Holomorfik fonksiyon

Holomorf fonksiyonlar karmaşık analizin temel çalışma araçlarından biridir. Bu fonksiyonlar karmaşık düzlemin yani C'nin açık bir altkümesinde tanımlı, bu altkümedeki her noktada karmaşık anlamda türevli ve aldığı değerler yine C içinde olan fonksiyonlardır.

Bu koşul normal gerçel türevlilikten daha güçlüdür. Daha derin anlamda, holomorf fonksiyon sonsuz kere türevlenebilir ve Taylor serisi ile tanımlanabilir. Her ne kadar daha geniş anlamda (gerçel, karmaşık veya daha genel bir çerçevede) fonksiyonun tanım kümesi içindeki her noktanın komşuluğunda fonksiyonun Taylor serisine eşit olması anlamına gelse de, analitik fonksiyon teriminin holomorf fonksiyon terimi yerine de kullanıldığı bolca yer vardır. Analitik fonksiyonlar sınıfının karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar sınıfı ile aynı olması karmaşık analizde önemli bir teoremdir. Holomorf fonksiyonlara bazen düzenli fonksiyonlar dendiği de olmaktadır. Karmaşık düzlemin tümünde holomorf olan fonksiyona tam fonksiyon adı verilir. "a noktasında holomorf olma" terimi a noktasında türevli manasına gelmekle beraber aynı zamanda karmaşık düzlemde a noktası etrafındaki belli bir açık disk içindeki her noktada türevli anlamına da gelmektedir.

f fonksiyonu U açık kümesi içindeki her z0 noktasında kompleks türevli ise, f fonksiyonu U üzerinde holomorftur denilir. f fonksiyonu z0 etrafındaki bir komşuluk içinde kompleks türevli ise z0 noktasında holomorftur denilir. Açık olmayan bir A kümesinde f 'ye holomorf diyebilmek için ise f 'nin A kümesini de içeren bir açık küme üzerinde holomorf olması gerekmektedir.

Ancak bu ifadenin tersi her zaman doğru değildir. Doğru olan daha basit bir ters ifade ise şudur: u ve v 'nin sürekli birinci kısmi türevleri varsa ve u ve v Cauchy-Riemann denklemlerini sağlıyorsa, o zaman f holomorftur.

"Holomorf" kelimesi ilk kez Cauchy'nin öğrencileri olan Briot (1817 - 1882) ve Bouquet (1819 - 1895) tarafından literatüre sokulmuştur ve Yunanca "tam" anlamına gelen őλoς (holos) ve "form","şekil" veya "görünüm" anlamlarına gelen μoρφń (morphe) kelimelerinden oluşur.

Günümüzde birçok matematikçi analitik fonksiyonun daha genel bir kavram olmasından dolayı holomorf fonksiyon kavramını kullanmayı tercih etmektedir. Bunun bir diğer nedeni ise karmaşık analizde her holomorf fonksiyonun karmaşık analitik olması gerektiğini ifade eden önemli bir sonuçtur. Ancak yine de, "analitik" terimi daha geniş anlamda kullanılmaktadır.

Karmaşık türevin doğrusal olması ve çarpma, bölme ve zincir kuralına uyması sebebiyle, holomorf fonksiyonların toplamları, çarpımları ve bileşkeleri yine holomorftur ve paydanın sıfır olmadığı yerlerde ise iki holomorf fonksiyonun bölümleri yine holomorftur.

Eğer C, R2 olarak tanımlanırsa, o zaman holomorf fonksiyonlar, sürekli birinci türevi olan iki gerçel değişkenli ve iki denklemden oluşan kısmi türevsel denklemler kümesi olan Cauchy-Riemann denklemlerini çözen fonksiyonlara denk gelir.

Bütün holomorf fonksiyonlar gerçel ve sanal kısımlarına ayrılabilirler ve her bir kısım R2 üzerinde Laplace denklemi'nin bir çözümüdür. Başka bir deyişle, holomorf fonksiyon f(z) 'yi 'u(x, y) + i v(x, y) şeklinde ifade edersek, hem u hem de v harmonik fonksiyonlardır.

Her Holomorf fonksiyon aynı zamanda analiktir. Yani, bir holomorf fonksiyon f 'nin tanım kümesindeki her a noktasında her mertebeden türevi vardır ve a etrafındaki bir komşulukta fonksiyonun anoktasındaki kendi Taylor serisi'ne denk gelir. Aslında, f fonksiyonu, a 'yı merkez alan ve f 'nin tanım kümesi içinde kalan her disk üzerinde kendi Taylor serisine denk gelir.

Cebirsel bakış açısıyla, açık bir küme üzerindeki holomorf fonksiyonlar kümesi değişmeli halkadır ve karmaşık vektör uzayıdır. Aslında, bu küme, yarı normun tıkız altkümeler üzerindeki supremumların olduğu bir yerel dışbükey topolojik vektör uzayıdır.

ifadesiyle tanımlanabilir ve bu yüzden log(z) 'nin holomorf olduğu her yerde holomorftur. 1/z fonksiyonu ise {z : z'' ≠ 0} üzerinde holomorftur.

Holomorf fonksiyon kavramı fonksiyonel analizdeki sonsuz boyutlu uzaylara genişletilebilir. Örneğin, karmaşık sayılar cismi üzerindeki bir Banach uzayı'nda holomorf fonksiyon fikri Fréchet ve Gâteaux türevi sayesinde gerçekleştirelebilir.