uzayıdır. nin kapanışı da tıkızlığı da bu topolojiye göredir. kümesinin bir açık küme olması, her için böyle bir seçilebilmesindendir ve Fatou kümesinin tanımının direkt sonucudur. nin kapalı olması eşitliğinden bulunur.

nin de kaotik davranış göstermesi, nin iterasyonlarının normal olmamasından dolayıdır. Bazı kaynaklar "kaotik davranışı" değişik şekilde tanımladıklarından, burada kullanıdığımız tanımı belirtmemiz gerekir: Kaotik davranış demek, başlangıç değerine duyarlı olmak demektir. Başka bir deyişle, kaotiktir demek, birbirine çok yakın iki nokta alındığında ile lerin birbirlerinden çok uzak olması demektir.

formülüyle verilen polinomunu ele alalım. Yukarıda verilen soyut tanımı kullanarak, nin Julia kümesinin yarıçaplı çember olduğunu göstereceğiz. Bu çemberi ile gösterelim. in "dışı" dediğimiz bölge, çember ile sonsuz arasında kalan bölgedir. Dış kısımdan bir noktası ve bu nokta civarında ile kesişmeyen bir komşuluk alırsanız, bu komşuluğun polinomu altındaki imajı arttıkça sonsuza yaklaşır. Başka bir deyişle, in dış kısmında ailesi sabit fonksiyonuna yakınsar, yani de kapanışı tıkızdır. Benzer şekilde, noktası çemberin iç bölgesinde ise, ler 0 a yakınsar. Geri kalan kısım, yani çemberin kendisi, Julia kümesini verir.

Aşağıda bazı örnekler verilmiştir. Öncelikle, bu resimlerin bazılarının renkli bazılarının ise siyah-beyaz olduğunu gözlemleyiniz. Kombinatorik harita resminin bir Julia kümesi olmadığını, fakat tavşan fonksiyonunun Julia kümesinin bu harita kullanılarak açıklanabileceğini hemen belirtelim.

Resimlerdeki her renk, sayısal olarak ile ilgili bir nicelige denk gelir. Aynı renge sahip noktalar benzer özelliklere sahiptirler. Siyah-beyaz resimlerde, bu nicelikler belirtilmez ve siyah noktalarla Julia kümesinin noktaları beyaz renk ile de Fatou kümesinin noktaları işaretlenir. Renk kullanımına şöyle bir örnek verelim: fonksiyonunu ele alalım. Çemberden seçilen neredeyse her noktanın, altındaki yörüngesi çember içinde yoğundur. Çemberin dış kısmından, yani , bir nokta seçersek, yörüngesi sonsuza kaçar. Sonsuza kaçma hızı, değişik renklerle ifade edilir. Mesela, eğer nokta ilk 10 iterasyon sonunda yarıçapı 50 olan çemberin dışında kalıyorsa açık mavi renk, kalmıyorsa koyu mavi renk kullanılabilir. Renklerin nasıl kullanılacağını belirten genel bir kural yoktur.

Yukarıda verilen resimlerde(her bir resim bir kümedir) çoğunlukla ikinci derece polinomlarının kullanılmasının nedeni hesaplarının ve teorilerinin kolay olmasındandır. Kaotik davranış, bilgisayar tarafından çizilen resimlerde büyük sapmalar olmasına neden olur.

Bilgisayar çizimleri her zaman hatalı olduklarından, konunun bilimsel yönden önemi, nin deki dinamiğine topolojik ve kombinatorik olarak eşdeğer(konjuge) olan bir başka dinamik sistem bulup onu izah etmekten geçer.

derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise, boş olamaz. Fakat, olması mümkündür. Berkovich uzayında bu önermenin tam tersi doğrudur. Yani, boş olabilir. Berkovich uzayı için, yukarıda verilen Julia kümesi tanımı kullanılamaz, çünkü bu uzay bir Riemann yüzeyi değildir. Detaylı bilgi için, ilgili makaleye bakınız.

derecesi 2 den büyük rasyonel fonksiyon ise, Julia kümesinin topolojik içi ya boştur ya da Fatou kümesinin kendisi boştur. Berkovich uzayı durumunda, Fatou boş olamaz.

Mandelbrot kümesi, ikinci derece karmaşık katsayılı polinomların parametre uzayıdır. Çok dereceli polinomlar ve rasyonel fonksiyonların parametre uzayları, Mandelbrot kümesinin çok boyutlu versiyonlarını verirler. polinomunu düşünelim. sayısı Mandelbrot kümesinin bir elemanı ise, kümesi topolojik bağlantılıdır. sayısı bir Misiurewicz noktası ise, Mandelbrot fraktalnın sayısına denk gelen noktasının civarı, fraktalına benzer.