Standart sapma

Standart sapma varyansın kareköküdür. Daha matematiksel bir ifade ile standart sapma veri değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının karelerinin toplamının veri sayısı -1'e bölümünün kareköküdür, yani verilerin ortalamadan sapmalarının kareler ortalamasının karekökü olarak tanımlanır. Standart sapma kavramının yayılma ölçüsü olarak kullanılmasını anlamak için ölçüm birimine bakmak gerekir. Diğer yayılma ölçüsü olan varyans verilerin ortalamadan farklarının karelerinin ortalaması olarak tanımlanır. Böylece varyans ölçüsü için veri birimlerinin karesi alınması gerekir ve varyansın birimi veri biriminin karesidir. Bu durum pratikte istenmeyen sonuçlar yaratabilir (Örneğin veriler birimi kilogram ise varyans birimi kilogram kare olur). Bundan kaçınmak için standart sapma için varyansın karekökü alınarak standart sapma birim veri birimi olması sağlanır ve verinin yayılımı böylece veri birimleri ile ölçülür.

Her rassal değişken dağılım tipi için bir standart değer var olması gerekli değildir. Çünkü bazı dağılımlar için beklenen değer bulunamaz. Örneğin, Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken X için bir standart sapma yoktur; çünkü E(X) tanımlanamaz.

standart sapması (σ) için yansız kestirim değeri değildir ve s ile anakütle standart sapması biraz daha küçükçe tahmin edilir. Eğer rassal değişken normal dağılım gösteriyorsa, bu yansız olan kestirim pratikte çok kolay olmayan bir dönüşüm ile elde edilebilmektedir. Ayrıca zaten bir kestirim için yansız olmak karakteri her zaman çok istenir bir özellik değildir.

olur. Eğer anakütle normal dağılım gösteriyorsa, bu şekildeki kestirim yansız kestirimden her zaman biraz daha küçük ortalama hata karesi gösterir ve bu nedenle normal için maksimum olabilirlik kestirimi olur.

Burada önce çok ufak bir anakütle veri serisi için standart sapma hesaplaması gösterilmektedir. Bu seri bir inşaat firmasının yabancılara yaptığı aylık daire satış sayılarını göstermektedir ve veri serisi şudur: { 5, 2, 11, 12, 3, 6 }.

Belli bir seri sayı için standart sapma değerini bilmek ve bu kavramı anlamak demek bir ortalama etrafında bu serinin ne kadar yayılım gösterdiğini anlamaktır. Standart sapmanın büyük olması veri noktalarının ortalamadan daha uzak yayıldıklarını; küçük bir standart sapma ise ortalama etrafında daha çok yakın gruplaştıklarını gösterir.

Standart sapma belirsizliğin bir ölçüsü olarak hizmet edebilir. Fiziksel bilimlerde, tekrar tekrar yapılan deneyler ve deneylerde alınan ölçüler ise gösterilen standart sapma olgusu bu deneyin ölçülmesindeki kesinlik ve doğruluğunu gösterir. Ölçümlerin teoriye dayanan bir tahmin ile karşılaştırıp birbirine uygunluk gösterip göstermediğine karar vermede ölçümlerin standart sapması önemli rol oynar. Eğer ölçümlerin standart sapması teorik tahminden çok daha uzaksa, sınanan teorinin değiştirilmesi gerekir. İşte bu uzaklık standart sapmalarla belirlenir.

Finansmanda, standart sapma verilmiş bir menkul (hisse seneti, tahvil, emlak vb.) için rizikonun veya bir menkuller portföyü için rizikoları temsil eder. Bir yatırım portföyünün etkin olarak idare edilmesini tayin eden en önemli faktörlerden birisi rizikodur. Çünkü her tek bir menkulün veya bir menkuller portföyünün getirisindeki mümkün yayılımını riziko tanımlar ve rizikonun standart sapma ile tanımlanması ise yatırım kararları için bir matematiksel temel sağlar. En geniş kavramla, yatırım rizikosu arttıkça menkul veya menkuller portföyünün beklenen getirisi da artış gösterir. Buna neden yatırımcıların menkul getirileri için riziko primlerini artırmaları olarak açıklanır. Diğer bir deyişle, eğer bir yatırım daha yüksek riziko seviyesi taşıyorsa, yatırımcılar o yatırımından daha yüksek bir getiri beklemeleri gereklidir.

Uzunca bir zaman içinde herhangi bir menkul için yıllık getirilerinin ortalamasını bulmakla o menkul için beklenen getiri değerini vermektedir. Her yıl için elde edilen getiriden bu beklenen getiri farkı bulunursa buna finansmancılar ve muhasebeciler tarafından varyans adı verilir (Dikkat edilirse bu istatistiksel varyans kavramından farklıdır). Her bir yıl için varyansın karesini bulmak ve bu varyans karelerinin ortalamasının kare kökü o menkulün standart sapmasını yani rizikosunu gösterir. İşte bu rizikolar yani varyansların karelerinin toplamının ortalamasının kare kökü, standart sapmadır ve rizikoyu ölçer. Menkullerin karşılaştırılımı için temel çalışma işte bu ölçü ile yapılır.

Standart sapmalar için pratik uygulamalar daha değişik alanlarda da verilebilir; fakat burada bu ufak sayıda uygulamalar bile standart sapmanın uygun bir şekilde önemini ortaya çıkartmaktadır.

Pratikte, çok zaman verilerin yaklaşık olarak bir normal dağılım gösteren anakütleden geldiği varsayılır. Bu varsayıma neden olarak merkezsel limit teoreminin geçerliliği iddiası olur. Merkezsel limit teoremine göre birçok birbirinden bağımsız ve hepsi aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin toplamı limitte bir normal dağılıma göre eğilim gösterirler. Eğer bu varsayım geçerli ise, değerler yaklaşık %68,27 olasılıkla ortalamadan eksi ve artı bir standart sapma noktalarının arasında bulunur; ortalamadan artı ve eksi 2 standart sapma noktaları arasında %95,45 olasılıkla ve ortalamadan artı ve eksi 3 standart sapma noktaları arasında %99,73 olasılıkla bulunur. Bu 68-95-99.7 kuralı veya bir emprik kural olarak bilinir.

Standart sapma ile ortalama arasındaki diğer bir ilişki ise yayılım özelliğine dayanan veri karşılaştırılmaları için kullanılan varyasyon katsayısıdır. Bir veri serisi için varyasyon katsayısı standart sapma ile ortalama arasındaki orandır. Böylece, standart sapma (ve ortalama) veri birimleri ile boyutlu iken (örneğin veri TL ile ise standart sapma ve ortalama TL birimlerindedir); varyasyon katsayısı boyutsuz sırf bir sayıdır. Bu nedenle değişik birimlerde olan verilerin yayılımlarının karşılaştırılması için kullanılabilir.